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Logique du premier ordre

Sylvain Salvati

Plan

1 Retour sur la logique propositionnelle

2 Encore un peu de syntaxe abstraite

3 Les relations

4 La quantification

5 Logique et programmation

La logique propositionnelle

De la logique propositionnelle, nous avons vu :• sa syntaxe : la façon de représenter des formules, la notion de terme,

• sa sémantique :

• les modèles des formules : les valuations,• l’évaluation d’une formule avec une valuation : vérification de modèle• la sémantique d’une formule étant la valeur qu’elle prend pour

chaque modèle/valuation, autrement dit sa table de vérité.

• son rôle en programmation :

• l’utilisation des booléens en programmation et la possibilité deraisonner sur le flot du programme,

• la résolution du problème de satisfiabilité,• le codage de problèmes à contraintes dans SAT pour les résoudre

rapidement.


De la logique propositionnelle, nous avons vu :• sa syntaxe : la façon de représenter des formules, la notion de terme,• sa sémantique :

• les modèles des formules : les valuations,

• l’évaluation d’une formule avec une valuation : vérification de modèle• la sémantique d’une formule étant la valeur qu’elle prend pour

chaque modèle/valuation, autrement dit sa table de vérité.• son rôle en programmation :



rapidement.



• les modèles des formules : les valuations,• l’évaluation d’une formule avec une valuation : vérification de modèle

• la sémantique d’une formule étant la valeur qu’elle prend pourchaque modèle/valuation, autrement dit sa table de vérité.




rapidement.




chaque modèle/valuation, autrement dit sa table de vérité.




rapidement.







rapidement.






• la résolution du problème de satisfiabilité,

• le codage de problèmes à contraintes dans SAT pour les résoudrerapidement.







rapidement.

Les limites de la logique propositionnelle

La logique propositionnelle ne parle que de vérité :• elle ne permet pas de faire référence à des objets, ou à des notions,• elle ne permet pas de mettre objets ou notions en rapport.

La logique du premier ordre est un langage qui permet de dépasser ceslimites.

Plan


2 Encore un peu de syntaxe abstraiteTermes, variables, équations et programmationInterprétation des termes

3 Les relations

4 La quantification


La modélisation des objets par des termesEn logique du premier ordre, on utilise des termes pour modéliser lesobjets et les concepts.

Voici quelques exemples :

• les termes de la logique propositionnelle,• les termes construits avec les opérateurs suivants pour représenter

les nombres et les calculs associés :• constante : 0, zéro• opérateur unaire : S, le successeur• opérateurs binaires : + et ×, l’addition et la multiplication

S(+(S(0),×(S(S(0)),S(0))))S(S(0) + S(S(0))× S(0))

S

+

S

0

×

S

S

0

S

0

La modélisation des objets par des termesEn logique du premier ordre, on utilise des termes pour modéliser lesobjets et les concepts.Voici quelques exemples :• les termes de la logique propositionnelle,

• les termes construits avec les opérateurs suivants pour représenterles nombres et les calculs associés :• constante : 0, zéro• opérateur unaire : S, le successeur• opérateurs binaires : + et ×, l’addition et la multiplication

S(+(S(0),×(S(S(0)), S(0))))S(S(0) + S(S(0))× S(0))

S

+

S

0

×

S

S

0

S

0

La modélisation des objets par des termesEn logique du premier ordre, on utilise des termes pour modéliser lesobjets et les concepts.Voici quelques exemples :• les termes de la logique propositionnelle,• les termes construits avec les opérateurs suivants pour représenter

les nombres et les calculs associés :• constante : 0, zéro• opérateur unaire : S, le successeur• opérateurs binaires : + et ×, l’addition et la multiplication

S(+(S(0),×(S(S(0)), S(0))))S(S(0) + S(S(0))× S(0))

S

+

S

0

×

S

S

0

S

0

Termes typés : motivation et exempleLorsque l’on modélise, il arrive que l’on manipule des concepts distincts.Au niveau des termes cela se traduit par l’utilisation de typage.

Supposons que l’on souhaite modéliser un petit langage deprogrammation sur les entiers :

• Des variables contenant des entiers de type Var,

• Des entiers et des expressions de type Int :

Expression Type Descriptioni Int entier en écriture décimale+ Int× Int→ Int opérateur d’addition− Int× Int→ Int opérateur de soustraction× Int× Int→ Int opérateur de multiplication! Var→ Int récupération de la valeur associée à une variable

• Des expressions booléennes de type Bool :

Expression Type Description, ≤, ≥, = Int× Int→ Bool comparaison d’entier&&, ||, not Bool× Bool→ Bool opérateurs booléens

• Des commandes de type Command :

Expression Type Descriptionite Bool× Command× Command→ Command branchement conditionnelwhile Bool× Command→ Command boucle while:= Var× Int→ Command l’affectation de variable; Command× Command→ Command la composition de commandes

