Logique et CompressionUniversit Paris IIMichel de Rougemont mdr@lri.frhttp://www.lri.fr/~mdr

Compression de structure finies : mots, graphes.Dfinissabilit sur les structures compresses.

30 Avril 2001

DfinissabilitReprsentation dun objet influe sur la complexit dun problme. A. Wigderson, 1988Informatique : schmas de compression : .zip, .jpeg, .mpeg, .mp3 (recherche par le contenu).Approche logique pour ces schmas?Nouveaux schmas?

Compression

30 Avril 2001

Thmes et rsultatsCompression de motsLempel-Ziv: F.O. nest pas conserv. Caractrisation logique.Run-length, Antidictionnaire, AlatoireCompression de graphesProgramme, OBDDs, AlatoireAbstraction et compression

30 Avril 2001

DfinissabilitLogique FO

SOComplexitL, , P NP, PH

Classes de structuresMotsGraphes

FO (TC)

NL

30 Avril 2001

CompressionSchma de compression

CompresionDecompression Comparaisons : codage, cryptologie

30 Avril 2001

Schmas de CompressionUniverselsIndpendants de la distributionLempel-Ziv.Dpendants du type de signalJPEGMPEGMP3

30 Avril 2001

Famille Lempel-ZivUniverselsLZ77, LZ78,.

Problmes Algorithmiques:Rechercher un sous-mot (Farach,)Rechercher une expression rgulire

30 Avril 2001

Famille Lempel-Ziv A=({1,2,,11},

Dfinissabilit sur Lempel-Ziv Proprit de mots: L = 00 11 ++

30 Avril 2001

Dfinissabilit sur Lempel-Ziv 000110 00 000 0001 1 11 11111

30 Avril 2001

Dfinissabilit sur Lempel-Ziv Sur la structure B, on peut crire:

U est faux sur le 1er ordre linaire et vrai sur le 2ime ordre linaire

++

30 Avril 2001

Non-Dfinissabilit Proprit de mots: L=

0.1.00.10.000.100.0000.1000.00000.1000a.000000

0.1.00.10.000.100.0000.1000.0000a.10000

++001000

30 Avril 2001

Versions compressesB1 et B2 sont k-quivalentes01a000a000010

30 Avril 2001

RsultatsNgatif: Thorme : il existe une proprit de mots dfinissable au 1er ordre qui nest pas dfinissable au 1er ordre sur Lempel-Ziv.Caractrisation logiqueThorme : toute proprit de mots dfinissable au 1er ordre dfinissable dans le langage FO(TC) sur Lempel-Ziv.

30 Avril 2001

Translation simpleSur les mots : Sur Lempel-Ziv : i est dtermin par 2 blocks j,k

001000kj

30 Avril 2001

Autres Schmas de CompressionMotsRun-length 000000011111100000 reprsent par (0,7)(1,6)(0,5) ou

Antidictionnaire (mots les plus courts qui napparaissent pas dans un langage). Approche de Crochemore.

30 Avril 2001

Rsultats sur Run-lengthMotsProprits au 1er ordre inchanges

Images (Mots en 2 dimension)Il existe une proprit du 1er ordre qui nest pas dfinissable sur la structure compresse. (Forme gomtrique comme un carr).

30 Avril 2001

Rsultats sur les antidictionnairesMotivation : algorithmique de mots

Recherche linaire dun motif. Gnomique.

Approche Shibata, Takeda, Shonohara, Arikawa, 1999 : recherche O(n) ?

30 Avril 2001

Compression approximativeJPEG, MPEG : facteur de rsolution

JPEG : prcision des coefficients de Fourier

Utilisation : marquage des donnes

30 Avril 2001

Compression alatoireComment conserver des proprits de mots avec grande probabilit?

Testeur de N. Alon, Krivelevich, Newman, Szegedy, FOCS99

Property testing : Goldreich, Goldwasser, Ron, FOCS96, JACM 2001

30 Avril 2001

TesteurSoit P une proprit de mot ( langage rgulier)

Algorithme randomis tel que:Si P(w) alors Proba (Accept ) > 2/3Si w est de P alors Proba(Reject) >2/3Minimiser le nombre de requtes de U(i).

30 Avril 2001

Testeur AKNS et compressionEchantillonner des sous-mots de longueur m

Une structure finie permet de dcider avec grande probabilit si :P(w) ou w est de P

30 Avril 2001

II. Compression de graphesSchma Universel?

Programme P(x1,x2,xn) dfinit un systme de transition:

S : tats et R sont les transitionsP non dterministe/probabiliste

30 Avril 2001

Vrification par modleOBDD (Ordered binary Decision Diagram)U,G |= true U Accept => G |= F

Spcification O1 Programme Vrifier : comparer les OBDDs

30 Avril 2001

OBDD : Oriented Binary Decision DiagramBranching programsSuccinct representation of relations

Intractable for:MultiplicationConnectivity, Bipartition

v1v201R(v1,v2,.vn)vn

30 Avril 2001

Communication ComplexityCommunication Complexity

Examples: Avg ( X, Y) where X={x1,.xn} and Y={y1,.yn}Equality(x,y)

AB

30 Avril 2001

Communication ComplexityCommunication Complexity of a boolean function : bipartite(x)C1,C2 : partition of the input ( n^2 bits)P is the protocol for the partitionCOM(bipartite, C1,C2,x ) = #bits exchangedCC(bipartite)= Min_(C1,C2,P) Max_x COM

30 Avril 2001

Communication Complexity

Communication matrix

M(bipartite, C1,C2) =

G=(x1,x2) is bipartite

x2x11

30 Avril 2001

Communication Complexity

CC(f) > log (rank (M))M(bipartite,C1,C2) contient une sous matrice de rang lev.

M(P,P): ssi P v P=1

N(P,P):PP1si 1,2 dans le meme ensemble de P v P

PP1

30 Avril 2001

Lower bound on the size of OBDDs

v1v201R(v1,v2,.vn)vnABOBDDs width isan instance of 1-waycommunication protocol.

CC(f) < log width

30 Avril 2001

ResultsTheorem : k-bipartiteness has OBDDs of exponential sizes.

Applications : approximate verification in model-checking.

30 Avril 2001

Probabilistic abstractionCompressed structure : random subgraphsTransition system of a program representedby the compressed transition system C(U,G)

Program correct => C(U,G) |= FProgram far from correct => Prob [C(U,G) |= not F]>2/3

Works for all Sigma_2 formulas (Alon and al. FOCS 99)

Collaboration F. Magniez et S. Laplante

30 Avril 2001

ConclusionSchmas de compression K--> KProprit F dfinie sur K dans une logique L est aussi dfinie sur K dans une logique L.Complexit descriptive capture un schma de compression.Applications : vrification, recherche par contenu

30 Avril 2001