Mais comment on fait pour -...

Mais comment on fait pour ...

Toutes les méthodes fondamentales en Maths Term.S

Édition Salutπaths

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Table des matières1) GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS ...............................................................................13

1.Comment déterminer l'ensemble de définition d'une fonction ?.....................................132.Comment montrer qu'une fonction f est paire ?..............................................................143.Comment montrer qu'une fonction f est impaire ?..........................................................154.Comment étudier la parité d'une fonction f ?..................................................................155.Comment montrer qu'une fonction f est périodique de période p ?................................166.Comment interpréter graphiquement la parité d'une fonction f ?....................................167.Comment interpréter graphiquement la périodicité d'une fonction f ?............................178.Comment montrer qu'un point A(a;b) est centre de symétrie de la courbe représentative d'une fonction f ?.....................................................................................189.Comment montrer qu'une droite d'équation x=a est axe de symétrie de la courbe représentative d'une fonction f ? ...................................................................................1910.Comment interpréter l'égalité f(x)+f(-x)=c ?.................................................................2011.Comment déterminer les coordonnées du ou des points d'intersection de Cf et Cg ?....2012.Comment déterminer les coordonnées du ou des points d'intersection de Cf et de l'axe des abscisses ?......................................................................................................2113.Comment déterminer les coordonnées du point d'intersection de Cf et de l'axe des ordonnées ?.............................................................................................................21

2) LIMITES ET ASYMPTOTES...................................................................................................231.Comment retenir les limites des fonctions de référence ?...............................................232.Comment lire graphiquement lim

xaf x ?......................................................................23

3.Comment calculer une limite limxa

f x ?.......................................................................244.Comment interpréter graphiquement une limite ? ..........................................................345.Comment montrer que la courbe représentative d'une fonction f admet une asymptote verticale ? .....................................................................................................356.Comment montrer que la courbe représentative d'une fonction f admet une asymptote horizontale ?..................................................................................................367.Comment montrer que la courbe représentative d'une fonction f admet une asymptote oblique ?........................................................................................................368.Comment étudier la position relative de Cf et d'une droite (D) qui lui est asymptote ?. .37

3) CONTINUITÉ...........................................................................................................................391.Comment montrer qu'une fonction f est continue ou non en a∈ℝ ?................................392.Comment montrer qu'une fonction est continue sur un intervalle ?................................403.Comment montrer que l'équation f(x)=k admet au moins une solution sur un intervalle [a;b] ?..............................................................................................................414.Comment montrer que l'équation f(x)=k admet une unique solution sur un intervalle [a;b] ?..............................................................................................................425.Comment déterminer une valeur approchée ou un encadrement de la solution ? .......436.Comment déduire le signe d'une fonction g sur un intervalle I après avoir montré que l'équation g(x)=0 y admettait une unique solution ? .............................................437.Comment montrer que g x0 ou g x0 sur I=[ ;+∞[, où est l'unique solution de l'équation g(x)=0 sur un intervalle J contenant I ?........................................46

4) DÉRIVATION...........................................................................................................................471.Comment montrer qu'une fonction f est dérivable en a∈ℝ ?...........................................472.Comment étudier la dérivabilité d'une fonction f en a∈ℝ ? ...........................................483.Comment étudier la dérivabilité d'une fonction f sur un intervalle I donné ? ................49

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4.Comment interpréter graphiquement le résultat suivant : limxa

f a h − f ah =∞

ou quelle conséquence graphique ce résultat a-t-il pour Cf ?.........................................50

5.Comment interpréter graphiquement les résultats suivants : limxa

f a h − f ah =

réel et limxa

f a h − f ah = réel, avec ≠ ou quelle conséquence graphique

ces résultats ont-ils pour Cf ?.........................................................................................506.Comment calculer f '(a) ?................................................................................................507.Comment interpréter graphiquement f '(a) ?...................................................................518.Comment déterminer graphiquement f '(a) ?..................................................................519.Comment justifier que f est dérivable sur un intervalle I avant de calculer f '(x) ?.........5210.Comment calculer f '(x) ?..............................................................................................5211.Comment calculer une dérivée seconde ? ....................................................................5612.Comment étudier le signe d'une dérivée ou, plus généralement, comment étudier le signe d'une fonction ?...................................................................................................5613.Comment déterminer le sens de variation d'une fonction f sur un intervalle I ?...........6414.Comment montrer qu'une fonction f est encadrée par deux autres sur un intervalle I donné (c'est-à-dire g x f xhx sur I) ?...........................................................6715.Comment montrer qu'une fonction f est constante sur un intervalle I ?........................6816.Comment déterminer une équation de la tangente à Cf au point d'abscisse a ? ............6817.Comment montrer qu'il existe une ou des tangentes à Cf passant par un point A xA ; y A du plan ? .....................................................................................................6918.Comment montrer qu'il existe une ou des droites tangentes à Cf parallèles à une droite (D) donnée d'équation y=mx+p ?.......................................................................7019.Comment étudier la position de Cf par rapport à une tangente T d'équation y=mx+p ?7120.Comment calculer la dérivée d'une fonction définie à l'aide de la valeur absolue ?......72

5) FONCTIONS EXPONENTIELLES.........................................................................................73

1.Comment faire des calculs avec les exponentielles ? .....................................................732.Comment résoudre une équation exponentielle ? ..........................................................733.Comment résoudre une inéquation exponentielle ?........................................................754.Comment montrer une égalité de quotients contenant des exponentielles ?...................765.Comment calculer des dérivées de fonctions contenant des exponentielles ?.................766.Comment étudier le signe de fonctions dérivées contenant des exponentielles ?...........777.Comment calculer les limites de fonction contenant des exponentielles ?......................798.Comment étudier la fonction exponentielle de base a: a x ?.........................................81

6) ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.........................................................................................831.Comment montrer qu'une fonction donnée f est solution d'une équation différentielle ? ................................................................................................................832.Comment déterminer un ou des réels pour qu'une fonction soit solution d'une équation différentielle ?..................................................................................................843.Comment résoudre une équation différentielle ?............................................................854.Comment déterminer LA solution d'une équation différentielle qui vérifie une condition donnée ? .........................................................................................................865.Comment traiter les questions du type "Démontrer que ... est solution de (E) si, et seulement si, … est solution de (G)" ? Et comment déduire ensuite les solutions de l'équation (E) ?................................................................................................................86

7) FONCTIONS LOGARITHMES...............................................................................................891.Comment faire des calculs avec les logarithmes ? .........................................................892.Comment résoudre des équations logarithmiques ? .......................................................903.Comment résoudre des inéquations logarithmiques ? ....................................................924.Comment calculer des limites de fonctions contenant ln ?.............................................94


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5.Comment calculer les dérivées de fonctions contenant ln ? ...........................................976.Comment étudier le signe de ln(X) ? .............................................................................987.Comment calculer avec loga x ?................................................................................100

8) PRIMITIVES..........................................................................................................................1011.Comment montrer qu'une fonction f est une primitive d'une autre fonction g sur un intervalle I ?..................................................................................................................1012.Comment montrer qu'une fonction f admet une primitive sur I ?.................................1023.Comment déterminer une primitive d'une fonction f ?..................................................1024.Comment déterminer LES primitives d'une fonction f ?...............................................1105.Comment déterminer LA primitive d'une fonction f, vérifiant une condition donnée ? 111

6.Comment calculer la dérivée de la fonction F : x ∫a

x

f td t , définie sur un

intervalle I tel que a I ?∈ ................................................................................................113

9) INTÉGRATION......................................................................................................................115

1.Comment calculer l'intégrale ∫a

b

f x d x ?...................................................................115

2.Comment calculer ∫a

b

f x d x à l'aide d'une intégration par partie ? ..........................119

3.Comment étudier le signe de l'intégrale ∫a

b

f x d x ? ..................................................123

4.Comment déterminer un encadrement de l'intégrale ∫a

b

f x d x ? ..............................124

5.Comment traiter les exercices où interviennent intégrales et suites ?...........................1276.Comment calculer la valeur moyenne d'une fonction f sur un intervalle [a;b] ?...........1307.Comment calculer l'aire a du domaine du plan délimité par Cf , l'axe des abscisses et les droites d'équation x= et x= ? .........................................................................131

8.Comment interpréter graphiquement l' intégrale ∫a

b

f x d x ? ....................................133

9.Comment interpréter graphiquement l'intégrale ∫a

b

f x−g x d x ?.........................133

10.Comment donner la valeur d'une aire en cm2 , m2 … ?...............................................13311.Comment calculer l'aire a de la surface entre deux courbes, délimitée par les droites d'équations x=a et x=b ? ................................................................................13412.Comment calculer le volume engendré par la rotation de la portion de Cf sur l'intervalle [a;b] autour de l'axe des abscisses ? .........................................................13513.Comment, dans un repère orthonormé de l'espace, calculer le volume V du solide S engendré par S(z) où z∈[a;b] et S(z) l'intersection de S et du plan d'équation z=t ? . .137

10) SUITES ARITHMÉTIQUES ET GÉOMÉTRIQUES...........................................................1391.Comment montrer qu'une suite un est arithmétique ?.................................................1392.Comment montrer qu'une suite un est géométrique ?................................................1403.Comment exprimer un en fonction de n ou, plus généralement, comment exprimer un terme d'une suite en fonction d'un autre ?.................................................1424.Comment compter le nombre de termes dans une somme de termes consécutifs d'une suite ?...................................................................................................................1445.Comment calculer une somme de termes d'une suite arithmétique ?............................1446.Comment calculer une somme de termes d'une suite géométrique ?............................1457.Comment traiter les exercices sur les pourcentages successifs (capital, intérêt composé, évolution de population...) ?.........................................................................145


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11) GÉNÉRALITÉS SUR LES SUITES.....................................................................................1471.Comment démontrer par récurrence qu'une proposition est vraie ?..............................1472.Comment déterminer le sens de variation d'une suite ? ..............................................1493.Comment calculer la limite d'une suite ?......................................................................1554.Comment montrer qu'une suite est majorée, minorée ou bornée ?................................1595.Comment montrer qu'une suite un converge ou comment étudier la convergence d'une suite ?...................................................................................................................1626.Comment représenter les termes d'une suite de la forme un 1 = f un sur l'axe des abscisses ?.....................................................................................................................1647.Comment montrer que deux suites un et v n sont adjacentes ?................................1658.Comment montrer qu'une suite un est constante ? .....................................................1669.Comment déterminer lim

n ∞un lorsque un est définie par un 1 = f un ?..............168

10. Comment comprendre et utiliser la notation ∑k = 0

n

f k ? ..........................................168

12) LES NOMBRES COMPLEXES...........................................................................................1711.Comment placer dans un repère un point dont on connaît l'affixe ?.............................1712.Comment faire des calculs avec les nombres complexes ?...........................................1713.Comment résoudre une équation complexe contenant un ou deux quotients ?.............1724.Comment résoudre une équation complexe contenant z et z ? .................................1725.Comment résoudre une équation complexe du second degré à coefficients réels ?......1736.Comment mettre un nombre complexe donné comme quotient sous forme algébrique ? ..................................................................................................................1747.Comment déterminer graphiquement le module d'un nombre complexe zM ?.............1748.Comment lire graphiquement un argument d'un nombre complexe zM ?.....................1759.Comment calculer le module d'un complexe donné sous la forme z=a+ib ?................17610.Comment calculer un argument d'un complexe donné sous la forme z=a+ib ?.........17611.Comment calculer le module d'un complexe donné sous la forme z = R ei ?...........17812.Comment calculer un argument d'un complexe donné sous la forme z = R ei , avec R ?∈ℂ ..................................................................................................................17913.Comment passer de la forme algébrique d'un complexe ( z = a ib ) à sa forme trigonométrique (ou exponentielle) ?..........................................................................17914.Comment passer de la forme trigonométrique z = r cos isin (ou exponentielle z = r e i ) à la forme algébrique z = a ib ?.......................................18015.Comment déterminer l'ensemble des points M(z) tels que ∣z − z '∣= k ou plus généralement ∣∣=∣∣ ?............................................................................................18116.Comment déterminer l'ensemble des points M(z) tels que arg z − z A = ? ..........18217.Comment calculer l'affixe de l'image M'(z') d'un point M(z) par la translation de vecteur ub ?............................................................................................................18318.Comment calculer l'affixe de l'image M'(z') d'un point M(z) par l'homothétie de centre C(c) et de rapport k ?...................................................................................18319.Comment calculer l'affixe de l'image d'un point par la rotation de centre C(c) et d'angle ? ..................................................................................................................18320.Comment montrer qu'une transformation donnée est une homothétie ? ....................18421.Comment montrer qu'une transformation donnée est une rotation ? ..........................18522.Comment déterminer la mesure d'un angle orienté AM ;BN ? .............................18523.Comment calculer la distance AB ?............................................................................18524.Comment calculer l'affixe zMN d'un vecteur MN ?.................................................18625.Comment calculer l'affixe z I du milieu I d'un segment [AB] ?.................................18626.Comment calculer l'affixe zG du barycentre G de 3 points (M,m), (N,n) et (P,p) ?..18727.Comment montrer qu'un point M(z) appartient à un cercle c de centre Az A et de rayon r ?.................................................................................................................18728.Comment déterminer l'ensemble des points M(z) tels qu'un complexe Z donné en fonction de z soit un réel ? .........................................................................................188


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29.Comment déterminer l'ensemble des points M tels qu'un complexe Z donné en fonction de z soit un imaginaire pur ?.........................................................................189

30.Comment interpréter géométriquement ∣z A − z B

z C − zD∣ ? ∣z A − z B

z C − zD∣=1 ? ∣z A − z B

z C − zD∣=k ?.. . .191

31.Comment interpréter géométriquement arg z A − zB

zC − z D ? arg z A − zB

zC − z D=0[2] ?

arg z A − zB

zC − z D=

2 [2] ?............................................................................................192

32.Comment déterminer le ou les points invariants d'une application f donnée ?..........19233.Comment calculer l'image d'un point A d'affixe z A par une application f ?............19334.Comment montrer que 3 points A, B et C sont alignés ?............................................19335.Comment montrer qu'un triangle EFG est isocèle en F ?............................................19436.Comment montrer qu'un triangle MNP est équilatéral ?.............................................19437.Comment montrer qu'un triangle IJK est rectangle en J ?...........................................19538.Comment montrer que deux vecteurs u z et v z ' sont colinéaires ?.....................19539.Comment montrer que deux vecteurs u z et v z ' sont orthogonaux ?..................19540.Comment montrer qu'un quadrilatère DEFG est un parallélogramme ? ...................19641.Comment montrer qu'un quadrilatère DEFG est un losange ?....................................19642.Comment montrer qu'un quadrilatère DEFG est un carré ?........................................19643.Comment déterminer l'image d'un cercle c( ;r) par une application donnée ? .........196

