Livret de mathématiques ème Trimestre 2

Livret de

mathématiques

5ème Trimestre 2

2

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SOMMAIRE

Séquence 6 : Médiatrices et hauteurs ……………………………………………………………………………………………...3

Séance I : Définir une médiatrice et la construire à l’équerre ............................................................................... 4

Séance II : Caractériser une médiatrice et la construire au compas .................................................................... 8

Séance III : Définir les hauteurs d’un triangle ........................................................................................................... 14

Séance IV : Exercices de fin de séquence ................................................................................................................... 18

Séquence 7 : Nombres relatifs : addition et soustraction ................................................................ 22

Séance I : Additionner des nombres relatifs ............................................................................................................. 23

Séance II : Soustraire des nombres relatifs ............................................................................................................... 26

Séance III : Simplifier des écritures .............................................................................................................................. 30


Séquence 8 : Probabilité ............................................................................................................... 37

Séance I : Découvrir les probabilités ............................................................................................................................ 38

Séance II : Calculer des probabilités ............................................................................................................................ 42

Séance III : Exercices de fin de séquence ................................................................................................................... 47

Séquence 9 : Symétrie centrale et parallélogramme ...................................................................... 49

Séance I : Définir la symétrie centrale et le centre de symétrie .......................................................................... 50

Séance II : Utiliser les propriétés de la symétrie centrale ..................................................................................... 58

Séance III : Utiliser les propriétés des angles alternes-internes .......................................................................... 62

Séance IV : Définir et utiliser les propriétés du parallélogramme ...................................................................... 66

Séance V : Exercices de fin de séquence .................................................................................................................... 74

Séquence 10 : Nombres relatifs : multiplication et division ............................................................. 76

Séance I : Multiplier des nombres relatifs ................................................................................................................. 77

Séance II : Diviser des nombres relatifs ...................................................................................................................... 81

Séance III : Enchaîner des opérations .......................................................................................................................... 85


Séquence 11 : Aires ...................................................................................................................... 91

Séance I : Calculer l’aire de polygones usuels ........................................................................................................... 92

Séance II : Calculer l’aire d’un disque .......................................................................................................................... 96

Séance III : Calculer l’aire d’une surface par représentation géométrique ................................................... 101

Séance IV : Exercices de fin de séquence ................................................................................................................ 108

3


SÉQUENCE 6 : MÉDIATRICES ET HAUTEURS

Séance 1 : Définir une médiatrice et la construire à l’équerre

NOTIONS

Séance 2 : Caractériser une médiatrice et la construire au compas

Séance 3 : Définir les hauteurs d’un triangle

Séance 4 : Exercices de fin de séquence

Séance 5 : Évaluation de fin de séquence

OBJECTIFS

Connaître la médiatrice d’un segment et la définir

Connaître la hauteur d’un triangle et la définir

Savoir construire une médiatrice et les hauteurs d’un triangle

4


SÉANCE I : DÉFINIR UNE MÉDIATRICE ET LA CONSTRUIRE À L’ÉQUERRE

Décrire chacune des figures à l’aide d’une ou deux phrases.

Leçon

Définition : La médiatrice d’un segment est la droite qui passe par le milieu

de ce segment et qui est perpendiculaire à ce segment.

Méthode : Construire la médiatrice d’un segment avec une règle graduée

et une équerre

Enoncé : Tracer un segment et construire la médiatrice de ce segment.

Solution :

1) Avec une règle graduée, on mesure la longueur

du segment et on place son milieu

2) Avec une équerre, on construit la droite

perpendiculaire à ce segment et passant par son

milieu.

3) On prolonge la droite obtenue sans oublier de

coder la figure.

Médiatrice du

segment [AB]

5


1) Dans chacun des cas suivants, indiquer si la droite tracée est la médiatrice du segment [GH]

2) Tracer les segments avec les vraies dimensions. a) Tracer leur médiatrice avec une règle et une équerre. b) Coder les figures obtenues.

3) Tracer un segment [MN] de longueur 3,8 cm, ni horizontal, ni vertical. a) Construire la médiatrice de ce segment avec une règle graduée et une équerre. 2. b) Mêmes questions pour un segment [CD] de longueur 4,7 cm.

Je retiens

La médiatrice d’un segment est la droite qui passe par le milieu de ce segment et qui

est perpendiculaire à ce segment.

Pour construire une médiatrice avec une équerre :

Appliquons pour mieux comprendre

7. On mesure la longueur du segment

[CD]

6. On fait un trait au milieu du segment.

5. On place l’équerre

comme sur le schéma

4. On place la règle contre l’équerre ne

doit pas bouger).

3. On retire l’équerre. La règle

est alors perpendiculaire à

[CD] et passe par son milieu.

2. On trace la médiatrice. 1.

6


Exercices

1) Reproduire la figure ci-contre. avec une règle graduée et une équerre, construire

le point d’intersection O des médiatrices de ces deux segments.

2) Reproduire la figure ci-contre sur un quadrillage.

a) Avec une règle non graduée seulement, construire la

médiatrice du segment [EF] en bleu et celle du segment

[ZL] en vert.

b) En utilisant uniquement les points de la figure, donner

tous les segments dont la droite (d) est la médiatrice.

3) Tracer un segment [AB] de longueur 8 cm.

a) Placer le milieu K de ce segment et construire sa médiatrice (d1).

b) Placer un point P sur (d1) tel que KP = 4,2 cm.

c) Construire la médiatrice (d2) du segment [BP]

4) Trouver l’unique médiatrice tracée sur cette figure en précisant le nom du

segment associé.

7


5) Construisez les médiatrices des côtés de ces triangles.

6) Tracez un triangle RST tel que RS = 3 cm ; ST = 4 cm et TR = 5 cm.

a) Tracez les médiatrices des segments [RS] et [ST], puis mesurez l’angle formé par

les deux médiatrices.

b) Qu’en déduisez-vous sur la nature du triangle RST ?

7) Construisez un triangle ABC isocèle en A tel que ABC= 72°.

a) Tracez la médiatrice relative au côté [BC], qui coupe [BC] en M.

b) Quelle est la mesure de l’angle BAM Justifiez.

Défi : Décrire cette figure sans utiliser l’adjectif « perpendiculaire ».

8


SÉANCE II : CARACTÉRISER UNE MÉDIATRICE ET LA CONSTRUIRE AU COMPAS

Inès, Ethan et Antoine font du wave-board. Antoine tourne autour d’Inès à une

distance de 5 mètres. Ines et Ethan sont à 8 mètres l’un de l’autre.

1. Schématiser la situation en plaçant deux points I (Inès) et E (Ethan) et en

traçant le parcours d’Antoine.

2. A un moment donné, Antoine se trouve à la même distance d’Inès et d’Ethan.

Où peut-il se trouver ?

3. Tracer le segment [IE] et la droite passant par les points obtenus à la question

2. Que semble être cette droite pour le segment [IE] ?

Leçon

Définition : Lorsqu’un point M est à la même distance de deux points A et B, on dit que M est équidistant de A et B.

• Si un point appartient à la médiatrice d’un segment alors

ce point est équidistant des extrémités de ce segment.

• Si un point est équidistant des extrémités d’un segment

alors ce point appartient à la médiatrice de ce segment.

AM + MB et AN = NB donc ∆ est la

médiatrice de [AB].

P est un point de ∆ donc AP = PB.

Méthode : Construire la médiatrice d’un segment avec un compas

Enoncé : Construire à l’aide d’un compas la médiatrice d’un segment [AB]

Solution 1) On prend un écartement de compas (assez grand pour le

conserver tout au long de la construction). 2) On place la pointe sur chacune des extrémités du segment et on

trace ainsi deux arcs de cercle. 3) On trace la droite passant par les deux points d ‘intersection des

deux arcs de cercle : c’est la médiatrice.

PROPRIETE

Médiatrice de [AB]

EXEMPLE 1

9


Construire la médiatrice d’un segment à la règle non graduée et

au compas.

Étape 1 : Je trace un segment [MP]

Étape 2 : Je trace deux cercles de n’importe quel rayon. Ils doivent être suffisamment

grands pour que les cercles se coupent :

- l’un de centre M

- l’autre de centre P

Je nomme A et B le point d’intersection de ces deux cercles.

Étape 3 : je trace la droite (AB) et je code la figure.

EXEMPLE 2

10


Remarque : Cette méthode permet aussi de placer le milieu d’un segment sans règle

graduée et de construire une perpendiculaire sans équerre.

Je conclue : Les points A et B sont équidistants des extrémités du segment [MP]. Ce

sont donc deux points de la médiatrice [MP].

Par conséquent, (AB) est la médiatrice du segment [MP].

11


1) Construire avec la règle non graduée et le compas la médiatrice de chacun des segments :

2) Reproduire la figure puis construire à l’aide du compas les médiatrices de [AC] et [DB].

3) Placer quatre points non alignés R,S,T et U. a) Tracer à l’aide du compas :

b) La médiatrice du segment [RS] ;

c) La médiatrice du segment [TU].

Je retiens

• Si un point appartient à la médiatrice d’un segment alors ce point est

équidistant des extrémités de ce segment.

• Si un point est équidistant des extrémités d’un segment alors ce point

appartient à la médiatrice de ce segment.

• Construire une médiatrice au compas :


12


Exercices 1) Tracer un segment [AB] puis tracer, à l’aide du compas, la médiatrice (d1) de [AB].

a) On note M le point d’intersection de cette médiatrice et de [AB]. Tracer, à l’aide du compas, la médiatrice (d2) de [MB].

b) Sans justifier, quelle remarque peut-on faire sur (d1) et (d2) ?

2) Reproduire la figure ci-dessous sans utiliser le quadrillage du cahier.

A l’aide du compas, construire les médiatrices des côtés [AB] et [DC].

3) Construire, à la règle et au compas, un triangle ABC tel que AB = 6 cm, BC = 11 cm

et AC = 8 cm.

Construire à l’aide du compas, les médiatrices des côtés [BC] et [CA].

4) Construire un triangle VIP rectangle en I tel que VI = 4 cm et PI = 8 cm.

a) Construire les médiatrices des trois côtés de ce triangle.

b) Les trois médiatrices semblent se couper en un seul point. Où est-il placé ?

5) On donne la figure ci- contre avec KC = 2,3 cm.

a) Que peut-on dire de la droite (d).

b) Sans la mesurer donner la longueur KD. Justifier.

6) NST est un triangle isocèle en N.

a) Faire une figure à main levée.

b) Sans faire aucune construction, expliquer pourquoi on peut affirmer que N

appartient à la médiatrice de [TS].

13


7) Placer trois points A, B et C non alignés.

On veut trouver un point P équidistant de ces trois points.

a) Construire l’ensemble des points équidistants des points A et B. Qu’a-t-on construit ?

b) Trouver alors ce point P équidistant des points A, B et C.

8) Léa téléphone à son amie Capucine :

« Je suis à 200 m du gymnase et à 200 m de la mairie »

Capucine lui répond : « Ah tu es à la boulangerie ! »

Qu’en pensez-vous ?

Défi : Sur une feuille blanche, on a la figure ci-contre. On veut construire à l’aide du

compas, la médiatrice du segment [BN]. Une contrainte est imposée : aucun trait de

construction ne doit sortir de la feuille blanche.

Comment peut-on s’y prendre ?

(Gymmase)

Boulangerie

(Mairie)

14


SÉANCE III : DÉFINIR LES HAUTEURS D’UN TRIANGLE

Parmi les droites suivantes, quelles sont celles qui sont perpendiculaires à un côté du

triangle ABC et qui passent par le sommet opposé à ce côté ?

Leçon

Définition : Dans un triangle, une hauteur est une droite qui passe par un

sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.

(d1) est la hauteur du triangle ABC issue du sommet C.

(d2) est la hauteur du triangle ABC issue du sommet B.

EXEMPLE 1

15


1) Observer la figure puis recopier et compléter les trois phrases suivantes.

a) … est la hauteur de STU issue de …

b) … est la hauteur de STU issue de …

c) … n’est pas une hauteur de STU.

2) Trouver laquelle de ces droites est une hauteur du triangle ABC.

Que représente la droite (d2) pour le triangle ABC ?

3) Reproduire le triangle ci-contre sur un

quadrillage.

