COMPTE-RENDU DES ACTIVITÉES DEVELOPPEÉS DANS LA PERIODE OCT 2007 – MAI 2008

Davide Ceresetti22.05.2008

IntroductionExemples de CDF de la pluie pour différentes stations: on considère pour chaque station au moins 10% des valeurs les plus fortes.

FRACTALITÉ DES PLUIES FORTES?

Stat 301

Stat 162Stat 19

Stat 198

Analogie: Mandelbrot et la côte de la Bretagne

1. A

utos

imila

rité

des

série

s te

mpo

relle

s2.

Rég

iona

lisat

ion

des

fort

es p

luie

s3.

App

licat

ions

Mandelbrot avait noté, pour la côte de la Bretagne, que si on changeait la dimension du support de la mesure, on obtenait une longueur différente

N = nombre d'éléments nécessaires pour recouvrir la côte L = longueur du support

On cherche à faire la même chose avec la pluie, le support étant cette fois l`intensité de pluie (mm/h).

log

log

Histogramme de L

Mandelbrot donne des limites pour L ou la linéarité est valide: ces limites ont un sens physique.

Sommaire

● 1. Caractérisation des pluies fortes ponctuelles

● 2. Vers une régionalisation des pluies a l'aide de l'auto-similarité

1.1 Fractalité de la pluie

1.2 Invariance d'échelle des propriétés de la pluie

2.1 Cartes de la variabilité de pluie fortes

2.2 Cartes du paramètre d'invariance d'échelle

Propriétés fractale des séries temporelles de pluies.

1.1

Fractalité et probabilité de survie

Log (X)

Log (P(X>x)) xmin

xmax

Dans certaines limites, la probabilité de survie montre une linéarité en axes bilogarithmiques

Station 112

Indépendamment du nombre de données, une large gamme de probabilités semble être caractérisée par une loi de puissance.

1. A

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s3.

App

licat

ions

QUELLE EST LA GAMME DE VALIDITÉ ?

Détermination des fréquences empiriques

Weibull, 1939 Kottegoda et Rosso, 1997

ÉchantillonGaussien

ÉchantillonGEV, GPD,..

Outliers ou alors mauvaise détermination des fréquences??

3. A

pplic

atio

ns

ÉVALUER LA CDF DE LA POPULATION GRÂCE À L'ESTIMATION DES FRÉQUENCES EMPIRIQUES DE L'ÉCHANTILLON

Formules empiriques généralement utilisées

1. A

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Rég

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s

Problème: utiliser ou non les fenêtres glissantes?

Fenêtre glissante => valeurs les plus fortes Interdépendantes

On mesure plusieurs fois le même événement --> virage vers les basses fréquences

Exemple: Tacc

=18h

Tacc

=18h, station 112

3. A

pplic

atio

ns

Taccumulation = 18 h peu de donnèes Fenêtre glissante

Mais

1. A

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Rég

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s

Fiabilité de la détermination des fréquences empiriques

Comment comparer les fréquences de la population avec celles de l'échantillon?

●Les fréquences « théoriques » ont été déterminées en supposant la validité de la loi de puissance.

●Les fréquences empiriques, en utilisant la formule de (Kottegoda et Rosso, 1997).Fr

éque

nces

em

piriq

ues

Fréq

uenc

es th

éoriq

ues

3. A

pplic

atio

ns

1. A

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rité

des

série

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mpo

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s2.

Rég

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fort

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s

3. A

pplic

atio

ns

1. A

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imila

rité

des

série

s te

mpo

relle

s2.

Rég

iona

lisat

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des

fort

es p

luie

s

Histogramme théorique de la loi de puissance

α=3α=2

Log10 (I)

Log10 (1-P(X>x))

-6

-5

-4

-3

-2

Log10 (1-P(X>x)) CDF PDF-1 10000 9000-2 1000 900-3 100 90-4 10 9-5 1 1

Νοµ βρε δ ε ϖαλευρσ (Ν=100 000)

Fiabilité de la détermination des fréquences empiriques

Comparaison entre histogrammes des fréquences empiriques et théoriques, avec un seuil de probabilité fixe à 1/500.

1 h

1. A

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Rég

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App

licat

ions

Fréquences théoriquesFréquences empiriques

Rainfall rate frequency (log)

Fiabilité de la détermination des fréquences empiriques

18 h

1. A

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s2.

Rég

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fort

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s3.

App

licat

ions

Fréquences théoriquesFréquences empiriques

L'évaluation des probabilités grâce à les fréquences empiriques ne semble pas être une méthode fiable.

Rainfall rate frequency (log)

Fiabilité de la détermination des fréquences empiriques

Comparaison des fréquences empiriques et théoriques, avec un seuil de probabilité fixé à 1/500.