13) PRODUIT SCALAIRE DANS L'ESPACE...........................................................................1971.Comment calculer le produit scalaire de deux vecteurs ?.............................................1972.Comment montrer que deux vecteurs sont orthogonaux ? ...........................................2003.Comment déterminer une équation cartésienne d'un plan p ?......................................2034.Comment montrer qu'un point A xA ; y A ; z A appartient à un plan p d'équation ax+by+cz+d=0 ?..........................................................................................2045.Comment obtenir un point d'un plan p d'équation connue ?........................................2056.Comment déterminer un vecteur normal à un plan p d'équation ax+by+cz+d=0 ?......2057.Comment vérifier si trois points A, B et C définissent un plan ?..................................2068.Comment déterminer un vecteur normal au plan (ABC) défini par les points A, B et C ? ...................................................................................................................2079.Comment calculer la distance AB dans un repère orthonormal ?..................................20810.Comment calculer la distance entre un point A et un plan p dans un repère orthonormal ? .............................................................................................................20811.Comment déterminer une équation d'une sphère s de centre (;;) et de rayon r ?......................................................................................................................20912.Comment déterminer une équation d'une sphère de diamètre [AB], les coordonnées des points A et B étant connues ?...........................................................21013.Comment montrer qu'un vecteur u est normal à un plan p ?.....................................21114.Comment montrer que 4 points A, B, C, D sont coplanaires ? ...................................21115.Comment montrer qu'un point D appartient à un plan p ? ........................................21216.Comment montrer que deux plans sont parallèles ?....................................................21217.Comment montrer que deux plans sont perpendiculaires ?.........................................21318.Comment déterminer l'intersection de deux plans dont on connaît des équations ? ...21319.Comment déterminer l'intersection de 3 plans dont on connaît des équations ? ........21520.Comment déterminer l'intersection d'un plan p et d'une sphère s ou comment vérifier si un plan p et une sphère s de centre C et de rayon r sont sécants ?...........21921.Comment lire les coordonnées d'un point dans l'espace ? ..........................................21922.Comment montrer qu'un point A appartient au plan médiateur d'un segment [B;C] ? 22023.Comment faire la différence entre "orthogonal" et "perpendiculaire" ?......................22024.Comment déterminer l'ensemble des points M du plan tels que ||...||=... ou ||...||=||...|| ? ..................................................................................................................22125.Comment montrer qu'un point M est barycentre des points N, P et Q ?.....................223


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26.Comment calculer les coordonnées d'un barycentre G de (A;a), (B;b) et (C;c) ?.......223

14) DROITES ET PLANS DE L'ESPACE..................................................................................2251.Comment déterminer une représentation paramétrique d'une droite dans l'espace ? . . .2252.Comment déterminer un vecteur directeur d'une droite de représentation paramétrique connue ? .................................................................................................2273.Comment trouver un point d'une droite dont on connaît une représentation paramétrique ? ..............................................................................................................2284.Comment déterminer l'intersection d'une droite et d'un plan à partir de leurs équations ?....................................................................................................................2285.Comment montrer qu'une droite est parallèle à un plan ? ............................................2306.Comment montrer qu'une droite d est perpendiculaire à un plan ? ..............................2307.Comment déterminer l'intersection de deux droites ?...................................................2318.Comment montrer qu'un point A appartient à une droite d dont on connaît une représentation paramétrique ?.......................................................................................2339.Comment montrer que deux droites sont parallèles dans l'espace ?..............................23410.Comment montrer que deux droites sont orthogonales dans l'espace ? .....................234

15) DÉNOMBREMENT ............................................................................................................2351.Comment calculer des probabilités quand tous les événements élémentaires ont la même probabilité (événements élémentaires équiprobables) ?....................................2352.Comment calculer le nombre d'anagrammes que l'on peut former avec un mot donné ? .........................................................................................................................2353.Comment calculer le nombre de numéros de téléphones (ou de codes...) à p chiffres que l'on peut former avec n chiffres ? (Répétition + ordre)..........................................2364.Comment calculer le nombre de choix possibles en prenant p éléments distincts parmi n et en tenant compte de l'ordre ? (Pas de répétition + ordre).............................2375.Comment calculer le nombre de choix possibles en prenant p éléments distincts parmi n et en ne tenant pas compte de l'ordre ? (Pas de répétition + pas d'ordre).........2376.Comment calculer le nombre de possibilités dans le cas où l'on a plusieurs combinaisons reliées entre elles (mélange de boules rouges, noirs, blanches... Les mains d'un jeu de cartes...) ? ..................................................................................2387.Comment faire des calculs en présence de factorielles ?..............................................2408.Comment calculer a bn et a − bn ?......................................................................2409.Comment déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire X ?........................24210.Comment calculer l'espérance E(X) d'une variable aléatoire X ?...............................24211.Comment calculer la variance V(X) et l'écart type d'une variable aléatoire X ?......243

16) PROBABILITÉ CONDITIONNELLE ...............................................................................2451.Comment déterminer pAB ?.....................................................................................2452.Comment déterminer p(A∩B) ?...................................................................................2463.Comment déterminer p(A) ?.........................................................................................2484.Comment savoir s'il faut utiliser un arbre ?..................................................................2515.Comment savoir s'il faut utiliser un tableau ?...............................................................2516.Comment montrer que deux événements A et B sont indépendants ? ..........................2527.Comment utiliser l'indépendance de deux événements ?..............................................252

17) LOIS DE PROBABILITÉ ...................................................................................................253A) LOI BINOMIALE..................................................................................................................253

1.Comment montrer qu'une variable aléatoire X suit une loi binomiale ? ......................2532.Comment "sentir" l'utilisation d'une loi binomiale ?.....................................................2533.Comment calculer p(X=k) lorsque X suit une loi binomiale de paramètres n et p ?.....2544.Comment calculer la probabilité d'obtenir au moins un "succès" ?..............................2555.Comment calculer p Xk ?.....................................................................................255


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6.Comment calculer l'espérance E(X) d'une variable aléatoire X qui suit une loi binomiale de paramètres n et p ?...................................................................................2567.Comment calculer la variance V(X) et l'écart-type d'une variable aléatoire X qui suit une loi binomiale de paramètres n et p ?................................................................257

B) LOIS CONTINUES................................................................................................................2578.Comment montrer qu'une fonction f, définie sur un intervalle [a;b], est une densité de probabilité ?.............................................................................................................257

1 - LOI EXPONENTIELLE........................................................................................................2599.Comment calculer la probabilité qu'une variable aléatoire X, suivant la loi exponentielle de paramètre , soit comprise entre et (soit∈ℝ pX ) ? ......25810.Comment calculer p Xt ? p Xt ?..................................................................25811.Comment calculer la probabilité qu'un appareil qui n'est pas tombé en panne au bout de x années ne tombe pas en panne durant les h années suivantes ?.....................25912.Comment calculer l'espérance E(X) d'une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle ?..............................................................................................................260

2 - LOI UNIFORME...................................................................................................................26013.Comment calculer pc Xd lorsqu'une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur [a;b] ?.......................................................................................................26014.Comment calculer p(X<c) ? p(X>c) ?.........................................................................26115.Comment calculer E(X) ?...........................................................................................261

COMMENT CALCULER EFFICACEMENT ?.........................................................................263


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INFORMATIONS IMPORTANTES ...

Comment utiliser ce livre ?1- Comme un dictionnaire : après avoir cherché un exo pendant 5 mn minimum en faisant des va-et-vient entre le cours et l'exo (c'est une bonne façon de bien comprendre son cours), cherchez dans ce livre, la ou les méthodes qui peuvent vous dépanner.2- Comme un livre d'exercices : travaillez sur les exemples du livre pour acquérir les compétences de base, puis attaquez d'autres exos (+ sujets de bac corrigés).3- Réviser pour un contrôle, un bac blanc ou le bac : s'assurer que l'on maîtrise les compétences en répondant aux différents "comment".

"Voir ch4-c5-m2-e3" signifie "voir chapitre 4, comment 5, méthode 2, exemple 3".

Mise en garde ! 1- Inutile d'essayer d'apprendre les méthodes par cœur. Comprenez-les en vous appuyant sur le cours de votre professeur : les définitions, les théorèmes et leurs démonstrations y sont clairement exposés. Travaillez aussi sur des exercices variés. Cet entraînement augmentera votre rapidité en contrôle. 2- Ce livre s'intéresse aux "comment ?". Quant aux "pourquoi ?", les réponses sont à trouver auprès de votre professeur ou dans un cours. 3- Pendant un contrôle, on ne vous demandera pas comment faire mais de faire. Il faut donc s'entraîner sur suffisamment d'exos pour que l'utilisation des méthodes devienne naturelle. 4- Dans ce livre, les calculs sont souvent faits sur une ligne (les équivalences aussi). Vous, essayez de faire un calcul par ligne.

Sur le site www.salutmaths.com, j'ai mis les méthodes pour les spé maths (sans exemples corrigés), des méthodes et astuces complémentaires, des erreurs à corriger … et beaucoup d'autres informations.

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Des suggestions ou des erreurs à signaler ? Vous pouvez écrire à [email protected]

Bon courage !


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" Les chercheurs se sont rendus compte que l'intelligence humaine dépend essentiellement des connaissances. L'intelligence crée des connaissances, les utilise, en

génère de nouvelles... "

Patrick Brézillon


Chapitre 1 - GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS 11

Chapitre 1 - GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS

1. Comment déterminer l'ensemble de définition d'une fonction ?

Méthode 1Si l'expression de la fonction contient des quotients, on écrit qu'elle est définie si, et seulement si, le ou les dénominateurs sont différents de 0. La résolution du ou des équations ainsi obtenues conduit à Df.

ExempleDéterminer l'ensemble de définition D f de la fonction

f : x 3 x7– 5 x

4x – 6 .

SolutionSoit x . ∈ℝ f x est définie si, et seulement si, 7−5 x≠0 et x−6≠ 0 ; soit

x≠75 et x≠6 .

On a donc D f =ℝ − {75

; 6} . Remarque : l'ensemble de définition est aussi appelé domaine de définition.

Méthode 2Si l'expression de la fonction contient des racines carrées, on écrit qu'elle est définie si, et seulement si, la ou les expressions sous les racines sont positives ou nulles. La résolution du ou des inéquations ainsi obtenues donne Df.

ExempleDéterminer l'ensemble de définition Dg de la fonction g : x 8– 3 x45 x .

SolutionSoit x∈ℝ. g x est définie si, et seulement si, 8−3x0 et 4 5 x0 ;

soit x83 et x− 4

5 . On a donc D f =[−45

; 83 ] .


12 Chapitre 1 - GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS

Méthode 3Si l'expression de la fonction contient des ln (logarithmes), on écrit qu'elle est définie si, et seulement si, les quantités auxquelles s'applique ln sont strictement positives. La résolution du ou des inéquations ainsi obtenues donne Df.

Exemple 1Quel est l'ensemble de définition Dh de la fonction h : x ln 1−x ?

SolutionLa fonction h est définie si, et seulement si, 1− x0 ; soit x1 .Ainsi, Dh=] –∞ ;1[ .

Exemple 2Étudier le domaine de définition D f de la fonction f définie par

f x = ln x29 x –1 .

Solutionf est définie si, et seulement si, x20, 9 x – 10 et 9x-1≠0 ; c'est-à-

dire, x > -2, x19 et x≠ 1

9 .

On conclut que D f =]19

;∞[ .

2. Comment montrer qu'une fonction f est paire ?

Méthode- On écrit que pour tout x ∈ D f , −x∈ D f .- On montre que f −x = f x en calculant f −x .- On conclut alors que f est paire.

Exemple

Soit f x =3 – 1x2 définie sur *. Montrer que ℝ f est paire.

SolutionPour tout x *, on a (-x) *. ∈ℝ ∈ℝ



D'autre part, f −x = 3 – 1– x 2

= 3 – 1x2 = f x .

La fonction f est donc paire.

3. Comment montrer qu'une fonction f est impaire ?

Méthode- On écrit que tout x ∈ D f , −x∈ D f (c'est vrai pour la quasi-totalité des exercices proposés).- On montre que f −x =− f x en calculant f −x .- On conclut alors que f est impaire.

ExempleMontrer que la fonction g définie par g x = 2 x3 − xe x2

est impaire sur .ℝ

SolutionPour tout x , on a (-x) . ∈ ℝ ∈ℝD'autre part,g −x = 2 – x 3 - −xe– x2 = – 2 x3x ex2

= – 2 x3 – xex2

= −g x .La fonction g est donc impaire.

4. Comment étudier la parité d'une fonction f ?

Méthode- On vérifie que pour tout x ∈ Df , − x ∈ D f .- On calcule f −x .- Si f −x = f x , on conclut que f est paire.- Si f −x =− f x , on conclut que f est impaire.- Si f −x est différente des deux résultats précédents, alors f n'est ni paire ni impaire.

Exemple

Soit h x =ln x55 – x . Étudier la parité de h sur I=]-5;5[.

SolutionPour tout x I, (-x)∈ ∈ I (car – 5x5 ⇔ – 5– x 5 ).



Calculons f −x :

f −x = ln −x55−−x = ln 5−x

x5 = ln 1x55− x = −ln x5

5 – x=− f x .

On peut conclure que f est impaire.

5. Comment montrer qu'une fonction f est périodique de période p ?

Méthode- On écrit que pour tout x ∈ D f , on a x p ∈ D f .- On montre que f x p = f x en calculant f x p .- On conclut que la fonction f est périodique de période p .

ExempleSoit f x =–5cos2x 1sin x définie sur . Montrer que ℝ f est périodique de période 2 .

SolutionPour tout x , ∈ℝ x2∈ ℝ . D'autre part : f x2 = –5cos2x2 1sin x2

= – 5cos2x 1sinx , (car sin(x+2 )=sinx et cos(x+2 ) = cosx) = f x .La fonction f est donc périodique de période 2 .

