N° d'ordre : XXXX ? ? Année 2007THÈSEprésentée devantL'ÉCOLE CENTRALE DE LYONÉ ole do torale MEGApour obtenirle titre de DOCTEURSpé ialité : Mé aniqueparM. MARONGIU Jean-ChristopheMéthode numérique lagrangienne pour la simulationd'é oulements à surfa e libre - Appli ation aux turbinesPelton

Soutenue le 11 dé embre 2007 devant la Commission d'ExamenComposition du jury : Do teur B. ALESSANDRINI - RapporteurProfesseur J.L. KUENY - RapporteurProfesseur F. LEBOEUF - Dire teur de thèseDo teur E. PARKINSONProfesseur. R. PERKINSD. VIOLEAULaboratoire de Mé anique des Fluides et d'A oustique UMR 5509E ole Centrale de Lyon

2

"Ce n'est pas par e-que les hoses sont di iles que nous n'osons pas. C'est par e-que nousn'osons pas qu'elles semblent di iles."Sénèque"Pour la masse 'est le plaisir qui semble être le bien, tandis que pour les plus subtils, 'est la ompréhension."Platon, La République

4

Remer iementsLe temps est venu, ertes un peu tardivement, de mettre un point nal à e long travail, à"ma" thèse. Je n'ai rien oublié de ette journée du 11 dé embre à l'issue de laquelle je suis devenuo iellement "do teur". Je me remémore aussi un message m'attendant sur mon téléphone, il ya quatre ans, j'étais au ski, m'annonçant que le feu vert avait été donné pour lan er ette étude.C'était le début de l'aventure.Que eux qui n'ont pas vé u ette expérien e sa hent qu'une thèse, 'est s ientiquementparlant un phénomène moyennement à fortement non linéaire. C'est-à-dire que l'aspirant do teurpeut passer rapidement de l'enthousiasme le plus débordant à l'abattement et au néant intelle tuelle plus total , voire à l'obstination désespérée . Pour tenir trois ans à e rythme, le "do torant" aalors bien besoin des personnes qui l'entourent, 'est pourquoi il n'est que justi e de leur adresseren retour quelques remer iements.Je tiens tout d'abord à remer ier les membres du jury, et en premier lieu les deux rapporteursde ette thèse, MM. Bertrand ALESSANDRINI et Jean-Louis KUENY qui ont a eptéd'examiner e do ument. Leur jugement avisé invite en quelque sorte le le teur à tourner les pagespour y trouver quelques informations dignes de satisfaire sa uriosité. Je remer ie également M.Ri hard PERKINS d'avoir a epté de présider mon jury de thèse.Je remer ie aussi M. Damien VIOLEAU, du Laboratoire National d'Hydraulique et d'En-vironnement d'EDF, qui a apporté son soutien à e projet et m'a beau oup aidé à mes débutsgrâ e à son expérien e de la méthode SPH.Je voudrai adresser mes plus vifs remer iements à mon dire teur de thèse, M. Fran is LE-BOEUF pour avoir si bien su guider les développements que j'ai mené. On dit de So rates qu'ilaidait ses interlo uteurs à "a ou her" de leurs idées en les questionnant judi ieusement, sans ja-mais donner l'impression de donner des réponses toutes faites. Que l'on me pardonne si né essairela omparaison, mais je pense que Fran is a emprunté au élèbre philosophe bien plus que sonallure de sage. Malgré son emploi du temps sur hargé, il a toujours su trouver l'énergie et l'en-thousiasme de roire en ette méthode et de dis uter ave moi des nombreuses questions, parfoisassez fondamentales, que l'avan ée de mes travaux soulevait. Ce fut un réel privilège de travaillerdurant es années à té d'un professeur si passionné et si brillant. J'espère pouvoir en ore dansle futur lui poser des questions sus eptibles de titiller sa uriosité.Je terminerai le tour de e jury de thèse par M. Etienne PARKINSON, du départementRe her he et Développement de la so iété ANDRITZ VA TECH Hydro. Je n'aurai jamais goutéaux joies de la re her he (n'y voyez pas d'euphémisme) si l'idée d'utiliser la méthode SPH pour al uler les é oulements dans les turbines Pelton n'avait un jour germé dans son esprit. Je luiadresse don de sin ères remer iements, d'abord pour sa géniale intuition, ensuite pour m'avoirdonné ma han e et pour avoir bati autour de moi un environnement de travail indispensable àla bonne mar he de la thèse. Sans son dynamisme et sa persévéran e, nul doute que e projetn'aurait jamais vu le jour, je prote don de l'o asion pour lui rendre et homage.Dans son sillage, je n'oublie pas les autres membres du départment R&D à Vevey, en premier

6lieu M. Gérald VULLIOUD qui s'est laissé tenter par l'aventure et a montré, à ette o asion,sa uriosité s ientique. Viennent ensuite Hélène, Fran o et Ni olas qui ont su donner de leurtemps pour e thésard lointain et son sujet tordu.Je n'oublierai pas non plus M. Pierre MARUZEWSKI dont le role au début du projet futdéterminant. Pierre fut en quelque sorte la fusée (sa hère Ariane 5 ?) qui a mis l'étudiant quej'étais sur l'orbite "do teur". J'ai beau oup appré ié notre ollaboration, les joies de l'organisationde l'é ole d'été, sa grande ulture numérique, et son optimisme ommuni atif. Des vents porteursl'ont depuis onduit sous d'autres ieux, mais je ne doute pas que nous parviendrons à rester en onta t.Je remer ie haleureusement M. Reza ISSA,du LNHE d'EDF, pour son remarquable travailde thèse, l'aide qu'il a su m'apporter et la ollaboration que nous avons eue. Reza est une personnetellement egmatique et ouverte que e fut toujours un réel plaisir de dis uter ave lui de al ulnumérique et de bien d'autres hoses. J'en prote aussi pour saluer les autres membres du LNHEpour leur a ueil sympathique, et notamment M. Charles MOULINEC qui doit bien être unedes rares personnes à omprendre tout e que m'a outé la parallélisation de SPH.A e sujet, je remer ie les équipes du CINES, et surtout M. Alain MANGO pour etteaide pré ieuse sur le parallélisme sans laquelle je n'aurai jamais su omment aborder e di ile hantier.Quant aux lyonnais... ar même si j'ai été un "thésard voyageur", j'ai évidemment passé latrès grande majorité de mon temps au LMFA à l'E ole Centrale de Lyon. Je remer ie don toutd'abord mes olo ataires de bureau Ni olas, Guillaume et Jean-Mi hel qui ont supporté ma frappefrénétique sur le lavier, mes questions impromptues sur LATEXou linux, et les appels téléphoniquessuisses. Je remer ie Mme. Joëlle CARO qui a eu le ourage de s'investir elle aussi sur SPHet qui apporte tant de rigueur à notre travail. Je remer ie aussi la joyeuse bande de her heursen devenir, Elena, Wouter, Juliane, Aurélien, Delphine, Antoine, Cé ile qui ont rendu es annéesagréables et ri hes d'é hanges s ientiques, ulturels (parlez-vous le hollando-espagnol ?) et toutsimplement ami aux. Je vous souhaite à tous de vous é later dans les orientations variées quevous avez hoisies, et ne doute pas que nous aurons en ore maintes fois l'o asion d'en dis uter. Jeremer ie la ma hine à afé, outil de travail formidable et indispensable, en qui j'avais pla é toutema onan e, et qui ne m'a jamais déçu (tout omme ma station de travail, vraiment une bravebête).Je remer ie enn toutes elles et eux qui par leur petite ou grande inuen e ont fait de monpar ours e qu'il fut, qui m'aidèrent dans toutes es petites dé isions qui font une vie. Je pense enparti ulier bien sûr à ma famille qui m'a toujours soutenu et m'a toujours fait onan e, qui m'apermis de grandir dans un environnement où ma uriosité fut sans esse stimulée. Je pense à mongrand-père qui est ertainement à l'origine de ma vo ation et qui m'a fas iné toute mon enfan epar sa grande ulture et son in royable ingéniosité. Je remer ie ma mère qui bien qu'elle m'aiten général laisser libre de mes hoix, a su me rappeler au bon moment qu'on n'abandonnait passans essayer de réagir. Et je remer ie ma soeur d'avoir donné deux petits soleils pour ré hauer e petit monde là.Je voudrai terminer en remer iant elle qui désormais partage ma vie, qui m'a supporté dans ette dernière ligne droite qui m'a tout entier a aparé, et qui fait tant pour mon équilibre.

RésuméLa méthode SPH (Smoothed Parti le Hydrodynami s) est une méthode numérique sans maillageutilisée dans ette étude pour la dis rétisation spatiale des équations de la mé anique des uides(essentiellement les équations d'Euler). La méthode SPH ren ontre depuis quelques années un er-tain su ès dans la simulation d'é oulements à surfa e libre ar son formalisme lagrangien fa ilitele traitement et le suivi des interfa es.Cette étude a pour but d'appliquer ette méthode pour la simulation des é oulements â surfa elibre se produisant dans les turbines Pelton. Le formalisme SPH standard est tout d'abord testé,il permet de valider la faisabilité de e hoix mais montre également les limites de la méthodeSPH standard, en terme de pré ision et de abilité notamment.Le hoix s'est alors porté vers une formulation hybride SPH-ALE (Arbitrary Lagrange Euler)qui entretient une ertaine liation ave le formalisme des volumes nis. SPH-ALE utilise eneet une formulation onservative des équations du mouvement et est apable théoriquement dedé rire l'é oulement quelque soit le dépla ement des points de dis rétisation. Par ailleurs, sur unplan purement numérique, e formalisme permet l'utilisation de s hémas numériques dé entrés,en parti ulier les s hémas de type Godunov et leurs variantes d'ordre supérieur.Cette méthode hybride se révèle en pratique nettement supérieure la méthode standardpour les appli ations visées. La stabilité des simulations est largement renfor ée, et la pré isiondes résultats est fortement améliorée. En parti ulier le hamp de pression retrouve une formesatisfaisante sans lissage numérique parti ulier.La méthode hybride fa ilite également le traitement des onditions limites. Alors que e point onstitue une di ulté majeure pour la méthode SPH standard, la méthode SPH-ALE permetde traiter les onditions limites à travers des ux aux frontières qui peuvent être eux-aussi dé en-trés. La mise en pla e d'un traitement ohérent et rigoureux des onditions limites onstitue laprin ipale ontribution de e travail de thèse.La méthode SPH-ALE est nalement testée sur des as représentatifs des appli ations viséeset fournit des résultats satisfaisants. En parti ulier le hamp de pression en paroi solide est prédit orre tement.En on lusion, les développements ee tués dans ette étude ont été guidés par l'appli ation enturbine Pelton qui était visée. La né essité de manipuler des géométries omplexes et d'obtenir unniveau de pré ision orre t ont onduit à privilégier et à développer la méthode hybride SPH-ALE.Ce travail ouvre des perspe tives prometteuses de développement rapide gra e au lien existantentre SPH-ALE et la méthode des volumes nis.Mots- lés : SPH, ALE, s hémas de Godunov, onditions limites, problème de Riemann par-tiel, parallélisme, MPI, dé omposition de domaine.

8

Abstra tThe SPH (Smoothed Parti le Hydrodynami s) method is a meshless numeri al method usedin this study to spatially dis retize uid me hani s equations (mostly Euler equations). Sin efew years, SPH is be oming su essfull in simulating free surfa e ows thanks to its lagrangianformalism, whi h eases the handling of interfa es.This study aims at applying this method to simulate free surfa e ows as those happening inPelton turbines. The standard SPH formalism is rst tested. This validates the feasability of usingSPH for this appli ation but also underlines the weaknesses of the standard method, notably interms of a ura y and reliability.A hybrid formulation alled SPH-ALE (Arbitrary Lagrange Euler) has then been hosen. Thismethod has many similarities with the Finite Volume method. Indeed it uses the onservation formof ow equations and is theoreti ally able to handle properly any smooth transport eld of thedis retization points. In addition, from a purely numeri al point of view, the SPH-ALE formalismallows a proper use of upwind numeri al s hemes, and in parti ular Godunov and higher orders hemes.In pra ti e, this hybrid method behaves better than the standard one for the targeted appli- ations. Stability and a ura y of the simulations are greatly improved. In parti ular the pressureeld an be orre tly predi ted without resorting to any numeri al smoothing.The introdu tion of boundary onditions is also easier with the hybrid method. Whereas thisis one major hallenge for the standard SPH method, SPH-ALE an handle boundary onditionsthrough boundary uxes whi h an also be omputed in an upwind fashion. The setting of a onsistent and rigorous boundary treatment is the main ontribution of this study.The SPH-ALE method is tested and validated on typi al ases, giving satisfa ory results,parti ularly for the pressure eld on solid boundaries.To on lude, developments presented in this study have been driven by the targeted appli a-tion in Pelton turbines. The need for a proper handling of bodies with omplex shapes and therequirement of a ura y have lead to a fo us on the hybrid SPH-ALE method. This work opensthe door to promising perspe tives and qui k developments thanks to the strong link with theFinite Volumes method.Keywords : SPH, ALE, Godunov s hemes, boundary onditions, partial Riemann problem,parallelism, MPI, domain de omposition.

10

Table des matièresRemer iements 5Résumé 7Abstra t 91 Introdu tion 132 La méthode numérique SPH 192.1 Le formalisme SPH standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.1 Fondements mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.2 Approximation parti ulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.1.3 Fon tions d'interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1.4 Convergen e de la méthode d'interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.1.5 Te hniques de orre tion du kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.1.6 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2 Adaptation pour la mé anique des uides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2.1 Méthode SPH standard pour la résolution des équations d'Euler . . . . . . . 342.2.2 Conditions limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2.3 Intégration temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.2.4 Vis osité arti ielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.2.5 S héma à longueur de lissage variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.2.6 Termes visqueux et turbulen e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.2.7 Renormalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.3 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533 Implémentation de la méthode et validations 553.1 Les odes de al ul NEMO et SPARTACUS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.1.1 Présentation des deux odes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.1.2 Re her he des voisins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.1.3 Algorithme général SPH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.1.4 Modèles de turbulen e de SPARTACUS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.1.5 Dis rétisation des géométries omplexes ave NEMO . . . . . . . . . . . . . 613.2 Parallélisation de l'algorithme SPH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.3 Cas tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.3.1 Rupture de barrage 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.3.2 Jet d'eau impa tant une paroi plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.3.3 E oulement dans un auget statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

12 TABLE DES MATIÈRES3.3.4 E oulement dans une roue Pelton en rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.3.5 Colline laminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.3.6 Canal turbulent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.3.7 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944 Le formalisme ALE 954.1 Une formulation hybride . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.2 Développement d'un nouveau traitement des parois solides . . . . . . . . . . . . . . 964.2.1 Intégration surfa ique des onditions limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.2.2 Appro he 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.2.3 Relations de ompatibilité 2D pour le traitement des parois solides . . . . . 1064.3 Extension du formalisme ALE au solveur uide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.3.1 De la mé anique du point à la mé anique des uides . . . . . . . . . . . . . 1114.3.2 Problème de Riemann monodimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.3.3 Stabilisation d'un s héma numérique et utilité d'un dé entrement . . . . . . 1134.3.4 S hémas de Godunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144.3.5 Une méthode numérique originale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.4 Solveurs de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.4.1 Des ription de la solution du problème de Riemann pour l'équation de Tait 1174.4.2 Solveur exa t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194.4.3 Solveur PVRS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1224.4.4 Remarques relatives à la simulation d'é oulements d'eau . . . . . . . . . . . 1234.5 Traitement des onditions limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244.5.1 Problème de Riemann partiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254.6 S héma d'ordre élevé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274.6.1 S héma MUSCL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274.6.2 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1384.7 Renormalisation des ux onve tifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1384.8 Cas d'appli ation bidimensionnel : jets plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1404.8.1 In iden e α = 90° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414.8.2 In iden e α = 60° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1434.8.3 In iden e α = 30° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1454.9 Cas d'appli ation tridimensionnel : jets impa tant une plaque plane . . . . . . . . . 1484.10 E oulement dans un auget de turbine Pelton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1504.11 Jet dévié par un dée teur en rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1534.12 Bilan des as d'appli ation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1555 Con lusion et perspe tives 157A Solution analytique de l'é oulement d'un jet plan impa tant une paroi plane 161A.1 Impa t de deux jets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161A.1.1 Bilans intégraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161A.1.2 Équations des lignes de ourant dé rivant la surfa e libre . . . . . . . . . . . 163A.2 Impa t d'un jet sur une plaque plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

Chapitre 1Introdu tionLa présente étude a été menée en réponse à un besoin émis par la so iété industrielle VATECHHydro, on epteur et fabri ant de turbines hydrauliques, et plus parti ulièrement par l'équipe hargée des turbines Pelton. Une brève présentation de e type de turbines est né essaire. Laturbine Pelton est née en 1879 en Californie, lors de la ruée vers l'or, lorsque Lester Allan Peltonremarqua fortuitement une roue à godets qui tournait plus vite qu'à l'a outumé alors que leréglage du jet d'eau l'alimentant était désaxé. Ainsi naquit l'auget, en rempla ement du godet, etqui s'avère bien plus e a e grâ e à sa subdivision entrale qui guide l'é oulement de l'eau (unepartie du brevet original est visible à la gure 1.1).

Fig. 1.1: Brevet marquant l'inventionde la turbine Pelton.Fig. 1.2: Vue d'ensemble d'une turbinePelton moderne à 6 jets, ave le distri-buteur, les inje teurs, la roue et le bâti.

Cette turbine présenta immédiatement de bons rendements. Son prin ipe de fon tionnementest relativement simple. C'est une turbine à a tion, utilisant l'énergie inétique de l'eau, et qui estde nos jours prin ipalement utilisée pour produire de l'énergie éle trique sur des sites présentant

14 Introdu tionde hautes hutes d'eau (de 200 à 2000 mètres de hute). Les modèles a tuels (voir la gure 1.2)présentent des rendements atteignant 92%, mais des améliorations restent souhaitables ar l'hy-droéle tri ité reste de loin la première sour e d'énergie renouvelable. Ces améliorations deviennentde plus en plus di iles à obtenir et passent né essairement par une meilleure ompréhension del'é oulement. En eet la simpli ité de elui- i n'est qu'apparente, elle a he en fait de nombreuxphénomènes physiques di iles à appréhender tels que la avitation, l'érosion, l'inuen e des é ou-lements se ondaires sur la qualité du jet et sa stabilité ou en ore les intera tions de l'é oulementprin ipal ave les parties xes de la turbine (le bâti). La survenue de es phénomènes dans le adred'un é oulement à surfa e libre rend en ore plus di ile leur étude et n'a généralement pas faitl'objet d'eorts aussi poussés que dans le as des é oulements homogènes.Des thématiques voisines intéressent le Laboratoire National d'Hydraulique et d'Environnementqui dépend d'EDF. En eet la bonne ompréhension des é oulements à surfa e libre est né essairepour dimensionner un ertain nombre d'équipements de fon tionnement ou de prote tion des sitesde produ tion d'éle tri ité, souvent situés près des ours d'eau ou sur le littoral (gure 1.4), etau premier rang desquels on peut iter les entrales nu léaires. An de protéger elles- i des aléas limatiques, il est en parti ulier né essaire de dimensionner orre tement les digues de prote tion ontre la houle ou les rues. Le LNHE s'intéresse également aux prises d'eau qui permettent d'ali-menter les entrales en eau "fraî he" ou en ore aux ouvrages de sé urité des barrages omme leséva uateurs de rue (gure 1.3). Enn, ompte tenu des fréquentes oppositions à l'implantationd'aérogénératri es dans de nombreuses régions françaises, le développement de l'énergie éoliennepassera par la onstru tion d'éoliennes en mer (o-shore). Dans ette perspe tive le LNHE her heà dimensionner orre tement les piles et les an rages de es éoliennes an qu'elles résistent auxtempêtes (gure 1.5).Fig. 1.3: Éva uateur de rue Fig. 1.4: Centrale nu léaireà proximité d'un ours d'eau Fig. 1.5: Éoliennes en merLes é oulements qui vont être abordés dans ette étude sont don prin ipalement des é oule-ments d'eau présentant une surfa e libre et ayant une dynamique assez élevée. La surfa e libresubit généralement de grandes déformations au ours du temps et sa présen e peut s'a ompagnerd'une phase de mélange air-eau. Le omportement du uide étudié, réputé in ompressible pourl'eau pure, peut alors présenter des parti ularités dans les as d'impa ts violents que seule unemodélisation faiblement ompressible peut permettre d'expliquer. Les formes des stru tures so-lides interagisant ave l'é oulement sont omplexes, et leur prise en ompte pré ise est né essairepour mener une étude réaliste, en parti ulier pour étudier les eorts exer és par le uide sur esstru tures.

15Dans les domaines d'étude qui intéressent ha un des deux partenaires industriels de ette thèse, omme dans beau oup d'autres domaines de l'ingénierie, la simulation numérique des é oulements(CFD) s'impose omme un outil indispensable dans le pro essus de on eption, en omplémentdes études modèle menées en laboratoire. D'une part, le CFD présente d'un point de vue pratiquel'avantage évident de pouvoir a élérer la haîne de on eption en évitant la onstru tion de ma-quettes ou modèles réduits. Ensuite elle permet des observations très nes des é oulements dansdes environnements parfois di iles d'a ès, omme le montre la gure 1.6.

Fig. 1.6: Turbine Pelton modèle en fon tionnement : l'é oulement au ÷ur de la roue est masquépar les proje tions d'eau sur le bâti.EDF a développé un système dit "hydro-informatique" nommé Telema , fondé sur une ap-pro he de type éléments nis, destiné à la prédi tion et/ou la reprodu tion de rues, des houlesde tempêtes, des ondes de rupture de barrage, des pro essus de qualité d'eau et de transportsédimentaire, ou en ore des é oulements sousterrains. De son té, VATECH Hydro réalise dessimulations des é oulements à l'intérieur des turbines Pelton en utilisant le ode ommer ial CFXbasé sur une appro he de type volumes nis, le ara tère multiphasique des é oulements à surfa elibre étant géré par la te hnique de Volume Of Fluid (VOF). La gure 1.7 montre des résultatsde telles simulations. Celles- i sont parti ulièrement ambitieuses mais également très déli ates enraison du mouvement de la roue, des diérentes é helles de longueur ara térisant les parois solideset de la grande dispersion des nappes d'eau qui sont éva uées de la roue.(a) Vue générale de la simulationd'une roue ave 6 jets (b) Vue détaillée de la roue, des jetset des nappes d'eau ( ) À gau he : prol de pressionsur la surfa e des augets. À droite : oupe du jet,remplissage et vidangedes augetsFig. 1.7: Simulation numérique d'une roue Pelton en rotation par le ode de al ul CFX ( al ulsréalisés par VATECH Hydro).Ces outils de simulation, s'appuyant sur des méthodes numériques très répandues que l'on

16 Introdu tionpourrait qualier de lassiques, donnent des résultats ables mais leur utilisation bute sur dié-rents é ueils. En premier lieu, es méthodes s'appuient sur la dis rétisation du domaine d'évolutiondu uide sous la forme d'un maillage prédéterminé. La qualité des résultats est alors dépendantede la qualité de e maillage (forme des mailles ou des éléments, alignement ave la dire tion prin- ipale de l'é oulement) et en parti ulier du ranement lo al de elui- i. Cela est parti ulièrementvrai pour le al ul d'un é oulement à surfa e libre, où une bonne déte tion de ette interfa epasse né essairement par une dis rétisation ne de la région où elle- i est sus eptible de se po-sitionner. Dans le as où ette interfa e est très mobile et subit de grandes déformations, il estdon né essaire de dis rétiser nement une grande zone du domaine, et le oût de la simulationaugmente fortement, par l'augmentation du oût de al ul mais aussi de elui de la génération dumaillage ([14). Ainsi même si la gure 1.7 montre des al uls de ongurations réelles, al ulerle développement omplet des nappes d'eau jusqu'à leur impa t sur le bâti de la turbine n'esta tuellement pas envisageable.Le re ours à une des ription lagrangienne apparait dès lors omme une alternative intéres-sante, puisque dans e as la distribution spatiale des points de al ul s'adapte à l'é oulement, e qui améliore la apture de la surfa e libre. Mais pour être pleinement et e a ement exploitéelorsque la surfa e libre subit de grandes déformations, la des ription lagrangienne de l'é oule-ment doit être a ompagnée de l'utilisation d'une méthode numérique sans maillage, apable des'aran hir de l'irrégularité et du désordre de la dis rétisation. La méthode numérique SmoothedParti le Hydrodynami s (SPH) présente l'intérêt d'être une telle méthode numérique lagrangiennesans maillage. Elle fut inventée en 1977 par Lu y ([38) et Gingold et Monaghan ([16) pour simu-ler des phénomènes astrophysiques omme la formation et la ollision des galaxies. Monaghan aétendu le hamp d'appli ation de la méthode à la mé anique "usuelle", 'est-à-dire à la mé aniquedes stru tures et la mé anique des solides, domaines d'appli ation où SPH s'est montrée parti- ulièrement adaptée pour simuler des phénomènes de ruptures de matériau ou des é oulementsà surfa e libre ([52). Dans le domaine de la mé anique des uides, la méthode est de nos joursprin ipalement utilisée an de simuler la houle et le déferlement des vagues. Depuis 1999, EDFdéveloppe son propre outil de simulation numérique basée sur la méthode SPH, il s'agit du odeSparta us-2D.L'objet de la présente étude est premièrement d'évaluer l'utilisation de la méthode numériqueSPH pour simuler les é oulements dans les turbines Pelton ( hapitre 2). Il est ensuite apparuqu'an de mener des simulations réalistes, il était né essaire de disposer d'un ode de al ul 3Det parallèle. Une stratégie de parallélisation de l'algorithme SPH a don été mise en pla e. Ellerepose sur un dé oupage des données et les ommuni ations entre les pro essus sont assurées par labibliothèque MPI. Cela a permis de développer le ode Sparta us-3D et d'élaborer les versions pa-rallèles des odes Sparta us-2D et Sparta us-3D ( hapitre 3). Enn les simulations d'é oulementsà l'intérieur des turbines Pelton ont révélé un ertain nombre de di ultés que la méthode SPHdans sa version "standard" surmonte di ilement (ou pas du tout). En eet l'utilisation dans e adre de la méthode SPH se heurte à la gestion des solides de forme omplexe qui rend ine a eles traitements usuels des ondition limites de paroi solide. De e besoin d'améliorer notablementle traitement numérique des onditions limites est né un nouvel outil numérique baptisé ASPHO-DELE. Celui- i repose sur une formulation faible et onservative des équations d'Euler et sur unedes ription ALE (Arbitrary Lagrange Euler) de l'é oulement. D'un point de vue théorique, e nou-veau formalisme est plus onforme à la des ription d'un milieu ontinu tel qu'un uide et s'éloignedon de l'interprétation "parti ulaire" de la méthode SPH standard. D'un point de vue pratique,il permet l'adoption de s hémas dé entrés inspirés des méthodes eulériennes à maillage, e quipermet d'apporter une réponse satisfaisante à la fois au traitement des onditions limites et à la

17stabilisation numérique de la méthode. Par ailleurs, l'amélioration de la pré ision de la méthodeest obtenue par l'introdu tion de s hémas d'ordre supérieur, e qui dière notablement de l'ap-pro he lassique en méthode sans maillage onsistant à enri hir la fon tion dite d'interpolation.Ces développements sont exposés dans le hapitre 4.

18 Introdu tion

Chapitre 2La méthode numérique SPH2.1 Le formalisme SPH standardDans e hapitre, les fondements mathématiques de la méthode SPH vont être exposés dans unpremier temps. Cela permet de omprendre les spé i ités du s héma numérique "sans maillage"utilisé. Puis l'adaptation de ette méthode pour la simulation numérique d'é oulements est pré-sentée, an d'obtenir une méthode numérique lagrangienne et sans maillage apable de reproduiredes é oulements à surfa e libre.2.1.1 Fondements mathématiquesLa méthode numérique SPH repose avant tout sur une méthode originale de re onstru tiond'un hamp s alaire ou ve toriel à partir des valeurs dis rètes onnues que prend e hamp sur unnuage désordonné de points de al ul.Il s'agit d'une méthode d'interpolation relativement simplequi utilise une fon tion de lissage appelée fon tion kernel en SPH. L'idée de base est que l'onpeut appro her la valeur du hamp en un point par une valeur moyenne pondérée al ulée sur unvoisinage de e point. Ce i se omprend aisément en analysant la formulation ontinue de etteapproximation.Formulation ontinueOn onsidère un hamp (s alaire ou ve toriel) f supposé susamment régulier. En tout pointde l'espa e noté i i Ω et de frontière ∂Ω, la valeur prise par f peut-être é rite omme le produitde onvolution de f par la fon tion de Dira δ :f(x) =

∫

Ωf(x′)δ(x − x′) dV (2.1)Cette relation (2.1) est exa te ar le support de la fon tion de Dira se réduit au singleton

x. En pratique il onvient de faire un al ul appro hé de ette intégrale en utilisant une fon tionrégulière W appro hant la fon tion de Dira . On obtient ainsi une valeur moyenne de f au voisinagedu point x :f(x) ≈ 〈 f(x) 〉 =

∫

Ωf(x′)W (x − x′) dV (2.2)La formule (2.2) onstitue une approximation de 2.1 d'autant meilleure que les pondérationsdes points voisins de x dé roissent rapidement au fur et à mesure que l'on séloigne de x. Ce i

20 La méthode numérique SPHest lassiquement obtenu en utilisant des fon tions kernel de type gaussiennes par exemple. Lafon tion de Gauss elle-même peut-être utilisée, mais elle présente l'in onvénient d'avoir un supportinni. Elle fait don intervenir tous les points de l'espa e Ω dans le al ul de (2.2) même si lespondérations des points lointains tendent rapidement vers zéro. On verra plus loin qu'en pratiqueles fon tions à support ompa t se révèlent bien plus e a es, mais on peut retenir l'idée de lafon tion de Gauss pour le moment.Consistan e de la formulation ontinueAn de omprendre les enjeux de ette te hnique, on peut s'intéresser d'ors-et-déjà à l'erreur ommise lors de ette approximation de la fon tion de Dira par la fon tion kernel. Pour ela onsuppose que le hamp f est au moins ontinu et une fois dérivable et on é rit son développementlo al en série de Taylor au voisinage du point x :f(x′) = f(x) + (x′ − x)f ′(x) + o(x′ − x)2 (2.3)soit par onvolution ave la fon tion kernel W :

〈 f(x) 〉 = f(x)

∫

ΩW (x′ − x) dV + f ′(x)

∫

Ω(x′ − x)W (x′ − x) dV + O(x′ − x)2 (2.4)La formule (2.2) pro ure don une approximation a eptable à l'ordre 2 de la valeur du hamp

f au point x si les onditions suivantes sont satistaites :∫

ΩW (x′ − x) dV = 1 (2.5)

∫

Ω(x′ − x)W (x′ − x) dV = 0 (2.6)La ondition (2.5) est appelée ondition de normalisation et traduit la apa ité de la méthodeà reproduire un hamp onstant. La ondition (2.6) est généralement onsidérée omme satisfaiteen utilisant des fon tion kernel paires (symétriques). Elle garantie la reprodu tibilité des fon tionslinéaires. Dans es onditions la méthode de re onstru tion exposée i-dessus présente don unordre de pré ision spatiale égal à 2. Il est fondamental de omprendre dès à présent que dans le asoù le domaine d'intégration est tronqué, 'est-à-dire lorsque le point de re onstru tion x onsidéréest pro he de la frontière ∂Ω du domaine de al ul, les onditions (2.5) et (2.6) ne peuvent neplus être satisfaites ave une fon tion kernel W symmétrique, et don ette méthode simple dere onstru tion ne présente plus le même degré de pré ision.Re onstru tion du gradient de fL'un des atouts majeurs de SPH réside dans la possibilité qu'elle ore de al uler le gradientd'un hamp susamment ontinu à partir des valeurs dis rètes prises par le hamp en un ertainnombre de points de al ul sans avoir à faire d'hypothèse sur la répartition spatiale de es points.C'est par ette propriété que SPH est réellement une méthode sans maillage et qu'elle se distinguedes autres méthodes numériques.L'approximation du gradient se onstruit selon une te hnique similaire à elle exposée en (2.1)et (2.2). On peut don é rire :

〈∇f(x) 〉 =

∫

Ω∇f(x′)W (x − x′) dV (2.7)

2.1 Le formalisme SPH standard 21On réalise ensuite une intégration par parties pour obtenir :〈∇f(x) 〉 =

∫

Ω∇[f(x′)W (x − x′)

]dV −

∫

Ωf(x′)∇x′W (x − x′) dV (2.8)où ~n est le ve teur normal à la frontière ∂Ω orienté vers l'extérieur du domaine.Enn le théorème de Green permet de transformer la première intégrale en intégrale surfa iqueet on obtient :

〈∇f(x) 〉 =

∫

∂Ωf(x′)W (x − x′)~ndS −

∫

Ωf(x′)∇x′W (x − x′) dV (2.9)L'expression (2.9) présente don une ontribution surfa ique provenant de l'interse tion dudomaine d'intégration ave les limites du domaine de al ul et une ontribution volumique. Dansla plupart des appli ations on rètes de SPH, on privilégie l'utilisation de fon tion kernel à support ompa t ar elles sont bien plus e a es, e qui sera détaillé plus loin. On va don désormais onsidérer une fon tion kernel W à support ompa t et on introduit le paramètre h omme mesurede e support. On nomme également D(x) le support de la fon tion W au point x. L'expression(2.9) s'é rit don :

〈∇f(x) 〉 =

∫

∂D(x)f(x′)W (x − x′, h(x))~ndS

−∫

D(x)f(x′)∇x′W (x − x′, h(x)) dV

(2.10)où ∂D(x) est l'interse tion du domaine d'intégration D ave la frontière ∂Ω (voir gure 2.1).Dans le as d'un point situé susamment loin d'une frontière ∂Ω, l'utilisation d'un support om-pa t permet don d'avoir une ontribution surfa ique nulle. D'autre part, si on impose une ondi-tion limite de hamp identiquement nul, omme par exemple imposer une pression nulle en surfa elibre, alors la ontribution de l'intégrale de surfa e s'annule aussi pour les points de al ul pro hed'une telle frontière du domaine de al ul. Voilà pourquoi en formalisme SPH standard l'expression(2.10) est réduite à :〈∇f(x) 〉 = −

∫

D(x)f(x′)∇x′W (x − x′, h(x)) dV (2.11)ou en ore en utilisant la symmétrie de la fon tion kernel :

〈∇f(x) 〉 =

∫

D(x)f(x′)∇xW (x − x′, h(x)) dV (2.12)Consistan e de l'approximation du gradient de fLa formule 2.12 donne don la te hnique standard de re onstru tion du gradient de f . A nou-veau on peut s'intéresser à l'ordre de pré ision de ette te hnique en ee tuant un développementen série de Taylor et en ee tuant le produit de onvolution par ∇W , e qui donne en deux

22 La méthode numérique SPHPSfrag repla ements

i

∂Di

∂Ω

Domaine tronquéDi~n

Fig. 2.1: Domaine d'interpolation tronqué par la frontière du domaine d'étudedimensions d'espa e :〈∇f(x) 〉 = f(x)

∫

D∇W dV

︸ ︷︷ ︸

A

+∂f(x)

∂x

∫

D(x′ − x)∇W dV

︸ ︷︷ ︸

B

+∂f(x)

∂y

∫

D(y′ − y)∇W dV

︸ ︷︷ ︸

C

+1

2

∂2f(x)

∂x2

∫

D(x′ − x)2∇W dV

︸ ︷︷ ︸

D

+1

2

∂2f(x)

∂y2

∫

D(y′ − y)2∇W dV

︸ ︷︷ ︸

E

+∂2f(x)

∂x∂y

∫

D(x′ − x)(y′ − y)∇W dV

︸ ︷︷ ︸

F

+O(h2)

(2.13)

où ∇W = ∇x [W (x′ − x, h(x))]. Le hoix d'une fon tion kernel symmétrique permet alors de on lure que les intégrales notées A, B et C valent respe tivement (0 0)t, (1 0)t, et (0 1)t etque les autres intégrales D, E et F sont nulles. La formule (2.12) est don pré ise à l'ordre 2.Premier bilanLa formulation ontinue du formalisme SPH standard présente don au mieux une onsitan eà l'ordre 1, en onsidérant que la fon tion kernel est symmétrique et que son support n'est pastronqué. L'erreur est alors du se ond ordre en h. Cela signie que la méthode est apable dereproduire dèlement un hamp linéaire ou le gradient d'un hamp d'ordre 2. Si le support dela fon tion kernel, 'est-à-dire le domaine d'interpolation lo al, est tronqué, alors la méthodestandard est mise en défaut.

2.1 Le formalisme SPH standard 23La fon tion kernel joue bien sûr un role prépondérant dans ette te hnique d'interpolation. Onpeut déjà énumérer un ertain nombre de qualités essentielles qu'une telle fon tion doit posséder : être normalisée ( ondition 2.5) être paire ou symmétrique ( ondition 2.6) avoir un support ompa t (pour des raisons plus pratiques que théoriques) être positive sur tout son support être à dé roissan e monotone an de réaliser réellement une moyenne lo ale être une approximation de la fon tion de Dira :limh→0

W (x′ − x) = δ(x′ − x) être ontinue et dérivable (régulière).On onstate également que les propriétés de onsistan e de la méthode d'interpolation sont étroite-ment liées aux propriétés de la fon tion kernel. An d'envisager un ordre de onsistan e supérieur,il onvient d'étendre à un ordre quel onque la méthode d'analyse déjà utilisée i-dessus. On sup-pose don que f ∈ Cn(Ω) et on onsidère le développement en série de Taylor à l'ordre n de lafon tion f :〈 f(x′) 〉 =

n∑

k=0

(−1)k

k!hkf (k)(x)

(x − x′

h

)k

+ o

(x − x′

h

)n (2.14)puis par onvolution ave la fon tion kernel :〈 f(x′) 〉 =

n∑

k=0

∫

D

(−1)k

k!hkf (k)(x)

(x − x′

h

)k

W (x − x′, h) dx′

+ O

(x − x′

h

)n (2.15)Ainsi 〈 f(x) 〉 réalise une approximation de f(x) pré ise à l'ordre n si les onditions suivantessont satisfaites :M0 =

∫

DW (x − x′, h) dx′ = 1

∀ 1 ≤ k ≤ n, Mk =

∫

D(x − x′)kW (x − x′, h) dx′ = 0

(2.16)où Mk est appelé moment d'ordre k de la fon tion W .Les onditions (2.16) permettent don à priori d'atteindre exa tement un ordre de onsistan equel onque pour l'approximation ontinue (tout au moins à l'intérieur du domaine de al ul, ens'aran hissant des eets de tron ature du domaine d'interpolation) pourvu que l'on soit apablede onstruire de telles fon tions kernel, puisque es onditions ne portent que sur W . Un peuà la manière de e qui se fait ouramment dans la méthode des éléments nis, ette notion de onsistan e basée sur le degré de l'erreur est équivalente aux apa ités de reprodu tibilité desfon tions polynomes par ette te hnique d'interpolation. Une onsitan e à l'ordre n signie don que la méthode est apable de reproduire exa tement les polynomes de degré inférieur ou égal àn. Malheureusement si on examine pré isément le as d'un moment Mk d'ordre pair, (2.16)indique qu'il doit être nul, e qui est impossible à réaliser ave une fon tion W positive partout.Or il est impossible que la fon tion W prenne des valeurs négatives, ar ela amènerait à desvaleurs du hamp re onstruit éventuellement négatives en totale ontradi tion ave la physiquedu problème traité. Ainsi en formulation ontinue la méthode d'interpolation standard de SPH nepeut pas dépasser un ordre de onsistan e de 1.

24 La méthode numérique SPHPSfrag repla ements i

ht

Di

∆x

Fig. 2.2: Domaine d'interpolation en2D et points voisins

Fig. 2.3: Integration par la méthode des re -tangles : à gau he, dis rétisation grossière ; àdroite : dis rétisation ne2.1.2 Approximation parti ulaireLa deuxième étape de la méthode SPH est l'approximation des intégrales é rites pré édem-ment en formulation ontinue par des sommes dis rètes sur des points de dis rétisation distribuésaléatoirement. La méthode pratique revient à intégrer le produit f ∗ W par une méthode desre tangles, ou somme de Riemann. On obtient ainsi, pour le as d'un point x situé loin d'unefrontière ∂Ω :

〈 f(x) 〉 =

∫

Df(x′)W (x − x′, h) dx′

≈N∑

j=1

f(xj)W (x − xj , h)ωj

(2.17)〈∇f(x) 〉 =

∫

Df(x′)∇xW (x − x′, h) dx′

≈N∑

j=1

f(xj)∇xW (x − xj, h)ωj

(2.18)où N est le nombre de points de al ul situés à l'intérieur de D et ωj est le poids mathématiqueasso ié à haque point ( e poids est homogène à un volume en trois dimensions d'espa e). Lagure 2.2 illustre un domaine d'interpolation en 2D (ht le rayon de e domaine est proportionnelà h).L'erreur de e type de méthode d'intégration est en O(h2) dans le as d'une répartition spatialerégulière des points d'intégration (gure 2.3). Or dans les simulations numériques réelles, on nepeut faire au une hypothèse sur la régularité de la répartition spatiale des points de al ul si bienqu'il n'est pas aisé d'évaluer à priori la pré ision de la méthode.Des relations semblables à elles exposées en (2.16) permettent d'exprimer un ensemble de onditions dis rétisées né essaires pour garantir la onsistan e à un ordre n quel onque de l'ap-

2.1 Le formalisme SPH standard 25proximation parti ulaire du hamp :N∑

j=1

W (x − xj , h)ωj = 1

∀ 1 ≤ k ≤ n,N∑

j=1

(x − xj)k W (x − xj , h)ωj = 0

(2.19)Cet ensemble de onditions est né essaire pour assurer une onsistan e à l'ordre n du s hémadis rétisé nal. Or même si on suppose possible de onstruire une fon tion kernel satisfaisantles ondition 2.16 de la formulation ontinue, la satisfa tion des onditions 2.19 est loin d'êtreassurée à ause du ara tère irrégulier de la distribution des points. Par exemple pour annuler lemoment d'ordre 1, la formulation ontinue utilise la parité de la fon tion kernel sur un supportnon tronqué. En formulation parti ulaire il faudrait de plus supposer que la distribution des pointssoit rigoureusement symétrique autour du point onsidéré.2.1.3 Fon tions d'interpolationL'étude rapide des propriétés de la te hnique d'interpolation utilisée en SPH souligne le rle entral que joue la fon tion d'interpolation dans le omportement global de ette méthode nu-mérique, à la fois en termes de pré ision et de sensibilité à la ditribution spatiale des points de al ul (stabilité). Parmi les ara téristiques prin ipales qu'une telle fon tion doit présenter, onrappelle qu'elle doit notamment être positive, paire et normalisée. Un premier hoix naturel estd'introduire une fon tion kernel de type gaussien donnée pour une dimension d'espa e par :W (x, h) =

1

h√

πexp−

(x2

h2

) (2.20)Le kernel gaussien présente une grande régularité et sa dérivée s'obtient rapidement à partir de lavaleur de la fon tion, e qui peut s'avérer intéressant pour diminuer le temps de al ul. Il s'agitpar ailleurs d'une bonne approximation de la fon tion Dira si on diminue fortement le paramètreh. Néanmoins il s'agit d'une fon tion à support inni, e qui d'un point de vue pratique entraînela né essaire prise en ompte de tous les points de al uls de l'espa e dis rétisé lors du al ul du hamp ou de son gradient. L'algorithme général présente alors une omplexité en N2 où N est lenombre total de points de al ul, e qui représente un oût bien trop élevé pour rendre la méthodee a e et on urrentielle. Voilà pourquoi les implémentations pratiques de SPH ont re ours à desfon tions kernel à support ompa t.Il existe une grande variété de fon tions kernel dans la littérature, néanmoins les fon tions detype B-splines s'imposent omme les plus fréquement utilisées. Ce sont des fon tions polynomialesqui appro hent la fon tion de Gauss sur un support ompa t. En hoisissant d'augmenter le degrédu polynome on peut améliorer le stabilité du s héma d'interpolation ar on augmente alors larégularité de la dérivée se onde du kernel. Cette notion de stabilité ne doit pas être onfondueave la stabilité d'une méthode numérique ave évolution temporelle mais est à rappro her de e que l'on nomme "tensile instability". Cette instabilité est un phénomène lié à la forme de lafon tion kernel et qui se traduit par une agrégation non physique des points de al ul entre euxsous ertaines onditions portant sur la distan e entre les points et sur les ontraintes physiquesappliquées. Une des ription détaillée de e phénomène peut être trouvée dans ([63). Les fon tionskernel de type B-splines s'é rivent généralement sous la forme :

W (x, h) =C

hdf(x

h

) (2.21)

26 La méthode numérique SPHoù d représente le nombre de dimensions spatiales. C est une onstante qui assure la propriété denormalisation.Monaghan et Lattanzio ([50) ont ainsi déni le B-spline kernel d'ordre 3 par :f(q) =

1 − 3

2q2 +

3

4q3 si 0 ≤ q ≤ 1

1

4(2 − q)3 si 1 ≤ q ≤ 2

0 sinon

(2.22)pour lequel la onstante C prend les valeurs 2/3, 10/7π et 1/π en une, deux et trois dimensionsd'espa e. Le domaine d'interpolation est alors un disque (en 2D) ou une sphère (en 3D) de rayon2h. Le B-spline kernel d'ordre 4 est quant à lui déni par :

f(q) =

(5

2− q

)4

− 5

(3

2− q

)4

+ 10

(1

2− q

)4

si 0 ≤ q ≤ 0.5

(5

2− q

)4

− 5

(3

2− q

)4

si 0.5 ≤ q ≤ 1.5

(5

2− q

)4

si 1.5 ≤ q ≤ 2.5

0 sinon

(2.23)La onstante C prend alors les valeurs 96/1199π en 2D et 1/20π en 3D.Enn Morris ([54) a introduit un B-spline kernel d'ordre 5 dont la dénition est :

f(q) =

(3 − q)5 − 6 (2 − q)5 + 15 (1 − q)5 si 0 ≤ q ≤ 1

(3 − q)5 − 6 (2 − q)5 si 1 ≤ q ≤ 2

(3 − q)5 si 2 ≤ q ≤ 3

0 sinon

(2.24)La onstante C vaut alors 7/478π en 2D et 1/120π en 3D.L'intérêt d'augmenter l'ordre de la fon tion kernel est lairement relié aux propriétés de sta-bilité de la méthode. Les gures 2.4 et 2.5 montrent les graphes de la fon tion W et des dérivéespremière et se onde des kernels B-spline et gaussien. Clairement les B-splines d'ordre élevé sontune meilleure approximation du kernel gaussien et leur dérivée se onde est bien plus régulière, e qui rend le s héma d'interpolation moins sensible aux désordres de la répartition spatiale despoints de al ul. En outre la taille du domaine d'interpolation augmente aussi (passant de 2h pourle B-spline kernel d'ordre 3 à 3h pour elui d'ordre 5) e qui ltre d'autant plus les perturbationsde hautes fréquen es spatiales et améliore la stabilité. Néanmoins on réalise ainsi un lissage plusimportant du hamp e qui peut nuire à la pré ision dans les zones de fort gradient.Formellement la fon tion kernel joue don un rle semblable aux fon tions de forme utiliséesdans la méthode des éléments nis ou aux s hémas numériques des méthodes de diéren es nieset de volumes nis. Ainsi il est tout à fait envisageable d'utiliser diérentes fon tions kernel selonle type d'équation à résoudre et le hamp onsidéré. Dans le as d'un s héma d'intégration tem-porelle à deux pas de type Lax-Wendro, Monaghan ([47) évoque ainsi la possibilité d'utiliser unkernel standard pour le premier pas (prédi teur) et un kernel plus pré is pour le deuxième pas ( or-re teur). Néanmoins peu de travaux semblent avoir été menés dans ette dire tion, ertainementà ause du oût à priori désavantageux de al uler deux fon tions kernels.