Termes typés : motivation et exempleLorsque l’on modélise, il arrive que l’on manipule des concepts distincts.Au niveau des termes cela se traduit par l’utilisation de typage.Supposons que l’on souhaite modéliser un petit langage deprogrammation sur les entiers :

• Des variables contenant des entiers de type Var,• Des entiers et des expressions de type Int :

Expression Type Descriptioni Int entier en écriture décimale+ Int× Int→ Int opérateur d’addition− Int× Int→ Int opérateur de soustraction× Int× Int→ Int opérateur de multiplication! Var→ Int récupération de la valeur associée à une variable

• Des expressions booléennes de type Bool :

Expression Type Description, ≤, ≥, = Int× Int→ Bool comparaison d’entier&&, ||, not Bool× Bool→ Bool opérateurs booléens

• Des commandes de type Command :


Termes bien typéSi on dispose d’opérateurs typé, on ne travaille plus qu’avec des termesbien typés, c’est-à-dire avec des termes auxquels ont peut associer untype :• Soit t1, . . . , tn sont des termes bien typés de types respectifs α1,

. . . , αn, ce que l’on note t1 : α1,. . . , tn : αn,• soit f est un opérateur de type α1 × · · · × αn → α,• le terme f (t1, . . . , tn) est un terme bien typé de type α

Mal typéite

5 :=

x 3

:=

x 4

Bien typé;

:=

x 4

;

:=

y 1

while

>

!

x

0

;

:=

y ×

!

y

!

x

:=

x −

!

x

1

Deux méthodes de vérification de typage

Nous allons voir deux façons de calculer le typage :• une méthode qui s’applique essentiellement à la simplicité des

termes du premier ordre par homomorphisme,

• une méthode dite logique basée sur un système d’inférence

Deux méthodes de vérification de typage

Nous allons voir deux façons de calculer le typage :• une méthode qui s’applique essentiellement à la simplicité des

termes du premier ordre par homomorphisme,• une méthode dite logique basée sur un système d’inférence

Méthode 1 : par homomorphisme

Si T est l’ensemble des types, on définit la fonction type qui à chaqueterme associe un élément de T ] {err} (err est un symbole qui n’estpas dans T ) :

type(f (t1, . . . , tn)) =

α si Type(f ) = α1 × · · · × αn → α ettype(ti) = αi pour tout i ∈ [1, n]err sinon

Exemples de typage


ite

5 :=

x 3

:=

x 4

err

Int Command

Var Int

Command

Var Int

Méthode 2 : système d’inférence (ou de typage)

Pour vérifier qu’un terme est bien typé, on utilise système de typage :• celui-ci dérive des jugements de la forme ` t : α qui signifie que le

terme t est de type α.

• Les dérivations de jugements sont obtenues à partir de la règle :type(f ) = α1 × · · · × αn → α ` t1 : α1 · · · ` tn : αn

` f (t1, . . . , tn) : α

• les propriétés au-dessus de la barre sont appelées prémisses, et lejugement au-dessous de la barre est appelé conclusion.

• NB : lorsque n = 0, il n’y a qu’une seule prémisse, type(f ) = α.

Méthode 2 : système d’inférence (ou de typage)

Pour vérifier qu’un terme est bien typé, on utilise système de typage :• celui-ci dérive des jugements de la forme ` t : α qui signifie que le

terme t est de type α.• Les dérivations de jugements sont obtenues à partir de la règle :

type(f ) = α1 × · · · × αn → α ` t1 : α1 · · · ` tn : αn` f (t1, . . . , tn) : α

• les propriétés au-dessus de la barre sont appelées prémisses, et lejugement au-dessous de la barre est appelé conclusion.

• NB : lorsque n = 0, il n’y a qu’une seule prémisse, type(f ) = α.

Exemples de dérivation de typage

Expression Typei Int+ Int × Int → Int− Int × Int → Int× Int × Int → Int! Var → IntExpression Type

, ≤, ≥, = Int × Int → Bool&&, ||, not Bool × Bool → Bool

type(>) = Int × Int → Bool

type(3) = Int

` 3 : Int

.

.

.

`!x + 2 : Int

` 3 >!x + 2 : Bool

type(>) = Int × Int → Int

type(!) = Var → Int

type(x) = Var

` x : Var

`!x : Int

type(2) = Int

` 2 : Int

`!x + 2 : Int

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3 Les relations

4 La quantification


Termes et variables

On utilise des variables pour construire des termes (celles-ci sont typéeslors que l’on travaille avec des termes typés) :• C’est ce que nous avons fait avec les variables propositionnelles.

• Cela nous permet d’avoir des termes paramétrés par d’autrestermes :

• De pouvoir substituer des termes aux variables.• De voir les termes un peu comme des fonctions.

Variables dans un termeOn note var(t) l’ensemble des variables qui apparaissent dans t.

Termes et variables

On utilise des variables pour construire des termes (celles-ci sont typéeslors que l’on travaille avec des termes typés) :• C’est ce que nous avons fait avec les variables propositionnelles.• Cela nous permet d’avoir des termes paramétrés par d’autres

termes :

• De pouvoir substituer des termes aux variables.• De voir les termes un peu comme des fonctions.