6. Comment interpréter graphiquement la parité d'une fonction f ?

Méthode 1Si la fonction f est paire, alors l'axe des ordonnées est un axe de symétrie de la courbe représentative de f . On peut donc restreindre l'étude de f à la partie positive (ou négative) de son domaine de définition. Ainsi, si f est paire sur ℝ, on étudie f sur l'intervalle [0 ;∞[ . Cf, la courbe complète de f , s'obtient par la symétrie d'axe (Oy).



Méthode 2Si la fonction f est impaire, alors l'origine du repère O est centre de symétrie de la courbe représentative de f. On peut donc restreindre l'étude de f à la partie positive (ou

négative) de son domaine de définition.

7. Comment interpréter graphiquement la périodicité d'une fonction f ?

MéthodeSi la fonction f est périodique de période p, les portions de Cf sont les mêmes sur des intervalles successifs de longueurs p. Ou encore, la courbe de f est invariante par la translation de vecteur pi .

On peut donc restreindre l'étude de la fonction f à un intervalle de longueur p.

Exemple

Soit f x =−5cos2 x5−1 , x ∈ ℝ .

a) Étudier la parité de la fonction f .b) Montrer que f est 10 -périodique.c) En déduire qu'il suffit d'étudier f sur l'intervalle [0 ;5] .

Solutiona) Pour x ∈ ℝ , on a −x∈ ℝ et :

f −x =−5 cos2−x5 −1 =−5cos−x

5 2

−1 =−5cos x5

2

−1 .

D'où f −x = f x sur ℝ.La fonction f est donc paire.

b) Pour x∈ℝ, on a x10 ∈ℝ et :

f x10=−5 cos2 x105 −1=−5cos x10

5 2

−1

=−5cos x52

2

−1=−5cos x5

2

−1= f x .

La fonction f est donc 10 -périodique.

c) La parité de la fonction f permet de restreindre son étude à l'intervalle [0 ;∞[ alors que sa 10 -périodicité autorise à ne l'étudier que sur un



intervalle de longueur 10 ; choisissons [−5 ;5 ] .La prise en compte simultanée de la parité et la périodicité conduit finalement à étudier f sur l'intervalle [0 ;5] .

8. Comment montrer qu'un point A(a;b) est centre de symétrie de la courbe représentative d'une fonction f ?

Méthode 1- On considère un réel h tel que ah ∈Df et a−h ∈D f .

- On montre que f ah f a – h2

=b en calculant

f ah f a−h2 .

- On conclut.

ExempleSoit f x =−x3x2 définie sur . Démontrer que le point A(1;2)ℝ est centre de symétrie de C f , la courbe représentative de f .

SolutionSoit h∈ ℝ tel que 1h et 1−h appartiennent à Df .Calculons f 1h f 1 – h

2 :

f 1h f 1 – h2 = – 1h31h2 – 1 – h31 – h2

2.

Après développement, on trouve f 1h f 1 – h

2=2 qui est l'ordonnée

de A. On peut donc conclure que A1 ;2 est centre de symétrie de C f .

Méthode 2 (plus rapide)

- On considère un réel x tel que 2a− x∈ D f

- On montre que f x f 2a – x 2

=b (on a posé ah= x

dans la méthode 1).- On conclut.



ExempleSoit f x =−x3x2 définie sur . Démontrer que le point A(1;2)ℝ est centre de symétrie de C f .

SolutionSoit x tel que (2+x) .∈ℝ ∈ℝCalculons f x f 2 a – x

2 :

f x f 2a – x

2 = – x33 x2 – 2 – x332 – x 2 .

Après développement, on trouve f x f 2 a – x

2 = 2 qui est l'ordonnée de

A.On conclut donc que A(1;2) est centre de symétrie de C f .

9. Comment montrer qu'une droite d'équation x=a est axe de symétrie de la courbe représentative d'une fonction f ?

Méthode 1- On prend h tel que ∈ℝ ah et a−h ∈ D f .- On montre que f ah= f a−h en calculant séparément f ah et f a−h .- On conclut.

Exemple

Soit g x=3 x2 –12 x1x2 – 4 x

définie sur -{0;4}. Montrer que laℝ

droite d'équation x=2 est axe de symétrie de C g.

Solution Soit h0 tel que 2h et 2−h appartiennent à D f (ici, a= 2).

Montrons que g 2h=g 2−h .

g 2h=32h2 – 122h12h2 – 4 2h

= 3 h2 –11h2 – 4

;

g 2−h=32−h2 – 122−h12−h2 – 4 2−h

= 3 h2 –11h2 – 4

.

On constate que g 2h=g 2−h . La droite d'équation x=2 est donc axe de symétrie de C g .



Méthode 2On montre que f 2 a−x = f x (on a posé ah=x dans l'équation précédente).

Exemple

Soit g x=3 x2 –12 x1x2 – 4 x

définie sur -{0;4}. ℝ

Montrer que la droite d'équation x=2 est axe de symétrie de C g. .

Solution Soit x ∈ D f tel que 4x appartient à D f . Montrons que g 2a−x =g x avec a=2 . On a g 2a−x =g 4−x

= 34−x 2 – 124− x14− x2 – 44− x

= ... = 3 x2 – 12 x1x2 – 4 x

=g x .

On peut conclure que la droite d'équation x=2 est axe de symétrie de C g .

10. Comment interpréter l'égalitéf(x)+f(-x)=c ?

MéthodeIl suffit de voir que f x f −x =c s'écrit aussi

f 0 x f 0− x2

= c2 . Ce qui signifie que le point

A0 ; c2 est centre de symétrie de C f .

11. Comment déterminer les coordonnées du ou des points d'intersection de Cf et Cg ?

Méthode- On résout l'équation f x =g x pour trouver la ou les abscisses x0 des points d'intersection.- On calcule f x0 pour trouver la ou les ordonnées.- On conclut que les points de coordonnées x0; f x0 sont les points cherchés.



12. Comment déterminer les coordonnées du ou des points d'intersection de Cf et de l'axe des abscisses ?

Méthode- Le ou les points d'intersection ont pour ordonnée 0.- On résout l'équation f x =0 pour trouver la ou les abscisses x0 (solution de l'équation) des points d'intersection.- Les points de coordonnées x0 ; 0 sont les points cherchés.

Exemple Soit la fonction f définie sur ℝ par f x = − 6 x2 x 5 . Déterminer le ou les points d'intersection de C f , la courbe représentative de f , et de l'axe des abscisses.

SolutionRésolvons l'équation f x = 0 pour déterminer les abscisses des points d'intersection :On a f x = 0 ⇔ − 6 x2 x 5= 0 .Après calcul du discriminant de cette équation du second degré, on obtient

les deux solutions x1 = 1 et x2 =− 56 .

Les points cherchés ont donc pour coordonnées 1 ; 0 et − 56

; 0 .

13. Comment déterminer les coordonnées du point d'intersection de Cf et de l'axe des ordonnées ?

Méthode- Le point d'intersection a pour abscisse 0 et pour ordonnée f 0 .- On calcule f(0).- Le point cherché a pour coordonnées 0 ; f 0 .

Exemple Soit la fonction f définie sur ℝ par f x = − 6 x2 x 5 . Déterminer le point d'intersection de C f , la courbe représentative de f , et de l'axe des ordonnées.



SolutionLe point cherché a pour abscisse 0 et pour ordonnée f 0 . Comme f 0 = 5 , on en déduit que le point d'intersection de C f et de l'axe des ordonnées est le point de coordonnées 0 ; 5 .


Chapitre 2 - LIMITES ET ASYMPTOTES 21

Chapitre 2 - LIMITES ET ASYMPTOTES

1. Comment retenir les limites des fonctions de référence ?

MéthodeInutile de les apprendre par cœur. Il suffit de comprendre. Pour cela, garder en tête que lim

xaf x est le nombre vers

lequel se rapproche f(x) lorsque x se rapproche de a.

Exemple

Donner les limites suivantes: limx ∞

1x , lim

x∞ x et lim

x –∞x3

.

Solution

- On a limx ∞

1x = 0. En effet, si x prend des valeurs de plus en plus grandes

(tend vers ∞ ), par exemple 10, 100, 10000, 1000000..., 1x vaut tour à tour

0,1, 0,01, 0,0001, 0,000001... D'où plus x grandit, plus 1x se rapproche de

0 (sa limite).- On a lim

x∞ x = +∞. Pour le voir, il suffit d'imaginer x qui tend vers +∞,

prenant successivement les valeurs 4, 9, 16, 100, 10000, … x elle prendra les valeurs 2, 3, 4, 10, 100, … Donc plus x devient grand, plus x grandit.- Pour terminer, lim

x –∞x3

= –∞. Ici, si x prend pour valeurs respectivement

-10, -100, -1000, -10000, … on constate que x3 lui prend respectivement les valeurs -1000, -1000000, -1000000000, -1000000000000, ...D'où –∞ comme limite x3 lorsque x tend vers –∞.

2. Comment lire graphiquementlimxa

f x ?

MéthodeOn prend x de plus en plus proche de a et on regarde vers quelle valeur f x se rapproche.


22 Chapitre 2 - LIMITES ET ASYMPTOTES

3. Comment calculer une limitelimxa

f x ?

Méthode 1On remplace tous les x par a .

ExempleCalculer lim

x0x2−ex5 .

SolutionOn a lim

x 0x2−ex5 = 02−e05=−15=4 .

Méthode 2Si f est une fonction polynôme et si x ∞, alors on calcule la limite de son terme de plus haut degré (on peut aussi utiliser la méthode un peu plus longue qui consiste à mettre la plus grande puissance de x en facteur).

ExempleCalculer lim

x –∞−75 x−9 x3 .

SolutionOn cherche la limite d'un polynôme en –∞. Il suffit de calculer celle de son terme de plus haut degré. On a donc :lim

x –∞−75 x−9 x3 = lim

x –∞−9 x3 = ∞ .

Autre méthode (exigible par votre professeur) :

On a limx –∞

−75 x−9 x3= limx − ∞

x3− 7x3

5x2 − 9 .

Comme limx −∞

x3 = −∞ et limx −∞

− 7x3

5x2 − 9 =− 9 , on en déduit que

limx –∞

−75 x−9 x3=∞ ( −∞×− 9 ).

Méthode 3Si f est une fonction rationnelle (quotient de deux polynômes) et si x ∞, alors on calcule la limite du quotient des termes de plus haut degré (on peut aussi utiliser la méthode qui consiste à mettre la plus

grande puissance de x en facteur au numérateur et au dénominateur).



Exemple

Calculer limx∞

1−x26 x2−3 x

, limx –∞

−x37− x2

4−x2 et

limx∞

2−3 x24 x17 x2 .

SolutionOn cherche les limites de fonctions rationnelles à l'infini. Il suffit donc de calculer les limites des quotients de leurs termes de plus haut degré.

Ainsi limx∞

1−x26 x2−3 x

= limx∞

−x6 x2 = lim

x∞

−16x =0.

Puis limx –∞

−x37− x2

4−x2 = limx –∞

−x3

−x2= limx –∞

x=– ∞ .

Et enfin limx∞

2−3 x24 x17 x2 = lim

x∞

−3 x 2

7 x2 =−37 .

Autre méthode (exigible par votre professeur) :

On a lim

x∞

1−x26 x2−3 x

= limx ∞

x 1x− 1

x2 2x2 6− 3

x= lim

x ∞

1x− 1

x 2x2 6 − 3

x .

Comme limx ∞

1x− 1 = − 1 , lim

x ∞

2x2 6 − 3

x= 6 et lim

x ∞x = ∞ , on

en déduit que limx∞

1−x26 x2−3 x

=0.

De même,

limx –∞

−x37− x2

4−x2 = limx− ∞

x3− 1 7x3 −

1x

x2 4x2 − 1

= limx−∞

x− 1 7x3 −

1x

4x2 − 1

.

Après calcul des limites du numérateur et du dénominateur, on obtient

limx –∞

−x37− x2

4−x2 =− ∞ .

Pour terminer,

limx∞

2−3 x24 x17 x2 = lim

x ∞

x2 2x2 − 3 4

x x2 1

x2 7= lim

x ∞

2x2 − 3 4

x1x2 7

= −37 .



Méthode 4En appliquant la méthode 1 à un quotient, si l'on obtient une constante au numérateur et 0 au dénominateur (situation

c0

qui tend toujours vers l'infinie), alors on calcule les limites pour

x a et x a− .

Exemple

a) Calculer limx−3

x2x−193x

; b) limx1

5−2 x−x23 x−2

.

Solutiona) En appliquant la méthode 1, on obtient lim

x−3x2 x−19 = −13 et

limx−3

3 x =0 d'où la forme c0

.

Dans ce cas, on calcule limx−3

3 x = 0 et limx−3−

3 x = 0− .

Remarque: pour trouver 0 et 0− , deux techniques peuvent être employées :- Technique 1: x −3 signifie x -3 et x−3 et donc x30 (positif) ; d'où le 0 .- Technique 2: pour x −3 , comme x−3 , on prend un nombre plus grand que −3 , 0 par exemple, et on remplace x par ce nombre dans 3x ; le signe du résultat, +3 pour x=0 , donne 0 . Pour x −3− , on prend x=−4 , et x3 vaut −1 ; d'où 0− .

On en déduit que limx−3

x2x−193x

= –∞ (qui vient de −130 ) et

limx−3−

x2x−193x

= ∞ ( −130− ).

b) On a limx1

5−2 x=3 et limx1

−x 23 x−2=0 d'où la forme c0

.

Déterminons le signe de −x23 x−2 a droite, puis à gauche de 1.Pour cela, il suffit d'étudier le signe du trinôme du second degré comme en première: le calcul de son discriminant conduit aux deux racines 1 et 2.Son tableau de signe est donc :

x –∞ 1 2 +∞

−x23 x−2 - 0 + 0 -

Comme −x23 x−20 pour x1 , on en déduit que limx 1

−x23x−2=0.

De même, −x23 x−20 pour x1 conduit à limx 1−

−x 223 x−2=0−.

En conclusion, limx1

5−2 x=3 et limx 1

−x23x−2=0 donne



limx 1

5−2 x−x23 x−2

=∞ .

Alors que limx1

5−2 x=3 et limx 1−

−x 223 x−2=0− donne

limx 1−

5−2 x−x23 x−2

=−∞ .

Méthode 5En présence de x et de xn , lorsque x tend vers ∞ , on factorise.

ExempleCalculer les limites suivantes :

a) limx∞

−4 x3−x23 x−1 ; b) limx∞

x−2 x5 x2−x4 x−2

.