2.1 Le formalisme SPH standard 27

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Spline kernel d’ordre 3 Spline kernel d’ordre 4 Spline kernel d’ordre 5 Kernel gaussien

PSfrag repla ementsx/h

W

Fig. 2.4: Fon tions kernels ourantes

-0.5

-0.45

-0.4

-0.35

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Spline kernel d’ordre 3 Spline kernel d’ordre 4 Spline kernel d’ordre 5 Kernel gaussienPSfrag repla ementsx/h

dW dx

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Spline kernel d’ordre 3 Spline kernel d’ordre 4 Spline kernel d’ordre 5Kernel gaussienPSfrag repla ementsx/h

d2W

dx2

Fig. 2.5: Dérivée première (à gau he) et se onde (à droite) des fon tions kernels ourantes

28 La méthode numérique SPH2.1.4 Convergen e de la méthode d'interpolationLa méthode SPH peut don être reliée assez aisément aux méthodes numériques tradition-nelles, mais il est intéressant de noter qu'elle présente ertains aspe ts très originaux dont l'unest de faire intervenir deux paramètres de dis rétisation spatiale. En eet omme toute méthodenumérique, elle utilise une dis rétisation de l'espa e de al ul ara térisée par une ertaine é hellede longueur que l'on notera ∆ x (gure 2.2) et qui est une distan e moyenne entre les parti ules.Ce i orrespond par exemple à un espa ement moyen des points de al ul et est semblable àune taille de maille pour les méthodes de type éléments ou volumes nis. Mais la méthode SPHfait également intervenir un se ond paramètre qui est la taille du domaine d'interpolation et quiest proportionnel à la longueur de lissage h. Ce dernier paramètre permet de ontrler le nombremoyen de points voisins utilisés dans le s héma d'interpolation. Comme toute méthode numérique,la méthode SPH est dite onvergente si la solution dis rète obtenue après résolution des équationsdis rètes dé rivant l'é oulement tend vers la solution exa te lorsque la taille d'é hantillonage ∆xde l'espa e de al ul tend vers zéro. En même temps la relation 2.2 tend vers la solution exa tesi la fon tion kernel est une bonne approximation de la fon tion de Dira lorsque h tend verszéro. Enn la formule de quadrature utilisée en 2.17 est onsistante dans la limite où le nombre depoints de al ul utilisés pour al uler l'intégrale est inni. En résumé la onvergen e de la méthodeSPH est assurée si les trois relations suivantes sont simultanément satisfaites :

∆ x → 0

h → 0

h

∆ x→ ∞

(2.25)En pratique pour des raisons évidentes de oût de al ul on travaille ave des ratios h/∆ x nis.Il n'existe pas exa tement de valeur optimale pour le nombre de voisins à prendre en ompte,néanmoins Doring ([12) et Oger ([15) ont montré qu'en deux dimensions d'espa e la valeurh/∆ x = 1.23 semblait être un bon hoix. Ce hoix orrespond à une vingtaine de points voisins ontenus dans le domaine d'interpolation et parti ipant à la formule de quadrature. Mais es ré-sultats sont di ilement généralisables à une répartition quel onque de points de al ul si bienque par expérien e numérique e paramètre prend sa valeur entre 1.2 et 2. Néanmoins ela montreque même dans un as non défavorable où la répartition des points de al ul est régulière, la mé-thode SPH ne présente pas l'ordre de onvergen e de 2 théoriquement atteignable pour un hamplinéaire. C'est pourquoi un hamp de re her he très a tif on erne les te hniques de orre tionde la méthode d'interpolation et lient SPH à une grande variété de méthodes numériques sansmaillage.2.1.5 Te hniques de orre tion du kernelL'ordre de onvergen e assez faible que présente la méthode d'interpolation standard de SPH amotivé un grand nombre de travaux et donné naissan e à des méthodes numériques sans maillagevariées. Les méthodes présentées i-dessous her hent à atteindre une pré ision plus élevée enenri hissant la fon tion kernel an de lui donner des propriétés plus satisfaisantes.Une méthode générale de onstru tion d'une fon tion kernelDans [19, Liu et Liu exposent une méthode générale de onstru tion d'une fon tion kernelsatisfaisant exa tement un ordre de onsistan e donné. Pour ela l'idée prin ipale est de orriger

2.1 Le formalisme SPH standard 29dire tement l'approximation parti ulaire du hamp an de tenir ompte de la répartition spa-tiale des points de al ul. Ils proposent d'é rire la fon tion kernel sous la forme d'un polynomed'expression générale :W (x − xj, h) =

n∑

I=0

bI(x, h)

(x − xj

h

)I (2.26)où n est à la fois le degré du polynome W mais aussi le degré de onsistan e re her hé. Les onditions de normalisation (2.19) permettent alors d'é rire le système suivant :

n∑

I=0

bI(x, h)

N∑

j=1

(x − xj

h

)I

ωj = 1

n∑

I=0

bI(x, h)

N∑

j=1

(x − xj

h

)I+1

ωj = 0...n∑

I=0

bI(x, h)N∑

j=1

(x − xj

h

)I+n

ωj = 0

(2.27)En utilisant la notation mk(x, h) =

∑Nj=1

(x−xj

h

)kωj la résolution du système (2.27) revient àrésoudre le système matri iel suivant :

m0 m1 · · · mn

m1 m2 · · · mn+1... ... . . .mn mn+1 mn+n

·

b0

b1...bn

=

10...0

(2.28)soit en ore M · b = I ave M une matri e symétrique. L'existen e d'un ve teur solution b estassurée si M n'est pas singulière, e qui revient à poser ertains ritères sur la géométrie de ladistribution des points de al uls dans le voisinage du point x onsidéré. La fon tion kernel ainsi onstruite est lo ale et dépend de la répartition des points de al ul, elle doit don être al uléeà haque pas de temps pour tous les points de al ul. Mais la fon tion kernel ainsi obtenue violeune grande partie des propriétés essentielles énon ées pré édemment : elle n'est pas à support ompa t, 'est-à-dire que le ra ordement à zéro au bord du domained'interpolation n'est pas ontinu elle peut ne pas être à dé roissan e monotone elle n'est pas symétrique elle peut être négative sur une partie de son domaine de dénition.Cette méthode n'est don pas satisfaisante en pratique. L'idée d'adapter la fon tion kernelà la répartition lo ale des points de al ul est une bonne hose, mais la forme de la fon tionkernel re her hée telle qu'exprimée en (2.26) n'est pas adaptée. Une autre voie visant à orrigerles fon tions kernels ourantes en fon tion de la répartition spatiale des points de al ul semblentbien plus appropriée.La méthode RKPMLa méthode Reprodu ing Kernel Parti le Methods a été exposée par Liu, Jun et Zhang dans[37. Cette méthode se propose de orriger les fon tions kernels existantes en fon tion de la répar-tition lo ale des points de al ul et des onditions de onsistan e. On suppose tout d'abord que

30 La méthode numérique SPHle hamps u ( hamps s alaire an de simplier les notations) que l'on her he à interpoler est dela forme polynomiale suivante :u(x) =

m∑

i=1

Pi(x)ci (2.29)où les Pi, i = 1 . . . m forment une base de polynomes de degré maximum m. En notation ve torielleon peut é rire : u(x) = P (x).c. On omprend dès lors que la méthode revient à her her laproje tion du hamp solution sur l'espa e des polynomes. On onsidère ensuite une fon tion fenêtreΦ(x) dénie sur son support B et la fon tion Φab(x) = E(a)Φ

(x−ba

) obtenue par translation etdilatation de Φ et de support B(x). Il s'agit d'une généralisation des fon tions B-spline que l'onutilise habituellement en SPH.On dénit enn une "transformée intégrale 1" par la fon tion fenêtre qui s'é rit pour toutefon tion réelle u :〈u,Φab〉 =

∫

ΩΦab(x)u(x)dx (2.30)et l'approximation re her hée de u est alors par dénition :

u(x) = 〈u,Φax〉 =

∫

ΩE(a)Φ

(y − x

a

)

u(y)dy (2.31)An de trouver les oe ients ci on s'intéresse à l'expression suivante :〈P T u,Φax〉 = 〈P T Pc,Φax〉 = 〈P T P,Φax〉 c (2.32)et on résoud le système par :

c = M−1(x) 〈P T u,Φax〉 (2.33)où la matri e M est donnée par :M = 〈P T P,Φax〉 =

∫

ΩP T (y)P (y)Φax(y)dy (2.34)La solution appro hée que fournit ette méthode est nalement donnée par :

u(x) = 〈PM−1P T u,Φax〉 =

∫

Ωk(a, x, y)u(y)dy (2.35)où k(a, x, y) = kax(y) = C(a, x, y)Φax(y) est la nouvelle fon tion kernel. Elle s'é rit omme leproduit de la fon tion fenêtre Φ par une fon tion de orre tion donnée par :

C(a, x, y) = P (x)M−1(x)P T (y) (2.36)On montre alors que si u est une fon tion polynome ( 'est-à-dire si u orrespond à sa proje tionsur la base P) alors on a u(x) = u(x) et don la onsistan e de l'approximation ontinue en RKPMest d'ordre m où m est le degré maximum des Pi. Si on se limite au premier ordre, on montre quela fon tion de orre tion s'é rit :C(a, x, y) = C1(a, x) + C2(a, x).

(y − x

a

) (2.37)et les fon tions C1 et C2 se al ulent en fon tion des moments de la fon tion Φ. La fon tion fenêtreétant paire, si le domaine d'interpolation n'est pas tronqué, alors on a C1 = 1 et C2 = 0. Ainsi la1Tradu tion dire te de l'appelation utilisée par les auteurs

2.1 Le formalisme SPH standard 31

b b b b b b b b b b b

Fon tionskernel"RKPM"

Points de dis rétisationFig. 2.6: Corre tion des fon tions kernel aux frontières du domaine d'étude par la méthodeRKPM.méthode RKPM est présentée omme n'apportant des modi ations qu'au niveau des frontièresdu domaine de al ul, et serait identique à SPH à l'intérieur du domaine (voir le gure 2.6).L'existen e de la fon tion de orre tion est néanmoins soumise à une ondition de non singularitéde la matri e M . De plus, les moments de Φ étant en pratique al ulés de manière dis rètesur une distribution de points irrégulière, la parité de Φ n'est pas susante pour déterminer le omportement de es moments et ette méthode apporte ee tivement une orre tion en toutpoint et pas seulement pour les points pro hes d'une frontière.Si on her he à obtenir une ordre de onsistan e plus élevé, on omprend bien à nouveauque la fon tion de orre tion devra alors prendre des valeurs négatives, la fon tion kernel nesera don pas positive sur tout son support. La méthode RKPM apporte néanmoins une netteamélioration par rapport à la méthode présentée pré édemment. L'idée d'apporter une orre tionaux fon tions kernels existantes (de type fon tion fenêtre) permet d'obtenir des fon tions kernelsqui sont réellement à support ompa t (ra ordement à zéro au bord de son domaine de dénition)puisque la fon tion de orre tion est ontinue.Moving Least SquaresLa méthode RKPM s'inspire en fait très largement d'une méthode assez répandue aux Etats-Unis nommée Moving Least Squares ou MLS ([10,[11 et [2). Elle onsiste, de la même façon quepour RKPM, à appro her la solution par sa proje tion sur une base de polynmes en garantissantl'exa titude de ette approximation jusqu'à un ertain degré. La fon tion kernel doit alors être orrigée lo alement an de respe ter les onditions de reprodu tibilité des fon tions polynmes.Cela est réalisé en minimisant une forme quadratique représentant le résidu de l'approximation.Les deux méthodes se diéren ient seulement à la marge, à travers le hoix de produit s alaire(appelé transformée intégrale en RKPM ) et de fon tion régularisante. La méthode MLS présentedon les même limites que elles énon ées i-dessus en terme d'augmentation de la pré ision audelà de l'ordre 1.2.1.6 BilanLa méthode SPH est don avant tout un outil mathématique apable de manipuler des donnéesdis rètes sur un ensemble de points de dis rétisation désordonnés. Cela la rend parti ulièrementsouple d'utilisation et lui permet notamment de gérer des maillages en grande déformation. Elleapparait ainsi appropriée à la onstru tion d'une méthode numérique lagrangienne. En eet l'un

32 La méthode numérique SPHdes prin ipaux é ueils auxquels est onfrontée l'appro he lagrangienne est la di ile adaptationdes méthodes numériques traditionnelles à un désordre pronon é des points d'é hantillonage. Cettesouplesse d'utilisation s'a ompagne ependant d'une pré ision théorique assez faible, qui ne peutêtre ompensée en général par un ranement lo al de la distribution des points de al ul puisque eux- i sont libres de se dépla er. Dans la se tion suivante nous allons voir omment SPH a donnénaissan e à une méthode numérique lagrangienne pour la simulation des é oulements uides.2.2 Adaptation pour la mé anique des uidesL'état a tuel de la onnaissan e s ientique onsidère que la meilleure des ription ma ro-s opique des é oulements de uides newtoniens dont on dispose est formée par le système deséquations de Navier-Stokes. Ce système d'équations traduit la onservation des trois grandeursphysiques que sont la masse, la quantité de mouvement et l'énergie. Ce système peut s'é rire soussa forme dite non onservative suivante :

dρ

dt+ ρ∇.v = 0

ρdv

dt= −∇p + ∇.τ + ρfe

ρde

dt= −p∇.v + (τ.∇) v + ∇. (k∇T ) + qc

(2.38)où e est l'énergie interne, τ est le tenseur des ontraintes visqueuses, T la température, fe une for eextérieure volumique et qc une sour e de haleur. Les propriétés intrinsèques du uide onsidéréinterviennent à travers la onstante de ondu tion thermique k et la vis osité du uide µ ave τ = µ

[∆v + 1

3∇. (∇.v)] si µ est onstant. Le uide détermine également l'équation d'état qui estune relation liant les grandeurs pression p, densité ρ et la température ou l'énergie et que l'oné rit sous une forme générale e = e(p, ρ).On dispose don d'une des ription mathématique d'un é oulement uide à travers un systèmefermé d'équations aux dérivées partielles. Malheureusement e système est non linéaire si bienqu'une résolution exa te est impossible, sauf dans des as parti uliers et au prix d'un ertainnombre d'hypothèses simpli atri es. C'est la raison pour laquelle on tente d'appro her la solutionà travers des simulations numériques. Le but n'est plus alors d'obtenir une solution analytique del'é oulement mais d'obtenir une approximation des hamps de pression, vitesse, température, . . .en un ertain nombre de points de l'espa e et pour ertains instants. C'est e que l'on appelle lasolution dis rète.Dans le but de onstruire une méthode numérique e a e, il onvient tout d'abord d'analy-ser le type d'é oulement que l'on her he à représenter. En eet les équations de Navier-Stokespermettent une représentation très ri he des phénomènes en jeu, mais ette ri hesse se traduità la fois par des di ultés de modélisation mais aussi par un oût de al ul plus élevé. Toutd'abord nous her hons à simuler des é oulements d'eau sans phénomènes thermiques majeurs(notamment sans sour e de haleur). L'équation de onservation de l'énergie montre don queseuls les termes de ompressibilité et de ontraintes visqueuses sont sus eptibles de modier latempérature. Or l'eau est un liquide, il peut don être onsidéré omme in ompressible (ou trèsfaiblement ompressible). D'autre part la vis osité molé ulaire de l'eau est très faible. Enn la apa ité alorique de l'eau est élevée, il faut don une forte variation de l'énergie interne pourque la température varie signi ativement. Tous es arguments militent pour onsidérer que latempérature est onstante dans l'é oulement. Cela permet de retirer l'équation de onservation

2.2 Adaptation pour la mé anique des uides 33de l'énergie du système d'équations à résoudre. On remarque alors qu'il est né essaire de hoisirune loi d'état barotrope :e = e(p, ρ) = cste → p = p(ρ) (2.39)Intéressons-nous maintenant au tenseur des ontraintes visqueuses. L'équation de onserva-tion de la quantité de mouvement montre que la variation de vitesse de l'é oulement résulte del'inuen e du gradient de pression perçu, du transport onve tif et de la diusion visqueuse. Ilest ourant de omparer l'importan e respe tive de ha un de es deux derniers termes au traversd'un nombre sans dimension appelé nombre de Reynolds et qui s'é rit :

Re =ρV L

µ=

V L

ν(2.40)où V et L sont des é helles ara téristiques de vitesse et de longueur dans l'é oulement et ν est lavis osité molé ulaire du uide. Le nombre de Reynolds est don le rapport des termes onve tifssur les termes visqueux. Si on onsidère l'é oulement dans une turbine Pelton de laboratoire(modèle réduit) on a typiquement une é helle de vitesse de 20m/s qui est la vitesse du jet ensortie d'inje teur et une é helle de longueur de 10 cm qui orrespond approximativement à la tailled' un auget.La vis osité molé ulaire de l'eau est d'environ ν = 10−6 m2/s e qui onduit à unnombre de Reynolds Re = 2.105. Il s'agit d'une valeur élevée qui montre que les termes onve tifssont nettement prépondérant ou à l'inverse que les termes visqueux sont négligeables. On peutdon onsidérer que leur inuen e dans e type d'é oulement est susament marginale pour queleur omission n'entame pas signi ativement la qualité du résultat obtenu, tout au moins pour e qui on erne le hamp de pression. Néanmoins il faut bien avoir à l'esprit que e faisant unepartie seulement des phénomènes intervenant dans l'é oulement est représentée. Dans le as de laturbine Pelton, on ne tient ainsi pas ompte des pertes par frottement sur la surfa e de l'augetqui sont pourtant à l'origine d'une diminution du rendement de la ma hine.Partant des équations de Navier-Stokes, les hypothèses simpli atri es qui ont été faites per-mettent de dé rire les é oulements qui nous intéressent sous la forme d'un système d'équationsplus simple appelé système des équations d'Euler pour un é oulement isotherme. Ce système peuts'é rire sous la forme non onservative suivante :

∂ρ

∂t+ [v.∇] ρ = −ρ∇.v

∂v

∂t+ [v.∇] v = −1

ρ∇p + fe

(2.41)Ces équations sont é rites dans un repère xe et traduisent don une des ription eulériennede l'é oulement. Dans le adre d'une des ription lagrangienne, le repère est lié à l'é oulement etle système (2.41) s'é rit alors :

Dρ

Dt= −ρ∇.v

Dv

Dt= −1

ρ∇p + fe

(2.42)où D.Dt est une dérivée lagrangienne aussi appelée dérivée totale par rapport au temps. C'est esystème d'équations qui va servir de base à la onstru tion de la méthode numérique SPH pourla simulation d'é oulements à surfa e libre.

34 La méthode numérique SPH2.2.1 Méthode SPH standard pour la résolution des équations d'EulerLes outils mathématiques présentés pré édemment peuvent être utilisés an de résoudre numé-riquement le système d'équations (2.42). On suppose tout d'abord que l'on dispose d'un ensemblede points de al ul xi réalisant une dis rétisation satisfaisante du uide étudié. Chaque point estdoté de ses propres valeurs de vitesse vi, densité ρi et pression pi. On attribue également à ha unde es points un volume élémentaire ωi que l'on appelle aussi poids. Très lassiquement la mé-thode numérique SPH omporte deux étapes : un al ul des termes spatiaux an de transformerles équations aux dérivées partielles (EDP) en équations diérentielles ordinaires (ODE) puis uneintégration en temps des ODE obtenues.Mouvement lagrangienDans le as d'une des ription lagrangienne les points de al ul doivent se dépla er ave l'é ou-lement, on a don :dxi

dt= vi (2.43)An d'améliorer la qualité des simulations, notamment dans le adre des é oulements à surfa elibre, Monaghan ([46) a introduit un hamp de transport lissé appelé variante XSPH et qui onsiste à rempla er l'équation (2.43) par l'équation suivante :

dxi

dt= vi

XSPH = vi + ǫ∑

j∈Di

(vj − vi)W (xi − xj)ωj (2.44)Puisque le "maillage" se déforme, les poids doivent également évoluer en suivant la transfor-mation géométrique, e qui se traduit par l'équation d'évolution suivante :Dωi

Dt= ωiJ = ωi (∇.v)i (2.45)où J est le ja obien de ette transformation géométrique, ou déformation du "maillage". Cetteévolution des poids traduit le fait que lors de la transformation géométrique, les volumes élémen-taires s'adaptent an de ompenser le mouvement relatif des points de al ul. De ette manière ladis rétisation de l'espa e physique reste satisfaisante si tel était le as initialement. À e niveauune omparaison intéressante est à faire ave d'autres méthodes à maillage déformable (pas né es-sairement lagrangiennes) omme les volumes nis mobiles ([27, [26,[8,[9). Ces méthodes utilisenten eet beau oup d'informations géométriques liées au maillage (aire et normale des surfa es de onta t entre les mailles par exemple), e qui rend la gestion de la déformation du maillage bienplus lourde et onéreuse (et dangereuse ompte tenu des ontraintes liées au fa teur de forme desmailles et qui interdisent les grandes distorsions). SPH quant à elle utilise seulement la positiondes points de al ul et le volume des mailles. C'est pourquoi elle n'a besoin que du determinantde la matri e ja obienne là où les autres méthodes "à maillage" ont besoin de tous les termes dela matri e ja obienne.Plus intéressant d'un point de vue pratique, on s'aperçoit qu'en ombinant l'équation (2.45)ave l'équation de ontinuité, la quantité ρiωi = mi est onstante au ours du temps pour ha undes points de dis rétisation. Cette grandeur étant homogène à une masse, on l'appelle masseatta hée au point de al ul. Il s'agit d'un point assez fondamental pour la méthode SPH. Toutd'abord elle implique une onservation globale forte de la masse puisque elle- i est onservéelo alement pour haque point. Ensuite elle permet d'attribuer un sens physique, peut-être abusif,aux points de al ul ar désormais nous les appellerons parti ules. En eet les points de al ul

2.2 Adaptation pour la mé anique des uides 35se voient doter d'une vitesse propre, se dépla ent en suivant l'é oulement et transportent unemasse élémentaire : on peut don les assimiler à des parti ules de uide. Néanmoins il faut garderà l'esprit qu'il s'agit de parti ules ma ros opiques onstituées d'un nombre très important demolé ules d'eau et que les grandeurs atta hées (vitesse, éventuellement température) sont desmoyennes statistiques. D'ailleurs la densité omme la pression sont des grandeurs ma ros opiquesqui permettent de dé rire un milieu ontinu. Cependant ette interprétation de SPH omme unproblème à N orps (voir son origine astrophysique), dans lequel les orps exer ent les uns surles autres des for es d'intera tion (résultant du hamp de pression) est très répandue dans la ommunauté SPH et explique sans au un doute sa popularité et la fa ilité ave laquelle etteméthode peut être abordée, même pour un novi e de la simulation numérique.Equation de quantité de mouvementOn peut appliquer dire tement l'opérateur de dérivation dis ret exposé en (2.18) e qui donne :Dvi

Dt= − 1

ρi

∑

j∈Di

mj

ρjpj.∇iWij + fe (2.46)où ∇iWij = ∇|xi

W (xi−xj , h). Cette formulation n'est pourtant pas utilisable en l'état et onduità des simulations impré ises et instables. En eet ette équation traduit la onservation de laquantité de mouvement, mais on onstate aisément que l'inuen e (la for e) exer ée par la parti ulej sur i n'est pas à priori égale à l'inuen e exer ée par la parti ule i exer e sur j :

Fi→ j =mj

ρiρjpj∇iWij 6= Fj → i =

mi

ρiρjpi∇iWij (2.47)Il s'agit en quelque sorte d'une violation du prin ipe d'a tion-réa tion. Aussi il onvient d'utiliserune formulation qui respe te mieux les lois de la physique, par exemple en utilisant une formesymétrique par rapport aux parti ules i et j. Une telle symétrisation est aisément obtenue enréarrangeant les équations du mouvement. En eet un al ul de dérivation élémentaire montreque :

∇p

ρ=

p

ρσ∇(

1

ρ 1−σ

)

+ ρσ−2∇(

p

ρσ−1

) (2.48) e qui permet de onstruire une innité de formulations symétriques selon la valeur du paramètre σ hoisi. Ainsi l'équation de quantité de mouvement dis rétisée s'é rit :Dvi

Dt= −

∑

j∈Di

mj

(

pi

ρσi ρ 2−σ

j

+pj

ρ 2−σi ρσ

j

)

∇Wij + fe (2.49)Equation de ontinuitéComme pré édemment il onvient de réarranger préalablement l'équation de ontinuité enremarquant tout d'abord que :ρ∇v =

∇(ρσ−1v) − v∇ρσ−1

ρσ−2(2.50)On obtient ainsi la forme adéquate de l'équation de ontinuité dis rétisée :

Dρi

Dt=∑

j∈Di

mj

(

vi − vj

ρσ−2i ρ 2−σ

j

)

∇Wij (2.51)

36 La méthode numérique SPHChoix d'une formulationL'implémentation pratique de la méthode né essite de hoisir parmis es formulations symé-trisées nombreuses. Bonet ([4) et plus ré emment Oger ([15) ont montré que les dis rétisationsdes deux équations de onservation onsidérées sont étroitement liées et doivent don être hoi-sies onjointement. An de satisfaire une ondition de onsistan e du s héma dis rétisé global il onvient alors de hoisir la même valeur du paramètre σ dans les deux équations. On trouve alorsles deux formulations lassiquement ren ontrées dans la littérature. La première est notammentutilisée par Monaghan et utilise σ = 2, e qui donne les deux équations suivantes :

Dρi

Dt=∑

j∈Di

mj (vi − vj)∇Wij

Dvi

Dt= fe −

∑

j∈Di

mj

(

pi

ρ2i

+pj

ρ2j

)

∇Wij

(2.52)La se onde formulation utilise σ = 1 et est privilégiée notamment par Vila ([70) et Colagrossi([7). On obtient alors le système d'équations dis rètes suivant :

Dρi

Dt= ρi

∑

j∈Di

mj

ρj(vi − vj)∇Wij

Dvi

Dt= fe −

∑

j∈Di

mj

(pi + pj

ρiρj

)

∇Wij

(2.53)Ces deux formulations oexistent dans la littérature même si la première est peut-être plus répan-due ar popularisée par Monaghan. Néanmoins on peut remarquer à partir des formules (2.48)et (2.50) que la formulation utilisant σ = 1 est la seule qui ne fasse pas intervenir ∇ρ. Ogersouligne que ette parti ularité la rend à priori plus adaptée pour des simulations d'é oulementsmultiphasiques.Equation d'état faiblement ompressibleComme déjà mentionné pré édemment, la fermeture du système d'équations né essite une re-lation permettant de al uler la pression. La simpli ation du système d'équations initial entrainené essairement le hoix d'une équation d'état de type barotrope où la pression est une fon tionde la densité uniquement. Le omportement de l'eau est ainsi lassiquement simulé en SPH parl'équation de Tait ([64) donnée par :pi =

ρ0c20

γ

[(ρi

ρ0

)γ

− 1

] (2.54)où les grandeurs ρ0 et c0 représentent respe tivement la densité de référen e de l'eau et la vitesse duson dans l'eau. Le paramètre γ vaut 7. Il s'agit d'une loi d'état dé rivant un uide ompressibledont la ompressibilité est prin ipalement déterminée par la valeur hoisie pour la vitesse duson. Or on onsidère en général que l'eau liquide, dans des é oulements lassiques, se omporte omme un uide in ompressible. L'équation de Tait est apable de reproduire assez dèlement e omportement réel si elle est utilisée ave la vraie vitesse de propagation du son dans l'eauqui se situe autour de 1500m/s. Mais dans le adre d'une utilisation pratique dans une méthodenumérique, un tel hoix ne peut pas être fait. En eet, omme nous le verrons par la suite,

2.2 Adaptation pour la mé anique des uides 37l'intégration en temps du système d'équations dis rétisées utilise un in rément temporel (pas detemps) dont la valeur est limitée vers le haut par la valeur de la vitesse du son. Cette onditionentraine alors un pas de temps bien plus petit que e que la dynamique de l'é oulement seuleimposerait. An de rendre plus e a e la méthode numérique, il onvient d'étudier les possibilitésd'utiliser une valeur plus faible pour la vitesse du son dans l'eau.Si on onsidère un é oulement ompressible, les variations de densité peuvent être dire tementreliées au arré du nombre de Ma h qui est le rapport de la vitesse de l'é oulement sur la vitessedu son. Ainsi si le nombre de Ma h reste inférieur à 0.1 partout dans l'é oulement, les variationsde densité restent inférieures à 0.01 soit 1%. Ce i onstitue une erreur a eptable dans la plupartdes as d'étude réels. Il est don lassique en SPH de hoisir une vitesse du son "numérique" etnon physique qui soit de l'ordre de dix fois la vitesse maximale dans l'é oulement. Le paramètre c0est don un paramètre dépendant du as traité et la modélisation globale est faiblement ompres-sible. En pratique e paramètre c0 peut avoir une inuen e onsidérable sur le déroulement d'unesimulation numérique. En eet le ritère énon é plus haut peut s'avérer insusant, par exempledans le as d'é oulements onnés où la dynamique reste assez faible mais où les lignes de ourantsont fortement ourbées. On peut alors observer des zones vides de parti ules. Le hoix d'unevitesse du son plus élevée que pré onisée permet alors de orriger le phénomène ([35).Cette équation d'état dé rit don un é oulement faiblement ompressible isentropique. Cedernier point a été ré emment investigué par Molteni dans [45. Il a mené une simulation simple,la rupture de barrage (le as test est dé rit plus loin dans e manus rit) ave l'algorithme SPHstandard présenté jusqu'i i mais auquel il a ajouté l'équation de l'énergie. Il montre alors qu'il ya une produ tion d'énergie interne non négligeable dans le uide dans les régions où le gradientde pression est élevé. Il propose ainsi de modier non pas l'équation d'état mais la vitesse du sonen tenant ompte de ette variation d'énergie interne. On pourrait alors adapter la vitesse du sonselon les régions de l'é oulement et ainsi optimiser la harge de al ul. Ces travaux sont en ore enphase exploratoire mais montrent que les impli ations des hoix de modélisation sont omplexeset que leur meilleure ompréhension peut améliorer l'e a ité de la méthode numérique.Il faut enn noter que e hoix de modélisation n'est pas unique. Il est en eet possibled'utiliser SPH dans le adre d'une méthode numérique rigoureusement in ompressible. Le systèmed'équation se réduit alors à l'équation de onservation de la quantité de mouvement. La pressionrésulte quant à elle de la résolution d'une équation de Poisson annexe visant à assurer un hampde vitesse à divergen e nulle. Des travaux dans e sens ont été menés par EDF et l'université deMan hester ([36), et des résultats intéressants ont été montrés pour des é oulements onnés.Néanmoins l'utilisation d'un tel algorithme dans le adre d'é oulements à surfa e libre est trèsdéli ate à ause de la déte tion de la surfa e libre et des onditions limites de pression et de vitessequ'il est né essaire d'imposer sur elle- i.2.2.2 Conditions limitesLe traîtement des onditions limites est un réel problème en SPH et un frein à son développe-ment. En eet même si des modèles bien argumentés sur le plan théorique ont été onstruits ([3et[70), leur utilisation pratique sur des as réels, don omplexes, est déli ate voire impossible. Leproblème de base vient du fait que lorsqu'une parti ule se situe susamment près d'une fron-tière du domaine de al ul, son domaine d'interpolation se trouve tronqué. Ce dé it de voisinsrend le s héma numérique non onsistant et entraîne don des erreurs numériques onsidérables.Néanmoins des te hniques existent an d'imposer des onditions limites lassiques et de menerdes simulations de as réels.

38 La méthode numérique SPHCondition limite périodique spatialeIl s'agit d'un as simple à traîter ar il sut d'établir une onne tivité tive entre les parti ulessituées aux limites dénies omme périodiques du domaine de al ul omme l'illustre la gure 2.7.Le domaine d'interpolation n'est pas tronqué et le s héma numérique est semblable à elui desparti ules situées à l'intérieur du domaine uide. Les parti ules qui sortent du domaine de al ulpar l'une de es frontières périodiques sont ré inje tées à la frontière orrespondante (seule leurposition est modiée).ht ht

Conne tivité tivex

z

Fig. 2.7: Conne tivité tive et domaine d'interpolation non tronqué pour un é oulement pério-dique dans le dire tion x.Condition de surfa e libreUne surfa e libre limite les domaines liquide et gazeux. Elle représente une limite bien parti- ulière d'un domaine liquide. En eet il s'agit d'une interfa e qui est apable de se déformer trèsfortement pour s'adapter aux ontraintes qu'elle reçoit, si bien que le hamp des ontraintes nesubit pas de dis ontinuité lors du passage du milieu liquide au milieu gazeux. Cela n'est néan-moins pas tout à fait vrai si on prend en ompte les phénomènes de tension de surfa e. Il s'agitdu résultat des for es d'attra tion que les molé ules d'une même espè e himique exer ent entreelles et dont la résultante tend à assurer la ohésion des phases en présen e. La résultante de esfor es est don lo alement dirigée de l'interfa e vers le milieu liquide et entraîne une surpressionà l'intérieur du liquide dont la valeur par rapport au milieu gazeux est donnée par la relation deLapla e :∆p = σ

(1

R1+

1

R2

) (2.55)où σ est une onstante dépendant des espè es présentes à l'interfa e et R1 et R2 sont deux rayonsde ourbure de la surfa e de l'interfa e pris dans deux dire tions orthogonales. Les phénomènesde tension de surfa e dépendent don de la ourbure lo ale de l'interfa e et sont d'autant plusimportants que le rapport entre l'aire de l'interfa e et le volume de liquide augmente. A l'inversepour des é oulements omme eux que nous voulons modéliser, ave de relativement grandesé helles de longueur, es phénomènes peuvent être négligés sans grandes onséquen es. Ainsi enpratique on onsidère que le hamp de pression doit être ontinu au travers d'une surfa e libre : ette ondition sera dite dynamique.

2.2 Adaptation pour la mé anique des uides 39Cette interfa e est également imperméable, 'est-à-dire qu'au un ux de matière ou d'énergiene la traverse. Les omposantes normales de vitesse à l'interfa e pour les phases liquides et gazeusesdoivent don oïn ider, et l'interfa e doit se dépla er selon e hamp de vitesse. Il s'agit d'une ondition inématique.Imposer es deux onditions dans une méthode numérique n'est pas toujours aisé. Dans lesméthodes numériques traditionnelles de type diéren es ou volumes nis, la position même del'interfa e, résultant de la ondition inématique, requiert un traitement parti ulier (suivi par uneméthode level-set) ou bien est dénie arbitrairement (par une valeur de fra tion volumique). Dansle as d'une méthode numérique lagrangienne, par ontre, le suivi de la surfa e libre est fa ilité parle dépla ement des points de al ul ave le uide. On a ainsi tendan e à onsidérer en SPH quela ondition inématique est naturellement assurée par le dépla ement des parti ules. En touterigueur néanmoins, les parti ules représentant un volume élémentaire de dis rétisation du uide,la surfa e libre doit onstituer l'enveloppe de es volumes élémentaires, e qui est illustré par lagure 2.8. Mais omme déjà mentionné pré édement, la méthode SPH n'a besoin que de la valeurde es volumes et non de leur forme, on ne peut don au mieux que situer ette enveloppe à unedistan e di des points de al ul xi où di est une é helle de longueur ara téristique du volumeélémentaire ωi. On omprend don que l'on pourra d'autant mieux assimiler la position de lasurfa e libre à la position des parti ules que la dis rétisation deviendra plus ne.b

b b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

Position des entres des parti ules ~xi Volume des parti ules ωi

Enveloppe de la distribution de parti ulesPosition admise de la surfa e libre

diFig. 2.8: Approximation de la position de la surfa e libre en SPHLa ondition dynamique impose que la pression sur la surfa e libre soit égale à la pression de laphase gazeuse située de l'autre té. Or omme nous l'avons déjà mentionné, le formalisme SPHstandard n'a pas retenu le terme d'intégration surfa ique qui apparaît pourtant naturellementlorsque l'on her he à al uler le gradient de pression. Ainsi ave les notations de la gure 2.1, ondevrait é rire :〈∇P (x)〉 =

∫

∂Dp(y)W (x − y)ndS −

∫

Dp(y)∇W (x − y)dV (2.56)Le terme surfa ique pourrait être rempla é par un terme volumique si on disposait de points de al ul dans la partie tronquée (en fait gazeuse) du domaine d'interpolation. Mais l'un des intérêtsd'une méthode numérique lagrangienne telle que SPH est que l'on peut limiter la dis rétisation dudomaine au uide qui nous intéresse réellement, 'est-à-dire l'eau. Ce faisant on réalise l'approxi-mation que les onditions limites de surfa e libre sont invariantes et que don la dynamique de

40 La méthode numérique SPHla phase gazeuse est négligeable. Finalement on ne dispose don généralement pas de points dansla phase gazeuse. En fait le problème est ontourné d'une autre manière. L'équation d'état (2.54)que l'on utilise montre que la pression de référen e est prise égale à zéro. Ainsi es parti ulesgazeuses, si elles existaient, devraient avoir une pression nulle. Leur ontribution au gradient depression serait don nulle, de même que l'intégrale de surfa e qu'elles seraient sensées rempla er.Finalement en SPH on onsidère généralement que la ondition dynamique de surfa e libre estune ondition de pression nulle qui se satisfait d'elle-même. On onstate ainsi que la méthodeapparaît très séduisante pour simuler des é oulements à surfa e libre.Condition limite de paroi glissanteLa apa ité d'une méthode numérique à savoir gérer orre tement les onditions de paroisolide est déterminante pour pouvoir l'utiliser sur des appli ations on rètes. Or 'est justementl'un des prin ipaux handi aps de la méthode SPH. Contrairement à e qui a été expliqué i-dessus on ernant la surfa e libre, le terme d'intégrale surfa ique du hamp de pression sur les paroissolides n'est pas nul ar la pression sur les parois solides n'est pas nulle à priori. Ce terme estmême d'une importan e apitale ar les parois solides ont généralement vo ation à guider le uideet sont l'instrument par lequel l'on tente de maîtriser les é oulements.La modélisation d'une paroi solide dans le adre des équations d'Euler est une paroi glissante, 'est-à-dire que sur la paroi, la vitesse du uide est tangente à la paroi. Ce modèle s'oppose aumodèle de paroi adhérante utilisé dans le adre des équations de Navier-Stokes pour les uidesvisqueux et dans lequel la vitesse du uide s'annule sur la paroi. La ondition limite que l'on veutimposer peut don s'é rire sous forme mathématique :v.n = 0 (2.57)On ren ontre généralement trois modèles pour réaliser l'imposition de ette ondition limite.Par ordre de omplexité, e sont : les for es répulsives de paroi, les parti ules tives et lesparti ules fantmes.For es répulsives de paroi Il s'agit d'un modèle très simple, qui impose assez e a ementl'imperméabilité de la paroi solide et don la ondition (2.57). Il onsiste tout d'abord à représenterla surfa e de la paroi par des points dont l'espa ement moyen est au plus la taille moyenne desparti ules uides et qui se dépla ent ave la paroi si elle- i est mobile. Cha un de es points exer eensuite une for e dirigée de la paroi vers le uide. La valeur de ette for e dépend en général dela distan e de la parti ule uide à la paroi et augmente susament vite au fur et à mesure que ette distan e diminue pour assurer l'annulation rapide de la omposante normale de la vitesse dela parti ule uide.Monaghan est à l'origine de ette te hnique ([48). Il a tout d'abord imaginé des for es entrales, 'est-à-dire dirigées le long du ve teur rayon joignant le entre de la parti ule uide et le point enparoi (voir la gure 2.9). L'expression de ette for e est donnée par :

f ip1 =

D

[(r0

rip

)p1

−(

r0

rip

)p2]

rip

r2ip

si rip ≤ r0

0 si rip > r0

(2.58)où rip est la distan e entre la parti ule uide i et le point de paroi p. D est un paramètre quipeut être relié au problème traîté. Si H est une hauteur d'eau ara téristique du as simulé, onpeut prendre D = gH où g est l'a élération de pesanteur. r0 est une longueur qui va déterminer

2.2 Adaptation pour la mé anique des uides 41la distan e d'appro he des parti ules uides vers la paroi, elle est typiquement prise égale à lataille moyenne des parti ules uides. Les paramètres p1 et p2 déterminent la forme de la fon tionmathématique. Monaghan pré onise de prendre p1 = 12 et p2 = 6 par exemple, e qui donneune réponse très raide (voir gure 2.10) et assure ainsi d'autant mieux le respe t de la distan ed'appro he minimale r0.b

b b

b

b

b

bb

b

b

bb

b

b

r0

qp

s

~f is

~f ip~f iq

i

Paroi solidePoints de paroi Fig. 2.9: For es de paroi entralesPlusieurs ommentaires peuvent être faits sur e modèle. Tout d'abord l'utilisation d'une for e entrale entraîne une ontribution tangentielle dans l'équation de quantité de mouvement alorsque, omme expliqué au début de ette se tion, l'eet de la paroi ne devrait se faire que dansla dire tion normale. Il est vrai qu'en général une parti ule uide subit l'inuen e de plusieurspoints en paroi et qu'en moyenne les ontributions tangentielles tendent à s'annuler, néanmoinsles erreurs numériques aidant, on introduit ainsi une vis osité en paroi non re her hée. D'autrepart, on peut remarquer qu'au ours de son heminement le long de la paroi, la for e que subit uneparti ule uide présente des u tuations importantes de part la nature dis rète de l'inuen e dela paroi. Ce i peut perturber l'é oulement et même nuire à la stabilité de la méthode numérique.

0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

PSfrag repla ementsr0/rip

fip

Fig. 2.10: Forme de la fon tion déterminant l'intensité des for es répulsives. En rouge :(p1,p2)=(12,6) ; en vert : (p1,p2)=(4,2)C'est pourquoi Monaghan dans [49 a introduit par la suite des for es normales (voir la -

42 La méthode numérique SPHgure 2.11) dont la norme est orrigée en fon tion de la omposante tangentielle de la position dela parti ule uide par rapport au point de paroi. Cette for e est donnée par l'expression :f ip2 = f1(rip.np)P (tp.rip)np (2.59)où tp est la dire tion tangente à la paroi et np la dire tion normale, au point de paroi p. And'atténuer les u tuations de la for e résultante perçue par les parti ules uides, la fon tion P al'expression suivante :

P (x) =

1 − |x|δr

si 0 < |x| ≤ δr

0 si |x| > δr(2.60)où δr représente l'espa ement moyen des points représentant la paroi.Ce modèle très simple est bien adapté pour mener des simulations sur des as ave géométrie omplexe et mobile, néanmoins il ne peut pas être utilisé pour obtenir des résultats pré is. En eet e modèle ne tient ompte ni de la physique du problème ni du s héma numérique utilisé dans leuide. Bien que le paramètre D soit dépendant du as traité, l'expérien e montre que la distan ed'arrêt est très pro he de r0 quelque soit la valeur donnée à D. Ce qui devrait résulter d'unéquilibre physique est don transformé en arbitraire numérique. Cette distan e d'arrêt entraînepar ailleurs un "eet de peau" qui tend à élargir les géométries et à rendre oue la position exa tede la paroi. Le guidage de l'é oulement, même s'il est réalisé, est don peu pré is. Enn on ne peuta éder à la valeur du hamp de pression en paroi, ette dernière n'intervenant d'ailleurs pas dutout dans le modèle alors que 'est un élément fondamental du phénomène physique en jeu. Unete hnique onsisterait à re onstruire un hamp de pression en haque point de paroi en utilisantle hamp de pression dans le uide par une interpolation SPH (à l'ordre 0 ou 1). Mais l'instabliténumérique de la méthode SPH a déjà été mentionnée et elle entraîne ee tivement un hampde pression assez bruité en paroi. De plus il est impossible de reproduire les eets dynamiquesfortement non linéaires qui peuvent avoir lieu entre les parti ules uides et la paroi.

b

b b

b

b

b

bb

b

b

bb

b

b

r0

qp

s

~f is

~f ip~f iq

i

Paroi solidePoints de paroi

~nq~np

~ns

Fig. 2.11: For es de paroi normalesEnn d'un point de vue mathématique, e modèle ne restaure pas du tout la onsistan e dus héma numérique pour les parti ules uides pro hes de la paroi et qui ont un domaine d'interpola-tion tronqué. Les équations du mouvement sont don résolues de manière imparfaite et la solutionnumérique obtenue présente né essairement une erreur importante dans les régions pro hes desparois.

2.2 Adaptation pour la mé anique des uides 43i

∆x

∆x

∆x∆x

Particules f luides Particules de bord Particules fictives

Position de la paroi solide

Fig. 2.12: Maillage régulier de parti ules tives et de bord et omplétude du domaine d'inter-polationParti ules tives Le modèle des parti ules tives (aussi appelé parti ules mirroirs) a étéprésenté par Morris ([54). Il s'agit d'une méthode bien plus évoluée que la pré édente et qui partdu prin ipe que pour imposer une ondition limite quelle qu'elle soit, il est né essaire de restaurerau préalable la onsistan e du s héma numérique pour les parti ules pro hes d'une frontière dudomaine de al ul. Ce i est réalisé en étendant le domaine de al ul réel par un domaine tifdans lequel le hamp ne va pas résulter de la résolution des équations du mouvement mais vaêtre imposé en vue de réaliser la ondition limite re her hée. Une variante de ette méthode a étédéveloppée par Issa dans sa thèse [28.Con rètement, on dispose tout d'abord des parti ules dites de bord sur la surfa e de la paroi,puis plusieurs ou hes de parti ules dites tives à l'extérieur du domaine de al ul, sur uneépaisseur susante an de garantir que les parti ules uides à l'intérieur du domaine de al ulréel verront leur domaine d'interpolation entièrement omplété par es parti ules tives (voir lagure 2.12). Ces parti ules de bord et tives peuvent se dépla er ave la paroi si elle- i est mobile.Les propriétés physiques de es parti ules de bord et tives doivent ensuite être déterminées.L'imperméabilité de la paroi est assurée en symétrisant le hamp de pression. En eet lors de lamise à jour de leur densité, les parti ules uides reçoivent des ontributions de la part des parti ules tives. Les parti ules tives reçoivent alors les mêmes ontributions, e qui a pour onséquen edire te de symétriser les hamps de densité et don de pression en paroi. Ensuite lors du al ul desfor es d'intera tion, les parti ules uides subissent de la part des parti ules tives des for es depression dé oulant de e hamp de pression symétrisé e qui assure l'imperméabilité. La onditionque l'on tente ainsi d'imposer en paroi est un gradient de pression nul dans la dire tion normaleà la paroi :∂p

∂n= 0 (2.61)Cette ondition limite n'est que partiellement satisfaisante d'un point de vue physique ar elle neprend pas en ompte les eets dynamiques, ni l'eet de la gravité dans un as hydrostatique.

