1MA201 La methode des elements finis.Controle continu du 14 novembre 2008.Duree : 3 heures.Documents autorises : polycopie MA201 (partie 1 et partie 2),enonces/corriges TD MA201, enonces TP MA201.Toute reponse doit etre justifiee.

Exercice 1 Un proble`me de bi-laplacien. Soit , un ouvert borne connexe deR3, de frontie`re suffisamment regulie`re, et soit f L2().

On cherche u L2() definie sur telle que

[|u|2 + |u|2

]d

22. Pour une fonction a` valeurs vectorielles := (i)i=1,2,3, on a

()i = i, 1 i 3.

Soit (D())3. Montrer que

= rot rot div.

3. Pour une fonction a` valeurs vectorielles , on a

()ij =ixj

, 1 i, j 3.

Soient (,) (D())3 (D())3. Etablir legalite suivante

: d =

rot rot d +

div div d. (3)

En utilisant un resultat de densite, verifier que (3) est encore valable pour(,) (H10 ())

3 (H10 ())

3.

4. Soit u H20 (), montrer que := u (H10 ())

3. On introduit

|u|2, :=

(

|u|2 d

)1/2,

la semi-norme H2(). Utiliser (3) pour montrer

|u|2, = uL2(), u H20 (). (4)

5. Montrer quil existe une constante C > 0 telle que2

u2H1() C|u|22,, u H

20 (). (5)

Indication: Raisonner par labsurde.

6. Demontrer lexistence et lunicite de la solution du proble`me (2).

7. On decoupe la frontie`re en = 1 2 avec 1 2 = et mes(1) > 0.Soit le sous-espace de H2() defini par

Y ={v H2() : v|1 = 0, v ~n|1 = 0

}.

Soient g1 et g2 deux elements de L2(2). On veut etudier la formulation

variationnelle suivante

u Y,

u v d =

fv d +

2

[g1 v ~n g2 v] d, v Y.(6)

2Sous les hypothe`ses de lenonce, linjection H2() H1() est compacte.

3On admet que la formulation variationnelle ci-dessus est bien posee. In-terpreter (6) en termes dequations aux derivees partielles et de conditionsaux limites en supposant que la solution du proble`me est assez regulie`re (celapermet deffectuer des integrations par parties sans se soucier de la regularitedes fonctions).

Etablir finalement lequivalence entre le proble`me ecrit sous forme dequationaux derivees partielles et de conditions aux limites et la formulation variation-nelle (6).

Exercice 2 Approximation numerique par penalisation. Soit , un ouvertborne connexe de R2, de frontie`re suffisamment regulie`re. On introduit lespace

= {w H1() : w L2()}

et lon se donne une fois pour toutes les fonctions f L2() et u . On pose

a(u, v) =

u v d, `(v) =

fv d.

1. Demontrer quil existe une unique fonction u H1() verifiant{(u u) H10 (),

a(u, v) = `(v), v H10 ().(7)

Indication : changer de fonction inconnue.

2. Interpreter (7) en termes dequations aux derivees partielles et de conditionsaux limites pour u.

3. Soit Vh un sous-espace de dimension finie de H1() et h un reel strictement

positif. Demontrer quil existe une unique fonction uh Vh telle que

a(uh, vh) +1

h

(uh u)vh d = `(vh), vh Vh.

Indication : etablir que la forme bilineaire ah, definie par

ah(uh, vh) = a(uh, vh) +1

h

uhvh d, (uh, vh) Vh2,

verifie ah(vh, vh) > 0 pour tout element vh non nul de Vh.

Dans les questions 4., 5. et 6., on supposera que u H2(), poursimplifier lecriture des termes sur .

44. Etablir que

|uuh|21,+

1

huuh

2L2() = a(uuh, uvh)+

1

h

(uuh)(uvh) d

+

u

~n(u uh) d

u

~n(u vh) d, vh Vh.

On rappelle que :

|v|1, := (a(v, v))1/2 et vL2() :=

(

v2 d

)1/2.

5. Soient > 0, a, b R. Etablir linegalite :

ab

2a2 +

1

2b2.

En deduire que, pour tout vh Vh, on a :

|u uh|1,|u vh|1, 12|u uh|

21, +

12|u vh|

21,,

1hu uhL2()u vhL2()

12hu uh

2L2() +

12hu vh

2L2(),u

~n

L2()

u vhL2() h2

u~n

2L2()

+ 12hu vh

2L2().

6. Montrer quil existe une constante C independante du sous-espace Vh et dunombre h telle que

|uuh|1, C

{inf

vhVh

(|u vh|

21, +

1

hu vh

2L2()

)+ h

u~n2

L2()

}1/2.

On supposera desormais louvert polygonal et la fonction u suff-isamment regulie`re. Soit (Th)h une famille regulie`re de triangu-lations, composees de triangles. Pour chaque h, soit Vh lespacedapproximation interne de H1() construit a` laide de lelement finide Lagrange P 1.

7. En donnant toutes les justifications necessaires, etablir que

infvhVh

(|u vh|

21, +

1

hu vh

2L2()

) C(u)h2

(1 +

1

h

),

ou` C(u) est une constante qui ne depend que de la solution u.

8. On suppose enfin que h est de la forme h = h, avec un reel. Montrer que

pour un choix convenable du nombre > 0, on a

|u uh|1, = O(h1/2).