LIMITESET CONTINUITÉ -...

LIMITES ET CONTINUITÉ

Ph DEPRESLE

21 septembre 2015

Table des matières

1 Limites à l’infini 2

1.1 Limites infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Limites finies-Asymptotes horizontales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Limites en un réel 3

2.1 Limites infinies en un réel-Asymptotes verticales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Limite en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Règles opératoires concernant les limites 4

3.1 limite d’une somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.2 limite d’un produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.3 limite d’un quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.4 Limite d’une fonction composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

4 Limites de fonctions usuelles 5

5 Théorème d’encadrement (des gendarmes) 5

6 Continuité 6

6.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66.2 Théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

7 QCM 8

8 EXERCICES : Les exercices de base 9

9 EXERCICES : Les exercices de base ( corrigés) 10

1

Chapitre : Limites et continuité Terminale S

1 Limites à l’infini

1.1 Limites infinies

Définition 1. Soit f une fonction définie sur un intervalle ]A,+∞[.On dit que f (x) tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞ quand tout intervalle ]M ,+∞[ contient toutes les

valeurs f (x) pour x assez grand.

On note limx→+∞

f (x) =+∞.

2

4

6

2 4 6

b

M C fb

b

x0

b b

b

b

On définit de la même façon les autres notions de limites infinies en +∞ ou −∞.

1.2 Limites finies-Asymptotes horizontales

Définition 2. Soit f une fonction définie sur un intervalle ]A,+∞[ et ℓ un nombre réel.

• On dit que f admet ℓ comme limite en +∞ lorsque tout intervalle ouvert de centre ℓ contient toutes

les valeurs f (x) pour x assez grand.

• Cette définition peut se traduire : ε étant un réel strictement positif arbitrairement choisi, on peut

trouver un réel x0 tel que, dès que x > x0 on a ℓ−ε< f (x) < ℓ+ε.

• On note limx→+∞

f (x) = ℓ.

2

4

−2

2 4 6 8 10 12 14

ℓ + ε

ℓ

ℓ - εb

b

C f

b

b

x0bb

b b b

b

b

Ph Depresle : Notes de cours sur 12


Définition 3. Si limx→+∞

f (x) = ℓ(ℓ ∈R ), on dit que la droite d’équation y = ℓ est asymptote horizontale

à la courbe C f en +∞.

1

2

3

4

1 2 3 4 5 6

b

C f Ici limx→+∞

f (x) = 3

La droite d’équation y = 3 est asymptote à C f

en +∞.

2 Limites en un réel

2.1 Limites infinies en un réel-Asymptotes verticales

Soit a un réel et une fonction f définie sur un intervalle de la forme ]a −ε, a[ ou ]a, a +ε[ .Dans chacun des cas suivants on dit que la droite d’équation x = a est asymptote verticale à la courbereprésentative de f .

1

2

3

4

−1

1 2 3 4 5b

C f

Ici limx →

x>22

f (x) =+∞

la droite d’équation x = 2 est asymptote à C f

1

2

3

4

5

−1

−2

1 2 3 4 5−1−2−3

La droite d’équation x = −1 est asymptoteverticale à la courbe.et la droite d’équation y = 3 est asymptotehorizontale à la courbe.



2.2 Limite en un point

Définition 4. • On dit que f admet ℓ comme limite en a lorsque tout intervalle de centre ℓ contient

toutes les valeurs de f (x) pour x suffisamment proche de a.

• On note limx→a

f (x) = ℓ.

3 Règles opératoires concernant les limites

Tous les résultats suivants sont admis. f et g sont deux fonctions données.a désigne un réel, ou +∞ ou −∞, et L et L′ sont deux nombres réels.

3.1 limite d’une somme

Si limx→a

f (x) = ℓ ℓ ℓ +∞ −∞ +∞Si lim

x→ag (x) = ℓ′ +∞ −∞ +∞ −∞ −∞

alors limx→a

( f + g )(x) = ℓ+ℓ′ +∞ −∞ +∞ −∞ ? ? ? ?

3.2 limite d’un produit

Si limx→a

f (x) = ℓ ℓ non nul 0 +∞ ou −∞Si lim

x→ag (x) = ℓ′ +∞ ou −∞ +∞ ou −∞ +∞ ou −∞

alors limx→a

( f g )(x) = ℓ . ℓ′ ±∞ ? ? ? ? ±∞

3.3 limite d’un quotient

Si limx→a

f (x) = ℓ ℓ 6= 0 ℓ ±∞ 0 ±∞

Si limx→a

g (x) = ℓ′ 6= 0

ℓ′ = 0 et g (x) gardeun signe constantau voisinage de a

±∞ ℓ′ 0 ±∞

alors limx→a

(f

g)(x) =

ℓ

ℓ′±∞ 0 ±∞ ? ? ? ? ? ? ? ?

Remarque : Il y a 4 formes indéterminées : +∞−∞ ; 0×∞ ;0

0;

∞∞

3.4 Limite d’une fonction composée

Théorème 1. admis a,b et c désignant des réels,ou +∞ ou −∞.

si limx→a

f (x) = b et si limX→b

g (X ) = c alors limx→a

g ( f (x)) = c.



