LYCEE DESSAIGNES ANNEE 2014/2015

INTERROGATIONS DE MATHEMATIQUES

SEMAINE N◦ 22 DU 30/03/2015 AU 4/04/2015

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ESPACES PREHILBERTIENS , ESPACES EUCLIDIENS

programme précédent +

Dans un espace préhilbertien Suites orthonormales (ei)i∈N . Inégalité de Bessel :∑+∞

0 (x | ei)2 est convergente et∑+∞0 (x | ei)2 ≤ ‖x‖2

Suites totale: la suite orthonormale (ei)i∈N est totale dans E ssi vect {ei, i ∈ N} = E(ei)i∈N est totale ssi pour tout x ∈ E, x =

∑+∞0 (x | ei)ei ssi

∑+∞0 (x | ei)2 = ‖x‖2

Dans un espace Euclidien

Automorphismes orthogonaux d′un espace vectoriel Euclidien E. Groupe O(E) . révisions du programme de mpsi.

Matrices orthogonales : groupe On(R), groupe SOn(R).Endomorphismes symétriques :

Sous-espace vectoriel S(E) des endomorphismes symétriques

caractérisation des projecteurs orthogonaux comme projecteurs symétriques Exemple des réflexions

stabilité de l’orthogonal d’un sous espace stable par un endomorphisme symétrique.

Réduction des endomorphismes symétriques.

Théorème spectral: tout endomorphisme symétrique d’un espace euclidien est diagonalisable dans une BON

Rem : La notion d’adjoint est hors programme, ainsi que la notion d’endomorphismes symétrique positif.

Etude de O2(R) et de O(E) lorsque dimE = 2Etude de SO3(R) et de SO(E) lorsque dimE = 3

Question de cours

1◦ soit u ∈ S(E) alors

a) Les sous espaces-propres associés à deux valeurs propres distinctes de u ∈sont orthogonaux.

b) L’orthogonal d’un sous espace vectoriel de E stable par u est stable par u.

2◦ Une matrice symétrique réelle admet au moins une valeur propre réelle.

3◦ Soit E un espace préhilbertien réel .

Si la suite (ei)i∈N est totale dans E alors pour tout x ∈ E, x = limn→∞∑n

0 (x | ei)ei4◦ ex 68 algèbre

5◦ ex 78 algèbre

6◦ ex 93 algèbre

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