M103 : Fondements de l'analyse 2

8/8/2019 M103 : Fondements de l'analyse 2

1/81

Notes de CoursM103 : FONDEMENTS DE LANALYSE 2

Clment BoulonneWeb : http://clementboulonne.new.fr

Mail : [email protected]

Universit des Sciences et Technologies de LilleU.F.R de Mathmatiques Pures et AppliquesLicence de Mathmatiques Semestre 2
http://clementboulonne.new.fr/http://clementboulonne.new.fr/


2/81

ii


3/81

Table des matires

Chapitre I Polynmes 1I.1 Introduction historique et dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1I.2 Rappels sur la structure danneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

I.3 Structure danneau polynomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2I.4 Degr dun polynme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4I.5 Division polynomiale suivant les puissances dcroissantes . . . . . . . . . 5I.6 Polynmes irrductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8I.7 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Dtermination des coefficients de la dcomposition . . . . . . . . . . . 11

2.1 Premier cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Deuxime cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Troisime cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Partie polaire et thorme de la division suivant les puissances croissantes 14I.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Chapitre II Intgrales de Riemann 19II.1 Somme de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19II.2 Mthodes dintgration par les primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . 27II.3 Primitives de fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29II.4 Primitives de fractions rationnelles trigonomtriques . . . . . . . . . . . 31II.5 Primitives de polynmes trigonomtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 33II.6 Applications de lintgrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1 Travail effectu par une force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 Longueur dune trajectoire plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 Calcul de laire dune surface de rvolution . . . . . . . . . . . . . . . . 36

II.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Chapitre III Dveloppements limits et formules de Taylor 41III.1 Introduction sur les dveloppements limits . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1 Dfinitions gnrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412 Unicit du dveloppement limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 DL au voisinage dun point quelconque de R . . . . . . . . . . . . . . . 43

iii


4/81

iv TABLE DES MATIRES

4 Thormes sur les fonctions relles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44III.2 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1 Formule de Taylor avec reste intgral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472 Formule de Taylor avec reste lagrangien . . . . . . . . . . . . . . . . . 473 Formule de Taylor-Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484 Formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485 Formule de Taylor-MacLaurin (cas particulier Taylor-Young) . . . . . . 496 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

III.3 Oprations sur les DL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501 Somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502 Produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513 Quotient de DL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514 Composition de DL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5 Drivation et intgration de DL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53III.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1 Recherche dquivalents en x0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532 Recherche dun quivalent en + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543 Calcul de limites, formes indtermines . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.1 Dtermination de limx0 f(x)/g(x) . . . . . . . . . . . . . . . . 543.2 Dtermination de limx0(f(x))g(x) . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4 Etude locale des courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.1 Position dune courbe par rapport sa tangente . . . . . . . . 554.2 Position dune courbe par rapport ses asymptotes . . . . . . 56

III.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Chapitre IV quations diffrentielles 61IV.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61IV.2 quation du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

1 quations variables sparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612 quation linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.1 Rsolution de lquation sans second membre . . . . . . . . . . 632.2 Recherche dune solution particulire . . . . . . . . . . . . . . . 642.3 Mthode de la variation de la constante . . . . . . . . . . . . . 64

IV.3 quations diffrentielles du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661 quation homogne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662 Solutions de lquation avec second membre . . . . . . . . . . . . . . . 67

IV.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Chapitre A Formulaires 69A.1 Primitive des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69A.2 Quelques formules de DL au voisinage de 0 . . . . . . . . . . . . . . . . 69A.3 Quelques formules de trigonomtrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69


5/81

PROGRAMME DU COURS

M103 : Fondements de lanalyse 2 [S2, 5 ECTS]Prrequis : M101 et M102

(12 h) Polynmes - Fractions rationnelles.

Dfinitions. Anneau des polynmes. Arithmtique (Bezout, Gauss, polynmes irr-ductibles, DAlembert, factorisation sur Q, R, C). Racines, ordre de multiplicit.Fractions rationnelles. Dcomposition en lments simples.

(18 h) Intgrales de Riemann - Calcul dintgrales.Dfinition de lintgrale via les sommes de Riemann pour les fonctions C0. Proprits debase : relation de Chasles, linarit, ingalit triangulaire. Applications la dfinitionde la longueur dune courbe, du travail effectu par une force, de laire dune surfacede rvolution. Thorme de Newton-Lebniz (ou Thorme fondamental du calculintgral).Calcul dintgrales via les primitives avec des applications. Intgration par parties

et par changement de variables. Primitives de fonctions rationnelles, de fonctionsrationnelles trigonomtriques. (12 h) Formules de Taylor.

Formules de Taylor (de Lagrange, avec reste intgrale), applications. Dveloppementslimits, applications.

(8 h) quations diffrentielles.Linaires du premier ordre et variables spares. Linaires du second ordre coefficients constants, homognes et inhomognes.

v


6/81

vi CHAPITRE . PROGRAMME DU COURS


7/81

CHAPITRE I

POLYNMES

I.1 Introduction historique et dfinitions

La notion de polynme signifie plusieurs monmes, cest--dire une expression quicomporte plusieurs inconnues dont on veut trouver leurs valeurs. La naissance de lalgbre,qui marque un dtachement progressif de la contrainte gomtrique, permet une meilleurecomprhension des polynmes. Al-Khawarizimi, dans son ouvrage Abrg du calcul par larestauration et la comparaison, dcrit et rsout les six quations canoniques 1 du seconddegr ainsi que les mthodes pour sy ramener. Il y dtermine X comme la racine dupolynme et X2 son carr. Les lettres a, b et c sont connus et deviendront des variables au XVIIIe sicle.

Dfinition I.1 (Dfinition fonctionelle des polynmes). Un polynme sur un anneau

commutatifK est une fonction de type :

P : K KX 0 + 1X+ + anXn.

ou encore (une notation un peu plus abrge) :

P : K KX

ni=0

iXi .

On appelle X la variable du polynme P et i K les coefficients du polynme.Dfinition I.2 (Dfinition gnrale des polynmes). SoitK un anneau commutatif unitaire( lment unit). On appelle polynme une variable coefficients dans K, une suite(k)kN dlments dans K, nulle partir dun certain rang. Le coefficient 0 est appelterme constant et les i, pour i N, sont nomms les coefficients du polynme. On noteraK[X] lensemble des polynmes une variable X et coefficients dans K.

Dans la section suivante, nous allons faire un rappel sur les notions danneaux.

1. qui sont aX2 = c, aX2 = bc, aX= c, aX2 + bX= c, aX2 + c, aX2 + c = bX, bX+ c = aX2.

1


8/81

2 CHAPITRE I. POLYNMES

I.2 Rappels sur la structure danneau

Dfinition I.3 (Anneau). Soit A un ensemble. On dit que A est un anneau sil est munide deux lois de composition interne.

Une loi additive note + qui est associative, commutative, possde un lment neutre(quon note 0 ) et chaque lment de A possde un inverse pour +. Si on montreces quatre proprits, on montre que (A, +) est un groupe ablien.

Une loi multiplicarive note qui est associative, cest--dire :x,y,z A, x(yz) = (xy)z,

et distributive, cest--dire :

x,y,z A, x (y + z) = xy + xz.Si cette loi est commutative, on dit que lanneau est commutatif et si A possde un lmentunit pour la mulitiplication, on dit que A est unitaire.

Dfinition I.4 (Sous-anneau). Soient A un anneau et B un sous-ensemble de A. On ditque B est un sous-anneau de A si :

1. B est un sous-groupe de A pour laddition,

2. Pour tout x, y B, x y B.Dfinition I.5 (Homomorphisme danneau). Soient A un anneau et f: A A uneapplication. On dit que f est un homorphisme danneau si cest une application linairevrifiant des proprits de transport :

f(x + y) = f(x) + f(y), pour tout x, y A. f(xy) = f(x)f(y), pour tout x, y A.

Dfinition I.6 (Anneau intgre). Soit A un anneau. On dit que A est intgre si A est un anneau commutatif, A possde un lment neutre pour la multiplication (qui est diffrent de llment

neutre pour laddition), Si x, y A tels que x = 0 et y = 0 alors x y = 0.

Dfinition I.7 (Idal). B est un idal dun anneau A si : B A, B est un sous-groupe additif de A, Si x B alors, pour tout x A, x y B (cette proprit est labsorbance de A dans

B).

I.3 Structure danneau polynomiale

Dfinition I.8 (Addition polynomiale). Soient P = (0, 1, . . .) et Q = (0, 1, . . .) deuxpolynmes. On dfinit laddition polynomiale par

P + Q = (0 + 0, 1 + 1, . . .).


9/81

I.3. STRUCTURE DANNEAU POLYNOMIALE 3

Dfinition I.9 (Multiplication polynomiale). Soient P = (0, 1, . . .) et Q = (0, 1, . . .)on dfinit alors la multiplication polynomiale par :

P Q = (0, 1, 2, . . .)avec

0 = 00,

1 = 10 + 01

2 = 20 + 11 + 02

n = 0n + 1n1 + + pnp + + n0 =

i+j=n

ij.

Proposition I.10. Soient P = (0, 1, . . .) et Q = (0, 1, . . .). Si les i sannulent partir dun certain rang N et j sannulent partir dun certain rang P alors n sannule partir du rang N + P.

Dmonstration. On suppose que i = 0 pour tout i N et j = 0 pour tout j P. DansN+P, chaque ij sera nul car soit i N ou j P. Do chaque terme dans la somme deN+P sera nul.

Si K, on note = (, 0, 0, . . .) et on peut vrifier, en exercice, que :f : K K[X]

est un homomorphsime injecitve. Ainsi K devient un sous-anneau de lanneau polynomialeK[X] et comme 1 K, f(1) = 1 = (1, 0, 0, . . .) est llment neutre du produitDfinition I.11 (criture usuelle des polynmes). On note le polynme racine X =(0, 1, 0, 0, . . .). Donc :

X2 = (0, 1, 0, 0, . . .)

Xn = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . .)

o le 1 est la (n + 1)e coordonne de la suite

nXn = (0, 0, . . . , 0, n, 0, . . .)

o le n est la (n + 1)e coordonne de la suite

.

Do, si P est un polynme qui scrit de la manire suivante :

0 + 1X+ 2X2 + 3X

3 + alors il scrit comme une suite (0, 1, 2, 3, . . .).


10/81


I.4 Degr dun polynme

Dfinition I.12 (Degr dun polynme). Soit PK[X] tel que P = ki=0 iXi. Onappelle degr du polynme P, le plus grand entier n tel que n = 0. Cet entier existe sauf

si P = 0, on dit, dans ce cas, que le polynme P est de degr 0.

Dfinition I.13 (Coefficient dominant et polynme unitaire). SoitP K[X] tel que sondegr soit n. Sin = 0 alors n est le coefficient dominant du polynme P et si le coefficientdominant de P est gal 1 alors P est un polynme unitaire.

Exemple I.14. X3 + 3X + 2 est un polynme unitaire de degr 2 car son coefficientdominant est 1.

Remarque I.15. deg P n signifie soit que P est de degr infrieur ou gale n ou Pest un polynme nul.

Proposition I.16. SoientK un anneau commutatif et unitaire et P et Q deux polynmesdans K[X]. On note deg P (resp. deg Q) le degr du polynme P (resp. du polynme Q).On a toujours :

deg(P + Q) sup(deg P + deg Q).

Proposition I.17. SiK est un anneau intgre alors K[X] est un anneau intgre.

Thorme I.18. SoientK un anneau commutatif et unitaire et P, Q K[X] tels queP = 0 et Q = 0 alors la rgle des degrs est la suivante :

deg(P Q) deg P + deg Q

avec galit si et seulement siK est intgre (en vertu de la propositionI.17, siK[X] estintgre).

