MEMORISATION,AUTOMATISMES

ETACTIVITE MENTALE

ProgrammesProgrammes 66èmeème::

55èmeème: :

44èmeème: :

33èmeème: :

11èreère S : S : «« Lors de l’étude d’une notion donnée, …, un certain niveau de maîtrise de calcul est indispensable pour aborder les problèmes l’introduisant et ne pas engluer la réflexion dans des aspects techniques faisant perdre de vue l’objectif poursuivi… Dans le registre du calcul automatisé, il ne suffit pas d’obtenir des résultats : il faut d’abord anticiper quelque peu un calcul, au moins dans sa forme, pour percevoir l’intérêt de sa mise en œuvre… »

Constat : Constat : les instructions officielles redonnent une place au calcul mentalles instructions officielles redonnent une place au calcul mental

Différents types de calculDifférents types de calculCalcul mental mémoriséCalcul mental mémoriséCe que l’on sait sans réfléchir, c’est-à-dire, les tables d’addition et de Ce que l’on sait sans réfléchir, c’est-à-dire, les tables d’addition et de multiplication ainsi que tout ce qui en découle au niveau du vocabulaire: le multiplication ainsi que tout ce qui en découle au niveau du vocabulaire: le double, le triple, la moitié…double, le triple, la moitié…

Calcul mental automatiséCalcul mental automatiséCe qui nécessite la mise en œuvre d’une règle simple et bien maitrisée, c’est à Ce qui nécessite la mise en œuvre d’une règle simple et bien maitrisée, c’est à dire, multiplication et division par 10, 100, 1000… et 0,1 , 0,01…dire, multiplication et division par 10, 100, 1000… et 0,1 , 0,01…

Calcul mental réfléchiCalcul mental réfléchiCe qui nécessite une réflexion et la mise en œuvre d’une stratégie, c’est-à-dire, Ce qui nécessite une réflexion et la mise en œuvre d’une stratégie, c’est-à-dire, multiplication de nombres à virgule et/ou avec des zéros ne faisant intervenir multiplication de nombres à virgule et/ou avec des zéros ne faisant intervenir QUE les tables de multiplication (0,6 x 300) ou multiplication de chiffre par un QUE les tables de multiplication (0,6 x 300) ou multiplication de chiffre par un nombre entier plus important (7 x 14)nombre entier plus important (7 x 14)

Calcul poséCalcul poséCe genre de calcul peut aussi faire partie du calcul mental, notamment en ce qui Ce genre de calcul peut aussi faire partie du calcul mental, notamment en ce qui concerne les priorités de calcul, le calcul de fractions ou le calcul littéralconcerne les priorités de calcul, le calcul de fractions ou le calcul littéral

Calcul instrumentéCalcul instrumentéCette spécificité du calcul se travaille soit lorsque l’on étudie les priorités de calcul Cette spécificité du calcul se travaille soit lorsque l’on étudie les priorités de calcul soit lorsque la difficulté que l’on veut pointer ne réside pas dans un calcul mais soit lorsque la difficulté que l’on veut pointer ne réside pas dans un calcul mais dans une méthode calculatoire comme par exemple le produit en croixdans une méthode calculatoire comme par exemple le produit en croix

Qu'est ce que l'activité mentale ? Qu'est ce que l'activité mentale ?

Activité qui s'effectue le plus Activité qui s'effectue le plus possible de tête.possible de tête.Dispositif qui s’insère dans la Dispositif qui s’insère dans la progression annuelle de progression annuelle de l’enseignement aux côtés l’enseignement aux côtés d’autres dispositifs de travail d’autres dispositifs de travail plus traditionnels.plus traditionnels.Tous les champs de Tous les champs de l’enseignement des l’enseignement des mathématiques sont concernés.mathématiques sont concernés.La question du sens est prise en La question du sens est prise en compte.compte.

Calcul mental, activité Calcul mental, activité mentale, quelle différence?mentale, quelle différence?

Répondons à cette question par un simple exemple:Répondons à cette question par un simple exemple:

Calcul mentalCalcul mental: Effectuer de tête le calcul 7 x 0,8.: Effectuer de tête le calcul 7 x 0,8.

