Math Stat 1 Module 3 : Inversion de matrices M3

L3_MS1_M3 1/5

Module 3 : Inversion de matrices

Unité 1. Définition

On ne définira l’inverse d’une matrice A que si A est carrée.

On appelle inverse de la matrice carrée A toute mat rice B telle que AB=BA=I (I matrice identité).

La matrice B est alors notée : 1AB −=

Remarque : une matrice et l’inverse de cette matrice ont nécessairement les mêmes dimensions (pour que la condition de dimension soit satisfaite et qu’on puisse calculer les produits AB et BA).

Propriétés :

• Deux matrices 1B et 2B inverses de la même matrice A sont égales.

• Il suffit qu’une matrice B vérifie l’une des relations IAB = et IBA = pour qu’elle vérifie l’autre.

• Si deux matrices A et B sont inversibles, leur produit est inversible et l’inverse du produit est le produit

des inverses effectué dans l’ordre inverse. ( ) 111 ABAB −−−⋅=

• L’inverse de la transposée d’une matrice A est égale à la transposé de l’inverse : [ ] [ ] '11' AA −−

=

• Déterminant de l’inverse d’une matrice : A1

A 1=

−

Une matrice carrée n’admettant pas d’inverse est dite singulière . Une matrice carrée admettant une inverse est dite inversible ou régulière.

2. Adjointe d’une matrice

Soit A une matrice carrée à n lignes et n colonnes.

On appelle matrice des cofacteurs la matrice A dans laquelle on remplace chaque élément par son

cofacteur. On la note A~

.

La matrice adjointe est la matrice des cofacteurs transposée. Elle a aussi n lignes et n colonnes.

On la note : A~ ′

• Exemple 1 :

=

605

842

731

A

Matrice des cofacteurs :

264

152918

202824

A~

42

31

82

71

84

7305

31

65

71

60

7305

42

65

82

60

84

A~

−−−−

−=→

+−+

−+−

+−+

=→

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Transposée de la matrice des cofacteurs

−−−

−−=⇒

21520

62928

41824

'A~

On peut vérifier que l’on peut calculer l’adjointe en prenant les cofacteurs de la matrice transposée :

Matrice A :

=

605

842

731

A Transposée de A :

=′→

687

043

521

A

Cofacteurs de la transposée de A :

+−+

−+−

+−+

=′→

43

21

03

51

04

5287

21

67

51

68

5287

43

67

03

68

04

A~

−−−

−−=′

21520

62928

41824

A~

Ainsi, On peut procéder de la façon suivante : on transpose la matrice A, puis on remplace chaque élément par son cofacteur. La matrice obtenue est dite matrice adjointe de la matrice A ; elle a aussi n lignes et n colonnes.

• Exemple 2

=

433

232

321

A

=′

423

332

321

A

−−−−

−=′

133

452

516

A~

Remarque : l’égalité suivante est vérifiée : nIAA~

A ⋅=′⋅ ( nI matrice identité).

Exemple :

Soit

=

433

232

321

A

−−−−

−=′→

133

452

516

A~

(Cf Exemple 2)

37

700

070

007

133

452

516

433

232

321

A~

A

Ι⋅−=

−−

−=

−−−−

−

=′⋅

( ) ( )7946

963682612

33

323

43

222

43

23A

−=−−=

−+−−−=

+−=

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3AA~

A Ι⋅=′⇒

3. Inversion d’une matrice régulière par la méthode de l’adjointe

Soit A une matrice carrée régulière.

Soit A~ ′ sa matrice adjointe.

On sait que nAA~

A Ι⋅=′ 0A ≠

Posons: AA~

B′

= , alors nn

A

A

A'A

~AAB Ι=

Ι==

B est donc l’inverse de A et on note : 1AB −=

Donc Adeantmindéter

AdeeintadjoAA~

A 1 =′

=−

Exemples :

• Exemple 1 :

=

341

431

321

A

=′

343

432

111

A

+−+−+−+−

=′121

101

167

A~

2327

41

313

31

412

34

43AAdet

−=++−=

+−==

−−−

−=′=−

2112

12

1021

2132

7

AA~

A 1

• Exemple 2 :

=

213

321

132

A

18)5()7(3)1(2AAdet =−+−−==

=′

231

123

312

A

−−

−=′

175

517

751

A~

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−−

−=−

175

517

751

181

A 1

Exemple concret de comptabilité analytique

Dans une entreprise, certains services travaillent directement pour la production, tandis que d’autres travaillent au profit des autres services, sans contribuer eux-mêmes directement à la production. Il est cependant utile de pouvoir analyser les coûts (directs et indirects) de production.

Soit une entreprise comportant deux départements de production A et B, et trois départements de services intérieurs S1, S2 et S3. On connaît le coût direct de chaque département.

Département A B S1 S2 S3

Coût (milliers d’€) 2000 1500 400 300 600

On estime que l’activité des services intérieurs est faite au profit des différents départements selon la répartition suivante :

Au profit de

%

d’activité de

A B S1 S2 S3 Total

S1 30 25 5 20 20 100

S2 40 20 10 15 15 100

S3 50 20 5 15 10 100

1°) Exprimer le coût total des départements de serv ices sous forme matricielle.

Le coût total des départements de services comporte leur coût direct et la fraction du coût des services consommés, soit respectivement :

Pour S1 : 3211 x05,0x10,0x05,0400x +++=

Pour S2 : 3212 x15,0x15,0x20,0300x +++=

Pour S3 : 3213 x10,0x15,0x20,0600x +++=

Soit matriciellement :

=

=

=

1,015,02,0

15,015,02,0

05,01,005,0

M

600

300

400

D

x

x

x

X

3

2

1

⇒ équation : )1,3()3,3()1,3()1,3( XMDX +=

2°) Résoudre l’équation

a) DX)MI(DMXX =−⇔=−⇔

D)MI(X 1−−=⇔

ou

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b) DX)IM(DXMX −=−⇔−=−

D)IM(X)IM()IM( 11 −− −−=−−⇔

D)IM(X 1−−−=⇔ (M-I) doit être inversible

Le calcul de 1)IM( −− peut être fait une fois pour toutes tant que restent fixes les proportions que les

services consacrent aux différents départements, une simple multiplication matricielle permettant de s’adapter aux variations de D.

−−

−=−

9,015,02,0

15,085,02,0

05,01,095,0

)IM(

−−

−=′−

9,015,005,0

15,085,01,0

2,02,095,0

)IM(

+++

+=′−

7875,01625,02,0

1525,0845,021,0

0575,00975,07425,0

)IM(

674375,0)2,0(05,0)21,0(1,0)7425,0(95,0

15,02,0

85,02,005,0

9,02,0

15,02,01,0

9,015,0

15,085,095,0IM)IMdet(

−=+−−−=

−+

−−

−

−−=−=−

( )

−−−−−−−−−

=−′−=− −

17,124,030,0

23,025,131,0

09,014,010,1

IMIM

)IM( 1

D)IM(X 1−−−=

=

894

637

536

X )1,3(

Ainsi, le coût total du Service S1 est de 536, celui du service S2 est de 637 et celui de S3 de 894