Logique Propositionnelle - univ-reunion.frlim.univ-reunion.fr/.../1-logique-propositionnelle.pdfLa...

INFO-F-302, Cours d’Informatique Fondamentale

La Logique Propositionnelle

Logique PropositionnelleLogique Propositionnelle Definitions de base : Syntaxe, Semantique et

Exemples



Syntaxe

34 Construction des formules

Le vocabulaire du langage de la logique propositionnelle est compose :

I d’un ensemble, fini ou denombrable, de propositions noteesp, q, r , . . .Dans la suite, nous notons les ensembles de propositions par leslettres P , Q,... ;

I de deux constantes : vrai (notee >) et faux (notee ?), parfois notee1 et 0 ;

I d’un ensemble de connecteurs logiques : et (note ^), ou (note _),non (note ¬), implique (note !), equivalent (note $) ;

I les parentheses : (,).



Syntaxe

35 Construction des formules

Soit P un ensemble de propositions. Les formules de la logiquepropositionnelle respectent la regle de formation BNF suivante :

� ::= > | ? | p | �1 ^ �2 | �1 _ �2 | �1 ! �2 | �1 $ �2 | ¬�1 | (�1)

Ou >, ? sont respectivement les constantes vrai et faux, p 2 P est uneproposition et �1, �2 sont des formules propositionnelles bien formees.



Syntaxe

36 Quelques exemples de formules

Voici quelques exemples de formules et leur lecture intuitive :

I la formule propositionnelle ”p ! (q ^ r)”, peut etre lue de la faconsuivante ”p implique q et r”, ou peut etre egalement lue comme ”sip est vrai alors q et r doivent etre vrais” ;

I la formule propositionnelle ”¬(p ^ q)”, peut-etre lue de la faconsuivante ”il est faux que p et q soient vrais (en meme temps)”.



Syntaxe

37 AmbiguıtesL’utilisation de la notation infixe s’accompagne de problemes de lecture :

Comment lire p ^ q _ r ? p ! q ! r ?

Pour lever les ambiguıtes, on utilise les parentheses ou des regles depriorite entre operateurs :

I si op1 a une plus grande precedence (priorite) que op2 alors

e1op1e2op2e3 est equivalent a ((e1op1e2)op2e3)I

Par ex :2⇥ 3 + 5 = (2⇥ 3) + 5 = 11 6= 2⇥ (3 + 5) = 16.

I si op2 a une plus grande precedence (priorite) que op1 alors

e1op1e2op2e3 est equivalent a (e1op1(e2op2e3))I

Par ex :2 + 3⇥ 5 = 2 + (3⇥ 5) = 17.

I si op est associatif a gauche alors

e1ope2ope3 est equivalent a ((e1ope2)ope3)I

Par ex : 10/2/5 = (10/2)/5 = 1 6= 10/(2/5) = 25.

Il faut donc fixer des regles de priorite entre operateurs afin d’avoir unelecture unique de la formule.



Syntaxe

38 Regles de precedence en logique propositionnelle

Ordre de precedence � sur les operateurs :

$ � ! � _ � ^ � ¬

et associativite a gauche pour $,_,^ et a droite pour !.

Exemplesp _ q ^ r se lit p _ (q ^ r)p ! q ! p se lit p ! (q ! p)p _ q ! r se lit (p _ q) ! r¬p ^ q se lit (¬p) ^ qp ! q ^ r ! s se lit p ! ((q ^ r) ! s)

Remarque

Les parentheses permettent de contrecarrer ces regles, si elles neconviennent pas. Elles permettent aussi de rendre une formule plus lisible,ou de ne pas devoir retenir les regles de precedence.



Syntaxe

39 Arbre correspondant a une formuleLa formule p ! q ^ r ! s est donc equivalente a

p ! ((q ^ r) ! s)

et donc son arbre de lecture est :

!

p !

^

q r

s



Semantique

40 La semantique

I jusqu’ici, on a vu la syntaxe des formules, qui ne sont rien d’autreque des suites de caracteres sans signification.

I la semantique donne du sens aux formules, elle permet de lesinterpreter et de leur attribuer une valeur de verite vrai ou faux.

I l’interpretation des symboles de proposition est cependant libre etc’est a nous de la fixer. On se donnera donc une une fonctiond’interpretation V pour l’ensemble P de propositions considerees :

V : P ! {0, 1}

Cette fonction assigne a chaque proposition de P la valeur vrai ou lavaleur faux.

I Dans la suite, nous utiliserons parfois le terme valuation , souventutilise dans la litterature, au lieu de fonction d’interpretation.

I A partir d’une fonction d’interpretation V des symboles deproposition, nous allons voir comment interpreter les formules.



Semantique

41 La semantique

Definition

I La valeur de verite d’une formule propositionnelle � formee a partirdes propositions d’un ensemble P , evaluee avec la fonctiond’interpretation V , est notee [[�]]

V

. En particulier, on a[[�]]

V

2 {0, 1}.I La fonction [[�]]

V

est definie par induction sur la syntaxe de � de lafacon suivante :

I � = >, dans ce cas, [[�]]V

= 1 ;

I � = ?, dans ce cas, [[�]]V

= 0 ;

I � = p, dans ce cas, [[�]]V

= V (p).

I � = ¬�1, [[�]]V

=

⇢0 si [[�1]]

V

= 1

1 si [[�1]]V

= 0

I � = �1 _ �2, [[�]]V

= 1 ssi [[�1]]V

= 1 ou [[�2]]V

= 1

I � = �1 ^ �2, [[�]]V

= 1 ssi [[�1]]V

= 1 et [[�2]]V

= 1



Semantique

42 La semantique

I � = �1 ! �2,

[[�]]V

= 1 ssi [[�1]]V = 0ou [[�2]]V = 1

I � = �1 $ �2,

[[�]]V

= 1 ssi[[�1]]V = 0 et [[�2]]V = 0ou[[�1]]V = 1 et [[�2]]V = 1

I � = (�1), [[�]]V = [[�1]]V .

Nous notons V |=� si et seulement si [[�]]V

= 1, qui se dit “V satisfait �”.



