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Universite Libre de

Bruxelles

F a c u l t e d e s S i e n c e s A p p l i q u e e s

Methodes spectrales pour une analyse enfatigue des structures metalliques sous

chargements aleatoires multiaxiaux

Xavier Pitoiset

30 mars 2001

These soumise pour l’obtention du grade de docteur en sciencesappliquees

Laboratoire des Structures Actives

Departement des constructions mecaniques et de

robotique

Remerciements

Cette these est le resultat de quatre annees de recherche passees au Laboratoire desStructures Actives de l’Universite Libre de Bruxelles. Elle a debute par mon servicenational francais de 16 mois effectue pour la Societe Europeenne de Propulsion et s’estpoursuivie dans le cadre d’une bourse Marie-Curie de la Commission Europeenne.Je tiens a remercier particulierement le Professeur Andre Preumont, mon directeur dethese et directeur du laboratoire, pour m’avoir fait decouvrir les vibrations aleatoires,pour son accueil ainsi que pour sa disponibilite et ses conseils tout au long de ces quatreans. Je remercie egalement la petite equipe du laboratoire, en particulier VincentPiefort, pour son aide precieuse tant sur les vibrations aleatoires et la fatigue que surla vie bruxelloise ainsi que Frederic Bossens, Arnaud Francois, Pierre De Man, NicolasLoix et les autres membres du groupe pour le support MATLAB, les discussionstechniques ou conviviales et leur sympathie.Je suis egalement tres reconnaissant envers Alain Kernilis de SNECMA-MoteursFusees qui a initie le projet, l’a soutenu et a encourage le developpement de laMATLAB Random Fatigue Toolbox ; merci egalement a nos autres partenaires in-dustriels, M. Marucchi-Chierro d’Alenia Aerospazio Turin, M. Klein et M. Henriksende l’Agence Spatiale Europeenne (ESTEC) pour leur confiance et leur collaboration.J’ai egalement eu la chance de rencontrer de nombreux collegues travaillant dans lememe domaine et qui m’ont apporte de l’aide, des conseils avises et des encourage-ments. A cette occasion, j’adresse toute ma gratitude a Igor Rychlik, professeur dudepartement de mathematiques statistiques de l’universite de Lund, en Suede. J’aieu le plaisir de travailler avec lui alternativement a Lund et a Bruxelles et il m’aconsiderablement aide au niveau des mathematiques probabilistes et statistiques. Jetiens egalement a remercier Jean-Louis Robert et Bastien Weber de l’INSA Lyon, pourleur sympathie et leurs explications sur les criteres et le modele de prediction de dureede vie qu’ils ont developpe. Je suis egalement reconnaissant envers Andre Galtier, res-ponsable du departement Fatigue et Rupture d’USINOR (Laboratoire IRSID), pourses encouragements et son accueil dans le groupe de travail sur la fatigue multiaxialede la Societe Francaise de Metallurgie et de Materiaux. J’exprime egalement ma gra-titude a Guy Robert et Yvan Radovcic de SAMTECH SA pour avoir supporte mesquestions concernant le code elements finis SAMCEF et le logiciel BOSS QUATTRO.Enfin, je remercie Sylvie pour l’enthousiasme croissant qu’elle manifeste a l’egard dela transformee de Fourier suite a la relecture de mes papiers.

iii

iv 0. Remerciements

Resume

Cette these est consacree au developpement de methodes spectrales de dimension-nement en fatigue de structures soumises a des environnements aleatoires. Apres uncourt chapitre introduisant les vibrations aleatoires et la fatigue des metaux, le cha-pitre 2 traite des methodes temporelles et spectrales proposees dans la litterature etapplicables a des etats de contrainte uniaxiaux. Les performances des methodes spec-trales par rapport a une methode temporelle de reference sont analysees au moyende simulations numeriques. Le chapitre 3 est dedie a l’etude des methodes spectralesapplicables a des etats de contraintes multiaxiaux aleatoires. Une methode tempo-relle de reference permettant de calculer la duree de vie d’une piece a partir deshistoriques des tenseurs des contraintes locaux est presentee. Les resultats obtenusen appliquant les methodes spectrales proposees sont compares a ceux obtenus parla methode temporelle de reference lorsque celle-ci est appliquee a des simulationsde Monte-Carlo. Divers criteres d’endurance multiaxiaux sont ensuite presentes auchapitre 4. Deux d’entre eux sont pour la premiere fois, a la connaissance de l’auteur,formules dans le domaine de Fourier. Les nouvelles formulations spectrales sont va-lidees par rapport aux criteres temporels initiaux a partir du modele elements finisd’une structure simple. Le gain de temps qu’apportent ces nouvelles formulations estmis en evidence. L’ensemble des outils frequentiels developpes dans ces chapitre sontensuite appliques a l’analyse en fatigue de la tuyere divergente du moteur Vulcain IId’Ariane V. Cette etude est decrite au chapitre 5. Enfin, le chapitre 6 illustre deuxapplications possibles des methodes spectrales en bureau d’etudes, d’une part, dans lebut de concevoir un systeme d’amortissement actif des vibrations a l’aide de capteurset d’actionneurs piezoelectriques et d’autre part, en vue d’une optimisation structu-rale en fatigue multiaxiale aleatoire. Les diverses conclusions de notre recherche sontrassemblees au chapitre 7.

v

vi 0. Resume

Table des matieres

Remerciements iii

Resume v

Liste des symboles xi

1 Introduction 11.1 Introduction aux vibrations aleatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Introduction a la fatigue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Organisation de la these . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Fatigue uniaxiale aleatoire 92.1 Domaine temporel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.1 Chargement a amplitude constante et courbe de Wohler . . . . 102.1.2 Effet d’une contrainte moyenne non nulle . . . . . . . . . . . . 112.1.3 Cumul du dommage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1.4 Methode ”rainflow” de comptage des cycles . . . . . . . . . . . 13

2.2 Domaine frequentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.1 Definition d’une densite spectrale de puissance . . . . . . . . . 152.2.2 Proprietes statistiques des signaux aleatoires . . . . . . . . . . 17

2.3 Methodes spectrales de calcul du dommage . . . . . . . . . . . . . . . 212.3.1 L’approximation de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3.2 Facteurs de correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3.3 Methode du ”Single Moment” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4 Simulations de Monte-Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.4.1 Comparaisons entre simulations rainflow et methodes spectrales 252.4.2 Distribution des cycles rainflow et du dommage . . . . . . . . . 27

2.5 Calcul des cycles rainflow a partir d’une PSD . . . . . . . . . . . . . . 302.5.1 Approches empiriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.5.2 Methode de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3 Methodes de calcul de duree de vie en fatigue multiaxiale aleatoire 413.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

vii

viii TABLE DES MATIERES

3.2 Methode temporelle de prediction de duree de vie . . . . . . . . . . . . 423.2.1 Projection du tenseur des contraintes sur un plan . . . . . . . . 433.2.2 Chargement multiaxial periodique . . . . . . . . . . . . . . . . 443.2.3 Chargement multiaxial variable ou aleatoire . . . . . . . . . . . 463.2.4 Simulation de Monte-Carlo d’un processus vectoriel aleatoire . 48

3.3 Methodes frequentielles de prediction de duree de vie . . . . . . . . . . 493.3.1 Methode de la contrainte equivalente de von Mises . . . . . . . 493.3.2 Methode du rainflow multiaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.4 Application a une structure simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.5 Resultats et discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.5.1 Temps de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.5.2 Analyse des zones critiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.5.3 Explication des differences observees . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4 Criteres d’endurance en fatigue multiaxiale aleatoire 654.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.2 Les differents types de criteres multiaxiaux . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2.1 Les criteres de type plan critique . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.2.2 Les criteres de type approche globale . . . . . . . . . . . . . . . 684.2.3 Optimisation des temps de calcul des criteres . . . . . . . . . . 71

4.3 Formulation frequentielle du critere de Matake . . . . . . . . . . . . . 714.3.1 Definition frequentielle des contraintes relatives a un plan phy-

sique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.3.2 Definition frequentielle du plus petit cercle circonscrit . . . . . 734.3.3 Formulation frequentielle du critere . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.4 Formulation frequentielle du Critere de Crossland . . . . . . . . . . . . 774.4.1 Premiere formulation frequentielle du critere . . . . . . . . . . 774.4.2 Seconde formulation frequentielle du critere . . . . . . . . . . . 78

4.5 Application a une structure simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.5.1 Application du critere de Matake : domaines temporel et

frequentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.5.2 Application du critere de Crossland : domaines temporel et

frequentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.6 Variabilite des directions des contraintes principales . . . . . . . . . . 834.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5 Analyse en fatigue du divergent du moteur Vulcain d’Ariane V 915.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.2 Presentation de la structure et definition du chargement . . . . . . . . 925.3 Analyse modale et analyse spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.4 Analyse en fatigue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.4.1 Application des methodes spectrales de prediction de duree devie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.4.2 Application des formulations spectrales des criteres d’endurance 99

TABLE DES MATIERES ix

5.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6 Quelques perspectives 1036.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.2 Amortissement actif contre fatigue aleatoire . . . . . . . . . . . . . . . 104

6.2.1 Description de la structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.2.2 Conception d’un controleur multi-mode PPF . . . . . . . . . . 105

6.3 Optimisation contre fatigue aleatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

7 Conclusions 115

A Simulation de processus vectoriels gaussiens 119A.1 Echantillons d’un processus gaussien stationnaire . . . . . . . . . . . . 119A.2 Echantillons d’un processus vectoriel gaussien stationnaire . . . . . . . 121

B Facteur de pic 125

x TABLE DES MATIERES

Liste des symboles

symbole signification

b niveau d’un seuil ou d’un maximum defini pour une variable aleatoirec vecteur constant intervenant dans la formulation frequentielle du

rainflow multiaxial eq. (3.23)C constante de l’equation de Basquin Nsβ = C decrivant la courbe

de WohlerC(γ, φ) matrice apparaissant dans la projection du vecteur des contraintes

sur un plan physique defini par les angles spheriques (γ, φ)Ca amplitude maximale de la contrainte de cisaillement agissant

sur un plan physiqued dommage produit par un cycle elementaire de la contrainted(ψ) dommage relatif au plan physique ψ (approche du plan critique)D dommage cumule produit par une sequence de chargementer, ep epaisseurs de la plaque etudiee au chapitre 6E[x] esperance mathematique de la variable aleatoire xf0(N) limite d’endurance a N cycles en traction repeteef−1(N) limite d’endurance a N cycles en traction alterneeF (N) facteur de pic d’un processus observe pendant N cycles

(formule de Davenport eq. (4.26))g terme general designant un critere d’amorcage en fatigue multiaxialeJ Jacobien de la transformation resultant d’un changement de variables√J2,a amplitude du deuxieme invariant du deviateur du tenseur

des contraintesma moment spectral d’ordre aMT nombre de maxima par unite de temps~n vecteur normal a un plan physique defini par les angles

spheriques (γ, φ)

xi

xii 0. Liste des symboles


N nombre de cycles a l’amorcage d’une fissureNe nombre de cycles a la limite d’endurance du materiauNx(b) nombre de franchissements a pente positive du niveau b

par la variable aleatoire xp pression hydrostatique, premier invariant du tenseur des contraintespx(x) densite de probabilite de la variable aleatoire xQ matrice constante utilisee dans les formulations frequentielles

des methodes de la contrainte equivalente de von Mises eq. (3.18)et du multiaxial rainflow eq. (3.28)

Qθ matrice de rotation d’un angle θ entre deux reperesR rayon du plus petit cercle circonscrit au trajet decrit par la contrainte

de cisaillement agissant sur un plan physiqueRx(τ) fonction de correlation de la variable aleatoire xs contrainte uniaxiale (chapitre 2) ou vecteur des contraintes

(a partir du chapitre 3)sa amplitude de la contraintesaeq amplitude de la contrainte cyclique de moyenne nulle equivalente

en terme de dommage a un cycle de contrainte d’amplitudesa et de moyenne sm

sc contrainte equivalente de von Mises definie eq. (3.11)se limite d’endurance du materiausm contrainte moyennesn contrainte normale a un plan physique variant dans la direction ~nsna amplitude de la contrainte normale snsnm partie moyenne de la contrainte normale snsr contrainte equivalente selon la methode du rainflow multiaxial

definie eq. (3.23)sψ vecteur des contraintes relatives au plan physique ψ defini eq. (3.3)sx contrainte normale selon ~x dans le repere structural (~x, ~y)sy contrainte normale selon ~y dans le repere structural (~x, ~y)sxy contrainte de cisaillement dans le repere structural (~x, ~y)Su contrainte ultime de tractiont−1(N) limite d’endurance a N cycles en torsion alterneeT periode d’observation d’un processus aleatoireTa projection du trajet decrit par la contrainte de cisaillement

sur une droite du plan (critere de Papadopoulos)Ul vitesse de convection longitudinale d’une turbulence

xiii


X(ω, T ) transformee de Fourier tronquee d’une variable aleatoire xsur une periode T

ym amplitude modale relative au mode m

α(N) coefficient intervenant dans le calage a N cycles d’un criteremultiaxial

αim composante i de la contrainte modale induite par le mode mβ exposant de l’equation de Basquin Nsβ = C decrivant la courbe

de Wohlerβ(N) coefficient intervenant dans la calage a N cycles d’un critere

multiaxialγ angle spherique definissant un plan physique (l’angle spherique

complementaire est φ)γ facteur d’irregularite d’un processus aleatoire defini eq. (2.19)Γ(x) fonction gamma definie eq. (2.29)∆(b) taux de dommage produit par les maxima compris dans

l’intervalle [b, b+ db[∆s etendue entre deux extrema successifs d’un historique d’une

contrainteε indicateur de la largeur de bande d’un processus aleatoire

defini eq. (2.20)η amplitude reduite d’un maximum par rapport a l’ecart type σ

du processus aleatoireθ angle de rotation entre deux reperesθ(N) coefficient intervenant dans le calage a N cycles d’un critere

multiaxialµ(r) nombre moyen de franchissements par unite de temps du cercle

de rayon r par la contrainte de cisaillement agissant sur un planphysique

ν+b nombre moyen de franchissements du seuil b par une variable

aleatoire par unite de tempsξ amortissement modalρxy coefficient de correlation entre les variables aleatoires x et yσx ecart type du processus aleatoire xΣ matrice de covariance d’un processus vectoriel aleatoire~τn ou ~τ vecteur representant la contrainte de cisaillement agissant

sur un plan physique ~τ = (τu, τv)T , (~u,~v) etant une base du plande normal ~n

xiv 0. Liste des symboles


τna amplitude de la contrainte de cisaillement agissant sur le plande normal ~n

τnm partie moyenne de la contrainte de cisaillement agissant sur le plande normal ~n

τu composante selon ~u de la contrainte de cisaillement agissant sur unplan physique

τv composante selon ~v de la contrainte de cisaillement agissant sur unplan physique

φ angle spherique definissant un plan physique(l’angle spherique complementaire est γ)

Φxx(ω) densite spectrale de puissance (PSD) de la variable aleatoire xΦx(ω) matrice des PSD relative au procesus vectoriel aleatoire xψ plan physique defini par sa normale ~n ou les angles spheriques (γ, φ)ω frequence

Chapitre 1

Introduction

1.1 Introduction aux vibrations aleatoires

La theorie des vibrations aleatoires a ete developpee afin de predire la reponse desstructures soumises a des environnements aleatoires. Les ingenieurs sont confrontes ace type de probleme lorsqu’ils souhaitent predire par exemple :– la reponse des ponts et des batiments soumis a l’action du vent ou encore aux

tremblements de terre,– la reponse des bateaux ou des plate-formes de forage soumis a l’action de la houle,– la reponse des chassis et elements de suspensions de vehicules qui dependent de la

rugosite de la route,– la reponse des avions soumis a des turbulences atmospheriques ou les lanceurs

spatiaux soumis a des environnement acoustiques severes lors du lancement,– la reponse des equipements embarques soumis aux vibrations des supports, etc.Les applications sont donc tres diverses. Le developpement de cette theorie a de-mande plusieurs decennies et de nombreux travaux dans les differents domaines quesont la dynamique des structures, l’analyse des signaux aleatoires et la mecaniqueprobabiliste. C’est a la fin des annees 50, avec les programmes civils et militairesd’explorations spatiales que la premiere theorie des vibrations aleatoires est apparue.Parmi les ouvrages de reference, citons par ordre chronologique les travaux majeurs deCrandall & Mark [4] en 1963, puis l’importante contribution dans les developpementsmathematiques des vibrations aleatoires de Lin [8] en 1967. Parallelement a cesdeveloppements, d’importants progres ont ete realises dans le domaine de la mesureet l’estimation des parametres de processus aleatoires et l’analyse spectrale. Le livrede reference dans ce domaine a ete publie par Bendat & Piersol [2] en 1966. Avec ledeveloppement des ordinateurs, des moyens d’acquisition de signaux portables, descapteurs et des logiciels d’analyse modale, la pratique des vibrations aleatoires estdevenue de plus en plus courante dans l’industrie, des ouvrages recents montrent lesdifferents developpements realises dans ce domaine au cours des dernieres decennies :Preumont [9], Wirshing et al. [10].

2 1. Introduction

L’une des hypotheses en vibrations aleatoires est que la structure est deterministe, sageometrie et les caracteristiques des materiaux qui la constituent sont donnes. Elle estegalement supposee lineaire. Sa reponse a une excitation aleatoire est predite a partird’un modele numerique souvent realise en utilisant la methode des elements finis.La difficulte majeure de l’analyse d’une structure soumise a des excitations aleatoiresse situe dans la definition meme de l’excitation physique qui agit sur celle-ci. Cetteexcitation doit etre definie afin d’etre compatible avec la modelisation par elementsfinis. Elle peut etre appliquee soit aux supports (excitation de type sismique) soita des noeuds du maillage (excitation de type force ponctuelle ou champs de pres-sions). Dans la theorie classique des vibrations aleatoires, les excitations sont sup-posees gaussiennes. Cette hypothese est souvent justifiee par le theoreme de la limitecentrale qui stipule qu’une variable aleatoire resultant d’une superposition d’un grandnombre de variables elementaires statistiquement independantes tend a etre gaus-sienne, quelles que soient les distributions des variables elementaires. De tels proces-sus sont entierement caracterises par leurs proprietes statistiques du deuxieme ordre,c’est-a-dire par leur moyenne et par leur fonction d’autocorrelation ou encore leurdensite spectrale de puissance. La densite spectrale de puissance donne l’informationsur le contenu frequentiel du signal ainsi que sur la variance du processus.Pour les systemes lineaires, la relation entre l’entree, c’est-a-dire l’excitation, et la sor-tie, c’est-a-dire la reponse de la structure (deplacements, deformations et contraintes)est calculee pour les statistiques des deux premiers ordres. En effet, la structure etantlineaire, sa reponse a une excitation gaussienne est egalement gaussienne. Les rela-tions entree-sortie sont alors regies par les equations differentielles traditionnelles dela dynamique des structures, voir Geradin & Rixen [7]. Dans la plupart des cas, lesstructures possedent des modes normaux, ce qui reduit la resolution numerique desequations differentielles car le mouvement de telles structures peut etre decompose encelui de ses differents modes propres, qui se comportent comme autant d’oscillateursa un degre de liberte.Dans le cas d’une analyse temporelle, la relation entre l’entree et la sortie s’exprime parune integrale de convolution, caracteristique d’un systeme lineaire. Par consequent, lecalcul de la reponse de la structure dans le domaine temporel revient a integrer parpas de temps cette integrale de convolution, ce qui rend l’analyse tres couteuse entemps de calcul. Par contre, dans le domaine de Fourier, l’operation de convolutioncorrespond a une simple multiplication. Par consequent, la reponse de la structurea une excitation aleatoire est calculee beaucoup plus rapidement dans le domainespectral. Les excitations, comme les reponses, sont alors caracterisees, non pas pardes sequences temporelles, mais par des densites spectrales de puissances (cf. Fig.1.1).Dans la plupart des codes de calcul qui possedent un module d’analyse spectrale(par exemple SAMCEF, MSC NASTRAN, STARDYNE ou encore ANSYS), lestypes d’excitations principaux qui peuvent etre appliques sont des deplacements, desaccelerations ou des forces. Ces excitations peuvent etre multiples, c’est-a-dire ap-pliquees a differents points de la structure et donc eventuellement correlees ; prenonspar exemple le cas d’un vehicule se deplacant sur une route rugueuse a une cer-taine vitesse. L’excitation a laquelle est soumis l’essieu avant est identique a celle ap-

1 Introduction aux vibrations aleatoires 3

pliquee a l’essieu arriere, mais les deux excitations sont dites spatialement correlees, ilexiste en effet un delai entre l’acceleration vue par les deux essieux. Ce delai dependde la distance entre les deux essieux et de la vitesse du vehicule. Les excitationsetant modelisees, l’analyse spectrale consiste donc a calculer les densites spectralesde puissances des differentes grandeurs comme les deplacements, les accelerations, lesdeformations ou encore les contraintes aux noeuds du maillage ou moyennees sur unelement fini.

Fig. 1.1 – Analyse spectrale d’une structure lineaire

Le but ultime de ce calcul est d’etudier la fiablilite et l’integrite des structures. Plusprecisement, l’objectif de l’ingenieur est de predire les risques de ruine et de determinersi la structure pourra endurer des chargements donnes pendant la duree de serviceprevue. En vibrations aleatoires, differents modes de ruine peuvent se ramener al’etude du probleme dit du premier passage. Ce probleme consiste a determiner laprobabilite que la reponse de la structure ne depasse pas un certain seuil pendant uneduree d’observation donnee. A titre d’exemple nous pouvons citer le depassement dela limite d’elasticite par une contrainte, le depassement d’une deformation excessive,le depassement d’une force de compression provoquant l’instabilite par flambementetc. L’autre mode de ruine tres frequemment rencontre dans l’etude des structuressoumises a des vibrations aleatoires est la fissuration en fatigue. Ce mode d’endomma-gement resulte des contraintes aleatoires induites par les vibrations dans la structure.Cette these a pour but d’ameliorer les methodes de predictions de duree de vie desstructures exposees a ce dernier type d’endommagement.

4 1. Introduction

1.2 Introduction a la fatigue

L’endommagement par fatigue est defini comme la modification des proprietes desmateriaux consecutive a l’application d’efforts variables dans le temps ou de cyclesd’efforts, cycles dont la repetition peut conduire a la rupture par fissuration de lapiece ou de la structure constituee de ce materiau. Ce phenomene a ete etudie des leXIXieme siecle, par Wohler, qui a caracterise pour la premiere fois les materiaux enfatigue en etablissant une courbe donnant la duree de vie ou le nombre N de cyclesa rupture en fonction de l’amplitude s des cycles parcourus par la contrainte.Cette courbe est souvent utilisee pour caracteriser un materiau soumis a une tractionalternee sinusoıdale. Deux domaines sont alors distingues, le premier domaine estcelui de la fatigue oligocyclique, ou la rupture intervient aux alentours de 104 −105 cycles et ou les pieces sont soumises a des contraintes depassant generalementlocalement la limite d’elasticite. Les modeles de predictions de duree de vie reposentalors sur l’historique des deformations dans les zones critiques (entailles, conges deraccordement etc). Le second domaine est celui de la fatigue dite a grand nombre decycles, la rupture se produisant entre 105 et 107 cycles, la structure est alors soumisea des contraintes ne depassant pas la limite d’elasticite du materiau. La fatigue agrand nombre de cycles est donc plutot basee sur l’historique des contraintes (cf. parexemple Dowling [5]). Les structures lineaires, soumises a des vibrations aleatoireset dont la reponse est calculee au moyen d’une analyse spectrale par elements finis,appartiennent a cette categorie.La vie d’une structure endommagee par fatigue peut etre decomposee en trois stades :l’amorcage d’une fissure, la propagation lente de la fissure et la propagation brutaledue a l’instabilite et conduisant a la rupture, voir Bathias & Bailon [1]. Il n’existepas de definition universellement acceptee de l’amorcage, toutefois, nous le definironsici comme l’apparition d’une fissure d’une longueur superieure a 0.01 mm, dimensiondevenant detectable et correspondant au niveau metallurgique a la taille de grain pourla plupart des aciers. Dans le cadre de ce travail, nous nous interessons principalementa cette premiere phase de l’endommagement par fatigue et ce pour deux raisons. Lapremiere raison est que, dans le cas de la fatigue a grand nombre de cycles, la phasela plus longue est la phase d’amorcage, elle peut representer jusqu’a 90% de la dureede vie de la structure, notamment dans le cas des metaux durs (pour lesquels lerapport entre la limite d’endurance en torsion alternee et la limite d’endurance enflexion alternee se situe approximativement entre 0.5 et 0.8). La duree de vie dite al’amorcage peut donc etre une relativement bonne indication sur la duree de vie totalede la structure. La deuxieme raison est que la propagation de la fissure entraıne defortes non linearites dans le comportement de la structure, l’analyse spectrale telleque nous l’avons classiquement definie dans le premier paragraphe n’est plus valable.De plus, la propagation de fissure est du ressort de la mecanique de la rupture, elleest par consequent souvent traitee tout a fait separement du probleme d’amorcage.L’approche generalement utilisee pour le calcul de duree de vie en fatigue est doncbasee sur la courbe de Wohler et sur l’historique des contraintes donne en differentspoints de la structure. Cette approche, que nous adoptons dans cette these, est macro-scopique. Le materiau constituant la structure est considere comme etant homogene.

1 Organisation de la these 5

Toutefois, pour etudier l’endommagement par fatigue, il est necessaire de mieux com-prendre les mecanismes physiques mis en jeux a une echelle microscopique ou plutotmesoscopique (echelle correspondant a la taille des grains de cristaux constituant lemetal) lors de l’amorcage.Lorsqu’une eprouvette lisse est soumise a la fatigue, les fissures apparaissent en sur-face ou l’etat des contraintes est donc uniaxial ou biaxial. L’amorcage de ces fissuresest du au fait qu’a l’echelle microscopique, un metal n’est plus homogene. En effet,l’observation de sa microstructure montre qu’il est consitue de grains cristallins dontles orientations sont aleatoires. En fonction de son orientation, le cristal a des pro-prietes mecaniques variables. Certains grains d’orientation defavorable par rapport al’orientation de la sollicitation subissent un ecrouissage. En surface, les dislocationsactivees dans ces grains sont evacuees en suivant les plans de glissement du cristal. Cesbandes de glissements peuvent alors devenir persistantes et un polissage ne les eliminepas, elles sont a nouveaux observees des que l’application de la sollicitation reprend.Ce premier stade d’endommagement est par consequent irreversible. De plus en plusde dislocations debouchent en surface accentuant le relief, formant des marches puisdes intrusions et des extrusions. Celles-ci se transforment en fissures qui suivent lesbandes de glissements pour penetrer dans les grains. C’est le stade I de la propagation.Deux types de fissures peuvent alors etre distingues. Le premier type est observe dansle cas de la traction alternee ou les microfissures s’orientent a 45◦ par rapport a l’axede la sollicitation. Lorsque les grains sont traverses, une fissure predominante poursuitensuite sa propagation perpendiculairement a l’axe dans lequel s’exerce la traction.Elle penetre donc dans la section, c’est alors que commence le stade II de propagation.Dans le cas de la torsion alternee, l’experience montre que les fissures sont perpen-diculaires a la surface et qu’elles se propagent d’abord superficiellement avant de sepropager au travers de la section, ce type de chargement est par consequent beau-coup moins severe. Ces observations mettent en evidence les raisons pour lesquellesl’amorcage depend du plan subissant la contrainte de cisaillement de plus grande am-plitude (qui, par exemple, est orientee a 45◦ par rapport a l’axe de la sollicitationpour une traction simple). Notons que l’amorcage est aussi influence par la contraintenormale a ce plan de cisaillement qui provoque l’ouverture de la fissure et influencesa direction et sa vitesse de propagation (voir par exemple Francois et al. [6], Brown& Miller [3]).