Solution

a) On a limx∞

−4 x3−x23 x−1= limx∞

x3−4−1x3 x

x3 −1x3 .

Or limx∞

1x=0 , lim

x∞

xx3 = lim

x∞

xx3 x

= limx∞

1x2 x

=0 et limx∞

1x3=0 .

On en déduit que limx∞−4−1

x3 x

x3 −1x3=−4 .

Comme limx∞

x3=−∞ , on obtient finalement

limx∞

−4 x3−x23 x−1=−∞ .Remarque: pour faire disparaître la racine au numérateur, on multiplie en haut et en bas par x .

Ainsi, xx 2 =

x×xx 2×x

= xx 2x

...

b) limx∞

x−2 x5 x2−x4 x−2

= limx∞

x1−2 xx

x25−1x4 x

x2 −2x2

= limx∞

1−2 xx

x5−1x4 x

x2 −2x 2

.

Or limx∞

xx= lim

x∞

xx x

= limx ∞

1 x

=0 , limx∞

1x=0 , lim

x∞

2x2=0 et



limx∞

xx2 = lim

x∞

xx2 x

= limx∞

1x x

=0 .

On en déduit que limx∞

1−2 xx=1 , lim

x∞5− 1

x4 x

x2 −2x2=5 et donc

limx∞

x5−1x4 x

x 2 −2x2 =∞ .

Ce qui permet de conclure que limx∞

x−2 x5 x2−x4 x−2

=0 .

Méthode 6En présence de racines carrées, si x tend vers l'infini et que l'on débouche sur la forme indéterminée ∞–∞, alors on utilise la méthode du conjugué en multipliant et divisant par l'expression conjugué.

ExempleSoit f x = x2−1−x et g x= x2−2−x1 . Calculer les limites suivantes : a) lim

x –∞f x (faux cas) ; b) lim

x∞f x (cas gentil) et

c) limx∞

g x (cas pas sympa).

Solutiona) On a lim

x –∞f x = lim

x –∞ x2−1−x . Comme lim

x –∞ x2−1 = ∞ et

limx –∞

−x = ∞ on peut conclure que limx –∞

f x =+∞ (En fait, ici, il n'y a pas de forme

indéterminée).

b) Par contre pour limx∞

f x , en procédant comme précédemment on

obtient la forme indéterminée ∞ –∞ . Appliquons la méthode du conjugué :

x2−1−x=x2−1−x x2−1x x2−1x

= x2−1−x2

x2−1x= −1 x2−1x

. D'où

limx∞

f x = limx∞

−1 x2−1x

. Mais comme limx∞

x2−1x =+∞, on peut

conclure que limx∞

f x =0.

c) Pour terminer, déterminons limx∞

g x = limx∞

x2−2− x1 . On a la

forme indéterminée +∞–∞.Appliquons la méthode du conjugué : x2−2− x1 = x2−2−x−1 (c'est pour avoir la forme A−B )



= x2−2−x−1 x2−2x−1

x2−2x−1

= x2−2−x−12

x2−2x−1 (on a utilisé a−bab=a2−b2 )

= 2x−3

x2−2x−1

=

x2− 3x

x21− 2x2 x1−1

x(on a mis x2 en facteur sous la racine)

=

x2− 3x

x21− 2x2 x1−1

x

=

x2− 3x

∣x∣1− 2x2 x1−1

x (Attention ! x 2 = ∣x∣ )

= x2−3

x x 1− 2

x2x1−1x

(comme x tend vers +∞, x0 ; d'où ∣x∣=x )

= x2−3

x x1− 2

x21− 1x

(on met x en facteur au dénominateur)

= 2−3

x 1− 2

x21−1x

Comme le numérateur tend vers 2 et le dénominateur vers 2 quand x tend vers +∞, on en déduit que lim

x∞g x = 1.



Méthode 7Si la fonction est un quotient qui, pour x tendant vers un

réel a , donne 00 , alors on utilise la définition du

nombre dérivé.

Exemple

Calculer a) limx 0

sin xx ; b) lim

x0

e x−1x

; c) limx−3

x2−5−4x3

et

d) limx1

x8−3ex−e

.

Solution

On va mettre les limites à calculer sous la forme limx a

f x − f ax−a qui, si

elle existe (ce qui équivaut à f dérivable en a ), est égale à f ' a .

a) On a limx0

sin xx = lim

x0

sin x−sin 0x−0 = lim

x 0

f x − f 0x−0 avec

f x =sin x .

Comme f est dérivable en 0, alors limx 0

f x − f 0x−0 existe et vaut f ' 0 .

Pour x∈ℝ, f ' x = cos x ; d'où f ' 0 = cos 0 = 1 .

On peut donc conclure que limx0

sin xx =1.

b) De la même façon, on a :

limx0

e x−1x

= limx0

e x−e0

x−0= lim

x 0

f x − f 0x−0 avec f x = ex , dérivable sur

ℝ.

Donc limx0

f x − f 0x−0

= f ' 0 .

Pour x∈ℝ, f ' x = e x ; ce qui conduit à f ' 0 = 1.

On peut conclure que limx0

e x−1x

= 1.

c) En suivant le même cheminement, on a :

limx−3

x2−5−4x3

= limx−3

f x− f −3x−−3 = f ' −3 avec f x = x2−5 ,

dérivable sur tout I intervalle où x2 − 5 0 , soit I=] −∞ ; − 5[∪]5 ; ∞[ .

Donc pour x∈I, f ' x = x

x2−5 et f ' −3 =

−34 .



On conclut que limx−3

x2−5−4x3

= −34 .

d) Pour le dernier exemple, on a la forme indéterminée 00 . Par contre, on

remarque qu'au dénominateur il n'y a pas de x−a . Il va falloir le créer en divisant le numérateur et le dénominateur par x−a . Ici a vaut 1.

On a limx1

x8−3ex−e

= limx1

x8−3x−1ex−ex−1

.

En calculant, grâce au procédé précédent, limx1

x8−3x−1

= 16 et

limx1

e x−ex−1

=e , on en déduit que limx1

x8−3ex−e

=

16e =

16e .

Méthode 8Si f est la composée de deux fonctions ( f =u °v ) alors :- on calcule lim

x av x =b ;

- ensuite limX b

u X =c ;

- et on conclut, d'après le théorème sur la limite de composés de fonctions, que lim

x af x=c (méthode utilisée avec

cos, sin, ln, exp, ).

Exemple

Calculer a) limx –∞

cos 1x−3 x2

x35 ; b) limt∞

−6e−t 22 et

c) limx−1

5−x2.

SolutionOn cherche des limites de composées de fonctions.

a) Pour limx –∞

cos 1x−3 x2

x35 , on procède comme suit :

- D'une part, limx –∞

1x−3 x2

x35= lim

x –∞

−3 x2

x3 = limx –∞

−3x = 0 (limite de fonction

rationnelle à l'infinie).- D'autre part, lim

X 0cos X =1 .



- D'où, d'après le théorème de composition des limites,

limx –∞

cos 1x−3 x2

x35 = 1.

b) Appliquons la même démarche à limt∞

−6e−t 22 :

- On a limt∞

−t22 = limt∞

−t2 = –∞.

- Or limT −∞

−6eT = 0 .

- On conclut, par composition des limites, que limt∞

−6 e−t 22=0 .

c) En procédant comme en a) et b), on obtient limx−1

5−x2=2 .

Méthode 9Si l'on peut obtenir un encadrement de f au voisinage de a, c'est-à-dire g x f xhx pour tout x proche de a et si lim

xag x = lim

x ah x =b, alors on applique le théorème

des gendarmes : limxa

f x =b.

Exemple

Calculer limt∞

cos tt et lim

x –∞

−5 x−sin 2 x 1 x .

SolutionPour lim

t∞

cos tt

, on constate que limt∞

cos t n'existe pas. L'approche directe

ne fonctionne donc pas. Il va falloir s'y prendre autrement.- Tout d'abord, on a −1cos t1 pour tout t réel. Comme t tend vers +∞,

t0 et donc −1t cos t

t1

t .

- D'autre part, limt∞

−1t = 0 et lim

t∞

1t = 0.

- D'après le théorème des gendarmes, on a limt∞

cos tt

= 0.

Pour limx –∞

−5 x−sin 2 x 1 x aussi, on remarque que lim

x –∞sin2 x n'existe

pas.

Procédons à un encadrement pas à pas de −5 x−sin 2 x

1 x :

−1sin2 x 1 pour tout x ∈ ℝ . D'où 1−sin 2 x −1 , ∀ x ∈ ℝ et −5 x1−5 x−sin2 x −5 x−1 , ∀ x ∈ ℝ . Lorsque x tend vers –∞, on a 1 x0 et donc



−5 x1x1

−5 x−sin2 x

x1−5 x−1

x1 .

Pour terminer limx –∞

−5 x1x1

= limx –∞

−5 xx = -5 et

limx –∞

−5 x−1x1 = lim

x –∞

−5 xx = -5.

Le théorème des gendarmes nous permet de conclure que

limx –∞

−5 x−sin 2 x 1 x = -5.

Méthode 10Si l'on a f x g x pour tout x proche de a et limxa

g x =∞ , alors on conclut que limxa

f x=∞ . (De même si f x g x pour tout x proche de a et lim

xag x =−∞ , alors on conclut

que limxa

f x=−∞ ).

Exemple

Soit f x = cos x

x2x . Montrer que f x 2 x−1

x pour tout

x0 , puis en déduire limx –∞

f x .

SolutionProcédons par équivalence.

Pour x0 , f x 2 x−1x ⇔ cos x

x2x2x−1

x ⇔ cos xx

−1x ⇔

cos x−1 , x0 (l'inégalité change de sens lorsqu'on multiplie ses deux membres par x0 ).

Comme cos x−1 est vraie pour tout x , on a donc bien ∈ℝ f x 2 x−1x

(On pourrait aussi montrer cette inégalité par encadrement de f(x)).

Déterminons limx –∞

f x . On a montré que f x 2 x−1x pour x0 . Or

limx –∞

2 x−1x

= –∞ ( limx –∞

2 x = –∞ et limx−∞

−1x

= 0).

On peut donc conclure, grâce au théorème de comparaison, quelim

x –∞f x = –∞.



4. Comment interpréter graphiquement une limite ?

MéthodeOn l'interprète en terme d'asymptote : - Si lim

x af x=∞ou−∞ , où a ∈ ℝ , alors on conclut que

C f admet une asymptote verticale d'équation x=a .- Si lim

x∞−∞

f x =b , où b∈ ℝ , alors on conclut que C f

admet une asymptote horizontale d'équation y=b .- Si lim

x∞−∞

f x − y=0 avec y=axb , alors C f admet

une asymptote oblique d'équation y=axb .

ExempleCalculer les limites suivantes et donnez-en une interprétation

graphique: a) limx−2

x5− x2

2x ; b) lim

x –∞

−4 x25−15 x−x2 ;

c) limx∞

f x −4x−1 où f x = 4x2−9x−5x2

.

Solution

a) Pour limx−2

x5− x2

2x , on voit que c'est un cas c0

. En effet,

limx−2

x5−x2=−1 et limx−2

2x = 0. Dans ce cas, on calcule

limx−2x−2

2x = 0 et limx−2x−2

2x = 0− .

On en déduit que limx−2x−2

x5−x2

2 x = –∞ et limx−2x−2

x5−x2

2 x = +∞.

Graphiquement, ces deux résultat indiquent que la droite d'équation x=−2 est asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction

f : x x5− x2

2x.

b) On cherche la limite d'une fonction rationnelle à l'infinie.

On a donc limx –∞

−4 x25−15 x−x2 = lim

x –∞

−4 x2

−x2 = 4.

Posons g x= −4 x25−15 x− x2 . Le résultat précédent s'interprète alors ainsi :

C g admet en –∞ une asymptote horizontale d'équation y=4 .



c) Pour le dernier exemple, calculons d'abord

f x −4x−1 = 4x2−9x−5x2

−4 x−1 =−3x2 .

Ce qui donne limx∞

f x −4x−1 = limx∞

−3x2 = 0 .

C f admet donc en +∞ une asymptote oblique d'équation y=4 x−1 .

5. Comment montrer que la courbe représentative d'une fonction f admet une asymptote verticale ?

Méthode- On choisit une valeur interdite a ∈ ℝ de f et on calcule limxa

f x pour trouver ∞ou –∞ .- On conclut que la droite d'équation x=a est asymptote à C f .

ExempleSoit la fonction f définie sur ] –∞ ;−4 [∪]−4 ;∞[ par

f x =−x3x−64x

. Montrer que f admet une asymptote dont on

précisera une équation.

SolutionComme -4 annule le dénominateur de f(x), on n'hésite pas : on calcule limx−4

f x .

On a limx−4

−x3 x−6 = -66 et limx−4

4 x = 0. Donc cas c0

.

Or limx−4x−4

4 x=0 et limx−4x−4

4 x=0− .

D'où limx−4x−4

f x = –∞ et limx−4x−4

f x = +∞.

Des deux derniers résultats, on déduit que la droite d'équation x=−4 est asymptote à la courbe représentative de la fonction f.



6. Comment montrer que la courbe représentative d'une fonction f admet une asymptote horizontale ?

Méthode- On calcule lim

x∞f x ou lim

x –∞f x pour trouver un

réel b.- On conclut alors que la droite d'équation y=b est asymptote à C f en +∞ ou en –∞ .

Exemple

Soit f : x 2 x−x2

3 x27 définie sur . Montrer que ℝ C f , la courbe

représentative de f, admet en –∞ une asymptote dont on précisera une équation.

SolutionCalculons lim

x –∞f x .

f étant une fonction rationnelle, on a :

limx –∞

f x = limx –∞

2 x−x2

3x27= lim

x –∞

−x 2

3x 2 = −13 .

On a montré que limx –∞

f x = −13 . On peut donc conclure que C f admet

une asymptote verticale en –∞ d'équation y=−13 .

7. Comment montrer que la courbe représentative d'une fonction f admet une asymptote oblique ?

Méthode- On montre que lim

x∞f x − y=0 ou lim

x –∞f x − y=0 ,

avec y=axb . - On conclut alors que la droite d'équation y=axb est asymptote oblique à C f en +∞ ou en –∞.

Exemple

Soit f la fonction définie sur -{1} par : ℝ f x = 2 x2−6 x5x−1

.



a) Déterminer les réels a, b et c tels que f x = axb cx−1 .

b) En déduire que la courbe représentative C de f admet une asymptote oblique dont on précisera une équation.