Termes et variables


termes :• De pouvoir substituer des termes aux variables.

• De voir les termes un peu comme des fonctions.


Termes et variables


termes :• De pouvoir substituer des termes aux variables.• De voir les termes un peu comme des fonctions.


Substitutions : définition

Une substitution est une fonction partielle des variables dans les termesavec un domaine fini.On note x1 = t1, x2 = t2, . . . , xn = tn la substitution σ telle que

σ(y) ={

ti lorsque y = xi⊥ sinon

Application d’une substitution à un termeAppliquer une substitution à un terme revient à remplacer les variables dutermes par le terme que la substitution leur associe. Pour unesubstitution σ on note t.σ ou σ(t) le résultat de son application à t.

ExempleConsidérons la substitution x =mult(x , y), y = plus(z , z). Onl’applique au terme ifz(mult(x , y), 2, mult(x , 2)) et on obtient :ifz(mult(mult(x , y),plus(z , z)), 2, mult(mult(x , y)), 2)

ifz

mult

x y

2 mult

x 2

ifz

mult

mult

x y

plus

z z

2 mult

mult

x y

2

Le problème d’unification

UnificationÉtant donné deux termes t et u, le problème de trouver une substitutionσ telle σ(t) = σ(u) est un problème d’unification noté t = u.

• Il existe des algorithmes efficaces pour résoudre ce problème,• L’unification est le problème au coeur de l’exécution du langage de

programmation PROLOG,• Des restrictions particulières de ce problème sont utilisées dans de

nombreux langage de programmation : le filtrage.

FiltrageUn problème d’unification t = u est :

• un problème de filtrage lorsque u ne contient pas de variables,• un problème de filtrage linéaire lorsque :

• u ne contient pas de variables,• chaque variable a au plus une occurrence dans t


UnificationÉtant donné deux termes t et u, le problème de trouver une substitutionσ telle σ(t) = σ(u) est un problème d’unification noté t = u.• Il existe des algorithmes efficaces pour résoudre ce problème,

• L’unification est le problème au coeur de l’exécution du langage deprogrammation PROLOG,

• Des restrictions particulières de ce problème sont utilisées dans denombreux langage de programmation : le filtrage.





UnificationÉtant donné deux termes t et u, le problème de trouver une substitutionσ telle σ(t) = σ(u) est un problème d’unification noté t = u.• Il existe des algorithmes efficaces pour résoudre ce problème,• L’unification est le problème au coeur de l’exécution du langage de

programmation PROLOG,

• Des restrictions particulières de ce problème sont utilisées dans denombreux langage de programmation : le filtrage.








FiltrageUn problème d’unification t = u est :• un problème de filtrage lorsque u ne contient pas de variables,• un problème de filtrage linéaire lorsque :


Filtrage linéaire ou filtrage structurel et programmation

Le filtrage linéaire ou filtrage structurel est de plus en plus utilisé enprogrammation (Python, Java, Rust, Haskell, Ocaml. . . )

x=level[0]y=level[1]if x==0 && y==0:

print("Origin")elif x==0:

print(f"Y={y}")elif y==0:

print(f"X={x}")else:

print(f"X={x}, Y={y}")

match level:case (0, 0):

print("Origin")case (0, y):

print(f"Y={y}")case (x, 0):

print(f"X={x}")case (x, y):

print(f"X={x}, Y={y}")

Il rend le code plus simple et plus lisible.

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3 Les relations

4 La quantification


Interprétation des termes : le cas non typé

Associer une sémantique aux termes revient à :• fixer un ensemble D, le domaine d’interprétation,• pour chaque opération f d’arité n, on associe une fonction [[f ]] de

Dn 7→ D, (NB : quand n = 0, f est interprété comme un élémentde D).

On appelle modèle la paire M = (D, [[·]]).

Pour interpréter un terme contenant des variables, il nous faut unevaluation qui associe à chaque variable du terme un élément de D. Étantdonnée une valuation ν, la sémantique [[t, ν]]M d’un terme t est définiepar :

[[x , ν]]M = ν(x)[[f (t1, . . . , tn), ν]]M = [[f ]]([[t1, ν]]M, . . . , [[tn, ν]]M)

Interprétation des termes : le cas non typé

Associer une sémantique aux termes revient à :• fixer un ensemble D, le domaine d’interprétation,• pour chaque opération f d’arité n, on associe une fonction [[f ]] de

Dn 7→ D, (NB : quand n = 0, f est interprété comme un élémentde D).