44 La méthode numérique SPHLa vitesse des parti ules tives dépend ensuite du type de ondition limite que l'on veut im-poser. S'il s'agit d'une paroi glissante, alors les parti ules tives doivent être dotées d'une vitessetangentielle égale à elle des parti ules uides an de ne pas introduire de for es de isaillement.Au ontraire dans le as d'une paroi adhérente il onvient de prendre l'opposé de la omposantetangentielle de la vitesse des parti ules uides, e qui revient à prolonger le gradient de vitessequi apparaît naturellement dans le uide. Dans e as la vitesse des parti ules de bord est mise àzéro. Par ontre la position de es parti ules de bord et tives n'est pas mise à jour à l'aide de e hamp de vitesse. Cette répartition ou maillage de parti ules tives est don indéformable.Ce modèle présente néanmoins un ertain nombre de défauts importants. Tout d'abord la ondition limite imposée sur le hamp de pression permet seulement d'assurer l'imperméabilité dela paroi mais ne permet pas une prédi tion pré ise de la valeur de la pression à la paroi. EnsuiteIssa a montré que le "maillage" de parti ules tives que l'utilisateur est obligé de dénir inuesur le résultat de la simulation. Enn son utilisation dans le as de géométries omplexes (surfa es ourbées, bords d'attaque min es) est déli ate voire impossible ar le maillage de parti ules tivesn'est pas toujours réalisable.Parti ules fantmes Le modèle des parti ules fantmes est ertainement le plus avan é etle plus répandu des traitements disponibles en SPH pour modéliser une paroi solide. Il se rappro hed'une ertaine manière du modèle des parti ules tives pré édent tout en orrigeant ertains deses défauts. Ce modèle réalise également une extension du domaine de al ul mais ette extensionest obtenue en symétrisant par rapport à la surfa e de la paroi la disposition spatiale des parti ulesuides situées dans le voisinage de la paroi, omme l'illustre la gure 2.13./ /i

Particules f luides Particules fantomes

Paroi solide

Fig. 2.13: Parti ules fantomes et omplétude du domaine d'interpolationLes propriétés physiques de es parti ules fantmes sont également obtenues en symétrisant elles des parti ules uides dont elles sont issues. Les valeurs de densité et pression attribuées àune parti ule fantme sont égales à la densité et à la pression de la parti ule uide dont elle estissue. La omposante normale de la vitesse hange de signe, alors que les omposantes tangentiellessont onservées si on veut simuler une paroi glissante et inversées si on veut simuler une paroiadhérente. Doring ([12) a apporté les modi ations né essaires à la prise en ompte du mouvementpropre de la paroi (passage du repère relatif de la paroi au repère absolu). La dernière propriété

2.2 Adaptation pour la mé anique des uides 45qu'il reste à déterminer pour les parti ules fantmes est leur poids. En eet omme le montre lagure 2.14 la symétrisation par rapport à une paroi ourbe entraîne une déformation du volumeélémentaire. Vila ([70) a montré que ette variation de volume de la parti ule fantme étaitliée au ja obien de la transformation géométrique, 'est-à-dire au ja obien de la symétrie plane.Malheureusement en pratique de telles symétries ne sont pas toujours aisément réalisables. Le asdes parois ourbes est évidemment déli at. Il serait alors né essaire d'utiliser un rayon de ourburelo al, information dont on ne dispose généralement pas. De la même manière la dénition du plande symétrie lo al adapté à la parti ule uide onsidéré n'est pas toujours fa ile. Enn le asdes angles, aigus omme obtus, né essite des traitements parti uliers. La gure 2.15 montre quedans le as d'un angle obtu, les fa es de l'angle doivent être traîtées séparément. Un angle aiguprésente des di ultés supplémentaires liées au rique de produire bien trop de parti ules fantmesà l'intérieur du oin. Un s héma adapté a été proposé dans [34.

Particules f luides Particules fantomes

V olumes fluides V olumes fantomes

Paroi solide

Fig. 2.14: Volumes respe tifs asso iés auxparti ules uides et fantmes dans le asd'une paroi ourbeParticules f luides

Particules fantomes, face 1

Particules fantomes, face 2

Face 2

Face 1

Fig. 2.15: Traitement séparé des fa es d'un oinCe traitement des onditions limites de paroi solide présente don des ara téristiques inté-ressantes. Il permet de restaurer la onsistan e du s héma numérique à l'aide d'un "maillage"de parti ules fantmes qui se déduit naturellement de la distribution lo ale de parti ules uides.L'utilisateur se trouve don dispensé d'une telle harge et ela évite l'arbitraire d'une répartitionprédénie. D'autre part si on onsidère le problème mono dimensionel qui apparaît entre uneparti ule uide et sa parti ule fantme, on onstate que grâ e à l'inversion de la vitesse de laparti ule fantme les eets dynamiques sont bien mieux pris en ompte. On peut supposer quele s héma global résultant de l'intera tion entre l'ensemble des parti ules uides et l'ensembledes parti ules fantmes est apable lui-aussi de rendre ompte de es eets dynamiques. Il s'agitdon d'un modèle théoriquement bien onstruit mais qui soure hélas d'une mise en appli ationterriblement ardue dès qu'il s'agit de traîter des surfa es non planes.

46 La méthode numérique SPH2.2.3 Intégration temporelleLa dis rétisation spatiale des équations du mouvement permet de transformer le systèmed'EDP en un système d'équations diérentielles ordinaires qu'il onvient d'intégrer en temps.L'utilisation de s hémas d'intégration impli ites est a tuellement très restreinte en SPH ar laméthode sert essentiellement à simuler des phénomènes instationnaires, e qui limite né essai-rement la valeur du pas de temps et rend es méthodes moins attrayantes. Aussi les s hémas ouramment employés sont des s hémas expli ites. Ceux- i sont très lassiques et ne sont pas par-ti uliers à la méthode SPH. On peut iter le s héma de Newton d'ordre 1, ainsi que les s hémasde Runge-Kutta ou prédi teurs- orre teurs qui bien que plus oûteux permettent d'atteindre desordres de onvergen e supérieurs. Pour l'exemple, on donne l'expression du s héma de Newton.Si on simplie l'expression des termes de droite dans les équations du mouvement de la façonsuivante :

Dxi

Dt= Hi

Dvi

Dt= Fi

Dρi

Dt= Gi

(2.62)alors la mise à jour des valeurs du hamp entre les instants tn et tn+1 s'é rit :

xin+1 = xi

n + ∆tHi

vin+1 = vi

n + ∆tFi

ρin+1 = ρi

n + ∆tGi

(2.63)où ∆t est la valeur du pas de temps.La valeur du pas de temps est lassiquement soumise à une ondition dite de CFL (Courant-Friedrie h-Levy). Cette ondition stipule qu'une onde a oustique se propageant à l'intérieur dudomaine uide dis rétisé ne doit pas fran hir une longueur supérieure à la taille ara téristiquede la dis rétisation pendant la durée d'un pas de temps. Les ondes de pression se déplaçant à lavitesse du son lo ale ci, ette ondition peut s'é rire :∆tCFL = K.mini∈Ω

[hi

ci(1 + 0.6α)

] (2.64)où hi est la longueur de lissage au point i. Le oe ient K est inférieur à 1 et est en pratiquedéterminé par l'expérien e numérique. La signi ation du paramètre α sera vue au paragraphesuivant.On onstate lairement que le hoix de vitesse du son numérique dans (2.54) impa te dire te-ment la valeur du pas de temps et don le oût global de la méthode. C'est pourquoi on tente engénéral de prendre la plus petite vitesse du son possible.Le mouvement lagrangien des parti ules est également à prendre en ompte et peut éven-tuellement limiter la valeur du pas de temps. Il faut en eet veiller à e que les parti ules ne serappro hent pas trop les unes des autres au ours de leur mouvement. Morris a ainsi formulé une ondition basée sur l'a élération des parti ules qui s'é rit :∆tForces = 0.25 ∗ mini∈Ω

√(

hi

‖Fi‖

) (2.65)

2.2 Adaptation pour la mé anique des uides 47où Fi est le terme de droite de l'équation de quantité de mouvement. Néanmoins ette ondition estgénéralement moins restri tive que la pré édente et le pas de temps utilisé résulte de la onditionCFL pour les é oulements dans les turbines Pelton.2.2.4 Vis osité arti ielleSi l'on onsidère les équations (2.52) ou (2.53) et une répartition spatiale des parti ules selonun maillage artésien régulier on peut montrer ([56) que le shéma SPH est semblable à un s hémade type diéren es nies entré. En simulation numérique des é oulements, il est bien onnuque l'utilisation onjointe d'un s héma entré et d'une intégration temporelle expli ite donneune méthode numérique globale in onditionellement instable (voir [24, hapitre 8). D'une manièresimilaire à e qui a été développé pour les méthodes de diéren es nies, il est né essaire d'ajouterun terme de vis osité numérique dans l'équation de quantité de mouvement an de stabiliser les héma. Ce terme est ainsi très lassique en SPH, il a été introduit par Monaghan ([51) et estdonné par l'expression :Πij =

−αµij cij + βµ2ij

ρij

µij =

hvij .xij

x2ij + ǫh2

si vij .xij < 0

0 sinon

(2.66)α et β sont des paramètres ajustables en fon tion du as traité et le terme ǫh2 permet d'éviterune division par zéro. Les notations suivantes ont été utilisées :

fij = fi − fj

fij =fi + fj

2

(2.67)L'équation de quantité de mouvement doit ensuite être modiée selon :Dvi

Dt= fe −

∑

j∈Di

mj

(pi + pj

ρiρj+ Πij

)

∇Wij (2.68)ou si l'on a hoisi la formulation initialement proposée par Monaghan :Dvi

Dt= fe −

∑

j∈Di

mj

(

pi

ρ2i

+pj

ρ2j

+ Πij

)

∇Wij (2.69)Ce terme de vis osité numérique est don une pseudo pression qui introduit un dé entrementde la for e de pression entre les parti ules i et j. En pratique le oe ient β n'est utile que pour al uler des ondes de ho , il est don généralement pris égal à zéro. Le oe ient α quant à luidoit être déterminé par l'utilisateur de manière à stabiliser le al ul sans introduire une diusionnumérique trop importante qui pourrait engendrer une simulation erronée ([53). Il s'agit bienentendu d'un point déli at lorsque l'on her he à simuler des phénomènes où la propagation desondes joue un rle prépondérant, omme par exemple la simulation de vagues. Dans es as les héma numérique utilisé doit présenter de bonnes propriétés de onservation de l'énergie. Unediusion numérique trop importante va avoir tendan e à dissiper l'énergie du train de vagues età diminuer la hauteur de elles- i ([20).

48 La méthode numérique SPH2.2.5 S héma à longueur de lissage variableLa taille du domaine d'interpolation sur lequel les équations du mouvement sont lo alementrésolues joue un rle très important dans le omportement numérique du s héma SPH, tant enterme de pré ision que de stabilité et de onsistan e. C'est don un paramètre de dis rétisationessentiel qui doit, omme nous l'avons déjà vu, être relié à l'autre paramètre de dis rétisation qu'est la taille moyenne des parti ules. Jusqu'à présent le s héma SPH a été présenté en supposantque ette longueur de lissage, que l'on note h, était onstante à la fois en espa e et en temps.Pourtant il peut s'avérer judi ieux, et même indispensable, de faire varier e paramètre.L'ennemi d'une méthode numérique est toujours le oût de al ul, aussi her he t-on en gé-néral à obtenir un résultat ave la meilleure pré ision possible et le oût de al ul le plus faible.Parmi les fa teurs qui inuen ent es deux intérêts ontradi toires, on trouve en premier lieu lenombre de points de al ul et don la taille de dis rétisation. An de représenter orre tementun phénomène physique, la taille de dis rétisation doit être reliée à l'é helle ara téristique de ephénomène (taille d'un tourbillon, longueur d'onde d'une vague, diamètre d'un jet d'eau). Maisun é oulement est rarement homogène et les é helles des phénomènes qui s'y produisent peuventêtre très variables d'une région de l'é oulement à l'autre. Il est alors intéressant d'adapter la dis- rétisation dans les diérentes zones de l'espa e en fon tion des phénomènes qui s'y produisentou de la pré ision re her hée. Ce i permet en général d'éviter de pla er trop de points de al uldans des régions où l'é oulement est plutt " alme". Il s'agit d'un élément assez fondamental desméthodes traditionnelles ave maillage et même d'un point relativement ru ial ar il est ourantque des simulations é houent à ause d'un maillage défaillant, si bien que la génération de maillagerequiert une gande ompéten e tant numérique que physique.Il existe un autre intérêt à utiliser une variante de la méthode SPH ave une longueur delissage variable, ar il est né essaire d'avoir susamment de points voisins pour que les formulesde quadrature soient pré ises. Or si on onsidère ertains é oulements lassiques en mé anique desuides omme un é oulement dans une tuyère divergente ou une onde de détente, les parti ulesvont avoir tendan e à s'éloigner les unes des autres, e qui fait diminuer le nombre lo al de voisinset engendre des instabilités numériques et une baisse de la pré ision. Il onvient alors de faireévoluer la valeur de h soit à travers la divergen e lo ale du ve teur vitesse, soit dire tement enfon tion de la densité lo ale du uide. On obtient ainsi les relations suivantes :Dhi

Dt= −hi

d(∇v)i = −

(hi

dρi

)Dρi

Dt(2.70)ou

hi ≈(

mi

ρi

)1/d (2.71)où d est le nombre de dimensions d'espa e.Il est don intéressant d'étudier la possibilité de réaliser un tel s héma à taille variable en SPH.La méthode numérique repose globalement sur la te hnique d'interpolation suivante :〈f(x)〉 =

∫

Ωf(y)W (x − y, h)dΩ (2.72)aussi peut-on s'interroger sur la valeur que l'on doit prendre pour h dans le as où elle- i estvariable. Intuitivement, on serait tenté d'utiliser la valeur de h au point x, 'est e que l'on appellela formulation "gather" (le point x rassemble les ontributions des points y voisins). Une autreformulation a été introduite par Hernquist et Katz ([22), elle onsiste à utiliser la valeur de h

2.2 Adaptation pour la mé anique des uides 49au point y et se nomme formulation "s atter" (le point y distribue sa ontribution aux pointsvoisins).Cela donne lieu à deux s hémas numériques forts diérents. Par exemple pour la formulation"gather", le domaine d'interpolation reste un disque (ou une sphère) alors qu'en formulation "s at-ter", il prend une forme bien plus omplexe. De plus, la onvergen e de la formulation "s atter"est moins e a ement assurée (Vila,[70) et est sujette à des erreurs numériques plus importantesque la formulation "gather" (Oger,[15).Quelque soit la formulation hoisie, il onvient d'étudier les impli ations d'une formulation hvariable sur la formule d'interpolation du gradient. En eet elle- i fait intervenir le gradient dela fon tion kernel, il faut don modier ette formule an de prendre en ompte le gradient de h ar :∇W (q =

‖r‖h

) =∂W

∂q∇q =

∂W

∂q

[∂q

∂‖r‖∇‖r‖ +∂q

∂h∇h

] (2.73)Néanmoins ∇h ne peut être en pratique al ulé qu'en négligeant e terme sans quoi le al ul estimpossible (le al ul de ∇h né essite le al ul de ∇W et inversement), si bien que les formulationsh variable négligent généralement le terme ∇h et préfèrent réaliser un lissage e a e de h an delimiter la valeur de ∇h et don les erreurs dues à sa non prise en ompte. Vila souligne par ailleursl'importan e d'un tel lissage pour également éviter des os illations numériques. Un autre aspe td'une formulation h variable s'avère plus gênant, il s'agit de la perte des propriétés de onservationque l'on a énon é plus haut et qui sont bâties sur le respe t du prin ipe d'a tion-réa tion et don de symétrie des intera tions. En eet es nouvelles formulations entraînent né essairement que∇Wij 6= −∇Wji. On peut même envisager le as où une parti ule i ompterait parmi ses voisinesune parti ule j sans que la ré iproque soit vraie, omme le montre la gure 2.16. Pour etteraison au une des formulations "gather" ou "s atter" n'est réellement satisfaisante en soit et l'onest amené en pratique à utiliser un mélange des deux formulations. Les moyens de restaurer lasymétrie des intera tions sont variés, on peut par exemple omme le suggère Monaghan ([47)prendre une moyenne des deux formulations :

Wij =1

2(W (rij , hi) + W (rij, hj)) (2.74)et

∇Wij =1

2(∇W (rij, hi) + ∇W (rij, hj)) (2.75)ou en ore plus simplement utiliser une moyenne des longueurs de lissage, e qui donne :

Wij = W (rij, hij),∇Wij = ∇W (rij, hij) (2.76)ave hij =hi+hj

2 . Vila ([70) a montré que dans le as de la résolution des équations d'Euler, ladis rétisation des équations du mouvement introduit naturellement un mélange des formulations"s atter" et "gather" et que par exemple l'équation de quantité de mouvement s'é rit alors :Dvi

Dt= fe −

∑

j∈Di

mj

ρiρj(pi∇W (rij, hi) + pj∇W (rij , hj)) (2.77)L'équation (2.77) représente ependant un oût de al ul supérieur ar elle né essite deux évalua-tions de la dérivée de la fon tion kernel.

50 La méthode numérique SPHb

b

hi

hj

i

j

Fig. 2.16: Cas extrême où j est voisine de i mais i n'est pas voisine de j2.2.6 Termes visqueux et turbulen eNous nous sommes fo alisés jusqu'à présent sur des é oulements de uides non visqueux, outout du moins sur des é oulements dans lesquels les phénomènes de diusion visqueuse étaientnégligeables. Néanmoins la modélisation de es eets en SPH est tout à fait possible, e qui permetde simuler des é oulements à nombre de Reynolds plus faible. Il faut alors trouver une manièreappropriée de dis rétiser le terme visqueux qui apparaît dans l'équation de quantité de mouvement(voir (2.38)). Ce terme visqueux prend la forme d'un Lapla ien de la vitesse qui pourrait éven-tuellement être dis rétisé en utilisant la dérivée se onde de la fon tion kernel. Mais l'expérien enumérique montre que ette dérivée se onde est très sensible au désordre de la répartition spatialedes points de al uls et que par onséquent une telle méthode n'est pas utilisable en pratique. Par onséquent d'autres formulations doivent être mises en oeuvre pour al uler e terme.Double sommationLe al ul du terme visqueux peut être dé omposé en deux phases : al ul du tenseur des ontraintes visqueuses puis al ul de la divergen e de e tenseur. Sans entrer dans le détail, uneappro he dire te onduit à utiliser le formalisme SPH pour ha une de es deux étapes. C'est lavoie qu'ont suivie Speith et al ([62). Le modèle résultant est rigoureux mais néanmoins très lourd ar il onduit à al uler en détail haque terme du tenseur des ontraintes visqueuses en ee tuantune bou le sur les parti ules voisines, puis une nouvelle bou le an de al uler la divergen e dutenseur.Terme visqueux de MorrisAn de simplier et d'alléger le al ul pré édent, il peut s'avérer judi ieux d'utiliser une formu-lation hybride mélangeant SPH et al ul des omposantes du tenseur des ontraintes visqueusespar une approximation aux diéren es nies. Morris ([54 et [28) parvient ainsi à la dis rétisationsuivante du terme visqueux :(ν∆v)i =

∑

j∈Di

mj(µi + µj)

ρiρj

xij .∇Wij

‖xij‖2 + η2vij (2.78)ave η un petit paramètre numérique permettant d'éviter une division par zéro et vij = vi − vj.On remarque que ette formulation permet de modéliser les ontraintes de isaillement omme

2.2 Adaptation pour la mé anique des uides 51des for es alignées le long de la vitesse relative entre les parti ules i et j e qui a une signi ationphysique forte. Néanmoins il semble que ette formulation ne soit pas bien adaptée à la simulationd'é oulements à grand nombre de Reynolds ar alors les parti ules s'agrègent.Terme visqueux de MonaghanAn de orriger le modèle pré édent, Monaghan propose une formulation très pro he maisdans laquelle les ontraintes de isaillement prennent la forme de for es entrales alignées le longdu ve teur rayon xij = xi − xj. Le terme visqueux prend alors la forme dis rète suivante :(ν∆v)i =

∑

j∈Di

16ν

ρi + ρj

vij . xij

‖xij‖2 + η2∇Wij (2.79)Cette formulation présente en outre l'avantage de s'annuler pour un mouvement de rotation de orps solide.La dis rétisation du terme visqueux ouvre la voie à des simulations d'é oulements à bas nombrede Reynolds, généralement appelés é oulements laminaires, mais également à la prise en omptedes phénomènes turbulents qui apparaissent dans les é oulements à nombre de Reynolds élevé.En eet grâ e à l'hypothèse de fermeture de Boussinesq, les eets dûs à la turbulen e peuventêtre rapportés à un terme de vis osité turbulente qui vient s'ajouter à la vis osité molé ulairedu uide. La dis rétisation du terme visqueux ouvre don la voie pour SPH à des simulationsd'é oulements turbulents de type Reynolds Averaged Navier-Stokes (RANS). Le détail de telsmodèles de turbulen e sera donné plus loin dans e manus rit.2.2.7 RenormalisationLa renormalisation est une te hnique destinée à augmenter l'ordre de pré ision du s héma SPHprésentée par Randles et Libersky [59 et Vila [70 parmi d'autres ([30,[5). Contrairement auxméthodes brièvement exposées au début de e manus rit, ette te hnique tente de orriger nonpas la fon tion kernel elle-même mais l'opérateur diérentiel permettant d'a éder aux équationsdis rètes du mouvement. En eet la méthode de résolution des équations d'Euler présentée jusqu'i ine fait intervenir que le gradient de la fon tion kernel. Il apparaît don plus approprié, dans le adre d'une méthode numérique pour la mé anique des uides, de veiller à obtenir un opérateurdiérentiel dis ret ayant de bonnes propriétés de pré ision. Cela présente en outre l'avantaged'alléger le oût de la orre tion par rapport à une méthode de type MLS. Le but de la te hniquede renormalisation est de mettre en pla e un opérateur diérentiel dis ret d'ordre 1, 'est-à-dire apable de al uler pré isément la dérivée d'un hamp linéaire sur un ensemble de points dis retsdésordonnés. Pour ela l'opérateur de dérivation standard SPH subit deux orre tions.La première orre tion permet d'assurer que la dérivée (le gradient) d'un hamp onstant estbien nulle. Pour ela on retran he simplement l'approximation du gradient de l'unité :

(∇f)i = (∇f)i − fi∇(1) (2.80) e qui donne l'opérateur dis ret suivant :(∇f)i =

∑

j∈Di

ωj(fj − fi)∇Wij (2.81)La se onde étape apporte ensuite une orre tion qui permet d'atteindre l'ordre 1, elle onsiste àre her her une matri e de orre tion ¯B(x) telle que l'opérateur dis ret suivant :(∇f)i =

∑

j∈Di

ωj(fj − fi)¯Bi∇Wij (2.82)

52 La méthode numérique SPHsoit apable de reproduire pré isément la dérivée d'un hamp linéaire. On suppose don que f estun hamp linéaire : f(x) = a+b.x (f hamp s alaire pour simplier les notations, dans e as b estun ve teur indépendant de la position spatiale repérée par le ve teur x), l'opérateur diérentielpré édent donne alors :b · ¯I = b ·

∑

j∈Di

ωj(xj − xi) ⊗∇Wij

· ¯Bi

(2.83)La matri e de orre tion, ou de renormalisation ¯B est don dénie par :¯Bi =

∑

j∈Di

ωj(xj − xi) ⊗∇Wij

−1 (2.84)La orre tion ainsi formulée prend lairement la forme d'un terme géométrique lo al basé surl'expression des moments de la fon tion kernel. Toutefois la taille de la matri e est seulementde d × d où d est le nombre de dimensions d'espa e alors que les méthodes her hant à orrigerla fon tion kernel elle-même, omme MLS, manipulent une matri e de taille (d + 1) × (d + 1).L'extension de ette méthode à un ordre supérieur se heurte néanmoins aux mêmes restri tions que elles énon ées pré édemment. Par ailleurs, ette matri e de orre tion devant être al ulée pour haque parti ule à haque pas de temps, elle représente un oût supplémentaire non négligeablequi deviendrait omplètement prohibitif si on her hait à augmenter en ore l'ordre de pré ision(et don la taille de la matri e).L'utilisation de et opérateur de dérivation modié, au-delà d'apporter un gain de pré ision,permet également de relaxer l'une des onditions de onvergen e énon ées en (2.25). En eet la orre tion apportée permet d'assurer une meilleure intégration à travers la formule de quadratureet Vila a prouvé que dans es onditions la onvergen e ne né essitait plus ∆xh → 0 et qu'onpouvait se ontenter de ∆x

h = O(1).Cette matri e de orre tion étant lo ale se pose la question, à nouveau, du respe t des pro-priétés de onservation globale du s héma. A l'image de e qui a été exposé pré édemment pourle s héma h variable, l'utilisation de la renormalisation onduit à priori à une rupture de la symé-trie des intera tions entre parti ules. Des te hniques similaires peuvent alors être mise en pla ean de restaurer ette symétrie, omme l'utilisation d'une matri e de renormalisation moyenne¯Bij =

¯Bi+¯Bj

2 . On peut néanmoins s'interroger sur la signi ation d'une telle matri e qui ne orrigeexa tement le s héma ni pour le point i ni pour le point j. Toutefois Vila ([70) a montré que ladis rétisation des équations d'Euler introduit naturellement une formulation symétrisée rigoureusequi prend alors une forme omparable à elle utilisée pour le s héma h variable :Dvi

Dt= fe −

∑

j∈Di

mj

ρiρj

(

pi¯Bi · ∇Wij + pj

¯Bj · ∇Wij

) (2.85)Cette dernière formulation, bien qu'elle soit la plus rigoureuse, est néanmoins un peu plus hèreen terme de oût de al ul. Par ailleurs elle ne parvient pas à éliminer l'un des défauts majeurs de ette te hnique qui est la détérioration de la stabilité globale de la méthode. La renormalisation omporte en eet une inversion de matri e. Cette matri e est un terme géométrique et est don trèsdépendante du désordre et de l'irrégularité de la distribution spatiale des parti ules. Dans des asextrêmes, omme la tron ature partielle du domaine d'interpolation pour une parti ule pro he dela surfa e libre, la matri e de renormalisation se retrouve parti ulièrement mal onditionnée. Même

2.3 Bilan 53si son inversion numérique ne pose pas de problème (les erreurs numériques garantissant presquetoujours la non nullité de son déterminant), elle peut présenter des valeurs propres très élevées.La renormalisation n'apporte plus alors une simple orre tion mais une véritable modi ation del'opérateur diérentiel. En parti ulier l'intensité des intera tions entre parti ules peut prendredes valeurs singulières et onduire à des omportements numériques anormaux. L'utilisation dela te hnique de renormalisation doit don être en pratique en adrée et ontrlée par des ritèressur la régularité de la matri e de renormalisation. Dans un as idéal, elle- i devrait être égale àla matri e identité, on peut alors onstruire des ritères basés sur le déterminant ou les valeurspropres de la matri e et permettant d'autoriser, ou non, l'inversion de la matri e. Si elle- i n'estpas inversible, la matri e ¯B doit alors être rempla ée par l'identité. L'amélioration de la pré isionne peut don on erner que ertaines régions de l'é oulement, mais pas la surfa e libre par exemple([15).2.3 BilanLa méthode numérique SPH propose don une méthode totalement lagrangienne simple dansson appro he, souple et ayant les apa ités pour mener des simulations très omplexes tant est aiséel'in orporation de nouveaux modèles physiques (transport s alaire, magnétohydrodynamique).Pourtant la présentation qui en a été faite i i n'a pas a hé la omplexité mathématique qui se a hederrière ette apparente simpli ité, le dé alage entre les démonstrations théoriques de onvergen eet la pratique, onduisant à une impré ision théorique devenue inhabituelle à l'heure a tuelle enCFD, ou en ore les di ultés à modéliser des onditions limites simples que les autres méthodesnumériques manipulent aisément. Dans quelle mesure peut-on utiliser un outil si peu assuré surses bases ? Il faut bien omprendre que la méthode SPH est en ore jeune, que son utilisation dansle adre de la simulation d'é oulements n'a pas en ore béné ié du même intérêt que les autresméthodes numériques et que par onséquent elle est en plein développement. Nous allons voirdans le hapitre suivant que l'implémentation de e formalisme pro ure un outil numérique pleind'atouts et témoigne du potentiel d'évolution de ette méthode.

54 La méthode numérique SPH

Chapitre 3Implémentation de la méthode etvalidationsLe hapitre pré édent a permis de détailler une méthode numérique lagrangienne adaptée à lasimulation d'é oulements à surfa e libre. Ce hapitre va permettre de détailler l'implémentation on rète de ette méthode et de montrer une série de résultats de simulations numériques quitendent à valider son utilisation.3.1 Les odes de al ul NEMO et SPARTACUSDans le adre de la oopération entre l'É ole Centrale de Lyon, EDF-LNHE et VATECH Hydo,deux implémentations diérentes de la méthode SPH ont été abordées. Elles s'appuient toutesdeux sur le formalisme SPH standard tel qu'exposé dans le hapitre pré édent. Elles permettenten outre d'aborder ertains aspe ts génériques tels que la re her he des voisins ou la paralléli-sation de l'algorithme, et présentent également ertains développements propres qui reètent lespréo upations de ha un des partenaires.3.1.1 Présentation des deux odesSPARTACUSLe ode SPARTACUS est un outil développé par la so iété EDF au sein du Laboratoire Natio-nal d'Hydraulique et d'Environnement depuis 1998. L'a ronyme SPARTACUS signie "SmoothedPARTi le hydrodynami s for ACUrate ow Simulation". Ce ode était initialement é rit en For-tran 77 et permettait des simulations en 2D. L'un des objets de ette thèse était de le paralléliseret de le porter en 3D. Il a alors été dé idé qu'une réé riture en Fortran 90 était préférable ar ellepermettait une allo ation dynamique de mémoire fort utile pour la parallélisation.Ce ode omporte la plupart des diérentes formulations expli itées dans le hapitre pré édentà la fois pour le terme de pression ((2.52) et (2.53)) et le terme visqueux ((2.78) et (2.79)). Leterme de vis osité arti ielle n'est pas présent ar la vis osité physique semble la plupart dutemps susante pour stabiliser les al uls. Les parois solides peuvent être modélisées par desfor es répulsives, néanmoins le modèle des parti ules tives est implémenté et est généralementemployé. Les résultats de simulations menées ave Sparta us et montrés dans e manus rit onttous été obtenus en utilisant e modèle. L'intégration temporelle est réalisée par la méthode deNewton d'ordre 1. Le ode permet également des simulations multiphasiques (Buvat,[6) ainsi quela prise en ompte des phénomènes turbulents, e qui sera détaillé ultérieurement.

56 Implémentation de la méthode et validationsNEMOLe ode NEMO est un ode de re her he développé au Laboratoire de Mé anique des Fluideset d'A oustique de l'É ole Centrale de Lyon ave le soutien de la so iété VATECH Hydro. Il s'agitd'un ode é rit en C/C++ dire tement 3D et dès le début orienté vers la simulation d'é oulementsà l'intérieur des turbines Pelton. La ontrainte de devoir gérer des géométries omplexes a limitél'implémentation des modèles de paroi au seul modèle des for es répulsives. Le système d'équationsdis rètes implémenté est elui donné par (2.52) ave vis osité arti ielle. L'une des originalités de e ode est la dis rétisation des parois omplexes qui sera détaillée ultérieurement. Bien que laméthode d'intégration de Runge-Kutta d'ordre 4 ait été implémentée, le oût de al ul engendrépar les as tests 3D a rapidement onduit à privilégier le seul s héma de Newton d'ordre 1. Ennle s héma h variable est implémenté et les parti ules sont ha une dotées d'une longueur de lissagepropre qui évolue en temps selon la relation :hi ≈

(mi

ρi

)1/d (3.1)3.1.2 Re her he des voisinsLa formule de quadrature permettant le al ul ee tif des intégrales dis rètes qui apparaissentlorsque l'on dis rétise les équations du mouvement selon le formalisme SPH né essite d'ee tuerune sommation, ou bou le en algorithmique, sur les parti ules voisines. Grâ e à l'utilisation defon tions kernels à support ompa t, e voisinage se réduit à un disque en 2D et à une sphèreen 3D. Une implémentation performante de la méthode requiert don une re her he e a e de es voisins, ar la omplexité d'une telle re her he est à priori de N2 si N est le nombre total departi ules dans la simulation.Il existe deux grandes méthodes pour mener e a ement ette re her he des voisins. Lesastrophysi iens plébis itent l'algorithme "o t-tree" ar il permet à la fois d'a éder aux voisineslo ales sans perdre les informations "longue distan e" né essaires au al ul des intera tions degravité. En mé anique des uides e type d'information est ependant inutile, aussi la ommunautéutilise-t-elle majoritairement l'algorithme appelé "link list".Cet algorithme utilise une grille régulière sous-ja ente et tire pleinement prot du fait queles parti ules interagissent par paires (intera tions symétriques). Ainsi plutt que de sto ker deslistes de parti ules voisines, il est seulement né essaire de sto ker des ouples d'intera tion. Ande dé rire et algorithme, on note ht la taille du domaine d'interpolation (an de simplier laprésentation, un s héma h onstant est supposé ; l'extension au as h variable étant immédiate en onsidérant par exemple la plus grande valeur de h dans l'é oulement).On dénit tout d'abord une "boîte" symbolisant les limites du domaine de simulation et ondivise ette boîte en ellules régulières pour former un maillage artésien régulier. La taille de es ellules ( arrés en 2D ou ubes en 3D) est prise égale à ht. Ce maillage sert seulement à trierles parti ules : au ours d'une bou le portant sur l'ensemble des parti ules, on détermine leurappartenan e à une ellule ( oordonnées indi ielles) et en même temps on onstruit, pour ha unede es ellules, la liste des parti ules qu'elle ontient. Ensuite au ours d'une se onde bou le surles parti ules, les voisines sont re her hées uniquement dans les ellules adja entes (9 en 2D et27 en 3D) omme le montre la gure 3.1, e qui réduit onsidérablement le nombre de parti ulessus eptibles de faire partie du voisinage de la parti ule i onsidérée. Enn seules sont séle tionnéesles parti ules j qui vérient à la fois ‖xij‖ < ht et i < j. Cette dernière ondition permet de nesto ker qu'une seule fois les ouples d'intera tion et réduit de moitié le nombre de tests sur ladistan e que l'on doit ee tuer. La omplexité de et algorithme est proportionnelle à N .

3.1 Les odes de al ul NEMO et SPARTACUS 57

ht

ht

ht

Coordonnéesindi ielles

J − 1

J

J + 1

I − 1 I I + 1

Fig. 3.1: Re her he des voisins par l'algorithme "linked lists"3.1.3 Algorithme général SPHBien que haque ode ait ses spé i ités, il est possible de dégager un algorithme assez généralpour un ode SPH qui permet d'illustrer le déroulement d'une simulation et qui est présenté à lagure 3.2.3.1.4 Modèles de turbulen e de SPARTACUSLa simulation numérique d'é oulements turbulents est un problème bien déli at. On nommede manière générale turbulen e l'ensemble des u tuations spatiales et temporelles des grandeursqui dé rivent l'é oulement. Or es u tuations présentent généralement des é helles de longueuret de temps très variables, et il est di ile d'a éder aux plus petites de es é helles aussi bienpour une méthode expérimentale que pour une méthode numérique. La taille de dis rétisation et elle du pas de temps déterminent ainsi les plus petites é helles qu'une simulation est sus eptiblede reproduire. En toute logique, seule une simulation parti ulièrement pré ise, utilisant une taillede dis rétisation adaptée à la plus petite é helle de l'é oulement peut être onsidérée ommeune représentation dèle de l'é oulement. De telles simulations existent, il s'agit de e que l'onappelle Dire t Numeri al Simulation (DNS). Mais ette te hnique ré lame une puissan e de al ul onsidérable qui, de plus, augmente ave le nombre de Reynolds (dont dépend la taille des pluspetites é helles). Aussi pour simuler des é oulements réels il est né essaire de re ourir à unedes ription moins pré ise de l'é oulement.A ette n, il est né essaire de rappeler quelques prin ipes relatifs aux eets de la turbulen e.On onsidère généralement qu'il existe un transfert d'énergie des grandes é helles de u tuationsvers les plus petites, 'est e que l'on nomme la as ade d'énergie. Au niveau des petites é helles,les eets visqueux deviennent susamment importants pour dissiper ette énergie sous formede haleur (par frottement). Une appro he très répandue onsiste alors à tenter de reproduire

58 Implémentation de la méthode et validationsDénition des paramètres de simulationDénition des géométries uide et solideDénition des onditions initialesRe her he des voisinsCal ul de la fon tion kernel et de songradient pour haque oupled'intera tionCal ul des intera tionsSommation des intera tionsIntégration temporelleMouvement des parti ulesGestion des onditions d'entrée (inje tion)et de sortie (élimination de parti ules)

Test de nOUINON

Bou letemporelle

Fig. 3.2: Algorithme général simplié pour un ode SPH

3.1 Les odes de al ul NEMO et SPARTACUS 59un é oulement moyen (éventuellement stationnaire) en prenant en ompte l'eet des u tuations.C'est le formalisme Reynolds Averaged Navier-Stokes (RANS). Il s'agit alors non pas de re her herla solution instantanée exa te de l'é oulement mais une solution moyennée en temps. L'eet desu tuations doit alors être modélisé. Et puisque l'eet des petites é helles se traduit par unediusion et une dissipation visqueuse, la modélisation la plus ouramment employée est elle dela vis osité turbulente introduite par Boussinesq.Ainsi le système d'équation à résoudre en modélisation RANS (appelé équations de Reynolds)est très pro he du système des équations de Navier-Stokes, à la diéren e que les grandeursre her hées sont des moyennes statistiques et que la vis osité du uide est augmentée de la vis ositéturbulente, e qui donne par exemple pour l'équation de quantité de mouvement (après quelquessimpli ations lassiques pour les é oulements in ompressibles) :D〈v〉Dt

= −1

ρ∇(〈p〉) + ∇ ((ν + νT )∇(〈v〉)) (3.2)L'objet de e travail de thèse n'est pas d'apporter de nouveaux développements sur la priseen ompte de la turbulen e dans la méthode SPH, aussi la des ription théorique de la turbulen eet des modèles présents dans le ode Sparta us est su inte à dessein. Ce paragraphe permetnéanmoins de montrer les potentialités de la méthode SPH et dé rit la matière qui a servi debase de travail pour le portage du ode en 3D et sa parallélisation. De plus amples informationspeuvent être trouvées dans la thèse de Issa [28. Un as d'é oulement turbulent est présenté en nde hapitre.Équations de Reynolds dans Sparta usLe formalisme RANS a été développé et implémenté dans le ode Sparta us par DamienVioleau. On présente i i simplement les équations du mouvement moyennées dis rétisées par laméthode SPH :

Dxi

Dt= 〈vi〉

Dρi

Dt=∑

j∈Di

mj〈vij〉∇Wij

Dvi

Dt= fe −

∑

j∈Di

mj

(

〈pi〉ρ2

i

+〈pj〉ρ2

j

− 8νT,i + νT,j

ρi + ρj

〈vij〉 · xij

‖xij‖2 + η2

)

∇Wij

〈pi〉 =ρ0c

20

γ

[(ρi

ρ0

)γ

− 1

]

(3.3)ave vij = vi − vj et xij = xi − xj .Ce système d'équations est don très semblable à elui présenté au hapitre pré édent, l'apportde la modélisation de la turbulen e se faisant seulement au niveau de la vis osité turbulente. Celle- i est une grandeur lo ale qui dépend des ara téristiques lo ales de l'é oulement moyen. Il estdon né essaire d'implémenter un modèle de fermeture permettant de déduire la valeur de ettevis osité turbulente à partir des grandeurs moyennes de l'é oulement. Trois modèles de turbulen esont ainsi implémentés dans Sparta us : modèle à longueur de mélange, modèle à une équationsur k et modèle à deux équations k − ǫ.

60 Implémentation de la méthode et validationsModèle à longueur de mélangeIl s'agit d'un modèle très simple dans lequel la vis osité turbulente est déduite du tenseurdu taux de déformation à l'aide d'une é helle de longueur ara téristique appelée longueur demélange :νT,i = L2

m,i

√

2〈si〉 : 〈si〉 (3.4)où le tenseur du taux de déformation est donné par :〈si〉 =

1

2

[∇i(〈v〉) + ∇t

i(〈v〉)] (3.5)Le gradient de vitesse doit don être préalablement al ulé en tout point selon la dis rétisationSPH suivante :

∇i(〈v〉) = − 1

ρi

∑

j∈Di

mj〈vij〉 ⊗ ∇Wij (3.6)La longueur de mélange Lm,i traduit l'eet des grandes é helles sur la diusion et peut être reliée àl'é helle intégrale. Néanmoins le modèle n'est pas los et l'utilisateur doit fournir une dénition de ette longueur de mélange qui sied bien à l'é oulement onsidéré. Ainsi hormis quelques as simplesqui ont fait l'objet d'investigations expérimentales poussées, l'utilisateur ne peut que fournir unevaleur très approximative de ette longueur de mélange, e qui dégrade for ément la pré ision de e modèle.Modèle à une équation sur kLa vis osité turbulente peut également être al ulée par un raisonnement simple sur l'énergie inétique turbulente k, en onsidérant que 'est une mesure de la vitesse des grandes stru tures.En assimilant la longueur de mélange à l'é helle intégrale de la turbulen e, on obtient la relationsuivante :νT,i = Cµ

k2i

ǫi(3.7)où ǫ est le taux de dissipation de l'énergie inétique turbulente k et Cµ est un paramètre dontla valeur est souvent prise égale à 0.09. k est alors onsidérée omme une grandeur du hamp etest soumise à une équation d'évolution du type onve tion-diusion ave deux termes sour es :la produ tion et la dissipation d'énergie inétique turbulente. En utilisant un terme de diusiondéveloppé par Monaghan sur la base des travaux de Cleary, Violeau ([71) a obtenu la dis rétisationsuivante pour ette équation :

Dki

Dt=∑

j∈Di

mj

ρj

νT,i + νT,j

σk

kijxij

‖xij‖2 + η2· ∇Wij

︸ ︷︷ ︸

diffusion

+ Pi︸︷︷︸

production

− ǫi︸︷︷︸

dissipation

(3.8)Le paramètre σk est le nombre de S hmidt et peut être pris égal à 1. Le terme de produ tion peutêtre al ulé à travers la relation :Pi = 2Cµ

k2i

ǫi〈si〉 : 〈si〉 (3.9)et le taux de dissipation ǫ par :

ǫi = C3/4µ

k3/2i

Lm,i(3.10)

3.1 Les odes de al ul NEMO et SPARTACUS 61Ce modèle est plus évolué que le pré édent et donne notamment de meilleures résultats dansle as de simulations instationnaires. Néanmoins il omporte un ertain nombre de paramètresdont la valeur est essentiellement issue de l'expérien e et peut dépendre du as traité. Enn, unefois en ore, une dénition extérieure de la longueur de mélange est né essaire.Modèle à deux équations k − ǫAn d'éliminer vraiment le re ours à une dénition externe de la longueur de mélange, unealternative est de al uler le taux de dissipation ǫ à travers une équation d'évolution du mêmetype que elle utilisée pour k. Par rapport au modèle pré édent, on rajoute alors seulement uneéquation pour ǫ :Dǫi

Dt=∑

j∈Di

mj

ρj

νT,i + νT,j

σǫ

ǫijxij

‖xij‖2 + η2∇Wij +

ǫi

ki(Cǫ1Pi − Cǫ2ǫi) (3.11)Les paramètres σǫ, Cǫ1 et Cǫ2 valent respe tivement 1.3, 1.44 et 1.92 mais peuvent être ajustés enfon tion du as traîté.Il faut noter que l'utilisation des équations d'évolution pour k et ǫ né essite d'imposer des onditions limites pour es deux grandeurs (notamment près des parois) ainsi qu'une initialisationde es deux grandeurs.Les travaux réalisés au LNHE sur l'adaptation en SPH de modèles de turbulen e bien onnusdans les méthodes de CFD traditionnelles sont très originaux au sein de la ommunauté SPH et onstituent un développement de pointe. An de dépasser ertaines limitations inhérentes à ettemodélisation RANS, on peut iter d'autres travaux ee tués par Violeau ([72) sur la modélisationsto hastique des u tuations turbulentes par l'utilisation d'un modèle de Langevin généralisé etune tentative d'implémentation d'une modélisation LES (Large Eddy Simulation) par Issa [28.3.1.5 Dis rétisation des géométries omplexes ave NEMOSimuler l'é oulement dans les turbines Pelton, 'est faire fa e à un é oulement à surfa e libreinstationnaire évoluant dans une géométrie omplexe en rotation qui présente des é helles delongueur très diverses. Quelque soit la méthode numérique onsidérée, 'est don un véritable hallenge. Nous avons vu que SPH permettait de traiter assez fa ilement la surfa e libre, mais quepar ontre la prise en ompte des géométries omplexes était un point très déli at et par onséquentseul le modèle des for es répulsives a pu être envisagé dans le ode NEMO. Pour des raisons desimpli ité et de oût, le modèle des for es répulsives normales de Monaghan (voir (2.59)) a étéadapté an d'éliminer la orre tion tangentielles que Monaghan avait introduite. L'expression dela for e répulsive entre une parti ule uide i et un point de paroi p est ainsi donnée par :

f ip =

D

rip

[(r0

rip

)p1

−(

r0

rip

)p2]

np si rip ≤ r0

0 si rip > r0

(3.12)où rip = ‖xi − xp‖.Il est ependant né essaire de disposer d'une dis rétisation satisfaisante des surfa es géomé-triques, 'est-à-dire que l'espa ement entre les points répartis sur la surfa e doit être au plus égaleà la taille ara téristique de la dis rétisation du uide (typiquement la taille initiale des parti ulesuides ou l'espa ement moyen initial ∆x). Par ailleurs, an de représenter pré isément les détails

62 Implémentation de la méthode et validationsgéométriques, ette dis rétisation doit être ranée dans les zones de forte ourbure. Enn ettedis rétisation doit également fournir les oordonnées des normales lo ales.Le format de hier PLY (Polygonal File Format) permet d'obtenir une telle dis rétisationen dé rivant une surfa e omme un ensemble de polygones (typiquement des triangles) et enfournissant les oordonnées des sommets de es triangles ainsi que les normales au entre destriangles. Le logi iel de CAO utilisé hez VATECH Hydro permettant d'exporter les géométriessous e format, ette solution a été hoisie. De plus e logi iel permet de déterminer à l'avan e lataille maximale des arêtes des triangles, e qui permet de ontrler la nesse de la dis rétisation.Un simple outil de pré-traitement permet alors de onvertir le hier PLY en points de dis ré-tisation adaptés à la simulation SPH. Nous avons hoisi de pla er un point à haque sommet destriangles. Ce point se voit ae ter une normale qui est une moyenne des normales des trianglesqui se onne tent en e point.3.2 Parallélisation de l'algorithme SPHUn obsta le non négligeable à l'utilisation et à la diusion de la méthode SPH est le oûtde al ul assez élevé qu'elle peut engendrer. Ce i est assez ommun à toutes les méthodes la-grangiennes et présente plusieurs raisons. La première résulte du s héma numérique lui-même. Les héma d'interpolation utilise les points de al ul situés à l'intérieur du domaine d'interpolation, e qui représente rapidement un nombre de points élevé (de 20 à 50 en 2D et de 100 à 200 en 3D).A titre de omparaison un s héma de volumes nis utilise typiquement au plus une dizaine de ellules voisines en 3D. Ensuite le mouvement des parti ules implique que toutes les données "géo-métriques" omme la liste des voisines, les valeurs de la fon tion kernel et de son gradient doiventêtre mises à jour à haque itération, e qu'une méthode eulérienne évite grâ e à la onne tivitéxe entre les noeuds du maillage : es données géométriques (les métriques) sont alors al uléesen début de al ul puis sto kées. Enn l'utilisation d'un s héma d'intégration temporelle expli iteet de l'équation d'état pseudo ompressible entraine des valeurs du pas de temps très petites, etil est don né essaire de réaliser de nombreuses itérations pour simuler un temps physique donné(ou atteindre un état stationnaire).Des moyens d'a élérer les al uls existent. Nous avons vu que la te hnique de renormalisationpouvait théoriquement permettre d'abaisser le nombre de voisins né essaires à la pré ision dus héma d'interpolation, mais ette appro he est très déli ate à mettre en pratique pour des raisonsde stabilité, si bien que la renormalisation apporte une amélioration de la pré ision mais au prixd'une augmentation du oût de al ul.On pourrait également onsidérer qu'une te hnique de ranement adaptatif de la dis rétisationalliée à un s héma h variable permettrait de mieux répartir la harge de al ul et au nal de dimi-nuer le nombre total de points utilisés. Malheureusement ela né essite des développements assezlourds, tout d'abord par e qu'il faut mettre en pla e une te hnique de ranement/déranementdynamique pré ise et onservative, ensuite par e qu'une telle méthode doit être basée sur des ritères pertinents permettant de dé len her lo alement la division ou le regroupement de par-ti ules, enn par e que es ritères doivent né essairement être basés sur des indi ateurs ablesdu omportement de l'é oulement et que la méthode SPH ne garantie pas en ore une pré isionsusante pour ela. Aussi en dehors de as simples où l'utilisateur peut dénir des zones plus oumoins densément dis rétisées, ela ne onstitue pas une voie rapide pour a élérer les al uls.L'utilisation d'un s héma d'intégration temporelle impli ite pourrait permettre une augmen-tation de la valeur du pas de temps, mais e type de s hémas né essite des al uls matri iels assez omplexes. De plus, le s héma d'interpolation numérique de SPH omporte un grand nombre