1.3 Organisation de la these

Cette these est organisee en 6 chapitres. Dans le chapitre 2, nous montrons quelleest la methodologie a appliquer pour calculer la duree de vie d’une piece metalliquesoumise a un chargement aleatoire ayant une seule composante. La premiere partiede ce chapitre montre d’abord l’approche traditionnelle basee sur l’historique de lacontrainte aleatoire. Dans la seconde partie du chapitre, nous montrons comment lameme prediction peut etre obtenue dans le domaine frequentiel, a partir de la densitespectrale de puissance de la contrainte aleatoire consideree. Le chapitre 3 aborde leprobleme des structures soumises a des sollicitations comportant plusieurs compo-

6 1. Introduction

santes, probleme designe par le terme de fatigue multiaxiale. Comme dans le chapitreprecedent, nous decrivons rapidement une methode de calcul de duree de vie pou-vant etre appliquee a l’historique du tenseur des contraintes. Nous presentons ensuiteles nouvelles methodes alternatives applicables dans le domaine frequentiel a par-tir de la matrice des densites spectrales de puissance relative au tenseur aleatoiredes contraintes. Nous nous interessons uniquement aux chargements gaussiens demoyenne nulle. Les resultats obtenus dans le domaine frequentiel sont compares aceux obtenus par la methode temporelle, consideree comme etant la reference, en uti-lisant le modele elements finis d’une structure simple. Le quatrieme chapitre traitedes criteres multiaxiaux de rupture par fatigue, permettant de predire si une struc-ture sera endommagee par fatigue, si elle est soumise a un chargement multiaxialaleatoire donne. Deux criteres multiaxiaux classiques sont formules dans le domainefrequentiel et valides par rapport a leurs formulations temporelles initiales respectivesau moyen de simulations de Monte-Carlo. Nous passons alors a des applications desmethodes que nous avons developpees. Le chapitre 5 consiste en l’application de cesmethodes a l’analyse en fatigue du divergent du moteur Vulcain 2 du lanceur europeenAriane 5. Nous terminons notre expose au chapitre 6, par l’illustration de perspec-tives d’utilisation des methodes spectrales en bureau d’etude. Nous illustrons d’unepart la possibilite de limiter l’endommagement par fatigue des structures au moyend’un amortissement actif des vibrations et nous presentons d’autre part un exempled’optimisation structurale en fatigue multiaxiale aleatoire. Enfin, nous rappelons lesprincipaux resultats de notre recherche.

BIBLIOGRAPHIE 7

Bibliographie

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[9] Preumont A., 1994. Random Vibration and Spectral Analysis. Kluwer AcademicPublishers.

[10] Wirshing P.H., Paez T.L. & Ortiz K., 1995. Random Vibrations : Theory andPractice. Wiley-Interscience.

8 1. Introduction

Chapitre 2

Fatigue uniaxiale aleatoire

Considerons une piece mecanique soumise a une contrainte s(t) qui varie au coursdu temps. Cette contrainte variable produit, meme si elle n’excede pas la limited’elasticite du materiau, un endommagement par fatigue. Le but du concepteur estdonc de dimensionner la section de cette piece de facon a eviter la rupture en fatiguependant la duree de service. Cette discipline est relative a la science des materiaux,qui etudie les problemes de caracterisation des materiaux en fatigue ainsi que les as-pects physiques de ce mode d’endommagement. L’approche developpee dans ce cadreest traditionnellement temporelle, c’est-a-dire basee sur l’historique de la contrainte.Elle repose sur des variables telles que l’amplitude et la valeur moyenne des cyclesparcourus par la contrainte s(t) pendant la sequence de chargement.Par consequent, ce chapitre commence par l’etude d’une eprouvette soumise a unchargement uniaxial d’amplitude constante et par la caracterisation des metaux enfatigue sous forme de courbe de Wohler (§ 2.1.1). Puis, en envisageant differents casde chargement de complexites croissantes, nous aboutissons a une methode de cal-cul de duree de vie des pieces soumises a des sollicitations d’amplitudes variablesou aleatoires. Cette methode est basee sur une decomposition de l’historique de lacontrainte en cycles elementaires a l’aide d’une procedure appelee ”comptage rain-flow des cycles”. Elle est actuellement consideree comme la methode qui donne lespredictions les plus proches des durees de vie mesurees experimentalement (§ 2.1.2 -§ 2.1.4).Toutefois, la fatigue peut egalement etre induite par des vibrations et le problemede calcul de duree de vie peut alors se poser aux ingenieurs qui etudient la reponsedynamique des structures a des excitations periodiques ou aleatoires. Cette reponse estalors donnee dans le domaine frequentiel, comme nous l’avons vu dans l’introduction.Des methodes alternatives de calcul de duree de vie a partir de la densite spectrale depuissance de la contrainte s(t) ont alors ete developpees. Toutes ces approches visenta approximer les resultats obtenus par la methode temporelle basee sur le comptagerainflow des cycles.Apres avoir donne quelques notions theoriques fondamentales sur les signauxaleatoires gaussiens (§ 2.2), les differentes methodes spectrales de calcul de duree

10 2. Fatigue uniaxiale aleatoire

de vie proposees dans la litterature sont passees en revue. Une etude comparativebasee sur des simulations numeriques permet ensuite de trouver quelle est la methodespectrale la plus performante. Dans ce but, a partir d’un spectre de chargement donne,plusieurs realisations de la contrainte s(t) sont generees artificiellement. La methodetemporelle peut etre appliquee et le dommage moyen produit par le chargement pen-dant une duree d’application T est estime a partir de ces realisations. Ce dommagemoyen est alors compare a celui obtenu directement a partir du spectre de chargementen appliquant les differentes methodes frequentielles (§ 2.3 - § 2.5).

2.1 Domaine temporel

Dans ce paragraphe, nous traitons le cas du chargement d’amplitude constante etl’influence de la superposition d’une contrainte moyenne a la contrainte alternee.Nous etudions ensuite le cumul du dommage permettant de calculer la duree de vied’une piece qui est soumise a des sequences de differentes amplitudes et differentescontraintes moyennes. Enfin, nous traitons le cas le plus complexe et le plus couram-ment rencontre, c’est-a-dire celui d’une contrainte d’amplitude variable ou aleatoire.

2.1.1 Chargement a amplitude constante et courbe de Wohler

En fatigue, les materiaux sont caracterises par des essais semblables a celui presenteFig. 2.1 ou une eprouvette est soumise a un chargement alterne sinusoıdal d’amplitudeconstante jusqu’a ce que l’amorcage d’une fissure soit observe. Le nombre de cycles al’amorcage est alors mesure, experimentalement le nombre de cycle a l’amorcage estconfondu au nombre de cycles a rupture. De tels essais sont repetes pour differentesamplitudes du chargement afin d’etablir la courbe de Wohler du materiau, donnanten ordonnee l’amplitude de la contrainte notee sa ou s en fonction de la duree de viea l’amorcage N .

Fig. 2.1 – Essai de fatigue et courbe de Wohler

2 Domaine temporel 11

Pour la plupart des materiaux, une relation lineaire entre l’amplitude de la contrainteet le nombre de cycles a rupture ou a l’amorcage est observee lorsque la courbede Wohler est representee sur une double echelle logarithmique. La relation entrel’amplitude de la contrainte et le nombre de cycles a rupture peut alors etre exprimeesous la forme suivante :

Nsβ = C (2.1)

ou C et β sont des constantes du materiau. Cette equation est connue sous le nomd’equation de Basquin ; elle est tres utilisee en fatigue uniaxiale aleatoire. D’autresrepresentations mathe-matiques ont ete proposees tout au long du XXieme siecle etsont decrites dans de nombreux ouvrages, par exemple Lieurade & La commissionfatigue des metaux de la SFM [18].Toutefois, l’equation de Basquin ne permet pas de rendre compte de l’existence d’uneasymptote horizontale observee principalement dans le cas des aciers, une contrainteseuil de coupure est alors introduite. En effet, une amplitude minimale se de lacontrainte en dessous de laquelle l’eprouvette resiste au chargement pour un nombrede cycles largement superieur a Ne = 106−107 cycles a souvent ete mise en evidence.Cette amplitude est appelee limite d’endurance. Les metaux non-ferreux ne presententen general pas de telle limite.Il est egalement important de noter que les resultats de ces essais de fatigue sont dis-tribues statistiquement et qu’ils sont presentes sous forme de courbes d’isoprobabilited’amorcage. En pratique, la courbe de Wohler est generalement donnee pour une pro-babilite d’amorcage p = 0.5 (voir Fig. 2.1). Les dispersions observees resultent de lanature meme de l’endommagement par fatigue et sont considerees comme etant l’undes aspects physiques du phenomene : ces dispersions sont dues a des variations d’uneeprouvette ou d’une piece a l’autre, variations qui peuvent etre internes au materiau(microstructure, defauts ... ), ou liees a la preparation des eprouvettes (usinage ...),ou enfin externes (charge appliquee, environnement ...).Notons enfin qu’en presence du seul mode d’endommagement par fatigue, la frequencede la sollicitation ne semble pas avoir d’influence significative sur la duree de vie(Francois et al. [13]), sauf dans le cas des metaux moux tels que par exemple lesaciers autenitiques.

2.1.2 Effet d’une contrainte moyenne non nulle

Les observations experimentales ont mis en evidence que lorsqu’une contrainte sta-tique positive sm est superposee au chargement cyclique d’amplitude sa, la duree devie de l’eprouvette ou de la piece diminue. L’effet inverse est observe en presence d’unecontrainte moyenne de compression. Afin de prendre en compte ce phenomene, desessais complementaires peuvent etre realises afin d’etablir un diagramme de Haighdonnant, pour une duree de vie fixee N , la contrainte alternee admissible sa en fonc-tion de la contrainte moyenne sm.La encore, plusieurs modelisations mathematiques de ce diagramme ont ete formulees(comme par exemple le modele de Goodmann, la parabole de Gerber etc.). Ces


differents modeles sont decrits dans la litterature (par exemple Robert [29]). Le CE-TIM (Centre Technique des Industries Mecaniques) preconise l’emploi du modelebilineaire illustre Fig. 2.2.

Fig. 2.2 – Effet de la contrainte moyenne : diagramme de Haigh

Ce diagramme permet alors de transformer chaque cycle de moyenne non nulle smet d’amplitude sa en un cycle de moyenne nulle et d’amplitude saeq. En terme deduree de vie, le premier cycle (sm, sa) represente par le point B sur le diagrammeest equivalent au cycle (0, saeq), represente par le point A. Sachant que la diagrammede Haigh sa = f(sm) se decompose en deux parties lineaires dont l’intersection estle point C = (Su − saeq/2, saeq/2), ou Su est la contrainte limite a la rupture dumateriau, il est possible de montrer que

saeq = Su +12

(sa − sm)−√

(Su +12

(sa − sm))2 − 2saSu) (2.2)

Ceci revient en fait a modifier la courbe de Wohler pour chaque cycle de contraintemoyenne non nulle. La diminution de la duree de vie qu’entraine la superpositiond’une contrainte moyenne positive a une contrainte alternee donnee peut etre obtenueen abaissant la courbe de Wohler initiale. En considerant le diagramme de Haigh ala limite d’endurance N = Ne, il est possible d’obtenir directement la diminutionde limite d’endurance se en fonction de la contrainte sm. La contrainte d’endurancemodifiee devient

s′e =

−sesm/(2Su − se) + se si sm ≤ (Su − se/2)

Su − sm si sm > (Su − se/2)(2.3)

La courbe de Wohler, modelisee par l’equation Nsβ = C peut alors etre translateevers le bas en remplacant la constante C par

2 Domaine temporel 13

C ′ = C(s′ese

)β (2.4)

2.1.3 Cumul du dommage

Lorsque les chargements se composent de differents cycles de differentes amplitudes etdifferentes valeurs moyennes, il est alors necessaire de quantifier l’endommagement to-tal que produisent ces cycles. Fatemi & Yang [12] presentent une revue synthetique etcomplete des lois de cumul du dommage qui ont ete developpees depuis la celebre reglede cumul lineaire proposee par Palmgren en 1924. Les auteurs concluent qu’il n’existepas encore de loi de cumul satisfaisante universellement acceptee. Par consequent, lasimple loi de cumul lineaire maintient sa popularite et est encore largement utiliseeen raison de sa simplicite. La formulation mathematique sous laquelle elle est actuel-lement connue a ete proposee par Miner en 1945, le dommage total D produit par lechargement est donne par :

D =∑i

ni/Ni (2.5)

L’historique de la contrainte est decrit comme une sequence de blocs d’amplitudeconstante. Chaque bloc i est compose de ni cycles d’amplitude si. La duree de vie Nicorrespondant a cette amplitude de la contrainte est determinee a partir de la courbede Wohler. L’amorcage est theoriquement predit lorsque le dommage D vaut un.Notons que D ne rend pas compte du dommage dans le sens physique du terme, c’est-a-dire de l’amorcage de la fissure, de sa surface ou encore du stade de la propagation.Le ”dommage” D tel qu’il est defini dans l’approche macroscopique decrite ici estdonc un compteur, un instrument de bureau d’etude permettant de situer la piecepar rapport a sa duree de vie estimee.Bien que la loi de cumul lineaire de Palmgren-Miner neglige de nombreux phenomenesobserves experimentalement, elle semble toutefois donner de bonnes estimations deduree de vie lorsque les chargements sont des processus aleatoires stationnaires, voirSchutz [35], Shin & Lukens [36]. Ceci justifie donc le choix de cette loi de cumul dansle cadre de notre etude.

2.1.4 Methode ”rainflow” de comptage des cycles

La methodologie developpee jusqu’ici permet de traiter les problemes de fatiguepar blocs, chaque bloc presentant une amplitude constante de la contrainte et unecontrainte moyenne. Mais les chargements reels sont souvent plus complexes. Qu’ilssoient d’amplitude variable ou qu’ils soient decrits par des processus aleatoires (gaus-siens, par exemple), l’application de la demarche decrite jusqu’ici necessite l’utilisationd’une methode de comptage de cycles, permettant de decomposer le chargement encycles elementaires dont l’amplitude et la valeur moyenne sont connues.


Fig. 2.3 – Definition d’un cycle rainflow

Afin d’identifier des cycles a partir de l’historique de la contrainte, la methode decomptage rainflow, proposee par Matsuishi & Endo [21], est consideree, depuis l’etudede Dowling [9], comme celle menant a des predictions de duree de vie les plus prochesde la realite. Differents algorithmes ont ete presentes dans la litterature, voir Downing& Socie [10], Amzallag et al. [1].La procedure de comptage utilisee dans le cadre de notre etude est basee sur lamethode dite des quatre points presentee Fig. 2.3. Physiquement, une boucle fermeedans le plan contrainte-deformation s−ε est decrite pour chaque cycle rainflow extraitde l’historique de la contrainte.La decomposition du signal se deroule en plusieurs etapes :

1. Le signal est reduit a une sequence de maxima et minima locaux, appelee pro-cessus des extrema.

2. Les quatres premiers points successifs s1, s2, s3 et s4 sont examines, ces quatrepoints forment trois etendues ∆s1,2,3 qui sont calculees :

∆s1 =| s2 − s1 |,∆s2 =| s3 − s2 |,∆s3 =| s4 − s3 |

3. Si ∆s2 ≤ ∆s1 et ∆s2 ≤ ∆s3, le cycle rainflow defini par le couple d’extrema(s2, s3) (zone grise sur la Fig. 2.3), est extrait du signal, son amplitude est definiepar sa =| s2 − s3 | /2 et sa valeur moyenne est donnee par sm = (s2 + s3)/2. s2

et s3 sont elimines du signal, s1 est raccorde a s4.4. Sinon, le rang des quatres points est incremente d’une unite et le test precedant

est applique.

2 Domaine frequentiel 15

5. La procedure est repetee jusqu’au dernier point de la sequence des extrema.

Suite a ces differentes etapes, certains points du signal n’ont pas ete extraits. Ilsforment un residu, qui est un signal dont les etendues vont en croissant puis endecroissant. Le maximum et le minimum de la sequence de depart se trouvent dansce residu, formant ainsi la plus grande etendue observee sur la sequence consideree.La contribution au dommage de ce residu est par consequent non negligeable, c’estpourquoi il est necessaire de le decomposer en cycles elementaires. Pour cela, unenouvelle sequence de chargement est formee a partir du residu, a la suite duquelest ajoute une nouvelle fois ce meme residu. De nouveaux cycles peuvent alors etreextraits en appliquant la procedure precedente. L’ensemble de la decomposition estalors termine.En pratique, il est possible de discretiser les niveaux de contrainte en definissant nclasses d’amplitudes. Chaque cycle rainflow (j, k) est une transition d’un extremumde niveau j (classe de depart) a un extremum de niveau k (classe d’arrivee), il peutalors etre stocke dans une matrice rainflow R = r(j, k) de dimension n×n dite classede depart - classe d’arrivee. Le calcul du dommage a partir de cette matrice rainflowest alors facilement realise a partir de la courbe de Wohler, du diagramme de Haighet de la loi de cumul de Palmgren-Miner.

2.2 Domaine frequentiel

Les methodes de calcul de duree de vie en fatigue ont traditionnellement etedeveloppees dans le domaine temporel. Toutefois, lorsqu’une structure est soumisea des vibrations aleatoires, le calcul de sa reponse dynamique a partir d’un modeleelements finis est souvent realise dans le domaine frequentiel. La contrainte aleatoireest alors donnee sous forme de densite spectrale de puissance (power spectral densities,en anglais, notees PSD dans la suite du texte).

2.2.1 Definition d’une densite spectrale de puissance

Dans la suite de ce travail, nous nous limitons aux processus aleatoires gaussiensstationnaires et ergodiques. Un processus est stationnaire si sa structure de proba-bilite n’est pas affectee par par un changement de l’origine des temps. La proprieted’ergodicite permet de remplacer des moyennes d’ensembles par des moyennes tem-porelles estimees a partir d’une realisation unique du processus.Considerons un signal stationnaire x(t), sa transformee de Fourier n’existe pas car

∫ ∞−∞|x(t)|dt

n’est pas une quantite finie. Ce probleme peut etre contourne en definissant sa trans-formee de Fourier tronquee :


X(ω, T ) =∫ +T/2

−T/2x(t)e−jωtdt (2.6)

Numeriquement, le resultat de cette operation est un vecteur de valeurs complexesou chaque valeur represente l’amplitude et la phase d’une sinusoıde particuliere defrequence ω. L’amplitude de cette sinusoıde est donnee par le module de cette valeurcomplexe alors que la phase est donnee par son argument. Pour generer un signala partir du domaine frequentiel, la transformee de Fourier inverse est appliquee auvecteur des valeurs complexes donne frequence par frequence. Le signal obtenu estalors identique au signal de depart.En pratique, la PSD represente une densite normalisee, c’est-a-dire qu’elle donne enordonnee la moyenne quadratique de l’amplitude de chaque sinusoıde en fonction dela frequence ω. Elle est definie comme etant la transformee de Fourier de la fonctiond’autocorrelation du signal :

Φxx(ω) =∫ +∞

−∞R(τ)e−jωτdτ (2.7)

ou R(τ) = E[x(t)x(t+ τ)]. En effet, il est possible de demontrer (voir Papoulis [25])que si

∫ +∞

−∞|τE[x(t)x(t+ τ ]|dτ <∞ (2.8)

alors

limT→∞

12πT

E[|X(ω, T )|2] = Φxx(ω) (2.9)

En supposant que x(t) est de moyenne nulle, la fonction d’autocorrelation est alorsdefinie par :

R(τ) =∫ +∞

−∞Φxx(ω)ejωτdω (2.10)

Les Eqs. 2.7 et 2.10 sont connues sous le nom de theoreme de Wiener-Khintchine. Aτ = 0, l’eq. 2.10 devient :

R(0) = E[x2(t)] =∫ +∞

−∞Φxx(ω)ejωτdω (2.11)


ce qui montre bien que la PSD est une decomposition frequentielle de la moyennequadratique du processus. La representation sous forme de PSD ne contient pas d’in-formation sur la phase, seule la partie reelle est decrite. Pour generer un signal apartir d’une PSD, il est donc necessaire de faire des hypotheses sur la phase, ce quipermet de generer differents echantillons temporels statistiquement equivalents. Dansle cas des signaux ergodiques stationnaires gaussiens, la phase est alors uniformementdistribuee entre −π et +π radians.L’algorithme generalement utilise pour la generation artificielle de signaux temporelsa partir d’une PSD donnee est base sur la transformee de Fourier rapide (Fast FourierTransform designee par FFT) et sur la methode de Monte-Carlo pour le tirage denombres aleatoires utilises pour la phase. Ce type d’algorithme est couramment decritdans la litterature, voir par exemple Wirshing et al. [40], Preumont [27].

2.2.2 Proprietes statistiques des signaux aleatoires

Ce paragraphe a pour but de presenter simplement les principaux instruments utilisesdans le cadre d’une analyse en fatigue dans le domaine frequentiel.

Moments spectraux

Le moment spectral mi d’ordre i d’un processus aleatoire stationnaire x(t) de PSDΦxx(ω) est defini comme suit :

mi =∫ +∞

−∞| ωi | Φxx(ω)dω (2.12)

Pour un processus de moyenne nulle, nous avons les relations suivantes :

σ2x = m0 =

∫ +∞

−∞Φxx(ω)dω (2.13)

σ2x = m2 =

∫ +∞

−∞ω2Φxx(ω)dω (2.14)

σ2x = m4 =

∫ +∞

−∞ω4Φxx(ω)dω (2.15)

ou σ2x = E[x(t)2] est la variance du processus x(t). Si x(t) represente un deplacement,

m2 represente la variance de la vitesse, et m4 la variance de l’acceleration.

Franchissements de seuil

A partir du calcul de ces moments spectraux, Rice [28] a demontre que, pour unprocessus stationnaire gaussien de moyenne nulle x(t), le nombre moyen par unite detemps de franchissements a pente positive d’un seuil de niveau b, note ν+

b , peut etreexprime par :


ν+b =

12π

(m2

m0)1/2exp(

−b2σ2

x

) (2.16)

En particulier, le nombre de passages par zero avec une pente positive s’ecrit :

ν+0 =

12π

(m2

m0)1/2 (2.17)

Le nombre moyen de maxima E[MT ] par unite de temps peut etre calcule a partir deces memes moments spectraux selon l’equation :

E[MT ] =1

2π(m4

m2)1/2 (2.18)

Ce resultat est egalement du a Rice. A partir de ces differentes grandeurs, des pa-rametres donnant des indications sur la largeur de bande du signal ont ete developpes,le plus simple est appele facteur d’irregularite, il represente le rapport entre le nombrede passages par zero a pente positive et le nombre de maxima :

γ =ν+

0

E[MT ]=

m2

(m0m4)1/2(2.19)

Le processus est dit en bande etroite si le facteur d’irregularite γ est proche de 1,presque chaque cycle contient alors un seul maximum. Un autre parametre de largeurde bande souvent utilise dans la litterature est le parametre ε defini par

ε2 = 1− m22

m0m4= 1− γ2 (2.20)

Afin d’illustrer les differents points developpes dans ce paragraphe, deux exemplesde simulations d’historiques de contrainte ont ete realises a partir de deux PSDdifferentes. Les deux processus ont une frequence centrale ν+

0 de 1000 Hz. Les his-toriques presentent 32768 pas de temps pour une duree totale de la sequence de 2secondes.La moyenne quadratique de la contrainte σs vaut 120 MPa, elle est identique pourles deux processus. La figure 2.4.a represente un extrait d’une realisation d’un pro-cessus en bande etroite, ou γ = 0.99. Lorsque la largeur de bande augmente, lefacteur d’irregularite γ decroıt. Chaque cycle contient alors plusieurs maxima, cer-tains maxima sont alors negatifs. Ce cas est illustre Fig. 2.4.b ou un historique de lacontrainte genere a partir d’une PSD large bande est represente, γ vaut 0.74.Le parametre de largeur de bande ε, defini eq. (2.20), varie entre 0 lorsque le processusest en bande etroite et 1 lorsque le processus est large bande. Dans le cas du processus


Fig. 2.4 – Exemple de processus : (a) bande etroite et (b) large bande

en bande etroite illustre precedemment, ε = 0.03, alors que dans le cas du processusen bande large ε = 0.66.Un comptage du nombre de passages par chaque niveau b peut alors etre realise sur lasequence de la contrainte simulee d’une duree de 2 s et compare a la valeur theoriquede ν+

b defini selon Rice par l’eq. (2.16), comme l’illustre la figure 2.5.

Distribution des maxima

Cartwright & Longuet-Higgins [5] ont demontre que la densite de probabilite desmaxima pour un processus gaussien x(t), est une combinaison lineaire d’une distribu-tion gaussienne et d’une distribution de Rayleigh. Elle est donnee par :

pb(b) = (1− γ2)1√

2π(1− γ2)σxexp(−1

2b2

(1− γ2)σ2x

)

+ γF (γ√

1− γ2

b

σx)b

σ2x

exp(−12b2

σ2x

) (2.21)

ou


Fig. 2.5 – Nombre de passages par un niveau b : comparaison simulation-theorie (pourle processus illustre a la fig.2.4.b)

F (u) =∫ u

−∞

1√2πexp(−1

2ξ2)dξ

est la fonction de repartition d’une densite de probabilite gaussienne unitaire. Chaqueterme est affecte d’un coefficient dependant du facteur d’irregularite γ. L’equationprecedente montre qu’en effet, dans le cas limite d’un processus en bande etroite, defacteur d’irregularite γ = 1, le premier terme s’annule et la distribution des maximaest une distribution de Rayleigh :

pb(b) =b

σ2x

exp(−−b2

2σ2x

) (2.22)

alors dans le cas limite d’un processus large bande ou γ = 0, la distribution desmaxima est une distribution gaussienne :

pb(b) =1√

2πσxexp(

−b2

2σ2x

) (2.23)

Les distributions des maxima normalisees, correspondantes aux deux processusillustres aux figures 2.4.a et 2.4.b ont ete estimees a partir de l’eq. ( 2.21). Ellessont presentees a la Fig. 2.6 ou η = b/σ est le niveau des maxima reduits par rapporta la valeur quadratique moyenne du signal.

2 Methodes spectrales de calcul du dommage 21

Fig. 2.6 – Distribution des maxima pour les processus illustres aux Fig.2.4.a et 2.4.b

Nous remarquons que des maxima negatifs se produisent des que le processus n’estplus rigoureusement en bande etroite et que leur fraction augmente lorsque la largeurde bande augmente. Nous notons enfin qu’en queue de distribution dans le domainedes valeurs elevees, la densite de probabilite des maxima dans le cas d’une distributionde Rayleigh est superieure a celle calculee avec une distribution gaussienne.

2.3 Methodes spectrales de calcul du dommage

2.3.1 L’approximation de Rayleigh

L’approche classique adoptee en theorie des vibrations aleatoires, pour un processusgaussien de moyenne nulle, consiste a dire que chaque maximum d’amplitude b estconsidere comme etant un cycle de contrainte d’amplitude b et de moyenne nulleproduisant un dommage, qui selon l’equation de Basquin Nsβ = C, est donne par larelation d = C−1bβ .