Activité mentaleActivité mentale: Calculer l’aire d’un parallélogramme : Calculer l’aire d’un parallélogramme de de base 7 et de hauteur 0,8. base 7 et de hauteur 0,8.

En somme, l’activité mentale met en oeuvre d’autres capacitésEn somme, l’activité mentale met en oeuvre d’autres capacitésque celles du simple calcul.que celles du simple calcul.

Evolution possibleEvolution possibleVoici un exemple d’évolution possible sur toute la Voici un exemple d’évolution possible sur toute la

durée de la scolarité mettant en jeux des durée de la scolarité mettant en jeux des capacités propres à chaque cycle mais qui en capacités propres à chaque cycle mais qui en réalité revient au même calcul.réalité revient au même calcul.

En 5En 5èmeème : Effectuer 14 – 2 x 4: Effectuer 14 – 2 x 4

En 3En 3èmeème : Effectuer 14 – 2 x X pour X = 4: Effectuer 14 – 2 x X pour X = 4

En 2En 2ndende : Calculer l’image par f de 4 pour la fonction f : Calculer l’image par f de 4 pour la fonction f définie sur IR par f(x) = 14 – 2xdéfinie sur IR par f(x) = 14 – 2x

En 1En 1èreère : Calculer la pente de la tangente pour x=4 de : Calculer la pente de la tangente pour x=4 de la fonction f définie sur IR par f(x) = 14x – x²la fonction f définie sur IR par f(x) = 14x – x²

Quelques exemples Quelques exemples d'activité mentaled'activité mentale

Déterminer une équation de la droite dont la représentation graphique est donnée ci-contre.

Voici le prix du dernier album de Spritney Bears dans plusieurs magasins de Nouméa: 3800F – 3300F – 3500F – 3000F – 3400F. Le prix moyen est donc 3300F. L’album ne se vendant pas, tous les magasins réduisent son prix de 30%. Quel est le nouveau prix moyen de cet album?

La somme de 4 nombres pairs consécutifs vaut 44. Quels sont ces nombres?

ProblématiqueProblématique

Le calcul mental ou l'activité mentale :Le calcul mental ou l'activité mentale :

Dans quel but ?Dans quel but ?

A quel moment ?A quel moment ?

Sous quelle forme ?Sous quelle forme ?

L’activité mentale, L’activité mentale, pourquoi ?pourquoi ?

Quel intérêt pour Quel intérêt pour l’enseignant ?l’enseignant ?

Permettre une pratique régulière du calcul qui est souvent un handicape pour les élèvesPasser moins de temps en classe sur des exercices de type purement calculatoireAider à l’organisation d’une progression en spirale:

Quels objectifs pour Quels objectifs pour l’élève ?l’élève ?

Objectif 1 : Développer la mémorisation des répertoires et des Objectif 1 : Développer la mémorisation des répertoires et des techniques réflexes indispensables pour libérer la pensée et techniques réflexes indispensables pour libérer la pensée et permettre le développement de raisonnements mathématiques permettre le développement de raisonnements mathématiques élaborésélaborés

Enrichir les conceptions numériques des élèvesEnrichir les conceptions numériques des élèves Étendre le répertoire des résultats mémorisés, automatisésÉtendre le répertoire des résultats mémorisés, automatisés Développer la mémorisation et la capacité d’application de Développer la mémorisation et la capacité d’application de

formulesformules

Un exemple pour comprendre :Un exemple pour comprendre :

= 9= 9

15² = 22515² = 225

= =

Quels objectifs pour Quels objectifs pour l’élève ?l’élève ?

