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IntroductionLogique modale propositionnelle

Logique modale quantifieeConclusion

Logique modale et intensionnalite

Paul Egre

Institut Jean-Nicod, CNRShttp://paulegre.free.fr

Ateliers JSM, Bordeaux, 28 mars 2006

Paul Egre ateliersJSM

References utiles

R. Montague 1968, ‘Pragmatics’M. Aloni 2005, ‘Individual Concepts in Modal PredicateLogic’, Journal of Philosophical Logic.P. Blackburn 1999, M. de Rijke et Y. Venema, Modal Logic,Cambridge.M. Fitting & R. Mendelsohn (1998), First-Order ModalLogic, Kluwer.G.E. Hughes & M.J. Cresswell (1996), A new Introductionto Modal Logic, Routledge.

Parcours prevu

1 Logique modale propositionnelle2 Logique modale quantifiee

Syntaxe, Semantique et Pragmatique

Montague 1968, sur la division de Morris 1938 :Syntax : ‘relations between linguistic expressions’Semantics : ‘relations between expressions and theobjects to which they refer’Pragmatics : ‘relations among expressions, the objects towhich they refer, and the users or contexts of use of theexpressions’

L’indexicalite

Montague 1968 : ‘pragmatics concern itself with what C. S.Peirce had in the last century called indexical expressions,that is words and sentences of which the reference cannotbe determined without knowledge of the context of use;examples are the words ‘I’ and ‘here’, as well as sentencesinvolving tenses’

Semantique et Pragmatique

‘It seemed to me desirable that pragmatics should at leastinitially follow the lead of semantics, which is primarilyconcerned with the notion of truth (in a model, or under aninterpretation), and hence concern itself also with truth -but withrespect not only to an interpretation but also to a context ofuse’.

Logique modale et pragmatique

Un langage pragmatique : un langage du premier ordreavec egalite et operateurs modauxindices, points de reference et mondes possibles‘For instance, if the only indexical feature of L were theoccurrence of tense operators, then the points of referencemight naturally be chosen as moments of time, regardedas possible moments of utterance’

exemples :‘il pleut’, vrai ou faux selon le contexte‘j’aime lire’ : vrai ou faux selon le locuteur

Interpretation, Extension et Intension

Semantique : interpretation < W ,D, I >

W = ensemble des mondesD = domaine d’individus DI = fonction d’interpretation, de domaine L×W

Extension = denotation relativement a un mondeIntension = fonction des mondes dans les extensionsExemple : constante d’individu c = ‘le president Americain’(Montague 1968, 99) : ‘we should specify for each moment ithe person regarded as the American President at i ’I(c)(w)= Richard Nixon, I(c)(w ′)=George Bush

Logiques modales et Pragmatique

‘When we come to consider special disciplines comprehendedby pragmatics - disciplines such as tense logic, modal logic, thelogic of personal pronouns...’⇒ logique temporelle, logique modale standard, logiquedeontique

Logique epistemique et pragmatique

Montague 1968 n’inclut pas explicitement la logiqueepistemique parmi les specialisations de la pragmatique.Cependant, les verbes d’attitude comme ‘croire’ ou ‘savoir’introduisent de l’indexicalite:

‘il pleut’ vs ‘Pierre croit qu’il pleut’monde reel vs mondes de croyance

Objet de cet atelier : logique modale et applications.

Semantique de CarnapSemantique de Kripke

Langage

Alphabet: ensemble denombrable d’atomes p, q, r ,...

1 Atomes: tout atome est une formule2 Si φ est une formule, ¬φ est une formule3 Si φ et ψ sont des formules, alors (φ ∧ ψ) est une formule.4 Si φ est une formule, alors �φ est une formule.5 Rien d’autre n’est une formule.

Abbreviations: ♦φ:= ¬�¬φ(φ ∨ ψ) := ¬(¬φ ∧ ¬ψ)(φ→ ψ) := ¬(φ ∧ ¬ψ)

Semantique de Leibniz-Carnap

Leibniz: une formule est necessairement vraie ssi elle est vraiedans tous les mondes possibles.