On appelle modèle la paire M = (D, [[·]]).Pour interpréter un terme contenant des variables, il nous faut unevaluation qui associe à chaque variable du terme un élément de D. Étantdonnée une valuation ν, la sémantique [[t, ν]]M d’un terme t est définiepar :

[[x , ν]]M = ν(x)[[f (t1, . . . , tn), ν]]M = [[f ]]([[t1, ν]]M, . . . , [[tn, ν]]M)

Interprétation des termes : le cas typé

En présence de types A1,. . . , Am, associer une sémantique aux termesrevient à :• fixer une famille d’ensembles (Di)i∈[1,m], pour tout i dans [1,m], Di

est le domaines d’interprétation de Ai• pour chaque opération f de type Ai1 × · · · × Ain → Ai , on associe

une fonction [[f ]] de Di1 × · · · × Din 7→ Di .On appelle modèle la paire M = ((Di)i∈[1,m], [[·]]).

Pour interpréter un terme contenant des variables, il nous faut unevaluation qui associe à chaque variable du terme un élément de Disuivant le type de la variable. Étant donnée une valuation ν, lasémantique [[t, ν]]M d’un terme t est définie par :

[[x , ν]]M = ν(x)[[f (t1, . . . , tn), ν]]M = [[f ]]([[t1, ν]], . . . , [[tn, ν]]M)

Si t est un terme de type Ai , alors [[t, ν]] est un élément de Di .

Interprétation des termes : le cas typé

En présence de types A1,. . . , Am, associer une sémantique aux termesrevient à :• fixer une famille d’ensembles (Di)i∈[1,m], pour tout i dans [1,m], Di

est le domaines d’interprétation de Ai• pour chaque opération f de type Ai1 × · · · × Ain → Ai , on associe

une fonction [[f ]] de Di1 × · · · × Din 7→ Di .On appelle modèle la paire M = ((Di)i∈[1,m], [[·]]).Pour interpréter un terme contenant des variables, il nous faut unevaluation qui associe à chaque variable du terme un élément de Disuivant le type de la variable. Étant donnée une valuation ν, lasémantique [[t, ν]]M d’un terme t est définie par :

[[x , ν]]M = ν(x)[[f (t1, . . . , tn), ν]]M = [[f ]]([[t1, ν]], . . . , [[tn, ν]]M)

Si t est un terme de type Ai , alors [[t, ν]] est un élément de Di .

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3 Les relations

4 La quantification


Vers la logique

Pour le moment, nous avons vu comment modéliser les objets et lesconcepts sur lesquelles nous voulons asserter des propriétés ou raisonner.

Il nous faut maintenant nous donner les moyens de dire de choses sur cesobjets. Pour cela, on se dote d’un ensemble de prédicats.Chaque prédicats a une arité (un type si on travaille avec des termestypés).Cela revient à enrichir les opérateurs sur les termes de la manièresuivante :

• on rajoute un nouveau type au(x) type(s) des termes (on appelle Tle type des termes) : Bool,

• pour chaque prédicat on ajoute un opérateur de typeT × · · · × T → Bool (on adapte au typage pour le cas typé),

• on ajoute les connecteurs logique :

Vers la logique

Pour le moment, nous avons vu comment modéliser les objets et lesconcepts sur lesquelles nous voulons asserter des propriétés ou raisonner.Il nous faut maintenant nous donner les moyens de dire de choses sur cesobjets. Pour cela, on se dote d’un ensemble de prédicats.

Chaque prédicats a une arité (un type si on travaille avec des termestypés).Cela revient à enrichir les opérateurs sur les termes de la manièresuivante :




Vers la logique

Pour le moment, nous avons vu comment modéliser les objets et lesconcepts sur lesquelles nous voulons asserter des propriétés ou raisonner.Il nous faut maintenant nous donner les moyens de dire de choses sur cesobjets. Pour cela, on se dote d’un ensemble de prédicats.Chaque prédicats a une arité (un type si on travaille avec des termestypés).

Cela revient à enrichir les opérateurs sur les termes de la manièresuivante :




Vers la logique

Pour le moment, nous avons vu comment modéliser les objets et lesconcepts sur lesquelles nous voulons asserter des propriétés ou raisonner.Il nous faut maintenant nous donner les moyens de dire de choses sur cesobjets. Pour cela, on se dote d’un ensemble de prédicats.Chaque prédicats a une arité (un type si on travaille avec des termestypés).Cela revient à enrichir les opérateurs sur les termes de la manièresuivante :• on rajoute un nouveau type au(x) type(s) des termes (on appelle T

le type des termes) : Bool,• pour chaque prédicat on ajoute un opérateur de type

T × · · · × T → Bool (on adapte au typage pour le cas typé),• on ajoute les connecteurs logique :

Interprétation des formules

Afin de pouvoir interpréter les formules, il nous faut donner uneinterprétation aux termes composés avec les prédicats telle que :• Bool est interpréter dans l’ensemble {0, 1},• les connecteurs logiques ont l’interprétation que nous avons vue

pour la logique propositionnelle.NB : On appelle modèle une telle interprétation (il s’agit toujours d’unepaire M = ((Di)i∈[1,m], [[·]])

Les prédicats représentent ainsi des relations entre les éléments dudomaine d’interprétation : c’est une représentation par fonctioncaractéristique.Cette interprétation relationnelle des prédicats est très proche de ce quevous avez vu en base de données sur l’interprétation des tables par desrelations.



pour la logique propositionnelle.NB : On appelle modèle une telle interprétation (il s’agit toujours d’unepaire M = ((Di)i∈[1,m], [[·]])Les prédicats représentent ainsi des relations entre les éléments dudomaine d’interprétation : c’est une représentation par fonctioncaractéristique.