3.2 Parallélisation de l'algorithme SPH 63de voisins si bien que la matri e n'est pas à diagonale dominante et doit don être pré-traitéeavant d'être inversée e a ement. Enn l'emploi d'un formalisme rigoureusement in ompressiblepermettrait également d'augmenter la valeur du pas de temps mais ette te hnique se heurte àdes di ultés supplémentaires dans l'imposition des onditions limites et présente elle-aussi des al uls matri iels lourds.Aussi an d'assurer les han es de parvenir à diminuer ee tivement le temps de restitution des al uls, il est intéressant d'envisager la parallélisation du ode de al ul. L'idée est alors d'utiliserplusieurs unités de al ul qui vont se partager la harge de travail en oopérant. La parallélisationd'un ode de al ul est don une pure question d'implémentation informatique. Néanmoins le faitd'utiliser une méthode lagrangienne omplexie sensiblement e travail.Parmi les diérentes te hniques de parallélisation existantes, nous avons retenu la solution onsistant à ee tuer un dé oupage du domaine physique de al ul. En vo abulaire spé ialiséon parle alors de parallélisation par partage de données par opposition à la parallélisation parpartage de ta hes. Celle- i n'est en eet pas adaptée à un algorithme tel que SPH ar il omporteune série d'opérations qui s'en haînent obligatoirement de manière séquentielle. An de fairetravailler les unités de al ul ensemble il est né essaire de les faire ommuniquer. Le standardMPI (Message Passing Interfa e) a été hoisi ar il est apable de fon tionner sur des ar hite tureshétérogènes à mémoire distribuée ou partagée. En pratique MPI se présente omme une librairiede routines de ommuni ation permettant d'é hanger des messages entre les unités de al ul(les pro esseurs). Un peu omme pour une lettre, un message MPI omporte un destinataire,un envoyeur, un identi ateur et des données. Ces messages sont é hangés entre des pro essusparti ipant à un ommuni ateur (le al ulateur parallèle) et sont apables de transporter touttype d'informations. Le travail de l'implémentateur est alors de réaliser un partage judi ieux desdonnées et de veiller à e que haque pro esseur dispose des informations qui lui sont né essairesen réalisant les ommuni ations adéquates. An d'illustrer e propos, prenons le as de deuxparti ules i et j qui interagissent et supposons qu'à la suite du partage des données, es deuxparti ules soient pla ées sur deux pro esseurs diérents, par exemple le pro esseur 1 pour i etle pro esseur 2 pour j. On suppose également que i < j si bien que j gure sur la liste desvoisins de i mais que i ne gure pas sur la liste des voisins de j onformément à l'algorithme dere her he des voisins exposé pré édemment. An d'ee tuer le al ul des intera tions entre esdeux parti ules, le pro esseur 1 doit né essairement disposer dans sa mémoire des informations(position, vitesse, densité) relatives aux deux parti ules. Le as de la parti ule i est simple arelle fait partie du paquet de données dont il a la harge, par ontre les informations relatives à jdoivent avant tout al ul être ommuniquées par le pro esseur 2 au pro esseur 1. Après al ul de es termes d'intera tion par le pro esseur 1, il est né essaire, en vertu du prin ipe de symétrie desintera tions, de ommuniquer au pro esseur 2 le résultat de e al ul an qu'il puisse de son téen tenir ompte dans les équations du mouvement pour la parti ule j.Ce petit exemple est très représentatif de e à quoi l'implémentateur doit veiller. En pratique,il est beau oup plus e a e de grouper les ommuni ations an de limiter les temps de laten edus aux ouvertures-fermetures des anaux de ommuni ation. Un aspe t important de la parallé-lisation est en eet lié à la performan e de l'implémentation parallèle. Les ommuni ations entrepro esseurs ainsi que les traitements supplémentaires introduits omme le partage de donnéesreprésentent un sur oût qu'il onvient d'optimiser vis-à-vis du temps de al ul utile. Un autreaspe t de la performan e de la parallélisation onsiste à optimiser l'o upation de la mémoire.L'utilisation de plusieurs unités de al ul à mémoire distribuée permet de former un al ulateurvirtuel doté d'une puissan e de al ul potentiellement égale à la somme des puissan e de al ulparti ulières mais aussi d'une mémoire totale égale à la somme des mémoires parti ulières. Le par-

64 Implémentation de la méthode et validationstage des données permet don à taille de al ul égale de diminuer l'o upation mémoire de haquepro esseur, ou inversement de béné ier de l'espa e mémoire étendu pour mener des simulationsplus importantes. Compte tenu des ontraintes diérentes qui pèsent sur les diérentes parties du ode, une double parallélisation a été ee tuée et est présentée i-dessous.Parallélisation des al ulsParalléliser les al uls d'intera tions ou d'intégration temporelle est assez aisé en SPH. Dupoint de vue algorithmique, es ta hes sont réalisées lors de bou les portant sur l'ensemble desparti ules du al ul. Une parallélisation très simple onsiste alors à dé ouper es bou les en partieségales et à oner es bou les partielles à ha un des pro esseurs. Cela revient à oner des paquetsde parti ules à haque pro esseur simplement selon la numérotation des parti ules, e dé oupageest purement informatique et n'a à priori rien à voir ave la position spatiale des parti ules. Il estpar ontre très bien adapté à l'implémentation et tout à fait dans l'esprit de MPI qui manipuled'autant mieux les données qu'elles sont ontigües en mémoire (blo s d'indi es su essifs dans lestableaux). Ainsi l'utilisation de routines de ommuni ation globale, 'est-à-dire impliquant tousles pro esseurs du ommuni ateur, est rendue possible, e qui limite les ouvertures/fermeturesde anaux de ommuni ation et les traitements annexes. En outre l'équilibrage de la harge detravail attribuée à haque pro esseur (load-balan ing) est aisée ar la taille des petits paquetspeut-être très fa ilement ajustée. En faisant l'hypothèse que toutes les parti ules représentent lamême harge de travail ( e qui est dis utable ar d'une part les onditions limites introduisentun traitement spé ique dont le oût ne ompense pas né essairement le dé it de voisins, etd'autre part les parti ules d'indi e élevé ont mé aniquement des listes de voisins réduites ar onne sto ke les paires d'intera tion qu'une seule fois et hez la parti ule d'indi e le plus faible),l'équilibre est à peu près assuré en attribuant le même nombre de parti ules à haque pro esseur(sur des ma hines homogènes). En ontrepartie, tous les pro esseurs gardent une " onnaissan eglobale" du al ul, 'est-à-dire que omme le montre la gure 3.3, en début et n d'itération haquepro esseur dispose dans sa mémoire d'une version a tualisée de l'ensemble du tableau sto kant lesparti ules. Cela ne permet pas de réaliser un gain d'o upation mémoire. Ce hoix délibéré serajustié ultérieurement.Parallélisation de l'algorithme de re her he des voisnsLa re her he des voisins est au ontraire éminément reliée à la disposition spatiale des par-ti ules et un véritable dé oupage du domaine de al ul est alors indispensable. Néanmoins le ara tère lagrangien de SPH omplique ette question ar les points de al ul se dépla ent, equi implique de renouveler e dé oupage régulièrement et si possible de réaliser un dé oupagequi minimise les é hanges de parti ules entre domaines. Les te hniques de dé oupage de domaineque l'on ren ontre habituellement font intervenir une dire tion de dé oupe privilégiée (un axe de oordonnées). Cependant le dépla ement des parti ules et la omplexité des é oulements à surfa elibre onsidérés rendent es te hniques inadaptées. Considérons le as simple de la rupture debarrage ( as test dé rit à la se tion suivante). Au ours de la simulation, la répartition spatialedes parti ules évolue fortement, ave des zones alternativement vides et remplies de parti ules, etun é oulement tantt prin ipalement dirigé le long de la dire tion horizontale, tantt le long de ladire tion verti ale. Un dé oupage fréquent est don indispensable, mais une dire tion privilégiéeest di ile à mettre en éviden e. Le as d'une roue Pelton omplète en rotation ave plusieursjets d'eau est bien entendu en ore plus déli at, tout juste peut-on dire que le plan de rotation dela roue est un plan de symétrie du al ul.

3.2 Parallélisation de l'algorithme SPH 65Etape 1 : dé oupage dutableau globalen portions égales

Etape 2 : al uls parallèlessur les portions de tableau réduites

Etape 3 : é hange des portionsde tableau par des ommuni ations globaleset assemblage dutableau a tualiséFig. 3.3: Déroulement d'une itération de al ul en mode parallèle. Chaque unité de al ul obtienten n d'itération une version a tualisée du tableau de données.

66 Implémentation de la méthode et validationsUne variante intéressante onsiste à alterner les dire tions de dé oupe en déterminant à haquefois elle qui assure l'interfa e minimale entre blo s. Oger ([15) a utilisé ette démar he en SPHen dé oupant ainsi le domaine ré ursivement par di hotomie. Néanmoins il s'agit d'une méthode oûteuse en 3D.La solution retenue i i est à nouveau fortement liée à l'implémentation et repose essentielle-ment sur la grille virtuelle que l'on utilise dans l'algorithme de re her he des voisins. Cette grillefournit en eet les rares informations eulériennes dont on dispose. L'analyse du déroulement del'algorithme linked lists montre que ette grille fournit deux informations : le nombre de parti- ules et la liste des parti ules ontenues dans haque ellule. La première information est aisémentré upérée dans une implémentation parallèle, e qui n'est pas le as de la se onde.Supposons qu'à la suite d'un ertain dé oupage, les parti ules soient réparties entre les pro es-seurs. Chaque pro esseur est alors apable de al uler les oordonnées indi ielles de ses parti ulespuis de les répartir dans les ellules de la grille. Une ellule est sus eptible de ontenir des parti- ules provenant de diérents pro esseurs, aussi le nombre total de parti ules par ellule doit êtreobtenu en additionnant les données de haque pro esseur, e qui se fait en une seule ommuni a-tion globale. Par ontre mettre en ommun les listes est bien plus déli at. Il faudrait onsidérer haque ellule séparément et on aténer les listes partielles provenant de haque pro esseur, equi représente une quantité de ommuni ations telle que ette solution n'est pas envisageable.Le problème est i i que l'on her he à ommuniquer des données non ontigües en mémoire. Lasolution est alors de les rendre ontigües. Pour ela un moyen e a e onsiste à faire en sorteque le dé oupage initial soit tel que toutes les parti ules d'une ellule soient de manière ertaineattribuées au même pro esseur. Il n'est alors plus né essaire de on aténer des petites listes pro-venant de divers pro esseurs. En ee tuant une renumérotation judi ieuse des parti ules, il estmême possible d'éliminer totalement es listes.Cette démar he va don être détaillée i-dessous. On suppose à nouveau que les parti ulesont été réparties (d'une manière quel onque) entre les pro esseurs. Les oordonnées indi ielles desparti ules sont al ulées en parallèle et haque pro esseur renseigne le nombre de parti ules qu'ila pla é dans haque ellule. Cette information est ommuniquée (toujours en une seule ommu-ni ation globale), haque pro esseur onnait désormais le nombre total de parti ules ontenuesdans haque ellule. On onstruit ensuite un nouveau dé oupage en utilisant ette information.La grille onsiste en un tableau d'entiers à deux dimensions en 2D et à trois dimensions en 3D, haque ase sto kant le nombre de parti ules asso ié à la ellule orrespondante. On dé rit alors lagrille dans l'ordre où le tableau est sto ké en mémoire, 'est-à-dire en faisant d'abord varier la der-nière oordonnée en langage C ou la première en Fortran. La des ription de la grille s'interromptlorsque l'ensemble des ellules dé rites représente le nombre de parti ules voulu, toutes es ellules onstituent alors un sous domaine que l'on one à un pro esseur. Puis la des ription de la grillereprend là où elle s'était arrêtée. Le pro essus est répété jusqu'à la dernière ellule de la grille(voir la gure 3.4). Chaque pro esseur reçoit ainsi un mor eau de la grille onstitué de elluleset représentant un nombre prédéterminé de parti ules. Néanmoins les parti ules elle-même n'ontpas en ore été é hangées. Pour ela haque pro esseur réparti ses parti ules en fon tion du sousdomaine où elles se situent, onstituant ainsi autant de listes d'envoi qu'il y a de sous domaines,puis envoie haque liste au pro esseur en harge du sous domaine orrespondant. Les ommu-ni ations ont don été fortement réduites en nombre puisqu'au lieu de on erner haque ellule(typiquement plusieurs entaines ou milliers) elles on ernent désormais seulement les pro esseurs.Chaque pro esseur, qui dispose de l'ensemble des parti ules de son sous-domaine, réordonne sesparti ules en fon tion des ellules où elles sont situées, en adoptant à nouveau l'ordre de sto kagedu tableau de la grille en mémoire. Puis es listes sont on aténées an de onstituer la nouvelle

3.2 Parallélisation de l'algorithme SPH 67

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

Sous domaine 1 Sous domaine 2 Sous domaine 3

z

x

(Xmin, Zmin)

(Xmax, Zmax)

Fig. 3.4: Par ours de la grille (langage C) et onstru tion des sous domaines.numérotation globale du al ul et les parti ules sont re opiées dans et ordre, omme l'illustre lagure 3.5. A l'aide d'une simple stru ture de données annexe, on est alors apable de retrouverla liste des parti ules ontenues dans une ellule simplement en se déplaçant parmi des indi es ontigüs dans le tableau global des parti ules.La suite de l'algorithme linked lists se déroule ensuite telle que dé rite dans le as série, saufque haque pro esseur n'ee tue la re her he de voisins que sur les parti ules dont il a la harge, e qui permet en outre de diminuer fortement l'o upation mémoire.Remarques à propos de ette démar heCette démar he présente de nombreux avantages. La renumérotation permet tout d'abord dediminuer le oût de la re her he des voisins d'environ 40 %. En eet nous avons déjà vu que lespaires d'intera tion n'étaient sto kées qu'une seule fois, par la parti ule d'indi e le plus bas. Lesparti ules étant numérotées selon la ellule à laquelle elles appartiennent, il est possible de limiterla re her he des voisins à la moitié des ellules aja entes, l'autre moitié ontenant de manière ertaine des parti ules d'indi e plus bas (voir la gure 3.6 pour une illustration en 2D).Ensuite en ordonnant les parti ules selon leur position spatiale, on rétabli une ertaine o-héren e entre proximité spatiale et proximité informatique des informations. En parti ulier lesparti ules voisines sont également plus pro hes en mémoire e qui optimise les dépla ements despointeurs mémoire à l'intérieur des tableaux. Enn ette implémentation a permis de onservers rupuleusement l'avantage que pro ure la symétrie des intera tions puisque omme dans la ver-sion série de l'algorithme, toutes les intera tions, même elles ayant lieu entre parti ules de sousdomaines diérents, ne sont al ulées qu'une seule fois.Enn il est intéressant de noter que, omme le montre la gure 3.7, le dé oupage simple desdonnées qui est ee tué pour paralléliser les al uls revient en dénitive au dé oupage par sousdomaines ee tué pour la parallélisation de l'algorithme de re her he des voisins. Ce i s'expliquepar la renumérotation qui fait oïn ider le sto kage des parti ules ave leur position spatiale.En ontrepartie, les eets de frontière entre sous-domaines sont totalement a hés par le hoix

68 Implémentation de la méthode et validations1

N

Pro esseur 1

Pro esseur 2

Pro esseur 3

1

n1

n1 + 1

n2

n2 + 1

N

1

n1n1 + 1

n2n2 + 1

NFig. 3.5: Les étapes de la renumérotation : les parti ules sont attribuées aux sous domaines ; haque pro esseur renumérote les parti ules de son sous domaine ; des ommuni ations permettentd'assembler le tableau global réordonné.

ht

ht

ht

Coordonnéesindi ielles

J − 1

J

J + 1

I − 1 I I + 1

i

Cellules non parourues ne ontenant quedes parti ules d'indi e j < iFig. 3.6: Re her he des voisins lorsque la renumérotation est utilisée : 4 ellules sur 9 ne sont paspar ourues ( as 2D, langage C).

3.2 Parallélisation de l'algorithme SPH 69Fig. 3.7: Dé oupage des données pour le as du jet plan (2D) ave 2, 4 et 8 pro esseurs.

de ne pas dé ouper le tableau global des parti ules, e qui simplie l'implémentation mais nepermet pas d'é onomiser autant de mémoire que possible. Une étude rapide de la taille respe tivedes tableaux utilisés dans l'implémentation permet toutefois d'apporter une justi ation à e hoix.On désigne par N le nombre total de parti ules dans le al ul et par Np le nombre de pro esseursdu al ulateur parallèle. Une parti ule est onstituée d'un volume (ou masse), d'une densité, d'unevitesse, d'une position, d'une pression, éventuellement d'une vis osité, des grandeurs turbulentes,d'une longueur de lissage. Ajoutons en ore quelques informations utiles à l'implémentation ommeles oordonnées indi ielles et un marqueur d'identité ou de type, et en 3D son sto kage peut êtreévalué à environ 30 entiers. Par ailleurs haque parti ule possède environ une entaine de voisines(estimation basse), e qui en moyenne représente une inquantaine d'informations pertinentesseulement ar les paires ne sont sto kées qu'une seule fois. Tout tableau relatif aux intera tionsentre parti ules présente don une taille au moins égale à 50×N si on a mis en pla e une te hniquede sto kage reux, 100 × N sinon. Une implémentation e a e de SPH omporte né essairementun ertain nombre de es tableaux an de ne pas avoir à re al uler des termes plusieurs fois :liste des voisines, valeur de la fon tion kernel, gradient de la fon tion kernel, distan e entre lesvoisines, position relative des voisines . . .Le sto kage de tous es tableaux peut ainsi être évaluéà environ 17 × 50 × N = 850 × N entiers (et le double si au un sto kage reux n'est employé).Ce hire doit être omparé au sto kage des parti ules qui représente environ seulement 30 × N .L'implémentation proposé permet de diviser exa tement la taille des tableaux relatifs aux voisinespar le nombre de pro esseurs et laisse in hangé le tableau de sto kage des parti ules, e qui ramènela omparaison pré édente à 850×N/Np ontre 30×N . Clairement la démar he présentée permetdon de réduire la taille des tableaux qui o upent le plus la mémoire des unités de al ul. Letableau non dé oupé permettant de sto ker les parti ules représente par exemple environ 120 Mopour un al ul omportant un total de 106 parti ules, e qui est largement supportable pour des lusters de al ul (ar hite ture envisagée par les deux partenaires de la thèse).Une amélioration de ette implémentation est par ailleurs envisageable si la question de l'o - upation mémoire devenait un fa teur limitant l'utilisation de et algorithme. En eet il est toutà fait possible de ne donner à un pro esseur que son sous domaine augmenté des parti ules situées hez les pro esseurs voisins et qui sont né essaires au al ul des intera tions. Seules les ellules ontenant des parti ules d'indi es supérieurs sont à ommuniquer, e qui représente seulement uneportion plus grande (mais toujours ontinue) du tableau global des parti ules. Cela ne modiedon pas profondément l'algorithme présenté i i.Cette te hnique de parallélisation a été présentée lors du "3rd International Workshop MeshfreeMethods" en 2005 (voir [42).

70 Implémentation de la méthode et validationsMesure de la performan e parallèleL'e a ité de l'algorithme parallèle a été mesurée pour le ode Sparta us3D en s'appuyantsur le as test de la rupture de barrage. Ce as omporte au total environ 200000 parti ules, etles al uls ont été ee tués sur un luster d'EDF omportant 64 noeuds de 2 pro esseurs et 4Gbde mémoire ha un.La performan e est mesurée sur 1000 itérations et on dénit deux grandeurs appelées l'a é-lération et l'e a ité et donnée par :Acc(np) =

Temps CPU(np)

Temps CPU(1)et Eff(np) =

Temps CPU(1)

np × Temps CPU(np)(3.13)où Temps CPU(N) représente le temps d'exé ution du al ul lorsque le al ulateur parallèle omporte N pro esseurs. On mesure don une e a ité et une a élération relatives au as d'un al ul série.Le tableau 3.1 présente les temps de al ul, l'a élération et l'e a ité pour un al ulateurparallèle omportant de 1 à 16 pro esseurs. La gure 3.8 présente une vue d'ensemble du al ul en ours d'exé ution et montre notamment le dé oupage des données sur 4 pro esseurs ( es résultatsont été publiés dans [55).

np Temps CPU (s) a élération e a ité1 4332 1.00 1.002 2160 2.01 1.0054 1116 3.88 0.978 576 7.52 0.9416 322 13.45 0.84Tab. 3.1: Temps CPU, a élération et e a ité enfon tion du nombre de pro esseurs Fig. 3.8: Vue d'ensemble du al ul et dé- oupage du domaine entre les pro esseurs( haque ouleur orrespond à un pro es-seur).La gure 3.9 représente la ourbe d'a élération omparée à l'a élération idéale (e a ité de100%).L'e a ité de la parallélisation diminue lorsque l'on augmente le nombre de pro esseurs, equi est normal puisque la harge de al ul diminue par pro esseur alors que le volume de ommu-ni ations augmente. Néanmoins l'e a ité obtenue ave 16 pro esseurs est de 0.84, e qui est uneperforman e intéressante ompte tenu du nombre assez restreint (seulement 12500) de parti ulespar pro esseur.

3.3 Cas tests 71

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18ac

cele

ratio

nnombre de processeurs

idealemesuree

Fig. 3.9: Courbe d'a élération omparée à l'a élération idéale.3.3 Cas tests3.3.1 Rupture de barrage 2DCe as test est parti ulièrement répandu dans la ommunauté des développeurs et utilisateursde odes de al ul SPH et sert à valider les implémentations de la méthode. Il s'agit d'un as assezsimple et 2D, il ne demande don pas d'importantes ressour es de al ul. Par ailleurs la géométrieest susamment simple pour être onstruite "à la main" par l'utilisateur.Les résultats présentés i i ont été obtenues en utilisant le ode SPARTACUS2D. La olonned'eau initiale mesure 2m de haut pour 1m de large, alors que la paroi de droite est située à unedistan e de 4m de la paroi de gau he. La taille de dis rétisation est 1cm, le nombre de parti ulesuides est alors de 20000 et le nombre total de parti ules (en rajoutant les parti ules de bord etles parti ules tives) est de 25045. La gure 3.10 donne une présentation générale de la géométrieinitiale.Une vis osité onstante a été utilisée. La gure 3.11 montre la onguration de l'é oulementà diérents instants de la simulation.Ce al ul a été ee tué an de valider l'implémentation parallèle de SPARTACUS, ar le odeparallèle doit donner les même résultats que le ode série, aux erreurs d'arrondis numériquesprès. Bien que e as soit très répandu, peu de données sont disponibles pour des validationsquantitatives. Néanmoins des omparaisons de la forme de la surfa e libre entre les résultatsnumériques de Sparta us et des visualisations expérimentales ont été ee tuées par Issa ([28)et montrent que ette implémentation de la méthode SPH reproduit dèlement les prin ipales ara téristiques de l'é oulement : avan ée du front de vague, impa t sur la paroi opposée etdéferlement de la vague de retour.3.3.2 Jet d'eau impa tant une paroi planeL'étude d'un jet d'eau impa tant une plaque plane onstitue une première étape dans le but devalider l'utilisation d'une méthode numérique pour simuler l'é oulement dans une turbine Pelton.Kvi insky ([32, [33) et Zoppé ([73) ont ainsi onfronté la méthode VOF à e as simple ave un ertain su ès, et ont obtenu ensuite des résultats satisfaisants sur des ongurations réalistesd'é oulement dans les turbines Pelton.Une démar he similaire de omplexi ation progressive des as tests a été adoptée i i. Trois

72 Implémentation de la méthode et validations

Fig. 3.10: Géométrie initiale dis rétisée du as test de la rupture de barrage 2D. En bleu :parti ules uides ; en vert : parti ules de bord ; en rouge : parti ules tives. ongurations d'é oulements stationnaires utilisant trois angles d'in iden e du jet sur la plaquesont étudiées : l' in iden e normale (α = 90°), et deux in iden es plus faibles (α = 60° et α =30°) omme montré en gure 3.12. Ces trois ongurations, bien que statiques, permettent aussid'évaluer la validité de la simulation en as de rotation du solide. Les al uls présentés sonttridimensionnels et ont été réalisés à l'aide du ode de al ul NEMO. Les résultats numériquessont onfrontés à des mesures expérimentales d'épaisseur des nappes d'eau qui se forment surla surfa e de la plaque. Ces é oulements présentant un point d'arrêt, il est également possiblede mesurer la qualité de la prédi tion du hamp de pression sur la paroi de la plaque. Enn lesrésultats numériques sont également omparés à des résultats de al ul obtenus par une méthodeVOF ( ode ommer ial CFX).An de se pla er dans les même onditions que les résultats expérimentaux, le jet hoisi a undiamètre D = 0.03m et une vitesse débitante U = 19.61m/s, e qui orrespond à une hauteurd'eau de 20m. L'é helle onsidérée est don l'é helle modèle (à distinguer de l'é helle prototypequi est elle des installations industrielles). Cette vitesse d'inje tion onduit à prendre une vitessedu son numérique de 200m/s. La taille des parti ules est ∆x = 2mm, e qui permet de dé rire lejet ylindrique à l'aide de 15 parti ules réparties dans le diamètre. En n de simulation, les trois as représentent à peu près le même nombre de parti ules, 'est-à-dire environ 25000 parti ules.La plaque plane est dis rétisée ave une longueur ara téristique de 1mm, et né essite 121964points de dis rétisation sur sa surfa e.Dis rétisation du jet et inje tion de parti ules La se tion d'entrée du jet est du point devue numérique une ondition limite de vitesse imposée. Le prol de vitesse appliqué est uniformede vitesse égale à la vitesse débitante U . Les al uls numériques ee tués ave le ode de al ulCFX utilisent un prol semblable. Par ontre les résultats expérimentaux de Kvi insky ont été

3.3 Cas tests 73

(a) T=0.5s (b) T=1.0s

( ) T=2.125s (d) T=3.125sFig. 3.11: Résultats numériques de la simulation du as de rupture de barrage 2D pour diérentsinstants. Les parti ules sont olorées par la norme du ve teur vitesse.90

60

30Fig. 3.12: Les trois in iden es du jet sur la plaque plane étudiées.

74 Implémentation de la méthode et validationsobtenus ave un jet d'eau issu d'un réel inje teur de turbine Pelton et présentent ainsi un dé itde vitesse imputable au sillage qui se forme dans l'inje teur à l'aval du pointeau. Cette diéren eimpa te dire tement le prol de pression pariétale. Néanmoins une prise en ompte pré ise de esillage n'est pas aisée numériquement pour la méthode SPH.En eet la dis rétisation du jet est obtenue en dé oupant des tran hes de se tion ir ulairesdans la dire tion axiale du jet ; haque tran he étant ensuite dé rite par des parti ules de mêmetaille ∆x rangées le long de er les on entriques entrés sur l'axe du jet. Une nouvelle tran hede parti ules est introduite dans l'é oulement lorsque la dernière tran he introduite a par ouruune distan e ∆x, e qui permet d'obtenir au nal une distribution tridimensionnelle de parti ulesquasiment équidistantes. Les premiers tests numériques ont montré lairement qu'un trop fortalignement des parti ules onduisait à l'apparition de dire tions privilégiées dans l'é oulement.An de briser la régularité de la distribution des parti ules, haque se tion introduite est dé aléepar rapport à la pré édente en lui faisant subir une petite rotation autour de l'axe du jet. Dès lorsl'utilisation d'un prol de vitesse non homogène en entrée rend déli ate la dénition d'un tempspropi e à l'introdu tion d'une nouvelle ou he de parti ules à l'amont du jet. Dans ette étude,au une tentative n'a été onduite an d'utiliser des parti ules de taille et de poids diérents, e quiserait une étape utile pour parvenir à maîtriser l'inje tion de parti ules ave un prol de vitessenon uniforme.In iden e 1 :α = 90°Ce as présente une symmétrie autour de l'axe du jet, les nappes d'eau ainsi que le prol depression sur la plaque doivent don être axisymmétriques. La gure 3.13 présente plusieurs instantsde la phase transitoire de la simulation et notamment l'impa t du jet sur la paroi. L'origine destemps est prise au moment où la première ou he de parti ules est introduite dans le domaine àla se tion d'inje tion.On peut voir très nettement l'apparition d'une forte surpression au moment de l'impa t dujet sur la paroi (gure 3.13b) suivie d'une forte dépression au moment où la forme de la surfa elibre ommen e à s'évaser sous l'eet de la ompression du domaine uide (gure 3.13 ). Par lasuite la nappe d'eau se développe sur la surfa e de la plaque. Cette nappe d'eau est globalementaxisymmétrique, 'est-à-dire que l'avan ée du front de parti ules, ainsi que les hamps de pressionet vitesse, ne présentent pas de dire tion parti ulière. Par ontre la répartition spatiale des parti- ules est assez inhomogène ; des trous et des amas de parti ules, ainsi que des rayons de parti ulesrangées en ligne, apparaissent.La gure 3.14 présente une omparaison ave les mesures expérimentales de Kvi insky del'évolution de l'épaisseur de la nappe d'eau dans la dire tion radiale. Celle- i est surestimée par le al ul SPH. Cette vue en oupe montre par ailleurs que la nappe d'eau n'est pas régulière, donnantl'impression que les parti ules rebondissent sur la paroi. On remarque aussi que les parti ules sontmaintenues à une ertaine distan e de la paroi solide, e qui est une onséquen e dire te del'utilisation des for es répulsives pour modéliser la paroi. La distan e d'appro he des parti ulesuides vers la paroi est ainsi arbitraire. Cette vue en oupe permet également de remarquerla stru turation des parti ules en lignes au sein de l'é oulement, e qui on entre les points dedis rétisation dans ertaines régions de l'espa e et laisse d'autres régions sous dis rétisées. Cesstru tures disparaissent après onta t sur la paroi. On remarque enn que le hamp de pressionau oeur de la zone d'impa t du jet n'est pas tout à fait satisfaisant, ar les parti ules situées surla première ou he uide au onta t de la paroi n'ont pas les valeurs de pression les plus élevées.L'évolution de la pression dans la zone dire tement au onta t de la paroi est fausse, et la pressionmaximale prédite au point d'arrêt ne onduit pas à un oe ient de pression pro he de 1, qui est

3.3 Cas tests 75

(a) T = 1.16.10−3 s (b) T = 1.2.10−3 s ( ) T = 1.28.10−3 s

(d) T = 1.6.10−3 s (e) T = 2.10−3 s (f) T = 2.48.10−3 s

(g) T = 3.10−3 s (h) T = 3.48.10−3 s (i) T = 4.10−3 s

Fig. 3.13: Simulation de l'impa t d'un jet d'eau sur une plaque plane. In iden e α = 90°. Congu-ration de l'é oulement à diérents instants de la simulation. Parti ules olorées par leur pressionstatique.

76 Implémentation de la méthode et validationsla valeur théoriquement atteinte en e point.

Fig. 3.14: Vue en oupe de l'é oulement dans le plan (O,x, z). Comparaison de l'épaisseur de lanappe d'eau ave les mesures expérimentales ( arrés rouges). Parti ules olorées par le oe ientde pression.Enn la gure 3.15 présente la arte de pression sur la surfa e de la plaque pour diérentsinstants de la simulation orrespondant aux vues de la gure 3.13. Ces valeurs de pression ont étéobtenues en ee tuant pour haque point de dis rétisation de la paroi une estimation pondéréedu hamp de pression à partir des valeurs asso iées aux parti ules uides environnantes ; selonla te hnique standard en SPH (typiquement la formule (2.17) modiée par Shepard, elle- i estexpli itée en(4.17)). Dans la phase transitoire, la su ession d'une forte surpression puis d'une fortedépression est onforme à elle observée dans le uide. Puis après le développement de la napped'eau, la valeur maximale du oe ient de pression atteint environ 0.72 dans la zone entrale,mais la répartition de pression ne se stabilise jamais, et les résultats restent très bruités. Quelquesparti ules uides isolées atteignent des valeurs de pression très basses et onduisent à l'apparitiondes ta hes bleues visibles en périphérie, e qui témoigne de phénomènes purement arti iels.

3.3 Cas tests 77

(a) T = 1.2.10−3 s (b) T = 1.28.10−3 s ( ) T = 1.6.10−3 s

(d) T = 2.10−3 s (e) T = 3.10−3 s (f) T = 4.10−3 s

Fig. 3.15: Simulation de l'impa t d'un jet d'eau sur une plaque plane. In iden e α = 90°. Cartede répartition du oe ient de pression sur la surfa e de la plaque. Vue de dessus.

78 Implémentation de la méthode et validationsIn iden e 2 :α = 60°La gure 3.16 montre l'impa t du jet sur la plaque et le développement de la nappe d'eaupour diérents instants de la simulation, les parti ules étant olorées en fon tion de la pression.Contrairement au as pré édent, l'impa t n'est pas dire t, et la su ession surpression-dépressionn'est pas aussi évidente. Après la phase transitoire, une zone de forte pression apparait et sestabilise dans la partie amont de la zone d'impa t, e qui orrespond à la zone du point d'arrêt.Ce i est mieux visible sur la gure 3.17, qui montre également que les parti ules ont tendan e às'aligner au sein de l'é oulement. À nouveau, les parti ules situées dire tement au onta t de laparoi ne présentent pas les valeurs de pression les plus élevées, l'évolution du hamp de pressionest don rompue au onta t de la paroi. La omparaison des épaisseurs des nappes d'eau ave lesmesures expérimentales et ave les al uls numériques réalisés ave CFX montrent que le odeNEMO onduit à une surestimation de elles- i, bien qu'on puisse aussi souligner que la partieamont de la nappe d'eau (à droite sur la gure 3.17) est bien déte tée par la méthode SPH. Ennla forme de la nappe d'eau n'est pas satisfaisante lorsque l'on s'éloigne de la zone d'impa t, e quimontre à nouveau que le modèle des for es de paroi n'assure pas la stabilité du onta t du uideave la paroi.(a) T = 1.16.10−3 s (b) T = 1.2.10−3 s ( ) T = 1.48.10−3 s

(d) T = 2.10−3 s (e) T = 3.10−3 s (f) T = 4.10−3 s

Fig. 3.16: Simulation de l'impa t d'un jet d'eau sur une plaque plane. In iden e α = 60°. Con-guration de l'é oulement à diérents instants de la simulation. Parti ules olorées par leur pressionstatique.

3.3 Cas tests 79

Fig. 3.17: Vue en oupe de l'é oulement dans le plan (O,x, z). Comparaison de l'épaisseur de lanappe d'eau ave les mesures expérimentales ( arrés verts) et un al ul numérique ave le odeCFX ( arrés rouges). Parti ules olorées par le oe ient de pression.Enn la gure 3.18 présente l'évolution du oe ient de pression sur la surfa e de la plaqueplane pour diérents instants de la simulation et montre qu'après une phase transitoire où lesvariations de pression sont brutales, la répartition de pression sur la plaque est fortement bruitéeet peu stabilisée. Dans la zone d'impa t, la présen e du point d'arrêt se traduit par une zone deplus forte pression vers l'amont de la zone mais la valeur atteinte par le oe ient de pression estenviron de 0.7, e qui est nettement inférieur à la valeur théoriquement prédite ( 'est-à-dire 1).

80 Implémentation de la méthode et validations

(a) T = 1.16.10−3 s (b) T = 1.2.10−3 s ( ) T = 1.48.10−3 s

(d) T = 2.10−3 s (e) T = 3.10−3 s (f) T = 4.10−3 s

Fig. 3.18: Simulation de l'impa t d'un jet d'eau sur une plaque plane. In iden e α = 60°. Cartede répartition du oe ient de pression sur la surfa e de la plaque. Vue de dessus.

3.3 Cas tests 81In iden e 3 :α = 60°Ce as est un peu plus déli at que les deux pré édents ar la nappe d'eau présente une fortedissymmétrie, et la partie amont de ette nappe est di ile à apturer. Comme pré édemment,le développement de la nappe après l'impa t du jet et l'établissement d'un é oulement stabilisésont présentés, voir la gure 3.19. La distribution de parti ules dans la partie amont de la napped'eau est assez haotique et dans ette région de l'é oulement le rebond des parti ules sur laplaque est parti ulièrement important. Il semble que dans e as le nombre de parti ules formantla partie amont de la nappe d'eau ne soit pas susant pour assurer une ohésion susante de ladistribution de parti ules, e qui onduit à des omportements isolés et désordonnés.(a) T = 1.10−3 s (b) T = 2.10−3 s ( ) T = 3.10−3 s

(d) T = 4.10−3 s (e) T = 5.10−3 s (f) T = 6.10−3 s

Fig. 3.19: Simulation de l'impa t d'un jet d'eau sur une plaque plane. In iden e α = 60°. Con-guration de l'é oulement à diérents instants de la simulation. Parti ules olorées par leur pressionstatique.Une vue en oupe de et é oulement est présentée en gure 3.20. La stru turation des par-ti ules en ligne apparait à nouveau dans la région du point d'arrêt, e qui dégrade fortement ladis rétisation de ette région de l'é oulement et nuit à la qualité de la simulation de la partieamont de la nappe d'eau.La gure 3.21 présente l'évolution de la répartition de pression sur la plaque au ours del'é oulement et témoigne elle aussi de l'instabilité qui ara térise la partie amont de la napped'eau, puisque très tt dans la simulation apparaissent des zones de pression très faible. Ces zonestraduisent la présen e de parti ules isolées et don une distribution peu homogène de parti ules.Dans la partie avale de la nappe d'eau, les mêmes instabilités que elles relevées dans les as

82 Implémentation de la méthode et validations

Fig. 3.20: Vue en oupe de l'é oulement dans le plan (O,x, z). Comparaison de l'épaisseur de lanappe d'eau ave un al ul numérique ave le ode CFX ( arrés rouges). Parti ules olorées parle oe ient de pression.pré édents apparaissent en dehors de la zone d'impa t.

3.3 Cas tests 83

(a) T = 1.16.10−3 s (b) T = 1.2.10−3 s ( ) T = 1.48.10−3 s

(d) T = 2.10−3 s (e) T = 3.10−3 s (f) T = 4.10−3 s

Fig. 3.21: Simulation de l'impa t d'un jet d'eau sur une plaque plane. In iden e α = 60°. Cartede répartition du oe ient de pression sur la surfa e de la plaque. Vue de dessus.

84 Implémentation de la méthode et validationsBilanLe bilan à tirer de es simulations est assez mitigé. Certes la qualité des résultats n'est pasvraiment au rendez-vous, en parti ulier en e qui on erne le hamp de pression en paroi. Commeon pouvait s'y attendre, le modèle des for es répulsives ne permet pas de traiter proprement les onditions limites de paroi solide. Tout d'abord il impose une distan e d'arrêt arbitraire. Ainsidans les al uls pré édents on pourrait imaginer améliorer un peu la qualité des omparaisonsd'épaisseur de la nappe d'eau en abaissant la valeur de ette distan e d'arrêt, e qui permettrait"d'amin ir" la nappe d'eau numérique. Ensuite e modèle est trop peu stable, dans le sens où lafor e globale subie par une parti ule varie trop brutalement au ours de son dépla ement dans levoisinage de la paroi, e qui onduit à des résultats fortement bruités, omme ela est visible surles artes de pression pariétale. Par ailleurs, le réglage du oe ient de vis osité arti ielle (voirl'expression (2.66)) est déli at dans e type de simulation. En eet d'une part une augmentation de e oe ient est souhaitable an d'améliorer la ohésion de la distribution de parti ules, et ainsimieux dé rire la nappe d'eau (en parti ulier en limitant les "trous" de parti ules et le rebond desparti ules sur la plaque) ; mais d'autre part une diminution de e oe ient permet de diminuerl'épaisseur de la nappe d'eau et d'améliorer ainsi les omparaisons ave les mesures expérimentalesou les al uls CFX.Néanmoins es résultats sont aussi très en ourageants, ar bien qu'il s'agisse de phénomènesd'impa t violent ave de fortes déviations de l'é oulement et la présen e d'une surfa e libre, la mé-thode SPH standard est apable de reproduire les grandes ara téristiques de es é oulements ave une relative simpli ité de mise en oeuvre. Dans un premier temps la inématique des é oulementssimulés ave l'outil NEMO peut don être onsidérée omme orre te, e qui va être onrmé parle as d'appli ation suivant.3.3.3 E oulement dans un auget statiqueLes résultats des simulations de jet impa tant une plaque plane ont été jugés susammentprometteurs pour ontinuer l'évaluation des apa ités de la méthode SPH à simuler des é oule-ments dans les turbines Pelton. Le as présenté i i est elui d'une onguration réelle d'é oulementdans un auget de turbine Pelton immobile. La taille de dis rétisation hoisie est de 1mm pourun jet d'eau ayant un diamètre de 3 cm. La triangulation de la surfa e de l'auget a été ee tuéeen onséquen e : la gure 3.22 montre que la taille maximale de la dis rétisation de la paroi n'ex- ède pas 0.825mm, e qui porte le nombre de points de dis rétisation né essaire pour représenterl'auget à 123 525. On remarque aussi que la géométrie est bien plus nement dis rétisée dans lesrégions où les détails géométriques sont très ns, omme sur l'arrête de l'auget par exemple.La gure 3.23 présente le résultat de la simulation par le ode NEMO ainsi qu'une photo priselors des mesures expérimentales au LMH de Lausanne. Les deux points de fon tionnement sontidentiques. On peut don ee tuer une omparaison globale des deux é oulements et onstaterque le résultat obtenu ave le ode NEMO reproduit assez bien les grandes ara téristiques del'é oulement. Ainsi les nappes d'eau sont éva uées tangentiellement au bord de fuite de l'auget, leremplissage de l'auget est orre t, et les deux petits jets qui se forment aux é han rures de l'augetsont reproduits. Bien sûr es omparaisons sont très générales, néanmoins elles montrent que ladémar he suivie dans l'implémentation de la méthode SPH pour la simulation d'é oulements dansles turbines Pelton est prometteuse et qu'en l'état il est au moins possible d'obtenir des traje toires orre tes pour les nappes d'eau.

3.3 Cas tests 85

Fig. 3.22: Dis rétisation de la surfa e de l'auget.

Fig. 3.23: É oulement dans un auget immobile de turbine Pelton : simulation numérique par le ode NEM0 (à gau he) et photo prise lors des mesures expérimentales (à droite).

86 Implémentation de la méthode et validations3.3.4 E oulement dans une roue Pelton en rotationLe as d'appli ation suivant est une simulation de l'é oulement dans une roue Pelton om-plète en rotation. An de limiter la taille d'un telle simulation, la longueur ara téristique de ladis rétisation a été xée à 2mm pour la roue. Dans es onditions la dis rétisation de la surfa ede la roue et des 21 augets qui la omposent représente 623 481 points. La vitesse de rotationde la roue est réglée pour orrespondre au point de fon tionnement nominal et est onstante au ours du al ul ; la vitesse du jet est quant à elle de 38.81m/s. Les parti ules uides ont unetaille de 1mm, e qui est à priori une taille non adaptée à la dis rétisation de la roue, mais étantdonné le ranement lo al de la dis rétisation de la roue (des augets), l'é art est en réalité faibleentre la taille de dis rétisation du uide et la taille de la dis rétisation du solide dans les zones oùl'é oulement a ee tivement lieu.La gure 3.24 présente une vue générale de l'é oulement à diérents instants. An d'obtenir un al ul stable, la vis osité arti ielle a dû être augmentée, e qui explique le remplissage importantde l'auget qui le premier se tionne le jet. Malgré ela le al ul fut interrompu à ause d'instabilitésnumériques, notamment dans la se tion du jet qui est tout de suite oupée avant de tou herl'intérieur d'un auget et qui forme un é oulement semblant s'é happer de l'é han rure du premierauget rempli. Ainsi il n'a pas été possible d'observer la suite du al ul, notamment l'éva uationdes nappes uides et la vidange des augets. Néanmoins on peut observer en détail le se tionnementdu jet par la pointe et l'é han rure de l'auget à la gure 3.25.

(a) T = 5.10−5 s (b) T = 1.10−4 s ( ) T = 1.5.10−4 sFig. 3.24: Vue générale de l'é oulement dans une roue de turbine Pelton en rotation à diérentsinstants de la simulation.Ces résultats de al ul prouvent que la méthode SPH est exploitable pour simuler les é oule-ments dans les turbines Pelton mais que la stabilité des simulations devient un fa teur ritiquepour des appli ations réelles. Ce as d'appli ation montre aussi que la prise en ompte de solidesmobiles est aisée en SPH, e i étant bien sûr dire tement lié à l'absen e de maillage.

3.3 Cas tests 87

(a) T = 1.10−4 s (b) T = 1.15.10−4 s

( ) T = 1.3.10−4 s (d) T = 1.5.10−4 sFig. 3.25: Vue détaillée du se tionnement du jet.

88 Implémentation de la méthode et validations3.3.5 Colline laminaireAn de valider le omportement du terme de vis osité physique qui est implanté dans SPAR-TACUS, il est utile de onduire une simulation d'un é oulement laminaire. Le as présenté i iest elui d'un é oulement in ompressible laminaire onné dans une olline 2D périodique. Lagéométrie de la olline a été dénie par la ommunauté ERCOFTAC ([67) et est présentée à lagure 3.26.La forme de la olline est dénie par une fon tion polynomiale par mor eaux et est donnéepar :z(x) =

28 + 6.775.10−3x2 − 2.125.10−3x3 si 0 < x < 9

25.074 + 9.775.10−1x − 1.016.10−1x2 + 1.889.10−3x3 si 9 < x < 14

25.796 + 8.207.10−1x − 9.055.10−2x2 + 1.627.10−3x3 si 14 < x < 20

40.464 − x + 1.946.10−2x2 − 2.070.10−4x3 si 20 < x < 30

17.925 + 8.744.10−1x − 5.567.10−2x2 + 6.277.10−4x3 si 30 < x < 40

56.390 − x + 1.645.10−2x2 + 2.675.10−5x3 si 40 < x < 54

(3.14)où x et z sont en millimètres.La vitesse moyenne débitante est de 1.785.10−3 m/s et le nombre de Reynolds onstruit surla hauteur de la olline vaut Re = 50. Le al ul 2D a été réalisé par R.Issa dans sa thèse, lesrésultats présentés i i 1 on ernent le as 3D obtenu par simple extrusion de la géométrie 2D dansla dire tion y sur 16 plans. Aux onditions limites de périodi ité spatiale sur x s'ajoutent alors unese onde périodi ité spatiale sur y. Le as omporte don au nal 355488 parti ules, le tableau 3.2et la gure 3.27 donnent le détail de la géométrie dis rétisée.La longueur de lissage utilisée est h/∆x = 1.2 et la vitesse du son numérique est c0 = 0.03m/s.On remarque que ette valeur est supérieure à dix fois la vitesse maximale dans l'é oulement maisIssa a montré qu'elle était né essaire an de lutter ontre une instabilité numérique semblable à la"tensile instability" qui apparaît dans la zone de re ir ulation à l'aval de la olline des endante. Lesparti ules ont initialement une vitesse nulle et une for e extérieure volumique met les parti ulesen mouvement et assure le débit souhaité ( ette for e est ajustée à haque pas de temps et lesystème est don asservi). Enn la simulation est menée sur 50 000 pas de temps an d'atteindreune situation stabilisée. Une parti ule se déplaçant à la vitesse moyenne de l'é oulement a alorstraversé le domaine à inq reprises. La gure 3.28 montre le hamp de vitesse axiale obtenu après ette onvergen e.