La contribution au taux de dommage des maxima compris dans l’intervalle [b, b+db[,comme l’illustre la Fig. 2.7, peut alors s’ecrire :

∆(b)db = C−1bβE[MT ]pb(b)db (2.24)

ou E[MT ]pb(b)db est le nombre moyen par unite de temps de maxima dont l’amplitudeest comprise dans l’intervalle [b, b + db[, en rappelant que E[MT ] est le nombre demaxima par unite de temps et que p(b)db est la fraction de maxima appartenant a


Fig. 2.7 – Definition de l’amplitude d’un cycle de contrainte en theorie des vibrationsaleatoires

l’intervalle [b, b+db[. L’esperance du dommage par unite de temps peut etre facilementdeduite et elle s’ecrit :

E[D] =∫ +∞

0

∆(b)db = C−1E[MT ]∫ +∞

0

bβpb(b)db (2.25)

L’integrale est limitee entre 0 et l’infini puisque seuls les maxima positifs contribuentau dommage. L’esperance du dommage total sur un duree T d’application du char-gement aleatoire vaut E[DT ] = T E[D]. Introduisant le niveau reduit η = b/σx, l’eq.(2.25) s’ecrit :

E[D] = C−1E[MT ]σβx

∫ +∞

0

ηβpη(η)dη (2.26)

Dans le cas d’un processus en bande etroite, le nombre de maxima par unite de tempsest egal au nombre de passages par zero a pente positive, E[MT ] peut donc etreremplace par ν+

0 , et la densite p(η) est la distribution de Rayleigh (2.22). L’esperancemathematique du dommage devient alors :

E[D] = C−1σβxν+0

∫ +∞

0

ηβ+1e−η2/2dη (2.27)

ou encore

E[D] = C−1σβxν+0 2β/2Γ(1 + β/2) (2.28)

ou la fonction Γ(x) est donnee par la relation :

2 Methodes spectrales de calcul du dommage 23

Γ(x) = 2∫ +∞

0

t(2x−1)e−t2dt (x > 0) (2.29)

Il est possible de montrer (voir Wirshing & Haugen [38]) que cette relation peutegalement etre exprimee comme une fonction de deux moments spectraux et devientalors :

E[D] = C−1 2β/2

2πΓ(1 + β/2)m(β−1)/2

0 m1/22 (2.30)

Ce resultat a ete presente pour la premiere fois par Miles [22] en 1954 et a ete repris parCrandall & Mark [7]. Il est connu sous le nom d’approximation de Rayleigh (Rayleighapproximation) ou approximation bande etroite (Narrow band approximation). Cetteformulation est simple a implementer, de plus, Wirshing & Haugen [38] l’ont appliqueea differents spectres de largeurs de bande diverses et ont trouve que cette formulationetait toujours conservative par rapport aux resultats obtenus par comptage rainflowsur des realisations de la contrainte simulees a l’aide de la methode de Monte-Carlo.Le caractere conservatif de l’approximation de Rayleigh par rapport au comptagerainflow, quelque soit le spectre et la largeur de bande, a ete prouve par Rychlik [32].

2.3.2 Facteurs de correction

En pratique, les historiques de contrainte rencontres sont des processus qui ne sontni en bande etroite, ni large bande, mais ils se situent en general entre les deux.L’approximation de Rayleigh, qui donne des resultats theoriquement exacts en bandeetroite, mene, pour de nombreux processus de largeurs de bandes moyennes ou larges,a des resultats juges trop conservatifs et donc penalisants au niveau de la masse desstructures. Dans le but d’obtenir des estimations de la duree de vie les plus prochespossibles de celles obtenues par simulations rainflow, de nombreux modeles ont etedeveloppes (voir par exemple Chauldry & Dover [6], Wirshing & Light [39], Ortiz &Chen [24]). Seuls les modeles les plus couramment etudies dans la litterature sont re-portes ci-apres. Ils reposent sur l’idee de rectifier l’approximation de Rayleigh en mul-tipliant celle-ci par des facteurs de correction semi-empiriques. Ces facteurs dependentalors principalement de parametres de largeur de bande, de moments spectraux ainsique de l’exposant β de l’equation de Basquin. L’estimation du dommage s’ecrit alorsD = λDRay, DRay etant l’esperance mathematique du dommage donnee eq. (2.30).Les premiers travaux effectues dans ce sens sont ceux de Wirshing & Light [39] quiproposent le facteur de correction suivant :

λWL = a(β) + [1− a(β)](1− ε)b(β) (2.31)

ou

a(β) = 0.926− 0.033β


b(β) = 1.587β − 2.323

avec ε =√

1− γ2 .Un modele plus raffine a ete propose ensuite par Ortiz & Chen [24]. Poursuivant lameme idee, ils ont propose le facteur de correction suivant :

λOC =δβ

γou δ =

√m2m2/β

m0m(2+2/β)(2.32)

Chacun de ces facteurs represente, dans un certain nombre de cas seulement, uneamelioration par rapport a l’approximation de Rayleigh et degenere vers cette ap-proximation de Rayleigh dans le cas d’un processus en bande etroite.

2.3.3 Methode du ”Single Moment”

En 1990, Lutes & Larsen [20] abandonnent l’idee de facteur de correction et proposentune formulation empirique qui fait appel a un seul moment spectral, qui est un momentsingulier d’ordre fractionnaire 2/β. Suite a de tres nombreuses simulations rainflowpar la methode de Monte-Carlo, ils preconisent l’utilisation de l’equation suivante :

E[D] = C−1 2β/2

2πΓ(1 + β/2)(m2/β)β/2 (2.33)

D’apres l’etude realisee ensuite par les memes auteurs, Larsen & Lutes [17], etude danslaquelle la methode du ”single moment” est comparee a l’approximation de Rayleigh,au modele de Wirshing et Light (eq. (2.31)) ainsi qu’a celui de Ortiz et Chen (eq.(2.32)), la methode du ”single moment” est celle dont la validite est la plus generalepar rapport aux simulations rainflow. Elle donne des resultats tres satisfaisants memesi elle est parfois moins performante que l’une des methodes precedentes dans quelquescas particuliers. L’autre avantage de celle-ci est de ne faire intervenir que le momentspectral d’ordre fractionnaire : m2/β .

2.4 Simulations de Monte-Carlo

Evidemment, le dommage DT resultant d’un chargement aleatoire applique pendantune periode T est aussi une variable aleatoire. Comme nous l’avons vu dans les pa-ragraphes precedents, les methodes spectrales permettent d’en calculer directementl’esperance mathematique par unite de temps E[D]. Pour l’ensemble de la sequencenous obtenons alors E[DT ] = T×E[D]. Par contre, pour estimer E[DT ] en appliquantune methode temporelle, il est necessaire de generer un grand nombre de realisationsstatistiquement independantes de la contrainte aleatoire a l’aide de l’algorithme dela FFT et de la methode de Monte-Carlo. D’une simulation a l’autre la valeur dudommage DT varie. Ces simulations dites de Monte-Carlo permettent donc d’estimerl’esperance mathematique du dommage E[DT ] a partir d’un echantillon representatifde valeurs de DT .

2 Simulations de Monte-Carlo 25

2.4.1 Comparaisons entre simulations rainflow et methodesspectrales

Afin de verifier les resultats presentes dans la litterature, l’approximation de Ray-leigh, qui est historiquement la premiere methode spectrale, et la methode du ”SingleMoment”, qui semble etre la methode la plus prometteuse actuellement, ont eteimplementees. Ces deux methodes ont ete appliquees a differentes formes de spectreset pour des processus de largeur de bande variable. D’autre part, des simulations deMonte-Carlo de la contraintes ont ete realisees a partir de ces memes spectres. Ledommage DT a ensuite ete estime pour chaque realisation en utilisant le comptagerainflow des cycles et la loi de cumul lineaire du dommage. Notre etude nous permettradonc bien d’apprecier les performances des differentes methodes spectrales proposeesdans la litterature en les comparant aux simulations rainflow.Trois formes spectrales ont ete considerees :

Fig. 2.8 – Formes spectrales utilisees pour les simulations : (a) oscillateur lineaire,(b) spectre bimodal, (c) processus ideal passe bande

– la reponse d’un oscillateur a un degre de liberte (d.d.l.) a un bruit blanc gaussien(Fig. 2.8.a) ;


– un spectre bimodal representant la reponse couplee de deux oscillateurs lineairesa un bruit blanc gaussien (Fig. 2.8.b). La variance du processus est egalementrepartie entre les deux frequences naturelles du systeme respectivement donneespar (1 + α)ωn et (1− α)ωn ;

– le processus ideal passe-bande (Fig. 2.8.c), qui est un bruit blanc de largeur debande limitee a αωn centre sur ωn.

Fig. 2.9 – Methodes spectrales et simulations rainflow : comparaisons du dommagecalcule (β = 7), (a) oscillateur lineaire, (b) spectre bimodal, (c) processus ideal passebande

Pour ces trois formes spectrales donnees, differentes largeurs de bandes peuvent etreobtenues en faisant varier l’amortissement dans le cas de l’oscillateur a un d.d.l. ouen faisant varier le parametre α dans les deux autres cas. Tous les processus ont lafrequence centrale ν+

0 de 1000 Hz et la meme moyenne quadratique σs =√m0 = 120

MPa. Les realisations de la contrainte, obtenues par simulations de Monte-Carlo, sontconstitues de 215 soit 32768 pas de temps pour une duree totale de la sequence de2 secondes. Les resultats obtenus par comptage rainflow ont ete moyennes sur une


quinzaine de realisations du processus considere. Les caracteristiques du materiau enfatigue sont β = 7 et C = 4.88×1029. Le materiau considere ne presente pas de limited’endurance.Les resultats de ces simulations sont representes Fig. 2.9. Pour les processus en bandeetroite (valeurs faibles de l’amortissement ξ ou du parametre α), les simulationsconfirment la theorie, a savoir que les trois methodes donnent des estimations dudommage equivalentes. Nous observons egalement que l’approximation de Rayleighpredit un dommage constant, quelque soit la largeur de bande du processus et la formespectrale, σs et ν+

0 etant constants. Lorsque la largeur de bande augmente, l’approxi-mation de Rayleigh devient de plus en plus conservative. Ceci est du au fait que, pourun processus en bande etroite, chaque maximum est associe a un minimum de memeamplitude, contrairement a un processus large bande qui est constitue d’oscillationsde grandes amplitudes sur lesquelles se superposent des oscillations de faibles ampli-tudes. Pour une meme longueur d’echantillon temporel, le nombre de cycles rainflowde grandes amplitudes est donc beaucoup plus faible pour un processus large bandeque pour un processus bande etroite. Par contre, la decroissance du dommage observeesur les resultats des simulations rainflow, lorsque la largeur de bande augmente, esttres bien approximee par la methode du single moment. Ceci est donc bien coherentavec les observations de Larsen & Lutes [17].Quant aux temps de calcul, les routines relatives aux simulations rainflow ont eteimplementees en FORTRAN et les methodes spectrales ont ete implementees dansMATLAB. Les differentes simulations ont ete effectuees sur une station de travailde type DEC alpha. Pour chaque estimation du dommage, les simulations rainflowprennent 130 secondes, alors que le calcul dure 1.8 s en utilisant l’approximation deRayleigh ou l’evaluation de deux moments spectraux est realisees, et 0.9 s en utilisantle ”Single Moment” qui necessite le calcul d’un seul moment spectral.

2.4.2 Distribution des cycles rainflow et du dommage

Le rapport

f(b)db =∆(b)dbE[D]

(2.34)

represente la fraction du dommage associee aux contraintes dont l’amplitude est com-prise dans l’intervalle [b, b + db[, ∆(b)db est le dommage produit par unite de tempspar les cycles dont les amplitudes sont comprises dans l’intervalle [b, b + db[, commele montre l’eq. (2.24), et E[D] est le dommage total produit par unite de temps, enprenant en compte tous les maxima positifs.Dans l’hypothese d’un processus en bande etroite, nous pouvons remplacer p(b) par ladistribution de Rayleigh dans l’eq. (2.24) qui constitue le numerateur de l’eq. (2.34).Le denominateur de cette meme equation, E[D], est dans ce cas donne par l’ap-proximation de Rayleigh c’est-a-dire par l’eq. (2.30). En reduisant les amplitudes desmaxima par rapport a la moyenne quadratique du processus, η = b/σs, il est pos-sible de montrer que, pour une distribution de Rayleigh des maxima, la densite de


probabilite du dommage correspondante s’ecrit :

f(η) =ηβ+1e−η/2

2β/2Γ(1 + β/2)(2.35)

Il est interessant de noter que f(η) se reduit aussi a une distribution de Rayleighlorsque β est nul. La Fig. 2.10 montre la distribution du dommage f(η) correspondanta une distribution de Rayleigh p(η) des amplitudes de cycles rainflow pour trois valeursde l’exposant β. Le deplacement de la distribution vers les fortes amplitudes lorsquela valeur de β augmente est mis en evidence. Plus la valeur de β est elevee, plus lacontribution au dommage due aux cycles de grandes amplitudes est dominante.

Fig. 2.10 – Distribution des cycles rainflows p(η) et distribution du dommage f(η)

La Fig. 2.11.a montre la distribution normalisee de l’amplitude reduite des cyclesrainflow dans le cas des simulations d’un processus ideal passe-bande pour lequelα = 0.1. Les niveaux d’amplitudes ont ete discretises en 32 classes. La distributionnormalisee par rapport a σs obtenue par simulations rainflow est representee par deshistogrammes. Pour ce processus bande etroite, la correlation entre les histogrammeset la distribution de Rayleigh representee par la courbe Fig. 2.11.a. est evidente.La distribution du dommage associe est illustree Fig. 2.11.b, les histogrammes sonteffectivement proches de la distribution theorique. Notons toutefois, que dans le casde simulations d’echantillons temporels de duree limitee, il est difficile d’obtenir lenombre theorique de cycles de grandes amplitudes c’est-a-dire pour des valeurs deη > 4, ce que nous pouvons observer a la Fig. 2.11.b.


Fig. 2.11 – Processus en bande etroite (β = 7), distributions : (a) des cycles rainflow,(b) du dommage

La Fig. 2.12.a montre la distribution normalisee des amplitudes reduites des cyclesrainflow obtenue dans le cas des simulations d’un processus ideal passe-bande pourlequel α = 1.9. Elle met en evidence que pour ce processus large bande, le nombre decycles de faibles amplitudes augmente au detriment des cycles de grandes amplitudes.Par rapport a la distribution de Rayleigh, representee par la courbe, un deficit impor-tant de cycles d’amplitudes comprises entre η = 1 et η = 3 est observe, la repercutionde ce deficit sur la distribution du dommage est visible sur les histogrammes de la Fig.2.12.b dans le domaine des amplitudes reduites η = 2 a η = 3. Ceci illustre la raisonpour laquelle l’approximation de Rayleigh est conservative dans le cas d’un processuslarge bande.

Fig. 2.12 – Processus large bande (β = 7), distributions : (a) des cycles rainflow, (b)du dommage


2.5 Calcul des cycles rainflow a partir d’une PSD

2.5.1 Approches empiriques

Parallelement aux differents travaux sur les facteurs de correction visant a rectifierl’approximation de Rayleigh, une autre voie basee sur la distribution reelle des ampli-tudes des cycles rainflow a ete exploree au cours des annees 80. L’idee est de determinerdirectement la distribution des cycles rainflow a partir d’une PSD. En 1985, Dirlik[8] propose une formule empirique basee sur une etude approfondie des simulationsrainflow. Cette formule est complexe, mais reste une fonction de quatre momentsspectraux de la PSD, a savoir m0, m1, m2 et m4. La methode de Dirlik, egalementdecrite dans Bishop & Sherratt [2, 3], est utilisee dans l’industrie et est notammentimplementee dans les logiciels de fatigue commercialises par nCode International Ltd(Halfpenny [15]).Le nombre de cycles rainflow N d’etendue ∆s (voir definition paragraphe 1.2.4) estdonne par l’equation :

N(∆s) = E[MT ]T p(∆s) (2.36)

ou E[MT ] est le nombre de maxima par unite de temps, T est la duree de la sequencede chargement et p(∆s) est la probabilite d’observer un cycle rainflow d’etendue ∆s.Cette probabilite est donnee par l’equation :

p(∆s) =(D1

Qe−Z/Q +

D2Z

R2e−Z

2/(2R2) +D3Ze−Z2/2

)/(

2√m0

)(2.37)

ou

D1 =2(xm − γ2)

1 + γ2; D2 =

1− γ −D1 +D21

1−R; D3 = 1−D1 −D2

xm =m1

m0

√m2

m4; γ =

m2√m0m4

; R =γ − xm −D2

1

1− γ −D1 +D21

Q =1.25(γ −D3 −D2R)

D1; Z =

∆s2√m0

;

Appliquee au spectre ideal passe-bande pour les deux valeurs du parametre α = 0.1et α = 1.9, nous observons Fig. 2.13.a que dans le cas du processus en bande etroite,la densite de probabilite p(η) des amplitudes reduites des cycles rainflow, ou

η =∆s2σx

(2.38)

2 Calcul des cycles rainflow a partir d’une PSD 31

Fig. 2.13 – Formule de Dirlik, distribution des cycles rainflow : processus ideal passe-bande : (a) α = 0.1 et (b) α = 1.9

est bien une distribution de Rayleigh equivalente a celle illustree Fig. 2.11.a. Dans lecas du processus large bande Fig. 2.13.b, la methode de Dirlik donne egalement unedistribution des cycles rainflow assez proche de celle illustree Fig. 2.12.a.La formulation complexe de Dirlik donne des resultats comparables a ceux obtenus enappliquant la formule du ”Single Moment”, comme le montre la Fig. 2.14. Notons quela methode du ”Single Moment” est plus rapide que la formule de Dirlik, car elle ne faitappel au calcul que d’une seule integrale sur la PSD. Par contre, la methode de Dirliknecessite 4 integrations, ainsi qu’une iteration sur le nombre de classes choisi pourdiscretiser les etendues des cycles rainflow. Implementee dans MATLAB, l’estimationdu dommage a partir d’une PSD prend 10 s contre 0.9 s pour le ”Single Moment”.Notons egalement que l’evaluation numerique du moment d’ordre 4 peut etre delicate,notamment a cause de l’amplification que ce moment d’ordre 4 genere dans les hautesfrequences.

Fig. 2.14 – Formule de Dirlik appliquee au spectre ideal passe-bande


2.5.2 Methode de Markov

Le probleme du passage direct de la PSD du processus s(t) au comptage des cyclesrainflow a ensuite ete resolu par une theorie rigoureuse basee, d’une part, sur ladefinition d’un cycle rainflow proposee en 1987 par Rychlik [30] et d’autre part, surla theorie des chaınes de Markov. En effet, un cycle rainflow, tel qu’il est illustre Fig.2.15, peut etre mathematiquement caracterise de la facon suivante :

Considerons la contrainte s(t) ou t ∈ [0, T ] et le maximum de la contrainte Mi deniveau k se produisant au temps ti. Nous pouvons definir les etendues (m−i ,Mi) et(Mi,m

+i ) ou :

– m−i est le minimum de s(t) qui se trouve entre le dernier passage a pente negativede s(t) par le niveau k et le maximum Mi. Ce minimum se trouve a gauche de Mi

et se produit au temps t−i .– m+

i est le minimum de s(t) qui se trouve entre Mi et le premier passage a pentepositive de s(t) par le niveau k. Ce minimum se trouve a droite de Mi et se produitau temps t+i .

Fig. 2.15 – Caracterisation mathematique d’un cycle rainflow

S’il n’existe pas de passage de s(t) par le niveau k avant ou apres le temps ti, alorsrespectivement t−i = 0 ou t+i = T . Le cycle rainflow extrait au temps ti est alors defini,soit comme l’etendue (mrfc

i ,Mi), soit (Mi,mrfci ). Ce minimum mrfc

i est determineen appliquant la condition :

mrfci = j =

{max(m−i ,m

+i ) si t−i > 0

m+i sinon

L’implementation de cette definition donne des resultats identiques a ceux obtenusen appliquant la procedure decrite au § 2.1.4 (voir Rychlik [30]).Ensuite, nous supposons que le processus des extrema peut etre modelise par unechaıne de Markov. La contrainte est alors discretisee en un nombre M de niveaux, le


processus des extrema devient alors un processus discret. Si njk represente le nombrede transitions arrivant a un extremum de niveau k partant d’un extremum de niveauj, la probabilite conditionnelle tjk d’observer une transition vers un niveau k sachantque l’extremum precedent est de niveau j peut s’ecrire :

tjk = njk/M∑m=1

njm (2.39)

Le nombre de transitions peut etre observe sur une realisation du processus s(t), maisegalement etre determine theoriquement a partir d’une PSD, comme nous le verronspar la suite. La matrice T = tjk peut etre divisee en deux matrices triangulaires, lamatrice triangulaire superieure U = ujk et la matrice triangulaire inferieure D = djkdefinies par :

U = ujk = P (Mn = k|mn−1 = j) D = djk = P (mn = k|Mn−1 = j) (2.40)

ou l’indice n est le rang de l’extrema.Selon la theorie des chaınes de Markov a un pas de memoire, que suit le processusdes extrema de s(t), la probablilite conditionnelle de transition vers un extremum deniveau k sachant que le precedent est au niveau j est independante des niveaux desextrema precedents. Il est alors possible de determiner par manipulations matriciellessur U et D, la probabilite d’observer un cycle rainflow (k, j) d’un maximum de niveauk vers un minimum de niveau j. Selon la definition illustree Fig. 2.15, elle est egale a laprobabilite d’observer une transition, a droite, d’un maximum de niveau k au x-iememaximum de niveau superieur a k tel que le plus petit minimum intermediaire est auniveau j, alors qu’a gauche le plus petit minimum situe entre le precedent maximumde niveau superieur a k et le maximum considere est inferieur a j. Il est egalementpossible de calculer la configuration inverse a savoir le cas ou mrfc = j est a gauche dumaximum considere, la somme des deux donnant une matrice de probabilite rainflow.Cette demarche et les calculs matriciels correspondants sont par exemple developpespar Olagnon [23].La validite de cette methode de Markov a partir d’une matrice de transition observeesur des historiques de la contrainte a ete etablie par Rychlik [31] en 1989.Mais comme nous l’avons mentionne ci-dessus, le probleme se situe dans l’etape in-termediaire qui est le calcul de la matrice de transition njk a partir d’un spectredonne. Dans l’une des premieres etudes montrant un calcul complet des cycles rain-flow a partir d’une PSD a l’aide de la methode de Markov, Bishop & Sherratt [4]utilisent, pour calculer la matrice de transition, la formule de Kowalewski [16] baseesur les moments spectraux :

njk = 2 T E[MT ]k − j

(2σsγ)2

1σs√

2π(1− γ2)e−(j2+k2+2jk(2γ2−1))/(8σ2

sγ2(1−γ2)) (2.41)


Fig. 2.16 – Methode de Markov appliquee au processus unimodal pour ε = 0.03 : (a)matrice de transition observee, (b) matrice rainflow observee, (c) matrice de transitiontheorique, (d) matrice rainflow theorique.

ou T est la duree de la sequence de chargement et E[MT ] le nombre de maximapar unite de temps du processus s(t). Toutefois cette approximation n’est pas tresperformante, surtout dans le cas des processus large bande (Pitoiset et al. [26]).Une methode alternative, dite methode de regression, donnant la matrice de transitionexacte a partir d’une PSD a ensuite ete developpee par Lindgren & Rychlik [19].L’utilisation de cette methode de regression et son application a l’analyse rainflowsont illustres dans Frendhal & Rychlik [14], Rychlik et al. [34].Notons enfin que la methode de Markov peut etre appliquee dans le sens inverse, c’est-a-dire pour reconstruire des sequences de chargement a partir d’une matrice rainflowdonnee. Un comptage rainflow sur l’une des sequences reconstruites donne alors lamatrice rainflow initiale (Rychlik [33], Dressler et al. [11]).Afin de montrer les resultats qui peuvent etre obtenus en appliquant la methodede Markov, nous avons traite le cas d’un processus bande etroite et d’un processuslarge bande. A titre d’exemple, il s’agit respectivement du processus unimodal avecun amortissement ξ = 0.03 et du processus bimodal avec un amortissement modalξ = 0.03 et une distance entre les frequences propres donnee par α = 0.8. Pour ces


Fig. 2.17 – Methode de markov appliquee au processus bimodal pour α = 0.8 etε = 0.03 : (a) matrice de transition observee, (b) matrice rainflow observee, (c) matricede transition theorique, (d) matrice rainflow theorique.

deux processus, les simulations rainflow (decrites au § 2.4.1) ont alors ete utilisees afind’etablir d’une part la matrice de transition, appelee matrice de transition observee (apartir des historiques de la contraintes), et d’autre part la matrice rainflow, appeleematrice rainflow observee.Quant a la contrepartie theorique, la methode de regression citee plus haut estimplementee dans la ”toolbox” MATLAB appelee WAFO. Cette ”toolbox” contientdes fonctions MATLAB specifiques a la resolution des problemes statistiques lies auxprocessus aleatoires et plus particulierement a l’analyse de la houle et la fatigue uni-axiale, voir The WAFO group [37]. Elle a ete employee pour le calcul des matrices detransition theoriques. Le calcul de la matrice rainflow a partir de la matrice de tran-sition a ete effectue selon l’algorithme de Olagnon [23] (notons qu’une telle routineexiste egalement dans la toolbox WAFO). La Fig. 2.16 montre les quatre matrices.La similitude entre les deux matrices theorique et les deux matrices observees estflagrante. Le dommage theorique est de DT = 2.0× 10−10 pour une duree T = 2 s, le


calcul est effectue en environ 30 s contre un dommage de DT = 1.9×10−10 obtenu parsimulations rainflow en 130 s. Des resultats equivalents sont illustres dans le cas duprocessus large bande Fig. 2.17. Le dommage theorique calcule est deDT = 1.4×10−10

alors que le dommage obtenu par simulations rainflow est de DT = 1.2× 10−10.

2.6 Conclusion

Au cours de ce chapıtre, nous avons etudie la methode temporelle, basee sur le comp-tage rainflow des cycles et sur le cumul de dommage lineaire selon la loi de Palmgren-Miner. Cette methode est consideree comme donnant de tres bonnes predictions deduree de vie pour les chargement uniaxiaux, notammant dans le cas de processusgaussiens stationnaires. Pour ces derniers, la methode temporelle est applicable apartir de la PSD du processus s(t), en generant artificiellement des realisations tem-porelles de s(t) en utilisant l’algorithme de la FFT et la methode de Monte-Carlo.Cette procedure complete a donc ete implementee. Toutefois, d’une realisation duprocessus a l’autre, les resultats varient. Il est par consequent necessaire d’appliquerla procedure un grand nombre de fois, afin d’obtenir une duree de vie moyenne, pourune sequence de chargement d’une duree T donnee.Dans la deuxieme partie du chapitre, nous avons etudie les differentes methodes decalcul de la duree de vie dans le domaine frequentiel. Celles-ci permettent d’eviterla generation d’historiques de la contrainte et la procedure de comptage des cycles,qui sont tres couteuses en temps. En effet, les methodes frequentielles permettentd’obtenir directement la duree de vie moyenne a partir de la PSD de la contrainteappliquee a la piece. Les methodes les plus couramment etudiees dans la litteraturesainsi que les methodes recentes les plus prometteuses ont ete implementees. Une etudecomparative entre la methode temporelle de reference et les differentes formulationsfrequentielles a permis de mettre en evidence les performances de la methode dite du”Single Moment”. Elle donne, d’une part, de bonnes approximations de la duree devie par rapport aux resultats des simulations rainflow, et d’autre part, elle est la plusrapide des methodes alternatives proposees. Par consequent, la methode du ”SingleMoment” est tout a fait appropriee dans le cadre d’une analyse elements finis visant aetablir une cartographie du dommage sur l’ensemble d’une structure finement maillee.Elle sera tres souvent utilisee dans la suite de cette these. La methode de Markov estegalement tres performante et repose sur une theorie beaucoup plus satisfaisante quela methode du ”Single Moment”. Toutefois, il est plus difficile de l’integrer directementdans un code elements finis, elle est egalement plus couteuse en temps de calcul quela precedente, mais reste toutefois beaucoup plus avantageuse que les simulationsrainflow.