Cette interprétation relationnelle des prédicats est très proche de ce quevous avez vu en base de données sur l’interprétation des tables par desrelations.



pour la logique propositionnelle.NB : On appelle modèle une telle interprétation (il s’agit toujours d’unepaire M = ((Di)i∈[1,m], [[·]])Les prédicats représentent ainsi des relations entre les éléments dudomaine d’interprétation : c’est une représentation par fonctioncaractéristique.Cette interprétation relationnelle des prédicats est très proche de ce quevous avez vu en base de données sur l’interprétation des tables par desrelations.

Se passer des termes

Il est également possible de se passer tout simplement de terme enn’utilisant que des prédicats :• pour chaque symbole de fonction f d’arité n, on crée un prédicat pf

d’arité n + 1 et on l’interprète de la façon suivante :

[[pf ]](u1, . . . , un, v) ={

1 si v = [[f ]](u1, . . . , un)0 sinon

En ajoutant une variable par sous-terme, on peut ainsi transformer touteformule en une formule ayant la même interprétation et qui ne contientplus de termes.

≤ (S(x), S(S(y))) 7→ pS(x , sx) ∧ pS(y , sy) ∧ pS(sy , ssy)∧ ≤ (sx , ssy)

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3 Les relations

4 La quantificationDu français vers la logique


Les quantificateursEn logique du premier ordre, il y a deux quantificateurs :• ∀ : pour tout,• ∃ : il existe.

Les quantificateurs s’utilisent de la façon suivante :∀x .ϕ

∀x .

ϕ

∃x .ϕ

∃x .

ϕ

Les quantificateurs de variables sont des lieurs : les formules contiennentalors deux type de variables, les variables libres et les variables liées :

VL(∀x .ϕ) = VL(ϕ)− {x}VL(∃x .ϕ) = VL(ϕ)− {x}

VL(f (t1, . . . , tn)) =n⋃

i=1VL(ti)

VL(x) = {x}Une formule ϕ est close si VL(ϕ) = ∅.

Interprétation des quantificateurs

Si M est un modèle des opérateurs et des prédicats alors, étant donnéeune valuation :

[[∀x .ϕ, ν]]M = min{[[ϕ, ν[x = d ]]]M | d ∈ D}[[∃x .ϕ, ν]]M = max{[[ϕ, ν[x = d ]]]M | d ∈ D}

SatisfiabilitéUne fomule ϕ est satifaite par un modèle M et une valuation ν si[[ϕ, ν]]M = 1 : M, ν |= ϕ.

TautologieUne fomule ϕ est une tautologie si pour tout modèle M et toutevaluation ν : M, ν |= ϕ.

Résumé

Pour représenter des propriétés sur des objets on utilise :• des opérateurs (e.g. opérateurs binaires + et ∗ pour les entiers et

opérateur unaire du successeur S, constante 0),• des prédicats (e.g. prédicat d’égalité, = pour les entiers).

On parle alors de langage une fois que tout cela est fixé.

Retour en AutralieD = {r , v , b,WA,NT ,Q, SA,NSW ,V ,T}

couleur = {r , v , b}

etat = {WA,NT ,Q, SA,NSW ,V ,T}

voisin = {{WA,NT}, {WA, SA}, {NT ,Q},{NT , SA}, {SA,Q}, {SA,NSW},{SA,V}, {Q,NSW }, {NSW ,V},{V ,T}}

colorie = {(r ,WA), (v ,NT ), (b, SO), (r ,Q),(v ,NSW ), (r ,V ), (v ,T )}

On se donne les prédicats suivants :• les prédicats unaires : couleur et etat,

• les predicats binaires : voisin et colorie.






On se donne les prédicats suivants :• les prédicats unaires : couleur et etat,• les predicats binaires : voisin et colorie.







Tout état est colorié par une couleur :

∀x .etat(x)⇒ ∃y .couleur(y) ∧ colorie(y , x)







Si deux états sont voisins ils sont coloriés par des couleurs différentes :

∀x .∀y .etat(x) ∧ etat(y) ∧ voisin(x , y)⇒∀c1.∀c2.couleur(c1) ∧ couleur(c2) ∧ colorie(c1, x) ∧ colorie(c2, y)⇒

¬c1 = c2)

Axiomatisation

Pour donner une définition complète des objets, on en donne un axiomatisation :c’est-à-dire l’ensemble des propriétés que nos objets doivent vérifier.

