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ÉLÉMENTS DE RÉFLEXION SUR LE MODULE 7 ET SA SUITE

1. LA RELATION ENTRE ADDITION ET SOUSTRACTION : LA DONNER À VOIR PUISLA TRAVAILLER

Le fait que les élèves ne parviennent pas à réussir immédiatement le « passage » d’une addition àune soustraction (par exemple, ne pas déduire « immédiatement » et « facilement » que si l’on saitque 5 + 3 = 8, alors on sait aussi que 8 - 5 = 3) est absolument normal.Le fait que ce « passage » fasse l’objet d’un premier travail dans le module 7 ne signifie en aucuncas qu’il doive être « réussi » par tous les élèves dès la fin du module 7.Il y a bien l’idée de d’abord « simplement » donner à voir la relation entre addition et soustraction,puis la travailler, sur le long terme, pour lui donner du sens dans diverses situations.

Pour installer la soustraction 6 – 4 = 2 en se fondant sur le fait que l'élève sait que 2 + 4 = 6, on peutpar exemple utiliser boîte et les trains-nombres.On peut utiliser la boîte. La boîte est d'abord complétée avec le savoir ancien (l'addition) puis leprofesseur montre la différence entre 6 (il montre la « grande case ») et 4 (il montre la « petite »case), en disant que la différence est 2.On peut travailler avec les élèves le fait que l' écriture soustractive est déductible de la boîte encomparant le nombre du haut avec ceux du bas. C'est toujours l'idée de partir de l'écriture connuedes élèves (l'addition) et de déduire l'écriture nouvelle : la soustraction à partir de ce que les élèvesconnaissent. Non seulement la boîte, mais aussi la ligne graduée dans RDP (recherche ducomplément) pour montrer les liens avec la soustraction introduite dans ce module. On peut utiliser les trains-nombres. Avec les trains-nombres, la différence se montre à partir dedeux nombres. La comparaison permet d'identifier ce qui est pareil et de matérialiser la différence.Le « nombre de la différence » s'adresse ainsi à la fois au train le plus petit et au plus grand. 4 estplus petit de 2 par rapport à 6 et 6 est plus grand de 2 par rapport à 4.La notation de la soustraction 6 – 4 = 2 montre la différence. Comment prouver ? Avec l'appui del'addition parce que 4 + 2 = 6. On peut prendre un train-nombre de 2 pour montrer que l’ajout de ladifférence rend les deux trains-nombres identiques, pareils.

Ce travail se fait essentiellement en continuité avec l'idée cruciale qui consiste à « faire voir unnombre dans un autre », comme peut le montrer l'exemple ci-dessous.Comparer 3 et 8 : essai d’écriture de la différence

Dégroupement du 8 en 5 et 3

Pour la recherche de la différence, la pertinence des dégroupements doit être mise àl’épreuve. Exemple entre 8 et 3 : le professeur demande aux élèves d’écrire dessoustractions pour désigner la différence entre 3 et 8. Les élèves doivent chercher dansl’outil « décomposition du 8 » le 3 dans le 8. Il s’agit de décomposer le nombre 8 en 5 et 3(3 et 5) pour en extraire la différence.

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2. LE CHOIX ACE SUR LA SOUSTRACTION, RAPPELDans ACE, le choix conceptuel sur la soustraction consiste à la fois à faire vivre une manière« neutre » de considérer la soustraction (par exemple non d’abord comme un retrait) à travers ladifférence, et « relationnelle » à travers ses relations avec l’addition. Ce choix est un choix de longterme, qui suppose laisser du temps au temps, et travailler de manière continue sur ces deux aspects« différence comme résultat de la soustraction », e t « soustraction opération inverse del’addition ». On peut également rendre les élèves attentifs à la différence de signification de ces écritures. Parexemple, écrire 5 + 2 = 7 est un moyen indirect de « montrer » la différence, et un outil de contrôlede la soustraction. 7 – 5 = 2 est l'écriture qui désigne directement la différence.

3. CONSACRER DU TEMPS À LA DISCUSSION SUR L’USAGE DES OUTILS, ET DESREPRÉSENTATIONS

Une idée essentielle est donc de consacrer du temps à la discussion sur l’usage des outils et desreprésentations, de manière à faire en sorte que les difficultés absolument normales des élèvessoient travaillées en collectif, sans fixation sur le « remplissage d’une fiche ».En particulier, le travail sur les systèmes de représentation (boîtes, ligne graduée, train-nombre, etc.)peut être suscité lorsqu'il y a besoin de preuve dans un débat (par exemple pour trancher sur 4-6 = 2ou 6-4 = 2). D'une manière générale, le débat sur les écritures proposées est essentiel, avec l'idée de« raconter » ce qui est écrit mathématiquement, de manière que les élèves puissent donner un « senspratique » aux écritures qu'ils produisent.Le travail sur partie fictive devrait partager avec le travail sur le journal du nombre le fait que lesélèves comprennent bien ce qu’il y a à faire. Les erreurs commises (qui doivent êtrenécessairement peu nombreuses), si elles sont intéressantes, sont une source de travailcollectif.

4. DES INCITATIONS SPECIFIQUES DANS L E JOURNAL DU NOMBREUne autre idée consiste à proposer aux élèves des incitations dans le journal du nombre quipuissent leur faire travailler directement la relation addition-soustraction.En particulier, des activités centrées sur le « jeu de la boîte » (comme celles figurant à la suite )pourraient être systématisées dans le Journal du Nombre, et travaillées en reprisesystématique avec les élèves moins avancés. Dans cette perspective, la présentation par les élèvesde leurs écritures dans le journal du nombre leur permet d'oraliser les additions et les soustractions àpartir de la boîte et de renforcer leurs connaissances par « contagion intellectuelle ».

EXEMPLES, A TITRE INDICATIF, DE PRODUCTIONS D'ÉLÈVES AU JEU DE LABOÎTE (LES QUATRE PAGES SUIVANTES)

Ici, le jeu de la boîte peut intégrer :- le « faire voir un nombre dans un autre » ;- la différence ;- la relation addition-soustraction ;- l'usage supplémentaire d'autres systèmes de représentations que celui de la boîte ;- le travail de certaines erreurs (relativement rares dans le journal du nombre).

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Classe de Valérie Nonet

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Classe de Catherine Le Reun

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Classe de Josiane Ruellan

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Classe de Nathalie Vigot