BIBLIOGRAPHIE 37

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Chapitre 3

Methodes de calcul de dureede vie en fatigue multiaxialealeatoire

3.1 Introduction

Pour de nombreuses structures, les vibrations aleatoires induisent des etats decontraintes multiaxiaux. Dans les annees 80 et 90, la fatigue multiaxiale a ete un sujetde recherche important, de nombreux criteres permettant de predire la duree de viede pieces soumises a des chargement multiaxiaux periodiques ont ete developpes, quece soit en fatigue oligocyclique ou en fatigue a grand nombre de cycles. A partir de cestravaux, des modeles de prediction de duree de vie pour des chargement multiaxiauxinduisant des contraintes et deformations variables ou aleatoires dans les differentesdirections ont ete elabores. Ces modeles sont bases, soit sur les historiques du tenseurdes contraintes et/ou des deformations, soit sur des concepts energetiques. L’un de cesmodeles applicable a la fatigue a grand nombre de cycles et considere comme donnantdes predictions satisfaisantes de duree de vie est decrit au debut de ce chapitre (§ 3.2).La premiere etape traitant des chargements multiaxiaux periodiques est brievementabordee (§ 3.2.1 et § 3.2.2), avant de passer au cas general des chargements variablesou aleatoires (§ 3.2.3). Par analogie au premier chapitre, nous decrivons ensuite uneprocedure de generation d’echantillons temporels du tenseurs de contraintes a partirdes donnees spectrales (§ 3.2.4) .En effet, lorsque l’approche temporelle est utilisee en aleatoire, les resultats doiventetre moyennes sur plusieurs realisations du tenseur des contraintes. Dans le butd’etablir une cartographie de l’endommagement sur toute une structure finementdiscretisee, suite a une analyse spectrale par elements finis, son utilisation devientalors impossible car trop couteuse en temps de calculs. Pour resoudre ce probleme,nous presentons dans ce chapitre des methodes spectrales alternatives rapides et di-rectement applicables a partir de la reponse spectrale de la structure. Comme les

42 3. Methodes de calcul de duree de vie en fatigue multiaxiale aleatoire

fissures s’amorcent en surface ou l’etat des contraintes est plan, nous developpons cesmethodes pour les appliquer a des contraintes biaxiales. Nous nous limitons egalementa l’etude des chargements gaussiens de moyennes nulles.Contrairement au cas des chargements uniaxiaux, il est tres rare de trouver, dans lalitterature, des methodes de prediction de duree de vie en fatigue multiaxiale aleatoiredans le domaine frequentiel, a l’exception de Macha [13]. En 1994, Preumont & Piefort[17] ont propose une autre methode spectrale basee sur la contrainte equivalente de vonMises. Ces travaux sont a l’origine de cette these. Ce chapitre se poursuit donc par ladescription de cette approche (§ 3.3.1 et § 3.3.2). Cette contrainte alternee equivalenteest construite dans le domaine frequentiel en combinant, pour chaque frequence, lesdensites spectrales de puissance des contraintes normales et de la contrainte de cisaille-ment selon le critere de von Mises. Grace a cette reduction a un processus scalaire,suppose equivalent en terme de dommage, toutes les methodes disponibles en uniaxial,decrites au chapitre 2, peuvent etre appliquees.Une comparaison precise entre la formulation de la methode dite ”rainflow multiaxial”,proposee initialement dans le domaine temporel par Beste et al. [3], et la contrainteequivalente de von Mises revele que ces deux approches menent a des implementationssimilaires. La formulation frequentielle de la methode du ”rainflow multiaxial” est undes elements originaux de ce travail et fait l’objet du § 3.3.3.Nous utilisons ensuite le modele elements finis d’une structure simple auquel nousappliquons, dans chaque element, les deux methodes frequentielles proposees. Afinde s’assurer de la coherence de ces deux methodes, les resultats sont alors comparesa ceux obtenus par la methode temporelle basee sur le plan critique, consideree icicomme la reference. Cette methode decrite en debut de chapitre est appliquee a desrealisations du tenseur des contraintes obtenues par des simulations de Monte-Carlo(§ 3.4).Le dernier paragraphe est consacre a l’etude des resultats (§ 3.5). Cette derniere partiemet en evidence l’efficacite des methodes frequentielles, qui produisent de tres bonnespredictions, au moins du point de vue qualitatif, et permettent de gagner un tempsde calcul considerable.

3.2 Methode temporelle de prediction de duree devie

Comme nous l’avons vu en decrivant brievement les mecanismes de l’endommagementpar fatigue au premier chapitre, l’amorcage d’une fissure depend de deux variables :la contrainte de cisaillement et la contrainte normale agissant sur un plan physique.Les methodes de calcul de duree de vie parmi les plus prometteuses, dans le casdes etats de contraintes multiaxiaux, sont par consequent souvent basees sur descombinaisons de ces deux variables et sur la recherche du plan d’amorcage de lafissure. Ces approches sont regroupees sous le nom d’approches du plan critique.Certains de ces modeles sont bases sur les deformations ou sur des approches mixtes encontraintes et deformations, voir par exemple Bannantine & Socie [1], Brown & Wang[4]. Ces modeles ont ete developpes dans le cadre d’une approche locale de la zone de

3 Methode temporelle de prediction de duree de vie 43

concentrations de contraintes et sont derives de la fatigue oligocyclique. Le modelede Robert et al. que nous choisissons ici est base sur une approche en contraintes,derive de la fatigue a grand nombre de cycles, il est decrit en details dans Weberet al. [24]. D’apres les auteurs, l’application de cette methode au dimensionnementd’un triangle de suspension de voiture a permis d’obtenir des predictions de duree devie conservatives dans un rapport de 1.3 par rapport aux essais. Les developpementsanterieurs de cette methodologie se trouvent dans Robert et al. [20], Weber et al.[25], Kenmeugne et al. [11]. Avant de decrire cette methode, nous devons definir lesdifferentes grandeurs relatives a un plan physique intervenant dans ce type d’approche,ainsi que l’etape intermediaire du calcul de duree de vie sous chargement multiaxialperiodique.

3.2.1 Projection du tenseur des contraintes sur un plan

Lorsque le tenseur des contraintes sij(t) est determine en un point de la structure pourune duree d’observation T , ce dernier peut etre projete sur chaque plan physique ψpassant par ce point. Chacun de ces plans est defini par son vecteur normal ~n, decritpar deux angles spheriques γ et φ, tels que ~n = (sin γ cosφ, sin γ sinφ, cos γ)T . Ceciest illustre Fig. 3.1.a.

Fig. 3.1 – (a) Projection du tenseur des contraintes sur un plan ψ, (b) trajet de lacontrainte de cisaillement dans le plan

Suite a cette projection, nous obtenons, d’une part, une contrainte normale au plan,notee sn(t) et, d’autre part, une contrainte tangentielle au plan, notee τn(t), appeleeegalement contrainte de cisaillement. La contrainte normale sn(t) varie selon la direc-tion ~n, elle peut etre facilement decomposee en une partie moyenne

snm =1T

∫ T

0

sn(t) (3.1)

et une partie alternee,


sna(t) = sn(t)− snm (3.2)

Quant a la contrainte tangentielle, le probleme de la decomposition en une partiemoyenne et une partie alternee est plus complique. En effet, le vecteur ~τn(t) est engeneral exprime dans la base (~u,~v) appartenant au plan ψ. ~u = (− sinφ, cosφ, 0)T

et ~v = (− cos γ cosφ,− cos γ sinφ, sin γ)T sont choisis de facon a former un repereothonorme direct (~n, ~u,~v). Le vecteur τn(t) = (τu(t), τv(t))T decrit un trajet complexedans le plan ψ. En effet, sa norme et sa direction varient en fonction du temps t.La solution a ce probleme, discute par exemple par Papadopoulos [14], est alors dedeterminer le plus petit cercle circonscrit au trajet decrit par ~τn(t) dans le plan ψ,comme l’illustre la Fig. 3.1.b. La partie moyenne τnm est alors donnee par la distanceentre l’origine du repere (~u,~v) et le centre du cercle circonscrit. La partie alternee de lacontrainte de cisaillement ~τna(t) agissant sur ce plan est donnee par la distance entrele centre du cercle circonscrit et la pointe du vecteur ~τn(t). L’amplitude maximale Caatteinte par la contrainte de cisaillement dans le plan considere est alors donne par lerayon R du plus petit cercle circonscrit.Comme nous l’avons vu au chapitre 1, les fissures s’amorcent en surface ou l’etatdes contraintes est plan. Dans ce cas, le tenseur des contraintes peut etre ecrit sousforme d’un vecteur s(t) = (sx(t), sy(t), sxy(t))T , exprime dans le repere local (~x, ~y).La projection de ce tenseur des contraintes sur le plan ψ peut alors s’ecrire sous formevectorielle :

sψ(t) = (sn(t), τu(t), τv(t))T = C(γ, φ) · s(t) (3.3)

avec

C(γ, φ) =

sin2 γ cos2 φ sin2 γ sin2 φ 2 sin2 γ cosφ sinφ

− sinφ sin γ cosφ sinφ sin γ cosφ cos2 φ sin γ − sin2 φ sin γ

− cos γ sin γ cos2 φ − cos γ sin γ sin2 φ −2 cos γ cosφ sin γ sinφ

(3.4)

3.2.2 Chargement multiaxial periodique

Nous avons vu au chapitre 2 que certains materiaux presentent une limite d’endurance.Cette limite d’endurance est definie comme le plus petit niveau de contrainte semenant a l’amorcage d’une fissure apres generalement Ne = 106 − 107 repetitions ducycle de la contrainte. Une eprouvette soumise a un contrainte periodique alternee,


notee s(t) = s(t+ T ), t ∈ [0, T ], ne depassant pas la contrainte seuil se est considereecomme ayant une duree de vie infinie.Ce concept de limite d’endurance a ete generalise aux chargements multiaxiaux, enseparant alors l’espace des contraintes en deux parties. La premiere partie est uneregion de l’espace des contraintes de non-fissuration, si les contraintes ne sortent pasde cette region durant le cycle, la piece est consideree comme ayant une duree de vieinfinie. Au contrainte, si les contraintes evoluent hors de cette region pendant unepartie du cycle, l’initiation d’une fissure avant Ne repetitions de ce cycle est predite.Considerons un chargement multiaxial periodique, celui-ci induit, en chaque point dela structure, un tenseur des contraintes periodique de la forme [sij(t) = sij(t + T )],quelque soit t ∈ [0, T ]. Il est alors possible de trouver une fonction de ce tenseur

g(sij(·), T,N) ≤ 1 (3.5)

Cette fonction g est appelee critere de fatigue multiaxial. Si l’inegalite (3.5) est satis-faite en tout point de la structure pour N = Ne, alors la duree de vie est considereecomme etant superieure a Ne repetitions du cycle multiaxial considere voire memeinfinie. Sinon, une fissure peut apparaitre en tout point de la structure ou l’inegaliten’est pas satisfaite. Un tel critere doit etre independant du repere dans lequel letenseur des contraintes est exprime, il doit egalement predire le comportement dumateriau sous sollicitation uniaxiale et reproduire le diagramme de Haigh (voir Fig.2.2). Enfin, il doit correler le mieux possible les resultats experimentaux.Historiquement, ces criteres ont ete utilises comme criteres multiaxiaux d’endurance,la fonction g etant determinee pour N = Ne. Toutefois, si le concepteur veut dimen-sionner une structure pour une duree de vie precise, c’est-a-dire N repetitions du cyclemultiaxial de duree T , il peut tout a fait resoudre l’equation implicite de variable N :

g(sij(·), T,N) = 1 (3.6)

De nombreux criteres ou fonctions g ont ete proposes dans la litterature, une revuedes differentes propositions a ete publiee par You & Lee [27]. Nous reviendrons surles criteres de fatigue multiaxiaux plus longuement au chapitre suivant et decrivonsici simplement un exemple de critere de type plan critique utilise dans la methodede prediction de duree de vie que nous presentons. Tout critere plan critique a pourforme generale une fonction g dont les variables sont les grandeurs relatives a un planphysique

g(‖ ~τna(t) ‖, sna(t), snm, N) = 1, t ∈ [0, T ] (3.7)

Nous constatons que seule l’amplitude de la contrainte de cisaillement ‖ ~τna(t) ‖=‖~τn(t)− ~τnm ‖ intervient dans la fonction g et non sa partie moyenne τnm. Comme lemontrent les resultats experimentaux presentes par Sines & Ohgi [23], la contraintemoyenne de cisaillement n’a en effet pas d’influence significative sur la duree de vie


dans le domaine des tres grands nombres de cycles. Selon Findley [9], Dang Van et al.[6] et Robert [19], le plan critique est defini comme le plan ψ donnant la plus grandevaleur d’une certaine combinaison lineaire des differentes variables. A titre d’exemple,Robert propose la fonction g suivante :

g(.) = maxn

(max

0≤t≤T

‖ ~τna(t) ‖ +α(N)sna(t) + β(N)snmθ(N)

)(3.8)

Les coefficients α(N), β(N) et θ(N) peuvent etre determines a partir d’essais defatigue simples en torsion et en traction. Ces coefficients sont donnes par :

α(N) = (t−1(N)/f−1(N)− 1/2)/

√(t−1(N)/f−1(N))(1− t−1(N)/f−1(N))

θ(N) = t−1(N)√α2(N) + 1

β(N) = 2θ(N)/f0(N)− f0(N)/8θ(N)− α(N)(3.9)

ou f−1(N), t−1(N), f0(N) sont les nombres de cycles a l’initiation de fissure obtenusrespectivement en traction alternee, en torsion alternee et en traction repetee.En pratique, la duree de vie N correspondant au cycle du tenseur des contraintes[sij(t) = sij(t+T )], consiste a trouver le plan (γ, φ) donnant la plus grande valeur dela fonction (3.8) a la limite d’endurance du materiau N = Ne, ce plan est appele plancritique et son orientation est definie par (γ∗, φ∗). Ceci permet d’une part, de savoirsi le cycle est endommageant, c’est-a-dire si g(.) > 1, et d’autre part, d’identifierl’instant t qui maximise l’eq. (3.8) pour t ∈ [0, T ]. L’equation (3.8) ne comporte alorsplus qu’une variable implicite N , a determiner en resolvant l’equation g(N) = 1.

3.2.3 Chargement multiaxial variable ou aleatoire

Lorsque les contraintes ont des amplitudes variables ou aleatoires dans les differentesdirections, il est alors necessaire, par analogie aux chargements uniaxiaux, d’extrairedes cycles elementaires de contrainte. Chaque cycle elementaire produit un dommagequi peut etre calcule en appliquant un critere de fatigue multiaxial. En tout pointde la structure ou l’endommagement doit etre estime, il est necessaire de calculerle dommage d(ψ) correspondant a chaque plan physique ψ passant par ce point. Ledommage associe a chaque plan est calcule de la facon suivante :

– Le tenseur des contraintes est projete sur le plan ψ considere, defini par les anglesspheriques (γ, φ).

– Pour identifier des cycles de contraintes, un comptage rainflow est realise sur sn(t),la contrainte normale au plan ψ.


– Chaque cycle rainflow elementaire, comme celui mis en evidence par la zone grisee ala Fig. 3.2, produit un dommage qui est calcule en appliquant un critere de fatiguemultiaxial. Les criteres applicables a ce stade de l’analyse sont ceux de Findley,Dang Van ou Robert. Nous choisissons ici de resoudre l’eq. (3.8). Nous obtenonsalors le dommage d = 1/N correspondant au ”cycle multiaxial” des contraintesidentifie.

– Le point precedent est repete pour tous les cycles extraits a partir de la contraintenormale agissant sur le plan considere et le cumul du dommage est realise selon laloi de Palmgren-Miner (decrite au chapitre 2), donnant ainsi le dommage relatif auplan considere d(ψ).

Le dommage sur tous les plans est ainsi estime. Le plan critique ψ∗, qui subit l’en-dommagement le plus grand, est identifie. Le dommage D, au point de la structureou le calcul est realise, est donne par la valeur trouvee sur ce plan

D = d(ψ∗) = maxψ

(d(ψ))

Fig. 3.2 – Contraintes relatives a un plan physique ψ et extraction d’un cycle rainflowsur la contrainte normale


3.2.4 Simulation de Monte-Carlo d’un processus vectorielaleatoire

Afin d’appliquer le modele temporel precedent apres l’analyse spectrale d’une struc-ture soumise a des chargements gaussiens multiaxiaux, nous traitons, dans ce para-graphe le probleme de la generation artificielle de processus vectoriels aleatoires apartir d’une matrice de PSD donnee.

Fig. 3.3 – Simulation d’un processus vectoriel gaussien : (a) elements diagonaux dela matrice Φs(ω), (b) realisation du vecteur des contraintes s(t) generee a partir deΦs(ω)

Comme nous l’avons vu, pour les etats biaxiaux de contraintes, le tenseurdes contraintes peut etre ecrit sous forme d’un vecteur aleatoire s(t) =(sx(t), sy(t), sxy(t))T , caracterise dans le domaine frequentiel par une matrice desdensites spectrales de puissance

3 Methodes frequentielles de prediction de duree de vie 49

Φs(ω) =

Φsxsx(ω) Φsxsy (ω) Φsxsxy (ω)Φsysx(ω) Φsysy (ω) Φsysxy (ω)Φsxysx(ω) Φsxysy (ω) Φsxysxy (ω)

(3.10)

Cette matrice de PSD relative au vecteur s(t) devra etre calculee lors de l’analysespectrale de la structure par elements finis en tout point ou le dommage doit etrecalcule. Dans la suite du texte nous noterons desormais en gras la matrice des PSDΦ(ω) relative a un processus vectoriel aleatoire et nous noterons normalement Φ(ω)la PSD relative a un processus scalaire aleatoire.La generation d’un processus scalaire aleatoire a partir d’une PSD donnee estbrievement mentionnee au § 2.2.1. Ce probleme classique est resolu en utilisant lamethode de Monte-Carlo couplee a l’algorithme de la Transformee de Fourier Ra-pide (FFT). Il est d’ailleurs decrit dans tous les ouvrages theoriques, comme parexemple Preumont [16] ou Wirshing et al. [26]. L’extension de l’algorithme FFT auxprocessus vectoriels aleatoires n’est pas trivial, car les composantes du tenseur descontraintes doivent non seulement avoir le bon contenu frequentiel (decrit par leselements diagonaux de Φs(ω), mais les correlations entre les differentes composantes(decrites par les elements hors diagonaux de Φs(ω)) doivent egalement etre respectees.Ces correlations ont evidemment un effet sur la duree de vie et doivent etre prise encompte dans l’analyse de fatigue (Lagoda & Macha [12]).Ce probleme a ete etudie dans la litterature, voir par exemple Shinozuka [22] etDi Paola [7]. La procedure specifique developpee et implementee au cours de cettethese est decrite en annexe, elle permet de generer artificiellement des realisationsstatistiquement independantes du tenseur des contraintes comme l’illustre la Fig. 3.3.

3.3 Methodes frequentielles de prediction de dureede vie

3.3.1 Methode de la contrainte equivalente de von Mises

La methode presentee dans ce paragraphe est basee sur une generalisation de la theoriede la plasticite generalement appliquee dans le cas des chargements statiques. Seloncette hypothese, un endommagement sous chargement multiaxial peut etre estime entrouvant une contrainte ou une deformation uniaxiale equivalente, sur laquelle il estensuite possible d’appliquer la theorie uniaxiale classique. En fatigue, cette theorieest basee sur la courbe de Wohler, le diagramme de Haigh et le cumul lineaire dudommage de Palmgren-Miner.D’apres la litterature, nous remarquons que l’amplitude de la contrainte equivalentede von Mises est souvent utilisee en premiere approximation dans le calcul de dureede vie de composants soumis a des chargements multiaxiaux complexes, comme lemontre l’etude d’un composant de vehicule presentee par Heyes et al. [10]. Nousnotons egalement que les criteres de fatigue multiaxiaux developpes par Sines & Ohgi[23] et par Crossland [5] reposent egalement sur la contrainte de von Mises.


Fig. 3.4 – Contrainte de von Mises evaluee dans le domaine temporel a partir del’echantillon du tenseur des contraintes de la Fig. 3.3.b

Pour un etat de contraintes planes, celle-ci s’ecrit :

s2c(t) = s2

x(t) + s2y(t)− sx(t)sy(t) + 3s2

xy(t) (3.11)

La Fig. 3.4 represente la contrainte de von Mises sc(t) calculee en appliquant larelation (3.11) a la realisation du tenseur des contraintes illustree a la Fig. 3.3.b.Nous remarquons que la nature quadratique de la contrainte sc(t) definie dans ledomaine temporel pose plusieurs problemes, voir Segalman et al. [21] et Preumont &Pitoiset [18] :– la contrainte de von Mises n’est pas gaussienne, ni de moyenne nulle, si sx(t), sy(t)

et sxy(t) sont gaussiens et de moyenne nulle,– sc(t) est toujours positive et ne se reduit pas a une contrainte alternee dans le cas

d’un chargement uniaxial alterne, il est par consequent impossible d’extraire descycles elementaires ayant un sens en terme de fatigue a partir de sc(t),

– le contenu frequentiel de sc(t) n’est pas coherent avec celui des composantes du ten-seur des contraintes. En d’autres termes, les PSD Φsxsx(ω), Φsysy (ω), Φsxysxy (ω),des contraintes respectives sx(t), sy(t) et sxy(t), presentent un pic a chaquefrequence de resonance ωi de la structure, alors que la PSD estimee a partir dela contrainte sc(t), telle qu’elle est definie par l’eq. (3.11), ne presente pas de pic achaque frequence ωi.

Ces differents problemes peuvent etre contournes en considerant l’eq. (3.11) au sens deson carre moyen et en transformant ce processus aleatoire dans le domaine frequentiel.L’eq. (3.11) est une fonction du vecteur s(t) et peut s’ecrire :

s2c = sTQs = Trace{Q[ssT ]} (3.12)

ou la matrice constante Q est donnee par


Q =

1 −1/2 0−1/2 1 0

0 0 3

(3.13)

Cette contrainte de von Mises est un processus aleatoire dont l’esperancemathematique E[.] est donnee par la relation

E[s2c ] = Trace(QE[ssT ]) (3.14)

ou E[ssT ] est la matrice de covariance du vecteur des contraintes. Cette matrice decovariance s’obtient en integrant la matrice des densites spectrales de puissance duvecteur des contraintes comme suit

E[ssT ] =∫ ∞−∞

Φs(ω)dω (3.15)

Par definition, nous avons egalement la relation entre la moyenne quadratique E[s2c(t)]

et la PSD de la contrainte de von Mises Φc(ω) correspondante :

E[s2c ] =

∫ ∞−∞

Φc(ω)dω (3.16)

En combinant les eqs. (3.14) et (3.16), nous obtenons :

∫ ∞−∞

Φc(ω)dω =∫ ∞−∞

Trace[QΦs(ω)]dω (3.17)

Cette relation integrale est exacte et n’implique aucune hypothese. Elle definit lacontrainte aleatoire de von Mises (voir egalement Preumont [16] et Preumont & Piefort[17]) comme un processus gaussien de moyenne nulle dont la densite spectrale depuissance est :

Φc(ω) = Trace[QΦs(ω)] =∑i,j

QijΦsisj(ω) (3.18)

Nous appelons ce processus scalaire gaussien ”contrainte equivalente de von Mises”.Cette definition frequentielle permet de resoudre les problemes cites precedemment :– le processus est gaussien de moyenne nulle par construction,– il se reduit a une contrainte alternee dans le cas d’un chargement uniaxial alterne,– son contenu frequentiel est bien coherent avec le contenu frequentiel des contraintes.

Φc(ω) est obtenue a partir de la matrice des densites spectrales de puissance descomposantes du tenseur des contraintes Φs(ω), selon le critere quatratique de vonMises comme le montre les eqs. (3.18) et (3.14).


Nous obtenons non seulement un processus dont le contenu frequentiel reflete le com-portement dynamique de la structure, mais nous soulignons aussi le fait que les proces-sus definis par les eqs. (3.18) et (3.11) ont la meme variance. Nous savons d’une part,que plus la variance de la contrainte est grande, plus la duree de vie de la structureest courte (Bedowski et al. [2]) et d’autre part, que le contenu frequentiel et la lar-geur de bande du processus sont egalement determinants en terme d’endommagementpar fatigue. Ayant defini un processus scalaire gaussien de moyenne nulle, toute lesmethodes decrites au chapitre 2 sont par consequent applicables. Nous choississons,dans la suite de cette etude, d’appliquer la methode du ”Single Moment” a partirde la PSD Φc(ω). Enfin, notons que l’extension de la methode a un etat triaxial decontraintes peut etre facilement realisee en modifiant le vecteur s(t) qui contient lescomposantes du tenseur des contraintes et en definissant la matrice Q de maniereappropriee.

Formulation elements finis

Le calcul de la PSD de la contrainte de von Mises presente egalement l’avantaged’etre facilement integrable dans le module d’analyse spectrale d’un code elementsfinis, comme nous le demontrons dans ce paragraphe. En notant αim la composantei de la contrainte modale induite par le mode de vibration m lorsque l’amplitudemodale est unitaire, la contrainte si est donnee par la relation

si =∑m

αimym (3.19)

ou ym est le vecteur des amplitudes modales. Les contraintes modales αim varient d’unelement fini a l’autre, alors que ym est defini pour toute la structure. La transpositionde l’eq. (3.19) au cas des chargements aleatoires implique que

Φsisj (ω) =∑m,n

αimαjnΦmn(ω) (3.20)

Φmn(ω) est la matrice des PSD des reponses modales, les indices m et n representantdes modes de vibrations. Cette matrice est hermitienne et peut etre calculee selon lesprocedures decrites dans differents ouvrages, comme par exemple Preumont [16]. Encombinant l’eq. (3.20) a l’eq. (3.18) et en inversant les ordres de sommations, nousobtenons :

Φc(ω) =∑m,n

Φmn(ω)∑i,j

Qijαimαjn =∑m,n

Φmn(ω)Amn (3.21)

ou Amn est defini par la relation

Amn =∑i,j

Qijαimαjn (3.22)


La somme sur m et n est realisee sur les modes inclus dans l’analyse spectrale et lasomme sur i et j est realisee sur les composantes du tenseurs. Amn resulte en faitde l’application du critere quadratique de von Mises aux contraintes modales. Parconsequent, cette grandeur ne depend pas de la frequence ω et elle varie d’un elementfini a l’autre. La procedure decrite ci-dessus minimise les temps de calcul et a eteimplementee dans le code elements finis SAMCEF.

Prise en compte d’une contrainte statique non nulle

Bien que nous ne nous interessons dans le cadre de notre etude qu’aux chargementsde moyenne nulle, l’etude menee par Sines & Ohgi [23] montre que, pour une duree devie N fixee, l’amplitude de la contrainte de von Mises admissible diminue lorsque lapression hydrostatique moyenne augmente. D’autre part, applique a une sollicitationuniaxiale alternee, le critere de Sines permet de reproduire le diagramme de Haighdonnant la contrainte alternee admissible sa en fonction de la contrainte moyenne smmenant a l’initiation d’une fissure apres N cycles (voir Fig. 2.2). Par consequent, il aete propose par Preumont & Piefort [17] de prendre en compte un chargement statiquesuperpose a un chargement aleatoire en combinant la pression hydrostatique moyennepm, remplacant alors une contrainte uniaxiale moyenne sm, avec l’amplitude de lacontrainte equivalente de von Mises sca, remplacant alors une contrainte uniaxialealternee sa. Ainsi, ces deux termes equivalents permettent de ramener le problememultiaxial a un probleme uniaxial classique et d’utiliser les resultats du diagramme deHaigh pour calculer le dommage produit par un cycle multiaxial donne qui presentedes composantes statiques non nulles.Comme nous l’avons vu dans le cas d’une sollicitation uniaxiale, la prise en compted’une contrainte moyenne revient a utiliser une courbe de Wohler du materiau mo-difiee. La courbe initiale, modelisee par l’equation de Basquin Nsβ = C, est remplaceela courbe de Wohler translatee vers le bas, pour laquelle l’equation de Basquin de-vient Nsβ = C ′. Plus la contrainte moyenne sm est elevee, plus la courbe de Wohler,donnant la contrainte alternee sa pour chaque duree de vie N , doit etre abaissee. Lacontrainte sm est alors remplacee par la pression hydrostatique pm dans les eqs. (2.3)et (2.4).