Objectif 2 : Développer des activités mentales moins Objectif 2 : Développer des activités mentales moins élémentaires mettant en jeu des propriétés mathématiques élémentaires mettant en jeu des propriétés mathématiques

Utiliser les règles de l’algèbreUtiliser les règles de l’algèbre S’approprier diverses techniquesS’approprier diverses techniques Apprendre à choisir parmi plusieurs méthodes Apprendre à choisir parmi plusieurs méthodes Améliorer les compétences mathématiques par la mémorisation Améliorer les compétences mathématiques par la mémorisation

de situations d’apprentissage de situations d’apprentissage Apprendre à utiliser une calculatrice à bon escient Apprendre à utiliser une calculatrice à bon escient

Un exemple pour comprendre :Un exemple pour comprendre :1001²1001²

Calculer MN:Calculer MN:

L’Activité mentale, L’Activité mentale,

A quel moment ? A quel moment ? Dans quel lieu ?Dans quel lieu ?

Quelques idées :Quelques idées :

Régulièrement à la maisonRégulièrement à la maison

En classe entière ou en demi-groupeEn classe entière ou en demi-groupe

En salle informatiqueEn salle informatique

En évaluation:En évaluation:En préambule pour revoir les acquis antérieursEn préambule pour revoir les acquis antérieurs

En fin de séquence avant l’évaluation, en En fin de séquence avant l’évaluation, en diagnostiquediagnostique

Après une évaluation, pour consolider les acquisAprès une évaluation, pour consolider les acquis

L’activité mentale, L’activité mentale, Sous quelle forme ?Sous quelle forme ?

Quelques règles :Quelques règles :Régulière : Régulière : tout au long de l'année et à chaque séquencetout au long de l'année et à chaque séquence

Rapide : Rapide : ne pas dépasser 20minne pas dépasser 20min

Abordable : Abordable : pour donner envie de s’y plonger cela doit pour donner envie de s’y plonger cela doit paraître à la portée de tousparaître à la portée de tous

En temps limitéEn temps limité

Evaluée : Evaluée : pour lui donner une place reconnue des élèvespour lui donner une place reconnue des élèves

Autonomie : Autonomie : l’élève choisit la méthode qui lui semble la l’élève choisit la méthode qui lui semble la plus pertinante, la plus rapideplus pertinante, la plus rapide

Le mot “mental” ne signifie pas que tout Le mot “mental” ne signifie pas que tout doit se faire de tête : doit se faire de tête : un bref énoncé ou des données un bref énoncé ou des données peuvent être notés au tableau pour soulager la mémoire.peuvent être notés au tableau pour soulager la mémoire.

Zoom sur quelques exemplesZoom sur quelques exemplesActivités numériques

Calculer

Développer (2x + 7)²Résoudre 4x – 7 = 0Calculer AM :

Activité géométriques

Dans RST et RUV avec U sur [RS] et V sur [RT] tel que (UV)//(ST), écrire les rapports égaux du théorème de Thalès.Calculer le volume de la pyramide de base carrée de coté 3 et de hauteur 5.Coordonnées du vecteur avec A(2;3) et B(0;1).

Organisation et gestion de données

Calculer la médiane de 3; 5; 7; 9; 11.Avec un coefficient d’agrandissement de 2 et V= 7 m3, quel est le volume v ?

Zoom sur quelques exemplesZoom sur quelques exemples

Algèbre / Algèbre / AnalyseAnalyse

Tableau de signe de Tableau de signe de l'expression f(x) = 1 – 3x.l'expression f(x) = 1 – 3x.

Nombre de solutions du Nombre de solutions du système système

Image de par la fonction f Image de par la fonction f définie pour tout réel x par définie pour tout réel x par

f(x) = 6x - 1.f(x) = 6x - 1.

GéométrieGéométrie

Lecture graphique de Lecture graphique de coordonnées d'un vecteur.coordonnées d'un vecteur.

Calcul des coordonnées du Calcul des coordonnées du milieu du segment [AB] sachant milieu du segment [AB] sachant que A(2;-1) et B( ;3).que A(2;-1) et B( ;3).

Représentation graphique Représentation graphique d'une fonction affine.d'une fonction affine.

Coordonnées de 0,2 siCoordonnées de 0,2 si

(3 ; -5).(3 ; -5).

