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P P C MP P C M

Remarque : Tu devrais regarder le PPS : «  Décomposer un nombre en facteurs premiers » avant de regarder celui-ci.

Le Plus Petit Commun Multiple est une opération consistant à déterminer le plus petit des multiples communs à 2 ou plusieurs nombres.

Exemples

Quel est le PPCM de 8 et 12?

Déterminons quelques multiples de 8 et 12 :

Multiples de 8 : 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, …

Multiples de 12 : 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84 …

Multiples communs à 8 et 12 : 24 48 72

le plus petit : 24

PPCM ( 8, 12 ) : 24

Remarque : 0 X 8 = 0 ;

0 X 12 = 0 ; 0 est donc un multiple de tous les nombres.

Cependant, comme on ne connaît pas le facteur par lequel on l’a multiplié, on ne peut pas l’utiliser.

Multiples de 12 : 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144, 156, 168, 180, …

Multiples de 15 : 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, 165, 180, …

Multiples de 18 : 0, 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162, 180, …

Quel est le PPCM de 12 et 15 et 18?

Déterminons quelques multiples de 12, 15 et 18 :

Remarque : Plusieurs multiples sont communs à deux des trois nombres:

60 multiple de 12 et 15;

90 multiple de 15 et 18;

120 multiple de 12 et 15.

36 multiple de 12 et 18;

Mais, ils ne sont pas communs aux trois, donc on ne les retient pas.

PPCM ( 12, 15, 18 ) : 180

Il existe une autre méthode pour déterminer le PPCM de 2 ou plusieurs nombres.

Elle utilise les facteurs premiers d’un nombre.

Exemples

Quel est le PPCM de 8 et 12?

Démarche :

1) Décomposer les nombres en facteurs premiers : 8 =

12 = X

2) Prendre tous les facteurs possédant le plus gros exposant :

22

PPCM (8, 12) : 24

23

3

3) Multiplier ensemble ses facteurs : 23 X 3 = 24

et

Quel est le PPCM de 12 et 15 et 18?

Démarche :

1) Décomposer les nombres en facteurs premiers : 12 = X 3

PPCM( 12, 15, 18 ) : 180

18 = 2 X

15 = 3 X 5

2) Prendre tous les facteurs possédant le plus gros exposant :

3) Multiplier ensemble ses facteurs : 22 X 32 X 5 = 180

et

22

32

et

Remarque : Les facteurs n’ont pas besoin d’être communs à tous les nombres.

Quel est le PPCM de 24 et 36 et 48?

Démarche :

1) Décomposer les nombres en facteurs premiers :

48 = X 3

36 = 22 X

24

24 = X 323

32

PPCM( 24, 36, 48 ) : 144

2) Prendre tous les facteurs possédant le plus gros exposant :

3) Multiplier ensemble ses facteurs : 24 X 32 = 144

et

Quel est le PPCM de 40 et 60 et 80?

Démarche :

1) Décomposer les nombres en facteurs premiers : 40 = 23 X 5

80 = X

60 = 22 X X 5

5

2) Prendre tous les facteurs possédant le plus gros exposant : et et

Remarque : Le facteur 5 revient trois fois, mais on ne le prend qu’une fois.

PPCM( 40, 60, 80 ) : 240

3) Multiplier ensemble ses facteurs : 24 X 3 X 5 = 240

24

3

Remarque : le PPCM est utile pour déterminer le plus petit dénominateur commun de fractions numériques et de fractions rationnelles.