Semantique

43 La semantique sous forme de tables de verites

L’information contenue dans la definition precedente est souventpresentee sous forme de tables, appelees tables de verite :

> ?1 0

� ¬� (�)1 0 10 1 0



Semantique

44 La semantique sous forme de tables de verites

�1 �2 �1 ^ �2 �1 _ �2 �1 ! �2 �1 $ �21 1 1 1 1 11 0 0 1 0 00 1 0 1 1 00 0 0 0 1 1



Exemples

45 Exemples

I Prenons l’interpretation V1(p) = 0, alors on a :

[[p]]V1 = 0 [[¬p]]

V1 = 1 [[p ^ p]]V1 = 0 [[p ^ ¬p]]

V1 = 0[[p ! p]]

V1 = 1 [[p $ p]]V1 = 1 [[¬p ! p]]

V1 = 0

I Prenons la formule � = (p _ q) ^ (¬q _ r) et l’interpretationV2(p) = V2(r) = 1 et V2(q) = 0. Pour calculer la valeur de verite de�, on calcule d’abord les valeurs de verite des sous-formules et onapplique les tables de verite.

(p _ q) ^ (¬q _ r)(1 _ 0) ^ (¬0 _ 1)(1 _ 0) ^ (1 _ 1)

1 ^ (1 _ 1)1 ^ 11

Donc [[�]]V2 = 1.



Exemples

46 Exemples

I Prenons la meme formule � = (p _ q) ^ (¬q _ r) et l’interpretationV3(r) = 1 et V3(p) = V3(q) = 0.

(p _ q) ^ (¬q _ r)(0 _ 0) ^ (¬0 _ 1)(0 _ 0) ^ (1 _ 1)

0 ^ (1 _ 1)0 ^ 10

Donc [[�]]V3 = 0.



Exemples

47 Exemples

On peut utiliser le principe de decomposition en sous-formule etl’application des tables de verite pour obtenir la valeur de verite de �pour toutes les interpretations possibles des variables

p q r (p _ q) ¬q (¬q _ r) (p _ q) ^ (¬q _ r)1 1 1 1 0 1 11 1 0 1 0 1 11 0 1 1 1 1 11 0 0 1 1 1 10 1 1 1 0 1 10 1 0 1 0 0 00 0 1 0 1 1 00 0 0 0 1 1 0



Exemples

48 Exemples

I ¬p _ q (qui se lit (¬p) _ q)

p q ¬p ¬p _ q1 1 0 11 0 0 00 1 1 10 0 1 1

I Remarque : c’est la meme table de verite que pour l’implication :

p q p ! q1 1 11 0 00 1 10 0 1

I On dira que les deux formules ¬p _ q et p ! q sont equivalentes.



Exemples

49 Remarques sur l’implication

I l’implication �1 ! �2 modelise le raisonnement si-alors :

Si �1 est vraie, ALORS �2 est vraie aussi.

I le cas ou �1 est faux ne nous interesse pas dans l’implication.

I par consequent, si �1 est faux, alors peu importe la valeur de veritede �2, l’implication �1 ! �2 reste vraie.

I Autrement dit le faux implique le vrai, et le faux, mais le vrai doittoujours impliquer le vrai.



Exemples

50 Un dernier exemple : � = ¬(p ^ q) $ (¬p _ ¬q)

I Calculons la table de verite :

p q p ^ q ¬(p ^ q) ¬p ¬q ¬p _ ¬q �1 1 1 0 0 0 0 11 0 0 1 0 1 1 10 1 0 1 1 0 1 10 0 0 1 1 1 1 1

I pour toute les interpretations possibles des propositions, � est vraie.On dira dans ce cas que � est valide.

I En fait, on a montre ici que les deux formule ¬(p ^ q) et ¬p _ ¬qsont equivalentes. C’est une des lois de Morgan.



Exemples

51 Exercices

Dire pour les interpretations V et les formules � suivantes si V |= � :

1. V (p) = 1, V (q) = 0 et � = (p ! q) ^ (p ! ¬q)2. V (p) = V (q) = 0 et � = ((¬p ! q) ! (¬q ! p)) ^ (p _ q)

3. V (p) = 0 et V (q) = 1 et � = ((¬p _ q) ! (q ^ (p $ q))

4. V (p) = V (r) = 1 et V (q) = 0 et� = ((¬r ! ¬p ^ ¬q) _ s) $ (p _ q ! r _ s)

5. V (p) = V (q) = 0 et V (r) = 1 et� = (p ^ (q ! r)) $ ((¬p _ q) ! (p ^ r)).

Construire les tables de verite pour les formules suivantes :

1. (p ! q) _ (q ! p)

2. p ^ (p ! ¬q) ^ q

3. (p ! (q ^ r)) $ (p ! q) ^ (p ! r)

4. (p ! (q ! r)) ! ((p ^ q) ! r)



Satisfaisabilite et Validite

52 Validite et Satisfaisabilite

Voici deux definitions importantes :

Definition (Satisfaisabilite)

Une formule propositionnelle � est satisfaisable si et seulement si il existeune fonction d’interpretation V pour les propositions de �, telle queV |=�.

Definition (Validite)

Une formule propositionnelle � est valide si et seulement si pour toutefonction d’interpretation V pour les propositions de �, on a V |=�.




53 Exemples

formule satisfaisable valide> oui ouip oui non

V (p) = 1 V (p) = 0¬p oui non

V (p) = 0 V (p) = 1(p _ q) ^ (¬q _ r) oui non

voir table precedente voir table precedentep ^ ¬p non non

p ^ ¬q ^ (¬q ! ¬p) non nonp _ ¬p oui oui

(p ! q) _ (q ! p) oui oui




54 Notion de consequence logique

DefinitionSoit �1, . . . ,�n,� des formules. On dira que � est une consequencelogique de �1, . . . ,�n, note �1, . . . ,�n |= �, si (�1 ^ · · · ^ �

n

) ! � estvalide.

Par exemple, p,¬p |= ?, et �1,�1 ! �2 |= �2.




55 Application importante de la notion de validite

DefinitionDeux formules � et sont dites equivalentes si la formule �$ estvalide. On notera � ⌘ pour signifier que � et sont equivalentes.

I dans une formule, on peut substituer une sous-formule par une autreequivalente sans changer la semantique de la formule de depart

I par exemple, dans la formule

� = (p _ q) ^ ¬(p ^ r)

on peut remplacer la sous-formule ¬(p ^ r) par (¬p _ ¬r) et onobtient la formule suivante, qui est equivalente a � :

�0 = (p _ q) ^ (¬p _ ¬r)

I l’application d’equivalences simples va nous permettre de simplifierdes formules, et de les mettre sous des formes particulieres




56 Quelques equivalences

Pour toutes formules �1,�2,�3, on a :

I ¬¬�1 ⌘ �1 (double negation)

I ¬(�1 ^ �2) ⌘ (¬�1 _ ¬�2) (loi de De Morgan pour le ’et’)

I ¬(�1 _ �2) ⌘ (¬�1 ^ ¬�2) (loi de De Morgan pour le ’ou’)

I �1 ^ (�2 _ �3) ⌘ (�1 ^ �2) _ (�1 ^ �3) (distributivite du ’et’)

I �1 _ (�2 ^ �3) ⌘ (�1 _ �2) ^ (�1 _ �3 (distributivite du ’ou’)

I �1 ! �2 ⌘ ¬�2 ! ¬�1 (contraposition)




57 Lien entre satisfaisibilite et validite

TheoremeUne formule propositionnelle � est valide ssi sa negation ¬� n’est passatisfaisable.