1L'auteur remer ie Charles MOULINEC et Reza ISSA pour avoir réalisé e al ul.

3.3 Cas tests 89xDire tion axiale

zDire tion verti ale

h

h1

l

L

P1 P2 P3 P4 P5 P6

Fig. 3.26: Géométrie de la olline et position des se tions de ontrle.Parti ules uides 315 008Parti ules de bord 8 096Parti ules tives 12 384Nombre total de parti ules 355 488Taille de dis rétisation ∆x 1mmTab. 3.2: Détail de la dis rétisation du asde la olline laminaire. Fig. 3.27: Géométrie dis rétisée initiale. Enbleu : parti ules uides ; en vert : parti ulesde bord ; en rouge : parti ules tives.

Fig. 3.28: Champ de vitesse axiale obtenu ave SPARATCUS3D.

90 Implémentation de la méthode et validationsAn de mesurer pré isément la qualité de e résultat, le hamp de vitesse est omparée àun résultat numérique obtenu ave le ode eulérien SATURNE basé sur la méthode des volumesnis ([67). Pour ela le prol verti al de vitesse axiale est extrait en six se tions de ontrle P1à P6 visibles en gure 3.26. Ces prols sont obtenus par une moyenne temporelle des résultatsSPARTACUS3D ar les résultats instantanés sont bruités. Les prols sont omparés à eux obtenusave SATURNE en gure 3.29.

3.3 Cas tests 91

u (m/s)0 0.0005 0.001 0.0015 0.002

0.02

0.04

0.06

0.08

P6

x/h = 8.

u (m/s)

z(m

)

0 0.0005 0.001 0.0015 0.0020

0.02

0.04

0.06

0.08

P5

x/h = 5.

z(m

)

0

0.02

0.04

0.06

0.08

Code_Saturne

Spartacus-3D

P3

x/h = 2.

z(m

)

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

P1

x/h = 0.05

0.02

0.04

0.06

0.08

P2

x/h = 1.

0

0.02

0.04

0.06

0.08

P4

x/h = 3.

Fig. 3.29: Prols verti aux de vitesse axiale pour les se tions de ontrle P1 à P6 omparés auxrésultats numériques obtenus ave SATURNE.

92 Implémentation de la méthode et validations3.3.6 Canal turbulentLa validation des modèles de prise en ompte de la turbulen e a été ee tuée en simulant un as simple d'é oulement turbulent dans un anal à surfa e libre en 2D. Le anal a une hauteur deH = 1m et des onditions limites périodiques sont appliquées dans la dire tion x de l'é oulement.D'une manière similaire au as pré édent, une for e volumique asservie permet de maintenir undébit onstant dans l'é oulement, la vitesse débitante hoisie est 1m/s. Dans es onditions lenombre de Reynolds bâti sur la hauteur du anal est Re = 106.Une étude détaillée de e as peut être trouvée dans Issa [28. En parti ulier une solutionanalytique pour le prol de vitesse moyenne en régime établi existe et est donnée par :

〈u〉 = u∗

[1

κln(zu∗

ν

)

+ B

] (3.15)où u∗ est la vitesse de frottement pariétal, B une onstante et κ ≈ 0.41 est la onstante de VonKarman. La taille des grandes stru tures turbulentes est quant à elle appro hée par l'expressionsuivante :Lm ≈ κz

√

1 − z

H(3.16)Cette information peut-être dire tement mise à prot numériquement ar elle permet de donnerl'expression de la longueur de mélange né essaire dans les modèles Lm et k − Lm, à onditiond'obtenir une estimation onvenable de la valeur de la vitesse de frottement pariétal. Celle- i estobtenue en estimant la vitesse axiale moyenne de l'é oulement en un point tif M situé à unedistan e ∆ de la paroi (voir la gure 3.30) en utilisant une interpolation SPH lassique de laforme :

〈u〉M =∑

j∈DM

mj

ρj〈u〉jWMj (3.17)La vitesse en M doit vérier la loi logarithmique (3.15), on a don la relation :

〈u〉M = u∗i

[1

κln

((δ + ∆)u∗i

ν

)

+ B

] (3.18)dans laquelle δ représente la taille de la ou he limite. En eet il est di ile dans le adre d'uneméthode lagrangienne de raner spé ialement une zone de l'espa e. Aussi la ou he limite n'estpas simulée mais modélisée. Les parti ules de bord ne sont don pas situées exa tement sur laparoi solide (le lit du anal) mais à une petite distan e δ où la vitesse n'est pas nulle. La vitessede frottement pariétale u∗i est al ulée à l'aide de (3.18) par une méthode itérative et la onditionlimite de vitesse appliquée aux parti ules de bord est nalement obtenue par :〈u〉paroi = u∗i

[1

κln

(δu∗i

ν

)

+ B

] (3.19)Les gures 3.31 et 3.32 présentent les prols verti aux de vitesse axiale obtenus ave respe -tivement le modèle Lm et le modèle k − Lm. Ces résultats numériques sont moyennés en tempsaprès onvergen e ar les résultats numériques SPH sont généralement assez "bruités". Ils sont omparés au prol théorique obtenu en (3.15).

3.3 Cas tests 93

∆

M

~n

〈u〉M

ix

z

Particules f luides Particules de bord Particules fictivesFig. 3.30: Estimation de la vitesse de frottement pariétal à l'aide d'un point tif dans l'é oule-ment sain.

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

PSfrag repla ements Prol théoriqueSparta us2D Lm

〈u〉(

m/s

)

z (m)Fig. 3.31: Prol verti al de vitesse axiale ob-tenu ave le modèle Lm omparé au prol loga-rithmique théorique. 0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

PSfrag repla ements Prol théoriqueSparta us2D k − Lm

〈u〉(

m/s

)

z (m)Fig. 3.32: Prol verti al de vitesse axiale ob-tenu ave le modèle k − Lm omparé au prollogarithmique théorique.

94 Implémentation de la méthode et validationsLes deux modèles de turbulen e testés produisent des résultats satisfaisants même s'ils onduisentà une légère surestimation de la vitesse axiale près du lit du anal. Les deux modèles donnentsensiblement les même résultats à l'ex eption de la zone près de la surfa e libre où le modèlek − Lm onduit à un résultat légèrement sous-évalué.Cet exemple très simple permet d'illustrer les possibilités de prise en ompte de la diusionturbulente dans un ode SPH à travers des modèles RANS dire tement inspirés des méthodeseulériennes. Il montre également que l'implémentation de es modèles dans le ode parallèle est orre te.3.3.7 BilanCes diérents as d'appli ation permettent d'appré ier les for es et les faiblesses de la méthodenumérique SPH. Celle- i s'avère apable de simuler des é oulements omplexes à surfa e libre,ave de grandes déformations de la surfa e libre et de fortes intera tions ave les parois solides.D'ailleurs la surfa e libre ou les parois solides mobiles sont des obsta les que SPH surmonte ave une étonnante fa ilité. Bien que la méthode soit souvent présentée pour simuler des é oulementsde uide parfait, les as de la olline et du anal montrent que la prise en ompte des phénomènesvisqueux et turbulents est possible.Néanmoins les limitations de la méthode apparaissent bien vite, en parti ulier dans les asd'appli ation intéressant les é oulements en turbine Pelton. Le traîtement des onditions limitesreste un problème de première importan e, et l'on onstate que l'utilisation du modèle des for esrépulsives de paroi, s'il est le seul utilisable en pratique pour manipuler des solides de forme omplexe, onduit à un omportement instable des nappes d'eau et ne permet pas d'obtenir desrésultats susamment pré is, en parti ulier pour le hamp de pression pariétal. Enn la stabilitédes al uls est dire tement dépendante du terme de vis osité arti ielle, et l'amélioration de ettestabilité se fait au détriment de la qualité des résultats, par exemple en épaississant les nappesd'eau sur la plaque plane ou dans l'auget. Le hapitre suivant présente la démar he qui a été suiviean d'apporter des réponses appropriées à es problèmes.Les résultats présentés dans ette partie et relatifs aux plaques planes, à l'auget immobileet à la roue omplète ont fait l'objet d'une ommuni ation lors du "1st International SPHERICWorkshop" à Rome en 2006 (voir [43) ainsi que lors du ongrès "HYDRO 2006" (voir [39).

Chapitre 4Le formalisme ALELa dernière partie de e manus rit est onsa rée à l'ensemble des développements qui ont étéee tués à partir d'un formalisme hybride ALE (Arbitray Lagrange Euler que l'on pourrait tra-duire en français par "arbitrairement lagrangien et eulérien") développé par Jean-Paul Vila (voirnotamment [70, ainsi que [56 et [69). Nous avons été onduits à nous intéresser à e formalisme ar nous her hions initialement à améliorer le traitement des parois solides an de disposer d'unmodèle rigoureux tant du point de vue mathématique que physique tout en étant adapté au traî-tement des géométries très omplexes qui interviennent dans les simulations de turbines Pelton.Or les onditions limites, d'une manière générale, sont des informations atta hées à des régions del'espa e et non au uide lui-même et sont don bien mieux dé rites par un formalisme eulérien.D'ailleurs les odes de al ul eulériens apportent depuis longtemps des traîtements très satisfai-sants à toutes les sortes de onditions limites (hormis la surfa e libre bien sûr qui est une onditionlimite dépendante du uide). Ces onsidérations nous ont alors en ouragés à envisager l'utilisa-tion d'une des ription duale, eulérienne et lagrangienne, qui permettrait d'utiliser en SPH destraîtements de onditions limites inspirés des méthodes éprouvées développées pour les méthodeseulériennes. Cela a permis le développement d'un modèle simple pour le traîtement des onditionslimites de paroi solide, utilisable en formalisme SPH standard mais rapidement limité dans ses apa ités. Parallèlement, il apparaissait de plus en plus évident que e formalisme ALE présentaitdes potentialités très intéressantes pour l'amélioration du solveur uide dans son ensemble. Unnouvel outil de al ul utilisant SPH mais basé sur le formalisme ALE a ainsi vu le jour, il s'agitdu ode ASPHODELE. Cette nouvelle façon d'envisager la simulation numérique à l'aide de SPHpermet ainsi d'apporter de nouvelles réponses aux problèmes soulevés jusqu'à présent, omme lastabilité et la pré ision de la méthode numérique, ainsi que le traîtement des onditions limitesgénéralisées.4.1 Une formulation hybrideLe formalisme ALE développé par Vila est basé sur une formulation faible, ou onservative, deslois de onservation exprimées pour un volume de ontrle se déplaçant ave une vitesse propre.Cette vitesse est hoisie arbitrairement : si elle est nulle, la des ription est eulérienne ; si elle estégale à la vitesse du uide, elle est lagrangienne ; entre les deux, la des ription est "ALE". Leséquations du mouvement sont alors é rites sous forme onservative en ee tuant un bilan desux sur les frontières du volume de ontrle et en se plaçant dans un référentiel lié au volume de ontrle mobile. On note Φ le ve teur des variables onservatives et v0 la vitesse de dépla ement

96 Le formalisme ALEdu volume de ontrle, e bilan s'é rit alors :d

dt

∣∣∣∣v0

∫

ΩΦ dΩ +

∫

SΦ(v − v0) · n dS =

∫

SQS · n dS +

∫

ΩQV dΩ (4.1)où S désigne la frontière du volume de ontrle Ω, n le ve teur normal sortant, et QS et QV dési-gnent respe tivement les termes sour es surfa iques et volumiques. La notation d

dt

∣∣v0

désigne unedérivée le long de la traje toire suivie par le volume de ontrle. En ee tuant les manipulations lassiques permettant de transformer les termes surfa iques en intégrales volumiques et en onsi-dérant que le terme sour e surfa ique se réduit à la pression, on obtient une forme onservativedu système de lois de onservation qui peut être mis sous la forme :L~v0(Φ) + div(FE(Φ) − v0 Φ) = QV (4.2)où L~v0

(Φ) est l'opérateur de transport asso ié au hamp de transport ~v0. ~FE désigne le ve teurdes ux asso iés aux équations d'Euler. En deux dimensions d'espa e es ux sont données par :FE

(1)(Φ) =

ρv(1)

p + ρ(v(1))2

ρv(1)v(2)

, FE(2)(Φ) =

ρv(2)

ρv(1)v(2)

p + ρ(v(2))2

, Φ =

ρ

ρv(1)

ρv(2)

(4.3)On dispose ainsi d'un formalisme mathématique apable de dé rire l'é oulement d'un uidequelque soit le point de vue adopté. Ce formalisme fait aussi apparaître les ux onve tifs quisont intégrés à la dérivée lagrangienne en formalisme SPH standard (lagrangien), il s'agit don denouveaux termes par rapport à la méthode lassique, de même que les ux liés au dépla ement duvolume de ontrle v0Φ. On remarque d'ailleurs que si v0 = v es deux termes de ux disparaissentet on retrouve bien la des ription totalement lagrangienne habituelle.4.2 Développement d'un nouveau traitement des parois solidesCe formalisme original va tout d'abord être mis à prot an de onstruire un traitement des onditions limites de paroi qui réponde au ahier des harges qui nous est xé, 'est-à-dire apablede traiter des géométries de forme omplexes. Ce modèle a été onstruit en deux phases, et leformalisme ALE n'intervient que dans la se onde. Aussi nous allons tout d'abord nous intéresseraux fondements de e travail.4.2.1 Intégration surfa ique des onditions limitesComme ela a déjà été plusieurs fois souligné dans e manus rit, la di ulté prin ipale pourmodéliser orre tement les onditions limites en SPH dé oule de la tron ature du domaine d'in-terpolation qui entraine des erreurs onsidérables dans l'évaluation du hamp et de son gradientdans la zone pro he de la frontière. Il s'agit don essentiellement d'un problème de onsistan edu s héma numérique, et 'est pourquoi la plupart des méthodes un peu rigoureuses réalisent uneextension tive du domaine de al ul au-delà de la paroi an de retrouver un nombre onvenablede parti ules voisines dans le s héma d'interpolation et ainsi restaurer la onsistan e du s hémanumérique. Néanmoins au une de es méthodes n'est réellement satisfaisante ar elles ne sont pasadaptées à des géométries réellement ompliquées. L'appro he qui a été suivie i i est sensiblementdiérente. En eet, si l'on onsidère les équations dis rètes du mouvement (voir (2.52) ou (2.53)),

4.2 Développement d'un nouveau traitement des parois solides 97on onstate que le al ul des intera tions fait intervenir uniquement le gradient de la fon tionkernel. L'obtention de es formules a été développée au début de e manus rit, nous rappelonssimplement elle qui permet de al uler le gradient d'une fon tion :〈∇f(x) 〉 =

∫

∂Ωf(y)W (x − x′)~ndS −

∫

Ωf(y)∇yW (x − x′) dV (4.4)Cette formule est exa te, ependant pour des raisons déjà évoquées essentiellement liées àl'utilisation de fon tions kernel à support ompa t, l'intégrale surfa ique est prise égale à zérodans le formalisme SPH standard. Pourtant si on onsidère les parti ules pro hes d'une frontière,leur domaine d'interpolation interse te la frontière ∂Ω et la fon tion kernel n'est don pas nullesur ∂Ω. Cette intégrale n'est don pas nulle, sauf as parti ulier où la ondition limite imposéeest identiquement nulle, omme ela est la as pour la surfa e libre. Mais dans le as d'une paroisolide non adhérente, au une grandeur de l'é oulement (pression et vitesse) n'est à priori nulleet ette intégrale ne peut être négligée. L'omission de e terme est à l'origine même du défautde onsistan e du s héma numérique et les traitements des parois solides mentionnés tententd'ee tuer une approximation volumique de e terme à travers les parti ules tives ou fantmes.La démar he qui a été adoptée i i est de al uler dire tement ette intégrale surfa ique. Eneet une dis rétisation onvenable de la surfa e de la paroi permet de disposer des informationsné essaires (ve teurs normaux lo aux et aire des éléments de surfa e) si bien qu'un tel al ul estréalisable. On modie en onséquen e l'approximation du gradient d'une fon tion f par :

〈∇f 〉i =∑

j∈Di

mj

ρjfj∇Wij +

∑

j∈∂Di

fjWijSjnj (4.5)où Sj est l'aire de l'élément de surfa e asso ié au point de dis rétisation j sur la paroi solide.Cette nouvelle approximation permet de restaurer la onsistan e du s héma numérique et présenteà priori la même pré ision au bord qu'au oeur du domaine de al ul puisque la même formule dequadrature est utilisée. Comme ela a déjà été ee tué, une symétrisation de ette expression estpréférable, e qui onduit au système d'équations suivant :

Dρi

Dt=∑

j∈Di

mj (vi − vj)∇Wij +∑

j∈∂Di

mj (vi − vj)Wij

rjnj

Dvi

Dt= ~fe −

∑

j∈Di

mj

(

pi

ρ2i

+pj

ρ2j

)

∇Wij −∑

j∈∂Di

mj

(

pi

ρ2i

+pj

ρ2j

)

Wij

rjnj

(4.6)dans lequel l'élément de surfa e Sj a été rempla é par mj

ρj rjan d'obtenir une formulation similaireà elle déjà utilisée. rj est la taille de l'élément de surfa e (Sj = r2

j ). Une formulation similaireà (2.53) est tout à fait possible.Ce modèle attribue don une masse, une longueur de lissage, une vitesse, une densité et unepression aux points de paroi qui ressemblent don fortement à des parti ules uides. Néanmoinsleur mouvement est imposé et de plus les valeurs de vitesse et de pression doivent résulter del'intera tion de l'é oulement ave la ondition limite imposée. Il s'agit d'un point très déli at arles phénomènes non linéaires peuvent avoir une in iden e très forte en as de phénomènes violents omme l'impa t d'un jet d'eau sur une paroi plane. L'idée simple qui onsisterait à attribuer auxpoints de paroi une valeur de pression (par exemple) résultant d'une interpolation sur les parti ulesuides voisines est ainsi insusante. Si on prend le as d'un jet d'eau impa tant une paroi, lapression est initialement nulle au sein du uide. Lorsque les parti ules uides s'appro hent de laparoi, une interpolation attriburait une pression nulle aux points de paroi, e qui ne produirait

98 Le formalisme ALEau une for e d'intera tion entre la paroi et le uide et le mouvement de elui- i ne subirait au unemodi ation : le jet d'eau traverserait la paroi. On omprend don bien que la valeur du hampen paroi résulte de la né essaire prise en ompte de la pression du uide, de la inématique duuide et des sour es extérieures omme la gravité par exemple. Toutes es informations sontliées dans les équations du mouvement, il semble don judi ieux de résoudre dans une ertainemesure es équations pour les points de paroi. Cependant il est né essaire de tenir ompte de la ondition limite à imposer lors de ette résolution et aussi de trouver une dis rétisation dé entrée ar lo alement les points de paroi ne disposent d'une information uide que dans un demi espa e.Cette problématique n'est pas nouvelle en CFD et les méthodes lassiques eulériennes ontre ours aux relations de ompatibilité an de réaliser une telle résolution ([1). Les relations de ompatibilité sont une ré riture des équations du mouvement le long de dire tions remarquablesdans l'espa e-temps appelées dire tions ara téristiques. L'existen e de es dire tions est liée àla nature hyperbolique du système des équations d'Euler et don à l'existen e de solutions del'é oulement sous la forme d'ondes progressives. Les relations de ompatibilité permettent alors uneinterprétation de l'é oulement en terme d'intera tion d'ondes et de transport d'information. Enparti ulier pour e qui on erne le traitement des onditions limites, elles permettent de distinguerles informations provenant du uide et inuençant la frontière de elles issues de la frontière( ondition limite imposée) et inuençant le uide. Dans un premier temps une appro he simplebasée sur une approximation monodimensionnelle des relations de ompatibilité le long de lanormale lo ale de la paroi a été développée. Puis une extension à la onguration bidimensionnellea été réalisée.4.2.2 Appro he 1DNous avons tout d'abord onsidéré que l'intera tion entre la paroi et le uide pouvait êtreréduite à un phénomène purement monodimensionnel se produisant le long de la normale lo aleà la surfa e de la paroi. On désigne par ~x la dire tion de la normale à la paroi et on onsidère lesystème d'équations sous forme onservative suivant :

dρ

dt+

∂

∂x(ρ(v − v0)) = 0

d(ρv)

dt+

∂

∂x(ρv(v − v0) + p) = ~g · ~x

(4.7)obtenu à partir de (4.2). L'obtention des relations de ompatibilité est détaillée i-dessous.Relations de ompatibilité 1DLes relations de ompatibilité sont obtenues en projetant les équations du mouvement sur lesve teurs propres du système d'équations. La démar he générale est dé rite dans ([24, hapitre 3et [25, hapitres 16 et 19). La première étape onsiste en une re her he des valeurs propres etve teurs propres du système (4.7). Pour ela le système est réé rit sous forme non onservative :

dρ

dt+ ρ

dv

dx+ (v − v0)

dρ

dx= 0

dv

dt+ (v − v0)

dv

dx+

c2

ρ

dρ

dx= gx

(4.8)

4.2 Développement d'un nouveau traitement des parois solides 99où l'équation de Tait liant densité et pression a été utilisée an d'é rire ∂p∂x = c2

ρ∂ρ∂x . c est la vitesselo ale du son et se al ule par la relation :

c = c0

(ρ

ρ0

) γ−1

2 (4.9)Le problème est don ramené stri tement à deux variables ρ et v, il peut être mis sous la formematri ielle suivante :dU

dt+ A

dU

dx= S (4.10)où U = (ρ, v)t est le ve teur des variables non onservatives et A la matri e ja obienne du système.Il est alors aisé d'exprimer les termes de la matri e ja obienne :

A =

[v − v0 ρc2/ρ v − v0

] (4.11)ainsi que ses valeurs propres et ve teurs propres à gau he :

λ1 = v − v0 + c

λ2 = v − v0 − c,

l(1) = (1 ρ/c)t

l(2) = (1 − ρ/c)t(4.12)On peut remarquer que le système (4.8) possède deux valeurs propres réelles et deux ve teurspropres linéairement indépendants, e qui onrme sa nature hyperbolique. Enn les relations de ompatibilité sont obtenues en projetant les équations dé rivant le mouvement sur les ve teurspropres à gau he :

dρ

dt+

ρ

c

dv

dt+ (v − v0 + c)

[dρ

dx+

ρ

c

dv

dx

]

=ρgx

c

dρ

dt− ρ

c

dv

dt+ (v − v0 − c)

[dρ

dx− ρ

c

dv

dx

]

= −ρgx

c

(4.13)Ces relations ne sont qu'une ombinaison linéaire du système (4.8) dans laquelle les oe ientssont les oordonnées des ve teurs propres à gau he. Elles ontiennent don la même informationque les équations de base. Elles expriment le transport de deux quantités appelés "invariantsde Riemann" par deux ondes progressives. En l'absen e de termes sour es, es quantités sontee tivement onservées, leur dénition est généralement donnée sous forme in rémentale :

δW1 = δρ +ρ

cδv

δW2 = δρ − ρ

cδv

(4.14)Les deux valeurs propres sont de signe opposé (c est de l'ordre de 10 fois v). On désigne parC+ la dire tion ara téristique asso iée à la valeur propre positive et par C− elle asso iée à lavaleur propre négative. En hoisissant par onvention un ve teur normal orienté vers l'extérieurdu domaine uide, la ara téristique C+ orrespond à une onde se propageant de l'intérieur dudomaine uide vers la frontière et transporte don une information uide qui va inuen er l'étatdu hamp à la frontière. À l'inverse la ara téristique C− orrespond à une onde se déplaçant dela frontière vers le milieu uide et traduit l'inuen e du reste de l'univers sur le uide à travers lafrontière (voir la gure 4.1).

100 Le formalisme ALE~n

C + C −

Fig. 4.1: Cara téristiques entrantes et sortantes du domaine de al ul.Il faut noter que bien que ette notion de ara téristique soit i i introduite et utilisée dans le adre d'un traitement des onditions limites, et plus parti ulièrement des onditions de paroi solide,elle est en fait intrinsèquement liée à la nature du système d'équations et peut don s'appliqueraussi à l'intérieur du uide. Dans e as la surfa e ara téristique, 'est-à-dire l'hyperplan dontla normale est donnée par la dire tion ara téristique, n'a pas une on rétisation aussi évidentequ'une frontière du domaine uide, néanmoins le lassement des informations selon leur sens depropagation et l'interprétation de la solution de l'é oulement omme résultant d'une ombinaisond'ondes progressives reste tout à fait pertinente. Une telle appro he est à l'origine de s hémasdé entrés très intéressants qui seront vus un peu plus loin dans e manus rit.Appli ation au traitement des onditions limites de paroi solideOn note RC+ la relation de ompatibilité asso iée à la ara téristique C+ et RC− elle asso iéeà la ara téristique C−. Nous n'allons pas utiliser de la même façon es deux relations. En eetla RC+ traduit l'inuen e du uide sur la paroi et répond don à notre besoin de séle tionner ette information. Par ontre la RC− traduisant l'inuen e du reste de l'univers sur le uide, nousne disposons d'au une information on ernant ette onde. Cependant nous onnaissons l'eetqu'elle produit sur l'é oulement le long de la frontière, 'est la ondition limite que l'on her heà imposer. Par onséquent on rempla e la RC− par son eet, 'est-à-dire dans le as d'une paroisolide glissante par la relation ~v · ~n = 0. Dans le adre de ette appro he monodimensionnelle, lesvaleurs du hamp que l'on doit attribuer aux points de al uls situés sur la paroi solide sont don solutions du système :

dρ

dt+

ρ

c

dv

dt+ (v − v0 + c)

[dρ

dx+

ρ

c

dv

dx

]

=ρgx

c

v = constante = 0

(4.15)En tenant ompte de la ondition limite imposée, l'é riture de la RC+ peut être simpliée eton obtient :dρ

dt+ (c − v0)

[dρ

dx+

ρ

c

dv

dx

]

=ρgx

c(4.16)Cette relation permet ainsi de al uler la densité et don la pression des points situés sur laparoi solide. On remarque qu'elle est appli able à une paroi en mouvement, il sut d'attribuer lavaleur requise à v0. C'est là tout l'intérêt d'avoir utilisé le formalisme ALE. On remarque également

4.2 Développement d'un nouveau traitement des parois solides 101que la pression en paroi est déterminée par les eets statiques ( dρdx), les eets dynamiques ( dv

dx) et lestermes sour es (gravité). Cette des ription est don omplète et rigoureuse. Enn ette méthodeprésente l'avantage de se présenter sous la forme d'une équation d'évolution, e qui permet untraitement des points de paroi semblable à elui des parti ules uides.Enn l'interprétation de ette relation est très simple. Si on onsidère le as d'un jet impa tantune paroi, le gradient de vitesse normal dvdx est négatif e qui entraine une augmentation de ladensité, don de la pression, en paroi. Lorsque le uide a un mouvement dirigé vers la paroi etterelation onduit don bien à une augmentation de pression, et la for e résultante qu'exer e la paroisur le uide tend bien à s'opposer au mouvement du uide. Si on onsidère maintenant le as d'une uve au repos dans le hamp de pesanteur, la relation de ompatibilité entraine une variation depression pour les points de al ul situés sur le fond de la uve jusqu'à e que le gradient de pressionà la paroi soit égal au gradient de pression hydrostatique imposé par la gravité. Pour les paroislatérales, la omposante de gravité est nulle, la relation de ompatibilité onduit don à un étatstationnaire où la pression en paroi est égale à la pression dans le uide (gradient de pression nul).Dis rétisation par une méthode de diéren es niesAn d'utiliser ette relation de ompatibilité dans le adre d'une méthode numérique, il onvient de trouver une dis rétisation satisfaisante de elle- i. La méthode qui a été hoisie est uneméthode de diéren es nies s'appuyant sur un maillage lo al régulier. En eet une telle méthodeest très simple à mettre en pla e dans le adre de ette appro he monodimensionnelle. La dé-mar he exposée i i a été présentée au "7th European Turboma hinery Conferen e" et séle tionnéepour publi ation dans le "Journal of Power and Energy" ([41).On ommen e par disposer quatre points (A, B, C, D) régulièrement espa és le long de lanormale à la paroi, l'espa ement entre ha un de es points est pris égal à la taille de dis rétisa-tion initiale des parti ules uides ∆x, omme l'illustre la gure 4.2. En ha un de es points onre onstruit les hamps de densité et de vitesse par une interpolation SPH sur les parti ules uidesvoisines en utilisant la formule normalisée de Shepard ([61) :

ρA =

∑

j∈DAmjWAj

∑

j∈DA

mj

ρjWAj

(4.17)Cette formule a été hoisie ar elle permet de limiter les eets de la tron ature du domained'interpolation. Enn les gradients de vitesse et de densité au point i sont al ulés par un s hémaaux diéren es nies dé entré d'ordre 5 :(

df

dx

)n

i

=1

12∆x[48fn

A − 36fnB + 16fn

C − 3fnD − 25fi] + O(∆x)5 (4.18)dans lequel vi = 0 résulte de la ondition limite et ρi = ρni est la valeur de la densité au pointi à l'itération pré édente. L'intégration temporelle est réalisée en même temps que pour le solveuruide en utilisant là aussi un s héma expli ite d'ordre 1.Le nombre de points de re onstru tion a été hoisi en fon tion des phénomènes physiques quel'on her he à modéliser. En eet le phénomène le plus "raide" que l'on her he à simuler ave ette te hnique est elui de l'impa t d'un jet d'eau sous in iden e normale. Une résolution simplede e problème par une méthode potentielle montre que l'évolution du hamp de pression au pointd'arrêt est quadratique. Un s héma en trois points est don au minimum né essaire. Ave inqpoints, la pré ision est meilleure et il semble que ela permette de lisser un peu la solution.

102 Le formalisme ALE

A

B

C

D

~n

i

∆x

∆x

∆x

∆x

Fig. 4.2: Points d'interpolation pour le s héma aux diéren es nies.Par ailleurs des ritères de "visibilité" sont appliqués pour les points de paroi, 'est-à-dire quele traitement présenté n'est ee tué que si le point de paroi onsidéré est susamment pro he dudomaine uide. En eet il se peut que ertains points de re onstru tion (typiquement les pointsC et D) aient un voisinage uide alors que i n'en a pas. Dans e as le point i est onsidéré omme "se ", 'est-à-dire que sa densité est ramenée à la valeur de référen e ρ0. Le point i estégalement onsidéré omme se si son plus pro he voisin uide est situé à une distan e supérieureà une valeur préalablement dénie (typiquement h). En eet le voisinage habituel en SPH s'étendsur une longueur bien trop grande qui résulterait en une "diusion" de l'interfa e de onta tuide-paroi.Enn le s héma de diéren es nies d'ordre 5 est dégradé vers un s héma d'ordre 3 (ave uni-quement les points A et B) si l'épaisseur du domaine uide au onta t de la paroi est susammentfaible pour que le point D ne soit pas "baigné" dans l'é oulement.Appli ation au al ul d'un jet d'eau impa tant une paroi plane sous in iden e normaleLe premier exemple d'appli ation de e nouveau modèle de traitement des parois solides estun al ul 3D mais qui est prin ipalement déterminé par un phénomène quasi monodimensionnelayant lieu le long de la dire tion normale à la paroi, 'est-à-dire par l'impa t du jet d'eau. Il s'agitd'un as statique, la plaque est immobile, aussi le hamp de transport est identiquement nul pourles points de paroi (v0 = 0).La gure 4.3 montre une vue globale de l'é oulement ainsi que la arte de pression obtenuesur la paroi plane. On onstate que la répartition de pression sur la paroi solide est un peu bruitéemais globalement symétrique autour du point d'arrêt. Ce résultats est don très diérent de euxobtenus ave la méthode SPH standard (voir les gures 3.13 et 3.15 par exemple). La qualitéde ette simulation est testée en omparant le prol radial du oe ient de pression obtenu surla surfa e de la plaque ave des résultats numériques obtenus ave le ode de al ul CFX par ledépartement Re her he et Développement de VATECH Hydro et ave des résultats expérimentauxobtenus onjointement par VATECH Hydro et le LMH de l'EPFL. Le oe ient de pression permetd'adimensionnaliser le hamp de pression par la valeur de la pression dynamique, il est donné parla formule :Cp =

p12ρV 2

jet

(4.19)

4.2 Développement d'un nouveau traitement des parois solides 103

Fig. 4.3: Simulation de l'impa t d'un jet d'eau sur une plaque plane ave in iden e 90°. À gau he :vue générale de l'é oulement. À droite : arte de oe ient de pression sur la surfa e de la plaque.où Vjet est la vitesse débitante du jet en sortie d'inje teur.

Fig. 4.4: Prol de pression moyenné dans la dire tion radiale sur la surfa e de la plaque. Com-paraison des al uls SPH (modèle des for es de paroi et nouveau modèle) ave un al ul CFX etles mesures expérimentales de Kvi insky.Les résultats SPH présentés ont été moyennés azimutalement et aussi en temps sur une dizained'itérations ar il est di ile d'obtenir un réel état stationnaire. Les résultats numériques obtenusave SPH et le traitement des parois solides présenté sont en très bon a ord ave les résultatsnumériques obtenus ave le ode CFX et présentent une amélioration remarquable par rapportau modèle des for es de paroi (voir la gure 4.4). La diéren e notable que l'on observe entreles résultats numériques et les résultats expérimentaux s'explique par le fait que les essais enlaboratoire ont été réalisés ave un inje teur de turbine Pelton en entrée, si bien que le prolde vitesse dans le jet présente un sillage dû au pointeau entral de l'inje teur. Les simulations

104 Le formalisme ALEnumériques ne tiennent pas ompte de e sillage et utilisent un prol de vitesse uniforme enentrée.

Fig. 4.5: Comparaison des épaisseurs de nappe d'eau numériques ave les résultats expérimentaux.À droite : traitement des parois solides par le modèle des parti ules tives. À gau he : traitementdes parois solides par le nouveau modèle.Nous omparons également en gure 4.5 le prol de la surfa e libre obtenu à l'aide de enouveau modèle ave elui obtenu pré édemment qui utilise le modèle des for es répulsives, etave les mesures expérimentales d'épaisseur des nappes d'eau obtenues au LMH. Le prol obtenuave le nouveau modèle est très pro he des mesures expérimentales et apporte une améliorationpar rapport aux résultats pré édents obtenus ave le modèle des for es répulsives.Cette appro he monodimensionnelle apporte une réelle amélioration dans e as d'é oulementsimple où l'é oulement, bien que 3D, se présente prin ipalement sous la forme d'un phénomène1D le long de la normale à la paroi. Nous allons voir dans l'exemple suivant que ette appro hese révèle insusante dans un as plus omplexe.Appli ation au al ul de l'é oulement à l'intérieur d'un auget Pelton immobileLa se onde appli ation on erne l'é oulement dans un auget Pelton immobile. À nouveau le hamp de transport est nul pour les points de paroi. Mais et é oulement est bien plus omplexeque le pré édent et surtout le phénomène prin ipal n'est pas un impa t du uide sur la paroiselon la dire tion normale mais plutt un guidage du uide par la paroi de l'auget. Aussi dans lesrégions de l'é oulement pro hes de la paroi, la omposante prin ipale du ve teur vitesse n'est passa omposante normale mais sa omposante tangentielle, à l'ex eption de l'arête de l'auget (bordd'attaque).La gure 4.6 montre deux vues d'ensemble de l'é oulement ; on vérie notamment que lesnappes uides s'éva uent tangentiellement au bord de fuite de l'auget. Cependant le modèle deparoi se révèle peu adapté. En eet la paroi n'est pas tout à fait "étan he" et quelques parti ulesparviennent à la traverser. Par ailleurs la gure 4.7, qui montre la répartition de pression sur lasurfa e de l'auget, prouve que e modèle n'est pas apable de prédire orre tement la valeur dela pression dans e as omplexe. On observe en eet une forte dépression tout de suite à l'aval

4.2 Développement d'un nouveau traitement des parois solides 105

Fig. 4.6: Simulation de l'é oulement à l'intérieur d'un auget immobile de turbine Pelton. Vuesgénérales de l'é oulement.du bord d'attaque, suivie d'une zone où la pression est au ontraire très élevée. Ailleurs sur lasurfa e de l'auget la arte de pression obtenue est qualitativement a eptable, notamment la zonede plus forte harge est bien située au reux des deux moitiés de l'auget, là où la ourbure est laplus importante, mais les valeurs du oe ient de pression sont surestimées.

Fig. 4.7: Simulation de l'é oulement à l'intérieur d'un auget immobile de turbine Pelton. Cartede pression sur la surfa e de l'auget obtenue ave le nouveau modèle de traitement des paroissolides.La gure 4.8 montre une vue en oupe zoomée sur la zone du bord d'attaque de l'auget etpermet de mieux omprendre e qu'il s'y passe. L'impa t du jet d'eau sur le bord d'attaque del'auget, dont l'épaisseur n'est pas nulle à ause de la dis rétisation, entraine une forte surpression.Celle- i onduit à une ourbure des traje toires uides qui tendent à s'é arter de la paroi del'auget, résultant en une sorte de bulle de dé ollement qui explique la forte dépression observée à

106 Le formalisme ALEl'aval du bord d'attaque. L'é oulement re olle ensuite à la surfa e de l'auget sous la forme d'unpetit impa t de jet, d'où la surpression observée.

Fig. 4.8: Vue en oupe zoomée de l'é oulement dans la région du bord d'attaque de l'auget pourdiérents instants de la simulation.Ces phénomènes sont le résultat d'une erreur numérique entrainée par l'in apa ité du modèle1D à traiter e as omplexe. L'appro he 1D qui a été développée est en eet in apable de prendreen ompte les transports transversaux qu'un é oulement 3D présente dans les dire tions tangentesà la paroi solide. Un appro he omplète multidimensionnelle semble don né essaire.4.2.3 Relations de ompatibilité 2D pour le traitement des parois solidesL'extension du modèle pré édent vers un modèle multidimensionnel a été réalisée dans le as2D. À nouveau il est né essaire d'étudier le système d'équations à résoudre an d'en extraire lesvaleurs propres et ve teurs propres avant de pouvoir exprimer les relations de ompatibilité. On onsidère don le système d'équations sous forme onservative suivant :

dρ

dt+

∂

∂x(ρ(v(1) − v

(1)0 )) +

∂

∂z(ρ(v(2) − v

(2)0 )) = 0

d(ρv(1))

dt+

∂

∂x(ρv(1)(v(1) − v

(1)0 ) + p) +

∂

∂z(ρv(1)(v(2) − v

(2)0 )) = ~g · ~x

d(ρv(2))

dt+

∂

∂x(ρv(2)(v(1) − v

(1)0 )) +

∂

∂z(ρv(2)(v(2) − v

(2)0 ) + p) = ~g · ~z

(4.20)qui est obtenu à partir de (4.2). La forme non onservative de e système est obtenue aisément etest donnée par :

4.2 Développement d'un nouveau traitement des parois solides 107

dρ

dt+ ρ

(

∂v(1)

∂x+

∂v(2)

∂z

)

+ (v(1) − v(1)0 )

∂ρ

∂x+ (v(2) − v

(2)0 )

∂ρ

∂z= 0

dv(1)

dt+ (v(1) − v

(1)0 )

∂v(1)

∂x+ (v(2) − v

(2)0 )

∂v(1)

∂z+

c2

ρ

∂ρ

∂x= gx

dv(2)

dt+ (v(1) − v

(1)0 )

∂v(2)

∂x+ (v(2) − v

(2)0 )

∂v(2)

∂z+

c2

ρ

∂ρ

∂z= gz

(4.21)Ce système peut se mettre sous la forme matri ielle suivante :dU

dt+ A

∂U

∂x+ B

∂U

∂z= S (4.22)dans laquelle U = (ρ v(1) v(2))t est le ve teur des variables non onservatives et les matri esja obiennes sont données par :

A =

(v(1) − v(1)0 ) ρ 0

c2/ρ (v(1) − v(1)0 ) 0

0 0 (v(1) − v(1)0 )

B =

(v(2) − v(2)0 ) 0 ρ

0 (v(2) − v(2)0 ) 0

c2/ρ 0 (v(1) − v(1)0 )

(4.23)S = (0 gx gz)

t est le ve teur des termes sour es et est réduit dans ette étude à la gravité.La suite de l'étude de e système dière quelque peu de elle présentée dans le as 1D. En eetil faut hoisir une dire tion parti ulière dans l'espa e à deux dimensions, dire tion que l'on appelledire tion d'observation, le long de laquelle nous allons pouvoir étudier l'existen e de solutions dusystème (4.20) sous la forme d'ondes progressives. Soit ~K = (K(1) K(2))t le ve teur dire teurunitaire de ette dire tion d'observation. Nous nous intéressons alors à l'étude des valeurs propreset ve teurs propres de la matri e AK dénie par :AK = K(1) · A + K(2) · B (4.24)et on obtient les valeurs propres et ve teurs propres gau hes suivants :

λ1 = (~v − ~v0) · ~K

λ2 = (~v − ~v0) · ~K + c

λ3 = (~v − ~v0) · ~K − c

,

l(1) = (0 K(2) − K(1))t

l(2) = (c/ρ K(1) K(2))t

l(3) = (−c/ρ K(1) K(2))t

(4.25)On remarque à nouveau que le système admet trois valeurs propres réelles et trois ve teurspropres linéairement indépendants, e qui prouve qu'il est bien de nature hyperbolique. Le hoixdes ve teurs propres n'est pas unique, il faut néanmoins veiller à ne pas introduire de dissymétrieentre les dire tions d'espa e (entre K(1) et K(2)).L'expression des relations de ompatibilités est nalement donnée par :K(2) dv(1)

dt−K(1) dv(2)

dt+ (~v − ~v0) · ∇

(

K(2)v(1) − K(1)v(2))

+

c2

ρ

(

K(2) ∂ρ

∂x− K(1) ∂ρ

∂z

)

= 0

(4.26)

108 Le formalisme ALEpour la RC(1) asso iée à la valeur propre λ1 et par :± c

ρ

[

dρ

dt+ (~v − ~v0) · ∇ρ + ρ

(

∂v(1)

∂x+

∂v(2)

∂z

)]

+

K(1) dv(1)

dt+ K(2) dv(2)

dt+ (~v − ~v0) · ∇

(

K(1)v(1) + K(2)v(2))

+

c2

ρ

(

K(1) ∂ρ

∂x+ K(2) ∂ρ

∂z

)

= ± c

ρ

(

K(1)g(1) + K(2)g(2))

(4.27)pour la RC+ et la RC− respe tivement asso iées à λ2 et λ3.Dans le but d'appliquer es relations de ompatibilité pour extrapoler le hamp en paroi, leve teur d'observation hoisi est le ve teur normal sortant (et don dans la suite on a K = n). Ladis rétisation de es relations est nettement plus omplexe que dans le as 1D. Elle né essite unmaillage 2D, e qui ex lut la démar he utilisant les diéren es nies employées pré édemment.Une dis rétisation dire te par la méthode SPH employant les opérateurs de dérivation onstruitsdans la première partie de e manus rit serait éventuellement possible. La solution retenue est ependant bien plus simple et surtout très pro he du s héma de dis rétisation utilisé dans ledomaine uide.Proje tion des équations dis rétisées sur les ve teurs propresLes relations de ompatibilité sont obtenues en projetant les équations dé rivant le mouve-ment sur les ve teurs propres du système d'équations. Jusqu'à présent nous avons manipulé laforme ontinue de es équations du mouvement, puis nous avons her hé à dis rétiser les relationsobtenues. La démar he proposée i i est exa tement l'inverse, 'est-à-dire que les équations dumouvement sous forme dis rète vont être al ulées puis projetées sur les ve teurs propres avantrésolution.Le détail de ette démar he est le suivant. Les notations utilisées sont les suivantes :

dρi

dt= Gi

d~vi

dt= ~Fi

(4.28)où Gi et ~Fi représentent l'ensemble des ontributions internes (intera tions ave les parti ulesvoisines) et externes (termes sour es) des équations dé rivant le mouvement pour le point i situésur la paroi solide. Ces termes sont al ulés exa tement de la même manière que pour les parti ulesuides. Dans un deuxième temps, la proje tion sur les ve teurs propres est ee tuée en tant quetraitement spé ique pour les points de paroi. Les deux relations de ompatibilités RC(1) et RC+sont séle tionnées, la troisième est rempla ée par la ondition limite : (~v − ~v0) · ~n = 0.Pour la suite, nous allons supposer que la paroi solide est immobile, e qui permettra d'allégerles notations. Néanmoins les relations é rites i i resteraient valides dans le as d'une paroi mobile,à ondition de rajouter des termes sour es dûs à la vitesse et à l'a élération de la paroi. Lesystème suivant permet nalement de dé rire l'intera tion du uide ave la paroi solide supposéeimmobile :

4.2 Développement d'un nouveau traitement des parois solides 109

n(2)i

dv(1)i

dt− n

(1)i

dv(2)i

dt= n

(2)i F

(1)i − n

(1)i F

(2)i

ci

ρi

dρi

dt+ n

(1)i

dv(1)i

dt+ n

(2)i

dv(2)i

dt=

ci

ρiGi + n

(1)i F

(1)i + n

(2)i F

(2)i

n(1)i v

(1)i + n

(2)i v

(2)i = 0 et n

(1)i

dv(1)i

dt+ n

(2)i

dv(2)i

dt= 0

(4.29)soit après quelques simpli ations d'é riture (ave n

(2)i 6= 0, sinon on inverse les rles desindi es 1 et 2) :

dv(1)i

dt= n

(2)i

(

n(2)i F

(1)i − n

(1)i F

(2)i

)

dv(2)i

dt= −n

(1)i

n(2)i

dv(1)i

dt

dρi

dt= Gi +

ρi

ci

(

n(1)i F

(1)i + n

(2)i F

(2)i

)

(4.30)On dispose ainsi d'un système permettant de faire évoluer en temps les trois variables du hamppour les points de paroi, en parti ulier les vitesses de glissement qui n'étaient pas a essibles dansla des ription mono dimensionnelle pré édente.Appli ation à la rupture de barrageCe traitement bi dimensionnel des onditions limites de paroi solide a été testé sur le as dela rupture de barrage. La gure 4.9 montre des vues de l'é oulement pour diérents instants de lasimulation. Ce as n'a fait l'objet d'au une validation quantitative néanmoins il montre que le mo-dèle de traitement des parois solides élaboré fon tionne. On remarque en parti ulier la ontinuitédu hamp de pression entre le uide et la paroi, e qui permet de penser que si la simulation SPHest onsidérée omme satisfaisante, alors e modèle permet d'obtenir une prédi tion du hamp depression en paroi ave la même pré ision. Il faut ependant noter que le résultat de ette simula-tion fut parti ulièrement déli at à obtenir en raison d'instabilités numériques dûes à des "fuites"de parti ules dans les oins inférieurs gau he et droite du domaine de al ul. Ce phénomène a puêtre orrigé en rajoutant une petite for e répulsive s'exerçant sur toute parti ule uide se rappro- hant trop des limites du domaine. Cette for e est al ulée sur la base d'un élément surfa iquede taille standard (∆x) doté d'une valeur de pression égale à la pression statique que la olonned'eau initiale exer e sur la paroi inférieure. Cet arti e revient don à rajouter un point de paroisitué au point de proje tion de la parti ule uide sur la paroi et doté d'une pression basée sur lephénomène physique simulé. Cette for e arti ielle n'intervient que pon tuellement au ours dela simulation aussi son inuen e est négligable sur le omportement global de l'é oulement.Cette démar he multi dimensionelle a fait l'objet d'une ommuni ation lors du "2nd SPHERICWorkshop 2007" (voir [40).