Un modele M = 〈W ,V 〉 est un couple constitue d’un ensembleW (de mondes possibles), et d’une fonction d’interpretation Vqui associe a chaque atome du langage un sous-ensemble demondes possibles. La satisfaction des enonces est relative achaque monde possible.

Validite

Definition: on dit que φ est valide, et on note |= φ, ssi pour toutmodele M et tout monde w du modele, M,w |= φ.

ex: |= �φ→ φPreuve: soit M = 〈W ,V 〉 et w ∈ W tels que M,w |= �φ.Alors pout tout v ∈ W , M, v |= φ, donc en particulierM,w |= φ. Donc M,w |= �φ→ φ.ex: 2 φ→ �φPreuve: soit W = {w , v} tel que: w(p) = 1, v(p) = 0.On a: M,w |= p. Mais M,w 2 �p, puisque M, v |= ¬p.Donc M,w 2 p → �p.Comparer: ”S’il est necessaire qu’il pleuve, alors il pleut””S’il pleut, alors il est necessaire qu’il pleuve”.

Validite

Exercice

Determiner si les formules suivantes sont valides:

(1) �p → ��p(2) �p → ♦�p(3) �(p ∨ q) → �(p ∨ q)

(4) ♦(p ∨ q) → (♦p ∨ ♦q)

Lien avec la logique quantifiee

Fonction de traduction ST : des enonces de la logique modalevers ceux de la logique des predicats:

STx(p) = P(x)STx((φ ∧ ψ)) = (STx(φ) ∧ STx(ψ))STx(¬φ) = ¬STx(φ)STx(�φ) = ∀xSTx(φ)STx(♦φ) = ∃xSTx(φ)

Par exemple :STx(�(p → q) ∨�(q → p)) = ∀x(P(x) → Q(x)) ∨ ∀x(Q(x) →P(x))

STx(�♦p)) = ∀xSTx(♦p) = ∀x∃xP(x)

Verifonctionnalite

Syntaxiquement, � et ♦ sont des operateurs unaires, comme lanegation ¬. Mais ce ne sont pas des operateursverifonctionnels:

Pour la negation, on a: si w(φ) = w(ψ), alorsw(¬φ) = w(¬ψ).Mais on peut avoir: w(φ) = w(ψ), sans quew(�φ) = w(�ψ)

ex: W = {w , v}. On pose: V (p) = W , V (q) = {w}.Alors: w(p) = w(q) = 1. Mais w(�p) = 1, mais w(�q) = 0.

C’est en ce sens que � et ♦ sont des operateurs intensionnels.

Verifonctionnalite

Correspondance

Etant donne une structure d’interpretation M = 〈W ,V 〉, onnote:

M |= STx(φ) [x := w ] pour dire que M satisfait la formuleSTx(φ) lorsqu’on donne pour valeur w a la variable libre x .Lorsque x est liee par un quantificateur, on pose:M |= ∀xφ [x := w ] ssi pour tout d dans U, M |= φ [x := d ].

M,w |= φ ssi M |= STx(φ) [x := w ]

Correspondance

M,w |= φ ssi M |= STx(φ) [x := w ]

Correspondance

M,w |= φ ssi M |= STx(φ) [x := w ]

Correspondance

M,w |= φ ssi M |= STx(φ) [x := w ]

Exemple

�(p ∨ q) vs �p ∨�q∀x(P(x) ∨Q(x)) vs ∀xP(x) ∨ ∀xQ(x)

Prenons pour W l’ensemble N des entiers naturels.P(x) := x est pair, Q(x) := x est impair

Comparer a : “tout entier pair est impair ou tout entier impairest pair”.

Preuve du theoreme

Par induction sur la complexite des formules.On pose pour tout atome p, V (p) = V (P).

M,w |= p ssi w ∈ V (p) ssi w ∈ V (P) ssiM |= P(x) [x := w ] ssi M |= STx(p) [x := w ]

Preuve du theoreme

Le carre aristotelicien des oppositions

Un operateur modal peut donc etre vu comme unquantificateur, et un modele 〈W , I〉 de logique modale peutaussi bien etre considere comme un modele pour une formulede la logique quantifiee.�p �¬p∀xP(x) ∀x¬P(x)

♦p ♦¬p∃xP(x) ∃x¬P(x)

Semantique de Kripke

On enrichit les modeles a l’aide de relations d’accessibilite. Unmodele de Kripke est un triplet 〈W ,R,V 〉 avec R une relationbinaire sur W ×W .