On peut observer, pour un cumul de 1 heure, une générale correspondance. On note une sur-estimation des fréquences empiriques élevées par rapport aux fréquences théoriques.

1 h1. A

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s3.

App

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ions

Fiabilité de la détermination des fréquences empiriques

Comparaison des fréquences empiriques et théoriques, avec un seuil de probabilité fixe à 1/500.

On peut observer, pour un cumul de 18 heures, une générale sous-estimation des fréquences empiriques par rapport a les fréquences théoriques: Inter-dépendance élevée des pluies fortes

18 h1. A

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Rég

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des

fort

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s3.

App

licat

ions

donc

3. A

pplic

atio

ns

Il est préférable de s'affranchir de la détermination empirique des fréquences1. A

utos

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s

Estimation de la loi de puissance

Estimation fréquences empiriques + régression linéaire

Estimation en utilisant l`estimateur du maximum de vraisemblance (Newman, 2005, Goldstein et al., 2004, Clauset et al, 2007)

Estimation de la probabilité empirique

1

2

Régression linéaire de log(P(X>x)) vs. log(x)

a.

b.

L'estimation de la fréquence empirique n'est plus nécessaire.

3. A

pplic

atio

ns

α

Xmax

Xmin

1. A

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s

Détermination de Xmax

Détermination fréquences empiriques: il y a la nécessité d`établir un Xmax, car la variabilité des dernières valeurs affecte la fiabilité de la régression

Xmin

Xmax

Estimateur du maximum de vraisemblance: pas besoin de définir Xmax car on a pas l'estimation empirique de la fréquence.

1. A

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Rég

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App

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Détermination de Xmin (Clauset et al., 07)

D'après Clauset et al. (2007), une façon efficace de déterminer Xmin est l'application dutest Kolmogorov-Smirnov:

1. Choisir une distribution pour la partie inférieure à Xmin

2. Supposer que la partie supérieure a Xmin réponde à une loi de puissance

3. Faire varier Xmin jusqu'à obtenir le maximum du test (minimum de D)

Log (X)

Log (P(X>x))

xmin

Log X

Log P(X

Conclusions 1.1

1. A

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Rég

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s3.

App

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ions

1. CDF LINEAIRE EN AXES LOG-LOG --> Fractalité de la pluie

2. SIGNIFICAT PHYSIQUE --> Un evt. 10 fois plus fort a 1/10 des possibilités d'apparaitre

3. GAMME DE VALIDITÉ --> Processus physique: limites sup, inf

4. ESTIMATION EXPOSANT DE LA LOI PUISSANCE --> Max de vraisemblance

5. DISTRIBUTION SPATIALE DU COEFFICIENT α?

Auto-similarité des pluies avec la durée d'intégration

1.2

Introduction Une propriété fondamentale des objets fractales est

l'AUTO-SIMILARITÉ

La PDF de la distribution est semblable en changeant la durée d'accumulation.

1 h 2 h

3 h 4 h Station 312

1. A

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Autosimilarité des pluies

Log (λ)

Log (μ),Log (σ),....

Les statistiques de certaines variables changent avec l'échelle de temps considéré, suivant une relation log-log linéaire.

1. A

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Rég

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App

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ions

Objectif: évaluer les propriétés d'auto-similarité des pluies observées pour comprendre l'effet des changements d'échelle.

t(h)

I (mm/h)

t(h)

I (mm/h)

H = Hölder exponent = pente de la droite

Invariance d'échelle: définitions

1. A

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s

Proportionnalité des distributions statistiques

Proportionnalité des moments non centrés

Proportionnalité des quantiles

STRICT SENSE SCALING (Gupta et Waymire, 1990)

WIDE SENSE SCALING (Gupta et Waymire, 1990)

3. A

pplic

atio

ns

Invariance d'échelle dans les pluies ponctuelles

1. A

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App

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ions

Les quantiles sur la droite montrent une invariance d'échelle(Rosso et Burlando, 1996)

Q90,1h

Q90,2h

Q90,4h

1 h

2 h

4 h

H est une constante pour chaque quantile.

Si H est constante, latransition d'échelle se fait avec une simple

translation: DROITES DE PENTE CONSTANTE.

Log x

Log x

Log x

Log p(x)

Log p(x)

Log p(x)

Invariance d'échelle des données observées

1. A

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App

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ions

00.010.11

10

100

P(X>x)

Inte

nsité

plu

ie (m

m/h

)

Distribution moyenne des quantiles sur la région.

Q90 Q95 Q99 Q99.5

H constante --> droites parallèles en log-log.