Dmonstration. 1 est lment unit de K[X] diffrent de 0 (lment neutre de laddition).Soient

P(X) = 0 + 1X+ + nXn,Q(X) = 0 + 1X+ + pXp

avec n = 0 et n = 0. Do :

P Q(X) = 00 + (01 + 10)X+ + npXn+p (I.1)

avec np = 0 car K est intgre. On a donc P Q = 0 et K[X] est intgre. Daprs (I.1),deg P Q = deg P + deg Q.


11/81

I.5. DIVISION POLYNOMIALE SUIVANT LES PUISSANCES DCROISSANTES 5

I.5 Division polynomiale suivant les puissances dcroissantes

On suppose que K est un corps.

Thorme I.19 (Division euclidienne). Soient A et B des lments de Kk[X] tels queB = 0. Alors il existe Q et R appartenant K[X] tels que

A = B Q + Ravec deg(R) < deg(P). On appelle Q (resp. R) le quotient (resp. le reste) de la division deA par B.

Proposition I.20 (Divisibilit des polynmes). 1. Si K tel que = 0 alors divise tout polynme de A de K[X] car :

A = 1

A .2. Soient A, B K[X] tels que B = 0 et A | B alors deg A deg B et si deg A = deg B

alors il existe K avec = 0 tel que B = A.3. SiA | B et B | A alors B = A avec K et = 0. Dans ce cas, on dire que A et

B sont des polynmes associs.4. Dans les problmes de divisibilit, deux polynmes associs jouent le mme rle. En

particulier, tout polynme diffrent de 0, on peut associer un polynme unitaire.

Lemme I.21. Si I est un idal de K[X] alors :(i) Il existe P

K[X] tel que I est lensemble des multiples P.

(ii) P est dtermin de manire unique multiplication prs par une constante diffrentede 0.

Dmonstration. (i) Si I = {0} alors le lemme I.21 est vident car I = 0 P, pour toutP K[X]. Supposons que I = {0} alors on considre P I tels que P = 0 et Payant le plus petit degr possible. Tout multiple de P appartient I car I est unidal de K[X]. Donc tous les multiples de P sont inclus dans I. Inversement, soitA I alors A K[X]. Donc, daprs le thorme I.19, on peut appliquer la divbisioneuclidienne A. Il existe donc Q, R appartenant K[X] tels que A = P Q + R etdeg P < deg P. Or A et P appartiennent I donc P Q I (car I est un idal) etA

P Q

I. Do R

I. Or, deg(R) < deg(P) et P est celui qui a le plus petitdegr possible. On aboutit donc une contradiction, cest--dire R = 0.

(ii) Comme A = P Q, tout lment de A est un multiple de P.

Remarque I.22. Si = 0 alors I est lensemble des multiples de P car si A I etA = Q P alors

A =

1

Q (P) = QP.

Tout polynme associ engendre I. Inversement, si I est lensemble des multiples de P maisaussi, lensemble des multiples de P alors P et P se divise lun lautre.


12/81


Thorme I.23 (PGCD). (i) Il existe un lment D de K[X] tel que les diviseurs co-muns A et B sont les diviseurs de D.

(ii) D est dtermin dune manire unique par (I.1) une constante multiplicative prs.(iii) Si A et B ne sont pas tous les deux non nuls, deg D majore le degr de tout diviseur

de A et de B.

(iv) On a la formule de Bzout : il existe U, V K[X] tels que AU + BV = D.Dmonstration. Soit I un sous-ensemble de K[X] qui est lensemble qui scrient sous laforme AP + BQ avec P, Q K[X]. I est alors un idal de K[X]. Donc, daprs le lemmeI.21, puisque I est un idal, il existe D K[X] tel que I lensemble des multiples de D.Donc, pour tout lment de la forme AP + BQ, il existe R tel que AP + BQ = RD.

Si P = 1 et Q = 0 alors A = R1D, do D | A.

Si P = 0 et Q = 1 alors B = R2D, do D | B.De plus, on a les quivalences suivantes :(i) Pour tout H K[X], H | A et H | B.

(ii) Pour tout H K[X], H | AP + BQ, pour des polynmes P et Q dans K[X].(iii) Pour tout H K[X], H | C et ceci pour tout C I.(iv) Pour tout H K[X], H | D o D = PGCD(A, B).

Remarques I.24 (Mthodes de calcul). Soient A, B K[X].

1. Si on veut calculer le PGCD(A, B), cela sous-entend que deg A deg B. Si B = 0 alorsles diviseurs communs de A et de B sont les diviseurs de A et ainsi PGCD(A, B) = A.Si B = 0 alors A = BQ + R1 avec deg R1 < deg B. Si P | A et P | B alors on utilisele thorme I.19. Si P | A et si P | BQ alors P | A BQ et P | R1. Comme P | B etP | R1 alors PGCD(A, B) = PGCD(B, R1) (cest lalgorithme dEuclide). Si R1 = 0alors PGCD(B, 0) = B. Si R1 = 0 alors il existe Q1 et R2 tels que B = Q1R1 + R2avec deg R2 < deg R1. Comme (deg B, deg Rk)kN est une suite dcroissante dentiersnaturels, par la mthode de descente finie, on finira par arriver un moment oRn+1 = 0. Donc : PGCD(A, B) = PGCD(Rn, Rn+1) = Rn.

2. On cherche dterminer U et V associs D = PGCD(A, B). On suppose que

deg B < deg A, donc il existe Q, R1 K[X] tels que :A = BQ + R1. (I.2)

Si R1 = 0, il existe Q1, R2 K[X] tels que :

B = Q1R1 + R2. (I.3)

Si R2 = 0, il existe Q2, R3 K[X] tels que :

R1 = R2Q2 + R3.


13/81

I.5. DIVISION POLYNOMIALE SUIVANT LES PUISSANCES DCROISSANTES 7

Si R3 = 0 (par exemple), R1 = R2Q2. Donc :

PGCD(A, B) = PGCD(B, R1) = PGCD(R1, R2) = PGCD(R2, R3)

car R3 = 0. On a alors :

R2 = B R1Q1 (daprs (I.3))= B (A BQ)Q1 (daprs (I.2))

= AQ1 + 1(QQ1)B.

Si on pose U = Q1 et V = 1 + QQ1, on obtient R2 = AU + BV.

Thorme I.25. Soient A,B,P K[X]. D = PGCD(A, B) si et seulement si DP =PGCD(AP,BP).Dmonstration. () Si D | A et D | B alors DP | AP et DP | BP.

() Si Q | AP et Q | BP alors il existe U et V tels que Q | AP U+BP V. Donc Q | DPcar daprs le thorme de Bzout, il existe U, V K[X] tels que AU + BV = D.

Thorme I.26. Soient Q,A,B K[X] tels que Q | A et Q | B avec Q = 0. On supposequil existe A1, B1 K[X] tels que A = A1Q et B = B1Q. Si D = PGCD(A, B) alorsQ | D etD = D1Q et D1 = PGCD(A1, B1).Dmonstration. Supposons que D1 = PGCD(A1, B1). Donc, daprs le thorme I.25, ona :

D1Q = PGCD(A1Q, B1Q).

Do : D1Q = PGCD(A, B) = D.

Thorme I.27 (Gnralisation de la formule de Bzout). Soient A,B,C K[X]. AlorsD = PGCD(A,B,C) vrifie la formule de Bzout, cest--dire il existe U,V,W K[X] telsque AU + BV + CW = D.

Dfinition I.28 (Polynmes premiers entre eux). Soient A, B

K[X]. On dit que A et B

sont premiers entre eux si PGCD(A, B) = 1.Lemme I.29 (Lemme de Gauss). Soient A,B,C K[X]. Si A | BC et si A et B sontpremier entre eux alors A | C.Thorme I.30. Soient A un polynme et (Bk)1kn une suite de polynmes. Si, pourtout 1 i n, PGCD(A, Bi) = 1 alors :

PGCD

A,

nk=0

Bk

= 1.


14/81


Dmonstration dans le cas n = 2. Si PGCD(A, B1) = PGCD(A, B2) = 1 alors il existeU1, V1 K[X] tels que :

AU1 + B1V1 = 1. (I.4)

et il existe U2, V2 K[X] tels que :

AU2 + B2V2 = 1. (I.5)

En faisant la multiplication de (I.4) et (I.5), on obtient :

(AU1 + B1V1)(AU2 + B2V2) = 1 A(AU1U2 + B1V1U2 + U1B2V2) + B1B2(V1V2) = 1.

Do PGCD(A, B1B2) = 1.

I.6 Polynmes irrductibles

Dfinition I.31 (Polynme irrductible). Soit P K[X]. On dit que P est un polynmeirrductible si deg P 1 et si tout diviseur de P est associ P ou 1.Remarque I.32. On montre que ces polynmes jouent le mme rle que les nombrespremiers pour les entiers.

Exemples I.33. 1. Tout polynme de degr 1 est irductible.

2. X2 + 1 comme lment de R[X] est irrductible. Supposons que X2 + 1 est rductible,

cela veut dire quil possde un diviseur forcment de degr 1. On pourra crireX2 + 1 = (X+ a)(X+ a). En dveloppant et en identifiant, on trouve :a = aa2 = 1

Or, a2 = 1 nadmet pas de solutions dans R donc le polynme X2 +1 est irrductibledans R[X]. Par contre, le polynme X2 + 1 comme lment de C[X] nest pasirrductible car :

X2 + 1 = (X i)(X+ i).

3. X2 2 comme lment de R[X] nest pas irrductible carX2 2 = (X+

2)(X

2)

et 2 R. Mais X2 2 est irrductible dans lanneau Q[X] car 2 / Q.Remarque I.34. Soient P, Q K[X] tels que Q est irrductible. Alors Q est premier avecP ou Q divise P car si Q nest pas premier avec P alors il existe un diviseur commun de Pet de Q (quon notera R) avec R | P et P | Q et R est diffrente dune constante. Mais Qtant irrductible, R est donc associ Q.


15/81

I.6. POLYNMES IRRDUCTIBLES 9

Consquence I.35. Si P et Q sont tous deux irrductibles alors PGCD(P, Q) = 1 ou Pet Q sont des polynmes associs. Si P et Q sont irrductibles, distincts et unitaires alorsPGCD(P, Q) = 1.

Dfinition I.36 (Dcomposition des polynmes). Soient P un polynme non nul dansK[X] et (Pi)iI une famille de polynmes unitaires et irrductibles, cest--dire que pourtout i = j, on a : PGCD(Pi, Pj) (cette famille est, en gnral, infinie). Alors :

P = iI

Pii

avec K et i N nuls partir dun certain rang.Thorme I.37. Soient P =

iIP

ii et Q =

iIP

ii avec , K et i, i N.

Alors P | Q si et seulement si, pour tout i I, i i.Dfinition I.38 (Fonction polynmiale). Soit P = (0, 1, . . . , n) K[X], on lui associela fonction polynmiale :

X P(X) = 0 + 1X+ + nXn.Dfinition I.39 (Racine). Soit P K[X] et K. On dit que est racine ou zro siP() = 0.

Thorme I.40. Soient P K[X] et K alors est une racine de P si et seulementsi (X

)

|P.

Dmonstration. () On suppose que (X ) | P alors il existe Q K[X] tel queP(X) = (X )Q(X), do P() = ( )Q() = 0 et ainsi est une racine de P.

() Si est une racine de P alors P() = 0. On effectue la division euclidienne de Ppar (X ). Il existe Q et R des polynmes de K[X] tels que

P(X) = (X )Q(X) + R(X)avec deg(R(X)) 1. Do R est rduite une constante K et

P() = ( )Q() +

, cest--dire = 0, do (X ) | P.