Par consequent, si on dispose d’un algorithme qui decide si une formuleest satisfaisable ou non, on obtient un algorithme qui decide si la formuleest valide, il su�t de tester la (non-)satisfaisabilite de sa negation.




58 Diagramme




59 Comment tester la satisfaisabilite d’une formule ?

I on a vu la methode des tables de verite : tester toutes lesinterpretations de propositions jusqu’a ce qu’on en trouve une quisatisfait la formule

I probleme : quelle est la complexite d’un tel algorithme ? combiend’interpretations faut-il tester si la formule contient n propositions ?

I il faut essayer, dans le pire des cas (c’est a dire le cas ou la formulen’est pas satisfaisable), 2n interpretations : cet algorithme a doncune complexite exponentielle dans le nombre de propositions

I ce n’est pas raisonnable pour les applications que nous allonsaborder, car nous allons generer des formules contenant plusieurscentaines de propositions.

I nous allons maintenant etudier un algorithme “plus intelligent” : lamethode des tableaux semantiques.




60 Remarques sur la complexite du probleme SAT

I le probleme de satisfaisabilite d’une formule propositionnelle, appeleprobleme SAT, est dans la classe NP (voir courscalculabilite/complexite)

I actuellement, on ne sait toujours pas s’il existe un algorithme pource probleme dont la complexite en temps est polynomiale.

I la plupart des scientifiques pensent que ce n’est pas le cas, maispersonne n’a ete capable de le montrer.

I ce defit scientifique est plus connu sous la question P 6= NP : est-cequ’il existe un probleme resoluble en temps non-deterministepolynomial qui n’est pas resoluble en temps polynomial ?

I le premier qui aura la reponse (et la preuve de son a�rmation)gagnera 1.000.000$ 1

1. Millenium Prize Problems du Clay Mathematics Institute http://www.claymath.org/millennium/




61 Pourquoi SAT est-il si interessant ?

I beaucoup de problemes pratiques interessants se trouvent dans laclasse NP, voir http://www.nada.kth.se/

~

viggo/problemlist/.

I par exemple le probleme du voyageur de commerce : etant donneune distance d et n villes, est-il possible de construire un cycle delongueur au plus d qui passe par les les n villes exactement une fois(sauf la ville de depart). Application : optimiser la trajectoire d’unefraiseuse, d’un bus scolaire, d’un camion de livraison, etc ...

I autre exemple, le bin-packing : etant donne k boıtes de contenancedi↵erentes, n objets de volumes di↵erents, et d � 0 un entier, est-ilpossible de ranger les n objets en utilisant au plus d boıtes.Application : rangement de fichiers sur un support informatique,remplissage de camions ou containers ...




62 Pourquoi SAT est-il si interessant ?

I tous les problemes de la classe NP se reduisent au probleme SAT entemps polynomial. En d’autre terme, pour resoudre une instance I duprobleme du voyageur de commerce ou du bin-packing, il est possiblede construire, en temps polynomial, une formule de la logiquepropositionnelle �

I

telle que �I

est satisfaisable ssi I a une solution

I il est donc important d’avoir de “bons” algorithmes pour SAT



Tableaux semantiques

63 Tableaux semantiques

C’est un algorithme pour etablir la satisfaisabilite de formules de lalogique propositionnelle.On a besoin d’une nouvelle definition :

DefinitionUn litteral est une proposition p ou la negation d’une proposition ¬p.




64 Tableaux semantiques : exemple

Considerons la formule � = p ^ (¬q _ ¬p)Essayons de construire systematiquement une fonction d’interpretation Vtelle que

[[�]]V

= 1

Par definition on a

[[�]]V

= 1ssi

[[p]]V

= 1 et [[¬q _ ¬p]]V

= 1




et

[[¬q _ ¬p]]V

= 1ssi

[[¬q]]V

= 1 ou [[¬p]]V

= 1

et donc,

[[�]]V

= 1ssi

[[p]]V

= 1 et [[¬q]]V

= 1ou [[p]]

V

= 1 et [[¬p]]V

= 1

Pour �, on construit la fonction d’interpretation V de la facon suivante :

I V (p) = 1 ;

I V (q) = 0.

et on a bien que V |=�.





I Un ensemble S de litteraux est satisfaisable ssi il ne contient pas unepaire de litteraux complementaires . Par exemple, {p,¬q} estsatisfaisable alors que {p,¬p} ne l’est pas.

I Nous avons reduit le probleme de satisfaction de � a un probleme desatisfaction d’ensembles de litteraux : � est satisfaisable ssi {p,¬q}est satisfaisable ou {p,¬p} est satisfaisable.




67 Tableaux semantiquesUn autre exemple : � = (p _ q) ^ (¬p ^ ¬q).Par definition, on a

[[�]]V

= 1ssi

[[p _ q]]V

= 1 et [[¬p ^ ¬q]]V

= 1

et donc,

[[�]]V

= 1ssi

[[p _ q]]V

= 1 et [[¬p]]V

= 1 et [[¬q]]V

= 1

et donc,

[[�]]V

= 1ssi

soit [[p]]V

= 1 et [[¬p]]V

= 1 et [[¬q]]V

= 1ou [[q]]

V

= 1 et [[¬p]]V

= 1 et [[¬q]]V

= 1





et donc,

� est satisfaisablessi

{p,¬p,¬q} est satisfaisableou{q,¬p,¬q} est satisfaisable.

Vu que les deux ensembles de litteraux contiennent chacun uneproposition et sa negation, la formule � n’est pas satisfaisable.





L’information presente dans les developpements precedents est plusfacilement representee sous forme d’un arbre.Exemple : � = (p _ q) ^ (¬p ^ ¬q) (tableau donne au cours)




70 Tableaux semantiques – Remarques

I quand on applique le ”pas de simplification” a un noeud ou onselectionne une conjonction, alors on obtient un seul fils ; on appelleces regles, des ^-regles ;

I quand on applique le ”pas de simplification” a un noeud ou onselectionnne une disjonction, alors on obtient deux fils ; on appelleces regles, des _-regles.