Solution

a) Pour tout x≠1, on a axb cx−1 = ax2−axbx−bc

x−1=

ax2−ab x−bc x−1

.

D'où pour x -{1} : ∈ℝaxb c

x−1 = f x ⇔ ax2−ab x−bc x−1

= 2 x2−6 x5x−1

.

Par identification des coefficients des polynômes aux numérateurs, on obtient

{ a=2−ab=−6−bc=5

, ce qui, après résolution, donne { a=2b=−4c=1

et donc

f x = 2 x−4 1x−1 .

b) Pour trouver une asymptote oblique, remarquons que 2 x − 4 est de la forme axb . Calculons donc lim

x∞f x −2 x−4 et

limx−∞

f x −2 x−4 .

De f x = 2 x−4 1x−1 , on a f x −2 x−4 =

1x−1 .

D'où limx∞

f x −2 x−4 = limx∞

1x−1 = 0 et

limx−∞

f x −2 x−4 = limx –∞

1x−1 = 0.

On conclut alors que C admet en + et –∞ une asymptote oblique d'équation y=2 x−4 .

8. Comment étudier la position relative de Cf et d'une droite (D) qui lui est asymptote ?

Méthode- On calcule f x − y , où y=axb est une équation de la droite D .- On étudie ensuite le signe de f x − y (à l'aide d'un tableau si

nécessaire).



- On conclut que C f est au-dessus de D sur l'intervalle où f x − y0 et que C f est en dessous de (D) sur l'intervalle où f x − y0 .

ExempleDans l'exemple précédent, étudier les positions relatives de C et de

.

Solution

On a montré que pour x≠1, f x − y = f x −2 x−4 = 1

x−1 .

Étudions le signe de f x − y avec x≠1: f x − y est du signe de 1

x−1

qui a le même signe que x−1 . Or x−10 pour x1 et x−10 pour x1 .

On peut donc dire que sur [1 ;∞[ , f x − y0 ; c'est-à-dire f x y . Ce qui signifie que sur [1 ;∞[ l'intervalle, C est au-dessus de . Et f x − y0 sur ] –∞ ;1 ] ⇔ f x y sur ] –∞ ;1 ] . D'où C en dessous de sur ] –∞ ;1 ] .


Chapitre 3 - CONTINUITÉ 37

Chapitre 3 - CONTINUITÉ

1. Comment montrer qu'une fonction f est continue ou non en a∈ℝ ?

Méthode 1- On calcule lim

xaf x , puis f a .

- S'ils sont égaux, on conclut que la fonction f est continue en a. - Sinon, elle ne l'est pas.

Exemple 1

Soit f x ={sin xx

si x≠0

1 si x=0, f est-elle continue en 0 ?

SolutionRemarquons que D f = . ℝ Vérifions si lim

xaf x = f a avec a=0 .

On a f 0=1 d'après l'énoncé ( f x =1 si x = 0 ).

D'autre part, limx 0

f x = limx0

sin xx =1 (voir méthode calcul de limites : ch2-c2-m7).

Comme limx0

f x= f 0 , on peut affirmer que f est continue en 0.

Exemple 2

Soit la fonction f définie par f x ={1−x si x− 1x2 3 x−7 si x − 1

.

a) Calculer f 0 , f −3 , f 5 et f −2 .b) Étudier la continuité de f sur ℝ.

Solutiona) Comme 0−1 , on utilise la première expression de f pour calculer f(0). Ainsi, f 0=1−0=1 .−3−1 , c'est donc la deuxième expression de f qu'il faut utiliser : f −3=−323−3−7=9−9−7=−7 .5−1 donne f 5=1−5=−4 .Et enfin, −2−1 donc f −2=−223−2−7=−17 .Remarque: la question a) sert à mieux appréhender la fonction f qui peut aussi être définie comme suit:


38 Chapitre 3 - CONTINUITÉ

{f x =1− x si x∈ [−1 ;∞[f x =x2 3 x−7 si x∈ ]−∞ ;−1[

.

Le polynôme x 1 − x est continue sur ℝ; d'où f est continue sur ] − 1 ; ∞[ .De même, la continuité de la fonction x x23 x−7 , également un polynôme, entraîne celle de f sur ]−∞;−1[ . Il ne reste plus qu'à étudier la continuité de f en -1 ("point frontière", à droite et à gauche

duquel f à une expression différente) : vérifions si limx−1

f x = f −1 .

Comme −1−1 , c'est l'expression f x =1− x qui sera utilisée pour calculer f −1 ; on a ainsi f −1=1−−1=2 .D'autre part, la fonction f a une expression différente suivant que l'on se trouve à droite ou à gauche de -1; il faut donc calculer les limites à gauche et à droite de -1. On a : lim

x−1

f x = limx−1

1−x=2 et limx−1−

f x = limx−1−

x23 x−7=−9 . On constate que lim

x−1

f x ≠ limx −1−

f x . Ce qui signifie que limx−1

f x

n'existe pas. La fonction f n'est donc pas continue en -1.On conclut que f est continue sur ]−∞;−1[ ∪ ]−1;∞[ .

Méthode 2Si l'on sait que la fonction f est dérivable en a, alors f est continue en a.

2. Comment montrer qu'une fonction est continue sur un intervalle ?

Méthode 1On applique le résultat de cours suivant :"Les fonctions polynôme, rationnelle, cosinus, sinus, racine carrée et valeur absolue sont toutes continues sur leurs ensembles de définition. Les fonctions obtenues par addition, multiplication, division ou composition de ces fonctions sont également continues sur leurs ensembles de définition."

ExempleMontrer que les fonctions suivantes sont continues sur I :a) f x =−5 x4−x24 x−1 , I=ℝ.



b) g x=cos −x−2x2−7 x6 , I=ℝ\{1;6}.

c) h x =ln 4− x2e−x3 , I=]−2 ;2 [ .

Solution a) La fonction f est un polynôme, donc continue sur ℝ.

b) La fonction x−x−2

x2−7 x6 est une fonction rationnelle, donc continue

sur son domaine de définition I. La fonction cos , elle, est continue sur ℝ. On en déduit que g , composée des deux fonctions précédentes, est continue sur son domaine de définition I.c) La fonction ln est continue sur ]0 ;∞[ . Le polynôme x 4−x 2 l'est sur ℝ. D'où la continuité, par composition, de x ln 4−x2 sur son domaine de définition I.D'autre part, les fonctions exponentielles et x −x3 sont toutes deux continues sur ℝ. Ce qui assure la continuité de x e−x3 sur ℝ en tant que composée des deux précédentes.Finalement, la fonction h est continue sur son ensemble de définition I comme somme des fonctions x e−x3 et x ln 4−x2 .

Méthode 2Si la fonction f est dérivable sur l'intervalle I, alors elle y est continue. Cette méthode est utilisée lorsqu'après avoir établi le sens de variation d'une fonction g sur un intervalle I, on demande de montrer que l'équation g x = k (en général, g(x)=0) admet une unique solution sur I.La dérivabilité de g , prouvé avant le calcul de g ' x , permet de dire que g est continue sur I. L'intérêt, c'est de ne pas perdre de temps à prouver que g est continue sur I avec la méthode 1.

3. Comment montrer que l'équation f(x)=k admet au moins une solution sur un intervalle [a;b] ?

Méthode- On montre que f est continue sur l'intervalle [ a ;b ] .- On calcule f a et f b pour montrer que k est compris entre ces deux nombres.- On conclut, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, que l'équation f x =k admet au moins une solution sur l'intervalle [ a ;b ] .



ExempleMontrer que l'équation x4−x−1=0 admet au moins une solution dans l'intervalle [0 ; 2 ] .

SolutionPosons f x =x4−x−1 . L'équation x4−x−1=0 équivaut à f x =0 .Montrons donc que f x =0 admet au moins une unique solution dans l'intervalle [0 ; 2 ] . - La fonction f qui est un polynôme est continue sur [0 ; 2 ] .- D'autre part, f 0=−1 et f 2=13 ; −1013 , d'où 0 est compris entre f 0 et f 2 .Ces deux critères étant satisfaits, on peut conclure, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, que l'équation f x =0 admet au moins une solution dans l'intervalle [0 ; 2 ] .

4. Comment montrer que l'équation f(x)=k admet une unique solution sur un intervalle [a;b] ?

Méthode- On montre que la fonction f est continue sur l'intervalle [ a ;b ] .- On montre que f est strictement monotone (c'est-à-dire

strictement croissante ou décroissante) sur [ a ;b ] . - On montre que k est compris entre f a et f b en calculant ces deux nombres (si k = 0 , donc équation f x = 0 , alors il suffit de montrer que f a× f b 0 : o est dans ce cas compris entre f(a) et f(b) qui sont de signes contraires).- On conclut, d'après le théorème de la valeur intermédiaire (ou théorème de la bijection), que l'équation f x =k admet une unique solution dans l'intervalle [ a ;b ] .

Exemple 1 Montrer que l'équation −x33 x2− x5=0 admet une unique solution sur l'intervalle [ 2; 3] .

SolutionPosons f x =−x32 x2−x5 . L'équation −x33 x2− x5=0 est équivalente à f x =0 . Montrons donc que cette dernière admet une unique solution dans l'intervalle [ 2; 3] .- La fonction f , un polynôme, est continue sur l'intervalle [ 2; 3] .- Montrons qu'elle strictement monotone sur cet intervalle.



f est dérivable sur [ 2; 3] et f ' x=−3 x24 x−1 ; le discriminant de f ' , trinôme du second degré, est égal à 4. On en déduit ses deux racines : x1=1 et x2=

13 .

La règle de signe d'un trinôme du second degré nous permet de dire que f ' x0 sur l'intervalle [1 ;∞[ ; donc f ' x0 sur [ 2; 3] .

Ainsi, la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle [ 2; 3] .- Vérifions que 0 est compris entre f 2 et f 3 .On a f 2=−232×22−25=3 et f 3=−7 . Comme −703 , on a bien 0 compris entre f 2 et f 3 .Le théorème des valeurs intermédiaires permet de conclure que l'équation donnée admet une unique solution dans l'intervalle [ 2; 3] .

Exemple 2Soit g la fonction définie sur ]−∞;5 ] par g x=5−x− x .Montrer que l'équation g x=−2 admet une et une seule solution sur l'intervalle ]−∞;5 ] , puis donner une valeur approchée de à 10−3 près.

Solution- La fonction g est dérivable sur tout intervalle où 5− x0 , c'est-à-dire sur

]−∞;5 [ . De plus, pour x∈ ]−∞;5 [ , on a g ' x =− 15− x

1 .

Comme 5− x0 sur ]−∞;5 [ , on en déduit que g ' x 0 sur l'intervalle ]−∞;5 [ . La fonction g est donc strictement décroissante sur ]−∞;5 ] .- g est continue sur l'intervalle ]−∞;5 ] car dérivable sur cet intervalle. - Enfin, on a g 5=−5 et lim

x−∞g x=∞ ; -2 est donc compris entre

g 5 et limx−∞

g x .

On peut conclure, d'après le théorème de la bijection, que l'équation g x=−2 admet une et seule solution sur l'intervalle ]−∞;5 ] .

La calculatrice donne ≈3,303 (un encadrement de , souvent de mandé, d'amplitude 10−3 serait

3,3023,303 ).

Exemple 3Soit f la fonction dont le tableau de variation est donnée ci-dessous.Montrer que l'équation f x =0 admet une unique solution dans ℝ.



x –∞ –2 4 +∞f '(x) – 0 + 0 –

f(x)+∞

–5

-3

–∞

SolutionA partir du tableau de variation, on remarque que f x −30 sur l'intervalle [−2 ;∞[ ; d'où f x ≠0 sur cet intervalle. Montrons que l'équation f x =0 admet une unique solution sur ]−∞;−2 ] :Le tableau indique que :- f est continue sur ]−∞;−2 ] ;- f est strictement décroissante sur ]−∞;−2 ] ;- f −2=−5 et lim

x−∞f x =∞ .

On en déduit que 0 est compris entre f −2 et limx−∞

f x .

Ces trois critères étant vérifiés, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f x =0 admet une unique solution sur l'intervalle ]−∞;−2 ] .Les deux résultats établis conduisent à l'existence d'une unique solution à l'équation f x =0 sur ℝ ( ]−∞;−2 ]∪ [−2 ;∞[ ).

5. Comment déterminer une valeur approchée ou un encadrement de la solution ?

Méthode- Avec une calculatrice Casio: soit dans Table soit avec graphe+G-solv+root (très rapide mais valable uniquement pour f x =0 ;

pour résoudre f x =k , il suffit de se ramener à f x −k=0 ).- Avec une calculatrice TI: soit dans Table soit avec la fonction Solve du menu Maths (voir notice d'utilisation).

6. Comment déduire le signe d'une fonction g sur un intervalle I après avoir montré que l'équation g(x)=0 y admettait une unique solution ?

Méthode 1On déduit le signe de g à partir de son tableau de variation.



ExempleSoit g la fonction définie sur ]−∞;5 ] par g x=5−x− x .a) Démontrer que l'équation g x=−2 admet une et une seule solution solution sur l'intervalle ]−∞; 4 ] .b) En déduire le signe de g .

Solutiona) Résolu au c4-e2b) Les résultats obtenues au a) permettent d'établir le tableau de variation de g :

Et du tableau, on déduit que g x0 sur l'intervalle ]−∞; ] et g x0 sur [ ;∞[ (c'est encore plus évident sur un graphique que vous pouvez dessiner à partir du tableau de

variation).

Méthode 2On déduit le signe de g par le calcul, à partir de son sens de variation.

ExempleExemple précédent.

SolutionPour x∈ ]−∞; ] , on a x ; comme la fonction g est décroissante sur ]−∞; ] , on déduit que g xg (inversion de l'ordre par la décroissance d'une fonction). Or g =0 . D'où g x0 pour x∈ ]−∞; ] .De même, pour x∈ [ ;∞[ , on a x . La décroissance de g sur l'intervalle [ ;∞[ conduit à g xg . Comme g s'annule en , alors g x0 pour x∈ [ ;∞[ .



7. Comment montrer que g x0 ou g x 0 sur I=[;+∞[, où est l'unique

solution de l'équation g(x)=0 sur un intervalle J contenant I ?

MéthodeOn prend x I, c'est-à-dire ∈ x .On applique la croissance ou la décroissance de g sur I à cette inégalité. On obtient le signe de g en remplaçant g par 0.

Exemple (voir exemple précédent).