3.3.2 Methode du rainflow multiaxial

Nous presentons dans ce paragraphe une formulation frequentielle de la methodedite du rainflow multiaxial, initiallement proposee dans le domaine temporel. Commenous l’avons explique dans le deuxieme chapitre, le comptage rainflow est actuellementconsidere comme etant la methode donnant les meilleurs resultats en fatigue uniaxialealeatoire. Cette methode de decomposition d’un signal aleatoire en cycles elementairesa ete etendue au cas des processus aleatoires multiaxiaux. La methode du multiaxialrainflow (Beste et al. [3], Dressler et al. [8]) consiste a compter des cycles rainflow surtoutes les combinaisons lineaires sr(t) possibles des composantes du tenseur aleatoiredes contraintes. D’apres les auteurs, la methode du multiaxial rainflow donne desresultats comparables a ceux obtenus par une approche de type plan critique. En


pratique, dans le cas d’un etat plan de contraintes, un ensemble de combinaisonslineaires

sr(t) = c1sx(t) + c2sy(t) + c3sxy(t) = cT s(t) (3.23)

est construit, l’indice r signifiant ”multiaxial rainflow”. Le vecteur constant c =(c1, c2, c3)T est defini comme appartenant a une sphere de rayon unitaire tel que :

c21 + c22 + c23 = 1 (3.24)

Selon la methode du rainflow multiaxial, le dommage est calcule pour chaque processusscalaire sr(t), et le processus produisant le plus grand dommage est retenu. Nousremarquons que la methode se reduit bien a un comptage rainflow dans le cas d’unecontrainte unidirectionnelle.Nous passons maintenant a la formulation frequentielle de cette methode. La fonc-tion d’autocorrelation de sr(t) est reliee a la matrice de covariance du vecteur descontraintes par

Rr(t) = E[sr(t+ τ)sr(t)]= E[sT (t+ τ)ccT s(t)] (3.25)= E[sT (t+ τ)Q∗s(t)]

ou la matrice constante Q∗ est definie par

Q∗ = ccT =

c21 c1c2 c1c3c1c2 c22 c2c3c1c3 c2c3 c23

(3.26)

En comparant l’eq. (3.26) aux eqs. (3.12) et (3.14), il en resulte que

Rr(τ) = Trace {Q∗E[s(t+ τ)sT (t)]} (3.27)

En appliquant la transformee de Fourier a cette equation, nous obtenons la PSD Φr(ω)du processus sr(t)

Φr(ω) = Trace {Q∗Φs(ω)} =∑i,j

Q∗ijΦsisj (ω) (3.28)

ou Φs(ω) est la matrice des densites spectrales de puissances du vecteur descontraintes. L’analogie avec l’eq. (3.18) est evidente. Contrairement a la methode dela contrainte equivalente de von Mises, la methode du rainflow multiaxial recquiert

3 Application a une structure simple 55

un calcul de la PSD Φr(ω) pour tout vecteur c satisfaisant l’egalite (3.24), rendantle calcul plus couteux en temps que dans le cas de la methode precedente. Malgrecet inconvenient, la formulation frequentielle du multiaxial rainflow, que nous avonspropose pour la premiere fois au cours de ce travail, est beaucoup plus rapide que saformulation temporelle initiale. Nous appliquerons egalement la methode du ”SingleMoment” pour calculer de dommage correspondant a chaque processus Φr(ω).

3.4 Application a une structure simple

Afin d’illustrer l’application des methodes dans le domaine frequentiel, nous traitonsici l’exemple d’une eprouvette en acier, en forme de L. Sa geometrie est definie a laFig. 3.5.

Fig. 3.5 – (a) Geometrie, (b) maillage et (c) PSD des composantes du tenseur descontraintes dans un element selectionne


L’eprouvette comporte une entaille arrondie ainsi qu’un trou et est encastree a sesdeux extremites. Chaque support est soumis a une acceleration aleatoire definie parun spectre ideal passe-bande qui s’exerce dans la direction perpendiculaire au plan del’eprouvette (z) - [Φa(ω) = 25 (m/s2)2/rad/s, ωc = 2513 rad/sec], ωc est la frequencede coupure. Les accelerations aux deux encastrements sont totalement decorrelees(independantes). Les cinq premiers modes (ω1 = 174 rad/sec, ω2 = 680 rad/sec, ω3 =809 rad/sec, ω4 = 1836 rad/sec, and ω5 = 1862 rad/sec) sont compris dans la largeurde bande de l’excitation. 481 elements coques ont ete utilises pour la discretisation.L’epaisseur de l’eprouvette est de 0.5 mm. Le materiau est caracterise en fatiguepar une courbe de Wohler. Les constantes de l’equation de Basquin sont β = 9.82et C = 4.0641 × 1088, la limite d’endurance se = 252 × 106 Pa est atteinte apresN = 1.28×106 cycles. La limite a la rupture du materiau en traction est Su = 566×106

Pa. La matrice des densites spectrales de puissance des contraintes peut etre calculeepour chaque element fini comme le montre la Fig. 3.5. Sur cette figure, les densitesspectrales de puissance des trois composantes sx(t), sy(t) et sxy(t) dans un elementselectionne Fig. 3.5.b sont illustrees.

3.5 Resultats et discussion

Les figures 3.6.a et 3.6.b montrent respectivement le dommage par unite de temps ob-tenu en appliquant la methode de la contrainte equivalente de von Mises et la methodedu rainflow multiaxial. L’echelle de couleur correspond au logarithme du dommagepar unite de temps. Plus la couleur tend vers le rouge, plus l’endommagement estimportant. La methode temporelle basee sur le concept du plan critique, decrite endebut de chapitre, a egalement ete appliquee element par element. Afin d’obtenir unresultat valable, le dommage a ete moyenne sur 10 realisations du vecteur s(t), ob-tenue en appliquant la procedure decrite au § 3.2.4. Chaque realisation presente uneduree de 12 s et est composee de 214 = 16384 pas de temps. La cartographie obtenuea partir de ses simulations est representee Fig. 3.6.c. La zone coloree en bleu foncereflete le fait que les contraintes restent en dessous de la limite d’endurance definiepar le critere applique, elles ne produisent donc pas de dommage.Bien que les trois methodes ne predisent pas exactement les memes dommages dansun element donne, la localisation des niveaux d’endommagement sur la structure estidentique. Quatre zones critiques sont identifiees : pres des encastrements (zone A etzone B), la partie superieure du trou (zone C) et la partie gauche de l’entaille (zoneD). Ces zones sont indiquees a la Fig. 3.6.c. Nous reviendrons plus en details sur lesresultats obtenus dans ces quatres zones dans un prochain paragraphe.La Fig. 3.7 presente une comparaison entre la densite spectrale de puissance obtenueselon la methode de la contrainte equivalente de von Mises et la methode du rain-flow multiaxial pour l’element indique a la Fig. 3.5.b. Les deux courbes sont presqueidentiques. Il est egalement interessant de remarquer que Φc(ω) et Φr(ω) presententeffectivement des pics aux frequences de resonances de la structures. Leur contenufrequentiel est en effet en accord avec celui observe sur les composantes du tenseur

3 Resultats et discussion 57

Fig. 3.6 – Cartographies du dommage obtenues sur l’eprouvette en L (a) methodeequivalente de von Mises (domaine frequentiel) (b) methode du rainflow multiaxial(domaine frequentiel), (c) approche du plan critique (domaine temporel)

des contraintes comme le montre la Fig. 3.5.c. De plus, pour chaque frequence ω, la va-leur de Φc(ω) ou Φr(ω) est superieure a la valeur de Φsxsx(ω), Φsysy (ω) et Φsxysxy (ω).Les deux processus equivalents representent ainsi une sorte d’enveloppe frequentielledes PSD des composantes des contraintes. Precisons enfin que les deux methodestiennent compte des correlations entre les composantes du tenseur des contraintes,l’importance de celles-ci sur la duree de vie calculee a partir de differents modeles aete relevee par Lagoda & Macha [12].


Fig. 3.7 – Densites spectrales de puissance des processus de von Mises et du multiaxialrainflow.

3.5.1 Temps de calcul

L’enorme avantage qu’offrent les methodes frequentielles reside dans la reduction destemps de calcul par rapport aux methodes temporelles traditionnelles. Les proceduresdecrites dans ce chapitre ont ete implementees dans une ”toolbox MATLAB 5”. Lesroutines les plus couteuses en temps ont ete ecrites en FORTRAN. Les calculs ont eterealises sur une station de travail de type DEC-alpha. En ce qui concerne l’approchetemporelle du plan critique ou la methode de rainflow multiaxial, le temps de calculdepend fortement du nombre de plans ou de combinaisons lineaires a examiner. Unalgorithme permettant de balayer un nombre limite de solutions a ete developpe parWeber et al. [25], ce dernier a ete implemente, limitant ainsi l’examen du nombre deplans ou de combinaisons entre 200 et 250. Les temps de calculs mesures pour obte-nir les trois cartographies du dommage sont respectivement de 17 s pour la methodeequivalente de von Mises (domaine frequentiel), 96 s pour le multiaxial rainflow (do-maine frequentiel) et environ une semaine, soit 604800 s, pour l’approche temporelledu plan critique. Du point de vue conception, les methodes frequentielles apportentdonc un gain considerable de temps.

3.5.2 Analyse des zones critiques

Afin de comparer plus precisement les resultats obtenus par les trois methodes dans leselements composants les zones critiques identifiees a la Fig 3.6.c, la Fig. 3.8 presenteune comparaison des valeurs numeriques des dommages par unite de temps calculeselement par element.En basant le classement des zones sur l’element le plus endommage de chacune d’entreelles, le classement de la plus endommagee a la moins endommagee est B, D, A, Cselon l’approche du plan critique, consideree ici comme etant la methode de reference.Le classement etabli selon la methode de la contrainte equivalente de von Mises estD, B, A et C et enfin B, A, C, D selon la methode du rainflow multiaxial. Toutefois,nous remarquons que dans chaque zone, la methode de von Mises permet de detecter

3 Resultats et discussion 59

Fig. 3.8 – Dommage par unite de temps obtenu par les methodes frequentielles etpar la methode temporelle dans les quatre zones identifiees Fig.3.6.c


les memes elements les plus endommages (entoures Fig. 3.8) que la methode du plancritique. D’un point de vue quantitatif, la Fig. 3.8 revele, qu’aux encastrements (zonesA et B), la methode de la contrainte equivalente de von Mises predit un dommageenviron quatre fois moins important que la methode du plan critique. En revanche,cette meme methode est en bien meilleur accord avec la methode temporelle dans lesdeux autre zones que sont le trou (zone C) et l’entaille (zone D). Quant a la methodedu rainflow multiaxiale, la tendance s’inverse. Cette methode est en bon accord avec lamethode du plan critique aux encastrements alors qu’elle predit des endommagementsinferieurs au voisinage du trou et de l’entaille.

3.5.3 Explication des differences observees

Comme de nombreux auteurs l’ont observe (par exemple You & Lee [27], Papado-poulos et al. [15], Weber et al. [24]), les criteres bases sur une approche globale,ou interviennent des invariants du tenseur des contraintes, produisent de meilleurspredictions du dommage lorsques les contraintes principales tournent au cours duchargement. Au contraire, les approches de type plan critique sont plus approprieeslorsque les contraintes principales ont une orientation fixe dans l’espace.

Fig. 3.9 – Densite de probabilite de l’angle θ entre les directions principales et l’axelocal x dans les elements #1 et #439

Examinons alors l’evolution des contraintes principales dans deux des zones critiquesrepresentatives : a l’encastrement A (element #1) et au trou C (element #439). Ladensite de probabilite de l’angle θ entre le repere des directions principales et l’axelocal x est illustre Fig. 3.9. Nous observons que, dans l’element #1 situe au voisinagede l’encastrement, la densite de probabilite pθ(θ) presente un pic tres marque a θ = 0,indiquant que les contraintes principales ne tournent pas a cet endroit de la structure.Par consequent, le plan subissant la contrainte de cisaillement la plus grande a uneorientation fixe dans l’espace. Il n’est pas surprenant que, dans ce cas, la contrainte

3 Conclusion 61

equivalente de von Mises , qui est proportionnelle a la moyenne quadratique de lacontrainte de cisaillement sur tous les plans passant par le point considere (voir Sines &Ohgi [23]), predise alors un dommage moins important que les deux autres approchespour lesquelles tous les plans de cisaillement possibles sont examines.Par contre, si nous obervons la fonction pθ(θ) dans l’element #439, que montre laFig. 3.9, nous remarquons que les directions principales tournent bien davantage. Celasignifie qu’un ensemble de plans de glissements sont actives et que l’endommagementse reparti sur cet ensemble de plan. Dans ce cas, la contrainte de von Mises est touta fait appropriee, et est en meilleur accord avec la methode du plan critique que nel’est la methode du rainflow multiaxial. La meme observation s’applique aux elementsexternes des encastrements, par example les elements #25 et #396, ou les contraintesprincipales tournent plus a ces endroits precis qu’a leur voisinage.

Fig. 3.10 – Distribution du dommage plan par plan obtenu selon la methode du plancritique dans les elements #1 et #439

Cette explication est confirmee par la Fig. 3.10 representant la valeur du dommageobtenue par la methode du plan critique (domaine temporel), plan par plan, dansles deux elements #1 et #439. Comme prevu, dans l’element #1, ou les directionsprincipales sont fixes, le dommage est principalement concentre sur deux plans ; alorsqu’il est reparti sour toute une couronne de plans dans l’element #439.

3.6 Conclusion

Une methode temporelle de prediction du dommage en fatigue multiaxiale aleatoire estpresentee et implementee. Afin de l’appliquer apres une analyse spectrale d’une struc-ture soumises a des vibrations aleatoires par elements finis, une procedure permettant


de generer des echantillons temporels a partir des donnees spectrales sur les contraintesdans chaque element a ete developpee et implementee. Ensuite, deux methodes d’es-timation de l’endommagement directement applicables a partir de donnees spectralessur les contraintes ont ete proposees et appliquees a une structure simple. La premiereest basee sur la definition de la contrainte de von Mises comme un processus aleatoiregaussien dont la densite spectrale de puissance est calculee. Elle est a l’origine de cetravail, mais n’avait pas encore ete confrontee a d’autres methodes. La deuxieme estune implementation dans le domaine frequentiel de la methode initialement temporelledu rainflow multiaxial, formulation developpee au cours de cette these. Nous avonsmontre que les deux methodes menent a des implementations identiques, meme si lerainflow multiaxial necessite le balayage d’un grand nombre de combinaisons lineairesdes composantes du tenseur des contraintes. Sur la structure prise pour exemple, lesdeux methodes donnent des cartographies de l’endommagement qualitativement iden-tiques. De plus, une tres bonne correlation est mise en evidence lorque celles-ci sontcomparees a l’approche temporelle de type plan critique. Du point de vue de la concep-tion, les methodes frequentielles peuvent donc etre appliquees pour localiser les zonescritiques sur une structure soumise a des vibrations aleatoires et rendent possible uneestimation rapide et fiable de la duree de vie dans la phase de conception. Pour unmeme probleme, elles se sont averees etre de plusieurs ordres de grandeurs plus rapideque la methode temporelle : 17 s pour la methode frequentielle la plus rapide contreune semaine pour la methode temporelle ! Pour une analyse plus precise, la methodetemporelle plus couteuse peut alors appliquee a quelques elements critiques. Notonsenfin, que la rapidite des methodes frequentielles permet d’envisager un couplage decelles-ci a des algorithmes d’optimisation structurale.

BIBLIOGRAPHIE 63

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Chapitre 4

Criteres d’endurance enfatigue multiaxiale aleatoire

4.1 Introduction

Les criteres de fatigue multiaxiaux sont actuellement largement utilises pour evaluerla resistance a la fatigue a grand nombre de cycles de structures soumises a deschargements periodiques multiaxiaux. Comme nous l’avons mentionne dans le chapitreprecedent, dans le cas d’un chargement multiaxial periodique induisant un tenseurdes contraintes [sij(t) = sij(t+ T )] pour tout t ∈ [0, T ], il est possible de definir unefonction g du tenseur des contraintes telle que la region de non fissuration de l’espacedes contraintes soit exprimee par l’inegalite

g(sij(t), T ) ≤ 1 (4.1)

Un revue complete des criteres proposes dans la litterature a ete publiee par You &Lee [24] et, a l’exception de Macha [10], la plupart des criteres sont definis par unetelle fonction g.Bien que les criteres de fatigue multiaxiaux ont ete valides a partir de chargementsinduisant des contraintes sinusoıdales, nous supposons qu’une limite de fatigue existeegalement pour les chargements complexes induisant des contraintes d’amplitudesvariables ou aleatoires (voir Dang-Van [3]). Dans le cas des chargements aleatoires, lavaleur extreme definie par la fonction g(sij(·), T ) est egalement une variable aleatoire.Par consequent, nous pouvons nous demander quelle est la probabilite que l’inegalite(4.1) soit satisfaite en chaque point de la structure. Ce probleme est toutefois trescomplexe et ne peut etre resolu qu’a l’aide de simulations de Monte-Carlo, c’est-a-dire en generant artificiellement plusieurs realisations du tenseur des contraintes, encalculant la valeur du critere g pour chaque realisation et en cherchant quelle estla distribution la plus proche de celle observee. Cette approche est faisable mais trescouteuse en temps de calcul. Des methodes rapides d’estimation de la valeur locale du

66 4. Criteres d’endurance en fatigue multiaxiale aleatoire

critere peuvent donc etre des outils de conception tres appreciables, elles permettraientalors de verifier l’integrite de la structure des les premiers stades de developpement.Dans ce chapitre, nous proposons des approximations de deux criteres de fatiguemultiaxiaux (Pitoiset et al. [19]). Nous considerons toujours le cas des chargementsgaussiens de moyenne nulle et nous considerons qu’aucun amorcage de fissure n’a lieuavant Ne repetitions du chargement aleatoire periodique de duree T si E[g(sij(·), T )] <1, en d’autres termes si, en moyenne, la valeur extreme (la fonction g) ne depassepas le seuil de la limite de fatigue. Les structures que nous etudions etant lineaireset les chargements etant gaussiens, la valeur moyenne du critere E[g(sij(·), T )] estuniquement fonction de la matrice des PSD du tenseur des contraintes. Il est doncpossible de l’estimer directement a partir de l’analyse spectrale de la structure parelements finis.Theoriquement, un processus gaussien defini par une densite spectrale de puissancene possede pas de realisation periodique. Toutefois, comme nous l’avons vu au cha-pitre 2.2.1 (voir egalement l’annexe A), les simulations de Monte-Carlo d’un processusstationnaire gaussien obtenues en utilisant l’algorithme de la FFT sont des fonctionsperiodiques. Cet algorithme consiste a approximer la PSD par un spectre fini dis-cret. La duree de l’echantillon temporel genere depend alors du nombre de pointschoisis pour discretiser le spectre. Pour de longues periodes d’observation du charge-ment gaussien, l’esperance mathematique de la valeur extreme definie par le critere,E[g(sij(·), T )], est une fonction qui croıt lentement en fonction de T , et la valeur ducritere obtenue pour un processus donne n’est pas significativement affectee par lechoix d’une valeur de T specifique.Les criteres peuvent etre classes en deux familles principales, que nous decrivons endebut de chapitre en illustrant chacune d’elles par deux exemples. Comme il n’existepas d’approche universellement acceptee actuellement, le but de cette premiere partien’est pas d’etre exhaustive mais plutot de donner un apercu des differentes theories.Nous proposons ensuite des approximations spectrales de E[g(sij(·), T )] pour deuxdes criteres les plus couramment utilises et que nous avons donnes en exemple, asavoir le critere de type plan critique de Matake et le critere de Crossland, base surdes invariants du tenseur des contraintes. Nous obtenons ce que nous appellons desformulations frequentielles des criteres de fatigue multiaxiaux. Comme les fissuresapparaissent en surface ou l’etat des contraintes est biaxial, nous considerons a nou-veau uniquement les etats plans de contraintes. Pour des raisons de simplicite dansles notations et les developpements mathematiques, nous n’abordons que les char-gements de moyenne nulle. Les deux formulations sont alors appliquees au modeleelements finis de l’eprouvette en forme de ”L”, utilisee dans le chapitre precedent ;elles permettent d’etablir la cartographie des valeurs locales des criteres dans tous leselements du modele. Afin de demontrer la validite de ces formulations, nous generonsartificiellement des realisations du tenseur des contraintes, nous calculons la valeur ducritere g(sij(·), T ) pour chaque realisation et nous comparons la valeur E[g(sij(·), T )]obtenue dans chaque element grace aux formulations frequentielles a celle obtenueen estimant la valeur moyenne de g(sij(·), T ) sur les realisations de (sij(t), T ). Lesresultats obtenus sont ensuite presentes et discutes. Comme nous l’avons mentionne ala fin du chapitre precedent, la performance des criteres de fatigue est liee a la variabi-

4 Les differents types de criteres multiaxiaux 67

lite des directions du repere des contraintes principales pendant le chargement. Nousterminons donc ce chapitre par la presentation d’un outil frequentiel permettant decalculer la densite de probabilite de l’angle observe entre le repere local dans lequelle tenseur des contraintes est exprime et le repere des contraintes principales. Cettemethode spectrale permet d’orienter eventuellement le concepteur dans le choix d’uncritere lorsque celui-ci veut examiner une zone precise de la structure.

4.2 Les differents types de criteres multiaxiaux

4.2.1 Les criteres de type plan critique

Comme nous l’avons mentionne en presentant le critere de Robert au debut du cha-pitre precedent, les criteres de type plan critique sont bases sur le fait que le compor-tement en fatigue d’un materiau en un point donne de la structure est impose par leplan materiel le plus sollicite passant par ce point. La severite du cycle des contraintessur un plan donne est alors exprimee par certaines combinaisons lineaires de gran-deurs liees a la contrainte normale et a la contrainte de cisaillement agissant sur ceplan. Nous presentons ici deux exemples classiques de criteres de type plan critique :les criteres de Matake [12] et de Findley [6]. De nombreux auteurs ont proposes descriteres du meme type, nous pouvons en citer quelques uns a titre indicatif, commepar exemple Dang-Van [3], McDiarmid [13] ou encore Galtier & Seguret [7].

Critere de Matake

Ce critere est base sur l’observation selon laquelle l’amorcage des fissures en fatigue agrand nombre de cycles est principalement du aux deformations plastiques subies parles cristaux les plus defavorablement orientes par rapport a la direction du chargement.La principale variable responsable de l’accumulation de deformations plastiques le longde certains plans de glissement est la contrainte de cisaillement agissant sur ces plans(voir par exemple Papadopoulos [15]).Conformement a cet argument, Matake [12] definit le plan critique comme etant leplan de normale n∗ defini par les angles (γ∗, φ∗) ou l’amplitude de la contrainte decisaillement (cf Fig. 3.1.b et § 3.2.1) est maximale ; elle est notee C∗a et est obtenuecomme suit :

C∗a = maxn

Ca(n) = maxn

( max0≤t≤T

‖ τn(t)− τnm ‖) (4.2)

L’orientation de la fissure a l’amorcage est donc determinee par le couple des anglesspheriques (γ∗, φ∗). En notant respectivement s∗na et s∗nm l’amplitude et la moyennede la contrainte normale agissant sur le plan γ = γ∗ et φ = φ∗, le critere de Matakeest exprime par

g(sij(·), T ) =C∗a + α(s∗nm + s∗na)

β≤ 1 (4.3)


Nous precisons que l’amplitude de la contrainte normale sna agissant sur un plan denormale ~n est donnee par :

sna =12

(max

0≤t≤Tsna(t)− min

0≤t≤Tsna(t)

)(4.4)

Ce critere est donc exprime comme la combinaison lineaire de l’amplitude du cisaille-ment et la valeur maximale de la contrainte normale agissant sur le plan critique,nous remarquons que, dans le cas general, C∗a et s∗na ne sont pas atteints au memeinstant du cycle.α et β sont des parametres lies au materiau definis par

α = (2t−1(N)/f−1(N))− 1

β = t−1(N)

ou f−1 et t−1 sont respectivement les limites d’endurance en traction alternee eten torsion alternee. Ces parametres sont determines en appliquant le critere a deuxchargements simples (traction alternee et torsion alternee), menant a un amorcage defissure apres Ne applications du cycle.

Critere de Findley

Le critere de Findley [6] correspond a la limitation d’une combinaison lineaire del’amplitude de la contrainte de cisaillement et de la valeur maximale de la contraintenormale agissant sur le plan critique n∗. Selon Findley, ce plan est determine par

maxn

(Ca(n) + α(snm + sna)

)(4.5)

Lorsque le plan critique n∗ est identifie, le critere ne predit aucun amorcage de fissureapres N repetitions du cycle de contraintes considere si

g(sij(·), T ) =C∗a + α(s∗nm + s∗na)

β≤ 1 (4.6)

il s’ecrit donc de facon identique au critere de Matake, seule la definition du plancritique change. α et β sont des parametres lies au materiau et sont definis en fonctiondes limites d’endurances du materiau en traction alternee et torsion alternee, observeeapres Ne cycles. α et β sont definis differemment des coefficients donnes pour le criterede Matake.

4.2.2 Les criteres de type approche globale

Cette categorie de criteres peut etre divisee en trois groupes distincts :

4 Les differents types de criteres multiaxiaux 69

– les criteres bases sur des invariants du tenseur des contraintes et de son deviateur,comme par exemple les criteres de Sines & Ohgi [21], de Crossland [2] ou encore deMarin [11].

– les criteres bases sur des contraintes relatives a des plans materiels dont la globaliteprovient du fait qu’une moyenne quadratique de ces contraintes sur l’ensemble desplans est calculee, nous pouvons citer par exemple le critere de Papadopoulos [15].

– les criteres bases sur une approche energetique, comme par exemple les critered’Ellyin & Golos [5] et de Palin-Luc & Lasserre [14].

Critere de Crossland

Le critere de Crossland [2] est base sur des invariants du tenseur des contraintes etde son deviateur et s’ecrit :

√J2,a + α max p(t)

β≤ 1, t ∈ [0, T ] (4.7)

ou√J2,a est l’amplitude du deuxieme invariant du deviateur des contraintes donne,

lorsque les composantes du tenseur des contraintes sont de moyenne nulle, par larelation

√J2,a =

1√3

max0≤t≤T

|sc(t)| (4.8)

ou sc(t) est la contrainte de von Mises definie pour un etat biaxial des contraintes parla relation quadratique

s2c(t) = s2

x(t) + s2y(t)− sx(t)sy(t) + 3s2

xy(t) (4.9)

p(t) est la pression hydrostatique definie comme le premier invariant du tenseur sij(t)et peut etre ecrite pour un etat plan de contraintes

p(t) =13

(sx(t) + sy(t)) (4.10)

α et β sont des parametres lies au materiau definis par

α = (t−1(N)− f−1(N)/√

3)/(f−1(N)/3)

β = t−1(N)

ou f−1 et t−1, comme pour le critere de Matake, sont respectivement les limitesd’endurance en traction alternee et en torsion alternee.


Critere de Papadopoulos

D’apres Papadopoulos [15], l’accumulation de microdeformations plastiques dans unedirection de glissement donnee appartenant a un plan de glissement d’un grain decristal est proportionnelle a l’amplitude Ta de la projection de la contrainte de ci-saillement dans cette direction, lorsque le nombre de cycles appliques tend vers l’in-fini. Lorsque cette quantite Ta de deformation plastique accumulee, illustree a la Fig.4.1, depasse une certain seuil, les dislocations se deplacant selon certains plans deglissement finissent par former des microfissures.Pour parler de fissuration au sens de l’ingenieur, ces microfissures doivent commencera se propager de facon a etre detectables et a depasser l’echelle du grain de cristal,pour atteindre apres coalescence, l’echelle d’un volume elementaire V du materiaucontenant plusieurs cristaux. Ce debut de propagation est favorise par la contraintenormale agissant sur les microfissures. Pour tenir compte de l’amorcage de plusieursmicrofissures dans differents cristaux a l’interieur d’un volume elementaire donne,Papadopoulos propose de calculer :– la valeur moyenne de l’amplitude de la contrainte normale agissant sur l’ensemble

des plans, il est possible de montrer que cette grandeur est la contrainte hydrosta-tique p(t) definie pour les etats plans de contraintes par l’eq. (4.10) ;

– la moyenne quadratique volumetrique de Ta, sur toutes les directions χ de chaqueplan et sur tous les plans materiels (γ, φ) passant par le point ou le tenseur descontraintes a ete calcule, cette grandeur est definie par

√< T 2

a > =√

5

√1

8π2

∫ 2π

γ=0

∫ π

φ=0

∫ 2π

χ=0

(Ta(γ, φ, χ))2dχ sinφdφ dγ (4.11)

Fig. 4.1 – Definition de l’amplitude de la contrainte de cisaillement dans une directiondu plan ψ donnee

4 Formulation frequentielle du critere de Matake 71

Le critere de Papadopoulos s’ecrit ensuite :

√< T 2

a >+ α max p(t)β

≤ 1, t ∈ [0, T ] (4.12)

α et β sont a nouveau des parametres lies aux limites d’endurance du materiau entraction alternee et en torsion alternee observees apres Ne cycles.