Thorme I.41. Soient P un polynme dans K[X], K et h N. Alors les assertionssuivantes sont quivalentes :

(i) (X )h | P et (X )h+1 P,(ii) P scrit sous la forme :

P = (X )hQ(X) avec Q() = 0.


16/81


Dmonstration. ((i) (ii)) On va montrer la contrapose, cest--dire ((ii)) ((i)).Si Q() = 0 alors il existe un polynme Q1 tel que Q(X) = (X)Q1(X). Or, daprs(ii), P doit scrit :

P = (X )hQ(X) = (X )h+1Q1,ce qui implique que (X+ )h+1 | P, ce qui est contraire (i).

((ii) (i)) P est de la forme P = (X )hQ(X), ce qui implique que (X )h | P. Si(X )h+1 divise alors on aura (X )h+1Q1(X). Donc :

Q = (X )Q1(X) Q() = 0,ce qui est contraire (ii).

Dfinition I.42 (Ordre dune racine). SoientP un polynme dans K[X], K eth N.Si (X )h | P et (X )h+1 P alors est une racine dordre h de P. On dit que estune racine simple si est une racine dordre 1. On dit que est une racine double si estune racine dordre 2. On dit que est une racine multiple si est une racine dordre n.

Thorme I.43. Soit P K[X]. Si 1, 2 . . . , p sont des racines distincts de P, dordrerespective h1, h2, . . . , hp alors :

P(X) = (X 1)h1(X 2)h2 (X p)hpQ(X)avec Q(i) = 0, pour tout 1 i p.

Corollaire I.44. Si n est le degr de P alors P possde au plus n racines car :

P(X) = (X 1)h1 (X p)hpQ(X)et on sait que deg P = n = h1 + h2 + + hp + deg Q.Thorme I.45 (Thorme de DAlembert-Gauss). Tout polynme dans K[X] admet aumoins une racine.

Thorme I.46 (Thorme fondamental des polynmes). Pour tout P C[X], si deg P =n alors P a exactement n racines rels ou complexes, distinctes ou confondues. P scritalors :

P(X) = (X 1)k1(X 2)k2 (X p)kp,avec

pq=1 kq = n.

I.7 Fractions rationnelles

1 Dfinitions

Dfinition I.47 (Fraction rationnelle). Une fraction rationnelle est une expression de laforme P(X)

Q(X)avec P et Q deux polynmes dans K[X].


17/81

I.7. FRACTIONS RATIONNELLES 11

Dfinition I.48 (lment simple). On appelle lment simple surR, une fraction rationellede lun des deux types suivantes :

1. les lments de premire espce :a(x )k , avec a, R et k N

,

2. les lments de seconde espce :

ax + b

(x2 +px + q)n, avec a,b,p,q R, n N et p2 4q < 0.

Thorme I.49. Si AB

est une fraction rationnelle (on suppose alors deg A deg B) et Bde la forme :

B = (x

)h

(x

)k

avec , . . . , des racines du polynme B deux deux distincts alors il existe une dcompo-sition unique de A

Bsous la forme suivante :

A

B= E(X) +

h

(x )h + +1

(x )

+ [ ] +

k

(x )k + +1

(x ) .

On appelle E la partie principale de la dcomposition. Si deg A deg B alors E = 0sobtient par la division euclidienne de A par B, cest--dire :

A = EB + R AB

= E+R

B.

2 Dtermination des coefficients de la dcomposition

2.1 Premier cas

On sintresse au cas o :A

B=

A(x)

(x )(x )avec A(x) = px + q. On dveloppe deux mthodes pour obtenir la dcomposition duthorme I.49 :

A(x)

(x )(x ) =a

(x ) +b

(x ) . (I.6)

Proposition I.50 (Mthode de rduction au mme dnominateur). On multiple (I.6)par (x )(x ) et on obtient :

A(x) = a(x ) + b(x ) = (a + b)x + a + b.Or A(x) = px + q, do la rsolution de ce systme dquations :

a + b = pa + b = qdinconnues a et b.


18/81


Proposition I.51. Comme A(x) = px + q, (I.6) se rcrit :

px + q

(x )(x ) =a

x +b

x . (I.7)On multiplie (I.7) par (x ) et on obtient :

px + q

x x x = a +

b(x )(x ) .

On pose maintenant x = et on peut dterminer a :

a =p + q

.

La dtermination de b se fait de la mme manire : on multiple (I.7) par (x ) :

px + q

x x x =

a(x )x + b

et :

b =p + q

.

Exemple I.52.

x + 2(x 4)(x + 1) = 65

1x 4 15(x + 1)

.

2.2 Deuxime cas

Le cas suivant est celle o :A

B=

px + q

(x )2 (I.8)

quon peut dcomposer de la manire suivante :

A

B =a

(x )2 +b

(x ) (I.9)

On veut chercher a et b dans la dcomposition (I.9) et pour cela :

1. On multiplie (I.8) et (I.9) par (x )2 :

(px + q) (x )2

(x )2 = a + b(x ) (I.10)

et on value (I.10) en x = . On obtient donc a = p + q.


19/81


2. On multiplie (I.8) et (I.9) par x :

x(px + q)

(x )2 =ax

(x )2 +bx

x (I.11)

Dans (I.11), on fait tendre x vers linfini. Le terme ax(x)2 tend vers 0, celui de

bxx

tend vers b et si on dveloppe le terme du membre de gauche, on obtient :

px2 + qx

x2 2x + 2 p quand x +.

Exemple I.53.

3x + 1

(x + 1)2 = 2

(x + 1)2 +

3

x + 1 .

2.3 Troisime cas

Dans ce dernier cas, on sinteresse la dcomposition :

A

B=

3x2 7(x 2)3 =

a

(x 2)3 +b

(x 2)2 +c

(x 2) . (I.12)

Pour trouver a, b et c dans (I.12), on peut :

1. multiplier (I.12) par (x 2)3

3x2 7 = a + b(x 2) + c(x 2)2

et on value lexpression en x = 2.

3 4 7 = a a = 5.

2. multiplier (I.12) par x

x(3x2 + 7)

(x 2)3 =ax

(x 2)3 +bx

(x 2)2 +cx

x 2

et on fait tendre x vers linfini pour dterminer 2 c = 3.

3. donner des valeurs particulires pour x dans (I.12) (x = 0 ou x = 2). Ici, on peutprendre x = 0 pour trouver b = 12.

2. car ax(x2)3

0 et bx(x2)2

0.


20/81


3 Partie polaire et thorme de la division suivant les puissances croissantes

Dfinition I.54 (Partie polaire). Chaque dcomposition dune fraction rationnelle associe

la racine est dite partie polaire associe au ple .

Exemple I.55. La fraction rationnelle x2+2

x3(x1) admet comme dcomposition :

3

x 1 +2

x 2

x2 2

x3

.

Cette dcomposition a deux parties polaires : 3

x1 est celle asocie = 1, 2

x3 2

x2 2

xest celle associe = 0.

Thorme I.56 (Thorme de la division suivant les puissances croissantes). Soient A etB deux polynmes dans K[X] tels que B(0) = 0. Alors, pour tout n N, il existe deuxuniques polynmes Qn et Rn dans K[X] tels que

A = BQn + Xn+1Rn avec deg Qn n.

Dmonstration. Unicit Supposons que la division nest pas unique donc que A se dcom-pose de deux manires diffrentes :

A = BQn + Xn+1Rn, (I.13)

A = bQN + xn+1Rn. (I.14)

On fait la diffrence de (I.13) avec (I.14) et on pose P = Qn Qn et S = Rn Rn :

0 = B(Qn Qn) + Xn+1(Rn Rn) 0 = BP + Xn+1S BP = Xn+1S.

Donc Xn+1 | BP mais Xn+1 est premier avec B (car B(0) = 0), ce qui implique que

B = b0 + b1X+ + bqXq.

Daprs le lemme I.29 de Gauss, Xn+1

| P. Mais deg P = deg(Qn Qn) n. Ceci estimposible donc P = 0. Cela entrane que S = 0 et :

Qn = Qn, Rn = R

n.

Existence On fait une dmonstration par rcurrence, on pose :

Pn : il existe deux polynmes uniques Qn, Rn dans K[X]

tels que A = BQn + Xn+1 avec deg Qn n .


21/81


Initialisation On veut dmontrer P0. Soit Q0 =A(0)B(0)

, on a :

A BQ0 = A B A(0)

B(0) = A B a0

b0

= (a0 + a1X+ + apXp) a0b0 (b0 + b1X+ bqXq)

= (a1X+ + apXp) (b1X+ + bqXq)= XR0

Do, on obtient la dcomposition :

A = BQ0 + XR0. (I.15)

Hrdit On suppose que Pn soit vraie, il existe donc quil existe des polynmes Qn

et Rn tels que :A = BQn + X

n+1Rn. (I.16)

On applique P0 Rn, cest--dire quil existe qn+1 et Rn+1 K tels que Rn | Bavec Rn = Bqn+1 + XRn+1 daprs (I.15). On remplace Qn dans (I.16) qui estsuppos vraie :

A = BQn + Xn+1[Bqn+1 + XRn+1]

= B[Qn + qn+1Xn+1

Qn+1

] + Xn+2Rn+1

= BQn+1 + Xn+2Rn+1.

Donc, par rcurrence, pour tout n N, il existe deux polynmes Qn, Rn dans K[X]tels que :

A = BQn + Xn+1Rn.

Thorme I.57. Si est un ple de AB

(cest--dire une racine de B) dordre 2 etdeg A < deg B :

A

B=

A(x)

(x )k 1

Q(x)

avec k lordre de etQ() = 0.Dmonstration. Si on pose x = X (cest--dire x + X) et on divise A( + X) parQ( + X) suivant les puissances croissante jusqu lordre k 1 :

A

(x )kQ(x) =A( + X)

XkQ( + X)

= Q( + X)[a0 + a1X+ + ak1Xk1] + XkR(X)=

a0Xk

+a1

Xk1+ + ak1

X+

R(X)

Q( + X).


22/81


On obtient donc :

A

B= ak1x +

ak2

(x )2+

+a1

(x )k1+

a0

(x )k +R(x

)

Q(x)

avec Q() = 0.Exemple I.58. On veut dcomposer :

x3 + 2

x3(x 1) =a

x 1 +

b

x3+

c

x2+

d

x

.

On pose x = + X, do X = x . On obtient :( + X)3 + 2

( + X)3 + ( + X 1) =X3 + 2

X3(X 1) =2 + X3

X3(1 + X) .En faisant la division euclidienne de 2 + X3 par 1 + X, on a :

2 + X3 = (1 + X)(2 2X 2X2) + 3X2

, ce qui implique que :

2 + X3

X3(1 X)2 = 2

X3 2

X2 2

X+

3

X 1 .

I.8 Exercices

Exercice I.1. Montrer que (K[X], +) est un groupe commutatif avec la suite nulle commelment neutre et si P = (0, 1, 2, . . .) alors son inverse est not :

P = (0,1,2, . . .).Exercice I.2. Montrer que (K[X], +, ) est un anneau commutatif et unitaire.Exercice I.3. crire sous forme fonctionnelle les polynmes suivants :

1. P1(X) = (1, 0, 3, 2),

2. P2(X) = (1, 1, 0, 0, 0, 1, 2),3. P3(X) = (0, 1/2,

3, 2/3),

4. P4(X) = (0, 0, 1, 0, 0).

Exercice I.4. Soient A = X5 + 4X4 + 6X3 + 6X2 + 6X+ 4 et B = X3 + 2X2 + X+ 2.

1. Calculer PGCD(A, B), PPCM(A, B).

2. Rsoudre dans Q[X] lquation AU + BV = X2 + 2X.

Exercice I.5. 1. Calculer PGCD(X24 1, X15 1).