Solution (voir solution de l'exemple précédent).


Chapitre 4 - DÉRIVATION 45

Chapitre 4 - DÉRIVATION

1. Comment montrer qu'une fonction f est dérivable en a∈ℝ ?

Méthode

- On calcule limh0

f ah− f ah pour trouver un nombre

réel l (ou la formule équivalente limxa

f x− f a x−a , obtenue en remplaçant

a h par x ).- On conclut alors que f est dérivable en a et que f ' a=l .

ExempleMontrer que la fonction f définie sur parℝ

f x = {4x2sin 1x si x≠0

0 si x = 0 est dérivable en 0 et donner la

valeur de f ' 0 .

Solution

On a limx0

f x − f 0x−0 = lim

x0

4 x2sin 1x −0

x = limx 0

4 x sin 1x = 0.

En effet, pour x0 , on a −4 x4 x sin1x 4 x . Mais comme

limx0

−4 x=0 et limx0

4 x=0 , on en déduit, grâce au théorème des gendarmes,

que limx 0x0

4 x sin 1x = 0.

De la même façon, on montre que limx 0x0

4 x sin 1x = 0.

Ce qui donne limx0

4 x sin 1x = 0 ; d'où lim

x0

f x − f 0x−0

=0 .

La fonction f est donc bien dérivable en 0 et f ' 0=0 .


46 Chapitre 4 - DÉRIVATION

2. Comment étudier la dérivabilité d'une fonction f en a∈ℝ ?

Méthode

- On calcule limh0

f ah− f ah (ou lim

xa

f x − f ax−a ).

- Si la limite obtenue est un réel l , alors f est dérivable en a et on note f ' a=l .- Si la limite obtenue est égale +∞ ou −∞ ou encore si la limite n'existe pas (exemple: lim

x0sin 1

x n'existe pas), alors on écrit que f n'est pas dérivable en a .

Exemple 1On considère la fonction g définie sur [−1;∞[ par : g x=1− x2 x1 .

Étudier la dérivabilité de g en -1.

SolutionÉtudions la dérivabilité de g en -1. Pour x∈ [−1;∞[ , on a :g x −g −1

x−−1 = 1− x2 x1x1

= 1− xx1 x1x1 = 1−x x1 .

D'où limx−1

g x −g −1x−−1 = lim

x−11− x x1 = 0.

On conclut que g est dérivable en -1 et que g ' −1 =0.

Exemple 2

Soit f x = 1−2 x définie sur ]– ∞; 12 ] .

Étudier la dérivabilité de f en 12 .

Solution

On a f x − f 1

2 x−1

2

= 1−2 x−0

x−12

= 1−2 x2x−1

2

= 21−2 x−1−2x

= 2 1−2 x

−1−2x 1−2 x = 2

−1−2 x .



D'où limx 1

2

f x− f 12

x−12

= limx 1

2

2−1−2 x . Or lim

x 12

−1−2x = 0− ; ce qui

donne limx 1

2

2−1−2 x = –∞ et donc lim

x 12

f x− f 12

x−12

= –∞.

On peut donc conclure que f n'est pas dérivable en 12 .

3. Comment étudier la dérivabilité d'une fonction f sur un intervalle I donné ?

MéthodeOn détermine l'intervalle de dérivabilité de f grâce aux théorèmes généraux et aux conditions de dérivabilité du tableau des dérivées usuelles. Si nécessaire, on complète l'étude par la dérivabilité en un point.

Exemple

Soit f x = 1−2 x définie sur I= ]–∞; 12 ] .

Étudier la dérivabilité de f sur I.

SolutionOn a f =u avec u x =1−2 x . La fonction f est donc dérivable sur tout intervalle où u est dérivable et u x 0 .La fonction polynôme u est dérivable sur ℝ et u x 0 équivaut à

1−2 x0 ou encore x12 .

f est donc dérivable sur l'intervalle ]−∞; 12[ .

Il ne reste plus qu'à vérifier la dérivabilité de f en 12 .

Dans l'exemple précédent, nous avons montré que f n'était pas dérivable en

12 en montrant que lim

x 12

f x− f 12

x−12

=−∞ .



On conclut donc que f est dérivable sur l'intervalle ]−∞; 12[ .

4. Comment interpréter graphiquement le

résultat suivant : limh0

f ah− f ah = ∞

ou quelle conséquence graphique ce résultat a-t-il pour Cf ?

MéthodeDe ce résultat, on déduit que C f admet une tangente verticale au point d'abscisse a.

5. Comment interpréter graphiquement les résultats suivants: lim

h0h0

f ah− f ah

=

= rée l et limh0h0

f ah− f ah = réel, avec

≠ ou quelle conséquence graphique ces résultats ont-ils pour Cf ?

MéthodeCe résultat dit que la dérivée à droite de a est différente de la dérivée à gauche. On en déduit que C f admet deux demi-tangentes au point d'abscisse a (ou encore le point d'abscisse a est

un point anguleux de C f ).

6. Comment calculer f '(a) ?

Méthode- On calcule f ' x en dérivant f .- On calcule f ' a en remplaçant x par a dans f ' x .

ExempleSoit f x = xe−x26 définie sur ℝ . Calculer f ' −2 .

Solutionf , produit de fonctions dérivables sur , est dérivable sur .ℝ ℝ



Pour x∈ℝ, on a f ' x = …= e−x261−2 x2 .D'où f ' −2 = e−−2261−2−22 = −7e2 .

7. Comment interpréter graphiquement f '(a) ?

Méthodef ' a est le coefficient directeur de la droite tangente à C f au point d'abscisse a .

8. Comment déterminer graphiquement f '(a) ?

Méthodef ' a étant le coefficient directeur de la droite tangente à C f au point d'abscisse a , on utilise les méthodes de détermination d'un coefficient directeur (lecture graphique si possible

ou calcul avec f ' a =y B− y A

x B− xA, A et B étant deux points quelconques de la tangente).

Exemple Ci-contre, on a la courbe représentative d'une fonction f et des tangente aux points d'abscisse 1, 3 et 4. Déterminer f ' 1 , f ' 3 et f ' 4 .

SolutionPar définition, f ' a est le coefficient directeur de la tangente au point de la courbe de f qui a pour abscisse a. La tangente au point d'abscisse 3 étant horizontale, on déduit que f ' 3=0 (prendre deux points sur cette droite et calculer son coefficient directeur pour voir).Par lecture graphique, la tangente au point d'abscisse 1 a pour coefficient directeur 4. D'où f ' 1=4 (ici aussi, on peut calculer le coefficient directeur en prenant deux points

de la tangente dont on peut lire les coordonnées exactes). De même, une lecture graphique donne f ' 4=−2 .



9. Comment justifier que f est dérivable sur un intervalle I avant de calculer f '(x) ?

Méthode Il suffit d'appliquer les conditions de dérivabilité contenues dans le tableau des dérivées usuelles. Sans oublier que les fonctions polynômes, rationnelles, cosinus, sinus et exponentielles sont dérivables sur leur ensemble de définition. Mais aussi, la somme et le produit de fonctions dérivables sur un intervalle y sont dérivables.

Exemple (voir méthode suivante)

10. Comment calculer f '(x) ?

MéthodeOn explique pourquoi f est dérivable sur I et on utilise l'une des formules suivantes :

f est dérivable sur tout intervalle où...

Domaine de dérivabilité de f

uv '=u 'v ' u et v sont dérivables

ku '=ku ' , avec k∈ℝ

u est dérivable

uv '=u ' vuv ' u et v sont dérivables

uv '=u ' v−uv '

v2u et v sont dérivables et v≠0

un'=nu ' un−1 , n *∈ℕ

u est dérivable xn '=nxn−1 ℝ

1u '=−u '

u2u est dérivable et u≠0 1

x '=−1x2

ℝ*

1un '=−nu '

un1 , n *∈ℕ u est dérivable et u≠0 1

xn'= −nxn1

ℝ*



u '= u '2u

u est dérivable et u>0 x '= 1

2 x]0 ;∞[

eu '=u ' eu u est dérivable ex '=e x ℝ

ln u '=u 'u

u est dérivable et u>0 ln x '=1

xℝ*

sin u '=u ' cos u u est dérivable sin x '=cos x ℝcosu '=−u ' sin u u est dérivable cos x '=−sin x ℝ

tan u '= u 'cos2 u

=u est dérivable et u x ≠

2k ; k∈ℤ

tan x '= 1cos2 x

= 1tan 2 x

ℝ−{2 k ; k∈ℤ}

u°v '=v '×u ' °v u et v sont dérivables et v x appartient à l'ensemble de dérivabilité de u.

Remarques- Les dérivées à droite peuvent être obtenues en remplaçant u par x dans la colonne de gauche.- Attention ! La dérivée de un est nu ' un−1 et non nun−1 .

- Pour obtenir la dérivée de 1un , il suffit de voir que 1

un =u−n et remplacer n par −n dans

un '=nu ' un−1 .- Pour ne plus confondre les dérivées de sin et cos, voici une astuce: sin est simple: sa dérivée donne gentiment cos . Alors que cos, compliqué, a pour dérivée −sin .

ExemplesMontrer que les fonctions suivantes sont dérivables sur un intervalle à déterminer, puis calculer leur dérivée :

a) f x =−4 x35 x 2−7 x−9 ; b) g x=−x25 x6x3 ;

c) h x =x−x ; d) k x=x−1−4 x22 ;

e) m x= 2−x−x21

; f) n x = −5x2−3

; g) h x =cos3 x ;

h) p x =−4 x3−x12 ; i) q x =sin x−12

, x ∈ [ 0 ;] ;

j) r x =cos x3−x ; k) s x =−2sin −5 x−1 ;

l) v x=ln−x5x−1 .



Solutiona) La fonction f est un polynôme, donc dérivable sur I=ℝ.Comme f est une somme de fonctions, f ' est la somme des dérivées de chacune de ces fonctions, c'est-à-dire, pour tout x∈I : f ' x=−12 x210 x−7 .

b) La fonction g , fonction rationnelle, est dérivable sur son ensemble de définition I=ℝ*. Pour déterminer g ' , on peut voir g comme un quotient de fonctions; mais en y regardant de plus près, on constate que l'expression de g est simplifiable.

En effet, pour x∈I : g x=−x25 x6x3 =−x2

x3 5 xx3

6x3=

−1x 5

x26x3 .

On en déduit que g ' x = 1x2−

10x3−

18x4 , pour tout x∈I.

c) Les fonctions x x et x x sont dérivables sur I= ]0 ;∞[ . On en déduit que h est dérivable sur I en tant que somme de fonctions dérivables sur I.

Et, pour tout x∈I, on a h ' x= 12 x

−1 .

d) k , produit de deux fonctions polynômes, est dérivable sur I=ℝ. La fonction k est de la forme uv où u x =x−1 et v x=−4 x22 . Donc k '=u ' vuv ' .Comme u ' x=1 et v ' x =−8x , on en déduit que pour x∈I, on a :k ' x =1−4 x22x−1−8 x =−12 x28 x2 . e) La fonction m , fonction irrationnelle, est dérivable sur son ensemble de définition I=ℝ\{-1;1}.

m est de la forme uv où u x =2−x et v x=−x21 .

Donc m '=u ' v−uv 'v2 .

Comme u ' x=−1 et v ' x =−2 x , on en déduit que :

m ' x =−1−x21−2−x −2x−x212

=3 x 24 x−1−x212 , x∈I.

f) La fonction n est une fonction rationnelle, donc dérivable sur son ensemble de définition I=ℝ\ {3;−3} . La fonction n peut être vue comme un quotient de fonctions ; ce qui, en procédant comme précédemment, permettrait d'obtenir l'expression de n ' .Mais, pour éviter de longs calculs, il faut remarquer que:

n x = −5x2−3

=−5 1x2−3 .



n apparaît ainsi sous la forme −5×1u où u x =x2−3 et donc

n '=−5−u 'u2 .

Comme u ' x=2 x , on en déduit que :

n ' x=−5 −2 x x2−32 = 10 x

x2−32, x∈I.

g) La fonction h est la composée des fonctions x cos x et x x3 , toutes deux dérivables sur ℝ. h est donc dérivable sur I=ℝ.Pour x∈I, on a h x =cos3 x=cos x3 . La fonction h est donc de la forme un où u x =cos x et n=3 ; ce qui donne h '=nu ' un−1 . Comme u ' x=−sin x , on en déduit que :h ' x=3 −sin xcos x3−1=−3sin xcos2 x , x∈I. h) La fonction p est un polynôme donc dérivable sur I=ℝ.p est de la forme un où u x =−4 x3− x1 , n=2 et donc p '=nu ' un−1 .

Comme u ' x=−12 x2−1 , on en déduit que : p ' x=2−12 x2−1−4 x3− x1 , x∈I.

i) La fonction q est de la forme u où u x =sin x−12 . Elle est donc

dérivable sur tout intervalle où u est dérivable et u x 0 .

u est dérivable sur ℝ et u x 0 équivaut à sin x−120 ou encore

sin x12 .

On en déduit que q est dérivable sur I=]6 ; 5 6 [ et q '= u '

2u.

Comme u ' x=cos x , pour tout x∈I, on a : q ' x= cos x

2 sin x−12

.

j) La fonction r est de la forme cos u où u x =x3− x . Elle est donc dérivable sur tout intervalle où la fonction polynôme u l'est. C'est-à-dire I=ℝ. De plus, r '=−u ' sin u .Comme u ' x=3 x2−1 , on en déduit que :r ' x=−3 x2−1sin x3−x , x∈I. k) On remarque que s=−2 sin u où u x =−5x−1 . La fonction s est donc dérivable sur tout intervalle où la dérivabilité de u est assurée. Le polynôme u est dérivable sur I=ℝ donc s aussi. On a s '=−2 u ' cosu .Comme u ' x=−5 , on en déduit que : s ' x =−2 −5cos −5 x−1 , x∈I.



l) En posant u x =−x5x−1 , on a v=ln u . La fonction v est donc dérivable

sur tout intervalle I où u est dérivable et u x 0 . La fonction rationnelle u est dérivable sur ℝ− {1} et u x 0 sur l'intervalle ]1; 5[ . On en déduit que la fonction v est dérivable sur l'intervalle I=]1; 5[ .

Comme v '=u 'u et u ' x= −4

x−12 , alors, pour x∈I, on a :

v ' x =

−4x−12

−x5x−1

= −4−x5 x−1

.