M,w |= p ssi w ∈ V (p)

M,w |= ¬φ ssi M,w 2 φ

M,w |= (φ ∧ ψ) ssi M,w |= φ et M,w |= ψ

M,w |= �φ ssi pour tout w ′ tel que wRw ′, M,w ′ |= φ

M,w |= ♦φ ssi il existe w ′ tel que wRw ′ et M,w ′ |= φ.

Quantification restreinte

La semantique de Kripke, comparee a celle de Carnap, traiteles operateurs modaux comme des quantificateurs restreints.

Comparer:Chacun est venu ∀xV (x)Chaque homme est venu ∀x(H(x) → V (x))Quelqu’un est venu ∃xV (x)Un homme est venu ∃x(H(x) ∧ V (x))

Validite

Definition: on appelle 〈W ,R〉 un cadreUne formule est valide ssi pour tout cadre et tout modele deKripke base sur ce cadre, elle est vraie en tout monde dumodele.

Validite

Invalidite

ex: 2 �φ→ φPreuve: soit W = {w , v} et R = {(w , v)}. V (p) = {v}.

w // vp

La semantique de Kripke est plus generale que celle deCarnap: en ajoutant des modeles, on perd des validites.Comparer:(1) Si chacun est venu, alors Pierre est venu:

(2) Si chaque linguiste est venu, alors Pierre est venu: ×

Invalidite

w // vp

Invalidite

w // vp

Exercice

(i) Montrer que les formules suivantes ne sont pas valides:

(1) �p → ♦p(2) �p → ��p

(ii) Comparer les formules a:

(3) S’il est necessaire qu’il pleuve, alors il est possible qu’ilpleuve(4) S’il est necessaire qu’il pleuve, alors il est necessaire qu’ilsoit necessaire qu’il pleuve.

Exercice

(i) Montrer que les formules suivantes ne sont pas valides:

(1) �p → ♦p(2) �p → ��p

(ii) Comparer les formules a:

(3) S’il est necessaire qu’il pleuve, alors il est possible qu’ilpleuve(4) S’il est necessaire qu’il pleuve, alors il est necessaire qu’ilsoit necessaire qu’il pleuve.

Variete des modalites

(1) Modalites alethiques: il est necessaire que, il est possiblequeW= ensemble des mondes possiblesR= accessibilite metaphysique

(2) Modalites epistemiques: Pierre est certain que, Pierren’exclut pas queW= mondes epistemiques possiblesR= incertitude epistemique

(3) Modalites temporelles: il sera toujours le cas que, il seraparfois le cas queW= instants du tempsR= succession temporelle

Contraintes sur R

La logique sous-jacente a chacune de ces expressionsmodales n’est pas necessairement la meme: on peutnotamment faire varier les contraintes sur R:exemples:

R est reflexive: ∀w(wRw)

R est symetrique: ∀x∀y(xRy → yRx)

R est transitive: ∀x∀y∀z(xRy ∧ yRz → xRz)

Quelques resultats de correspondence

�φ→ φ est valide dans un cadre 〈W ,R〉 ssi R est reflexive.

Preuve: (⇐): supposons R reflexive. Soit M et w tels queM,w |= �φ. Alors pour tout w ′ tel que wRw ′, M,w ′ |= φ, et parreflexivite, M,w |= φ.(⇒): supposons R non-reflexive. Ie il existe w tel que ¬wRw .Dans ce cas, soit V (p) = W − {w}. Clairement, M,w |= �p,mais M,w 2 p.