23/81

I.8. EXERCICES 17

2. Soit a, b N. Montrer que PGCD(Xa 1, Xb 1) = XPGCD(a,b) 1.3. Calculer PGCD(X5400 1, X2002 1).

Exercice I.6. Dterminer le reste de la division euclidienne de P par X2 1, sachant quele reste de P par X 1 est 0 et par X+ 1 est 1.Exercice I.7. crire la dcomposition en facteurs irrductibles dans R[X] et dans C[X]des polynmes suivants : X3 1 ; X3 + 1 ; X3 3 ; X6 1 ; X12 1.Exercice I.8. Soit P = X8 + 2X6 + 3X4 + 2X2 + 1.

1. Montrer que j est une racine de P. Dterminer son ordre de multiplicit.

2. Quelle consquence peut-on tirer de la parit de P ?

3. Dcomposer P en facteurs irrductibles dans C[X] et dans R[X].

Exercice I.9. Soient a R, P R[X] et

Q(X) =1

2(X a)(P(X) + P(a)) P(X) + P(a).

Montrer que a est une racine de Q. Dterminer son ordre de multiplicit.

Exercice I.10. Soient n N tel que n 2 et Pn = k=nk=0 Xkk! . Pn a-t-il un zro multiple ?Exercice I.11. Dcomposer, dans R[X] et C[X], en lments simples les fractions sui-vantes :

1

1 X2 ;1

a2 + X2, a R ; 1

(1 + X2)2;

X3

X2 4 ;4X

(X 4)21

(X 1)5 ;X2

(X 1)5 ;X+ 3

(X+ 1)5(X2 + 2X+ 2);

1

X2 + X+ 1

1

(X2 + 2X 1)2 ;3X+ 1

X2 2X+ 10 ;1

X3 + 1;

X+ 1

X(X 2)2X2

(X2 + 3)3(X+ 1);

X7 + X3 4X 1X(X2 + 1)2

.


24/81



25/81

CHAPITRE II

INTGRALES DE RIEMANN

II.1 Somme de Riemann

Dfinition II.1 (Somme de Riemann). On appelle somme de Riemann attache lasudivisionD = (x0, x1, . . . , xn) de [a , b] pour une fonction f dfinie sur [a , b] toute sommede la forme :

n1i=0

f(yi) (xi+1 xi) avec yi [xi , xi+1].

y

xa b

Figure II.1 Aire sous la courbe approche par une suite de rectangles

Remarques II.2. 1. yi est un point dans lintervalle [xi , xi+1].

2. xi+1 xi est la longueur de lintervalle [xi , xi+1].3. f(yi) reprsente la hauteur.

4. En fait, on cherche calculer laire du rectangle R de longueur xi+1xi et de hauteurf(yi). Mais laire du rectangle R nest pas tout fait la surface dlimite par lintervalle[xi , xi+1] et la courbe (quon notera CS). On dit que laire R est presque gale lairede CS. Plus on prend une subdivision fine , plus on aura une approximation prcisede CS.

On va, en fait, calculer lintgrale de la fonction pour avoir CS en fonction dune variable.

19


26/81

20 CHAPITRE II. INTGRALES DE RIEMANN

Thorme II.3. Les sommes de Riemann dune fonction f sur [a , b] ont une limite quiest exactement laire sous la courbe CS, quon appelle intgrale de f sur [a , b]. Cette limiteest obtenue lorsque le pas de la subdivision est pett (cest--dire sup(xi+1

xi)

0 quand

n +) et lintgrale de f sur [a , b] sera note ba f(x) dx.Dfinition II.4 (Fonction en escalier). Soit : [a , b] R une fonction relle. Elle est diteen escalier ou tage sil existe une subdivisionD = (x0, x1, . . . , xn) tel que soit constantesur chaque intervalle [xi , xi+1] de la subdivision.

Proposition II.5 (Intgrale dune fonction en escalier). Soit : [a , b] R une fonctiontage. Alors :

ba (x) dx =

n1i=0

i(xi+1 xi)

avec (x) = i, pour tout x [xi , xi+1].

Dfinition II.6 (Intgrale de Riemann). Soit f: [a , b] R une fonction borne sur [a , b].f est dite Riemann-intgrable si, pour tout > 0, il existe deux fonctions en escaliers et vrifiant :

1. (x) f(x) (x),

2. ba

[(x) (x)] .

Si f est Riemann-intgrable alors lintgrale de f (noteba f(x) dx) est lunique nombre

tel que : ba

(x) dx ba

(x) dx,

pour toute fonction et vrifiant (x) f(x) (x) pour tout x [a , b].

Proposition II.7. (i) Sif est continue sur [a , b] alors f est intgrable sur [a , b].

(ii) Sif est continue par morceaux alors f est intgrable sur les diffrents morceaux.

(iii) Sif est monotone et borne sur [a , b] alors f est intgrable sur [a , b].

Dmonstration de lassertion (iii) de la proposition i. Soient D = (x0, x1, . . . , xn) de pas , et une fonction en escalier telle que (x) = f(xi) et (x) = f(xi+1) sur [xi , xi+1], pourtout i N. On a : (x) f(x) psi(x) pour tout x [a , b] (par dfinition de et de )


27/81

II.1. SOMME DE RIEMANN 21

y

xa b

y

xa b

y

xa b

y

xa b

Figure II.2 Illustration dune fonction Riemann-intgrable par subdivision de plus enplus fine .


28/81


et :

ba ((x) (x)) dx =

n1i=0 [(xi) (xi)](xi+1 xi)

=n1i=0

(f(xi+1) f(xi))(xi+1 xi)

n1i=0

(f(xi+1) f(xi))

(f(x1) f(x0) + f(x2) f(x1) + + f(xn) f(xn1)) (f(xn) f(x0)) (f(b) f(a)) .

Do f est Riemann-intgrable.

Dfinitions II.8 (Minorant, majorant dune fonction). Soitf: [a , b] R une fonction. M est un majorant de f si pour tout x [a , b], f(x) M. m est un minorant de f si pour tout x [a , b], f(x) m.

Proposition II.9 (Ingalit de la moyenne). Soient f: [a , b] R une fonction et M(resp. m) un majorant (resp. un minorant) de f sur [a , b]. Alors :

m(b a) ba

f(x) dx M(b a).

Dmonstration. On montre que la dfinition de lintgrale implique lingalit de la moyenne.En effet, si on prend la subdivsion D = (x0, x1) avec x0 = a et x1 = b, on obtient lersultat.

y

xa b

m

M

Figure II.3 Ingalit de la moyenne


29/81


Dfinition II.10 (Fonction positive). Soit f: [a , b] R une fonction. On dit que f estpositive si f(x) 0, pour tout x [a , b].

Proposition II.11. Soitf: [a , b] R une fonction. Si f est positive alors :ba

f(x) dx 0. (II.1)

Dmonstration. Il suffit de prendre m = 0 dans lingalit de la moyenne pour obtenir(II.1).

Proposition II.12 (Relation de Chasles). Soient f: [a , b] R et c [a , b]. f estintgrable sur [a , b] si et seulement si f est intgrable sur [a , c] et [c , b] et on a :

ba

f(x) dx = ca

f(x) dx + bc

f(x) dx.

On notera dsormais la valeur :

ba

f(x) dx :=ab

f(x) dx.

Proposition II.13 (Linarit de lintgrale). Si f, g sont deux fonctions intgrables ausens de Riemann (ou Riemann-intgrable) sur [a , b] et R alors f + g et f sontRiemann-intgrables et on a :

ba

[f(x) + g(x)] dx =ba

f(x) dx +ba

g(x) dx,ba

f(x) dx = ba

f(x) dx.

Proposition II.14 (Conservation des ingalits). Soient f: [a , b] R et g : [a , b] Rdeux fonctions Riemann-intgrables sur [a , b]. Si f(x) g(x), pour tout x [a , b] alors :

ba

f(x) dx ba

g(x) dx.

Dmonstration. On a :ba

g(x) dx ba

f(x) dx =ba

[g(x) f(x)] dx.

Mais, par hypothse, g(x) f(x) 0. Daprs la proposition II.9,ba

[g(x) f(x)] dx 0.

Do le rsutat est vrifi.


30/81


Dfinition II.15 (Valeur absolue). On dfnit la fonction valeur absolue par :

|x| = x si x 0,x si x 0 x R.Proposition II.16. Si f est intgrable sur [a , b] alors :

ba

f(x) dx

=ba|f(x)| dx.

Dmonstration. Si a > 0 alors :

|x| a

x a

x

a

x ax

a

a x a.

Pour ce qui est de la proposition II.16, il suffit dcrire

|f(x)| f(x) |f(x)| .Daprs la proposition II.16 :

ba|f(x)| dx

ba

f(x) dx ba|f(x)| dx

ba

f(x) dx

=ba|f(x)| dx.

Remarque II.17 (Intgrale et limite de suite). Si on choisit comme subdivision de [a, b],une subdivision intervalles gaux de longueur ba

net si f est intgrable alors on aist que :

ba

f(x) dx = limn+

n1i=0

f(i)(xi+1 xi)

avec i [xi, xi+1]. Mais xi+1 xi = ban , pour tout 1 i n 1, doba

f(x) dx = limn+

b a

n

n1i=0

f(i)

Si on choisit i = a +(ba)i

n,

= limn+

b an

n1i=0

f

a +

(b a) in

.

En particulier si a = 0 et b = 1 :

10

f(x) dx = limn+

1

n

n1k=0

f

k

n

.


31/81


Exemple II.18. On veut calculer la limite de

un =

n

k=0

n

k2 + n2

quon peut tout de suite transformer

un =1

n

nk=0

1

1kn

2 .Do le calcul de la limite est simple partir de la remarque II.17 :

limn

+

un = limn

+

1

n

n1

k=0 fk

n=

b

a

1

1 + x2

dx.

Proposition II.19 (Formule de la moyenne). Soient f: [a , b] R continue sur [a , b].Alors il existe c [a , b] tel que :

ba

f(x) dx = f(c) (b a).

Dmonstration. On reprend lingalit de la moyenne (dvelopp proposition II.9),

m(b a)

b

af(x) dx M(b a) m 1

b

a

b

af(x) dx M.

On pose = (ba)1 ba f(x) dx et on obtient m M. Daprs le thorme des valeursintermdiaires, il existe c [a , b] tel que f(c) = . Do la formule :

f(c)(b a) =ba

f(x) dx.

Thorme II.20 (Thorme fondamental de lanalyse, premire version). Soient I unintervalle de R non rduit un point, f: [a , b]

R une fonction continue sur I et a

I.

Alors :F : I I

x F(x) = xa f(t) dtest une fonction drivable sur I et F(x) = f(x) avec F(a) = 0. Donc F est la primitive def qui sannule au point a.

Dmonstration. Soit x0 I. Daprs la proposition II.13,F(x) F(x0)

x x0 =1

x x0xa

f(t) dt.


32/81


y

xa bc

f(c)

Figure II.4 Formule de la moyenne

Mais grce la proposition II.19 appliqu lintervalle [x0 , x], il existe c(x0, x) [x0 , x] telque : x

x0f(t) dt = f(c(x, x0)).

Si x tend vers x0 alors c(x, x0) tend vers x0 et f(c) tend vers f(x0) car f est continue.Do :

F(x0) = limx

x0

F(x) F(x0)x

x0

= f(x0).

Comme x0 est quelconque dans I, on a, pour tout x I, F(x) = f(x).

Corollaire II.21. Soientf: [a , b] R une fonction continue sur[a , b]. G est une primitivede f si et seulement sil existe c R tel que :

G(x) =xa

f(t) dt + c.