110 Le formalisme ALE

(a) T=0.25s (b) T=0.504s ( ) T=0.75s

(d) T=1.254s (e) T=1.746s (f) T=3.0sFig. 4.9: Simulation du as de rupture de barrage ave le nouveau modèle de traitement desparois solides.

4.3 Extension du formalisme ALE au solveur uide 1114.3 Extension du formalisme ALE au solveur uideParallèlement à es travaux sur le développement d'un traitement des onditions limites deparoi solide, nous nous sommes intéressés aux possibilités qu'ore le formalisme ALE pour faireévoluer la simulation numérique des é oulements en utilisant SPH. Nous avons déjà montré om-ment e formalisme a permis d'adapter des te hniques développées dans le adre des méthodeeulériennes pour le traitement des parois solides en SPH. Mais il permet en fait de poser unregard nouveau sur la manière d'aborder la simulation numérique en SPH ar il propose uneformulation des équations du mouvement mieux adaptée à la des ription des é oulements uides.4.3.1 De la mé anique du point à la mé anique des uidesEn mé anique des uides, les équations du mouvement sont obtenues en réalisant le bilande quelques grandeurs onservatives (masse, quantité de mouvement, énergie) sur un volume de ontrle plongé dans l'é oulement. En faisant tendre la taille de e volume de ontrle vers zéro,on obtient la forme onservative des équations du mouvement, 'est ainsi qu'ont été obtenuesles équations (4.1) et (4.2). Une transformation mathématique simple onduit à une autre formede es équations appelée la forme non onservative exposée en (2.41). Ces deux formulationssont mathématiquement équivalentes mais sur un plan numérique leurs omportements et leurs ara téristiques dièrent. La dis rétisation d'une forme non onservative s'arti ule autour de ladis rétisation d'opérateurs mathématiques appliqués aux variables dé rivant le hamp, e qui estune appro he un peu diérente de elle d'un bilan de onservation. La méthode SPH standard estbasée sur une formulation non onservative qui, ombinée à ses origines astrophysiques et à son ara tère lagrangien, a favorisé son interprétation omme un al ul de for es d'intera tion entreparti ules matérielles, un peu à l'image d'un problème à N orps. Néanmoins ela ne orrespondpas tout à fait à la des ription ma ros opique d'un milieu ontinu uide et l'expérien e a umuléedans le développement des méthodes numériques eulériennes montre que l'adoption d'une formula-tion onservative permet un gain appré iable en robustesse et en pré ision. La forme onservativeretrans rit plus dèlement un bilan ee tué sur un volume de ontrle et utilise en eet des uxpour dé rire l'évolution de l'é oulement. D'un point de vue mathématique il s'agit d'une formula-tion faible du système d'équations, et la solution peut éventuellement ontenir des dis ontinuités.Le s héma numérique résultant de la dis rétisation d'une telle formulation onservative orres-pond ainsi beau oup mieux à l'expression d'une loi de onservation. Nous avons vu que pour uneappli ation aux équations d'Euler, la méthode SPH doit être légèrement modiée en utilisant desformulations symmétrisées des termes d'intera tion dans le but de respe ter le prin ipe d'a tionréa tion. Cela traduit la né essité de satisfaire la onservation de la quantité de mouvement. Enutilisant des ux, ette symétrie est naturellement satisfaite.Ainsi l'adoption d'une forme onservative basée sur un bilan lo al de ux entraine un né essaire hangement d'interprétation de la méthode SPH. Les points de al ul doivent être moins vus omme des parti ules matérielles que omme des ellules de ontrle mobiles é hangeant de lamatière et de la quantité de mouvement ave les autres ellules de l'é oulement. C'est en ela quel'on peut onsidérer que l'adoption du formalisme ALE permet de faire passer la méthode SPHde la mé anique du point à la mé anique des uides. Nous allons étudier dans la suite de quellemanière la dis rétisation du système (4.2) donne naissan e à une méthode numérique robuste etpré ise.

112 Le formalisme ALE4.3.2 Problème de Riemann monodimensionnelL'utilisation du système (4.2) omme base d'une nouvelle méthode numérique né essite ladis rétisation de la divergen e des termes de ux. Nous avons vu que la dis rétisation d'un telopérateur par la méthode SPH utilise le gradient de la fon tion kernel et entraine don des ontri-butions qui sont alignées sur le ve teur rayon joignant les points de al ul entre eux. En utilisant ette propriété, Vila ([70) montre que la dis rétisation du système (4.2) par la méthode SPH onduit à la résolution d'un problème de Riemann entre haque paire de points de al ul voisin.Ce problème de Riemann dans le as homogène prend ainsi la forme suivante :

∂

∂t(Φ) +

∂

∂x(nij)(FE(Φ) · nij − v0(xij , t) · nijΦ) = 0

Φ(x(nij , 0) =

Φi si x(nij) < 0

Φj si x(nij) > 0

(4.31)où nij est le ve teur unitaire dans la dire tion joignant les points i et j et orienté de i versj, xij est la position du milieu du segment [i, j], x(nij) est une abs isse urviligne le long de ladroite de ve teur dire teur nij et dont l'origine est prise en xij, et Φi et Φj sont les ve teurs desvariables onservatives respe tivement en i et j (voir une représentation en gure 4.10).

i

j

~nij

xijΦi

Φj

Fig. 4.10: Problème de Riemann monodimensionnel entre parti ules voisines.Le problème de Riemann monodimensionnel est un problème a adémique d'évolution à ondi-tion initiale dis ontinue. Dans le as des équations d'Euler une solution analytique de e problèmeest onnue. Nous allons don onsidérer le problème de Riemann lassique des équations d'Euler :

∂

∂t(Φ) +

∂

∂x(FE(Φ) · nij) = 0

Φ(x, 0) =

Φi si x < 0

Φj si x > 0

(4.32)La solution de e problème est auto-similaire, 'est-à-dire qu'elle ne dépend que du rapportx/t, ainsi que des états Φi et Φj, on la note ΦE(x/t,Φi,Φj). La solution du problème (4.31) estalors donnée par :

4.3 Extension du formalisme ALE au solveur uide 113

Φ = ΦE

(

x(nij) + X0(t)

t,Φi,Φj

)

X0(t) =

∫ t

0v0(xij, τ) · nijdτ

(4.33)où v0(xij, t) est la vitesse de dépla ement de l'interfa e entre les points i et j dans le référentielabsolu.4.3.3 Stabilisation d'un s héma numérique et utilité d'un dé entrementLa stabilité de la méthode SPH (ave intégration temporelle expli ite) né essite l'utilisationd'un terme de stabilisation appelé vis osité arti ielle dont l'expression a été donnée en (2.66). Ceterme lassique en SPH dépend de deux paramètres α et β dont la valeur est xée par l'utilisateur.Celui- i doit don veiller à hoisir des valeurs qui garantissent la stabilité du al ul sans toutefoisentrainer une diusion ex essive. En pratique l'expérien e a umulée joue un rle prépondérantmais rien n'assure qu'une valeur optimale minimisant la diusion a réellement été utilisée.Au sein du s héma SPH standard qui équivaut à un s héma entré, e terme de vis osité ar-ti ielle orrespond en fait à un dé entrement. La stabilité des méthodes numériques appliquéesaux équations d'Euler entraine né essairement l'introdu tion d'une estimation dé entrée des ux ar les dire tions de l'espa e ne sont pas toutes équivalentes du point de vue du transport d'in-formations. Cela est dire tement lié à la nature hyperbolique du système des équations d'Euleret aux dire tions ara téristiques de propagation d'informations dans l'é oulement, omme elaa été expliqué en 4.2.2, page 98. Les notions de domaine de dépendan e et de zone d'inuen epermettent de mieux omprendre ette situation.Domaine de dépendan e et zone d'inuen eIl n'est pas inutile de rappeler i i les notions de domaine de dépendan e et de zone d'inuen e([24, hapitre 3). Nous allons introduire es deux notions dans un as monodimensionnel. Nousrappelons que le système des équations d'Euler admet alors deux valeurs propres distin tes etréelles λ1 = v + c et λ2 = v− c dénissant deux dire tions ara téristiques C+ et C− dans le plan(x, t) et de pente respe tive dt/dx = 1/λ1 et dt/dx = 1/λ2. On suppose onnue la solution à uninstant t1 en tout point et on s'intéresse à la solution en un point P d'abs isse xP à un instantt2 > t1. Les deux ara téristiques C+ et C− passant par P sont issues respe tivement du pointA d'abs isse xA et B d'abs isse xB à l'instant t1 (voir la gure 4.11). Cela signie qu'au uneinformation située à t1 à une abs isse x < xA ou x > xB n'a pu voyager susamment vite dansl'é oulement pour atteindre le point P dans l'intervalle de temps t2 − t1. La solution en P à t2est don entièrement déterminée par la solution sur le segment [AB] à l'instant t1. On appelledomaine de dépendan e de P la région délimitée par PAB. Pour des instants t > t2, il est lairque le point P va lui même en partie déterminer la solution dans la région délimitée par C+ etC−, on parle alors de zone d'inuen e. On remarquera ainsi que le point P est situé dans les zonesd'inuen e de A et B.Dé entrementLe as parti ulier d'un é oulement supersonique permet de mettre en éviden e la né essité d'undé entrement du s héma numérique. On suppose ainsi que v > c, les deux ara téristiques C+ etC− ont don une pente positive dans le plan (x, t). Si l'on onsidère une dis rétisation spatiale

114 Le formalisme ALE

x

t

t1

t2

A B

P

C+C−

Domainede dépendan ede P

Domained'inuen ede P

Fig. 4.11: Cara téristiques C+ et C− et domaines de dépendan e et d'inuen e.d'indi es ordonnés, il est lair que le domaine de dépendan e du point i est entièrement situé du té x < xi (gure 4.12). Le s héma numérique devant don utiliser le point i − 1 plutt que lepoint i + 1, il doit être dé entré vers la gau he. Á l'inverse si v < −c (gure 4.13), le domaine dedépendan e de i est entièrement situé du té x > xi, le s héma doit don être dé entré vers ladroite et utiliser le point i+1 plutt que le point i− 1. En pratique bien sûr la situation n'est pasaussi ari aturale, en parti ulier pour les é oulements qui nous intéressent dans lesquels le nombrede Ma h reste bien inférieur à 1. Néanmoins on omprend bien que les informations en provenan edes points i − 1 et i + 1 ne sont pas for ément équivalentes. Pour un é oulement supersonique,on montre ([25, hapitre 20) que l'utilisation d'un s héma totalement dé entré selon l'analysefaite i-dessus permet d'obtenir une méthode onditionnellement stable (soumise à une onditionCFL). En s'inspirant d'une telle démar he, de nombreux développements ont eu lieu dans le adredes méthodes numériques eulériennes à maillage an de onstruire des s hémas de dis rétisationdé entrés qui distinguent les diérentes informations selon leur sens de propagation. Ces s hémasont ee tivement apporté une stabilisation naturelle de la méthode numérique sans avoir re ours àun terme de vis osité arti ielle et notamment sans avoir besoin de régler un oe ient numérique.4.3.4 S hémas de GodunovGodunov en 1959 a été le premier à utiliser la solution exa te du problème de Riemannpour onstruire un tel s héma dé entré dans un as monodimensionnel ([17, [18). Il a en eetremarqué que dans le as d'une méthode numérique, la dis rétisation entraine né essairementdes dis ontinuités du hamp aux interfa es entre ellules de dis rétisation. Il a don onsidéré esinterfa es omme autant de problèmes de Riemann, dont la solution exa te onnue ontient toutesles informations relatives aux ondes se propageant lo alement dans l'é oulement. En parti ulieren xi+1/2, elle résulte de l'intera tion des ara téristiques C+ issue de i et C− issue de i + 1. Leux de Godunov est alors déni par :FGod

E,i+1/2 = FE(ΦE(0,Φi,Φi+1)) (4.34)où ΦE(0,Φi,Φj) est la solution du problème de Riemann en xi+1/2 (point milieu entre les pointsd'indi e i et j) le long de la pente x/t = 0.L'extension de e s héma à des ongurations multi dimensionnelles est parti ulièrement répan-

4.3 Extension du formalisme ALE au solveur uide 115

x

t

t1

t2

i − 1 i + 1i

C+ C−

Fig. 4.12: Cas d'un é oulement superso-nique ave v > c.x

t

t1

t2

i − 1 i + 1i

C+ C−

Fig. 4.13: Cas d'un é oulement superso-nique ave v < −c.due dans les méthodes eulériennes. Elle onsiste à onsidérer entre haque ellule de dis rétisationun problème de Riemann monodimensionnel le long de la normale à l'interfa e et situé à l'interfa eentre les ellules. Il s'agit ertes d'une simpli ation ar le problème de Riemann est en réalitémulti dimensionnel, pourtant en pratique ette approximation est amplement susante pour desé oulements ne présentant pas des stru tures de ho s multi dimensionnelles.4.3.5 Une méthode numérique originaleTout e qui vient d'être exposé est largement onnu, depuis de nombreuses années, dans ledomaine de la CFD eulérienne, 'est-à-dire des te hniques numériques utilisant des maillages. Ornous avons vu en 4.3.2 que l'utilisation de la forme onservative en SPH onduit naturellement à onsidérer un problème de Riemann entre haque paire de points voisins. Il paraît alors judi ieuxde s'inspirer des te hniques existantes dans les méthodes eulériennes pour onstruire un s hémade Godunov adaptée à SPH. Vila a ee tué e travail ([70), et nous onseillons la le ture de sestravaux pour avoir le détail d'une démar he dont seules les grandes lignes ont été exposées i i.L'approximation parti ulaire de (4.2) est alors donnée par :d

dt(ωiΦi) + ωi

∑

j∈Di

ωj2GE(Φi,Φj)∇iWij = ωiQV (4.35)où GE est un ux de Godunov adapté à la des ription ALE et donné par :

GE(Φi,Φj) = FE(Φij(λij0 )) − v0(xij , t) ⊗ Φij(λ

ij0 )

Φij(λij0 ) = ΦE(λij

0 ,Φi,Φj)

λij0 = v0(xij , t) · nij

(4.36)Ainsi la solution du problème de Riemann "mobile" résultant du dépla ement des points de al ul est re her hée le long de la pente x/t = λij0 qui orrespond à la vitesse de dépla ement dupoint milieu xij dans la dire tion nij.

116 Le formalisme ALELe système omplet d'équations dis rètes sur lequel s'appuie ette méthode numérique estnalement donné par :

d

dt(~xi) = v0(xi, t)

d

dt(ωi) = ωi

∑

j∈Di

ωj(v0(xj) − v0(xi))∇iWij

d

dt(ωiρi) + ωi

∑

j∈Di

ωj2ρE,ij(vE,ij − v0(xij , t)) · ∇Wij = 0

d

dt(ωiρi~vi) + ωi

∑

j∈Di

ωj2 [ρE,ijvE,ij ⊗ (vE,ij − v0(xij , t)) + pE,ij] · ∇Wij = ωiρig

(4.37)où (ρE,ij, vE,ij)

t = Φij(λij0 ).Plusieurs ommentaires peuvent être faits sur ette nouvelle méthode numérique. Tout d'abordon peut remarquer tout l'intérêt du formalisme ALE ar l'introdu tion d'une vitesse de transportdes points de al ul éventuellement diérente de la vitesse de l'é oulement permet en dénitive detraiter un dé entrement de la vitesse à travers les ux onve tifs, ux qui n'apparaissent pas dansun formalisme purement lagrangien. Ce dé entrement de vitesse a d'ailleurs une onséquen e depremière importan e. En eet même si l'on dé ide de dépla er les points de al ul ave la vitesse del'é oulement (v0(xi) = vi), 'est-à-dire que l'on se pla e dans un adre purement lagrangien, les ux onve tifs ne sont pas nuls numériquement (alors qu'ils le sont dans l'é riture mathématique dusystème d'équations), et en parti ulier les parti ules é hangent de la matière : la quantité mi = ωiρin'est plus onstante au ours du temps, à la diéren e de la méthode SPH lassique. Néanmoinsla méthode est globalement onservative, 'est-à-dire que la masse totale dans l'é oulement reste onstante ( 'est également le as de toute grandeur onservative). Par ailleurs la stabilité de etteméthode est assurée par le dé entrement des ux onve tifs et de pression que le s héma deGodunov introduit naturellement. Le re ours à un terme de vis osité arti ielle est don inutile.Enn l'évolution des poids est expli ite et dépend entièrement de l'évolution de la distributionspatiale des points de al ul.Il est tentant de rappro her ette méthode numérique de la méthode des volumes nis. En eet e formalisme ALE nous permet en dénitive d'adapter pour SPH des te hniques développées dansun adre eulérien pour des méthodes à maillage. Néanmoins il est utile de souligner que le al ulexpli ite du bilan des ux est obtenu d'une tout autre manière. Dans le formalisme volumesnis, e bilan est obtenu en ee tuant une intégration sur les surfa es frontières de la ellule dedis rétisation omme illustré en gure 4.14. Cette intégration est exa te, 'est-à-dire que la ellulede dis rétisation onstitue un volume de ontrle fermé et que l'aire de ha une des surfa esfrontières est une donnée géométrique parfaitement onnue :

∑

j

Sjnj = 0 (4.38)L'utilisation de SPH pour al uler le bilan des ux entraine des al uls forts diérents puisquel'intégration est ette fois volumique. Le volume de ontrle peut alors être identié au supportde la fon tion kernel. Il ontient don de nombreux points de al ul et son interse tion ave lesautres volumes de ontrle n'est pas nulle, e qui est très diérent là en ore d'un maillage où les ellules réalisent une partition exa te du domaine de al ul. Enn l'intégrale dis rète n'est pasexa te en SPH : ∑

j∈Di

ωj∇iWij 6= 0 (4.39)

4.4 Solveurs de Riemann 117 e qui pourrait s'interpréter omme un volume de ontrle qui ne serait pas parfaitement los.b

b

b

b

b

b

b

b

b

ib

b

b

b

b

b

b

b

b

i

Fig. 4.14: Intégration du bilan des ux sur les frontières du volume de ontrle pour la méthodedes volumes nis (à gau he) et sur le domaine d'interpolation en SPH (à droite).4.4 Solveurs de RiemannNous avons expliqué omment la solution du problème de Riemann pouvait onduire à l'ex-pression d'un ux dé entré. Nous allons i i examiner omment ette solution peut être en pratiqueobtenue. Il s'agit d'un point parti ulièrement important pour une méthode numérique utilisantun s héma de Godunov puisque la résolution entière de l'é oulement repose sur la résolution desproblèmes de Riemann lo aux. Or elle- i pouvant se révéler assez oûteuse, e qui peut rendre laméthode numérique peu e a e, de nombreuses te hniques de résolution rapide appro hée ont vule jour. Nous allons tout d'abord dé rire la forme que prend ette solution dans le adre de l'uti-lisation de la loi d'état de Tait, puis examinerons la résolution exa te et un exemple de résolutionappro hée. Enn quelques remarques à propos des spé i ités de l'utilisation de tels s hémas poursimuler des é oulements d'eau seront apportées.4.4.1 Des ription de la solution du problème de Riemann pour l'équation deTaitDans le formalisme pseudo ompressible qui a été adopté, la pression est déduite de la densitépar l'équation d'état de Tait qui s'é rit :p = B

[(ρ

ρ0

)γ

− 1

] (4.40)et la vitesse lo ale du son orrespondante peut s'é rire :c2 =

γ

ρ(p + B) (4.41)On retrouve les notations utilisés pré édemment en posant B =

ρ0c20

γ mais les nouvelles présententl'avantage d'être plus on ises.

118 Le formalisme ALENous nous intéressons à la solution du problème (4.32) que l'on va reformuler dans un adreplus général :

∂

∂t(Φ) +

∂

∂x(FE(Φ)) = 0

Φ(x, 0) =

ΦL si x < 0

ΦR si x > 0

(4.42)où les indi es L et R désignent les états à gau he (Left) et à droite (Right) de la dis ontinuitéinitialement située en x = 0.Il s'agit d'un problème monodimensionnel mais en pratique 'est son utilisation dans des as2D ou 3D qui est parti ulièrement intéressante, aussi le ve teur Φ des variables onservatives estpris ave deux omposantes de quantité de mouvement, la se onde représentant une omposantetangentielle à l'interfa e. L'utilisation d'une loi d'état barotrope omme l'équation de Tait faitdiminuer la dimension du problème d'une unité par rapport au as bien onnu des gaz parfait equi revient à laisser de té l'équation de l'énergie et à onsidérer un é oulement isentropique. Ona ainsi :Φ = (ρ , ρv(1) , ρv(2))t FE(Φ) = (ρv(1) , ρv(1)2 + κργ , ρv(1)v(2))t (4.43)ave κ = B/ργ0 .En ee tuant la même démar he qu'en 4.2.3, on montre que e système admet trois valeurspropres réelles distin tes :

λ1 = v(1)

λ2 = v(1) + c

λ3 = v(1) − c

(4.44)La valeur propre λ2 orrespond à une onde qui se dépla e vers la droite et λ3 à une onde quise dépla e vers la gau he, ha une de es deux ondes pouvant être une onde de ho ou une ondede détente. Elles délimitent s hématiquement trois zones à l'intéreur desquels les états Φ sont onstants, à savoir deux zones non perturbées d'état ΦL et ΦR et une zone intermédiaire d'étatΦ∗, omme ela est visible gure 4.15. La valeur propre λ1 orrespond à une ligne de glissementau travers de laquelle la vitesse tangentielle v(2) est dis ontinue.

0x

t

ρL

v(1)L

v(2)L

ρ∗

v(1)∗

v(2)L

ρ∗

v(1)∗

v(2)R

ρR

v(1)R

v(2)RFig. 4.15: Stru ture de la solution du problème de Riemann monodimensionnelLa solution est dis ontinue au travers d'une onde de ho , mais dans le as d'une onde dedétente la solution est ontinue et évolue progressivement. La présen e d'une onde de détenteentraine don l'apparition d'une zone supplémentaire délimitée par la tête et la queue de l'onde dedétente. La gure 4.16 présente les 4 ongurations qui sont don possibles selon les ombinaisonsd'ondes de ho et de détentes qui peuvent apparaître à droite et à gau he ainsi que la vitessedes diérentes ondes. Cela permet nalement de onsidérer au maximum six zones parfaitementdélimitées.

4.4 Solveurs de Riemann 1190

x

t

SL SRv(1)∗

(a) Deux ho s 0x

t

SL v(1)∗

v(1)R + cR

v(1)∗ + c∗

(b) Un ho à gau he, une détente à droite0

x

t

SRv(1)∗

v(1)L − cL

v(1)∗ − c∗

( ) Une détente à gau he et un ho à droite 0x

tv(1)∗

v(1)L − cL

v(1)∗ − c∗

v(1)R + cR

v(1)∗ + c∗

(d) Deux détentesFig. 4.16: Les quatre ongurations possibles de la solution du problème de Riemann.La solution du problème de Riemann étant auto similaire (elle ne dépend que du rapport x/t), ilsut de onnaître les états dans ha une de es zones ainsi que la vitesse des ondes pour onnaîtrela solution du problème de Riemann en tout point et à tout instant. Comme nous l'avons montréau paragraphe 4.3.2, nous sommes intéressés par la solution le long de la dire tion x/t = v(1)0 .Compte tenu du petit nombre de Ma h qui ara térise les é oulements qui nous intéressent, lasolution que l'on her he est né essairement située dans la zone "étoile", et nous allons don examiner omment l'état Φ∗ peut être al ulé.4.4.2 Solveur exa tL'état intermédiaire "étoile" est relié aux états L et R à travers deux ondes non linéaires.En utilisant les relations isentropiques au travers des ondes de détente et les relations de saut deRankine-Hugoniot au travers des ondes de ho , il est possible de onstruire une équation non-linéaire sur l'une des variables étoile, en général ρ∗ dont la résolution par une méthode itérativepermet de déterminer totalement la solution du problème de Riemann ([29).Cette relation non linéaire a pour expression :

g(ρ∗) = gL(ΦL, ρ∗) + gR(ΦR, ρ∗) + ∆v(1) = 0 (4.45)ave ∆v(1) = v(1)R − v

(1)L . L'interprétation de ette relation est très simple. Dans un diagramme

(v, p) des états, ha un des états L et R est onne té à l'état "étoile" à travers une ourbe ontinuedont les ara téristiques dépendent notamment de la nature de l'onde onsidérée. La résolutionde l'équation (4.45) revient don à trouver le point d'interse tion de es deux ourbes (voir lagure 4.17).L'expression des deux fon tions gL et gR dépend de la nature de l'onde qu'elles représentent.Nous allons don examiner séparément le as des ondes de ho et elui des ondes de détente.

120 Le formalisme ALEOndes de ho Au travers d'une onde de ho les relations de Rankine-Hugoniot sont utilisées, elles sontdonnées par :[FE(Φ)] = SK [Φ] (4.46)où l'indi e K désigne indiéremment R ou L, SK désigne la vitesse de l'onde de ho et la notation

[.] désigne le saut au travers de la dis ontinuité. Ces relations peuvent être réarrangées et donnentnalement :ρKwK = ρ∗w∗

ρKw2K + κργ

K = ρ∗w2∗ + κργ

∗

(4.47)où w désigne la vitesse uide dans un référentiel se déplaçant à la vitesse de l'onde de ho :wK = v

(1)k − SK et w∗ = v

(1)∗ − SK . Les relations (4.47) expriment la ontinuité des ux dans eréférentiel, en parti ulier du ux de masse e qui donne :

QL = ρLwL = ρ∗w∗

QR = −ρRwR = −ρ∗w∗(4.48)On inje te alors es relations dans la deuxième relation de (4.47) et on obtient :

QL =κ(ργ

∗ − ργL)

wL − w∗=

κ(ργ∗ − ργ

L)

v(1)L − v

(1)∗

QR =κ(ργ

∗ − ργR)

wR − w∗=

κ(ργ∗ − ργ

R)

v(1)R − v

(1)∗

(4.49)Les fon tion gL et gR introduites en (4.45) peuvent alors être dénies par :v(1)∗ = v

(1)L − gL , v

(1)∗ = v

(1)R + gR (4.50)et leur expression est :

gL =κ(ργ

∗ − ργL)

QL, gR =

κ(ργ∗ − ργ

R)

QR(4.51)Enn on élimine w en utilisant les relations (4.48) et (4.49) pour obtenir en fon tion de la massevolumique uniquement l'expression du ux de masse :

QK =

[κ(ργ

∗ − ργK)ρKρ∗

(ρ∗ − ρK)

]1/2 (4.52)et les fon tions gK :gK =

[κ(ργ

∗ − ργK)(ρ∗ − ρK)

ρ∗ρK

]1/2 (4.53)Ondes de détenteLe as des ondes de détente est un peu plus simple. En eet la transformation à travers uneonde de détente est isentropique, aussi les invariants de Riemann sont onservés et on peut é rire :v(1)∗ +

2c∗γ − 1

= v(1)L +

2cL

γ − 1(4.54)et

v(1)∗ − 2c∗

γ − 1= v

(1)R − 2cR

γ − 1(4.55)

4.4 Solveurs de Riemann 121On dénit à nouveau les fon tions gL et gR par :v(1)∗ = v

(1)L − gL , v

(1)∗ = v

(1)R + gR (4.56)et leur expression est donnée par :

gL =2

γ − 1(c∗ − cL) , gL =

2

γ − 1(c∗ − cR) (4.57)et en utilisant l'expression de la vitesse du son pour rempla er c∗ il vient dire tement l'expressiondes fon tions solutions :

gK =2cK

(γ − 1)

[(ρ∗ρK

)(γ−1)/2

− 1

] (4.58)Résolution itérativeL'expression de la fon tion g(ρ∗) dénie en (4.45) est don totalement déterminée et la solutionde l'équation g(ρ∗) = 0 est her hée par une méthode itérative de Newton-Raphson :ρ(i+1) = ρ(i) − g(ρ(i))

g′(ρ(i))(4.59)

b

b

b b

bb

b

v

ρ

ΦR

ΦL

Φ∗

ρi

ρi+1

vL,i vR,ivL,i+1vR,i+1Fig. 4.17: Re her he de la solution exa te du problème de Riemann par une méthode itérative.Le solveur itératif s'arrête lorsque la solution est onvergée, 'est-à-dire lorsque la onditionsuivante est remplie :

∣∣ρ(i+1) − ρ(i)

∣∣

12(ρ(i+1) + ρ(i))

< ǫ (4.60)où typiquement ǫ = 10−6. Finalement la solution pour v(1)∗ est al ulée en prenant une moyennedes relations (4.50) et (4.56), e qui donne l'expression suivante :

v(1)∗ =

1

2(v

(1)R + v

(1)L ) +

1

2(gR(ρ∗) − gL(ρ∗)) (4.61)La méthode itérative a besoin d'une initialisation et la onvergen e de ette méthode serad'autant plus rapide que ette initialisation sera pro he de la solution onvergée, aussi la valeur

ρ(i=1) peut être hoisie par la solution d'un solveur appro hé qui sera présenté dans la suite.

122 Le formalisme ALEEnn l'état "étoile" étant onnu il reste à donner l'expression de la solution à l'intérieur d'uneonde de détente ainsi que elle de la vitesse des ondes de ho . La solution à l'intérieur d'une ondede détente à gau he le long de la pente x/t = v(1) − c est donnée par :v(1) =

2

γ + 1

(

cL +1

2v(1)L (γ − 1) +

x

t

)

ρ =

(c2

γκ

)1/(γ−1) (4.62)et pour une onde de détente à droite, la solution le long de la pente x/t = v(1) + c est donnée par :v(1) =

2

γ + 1

(

−cR +1

2v(1)R (γ − 1) +

x

t

)

ρ =

(c2

γκ

)1/(γ−1) (4.63)La vitesse des ondes de ho est donnée par les relations :SL = v

(1)L − QL

ρL, SR = v

(1)R +

QR

ρR(4.64)Pour terminer la solution on ernant la omposante tangentielle de la vitesse est dis ontinue autravers de la ligne de pente x/t = v

(1)∗ et ainsi :

v(2) =

v(2)L si x/t < v

(1)∗

v(2)R si x/t > v

(1)∗

(4.65)On dispose ainsi d'une méthode qui permet de onnaître entièrement la solution exa te duproblème de Riemann. Néanmoins dans le adre d'une méthode numérique, la re her he itérativede la solution peut s'avérer oûteuse en temps de al ul. On tente alors d'utiliser une solutionplus rapide mais appro hée de l'état intermédiaire "étoile". L'un de es solveurs appro hés estparti ulièrement simple et est présenté maintenant.4.4.3 Solveur PVRSLe solveur appelé "Primitive Variables Riemann Solver" ([29) est un solveur linéarisé, 'est-à-dire que la matri e ja obienne est prise onstante et orrespond à un ertain état moyen prisentre les états L et R. Dans es onditions on est amené à onsidérer le système suivant, é ritave les variables non onservatives (variables primitives) :∂

∂t

ρ

v(1)

v(2)

+

v(1) ρ 0

c2/ρ v(1) 0

0 0 v(1)

∂

∂x

ρ

v(1)

v(2)

= 0 (4.66)La matri e ja obienne possède trois valeurs propres réelles et trois ve teurs propres indépen-dants, et en re her hant une expression des sauts au travers des diérentes ondes formant lasolution sous la forme d'une ombinaison linéaire des ve teurs propres ([29), on peut exprimer lasolution pour l'état étoile sous la forme :ρ∗ =

1

2(ρL + ρR) − 1

2(v

(1)R − v

(1)L )

ρ

c

v(1)∗ =

1

2(v

(1)L + v

(1)R ) − 1

2(ρR − ρL)

c

ρ

(4.67)

4.4 Solveurs de Riemann 123Le reste de la résolution est identique au solveur exa t présenté pré édemment, ette ap-proximation servant uniquement à éviter le solveur itératif pour la re her he de l'état étoile. Lesexpressions (4.67) sont très simples et requièrent don un temps de al ul minimum. L'état moyenutilisé pour ee tuer la linéarisation inuen e assez peu la solution (Ivings), aussi une simplemoyenne arithmétique entre les états L et R est utilisée en pratique :ρ =

1

2(ρL + ρR) c =

1

2(cL + cR) (4.68)L'utilisation de e solveur est valable tant que l'hypothèse de linéarisation est a eptable,notamment tant que l'intensité des ho s et des détentes reste limitée. En pratique, omme nousle verrons par la suite, e solveur se révèle tout à fait satisfaisant pour les é oulements qui nousintéressent. Les expressions (4.67) ont par ailleurs un ara tère "pédagogique" très intéressant. Eneet elles montrent lairement que les dé entrements de vitesse et de pression sont dire tementreliés aux amplitudes des dis ontinuités entre les états gau he et droite.D'autres solveurs appro hésUn ertain nombre d'autres te hniques de simpli ation de la re her he de la solution duproblème de Riemann peuvent être mentionnées (on peut onsulter [29 pour de plus amplesdétails). Ainsi on peut faire l'hypothèse que les deux ondes à gau he et à droite sont des ondes dedétente, la solution peut alors être dire tement obtenue en utilisant les invariants de Riemann. Cesolveur appro hé porte le nom de TRRS (Two-Rarefa tion Riemann Solver). L'hypothèse que lesdeux ondes sont des ondes de ho est à la base du solveur TSRS (Two-Sho k Riemann Solver) quiné essite ependant des al uls un peu plus lourd. Ces deux solveurs visent à améliorer la pré isiondu solveur PVRS dans les as où l'hypothèse de linéarisation de la matri e ja obienne n'est plusvalable tout en évitant de re ourir au solveur exa t. Une première estimation de la solution parle solveur PVRS permet de déterminer laquelle des deux hypothèses est la plus plausible. Desdétails sur es solveurs ainsi que d'autres exemples de solveurs appro hés peuvent être trouvésdans Ivings.4.4.4 Remarques relatives à la simulation d'é oulements d'eauLes s hémas de Godunov et l'utilisation de solveurs de Riemann sont dire tement reliés au ara tère hyperbolique du système d'équations que l'on her he à résoudre et dé oulent don du hoix de modélisation pseudo- ompressible qui a été fait. Or l'eau est généralement onsidérée omme un uide in ompressible, e qui est vrai dans les appli ations ourantes ompte tenu de lavaleur très élevée (environ 1500m/s) de la vitesse des ondes sonores dans l'eau. Néanmoins l'eauprésenterait un ara tère ompressible si l'on se plaçait dans ette gamme de vitesse, et l'équationde Tait est tout à fait appropriée pour dé rire le omportement de l'eau si elle est utilisée ave lavraie valeur de la vitesse du son dans l'eau. Il a déjà été expliqué qu'un tel hoix onduirait à unerédu tion drastique de la valeur du pas de temps et à des temps de al ul prohibitifs et qu'unemodélisation faiblement ompressible utilisant une vitesse du son permettant de limiter le nombrede Ma h à 0.1 est privilégiée. On omprend alors que dans e as, la stru ture d'ondes résultantde la résolution du problème de Riemann on erne ette "eau numérique" et qu'en parti ulier lesondes dé rites ont une vitesse nettement plus faible que dans la réalité.On est alors en droit de s'interroger sur la validité de ette démar he. La solution transitoireque fournit ette méthode numérique est à onsidérer ave pruden e et en tout état de ause ellene représente pas la réalité de l'é oulement d'eau ar les ondes dé rites n'ont ni la bonne vitesse ni

124 Le formalisme ALEla bonne intensité. Néanmoins es ondes voyagent susamment vite par rapport à la dynamiquede l'é oulement (un fa teur 10 est à onsidérer) pour que la solution instationnaire et à plus forteraison la solution stationnaire ( onvergée) lorsqu'elle existe soient tout à fait valables, omme lesexemples d'appli ation présentés plus loin dans e do ument le prouvent.Une modélisation rigoureusement in ompressible n'est de toute façon pas adaptée pour uneappli ation en turbine Pelton. En eet des mesures de pression instationnaire dans un auget enrotation ([58, [57) ont montré que de fortes surpressions surviennent au moment de l'impa tdu jet dans l'auget. Par ailleurs les phénomènes d'érosion par avitation, même s'ils ne sont pasen ore entièrement ompris, ne peuvent s'expliquer que par des phénomènes de ompressibilité.On peut supposer que le mélange air-eau né essairement présent à l'interfa e entre es deuxphases joue un rle important dans es phénomènes, néanmoins Korobkin ([31) montre que lafaible ompressibilité de l'eau seule sut au développement d'une stru ture d'ondes dans les asd'impa t et que elle- i explique les fortes surpressions observées. Une des ription hydrodynamiquede es phénomènes est don insusante.L'axe de développement qui a été privilégié permet don potentiellement d'étudier et de si-muler es phénomènes omplexes à la ondition d'utiliser la vraie vitesse du son dans l'eau (etd'a epter le oût CPU que ela entraine). Il faudra néanmoins envisager dans e as une mo-di ation du solveur de Riemann. En eet l'utilisation de solveurs de Riemann dans la limitedes très faibles nombres de Ma h est déli ate. Cela est lié au fait que dans le as général il n'ya pas onvergen e forte des solutions du système ompressible vers les solutions du système in- ompressible quand le nombre de Ma h tend vers zéro ([21). D'un point de vue dis ret, même siles dis ontinuités sont faibles aux interfa es entre ellules, l'utilisation d'un solveur de Riemannentraine des dé entrements importants qui rendent la solution peu pré ise ( ar trop "visqueuse").Une onséquen e dire te de e fait est que le hamp résultant des équations dis rètes représenteun équilibre d'ondes a oustiques au lieu de représenter un hamp vériant les équations in om-pressibles. Ce i peut-être néanmoins orrigé en utilisant un pré onditionnement du problème deRiemann ou plus simplement en modiant le ux de pression an d'atténuer les omposantesa oustiques ([60).4.5 Traitement des onditions limitesLe modèle de traitement des onditions limites de paroi présenté au paragraphe 4.2 reposesur deux traitements : une intégration surfa ique des onditions limites et une extrapolation du hamp en paroi par l'utilisation d'une méthode de ara téristiques. Un tel s héma prend tout sonsens dans le adre de la méthode numérique utilisant un s héma de Godunov que nous avonsprivilégiée. En eet la prise en ompte des onditions limites à travers une intégration surfa iqueee tuée sur des éléments de surfa e dis rétisant la surfa e des frontières s'interprète dire tement omme une ontribution frontière au bilan de ux pour les parti ules uides dont le domained'intégration inter epte une ondition limite. Les équations dis rètes du système (4.37) n'ont don au unement besoin d'être modiées ou omplétées, mais la somme doit être étendue aux pointsde frontière j ∈ (∂Ω ∩ ∂Di) et les points de frontière se voient attribuer un poids ωj surfa ique(et non volumique omme pour les parti ules uides) dont la valeur est égale exa tement à l'airede l'élément de surfa e dis rétisé. Le mouvement propre de la frontière est naturellement traitépar le hamp de transport ~v0 dont la valeur est spé iée par la loi de mouvement souhaitée pourla frontière. Enn le terme ~∇iWij est rempla é par Wij~nj où ~nj est le ve teur unitaire normalsortant au point de frontière j.L'extrapolation du hamp en paroi va également s'ins rire nettement plus naturellement dans

4.5 Traitement des onditions limites 125le formalisme proposé. L'introdu tion d'une méthode de ara téristiques et des relations de om-patibilité était déjà une première étape vers l'utilisation d'un s héma dé entré, par onséquent onpeut s'attendre à une meilleure ompatibilité entre le s héma numérique en paroi et le s héma nu-mérique à l'intérieur du domaine qui est désormais dé entré lui aussi. En fait nous allons voir quele traitement numérique des onditions limites tire le plus grand béné e de la ré-interprétationdes onditions limites physiques sous la forme d'un problème de Riemann partiel, e qui permet derendre le traitement numérique des onditions limites totalement semblable au s héma numériqueutilisé à l'intérieur du domaine.4.5.1 Problème de Riemann partielLe fondement de ette nouvelle étape tient en la réinterprétation d'un élément frontière ommeune interfa e d'un problème de Riemann. Cela est dire tement inspiré par l'utilisation du s hémade Godunov qui onsidère que le ux reçu par une ellule résulte de la solution d'un problème deRiemann situé à la frontière du volume de ontrle. Cette interprétation est don assez naturelle.Toutefois jusqu'à présent le problème de Riemann a été présenté omme une dis ontinuité entredeux états onstants à gau he et à droite. Or dans le as d'une frontière, si l'on désigne par"gau he" (L) l'état uide qui est au onta t de la paroi, il est lair que l'état "droite" (R) nepeut être que tif et indéterminé. Pourtant la solution de e problème peut être trouvée grâ eaux informations que la ondition limite elle-même apporte ar les onditions que l'on imposealors à l'é oulement sont une détermination partielle de la solution. Le reste de la solution de eproblème de Riemann peut alors être déterminée par les informations que l'état gau he, onnu,"envoie" à la frontière (l'expression "envoyer" étant omprise au sens du transport d'information).Cette généralisation du problème de Riemann porte le nom de problème de Riemann partiel etnous onseillons fortement la le ture de Dubois ([13) pour la formulation théorique et les preuvesd'existen e de la solution de e problème partiel dans le as général.La méthode de résolution se omprend aisément si l'on se pla e dans le diagramme des états.Nous allons à nouveau onsidérer que le ux à la paroi est un ux de Godunov résultant d'unproblème de Riemann monodimensionnel le long de la normale à la paroi. Dans es onditions lesseules in onnues du problème sont v et ρ où v est la omposante normale du hamp de vitesse.La nature de la ondition limite nous onduit à imposer un ertain nombre de onditions sur esdeux variables sur la frontière. On note es relations B(v, ρ) = 0. Les as où des onditions sontimposées sur les deux variables ρ et v est trivial puisqu'alors la solution est totalement déterminéepar la donnée de la ondition limite, 'est le as par exemple d'une ondition d'entrée supersonique.Si au une ondition n'est imposée, alors la solution dépend entièrement de l'état uide à gau he, 'est le as d'une sortie supersonique. On s'intéresse don au as où une relation seulement estimposée sur la frontière. Dans le diagramme des états, la ondition B(v, ρ) = 0 se traduit alorspar une ourbe ontinue (notée CB) dé rivant l'ensemble des états solution possible satisfaisantla ondition limite. Par ailleurs l'état uide à gau he est relié à la solution par une onde nonlinéaire qui dans le diagramme des états peut également être dé rite par une ourbe ontinuenotée C−. L'interse tion de CB ave C− dénit alors la solution du problème de Riemann partiel.La gure 4.18 illustre quelques exemples de ongurations ourantes.Cette te hnique de traitement des onditions limites par résolution d'un problème de Riemannpartiel réunit toutes les ara téristiques souhaitables pour un s héma numérique e a e. Elle esttotalement ompatible ave le s héma numérique utilisée à l'intérieur du domaine et adaptée àtous les types de ondition limite qu'une méthode numérique se doit de prendre en harge. Elle estpar ailleurs dire tement exploitable dans un as multi dimensionnel. Sa souplesse et son e a itépeuvent enn s'expliquer par le fait que le solveur de Riemann permet de traiter des dé entrements

126 Le formalisme ALEb

b

v

ρ

ΦL

Φ∗

C−

CB(a) Cas d'une paroi solide ou d'une entré subsonique :vitesse imposée b

b

v

ρ

ΦL

Φ∗

C−

CB

(b) Cas d'une sortie subsonique : pression imposéeb

b

v

ρ

ΦL Φ∗

C−CB

( ) Cas d'une entré subsonique : débit imposéFig. 4.18: Diérentes ongurations possibles pour des onditions limites lassiques.lo aux entre un élément frontière et haque parti ule uide qui reçoit un ux de la part de etélément, à la diéren e des méthodes pré édentes utilisant les relations de ompatibilités qui nepermettent de traiter qu'un dé entrement global. Il est intéressant de noter d'ailleurs que ettete hnique n'attribue pas un état unique à haque élément de surfa e mais un état partiel propre à haque parti ule uide dans son voisinage. Un état "global" unique peut néanmoins être retrouvéen ee tuant une somme des états partiels. En parti ulier nous sommes intéressés par le hamp depression sur la surfa e d'une paroi solide. En onsidérant l'équation de onservation de la quantitéde mouvement dans (4.37), on peut exprimer le ux total de pression qu'un élément frontière iexer e sur l'é oulement par :F p

i→Ω = −ωi

∑

j∈Di

ωj2pE,ijWij~ni (4.69)Si l'on désigne par pi la valeur du hamp de pression pour l'élément de surfa e i, on peut alorsé rire :F p

i→Ω = −ωipi~ni (4.70)et par identi ation entre les deux relations pré édentes on déduit l'expression de pi :pi =

∑

j∈Di

2ωjpE,ijWij (4.71)Cette dénition présente en outre l'avantage d'être onservative, 'est-à-dire que l'eort globalqu'exer e la paroi sur l'é oulement est égale, dans la limite ontinue, à l'intégrale de pression surla surfa e de la paroi :~Fparoi→Ω =

∑

j∈∂Ω

ωjpj~nj ≈∫

∂Ωp~ndS (4.72)

4.6 S héma d'ordre élevé 1274.6 S héma d'ordre élevéLa méthode numérique qui a été exposée depuis le début de e hapitre produit malheureu-sement des résultats insatisfaisants si elle est utilisée en l'état. La gure 4.19 présente ainsi unetentative de simulation du as de rupture de barrage. Le al ul est ertes stable, mais peu pré- is, en parti ulier le omportement du uide paraît très visqueux. La vitesse du front de vaguen'est pas reproduite e a ement, l'eau s'é oule plus lentement. Par ailleurs les parti ules, initia-lement réparties selon un maillage artésien régulier, restent très organisées en lignes, malgré ladéformation globale du domaine, e qui produit par exemple une déformation arti ielle de lasurfa e (présen e rémanante du oin supérieur droit de la olonne initiale). La mauvaise qualitédu maillage inue sur la solution, en parti ulier le hamp de pression (des lignes de pression élevéesuivent les zones où le maillage se déforme le plus). Cette diusion ex essive du s héma numériqueest la onséquen e dire te de l'utilisation du s héma de Godunov. Ce s héma est en eet onnu,dans les méthodes eulériennes, pour entrainer des dé entrements ex essifs. Le s héma lui-mêmen'est pourtant pas vraiment en ause, il onstitue une réponse exa te à un problème donné. C'estplutt son appli ation dans le adre d'une méthode numérique qu'il est né essaire d'analyser. Eneet la dis rétisation du hamp entraine né essairement des dis ontinuités aux interfa es entre les ellules de al ul, même dans le as d'un hamp ontinu. Le solveur de Riemann produit ensuiteune solution adaptée à ette dis ontinuité numérique. An de réduire le dé entrement, on peutalors her her à réduire l'amplitude des dis ontinuités numériques. Une première appro he pour-rait être d'augmenter la fréquen e d'é hantillonage du hamp, 'est-à-dire le nombre de points de al ul, mais il s'agit d'une solution très oûteuse. Aussi d'autres solutions pratiques sont généra-lement mises en ÷uvre, il s'agit des s hémas d'ordre élevé. Le s héma de Godunov est en eetgénéralement onsidéré omme un s héma d'ordre 1 (en espa e), et 'est et ordre de pré isionspatiale assez faible, responsable des dis ontinuités numériques, qui explique son omportementtrop diusif. Le s héma d'ordre 2 hoisi pour améliorer la pré ision et réduire la diusion numé-rique dans le adre de ette étude est une adaptation du s héma MUSCL. D'autres appro hes sontenvisageables et sont brièvement mentionnées.(a) Comparaison entre le s hémad'ordre 1 (en bleu) et le s hémad'ordre 2 (en rouge) (b) Détail de la répartition despoints ( ) Champ de pressionFig. 4.19: Simulation d'une rupture de barrage ave le s héma de Godunov : né essité d'un s hémad'ordre supérieur4.6.1 S héma MUSCLL'idée de base du s héma MUSCL (Monotoni Upstream- entered S heme for ConservationLaws) (Van Leer, [68) est que l'on peut réduire l'amplitude des dis ontinuités numériques enenri hissant la des ription du hamp à l'intérieur même des ellules de dis rétisation. En eet