A l’aide d’une équerre, tracer :

a) en rouge la hauteur issue du sommet F ;

b) en vert la hauteur issue du sommet H ;

c) en bleu la troisième hauteur.

Je retiens

Dans un triangle, une hauteur est une droite qui passe par un sommet et qui est

perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.


16


Exercices

1) Reproduire ce triangle sur un quadrillage :

A l’aide d’une équerre, tracer :

a) en rouge la hauteur issue du sommet M ;

b) en vert la hauteur issue du sommet L.

2) Reproduire ce triangle sur un quadrillage.

Sans l’aide d’une équerre, tracer avec une règle :

a) en rouge la hauteur issue du sommet C ;

b) en vert la hauteur issue du sommet B.

3) Le triangle EFG est tel que EF = 5 cm, FG = 8 cm et EG = 6 cm.

a) Construire EFG avec les vraies dimensions.

b) Tracer (d) la hauteur issue de E.

c) Tracer (d’) la hauteur issue de G.

4) Le triangle HPN est tel que HP = 10 cm, PN = 4 cm et HN = 7 cm.

d) Construire HPN avec les vraies dimensions.

e) Tracer (d) la hauteur issue de N.

f) Tracer (d’) la hauteur issue de H.

17


5) Construire avec les vraies dimensions le triangle RST

a) Tracer (d1) la hauteur issue de T.

b) Tracer (d2) la hauteur issue de R.

6) Le triangle ABC a pour dimensions AB = 9 cm, AB = 8 cm et BC = 7 cm.

a) Construire avec les vraies dimensions ABC et ses trois hauteurs.

b) Que remarque-t-on ?

c) Construire un autre triangle EFG avec des dimensions différentes ainsi que ses

trois hauteurs.

Peut-on faire la même remarque que pour le triangle ABC ?

7) Observer la figure suivante où H est le point d’intersection des trois hauteurs.

a) Quelle est la hauteur du triangle LHK issue de

H ? Justifier.

b) Quelle est la hauteur du triangle LHK issue de

K ? Justifier.

c) Quelle est la hauteur du triangle JHK issue de K?

Justifier.

d) Ecrire deux autres phrases décrivant une

hauteur d’un triangle de cette figure.

Défi : Tracer deux droites (d) et (d’) sécantes et placer les points A, B et C de telles

sorte que (d) et (d’) soient deux hauteurs du triangles ABC.

18


SÉANCE IV : EXERCICES DE FIN DE SÉQUENCE

Exercice 1 : Recopier et compléter les phrases

a) La droite rouge est la … du … ABC passant par

le … C .

b) La droite bleu est la … du … […].

c) La droite … est la médiatrice du … [AC].

d) La droite verte est la … du triangle ABC

passant par … .

Exercice 2 : Donner le nom des médiatrices tracées sur cette figure en précisant le

nom du segment associé. Justifier.

Exercice 3 : On souhaite construire les trois médiatrices des trois côtés du triangle ci-

dessous avec un compas sans modifier son écartement pendant la construction.

a) Quelle longueur d’écartement peut-on choisir ?

b) Construire ce triangle et les trois médiatrices.

Exercice 4 : Le triangle NKP est rectangle en N tel que NP= 3 cm et NK = 7 cm

Tracer ce triangle ainsi que ses trois hauteurs.

19


Exercice 5 : On considère les sept points ci-dessous sur un quadrillage.

Recopier et compléter le

tableau suivant.

Exercice 6 : Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse

en justifiant :

a) (AB) est la médiatrice de [OO] ;

b) (OO4) est la médiatrice de [AB] ;

c) (OO4) est une hauteur du triangle AOB.

Exercice 7 : Lors d’un concours de tir à l’arc, les archers

visent une cible circulaire. Le gagnant est celui qui atteint la

cible en son centre ou celui qui s’en approche le plus. Le

problème est que rien n’indique le centre de la cible.

Comment le retrouver ?

Indication : on peut tracer un cercle sur une feuille à l’aide

d’un verre renversé par exemple. Ensuite, en utilisant une règle non graduée et un

compas seulement, il s’agit de retrouver le centre du cercle.

Exercice 8 : Louise est montée dans un manège ; deux de ses amies, Inès et Mila, la

regardent tourner. Louise fait un signe à ses amies lorsqu’elle est à égale distance

d’Inès et de Mila.

Reproduire la figure ci-dessous et indiquer les endroits où Louise fait signe à ses

amies.

La droite Est une hauteur de

triangle :

Passant par :

(BG) ADG ……….

……… ADF F

…….. ACG ……….

ADE ……….

Mila

Louise Inès

20


SÉANCE V : ÉVALUATION DE FIN DE SÉQUENCE

Exercice 1 : Vrai ou faux ?

a) La droite perpendiculaire à un segment est la médiatrice de ce segment.

b) La médiatrice d’un segment est une droite perpendiculaire à ce segment

c) Une droite perpendiculaire à un segment et qui passe par son milieu est la

médicatrice de ce segment.

d) Les extrémités d’un segment appartiennent à sa médiatrice

Exercice 2 : Tracer un segment [RS] de longueur 9,7 cm et construire sa médiatrice

(∆) ; cette droite coupe le segment [RS] en K.

Un papa a demandé à sa fille d’écrire quatre informations à propos de la figure

obtenue. Elle écrit :

• K est le centre du segment [RS]

• (⧍) est ⟘ au segment [RS].

• [RS] = 9,7 cm

• [KS] = 4, 8

Trouver et corriger les erreurs commises.

Exercice 3 : Reproduire une figure semblable à celle –ci-dessous. Avec une règle graduée et une équerre : a) construire le point T pour que la droite (d) soit la

médiatrice du segment [ST] ;

b) construire le point A pour que la droite (d’) soit la

médiatrice du segment [AB].

Exercice 4 : Reproduire sur un quadrillage le triangle

RST.

a) Tracer les trois médiatrices de ce triangle. Que

remarque-t-on ?

b) On note O le point d’intersection des trois

médiatrices. Que peut-on dire des longueurs OR,

OS et OT ? Justifier.

c) Tracer le cercle de centre O passant par R.

21


Exercice 5 : Le triangle CHP est tel que CHP = 128°, CH = 5 cm et PH = 4 cm.

Construire CHP.

a) Tracer (d1) la hauteur issue de H.

b) Tracer (d2) la hauteur issue de C.

c) Tracer (d3) la hauteur issue de P.

Exercice 6 : ABC est un rectangle.

a) Reproduis cette figure avec les vraies dimensions.

b) Tracer (d1) la hauteur du triangle ABC issue de B et (d2) la hauteur du triangle

ACD issue de D.

c) Que peut-on dire de (d1) et (d2) ? justifier.

Exercice 7 : Reproduire la figure ci-dessous.

La droite (d) est la médiatrice du segment [AM]. Construire le point M en utilisant le

compas et une règle non graduée et en laissant les traits de construction.

Exercice 8 : Le cercle circonscrit.

1. Tracer un triangle ABC tel que AB=10 cm, AC = 8 cm et BC = 9 cm.

2. Tracer la médiatrice (d1) de [AB] et la médiatrice (d2) de [AC].

3. Placer le point M, intersection de (d1) et (d2).

a) Citer les segments égaux à [AM].

b) Tracer le cercle de centre M passant par A. Que remarque-t-on ?

22


Séance 1 : Additionner des nombres relatifs.

Séance 2 : Soustraire des nombres relatifs.

Séance 3 : Simplifier des écritures.

Séance 4 : Exercices de fin de séquence.

→ Calculer avec des nombres relatifs.

→ Savoir résoudre des problèmes impliquant des nombres relatifs.

23


SÉANCE I : ADDITIONNER DES NOMBRES RELATIFS

Léa joue avec les jetons d’un jeu de dames : les uns sont noirs et les autres sont blancs.

Dans son jeu, elle organise des « rencontres » entre deux groupes de jetons et imagine

qu’à chaque fois qu’un jeton noir rencontre un jeton blanc, les deux jetons disparaissent.

Elle compte le nombre de jetons restants.

Voici certaines des rencontres imaginées par Léa.

Rencontre 1 Rencontre 2 Rencontre 3

1. Quel est le résultat de chacune de ces rencontres de jetons ?

2. On symbolise chaque jeton blanc par le nombre (+1) et chaque jeton noir par le

nombre (-1).

a) Par quel nombre peut-on alors symboliser cinq jetons noirs ? Cinq jetons blancs ?

b) Léa décrit la première rencontre par le calcul (-5) + (-2) ? Comment peut-on noter le

résultat ?

c) A quelles rencontres correspondent les calculs (-2) + (+4) et (-7) + (+5) ? Quels sont

les résultats ?

Cas 1 : additionner deux nombres de même signe. Énoncé : calculer A = (+7) + (+3) et B = (-8) + (-5).

Solution : les nombres sont de même signe.

Cas 2 : additionner deux nombres de signes différents.

Énoncé : calculer C = (-7) + (+3) et D = (+8) + (-5).

Solution : les nombres sont de signes opposés.

1) On garde le même signe

au résultat.

Pour A : +

Pour B : -

2) On ajoute les parties

numériques entre elles.

Pour A : 7+3 =10

Pour B : 8+5 =13

3) On donne le

résultat.

A = (+7) + (+3) = +10

B = (-8) + (-5) = -13

1) On garde le signe du nombre qui a

la plus grande partie numérique.

Pour C : 7>3 donc le signe de -7

Pour D : 8>5 donc le signe de +8

2) On calcule la différence

des parties numériques.

Pour C : 7-3=4

Pour D : 8-5=3

3) On donne le

résultat.

C= (-7) + (+3) = -4

D= (+8) + (-5) = +3

Leçon

24


Méthode : additionner plusieurs nombres relatifs.

Énoncé : calculer E = (+15) + (-7) + (+4) + (+11) + (-8).

Solution : E = (+15) + (-7) + (+4) + (+11) + (-8).

1) On peut ajouter les nombres positifs entre eux : (+15) + (+4) + (+11) = +30

2) On peut ajouter les nombres négatifs entre eux : (-7) + (-8) = -15

3) On calcule la somme des deux nombres obtenus : E= (+30) + (-15) = (+15)

1) Effectuer les calculs suivants.

a) (-5) + (-2) b) (-5) + (+2) c) (+5) + (-2) d) (+5) + (+2)



a) (+31) + (+20) e) (+40) + (-21) f) (-32) + (+11) g) (-19) + (-24)

a) (13) + (+11) b) (-10) + (-9) c) (-5) + (+17) d) (+18) + (-20)

Je retiens

1) La somme de deux nombres positifs correspond à la somme déjà connue de ces

nombres. 5+2=7

2) La somme de deux nombres négatifs est égale à la somme de leurs opposés

précédée d'un signe "-". (−9) + (−12) = − (9+12) = − (21) = (−21) = −21

3) La somme de deux nombres relatifs de signes différents est égale à la différence de

leurs distances par rapport à 0, précédée du signe du nombre le plus éloigné de 0.

7 + (−15) = − (15−7) = − (8) = (−8) = −8

4) La somme de deux nombres opposés est égale à 0. (−4) + (+4) = 0


25


Exercices :

1) Compléter par un nombre relatif.

a) (-5) + ……. = -20 b) (+25) +……. = -12 c) ……+(-20) = +8 d) …… + (-41) = -50


a) (-7,5) + (-1,5) b) (+3,8) + (+2,2) c) (-0,25) + (+1) d) (+9,1) + (-0,9)


a) (+15,7) + (+6,2) b) (+4,2) + (-3,8) c) (-32,5) + (-13,7) d) (-18,3) + (+22)

4) Effectuer les calculs suivants, en regroupant certains termes de façon astucieuse.

a) (+13) + (-5) + (-13) + (27)

b) (-1,5) + (+31) + (+2,5) + (-3)

c) (+9) + (+16) + (-6) + (+2)

d) (+14) + (-32) + (-24) + (+50)

5) Recopier et compléter le tableau en suivant l’exemple de la première ligne.

Nombre a Nombre b Résultat de a + b

-7 -2,1 (-7) + (-2,1) = -9,1

-2,3 +5,4

+3,8 -4

-5,3 -6,7

+10,3 -11

6) Recopier et compléter le schéma suivant :

7) Qui suis-je ?

a) On m’a ajouté à (+7) et on a obtenu (+11). Qui suis-je ?

b) -3 et moi avons une somme nulle. Qui suis-je ?

c) On obtient -30 lorsqu’on m’ajoute à +17. Qui suis-je ?