71 Regles de simplification : ^-regles

Etant donne un ensemble S contenant une formule ↵, on cree unensemble fils egal S\{↵} auquel on ajoute ↵1 et ↵2.

↵ ↵1 ↵2

¬¬� ��1 ^ �2 �1 �2

¬(�1 _ �2) ¬�1 ¬�2¬(�1 ! �2) �1 ¬�2�1 $ �2 �1 ! �2 �2 ! �1

^-regles .

Remarque : toutes les formules ↵ peuvent etre considerees commeequivalentes a des conjonctions. Par exemple :

¬(�1 _ �2) est equivalent a ¬�1 ^ ¬�2




72 Regles de simplification : _-regles

Etant donne un ensemble S contenant une formule �, on cree deuxensembles fils, l’un etant (S [ {�1})\�, et l’autre (S [ {�2})\�.

� �1 �2�1 _ �2 �1 �2

¬(�1 ^ �2) ¬�1 ¬�2�1 ! �2 ¬�1 �2

¬(�1 $ �2) ¬(�1 ! �2) ¬(�2 ! �1)_-regles .

Remarque : toutes les formules � peuvent etre considerees commeequivalentes a des disjonctions. Par exemple :

¬(�1 ^ �2) est equivalent a ¬�1 _ ¬�2




73 Algorithme

L’algorithme construit a partir d’une formule � un arbre note T� dont lesnoeuds sont des ensembles de formules.

I Initialisation : au depart, l’arbre ne contient qu’un seul noeud :l’ensemble {�} ;

I Tant qu’il existe une feuille de l’arbre F qui contient une formule qui est simplifiable

I si � est simplifiable par une ^-regle, alors on cree un fils F 0a F ou

F 0est obtenu supprimant � de F et en ajoutant la formule (dans le

cas d’une double negation) ou les deux formules (pour les autres cas)

obtenues par la simplification, a l’ensemble F 0

I si � est simplifiable par une _-regle, alors on cree deux fils F1 et F2,

chacun etant obtenu en supprimant � de F et en ajoutant

respectivement les formules obtenues par la simplification.

I si toutes les feuilles de l’arbre contiennent une paire de litterauxcomplementaires, alors retourner non-satisfaisable, sinonretourner satisfaisable.




74 Exemples

Toutes les feuilles (ici une seule) contiennent une paire de litterauxcomplementaires (a et ¬a), donc la formule n’est pas satisfaisable.




75 Exemples

Il existe plusieurs feuilles ne contenant pas de paire de litterauxcomplementaires, la formule est donc satisfaisable.




76 Questions

Soit � une formule et T� un arbre construit avec l’algorithme precedent.

1. Si toutes les feuilles de T� sont satisfaisables, est-ce que cela signifieque � est valide ? Non : prendre par exemple � = p.

2. quelle est la taille maximale de T� (nombre de noeuds) en fonctiondu nombre de symboles de � ? T� peut avoir un nombre exponentielde noeuds. Par exemple, prenons n � 0 et� = (p1 _ q1) ^ (p2 _ q2) · · · ^ (p

n

_ qn

), alors T� a au moins2n+1 + n � 2 noeuds, et exactement 2n feuilles. L’algorithme a doncune complexite exponentielle en temps dans le pire cas.




77 Tableaux Semantiques : Resume

I la methode des tableaux semantiques est un algorithme pour tester lasatisfaisabilite d’une formule.

I elle est basee sur la construction d’un arbre par applications successives de reglesde simplifications de formules (tableaux)

I les formules equivalentes a une disjonction (disjonction, implication, negationd’une conjonction, negation d’une equivalence) sont satisfaites si un des deuxmembres de la disjonction est satisfait : les deux choix sont representes par dubranchement (deux fils) dans l’arbre.

I les formules equivalentes a une conjonction (conjonction, equivalence, negationd’une implication et d’une disjonction) sont satisfaites si les deux membres de laconjonction sont satisfaits : un seul fils est creer dans l’arbre.

I les feuilles de l’arbres sont des ensembles de litteraux (donc non simplifiables),pour lesquels la satisfaisabilite est facile a tester (absence de litterauxcomplementaires).

I dans le pire cas, l’arbre cree est exponentiellement plus grand que la formule

I pour tester la validite d’une formule, on peut tester la non satisfaisabilite de senegation par la methode des tableaux semantiques.



La deduction naturelle

La Deduction Naturelle




79 Introduction

I L’algorithme des tableaux semantique ne convient pas pour faire desraisonnements “a la main” sur des formules propositionnelles.

I Quand on fait des preuves en mathematique, on utilise des regles quinous permettent, pas par pas, de deduire des conclusions a partir depremisses.

I La deduction naturelle est une formalisation de ce type deraisonnement.




80 Introduction

I Supposons donnee un ensemble de formules �1, . . . ,�n que nousappelons premisses et une formule que nous appelons conclusion .

I Supposons que l’on desire montrer que peut etre derivee de�1, . . . ,�n ; on notera cette intention �1, . . . ,�n ` , cette derniereexpression est appelee un sequent .

I La notion de derivation syntaxique est formalisee avec des regles dededuction.

I Les regles de deduction permettent de faire le lien entre la syntaxeet la semantique, en e↵et, on aura :

�1, . . . ,�n ` ssi �1, . . . ,�n |=




81 La conjonction

Regles pour la conjonction :

I Regle d’introduction :

� �^ î

I Regle d’elimination :

�^ � ê1

�^ ê2

Par exemple, la regle d’introduction se lit : si j’ai une preuve de � et unepreuve de , alors j’ai une preuve de � ^ .




82 La conjonction

Exemples d’utilisation de ces regles pour la conjonction :

I p ^ q, r `? q ^ r .

1 p ^ q premisse2 r premisse3 q ^

e2 , 14 q ^ r ^

i

, 3, 2

I (p ^ q) ^ r , s ^ t ` q ^ s ;

I p ^ q ` q ^ p ;

I (p ^ q) ^ r ` p ^ (q ^ r) ;




83 Double negation

Regles pour la (double) negation :

I Introduction :

�¬¬�¬¬i

I Elimination :

¬¬�� ¬¬e

Exemple : p,¬¬(q ^ r) ` ¬¬p ^ r




84 Elimination de l’implication : Modus Ponens

Regle pour l’elimination de l’implication (Modus Ponens ) :

� �! !e

Illustration

1. il pleut ;

2. si il pleut alors la route est mouillee.

alors on peut deduire que la route est mouillee.





Analogie avec les types de fonctions dans les langages deprogrammation

I Soient f une fonction d’elements de type t1 vers des elements detype t2, et e une valeur de type t1, alors f (e) est une valeur de typet2. On note ceci f : t1 ! t2, e : t1 et f (e) : t2.