Dmonstration. () G(x) = f(x) donc G est une primitive de f.() Si G est une primitive de f alors G = f. Do G f = 0, cest--dire que G F

est constante :G = F + c =

xa

f(t) dt + c.

Thorme II.22 (Thorme fondamental de lanalyse, deuxime version). Soientf unefonction continue sur[a , b] et F une primitive quelconque de f sur [a , b]. Alors :

ba

f(x) dx = F(b) F(a).


33/81

II.2. MTHODES DINTGRATION PAR LES PRIMITIVES 27

Dmonstration. Daprs le corollaire II.21,

F(x) = b

a f(t) dt + c.

Si on prend c = F(a), on obtient bien le thorme :

F(b) =ba

f(t) dt + F(a).

On notera doranvant :[F(x)]ba = F(b) F(a).

Thorme II.23 (Gnralisation du thorme II.22). Soient u, V deux fonctions rellesdfinies sur un intervalle I de R non rduit un point et f une fonction continue sur I.Alors la drive de G : I R dfinie par :

G(x) =v(x)u(x)

f(t) dt

est de la forme :G(x) = f(v(x)) v(x) f(u(x)) u(x).

Exemple II.24. SoientG(x) =

x2x

dt

ln t

alors sa drive est :

G(x) =2x

ln(x2) 1

ln x=

2x

2 ln x 1

ln x=

x 1ln x

.

II.2 Mthodes dintgration par les primitives

Le tableau A.1 rfrence les primitives des fonctions usuelles.

Proposition II.25 (Intgration par parties). Soientf etg deux fonctions relles drivablessur [a , b] tels que f, g continues sur [a , b]. Alors :

ba

f(x) g(x) dx = [f(x) g(x)]ba ba

f(x) g(x) dx.

Dmonstration. On drive le produit de deux fonctions f et g (comme f et g sont drivablessur [a , b]) :

(f g)(x) = f(x) g(x) + f(x) g(x).


34/81


Comme f et g sont continues sur [a , b], f et g sont intgrables sur [a , b] :

ba (f g)(x) dx =

b

a f(x) g(x) dx + b

a f(x) g(x) dx.Mais, daprs le thorme fondamental de lanalyse :

[f(x) g(x)]ba =ba

f(x) g(x) dx +ba

f(x) g(x) dx.

Do le rsultat.

Exemple II.26. On veut calculer lintgrale :

/2

0x cos(x) dx.

On pose f(x) = x (sa drive est f(x) = 1 et g(x) = cos(x) (une primitive de g estg(x) = sin(x). Do, par intgration par parties :

/20

x cos(x) dx = [x sin(x)]/20 /2

0sin(x) dx

= [x sin(x)]/20 [ cos(x)]/20 =

2 1.

Thorme II.27 (Intgration par changement de variables). Soit : [a , b] R drivableet continue sur [a , b]. Alors, pour toute fonction f: ([a , b])

R, on a :

f((u)) (u) du =()()

f(x) dx.

On va distinguer plusieurs cas :

Premier cas On veut calculer :

f((u)) (u) du.

Pour cela, on pose x = (u) et dx = (u) du. Do :

f((u)) (u) du =()()

f(x) dx.

Deuxime cas On veut calculer : ba

f(x) dx.

On pose x = (u) et on sarrange pour que soit bijective (le dmontrer). Alorsu = 1(u). On choisira et teels que a = (a) et b = ().

Passons aux exemples pratiques dintgration par changement de variables.


35/81

II.3. PRIMITIVES DE FRACTIONS RATIONNELLES 29

Exemples II.28. 1. Soit calculer :

I = 1

0

du

3 + eu = 1

0

eu

1 + 3eu du.

On pose x = eu et dx = eu du. Alors si u = 0 alors x = 1 et si u = 1 alors x = e. Ona alors :

I =1

0

eu

1 + 3udu =

e1

dx

1 + 3x=

1

3ln(1 + 3x)

e1

.

2. Soit calculer :

J =3

1

x24 x2 dx.

On pose x = 2 sin u donc dx = 2 cos(u) du. On choisit u = 6

pour obtenir x = 1 et

u =

3 pour avoir x = 3. Finalement :I =

/3/6

4sin2(u) 8cos(u) d2cos(u)

du =/3/6

4 (1 2sin2(u)) du

= 2/3/6

[1 2 cos(2u) du]

= 2

/6/3 du 2/3/6

cos(2u) du

= 2 [u]/3/6 2

1

2sin(2u)

/3/6

=

3.

II.3 Primitives de fractions rationnelles

On rappelle quune fraction rationnelle peut se dcomposer de la manire suivante :

P(X)

Q(X)= E(X) + P(X) + S(X)

o P(X) reprsente les lments de premire espce et S(X), les lments de second espce.

Proposition II.29 (Intgration de E(X)). Si on crit

E(x) =n

k=0

akxk,

alors lintgrale de E(x) est :

E(x) dx =

nk=0

akx

k dx.

On sinteresse maintenant lintgration des lments simples de premire espce. Ilssont de la forme a

n

(x)n .


36/81


Proposition II.30 (Intgration des lments de premire espce). Si n = 1,

a1 dxx = a1 dx

x = a1 ln(x ). Si n 2,

an dx

(x )n = a1

(x )n dx = an (x )n+1

n + 1 .

Lintgration des lments simples de second espce est un peu plus complique. Rappe-lons que les lments simples de second espce sont de la forme : x+

(x2+px+q)n.

Proposition II.31 (Intgration des lments de second espce). Si n = 1 alors :

x +

x2 +px + q =

2xp + p +

x2 +px + q .

Il faut donc trouver et R tels que :2xp + p + = x +

avec ,,p,q connus. On est donc amener rsoudre le systme dquations suivant :

2p =

p + = de solutions :

=

2

= 2

.

Do : 2x + p + x2px + q

dx = 2x +p

x2 +px + q+

dxx2 +px + q

On pose u(x) = x2 +px + q et on remarque que u(x) = 2x +p

=

u(x) dxu(x)

+ dx

x + pq

2+

q p24

On pose a =p2 et b

2

= q p2

4

=

u(x) dxu(x)

+ dx

(x + a)2 + b2

= (ln |u| + c) + 1b2

dxx+ab

2+ 1

= ln x2 +px + q + c + argtanh(u) + c= ln

x2 +px + q

+ c + argtanh(x2 +px + q) + c


37/81

II.4. PRIMITIVES DE FRACTIONS RATIONNELLES TRIGONOMTRIQUES 31

Si n 2 alors le calcul de

x +

(x2 +px + q)n

se fait comme pour la partie prcdente. On a :

2x +p

x2 +px + q+

dxx2 +px + q

=: I + J.

Le calcul de

I = 2x +p

x2 +px + q

est simple si on pose u(x) = x2 +px + q et en remarquant que u(x) = 2x +p :

I =

u(x) dxun

=

un+1

n + 1

.

Pour

Jn = dx

(x2 +px + q)n

avec n 2, on peut intgrer par parties et on fait apparatre une relation de rcurrenceen Jn et Jn+1.

Exemple II.32. Soit calculer :

I = dx

x2 + 4x + 7= dx

(x + 2)2 + (

3)2=

1

3

dxx+2

3+ 1

.

On pose u = x+23

, do dx =

3 du. Ainsi,

I =1

3argtanh

x + 2

3

.

II.4 Primitives de fractions rationnelles trigonomtriques

Dfinition II.33 (Changement de variables trigonomtrique). Pour calculer

f(x) dx, ontient compte de la rgle suivante :

(i) Si f(x) dx reste invariante si x = x, on fait le changement de variable u = cos(x). Sif(x) dx reste invariante six = x, on fait le changement de variable u = sin(x). Sif(x) dx reste invariante six = +x, on fait le changement de variable u = tan(x).

(ii) Sif(x) dx nest pas invariant par les 3 oprations de (i), on pse u = tan x2

.


38/81


Exemples II.34 (Exemples pour le cas (i)). 1. Soit calculer

I = 2 + cos(x)

sin3(x) + 6 tan(x) = 2 + cos(x)

sin(x)

sin2(x) + 6cos(x)

sin(x)

sin(x) dx.

On a f(x) d(x) = f(x) dx donc on pose u = cos(x), do du = sin(x) dx.

I =u(2 + u)

(1 u2)(u3 u 6) du =

u(2 + u)

(1 u)(1 + u)(u 2)(u2 + 2u + 3) du=

1

4 1

1 u du +

1

12 1

1 u du + 8

33 1

u 2 du +

au + b

u2 + 2u + 3du

=1

4ln |u 1| + 1

12ln |u + 1| 8

33ln |u 2|

122

ln(u2 + 2u + 3) + 522

2arctan

u + 12

2. Soit calculer :

I =

3 sin(x)2 cos(3x) + 3 tan(x)

dx =

3 sin(x)cos(x)

2 cos(x) + 3 sin(x)

cos(x)

dxComme f( x) d( x) = f(x) dx, on pose u = sin(x) du = cos(x) dx. Do :

I =

u

3

2u2 3u + 2 du = 1

5 +

7

5 du

2u+

= 15

ln |u 2| + 710

ln |2u + 1|

= 15

ln(2 sin(x)) + 710

ln |1 + sin(x)| .

3. Soit calculerI =

17 + tan(x)

dx.

On a : f( + x) d( + x) = f(x) dx, ainsi on peut poser u = tan(x). On obtient alors :

udu = 1 + tan2 x dx du = (1 + u2) dx dx = du1 + u2

.

Le changement de variables est valable dans tout intervalle ne contenant pas 2

+ k.On obtient :

I = du

(1 + u2)(u + 7)=

1

50

du

u + 7+

1

50

(7 u)u2 + 1

du

=1

50ln |u + 7| 1

100ln(u2 + 1) +

7

50arctan(u) + c.


39/81

II.5. PRIMITIVES DE POLYNMES TRIGONOMTRIQUES 33

Remarque II.35. Les formules de lexercice II.9 seront utiles quand on fait le changementde variables trigonomtrique dans le cas (ii).

Exemple II.36. Soit calculer :

i = dx

2 + sin(x) + cos(x).

f(x) dx nest pas invariable par les changements de variables du cas (i) donc on posetan x

2= t, ce qui donne :

I = 2

1 + t2 1

2 + 2t1+t2

+ 1t2

1+t2

= 2

t2 + 2t + 3dt

=

2 arctant + 1

2 =

2 arctan1 + tan x

22

.

II.5 Primitives de polynmes trigonomtriques

Premier cas Si on est devant une expression de la forme cosm(x) sinn(x) o lun au moinsdes entiers m ou n est impaire alors on pose u = sin(x) et v = cos(x).

Second cas Si on est devant une expression de la forme cosm(x) sinn(x) o les entiers met n sont pairs alors on linarise laide de la formule dEuler :

cos(x) =eix + eix

2, sin(x) =

eix eix2i

.

Troisime cas Si on est en prsence dune expression de la formen

i=1

cos(aix) m

j=1

cos(bjx),

on utilise les formules de linarisation :

cos(a) cos(b) = 12

(cos(a b) + cos(a + b)) ,

sin(a) sin(b) = 12

(cos(a b) cos(a + b)) ,

sin(a) cos(b) =1

2 (sin(a + b) + sin(a b)) .Exemples II.37. 1. Soit calculer :

I =

sin8(x)cos3(x) dx.

On remarque que sin8(x) cos3(x) dx = sin8(x) cos2(x) cos(x) dx. On pose u = sin(x)alors on a u8(1 u2) du. Do :

I =

u8(1 u2) du = u9

9 u

11

11+ c =

sin9(x)

9 sin

11(x)

11+ c.


40/81


2. Soit calculer :J =

cos6(x) dx.