8) L’empire Romain a été fondé en 27 avant J.-C. Il s’est éteint, en occident, cinq siècles

et trois années plus tard. Quelle est la date de la fin de l’Empire romain d’occident ?

Défi : compléter les pointillés par un signe + ou signe – dans le calcul suivant.

-8

+(+0,7) +(+0,7) +(+0,7) +(+0,7) +(+0,7)

26


SÉANCE II : SOUSTRAIRE DES NOMBRES RELATIFS

1. A votre avis quel est le résultat de (+3) -(+3) ? Pourquoi ?

Quel nombre doit-on ajouter à (+3) pour obtenir le même résultat ?

Compléter d’après les résultats précédents : (+3) -(+3) =(+3)+(….).

2. Sur une calculatrice, on a tapé différents calculs et voici les écrans que l’on a obtenus.

(+5) - (+3)

2

(+5) + (-3)

2

(-10) - (-4)

-6

(-10) + (+4)

-6

(-7) - (+11)

-18

(-7) + (-11)

-18

a) Quels sont les calculs qui donnent des résultats égaux ?

b) Qu’ont-ils en commun ? Quelles sont leurs différences ?

c) En procédant de la même manière, proposer un calcul qui a le même résultat que

(+10) -(+5).

d) En déduire le résultat de (+10) -(+5).

Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé.

Méthode 1 : soustraire un nombre relatif.

Énoncé : calculer A= (-20) + (-5).

Solution : A = (-20) + (-5)

On remplace la soustraction de (+5) par l’addition de (-5) : A= (-20) – (+5)

On calcule la somme des deux nombres : A= (-20) – (+5) =-25

Méthode 2 : calculer une suite d’additions et de soustractions.

Énoncé : calculer B = (+17) – (-2) + (+3) – (+4).

Solution : B = (+17) – (-2) + (+3) – (+4)

On remplace toutes les soustractions par des additions équivalentes :

B = (+17) + (+2) + (+3) + (-4)

On effectue les calculs : B = (+22) + (-4) = +18

Leçon

PROPRIÉTÉ

27


1) Recopier et compléter.

a) Soustraire +7, c’est ajouter………..…………

b) Soustraire -15, c’est ajouter……………..….

c) Soustraire + 36, c’est………………..………….

d) Soustraire -1, c’est……………………….………


a) (+20) – (-15) = (+20) + (……) =…….

b) (-10) – (-7) = (-10) + (………) =………

c) (+8) – (-30) = (+8) + (………) =………

3) Calculer.

a) (+9) – (+5) b) (-6) – (+7) c) (-14) – (-14)

d) (+3) – (+8) e) (-10) – (-11) f) (+4) – (-6)

Je retiens

➢ Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé. Cela signifie que toute

soustraction peut s'écrire comme une addition.

45−12=45 + (−12) = 33 12− (−4) = 12+(+4) = 12+4 = 16 ➢ Dans une séquence d'additions et soustractions, on remplace toutes les

soustractions par des additions équivalentes.


28


Exercices

1) Calculer.

a) (-16) – (-24) b) (+34) – (+9) c) (+14) – (-14)

d) (+11) – (+35) e) (-52) – (+8) f) (-13) – (-6)


a) (-16) – (…….) = (-16) – (…….)= -20

b) (+9) – (…….) = (+9) + (…….)= +13

c) (+40) – (…….) = (+40)+ (………)=+25

d) (-2) – (…….) = (-2) + (……) =-21

3) Calculer.

a) (+2,4) – (-9) b) (-3,7) – (+8) c) (-7,6) – (-0,5)

d) (+0,52) – (+6) e) (-3,1) – (+5,9) f) (-1,5) – (+3,8)

4) Oymyakon, une ville de Sibérie, en Russie, est la ville la plus froide du monde. La

température moyenne y est de -38,6 °C en février, de -20,1 °C en avril et de +7,5 °C

en juin.

a) De combien de degrés, la température augmente-t-elle entre février et avril ?

b) De combien de degrés, la température augmente-t-elle entre avril et juin ?

5) On considère les expressions suivantes :

A= (+5) — (+3) + (-7) B= 5-8- + (-10) – (9) Pour chacune de ces expressions :

a) La recopier. b) Remplacer les soustractions par des additions équivalentes. c) Ajouter les nombres négatifs entre eux et les nombres positifs entre eux. d) Terminer le calcul et donner le résultat de l’expression.

6) Remplacer les soustractions par des additions équivalentes, puis calculer. a) A= (-7) + (-5) – (-10) – (+7)

b) B= (+15) – (-3) + (-4) – (+9)

c) C = (-1) – (-2) + (-3) – (4) + (-5)

d) D= (-20) + (-17) + (+5) – (-10) – (+6)

29


7) Recopier et compléter le tableau en suivant l’exemple de la première ligne.

Nombre a Nombre b Résultat de a - b

-7 -2,1 (-7) – (-2,1) = -4,9

-5,2 +6,4

+7,5 -13

-3,1 -9,7

+6,7 +17

8) Calculer en détaillant les étapes.

a) A= (+5) + [(-3) – (-8)]

b) B= [(-11) – (+50)] + (-21)

c) C= [(+14) + (-7)] – [(+6) – (+15)]

Défi : recopier et compléter cette pyramide de telle sorte que le nombre écrit dans une

case soit égal à la somme des deux nombres juste en dessous.

30


Convention

REMARQUE

SÉANCE III : SIMPLIFIER DES ÉCRITURES

1. Lina annonce : « Aujourd’hui, il fait 12 °C. »

Avec cette phrase, Lina annonce-t-elle une température de +12 °C ou de -12 °C ?

Quelle simplification fait-elle ?

2. En procédant comme Lina, recopier les calculs suivants en supprimant les « + » qui

peuvent l’être.

A= (+5) – (+3) B= (+11) + (+7)

Que penser des parenthèses alors ?

Calculer de tête les résultats de A et B.

Pour simplifier un calcul avec des nombres relatifs, on peut :

• Supprimer les parenthèses qui entourent le premier nombre de

calculs ;

• Supprimer les signes + des nombres positifs et les parenthèses

qui l’entourent.

Méthode : simplifier des écritures.

Énoncé : A= (-8) – (-5) et B = (+14) + (-7).

Solution :

on supprime les parenthèses du premier nombre et son signe + :

A = (-8) – (-5) = -8 – (-5) B = (+14) + (-7) = 14 + (-7)

On remplace la soustraction par une addition ou l’addition par une soustraction pour faire

apparaître un terme positif : A = -8 + (+5) B = 14 – (+7)

On supprime le signe + des termes positifs ainsi que les parenthèses qui les entourent :

A = -8 + 5 B = 14 – 7

On peut retenir que :

+ (+ …..) donne + ….. – (+ …..) donne – …….

– (– ……) donne +……… + (– …..) donne – …….

Leçon

31


1) Recopier les calculs et les simplifier le plus possible.

A = (+20) + (+8) B = (-27) – (+10) C = (+4) + (+20) D = (+9) – (+13)

E = (-15) – (+9) F = (+31) – (-10) G = (+6) + (-16) H = (-14) + (-13)

2) Recopier les calculs et les simplifier le plus possible.

A= (-8) – (+5) B= (-6) + (-3) C= (+10) – (-19) D= (-7) + (+11)

3) Associe chaque calcul de gauche à l’un des quatre calculs de droite

Je retiens

Dans une séquence d'additions et soustractions, on peut enlever les parenthèses des

nombres relatifs et supprimer leurs signes en respectant la règle suivante :

➢ Lorsque deux signes identiques se suivent, on les remplace par un +.

➢ Lorsque deux signes différents se suivent, on les remplace par un −. (+11) − (−16) + (−4) = 11 + 16 − 4= 27−4=23

A = (-11) + (-9) M= -11 + 9

B = (+11) + (+9)

C = (-11) – (-9) N = -11 – 9

D = (+11) + (-9)

E = (-11) + (+9) P = 11 + 9

F = (-11) – (+9)

H = (+11) – (+9) R = 11 – 9


32


Exercices

1) Pour chaque calcul : A = -20 + 5 B= -33 – 18

a) Recopier le calcul en remettant les parenthèses et les signes + qui ont été

supprimés.

b) S’il y a des soustractions, les remplacer par des additions équivalentes.

c) Effectuer le calcul.

2) Calculer.

A = -20 + 5 B = 15 – 34 C = -46 – 35 D = -13+ 8

E = 34 + 51 F = -27 + 43 G = 154 – 99 H = 59 – 26

3) Un plongeur se situe à une profondeur de -41 m. Pour remonter à la surface, il doit

marquer des paliers. Le premier doit être effectué après être remonté de 35 m et le

second 3 m plus haut.

a) À quelle profondeur se situe le premier palier ?

b) À quelle profondeur se situe le second palier ?

4) Pour chaque calcul : A= -8 + 14 – 7 B=41 – 35 – 18 + 6

a) Recopier le calcul en remettant les parenthèses et les signes + qui ont été

supprimés.

b) S’il y a des soustractions, les remplacer par des additions équivalentes.

c) Effectuer le calcul.

5) Calculer.

A = -1 + 2 – 3 + 4 – 5 + 6 B = 12 – 21 + 9 + 15 – 11 C = -19 – 4 + 13 – 24 + 5

6) Simplifier les calculs le plus possible.

a) A= (-5) – (-19) – (+8) – (+6)

b) B= (-1,25) + (-8, 5) – (4,75) – (+11)

c) C = (+6,07) – (+1,03) – (-7) – (15,3)

d) D = (-7) + (-8) + (+9) – (+10) – (-11)

e) E= (+12) – (-4,03) + (-5,2) + (-14)

f) F= (+0,23) + (-2,8) – (-4,01) + (-8)

33


7) Calculer en détaillant les étapes.

O = -4 – (11-3) + 7 J = -(4 – 11) – 3 + 7 Y = (-4 – 11) – 3 + 7

P= -(4 – 11 – 3 + 7) U = -(4 – 11) – (3 + 7)

a) Construire une droite graduée.

b) Placer sur la droite graduée les points O, I, Y, P et U d’abscisses respectives des

résultats précédents.

c) Quel mot apparaît ?

8) Jules César est né à Rome, le 12 juillet en l’an -101.

a) En 51 avant J.-C., le gaulois Vercingétorix s’incline face à lui à Alésia. Quel âge avait

alors Jules César ?

b) Il est assassiné à Rome le 15 mars de l’an -44. Combien d’années a-t-il vécu ?

Défi : le carré ci-contre est un carré spécial. La somme des trois nombres situés sur une

même colonne, ou sur une même ligne, ou sur une même diagonale est toujours égale à

un même nombre. Recopier et compléter ce carré.

34



1) On considère le chiffre 17.

On ajoute -2.

On retranche -16 au résultat.

On ajoute -10 au résultat.

a) Donner l’opération correspondante.

b) Indiquer le résultat final.

2) On considère le chiffre -4.

On ajoute 2.

On ajoute -16 au résultat.

On ajoute 1 au résultat.



3) On considère le chiffre −47.

On ajoute (5−(−4)).

On retranche −6 au résultat.

On ajoute −14 au résultat.



4) Des records !

a) Que signifie l’expression amplitude thermique ? (aide-toi du dictionnaire).

b) Le record mondial d’amplitude thermique annuelle a été mesuré à Verkhoïansk,

en Sibérie orientale avec un minimum de -67,7 °C en été. Quelle est cette

amplitude record ?

c) Le record mondial d’amplitude en une journée est de 55,50 °C à Browning

(Montana) aux Etats-Unis. Il a été enregistré le 23 janvier 1916 avec une

température maximale ce jour-là de 6,7 °C. Quelle est la température minimale

enregistrée ce jour-là ?

d) En France, le record d’amplitude thermique journalière est de 37,8 °C. Il a été

mesuré le 13 janvier 1968 à Mouthe, dans le département du Doubs, avec une

température minimale de -36,7 °C le matin. Quelle est la température maximale

enregistrée ce jour-là ?