I Une fonction f : t1 ! (t2 ! t3) est une fonction qui prend enargument un element de type t1 et retourne une fontion de typet2 ! t3. Etant donnes deux elements e1 : t1 et e2 : t2, on af (e1) : t2 ! t3 et f (e1)(e2) : t3.

I Une application du Modus Ponens correspond a appliquer unefonction a son argument.





Etant donnees les premisses

1. p ;

2. p ! q ;

3. p ! (q ! r)

Peut-on deduire r ?

1 p premisse2 p ! q premisse3 p ! (q ! r) premisse4 q !

e

, 1, 25 q ! r !

e

, 1, 36 r !

e

, 4, 5




87 Contraposition ou Modus Tollens

Supposons que p ! q et ¬q soient vraies, si p est vrai alors par la regledu modus ponens on peut deriver q ce qui est en contradiction avec lefait que ¬q est vrai, donc on en deduit que ¬p est vrai. Ce raisonnementest resume dans la regle suivante, appelee regle de Modus Tollens :

�! ¬ ¬� MT





Prouvons le sequent suivant :

p ! (q ! r), p,¬r ` ¬q

1 p ! (q ! r) premisse2 p premisse3 ¬r premisse4 q ! r !

e

1et25 ¬q MT4, 3





MT nous a permis de montrer :

p ! q,¬q ` ¬p

et le sequent

p ! q ` ¬q ! ¬p

semble d’une certaine facon dire la meme chose. Mais jusqu’a present,nous n’avons pas de regles pour introduire le connecteur “implication”.




90 Introduction de l’implication

Le raisonnement a partir d’hypotheses :On sait que p ! q est vrai. Si on suppose (on fait l’hypothese) que ¬qest vrai alors on peut deduire grace a la regle MT que p est faux. Doncen supposant ¬q on peut deduire ¬p donc “¬q implique ¬p”, exprime demaniere symbolique ¬q ! ¬p est deduit.L’argument pour p ! q ` ¬q ! ¬p peut etre resume de la faconsuivante :

1 p ! q premisse2 ¬q hyp.3 ¬p MT1, 2, fin hyp.24 ¬q ! ¬p !

i

, 2� 3





Regle pour l’introduction de l’implication :

� hyp.··· fin hyp.

�! !i





Prouvons le sequent ¬q ! ¬p ` p ! ¬¬q :

1 ¬q ! ¬p premisse2 p hyp.3 ¬¬p ¬¬

i

, 24 ¬¬q MT , 1, 3, fin hyp.25 p ! ¬¬q !

i

, 2� 4





Preuves de formules vraies sans premisse :

1 p hyp.2 ¬¬p ¬¬

i

, 1, fin hyp.13 p ! ¬¬p !

i

, 1� 2

Donc on a etabli ` p ! ¬¬pNote : les formules � telles que ` � sont appelees theoremes. Comme onle verra dans la suite du cours, ` � ssi |= � et donc pour le systeme dededuction naturelle en logique propositionnelle, les theoremes coincidentavec les formules valides.





Toute preuve de �1, . . . ,�n ` est facilement transformable en unpreuve de ` �1 ! �2 ! . . .�

n

! , on obtient donc le lemme suivant :

LemmePour toutes formules �1, . . . ,�n, ,

�1, . . . ,�n ` ssi ` �1 ! �2 ! . . .�n

!




95 Introduction de l’implicationProuvons le sequent suivant :

`? (q ! r) ! ((¬q ! ¬p) ! (p ! r))

1 q ! r hyp.2 ¬q ! ¬p hyp.3 p hyp.4 ¬¬p ¬¬

i

, 35 ¬¬q MT2, 46 q ¬¬

e

57 r !

e

1, 6, fin hyp.38 p ! r !

i

3� 7, fin hyp.29 (¬q ! ¬p) ! (p ! r) !

i

2, 8, fin hyp.110 (q ! r)

! ((¬q ! ¬p) ! (p ! r)) !i

1, 9




96 Introduction de la disjonction

Regle pour introduire la disjonction :

��_ _i1

�_ _i2




97 Comment eliminer la disjonction ?

Imaginons que l’on puisse :

1. etablir une formule � sous hypothese que 1 est vrai,

2. et que l’on puisse egalement etablir � sous hypothese que 2 estvrai,

3. et qu’il existe une preuve pour 1 _ 2

alors on devrait pouvoir deduire �.

Exemple

Supposons que les faits suivant soient vrais :

1. si ma note d’examen est excellente, j’irai boire un verre

2. si ma note d’examen est bonne, j’irai boire un verre

3. ma note sera bonne ou excellente

Je peux donc en deduire que j’irai boire un verre.




Cette strategie de preuve est formalisee dans la regle suivante :

1hyp. 2hyp.· ·· ·· ·

1 _ 2 �fin hyp. �fin hyp.� _e

Attention : dans chacun des deux cas, on ne peut pas utiliser l’hypothesetemporaire faite pour l’autre cas, sauf si cette hypothese a ete etablieavant.




99 Elimination de la disjonction

Prouvons le sequent

p _ q ` q _ p

1 p _ q premisse2 p hyp.3 q _ p _

i2 , fin hyp.24 q hyp.5 q _ p _

i1 , fin hyp.46 q _ p _

e

1, 4� 5, 2� 3




100 Deduction naturelle

Regle de copie pour conclure un raisonnement sous-hypothese.

��copie

Considerons le sequent :

` p ! (q ! p)

Et la preuve suivante :

1 p hyp.2 q hyp.3 p copie1, fin hyp.24 q ! p !

i

2, 3, fin hyp.15 p ! (q ! p) !

i

1� 4




101 Regles pour la negation.

Les contradictions sont des formules de la forme :

¬� ^ � ou � ^ ¬�

I Notons qu’aucune valuation ne satisfait une contradiction. Donc ona ¬� ^ � |= pour n’importe quel . Donc si la methode dededuction est complete, on devrait avoir : ¬� ^ � ` pourn’importe quel .

I intuition : si le faux est vrai, alors tout est vrai.

I Toutes les contradictions sont logiquement equivalentes a la formule?.




Regles pour la negation.

Le fait que l’on peut tout deduire a partir d’une contradiction estformalise par la regle suivante :

?�?e

Le fait que ? represente une contradiction est formalise par la reglesuivante :

� ¬�? ¬e

Comment introduire une negation ?




Supposons que l’on fasse une hypothese et que l’on arrive a deduire unecontradiction, dans ce cas l’hypothese est fausse. Ceci est formalise par laregle de preuve suivante :

� hyp.···? fin hyp.