Or :cos6(x) =

1

26(eix + eix)6

=1

26

e6ix + e6ix + 6(e4ix + e4ix) + 15(e2ix + e2ix) + 20

=

1

25(cos(6x) + 6 cos(4x) + 15 cos(2x) + 10) .

3. Soit calculer :I =

cos(3x) sin(5x) sin(6x) dx.

On a, par les formules de linarisation :

cos(3x)sin(5x) =1

2(sin(8x) + sin(2x))

et

(cos(3x) sin(5x))(sin(6x)) =1

2sin(8x)sin(6x) +

1

2sin(2x)sin(6x)

=1

4(cos(2x) cos(14x) + cos(4x) cos(8x)).

Do :

I =1

4

sin(2x)

2 sin(14x)

14+

sin(4x)

4 sin(8x)

8

.

II.6 Applications de lintgrale de Riemann

1 Travail effectu par une force

On applique M un point mobile et une force F. On veut calculer le travail W de cetteforce entre a et b. Si F est constate et s = |b a| reprsenta le distance parcourue alors ona W = F s.

Supposons donc que F(x) soit une froce variable. On a alors :

W = b

a

F(x) dx.

On suppose que F varie continuellement. Alors on divise [a , b] en n intervalles de longueurkx (par exemple ban ). Soit k un lment de la k

e subdivision [xk1 , xk]. On suppose queF est constante sur [xk1 , xk] quitte choisir un pas trs petit. Dans ce cas, sur [xk1 , xk],on admet que :

W = F(k) kx.Do :

W = limk+

nk=1

F(k) k(x) =ba

F(x) dx.


41/81

II.6. APPLICATIONS DE LINTGRALE DE RIEMANN 35

2 Longueur dune trajectoire plane

Soient deux points A et B et une courbe plane

AB donn par la figure II.5. On veut

calculer la longueur de la trajectore AB quon note :

=

AB

ds.

A

B

Figure II.5 Courbe plane

AB

Si la courbe donne est le graphe dune fonction f: [a , b] R continue alors :

=ba

1 + f(x)2 dx.

On va subdiviser la courbe en intervalles (comme le prsente la figure II.6), ensuite remplacerchaque somme de la courbe par dautres segments P1, P2, . . . , P n et on va confondre lessegments par larc de la courbe.

kx reprsente le segment parallle laxe des abscisses eet dlimit par k 1, kyreprsente le segment parallle dlimit par kx et Pk.

On a :

Pk1Pk |Pk1Pk| =

(kx)2 + (ky)2 =

1 +

ky

kx

2kx.


42/81


A

B

kx

ky

Figure II.6 Subdivision de la courbe plane

AB

Or f est drivable, donc daprs le thorme des accroissements finies, on a, sur [xk1 , xk] :

f(xk) f(xk1) ky

= (xk xk1) kx

f(k) kykx

= f(k)

pour k [xk1 , xk]. On a donc :

|Pk1Pk| =

1 + f(xk)2 kx

et : AB

ds = limn+

nk=1

kx

1 + f(xk)2.

Cest une somme de Riemman, do :

AB

ds =BA

1 + f(x)2 dx.

3 Calcul de laire dune surface de rvolution

On considre [a , b] un intervalle dans R et une surface de rvolution dans R3 daxe[a , b]. On dcoupe cet intervalle en n intervalles et on se concentre calculer laire de lasurface de rvolution sur les intervalles [k , k + 1].


43/81

II.6. APPLICATIONS DE LINTGRALE DE RIEMANN 37

Figure II.7 Surface de rvolution

On agrandit la section Pk1PkPkPk1 et on a alors cette formule :

Sk = 2y

(kx)2 + (ky)2

avec yx reprsente la base du cylindre xk1xk (cest le cercle dcrit par xk1 de yk lahauteur du cylindre).

Figure II.8 Dcoupage de la surface de rvolution

On obtient :

Sk = 2y 1 +

ky

kx

2 kx.

On rutilise le thorme des accroissements finis pour avoir :

Sk = 2f(xk)

1 + f(xk)2 kx.


44/81


Puis, en sommant les n petites surfaces latrales et en faisant tendre n vers linfini, on a :

AB ds = limn+ 2f(xk)1 + (f(xk))2 kx = B

A 2f(x)1 + (f(x))2 dx.II.7 Exercices

Exercice II.1. 1. Montrer que les fonctions x x, x x2 et x ex sont intgralessur un intervalle ferm born.

2. En utilisant les sommes de Riemann, calculer les intgrales1

0 x dx,2

1 x2 dx,

x0 e

t dtpour x > 0.

3. Calculer les limites des suites dfinies par :

un =1 + 2 + + n

n

n, vn =

p=np=1

nn2 +p2

, wn =k=nk=1

1 + k

n

1/n.

Exercice II.2. Soit f une fonction continue sur [a , a], a > 0. Montrer que :aa

f(t) dt =

2

a0 f(t) dt si f est paire,

0 si f est impaire.

Exercice II.3. Soient f et g deux fonctions continues sur [a , b] telles que g(x) > 0, pourtout x [a , b]. Montrer quil existe un rel c [a , b] tel que

ba

f(t)g(t) dt = f(c) ba

g(t) dt.

Application : Montrer que

limn+

10

tnln t

1 t2 dt = 0

(indication : considrer g : x xn1 sur [0 , 1]).Exercice II.4. Soit f une fonction continue sur R. Montrer que la fonction g : x

x2+1x f(t) dt est drivable sur R et calculer sa drive.

Exercice II.5. Soit f une fonction continue sur [1 , 1]. Montrer que la fonction F : x sinx0 f(t) dt est drivable sur [1 , 1] et calculer sa drive.

Exercice II.6. Soit f la fonction dfinie sur [4

, 4

] par :

f(x) =x

0

cos(2t) dt.

1. Vrifier que f est bien dfinie.

2. Montrer que f est impaire.


45/81

II.7. EXERCICES 39

3. tudier les variations de f et lallure de la courbe.

Exercice II.7. Soit f la fonction dfinie sur R par :

f(x) =2xx

dtt2 + t + 1

.

1. Vrifier que f est bien dfinie.

2. Montrer que f est impaire.

3. tudier les variations de f et lallure de la courbe.

Exercice II.8. Calculer

f(x) dx dans le cas o f(x) est gale :

1

(1 + x2)2 ;

x3

x2 4 ;4x

(x 4)2 ;1

(x 1)5 ;x2

(x 1)5x + 3

(x + 1)5(x2 + 2x + 2);

1

x2 + x + 1;

1

(x2 + 2x 1)2 ;3x + 1

x2 2x + 10x + 1

x(x 2)2 ;x2

(x2 + 3)3(x + 1);

x7 + x3 4x 1x(x2 + 1)2

Exercice II.9. On pose t = tant2

. Montrer que :

sin(x) =2t

1 + t

2, cos(x) =

1 t2

1 + t

2, tan(x) =

2t

1 t2

.

Exercice II.10. Calculer

f(x) dx dans le cas o f est gale :

1. 1sin(x)

,

2. 12+cos(x)

,

3. sin(x)sin3(x)+cos3(x)

.


46/81



47/81

CHAPITRE III

DVELOPPEMENTS LIMITS ET FORMULESDE TAYLOR

III.1 Introduction sur les dveloppements limits

1 Dfinitions gnrales

Dfinition III.1 (Dveloppement limit). Soient une fonction f relle dfinie sur unintervalle ] , [ (avec R) sauf peut-tre en 0 et n N. On dit que f admet undveloppement limit (en abrg DL) dordre n sil existe des rels a0, a1, . . . , an et une fonction relle dfinie sur ] , [ (toujours avec R) sauf peut-tre en 0 tels que,pour tout x ] , [,

f(x) = a0

+ a1x + a

2x2 +

+ a

nxn + xn(x)

avec limx0 (x) = 0.

Dfinition III.2 (Partie rgulire et reste). Soientf une fonction relle dfinie sur ] , [(avec R) sauf peut-tre en 0 et admettant un dveloppement limit dordre n en 0.Alors f scrit :

f(x) = a0 + a1x + a2x2 + + xn(x),

tel que limx0 (x) = 0. Le polynme a0 + a1x + + anxn est dit partie rgulire dudveloppement limit et xn(x) est le reste.

Remarques III.3. 1. Des fonctions ne rpondent pas la dfinition prcdente, ellespeuvent ne pas avoir de DL.

2. Des fonctions peuvent admettre un dveloppement limit lordre 3 mais pas forcment lordre 5.

3. (x) est une fonction mais on ne doit pas se proccuper de sa forme. Il suffit juste demontrer que limx0 (x) = 0.

4. Toute fonction ayant un DL peut scrirre en deux morceaux et sa limite va fonctionner,se complter comme un polynme au voisinage de 0.

41


48/81

42 CHAPITRE III. DVELOPPEMENTS LIMITS ET FORMULES DE TAYLOR

Exemple III.4. On veut montrer que

f : [

1 , 1]

R

x 11xadmet un DL dordre n au voisinage de 0 en [1 , 1]. On a :

1 + x + x2 + + x= 1 xn+1

1 x =1

1 x xn+1

1 xOr :

xn+1

1 x = xn

x

1 x

,

do, si on pose (x) = x1x

, on remarque que :

1

1 x = 1 + x + x2 + + xn + xn(x)

avec limx0 (x) = 0.

2 Unicit du dveloppement limit

Proposition III.5. Si f admet un DL dordre n en 0 alors il est unique.

Dmonstration. Supposons que f admet deux DL :

f(x) = a0 + a1x + + anxn + xn(x) avec limx0 (x) = 0,= b0 + b1x + + bnxn + xn(x) avec limx0 (x) = 0.

Comme f(0) = a0 et f(0) = b0, on a donc b0 = a0 et :

x(a1 + a2x + anxn1(x)) = x(b1 + b2x + + bnxn1 + xn1(x)).

Pour tout x = 0, on peut simplifier par x et on fait tendre x vers 0 donc on aura a1 = b1 etainsi de suite jusqu an + (x) = bn + (x), cest--dire an = bn. En faisant tendre x vers 0,

on obtient (x) = (x) sur ] , [.Proposition III.6. Si f admet un DL dordre n en 0 alors f admet un DL dordre p < nen 0. Sa partie rgulire sobtient en prenant la partie rgulire de f jusqu lordre p.

Dmonstration. Si f admet un DL dordre n alors f scrit

f(x) = a0 + a1x + + anxn + xn(x)= (a0 + a1x + + apxp) + ap+1xp+1 + + anxn + xn(x)= (a0 + a1x + + apxp) + xp(ap+1x + + anxnp + xnp(x)).


49/81

III.1. INTRODUCTION SUR LES DVELOPPEMENTS LIMITS 43

Comme p < n et que limx0 (x) = 0, alors :

ap+1x +

+ anx

np + xnp(x) = (x)

avec limx0 (x) = 0. On obtient donc :

f(x) = a0 + a1x + + apxp + xp(x).

Proposition III.7. Si f admet un DL dordre n en 0 alors :

(i) Sif est paire, son DL ne contient que des puissances paires.

(ii) Sif est impaire, son DL ne contient que des puissances impaires.

Dmonstration. (i) Si f est paire alors f(x) = f(x). f admet un DL dordre n doncf scrit :f(x) = a0 + a1x + + anxn + xn(x).

On a :

f(x) = a0 a1x + + (1)nanxn + (1)nxn(x)= a0 a1x + + (1)nanxn + xn((1)n(x)).

On pose alors (x) = (1)n(x) et grce la proposition III.5 :a1 = a3 = = a2k+1 = = 0.

(ii) Mme dmonstration mais a2k = 0 pour tout k N.