11. Comment calculer une dérivée seconde ?

MéthodeOn calcule avec la relation f ' '= f ' ' . f ' ' est la dérivée de f ' .

ExempleSoit f x = ln x2−3 définie sur I = [ 2;∞[ . Calculer f ' ' x .

Solution

x2−30 sur [ 2;∞[ ; f est donc dérivable sur I et f ' x = 2 x

x2−3.

D'autre part, f ' , fonction rationnelle, est dérivable sur -{-ℝ 3 ; 3 } donc sur I.

D'où, f ' ' x = f ' x ' = 2 xx2−3' = …=

−3x2−32

.

12. Comment étudier le signe d'une dérivée (ou, plus généralement, comment étudier le signe d'une fonction) ?Attention ! On ne résout pas systématiquement l'équation f ' x = 0 ! encore moins f ' x 0 !

Méthode 1Par déduction, sans aucun calcul.



ExempleDéterminer le signe des dérivées suivantes :

f ' x=e−x2−9 sur , ℝ g ' x = −41x2 sur , ℝ h ' x= x

2−x5 sur

] –∞ ;5[ et k ' x = ln 1x 2 sur . ℝ

Solution- Pour f ' , on sait que eA0 pour tout A ; on a donc ∈ℝ f ' x0 sur ℝ.- Pour g ' , on a x210 sur . On en déduit que ℝ g ' x est du signe de −4 donc g ' x 0 sur .ℝ- Pour h ' , on remarque que 2−x50 sur ] –∞ ;5[ (la racine-carrée d'un nombre

est positif par définition et ici x≠5 ...). Ce qui implique que h ' x a le même signe que x .On conclut que h ' x≥0 sur [0 ;5 [ et h ' x0 sur ] –∞ ;0 ] .- Pour k ' , comme x20 pour tout x , on a ∈ℝ 1 x21 ; d'où ln 1x20 et donc k ' x 0 sur . ℝ

Méthode 2- Si f ' x=axb , on résout l'équation f ' x=0 . f ' x est alors du signe de a à droite de la racine et du

signe de −a à gauche. - Autre possibilité : on résout directement axb0 pour trouver les valeurs de x pour lesquelles f ' x0 . On en déduit l'intervalle sur lequel f ' x0 .

ExempleÉtudier le signe de f ' x=−2 x7 sur . ℝ

Solution 1

Résolvons l'équation f ' x=0 : f ' x=0 ⇔ −2 x7=0 ⇔ x=72 .

On en déduit le tableau de signe de f ' :

x –∞72 +∞

f ' x + 0 –

Remarque : pour déterminer le signe de f ' x sur ]−∞ ; 72 ] , il suffit de prendre un nombre sur cet intervalle et

de voir le signe de f ' ; ainsi f ' 0=70 ; d'où le signe +. On procède de même sur l'intervalle [ 72

;∞[ :

f ' 4=−10 . Ce qui donne le signe "-".



Solution 2Cherchons les valeurs de x pour lesquelles f ' x0 .

On a f ' x0 ⇔ −2 x70 ⇔ x72 (ne pas oublier de changer le sens de l'inégalité

lorsqu'on divise par un nombre négatif).

On conclut directement que f ' x0 sur [ 72

;∞[ et f ' x0 sur

]–∞; 72 ] .

Méthode 3Si f ' x=ax2bxc , on calcule son discriminant , puis suivant le signe de , on établie le tableau de variation de f . Si b=0 ou c=0 on peut se passer du calcul de .

ExempleÉtudier les signes de f ' x = −2 x23 x−1 sur ,ℝg ' x = x2−5 x sur , ℝ h ' x = 4 x2−1 sur , ℝ k ' x =3 x27

sur et ℝ m ' x =−4 x1x−5 sur .ℝ

Solution- Signe de f ' : résolvons l'équation du second degré −2 x23 x−1=0 .

=10 donc deux solutions : x1=12 et x2=1 .

f ' x a le signe de a (ici -2) à l'extérieur des racines et le signe contraire de a à l'intérieur.

On en déduit que f ' x0 sur ]– ∞; 12 ] ∪ [1 ;∞[ et f ' x0 sur

[ 12

;1] .

- Signe de g ' : inutile ici de calculer . En effet, x2−5 x=0 ⇔

x −2 x3=0 ⇔ x=0 ou x=32 .

g ' x = x2−5 x étant un polynôme du second degré, on peut lui appliquer la règle de signe des polynômes du second degré (signe de a à l'extérieur…) utilisée pour f ' .

On obtient ainsi, f ' x≥0 sur ] –∞ ;0 ] ∪ [ 32

;∞[ et g ' x 0 sur

[0 ; 32 ] .



- Signe de h ' : on se passera encore du calcul de ; on a 4 x2−1=0 ⇔

2 x−12 x1=0 ⇔ x=12 ou x=−1

2 .

On en déduit que h ' x0 sur ]–∞;−12 ] ∪ [ 1

2;∞[ et h ' x0 sur

[−12

; 12 ] .

- Signe de k ' : sans perdre de temps à calculer , il suffit de remarquer que 3 x270 x .∀ ∈ℝDonc k ' x 0 sur . ℝ- Signe de m ' : plutôt que de développer m ' x =2 x−1x5 pour l'avoir sous la forme d'un trinôme du second degré et passer par ou encore étudier le signe de chaque facteur, on peut noter que m ' est un trinôme du

second degré, puis résoudre directement m ' x =0 pour obtenir 12 et -5

comme racines en faisant 2 x−12 x1=0 ⇔ 2 x−1=0 ou 2 x1=0...Et grâce aux règles de signe des trinômes du second degré (ici a=−4 ), on

obtient: m ' x 0 sur [−5: 12 ] et m ' x 0 sur ] –∞ ;−5 ] ∪ [ 1

2;∞[ .

(Le signe de m' peut être déterminé grâce à un tableau de signes).

Méthode 4On factorise f et on étudie le signe de chaque facteur (à

essayer en présence d'exponentielles).

ExempleOn note f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par :

f x = 1x2 e

1x .

Calculer f ' x et déterminer son signe sur ]0 ; +∞[.

SolutionComme x≠0, f, produit de fonctions dérivables sur ]0 ; +∞[, est dérivable sur

]0 ; +∞[. Et pour tout x0 , on a f ' x =...= −2x3 e

1x− 1

x 4 e1x .

Pour étudier le signe de f ' , factorisons f ' x :

f ' x = e1x −2

x3 −1x4 = e

1x −2 x−1

x4 , pour x0 .

On a, pour tout x0 , e1x0 , x40 et −2 x−1=−2 x10.

D'où f ' x0 sur ]0 ; +∞[.



Méthode 5Si f ' x=acos xb (ou a sin xb ), on résout l'inéquation a cos xb≥0 (ou a sin xb≥0 ) en s'aidant du cercle trigonométrique pour déterminer le signe de f ' .

Exemple 1

Soit h la fonction définie sur [0 ; 2 [ par : h =2 tan− 4cos

.

Déterminer l'expression de h ' , puis son signe.

SolutionLa fonction cos ne s'annule pas sur [0 ; 2 [ donc 4

cos est

dérivable sur [0 ; 2 [ , de même que h , somme de fonctions dérivables.

Pour ∈ [0 ; 2 [ , on a h ' = ...= 2−4sincos2

.

Déterminons le signe de h ' : pour ∈ [0 ; 2 [ , cos20 ; h ' est donc

du signe de 2−4 sin sur [0 ; 2 [ .

Pour étudier le signe de 2−4 sin , résolvons, sur [0 ; 2 [ , l'inéquation

2−4 sin≥0 :

On a 2−4 sin≥0 ⇔ sin≤12 ⇔ ∈ [0 ; 6 ] (on peut le voir sur un cercle

trigonométrique).

On en déduit que h ' 0 sur [0 ; 6 ] et h ' 0 sur [6 ; 2 [ .

Exemple 2Soit la fonction g définie sur [− ; ] par g x=21−sin x sin x . Calculer g ' x et donner son signe sur [− ; ] .

Solutiong est dérivable sur [− ; ] en tant que produit de fonctions dérivables sur [− ; ] . Pour x ∈ [− ;] , on a :g ' x = 2 [ 1−sin x '×sin x1−sin x sin x ' ]

= 2 [−cos x sin xcos x−cos x sin x ] = 2cos x−4cos x sin x = 2cos x 1−2sin x .



Étudions le signe de g' : pour cela, il suffit de déterminer ceux des facteurs cos x et 1−2sin x .

On a cos x0 sur [−2 ; 2 ] et cos x0 sur [− ;−

2 ] ∪ [2 ; ] (on peut le

voir sur un cercle trigonométrique).

D'autre part, pour x ∈ [− ;] , on a 1−2sin x0 ⇔ sin x12 .

Or sin x12 sur I= [− ;6 ] ∪ [ 5

6;] et sin x1

2 sur J= [6 ; 56 ] .

On en déduit que 1−2sin x0 sur I et 1 − 2 sin x0 sur J. Rassemblons les résultats précédents dans un tableau pour terminer l'étude du signe de g ' :

x – – 2

−6

2

56

cos x - 0 + + 0 - -1 − 2sin x + + 0 - - 0 +

Signe de g'(x) - 0 + 0 - 0 + 0 -

Méthode 6Lorsque f ' est de la forme f ' x=aexb , f ' x=a ln xb , f ' x=a sin xb ou f ' x=acos xb (a et b réels), on résout l'inéquation f ' x0 pour trouver le signe de f ' .

ExempleÉtudier le signe des dérivées suivantes :a) f ' x=−2ex4 , x∈ℝ.b) g ' x =3 ln x−1 , x ∈ ]0 ;∞[ .c) h ' x=−2sin x−1 , x ∈ ]− ;] .d) k ' x =2cos x−3 , x ∈ [ 0 ;] .

Solutiona) Pour x∈ℝ, on a f ' x0 ⇔ −2 ex40 ⇔ ex2 ⇔ xln 2 (on a

appliqué la fonction ln, fonction croissante sur ℝ∗ , pour "neutraliser" l'exponentielle).On peut donc conclure que f ' x0 sur l'intervalle ]−∞; ln 2 ] et f ' x0 sur [ ln 2;∞[ .

b) Pour x ∈ ]0 ;∞[ , on a : g ' x 0 ⇔ 3 ln x−10 ⇔ ln x 1

3 ⇔ xe13 (on a appliqué la fonction

exponentielle qui est croissante sur ℝ).



D'où, g ' x 0 sur l'intervalle [e 13 ;∞[ et g ' x 0 sur ]0 ;e

13 ] .

c) Pour x ∈ ]− ;] , on a :

h ' x0 ⇔ −2sin x−10 ⇔ sin x−12 ⇔ x ∈ [−5

6;−

6 ] .On a donc h ' x0 sur l'intervalle [−5

6;−

6 ] et h ' x0 sur

]− ;−56 ]∪ [−

6; ] .

d) Pour x ∈ [ 0 ;] , on a :

k ' x 0 ⇔ 2cos x−30 ⇔ cos x32 ⇔ x ∈ [0; 6 ] .

Ainsi, k ' x 0 sur l'intervalle [0 ; 6 ] et k ' x 0 sur [6 ; ] .

Remarque : on obtient les solutions des inéquations trigonométriques, sin x−12 et cos x3

2, sur le cercle

trigonométrique.

Méthode 7On dérive deux ou trois fois f , puis en utilisant les variations, on déduit les signes (à utiliser lorsque f ' x =a cos xu x , a sin xu x , ax b ecx d ou si l'énoncé le demande).

Exemple 1Soit f x = 2 cos xx26 définie sur [0 ; ] . Étudier le signe de f ' sur [0 ; ] .

SolutionLa fonction f est dérivable sur [0 ; ] et f ' x = −2sin x2 x .Essayons d'appliquer la méthode précédente: on a −2sin x2 x≥0 ⇔ sin x x . Impossible d'aller plus loin. Et c'était prévisible : −2 sin x2 x n'est pas de la forme a sin xb , avec a ,b . ∈ℝPour obtenir a sin xb ou a cos xb , dérivons une deuxième fois la fonction f :Pour tout x ∈ [0 ; ] f ' ' x = f ' x ' = −2 sin x2 x ' = −2 cos x2 .La forme a cos xb apparaît enfin et on sait étudier son signe :−2 cos x20 ⇔ cos x1 . Or cos x1 ∀ x∈ ℝ donc ∀ x∈ [0 ;] .Ainsi, f ' ' x 0 sur [0 ; ] . Ce qui veut dire que f ' est croissante sur [0 ; ] .Pour tout x ∈ [0 ; ] , on a 0x . f ' étant croissante sur [0 ; ] , on en déduit que f ' 0 f ' x f ' ; c'est-à-dire, 0 f ' x2 .En définitive, nous avons montré que f ' x0 sur [0 ; ] .



Exemple 2

Soit f x = ex − x 2

2. Déterminer le signe de f ' x pour tout x

réel.

SolutionLa fonction f est dérivable sur en tant que somme de fonctions dérivablesℝ sur et on a, pour tout x , ℝ ∈ℝ f ' x = e x − x . Essayons de résoudre f ' x0 : On a pour x réel, f ' x0 ⇔ ex x . On ne peut aller plus loin : ex x ne peut être résolue de façon classique. D'où la nécessité "d'alléger" f ' x . Pour cela, dérivons f ' : f ' ' x = ex − 1 , x .∈ℝ

Déterminons le signe de f ' ' : f ' ' x 0 ⇔ ex1 ⇔ x ln1 ⇔ x0 . Ce qui signifie que f ' ' x 0 ⇔ x0 .Établissons le tableau de variation de f ' :

x –∞ 0 +∞f ' ' x – 0 +

f ' x 1

1 est le minimum de f ' sur . Par suite, ℝ f ' x1 sur ℝ et donc f ' x0 pour tout x∈ℝ.

Méthode 8Lorsque f ' s'écrit comme un produit ou quotient de plusieurs facteurs, on étudie le signe de chaque facteur et, si nécessaire, on termine l'étude du signe à l'aide d'un tableau.