128 Le formalisme ALEle s héma de Godunov utilise deux états L et R, et jusqu'à présent es deux états ont été priségaux aux états Φi et Φj des points de al ul i et j. Dans le as mono dimensionnel, le hampdis ret est don une fon tion onstante par mor eaux. Pourtant le problème de Riemann estrésolu à l'interfa e entre les ellules, 'est-à-dire dans le as de la méthode SPH au point milieudu segment [ij]. En utilisant une estimation du gradient du hamp aux points i et j, il estpossible de représenter le hamp dis ret omme une fon tion ane par mor eaux et de réduireainsi sensiblement l'amplitude des dis ontinuités numériques (voir la gure 4.20). Les états L et Rintervenant dans le solveur de Riemann ne sont plus alors les états Φi et Φj mais des extrapolationslinéaires de es deux états utilisant la valeur du gradient du hamp en i et j et donnés par lesformules suivantes :

ΦL = Φi + ∇iΦ · (xj − xi)

2

ΦR = Φj −∇jΦ · (xj − xi)

2

(4.73)

b b b bb b b

i − 1 i i + 1 i + 2i − 1/2 i + 1/2 i + 3/2

fi−1

fi

fi+1

fi+2

fL,i−1/2

fR,i−1/2

fL,i+1/2

fR,i+1/2

Fig. 4.20: Approximation dis rète linéaire par mor eaux, rédu tion des dis ontinuités numériquesPrin ipe des limiteursCe s héma présente ainsi l'avantage de pouvoir être utilisé ave les solveurs de Riemann exa tou appro hés présentés, puisque la modi ation on erne les états L et R et non le solveur lui-même, ni le al ul du ux qui résulte de la solution du problème de Riemann. En pratique il esttoutefois né essaire de orriger les formules (4.73) en raison de problèmes de stabilité. En eetdans les zones de fort gradient, les formules (4.73) produisent des os illations lo ales de la solutionqui peuvent ontaminer tout l'é oulement et onduire à un rash numérique (voir la gure 4.21).Les formules (4.73) doivent don être modiées en :

ΦL = Φi + β(Φi,Φj , ~∇iΦ) · (xj − xi)

2

ΦR = Φj − β(Φj ,Φi, ~∇jΦ) · (xj − xi)

2

(4.74)

4.6 S héma d'ordre élevé 129

Fig. 4.21: Simulation du as de rupture de barrage ave un s héma d'ordre 2 non limité. Pertur-bation du hamp de pression par des os illations numériques et amor e de déstabilisation généraledu al ul.où la fon tion β(Φi,Φj, ~∇iΦ) est une fon tion non linéaire appelée limiteur. Le limiteur est don un gradient (une pente) modiée an de respe ter la monotoni ité du hamp dis ret et ainsi éviterles os illations. Le ara tère monotone du hamp dis ret peut se résumer en quelques onditionsessentielles : le signe de la pente du hamp linéaire dis ret doit être le même que elui de la pente obtenuepar simple diéren e nie entre les états i et j. Dans le as ontraire le limiteur vaut zéro.Si (Φ(α)L − Φ

(α)i )(Φ

(α)j − Φ

(α)i ) < 0 alors β(α)(Φi,Φj, ~∇iΦ) = 0 (4.75) la valeur du hamp à l'interfa e ne peut pas onstituer un extremum lo al :

(Φ(α)L ,Φ

(α)R ) ∈ [min(Φ

(α)i ,Φ

(α)j );max(Φ

(α)i ,Φ

(α)j )]2 (4.76) le sens du problème de Riemann ne doit pas être "inversé", 'est-à-dire que les valeurs àl'interfa e doivent vérier :

(Φ(α)L − Φ

(α)R )(Φ

(α)i − Φ

(α)j ) > 0 (4.77)Dans le as ontraire le limiteur vaut zéro.Dans le formalisme originel de Van Leer, la des ription du hamp est véritablement linéaire àl'intérieur d'une ellule de dis rétisation, si bien que la limitation de la pente de ette répartitionest également soumise à la né essité de onserver la valeur moyenne du hamp sur la ellule.Par ailleurs l'utilisation d'un maillage stru turé fournit ertaines fa ilités pour obtenir une mesure

130 Le formalisme ALEable du ara tère os illant de la solution. De nombreux limiteurs ont ainsi pu être développés dansle adre des méthodes eulériennes. Ces fon tions permettent d'éliminer e a ement les os illations,et don les instabilités, sans toutefois entrainer une diusion ex essive du s héma numériquerésultant. Ces s hémas sont appelés TVD (Total Variation Diminishing, voir [25 hapitre 21), equi signie que la valeur moyenne des os illations spatiales diminue au ours du temps.Un pro essus de limitation adapté pour SPHAdapter e type de limiteurs en SPH se révèle assez déli at, essentiellement à ause de ladi ulté d'obtenir un indi ateur able du ara tère os illant de la solution. Cette di ulté vientprin ipalement de la distribution non stru turée des points de al ul. En s'inspirant des méthodesde volumes nis en maillages non stru turés, Vila ([70) a proposé un pro essus de limitation danslequel les omposantes de ∇(Φ) sont limitées de manière à vérier pour tous les points voisins unerelation de la forme :Φ

(α)L − Φ

(α)i = λ

(α)ij (Φ

(α)j − Φ

(α)i ) ave 0 ≤ λ

(α)ij ≤ 1 (4.78)Néanmoins ette te hnique peut ne pas être susante puisqu'elle autorise une "inversion" duproblème de Riemann (ΦL et ΦR ne sont pas omparés). Surtout ette te hnique est oûteuse ar elle né essite une bou le supplémentaire sur les points voisins. La te hnique de limitation dela re onstru tion à l'ordre 1 du hamp aux interfa es qui a été employée i i est ainsi une simpleappli ation des règles de base énon ées par Van Leer. L'algorithme peut être dé rit par :Déte tion des inversions de pentes (indi ateurs d'os illations) (Étape 1)Si (Φ

(α)L − Φ

(α)i )(Φ

(α)j − Φ

(α)i ) < 0 ou (Φ

(α)R − Φ

(α)j )(Φ

(α)i − Φ

(α)j ) < 0 alors

Φ(α)L = Φ

(α)i

Φ(α)R = Φ

(α)jSinonÉlimination des extrema lo aux (Étape 2.1)

Φ(α)L,R = max(Φ

(α)L,R,min(Φ

(α)i ,Φ

(α)j ))

Φ(α)L,R = min(Φ

(α)L,R,max(Φ

(α)i ,Φ

(α)j ))Élimination des inversions de problèmes de Riemann (Étape 2.2)Si (Φ

(α)L − Φ

(α)R )(Φ

(α)i − Φ

(α)j ) < 0

Φ(α)L = Φ

(α)i

Φ(α)R = Φ

(α)jCe limiteur est qualié dans ette étude de limiteur stri t. Il permet ee tivement d'éliminer lesos illations omme le montre la gure 4.23. Néanmoins sa pré ision n'est pas très élevée, ommeon peut le voir au niveau des deux dis ontinuités qui sont assez diusées, aussi une tentatived'amélioration a été apportée. Celle- i se base sur une amélioration du traitement des inversionsde problèmes de Riemann dans le as où le gradient est tout de même bien orienté (étape 2.2).On reprend alors l'algorithme pré édent :

4.6 S héma d'ordre élevé 131Élimination des inversions de problèmes de Riemann (Étape 2.2)Si (Φ(α)L − Φ

(α)R )(Φ

(α)i − Φ

(α)j ) < 0Si (Φ

(α)L − Φ

(α)ij )(Φ

(α)i − Φ

(α)ij ) < 0 et (Φ

(α)R − Φ

(α)ij )(Φ

(α)j − Φ

(α)ij ) < 0 (Étape 2.2.1)

Φ(α)L = Φ

(α)i

Φ(α)R = Φ

(α)jSinon (Étape 2.2.2)Si Φ

(α)i < Φ

(α)j (Étape 2.2.2.1)Si Φ

(α)L < Φ

(α)ij alors Φ

(α)R = Φ

(α)L + ǫ

(α)ijSinon Φ

(α)L = Φ

(α)R − ǫ

(α)ijSinon (Étape 2.2.2.2)Si Φ

(α)L > Φ

(α)ij alors Φ

(α)R = Φ

(α)L − ǫ

(α)ijSinon Φ

(α)L = Φ

(α)R + ǫ

(α)ij

Φ(α)ij = 1

2(Φ(α)i + Φ

(α)j ) et ǫ

(α)ij a été rajouté an de onserver un ertain taux de dis onti-nuité dans des as où la stabilité devient très sensible. En pratique, ǫ

(α)ij est proportionnel à ladis ontinuité initiale entre les états Φ

(α)i et Φ

(α)j :

ǫ(α)ij = ξ

∣∣∣Φ

(α)i − Φ

(α)j

∣∣∣ (4.79)Ce limiteur est appelé limiteur "ξ" dans ette étude. La se tion suivante montre des testsnumériques ayant pour but d'étudier l'inuen e du paramètre ξ sur le omportement du s hémanumérique. Une meilleure des ription des dis ontinuités est ee tivement possible mais l'élimina-tion des os illations est alors beau oup moins e a e.Il est intéressant de noter que ette te hnique de limitation ne permet pas d'a éder à uneréelle des ription linéaire des variables du hamp à l'intérieur d'une ellule de dis rétisation, à ladiéren e de la formulation originelle de Van Leer, ar la limitation des omposantes de ∇(Φ) estpropre à haque paire de points voisins. Néanmoins elle permet de réduire fortement la diusiondu s héma de Godunov et améliore sensiblement le pré ision de la méthode numérique, omme lemontre l'exemple d'appli ation présenté i-dessous.Appli ation au as d'un tube à ho Même s'il est un peu exagéré de parler de ho dans le as d'une simulation d'eau, le asprésenté i i est une adaptation pour l'équation de Tait d'un élèbre as de validation des s hémasdé entrés utilisé pour la simulation d'é oulements ompressibles et appelé le tube à ho . Ce astest est en fait la reprodu tion d'un problème de Riemann et permet par omparaison ave lasolution analytique onnue d'évaluer la apa ité du s héma numérique à reproduire les ondes nonlinéaires et les dis ontinuités qui interviennent. On peut alors dire tement et nement omparerl'inuen e respe tive des diérentes "briques" qui omposent la méthode numérique que l'on veutmettre en pla e.

132 Le formalisme ALELes al uls suivants ont été réalisés en eulérien, 'est-à-dire que le hamp de transport despoints de al ul est nul. Il a été vérié que les résultats étaient identiques en utilisant un hampde transport lagrangien. Par ailleurs, le solveur PVRS a été utilisé, après avoir vérié que lesolveur exa t n'apportait pas d'améliorations notables. Enn, une répartition régulière des pointsde al ul a été utilisée ave une taille de dis rétisation de 1mm, la fon tion kernel utilisée est leB-spline d'ordre 3, et h/∆x = 1.2. Cette valeur de h est plutt petite, elle permet de réduire ladiusion des dis ontinuités.Les résultats de al ul sont présentés sous la forme de prols de pression et de vitesse instan-tanés autour de la dis ontinuité initialement positionnée en x = 0.05. Lorsqu'il est fait mentiond'une onde "à gau he" ou "à droite", es expressions font référen e au sens de dépla ement del'onde par rapport à la dis ontinuité initiale (x = 0.05). Sur les prols présentés, les sauts orres-pondant sont ee tivement situés en x < 0.05 pour l'onde "à gau he" et x > 0.05 pour l'onde "àdroite".Premier as Le as étudié est formé de deux états L et R dénis par :

ρL = 1100

v(1)L = 200

ρR = 1000

v(1)R = 0

(4.80)pour un uide dont la densité de référen e est ρ0 = 1000 kg/m3 et dont la vitesse du son numériqueest c0 = 1466m/s. La solution est alors formée de deux ondes de ho se déplaçant respe tivementà 1788m/s (soit Ma = 0.91) pour l'onde de gau he et 1827m/s (soit Ma = 1.25) pour l'onde dedroite. La gure 4.22 présente les prols de pression et de vitesse obtenus ave un s héma d'ordre1 (Godunov) et un s héma d'ordre 2 MUSCL sans limiteur, et permet de omparer es résultatsà la solution exa te obtenue analytiquement.-5e+07

0

5e+07

1e+08

1.5e+08

2e+08

2.5e+08

3e+08

3.5e+08

4e+08

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

pres

sure

(P

a)

x (m)

Solution exacteGodunovMUSCL sans limiteur

(a) -50

0

50

100

150

200

250

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

velo

city

(m

/s)

x (m)

Solution exacteGodunovMUSCL sans limiteur

(b)Fig. 4.22: Résultats de simulation pour le tube à ho 1. Comparaison des s hémas du premieret du se ond ordre. Temps = 10−5sL'aspe t très lissé de la solution au premier ordre révèle le ara tère très diusif mais égalementtrès stable de e s héma. À l'inverse la solution au deuxième ordre présente une amor e d'os il-lations autour des dis ontinuités, parti ulièrement autour du ho à droite où d'importants pi s(overshoots) montrent la né essité d'introduire des limiteurs. Les gures 4.23 et 4.24 présententles résultats numériques sur le même as de tube à ho ave les limiteurs "stri t" et "ξ".Le limiteur stri t parvient à éliminer assez e a ement les os illations mais au prix d'une dif-fusion des dis ontinuités. Il apporte néanmoins une amélioration réelle de la pré ision par rapport

4.6 S héma d'ordre élevé 133

0

5e+07

1e+08

1.5e+08

2e+08

2.5e+08

3e+08

3.5e+08

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

pres

sure

(P

a)

x (m)

Solution exacteGodunovMUSCL limiteur strict

(a) 0

50

100

150

200

250

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

velo

city

(m

/s)

x (m)

Solution exacteGodunovMUSCL limiteur strict (b)Fig. 4.23: Résultats de simulation pour le tube à ho 1. Comparaison des s hémas du premieret du se ond ordre ave limiteur stri t. Temps = 10−5sau s héma de Godunov, et stabilise don le s héma MUSCL au se ond ordre. Le limiteur ξ montre lairement une gradation dans la stabilisation des os illations. Le limiteur ξ = 0 diuse ainsi trèspeu les dis ontinuités (parti ulièrement le ho à droite) et parvient à éliminer l'os illation quiapparaît au devant du ho à droite ave le s héma au se ond ordre non limité. Il reste néanmoinsl'os illation qui se forme à l'aval du même ho et qui est identique au s héma non limité. À l'in-verse le limiteur ξ = 0.5 est très e a e mais n'apporte pas réellement d'améliorations en termede pré ision par rapport au limiteur stri t.

0

5e+07

1e+08

1.5e+08

2e+08

2.5e+08

3e+08

3.5e+08

4e+08

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

velo

city

(m

/s)

x (m)

Solution exacteGodunovMUSCL xi=0.0MUSCL xi=0.2MUSCL xi=0.3MUSCL xi=0.5 (a) 0

50

100

150

200

250

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

velo

city

(m

/s)

x (m)

Solution exacteGodunovMUSCL xi=0.0MUSCL xi=0.2MUSCL xi=0.3MUSCL xi=0.5 (b)Fig. 4.24: Résultats de simulation pour le tube à ho 1. Comparaison des s hémas du premieret du se ond ordre ave limiteur "ξ" pour diérentes valeurs de ξ. Temps = 10−5sDeuxième as Ce se ond as de tube à ho modélise un uide ayant les mêmes propriétés quele pré édent mais la vitesse de l'état gau he est inversée. Ce as fait don apparaître deux ondesde détente qui se dépla ent à 2151m/s (soit Ma = 1.1) pour l'onde à gau he et 1466m/s (soit

Ma = 1) pour l'onde à droite.

ρL = 1100

v(1)L = −200

ρR = 1000

v(1)R = 0

(4.81)

134 Le formalisme ALE

-5e+07

0

5e+07

1e+08

1.5e+08

2e+08

2.5e+08

3e+08

3.5e+08

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

pres

sure

(P

a)

x (m)

Solution exacteGodunovMUSCL sans limiteur

(a) -250

-200

-150

-100

-50

0

50

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

velo

city

(m

/s)

x (m)

Solution exacteGodunovMUSCL sans limiteur

(b)Fig. 4.25: Résultats de simulation pour le tube à ho 2. Comparaison des s hémas du premieret du se ond ordre. Temps = 10−5sL'apparition des os illations est nettement visible autour de l'onde de gau he dans le as dus héma au se ond ordre sans limiteur. Les résultats des gures 4.26 et 4.27 montrent l'e a itéet le taux de diusion des diérentes limiteurs introduits.-5e+07

0

5e+07

1e+08

1.5e+08

2e+08

2.5e+08

3e+08

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

pres

sure

(P

a)

x (m)

Solution exacteGodunovMUSCL limiteur strict

(a) -200

-150

-100

-50

0

50

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

velo

city

(m

/s)

x (m)

Solution exacteGodunovMUSCL limiteur strict

(b)Fig. 4.26: Résultats de simulation pour le tube à ho 2. Comparaison des s hémas du premieret du se ond ordre ave limiteur stri t. Temps = 10−5s

4.6 S héma d'ordre élevé 135

-5e+07

0

5e+07

1e+08

1.5e+08

2e+08

2.5e+08

3e+08

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

pres

sure

(P

a)

x (m)

Solution exacteGodunovMUSCL xi=0.0MUSCL xi=0.2MUSCL xi=0.3MUSCL xi=0.5

(a) -200

-150

-100

-50

0

50

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

velo

city

(m

/s)

x (m)

Solution exacteGodunovMUSCL xi=0.0MUSCL xi=0.2MUSCL xi=0.3MUSCL xi=0.5(b)Fig. 4.27: Résultats de simulation pour le tube à ho 2. Comparaison des s hémas du premieret du se ond ordre ave limiteur "ξ" pour diérentes valeurs de ξ. Temps = 10−5sÀ nouveau le limiteur ξ = 0.5 ne semble pas apporter une réelle amélioration de la pré isionpar rapport au limiteur stri t. Tous es limiteurs diusent assez nettement les deux ondes, enparti ulier l'onde à droite. En revan he tous es limiteurs parviennent à éliminer e a ement lesos illations, aussi le limiteur ξ = 0.0 semble approprié pour ette simulation.Troisième as Le as suivant utilise le même uide mais les états initiaux sont au repos et nedièrent que par une dis ontinuité de pression. Les données initiales sont ainsi :

ρL = 1100

v(1)L = 0

ρR = 1000

v(1)R = 0

(4.82)La solution est ette fois formée d'une onde de détente qui se dépla e vers la gau he à la vitessede 1951m/s (soit Ma = 1) et d'une onde de ho qui se dépla e à droite à la vitesse de 1627m/s(soit Ma = 1.11).-5e+07

0

5e+07

1e+08

1.5e+08

2e+08

2.5e+08

3e+08

3.5e+08

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

pres

sure

(P

a)

x (m)

Solution exacteGodunovMUSCL sans limiteur

(a) -20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

velo

city

(m

/s)

x (m)

Solution exacteGodunovMUSCL sans limiteur

(b)Fig. 4.28: Résultats de simulation pour le tube à ho 3. Comparaison des s hémas du premieret du se ond ordre. Temps = 10−5sLe s héma au se ond ordre non limité fait apparaître des os illations au niveau des deux ondes.L'utilisation d'un limiteur est don indispensable. Les diérents limiteurs étudiés parviennent à

136 Le formalisme ALEéliminer assez e a ement les os illations sauf les "overshoots" de pression et de vitesse quiapparaissent à l'aval de l'onde de ho et que seuls les s hémas les plus diusifs (limiteur stri t etξ = 0.5) parviennent réellement à ea er.

0

5e+07

1e+08

1.5e+08

2e+08

2.5e+08

3e+08

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

pres

sure

(P

a)

x (m)

Solution exacteGodunovMUSCL limiteur strict

(a) 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

velo

city

(m

/s)

x (m)

Solution exacteGodunovMUSCL limiteur strict

(b)Fig. 4.29: Résultats de simulation pour le tube à ho 3. Comparaison des s hémas du premieret du se ond ordre ave limiteur stri t. Temps = 10−5s

0

5e+07

1e+08

1.5e+08

2e+08

2.5e+08

3e+08

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

pres

sure

(P

a)

x (m)

Solution exacteGodunovMUSCL xi=0.0MUSCL xi=0.2MUSCL xi=0.3MUSCL xi=0.5

(a) -10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

velo

city

(m

/s)

x (m)

Solution exacteGodunovMUSCL xi=0.0MUSCL xi=0.2MUSCL xi=0.3MUSCL xi=0.5

(b)Fig. 4.30: Résultats de simulation pour le tube à ho 3. Comparaison des s hémas du premieret du se ond ordre ave limiteur "ξ" pour diérentes valeurs de ξ. Temps = 10−5sQuatrième as Ce as permet d'illustrer simplement une situation parti ulièrement intéressantepour les appli ations en turbine Pelton. Il s'agit de représenter l'impa t du jet d'eau sur une surfa eplane. Pour ela on modélise la paroi par un état droite symmétrique, 'est-à-dire doté de la mêmepression mais ave une vitesse inversée. An de se pla er exa tement dans la onguration des al uls qui seront présentés par la suite, les ara téristiques du uide ont été modiées et l'onmanipule don un uide "numérique" dont la vitesse du son de référen e est c0 = 200m/s pourune densité de référen e toujours égale à ρ0 = 1000 kg/m3. Les données initiales du problème deRiemann sont alors :

ρL = 1000

v(1)L = 20

ρR = 1000

v(1)R = −20

(4.83)

4.6 S héma d'ordre élevé 137La solution est formée de deux ondes de ho symmétriques qui se dépla ent à la vitesse de219m/s (soit Ma = 1.099). Les résultats présentés ont été obtenus ave le s héma d'ordre 1 etdeux s hémas d'ordre 2 utilisant respe tivement les limiteurs "stri ts" et "ξ = 0.0", e qui permetde donner un bon aperçu des diérents omportements que l'on est sus eptible de retrouver parla suite dans les appli ations réelles.

-1e+06

0

1e+06

2e+06

3e+06

4e+06

5e+06

6e+06

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

pres

sure

(P

a)

x (m)

Solution exacteGodunovMUSCL limiteur strictMUSCL xi=0.0(a) -20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

velo

city

(m

/s)

x (m)

Solution exacteGodunovMUSCL limiteur strictMUSCL xi=0.0

(b)Fig. 4.31: Résultats de simulation pour le tube à ho 4. Comparaison des s hémas du premieret du se ond ordre ave limiteur "ξ" pour diérentes valeurs de ξ. Temps = 10−4sLa première onstatation est que sous l'eet de l'impa t du jet d'eau ontre la paroi uneforte surpression, de l'ordre de 4.8.106 Pa, apparait alors que la pression dynamique n'est que de2.105 Pa, e qui montre lairement l'eet de ompressibilité transitoire qui ae te les al uls dejet. Le omportement des diérents s hémas numériques est onforme aux observations réaliséessur les pré édents as de tube à ho , en parti ulier le limiteur "ξ = 0.0" tolère des pi s de pressionou de vitesse près des fortes dis ontinuités.Bilan des as d'appli ation Les diérents limiteurs proposés permettent de moduler la pré i-sion (et la diusion) du s héma numérique. Le limiteur "ξ = 0" produit des résultats intéressants,à priori pré is mais peu stables. Il est néanmoins important de souligner que même si l'utilisationde e limiteur s'a ompage parfois de "dépassement de niveaux", eux- i ont lieu uniquement aupassage d'une dis ontinuité et n'inuen ent pas les niveaux atteints après le passage de elle- i.Ainsi la solution numérique ne garde pas une "mémoire" de es dépassements et l'état stationnaireatteint est orre t. Nous verrons plus loin dans ette étude que e limiteur peut être utilisé dansles appli ations pratiques sans remettre en ause la stabilité des al uls, et permet don d'obtenirle s héma numérique le moins dissipatif disponible dans le ode ASPHODELE.D'autres s hémas d'ordre élevéLe s héma appelé Weighted Averaged Flux ([65) onstitue une appro he fort diérente. Cetteméthode, introduite par Toro, est une manière de pondérer les états entrés et dé entrés quiinterviennent dans la solution du problème de Riemann de manière à al uler un ux partiellementdé entré et qui entraine don moins de diusion. En pratique, la solution du problème de Riemannest gée pour un temps t = ∆t/2 et le ux est al ulé omme une moyenne en espa e et entemps sur [xi;xj]× [0;∆t]. Dans ette moyenne, les états gau he, étoile et droite se voient ha unattribuer des poids proportionnels à leur étendue spatiale sur le segment [xi;xj ]. Le poids attribuéà l'état étoile détermine la stabilité et les poids attribués aux états gau he et droite déterminent la

138 Le formalisme ALEpré ision. Le s héma WAF exploite don d'une manière originale et très physique des informationsqui sont naturellement fournies par le solveur de Riemann et né essite ainsi à priori un oût de al ul réduit. Il est également intéressant de noter que le dé entrement est proportionnel au pasde temps (l'étendue spatiale de l'état étoile augmente ave le temps) e qui permet d'utiliser despas de temps assez grand (un CFL de 2 est à priori possible, e qui revient in ne à avoir uns héma totalement dé entré, don d'ordre 1). Ce s héma a été brièvement évalué dans le adre de e travail de thèse mais son appli ation pratique se heurte pour l'instant à la di ulté de maîtrisere a ement les os illations de la solution. En eet omme tout s héma d'ordre 2, elui- i est sujetau développement d'une instabilité dans les zones de fort gradient, si bien que les poids doiventêtre modiés ( elui de l'état étoile augmentant au détriment des états gau he et droite) lorsque desos illations sont déte tées. Néanmoins ette appro he peut onstituer une piste de développementfuture si une bonne déte tion des os illations peut-être mise en pla e.On peut également iter e qui pourrait onstituer une bonne base pour atteindre des ordresde pré ision en ore supérieurs : le problème de Riemann généralisé (Toro et Titarev, [66). Il s'agiten fait d'une extension du s héma MUSCL à des ordres plus élevés mais dans laquelle les dérivéesdu hamp sont obtenues omme partie de la solution du problème de Riemann. En eet, si l'ondérive spatialement les équations d'Euler, on obtient des lois de onservation pour les dérivéesspatiales du hamp. Il est alors possible d'obtenir une solution pour es dérivées en suivant lamême démar he que elle suivie pour le hamp lui-même, 'est-à-dire en résolvant un problèmede Riemann dont la dimension est augmentée. Cela né essite bien sûr des al uls plus lourds mais onstitue une perspe tive intéressante si l'on her he à réduire notablement la diusion numérique(pour étudier par exemple le développement d'instabilités physiques dans l'é oulement).4.6.2 BilanLe formalisme mis en pla e permet une fois de plus de rappro her SPH de méthodes onnueset éprouvées, permettant d'augmenter rapidement les apa ités de modélisation de ette méthodeet d'élargir son potentiel. Il est par ailleurs très intéressant de remarquer que ette démar hepermet d'augmenter la pré ision spatiale de SPH sans modier la fon tion kernel, au ontraire desméthodes présentées au paragraphe 2.1.5 basées ex lusivement sur les propriétés d'interpolationde la fon tion kernel et dire tement inspirées d'un formalisme élément ni qui est peut-être plusindiqué pour la mé anique des stru tures que pour la mé anique des uides. Nous allons voir qu'ilpeut néanmoins être utile de mettre à prot la te hnique de renormalisation an d'améliorer laqualité de l'approximation du bilan de ux par la méthode SPH.4.7 Renormalisation des ux onve tifsSi l'on dispose désormais d'une te hnique able pour améliorer le al ul des ux, il n'en restepas moins vrai que le bilan des ux est réalisé par une méthode SPH lassique et que son al ulsoure don d'impré ision. Cette di ulté résulte dire tement de l'approximation du gradient parla méthode SPH, aussi il est naturel de her her à introduire la te hnique de renormalisationprésentée en 2.2.7. An d'obtenir un s héma onservatif il est alors né essaire d'adopter la formu-lation proposée par Vila et présentée en (2.85) ar elle- i introduit naturellement une synthèse desformulations "gather" et "s atter". Cela entraine ependant une diéren e notable par rapport aus héma présenté jusqu'i i, ar il est alors né essaire de onsidérer non pas un mais deux problèmesde Riemann à l'interfa e entre les parti ules i et j puisque les dire tions Bi · nij et Bj · nij sontà priori diérentes. Ainsi en plus du oût du al ul des matri es de renormalisation, il faut tenir

4.7 Renormalisation des ux onve tifs 139 ompte du doublement du oût de la résolution des problèmes de Riemann. An de simplier lesé ritures, les notations suivantes sont adoptées :Aij =

∇iWij si j est uideWijnj si j est une ondition limite

Aji =

∇jWji si i est uideWjini si i est une ondition limite (4.84)On peut alors expli iter le nouveau système d'équations dis rètes qui dé rivent l'é oulement :

d

dt(xi) = v0(xi, t)

d

dt(ωi) = ωi

∑

j∈Di

ωj1

2(v0(xj) − v0(xi))(BiAij − BjAji)

d

dt(ωiρi) + ωi

∑

j∈Di

ωj(ρE,ij(vE,ij − v0(xij , t)) · BiAij−

ρE,ji(vE,ji − v0(xji, t)) · BjAji) = 0

d

dt(ωiρivi) + ωi

∑

j∈Di

ωj( [ρE,ijvE,ij ⊗ (vE,ij − v0(xij , t)) + pE,ij] · BiAij−

[ρE,jivE,ji ⊗ (vE,ji − v0(xji, t)) + pE,ji] · BjAji) = ωiρig

(4.85)où (ρE,ij, vE,ij)

t et (ρE,ji, vE,ji)t représentent les solutions du problème de Riemann entre les états

Φi et Φj respe tivement selon la dire tion BiAij et BjAji. Les matri es de renormalisation doiventintégrer les ontributions surfa iques provenant des onditions limites et s'é rivent don , ave lesmême notations :Bi =

∑

j∈Di

ωj(xj − xi) ⊗ Aij

−1 (4.86)Le système (4.85) propose une é riture uniée des équations dis rètes utilisées dans etteméthode numérique. Ce i est rendu possible par les hoix de modélisation et les te hniques nu-mériques qui ont été mises en ÷uvre dans ette étude, ave le sou i permanent de rendre aussisimilaires que possibles les traitements ee tués au oeur et aux frontières du domaine de al ul.Utilisation ouplée ave un s héma "h-adaptatif"Ce s héma SPH-ALE renormalisé est onservatif. Guil her ([20) a lairement prouvé son utilitédans le but d'améliorer la pré ision de la méthode numérique, et notamment sa omplémentaritéave le solveur de Riemann. Néanmoins, omme ela a déjà été mentionné, la te hnique de re-normalisation doit être utilisée ave pruden e ar lorsque la matri e de renormalisation est trèsdiérente de la matri e identité son inversion peut être déli ate et onduire à une déstabilisationdu al ul.An d'améliorer la pré ision de la méthode tout en garantissant la stabilité des al uls, l'in-trodu tion de la te hnique de renormalisation a été ouplée ave une te hnique de "h adaptatif", 'est-à-dire que lorsque la matri e de renormalisation peut-être inversée sans rainte, la longueurde lissage est réduite an d'améliorer la résolution spatiale et de réduire le oût de al ul. Le ritère utilisé an de mesurer la "qualité" de la matri e de renormalisation est son déterminant et

140 Le formalisme ALEpar expérien e numérique la valeur 0.9 est un seuil en-dessous duquel il faut éviter d'ee tuer larenormalisation. Si 'est le as, alors la longueur de lissage est au ontraire augmentée an d'amé-liorer la pré ision du bilan de ux, même si ela se fait au détriment de la résolution spatiale. Ennun lissage de la distribution spatiale de h est ee tué an de réduire l'amplitude du terme ∇h (quin'est pas pris en opmpte dans les formulations h variable, e qui peut engendrer des instabilitésnumériques). La gure 4.32 montre la distribution spatiale de h obtenue ave ette te hnique pourun as 2D de jet impa tant une plaque plane sous in iden e normale et la gure 4.33 présenteles valeurs prises par le déterminant de la matri e de renormalisation. On onstate que près de lasurfa e libre, la matri e n'est pas inversée et qu'alors la valeur de h augmente. C'est également le as près de la paroi solide (fa e inférieure) et de la se tion d'entrée (fa e supérieure), bien que lephénomène soit un peu moins marqué. Cela montre que la prise en ompte des termes de surfa edans le al ul de la matri e de renormalisation n'est pas susant pour améliorer signi ativementles propriétés de elle- i. Cela montre également que le bilan des ux est al ulé ave une moinsbonne pré ision près des onditions limites et qu'il faut don s'attendre dans es régions à unepré ision moindre du al ul.

Fig. 4.32: Distribution spatiale de longueurde lissage (h) dans le as du jet plan sousin iden e normale. Fig. 4.33: Valeur du déterminant de la ma-tri e de renormalisation dans le as du jetplan sous in iden e normale.4.8 Cas d'appli ation bidimensionnel : jets planAn d'évaluer pré isément les qualités et défauts de l'outil ASPHODELE développé sur labase des modèles exposés depuis le début de e hapitre, une série de simulation de jets planimpa tant une paroi solide a été menée. Ces as sont très similaires à eux exposés en 3.3.2, maisle fait d'ee tuer es al uls en 2D permet de omparer les résultats numériques à une solutionanalytique obtenue par une méthode potentielle (voir l'annexe A, page 161). La même démar hea été suivie par Kvi insky ([32) et Zoppé ([73) ave les odes CFX et Fluent. Le jet utilisé aun diamètre de 3 cm et une vitesse uniforme de 19.61m/s, et trois in iden es du jet sur la paroisont onsidérées : 90°, 60° et 30°. La dis rétisation du jet est ee tuée en utilisant une te hniquesimilaire à elle exposée en 3.3.2, 'est-à-dire que les ou hes de parti ules sont soigneusement

4.8 Cas d'appli ation bidimensionnel : jets plan 141dé alées les unes par rapport aux autres an de ne pas faire apparaitre des dire tions privilégiéesarti ielles, notamment au ÷ur du jet. La taille de dis rétisation (∆x) hoisie est 0.5mm (60parti ules par diamètre). Enn la vitesse du son numérique hoisie est c0 = 200m/s et le limiteurutilisé dans un premier temps est le limiteur stri t.4.8.1 In iden e α = 90°Dans e premier as nous étudions l'in iden e normale du jet sur la paroi. Comme ela a étémontré en 4.6.1, ette in iden e normale donne naissan e à une forte onde de pression qui sedépla e vers l'amont du jet. Une stru ture assez omplexe d'ondes de pression se met en pla e àpartir du point d'impa t du jet sur la paroi ave une su ession d'ondes de surpression et d'ondesde dépression, omme l'illustre la gure 4.34.

Fig. 4.34: Formation d'ondes de pression à l'impa t du jet sur la paroi et réexion de es ondessur la se tion d'entrée du jet et la paroi solide.Il a été déjà mentionné le fait que es ondes, ompte tenu de la vitesse du son non physique hoisie, sont à onsidérer ave pré aution. Or sur la se tion d'entrée du jet, la ondition limiteimposée est une ondition de vitesse onstante, e qui entraine la réexion des ondes de pression sur ette surfa e limite et empè he leur sortie du domaine d'étude. L'utilisation du s héma d'ordre2 ralenti leur dissipation, si bien que es ondes polluent arti iellement le al ul et gênent sa onvergen e. La solution serait de mettre en pla e une ondition limite dite de non réexion enentrée, qui permettrait d'éva uer es ondes de manière physiquement onvenable ( onsulter parexemple [1 pour un exemple de mise en pla e de telles onditions dans le as d'une méthode de typevolumes nis). Malheureusement le temps a manqué pour mener à bien et obje tif dans le adrede ette étude, et une solution plus simple onsistant à dégrader le s héma numérique à l'ordre 1(s héma de Godunov) dans la région de la se tion d'entrée a été adoptée. Cette région "tampon"permet de dissiper les ondes de pression remontant le jet et améliore ainsi la onvergen e.La gure 4.35 présente les résultats obtenus ave et sans la renormalisation des ux onve tifs.Les résultats sont très pro hes, on peut néanmoins dé eler quelques petites diéren es.La omparaison des deux modèles ave la solution théorique montre tout d'abord que laposition de la surfa e libre, dont la position théorique est reprérée par des arrés rouges, est unpeu mieux prédite par le s héma renormalisé. Le s héma "standard" a tendan e à épaissir lesnappes d'eau en sortie.Si l'on onsidère à présent le hamp de pression, on onstate que le s héma renormalisé se omporte un peu moins bien dans la zone pro he de la paroi, où les isolignes de pression onttendan e à se refermer sur elles-même. Le s héma renormalisé semble don introduire une erreur

142 Le formalisme ALE

(a) s héma standard (b) s héma renormalisé ( ) CFXFig. 4.35: Cartes de pression dans le jet obtenues ave le s héma standard, le s héma renormaliséet le ode CFX. Les arrés rouges représentent la position de la surfa e libre théorique.plus importante en paroi. Pourtant dans ette zone, les matri es de renormalisation ne sont passusamment bien onditionnées pour que la renormalisation soit ee tive, si bien que la seulediéren e entre les deux modèles dans ette zone vient de l'augmentation de la longueur de lissageintroduite dans le s héma "h adaptatif" présenté pré édemment (voir en parti ulier la gure 4.32).À e stade on peut don on lure qu'il existe une erreur numérique dans la zone pro he de la paroiqui augmente lorsque h augmente. Cela est également très visible en gure 4.36 où le prol depression le long de l'axe du jet est omparé au résultat du al ul CFX. On voit nettement que le oe ient de pression présente une hute juste avant la paroi (z = 0) ave le s héma renormalisé.-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Cp

()

z/D ()

schØma standardschØma renormalisØCFX

Fig. 4.36: Prol de pression le long de l'axedu jet. Comparaison ave le résultat CFX. -1

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Cv

()

z/D ()

schØma standardschØma renormalisØ

Fig. 4.37: Prol de vitesse le long de l'axe dujet (vitesse adimensionnalisée par la vitessedu jet).De telles diéren es sont bien moins évidentes quand on onsidère le hamp de vitesse (voirles gures 4.37, 4.38 et 4.39). Comme la théorie le prévoie, la vitesse sur les fa es de sortie estégale (ou très pro he) de la vitesse du jet. L'évolution de la omposante normale de la vitesse lelong de l'axe du jet est linéaire.Enn si l'on onsidère le hamp de pression sur la surfa e de la plaque, la gure 4.40 montreque les deux s hémas (standard et renormalisé) donnent des résultats similaires, en parti ulierque la valeur du maximum de pression sur la plaque est légèrement surestimée (environ 1.1 aulieu de 1). Néanmoins la forme du prol est onvenable et symétrique, elle se ompare très bienaux résultats théoriques et numériques ( ode FLUENT) obtenus pas Zoppé ([73) et visibles en

4.8 Cas d'appli ation bidimensionnel : jets plan 143

Fig. 4.38: Carte du module de vitesse dansl'é oulement, s héma standard. Fig. 4.39: Carte du module de vitesse dansl'é oulement, s héma renormalisé.gure 4.41.-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5 6

Cp

()

x/D ()

schØma standardschØma renormalisØ

Fig. 4.40: Prol de pression sur la sur-fa e de la plaque plane. Résultats nu-mériques obtenus ave ASPHODELE. Fig. 4.41: Prol de pression sur la surfa e de laplaque plane. Résultats numériques (FLUENT)et théoriques obtenus par Zoppé.4.8.2 In iden e α = 60°Pour e as, seuls les résultats obtenus ave le s héma renormalisé sont présentés. Les -gures 4.42 et 4.43 présentent respe tivement les artes de pression et de vitesse dans l'é oulement,ainsi qu'une omparaison de l'épaisseur des nappes d'eau ave la forme de la surfa e libre préditepar la théorie potentielle.Les remarques ee tuées pré édemment on ernant le hamp de pression peuvent être rééditéesi i, 'est-à-dire que le s héma renormalisé ave h adaptatif produit une erreur en paroi qui faitdiminuer la pression et tend à refermer les isolignes de pression sur elles-même. La valeur maximalede la pression est légèrement surestimée dans la zone du point d'arrêt, en parti ulier sur la paroioù elle- i atteint Cp = 1.10 au lieu de Cp = 1 obtenue théoriquement.En e qui on erne la forme de la surfa e libre, il onvient de distinguer les deux bran hes del'é oulement en sortie. Pour la bran he prin ipale (à gau he), le al ul SPH donne un rayon de ourbure légèrement trop grand mais reproduit néanmoins orre tement l'épaisseur de la napped'eau en sortie (à l'inni). Par ailleurs, on onstate également que la vitesse dans ette bran he est

144 Le formalisme ALE

Fig. 4.42: Champ de pression dans l'é ou-lement et en paroi. Comparaison de l'épais-seur des nappes d'eau : les arrés rouges re-présentent la surfa e libre théorique. Fig. 4.43: Champ de vitesse dans l'é oule-ment et en paroi.égale à la vitesse du jet. Ce n'est pas le as pour la bran he se ondaire (à droite), où l'épaisseurde la nappe ainsi que la vitesse présentent une erreur plus importante (environ 20% d'erreur surl'épaisseur de la nappe d'eau). Néanmoins, il est très intéressant de souligner que le débit dans ette bran he reste très pro he de sa valeur théorique, si bien que l'épaississement de la nappe etsa dé élération sont deux erreurs qui restent ohérentes. On peut s'interroger sur l'origine de ephénomène, ar on onstate également que l'épaississement de la nappe débute au moment où lasurfa e libre se ourbe fortement, dans la région du point d'impa t. Il semble que la traje toiredes parti ules ne soit pas apable de suivre un rayon de ourbure si petit. Ce phénomène sera pluslargement étudié dans le as suivant.Enn la gure 4.44 présente le prol de pression le long de la surfa e de la plaque plane, omparé aux prols théorique et numérique obtenus par Zoppé et visibles en gure 4.45. La formedu prol obtenu ave ASPHODELE est don tout à fait orre te. On peut néanmoins remarquerque la valeur de la pression au point d'impa t est légèrement surestimée.

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5 6

Cp

()

x/D ()

schØma renormalisØ

Fig. 4.44: Prol de pression sur la sur-fa e de la plaque plane. Résultats nu-mériques obtenus ave ASPHODELE. Fig. 4.45: Prol de pression sur la surfa e de laplaque plane. Résultats numériques (FLUENT)et théoriques obtenus par Zoppé.

4.8 Cas d'appli ation bidimensionnel : jets plan 1454.8.3 In iden e α = 30°Ce as va faire l'objet d'une attention parti ulière ar les paramètres de simulation utilisésjusqu'à présent produisent pour e as des résultats insusamment pré is. Les gures 4.46 et 4.47présentent respe tivement les artes de pression et de vitesse dans l'é oulement, ainsi qu'une omparaison de l'épaisseur des nappes d'eau ave la forme de la surfa e libre prédite par la théoriepotentielle. C'est e dernier point qui a motivé l'étude approfondie qui suit. En eet on onstate lairement que les défauts relevés pré édemment sont i i a entués, et que la forme de la surfa elibre dans la zone donnant naissan e à la bran he se ondaire de l'é oulement de fuite n'est pas orre te.

Fig. 4.46: Champ de pression dans l'é ou-lement et en paroi. Comparaison de l'épais-seur des nappes d'eau : les arrés rouges re-présentent la surfa e libre théorique. Fig. 4.47: Champ de vitesse dans l'é oule-ment et en paroi.An de tenter de omprendre l'origine de e omportement, diérents hoix de paramètres desimulation ont été testés, e qui a permis d'appréhender leur inuen e respe tive et d'améliorerla qualité de la simulation. Le ritère de omparaison retenu est elui de la forme de la surfa elibre dans la zone du point d'arrêt, et les omparaisons présentées sont obtenues en superposantles distributions des points de al ul. Pour mémoire, les résultats présentés en 4.46 et 4.47 ont étéobtenus ave le limiteur stri t, une taille de dis rétisation ∆x = 0.5mm, un rapport h/∆x = 1.4et le s héma standard (non renormalisé). Après avoir vérié que le s héma renormalisé n'apportaitpas de modi ations substantielles ( es résultats ne sont pas présentés i i), nous montrons que lelimiteur "ξ = 0", puis la diminution du rapport h/∆x (h/∆x = 1.1) et enn une diminution dela taille de dis rétisation (∆x = 0.25mm) apportent des améliorations su essives de la qualitédes résultats, sans toutefois parvenir à orriger totalement le défaut de omportement du odementionné. À l'inverse, il semble que l'utilisation d'une vitesse du son plus élevée (C0 = 400m/sau lieu de 200) dégrade la qualité de la simulation. Ces résultats sont présentés en gure 4.48 etles jeux de paramètres utilisés sont résumés dans le tableau 4.1.La gure 4.48 montre que le résultat le plus pré is est obtenu ave le jeu de paramètres 4. Lesrésultats détaillés relatifs à ette simulation sont montrés en gure 4.49 et 4.50.Toujours pour le jeu de paramètres 4, la gure 4.51 présente le prol de pression le long dela surfa e de la plaque. La forme de e prol est similaire aux résultats numériques et théoriquesobtenus par Zoppé.Clairement l'utilisation d'un s héma peu diusif (limiteur ξ = 0 et diminution du rapporth/∆x) tend à améliorer la qualité des résultats, mais ela n'est pas susant. De même, une

146 Le formalisme ALEJeux de paramètres limiteur h/∆x c0 ∆x renomalisation

(m/s) (mm)

0 stri t 1.4 200 0.5 non1 ξ = 0 1.4 200 0.5 non2 ξ = 0 1.1 200 0.5 non3 ξ = 0 1.4 400 0.5 non4 ξ = 0 1.1 200 0.25 nonTab. 4.1: Jeux de paramètres numériques étudiés.

(a) En rouge :jeu 0. En bleu : jeu 1. (b) En rouge :jeu 1. En bleu : jeu 2.

( ) En rouge :jeu 1. En bleu : jeu 3. (d) En rouge :jeu 2. En bleu : jeu 4.Fig. 4.48: Comparaison des formes de surfa e libre pour les diérents jeux de paramètres desimulation étudiés.

4.8 Cas d'appli ation bidimensionnel : jets plan 147

Fig. 4.49: Champ de pression dans l'é ou-lement et en paroi. Comparaison de l'épais-seur des nappes d'eau : les arrés rouges re-présentent la surfa e libre théorique. Fig. 4.50: Champ de vitesse dans l'é oule-ment et en paroi.

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Cp

()

x/D ()

Jeu N°4

Fig. 4.51: Prol de pression sur la sur-fa e de la plaque plane. Résultats nu-mériques obtenus ave ASPHODELE(jeu de paramètres N°4). Fig. 4.52: Prol de pression sur la surfa e de laplaque plane. Résultats numériques (FLUENT)et théoriques obtenus par Zoppé.