4.2.3 Optimisation des temps de calcul des criteres

Le principal obstacle a l’utilisation des criteres de type plan critique en bureau d’etudeest le temps de calcul qu’ils necessitent, lorsque la sequence de chargement a traiterest complexe et definie par un grand nombre de points. Differentes propositions etameliorations des algorithmes en vue de reduire les temps de calculs ont ete proposeeset sont decrites en details dans Kenmeugne [8] et Weber et al. [23].La premiere optimisation concerne la recherche du plan critique au moyen du ba-layage des differents plans passant par un point donne (voir Fig. 3.1). Kenmeugne[8] propose alors de remplacer les increments constants dγ et dφ utilises dans ladiscretisation des angles spheriques γ et φ, par une discretisation non constante de φ.Les nouveaux increments dφ sont alors calcules de facon a obtenir des elements d’unesurface constante sur la sphere. Par consequent, le nombre de facettes considerees surchaque latitude est variable.La seconde optimisation concerne la recherche du plus petit cercle circonscrit au tra-jet decrit par la contrainte de cisaillement dans un plan donne. Le nouvel algorithmepropose est base sur la recherche de 12 points cardinaux du trajet relatifs a troisreperes appartenant au plan considere. Ces trois reperes sont obtenus par deux ro-tations successives de 30◦ du repere initial. La reduction du trajet de chargement a12 points permet ensuite l’utilisation d’un algorithme plus classique dont la rapidited’execution depend fortement du nombre de points a traiter.

4.3 Formulation frequentielle du critere de Matake

Nous proposons dans ce paragraphe une formulation frequentielle du critere de Ma-take. Nous avons choisi ce critere pour deux raisons. La premiere raison est que lecritere de Matake est exprime par une combinaison lineaire des valeurs extremes dedeux variables. La valeur de cette combinaison est plus simple a approximer dans ledomaine spectral que la valeur extreme d’une combinaison lineaire de deux variablescorrelees comme nous les trouvons par exemple dans les criteres proposes par DangVan ou Robert. La seconde raison est que le critere de Matake predit tres correctementl’amorcage pour differents types de chargements multiaxiaux. Comme le montrent lesetudes menees par Papadopoulos et al. [16] et Weber et al. [22], ce critere mene a deserreurs entre les predictions et les essais allant de -20% a +20%.Nous rappelons que nous ne traitons que les chargements de moyenne nulle. Parconsequent, la projection du tenseur des contrainte sur un plan donne implique que


la contrainte moyenne normale a ce plan snm = 0. Pour les chargements de moyennenulle, le critere s’ecrit donc :

g(sij(·), T ) =C∗a + αs∗na

β≤ 1, (4.13)

combinant ainsi l’amplitude de la contrainte de cisaillement et l’amplitude de lacontrainte normale agissant sur le plan critique. Le plan critique est defini selon Ma-take comme etant le plan physique subissant la plus grande amplitude de la contraintede cisaillement. Nous rappelons qu’idealement nous devrions calculer la probabilite

P

(C∗a + αs∗na

β≤ 1, en tout point de la structure

)(4.14)

mais que ce probleme de probabilite de rupture ne peut actuellement etre abordequ’a l’aide de simulations de Monte-Carlo. Nous proposons alternativement une ap-proximation plus simple, mais qui presente l’avantage d’etre formulee explicitement.Dans ce but, nous supposons qu’aucun amorcage de fissure ne se produit avant Nerepetitions du chargement aleatoire periodique d’une duree T si

E[g(sij(·), T )] =E[C∗a ] + αE[s∗na]

β≤ 1 (4.15)

en tout point de la structure. De la meme facon, comme la contrainte de cisaillementest une variable aleatoire, nous definissons le plan critique comme le plan ou la va-leur moyenne (sur un nombre infini de realisations du tenseur) du rayon du cerclecirconscrit au trajet decrit par cette contrainte de cisaillement (voir Fig. 3.1) atteintsa valeur maximale.

4.3.1 Definition frequentielle des contraintes relatives a unplan physique

Toute projection d’un tenseur des contraintes gaussien de moyenne nulle sur un planphysique donne resulte en trois processus sn(t), τu(t) et τv(t) gaussiens et de moyennesnulles. Ces trois variables representent respectivement la contrainte normale, et lesdeux composantes de la contrainte tangentielle agissant sur le plan de normale ~n. Siles composantes du tenseur des contraintes sont correlees, alors les trois processusrelatifs a un plan physique sont egalement correles et nous pouvons definir la matricedes PSD du vecteur gaussien sψ = (sn(t), τu(t), τv(t))T , que nous appelons Φψ(ω)telle que

Φψ(ω) =

Φnn(ω) Φnu(ω) Φnv(ω)Φun(ω) Φuu(ω) Φuv(ω)Φvn(ω) Φvu(ω) Φvv(ω)

(4.16)


Dans le cas particulier d’un etat de contraintes planes et pour un chargement gaussiende moyenne nulle, le tenseur des contraintes est exprime sous la forme d’un vecteurgaussien s(t) = (sx(t), sy(t), sxy(t))T caracterise par la matrice de PSD Φs(ω) =[Φsisj (ω)]. La matrice Φψ(ω) peut alors etre facilement calculee a partir de Φs(ω) enappliquant la formule (3.3).

4.3.2 Definition frequentielle du plus petit cercle circonscrit

Nous rappelons ici que la contrainte ~τn(t) tangentielle au plan de normale ~n est unprocessus vectoriel ergodique de moyenne nulle. Pour chaque plan ψ et pour une longueperiode d’observation T , le centre du cercle circonscrit se trouve a l’origine du reperedans lequel ~τn(t) est exprime. Ceci est vrai quand T tend vers l’infini. Pour trouverle plan critique defini par les angles spheriques (γ∗, φ∗), il suffit de trouver le rayondu plus petit cercle circonscrit au trajet que decrit la pointe du vecteur ~τn(t) pourchaque plan. En aleatoire, nous disons que le plan critique est le plan ou la moyenne(sur un nombre infini de realisations du tenseur des contraintes) de l’amplitude de~τn(t) est maximale, c’est-a-dire ou le rayon du cercle circonscrit est en moyenne leplus grand.Nous proposons donc une methode permettant de calculer la moyenne du rayondu cercle circonscrit dans un plan donne a partir de la matrice des PSD Φψ(ω).Le rayon du plus petit cercle circonscrit, dans le domaine temporel, peut etremathematiquement exprime par la relation

Ca = R = max0≤t≤T

√τ2u(t) + τ2

v (t) (4.17)

Fig. 4.2 – (a) Trajet decrit par l’extremite de τn(t) dans le plan ψ, (b) bande contenantle cercle de rayon r defini tel que−r < τu < r, (c) rotation optimale donnant le nombremaximum de passages par le niveau r avec une pente positive selon uθ

La Fig. 4.2.a illustre une exemple du trajet decrit par la pointe de la contrainte decisaillement ~τn(t) dans un plan ψ donne et pour un chargement gaussien observe


pendant une certaine duree T . Nous rappelons que le vecteur ~τn(t) est exprime dansle repere (~u,~v) et que ~τn(t) = (τu(t), τv(t))T .Le probleme que nous voulons resoudre est d’approximer E[R] en examinant les ca-racteristiques statistiques du vecteur gaussien (τu(t), τv(t))T , au lieu de generer ar-tificiellement des realisations du processus (τu(t), τv(t))T , de chercher pour chacuned’elle le rayon R et d’en estimer la moyenne. Pour cela, nous considerons le nombrede franchissements µ(r) du cercle de rayon r par l’extremite du vecteur ~τn(t) allantde l’interieur vers l’exterieur du cercle. Etant donne que les deux composantes de lacontrainte de cisaillement τu(t) and τv(t) ne sont pas independantes, il est difficile detrouver une formule analytique simple de µ(r). D’autre part, nous remarquons quela quantite µ(r) est superieure au nombre de passages par le niveau r avec une pentepositive observe sur chacune des composantes de la contrainte de cisaillement τu(t)ou τv(t) (Fig. 4.2.b), nombres de passages que nous notons respectivement Nu(r) etNv(r). Evidemment, pour chaque rotation d’un angle θ du repere (~u,~v) (Fig. 4.2.c),nous observons des valeurs differentes Nθ

u(r) et Nθv (r). Nous proposons alors d’ap-

proximer µ(r) par la plus grande valeur de Nθu(r)

µ(r) ≈ max0≤θ≤π

[Nθu(r)] (4.18)

Les composantes de la contrainte de cisaillement τθu(t) et τθv (t) dans le nouveau reperesont donnees par

(τθu(t)τθv (t)

)= Qθ

(τu(t)τv(t)

)(4.19)

ou

Qθ =(

cos θ − sin θsin θ cos θ

)(4.20)

Elles sont conjointement gaussiennes. Par consequent, plutot que de passer en revuetoutes les valeurs de θ afin de trouver celle pour laquelle Nθ

u(r) est maximum, nousutilisons la propriete selon laquelle le nombre de passages maximum par le niveau ravec une pente positive par τu(t) est associe a la direction θ pour laquelle la varianceσu de cette composante est maximale. Pour trouver cette direction specifique, nousconsiderons le vecteur (τu(t), τv(t)) caracterise dans le domaine frequentiel par lamatrice des PSD :

Φτ (ω) =(

Φuu(ω) Φuv(ω)Φvu(ω) Φvv(ω)

)(4.21)

A partir de cette matrice des PSD, nous pouvons calculer la matrice de convarianceΣ relative au processus vectoriel (τu(t), τv(t)) comme suit :


Σ =∫ +∞

−∞Φτ (ω)dω =

(σ2u ρuvσuσv

ρuvσuσv σ2v

)(4.22)

σ2u et σ2

v sont respectivement les variances des processus τu(t) et τv(t), et ρuv estle coefficient de correlation entre les deux variables. La direction de plus grande va-riance recherchee est ensuite donnee par la rotation Qθ, qui est determinee par ladiagonalisation de la matrice de covariance. Cette diagonalisation est exprimee par larelation

Σθ = QθΣQTθ = diag(σ21 , σ

22)

ou σ21 et σ2

2 sont les valeurs propres de la matrice Σ. Nous supposons que σ21 ≥ σ2

2 .σ2

1 est alors la variance maximale de τu(t) sur toutes les directions θ. Dans ce repereparticulier, la matrice des PSD des composantes de la contraintes de cisaillementsdevient

Φτ θ(ω) = Qθ Φτ (ω) QTθ (4.23)

Le plus grand nombre de passages a pente positive de τθu(t) par le niveau r, exprimepar l’eq. (4.18), peut ensuite etre estime a partir du premier terme diagonal de lamatrice Φτ θ(ω), que nous notons Φθu(ω).Ayant calcule la PSD Φθu(ω) du processus gaussien de moyenne nulle τθu(t), nousappliquons un resultat classique de la theorie des vibrations aleatoires permettant decalculer

E[R] = E[Ca] = E[ max0≤t≤T

τθu(t)] (4.24)

La formule que nous utilisons a ete proposee par Davenport [4] et permet d’estimer lamoyenne du plus grand extremum, autrement appele facteur de pic, atteint par τθu(t)sur la periode d’observation T , cette moyenne peut etre determinee comme suit :

E[ max0≤t≤T

τθu(t)] = σ1 F (N1) (4.25)

ou

F (N) =√

2 ln(N) + 0.5772/√

2 ln(N) (4.26)

N1 correspond au nombre de cycles moyen observe sur le processus τθu(t) pendant laduree T du chargement :


N1 = ν+0 T (4.27)

ou la frequence centrale ν+0 est donnee par le formule de Rice

ν+0 = Nθ

u(0) =1

2π

√m2

m0(4.28)

Cette eq. (4.25) represente alors une approximation fiable du rayon E[R] = E[Ca] quenous cherchons, en particulier dans le cas ou les deux composantes de la contrainte decisaillement sont fortement correlees. Pour de plus amples details sur la theorie desextrema des processus gaussiens, menant a l’eq. (4.25), le lecteur peut se reporter al’annexe B et aux ouvrages plus specialises de Leadbetter et al. [9] et Preumont [20].

4.3.3 Formulation frequentielle du critere

Le plan critique (γ∗, φ∗), defini comme le plan ou E[Ca] = E[R] ≈ σ1 F (N1) atteintsa valeur maximale, peut facilement etre determine en examinant tous les plans ψpassant par le point ou le tenseur des contraintes a ete calcule. Nous notons σ∗1 et N∗1les grandeurs σ1, N1 , que nous avons defini dans le paragraphe precedent, lorsqu’ellessont determinees pour le plan critique.Ensuite, l’esperance mathematique de l’amplitude de la contrainte normale a ce plans∗n(t) peut etre calculee comme suit

E[sna] ≈ σ∗n F (N∗2 ) (4.29)

ou, a nouveau, σ∗n =√m0 et ou N2 represente le nombre de cycles observe sur s∗n(t)

au cours de la periode d’observation du chargement. N2 peut facilement etre evalue apartir des eqs. (4.27) et (4.28). Les moments spectraux m0 et m2 apparaissant dans cesequations different de ceux calcules dans le paragraphe precedent, ils sont maintenantestimes a partir de la PSD Φnn(ω) du processus sn(t) pour le plan critique. CettePSD est exprimee par le premier terme diagonal de la matrice (4.16).Pour une periode d’observation T , nous aboutissons donc a la formulation du criterede Matake suivante :

σ∗1F (N∗1 ) + ασ∗nF (N∗2 )β

≤ 1. (4.30)

Nous avons donc obtenu, pour chacune des variables qui interviennent dans lecritere de Matake, a savoir l’amplitude de la contrainte de cisaillement et l’ampli-tude de la contrainte normale relatives au plan critique, deux processus scalairesgaussiens representatifs de ces grandeurs. Nous avons ensuite determine l’esperancemathematique de leurs valeurs extremes respectives sur la periode T .

4 Formulation frequentielle du Critere de Crossland 77

4.4 Formulation frequentielle du Critere de Cross-land

Nous avons choisi ce critere d’approche globale pour la simple raison qu’il est relati-vement aise d’en proposer une formulation frequentielle. Bien que ce critere ne soitpas parmi les plus performants, Papadopoulos et al. [16], Weber et al. [22] ont montrequ’il peut mener a des ecarts entre les donnees experimentales et les predictions allantde −30% et +15%.Par analogie a la demarche employee au paragraphe precedent, nous cherchons acalculer explicitement

E[g(sij(·), T )] =E[√J2,a] + αE[max p(t)]

β≤ 1 t ∈ [0, T ] (4.31)

a partir de la matrice de PSD Φs(ω) du tenseur des contraintes, en tout point de lastructure.

4.4.1 Premiere formulation frequentielle du critere

Le premier terme√J2,a apparaissant dans le critere de Crossland est proportionnel

a la contrainte de von Mises, comme nous le remarquons dans l’eq. (4.8). La premiereidee consiste donc a approximer cette variable en utilisant le processus aleatoire quenous avons appele contrainte equivalente de von Mises, voir Pitoiset & Preumont [18].Ce processus gaussien equivalent est defini dans le chapitre precedent au § 3.3.1 et saPSD est obtenue en combinant pour chaque frequence, les PSD des composantes dutenseur des contraintes selon la relation quadratique de von Mises :

Φc(ω) = Φsxsx(ω) + Φsysy (ω)−Re(Φsxsy (ω)) + 3Φsxysxy (ω) (4.32)

Comme precedemment, nous pouvons approximer l’amplitude du deuxieme invariantdu deviateur du tenseur des contraintes

√J2,a en cherchant la valeur extreme de la

contrainte de von Mises sc(t)

√J2,a ≈

1√3

maxt|sc(t)| =

1√3

maxt

√s2c(t) (4.33)

dont nous estimons l’esperance mathematique dans le domaine frequentiel

E[√J2,a] ≈ 1√

3σc F (2N1) (4.34)

ou σ2c est le moment spectral d’ordre 0 calcule a partir de Φc(ω) et N1 est evalue en

appliquant les eqs. (4.28) et (4.27) a cette meme PSD. Comme le montre l’eq. (4.34),


nous prenons en compte les extrema negatifs et positifs de sc(t) en compte, c’estpourquoi nous remplacons l’argument de la fonction F par le nombre de demi-cycles(2N1) observes sur le processus sc(t) pendant la duree T au lieu du nombre de cycles(N1).Ensuite, le deuxieme terme intervenant dans le critere est la pression hydrostatique,definie par l’eq. (4.10) comme etant une simple combinaison lineaire de sx(t) et sy(t),qui peut s’ecrire sous forme vectorielle :

p(t) = (1/3 1/3 0)T . s(t) (4.35)

La PSD Φp(ω) de ce processus peut alors etre calculee en appliquant la formulesuivante :

Φp(ω) = [1/3 1/3 0] Φs(ω) [1/3 1/3 0]T (4.36)

Pour ce dernier processus, σ2p est egal a l’integrale de la PSD Φp(ω) tandis que

le nombre de cycles N2 est a nouveau calcule a partir de Φp comme nous l’avonsdeja montre pour les differents processus precedents. Cette premiere approximationconsiste a dire que les contraintes restent dans l’espace de non-fissuration lorsque lechargement aleatoire periodique de duree T satisfait l’inegalite

σc F (2N1) /√

3 + ασpF (N2)β

≤ 1 (4.37)

en tout point de la structure. Une autre solution pour approximer√J2,a est appa-

rue en developpant la theorie permettant de resoudre le probleme du rayon du pluspetit cercle circonscrit. Cette deuxieme formulation, comme nous le verrons ci-apres,donne des resultats plus proches de ceux observes en appliquant la formulation tem-porelle initiale a des realisations du tenseur des contraintes obtenues par simulationsde Monte-Carlo. Le principe est toujours de construire un processus scalaire gaussiena partir duquel il est possible d’approximer

√J2,a, ce nouveau processus est toutefois

construit tout a fait differemment de Φc(ω).

4.4.2 Seconde formulation frequentielle du critere

Dans cette seconde proposition, nous conservons l’approximation de la valeur maxi-male de la pression hydrostatique. L’approximation de ce terme est tout a fait satis-faisante puisque nous ne faisons que definir la PSD d’un processus qui est gaussien, etevaluons son amplitude dans le domaine de Fourier. En revanche, le processus Φc(ω),que nous definissons comme un processus gaussien, est different du processus aleatoirenon gaussien defini dans le domaine temporel par von Mises. Nous ameliorons alorsla premiere proposition en proposant une meilleure estimation de E[

√J2,a], en pro-

posant le changement de variables

4 Formulation frequentielle du Critere de Crossland 79

x(t) =sx(t)√

2y(t) =

sy(t)√2

z(t) =sx(t)− sy(t)√

2w(t) =

√3sxy(t) (4.38)

nous obtenons

√J2,a =

1√3

max0≤t≤T

√x2(t) + y2(t) + z2(t) + w2(t) (4.39)

L’analogie avec l’eq. (4.17) est evidente,√J2,a peut etre considere comme etant egal

a R/√

3, ou R est defini comme le rayon de la plus petite hypersphere circonscriteau trajet complexe decrit par l’extremite du vecteur gaussien a quatre dimensionv(t) = (x(t), y(t), z(t), w(t))T , dont la matrice des PSD est notee Φv(ω) et dont lamatrice de covariance est notee Σ. Ces deux matrices peuvent etre facilement calculeesa partir de Φs(ω) et des definitions des variables donnee par les relations (4.38).Selon la procedure que nous avons developpee dans le paragraphe 4.2.4 pour calculerle rayon du plus petit cercle circonscrit, il est possible de trouver une matrice derotation Q telle que

x(t)y(t)z(t)w(t)

= Q

x(t)y(t)z(t)w(t)

(4.40)

Cette matrice de rotation peut etre definie de facon a maximiser la variance de x(t).Ce probleme revient a determiner la plus grande valeur propre σ2

1 de la matrice decovariance Σ definie par

D = QΣQT = diag(σ21 , σ

22 , σ

23 , σ

24) (4.41)

ou σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 ≥ σ4 (avec σ4 = 0 parce que x(t), y(t), z(t), w(t) sont quatre fonctionsexprimees a partir de trois processus differents, a savoir sx(t), sy(t) et sxy(t)). La PSDΦx(ω) est alors donnee par le premier terme de la diagonale de la matrice des PSDΦv(ω) obtenue, comme precedemment, grace a la formule suivante :

Φv(ω) = Q Φv(ω) QT (4.42)

Par analogie a l’eq. (4.34), nous avons alors

E[√J2,a] ≈ 1√

3σ1 F (2N1) (4.43)

avec N1 estime a partir de Φx(ω), le premier terme diagonal de Φv(ω), en appliquantles formules (4.27) et (4.28). Cette seconde approximation est donnee par l’inegalite :


σ1 F (2N1) /√

3 + ασpF (N2)β

≤ 1 (4.44)

4.5 Application a une structure simple

Les procedures decrites dans les paragraphes precedents ont egalement eteimplementees dans la ”toolbox” MATLAB, qui est utilisee comme post-processeurdu code elements finis SAMCEF. Les routines les plus couteuses en temps de cal-cul ont ete implementees en FORTRAN. Les calculs suivants ont ete realises surune station de travail DEC-alpha. La structure presentee Fig. 3.5 soumises a desaccelerations aleatoires aux encastremements est utilisee pour illustrer l’applicationdes deux criteres. L’acier constituant cette eprouvette est caracterisee en fatigue parsa limite d’endurance en traction alternee, f−1 = 252×106 Pa, et en torsion alternee,τ−1 = 182 × 106 Pa. La duree du chargement a ete fixee a T = 10 secondes, soitenviron 1500 demi-cycles. Dans le domaine temporel, g(sij(t), T ) a ete evaluee surcinq realisations du tenseur des contraintes comportant chacune 215 pas de temps.La moyenne E[g(sij(t), T )] a ensuite ete estimee a partir de ces cinq valeurs. Cesechantillons temporels ont ete generes en utlisant la methode de Monte-Carlo et l’al-gorithme de la FFT selon la procedure decrite dans l’annexe A.

4.5.1 Application du critere de Matake : domaines temporelet frequentiel

Les valeurs locales du critere de Matake obtenues dans le domaine temporel et dansle domaine frequentiel sont respectivement presentees a la Fig. 4.3.a et 4.3.b. Enmoyenne une difference de 0.04 est observee entre les resultats produits par les deuxformulations, la difference maximale atteinte sur tous les elements est 0.16. Nousnotons egalement que la formulation frequentielle est conservative par rapport auxresultats obtenus par les simulations de Monte-Carlo. En terme de temps de calcul, laformulation frequentielle permet de reduire le temps de calcul a 3 minutes contre 57heures dans le domaine temporel. Evidemment, ce temps de calcul depend fortementdu nombre de plans examines pendant la procedure de detection du plan critique, etce dans le domaine temporel comme dans le domaine de Fourier. La encore, afin dereduire le temps de calcul nous avons implemente la methodologie de recherche duplan critique presentee par Weber et al. [23] afin de minimiser le nombre de plansbalayes. Dans chaque element, nous avons observe une convergence de l’algorithmevers le plan critique en traitant entre 200 et 250 plans physiques.Les Figs. 4.4.a et 4.4.b montrent la valeur du rayon du plus petit cercle circonscritobtenue plan par plan (avec un increment de 5◦ sur les deux angles spheriques γ et φ),la matrice des PSD du tenseur des contraintes etant calculee dans l’element indiquea la Fig. 3.5. La Fig. 4.4.a a ete etablie en appliquant l’algorithme de recherche durayon du cercle circonscit dans le domaine temporel presente par Weber et al. [23] apartir des simulations de Monte-Carlo. La Fig. 4.4.b a ete etablie en appliquant la

4 Application a une structure simple 81

methode frequentielle presentee au § 4.2.4. Nous observons que les deux figures sonten excellent accord et que la methode frequentielle produit des valeurs legerementsuperieures de Ca que celles obtenues par les simulations temporelles. La differencesur l’amplitude de la contrainte de cisaillement entre les deux procedures est pourcet element en moyenne de 7 Mpa et atteint 15 MPa pour un des plans consideres.Toutefois, nous devons preciser que, dans le domaine temporel, E[g(sij(·), T )] a eteestime a partir de seulement 5 realisations du tenseur des contraintes.

Fig. 4.3 – Cartographie des valeurs locales du critere de Matake (a) simulations deMonte-Carlo (domaine temporel), (b) formulation frequentielle

4.5.2 Application du critere de Crossland : domaines temporelet frequentiel

La Fig. 4.5.a represente les valeurs locales du critere de Crossland estimees selonl’eq. (4.7) a partir des historiques du tenseur des contraintes simules artificiellement.La Fig. 4.5.b montre les valeurs obtenues directement apres l’analyse spectrale enappliquant l’eq. (4.44). Les deux cartographies sont quasi identiques. En moyenne,la difference sur la valeur calculee du critere entre la formulation temporelle et laformulation frequentielle donnee par l’eq. (4.44) est de 0.06, au lieu de 0.12 en appli-quant l’eq. (4.37). Sur tous les elements la difference maximale atteint 0.18 pour laformulation frequentielle la plus performante contre 0.33 en appliquant la premieresolution proposee. Les deux formulations frequentielles sont evidemment tres rapides,


Fig. 4.4 – Rayon du plus petit cercle circonscrit, plan par plan, en fonction de (γ, φ)dans l’element indique Fig. 3.5 : (a) simulations de Monte-Carlo (domaine temporel),(b) methode frequentielle

la cartographie de la Fig. 4.5 est etablie en 15 s dans le domaine spectral tandis quele calcul prend 6.2 heures dans le domaine temporel.

Fig. 4.5 – Cartographie des valeurs locales du critere de Crossland (a) simulations deMonte-Carlo (domaine temporel), (b) formulation frequentielle

4 Variabilite des directions des contraintes principales 83

4.6 Variabilite des directions des contraintes prin-cipales

Les resultats obtenus en appliquant les formulations frequentielles et les formulationstemporelles originales des deux criteres sont presentes plus precisement a la Fig. 4.6,element par element, dans les deux zones les plus endommagees qui sont indiquees parles lettres A et B aux Figs. 4.5.b et 4.3.b. En observant ces resultats, nous remarquonsqu’a l’encastrement les deux criteres donnent des resultats tres proches l’un de l’autre,contrairement a l’entaille ou le critere plan critique de Matake produit des valeurssuperieures a celles calculees en utilisant le critere de Crossland.Comme nous l’avons explique a la fin du chapitre precedent, la precision et la va-lidite des criteres de type plan critique ou ceux bases sur une approche globale estgeneralement liee a la variabilite des directions des contraintes principales au cours duchargement. Les approches de type plan critique sont plus performantes lorsque lesdirections des contraintes principales ont une orientation fixe dans l’espace, tandis queles criteres de type approche globale predisent bien l’amorcage lorsque les directionsprincipales tournent.Bien qu’un important travail experimental soit encore necessaire afin de verifier lescapacites predictives des differents criteres dans le cas de chargements aleatoiresperiodiques (cf. Papadopoulos et al. [16]), nous proposons de baser une premiereselection du type de critere a utiliser en fonction de la variabilite des directions princi-pales dans la zone de la structure consideree. Par consequent, afin de guider le concep-teur dans le choix d’un critere si celui-ci souhaite analyser les quelques elements lesplus endommages plus precisement, nous proposons un outil spectral qui permet decalculer la densite de probabilite de l’angle entre le repere local dans lequel le vec-teur s(t) est exprime et le repere des directions principales. Une procedure temporellecomplete visant a estimer les directions des contraintes principales sous chargementmultiaxial a ete developpee par Carpinteri et al. [1], mais aucune solution frequentiellede caracterisation de la variablilite des directions principales au cours du chargementn’a, a notre connaissance, encore ete proposee.La relation entre les composantes des contraintes du vecteur s = (sx, sy, sxy)T etl’angle entre le repere (~x, ~y) et le repere des directions principales peut facilement etreetablie a partir des proprietes du cercle de Mohr.