¬� ¬i




104 Exemple avec la negation

On est maintenant en mesure de prouver le sequent de l’exempleintroductif (taxi-train-invite) :

p ^ ¬q ! r ,¬r , p ` q

1 p ^ ¬q ! r premisse2 ¬r premisse3 p premisse4 ¬q hyp.5 p ^ ¬q ^

i

3, 46 r !

e

1, 57 ? ¬

e

6, 2, fin hyp.48 ¬¬q ¬

i

4� 79 q ¬¬

e

8




105 Regles pour l’equivalence

�1 ! �2 �2 ! �1�1 $ �2

($i)

�1 $ �2�1 ! �2

($e1)

�1 $ �2

�2 ! �1($e1)




106 Regles derivees

Notons que MT

�! ¬ ¬� MT

est une regle derivee. En e↵et :

1 �! premisse2 ¬ premisse3 � hyp.4 !

e

1, 35 ? ¬

e

4, 2, fin hyp.36 ¬� ¬

i

3� 5




107 Regles DeriveesAutres regles derivees :

¬� hyp.···? fin hyp.

� RAA

RAA :reductio ad absurdum. Cela s’appelle encore un raisonnement parl’absurde ou par contradiction.

�¬¬�¬¬i

�_¬�LEM

LEM : Law of the excluded middle. La loi du tiers exclu.




108 Theoremes

Theoreme (Adequation)

Pour tout �1, . . . ,�n,�, si �1, . . . ,�n ` �, alors �1, . . . ,�n |= �.

Theoreme (Completude)

Pour tout �1, . . . ,�n,�, si �1, . . . ,�n |= �, alors �1, . . . ,�n ` �.




109 Exercices

Demontrer les sequents suivants en deduction naturelle :

1. ` p ! p

2. ` ¬(p ^ ¬p)3. ` p ! (q ! p)

4. ` p ! ((p ! q) ! q)

5. p ^ q ` p _ r

6. p ^ q ` r ! p

7. p ! q ! r ` (p ^ q) ! r

8. p ! q ! r ` q ! p ! r

9. p !` ¬(p ^ ¬q)10. p ! (q _ r) ` ¬r ! (¬q ! ¬p)11. p _ q, p ! r ,¬s ! ¬p ` r _ s

12. ` p _ ¬p (sans utiliser la regle LEM !)




110 ` p _ ¬p

1. ¬(p _ ¬p) H1

2. p H2

3. p _ ¬p _i1 (2)

4. ? ¬e

(1, 3), FIN H2,5. ¬p ¬

i

(2� 4)6. p _ ¬p _

i2 (5)7. ? ¬

e

(1, 6) FIN H1

8. p _ ¬p RAA (1� 7)




Formes Normales



Formes normales

112 Les formes normales

Une formule est en forme normale conjonctive (FNC) ssi c’est uneconjonction de disjonctions de litteraux, c’est-a-dire une formule de laforme :

Vi

(W

j

(¬)pi,j)

Une formule est en forme normale disjonctive (FND) ssi c’est unedisjonction de conjonctions de litteraux, c’est-a-dire une formule de laforme :

Wi

(V

j

(¬)pi,j)



Formes normales


Exemples :

p ^ (q _ ¬r) ^ (¬p _ r)

est une formule en forme normale conjonctive. Tandis que

p _ (q ^ ¬r) _ (¬p ^ r)

est une formule en forme normale disjonctive.

Exercice : donner une forme normale disjonctive pour la premiereformule et une forme normale conjonctive pour la seconde.



Formes normales


Notons Prop(�) l’ensemble des propositions qui apparaıssent dans laformule �.Fonction associee a une formule :

F� : Valuation ! {0, 1}ou encore

F� : {0, 1}Prop(�) ! {0, 1}

F� assigne a chaque valuation possible pour les propositions de � lavaleur 0 ou 1. On definit F� de la facon suivante :

F�(V ) = [[�]]V



Formes normales


Proposition

Deux formules � et sont equivalentes ssi elles definissent la memefonction, c’est-a-dire pour toute fonction d’interpretation V despropositions de �, F�(V ) = F (V ).

(Preuve laissee comme exercice)

CorollaireIl existe au plus 22

n

formules, deux a deux non equivalentes, du calculpropositionnel construit sur n propositions.

Preuve : Soient A et B deux ensembles finis. Le nombre de fonctions(totales) de A vers B est |B ||A|. Dans notre cas, B = {0, 1} et A estl’ensemble des valuations de n propositions, i.e. des fonctions totales de{p1, . . . , pn} vers {0, 1}, il y en a 2n. Donc |A| = 2n et |B | = 2.L’ensemble des fonctions F� pour toute formule � construite sur npropositions contient donc 22

n

fonctions di↵erentes.



Formes normales


TheoremeToute formule de la logique propositionnelle est equivalente a une formenormale disjonctive et a une forme normale conjonctive.

On utilise les transformations successives suivantes pour obtenir lesformes normales :

1. elimination des connecteurs ! et $ grace aux equivalencessuivantes :

(�! ) ⌘ (¬� _ )(�$ ) ⌘ (¬� _ ) ^ (� _ ¬ )

2. entrer les negations le plus a l’interieur possible :

¬(� ^ ) ⌘ (¬� _ ¬ ) ¬¬� ⌘ �¬(� _ ) ⌘ (¬� ^ ¬ )

3. utilisation des distributivite de ^ et _ l’un par rapport a l’autre :

(� ^ ( _ �)) ⌘ (� ^ ) _ (� ^ �) (pour mise sous FND)(� _ ( ^ �)) ⌘ (� _ ) ^ (� _ �) (pour mise sous FNC)



Formes normales

117 Exercice

Appliquer ces transformations a :

¬(p $ (q ! r))



Formes normales

Solution pour la mise en FNC de ¬(p $ (q ! r))1. on retire les equivalences et implications :

¬((¬p _ ¬q _ r) ^ (¬(¬q _ r) _ p))

2. on pousse les negations a l’interieur :

(p ^ q ^ ¬r) _ ((¬q _ r) ^ ¬p)

3. on distribue :

((p ^ q ^ ¬r) _ (¬q _ r)) ^ ((p ^ q ^ ¬r) _ ¬p)

4. et encore :

(p_¬q_r)^(q_¬q_r)^(¬r_¬q_r)^(p_¬p)^(q_¬p)^(¬r_¬p)

5. on retire les formules equivalentes a > :

(p _ ¬q _ r) ^ (q _ ¬p) ^ (¬r _ ¬p)



La Resolution

La Resolution



La Resolution

120 Introduction

I La resolution est une methode pour tester la satisfaisabilite d’uneformule.