Exercices

1. Montrer de la meme facon que �p → ��p est valide dansun cadre ssi R est transitive.2. Montrer que p → �♦p est valide ssi R est symetrique.3. Montrer que �p → ♦p est valide dans un cadre ssi R estserielle, ie ssi ∀x∃yxRy .4. Montrer que ¬�p → �¬�p est valide dans un cadre ssi Rest euclidienne, ie ssi xRy ∧ xRz → yRz

Resultats de correspondence

T �p → p R est reflexive4 �p → ��p R est transitive5 ¬�p → �¬�p R est euclidienneD �p → ♦p R est serielle

Applications : logique epistemique

�p represente: “je sais que p”.On decrit canoniquement la connaissance par un systeme quisatisfait:

4: introspection positive5: introspection negativeT: veridiciteD: coherence

Exemple: logique multi-modale

Un modele multi-agent: 〈W ,R1,R2,V 〉.

Situation: on donne a 1 et a 2 un nombre entier positif. Lesnombres sont necessairement consecutifs.

On represente la structure d’information par des couples(n,n + 1). On note: pn: “1 a le nombre n”, et “qn 2 a le nombren”.

1) Montrer que : dans la situation (3,4), on a: ♦1♦2p5.

2) On definit un operateur C1,2φ pour dire que φ estconnaissance commune entre 1 et 2: ie p, K1p, K2p, K1K1p,K2K1p, ... Montrer que relativement a (2,3), il n’est pasconnaissance commune que les agents ont un nombreinferieur a 100. (!)

Logique temporelle

Un modele lineaire du temps. Structure : 〈W , <,V 〉.

On considere deux modalites: F et P

M,w |= Fp ssi il existe w ′ tel que w > w ′ et M,w ′ |= pM,w |= Pp ssi il existe w ′ tel que w ′ < w et M,w ′ |= p

Par definition: Gp := ¬F¬pHp := ¬P¬p

Liens avec le langage naturel

Approximations (cf. Blackburn, Tense, Temporal Reference andTense Logic).p Pierre gagne au lotoFp Pierre gagnera au lotoPp Pierre a gagne au lotoPPp (?) Pierre eut gagne au lotoFPp Pierre aura gagne au lotoPF Pierre gagnerait au loto

Proprietes de la logique temporelle

Exercice: Montrer que

2 Fp → p|= Gp → Fp2 p → GFp|= Gp → GGp

Exercice

On considere les trois cadres: (Z, <), (Q, <) et (R, <). Danslesquels de ces cadres la formule suivante est-elle valide (cf.Blackburn & al. 1999):

(p ∧ Hp) → FHp ?

Reponse: dans Z seulement (NB. noter la correction d’uneerreur sur R lors de l’expose).

Limites de pouvoir expressif

La logique modale est-elle aussi expressive que la logique dupremier-ordre ?

Peut-on contraire une relation d’accessibilite a satisfaire:∀x¬Rxx ? ex: “Aucun instant n’est anterieur a lui-meme” ?Reponse: non

Morphisme borne

Etant donne deux modeles 〈W ,R,V 〉 et 〈W ′,R′,V ′〉, f est unmorphisme borne ssi:

1. w |= p ssi f (w) |= p2. si wRv , alors f (w)R′f (v)3. si f (w)Rv ′, alors il existe v tel que wRv et v ′ = f (v).

ex: les entiers naturels avec < vs le cadre a un seul monde, telque xRx . On pose: f (n) = x pour tout n. Verifier que f est unmorphisme borne.

Invariance par morphisme borne surjectif

Surjectivite: tout element de F ′ est l’image d’un element de F

Proposition: si f est un morphisme borne surjectif de M versM ′, alors pout toute formule et tout w , M,w |= φ ssiM ′, f (w) |= φ.

Preuve: par induction. Si M,w |= ♦φ, alors il existe v tel quewRv et M, v |= φ. Par induction, M ′, f (v) |= φ, et parmorphisme, f (w)R′f (v), ie M ′, f (w) |= ♦φ. Idem pour lareciproque.Preuve

Indefinissabilite

La notion de morphisme borne surjectif peut etre definie pourles cadres:

Proposition: S’il existe un morphisme surjectif de F vers F ′,alors si F |= φ, alors F ′ |= φ.

Preuve: supposons que F |= φ mais (F ′,V ′),w ′ 2 φ pour unevaluation V . On definit sur F la valuation:V (pi) := {w ∈ W ; f (w) ∈ V ′(pi)}. Alors f est un morphismesurjectif borne entre les modeles. Par surjectivite, il existe w telque f (w) = w ′.