Axiomatisation des entiers de Peano• ∀x .¬S(x) = 0,• ∀x .x = 0 ∨ ∃y .x = S(y),• ∀x .∀y .S(x) = S(y)⇒ x = y• ∀x .∀y .x + S(y) = S(x + y)• ∀x .x ∗ 0 = 0• ∀x .∀y .x ∗ S(y) = (x ∗ y) + x• schéma d’induction, pour toute formule ϕ(x , x1, . . . , xn) :

∀x1. . . . ∀xn. (ϕ(0, x1 . . . , xn) ∧ ∀x .ϕ(x , x1, . . . , xn)⇒ ϕ(S(x), x1, . . . , xn))⇒∀x .ϕ(x , x1, . . . , xn)

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3 Les relations

4 La quantificationDu français vers la logique


Traduire du français vers la logiqueL’approche de Sujet/PrédicatAfin de traduire un énoncé en français (ou une autre langue) vers lalogique il faut y repérer deux éléments :• Le sujet : ce dont on parle. La plupart du temps pour nous ce sera le

sujet grammatical de la phrase.• Le prédicat : ce qu’on en dit. La plupart du temps pour nous il

s’agira du groupe verbal principal de la phrase.

Quelques phrases

• Tous les étudiants︸︷︷︸sujet

apprennent l’anglais︸︷︷︸prédicat

.

•Tous les étudiants qui apprennent l’anglais︸︷︷︸

sujet

n’apprennent pas l’allemand︸︷︷︸prédicat

.

•Certains étudiant qui apprennent l’anglais︸︷︷︸

sujet


.

Traduire du français vers la logiqueL’approche de Sujet/PrédicatAfin de traduire un énoncé en français (ou une autre langue) vers lalogique il faut y repérer deux éléments :• Le sujet : ce dont on parle. La plupart du temps pour nous ce sera le

sujet grammatical de la phrase.• Le prédicat : ce qu’on en dit. La plupart du temps pour nous il

s’agira du groupe verbal principal de la phrase.

Quelques phrases• Tous les étudiants︸︷︷︸

sujetapprennent l’anglais︸︷︷︸

prédicat

.

•Tous les étudiants qui apprennent l’anglais︸︷︷︸

sujet


.

•Certains étudiant qui apprennent l’anglais︸︷︷︸

sujet


.

Traduction de la quantification universelleTous les. . .En français, la quantification universelle s’exprime par tous les/aucun/. . . et se traduiten logique par :

∀x .sujet(x)⇒ predicat(x)lorsque :• sujet(x) représente la propriété exprimée par le sujet,• predicat(x) représente la propriété exprimée par le prédicat.

Quelques exemplesNous nous donnons le langage logique suivant :• Des constantes : english, german,• Des prédicats : student (unaire), learn (binaire), learn(x , y) signifiant x

apprend y .




apprend y .

Tous les étudiants︸︷︷︸sujet


↓∀x . student(x)︸︷︷︸

sujet

⇒ learn(x , english︸︷︷︸prédicat

)




apprend y .

Tous les étudiants qui apprennent l’anglais︸︷︷︸sujet


↓∀x . student(x) ∧ learn(x , english)︸︷︷︸

sujet

⇒ ¬learn(x , german)︸︷︷︸prédicat




apprend y .

Aucun étudiants︸︷︷︸sujet

n’apprend l’anglais et l’allemand︸︷︷︸prédicat

↓∀x . student(x)︸︷︷︸

sujet

⇒ ¬(learn(x , german) ∧ learn(x , english))︸︷︷︸prédicat

≡∀x .student(x)⇒ (¬learn(x , german) ∨ ¬learn(x , english))

Traduction de la quantification existentielleIl existe. . .En français, la quantification existentielle s’exprime par il y a/certains/il existe. . . et setraduit en logique par :

∃x .sujet(x) ∧ predicat(x)lorsque :• sujet(x) représente la propriété exprimée par le sujet,• predicat(x) représente la propriété exprimée par le prédicat.

Quelques exemplesNous reprenons le langage logique :• Des constantes : english, german,• Des prédicats : student (unaire), learn (binaire), learn(x , y) signifiant x

apprend y .




apprend y .

Certains étudiants︸︷︷︸sujet


↓∃x . student(x)︸︷︷︸

sujet

∧ learn(x , english︸︷︷︸prédicat

)




apprend y .

Certains étudiants qui apprennent l’anglais︸︷︷︸sujet


↓∃x . student(x) ∧ learn(x , english)︸︷︷︸

sujet

∧¬learn(x , german)︸︷︷︸prédicat




apprend y .