3 DL au voisinage dun point quelconque de R

Dfinition III.8 (Intervalle centr en x0). Soit x0 R. Un intervalle ouvert centr en x0est de la forme ]x0 , x0 + [.Dfinition III.9 (Dveloppement limit en x0). Soientx ]x0 , x0 +[ eth ] , +[.On dira que f (une fonction relle) admet un DL dordre n en x0 (ou au voisinage de x0) si

la fonction h f(x0 + h) admet un DL dordre n en 0, cest--dire, pour tout h ] , [ :f(x0 + h) = a0 + a1h + + anhn avec limh0 (h) = 0,

et on aura, pour tout h ]x0 , x0 + [ :f(x) = a0 + a1(x x0) + + an(x x0)n + (x x0)n(x x0).

On pose (x) = (x x0) et on a :limxx0

(x) = 0.


50/81


Exemple III.10. Soit la fonction x f(x) = x3 + 2x2 + 3.1. La fonction f admet un DL dordre 2 en 0 car

f(x) = 3 + 2x2 + x3 = 3 + 0x + 2x2 + x2(x).

On pose (x) = x et on a bien limx0 (x) = 0. Do :

f(x) = a0 + a1x + a2x2 + x2(x).

2. La fonction f admet un DL dordre 2 en 1. On pose x0 = 1 donc x = x0 + h = 1 + h h = x 1. On a donc :

f(1 + h) = 3 + 2(1 + h)2 + (1 + h3) = 5 + 7h + 5h2 + h3 = 6 + 7h + 5h2 + h2(h).

On pose (h) = h, do :f(x) = 6 + 7(x 1) + 5(x 1)2 + (x 1)2(x)

avec (x) = x 1 et limx1 (x) = 0.

4 Thormes sur les fonctions relles

Thorme III.11 (Thorme de Rolle). Soit une fonctionf continue sur [a , b] et drivablesur ]a , b[ telle que f(a) = f(b). Alors il existe c ]a , b[ tel que f(c) = 0.

Gomtriquement, il existe une tangente horizontale dans lintervalle ]a , b[ (souvent un

changement de variables).Dmonstration. 1. f est constante sur [a , b] si, pour tout x [a , b], f(x) = 0.

2. Si f nest pas constante alors f([a , b]) = [m , M], il existe au moins un point [a , b]o f ralise son minimum et un point o f ralise son maximum. Comme f nestpas constante, m = M. Donc m ou M sont diffrents de f(a) et f(b). Supposons quecest M (on peut faire la mme chose avec m), il existe c ]a , b[ tel que f(c) = M.Comme f est drivable en c alors f est dfinie autour de c. On pose :

(x) =f(x) f(c)

x

c

.

(a) Si x c avec x < c alors x c < 0 et f(x) f(c) < 0, pour tout x car f(c) estle maximum. Donc :

f(x) f(c)x c > 0 limxc (x) = f

(c) 0. (III.1)

(b) Si x c avec x > c et f(x) f(c) < 0, pour tout x. On a :f(x) f(c)

x c < 0 limxc+ (x) = f(c) 0. (III.2)


51/81

III.1. INTRODUCTION SUR LES DVELOPPEMENTS LIMITS 45

Si on combine (III.1) et (III.2), on obtient f(c) = 0.

Thorme III.12 (Thorme des accroissements finies). Soit [a , b] : R continue sur[a , b] et drivable sur ]a , b[. Alors il existe c ]a , b[ tel que f(b) f(a) = (b a)f(c).Dmonstration. On pose :

g(x) = f(x) (x a) f(b) f(a)b a .

g est continue sur [a , b] et drivable sur ]a , b[. On a, de plus, g(b) = g(a) et

g(a) = f(a) 0x = f(a)

g(b) = f(b) (b a) f(b)

f(a)

b a = f(b) f(b) + f(a) = f(a).Donc le thorme de Rolle sapplique g, cest--dire il existe c ]a , b[ tel que g(c) = 0.On a :

g(x) = f(x) f(b) f(a)b a ,

donc :

0 = g(c) = f(c) f(b) f(a)b a f

(c)(b a) = f(b) f(a).

Corollaire III.13 (Ingalit des accroissements finies). Si f est borne sur [a , b], cest--dire quil existe M > 0 tel que |f(x)| M, pour tout x [a , b]. Cest--dire,

x, y [a , b], |f(x) f(y)| M|x y| .Proposition III.14. Soit f: I R une fonction drivable. f est constante sur I si etseulement si f(x) = 0, pour tout x I.Dmonstration. () Si f est constante sur I alors

f(x) f(y)x y

= 0

limyx

(x) = f(x) = 0.

() Si f(x) = 0, pour tout x I alors si x0 I et x I, on a, daprs le thormedes ingalits des accroissements finies, il existe c [x , x0], tel que :

f(x) f(x0) = (x x0)f(c) = 0 f(x) = f(x0).

Proposition III.15. Soit f: I R une fonction drivable. f est croissante (resp. d-croissante) sur I si et seulement si f(x) 0, pour tout x I.


52/81


Dmonstration. Si f est croissante sur I alors f(x) f(x0) est de mme signe que x x0.Si on pose

(x) =

f(x)

f(x0)

x x0 ,on a :

limxx0

(x) = f(x0) 0.Si f(x) 0 sur I alors pour x, x0 I, il existe c ]x0 , x[,

f(x) f(x0) = (x x0)f(c) f(x) f(x0)x x0 = f

(c) 0,

do f(x) f(x0) a le mme signe que x x0. Donc f est croissante sur I.Dfinition III.16 (Extremum local). Soient f: I

R une fonction dfinie sur un

intervalle I R et x0 I. On dit que x0 est un maximum local (resp. minimum local) silexiste un > 0 tel que, pour tout x I vrifiant |x x0| < , on aitf(x) f(x0) (resp.f(x) f(x0)). Un minimum local ou un maximum local est appel extremum localThorme III.17. Soit f une fonction dfinie dans un voisinage de x0 R. Si f estdrivable et admet un extremum local en x0 alors f(x0) = 0.

Dmonstration. Si f est un maximum local en x0 alors il existe un > 0 tel que f(x) f(x0), pour tout x ]x0 , x0 + [. On est en prsence de deux cas :

1. Si x ]x0 , x0[ alors x x0 < 0 et f(x) f(x0) < 0. Ainsi,

(x) = f(x) f(x0)x x0 0.

Do :limxx0

(x) = f(x0) 0. (III.3)

2. Si x ]x0 , x0 + [ alors x x0 > 0 et f(x) f(x0) 0. Ainsi,

(x) =f(x) f(x0)

x x0 0

et limxx+0

(x) = f(x0) 0. (III.4)

En combinant (III.3) et (III.4), on obtient f(x0) = 0.

Remarques III.18 (Autre recherche dextremum local). 1. On peut les chercher auxpoints o f est drivable et f(x0) = 0 mais tous les points o f(x0) = 0 necorrespondent pas ncessairement aux extremas (par exemple la fonction x x3 en0).

2. On peut les chercher l o f nest pas drivable.


53/81

III.2. FORMULES DE TAYLOR 47

III.2 Formules de Taylor

1 Formule de Taylor avec reste intgral

Thorme III.19 (Formule de Taylor avec reste intgral). Soit f: [a , b] R une fonctiondfinie sur un intervalle [a , b] R telle que f admet des drives continues jusqu lordren + 1 (on dira aussi que f est de classe Cn+1). Alors :

f(b) = f(a) +n1k=1

(b a)kk!

f(k)(a) +ba

(b t)n1(n 1)! dt.

Dmonstration. On dmontre le thorme par rcurrence :

Initialisation P(1) est vraie car, pour n = 1, on a :

ba

f(x) dx = f(b) f(a) f(b) = f(a) +ba

f(t) dt.

Hrdit Supposons que P c(n) soit vraie. On montre que P(n + 1) est vraie. Pour cela,on intgre par parties : (b t)n1

(n 1)! f(n)(t) dt.

On pose u = f(n)(t) et dv = (bt)n1

(n1)! dt. Ce qui nous donne du = f(n+1)(t) dt et

v = (bt)n

n!. Do :

ba

(b t)n1(n 1)! f

(n)(t) dt =

f(n)(t)

(b t)nn!

ba

ba

(b t)nn!

f(n+1)(t) dt.

On remplace, dans P(n), lexpression trouv :

ba

(b t)n1(n 1)! f

(n)(t) dt =(b a)n

n!f(n)(a) +

ba

(b t)nn!

f(n+1)(t) dt.

On a donc vrifi la formule lordre n + 1.

2 Formule de Taylor avec reste lagrangien

Thorme III.20. Soit f: I R une fonction dfinie sur un intervalle I R et tel quef est n + 1 fois drivable sur I. Alors, pour tout a I et pour tout x I, il existe un ]a , x[ tel que :

f(x) = f(a) +n

k=1

(x a)kk!

f(k)(a) +(x a)n+1

(n + 1)!f(n+1)().


54/81


Dmonstration. Soit C R tel que :

f(x) = f(a) +n

k=1

(x a)kk!

f(k)(a) + C

(x

a)n+1. (III.5)

On considre une fonction dfinie sur I telle que :

(t) = f(x)

f(x) +n

k=1

(x t)kk!

f(k)(t) + C (x t)n+1

.

On a (a) = 0 et, daprs (III.5), (x) = 0. est drivable et de drive continue car f(n)

est drivable et f(n+1) est continue par hypothse. On a alors :

(t) = f(t) +

f(t)

1! (x t)

1!f(t)

+ +

f(n+1)(t)

n!(x t)n + (n + 1)C(x t)n

=f(n+1)(t)

n!(x t)n + (n + 1)C(x t)n.

Or (x) = (a) = 0, donc, daprs le thorme de Rolle, il existe un ]a , x[ tel que() = 0 :

0 = () =f(n+1)()

n!(x )n + (n + 1)C(x )n.

Do :

C =f(n+1)()

(n + 1)!.

3 Formule de Taylor-Maclaurin

Thorme III.21 (Formule de Taylor-Maclaurin). Soit f: I R une fonction dfiniesur un intervalle I R et tel que f estn + 1 fois drivable sur I. Alors, pour tout x I,il existe ]0 , 1[ tels que :

f(x) =n

k=0

f(k)(0)

k!+

f(n+1)(x)

(n + 1)!xn+1.

Dmonstration. On applique le thorme III.20 de Taylor-Lagrange avec a = 0 et ]0 , x[,cest--dire = x avec ]0 , 1[.

4 Formule de Taylor-Young

Proposition III.22 (Formule de Taylor-Young). Si f est de classe Cn (cest--dire f(n)

existe etf(n) est continue) sur ]x0 , x0 + [. Alors il existe une fonction : ] , [ Rtelle que, pour touth ] , [ :

f(x0 + h) =n

k=0

hk

k!f(k)(h) + hn(h).


55/81

III.2. FORMULES DE TAYLOR 49

Dans ce cas, on a :

f(x) =

nk=0

(x

x0)

h

k! f(k)

(x0) + (x x0)n

(x) avec limxx0 (x) = 0.

Dmonstration. Daprs la formule de Taylor-Lagrange :

f(x) =n1k=0

(x x0)kk!

f(k)(x0) +(x x0)n

n!f(n)(). (III.6)

avec ]x0 , x[. Quand x tend vers x0, tend vers x0. Mais comme f(n) est une fonctioncontinue, on a :

limx0 f(n)() = f(n)(x0) limx0 f(n)() f(n)(x0) = 0.

Do, il existe une fonction : ] , [ R telle que :

f(n)() = f(n)(x0) + ().

On a ainsi :

(III.6) f(x) =n1k=0

(x x0)kk!

f(k)(x0) +(x x0)n

n!f(n)(x0) +

(x x0)nn!