Application

Proposition: ∀x¬Rxx n’est pas definissable. Soit f lemorphisme surjectif de F = 〈N, <〉 sur F ′ = {{w},R}, tel quewRw . Clairement, F |= ∀x¬x < x . Mais on n’a pasF ′ |= ∀x¬xRx . Donc cette propriete n’est pas definissablemodalement, sinon elle serait preservee.

La logique modale propositionnelle n’a pas tout le pouvoirexpressif de la logique du premier ordre (bien qu’elle puisseaussi definir des conditions sur les cadres qui ne sont pasdefinissables au premier-ordre).

La logique modale du premier-ordre

La logique modale propositionnelle est une extension de lalogique propositionnelle par l’ajout des operateurs modaux.

On peut de la meme facon definir la logique modale dupremier-ordre en ajoutant au langage de la logique dupremier-ordre des modalites.

Langage

Alphabet: un ensemble denombrable de variables d’individus x ,y , z, ...Ensemble denombrable de symboles de predicats: P, Q, R

Formules atomiques: R(x1, ..., xn).Si φ est une formule, ¬φ est une formuleSi φ et ψ sont des formules, (φ ∧ ψ) est une formuleSi φ est une formule ∃xφ et ∀xφ sont des formulesSi φ est une formule, �φ et ♦φ sont des formules.Rien d’autre n’est une formule.

Exemples

∃x�P(x)

�∃xP(x)

∀x�∃yxRy

∀x�∃y♦xRy

La distinction de re-de dicto

(1) Necessairement quelqu’un gagnera a la loterie(2) Il y a quelqu’un qui, necessairement, gagnera a la loterie

(3) Je sais que quelqu’un gagnera a la loterie(4) Il y a quelqu’un dont je sais qu’il gagnera a la loterie

La distinction de re-de dicto

(1) Necessairement quelqu’un gagnera a la loterie(2) Il y a quelqu’un qui, necessairement, gagnera a la loterie

(3) Je sais que quelqu’un gagnera a la loterie(4) Il y a quelqu’un dont je sais qu’il gagnera a la loterie

Distinctions de portee

En logique du premier-ordre, on distingue:

(1) ∀x∃yxRy(2) ∃y∀xxRy(3) Tout le monde aime quelqu’un(4) Il y a quelqu’un que tout le monde aime

Portee des operateurs modaux

�∃xP(x): dans tout monde possible, il y a un P

∃x�P(x): il y a un x qui, dans tout monde possible, est P

Modalite de dicto: � prend portee large sur ∃

Modalite de re: � a portee etroite sur ∃

SemantiqueLogique du premier-ordre: rappel

Etant donne un langage L, on appelle L-structure (ou modele)un couple M = 〈U, I〉 constitue d’un univers d’interpretation(domaine d’individus) U et d’une fonction d’interpretation I.Pour R une relation a n arguments, I(R) ⊆ Un.Une fonction d’assignation g: assigne a chaque variable unindividu du domaine.g[d/x ]: l’assignation comme g qui assigne a x l’individu d

M,g |= R(x1, ..., xn) ssi (g(x1), ...,g(xn)) ∈ I(R)

M,g |= ¬φ ssi M,g 2 φ

M,g |= (φ ∧ ψ) ssi M,g |= φ et M,g |= ψ.M,g |= ∃xφ ssi il existe d ∈ U tel que M,w ,g[d/x ] |= φ.M,g |= ∀xφ ssi pour tout d ∈ U, M,g[d/x ] |= φ.

Semantique pour la logique modale du premier-ordre

La logique modale du premier-ordre amene a introduireplusieurs domaines d’individus, autant que de mondes. Lecas le plus simple est celui ou les mondes ont le memedomaine d’individus.Un modele de LMPO : M = 〈W ,R,D, I〉, avec R unerelation d’accessibilite entre mondes de W , et D undomaine d’individus, et I une fonction d’interpretation quiassocie a chaque monde w et a chaque symbole P uneextension Iw (P).