Cet angle, illustre a la Fig. 4.7, est donne par la relation

tan(2θ(t)) =2sxy(t)

sx(t)− sy(t)(4.45)

L’eq. (4.45) montre que l’angle θ(t) est une variable aleatoire, fonction de trois va-riables gaussiennes ; nous recherchons sa densite de probabilite. Pour cela, nous faisonsle changement de variables suivant :


Fig. 4.6 – Valeurs locales des crtiere de Matake et Crossland donnees element parelement dans les zones A et B indiquees a la Fig. 4.3 et 4.5 : domaine temporel (DT)et domaine frequentiel (DF)

Fig. 4.7 – Repere local et repere des contraintes principales

{y(t) = (sx(t)− sy(t))/2z(t) = sxy(t) (4.46)

4 Variabilite des directions des contraintes principales 85

L’eq. (4.45) devient alors tan(2θ(t)) = z(t)/y(t). Comme sx(t), sy(t) et sxy(t) sont desvariables gaussiennes de moyenne nulle, les variables y(t) et z(t) sont aussi gaussiennesde moyenne nulle ; leur densite de probabilite conjointe est donnee par :

pyz(y, z) =1

2πσyσz√

1− ρ2yz

exp(− 1

2(1− ρ2yz)

[ y2

σ2y

− 2ρyzyzσyσz

+z2

σ2z

])(4.47)

ou σy et σz sont respectivement les ecarts types des variables y(t) et z(t). ρyz est lecoefficient de correlation entre les deux variables. Les valeurs de σy, σz et ρyz peuventetre facilement calculees a partir de la matrice de covariance

Sij = E[ssT ] =∫ ∞−∞

Φs(ω)dω (4.48)

A partir de la definition (4.46) de y(t) et z(t), nous obtenons

σy = E[y2(t)] =√

(S11 + S22 − 2S12)/4σz = E[z2(t)] =

√S33

ρyz = E[y(t) . z(t)]/(σyσz) = (S13 − S23)/(2σyσz)

La densite de probabilite de u = tan(2θ) = z/y peut etre determinee comme suit. Enposant u = z/y et v = y, nous avons

puv(u, v) = pyz(v, uv)|det(J)| (4.49)

ou J = ∂(y, z)/∂(u, v) est le Jacobien de la transformation resultant du chargement devariables qui consiste a en remplacer y, z par u, v. Dans ce cas nous avons det(J) = |v|(voir par exemple Papoulis [17] pour de plus amples explications). En integrant l’ eq.(4.49) sur v, nous obtenons la densite de probabilite de u

pu(u) =∫ ∞−∞

pyz(v, uv)|v|dv =

√1− ρ2

yz

πσyσz(u2/σ2z − 2ρyzu/(σyσz) + 1/σ2

y)(4.50)

Il reste ensuite a revenir a θ, defini par la relation θ = arctan(u)/2. La densite deprobabilite de θ entre l’axe ~x du repere local et le repere des directions principalespeut finalement etre exprimee par l’egalite

pθ(θ) = pu(u)|∂u∂θ| =

2(1 + tan2(2θ))√

1− ρ2yz

πσyσz(tan2(2θ)/σ2z − 2ρyz tan(2θ)/(σyσz) + 1/σ2

y)(4.51)

ou ∂u/∂θ = 2(1 + tan2(2θ)).


Fig. 4.8 – Distribution de l’angle θ : comparaison entre observations et calcultheorique

La densite de probabilite de l’angle θ est representee a la Fig. 4.8 pour deux elementsde l’eprouvette en L. La courbe correspond a la distribution obtenue a partir del’eq. (4.51), alors que les histogrammes ont ete estimes a partir d’une realisation dutenseur des contraintes en appliquant l’eq. (4.45). Dans l’element #381 situe pres del’encastrement, la densite de probabilite p(θ) est caracterisee par un pic a θ = 0,montrant ainsi que le repere des directions principales a une orientation fixe pendantle chargement. Par contre, dans l’element #105 situe pres de l’entaille, la courberepresentant pθ(θ) montre que la distribution de l’angle est beaucoup plus ditribueeque dans la zone precedente et que les directions principales tournent ici davantageau cours du chargement.

4.7 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons propose des formulations frequentielles des criteres deMatake et de Crossland. Une telle demarche peut etre etendue a d’autres criteres al’avenir, meme si la resolution mathematique peut s’averer etre plus complexe pourcertains d’entre eux. Nous avons demontre que les variables les plus importantes enfatigue multiaxiale telles que l’amplitude de la contrainte de cisaillement et l’amplitudede la contrainte normale agissant sur un plan donne ainsi que les amplitudes desinvariants du tenseur des contraintes et de son deviateur peuvent etre calculees dansle domaine frequentiel, directement apres une analyse spectrale de la structure parelements finis. Cette partie est une des principales contributions de ce travail.Les simulations de Monte-Carlo ont permis de comparer les formulations frequentiellesproposees aux definitions initiales des criteres, formules par leurs auteurs dans ledomaine temporel. Il apparait que les approximations frequentielles donnent de tres

4 Conclusion 87

bons resultats tout en permettant de reduire de plusieurs ordres de grandeur les tempsde calcul.D’apres les differents resultats experimentaux presentes dans la litterature, les criteresde type plan critique predisent l’amorcage avec precision dans le cas ou les contraintesprincipales ont une orientation fixe pendant le chargement. L’observation inverse a etefaite pour les criteres d’approche globale. L’evolution des directions des contraintesprincipales peut donc eventuellement orienter le choix du critere a utiliser lorsque leconcepteur veut analyser une zone precise de la structure. Par consequent nous avonsdeveloppe un outil spectral permettant de caracteriser tres rapidement la variabilitedes directions principales a partir de la matrice des PSD du tenseur des contraintes.


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Chapitre 5

Analyse en fatigue dudivergent du moteur Vulcaind’Ariane V

5.1 Introduction

Comme nous l’avons mentionne dans le chapitre d’introduction, de nombreux secteursde l’industrie appliquent l’analyse spectrale afin d’etudier la reponse des structuresaux sollicitations aleatoires. Les methodes frequentielles de prediction de duree de vieexistantes en fatigue uniaxiale commencent egalement a etre assez largement utilisees.Nous pouvons relever quelques exemples dans la litterature recente comme :– le dimensionnement de bras de suspensions pneumatiques de cabines de camions

realise par Fu & Cebon [2] lorsque le vehicule est soumis a des deplacementsaleatoires refletant la rugosite de la route (voir egalement Morril et al. [7]),

– le calcul en fatigue du fuselage d’un avion soumis a des turbulences atmospheriques(Laudanski [6]),

– ou encore l’estimation de l’endommagement sur une coque de bateau soumise auxvagues (Folsø [1]).

Dans ce chapitre, nous appliquons les methodes developpees precedemment a l’analyseen fatigue du divergent du futur moteur Vulcain II d’Ariane V (Pitoiset et al. [8]).Le modele elements finis (SAMCEF) ainsi que les donnees concernant l’excitation ontete fournis par SNECMA-Moteurs. Pour des raisons de confidentialite, nous utilisonsdans ce qui suit les caracteristiques d’un materiau fictif, les resultats presentes n’ontdonc aucune valeur en terme de prediction de la duree de vie reelle de la structure.Apres la presentation de la tuyere divergente du moteur et du chargement (§ 5.2), nousdecrivons les resultats de l’analyse modale puis de l’analyse spectrale. Nous appliquonsensuite les methodes de calcul de duree de vie de la contrainte equivalente de von Miseset du rainflow multiaxial (§ 5.3). Nous constatons que les deux methodes donnentdes resultats tres proches. Nous analysons ensuite la variabilite des directions des

92 5. Analyse en fatigue du divergent du moteur Vulcain d’Ariane V

contraintes principales a deux endroits de la structure. Constatant que le chargementest uniaxial dans la zone la plus sollicitee, nous comparons les resultats obtenus lors dela premiere analyse a des simulations rainflow. Enfin, nous utilisons les formulationsfrequentielles des criteres de Matake et Crossland afin de voir dans quelles zonesles contraintes induites par les vibrations aleatoires restent en dessous de la limited’endurance du materiau hypothetique choisi (§ 5.4) pendant la duree d’application duchargement. Cette analyse complete permet de demontrer que la ”toolbox MATLAB”que nous avons developpee permet de traiter des modeles de grande taille. La rapiditedes calculs met en evidence la possibilite de coupler l’analyse en fatigue a des routinesd’optimisation afin de reduire la masse de telles structures tout en assurant la dureede vie requise.

5.2 Presentation de la structure et definition duchargement

Le moteur Vulcain assure la propulsion de l’etage principal cryotechnique du lan-ceur europeen Ariane V. Il utilise le couple d’ergols hydrogene/oxygene liquides. Cesdeux ergols sont injectes dans la chambre de combustion au moyen de turbopompes.L’energie thermique produite dans la chambre de combustion est alors transformeeen energie cinetique grace a l’effet d’une tuyere convergente-divergente qui comprimepuis ejecte les gaz chauds a grande vitesse. C’est cette tuyere divergente que nousetudions dans ce chapitre. Elle est situee au centre du lanceur, sous l’etage principalet entre les deux propulseurs a poudre comme le montre la Fig. 5.1

Fig. 5.1 – Ariane V et moteur Vulcain

5 Presentation de la structure et definition du chargement 93

Le divergent est donc soumis a plusieurs chargements induisant un endommagementpar fatigue. Le premier est du a l’environnement acoustique resultant du bruit generepar les propulseurs a poudre, notamment sur la table de lancement. Ce probleme a faitl’objet d’une premiere etude par Kernilis et al. [4]. Le chargement que nous etudionsdans ce chapitre est le ”buffeting”, il resulte de l’impacte de l’ecoulement turbulent del’air le long du lanceur pendant la phase transsonique du vol (voir James et al. [3]). Ilse produit 20 s apres le decollage et dure environ une minute. Ce chargement est ca-racterise par un champ de pression aleatoire basse frequence decrit par des niveaux depression et des lois de correlations spatiales. La bande de frequences de ce chargements’etend de 1 Hz a 80 Hz. Il s’applique a la surface externe du moteur dont le divergentde la tuyere. Les specifications du buffeting ont ete etablies par Aerospatiale, archi-tecte industriel du lanceur, a partir d’essais en soufflerie. Les correlations entre lesexcitations en deux points de la surface du divergent sont determinees en fonction dela taille des tourbillons et de leur vitesse de convection. Les mesures montrent quela fonction de correlation entre deux points separes par une distance xl, situes surune droite longitudinale et dans le sens de l’ecoulement, presente des pics separes parun delai τ = xl/Ul. Ce delai correspond au temps mis par le tourbillon pour parcou-rir la distance xl a la vitesse de convection longitudinale Ul. Les mesures montrentegalement que la decroissance de ces pics est exponentielle, comme le montre la Fig.(5.2).

Fig. 5.2 – Fonction de correlation pour differentes distances dans la direction del’ecoulement


Ces resultats menent a une fonction de correlation classique du type :

R(xl, τ) = R0(τ − xl/Ul)e−α|xl| (5.1)

ou R0(τ) est la fonction d’autocorrelation du champs de pression en chaque pointde la surface et l’argument (τ − xl/Ul) prend en compte la vitesse de convection. Latranformee de Fourier de l’eq. (5.1) mene a une PSD du type :

Φ(xl, ω) = Φ0(ω)e−jωxl/Ule−α|xl| (5.2)

Des lois de ce type, mais prenant egalement en compte l’ecoulement circonferentiel,ont donc ete adoptees, et les coefficients ont ete determines sur la base des essais ensoufflerie.

Fig. 5.3 – Maillage du divergent et modelisation simplifiee de la partie superieure dumoteur

Le maillage du modele elements finis de la structure est represente a la Fig. 5.3.Un modele simplifie de la partie superieure du moteur a ete ajoute a la tuyere afind’obtenir les modes de pendulage reels du moteur fixe a l’etage principal. Nous avonsdonc modelise la chambre de combustion fixee a la bride superieure (voir Fig. 5.3)

5 Presentation de la structure et definition du chargement 95

de la tuyere par un corps rigide, puis ajoute une masse concentree egale a la massedu moteur sans divergent au centre de gravite de celui-ci, represente par le point G.Enfin, la fixation de l’ensemble a l’etage principal de la fusee est modelisee par unensemble de verins et de rotules, comme le montre egalement la Fig. 5.3. Le modelecomprend 7432 elements, la tuyere divergente est constituee de 5686 elements de typecoque pour un nombre total de 34588 degres de liberte.Le maillage elements finis d’une structure est essentiellement lie a la representation dela raideur de celle-ci. En revanche, la definition du chargement ne necessite pas d’appli-quer une PSD a chaque noeud de ce maillage. En pratique, le maillage de l’excitationest alors defini par un maillage regulier, qui est un sous-ensemble du maillage elementsfinis. Ce maillage couvre toute la surface sollicitee. Une representation schematiquede ce principe est illustre a la Fig. 5.4. Par consequent, la force attribuee a un noeudspecifique est obtenue en multipliant la pression par l’aire de la surface de l’elementqui entoure ce noeud. Ce probleme complexe, pour une geometrie comme celle dudivergent, est discute dans Kernilis & James [5].

Fig. 5.4 – Maillage du champs de pression aleatoire et maillage elements finis

Enfin, le dernier probleme a considerer est l’influence de la taille des elements dumaillage d’excitation sur la convergence de l’analyse spectrale. Generalement, les deuxconditions de convergence a respecter (voir Preumont [9]) sont les suivantes :– la taille des elements du maillage de l’excitation doit etre, d’une part, largement

inferieure aux longueurs d’ondes des modes se trouvant dans la bande de frequencesde l’excitation (cf. deformee modale de la Fig. 5.5) ;

– elle doit etre largement inferieure a la longueur de correlation de l’excitation (cf.Fig. 5.2)

En respectant ces regles, les elements du maillage du chargement font entre 8 et20 cm de cote, ce qui represente entre 30 et 70 noeuds par circonference et 15 a20 positions longitudinales. 633 noeuds sont donc excites selon leur trois degres deliberte de translation. Cette matrice hermitienne des PSD d’excitation de 633 × 633est donnee pour 8 frequences dans la bande d’excitation. Ces PSD sont constantesentre deux frequences de controle.


5.3 Analyse modale et analyse spectrale

Les modes propres de la structure sont des modes de pendulage, de torsion et de flexionse produisant respectivement a 11, 15, 40 et 61 Hz. Entre ces modes de pendulageviennent s’intercaler des modes de la tuyere divergente, dont 2 modes d’ovalisation setrouvant tous les deux environ a 20 Hz, leur deformee modale est representee a la Fig.5.5.a, et deux autres modes de frequence egale a 44 Hz, qui ont une deformee modaleen forme de trefle, comme le montre la Fig. 5.5.b. L’amortissement modal pour les 9modes est de 1%. De plus, l’analyse modale permet d’obtenir les deformees modalesaux degres de liberte excites, ainsi que les masses modales permettant le calcul desmatrices de transfert entre l’excitation et la reponse. L’analyse spectrale, telle qu’elleest detaillee dans Preumont [9], permet alors de calculer les matrices de PSD descontraintes en chaque noeud du modele, mais nous calculons ici la matrice des PSDdu tenseur moyen des contraintes dans chaque element.

Fig. 5.5 – Deformees modales du divergent : (a) ovalisation (20 Hz), (b) 3 lobes(trefle) (44 Hz)

5.4 Analyse en fatigue

L’analyse en fatigue est realisee pour la partie basse du divergent, situee sous letore d’injection. Cette partie est constituee d’un materiau unique et a ete jugee parSNECMA-Moteurs comme etant la plus sollicitee en terme de fatigue. La courbede Wohler de ce materiau a donc ete etablie. Afin de ne pas donner d’informations

5 Analyse en fatigue 97

confidentielles, nous utilisons ici les caracteristiques d’un materiau fictif et supposonsque les constantes de l’equation de Basquin Nsβ = C sont les suivantes : β = 7 etC = 5× 1019, la contrainte s etant exprimee en MPa. Ces constantes sont proches decelles rencontrees pour un alliage d’aluminium et nous supposons egalement que cemateriau fictif presente une limite d’endurance en traction alternee f−1 = 170 MPaatteinte apres N = 2× 106 cycles ainsi qu’une limite d’endurance en torsion alterneeτ−1 = 130 MPa atteinte egalement au bout de N = 2× 106 cycles.

5.4.1 Application des methodes spectrales de prediction deduree de vie

Les Figs. 5.6.a et 5.6.b montrent les cartographies de l’endommagement sur la jupeinferieure de la tuyere divergente etablies respectivement dans le domaine frequetielselon la methode de la contrainte equivalente de von Mises et la methode du rainflowmultiaxial. L’echelle de couleur correspond au logarithme du dommage par unite detemps. La partie la plus endommagee se situe en bordure de la structure ou les condi-tions limites imposent un etat de contraintes uniaxial. Les deux methodes detectent lememe element critique et donnent des resultats tres proches lorsque nous comparonsles deux cartographies. La duree de vie calculee est de 65 heures pour la methode dela contrainte equivalente de von Mises contre 56 heures pour la methode du rainflowmultiaxial. La proximite des resultats provient du fait que l’element critique presenteun etat de contrainte uniaxial. Enfin, nous obtenons des temps de calculs de 3 minutesen utilisant la premiere methode contre 11 minutes en appliquant la seconde.

Fig. 5.6 – Cartographie du dommage sur la jupe inferieure du divergent : (a) methodede la contrainte equivalent de von Mises, (b) methode du rainflow multiaxial


Fig. 5.7 – Variabilite des directions principales : (a) dans l’element critique, (b) dansun element sous le tore d’injection

Nous notons que dans l’element le plus endommage, les ecarts types des contraintessx(t), sy(t) et sxy(t) prennent respectivement les valeurs σx = 4 MPa, σy = 77 MPaσxy = 2 MPa, ce qui montre que sy(t) est evidemment largement predominant. La Fig.5.6 montre que le dommage est tres faible dans la zone centrale et augmente legerementen se rapprochant du tore d’injection. Evidemment, comme le prouve la Fig. 5.7.a, lesdirections principales ont une orientation fixe au cours du chargement dans l’elementle plus critique. Par contre, dans la zone la plus sollicitee situee sous le tore d’injection,les ecarts types des contraintes sx(t), sy(t) et sxy(t) sont σx = 19 MPa, σy = 17 MPaσxy = 7 MPa. La variabilite des directions des contraintes principales y est, d’apresla Fig. 5.7.b, beaucoup plus importante.

Fig. 5.8 – Realisation de la contrainte sy(t) dans l’element le plus endommage etmatrice rainflow correspondante

Des simulations rainflow de la contrainte sy(t) agissant au niveau de l’element le plusendommage peuvent facilement etre realisees afin de raffiner les predictions de dureede vie. Ce processus a une frequence centrale ν+

0 = 25 Hz et un facteur d’irregulariteγ = 0.758. Une dizaine de realisations du processus presentant 32768 pas de temps

5 Analyse en fatigue 99

pour une duree d’observation de 65 secondes ont ete generees. La duree de vie moyennecalculee est alors de 69 heures. Nous notons que les deux formulations frequentiellesproduisent de tres bonnes approximations de la duree de vie et sont legerement conser-vatives par rapport aux simulations rainflow. La Fig. 5.8 illustre une realisation dela contrainte sy(t) pendant 2 s ainsi que la matrice rainflow correspondante a cechargement.

5.4.2 Application des formulations spectrales des criteresd’endurance

Les Figs. 5.9.a et 5.9.b representent la cartographie des valeurs locales des criteresrepectifs de Matake et de Crossland. Les deux cartographies ont ete calculees a partirdes formulations frequentielles des deux criteres pour une duree d’observation duchargement d’une minute ce qui correspond a la duree pendant laquelle le chargementest applique au cours d’un vol. Nous remarquons que les contraintes induites parles vibrations depassent la limite d’endurance en fatigue multiaxiale du materiaufictif uniquement sur la couronne inferieure de la tuyere. Les deux criteres detectentle meme element critique que les methodes de calcul de duree de vie precedentes.Les temps de calcul mesures sont de 7 minutes pour l’application de la formulationfrequentielle du critere de Crossland contre 16 minutes en utilisant la formulationfrequentielle du critere de Matake.

Fig. 5.9 – Cartographie des valeurs locales de criteres d’endurances sur la jupeinferieure du divergent (formulations frequentielles) : (a) critere de Matake, (b) criterede Crossland


Si nous analysons plus precisement l’element critique, nous trouvons une valeur localedu critere de Crossland de 1.84, contre 1.85 pour le critere de Matake. Dans l’elementle plus sollicite situe sous le tore d’injection, les criteres d’endurance produisent desvaleurs voisines de 0.5.

5.5 Conclusion

Nous avons applique les methodes frequentielles de calcul de duree de vie (methode dela contrainte equivalente de von Mises et methode du rainflow multiaxial) a un modeleelements finis de grande taille. En utilisant, pour des raisons de confidentialite, lescaracteristiques en fatigue d’un materiau hypothetique, nous avons demontre la fai-sabilite de ce type de calcul en post-traitement de l’analyse spectrale d’une structurepar elements finis, en utilisant les fonctions implementees dans la toolbox MATLABdeveloppee pendant cette these. Nous remarquons que les deux methodes produisentdes resultats identiques. L’application des formulations des criteres d’endurance (deCrossland et de Matake) permettent au concepteur de verifier si les contraintes in-duites par les vibrations restent en dessous de la limite d’endurance du materiau choisipendant la duree du chargement. Le temps de calcul tres performant que necessitece type de methode permet d’envisager une optimisation en fatigue de modeles degrande taille.

BIBLIOGRAPHIE 101

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Chapitre 6

Quelques perspectives

6.1 Introduction

Le principal interet des methodes spectrales est de fournir une premiere estima-tion qualitative rapide et correcte de l’endommagement sur des structures completeslorsque celles-ci sont soumises a des chargement aleatoires multiaxiaux. Dans ce cha-pitre nous presentons quelques perspectives d’applications des methodes que nousavons developpees au cours de notre recherche.Dans la premiere application, nous utilisons un dispositif d’amortissement actif desvibrations afin d’augmenter la duree de vie de la structure. En effet, si nous pre-nons l’exemple d’un chargement unixial aleatoire, le dommage produit par un cyclede contrainte d’amplitude s est proportionnel a sβ , β etant une caracteristique dumateriau (5 < β < 20). L’introduction d’un amortissement des vibrations qui a poureffet de diminuer l’amplitude des contraintes induites par celles-ci, a l’aide de cap-teurs, d’actionneurs et d’une electronique de controle, peut donc etre un moyen efficacede lutte contre l’endommagement par fatigue. Les methodes spectrales sont utiliseesdans ce cas pour etudier et quantifier l’effet de notre dispositif d’amortissement actifsur la duree de vie. Cette application des capteurs et actionneurs piezoelectriquesa d’ailleurs deja ete envisagee pour resoudre un probleme d’amorcages de fissures al’encastrement d’une derive d’avion de chasse soumise au ”buffeting”, comme l’ontmontre Bogue et al. [1].Dans la deuxieme partie de ce chapitre, nous couplons les methodes spectrales d’ana-lyse en fatigue multiaxiale aleatoire a des routines d’optimisation structurale. Le pro-cessus d’optimisation est iteratif et necessite, a chaque iteration, l’estimation de lasensibilite d’un resultat, comme la duree de vie, par rapport a la variation d’un pa-rametre du modele, comme l’epaisseur d’un composant de la structure. Le nombred’iterations necessaire peut etre tres eleve dans le cas de problemes complexes. Larapidite des methodes spectrales rend alors possible ce processus iteratif couteux entemps de calcul.Ces deux parties sont illustrees a l’aide d’une structure simple qui est ici une plaquesimplement appuyee et soumise a une excitation ponctuelle aleatoire.

104 6. Quelques perspectives

6.2 Amortissement actif contre fatigue aleatoire

Les structures actives sont munies de capteurs, d’actionneurs et d’une loi de controlepermettant de determiner la consigne envoyee aux actionneurs par un filtrage desmesures realisees par les capteurs. Lorsque les capteurs et actionneurs sont integresa la structure, celle-ci est dite ”intelligente”. Dans l’exemple que nous traitons, nousutilisons des ceramiques piezo-electriques comme capteurs et actionneurs. Le couplageelectro-mecanique que presentent ces materiaux est utilise pour le controle. En effet,en se deformant sous l’effet de l’excitation, la structure impose une deformation aucapteur piezo-electrique. Celui-ci genere alors une tension electrique proportionnellea la deformation qu’il subit. Ce signal est mesure et injecte dans l’algorithme decontrole. En sortie, le controleur envoie une consigne sous forme de tension aux bornesde l’actionneur visant a lui imposer une deformation afin d’amortir les vibrations dela structure. La theorie sur le controle des vibrations est presentee dans Preumont [4].

6.2.1 Description de la structure

A titre d’exemple, nous considerons une plaque simplement appuyee sur ces quatrecotes et soumise a une force ponctuelle aleatoire. La PSD de cette force est illustree a laFig. 6.1. La plaque de 1.1 mm d’epaisseur est en acier. Les caracterisques du materiauen traction alternee sont donnees par les coefficients de l’equantion de Basquin :β = 9.8 et C = 4.0641× 1088, l’amplitude de la contrainte s(t) etant exprimee en Pa.

Fig. 6.1 – Plaque simplement appuyee soumise a une force ponctuelle aleatoire,deformees modales : (a) mode 1 (b) mode 5

Dans ces conditions, les premier et cinquieme modes de la structure, dont les deformeessont illustrees a la Fig. 6.1, sont excites. Deux ceramiques piezo-electriques sont colleessur la plaque, comme l’indique egalement la Fig. 6.1. 1500 elements coques ont ete

6 Amortissement actif contre fatigue aleatoire 105

utilises pour la discretisation dans le modele elements finis. Les capteurs et action-neurs piezo-electriques sont modelises par des elements coques de type lamines piezo-electriques, mis au point au laboratoire par Piefort & Preumont [3].

6.2.2 Conception d’un controleur multi-mode PPF

Grace a la modelisation par elements finis des capteurs et actionneurs piezo-electriques, nous avons directement acces a la fonction de transfert entre la tension aucapteur et la tension a l’actionneur. Cette fonction de transfert est necessaire pour laconception de tout controleur. Le systeme complet constitue de la structure equipeedes ceramiques piezo-electriques est alors modelise sous formes d’equations d’etats,que nous obtenons directement par un post-traitement suite a une analyse statiqueet dynamique de la structure.Nous choisissons dans notre exemple un controleur ”Positive Position Feedback”(PPF), qui consiste en un ou plusieurs filtres du second ordre amortis. Le controleuragit alors sur le mode de vibration de la structure dont la frequence est la plus prochede la frequence du filtre. Un reglage de la frequence du PPF permet de cibler un modeparticulier de la structure. La mise en parallele de plusieurs PPF permet egalementd’amortir differents modes a differentes frequences.

sans controle PPF5 PPF1 PPF5+PPF1

mode ξ ω (Hz) ξ ω (Hz) ξ ω (Hz) ξ ω (Hz)1 0.020 73 0.020 73 0.049 74 0.059 732 0.020 131 0.024 128 0.021 118 0.025 1303 0.020 228 0.048 213 0.020 230 0.048 2144 0.020 235 0.020 233 0.020 235 0.020 2345 0.020 293 0.048 275 0.020 294 0.049 275

Tab. 6.1 – Amortissements et decalages des frequences obtenus suite au controle actif

Nous evaluons d’abord le dommage par unite de temps calcule en appliquant lamethode spectrale de la contrainte equivalente de von Mises decrite au chapitre 2sur la structure non controlee. L’analyse spectrale est alors realisee avec 2% d’amor-tissement sur les 5 modes. La cartographie obtenue est illustree a la Fig. 6.2.a. Nousevaluons ensuite les poles et les zeros de la structure soumise uniquement a l’actionde la paire de PPF agissant sur le cinquieme mode de la plaque. Nous determinonsle gain g5. En fermant la boucle de controle agissant sur le cinquieme mode, nousobtenons alors des nouveaux amortissements modaux. L’analyse spectrale est main-tenant realisee avec ces nouveaux amortissements donnes dans le tableau 6.1. Nousconsiderons que les frequences propres de la structure et les deformees modales restentconstantes. La cartographie du dommage correspondante est illustree a la Fig. 6.2.b.La meme demarche est adoptee pour controler uniquement le premier mode, l’amor-tissement de ce dernier donne une repartition de l’endommagement sur la plaque


Fig. 6.2 – Cartographie du dommage par unite de temps selon la methode de lacontrainte equivalente de von Mises : (a) sans amortissement (b) avec amortissementdu mode 5 (c) avec amortissement du mode 1 (d) avec amortissement des deux modes

indiquee a la Fig. 6.2.c.Nous passons maintenant a l’amortissement des deux modes simultanement. Commel’a montre Loix [2], il est preferable de proceder a une fermeture sequentielle desboucles de controle en commencant par le PPF dont la frequence est la plus elevee,comme l’illustre la Fig. 6.3. Nous evaluons donc d’abord le lieu des poles et des zerosde la structure soumise a la paire de PPF agissant sur le cinquieme mode, determinonsle gain g5, puis nous evaluons le lieu des poles et des zeros de la structure partiellementcontrolee et soumise a l’action d’une seconde paire de PPF ciblant le premier mode.Nous determinons le gain g1 et les nouveaux amortissements modaux, indiques dansle tableau 6.1.L’analyse spectrale suivie de l’evaluation de l’endommagement permettent de pro-duire la cartographie representee a la Fig. 6.2.d. Comme le montrent ces resultats,le controle actif est un moyen de reduire considerablement l’endommagement parfatigue des structures flexibles soumises a des vibrations aleatoires. L’effet de l’amor-tissement actif des deux modes de vibration excites sur les PSD des contraintes dansun element particulier est illustre a la Fig. 6.4. Comme nous pouvons le remarquer,

6 Optimisation contre fatigue aleatoire 107

l’amortissement des deux modes permet de diminuer consideralement l’amplitude descontraintes normales et de cisaillement.