148 Le formalisme ALEdis rétisation plus ne semble né essaire sans que l'on puisse on lure que ette voie soit susante.Ave ∆x = 0.25mm, la bran he se ondaire de l'é oulement de fuite omprend environ 12 parti ulesdans la hauteur d'eau. Ce hire tombe à 9 lorque ∆x = 0.5mm. Mais logiquement, le nombretotal de points de al ul est multiplié par 4, passant de 21 000 à 82 000, e qui met en lumièreles limites d'une diminution ex essive de la taille de dis rétisation. D'autres voies mériteraientd'être étudiées, notamment le s héma d'intégration temporelle qui i i est seulement d'ordre 1(s héma d'Euler expli ite). L'utilisation d'un s héma plus pré is pourrait améliorer la pré isiondu dépla ement des points de al ul le long des traje toires ourbes et onduire ainsi à uneamélioration notable des résultats SPH.4.9 Cas d'appli ation tridimensionnel : jets impa tant une plaqueplaneL'étape de validation suivante a naturellement onsisté à mener le même type de simulationssur des ongurations tridimensionnelles. Des simulations omparables à elles onduites dans le as 2D sont ainsi présentées. Le jet possède les même ara téristiques : un diamètre de 3 cm etune vitesse uniforme de 19.61m/s. Le oût de al ul étant nettement supérieur en 3D, une taillede dis rétisation de 1mm a été utilisée.La gure 4.53 présente des vues générales des trois as simulés (in iden es de 30°, 60° et 90°).La répartition des parti ules dans les nappes d'eau est assez homogène : il n'y a plus des trous etd'amas de parti ules, ontrairement à e que l'on pouvait observer ave la méthode SPH standard.

(a) In iden e 90° (b) In iden e 60° ( ) In iden e 30°Fig. 4.53: Vues générales des trois as présentés.La gure 4.54 présente, pour les trois as étudiés, une vue en oupe selon le plan de symétriedu jet. Les parti ules sont olorées par le hamp de pression. L'épaisseur des nappes d'eau est omparée aux résultats numériques obtenus ave le ode CFX (symbolisés par des arrés rouges)et aux mesures expérimentales réalisées au LMH (symbolisées par des arrés noirs) ([32).Les résultats ASPHODELE (obtenus ave le limiteur "ξ = 0") présentent des épaisseurs denappe d'eau légèrement trop épaisses. Néanmoins, pour le as où l'in iden e est 30°, il n'y apas apparition d'une nappe d'eau à l'amont du point d'impa t : ette zone est dénoyée, ommeKvi insky l'a remarqué expérimentalement dans [32. Le hamp de pression dans le uide estglobalement satisfaisant, notamment en e qui on erne la position du point d'arrêt. On remarquenéanmoins un dé it de pression sur l'axe du jet dans le as 0°. Ce phénomène semble avoir pourorigine la manière dont le jet est dis rétisé, mais e point né essite une véri ation.

4.9 Cas d'appli ation tridimensionnel : jets impa tant une plaque plane 149

(a) In iden e 90° (b) In iden e 60° ( ) In iden e 30°Fig. 4.54: Vues en oupe des trois as présentés. Comparaison des épaisseurs des nappes d'eauave les résultats numériques CFX ( arrés rouges) et les mesures expérimentales ( arrés noirs).Enn la gure 4.55 présente les artes de pression sur la surfa e de la plaque. Ces résultatsinstantanés sont ertes un peu bruités, néanmoins la forme de la répartition de pression est orre te.Par ontre, on onstate que le valeur maximale de pression prévue au point d'arrêt est légèrementsurestimée dans les as 90° et 60°.

(a) In iden e 90° (b) In iden e 60° ( ) In iden e 30°Fig. 4.55: Cartes de pression sur la surfa e de la plaque plane.Ces résultats dièrent de eux obtenus dans le as 2D. I i, la forme des nappes d'eau paraitmieux dénie, et l'on ne retrouve pas les erreurs importantes obtenues notamment sur le as 30°).Par ontre le hamp de pression semble al ulé ave moins de pré ision, mais ela peut-être lié aufait que la résolution spatiale est inférieure en 3D.La mesure de la qualité de es résultats numériques est omplétée par l'étude du prol depression sur la surfa e de la plaque, le long de la ligne orrespondant à l'interse tion du plan desymétrie du jet ave la surfa e de la plaque. Les résultats numériques ASPHODELE sont omparésaux résultats numériques CFX et aux mesures expérimentales réalisées par Kvi insky au LMH.Ces omparaisons sont présentées à la gure 4.56.Il onvient tout d'abord de rappeler que les mesures expérimentales ont été obtenues en uti-lisant un réel inje teur de turbine Pelton, 'est-à-dire un jet présentant un dé it de vitesse surson axe à ause du sillage du torpedo. Cela explique que dans le as de l'in iden e normale, les al uls numériques, qui ne reproduisent pas e sillage, produisent des résultats assez éloignés desmesures lorsqu'on onsidère la zone du point d'arrêt.Les prols obtenus ave la ode ASPHODELE présentent des résultats globalement satisfai-

150 Le formalisme ALE-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 1 2 3 4 5 6

Cp

(-)

x/D (-)

AsphodeleCFXMesures

(a) In iden e 90° -0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5 6

Cp

(-)

x/D (-)

AsphodeleCFXMesures

(b) In iden e 60° -0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 1 2 3 4 5 6

Cp

(-)

x/D (-)

AsphodeleCFXMesures

( ) In iden e 30°Fig. 4.56: Prols de pression sur la surfa e de la plaque dans le plan de symétrie du jet. Compa-raison ave les al uls CFX et les mesures expérimentales.sants. Pour le as de l'in iden e normale néanmoins, le ode prédit une valeur trop importantede pression au point d'arrêt, omme ela était déjà visible sur les artes de pression. Pour le as30°, 'est l'inverse, mais on onstate que le ode CFX éprouve également des di ultés à prédire orre tement la pression au point d'arrêt pour e as. Gloabalement, on onstate enn que le odeASPHODELE a tendan e à rétré ir la zone d'impa t, 'est-à-dire que les prols de pression sontun peu trop resserrés à leur base. Mais hormis es quelques zones de l'é oulement, les prols sonten bonne on ordan e sur la majeure partie du domaine.4.10 E oulement dans un auget de turbine PeltonNous reprenons i i ave le ode ASPHODELE un as test déjà présenté dans e do ument.Il s'agit en quelque sorte du "juge de paix" des développements onduits dans le adre de etteétude, puisqu'il on entre l'essentiel des di ultés qui ont mis en lumière les limitations desmodèles pré édents. Les as tests pré édents ont souligné l'importan e du hoix du limiteur dansla pré ision de la prédi tion de la forme de la surfa e libre dans les régions où elle- i est fortement ourbée. Pour e as, nous présentons les résultats obtenus ave le limiteur stri t et le limiteur"ξ = 0". Les résultats ASPHODELE sont omparés aux résultats CFX 1 pour un même point defon tionnement.Dans un premier temps, la forme générale de l'é oulement est vériée à la gure 4.57. Uné oulement de uide à faible vitesse se développe le long de l'arête de l'auget ave le ode AS-PHODELE, alors que elui- i est absent des résultats CFX. Ce omportement est lié au traitementde la paroi, en parti ulier au fait que la dis rétisation de l'auget fasse apparaitre des éléments desurfa e sur l'arête alors que elle- i ne doit pas avoir d'épaisseur. Cela rée arti iellement uneligne d'arrêt le long de l'arête. Le al ul CFX évite e problème ar il ne on erne qu'un demiauget (et un demi jet).La gure 4.58 présente une vue en oupe de l'é oulement dans le plan perpendi ulaire à l'arêtede l'auget passant par le entre du jet. Elle permet de omparer la forme et l'épaisseur des nappesd'eau ave le al ul CFX. À nouveau les al uls ASPHODELE donnent des nappes trop épaissesdès que la traje toire de elles- i se ourbe. Cette sur épaisseur persiste ensuite dans la nappe d'eauqui est éva uée de l'auget, elle- i présentant logiquement un léger dé it de vitesse. Néanmoinsl'utilisation du limiteur "ξ = 0" permet de réduire l'erreur on ernant ette épaisseur des nappesd'eau qui passe alors d'environ 25% ave le limiteur stri t à environ 20% ave le limiteur "ξ = 0".Cette gure montre aussi que les nappes d'eau en sortie n'ont pas exa tement la même dire -1Ce al ul a été ee tué par VATECH Hydro.

4.10 E oulement dans un auget de turbine Pelton 151

(a) A gau he : ASPHODELE, limiteur stri t. Adroite : CFX (b) A gau he : ASPHODELE, limiteur "ξ = 0". Adroite : CFXFig. 4.57: Comparaison générale de l'é oulement entre les résultats ASPHODELE et CFX.

(a) ASPHODELE, limiteur stri t. (b) ASPHODELE, limiteur "ξ = 0".Fig. 4.58: Comparaison des nappes uides entre les résultats ASPHODELE et CFX. En rouge :ligne d'isovaleur 0.5 de fra tion volumique de l'eau, symbolisant la surfa e libre pour le al ulCFX.

152 Le formalisme ALEtion. ASPHODELE produit des nappes exa tement tangentes au bord de fuite de l'auget alors queCFX produit des nappes légèrement déviée vers l'extérieur de l'auget. À e propos il est utile designaler que l'obtention des é oulements de fuite a posé quelques problèmes ave ASPHODELE.En eet, à ause du domaine d'interpolation qui est relativement étendu, ertains éléments desurfa e sur la paroi de l'auget peuvent être omptés omme voisin d'une parti ule uide sans êtreexa tement au onta t du domaine uide. Cette question a été évoquée pré édemment en 4.2.2,page 101, où les notions d'élément de surfa e "se " et "mouillé" ont été brièvement présentées. Lefait d'utiliser plus de points voisins que les voisins les plus pro hes onduit, pour ette simulationd'é oulement dans un auget, à une très forte dépression au bord de fuite de l'auget. Cela s'expliquepar le fait que les éléments de surfa e qui forment le rebord de l'auget (l'épaisseur de matière)parti ipent au bilan de ux pour les parti ules uides qui sortent de l'auget, alors qu'ils ne sontpas dire tement au onta t de l'eau. Pour es éléments de surfa e, dont la normale est verti aleet don à peu près parallèle à l'é oulement, le problème de Riemann partiel à résoudre à la paroi orrespond au as d'une très forte détente, e qui engendre la forte dépression. Celle- i a pour onséquen e dire te de perturber la traje toire des parti ules uides qui sortent de l'auget (ellessont attirées par la paroi), et don de dévier les nappes d'eau en sortie. Deux types de solutionpeuvent être apportées. La première onsiste à mettre en pla e des ritères de "visibilité" per-mettant de déterminer les plus pro hes voisins de paroi. Cela peut don éliminer les éléments desurfa e qui ne sont pas au onta t du uide, mais ette te hnique est déli ate à régler ( hoix d'unedistan e seuil autorisant la prise en ompte des éléments de paroi). La deuxième réponse possible,qui est elle qui a été mise en ÷uvre pour es al uls, onsiste à limiter arbitrairement la plagede variation autorisée pour le hamp de pression en paroi, notamment pour les valeurs négatives.On peut légitimement s'interroger sur la validité de es traitements. Néanmoins les diéren esde traje toire observées entre les al uls ASPHODELE et les al uls CFX restent de l'ordre dequelques degrés. Cette question mérite d'être approfondie, an de mettre en pla e une solutiongénérale apable de reproduire l'é oulement au bord de fuite de manière totalement able.La gure 4.58 permet aussi d'étudier le hamp de pression dans l'é oulement. Les deux al ulsASPHODELE présentent une surpression sur l'arête de l'auget, qui orrespond au point d'arrêt"numérique" introduit par la dis rétisation de l'auget. Mais ontrairement aux résultats obtenuspré édemment (voir 4.2.2), ette surpression ne donne pas naissan e à une zone dé ollée à l'avalde l'arête, e qui permet de mesurer l'apport du solveur de Riemann et du nouveau traitementdes parois.Enn la gure 4.59 permet de omparer les prols de pression sur la surfa e de l'auget obtenusave ASPHODELE et CFX. Bien que les résultats SPH soient un peu bruités (il s'agit de résultatsinstantanés), on remarque une remarquable similitude de es prols. Le al ul utilisant le limiteur"ξ = 0" semble donner des résultats plus pro hes des résultats CFX que le al ul utilisant lelimiteur stri t. Par ailleurs, et malgré le taitement orre tif expliqué i-dessus, la dépression aubord de fuite reste bien visible (le traitement orre tif a simplement diminué son amplitude). Ennla surpression sur l'arête de l'auget est également mise en éviden e.

4.11 Jet dévié par un dée teur en rotation 153

(a) ASPHODELE, limiteur stri t. (b) ASPHODELE, limiteur "ξ = 0".Fig. 4.59: Cartes de pression sur la surfa e de l'auget. Demi-auget haut : résultats ASPHODELE.Demi-auget bas : résultats CFX.4.11 Jet dévié par un dée teur en rotationLe dée teur est un élément de sé urité d'une turbine Pelton, utilisé pour détourner le jetde la roue lors des arrêts d'urgen e. Ce dispositif est préféré à une fermeture rapide des vannes,qui pourrait engendrer un oup de belier dans les installations. Une simulation d'un dée teur enfon tionnement est présentée i i. Il s'agit d'un as où la géométrie est mobile, en rotation. C'estdon un as assez pro he du as d'une roue en fon tionnement, mais qui est beau oup plus fa ileà mettre en ÷uvre.Le jet utilisé a une vitesse de 19.61m/s et le dée teur a une vitesse de rotation de π4 rad/s.La vitesse du son hoisie est 200m/s, et le limiteur utilisé est le limiteur "ξ = 0". An que le al ul soit rapide, la taille de dis rétisation utilisée i i est ∆x = 3mm.Ce as est présenté à titre d'illustration, an de montrer que le ode ASPHODELE est apablede gérer des onditions limites mobiles. La gure 4.60 présente la onguration de l'é oulement àdiérents instants de la simulation.Ce as démontre que la prise en ompte des parois mobiles fon tionne. Néanmoins nous nedisposons pas de mesures ou d'un as de al ul semblable an de omparer e résultat. Par ailleursla taille de dis rétisation utilisée est bien trop importante pour permettre de simuler l'é oulementde manière pré ise.

154 Le formalisme ALE

Fig. 4.60: Simulation d'un jet dévié par un dée teur en rotation.

4.12 Bilan des as d'appli ation 1554.12 Bilan des as d'appli ationCes résultats sont un su ès trés en ourageant pour toute la méthode développée et mise en÷uvre dans ASPHODELE. Un ertain nombre de problèmes ont été identiés : l'épaississementdes nappes d'eau, la gestion des bords d'attaque et des bords de fuite. Néanmoins la plupart desdi ultés ont été surmontées, en parti ulier la stabilité, ainsi que le traitement des onditionslimites. Ainsi ASPHODELE onstitue désormais une base able sur laquelle des développementsvisant à améliorer la pré ision des résultats peuvent être onduits.

156 Le formalisme ALE

Chapitre 5Con lusion et perspe tivesCette étude avait initialement pour objet d'étudier la faisabilité de la mise en ÷uvre d'uneméthode numérique lagrangienne sans mailllage de type SPH pour la modélisation d'é oulementsà surfa e libre tels que eux ren ontrés dans les turbines Pelton. Une première phase dans etravail de thèse a don onsisté à évaluer ette méthode numérique sur des as représentatifset au regard de ritères portant notamment sur la prédi tion de la forme de la surfa e libreet sur le hamp de pression obtenu sur les parois solides. Il est assez surprenant de onstaterla vitesse et la relative fa ilité ave laquelle il est possible d'obtenir des résultats onvain antssur des ongurations d'é oulements pourtant réputées di iles, et pour lesquelles des méthodesnumériques plus lassiques requièrent des te hniques de modélisation très poussées. En ela laméthode numérique SPH est d'une a essibilité peu ommune, e qui ontribue ertainement à sadiusion et à sa popularité grandissante.Pourtant, la omparaison de la méthode SPH ave d'autres te hniques numériques installéessur le même réneau (et notamment la méthode VOF) tourne assez nettement en faveur de esdernières, qui il est vrai ont béné ié d'eorts de développements nettement supérieurs. Vis-à-visde es méthodes on urrentes, SPH pé he prin ipalement par un défaut de pré ision des résultatsproduits et par un relatif défaut de prise en ompte des onditions limites ouramment ren ontréesen simulation numérique des é oulements. En eet, le s héma numérique sans maillage à l'originede la méthode a été é rit pour des domaines non bornés et ne tient don pas ompte aisémentdes frontières du domaine de al ul. Seul le as des parois solides a fait l'objet de modélisationsplus ou moins pré ises. Celles- i ont été présentées dans e do ument et deux d'entre elles ont étéemployées : le modèle des for es répulsives dans le ode NEMO et le modèle des parti ules tivesdans le ode SPARTACUS. Néanmoins au une de es te hniques n'est pleinement satisfaisantes, enparti ulier dans l'optique de manipuler des géométries de forme omplexe omportant des détailsgéométriques très ns.C'est la volonté d'utiliser la méthode numérique SPH pour des appli ations on rètes qui amotivée les développements qui ont été onduits dans une deuxième phase. Tout d'abord, an derendre les outils numériques apables de traiter des as réalistes de manière ompétitive, la paral-lélisation de l'algorithme SPH a été ee tuée. En eet, la méthode SPH présente un oût de al ulsupérieur à elui d'une méthode eulérienne utilisant un maillage ar le s héma numérique utiliseun nombre bien plus grand de points de dis rétisation an d'évaluer numériquement les équationsdé rivant le mouvement du uide. An de diminuer le temps de restitution des simulations, laparallèlisation de l'algorithme SPH a ainsi été ee tuée en utilisant un double dé oupage des don-nées et la bibliothèque de ommuni ations MPI. Par la mise en pla e d'une renumérotation despoints de al ul, un gain de 40% a été obtenu sur la phase de re her he des voisins. Par ailleurs,

158 Con lusion et perspe tives ette renumérotation permet in ne de faire pratiquement orrespondre les deux dé oupages dedonnées, e qui ouvre la voie à une optimisation éventuelle de l'o upation de la mémoire du al ulateur si ela s'avérait né essaire. Bien que peu spe ta ulaire, la parallélisation fut une ta helongue et di ile qui onsomma une part non négligeable des trois années de thèse.Mais l'essentiel des développements numériques qui ont été réalisés dans es trois années on ernent évidemment les évolutions de la méthode SPH standard vers une méthode hybridegrâ e aux apports de la des ription ALE et de la formulation faible des équations d'Euler. Toutd'abord guidées par la volonté de trouver un traitement numérique satisfaisant des onditionslimites, tant sur les plans mathématique que physique, es évolutions ont nalement onduit àl'adoption omplète de la formulation faible développée par le professeur Jean-Paul Vila. Surle plan théorique, e formalisme apparait nettement plus adapté à la modélisation d'un milieu ontinu tel qu'un uide. En eet, il remet en ause l'interprétation parti ulaire ommunémentvéhi ulée à propos de la méthode SPH, au béné e d'une représentation du bilan des ux sousune forme dire tement déduite de la forme intégrale des lois de onservation.Sur le plan numérique, la formulation faible permet d'apporter des solutions e a es aux pro-blèmes posés à la méthode SPH. Tout d'abord, la stabilité numérique de la méthode est assuréepar l'adoption de s hémas dé entrés (solveurs de Riemann). Ces s hémas rempla ent avantageuse-ment le terme de vis osité numérique traditionnellement employé dans la méthode SPH standard, ar ils représentent mieux la physique des phénomènes (la nature hyperbolique des équations detransport). Ensuite, l'augmentation de la pré ision de la méthode peut être obtenue par l'utili-sation de s hémas d'ordre plus élevé, typiquement d'un s héma de type MUSCL d'ordre 2. And'éviter l'apparition d'os ilations numériques, une te hnique de limitation des gradients doit né- essairement être mise en pla e. La déte tion des os illations est un point déli at en maillage nonstru turé, néanmoins deux limiteurs dérivés des prin ipes énon és par Van Leer ont été présentéset utilisés ave su ès sur des as de validation a adémiques et des as appliqués. Enn, un traite-ment généralisé des onditions limites a été onstruit. Celui- i s'appuie tout d'abord sur le al ulexpli ite des ontributions des frontières dans le bilan des ux à travers la prise en ompte de l'in-tégration surfa ique qui apparait naturellement lorsque le domaine d'intégration est tronqué parune frontière. Ce terme surfa ique permet de restaurer la onsistan e mathématique du s hémanumérique sans re ourir à des points de al ul externes au domaine et permet en parti ulier demanipuler des solides de forme omplexe. Dans un deuxième temps, l'introdu tion d'un problèmede Riemann partiel à la frontière permet de résoudre lo alement l'intera tion de l'é oulementave la ondition limite imposée. Ce formalisme permet d'obtenir un s héma dé entré lo al toutà fait omparable au s héma dé entré utilisé au oeur du domaine, et rempla e avantageusementle s héma basé sur les relations de ompatibilité envisagé dans un premier temps.Ces développements ont donné naissan e à un nouveau ode de al ul baptisé ASPHODELE.Cet outil a été testé sur des ongurations d'é oulements représentatives des turbines Pelton. Lesrésultats obtenus sont très en ourageants et valident les orientations hoisies. Les omparaisonsdes résultats ASPHODELE ave des solutions analytiques, des mesures expérimentales ou desrésultats de al ul obtenus ave la méthode VOF, révèlent une amélioration notable de la pré ision,en parti ulier pour la prédi tion du hamp de pression en paroi, qui est un élément indispensablepour utiliser la méthode SPH dans une haîne de on eption et de dimensionnement.Néanmoins des améliorations restent né essaires. En premier lieu, les résultats ASPHODELEprésentent un léger épaississement des nappes d'eau, alors qu'il s'agit d'un point de validationimportant pour les é oulements en turbine Pelton. Ce point doit faire l'objet d'un approfondis-sement an d'en trouver la ause et d'apporter une réponse adéquate. L'utilisation d'un s hémapeu dissipatif et une taille de dis rétisation plus petite apportent des améliorations réelles mais

159néanmoins insusantes. D'autres pistes méritent d'être investiguées, omme le s héma d'intégra-tion temporelle. Par ailleurs, les résultats ASPHODELE restent marqués par une onvergen etemporelle médio re, si bien que des résultats stationnaires ne peuvent être obtenus qu'après uneindispensable moyenne ee tuée sur quelques itérations. Il serait intéressant de s'interroger surla possibilité réelle d'obtenir des résultats présentant une onvergen e poussée ave une méthodede type SPH. Il est lair que le mouvement des points de al ul nuit à une telle onvergen e, leformalisme ALE re èle alors peut-être des pistes intéressantes sur e point. Enn, la simulation del'é oulement dans un auget de turbine Pelton montre la né essité d'apporter un soin parti ulier àla dis rétisation du uide. En parti ulier la taille des parti ules uides devraient orrespondre àla taille des détails géométriques des parois, omme par exemple pour l'arête de l'auget. Il sembledès lors né essaire d'envisager un mé anisme de ranement et déranement adaptatif, an depouvoir on entrer l'eort de al ul là où il est né essaire.D'une manière plus générale, l'adoption de la formulation faible et de la des ription ALEpermet d'établir ertaines ressemblan es entre un ode omme ASPHODELE et une méthodede type volumes nis en maillage non stru turé. Dès lors, il semble raisonnable d'envisager depouvoir adapter les te hniques développées en CFD " lassique" à la méthode SPH ( e qui aété fait ave les solveurs de Riemann par exemple). Cela pourrait a élérer onsidérablementle développement de SPH et augmenter les standards de qualité de ette méthode. Parmi lesprin ipaux points d'interrogation qui subsistent mais qui peuvent trouver une réponse rapide, onpeut iter l'utilisation des s hémas dé entrés de type Godunov dans la limite des faibles nombresde Ma h. Des traitements spé iques, tels que le pré onditionnement, existent et peuvent êtrefa ilement transposables en SPH. On peut iter également les s hémas d'ordre élevé qui laissententrevoir la possibilité d'augmenter la pré ision spatiale de la méthode SPH sans modier lafon tion kernel.Ces onsidérations pourraient onduire le le teur à s'interroger sur e qui en dénitive pourraitpersister de l'exotisme supposé de la méthode SPH. Pourtant, vouloir ammener ette méthodenumérique au niveau de qualité des autres méthodes majoritairement employées en CFD est unobje tif né essaire. L'originalité de SPH réside avant tout dans le fait qu'il s'agit d'une méthodesans maillage, e qui autorise de très grandes déformations de la distribution spatiale des pointsde al ul et fa ilite ainsi une des ription lagrangienne de l'é oulement. C'est sa grande for e, arla des ription lagrangienne n'a pas en ore été susamment exploitée. L'avantage qu'elle pro urepour la modélisation d'é oulements à surfa e libre a été i i souligné. Pourtant il onviendraitd'étudier plus largement les impli ations qu'entraine la des ription lagrangienne, en parti ulierpour la modélisation des eets turbulents.La te hnique numérique d'interpolation sans maillage onstitue en même temps le talond'A hille de l'appro he proposée. En eet ette te hnique soure d'une pré ision médio re et onstitue une limitation in ontournable dans l'optique d'améliorer la pré ision de SPH. La te h-nique de renormalisation est une première réponse, mais elle né essite d'être améliorée ou om-plétée, an de pouvoir être utilisable partout dans le domaine. La te hnique de "h adaptatif"proposée, onsistant à augmenter h lorsque la matri e de renormalisation n'est pas inversible,laisse un bilan mitigé. D'autres appro hes doivent être étudiées, elles doivent permettre de dispo-ser d'une te hnique d'intégration souple, robuste et pré ise. À e sujet on peut iter une te hniqueré ente appelée "Finite Volume Parti le Method" ([23) et qui, omme son nom l'indique, tente demélanger un formalisme de type volumes nis ave une te hnique numérique dire tement inspiréede SPH. La diéren e notable est que les termes géométriques permettant de al uler le bilan deux sont al ulés de manière bien plus pré ise qu'en SPH. Cette diéren e permet peut-être derestaurer une bonne pré ision du s héma numérique.

160 Con lusion et perspe tivesLe développement du ode ASPHODELE va se poursuivre à travers le programme européend'é hange de her heurs baptisé ESPHI et qui regroupe, outre les trois partenaires de ette thèse,l'université de Man hester et le Centre National Suisse de Cal ul S ientique. Par ailleurs, etau delà des appli ations dire tes en turbine Pelton, ASPHODELE devrait servir à l'étude de lastabilité des jets d'eau issus des inje teurs.

Annexe ASolution analytique de l'é oulementd'un jet plan impa tant une paroi planeUne solution stationnaire de l'é oulement d'un jet plan impa tant une plaque plane peut-êtretrouvée par une méthode potentielle. Pour ela l'é oulement est supposé irrotationnel, in ompres-sible et permanent. La re her he de la solution passe par le al ul expli ite du potentiel omplexequi permet d'obtenir en tout point la valeur des deux omposantes de vitesse. La forme de lasurfa e libre dé oule dire tement de l'expression des lignes de ourant. Le oe ient de pressionest quant à lui al ulé à l'aide du théorème de Bernoulli. Cette démar he de al ul est dé rite parMilne-Thomson ([44).A.1 Impa t de deux jetsLa onguration étudiée est elle de l'impa t de deux jets uniformes A1 et A2 ayant la mêmevitesse U à l'inni et qui, après impa t, donnent naissna e à deux nouveaux jets B1 et B2 ommele montre la gure A.1.Le régime permanent est supposé établi et on suppose également qu'un point d'arrêt existe.Ce point d'arrêt est hoisi omme origine du repère (O,x, y) dans lequel l'axe x est hoisi parallèleà et dans le même sens que le jet A1. Les ar s A1B1, B1A2, A2B2 et B2A1 sont les lignes de ourant dé rivant la surfa e libre, e sont don des lignes le long desquelles la vitesse est onstanteet égale à U . On désigne par h1, h2, k1 et k2 les largeurs à l'inni des jets A1, A2, B1 et B2(respe tivement) et α1, α2, β1 et β2 leur dire tion par rapport à l'axe x (on notera que le hoixde et axe entraîne α1 = 0).A.1.1 Bilans intégrauxUn bilan des ux de masse sur le volume de ontrle A1B1A2B2 permet d'obtenir une premièrerelation entre les épaisseurs des jets :h1 + h2 = k1 + k2 (A.1)De la même manière un bilan des ux de quantité de mouvement en proje tion sur les deuxaxes fournit deux nouvelles relations sur les dire tions des jets :

h1 + h2 cos(α2) = k1 cos(β1) + k2 cos(β2)

h2 sin(α2) = k1 sin(β1) + k2 sin(β2)(A.2)

162 Solution analytique de l'é oulement d'un jet plan impa tant une paroi plane

Fig. A.1: Deux jets plan s'impa tant. Conventions d'é riture.Cal ul du potentiel omplexeOn rappelle la dénition du potentiel omplexe w = Φ + iΨ où Φ est le potentiel de vitesse etΨ la fon tion de ourant. i est le nombre omplexe imaginaire pur tel que i2 = −1.La vitesse omplexe est par ailleurs lassiquement dénie par :

υ = qe−iθ = u − iv (A.3)où u et v sont les omposantes du ve teur vitesse V le long des axes x et y. Le module de la vitesseétant égal à U le long des lignes de ourant de la surfa e libre, on peut é rire pour es lignes de ourant :υ = Ue−iθ (A.4)On peut ainsi pla er les axes a1, a2, b1 et b2 représentant respe tivement les points A1, A2, B1et B2 dans le plan de l'hodographe représentant υ (voir la gure A.2).En es points le ux de masse est donné respe tivement par h1U , h2U , k1U et k2U , e quipermet de dénir la fon tion de ourant sur ha un des ar s :

Ψ = 0 sur l'ar a1b2 pris omme référen eΨ = h1U sur l'ar a1b1

Ψ = (k2 − h2)U sur l'ar b1a2

Ψ = k2U sur l'ar a2b2

(A.5)En remarquant que Ψ est la partie réelle de −iw on peut appliquer la formule de S hwarz et

A.1 Impa t de deux jets 163b

b

b

b

β2

β1

α2

a1

a2

b1

b2

u

−v

Fig. A.2: Plan de l'hodographe de la fon tion υ.é rire :−iw =

1

2π

∫ 2π

0Ψ(θ)

Ueiθ + υ

Ueiθ − υdθ (A.6)soit ave (A.5)

−2πiw =

∫ β1

0h1U

Ueiθ + υ

Ueiθ − υdθ +

∫ α2

β1

(k2 − h2)UUeiθ + υ

Ueiθ − υdθ +

∫ β2

α2

k2UUeiθ + υ

Ueiθ − υdθ (A.7)Après intégration on obtient l'expression du potentiel omplexe en fon tion de la vitesse om-plexe :

w = −U

π

[

h1ln

(

1 − υ

a1

)

+ h2ln

(

1 − υ

a2

)

− k1ln

(

1 − υ

b1

)

− k2ln

(

1 − υ

b2

)] (A.8)où a1 = U , a2 = Ueiα2 , b1 = Ueiβ1 et b2 = Ueiβ2 sont les axes des points A1, A2, B1 et B2.Une relation liant l'axe z à la vitesse omplexe υ peut alors être onstruite à partir de (A.8)en utilisant le fait que :υ = −dw

dz(A.9)soit

dz = −1

υdw = −1

υ

dw

dυdυ (A.10)et on obtient nalement :

z =U

π

[h1

a1ln

(

1 − υ

a1

)

+h2

a2ln

(

1 − υ

a2

)

− k1

b1ln

(

1 − υ

b1

)

− k2

b2ln

(

1 − υ

b2

)

+

] (A.11)A.1.2 Équations des lignes de ourant dé rivant la surfa e libreEn substituant υ = Ue−iθ dans l'expression (A.11) pour les lignes de ourant dé rivant lesurfa e libre, on obtient l'équation de la surfa e libre :πz =h1ln

(

sinθ

2

)

+ h2e−iα2 ln

(

sinθ + α2

2

)

− k1e−iβ1 ln

(

sinθ + β1

2

)

− k2e−iβ2 ln

(

sinθ + β2

2

)

+i

2

(

−h2α2e−iα2 + k1β1e

−iβ1 + k2β2e−iβ2

) (A.12)

164 Solution analytique de l'é oulement d'un jet plan impa tant une paroi planeA.2 Impa t d'un jet sur une plaque planeLes résultats pré édents peuvent être mis à prot pour étudier le as d'un jet plan impa tantune plaque plane en remarquant que e ette onguration est dé rite soit par l'impa t dire tde deux jets, omme le montre la gure A.3, soit par l'impa t oblique de deux jets identiques.La solution est alors symmétrique (par rapport à l'axe (O,x) dans la gure A.3) et le plan desymmétrie, à travers lequel le ux de masse est nul, représente la plaque plane.

Fig. A.3: Impa t dire t de deux jets.Forme de la surfa e libreOn peut immédiatement é rire que k1 = k2 = k, α2 = π, et β2 = 2π − β1. Les relations (A.1)et (A.2) permettent de déduire dire tement l'expression des hauteurs d'eau des jets en sortie deplaque ; elles sont données par :h1 = k(1 + cos β1)

h2 = k(1 − cos β1)(A.13)L'expression des lignes de ourant dé rivant la surfa e libre peut nalement être obtenue, pour

0 < θ < π et 0 < β1 < π/2 en isolant les parties réelle et imaginaire de la relation (A.12).Pour 0 < θ < β1 (bran he de droite sur la gure A.3) :z =

k

π

[

(β1 − π) sin β1 + ln(tanθ

2)

+ cos β1

[

ln

(sinθ

2

)

− ln

(

sinθ + β1

2

)

− ln

(

sinβ1 − θ

2

)]]

+ ik

π

[π

2(1 + cosβ1) + sinβ1

[

ln

(

sinθ + β1

2

)

− ln

(

sinβ1 − θ

2

)]]

(A.14)

A.2 Impa t d'un jet sur une plaque plane 165Pour β1 < θ < π (bran he de gau he sur la gure A.3) :z =

k

π

[

β1 sin β1 + ln(tanθ

2)

+ cos β1

[

ln

(sinθ

2

)

− ln

(

sinθ + β1

2

)

− ln

(

sinθ − β1

2

)]]

+ ik

π

[π

2(1 − cosβ1) + sinβ1

[

ln

(

sinθ + β1

2

)

− ln

(

sinθ − β1

2

)]]

(A.15)

166 Solution analytique de l'é oulement d'un jet plan impa tant une paroi plane

Bibliographie[1 S. Aubert. Étude de s hémas haute pré ision pour la simulation d'é oulements transsoniquesinstationnaires ou visqueux. Appli ation aux turboma hines. PhD thesis, É ole Centrale deLyon, 1993.[2 T. Belyts hko, Y. Krongauz, J. Dolbow, and C. Gerla h. On the ompleteness of meshfreeparti le methods. Int. J. Numer. Me h. Engng., 43 :785819, 1998.[3 B. Ben Moussa. On the onvergen e of SPH method for s alar onservation laws with boun-dary onditions. Methods Appl. Anal., 13 :2962, 2006.[4 J. Bonet and T.-S. L. Lok. Variational and momentum preservation aspe ts of smooth par-ti le hydrodynami formulations. Computer Methods in applied me hani s and engineering,180 :97115, 1999.[5 J. Bonet and T.S.L. Lok. Variational and momentum preservation aspe ts of smooth parti lehydrodynami s formulations. Comput. Methods Appl. Me h. Engrg, 180 :97115, 1999.[6 C. Buvat and D. Violeau. Sph turbulent simulation of a boom and oil spill under a steady anal and regular waves. In 1st international SPHERIC workshop, Roma,Italy, 2006.[7 A. Colagrossi and M. Landrini. Numeri al simulation of interfa ial ows by Smoothed Parti leHydrodynami s. J. Comp. Phys., 191 :448475, 2003.[8 B. Despres. Lagrangian systems of onservation laws. Numer. Math., 89 :99134, 2001.[9 B. Despres and C. Mazeran. Lagrangian Gas Dynami s in Two Dimensions and Lagrangiansystems. Ar h. Rational. Me h. Anal., 178 :327372, 2005.[10 G A Dilts. Moving least-squares parti le hydrodynami s i : onsisten y and stability. Inter-national Journal for Numeri al Methods in Engineering, 44(8) :11151155, 1999.[11 G A Dilts. Moving least-squares parti le hydrodynami s ii : onservation and boundaries.International Journal for Numeri al Methods in Engineering, 48(10) :15031524, 2000.[12 M. Doring. Développement d'une méthode SPH pour les appli ations á surfa e libre en hy-drodynamique. PhD thesis, É ole Centrale de Nantes, 2006.[13 F. Dubois. Partial riemann problem, boundary onditions, and gas dynami s. In Absor-bing Boundaries and Layers, Domain de omposition methods : Appli ations to large s ale omputations, pages 1677, NY, 2001. Nova S ien e Publishers, In .[14 J.M. Favre, H. Gar in, and E. Parkinson. Computational analysis in pelton hydrauli tur-bines. In 23rd CAD FEM users' meeting, Bonn, Germany, 2005.[15 Oger G. Aspe ts théoriques de la méthode SPH et appli ations à l'hydrodynamique à surfa elibre. PhD thesis, É ole Centrale de Nantes, 2006.[16 R. A. Gingold and J. J. Monaghan. Smoothed parti le hydrodynami : theory and appli ationto non-spheri al stars. Monthly Noti es of the Royal Astronomi al So iety, 181 :375389, 1977.

168 BIBLIOGRAPHIE[17 S.K. Godunov. A nite dieren e method for the numeri al omputation of dis ontinuoussolution of hydrodynami equations. Math. Sbornik, 47 :271306 (in Russian), 1959.[18 S.K. Godunov. Reminis en es about Dieren e S hemes. J. Comp. Phys., 153 :625, 1999.[19 Liu G.R. and Liu M.B. Smoothed Parti le Hydrodynami s - a meshfree parti le method. WorldS ienti Publishing Co. Pte. Ltd, 2003.[20 P.M. Guil her, G.and Alessandrini Du rozet, B., and P. Ferrant. Water wave propagationusing sph models. In 2nd International SPHERIC Workshop, Madrid, Spain, 2007.[21 H. Guillard and A. Murrone. On the behaviour of upwind s hemes in the low ma h numberlimit : Ii. godunov type s hemes. Computers and Fluids, 33 :655675, 2004.[22 L. Hernquist and N. Katz. Treesph : a uni ation of sph with the hierar hi al tree method.The astrophysi al journal supplement series, 70 :419446, June 1989.[23 D. Hietel, K. Steiner, and J. Stru kmeier. A nite volume parti le method for ompressibleows. Math. Models Methods Appl. S i., 10 :13631382, 2000.[24 C. Hirs h. Numeri al Computation of Internal and External Flows, volume 1. John Wileyand Sons, 1988.[25 C. Hirs h. Numeri al Computation of Internal and External Flows, volume 2. John Wileyand Sons, 1988.[26 W.H. Hui and S. Kudriakov. A Unied Coordinate system for Solving the Three DimensionalEuler Equations. Journal of Computational Physi s, 172 :235260, 2001.[27 W.H. Hui, P.Y. Li, and Z.W. Li. A Unied Coordinate system for Solving the Two Dimen-sional Euler Equations. Journal of Computational Physi s, 153 :596637, 1999.[28 Reza Issa. Numeri al assessment of the smoothed parti le hydrodynami s gridless method forin ompressible ows and its extension to turbulent ows. PhD thesis, University of Man hesterInstitute of S ien e and Te hnology, Man hester, UK, 2005.[29 M.J. Ivings, D.M. Causon, and E.F. Toro. On riemann solvers for ompressible liquids. Int.J. Numer. Meth. Fluids, 28 :395418, 1998.[30 G.R. Johnson and S.R. Beissel. Normalized smoothing fun tions for impa t omputations.Int. J. Num. Methods. Engrg, 39 :27252741, 1996.[31 A. Korobkin. Global hara teristi s of jet impa t. J. Fluid. Me h, 307 :6384, 1996.[32 S. Kvi insky. Étude des é oulements tridimensionnels instationnaires à surfa e libre : appli- ation aux turbines Pelton. PhD thesis, É ole Polyte hnique Fédérale de Lausanne, 2001.[33 S. Kvi insky, J.L. Kueny, F. Avellan, and E. Parkinson. Experimental and numeri al analysisof free surfa e ows in a rotating bu ket. In 21st IAHR Symposium on Hydrauli Ma hineryand Systems, pages 483490, Lausanne, Switzerland, September 2002.[34 D. Le Touzé, A. Colagrossi, and G. Coli hio. Ghost te hnique for squared angles applied tothe solution of ben hmarks 1 and 2. In 1st international SPHERIC workshop, Roma, Italy,2006.[35 E.S. Lee. Test ase 3 : Lid-driven avity ow. In 1st international SPHERIC workshop, Roma,Italy, 2006.[36 E.S. Lee, D. Violeau, D. Lauren e, P. Stansby, and C. Mouline . In ompressible ow around amoving square inside a re tangular box. In 2nd International SPHERIC Workshop, Madrid,Spain, 2007.

BIBLIOGRAPHIE 169[37 W. K. Liu, S. Jun, and Y. F. Zhang. Reprodu ing kernel parti le methods. InternationalJournal for Numeri al Methods in Fluids, 20 :10811106, 1995.[38 Leon B. Lu y. A numeri al approa h to testing the ssion hypothesis. The Astronomi alJournal, 82(12) :10131924, 1977.[39 J.C. Marongiu, F. Leboeuf, J.M. Favre, and E. Parkinson. Numeri al simulation of the ow ina pelton turbine using the meshless method sph. In HYDRO 2006 Conferen e, Porto Carras,Gree e, 2006.[40 J.C. Marongiu, F. Leboeuf, and E. Parkinson. A new treatment of solid boundaries for thesph method. In 2nd International SPHERIC Workshop, Madrid, Spain, 2007.[41 J.C. Marongiu, F. Leboeuf, and E. Parkinson. Numeri al simulation of the ow in a peltonturbine using the meshless method smoothed parti le hydrodynami s : a new simple solidboundary treatment. In Pro . IMe hE Part A : J. Power and Energy, pages 849856, 2007.[42 J.C. Marongiu and P. Maruzewski. Simulation of lagrangean parti les adapted to hydrauli surfa es. In 3rd International Workshop Meshfree Methods, Bonn, Germany, 2005.[43 J.C. Marongiu and E. Parkinson. Sph modelling of the ow in a pelton turbine. In 1stInternational SPHERIC Workshop, Roma, Italy, 2006.[44 L.M. Milne-Thomson. Theoreti al Hydrodynami s, volume Fifth Edition. The Ma MillanPress Ltd., 1968.[45 D. Molteni, A. Colagrossi, and G. Coli hio. On the use of an alternative water state equationin sph. In 2nd International SPHERIC Workshop, Madrid, Spain, 2007.[46 J. J. Monaghan. On the problem of penetration in parti le methods. J. Comp. Phys., 82 :115,1989.[47 J. J. Monaghan. Smoothed parti le hydrodynami s. Annual review of Astronomy and Astro-physi s, 30 :543574, 1992.[48 J. J. Monaghan. Simulating gravity urrents with SPH I Lo k gates. Mathemati s Reportsand Preprints, 95/5, 1995.[49 J. J. Monaghan. Simulating gravity urrents with SPH III Boundary for es. Mathemati sReports and Preprints, 1995.[50 J. J. Monaghan and J.C. Lattanzio. A rened method for astrophysi al problems. Astronomyand Astrophysi s, 149 :135143, 1985.[51 J. J. Monaghan and H. Pongra i . Arti ial vis osity for parti le methods. Applied Numeri alMathemati s, 1 :187194, 1985.[52 J. J. Monaghan, M C Thompson, and K Hourigan. Simulation of free surfa e ows withsph. In ASME Symposium on Computational Methods in Fluid Dynami s, Lake Tahoe, USA,1994.[53 J. P. Morris and J. J. Monaghan. A Swit h to Redu e SPH Vis osity. J. Comp. Phys.,136 :4150, 1997.[54 Joseph P. Morris, Patri k J. Fox, and Yi Zhu. Modeling low reynolds number in ompressibleows using sph. Journal of Computational Physi s, 136 :214226, 1997.[55 C. Mouline , R. Issa, J.C. Marongiu, and D. Violeau. Parallel 3D sph simulations. To bepublished in Computer Modeling in Engineering and S ien es, 2007.[56 B. Ben Moussa and J. P. Vila. Convergen e of sph method for s alar nonlinear onservationlaws. SIAM Journal on Numeri al Analysis, 37(3) :863887, 2000.

170 BIBLIOGRAPHIE[57 A. Perrig. Hydrodynami s of the free surfa e ow in Pelton turbine bu kets. PhD thesis,É ole Polyte hnique Fédérale de Lausanne, 2007.[58 A. Perrig, F. Avellan, J.L. Kueny, M. Fahrat, and E. Parkinson. Flow in a pelton turbinebu ket : numeri al and experimental investigations. Journal of Fluids Engineering, 128 :350358, Mar h 2006.[59 P.W. Randles and L.D. Libersky. Smoothed parti le hydrodynami s : some re ent improve-ments and appli ations. Comput. Methods Appl. Me h. Engrg, 139 :375408, 1996.[60 S.J. S hmidt, I.H. Sezal, and G.H. S hnerr. Compressible simulation of high speed hydro-dynami s with phase hange. In European Conferen e on Computational Fluid Dynami sECCOMAS CFD 2006, 2006.[61 D. Shepard. A two dimensional fun tion for irregularly spa ed data. In ACM National Conf.,1968.[62 R. Speith and H. Riert. The vis ous gas ring as an astrophysi al test problem for a vis ousSPH- ode. J. Computational and Applied Mathemati s, 109 :231242, 1999.[63 J.W. Swegle, D.L. Hi ks, and S.W. Attaway. Smoothed parti le hydrodynami s stabilityanalysis. Journal of Computational Physi s, 116 :123134, 1995.[64 P. Tait. Report on some of the physi al properties of fresh water and sea water. Physi alChemistry, 2, 1888.[65 E.F. Toro. The weighted average ux method applied to the euler equations. Phil. Trans. R.So . Lond. A., 341 :499530, 1992.[66 E.F. Toro and V.A. Titarev. Derivative riemann solvers for systems of onservation laws andADER methods. J. Comp. Phys., 212 :150165, 2006.[67 J.C. Uribe and D. Lauren e. 10th er ofta /IAHR Workshop on Rened Turbulen e Model-ling. In 10th joint ERCOFTAC (SIG-15)/IAHR/QNET-CFD Workshop on Rened Turbu-len e Modelling, 2000.[68 B. Van Leer. Towards the ultimate onservative dieren e s heme v. a se ond-order sequelto godunov's method. J. Comp. Phys., 32 :101136, 1979.[69 J.P. Vila. Méthodes parti ulaires régularisées. développements ré ents et nouvelles appli a-tions. In ESAIM Pro eedings, A tes du 29ème ongrès d'analyse numérique : CA NUM'97,volume 3, pages 131146, 1998.[70 J.P. Vila. On parti le weighted methods and Smoothed Parti le Hydrodynami s. Mathema-ti al models and Methods in Applied S ien es, 9 :161209, 1999.[71 D. Violeau. One and two-equations turbulent losures for smoothed parti le hydrodynami s.In Liong, Phoon, and Babovi , editors, 6th International Conferen e on Hydroinformati s,Singapore, 2004. World S ienti Publishing Company.[72 D. Violeau, S. Pi on, and J.P. Chabard. Two attempts of turbulen e modelling in smoothedparti le hydrodynami s. In advan es in Fluid Modelling and Turbulen e Measurements. WorldS ienti , 2002.[73 B. Zoppé. Simulation numérique et analyse de l'é oulement dans les augets des turbinesPelton. PhD thesis, Institut National Polyte hnique de Grenoble, 2004.