----- 1h------ 2h------ 4hLes droites ne sont pas parfaitement parallèles:

Mélange des données trop différentes?

H varie avec la probabilité?

0.010.11

10

100

1h2h4h

Pluviomètres avec invariance d'échelle

1. A

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es p

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s3.

App

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ions

P(X>x)

Inte

nsité

plu

ie (m

m/h

)Q90 Q95 Q99

H constante --> droites parallèles en log-log.

Seulement 4 pluviomètres sur la région montrent une parfaite log-log linéarité des quantiles.

Taille de l'échantillon est trop petite?

Station 2

Station # Nom

2 Chassera121 Divajeu172 Bedarieux197 Saugues

Conclusions 1.b

1. A

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s2.

Rég

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fort

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s3.

App

licat

ions

1. CDF de la pluie semble être FRACTALE pour différentes résolutions temporelles.

2. L'exposant H caractérise l'invariance d'échelle. Si le coefficient α ne dépend pas de Tacc

, H doit être constante.

3. Relation d'auto-similarité pas trop adaptée pour les quantiles. Sous-échantillonnage?

4. Existe-t-il une distribution spatiale du coefficient H?

Vers une régionalisation des pluies à l'aide des hypothèses d'auto-similarité.

2

2.1 Fortes pluies

Objectif: régionalisation des propriétés d'auto-similarité des pluies fortes.

Base de données: pluies horaires automnales OHMCV

● Nécessité d'avoir un nombre d'échantillons assez grand.● Limiter l'analyse aux pluviomètres qui ont enregistré plus de 2000 données horaires.

2. R

égio

nalis

atio

n de

s fo

rtes

plu

ies.

.. 1.

Aut

osim

ilarit

é de

s sé

ries

tem

pore

lles

110 pluviomètres

3. A

pplic

atio

ns

2. R

égio

nalis

atio

n de

s fo

rtes

plu

ies.

.. 1.

Aut

osim

ilarit

é de

s sé

ries

tem

pore

lles

Spatialisation de la variabilité des fortes pluies

La variabilité des fortes pluies est liée à la pente de la loi de puissance.

Log X

Log p(X)

Queues lourdes: variance (et parfois moyenne),divergent.

Log p(x)

Log X

α=3,∃ μ,σ

α=1 limite supérieureQUEUESLEGERES

QUEUESLOURDES:∃ σ

3. A

pplic

atio

ns

2. R

égio

nalis

atio

n de

s fo

rtes

plu

ies.

.. 1.

Aut

osim

ilarit

é de

s sé

ries

tem

pore

lles

Variogrammes de l'exposant de la loi de puissance 3.

App

licat

ions

0 20 40 60 80 100 1200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1h2h3h4h

Le variogramme semble être défini pour durées d'accumulation inférieurs a 3 h. Pour 4h il montre une dérive --> no portée.

Distance (km)

vario

gram

me

2. R

égio

nalis

atio

n de

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ies.

.. 1.

Aut

osim

ilarit

é de

s sé

ries

tem

pore

lles

Variogrammes de l'exposant de la loi de puissance

Le paramètre α peut être considéré comme appartenant a une distribution gaussienne,on peut donc kriger les données si on trouve un variogramme cohérent.

3. A

pplic

atio

ns

T cumul pépite portée palier1h 0.5 90 km 12h 0.45 82 km 0.953h 0.4 90 km 1?4h 0.5? 100 km? -

2. R

égio

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n de

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plu

ies.

.. 1.

Aut

osim

ilarit

é de

s sé

ries

tem

pore

lles

Carte de la variabilité des fortes pluies à 1h

1 h

La plus grande variabilité à été rencontrée dans la zone de Nîmes.

Ça peut être du à l'énergie élevée des cellules orageuses dans la zone de déclenchement.

3. A

pplic

atio

ns

Pour les temps de cumul de 1h et 2h le variogramme est bien défini, on peut donc cartographier l'exposant de la loi de puissance.

2. R

égio

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plu

ies.

.. 1.

Aut

osim

ilarit

é de

s sé

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tem

pore

lles

Carte de la variabilité des fortes pluies à 2h

2 h

Le comportement a 2h est similaire a celui pour le cumul de 1h. Dans la zone de déclenchement des phénomènes orageuses on observe la plus grande variabilité de la pluie.

Une zone a queues lourdes est présente entre le Mt Lozère et la Serre de la Croix de Bauzon, probablement masquée a 1h par l'échantillonnage.

3. A

pplic

atio

ns

2. R

égio

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plu

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.. 1.

Aut

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ilarit

é de

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tem

pore

lles

Carte de la variabilité des fortes pluies à 3h3.