I La resolution est a la base de la programmation logique et estutilisee par les solveurs SAT.

I Basee sur une seule operation simple : la coupure.

I Les formules doivent etres sous FNC, en sous forme d’ensemble declauses.

I La resolution permet d’etablir des preuves par refutation : a partird’un ensemble de clauses, on essaie de deriver ? en appliquantiterativement la regle de coupure. Si on peut deriver ?, alorsl’ensemble de clauses de depart est insatisfaisable.

I On verra que cette methode est complete et adequate : si unensemble de clauses est insatisfaisable, alors il existe une suited’application de la coupure qui mene a ?. Reciproquement, si onarrive a ?, alors l’ensemble de clauses de depart est insatisfaisable.



La Resolution

121 Litteraux et Clauses

Rappels

I Une formule propositionnelle � est un litteral si et seulement si � estune proposition ou la negation d’une proposition.

I Une valuation V satisfait un ensemble de formulesA = {�1, . . . ,�n}, que l’on note V |= A, si et seulement siV |= �1 ^ · · · ^ �

n

. Si A = ?, alors toute valuation V satisfait A.

Donc, p et ¬p sont des litteraux.

DefinitionUne formule propositionnelle � est une clause si � = ? (la clause vide) ou� = `1 _ `2 _ · · · _ `

n

ou n � 1 et chaque `i

, 1 i n, est un litteral .

Par exemple, p _ ¬q _ r est une clause, mais pas p ^ q.



La Resolution

122 Remarque

Une clause

¬a1 _ ¬a2 _ · · · _ ¬am

_ b1 _ b2 _ · · · _ bn

ou a1, a2, . . . , am, b1, b2, . . . , bn sont des propositions peut etre ecritecomme l’implication :

a1 ^ a2 ^ · · · ^ am

! b1 _ b2 _ · · · _ bn

On dit que les proposition ai

apparaissent positivement, et lespropositions b

i

negativement.



La Resolution

123 Exemples de clauses

I une clause negativeExemple : ¬p _ ¬q

I une clause positiveExemple : p _ r

I la clause vide ?I une clause tautologique (une proposition apparaıt positivement et

negativement)Exemple : p _ r _ ¬p



La Resolution

124 Satisfaction de clauses

1. Puisque les clauses sont des formules, la notion de satisfaction declauses est la meme que la satisfaction de formules

2. La clause vide n’est satisfaite par aucune fonction d’interpretation.

3. La clause vide est la seule clause non satisfaisable.

4. Une clause tautologique est satisfaite par toutes les fonctionsd’interpretation.



La Resolution

125 Interpretation des ensembles de clauses

Nous etendons maintenant les notions de satisfaction, satisfaisabilite,validite et consequence logique aux ensembles de clauses :

Definition

1. Un ensemble de clauses S est satisfait par la fonction d’interpretationV si et seulement si on a que V |=C pour toute clause C 2 S .

2. Un ensemble de clauses S est satisfaisable si et seulement si il existeune fonction d’interpretation qui satisfait S .

3. Un ensemble de clauses S est valide si et seulement si toute fonctiond’interpretation V satisfait S .

4. Une clause C est une consequence logique d’un ensemble de clausesS , ce que l’on note S |= C si et seulement si pour toute valuation Vqui satisfait S , V satisfait C .



La Resolution

126 Interpretation des ensembles de clauses

Et donc,

I L’ensemble vide de clause est valide et donc satisfaisable.

I Soit S un ensemble de clauses et C une clause tautologique,S [ {C} est satisfaisable (respectivement valide) si et seulement si Sest satisfaisable (respectivement valide).

I Ce dernier corollaire nous indique que, lorsque l’on veut verifier lasatisfaisabilite ou la validite d’un ensemble de clauses, on peuttoujours supprimer les clauses tautologiques.



La Resolution

127 Exemples

I S1 = {p _ q, r _ ¬p} est satisfaisable par V avec V (p) = V (r) = 1et V (q) = 0

I l’ensemble n’est pas valide car V (p) = V (q) = 0 ne satisfait pas S1.

I la clause p _ r est une consequence logique de S2 = {p _ ¬q, q _ r}.



La Resolution

Equivalence entre ensembles de clauses et formules

Proposition

Toute formule � est equivalente a un ensemble fini de clauses.

Preuve : utiliser la mise sous FNC.Exercice : calculer un ensemble de clauses equivalent a ¬(p $ (q ! r)).



La Resolution

129 Regle de coupure

Exemples de coupure

I |= (¬� _ ) ^ �! (Modus Ponens).

I |= (¬� _ ) ^ (� _ 0) ! _ 0.

DefinitionEtant donnees deux clauses de la forme

C1 = p1 _ · · · _ pi�1 _ p _ p

i+1 _ . . . pn

_ ¬q1 _ · · · _ ¬qm

C2 = ¬s1 _ · · · _ ¬sj�1 _ ¬p _ ¬s

j+1 _ . . .¬sk

_ r1 _ · · · _ r`

i.e. deux clauses qui ont une proposition commune p positive dans C1 etnegative dans C2. La regle de coupure permet de deduire la clause :

C3 = p1 _ · · · _ pi�1 _ p

i+1 _ · · · _ pn

_ r1 _ · · · _ r`_¬q1 _ · · · _ ¬q

m

_ ¬s1 _ · · · _ ¬sj�1 _ ¬s

j+1 _ _¬sk

Si n = k = 1 et m = ` = 0, alors C3 = ?. On note par C1,C2`c

p

C3 le faitque C3 est deductible de C1,C2 par coupure sur la proposition p.



La Resolution

130 Coupures : exemples

I ¬e _ b _ p,¬p _ a _ b `c

p

¬e _ a _ b

I p _ r _ s,¬t _ ¬s _ u `c

s

p _ r _ ¬t _ u

I p _ r _ s,¬t _ ¬s _ ¬p `c

p

r _ s _ ¬t _ ¬s = >I ¬p, p _ q `c

p

q

I ¬p, p `c

p

? (clause vide)



La Resolution

131 Validite de la regle de coupure

TheoremeSi C1,C2`c

p

C3, alors C3 est une consequence logique de C1 ^ C2.