Certains étudiants︸︷︷︸sujet

n’apprennent pas l’anglais et l’allemand︸︷︷︸prédicat

↓∃x . student(x)︸︷︷︸

sujet

∧¬(learn(x , german) ∧ learn(x , english))︸︷︷︸prédicat

≡∃x .student(x) ∧ (¬learn(x , german) ∨ ¬learn(x , english))

Dualité de la traduction des quantificateurs

¬(∀x .sujet(x) ⇒ predicat(x)) ≡ ∃x .¬(sujet(x) ⇒ predicat(x))≡ ∃x .¬(¬sujet(x) ∨ predicat(x))≡ ∃x .sujet(x) ∧ ¬predicat(x)

ExempleIl n’est pas vrai que tous les étudiants apprennent l’anglais

¬(∀x .student(x) ⇒ learn(x , english))≡

∃x .student(x) ∧ ¬learn(x , english)

Un étudiant n’apprend pas l’anglais

Dualité de la traduction des quantificateurs

¬(∃x .sujet(x) ∧ predicat(x)) ≡ ∀x .¬(sujet(x) ∧ predicat(x))≡ ∀x .¬sujet(x) ∨ ¬predicat(x)≡ ∀x .sujet(x) ⇒ ¬predicat(x)

ExempleIl n’est pas vrai qu’il y a étudiant qui apprend l’anglais et l ’alle-mand

¬(∃x .student(x) ∧ learn(x , english) ∧ learn(x , allemand))≡

∀x .student(x) ⇒ (¬learn(x , english) ∨ ¬learn(x , allemand))

Un étudiant n’apprend pas l’anglais ou n’apprend pas l’allemand

Pour aller plus loin : la sémantique de Montague• La linguistique et la philosophie se sont intéressés à la relation entre

texte et sens.

• Au début des années 70, Richard Montague publie une séried’articles :• English as a formal Language (1970),• Universal Grammar (1970),• Pragmatics and intentional logic (1970),• The proper treatment of quantification in ordinary English (1974)

qui jettent les bases de la sémantique formelle : une théorie quicherche à associer aux énoncés en langage naturel leurs conditionsde vérité, i.e. une formule qui contraint les mondes possibles danslaquelle ces énoncés sont vrais.

• Ces méthodes permettent une traduction systématique de fragmentsimportants de toutes les langues vers la logique. C’est un domainede recherche actif qui étend sans cesse ces fragments. La mise enpratique se heurte néanmoins à deux grandes difficulté :• la très grande ambiguïté du langage,• la complexité de la manipulation des énoncés logiques,

L’utilisation pratique de ces méthodes se fait désormais en lien étroitavec les méthodes d’apprentissage automatique.

Pour aller plus loin : la sémantique de Montague• La linguistique et la philosophie se sont intéressés à la relation entre

texte et sens.• Au début des années 70, Richard Montague publie une série

d’articles :• English as a formal Language (1970),• Universal Grammar (1970),• Pragmatics and intentional logic (1970),• The proper treatment of quantification in ordinary English (1974)

qui jettent les bases de la sémantique formelle : une théorie quicherche à associer aux énoncés en langage naturel leurs conditionsde vérité, i.e. une formule qui contraint les mondes possibles danslaquelle ces énoncés sont vrais.

• Ces méthodes permettent une traduction systématique de fragmentsimportants de toutes les langues vers la logique. C’est un domainede recherche actif qui étend sans cesse ces fragments. La mise enpratique se heurte néanmoins à deux grandes difficulté :• la très grande ambiguïté du langage,• la complexité de la manipulation des énoncés logiques,

L’utilisation pratique de ces méthodes se fait désormais en lien étroitavec les méthodes d’apprentissage automatique.

Interprétation sémantique d’une structure grammaticalesentence

nounp

every man

verbp

loves nounp

a woman

λS V .V S

λD N.D N

λP Q.∀(λx.P x ⇒ Q x) λx.man x

λV O SV .V S O

λO S.S(λx.O(λy.love x y)) λD N.D N

λP Q.∃(λx.P x ∧ Q x) λx.woman x

Lsem(nounp a woman) =

Lsem(nounp every man) =λQ.∀(λu.man u ⇒ Q u)

Lsem(verbp loves (nounp a woman)) =

Lsem(sentence(nounp every man)(verbp loves (nounp a woman))) =


nounp

every man

verbp

loves nounp

a woman

λS V .V S

λD N.D N


λV O SV .V S O



Lsem(nounp a woman) =λP Q.∃(λz.P z ∧ Q z)(λx .woman x)





nounp

every man

verbp

loves nounp

a woman

λS V .V S

λD N.D N


λV O SV .V S O



Lsem(nounp a woman) =λQ.∃(λz.(λx .woman x) z ∧ Q z)





nounp

every man

verbp

loves nounp

a woman

λS V .V S

λD N.D N


λV O SV .V S O



Lsem(nounp a woman) =λQ.∃(λz.woman z ∧ Q z)





nounp

every man

verbp

loves nounp

a woman

λS V .V S

λD N.D N


λV O SV .V S O





Lsem(verbp loves (nounp a woman)) =λO S.S(λx .O(λy .love x y))(λP.∃(λz.woman z ∧ P z))



nounp

every man

verbp

loves nounp

a woman

λS V .V S

λD N.D N


λV O SV .V S O





Lsem(verbp loves (nounp a woman)) =λS.S(λx .(λP.∃(λz.(λz.woman z ∧ P z)))(λy .love x y))