App

licat

ions

3 h

Selon l'hypothèse d'auto-similarité, la valeur du coefficient alpha doit rester constante avec la durée d'accumulation.

En effet la localisation du maximum est la même, on a des très petites variations.

Un autre maximum, plus limité en taille, est localisé proche de la Serre de la Croix de Bauzon.

EFFET OROGRAPHIQUE SUR LES PLUIES FORTES A 3h?

2. R

égio

nalis

atio

n de

s fo

rtes

plu

ies.

.. 1.

Aut

osim

ilarit

é de

s sé

ries

tem

pore

lles

Éléments essentiels de l'analyse3.

App

licat

ions

1. La variabilité de la pluie est plus élevée en plaine (α plus petit)

2. La variabilité de la pluie ne semble pas changer avec la durée d'accumulation,sauf là où il y a un effet du à l'orographie --> à voir avec l`intermittence.

3. Tacc

>3h problèmes d'interpolation --> phénomènes imbriqués?

3. Conclusions pour des durées d'accumulation > 3 h difficiles à tirer:structure du variogramme complexe, dérive et forte portée

2. R

égio

nalis

atio

n de

s fo

rtes

plu

ies.

.. 1.

Aut

osim

ilarit

é de

s sé

ries

tem

pore

lles

2b. Régionalisation de l'ensemble de pluies

L'auto- similarité est une propriété valable sur l'ensemble de la distribution statistique, on peut donc aller voir si il y a des différences spatiales dans l'exposant H de la relation:

En pratique, plutôt que examiner l'entière PDF de la pluie tombée au pluviomètre, on peut regarder le « wide sense scaling », c'est-a-dire l'égalité des moments non centrés.

3. A

pplic

atio

ns

H caractérise le changement d'échelle temporelle. q: ordre du moment.

2. R

égio

nalis

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n de

s fo

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plu

ies.

.. 1.

Aut

osim

ilarit

é de

s sé

ries

tem

pore

lles

Exemple numérique

I (1h) = 4 mm/h en moyenne (moment ordre 1)

À Montpellier H=0.38

Montpellier Précipitation moyenne (mm/h)1h 42h 3.053h 2.654h 2.35

Sur la Serre de la Croix de Bauzon H=0.19

Précipitation moyenne (mm/h)1h 42h 3.553h 3.34h 3.1

Serre de la Cx1h 2h 3h 4h

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

MontpellierSerre de la Cx

3. A

pplic

atio

ns

Pour calculer H on a considéré que le moments statistiques inférieurs a trois, car les moments supérieurs divergent assez rapidement.

q=1

Temps d'accumulation (h)In

tens

ité d

e pl

uie

(mm

/h)

2. R

égio

nalis

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n de

s fo

rtes

plu

ies.

.. 1.

Aut

osim

ilarit

é de

s sé

ries

tem

pore

lles

Carte de l'exposant H sur la région

Effet orographique sur l'ensemble des pluies?

Peu des différences entre les intensités de pluie horaire et sur 4 h.

3. A

pplic

atio

ns

Pour calculer H on a considéré que le moments statistiques inférieurs a trois, car les moments supérieurs divergent assez rapidement.

2. R

égio

nalis

atio

n de

s fo

rtes

plu

ies.

.. 1.

Aut

osim

ilarit

é de

s sé

ries

tem

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lles

Conclusions 2.2

●Les cartes montrent un évidente caractéristique régionale des fortes pluies, ce qui ne permet pas de regrouper des données relatives a des pluviomètres situès en régions différentes --> perte d`ergodicité.

●En considérant l'entière PDF, on trouve que les moments pour différentes durées de cumuls sont reliés à travers un coefficient H, exposant de Hölder.

●H est plus élevé dans les plaines, et est plus faible sur la crête du massif. ●Deuxième preuve de l'effet OROGRAPHIQUE (sur l'ensemble des pluie et non plus seulement sur les extrêmes)?

3. A

pplic

atio

ns

1. A

utos

imila

rité

des

série

s te

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Applications

●Gain en robustesse des courbes I-D-F basée sur des considérations physiques comme l'auto–similarité des pluies. Les IDF ne sont plus études des maxima, mais dérivées grâce à des statistiques plus robustes.

● Possibilité d`extrapolation des propriétés statistiques des pluies (moments, quantiles, poids des queues) à différentes durées de cumul (DOWNSCALING STATISTIQUE)

● Aide à l'évaluation de la fréquence d'occurrence de la pluie estimée par radar, amélioration de la détermination de la sévérité des orages.

● Évaluation des pluies simulées et de leur comparaison avec les pluies observées (pluviomètres - radar).

3. A

pplic

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ns

2. R

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plu

ies

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