Fig. 6.3 – Fermeture sequentielle des deux boucles

Le tableau 6.2 met en evidence que la duree de vie de la structure est multiplieerespectivement par 3 ou par 4, au moyen de l’amortissement du cinquieme ou dupremier mode. Un amortissement actif des deux modes excites permet de multiplierla duree de vie par 160 !

sans controle PPF5 PPF1 PPF5+PPF1

duree de vie 10 h 30 h 43 h 1600 h

Tab. 6.2 – Resultat des simulations donnant les augmentations de duree de vie enfonction de l’amortissement actif

6.3 Optimisation contre fatigue aleatoire

La rapidite des methodes spectrales, pour une analyse en fatigue multiaxiale aleatoire,permet egalement d’appliquer differents types d’analyses iteratives telles que lesetudes parametriques, l’optimisation, ou encore des plans d’experiences a un modelestructural donne. Le modele elements finis est alors parametre et selon la nature del’analyse choisie, les parametres sont modifies d’une iteration a l’autre et les resultatsde l’analyse sont extraits a chaque boucle. Ce type de processus est illustre par leschema de la Fig. 6.5. Pour realiser ce type d’etude, nous avons utilise le logicielBOSS QUATTRO deja interface avec la plupart des modules du code elements finisSAMCEF.Dans ce paragraphe, nous realisons une etude parametrique suivie d’une optimisationde la plaque simplement appuyee presentee precedemment. Celle-ci est excitee ponc-tuellement, comme le montre la Fig. 6.1, en appliquant la PSD indiquee sur cettememe figure tronquee ici a 753 rad/s (120 Hz) afin d’obtenir uniquement une reponsedu premier mode de vibration. Les parametres du modele sont des epaisseurs, er etep, affectees a deux domaines distincts de la plaque, comme le montre la Fig. 6.6.L’acier qui constitue la plaque presente des limites d’endurances en traction alternee


Fig. 6.4 – PSD des composantes du tenseur des contraintes dans un element particu-lier sans amortissement puis avec amortissement

Fig. 6.5 – Etude parametrique ou optimisation : schema de principe

et torsion alternee respectives, f−1 = 252 MPa et τ−1 = 182 MPa, se produisant apresN = 2× 106 cycles.Nous choisissons alors d’etudier le domaine de conception allant pour les deuxepaisseurs de 1.1 mm a 2.2 mm avec un increment de = 0.1 mm. Les valeurs localesdu critere de Crossland ont ete calculees en appliquant la formulation frequentielledu critere proposee au chapitre 4 pour une duree d’observation T d’une heure. Nousetudions alors la masse de la structure ainsi que la valeur maximale atteinte par lecritere de Crossland sur toute la structure en fonction des epaisseurs er et ep. La Fig.6.7 montre les resultats de l’etude parametrique, mettant en evidence un optimum au

6 Optimisation contre fatigue aleatoire 109

Fig. 6.6 – Definition des deux parametres du modele

point A, point pour lequel le maximum du critere se situe juste a la limite d’endurancedu materiau, gCR = 1, pour une masse minimale de la plaque. La courbe d’iso-valeurgCR = 1 est indiquee sur la figure, ainsi que deux droites d’iso-masses. Les points B etC indiques sur la meme figure et situes sur la courbe d’iso-valeur gCR = 1 represententrespectivement le point ou la plaque est d’epaisseur uniforme et le point pour lequella masse de la plaque est la plus grande. Pour les trois points A, B et C, la plaquene presente, en theorie, pas d’amorce de fissure avant N = 2 × 106 repetitions d’unchargement periodique aleatoire d’une duree d’une heure.

ep (mm) er (mm) f1 (Hz) m (kg)A 1.7 1.9 111 0.72B 2.2 1.4 115 0.82C 1.8 1.8 113 0.76

Tab. 6.3 – Resultats pour les points A, B et C indiques a la Fig. 6.7

Le tableau 6.3 montre les valeurs de la masse et de la frequence du premier mode aces trois points particuliers du domaine de conception. Les cartographies des valeurslocales du critere de Crossland correspondantes sont representees a la Fig. 6.8.Les algorithmes classiques d’optimisation implementes dans BOSS QUATTRO, voirRemouchamps & Radovcic [5], permettent de trouver cet optimum du domaine deconception relativement facilement. La Fig. 6.9 montre la convergence de l’algorithmed’optimisation appele ”globally convergent method”, propose par Svanberg [6], lorsqueep et er sont au depart fixes respectivement a 1.1 mm et 2.2 mm. Pour cela, nousdefinissons une fonction objective des deux parametres ep et er, a savoir dans notrecas la masse de la plaque, fonction que nous souhaitons minimiser. Simultanement,il est possible de fixer des contraintes, c’est-a-dire des limites qui ne doivent pas etreexcedees par l’une des reponses. La contrainte pour ce probleme consiste a imposerun maximum sur tous les elements au critere, telle que gCR(sij(t), T ) ≤ 1, pourT = 3600 secondes. Le but est donc de minimiser la masse toute se placant a la limite


d’endurance du materiau dans la zone critique de la structure pour une excitationaleatoire donnee. Le domaine de conception est defini par les limites imposees auxdeux parametres, les deux epaisseurs, qui peuvent varier ici de 1.1 mm a 2.2 mm.

Fig. 6.7 – Etude parametrique de la structure

Fig. 6.8 – Cartographies relatives aux points A, B et C indiques a la Fig. 6.7

6 Conclusion 111

Nous observons a la Fig. 6.9 que l’algorithme converge, apres 30 a 40 iterations, versle point A du domaine de conception indique a la Fig. 6.7.

Fig. 6.9 – Evolution et convergence : (a) de la masse de la plaque, (b) du maximumsur tous les elements de la valeur locale du critere de Crossland, (c) des epaisseurs epet er

6.4 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons montre deux applications possibles des methodes spec-trales en fatigue multiaxiale aleatoire. Dans le premier cas, nous avons applique lesmethodes spectrales de prediction de duree de vie pour evaluer rapidement l’effet d’uncontrole actif sur la durabilite de la structure. La rapidite des methodes spectralesnous a permis de concevoir virtuellement un controleur. Dans la deuxieme partie,nous avons applique la formulation frequentielle d’un critere d’endurance en fatigue


multiaxiale aleatoire a un modele structural parametre. La rapidite de la formulationfrequentielle a rendu possible la realisation d’une etude parametrique du modele etson optimisation. Des etudes equivalentes auraient ete tres difficiles a realiser dans ledomaine temporel, a partir de realisations artificielles du tenseur des contraintes danschaque element fini du modele de la structure.

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Chapitre 7

Conclusions

Le premier chapitre nous a permis de faire le point sur les methodes de prediction deduree de vie applicables a des pieces soumises a un chargement uniaxial aleatoire. Nousavons d’abord presente la methode temporelle actuellement la plus generalement ac-ceptee. Elle est basee sur une decomposition du signal complexe en cycles elementairesde contrainte dont l’amplitude et la moyenne sont connues. Le dommage produit parchacun des cycles extraits est ensuite calcule a partir de la courbe de Wohler et dudiagramme de Haigh du materiau. La loi de cumul lineaire du dommage proposeepar Palmgren-Miner est ensuite appliquee afin de predire la duree de vie de la piecesoumise a la sequence de chargement consideree. Cette loi de cumul est, d’apres lalitterature, valable dans le cas des chargements aleatoires stationnaires. La deuxiemepartie du chapitre presente les methodes spectrales developpees pendant ces dernieresdecennies. Des simulations de Monte-Carlo d’echantillons temporels de la contrainteont permis de comparer leurs performances respectives par rapport au comptage rain-flow et cumul lineaire effectues dans le domaine temporel, a partir de differentes formesde spectres de diverses largeurs de bande. La conclusion de l’etude est que la methodedu ”Single Moment” s’avere etre la methode spectrale la plus rapide, la plus simplea implementer dans un code elements finis tout en se situant parmi les methodesspectrales qui approximent le mieux les resultats des simulations rainflow.

La meme demarche a ensuite ete realisee dans le cas des chargements induisant desetats de contraintes multiaxiaux aleatoires. Nous avons decrit une methode temporellebasee sur le concept de plan critique et permettant d’estimer la duree de vie d’unestructure a partir des historiques locaux du tenseur des contraintes. La methodespectrale appelee contrainte equivalente de von Mises et developpee au laboratoire en1994 a ensuite ete decrite. Elle est basee sur la reduction du probleme multiaxial a unprobleme uniaxial, en calculant un processus scalaire aleatoire qui est obtenu en com-binant, pour chaque frequence, les PSD des composantes du tenseur des contraintesselon le critere quadratique de von Mises. Cette methode n’avait jusqu’alors jamaisete comparee a d’autres methodes temporelles de reference. Nous avons ensuite pro-pose pour la premiere fois une implementation frequentielle de la methode dite du

116 7. Conclusions

rainflow multiaxial, developpee initialement dans le domaine temporel. A l’aide dumodele elements finis d’une structure simple, soumise a des accelerations aleatoiresde ses supports, nous avons compare les trois methodes. Les cartographies du dom-mage obtenues permettent de conclure que les methodes frequentielles fournissent detres bons resultats qualitatifs et necessitent des temps de calcul considerablementreduits par rapport aux temps de calcul qu’exige la methode temporelle. Nous rap-pelons que pour une meme structure, la cartographie du dommage est etablie en 16secondes en appliquant la methode spectrale de la contrainte de von Mises, contre 90secondes pour l’implementation frequentielle du rainflow multiaxial et une semaine(604800 secondes) pour la methode temporelle appliquee a 10 realisations artificiellesdu tenseur des contraintes dans chaque element. Ces nouvelles methodes spectralespermettent de localiser les zones les plus endommagees de la structure ou encorede comparer differentes conceptions d’un meme composant. Nous preconisons alorsune approche de dimensionnement en deux etapes, la premiere consistant en une lo-calisation des quelques elements les plus endommages de la structure et la secondeen l’application d’une methode temporelle, menant a des predictions plus precises,a partir de simulations de realisations du tenseur des contraintes dans ces quelqueszones.

Nous avons ensuite propose des formulations frequentielles de criteres d’endurancemultiaxiaux. Nous supposons que les criteres proposes dans la litterature et developpespour des chargements multiaxiaux periodiques simples peuvent etre appliques a deschargements complexes. Nous avons presente pour la premiere fois, a notre connais-sance, une implementation frequentielle du critere plan critique de Matake et ducritere d’approche globale propose par Crossland. Pour cela nous avons developpedes procedures permettant d’approximer les variables les plus importantes et lesplus largement utilisees en fatigue multiaxiale, a savoir une procedure spectrale dedetermination de l’amplitude de la contrainte de cisaillement et de l’amplitude dela contrainte normale agissant sur le plan critique. D’autre part, nous avons mis aupoint des methodes frequentielles afin d’approximer des variables globales telles queles amplitudes des invariants du tenseur des contraintes et de son deviateur. Cespropositions demontrent que de nombreuses approches basees sur des theories de lascience des materiaux, dans le domaine temporel, sont transposables dans le domainefrequentiel. Ce chapitre n’est donc par consequent aucunement exhaustif, car l’ap-proche que nous adoptons peut etre etendue a d’autres criteres voire d’autres modelesde prediction de duree de vie. Les formulations spectrales des deux criteres se sontaverees etre d’excellents outils d’approximation des criteres d’endurance temporelsinitiaux, offrant une rapidite de calcul de plusieurs ordres de grandeur superieure acelle offerte dans le domaine temporel. Ces nouveaux outils de conception peuventmaintenant permettre de verifier rapidement l’integrite d’une structure soumise a unenvironnement aleatoire, cette integrite est assuree si les contraintes induites par lesvibrations aleatoires restent dans la zone de non fissuration de l’espace des contraintesque definissent les differents criteres pendant un temps d’observation suffisammentlong. Enfin, nous avons egalement mentionne que les capacites predictives des criteresd’endurance multiaxiaux dependent notamment de la variablite des directions des

117

contraintes principales. Nous avons par consequent suggere de baser un premier choixdu type de critere a appliquer sur cette variabilite et avons trouve un outil frequentielrapide de caracterisation de celle-ci.

Afin de montrer l’applicabilite des nos methodes a des modeles elements finis degrande taille, nous avons realise l’analyse en fatigue de la tuyere divergente du moteurVulcain II d’Ariane V, soumise a un chargement de buffeting. Les methodes spectralesont ete programmees dans une ”toolbox” MATLAB interfacee au code elements finisSAMCEF. L’etude de cette tuyere a demontre la rapidite et l’efficacite des methodesspectrales ainsi qu’une possible utilisation industrielle de la ”toolbox”.

Nous avons termine notre etude en abordant quelques possibilites d’utilisation de cesmethodes rapides de prediction en conception. Nous avons ainsi simule l’effet d’unamortissement actif des vibrations aleatoires a l’aide d’actionneurs et de capteurspiezoelectriques relies a une electronique de controle sur la duree de vie d’une struc-ture. Enfin, nous avons illustre la possibilite de coupler les methodes spectrales a desalgorithmes d’optimisation structurale en vue de reduire la masse des structures sou-mises a des chargements multiaxiaux aleatoires en assurant une duree de vie requise.

118 7. Conclusions

Annexe A

Simulation de processusvectoriels gaussiens

Dans cette annexe, nous rappelons d’abord l’algorithme couramment utilise pour lageneration de realisations d’un processus gaussien stationnaire de variance et de formespectrale imposee. De tels echantillons peuvent etre utilises, comme nous l’avons vupar exemple dans le chapitre 2, pour etudier la fatigue uniaxiale aleatoire, on parlealors de simulations de Monte-Carlo. Ensuite nous presentons l’extension de cet algo-rithme FFT (Fast Fourier Transform), utilise pour generer des processus scalaires, ala generation artificielle de realisations de processus vectoriels aleatoires stationnairesde matrice de PSD imposee.

A.1 Echantillons d’un processus gaussien station-naire

Les parametres importants de cette procedure sont :– la duree de la realisation T , qui controle la frequence d’echantillonnage de la DFT

(Discrete Fourier Transform) : f0 = 1/T ,– le nombre N de pas de temps choisi pour l’echantillon, qui controle la periode

d’echantillonnage donnee par dt = T/N .Le but de la procedure suivante est alors de generer une sequence de coefficientsde Fourier Cx(k) dont les amplitudes et les phases sont choisies de sorte que leurTranformee de Fourier Discrete Inverse (IDFT) produise la sequence temporelle x(i)souhaitee. Nous rappelons que x(i) represente les valeurs echantillonnees d’un si-gnal de periode T et de frequence de coupure egale a la moitie de la frequenced’echantillonnage : fc = N/2T . De plus, si la sequence x(i) est reelle et si N estun nombre pair, les coefficients de Fourier doivent satisfaire l’equation

Cx(N/2 + i) = C∗x(N/2− i) i = 0, ..., N/2 (A.1)

120 A. Simulation de processus vectoriels gaussiens

ou C∗x denote le complexe conjugue de Cx. Ceci implique que Cx(N/2) et Cx(0) soientreels.L’amplitude des coefficients de Fourier doit egalement rendre compte de la repartitionfrequentielle de la puissance du signal, or pour un processus ergodique, nous avonsl’egalite :

1T

∫ T

0

x2(t)dt ≈∫ ∞−∞

Φxx(ω)dω (A.2)

Nous pouvons ensuite discretiser cette derniere equation avec un increment temporeldt = 1/N et un increment frequentiel dω = ω0 = 2π/T , ce qui donne

1N

N−1∑i=0

x2(i) ≈ 2N/2∑k=1

Φxx(kω0)ω0 (A.3)

En appliquant le theoreme de Parseval qui stipule que le carre des coefficients deFourier peut etre considere comme la decomposition frequentielle de l’ecart type σxdu signal x(i), ce qui se traduit par la relation suivante :

σx =1N

N−1∑i=0

x2(i) =N−1∑k=0

|Cx(k)|2 (A.4)

et en combinant cette relation avec l’eq. (A.1), nous pouvons montrer que la somme(A.3) peut etre transformee pour donner :

2N/2∑k=1

|Cx(k)|2 ≈ 2N/2∑k=1

Φxx(kω0)ω0 (A.5)

Par consequent, les coefficients de la DFT sont choisis de facon a representer le contenufrequentiel impose, en applicant la relation :

|Cx(k)| = [Φxx(kω0)ω0]1/2 k = 1, ..., N/2 (A.6)

Les modules des coefficients de Fourier sont donc deterministes parce que la PSD estdeterministe. Pour generer une sequence aleatoire, nous choisissons alors des phasesφk telles que les valeurs de celles-ci pour differents indices k soient independantes etuniformement distribuees dans l’intervalle [0, 2π[, la DFT est alors exprimee par

Cx(k) = |Cx(k)|eiφk k = 1, ..., N/2 (A.7)

A Echantillons d’un processus vectoriel gaussien stationnaire 121

Le caractere independant des phases garantit leur distribution gaussienne par letheoreme de la limite centrale. Nous nous sommes jusque la preoccupe de la premieremoitie de la sequence et determinons alors la seconde moitie en utilisant la symetrie(A.1). La realisation temporelle du processus scalaire gaussien stationnaire est alors :

x(t) =1N

N−1∑k=1

Cx(k)ei 2πtk/N t = 1, ..., N − 1 (A.8)

L’echantillon temporel est bien reel et a la PSD desiree. Pour generer un echantillonde moyenne nulle, nous choisissons enfin

Cx(0) = 0 (A.9)

Tout autre choix pour la variable aleatoire constituant les phases φk conduira aune autre realisation temporelle du processus, statistiquement independante de lapremiere et de meme contenu frequentiel. De tels generateurs de nombres aleatoirespresentant une distribution uniforme sur un intervale donne en utilisant la methodede Monte-Carlo sont tres rependus. Nous passons maintenant a la generalisation decette procedure a la generation de processus gaussiens multidimensionnels.

A.2 Echantillons d’un processus vectoriel gaussienstationnaire

Prenons pour exemple le processus vectoriel gaussien s(t) = (sx(t), sy(t), sxy(t)) dematrice de PSD imposee

Φs(ω) =

Φsxsx(ω) Φsxsy (ω) Φsxsxy (ω)Φsysx(ω) Φsysy (ω) Φsysxy (ω)Φsxysx(ω) Φsxysy (ω) Φsxysxy (ω)

(A.10)

Pour chaque frequence ω, la matrice hermitienne Φs(ω) peut etre diagonalisee, nousobtenons alors

Φs(ω) = U(ω)Λ(ω)UH(ω) (A.11)

ou l’exposant H designe la matrice transposee conjuguee, et ou Λ(ω) contient lesvaleurs propres de Φs(ω) et U(ω) contient les vecteurs propres correspondants. Λ(ω)est diagonale et reelle et la matrice U(ω) est unitaire (UHU = I).Les composants diagonaux de Λ(ω) sont alors des processus aleatoires independants.La matrice de rotation U(ω) definit la base dans laquelle l’independance est obtenuepour la frequence ω consideree. La matrice diagonale peut alors etre transformee enun processus vectoriel dont les composantes sont decorrelees. En appelant Z(ω, T ) latransformee de Fourier de ce processus vectoriel de duree T , la relation


Λ(ω) = limT→∞

12πT

E [Z(ω, T ), ZH(ω, T )]. (A.12)

est satisfaite. En combinant alors cette derniere equation avec l’eq. (A.11), nous ob-tenons :

Φs(ω) = limT→∞

12πT

E [U(ω)Z(ω, T ), ZH(ω, T )UH(ω)] (A.13)

Cette relation indique que si Z(ω, T ) est construite pour etre la transformee de Fourierdu processus vectoriel, dont les composantes sont decorrelees, et defini par la matriceΛ(ω), alors

S(ω, T ) = U(ω)Z(ω, T ) (A.14)

est la transformee de Fourier du processus vectoriel s(t), defini par la matrice dePSD Φs(ω). La generation d’echantillons temporels a l’aide de la FFT peut donc etreappliquee a chaque composante du vecteur S(ω, T ).La procedure decrite au paragraphe precedent peut alors etre generalisee et appliqueea la matrice de PSD Φs(ω) comme suit :

1. Determination de la frequence d’echantillonnage w0 = 2π/T a partir de la dureeT de la realisation a simuler ;

2. Diagonalisation de la matrice Φs(ω) pour l’ensemble des frequences de controlewi, les matrices Λ(ω) et U(ω) sont ainsi obtenues, puis discretisees pour donner :

Λ(kω0), U(kω0) k = 1, ..., N/2

3. Calcul des coefficients de Fourier correspondant aux differents processus consti-tuant le vecteur aleatoire (processus rendus statistiquement independants suitea la diagonalisation de la matrice Φs(ω)) :

Ciz(k) = [Λi(kω0)ω0]1/2 k = 1, ..., N/2 i = 1, 2, 3 (A.15)

ou Ciz est la composante i du vecteur des coefficients de Fourier et Λi est lacomposante i de la matrice diagonale Λ ;

4. Tirage d’une variable aleatoire φk independante pour chaque processus, chacunedes variables etant uniformement distribuee dans l’intervale [0, 2π[.

5. Changement de base afin d’obtenir les correlations imposees :

Cs(k) = U(kω0)Cz(k) k = 1, ..., N/2 (A.16)

A Echantillons d’un processus vectoriel gaussien stationnaire 123

6. Calcul des valeurs conjugees sur l’autre moitie de la serie de coefficients deFourier, par analogie a l’eq. (A.1) :

Cs(N/2 + i) = C∗s (N/2− i) i = 0, ..., N/2 (A.17)

7. Application de la transformee de Fourier inverse a la serie de coefficients calculespour les differents processus composant le vecteur aleatoire,

s(t) =1N

N−1∑k=1

Cs(k)ei 2πtk/N t = 1, ..., N − 1 (A.18)

Cette procedure peut etre appliquee a des processus vectoriels stationnaires dontles composantes sont conjointement gaussiennes, quelque soit sa dimension. Lescorrelations entre les differentes composantes sont ainsi respectees.

Annexe B

Facteur de pic

Nous considerons un processus aleatoire gaussien stationnaire de moyenne nulle x(t)que nous observons pendant une duree T . Nous souhaitons alors connaitre la distribu-tion p(η, T ) de l’extremum le plus grand du processus pendant le temps d’observationT , comme l’illustre la Fig. B.1.

Fig. B.1 – Definition du facteur de pic

Dans la litterature, la fiabilite W (T ) d’une structure est souvent definie comme laprobabilite que le processus ne depasse pas, en valeur absolue, un certain seuil pendantla duree d’observation T :

W (T ) = Prob (|x(t)| < b, 0 ≤ t < T ) (B.1)

Le probleme de fiabilite est alors aborde en considerant le facteur de pic du processus.Le facteur de pic est defini comme la partie reduite η de la valeur absolue de l’extre-

126 B. Facteur de pic

mum le plus grand, d’un echantillon temporel de duree T , par rapport a l’ecart typeσx du processus :

η = b/σx (B.2)

Si p(η, T ) represente la densite de probabilite du plus grand des extrema du processussur la duree T , la fonction de repartition s’ecrit :

P (η, T ) =∫ η

0

p(x, T )dx η ≥ 0 (B.3)

= 0 η < 0

Cette fonction de repartition represente la probabilite que le plus grand des extremadurant T , soit inferieur a η, ce qui correspond a la definition de la fiabilite donneeci-dessus. Il suit donc que la densite de probabilite du plus grand des extrema peuts’ecrire :

p(η, T ) =∂W (η, T )

∂η(B.4)

En considerant que les franchissements a pente positive d’un seuil de niveau b parle processus stationnaire sont des evenements independants, il est par exemple pos-sible de montrer que le nombre de franchissements des differents niveaux dans [0, T [constitue un processus de Poisson. Partant de ce modele, la definition de la fiabilitedevient :

W (η, T ) = Prob

(|x(t)|σx

< η, 0 ≤ t < T

)= exp(−Ne−η

2/2) (B.5)

ou N est le nombre de demi-cycles donne par la relation :

N = 2ν+0 T (B.6)

La densite de probabilite p(η, T ) s’obtient donc par derivation de W (η, T ) par rapporta η. La Fig. B.2 montre l’allure des densites de probabilite du facteur de pic pourdifferents temps d’observation du processus, exprime en demi-cycles. Nous remarquonsque, plus la duree augmente, plus la densite de probabilite est centree autour de lamoyenne et plus la densite de probabilite se deplace vers les grandes valeurs desextrema.Toutefois, l’etude de telles variables aleatoires se resume souvent pour l’ingenieurau calcul des premiers moments, a savoir la moyenne et l’ecart type. Des formules

127

Fig. B.2 – Modele de Poisson : densite de probabilite du facteur de pic pour differentesdurees d’observations T = N/(2ν+

0 )

explicites, basees sur le modele de Poisson, ont donc ete developpee. Connaissant ladensite de probabilite p(η), la moyenne du facteur de pic est exprime par l’integrale :

E[ max0≤t≤T

|x(t)|/σx] = E[η] =∫ ∞−∞

ηp(η)dη (B.7)

Une approximation de cette integrale est donnee par la formule suivante :

E[η] = F (N) ≈√

2 lnN + 0.5772/√

2 lnN (B.8)

ou N est le nombre de demi-cycles donne par la relation (B.6). L’ecart type de lavaleur extreme peut egalement etre estime en appliquant la relation :

σ[η] ≈ σxπ√6

1√2 lnN

(B.9)

Comme nous le remarquons, ce modele ne tient pas compte de la largeur de bande duprocessus, le seul parametre etant le nombre de demi-cycles. Toutefois, des simulationsde Monte-Carlo montrent que la moyenne du facteur de pic diminue lorsque la largeurde bande diminue pour une meme duree d’observation du processus. Afin de tenircompte de cette obervation, le modele precedent peut etre legerement modifie etremplace par les formulations suivantes :

128 B. Facteur de pic

E[η] ≈√

2 lnκN + 0.5772/√

2 lnN (B.10)

ou κ < 1 est un parametre rendant compte de l’influence de la largeur de bande dusysteme. La formulation de κ approximant le mieux les resultats des simulations deMonte-Carlo peut etre determine selon l’equation :

κ = 1.5(1− e−1.8δ) δ < 0.5 (B.11)

κ = 0.94 δ > 0.5

ou δ est un parametre defini a partir de moments spectraux :

δ = (1− m21

m0m2)1/2 (B.12)

L’effet de la largeur de bande sur l’ecart type du facteur de pic est negligeable.

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