nounp

every man

verbp

loves nounp

a woman

λS V .V S

λD N.D N


λV O SV .V S O





Lsem(verbp loves (nounp a woman)) =λS.S(λx .∃(λz.woman z ∧ (λy .love x y) z))



nounp

every man

verbp

loves nounp

a woman

λS V .V S

λD N.D N


λV O SV .V S O





Lsem(verbp loves (nounp a woman)) =λS.S(λx .∃(λz.woman z ∧ love x z))



nounp

every man

verbp

loves nounp

a woman

λS V .V S

λD N.D N


λV O SV .V S O






Lsem(sentence(nounp every man)(verbp loves (nounp a woman))) =(λS.S(λx .∃(λz.woman z ∧ love x z)))(λQ.∀(λu.man u ⇒ Q u))


nounp

every man

verbp

loves nounp

a woman

λS V .V S

λD N.D N


λV O SV .V S O






Lsem(sentence(nounp every man)(verbp loves (nounp a woman))) =(λQ.∀(λu.man u ⇒ Q u))(λx .(∃(λz.woman z ∧ love x z)))


nounp

every man

verbp

loves nounp

a woman

λS V .V S

λD N.D N


λV O SV .V S O






Lsem(sentence(nounp every man)(verbp loves (nounp a woman))) =∀(λu.man u ⇒ (λx .∃(λz.woman z ∧ love x z)) u)


nounp

every man

verbp

loves nounp

a woman

λS V .V S

λD N.D N


λV O SV .V S O






Lsem(sentence(nounp every man)(verbp loves (nounp a woman))) =∀(λu.man u ⇒ ∃(λz.woman z ∧ love u z))

Portée des quantificateurs : sujet ou objetLa phrase every man loves a woman a deux sens possibles :• ∀(λu.man u ⇒ ∃(λz .woman z ∧ love u z))

• ∃(λz .woman z ∧ ∀(λu.man u ⇒ love u z))Le second sens peut être obtenu en utilisant :

λO S.O(λy .S(λx .love x y))

comme interprétation de love au lieu de :

λO S.S(λx .O(λy .love x y))

Cette technique permet également de modéliser d’autres phénomènes(modalité, temps,. . . ). Par exemple, l’ambiguïté de Re/de Dicto :

• Jean croit que quelqu’un manipule les médias. :

• Jean croit qu’il existe une personne qui manipule les médias (il nesait pas de qui il s’agit),

• Il existe quelqu’un (e.g. Bob) dont Jean croit qu’il manipule lesmédias.

Portée des quantificateurs : sujet ou objetLa phrase every man loves a woman a deux sens possibles :• ∀(λu.man u ⇒ ∃(λz .woman z ∧ love u z))• ∃(λz .woman z ∧ ∀(λu.man u ⇒ love u z))

Le second sens peut être obtenu en utilisant :




Cette technique permet également de modéliser d’autres phénomènes(modalité, temps,. . . ). Par exemple, l’ambiguïté de Re/de Dicto :

• Jean croit que quelqu’un manipule les médias. :



Portée des quantificateurs : sujet ou objetLa phrase every man loves a woman a deux sens possibles :• ∀(λu.man u ⇒ ∃(λz .woman z ∧ love u z))• ∃(λz .woman z ∧ ∀(λu.man u ⇒ love u z))

Le second sens peut être obtenu en utilisant :




Cette technique permet également de modéliser d’autres phénomènes(modalité, temps,. . . ). Par exemple, l’ambiguïté de Re/de Dicto :• Jean croit que quelqu’un manipule les médias. :



Plan



3 Les relations

4 La quantification

5 Logique et programmationSémantique opérationnelleLogique de Hoare

Modèle et implémentation

Modèle du problème

code du logiciel

implémentation

ObjectifOn a du code censé implémenter notre modèle et on veut montrer qu’ilfonctionne correctement.

PrincipeNous allons voir le code comme définissant une fonction sur desconfigurations. (C’est en général un relation afin de laisser la possibilitéau compilateur de réaliser des optimisation.)

Le langage while

Nous allons travailler sur un sous-ensemble de python n’utilisant que :• pour valeurs :

• les booléens,• les nombres,

• pour constructions :• les affectations de variables,• les sequences d’instructions,• les conditionnelles,• les boucles while.

Nous nous interdisons les listes, les objets, les fonctions, . . .

Les environnements : une notion de configuration

Environnements et commandes• Un environnement (même notion que la valuation) est une fonction

partielle à support fini des variables dans les valeurs. Il représententun état de la mémoire d’un programme.

• Les commandes transforment les environnements.

x←Truey← 4z← -45

x←Truey← -37z← -45

y=z+y*2

RemarqueLe debugger de Thonny permet d’observer facilement l’action descommandes sur les environnements.

Sémantique opérationnelleC’est la description (formelle) de l’action de chaque commande (du code)sur les configurations.

Les environnements : une notion de configuration

Environnements et commandes• Un environnement (même notion que la valuation) est une fonctio

Logique du premier ordre - FIL Lille 1salvati/cours/logique/...opérateur unaire : S, le successeur...

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