ExempleSoit la fonction h définie sur par ℝ h t = −2 t 4t 32 t 2t−5 . Déterminer le signe de h ' sur . ℝ

SolutionLa fonction h , fonction polynôme, est dérivable sur etℝ h ' t =−8 t 33 t 24 t1 .Factorisons h ' t pour pouvoir étudier son signe.Dans le cas général, pour factoriser un polynôme de degré supérieur ou égal



à 3, on procède comme suit :- On trouve une racine évidente (on teste avec 1, -1, 2, -2, 3 ou -3).- On applique ensuite le résultat suivant : "Si est une racine d'un polynôme P, alors P se factorise en P x =x− où (…) est un polynôme de la forme axncxd de degré inférieur de 1 à celui de P."Dans le cas de h ' t = −8 t 33 t 24 t1 qui est un polynôme de degré 3, on remarque que h ' 1=0 ; ce qui signifie que 1 est une racine de h ' . Par conséquent, h ' se factorise en h ' t =t−1at 2btc sur . ℝOn at−1at 2btc =at 3bt2ct−at 2−bt−c=at 3b−a t 2c−bt−c .D'oùh ' t = t−1 at 2btc ⇔ −8 t33 t 24 t1=at 3b−a t 2c−b t−c .

Par identification des coefficients, on obtient : { a=−8b−a=3c−b=4−c=1

⇔ {a=−8b=−5c=−1

.

On peut écrire que pour tout t∈ ℝ , h ' t = t−1−8 t2−5 t−1 .Étudions les signes des facteurs t−1 et −8 t 2−5 t−1 .On a t−10 ⇔ t0 .D'autre part, −8 t 2−5 t−1 a pour discriminant =−52−4×−8×−1=−7 .0 ; d'après les règles de signe des trinômes du second degré, −8 t 2−5 t−1 a le signe de a=−8 . On a donc −8 t 2−5 t−10 sur .ℝLe tableau suivant, résumé des deux études de signe précédentes, permet de déterminer le signe de h ' :

t –∞ 1 +∞t – 1 - 0 +

−8t 2−5 t−1 - -h ' t + 0 -

13. Comment déterminer le sens de variation d'une fonction f sur un intervalle I ?

Méthode 1- On explique pourquoi f est dérivable sur I.- On calcule f ' x .



- On étudie le signe de f ' sur I.- On en déduit le sens de variation de f ou on établit, si cela est explicitement demandé ou si cela s'avère nécessaire, son tableau de variation.

ExempleDéterminer le sens de variation de la fonction f définie sur parℝ f x = 5−2 x2 .

Solutionf , fonction polynôme, est dérivable sur etℝf ' x = 2 −25−2 x = 8 x−20 .

Étudions le signe de 8 x−20 : pour x ∈ ℝ , 8 x−200 ⇔ x52 .

On a donc f ' x0 sur [ 52

;∞[ et f ' x0 sur ]–∞; 52 ] .

Du signe de f ' , on déduit que la fonction f est croissante sur [ 52

;∞[ et

décroissante sur ]– ∞; 52 ] .

Attention ! Déterminer le sens de variation d'une fonction ne veut pas dire établir obligatoirement son tableau de

variation. Si par exemple f ' x = −e−x−1

x2 , on déduit que f ' x 0 sur et donc que ℝ f est strictement

croissante sur . Par contre, s'il est explicitement demandé de donner le tableau de variation de f, dans ce cas, on n'aℝ pas le choix, on le fait.

Méthode 2On écrit f comme la composée de fonctions et on utilise les règles de variation d'une fonction composée (si u et v ont le même sens de variation alors u °v est croissante, si u et v ont des sens de variations contraires alors u °v décroissante).


SolutionLa fonction f peut s'écrire f =u ° v avec u x =x2 et v x=5−2 x .La fonction carrée u est croissante sur [0 ;∞[ et décroissante sur ]−∞; 0 ] .v, fonction affine, est décroissante sur ℝ (en général, une fonction affine f x =axb est

croissante sur si ℝ a0 et décroissante sur si ℝ a0 ).On en déduit que f est croissante (u et v décroissantes) sur l'intervalle I tel que

v x∈ ]–∞ ;0 ] ⇔ 5−2 x0 ⇔ x52 .



La fonction f est donc croissante sur [ 52

;∞[ .

De la même façon, on prouve que f est décroissante (u croissante et v décroissante) sur

]–∞; 52 ] .

Remarque : attention à la détermination des intervalles de variations de f !

Méthode 3On utilise la définition de la croissance ou de la décroissance (à n'utiliser que si exigée).


SolutionSoit x , y tel que ∈ℝ x y . Comparons f x et f y , c'est-à-dire 5−2 x2 et 5−2 y 2 .Or pour comparer le carrée de deux nombres il faut qu'ils soient tous deux positifs ou tous deux négatifs. Ici, il faut donc qu'on ait 5−2 x≥0 et

5−2 y0 c'est-à-dire x52 et y5

2 .

Considérerons donc deux réels x , y ∈ [ 52

;∞[ tels que x y .

On a x y ⇔ −2 x−2 y ⇔ 5−2 x5−2 y . Comme 5−2 x≥0 et 5−2 y0 et la fonction x x2 est croissante sur ℝ , c'est-à-dire si 0AB alors A2B2 , on en déduit que5−2 x2 > 5−2 y 2 .

Par conséquent, f est décroissante sur [ 52

;∞[ .

En procédant de la même façon, on montre que f est croissante sur

]–∞; 52 ] .

Méthode 4On écrit f comme la somme de deux fonctions qui ont le même sens de variation sur I et on en déduit que f a le même sens de variation sur I.

Exemple 1Déterminer sur ] –∞ ;0 ] le sens de variation de la fonction f x = 5−2 x2 .



SolutionÉcrivons f comme la somme de deux fonctions : On a f x = 25−20 x4 x2 ; d'où f =uv avec u x = 25−20 x et v x = 4 x2 .u, fonction affine de coefficient directeur négatif, est décroissante sur et vℝ qui a une dérivée v ' x =8 x négative sur ℝ− , est décroissante sur ] –∞ ;0 ] .On en déduit que f est décroissante sur ] –∞ ;0 ] .Remarque : cette méthode ne permet pas de déterminer les variations de f sur en entier car sur ℝ ℝ , u est décroissante et v croissante.

Exemple 2Soit f x = x3 x définie sur I = [0 ;∞[ . Déterminer le sens de variation de f sur I .

SolutionOn a f =uv avec = u x = x3 et v x = x .La fonction cube u est croissante sur I et la fonction racine-carrée v est croissante sur I . On en déduit que f est croissante sur I.

14. Comment montrer qu'une fonction f est encadrée par deux autres sur un intervalle donné (c'est-à-dire g x f x h x sur I) ?

Méthode- Pour x ∈ I , on pose : x= f x−g x et x = f x −h x .- On détermine le sens de variation de et de pour montrer que x0 et x 0 sur I .

Exemple

Montrer que pour tout x0 , on a x− x2

2ln 1 x x .

SolutionRemarquons que pour tout x0 , on a :

x− x2

2ln 1 x x ⇔ ln 1x x− x2

2 et ln 1x x

⇔ ln 1x −x x2

2≥0 et ln 1x −x0 .



Posons donc, pour tout x ∈ I = [0 ;∞[ , x = ln 1x −x x2

2 et

x = ln 1x −x et étudions leur sens de variation pour montrer que x0 et x 0 . Pour tout x ∈ I , 1 x0 ; la fonction x ln 1x est donc dérivable sur I. étant la somme de deux fonctions dérivables sur I l'est aussi sur I et

' x = 1

1x−1 x = x2

1x.

Comme x0 , 1 x0 et x2≥0 . On en déduit que ' x ≥0 sur I et donc que est croissante sur I.Pour tout x ∈ I , on a x0 . La croissance de sur I entraîne x0

⇔ xln 10−002

2 ⇔ x0 .

La première inégalité est ainsi démontrée.On procède de la même façon pour la deuxième inégalité: est dérivable sur

I et ' x = 1

1x−1 =

−x1x .

x0 donne 1 x0 et −x0 . On en déduit que ' x≤0 et donc que est décroissante sur I. Pour tout x ∈ I , on a x0 . décroissante sur I donne x 0 ⇔ x ln 10−0 ⇔ x 0 . La deuxième inégalité est aussi vraie.

On conclut que pour tout x0 , on a bien x− x2

2ln 1 x x .

15. Comment montrer qu'une fonction f est constante sur un intervalle I ?

MéthodeOn montre que f est dérivable sur I et que pour toutx ∈ I , f ' x=0 .

16. Comment déterminer une équation de la tangente à Cf au point d'abscisse a ?

Méthode 1On utilise la relation y= f ' a x−a f a .



Exempleh est la fonction définie sur ℝ par h x = −2 x2−13 . Déterminer une équation de la droite tangente à Ch , la courbe représentative de h, au point d'abscisse -1.

SolutionOn sait qu'une équation de est de la forme y=h' ax−a ha . Ici, a vaut -1. D'où a pour équation : y=h' −1x−−1h −1 . Calculons h −1 et h ' −1 : on a h −1 = −2−12−13 = −27 . Pour pouvoir calculer h ' −1 , déterminons h ' x . La fonction h, fonction polynôme, est dérivable sur ℝ et est de la forme u3 avec u x = −2 x2−1 . On a donc h ' x = 3u ' xu2x =…= −12 x −2 x2−12 et h ' −1 = 108.On obtient comme équation de : y=h' −1x−−1h −1 y=108 x1−27 y=108 x81 .

Méthode 2La tangente étant une droite, on peut, si l'énoncé le permet, déterminer son équation comme en classe de seconde, c'est-

à-dire calculer son coefficient directeur m=y B− y A

x B−x A, puis

déterminer l'ordonnée à l'origine p : dans l'équation de la tangente y=mx p , on remplace x et y par les coordonnées d'un point quelconque de la tangente et m par sa valeur.

17. Comment montrer qu'il existe une ou des tangentes à Cf passant par un point A x A; y A du plan ?

MéthodeOn écrit que si une telle droite existe, elle sera tangente à C f en un point d'abscisse a (à déterminer) et aura pour équation: y= f ' a x−a f a . Comme le point A xA ; y A appartient à cette droite, en remplaçant ses coordonnées dans l'équation précédente, on obtient l'équation: y A= f ' a xA−a f a que l'on résout pour trouver la ou les valeurs de a.



Exemple

Soit la fonction f définie sur -{1} par ℝ f x = e x

1x et C f sa

courbe représentative. Montrer qu'il existe exactement deux droites tangentes à C f qui passent par le point O(0;0).

SolutionSi une telle droite existe, elle sera tangente à C f en un point d'abscisse a et aura pour équation: y= f ' a x−a f a .Comme O(0;0) est un point de cette droite, ses coordonnées vérifient l'équation précédente. On obtient ainsi : 0= f ' a0−a f a .

f étant dérivable sur -{-1}, on a ℝ f ' x = xe x

1 x2.

Donc 0= f ' a0−a f a ⇔ aea

1a2 −a ea

1a=0

⇔ −a2 eaeaaea

1a2 = 0

⇔ ea−a2a1 = 0 avec a≠−1 . ⇔ −a2a1=0 , a≠−1 (car ea0 ).En résolvant cette dernière équation (trinôme du second degré) par le calcul de son

discriminant , on obtient deux racines −15−2

et −1−5−2

qui peuvent

s'écrire 1−5−2

et 152

.

Nous avons trouvé deux valeurs de a , abscisses des points où C f admet des tangentes passant par le point O.En conclusion, il existe deux tangentes à C f passant par l'origine O, l'une au

point d'abscisse 1−5−2

et l'autre au point d'abscisse 152

.

18. Comment montrer qu'il existe une ou des droites tangentes à Cf parallèles à une droite (D) donnée d'équation y=mx+p ?

Méthode- On écrit qu'une droite tangente à C f en un point d'abscisse a a pour coefficient directeur f ' a . Cette tangente, parallèle à D , a le même coefficient directeur que (D) ; c'est-à-dire : f ' a=m .



- On résout l'équation obtenue pour trouver la ou les valeurs de a.

Exemple

Soit f x = x32 x2x 2−1

définie sur ℝ -{-1;1}.

Déterminé l'abscisse des points de la courbe C f où la tangente est parallèle à la droite D: y=x2 (la question peut être formulée autrement: « Montrer qu'il existe des droites tangentes à C f parallèles à la droite D d'équation: y=x2 . » En effet, montrer l'existence d'une droite tangente à une courbe revient au même que de trouver l'abscisse a du point où cette droite est tangente à la courbe).

SolutionSoit T une tangente à C f en un point d'abscisse a . T a pour coefficient directeur f ' a . D'autre part, comme T est parallèle à D dont le coefficient directeur est 1, on a f ' a = 1.f , fonction rationnelle, est dérivable sur -{-1;1} etℝ

f ' x =...= x4−3 x 2−4 xx2−12 .

On a donc f ' a = 1 ⇔ a4−3 a2−4 aa2−12 = 1

⇔ a4−3 a2−4 a = a4−2a21 avec a≠-1 et 1. ⇔ a24a1 = 0, avec a≠-1 et 1.Après calcul du discriminant =12 de cette équation du second degré, on

obtient : a=−4122

ou −4−122

; ce qui, après simplification, nous

donne a=−23 ou a=−2−3 . On peut conclure que C f admet des tangentes parallèles à D aux points d'abscisses −23 et −2−3 .

19. Comment étudier la position de Cf par rapport à une tangente T d'équation y=mx+p ?

Méthode- On calcule f x − y . - On étudie le signe du résultat obtenu.- On conclut que C f est au-dessus de T sur l'intervalle où f x − y0 et en dessous de T sur l'intervalle où f x − y0

(voir méthode étude position asymptote oblique : ch2-c8).



20. Comment calculer la dérivée d'une fonction définie à l'aide de la valeur absolue ?

MéthodeOn écrit la fonction sans la valeur absolue en utilisant le

résultat suivant : ∣∣ = { si0− si0 , puis on la dérive

normalement.

ExempleCalculer f ' x où f x = cos x∣−3 x24 x−1∣ .

SolutionOccupons-nous de la valeur absolue.

∣−3 x24 x−1∣ = { −3 x24 x−1 si −3 x24 x−10−−3 x24 x−1 si −3 x 24 x−10

.

On détermine le signe de −3 x 24 x−1 soit par le calcul de son discriminant, soit en remarquant que 1 en est une racine évidente. Par suite :

∣−3 x24 x−1∣ = { −3 x24 x−1 si 13x1

3 x2−4 x1 si x13

ou x1.

On peut donc écrire l'expression de f de façon explicite :

f x = { cos x−3 x24 x−1 si 13x1

cos x3 x2−4 x1 si x13

ou x1.

Par conséquent, f ' x = { −sin x−6 x4 , si 13x1

−sin x6 x−4 , si x13

ou x1.


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