35


5) Sur le schéma ci-dessous, la somme des nombres inscrits sur un même segment est

toujours la même, quel que soit le segment.

Recopier et compléter ce schéma en remplaçant les « ? » par des nombres qui

conviennent.

6) Voici un programme de calcul

a) Quel résultat obtient-on si on choisit 15 comme nombre de départ ?

b) Quel résultat obtient-on si on choisit -11 comme nombre de départ ?

c) Rédiger un autre programme de calcul plus court, qui permet d’obtenir les mêmes

résultats que celui-ci.

7) Cléopâtre

Cléopâtre célèbre reine d’Egypte, est née en l’an 69 avant J.-C. Elle accède au trône à la

mort de son père, elle a alors 18 ans. Elle décède finalement en 30 avant J.-C.

a) À quel âge Cléopâtre meurt ?

b) En quelle année accède-t-elle au trône ?

36


8) Compte bancaire

Chaque mois, les établissements bancaires envoient à leurs clients un relevé de compte.

Il s’agit d’un document où figurent toutes les opérations qui ont lieu sur le compte

bancaire : les débits indiquent l’argent dépensé, et les crédits indiquent l’argent déposé

sur le compte.

a) Expliquer le solde négatif qui figure en bas à droite de ce relevé.

b) Quelle opération bancaire permettrait de ramener ce solde à 0 € ?

37


Séance 1 : Découvrir les probabilités.

Séance 2 : Calculer des probabilités.


→ Reconnaître des expériences aléatoires à partir de problèmes simples.

→ Calculer des probabilités dans des cas simples.

38


SÉANCE I : DÉCOUVRIR LES PROBABILITÉS

• Lola, a devant elle un panier contenant des bonbons d’aspects identiques, mais de couleurs différentes, rouge et verte. Elle regarde le panier, choisit un bonbon et dit : « C’est aléatoire qu’il soit rouge ! »

• Lola a devant elle une boite contenant des bonbons d’aspects identiques de couleur rouge et d’autres de couleur verte. Elle ne peut pas voir l’intérieur de la boite. Elle plonge sa main dans la boite et sort un bonbon. Elle le regarda et elle dit : « C’est aléatoire qu’il soit rouge ».

• Lulu a devant lui une boite contenant des bonbons d’aspects identiques tous de couleur rouge, il ne voit pas l’intérieur de la boite. Il choisit un bonbon dans la boite sans regarder et dit : « C’est aléatoire qu’il soit rouge ! »

1. Qui n’a pas choisi aléatoirement un bonbon rouge ? 2. Qui ne pouvait pas prévoir la couleur du bonbon tiré ? 3. Modifier si besoins ces expériences pour que le bonbon soit choisi aléatoirement.

Définition : une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles sans pouvoir déterminer de manière certaine lequel va se produire. Vocabulaire : on appelle « issue » ou « éventualité » de l’expérience chacun des résultats possibles de l’expérience aléatoire. Méthode : déterminer une expérience aléatoire.

Énoncé : tirer une pièce à pile ou face, est-une expérience aléatoire ?

Solution :

tirer une pièce à pile ou face n’a que deux issues : tomber sur pile ou tomber sur face. On

en connaît tous les résultats possibles, donc le lancer de pile ou face est bien une

expérience aléatoire.

Leçon

39


1) On lance une pièce.

a) Avant de lancer la pièce, peut-on prévoir le résultat ?

b) Indiquer le nombre de résultats possibles.

2) Imaginer et décrire deux expériences différentes dont le résultat :

a) est aléatoire ;

b) est prévisible.

3) Indiquer les situations qui relèvent d’expérience aléatoire.

a) Avant le coup d’envoi d’un match de rugby, le choix du côté du terrain où vont

jouer les équipes se tire à pile ou face en lançant une pièce.

b) Ce matin, il y avait beaucoup de verglas sur les routes. Cela m’a ralenti, je suis

arrivé en retard au collège.

c) Si je fais la somme des angles d’un triangle, je trouve 180°.

Je retiens

➢ Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles sans pouvoir déterminer de manière certaine lequel va se produire.

➢ On appelle « issue » ou « éventualité » de l’expérience chacun des résultats possibles de l’expérience aléatoire.


40


Exercices

1) Paul pioche 6 fois une carte dans une boîte de cartes numérotées de 1 à 6. Il obtient

les résultats suivants après avoir remis la carte piochée dans la boîte ; 1-1-1-2-3-4. Il

affirme que ce résultat n’est pas aléatoire, car il y a plus de 1 que de 2. Commenter

l’affirmation.

2) Une boîte opaque contient des jetons comme indiqué ci-dessous.

Assia pioche un jeton sans regarder.

a) Si elle ne tient compte que de la couleur du jeton, combien de résultats peut-elle

obtenir ? Lesquels ?

b) Si elle ne tient compte que du numéro du jeton, combien a-t-elle de résultats

possibles ?

c) Si elle tient compte de la couleur et du numéro du jeton, combien a-t-elle de

résultats possibles ?

3) Après avoir lancé trois fois une pièce de monnaie, Ismaël constate que la pièce est

retombée trois fois sur pile. Il affirme qu’au prochain lancer, il est sûr d’obtenir face.

Qu’en pensez-vous ?

4) Marie et Paul ont déjà trois fils. Ils attendent un quatrième enfant. Paul assure à

Marie que ce sera nécessairement une fille. A-t-il raison ?

5) Lise lance dix fois de suite une pièce . Elle n’a jamais obtenu le côté pile. Elle affirme

que cette pièce est truquée. A-t-elle raison ?

6) Samir joue aux dames contre son ordinateur. Il gagne dans la plupart des parties.

Laquelle des affirmations suivantes est ici vérifiée ?

a) Samir peut gagner dix parties d’affilée.

b) La probabilité de gagner une partie dépend de l’issue de la partie précédente.

c) Samir a déjà perdu deux parties d’affilée. Il gagnera donc forcément la suivante.

41


7) Si on mesure les quatre côtés d’un carré, on trouve le même nombre. Est-ce

prévisible ?

Les triangles ABC, ABE et ABD ont la même aire. Est-ce prévisible ?

8) Un robot est placé sur le point de départ.

Pour faire déplacer le robot, il y a trois boutons :

• le bouton « droite » déplace le robot d’une case vers la droite ;

• le bouton « haut » déplace le robot vers le haut ;

• le bouton « random » déplace aléatoirement le robot d’une case vers la droite ou

d’une case vers le haut.

a) Si on appuie successivement sur les boutons « droite », « droite « et « haut », où

le robot arrive-t-il ?

b) Si on appuie deux fois de suite sur le bouton « random », peut-on prévoir

exactement où le robot va arriver ?

c) Donner toutes les positions possibles du robot après ces deux déplacements.

d) En n’utilisant que le bouton « random », est-on certain d’atteindre le point A ?

e) Si on appuie trois fois de suite sur le bouton « random », est-on sûr d’arriver sur

un des points du quadrillage ?

42


SÉANCE II : CALCULER DES PROBABILITÉS

Noa, Emilie et Fatoumata effectuent le tirage d’une boule, sans regarder, chacun dans leur

boîte. Les boules sont toutes identiques à part leur

couleur.

Nao dit : « J’ai une possibilité sur deux d’obtenir une

boule rouge. »

Emilie dit : « Moi aussi ! » Qu’en pensez-vous ?

Fatoumata voudrait ajouter des boules pour avoir elle aussi une possibilité sur deux

d’obtenir une boule rouge. Comment peut-elle procéder ?

Définition : la probabilité d’une issue représente les possibilités qu’elle apparaisse lors d’une expérience aléatoire. C’est un nombre compris entre 0 et 1.

• Dans le cas où toutes les issues ont la même probabilité d’apparaître, on parle de situation d’équiprobabilité.

• En situation d’équiprobabilité, la probabilité de chacune des issues est égale à 𝟏

𝒏𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅′𝒊𝒔𝒔𝒖𝒆𝒔.

Méthode : calculer une probabilité. Énoncé : on pioche une carte dans une boîte de cartes numérotées de 1 à 6. Est-ce une situation d’équiprobabilité ? Si oui, quelle est la probabilité de tirer un nombre pair ? Solution : la boîte n’est pas truquée. On a donc la même probabilité de tirer chacune des six cartes. On compte le nombre de possibilités d’obtenir un nombre pair : 2 – 4 – 6. Il y a donc trois possibilités ou issues. Il y a six résultats possibles donc il y a six issues possibles. On a donc trois possibilités sur six d’obtenir un nombre pair, soit la probabilité d’obtenir

un nombre pair est de 𝟑

𝟔.

On peut écrire une probabilité de trois façons :

• sous forme de nombre décimal : la probabilité de tirer pile est 0,5 ;

• sous forme de fraction : la probabilité de tirer pile est de 1

2.

• sous forme de pourcentage : on a 50 % de probabilité de tirer pile.

Leçon

REMARQUE

43


1) On pioche une carte dans une boîte de 6 cartes marquées A-A-B-C-C-C.

a) Compter le nombre de résultats possibles.

b) Calculer la probabilité d’obtenir A ; d’obtenir B ; d’obtenir C.

2) Albert tire à pile ou face une pièce. Julie pioche un jeton dans une boîte dans laquelle

il y a quatre jetons marqués pile et huit autres marqués face. Trouver qui a le plus de

probabilité d’obtenir pile.

3) Cent billets sont mis dans une boîte. Un billet est marqué 100 €, dix billets sont

marqués 5 € et les autres sont marqués « perdu ». Lucie doit piocher un billet sans

regarder dans cette boîte.

a) Comment peut-elle procéder ?

b) Quelle probabilité a-t-elle de piocher 100 € ? 5 € ? De perdre ?

Je retiens

➢ La probabilité d’une issue représente les possibilités qu’elle apparaisse lors d’une expérience aléatoire. C’est un nombre compris entre 0 et 1.

➢ Dans le cas où toutes les issues ont la même probabilité d’apparaître, on parle de situation d’équiprobabilité.

➢ En situation d’équiprobabilité, la probabilité de chacune des issues est égale à 𝟏

𝒏𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅′𝒊𝒔𝒔𝒖𝒆𝒔.


44


Exercices

1) Une petite mouche se pose aléatoirement sur une des cases de ce carré.

Recopier et compléter.

a) Il y a … cases où elle peut se poser.

b) Il y a … couleurs de cases possibles où elle peut se poser.

c) La mouche a … possibilités sur 16 de se poser sur une case de couleur bleue.

d) La mouche a … possibilités sur 16 de se poser sur une case de couleur verte.

e) La mouche a … possibilités sur 16 de se poser sur une case de couleur rose.

2) Iris pioche un jeton dans une boîte où il y a 48 jetons identiques : 25 rouges, 18 noirs

et les autres blancs. Georges pioche un jeton dans une boîte où il y a 30 jetons

identiques : 15 rouges, 12 noirs et les autres blancs.

a) Qui a le plus de probabilité de tirer un jeton rouge ?

b) Qui a le plus de probabilité de tirer un jeton noir ?

c) Qui a le plus de probabilité de tirer un jeton blanc ?

3) Pablo a choisi aléatoirement une lettre de l’alphabet. Quelle probabilité a-t-il

d’obtenir une voyelle ?

4) Olof habite en Suède et après avoir vu la météo dit : « Il y a 7 possibilités sur 8 qu’il

fasse très beau demain. »

Hillary habite aux Etats-Unis et après avoir vu la météo dit : « Il y a 9 possibilités sur 10

qu’il fasse très beau demain. » Dans lequel de ces deux pays, y a-t-il le plus de probabilité

qu’il fasse très beau demain, selon les prévisions météorologiques d’Hillary et Olof ?

45


5) Quelle probabilité y a-t-il de tirer une fléchette sur chacun des nombres écrit sur

cette cible.

6) Sarah pioche une carte dans une boîte de 100 cartes numérotées de 1 à 100. Quelle

probabilité a-t-elle d’obtenir un numéro de la grille ci-dessous ?

7) Quatre jeunes ont les yeux bandés et ils piquent à l’aide d’un stylo une des cases du

carré posé devant eux. Qui a le plus de probabilité de piquer une partie colorée en

vert ?