(x)

avec limxx0 (x) = 0.

5 Formule de Taylor-MacLaurin (cas particulier Taylor-Young)

Thorme III.23. Si f est de classe Cn sur ] , [ alors il existe : ] , [ R telleque :

f(x) =n

k=0

xk

k!f(k)(0) + xn(x)

avec limx0 (x) = 0.

6 Remarques

Remarques III.24. 1. Toute fonction n fois drivable au voisinage de 0 (resp. de x0)admet un dveloppement limit lordre n en 0 (resp. en x0).

2. Si f est n fois drivable alors les coefficients du DL sont f(0), f(0), . . ., f(n)(0)n!

maisla rciproque est fausse. Par exemple, prenons la fonction :

x f(x) = 3 7x + 4x2 + x3 sin 1x

= (3 7x + 4x2) + x2(x)


56/81


avec limx0 (x) = 0 et (x) = x sin 1x = 0. Or f nest pas deux fois drivable. f

existe car :

g(0) = limx0

x3 sin(x1) 0x 0 avec g(0) = 0

= limx0

x2 sin1

x= 0.

On a donc :

f(x) = 7 + 8 + 3x2 sin 1x x cos 1

x.

Mais f nexiste pas car f nest pas drivable en 0 car :

limx0

x cos(x1) 0x

= limx0

cos(x1)

na pas de limite.

3. Toutes les formules de Taylor permettent davoir un DL de f drivable n fois mais ilne faut pas utiliser systmatiquement les formules de Taylor, en particulier lorsquela fonction est donne dune manire complexe. On peut prendre par exemple lafonction :

x exx2 sin(x2)

cos(x).

III.3 Oprations sur les DL

Avant de commencer cette section, signalons que quelques formules de DL au voisinagede 0 sont dcrites la section A.2.

1 Somme

Dfinition III.25 (DL dune somme de deux fonctions). Soient f et g deux fonctions

relles dfinies sur I un intervalle rel centr en 0 et tel quils admettent un dveloppementlimit dordre n en 0. On peut crire :

f(x) = a0 + a1x + + anxn + xn1(x),g(x) = b0 + b1x + + bnxn + xn2(x).

Alors le DL de f + g lordre n est :

(f + g)(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + + (an + bn)xn + xn(x).


57/81

III.3. OPRATIONS SUR LES DL 51

2 Produit

Dfinition III.26 (DL dun produit de deux fonctions). Soient f et g deux fonctions

relles dfinies sur I un intervalle rel centr en 0 et tel quils admettent un dveloppementlimit dordre n en 0. On peut crire :

f(x) = a0 + a1x + + anxn + xn1(x),g(x) = b0 + b1x + + bnxn + xn2(x).

Alors la fonction f g un DL dordre n en 0 est :f g(x) = c0 + c1x + + cnxn + xn(x)

avec :

ck = i+j=k aibj.Exemple III.27. Soit la fonction x f(x) = cos(x) ex. On veut le DL lordre 4 en 0.

f(x) =

1 x

2

2+

x4

24+ x41(x)

1 + x +x2

2+

x3

3+

x4

24+ x4(x)

= 1 + x +

1

2 1

2

x2 +

1

6 1

2

x3 +

1

24 1

4+

1

24

x4 + x4(x)

= 1 + x x3

3 x

4

6+ x4(x)

3 Quotient de DL

On rappelle la divison euclidienne sur les polynmes :

Thorme III.28 (Division euclidienne). Soient A et B des lments de Kk[X] tels queB = 0. Alors il existe Q et R appartenant K[X] tels que

A = B Q + Ravec deg(R) < deg(P). On appelle Q (resp. R) le quotient (resp. le reste) de la division deA par B.

Proposition III.29. Soient f et g deux fonctions relles admettant un DL dordre n en 0avec A(X) (resp. B(X)), la partie rgulire de f (resp. g) :

A(X) = a0 + a1X+ + anXnB(X) = b0 + b1X+ + bnXn

et b0 = 0. Alors fg est dfinie au voisinage de 0 et admet un DL en 0. On obtient la partiergulire en faisant la division euclidienne suivant les puissances croissantes de A(X) etB(X) lordre


58/81


Dmonstration. g est continue n 0 car g a un DL en 0 lordre n 0 mais g(0) = b0 = 0.Donc il existe un voisinage de 0 o g est diffrent de 0 donc v(0) = f(0)

g(0)est bien dfinie.

Comme B(0) = b0 = 0 alors on peut appliquer la division suivant les puissances croissantes :A(x) = B(x)Q(x) + xn+1R(X) (III.7)

On a donc :

f(x)

g(x)=

A(x) + xn1(x)

B(x) + xn2(x)

=[B(x)Q(x) + xn+1R(x)] + xn1(x) + x

n2(x) xn2(x)B(x) + xn2(x)

=Q(x)[B(x) + xn2(x)]

xn2(x)Q(x) + x

n+1R(x) + xn1(x)

B(x) + xn2(x)

= Q(x) xn2(x)Q(x) + x

n+1R(x) + xn1(x)

B(x) + xn2(x)

Finalement :f(x)

g(x)= Q(x) +

xnT(x)

B(x) + xn2(x)

avec (x) := T(x)B(x)+xn2(x)

.

On a :

f(x)g(x)

= f(x) 1g(x)

= f(x) 1b0 + b1x + + bnxn + (x)xn

= f(x) 1b0(1 + (x))

avec (x) 0 quand x 0

=f(x)

b0 1

1 + x=

f(x)

b0

nk=0

(1)kxk + xn(x).

Tout ce calcul sera justifi par le thorme III.30

4 Composition de DL

Thorme III.30. Soientf et g deux fonctions relles tels que : g admet un DL dordre n en 0, si g scrit :

g(x) = b0 + b1x + + bnxn + xn2(x) avec limx0

(x) = 0

, on peut supposer que f a un DL dordre n en b0 :

f(b0 + h) = a0 + a1h + anhn + hn1(x).


59/81

III.4. APPLICATIONS 53

Alors f g admet un DL lordre n en 0 obtenu par sa partie rgulire suivante endveloppant :

a0 + a1 (b1x + + bnxn) X

+ + an(b1x + + bnxn)n.

5 Drivation et intgration de DL

Proposition III.31. Si f est drivable en 0 et si f a un DL lordre n en 0 (on pourracrire

f(x) = a0 + a1x + + anxn + xn(x))alors f a un DL dordre n + 1 dont la partie rgulire sobtient en intgrant terme termecelui de f.

On a donc :

f(x) = f(0) + a0x + a1 x2

2+ + an x

n+1

n + 1+ xn+1(x)

avec limx0 (x) = 0.

Proposition III.32. Si f a un DL dordre n en 0 et si f a un DL dordre n 1 alors lapartie rgulire de f sobtient en drivant terme terme celle de f.

III.4 Applications1 Recherche dquivalents en x0

Dfinition III.33 (Equivalent de f en x0). Soit f: I R une fonction relle dfinie surun intervalle I. Un quivalent enx0 de f est le premier terme non nul de son dveloppementlimit en x0.

En effet, si lon a trouv f(x) = anxn + xn(x) o le coefficient an est non nul, ceci peutscrire :

f(x) = anxn

1 +

(x)

an

.

ce qui est la dfinition de f est quivalent au voisinage de 0 anxn .

Exemple III.34. On veut trouver un quivalent de sin2(x) x au voisinage de 0. Pourcela, on calcule le dveloppement limit de sin2(x) lordre 3, cela donne :

sin2(x) =

x x

2

6+ x3(x)

2= x2 x

4

3+ x4(x).

Do : sin2(x) x2 est quivalent x43

au voisinage de 0.


60/81


2 Recherche dun quivalent en +Dfinition III.35 (Equivalent de f en +

). Soit f: I

R une fonction relle dfinie

sur un intervalle I. Un quivalent en + de f est le premier terme non nul de sondveloppement limit de g(t) = f( 1

t) en 0.

Exemple III.36. On veut trouver un quivalent de f(x) = 3

x + 1 3x en +. Enposant t = 1

x, on obtient :

f(1/t) = 3

1/t 31 + t 1).Il suffit de prendre un dveloppement limit au premier ordre pour avoir :

f(x) = t1/3 1 +1

3

+ t(t)

1 =

1

3

t2/3(1 + 3(t)) =1

3x2/3

(1 + (x))

o (x) tend vers 0 quand x tend vers linfini. Lquivalent cherch est donc f(x) 13x2/3

.

3 Calcul de limites, formes indtermines

Les dveloppements limites permettent de lever les formes indtermines. On tudie icideux cas importants :

3.1 Dtermination de limx0 f(x)/g(x)

On tudie le cas o f et g tendent tous les deux vers 0 : il sagit dune forme indtermine 00 . Pour cela, on cherche le dveloppement limit du dnominateur g jusqu premierordre donnant une partie ruglire non nulle 1, puis on effectue le dveloppement limit dunumrateur cet ordre dfini par le dnominateur.

Exemple III.37. On veut dterminer

limx0

sin(x) xx3

.

On doit dvelopper le numrateur lordre 3, soit sin(x) = x x36

+ x3(x). On a donc :

limx0 sin(x) xx3 = limx0

16

+ (x) = 16

.

3.2 Dtermination de limx0(f(x))g(x)

On tudie le cas o f tend vrs 1 et g tend vers linfini (quand x tend vers 0). Cetteforme indtermine 1+ peut se ramener une forme 0 + en crivant :

(f(x))g(x) = exp(g(x) ln(f(x))).1. Il suffit dailleurs davoir un quivalent de g (le premier terme non nul du dveloppement limit)


61/81

III.4. APPLICATIONS 55

Exemple III.38. On veut calculer :

limx0(cos(x))1/x2

= limx0 exp1

x2 ln cos(x) .Il nous faut dvelopper ln cos(x) lordre 2, cest--dire dvelopper lordre : ln(1 x2

2+

x2(x)). On a donc :

ln(cos(x)) = x2

2+ x2(x).

Do1

x2ln cos(x) =

1

2+ (x)

tend vers

1

2

qunad x tend vers 0 et la limite cherche est gale exp 1

2 = 1e .4 Etude locale des courbes

4.1 Position dune courbe par rapport sa tangente

Dfinition III.39 (quation de la tangente). Lquation de la tangente (lorsquelle existe) la courbe reprsentative de f au point de coordonne (x0, f(x0)) est donne par la partiergulire du dveloppement de f lordre 1, cest--dire si le dveloppement limit de fest2 :

f(x) = a0 + a1(x x0) + (x x0)(x).lquation de la tangente est bien :

Y = a0 + a1(X x0).

Proposition III.40. Pour obtenir lquation de la tangente et la position de la courbe parrapport cette tangente, on cherche un dveloppement limit de f au voisinage de x0 unordre n 2 de la forme :

f(x) = a0 + a1(x x0) + an(x x0)n + (x x0)n(x)

o an est le premier coefficient non nul dans le dveloppement limit aprs a1 (qui, lui peuttre nul, la courbe ayant alors une tangente horizontale).

La mesure algbrique (mesure sur laxe yOy) de la distance entre le point (x, f(x)) dela courbe et le point de mme abscisse x sur la tangente en (x0, f(x0)) est donne par :

f(x) a0 a1(x x0) = (x x0)n (an + (x))

o limxx0(an + (x)) = an est non nulle.Au voisinage de x0, le signe de la diffrence f(x)a0a1(xx0) est celui de an(xx0)n :


62/81


y

x

Figure III.1 Cas o n est pair

si n est pair, le signe de an(x x0)n est constant, gal au signe de an que x soitplus petit ou pl

M103 : Fondements de l'analyse 2

Documents

Transcript of M103 : Fondements de l'analyse 2