Idee de la preuve

C1 = p1 _ · · · _ pi�1 _ p _ p

i+1 _ . . . pn

_ ¬q1 _ · · · _ ¬qm

C2 = ¬s1 _ · · · _ ¬sj�1 _ ¬p _ ¬s

j+1 _ . . .¬sk

_ r1 _ · · · _ r`C3 = p1 _ · · · _ p

i�1 _ pi+1 _ · · · _ p

n

_ r1 _ · · · _ r`_¬q1 _ · · · _ ¬q

m

_ ¬s1 _ · · · _ ¬sj�1 _ ¬s

j+1 _ _¬sk

Soit V telle que V |= C1 ^ C2, alors

I si V (p) = 0, alorsV |= p1 _ · · ·_ p

i�1 _ pi+1 _ . . . p

n

_¬q1 _ · · ·_¬qm

, donc V |= C3.

I si V (p) = 1, alorsV |= ¬s1 _ · · ·_¬s

j�1 _¬sj+1 _ . . .¬s

k

_ r1 _ · · ·_ r`, donc V |= C3.



La Resolution

132 Elimination de litteraux redondants

Prenons C1 = a _ a _ ¬b _ c et C2 = ¬a _ d . Alors :

1 a _ a _ ¬b _ c premisse2 ¬a _ d premisse3 a _ ¬b _ c _ d a, 1, 2

a est toujours present, et nous ne pourrons jamais deduire la clause¬b _ c _ d . En fait, le systeme n’est pas complet et on doit ajouter unenouvelle regle notee `

r

permettant de retirer la redondance :

`1 _ . . . ì

_ ` _ ì+1 _ . . . `

j�1 _ ` _ `j+1 _ . . . `n

`r

`1 _ · · · _ ì

_ ` _ ì+1 _ · · · _ `

j�1 _ `j+1 _ · · · _ `n

ou les `k

et ` sont des litteraux.



La Resolution

133 Preuve par coupure

DefinitionSoit S un ensemble de clauses et C une clause. Une preuve de C parcoupure a partir de S est une suite finie de clauses C1,C2, . . . ,Cn

ouCn

= C et pour tout i , 1 i n, on a que :

I soit Ci

2 S ;

I ou il existe k , l , 1 k < l < i et p tels que Ck

,Cl

`c

p

Ci

.

I ou il existe 1 k < i tel que Ck

`r

Ci

.

On note par S`cC le fait que C est deductible de S par coupure.

Par exemple : de S = {¬q _ p,¬r _ q, r _ s}`cs _ p avec la preuve parcoupure suivante :

1 ¬q _ p premisse2 ¬r _ q premisse3 r _ s premisse4 p _ ¬r q, 1, 25 s _ p r , 3, 4



La Resolution

134 Preuve par coupure, autres exemplesS = {a _ b _ ¬c , a _ b _ c , a _ ¬b,¬a}`c? En e↵et :

1 a _ b _ ¬c premisse2 a _ b _ c premisse3 a _ ¬b premisse4 ¬a premisse5 ¬b a, 2, 36 a _ c b, 2, 57 c a, 4, 68 a _ b c , 1, 79 b a, 4, 810 ? b, 5, 9

c’est ce qu’on appelle une preuve par refutation. On a derive la clausevide de S , donc S n’est pas satisfaisable. En e↵et, si S etait satisfait parune valuation V , alors par validite de la regle de coupure, on aurait aussique toutes les clauses derivees sont satisfaites par V , et donc aussi ?, cequi est impossible.



La Resolution

135 Adequation des preuves par coupure

TheoremePour tout ensemble de clauses S et pour toute clause C , si S`cC alorsS |= C .

Preuve. La preuve est laissee en exercice. Indices : utiliser la validite de laregle de coupure et raisonner par induction sur la longueur de la preuve.



La Resolution

136 Refutation

DefinitionUne refutation d’un ensemble S de clauses par coupure est une derivationde la clause vide a partir de S .

TheoremeSi il existe un refutation de S par coupure alors l’ensemble de clauses Sest non satisfaisable.

Par exemple, {p,¬p _ q,¬q _ r ,¬r} est non satisfaisable :

1 p premisse2 ¬p _ q premisse3 ¬q _ r premisse4 ¬r premisse5 q p, 1, 26 r q, 2, 57 ? r , 4, 6



La Resolution

137 Exercices

Demontrer que les ensembles de clauses suivants ne sont passatisfaisables en donnant une refutation par coupure.

I S1 = {a _ ¬b _ c , b _ c ,¬a _ c , b _ ¬c ,¬b}I S2 = {a _ ¬b, a _ c ,¬b _ c ,¬a _ b, b _ ¬c ,¬a _ ¬c}



La Resolution

Preuve du theoreme

Si S`c ?, alors S |=?. Supposons que V satisfait S , alors V satisfait ?,c’est qui est impossible. Donc S n’est pas satisfaisable.



La Resolution

139 Preuve par refutation et preuve de consequence logique

QuestionComment peut-on se servir de la notion de refutation pour verifier qu’uneformule � est une consequence logique d’un ensemble fini de formules 1, 2, . . . , n

?

Il su�t de proceder de la facon suivante :

1. transformer la conjonction

1 ^ 2 ^ · · · ^ n

en un ensemble fini S de clauses (cette transformation est toujourspossible) ;

2. de la meme facon, transformer ¬� en un ensemble S 0 de clauses ;

3. construire l’ensemble de toutes les clauses D deductibles par coupurede S [ S 0.



La Resolution

140 Preuve par refutation et preuve de consequence logique

Si la clause vide appartient a l’ensemble D alors l’ensemble D n’est passatisfaisable et donc l’ensemble S [S 0 ne l’est pas non plus, ce qui revienta dire que la formule 1 ^ 2 ^ · · · ^

n

^ ¬� n’est pas satisfaisable etdonc � est une consequence logique de l’ensemble { 1, 2, . . . , n

}.

Remarque : lors du calcul de D, on peut s’arreter des qu’on trouve laclause vide, car on sait qu’alors l’ensemble S [ S 0 n’est pas satisfaisable.



La Resolution

141 Completude de la methode par refutation

La methode par refutation est dite complete :

TheoremeSi un ensemble S de clauses est non satisfaisable, alors on peut deduire laclause vide a partir de S avec un nombre fini de pas de resolution.



La Resolution

Remarques

I on a vu que la reciproque est vraie.

I pour decider si une formule est satisfaisable avec la methode deresolution, il faut appliquer les regles `c

p

et `r

de maniere exhaustivejusqu’a ce qu’on ne genere plus de nouvelles clauses (il y a unnombre fini de clauses pouvant etre deduites), et tester que la clausevide n’a pas ete generee.

Logique Propositionnelle - univ-reunion.frlim.univ-reunion.fr/.../1-logique-propositionnelle.pdfLa...

Documents

Transcript of Logique Propositionnelle - univ-reunion.frlim.univ-reunion.fr/.../1-logique-propositionnelle.pdfLa...