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46


8) Sur un parking à vélos, il y a des vélos de couleur jaune et les autres sont de couleur

verte. Il fait nuit sur ce parking, Luc choisit le premier vélo qu’il trouve. Il a 3

possibilités sur 10 de prendre un vélo de couleur jaune.

a) Combien y a-t-il de vélos en tout ?

b) Quelle est la probabilité de choisir un vélo de couleur verte ?

Défi : Loïc pioche un poisson dans un aquarium. La répartition des poissons de cet

aquarium est donnée par le graphique ci-dessous.

a) Quelle probabilité a-t-il d’attraper un poisson rouge ?

b) Elisa dit que la probabilité qu’il attrape un poisson jaune est 6

28.

A-t-elle raison ?

47


SÉANCE III : EXERCICES DE FIN DE SÉQUENCE

1) Luc pioche quatre fois une carte dans une boîte de cartes numérotées de 1 à 6. Il a

obtenu 2-2-2-2. Il affirme que la boîte est truquée. Qu’en pensez-vous ?

2) Noa lance une fléchette sur la cible 1 sans jamais la

rater.

Pierre lance une fléchette sur la cible 2 sans jamais la

rater.

Qui a le plus de probabilité de toucher la zone grise ?

3) Rhésus est un petit singe qui aime jouer avec la calculatrice d’Anaïs. Il appuie sur une

touche. Quelle probabilité a-t-il de taper sur une touche contenant :

a) seulement une lettre ?

b) Au moins une lettre ?

4) On place un pion sur la case n°3. On lance une pièce : si pile apparaît, on avance de

deux cases. Si face apparaît, on recule d’une case.

Exemple : si on obtient pile puis face, on fera alors : 3 → 5 → 4.

On lance la pièce deux fois.

a) Détailler toutes les possibilités de déplacements du pion.

b) Quelle probabilité a-t-on d’arriver sur la case 7 ? Sur la case 4 ?

5) Octave dispose de deux paquets de cartes

numérotées de 1 à 6. Il pioche une carte de chaque

paquet et calcule le produit des deux cartes.

a) Recopier et compléter le tableau ci-contre.

b) Quelle probabilité a-t-il d’obtenir 12 ? Un nombre

pair ? Un multiple de 3 ?

48


6) Matéo, le petit frère de Johanna, ne connaît pas encore les couleurs. Johanna a posé

devant lui trois pots de peinture : un jaune, un bleu et un rouge.

Il mélange aléatoirement deux couleurs différentes. Quelle probabilité a-t-il d’obtenir du

vert ?

7) Voici la répartition d’un groupe de jeunes, faisant partie du club de tir à l’arc d’un

collège.

Chaque adhérent est inscrit sur une fiche et on choisit l’une d’entre elle sans les regarder.

Vrai ou Faux ? Expliquer la réponse.

a) Il y a une possibilité sur deux que ce soit une fille.

b) Il y a 14 % de probabilité que ce soit un jeune de 13 ans.

c) Il y a deux possibilités sur 25 que ce soit une fille qui a au moins 13 ans.

d) Il y a 28 issues sur 100 que ce soit un garçon de moins de 14 ans.

8) Un coffre contient 12 foulards indiscernables au toucher : 7 sont verts, 3 sont roses et

2 sont noirs.

a) Quelles sont les issues possibles ? Sont-elles équiprobables ?

b) Calculez la probabilité de tirer : un foulard vert ; un foulard rose ; un foulard noir.

49


Séance 1 : Définir la symétrie centrale et le centre de symétrie.

Séance 2 : Utiliser les propriétés de la symétrie centrale.

Séance 3 : Utiliser les propriétés des angles alternes-internes.

Séance 4 : Définir et utiliser les propriétés du parallélogramme.


→ Comprendre l’effet d’une symétrie centrale.

→ Savoir construire une symétrie centrale.

→ Connaître la position relative de deux droites dans un plan.

→ Caractérisation angulaire du parallélisme, angles alternes-internes.

→ Connaître les propriétés relatives aux côtés et aux diagonales dans un

parallélogramme.

50


SÉANCE I : DÉFINIR LA SYMÉTRIE CENTRALE ET LE CENTRE DE SYMÉTRIE

1. Quelles sont les figures qui peuvent se superposer à elles-mêmes lorsqu’on les pivote

d’un demi-tour autour du point O ?

2. Reproduire la figure ci-contre sur un quadrillage.

a) Fixer une feuille de papier calque en piquant la pointe du

compas sur le point E et reproduire la figure sur le calque.

b) Faire pivoter le calque d’un demi-tour autour du point E.

c) Piquer la pointe du compas pour marquer les points A’, B’, C’

et D’ correspondant à la nouvelle position A, B, C et D sur la feuille.

d) Tracer la ligne brisée A’B’C’D’.

Quelle position particulière occupe le point E par rapport aux points de la figure ?

Définition 1 : dire que le point M’ est le symétrique du point M par rapport au point O

signifie que O est le milieu du segment [MM’].

Effectuer une symétrie centrale, c’est effectuer un demi-tour

autour du point.

Définition 2 : lorsque le symétrique d’une figure par rapport à un point se superpose avec

elle-même alors ce point est un centre de symétrie de la figure.

Le point O est le centre de symétrie de la figure ci-contre.

Leçon

EXEMPLE :

Remarque

51


Méthode 1 : En utilisant le quadrillage, construis le point P’, symétrique au point P par

rapport au point O.

Étape 1 : je repère sur le quadrillage un trajet qui va du centre de symétrie O vers le point

P.

Étape 2 : pour obtenir P’, le symétrique du point P, je pars de O, le centre de symétrie et

je suis le trajet contraire.

Étape 3 : je place le point P’ et je vérifie que 0 est bien au milieu du segment [PP’].

Je justifie ma construction : j’ai construit le point P’ pour que le point O soit le milieu du

segment [PP’]. Donc P’ est le symétrique du point P par rapport à O.

52


Méthode 2 : En utilisant la règle et le compas, construis le point M’, symétrique du point

M par rapport au point O.

Étape 1 : le point M’ est le symétrique du point M par rapport au point O.

Donc O doit être le milieu du segment [MM’].

Étape 2 : M’ va alors se trouver dans la zone bleue de la figure.

Étape 3 : je trace alors la demi-droite [MO).

Étape 4 : je trace le demi-cercle de centre 0 passant par M. Ce cercle recoupe la demi-

droite [MO) au point M’.

53


Étape 5 : Je m’assure que 0 soit bien le milieu de [MM’]

1) On considère la figure ci-contre. Ecrire des phrases du type « …………est le

symétrique de……..par rapport au point…………… »

2) Parmi ces cinq bateaux, seulement deux sont symétriques par rapport au point J.

Trouver lesquels.


54


3) Parmi ces figures, indiquer celles qui possèdent un centre de symétrie.

Je retiens

1) Deux figures sont symétriques par rapport à un point O lorsqu'elles se superposent

après avoir effectué un demi-tour autour du point O. Le point O est appelé "centre

de symétrie".

2) Deux points A et A' sont dits symétriques par rapport à un point O lorsque le point

O est le milieu du segment [AA′].

55


Exercices

1) On considère la figure suivante.

a) Trouver le symétrique du point D par rapport à I.

b) Trouver le symétrique du point H par rapport à J.

c) Trouver le symétrique du segment [CD] par rapport à I.

d) Trouver le point par rapport auquel F et K sont symétriques.


Placer les points A’, B’ et C’, symétriques de A, B, et C

par rapport à O.


Placer les points I, J, K et L tels que : a) K est le symétrique de M par rapport à N.

b) I est le symétrique de T par rapport à S.

c) J est le symétrique de S par rapport à M.

d) L est le symétrique de T par rapport à K.

4) Reproduire la figure ci-dessous sur un quadrillage.

a) Construire les points F’, G’, H’ et I’, symétriques de

F, G, H et I par rapport au point J.

b) Tracer le quadrilatère F’G’H’I’.

56


5) Indique parmi les figures suivantes celles qui admettent :

a) un centre de symétrie ;

b) un (ou des) axe(s) de symétrie.

6) Tracer le symétrique du quadrilatère ABCD par rapport à O.

7) Tracer le symétrique du cercle de centre A passant par B par rapport à O.

57


8) Que dire des triangles ABC et A'B'C' ?

Défi : à propos de la figure ci-dessous, écrire le plus grand nombre possible de phrases, en

utilisant l’expression « symétrique par rapport au point ……… »

58


SÉANCE II : UTILISER LES PROPRIÉTÉS DE LA SYMÉTRIE CENTRALE

Noa a tracé à l’aide d’un logiciel de

géométrie dynamique, le symétrique

par rapport au point D de la figure

formée du triangle ABC et du cercle de

centre B passant par C.

Sans justifier, comparer ces deux

figures en termes de longueurs, d’aires,

de mesures d’angles.

Dans une symétrie centrale :

• l’image d’une droite est une droite qui lui est parallèle ;

• l’image d’un segment est un segment de même longueur ;

• l’image d’un angle est un angle de même mesure ;

• l’image d’un cercle est un cercle de même rayon. Méthode : utiliser les propriétés de la symétrie centrale pour démontrer.

Énoncé : sur cette figure, M’et N’ sont les symétriques de M et N par rapport à O et le cercle (𝒞’) est le symétrique du cercle (𝒞 ) par rapport à O.

Démontrer que :

a) les droites (MN) et (M’N’) sont parallèles b) MN=M’N’ c) d) ID=I’D’

Solution :

a) les droites (MN) et (M’N’) sont symétriques par rapport à 0 donc (MN) // (M’N’).

b) Les segments [MN] et [M’N’] sont symétriques par rapport à 0 donc MN=M’N’.

c) les angles et sont symétriques par rapport à O donc .

d) les deux cercles (𝒞’) et (𝒞) sont symétriques par rapport à O donc ID =I’D’.

Leçon

PROPRIÉTÉ 1

59


Lorsque deux figures sont symétriques par rapport à un point, elles sont superposables.

La symétrie centrale conserve les longueurs, les mesures, les périmètres, les aires.

1) Recopier et compléter les phrases suivantes.

a) Le symétrique d’un segment de longueur 5 cm par rapport à un point est……….. b) Le symétrique d’un triangle isocèle par rapport à un point est……….. c) Le symétrique d’un triangle de périmètre 20 cm par rapport à un point est………

2) Recopier et compléter les phrases suivantes.

a) Le symétrique d’un angle de 35° par rapport à un point est………. b) Le symétrique d’un cercle de rayon 3 cm par rapport à un point est ……….. c) Le centre de symétrie de la figure formée par deux droites perpendiculaires

est………

3) Trouver la droite symétrique de la droite noire par rapport à O.

Je retiens 1) La symétrie centrale conserve l'alignement, les distances, le parallélisme, les angles,

les aires. 2) Le symétrique d'une droite par symétrie centrale est une droite parallèle. 3) Le symétrique d'un segment par symétrie centrale est un segment de même

longueur. 4) Le symétrique d'un angle par symétrie centrale est un angle de même mesure. 5) Plus généralement, le symétrique d'une figure par symétrie centrale est une figure

superposable.

PROPRIÉTÉ 2

60


Exercices

1) Reproduis cette figure à main levée et trace son symétrique par rapport à O

2) Jules a dessiné la figure symétrique du garçon par rapport au point B, mais il a fait

trois erreurs : lesquelles ?

3) Quel est le centre de symétrie de la figure ci-dessous ? Justifier.

4) Les triangles ci-dessous sont symétriques par rapport à O. Donner les valeurs a, b, c

et d.

61


5) Quel est le centre de symétrie de la figure ci-dessous ? Justifier.

6) Sur la figure ci-dessous, les deux triangles sont symétriques par rapport au point O.

a) Donner les longueurs FG, EG, et EF. Justifier.

b) Quelle est la mesure de l’angle EFG ? Justifier.

c) Quelle est la longueur du demi-cercle de diamètre [FG] ?

d) Donner le périmètre du triangle EFG.

Défi : Jane affirme qu’il est possible de

trouver le centre du cercle, symétrique du

cercle rouge par rapport à O uniquement à

l’aide d’une règle non graduée.

Nathan pense que ce n’est pas possible.

Qui a raison ?

62


SÉANCE III : UTILISER LES PROPRIÉTÉS DES ANGLES ALTERNES-INTERNES

A l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, réaliser la figure ci-dessous.