Les clauses de satisfaction sont les memes qu’aupremier-ordre, sauf qu’on a en plus un parametre de monde, et:

M,w ,g |= �φ ssi pour tout w ′ tel que wRw ′, M,w ′,g |= φ

Validite: φ est valide ssi φ est vrai en tout monde de toutmodele pour toute assignation.

Les clauses de satisfaction sont les memes qu’aupremier-ordre, sauf qu’on a en plus un parametre de monde, et:

M,w ,g |= �φ ssi pour tout w ′ tel que wRw ′, M,w ′,g |= φ

Validite: φ est valide ssi φ est vrai en tout monde de toutmodele pour toute assignation.

Exemple

A-t-on: |= ∀x♦P(x) → ♦∀xP(x) ?

Reponse: nonsoit W = {w1,w2,w3}, et D = {a,b}.On suppose: w1Rw2 et w1Rw3Iw2(P) = {a} et Iw3(P) = {b}.On considere une valuation arbitraire gOn a: M,w ,g |= ∀x♦P(x)Mais on n’a pas: M,w ,g |= ♦∀xP(x)

Exemple

A-t-on: |= ∀x♦P(x) → ♦∀xP(x) ?

Reponse: nonsoit W = {w1,w2,w3}, et D = {a,b}.On suppose: w1Rw2 et w1Rw3Iw2(P) = {a} et Iw3(P) = {b}.On considere une valuation arbitraire gOn a: M,w ,g |= ∀x♦P(x)Mais on n’a pas: M,w ,g |= ♦∀xP(x)

Exemple (suite)

Montrer que:|= ♦∀xP(x) → ∀x♦P(x).

Semantique a domaines variables

Un modele= M = 〈W ,R,D, I〉 ou D est une fonction qui assignea chaque monde un domaine Dw . On pose: U =

⋃w∈W Dw .

Une assignation assigne a chaque variable un element de U, eta chaque symbole de relation une relation sur U.

M,w ,g |= R(x1, ..., xn) ssi (g(x1), ...,g(xn)) ∈ Iw (R).M,w ,g |= ∀xφ ssi pour tout element d de Dw , M,w ,g[d/x ] |= φ

Formules de Barcan

(BF-∀) ∀x�φ→ �∀xφ(BF-♦) ♦∃xφ→ ∃x♦φ

Etablir la validite des formules de Barcan dans la semantique adomaine constant.

Formules de Barcan converses

(BFC-∀) �∀xφ→ ∀x�φ(BFC-∃) ∃x♦φ→ ♦∃xφ

Domaine variable et formule de Barcan

Dw = {a}, Dv = {a,b}Iw (P) = ∅, et Iv (P) = {b}.wRv

Montrer que : ♦∃xP(x) → ∃x♦P(x) n’est pas valide.

Preuve: soit g(x) = bM, v ,g |= P(x)M, v ,g |= ∃xP(x)M,w ,g |= ♦∃xP(x)Mais M,w ,g 2 ∃x♦P(x), car a n’est pas P en v .

Converse

∃x♦P(x) → ♦∃xP(x)

Contre-modele:w a,b↓v a P(b)

Relativement a w , b est possiblement P, mais dans v , aucunindividu de Dv n’est P.

Domaines croissants

Un modele est monotone (a domaines croissants) ssi pour toutw , v si wRv , alors Dw ⊆ Dv .

Montrer que ∃x♦P(x) → ♦∃xP(x) est valide sur tous lesmodeles croissants.Si tout modele base sur un cadre satisfait CB, alors lesdomaines sont monotones.

Application au langage naturel

Quine (1956)(1) Marie sait que quelqu’un est un espion∃x ∧�S(x)�∃xS(x)

Exercice

Dans la semantique a domaine constant, montrer:|= ∃x�P(x) → �∃xP(x).

Montrer que la reciproque est fausse.

Conclusion

Dans cette breve introduction nous avons decouvert:

La logique modale propositionnelle: moins expressive quela logique du premier-ordre, mais potentiellement pluseconome (quantification implicite vs explicite)Logique modale quantifiee: avantage relatif a combiner laquantification implicite et la quantification explicite, plutotque d’utiliser une logique du premier-ordre avec plusieurssortes de variables.

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