Echanges et discussions…Echanges et discussions…

Imaginez une mise en œuvre et/ou une série Imaginez une mise en œuvre et/ou une série de calcul/activité mental(e) dans une classe de calcul/activité mental(e) dans une classe donnée.donnée.

AnneAnne

Exemple d’un travail en 5ème

Exemple d’un travail en 4ème

Exemple d’une série annuelle en 3èmeExemple d’une série annuelle en 3ème

BiancaBianca

Exemple d'un premier travail en 2ndeExemple d'un premier travail en 2nde

Exemple d'un second travail en 2nde Exemple d'un second travail en 2nde

Une autre mise en oeuvre en 2ndeUne autre mise en oeuvre en 2nde

Evolution de la nouvelle mise en oeuvreEvolution de la nouvelle mise en oeuvre

Exemple d'une série de Première STGExemple d'une série de Première STG

Exemple d'une série de Terminale SExemple d'une série de Terminale S

ChristelleChristelle

Exemple Exemple

OdileOdile

ExempleExemple

BilanBilan Une manière de plus de travailler les règles primordiales de calcul et

de géométrie : intérêt et curiosité suscités par une nouvelle façon de travailler.

Moins de temps passé sur les connaissances de calcul pur car revues en permanence sur l’année.

Dans beaucoup de domaines, la difficulté calculatoire est estompée par ce travail régulier.

Les élèves y voient leur intérêt car ils vont à l’essentiel dans d’autres exercices et acquièrent donc de la rapidité.

Plus d’aisance en général dans tout ce qui concerne le calcul (différence frappante en début d’année entre les novices et les habitués qui s’estompe peu à peu).

Attrait de la « bonne note », récompense pour tous ceux qui ont travaillé sérieusement.

Meilleure mémorisation des points essentiels du cours. Même au lycée, le calcul, moins présent qu’au collège, reste une

difficulté lourde à gérer Les corrections de la série préparatoire sont très, trop, lourdes.

Retombées pour l’élèveRetombées pour l’élève

Acquérir des connaissances mathématiquesAcquérir des connaissances mathématiques

Développer certaines stratégiesDévelopper certaines stratégies

Développer l’autonomieDévelopper l’autonomie

Enrichir les méthodesEnrichir les méthodes

EVOLUTION DES A PRIORIEVOLUTION DES A PRIORIInterprétation des réponses aux questionnairesInterprétation des réponses aux questionnaires

surpris ? A priori ? adhére ? apport ?

0

5

10

15

20

25

30

réactions des élèves de TS

oui

non

adhère ?

tout de suite

après une série

après quelques séries

pas encore

Surpris ? A priori ? Adhère ? Apport ?

0

5

10

15

20

25

30

réactions des élèves de 2nde

oui

non

A priori en 2 nde

a priori négatifs

a priori positifs

Retombées pour le profRetombées pour le prof

Gagner du temps sur l’acquisition des savoir faire Gagner du temps sur l’acquisition des savoir faire fondamentauxfondamentaux

Assurer une continuité dans les apprentissagesAssurer une continuité dans les apprentissages

Permettre une organisation de l’enseignement en spiralePermettre une organisation de l’enseignement en spirale

Le temps passé sur les calculs est moindre, ce qui permet Le temps passé sur les calculs est moindre, ce qui permet de se concentrer davantage sur le raisonnementde se concentrer davantage sur le raisonnement

Activité mentale : Activité mentale :

outil pédagogique supplémentaire à l’introduction et outil pédagogique supplémentaire à l’introduction et l’assimilation de toute notion mathématiquel’assimilation de toute notion mathématique

Les nouveaux programmes insistent sur l’intérêt de cette Les nouveaux programmes insistent sur l’intérêt de cette pratique pratique

ConclusionConclusion

Sources d'informationsSources d'informations

Sites internetSites internethttp://www.ac-orleans-tours.fr/mathshttp://www.ac-orleans-tours.fr/maths

Journées pédagogiques d’Orléans Journées pédagogiques d’Orléans ToursTours

Actes de l’université de Saint-Flour, Actes de l’université de Saint-Flour,

Le calcul sous toutes ses formesLe calcul sous toutes ses formes