Utiliser le menu pour tracer les droites. Dans le menu , sélectionner l’outil

« Angle » pour faire apparaître la mesure des angles.

1. Pourquoi les angles de même couleur sont-ils égaux ?

2. Déplacer des points pour rendre parallèles les droites (AB) et (CD). Que remarque-t-

on ?

3. En repartant d’une position quelconque des droites (AB) et (CD), déplacer des points

pour que les angles vert et rose soient égaux. Comment semblent être les droites

(AB) et (CD) dans ce cas ?

Vocabulaire : sur la figure ci-contre, la droite (d) est

sécante aux droites (d1) et (d2). On dit que les deux

angles codés sur la figure sont alternes-internes.

Si deux angles alternes-internes sont définis par deux droites

parallèles alors ils sont égaux.

Si deux angles alternes-internes sont égaux alors ils définissent

deux droites parallèles.

Leçon

PROPRIÉTÉ 1

PROPRIÉTÉ 2

63


1) On utilise la figure ci-dessous où les droites (KM) et

(ON) sont parallèles.

a) Citer deux paires d’angles alternes-internes.

b) Donner la mesure de l’angle . Justifier.

c) Donner la mesure de l’angle . Justifier.

2) Les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Donner la mesure de l’angle .

3) Déterminer si les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

Je retiens

1) Les angles alternes-internes sont définis

comme tel :

2) Si deux angles alternes-internes sont

définis par deux droites parallèles alors ils sont égaux.

3) Si deux angles alternes-internes sont égaux alors ils définissent deux droites

parallèles.


64


Exercices

1) On considère la figure suivante. Nommer deux angles alternes-internes.

2) Déterminer si les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

3) Les droites (d) et (d’) sont parallèles. Calculer la mesure de l’angle rouge.

4) Les droites (AB) et (ED) sont parallèles.

a) Quelle est la mesure de l’angle ? Justifier.

b) Quelle est la mesure de l’angle ? Justifier.

65


5) Les droites (d) et (d1) sont parallèles.

a) Placer les angles alternes-internes

b) Ces angles sont-ils égaux ? Si oui

coder les.

6) On donne la figure suivante. On sait que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

a) Calculer la valeur de l'angle .

b) Calculer la valeur de l'angle .

7) Les droites d et d' sont-elles parallèles ? Justifier.

Défi : les droites (AB) et (CD) sont-elles parallèles ?

66


SÉANCE IV : DÉFINIR ET UTILISER LES PROPRIÉTÉS DU PARALLÉLOGRAMME

A l’aide du logiciel de géométrie dynamique, trace la figure ci-dessous où (AB) // (CD) et

(AC) // (BD).

Utiliser le menu pour tracer (AB) et (AC) puis, dans le menu, sélectionner

l’outil « Parallèle » pour tracer (BD) et (CD).

Faire apparaître les mesures des côtés du quadrilatère ABDC, les mesures des angles, les

diagonales et conjecturer des propriétés de ce quadrilatère.

Définition : un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles.

Si un quadrilatère est un parallélogramme alors :

• ses côtés opposés sont de même longueur.

• ses diagonales se coupent en leur milieu qui est centre de

symétrie.

• ses angles opposés sont égaux.

On donne (AB) // (DC) et (BC) // (AD)

On en déduit que ABCD est un

parallélogramme.

AB=CD et AD=BC.

[AC] et [BD] ont le même milieu.

ABC = ADC et BCD=BAD.

Si un quadrilatère a ses côtés opposés de même longueur alors c’est

un parallélogramme.

D’après le codage, MNOP est un

parallélogramme.

Leçon

PROPRIÉTÉ 1

PROPRIÉTÉ 2

EXEMPLE 1

EXEMPLE 2

67


Si un quadrilatère a deux côtés opposés de même longueur et

parallèles alors c’est un parallélogramme.

Les droites (OP) et (MN) sont parallèles et PO=MN donc MNOP est un

parallélogramme.

Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu alors

c’est un parallélogramme.

D’après le codage, MNOP est un

parallélogramme.

Méthode: Construire un parallélogramme AZER de centre I, tel que RE=4,8cm,

RI=2,4cm et EI= 3,6cm

Étape 1 : Je trace une figure à main levée sur

laquelle je reporte les données.

Étape 2 : À la règle et au compas, je construis le

triangle RIE avec les dimensions indiquées dans

l’énoncé.

1.

PROPRIÉTÉ 3

PROPRIÉTÉ 4

EXEMPLE 3

EXEMPLE 4

68


69


Étape 3 : À la règle et au compas je construis le symétrique de E par rapport à I.

Étape 4 : À la règle et au compas je construis Z, le symétrique de R par rapport à I.

70


Étape 5 : je termine de construire le parallélogramme AZER.

1.

2.

3.

4.

Je justifie ma construction : j’ai tracé un quadrilatère qui a ses diagonales qui se coupent

en leur milieu. J’ai donc obtenu un parallélogramme.


a) ED=

b) AC=

c) BAD=

d) ABC=

e) Le périmètre du parallélogramme

ABCD est à……..cm

2) Indiquer comment tracer un parallélogramme avec comme seul outil une règle.


71


3) Les quadrilatères DBCA, CBMD et CDBP sont des parallélogrammes. Indiquer dans

quelle zone se trouvent chacun des points A, M, et P.

Je retiens

1) Si les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère

est un parallélogramme.

2) Si le centre d'un quadrilatère est le centre de symétrie, alors ce quadrilatère est un

parallélogramme.

3) Si les côtés opposés d'un quadrilatère sont parallèles, alors ce quadrilatère est un

parallélogramme.

4) Si les côtés opposés d'un quadrilatère sont de même mesure, alors ce quadrilatère

est un parallélogramme.

5) Si deux côtés opposés d'un quadrilatère non croisé sont parallèles et de même

longueur, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

6) Si les angles opposés d'un quadrilatère sont de même mesure, alors ce

quadrilatère est un parallélogramme.

72


Exercices

1) Le quadrilatère ADBE est-il un

parallélogramme ?

2) Le point A est le point d’intersection des segments [MK] et

[FS].

Le quadrilatère MSKF est-il un parallélogramme ?

3) Vrai ou faux ?

a) Un quadrilatère qui a deux côtés parallèles est un parallélogramme.

b) Si une diagonale d’un quadrilatère coupe l’autre diagonale en son milieu alors ce

quadrilatère est un parallélogramme.

c) Si un quadrilatère a deux côtés parallèles et de même longueur alors c’est un

parallélogramme.

d) ABCD est un quadrilatère tel que : AB = CD et (AD)//(CB). Donc c’est un

parallélogramme.

4) Reproduire cette figure sur un quadrillage.

Place le point D tel que ABCD soit un

parallélogramme.

5) Reproduire cette figure sur un quadrillage.

a) Placer le point D tel que BCAD soit un

parallélogramme.

b) Placer le point K tel que [BC] soit une

diagonale du parallélogramme ABKC.

6) Construire le parallélogramme MNOP tel que MN = 4 cm MP = 3cm et =120°.

73


7) Construire le parallélogramme MNOP de centre K tel que MO = 5 cm, NP = 4 cm et

= 50°.

8) Construire les quadrilatères suivants. Sont-ils des parallélogrammes ?

a) EFGH avec (EG) perpendiculaire à (FH), de point d’intersection O, et

EO=FO=GO=3cm et HO = 4 cm.

b) PQRS avec PQ = RS = 4 cm, QR = 2 cm, = 45 ° et = 135 °.

Défi : reproduire la figure ci-dessous. Les deux cercles ont pour centre le point A. En

utilisant seulement une règle non graduée, tracer un parallélogramme qui ne soit pas un

rectangle sur cette figure.

74


SÉANCE V : EXERCICES DE FIN DE SÉQUENCE

1) En observant la figure ci-dessous, donner la couleur de la zone dans laquelle se

trouve :

a) le symétrique de B par rapport à A

b) le symétrique de C par rapport à D

c) le symétrique de B par rapport à C

d) le symétrique de A par rapport à D


Construire le symétrique du cercle C par rapport au point :

a) I

b) A

c) E

3) Les triangles ABC et A’B’C’ sont symétriques par rapport au point O.

a) Déterminer le longueur A’C’ en

justifiant.

b) Quelle mesure d’angle peut-on

donner ?

4) D’après les indications de la figure, que peut-on dire des droites (AE) et (BF) ?

75


5) Citer les angles alternes-internes égaux de cette figure.

6) Pourquoi peut-on dire que le quadrilatère ABED est un parallélogramme ?

7) ABCD et DBEC sont des parallélogrammes. Que

peut-on dire du point B ? Justifier.

8) Les points D, A et E d’une part et les points C, A et B d’autre part sont alignés.

Prouver que le quadrilatère BECD est un

parallélogramme.

9) Reproduire le triangle ABC ci-contre. Tracer O, le milieu de [AC] et D le symétrique de

B par rapport à O. Montrer que ABCD est un parallélogramme.

76


Séance 1 : Multiplier des nombres relatifs.

Séance 2 : Diviser des nombres relatifs.

Séance 3 : Enchaîner des opérations.


→ Calculer avec des nombres relatifs

→ Savoir résoudre des problèmes impliquant des nombres relatifs

77


SÉANCE I : MULTIPLIER DES NOMBRES RELATIFS

1. Recopier et compléter les égalités suivantes.

2 x (-5) = (...) + (...)=...

3 x (-4) = (...)+ (…) + (…) = …

Que peut-on dire du signe du produit de deux nombres relatifs de signes contraires ?

2. Recopier et compléter la table de multiplication de -6 :

Que peut-on dire du signe du produit de deux nombres relatifs négatifs ?

• Le produit de deux nombres relatifs de même signe est un

nombre positif.

(+6) x (+2) = +12 (-7) x (-3) = + 21

• Le produit de deux nombres relatifs de signes contraires est un

nombre négatif.

(+6) x (-2) = -12 (-7) x (+3) = - 21

Méthode : multiplier deux nombres relatifs.

Énoncé : calculer (+5) x (-10)

Solution :

a) On détermine le signe avec la règle des signes : (+5) et (-10) sont de signes contraires donc le produit (+5) x (-10) est négatif.

b) On multiplie les parties numériques : 5 x 10 = 50

c) On conclut : (+5) x (-10) = -50

Leçon

Règles des signes

78


1) Donner le signe des produits suivants.

a) (-9) x (+7) b) (+9) x 5,12 c) (-3,2) x (-7) d) (+4) x (-6) e) (7) x (-8) f) 0,4 x (+8)

2) Donner, si possible, le signe du nombre désigné par .

a) x (-12,35) = -76,57 b) 4 x = -25,4

c) x =-1 d) (-8,2) x = 28,7

3) Calculer les produits suivants.

a) (-25) x (-4) b) (+3) x (+7) c) (-12) x (-2) d) (-15) x (+3) e) (-6) x (-11) f) (-983) x 0

4) Recopier et compléter cette chaine de calculs de tête.

Je retiens

Le signe d’un produit de nombres relatifs dépend du nombre de facteurs négatifs.

• Si le nombre de facteurs négatifs est pair, alors le produit est positif.

• Si le nombre de facteurs négatifs est impair, alors le produit est négatif.


79


Exercices

1) Calculer les produits suivants.

a) 3,5 x (-2) b) (5) x (-6, 1) c) (-2,5) x 5

d) - 21,375 x 10 e) (-0,2) x (-8) f) (-100) x (-123,4)

2) Recopier et compléter les égalités.

a) 7 x … =-28 b) … x (-9) = 54 c) 5 x … =40

d) … x -8 = -16 e) (-0,2) x (-8) f) (-100) x (-123,4)

g) (-1,5) x …= -6 h) … x (-3) = 15,3 i) 10 x … = -64,8

j) … x 0, 328 = -32,8 k) 7 x …=-3,5 l) … x … =0

3) Recopier et compléter cette pyramide de telle sorte que le nombre écrit dans une

case soit égal au produit des deux nombres situés juste en dessous.

4) Programme de calcul :

a) Déterminer le résultat obtenu si on choisit le nombre 3 ; -2 ; -0,1.

b) On choisit le nombre -6. Ecrire en une seule expression le calcul permettant

d’obtenir le résultat final et calculer.

5) Sans calculer les produits, déterminer leur signe en expliquant la démarche.

A = (-5) x (-7) x 2

B = 3 x (-4) x 10

C = (-9) x (-1) x (-2)

80


6) Calculer les expressions suivantes.

A = 2 x (-15) x (-5)

B = -2 x 3 x (-5) x 8

C = (-6) x (-1) x 2 x (-1) x (-5) x (-7)

D = -10 x 2 x (-2) x 5 x (-3) x (-5)

E = -1 x (-2) x (-3) x 5 x 10

F = 10 x (-0,1) x (1000) x 0,01 x (-100)

7) Aujourd’hui, il fait -2°C à Brest. Il fait à Aurillac une température cinq fois plus basse

qu’à Brest. Quelle température affiche le thermomètre de Aurillac ?

8) Voici un circuit où l’on multiplie chacun des nombres rencontrés sur son parcours.

a) Clémence a obtenu un résultat positif. Quel chemin a-t-elle pu emprunter ?

c) Léo a obtenu un résultat négatif. Quel chemin a-t-il pu emprunter ?

d) Camille a obtenu un résultat nul. Quel chemin a-t-elle pu emprunter ?

e) Donner, pour chacun d’eux, le résultat qu’ils obtiennent.

Défi : donner le signe de l’expression :

E = (-28) x (-29) x (-30) x…x (-102) x (-103)

81


SÉANCE II : DIVISER DES NOMBRES RELATIFS

1. Recopier et compléter les égalités suivantes.

a) 7 x … =14 b) … x (-5) =30 c) (-3) x … =-12 d) 10 x … = -15,4

2. En déduire le résultat des deux quotients suivants.

a) 14 : 7 =… b) 30 : (-5) = …

3. Sans calculatrice, conjecturer le résultat des quotients suivants.

a) (-12) : (-4) =… c) -15,4 : (+1,54) = …

4. Dans quel cas un quotient est-il positif ? Négatif ?

• Le quotient de deux nombres relatifs de même signe est

un nombre positif.

(+6) : (+2) = +3 -18 =+9

-2

• Le quotient de deux nombres relatifs de signes contraires est

un nombre négatif.

(+6) : (-2) = -3 -18 = -9

+2

Méthode : diviser deux nombres relatifs.

Énoncé : calculer (+5) : (-10)

Solution : 1) On détermine le signe avec la règle des signes : (+5) et (-10) sont de signes

contraires donc le quotient (+5) x (-10) est négatif.

2) On divise les parties numériques : 5 : 10 = 0,5

3) On conclut : (+5) : (-10) = -0,5

Lorsqu’un quotient ne tombe pas juste on peut donner des valeurs décimales approchées de ce quotient.

Règles des signes

Leçon

Remarque

82


1) Donner le signe des quotients suivants.

a) (-29) : (+11) b) (-12,5) : (+9) c) (+8) : (+16)

2) Sans calculatrice, après avoir calculé 11,8 x 3,2, relier chaque quotient à son résultat.

Quotient Résultat (+37,76 : (-3,2) ●

37,76 : 3,2 ● ● 11,8 (-37,76) : (-3,2) ●

-(37,76 : 3,2) ● ● -11,8 (-37,76) : (+3,2) ●

3) Donner le signe de chaque quotient puis les calculer.

a) (+6) : (+3) b) (-7) : (+2) c)

d) (-24) : (-8) e) (-25) : 5 f)

4) Recopier et compléter cette chaîne de calculs de tête.

Je retiens

Le signe d’un quotient de nombres relatifs dépend du nombre de facteurs négatifs.

• Si le nombre de facteurs négatifs est pair, alors le produit est positif.

• Si le nombre de facteurs négatifs est impair, alors le produit est négatif.

-10

-2

100

+10


83


Exercices

1) Recopier et remplacer le symbole par le nombre qui convient.

a) 48 : = + 8 b) : (-8) = -5 c) : (-9) = 9

d) 82 : = -41 e) (-6,4) : = 3,2 f) : 100 = -5,49

2) On sait que 7 x 17 = 119. Calculer les quotients suivants sans calculatrice.

a) 119 : (-17) b) 119 : 7 c) d)

3) Recopier et compléter la pyramide en respectant la règle suivante :

4) À un tournoi de volley-ball, les organisateurs mettent en place un système de

« malus » : chaque faute coûte -1,5 points. À la fin d’un match, une des équipes a

obtenu un « malus » total de 16,5 points.

Combien a-t-elle fait de fautes au cours de ce match ?

5) Voici un écran de calculatrice.

Donner la valeur approchée du quotient :

a) au dixième près ;

b) au centième près.

6) La mer caspienne se trouve à -28 mètres d’altitude, c’est à dire qu’elle se situe 28

mètres en dessous du niveau de la mer. Elle se situe à une altitude sept fois plus

basse que le lac Hachiro au Japon.

Calcule l’altitude du lac Hachiro.

-119

-17

11,9

-7

123

-19

84


7) Karl décide de plonger en apnée. Afin de superviser cette plongée, quatre plongeurs

en bouteilles se positionnent comme sur le schéma ci-dessous. Donner la profondeur

de chaque plongeur.

Défi : remplacer les points d’interrogation.

85


SÉANCE III : ENCHAÎNER DES OPÉRATIONS

On considère deux programmes de calcul :

1. On choisit le nombre -7 et on lui applique le programme A.

Ecrire en ligne le calcul correspondant. Quel résultat obtient-on ?

2. On choisit le nombre 14 et on lui applique le programme B.

Ecrire en ligne le calcul correspondant. Quel résultat obtient-on ?

Démarche : pour effectuer un enchaînement d’opérations :

• on applique les priorités opératoires (cf. séquence 1).

• On applique les règles de calcul sur les nombres relatifs (cf. séquence 7 et 10).

Méthode : calculer une expression algébrique.

Énoncé : calculer l’expression E= 1 + 7 x [1+ (-4)] + (-10)

Solution : 1) on commence par les calculs entre parenthèses ou

entre crochets :

2) Puis on effectue les multiplications et les divisions qui sont prioritaires sur les additions et les soustractions :

3) On peut ensuite effectuer les calculs de gauche à

droite :

Leçon

86


1) Recopier les expressions suivantes puis entourer en rouge le calcul à effectuer en

premier. Réaliser ensuite le calcul.

A = (-2) + 5 x (-10) B = (-45) + 2 x (-10) C = 0 – 4 : 4

D =8

-2+ (-12)

2) Calculer les expressions suivantes en entourant à chaque étape le calcul à

effectuer en premier.

E = 17- 6 x 5 F = (-6) x (3 + 7)

G =-8 + 2

-3

3) Voici la copie d’un élève.

a) Indiquer ses erreurs. b) Effectuer correctement ce calcul en entourant à chaque étape le calcul à effectuer

en premier. 4) Calculer les expressions suivantes en entourant à chaque étape le calcul à

effectuer en premier.

A= 13 – 5 x (-3) B = -1 + 24 : (-4) C = (-6 + 33) : (-3)

D = 9 x (11-15) E = (-2) – 4 x 7 + 10 F = (-2) x (-4 + 7) x 10

Je retiens

Pour effectuer un enchaînement d’opérations :

➢ on applique les priorités opératoires

➢ on applique les règles de calcul sur les nombres relatifs


87


Exercices

1) Effectuer les calculs suivants en entourant à chaque étape le calcul à effectuer en

premier.

G = 2 x 9 – 7 x (-4) H = 53 + (5) : (7 – 9)

2) Recopie et complète cet enchaînement de calculs :

3) Alice a effectué ce calcul à la calculatrice. Voici son écran.

Trouver l’erreur qu’elle a commise.

4) Voici trois expressions.

a)

-3 + 4

2

b)

-3+ (-2) : 4

c)

4

-2+ (-3)

1. Laquelle correspond à la phrase : « Ajouter -3 au quotient de 4 par -2 » ? La

calculer.

2. Effectuer les deux autres calculs.

5) Voici deux programmes de calcul.

a) On choisit le nombre 5.

b) Donner le résultat en appliquant le programme A.

c) Donner le résultat en appliquant le programme B.

d) Même consigne avec les nombres 0 ; -3 et -2,4.

e) Quelle remarque peut-on faire sur ces deux programmes ?

88


6) Voici trois expressions.

a) 5x (-2) – 8 b) 5 x (-2 – 8) c) (-2) x 8 - 5

1. Laquelle correspond à la phrase : « Multiplier 5 par la différence de -2 et 8 » ? la calculer.

2. Effectuer les deux autres calculs.

7) Voici la conversation entre deux amis, Paul français et James, canadien.

1. Pour convertir des degrés Celsius en degrés Fahrenheit, on multiplie par 1,8 puis

on ajoute 32. L’affirmation de James est-elle correcte ?

2. Convertir les températures suivantes en degrés Fahrenheit.

a) 10 °C b) -31,5 °C c) -12 °C d) 0 °C

3. Ecrire un enchaînement d’opérations permettant de convertir des degrés

Fahrenheit en degrés Celsius.

4. Convertir les températures suivantes en degrés Celsius (arrondir au degré près).

a) 50 °F b) -25 °F c) 0 °F d) -2,2 °F

8) Traduire en langage mathématique puis calculer.

a) Le produit du nombre π par le nombre 0.

b) La somme entre -87,23 et le produit de -1 par -1.

c) Le quotient entre le produit de 3 par -7 et le nombre 3.

Donner un exemple.

d) Un produit dont le résultat est -5,4.

e) Un quotient dont le résultat est -5,4.

Défi : lors d’un contrôle Lina a écrit ses calculs mais a oublié des couples de parenthèses.

Aide Lina à les retrouver afin que les égalités suivantes soient justes.

-3 x 2 – 4 x 5 = 30 -5 – 15 : 3 + 2 = -4

89



1) Recopier et compléter par le chiffre et/ou le signe manquant.

a) (-15) x (…4) = -60

b) (-2) x (-1) x (…2) = (-…)

c) 3 x (-…) x (-…) = … 27

d) (-4) x (…) x (-1) = -4

2) Corriger la copie d’Emma.

3) On donne a = - 4 et b = -100.

a) Calculer le quotient

a

b.

b) Calculer le quotient

-b

a.

4) Calculer.

A = (+3,5) ÷ (+0,5)

B = (−2,47) ÷ (−2,47)

C = (−12) ÷ (+1,2)

D = (−0,239) ÷ (−100)

E = (+0,239) ÷ (−0,0001)

F = (−246) ÷ 0,2

G = (+312) ÷ 9

H = (−65) ÷ (−0,5)


A = (-4) x (-7) -37

B = (-2) x (-3) + (-5) x 6

C = (-54) : [36 : (-6)]

D = -16 : (-4) – (-9) x (-4)

E = (-8) x 2 – 7 x (-4)

F = (-6) x 8 + 7 x (-4) + (-9) x (-3)

G = 4 – [7 + 5 x (-2)]

H = [-6 x (-4,5 + 3,5)] : (-9 – 1)

90


6) Recopier et compléter le tableau.

Que remarque-t-on ?

7) Voici un programme de calcul :

1. Effectuer cette suite d’opérations en choisissant comme nombre de départ :

a) 8 b) -5 c) 0,5 d) 0

2. On choisit -1 comme nombre de départ.

a) Écrire en une seule expression le calcul à effectuer.

b) En détaillant les étapes, déterminer le résultat.

8) Dans un jeu, l’épreuve consiste à répondre à dix questions.

• Une bonne réponse rapporte deux points.

• Une mauvaise réponse fait perdre trois points.

• Une absence de réponse fait perdre un point.

Le 1e candidat ne répond qu’à cinq questions dont seulement trois justes.

Le 2e répond à toutes les questions et donne six bonnes réponses.

Le 3e répond correctement à cinq questions, mais ne préfère pas répondre aux autres.

Qui est le vainqueur du jeu ?

9) Sam, Mario, Fabien et David vont jouer au billard. Chacun prend un soda à 3,20 € et la location de la table de billard est de 12 €. Comme ils n’ont pas de petite monnaie, Sam paie toutes les boissons et Fabien paie les

12 € de la table.

Le lendemain, chacun a apporté assez de monnaie pour rembourser Sam et Fabien. Mais

comment faire ?

91


Séance 1 : Calculer l’aire de polygones usuels.

Séance 2 : Calculer l’aire d’un disque.

Séance 3 : Calculer l’aire d’une surface par représentation géométrique.


→ Calculer des aires de figures usuelles. Décomposer des représentations pour

calculer les aires.

→ Comparer et mesurer les aires

→ Notion de dimension et rapport avec les unités de mesure (cm, cm² , mm,

mm²,m, m2, ).

92


SÉANCE I : CALCULER L’AIRE DE POLYGONES USUELS

Voici une copie de l’écran obtenu par Romain avec un logiciel de géométrie.

Pour chaque figure, expliquer comment retrouver par le calcul les résultats fournis

par le logiciel.

• L’aire d’un rectangle est : Rectangle = l x L.

• L’aire d’un carrée est : Carré = c x c = c2.

• L’aire d’un triangle est : Triangle = 𝑏×ℎ

2 .

• L’aire d’un parallélogramme est : Parallélogramme = b x h.

Leçon

PROPRIÉTÉ

93


1) Associer chacun des calculs suivants à l’aire de l’une des figures présentes ci-

dessous.

R = 7x 4 ;

S=11x4

2 ; T= 42 ; U=

7x4

2

2) Les longueurs étant données en cm, calculer l’aire du triangle DEF.

3) Calculer l’aire du parallélogramme ABCD.

4) Calculer l’aire du parallélogramme EFGH.

Je retiens

• L’aire d’un rectangle est : A rectangle = l x L

• L’aire d’un carré est : A carré = c x c = c2

• L’aire d’un triangle est : A triangle =𝑏×ℎ

2

• L’aire d’un parallélogramme est : A parallélogramme = b x h


94


Exercices

1) Les longueurs étant données en cm, calculer l’aire du parallélogramme IFGH.

2) Calculer l’aire de chacun des polygones ci-dessous.

3) Comparer les aires de ces trois triangles.

4) Un garage rectangulaire possède une aire de 41,8 m2 et l’un de ses côtés mesure 4 m.

Quelles sont les dimensions de ce garage ?

5) Calculer l’aire du triangle BAD.

95


6) Parmi les mesures ci-dessous, lesquels permettent le calcul de l’aire de l’un des

triangles de la figure ? Dans chaque cas, préciser de quel triangle il s’agit.

a)

4,2x5,8

2 b)

5,8x5

2 c)

3x4

2

d)

7,2x4

2 e)

3x5

2 f)

4,2x4

2

7) Construire un triangle MOI tel que MO = 4 cm, MI = 8 cm et OI = 5 cm.

Effectuer les constructions et mesures nécessaires pour calculer une valeur approchée

de l’aire de ce triangle.

8) Soit ABC un triangle rectangle en B. Soit I le milieu de

[AB]. On sait que AB = 6 cm et BC = 5 cm.

a) Placer le point D tel que I soit le milieu du segment [CD].

b) Quelle est la nature du quadrilatère ADBC ?

c) Calculer l'aire du quadrilatère ADBC.

9) Dire si l’affirmation suivante est vraie ou fausse et justifier la réponse : « On peut

construire un carré ayant une aire de 92,16 cm2 et un périmètre de 38,4 cm. »

Défi : un triangle rectangle a un côté de 6 cm, un autre de 10,9 cm et un périmètre égal

à 26 cm. Quelle est son aire ?

96


SÉANCE II : CALCULER L’AIRE D’UN DISQUE

Avec un logiciel de géométrie, Lucile obtient les figures suivantes.

D’une figure à l’autre, le nombre de triangles augmente et l’aire du polygone orange est

modifiée.

De quelle valeur l’aire du polygone orange se rapproche-t-elle ?

• La longueur d’un cercle de rayon r est : Lcercle= 2 x π x r = 2 πr.

• L’aire d’un disque de rayon r est : Adisque= π x r x r = πr2.

Règles des signes

Leçon

97


1) Calculer la valeur exacte de l’aire de chacun des disques ci-après.

En donner une valeur approchée au centième de cm2.

2) À partir de la figure ci-dessous, on a calculé les expressions ci-dessous.

Pour chacune d’elles, indiquer ce qu’elle permet de déterminer.

A = 2 x π x3 ; B = π x 9 ; C = 6 x π ; D =

9xp

2

3) Donner l’aire de la partie verte en cm2. Arrondissez au mm2.

Je retiens

• La longueur d’un cercle de rayon r est : Lcercle= 2 x π x r = 2πr

• L’aire d’un disque de rayon r est : Adisque= π x r x r = πr2


98


Exercices

1) La circonférence du pied d’un éléphant est égale à la moitié de sa hauteur (des pieds

aux épaules). Voici d’autres caractéristiques de ce mammifère.

Taille à l’épaule Masse

350 à 450 cm 5 000 à 6 500 kg

250 à 340 cm 2 800 à 3 500 kg

Jean-Claude a photographié l’empreinte d’un pas d’éléphant. La voici, annotée :

Cette empreinte de pas, est-elle celle d’un mâle ( ) ou d’une femelle ( )?

Jean-Claude souhaite réaliser le moulage de cette empreinte. Estimer la surface de ce

moulage.

2) Pour s’aider à bien mémoriser les formules du cours, Nathan a écrit sur son cahier :

a) Faire comme Nathan pour la formule π x r2.

b) Nathan doit calculer la longueur d’un cercle, mais il hésite entre les deux formules

précédentes. Expliquer à Nathan en quoi les unités intervenant dans ces deux

formules peuvent l’aider dans son choix.

99


3) Calculer les aires des figures ci-dessous.

a)

b)

4) Quelle est l’aire de la figure ci-dessous ?

5) Quelle est l’aire de la figure ci-dessous ?

100


6) En étant le plus précis possible, calculer l’aire de ce disque.

7) On considère la figure suivante.

a) Calculer la valeur exacte de l’air de cette figure.

b) Donner une valeur approchée de cette aire au dixième de cm2.

8) On donne AC = 8 cm.

a) Calculer les valeurs exactes de l’aire et du périmètre de la figure rose.

b) Donner des valeurs approchées au dixième des résultats précédents.

Défi : on sait qu’un disque a une aire de 1,63 dm2. Donner une valeur approchée de son

rayon au mm près.

101


SÉANCE III : CALCULER L’AIRE D’UNE SURFACE PAR REPRÉSENTATION

GÉOMÉTRIQUE

À l’entrée d’une patinoire, on peut lire l’affiche ci-contre.

Voici un schéma annoté de cette patinoire.

Comment vérifier si l’affiche tient bien ses promesses ?

Méthode : déterminer l’aire d’une surface.

Énoncé : déterminer la surface au sol de cette piscine.

Solution : pour déterminer l’aire d’une surface, on peut la décomposer en une ou

plusieurs figures géométriques dont on sait calculer l’aire (rectangle, carré, triangle ou

disque).

1) On fait un schéma en y « découpant » des formes géométriques connues.

2) On effectue les mesures nécessaires et on annote le schéma.

3) On calcule l’aire de chacune des figures et on déduit l’aire de la surface recherchée :

Leçon

102


Calculer l’aire d’un trapèze ABCD, sachant que AD = 5 cm, BC = 10 cm et DH = 4 cm.

Étape 1 : je trace les hauteurs [DH] et [AK] pour décomposer le trapèze.

Étape 2 : ce trapèze est formé : - du rectangle AKHD - des triangles rectangles AKB et DHC.

EXEMPLE

103


Étape 3 : Je calcule l’aire de chacune des trois figures.

Aire AKHD = AD x DH = 5cm x 4cm=20cm2

Aire AKB =

AKxKB

2=

4cmx2cm

2=4cm2

Aire DHC

DHxHC

2=

4cmx3cm

2= 6cm2

Étape 4 : l’aire du trapèze est égale à la somme des trois figures.

Aire ABCD = Aire AKHD + Aire AKB + Aire DHC= 20 cm2 + 4 cm2 + 6 cm2 = 30 cm2

L’aire du trapèze ABCD est égale à 30 cm2.

104


1) Calculer la surface de « saut pur » de ce

trampoline (autrement dit la surface

dont on dispose pour sauter).

2) Voici ce qu’on peut lire sur le site Wikipédia pour un terrain de basket.

a) Calculer la surface d’un terrain de basket généralement. b) Calculer la plus petite surface possible pour un terrain de basket. c) Calculer la différence maximale de surface que deux terrains de baskets peuvent

avoir.


Dimensions : généralement, ils mesurent 28 m de long sur 15 m de large. Un

terrain de basketball est doublement symétrique (en longueur et en largeur). Ses

dimensions peuvent varier selon les fédérations ou les compétitions : un terrain

mesure 13 à 15 cm de large et 22 à 28 m de long.

105


3) Sylvie souhaite fabriquer des voiles d’ombrages triangulaires :

Quelle est, en m2, l’aire totale des morceaux de tissu nécessaire à ce projet ?

Exercices

1) Un artisan doit peindre les quatre portes d’un couloir sur leurs

deux façades.

a) À l’aide du schéma annoté ci-contre, déterminer la surface à

peindre que représente la façade d’une porte.

b) L’artisan utilise une peinture permettant de peindre 5m2 par

litre. Combien de litres de peinture doit-il prévoir pour son

chantier ?

2) Julie s’est lancée dans la fabrication d’un éventail en papier.

Les tiges qu’elle a utilisées mesurent 19 cm de long et sont couvertes de papier bleu

sur 13 cm.

Calculer la surface de papier nécessaire.

Je retiens

Pour déterminer l’aire d’une surface, on peut la décomposer en une ou plusieurs figures

géométriques dont on sait calculer l’aire (rectangle, carré, triangle ou disque), puis on

ajoute les différentes aires pour obtenir la surface totale.

106


3) Calculer l’aire de la partie colorée, en cm2.

Donner une valeur arrondie au dixième.

4) Calculer l’aire de la partie colorée, en cm². Donner une valeur arrondie au dixième.

5) Hugo souhaite installer une yourte et il hésite entre deux modèles : l’un de 4 mètres

de diamètre et l’autre de 8 mètres de diamètre. Mattéo affirme que l’une lui offrira

deux fois plus de place au sol que l’autre. A-t-il raison ?

6) Voici ce qu’on peut lire dans un catalogue, concernant un arroseur à inclinaison fixe.

Lola affirme que la superficie de terrain arrosée a été exagérée. A-t-elle raison ?

107


7) Construire le patron suivant en vraie grandeur. Calculer son aire totale.

Défi : estimer la surface occupée par l’empreinte d’une main lorsqu’on dessine le contour

sur une feuille de papier.

108



1) Vrai ou faux ?

Justifier votre réponse et tracer un contre-exemple à main levée lorsque c’est faux.

a) Si deux disques ont le même périmètre, ils ont la même aire.

c) Si deux triangles ont la même aire, ils ont le même périmètre.

d) Si deux rectangles ont le même périmètre, ils ont la même aire.

e) Si deux carrés ont la même aire, ils ont le même périmètre.

f) Si deux parallélogrammes ont le même périmètre et un côté en commun, ils ont la

même aire.

2) Déterminer l’aire du parallélogramme ci-dessous.

3) Quelles figures usuelles composent la figure en bleu ci-dessous ?

Calculer l’aire de cette figure.

109


4) Soit ABC un triangle rectangle en B. Soit I le milieu de [AB]. On sait que AB=5 cm et BC=8 cm.

a) Placer le point D tel que I soit le milieu du segment [CD].

b) Quelle est la nature du quadrilatère ADBC ?

c) Calculer l'aire du quadrilatère ADBC.

5) Construire la figure ci-contre, en sachant que AB=6 cm, BC=8 cm et que les demi-

cercles ont pour diamètres [AB] et [BC].

a) Calculer la valeur exacte de l’aire de cette figure en

cm2.

b) Donner une valeur approchée de cette aire au

dixième près de cm2.

6) Calculer l’aire de la partie verte en cm2. Arrondissez au

mm2.

7) Les nénuphars géants, Victoria amazonica, peuvent avoir un diamètre allant de 2 m à

3 m. Quelle surface peut occuper un tel nénuphar ?

8) Le cerf-volant ci-contre mesure 40 cm de large et 70 cm de

long. Calculer l’aire de ce cerf-volant en dm2.

Livret de mathématiques ème Trimestre 2

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