4 Limites de fonctions usuelles

2

4

6

8

10

−2

2 4−2−4

y = x2

limx→−∞

x2 =+∞

limx→+∞

x2 =+∞

2

4

6

8

10

−2

−4

−6

2−2−4

y = x3

limx→−∞

x3 =−∞

limx→+∞

x3 =+∞

2

4

6

8

10

−2

−4

−6

2 4−2−4

y =1

x

limx→−∞

1

x= 0 lim

x →x>0

0

1

x=+∞

limx→+∞

1

x= 0 lim

x →x<0

0

1

x=−∞

• ∀n ∈N∗ : lim

x→+∞xn =+∞

• limx→+∞

px =+∞

• Si n non nul est pair : limx→−∞

xn =+∞.

• Si n est impair : limx→−∞

xn =−∞.

5 Théorème d’encadrement (des gendarmes)

Théorème 2. a désigne un réel, ou +∞ ou −∞. ℓ est un réel.

Si f É g É h et si les fonctions f et h ont la même limite ℓ en a, alors il en est de même pour g .

Exemple : On considère la fonction f : x 7→cos 4x

x2. Étudier les limites de f en +∞ et en donner une

interprétation graphique.∀x ∈R

∗ : −1 É cos 4x É 1 et x2 > 0

donc−1

x2É

cos 4x

x2É

1

x2.

On a donc :−1

x2É f (x) É

1

x2.

limx→+∞

1

x2= lim

x→+∞−

1

x2= 0 , le théorème des gendarmes per-

met de conclure que limx→+∞

f (x) = 0.

L’axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe re-présentative de f au voisinage de +∞

2

4

−2

2 4−2−4



Théorème 3. a désigne un réel, ou +∞ ou −∞.

• Si f É g au voisinage de a et si limx→a

f (x) =+∞ alors limx→a

g (x) =+∞.

• Si g É h au voisinage de a et si limx→a

h(x)=−∞ alors limx→a

g (x) =−∞.

6 Continuité

6.1 Définition

Définition 5. Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un point de I .

On dit que f est continue en a lorsque f admet une limite en a. Cette limite est nécessairement f (a).

Exemple : La fonction f définie par :

f (x) = x2 +1 si x ∈]−∞;1[

f (1) =3

2f (x) =−x2 +2 si x ∈]1,+∞[

f est continue en 0 car limx→0

f (x) = 1

mais f n’est pas continue en 1 carlim

x →x<1

1f (x) = 2 6= f (1)

C f

b

Définition 6. On dit qu’une fonction f est continue sur un intervalle I deR si elle est continue en tout

point de cet intervalle.

Exemple : Dans l’exemple précédent f est continue sur ]−∞,1[ et sur ]1,+∞[ mais f n’est pas conti-nue surR .

Remarque : Une fonction continue sur un intervalle est représentée par un trait continu.

6.2 Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème 4. admis Soit une fonction f continue sur un intervalle I deR et a et b deux points de I .

Pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que

f (c)= k.



1

2

3

4

5

−1

1 2−1−2−3a

f(a)

b

f (b)

Corollaire :

Soit une fonction f continue et strictement monotone sur un intervalle I . Alors pour tout réel k def (I ) l’équation f (x) = k admet une unique solution dans I .

Démonstration :

Supposons que f est une fonction continue et strictement croissante sur l’intervalle I .Soit k un réel de f (I ), k a au moins un antécédent dans I .Démontrons par l’absurde que cet antécédent est unique.Supposons que k soit l’image de deux réels distincts c et c ′ avec c < c ′

Comme f est strictement croissante sur I , f (c) < f (c ′) , soit k < k .Ce qui est absurde. Nécessairement c = c ′ et l’antécédent est unique.N

Exemple :

Démontrer que l’équation x3 +x +1 = 0 a une seule solution.

On pose f (x) = x3 +x +1, f est dérivable et continue surR et f ′(x) = 3x2 +1.∀x ∈R, f ′(x) > 0 et lim

x→−∞f (x) =−∞ ainsi que lim

x→+∞f (x) =+∞. On a donc le tableau de variation :

x −∞ α +∞f ′(x) + +

f

−∞✟✯✟✟

0

✟✯✟✟+∞

f est continue et strictement croissante surR , donc l’équation f (x) = 0 a une seule solution α.f (−1) < 0 donc α>−1f (0) > 0 donc −1 <α< 0



7 QCM

Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse :

1. Si a un réel quelconque et f une fonction définie et strictement décroissante sur ]a;+∞[, alorslim

x→+∞f (x) =−∞.

2. Soient f et g deux fonctions définies sur [0;+∞[, g ne s’annulant pas :

Si limx→+∞

f (x) =−∞ et limx→+∞

g (x) =+∞, alors limx→+∞

f (x)

g (x)=−1.

3. Si f est une fonction définie sur [0;+∞[ telle que 0 É f (x) Ép

x sur [0;+∞[, alors limx→+∞

f (x)

x= 0.

4. Une fonction g est définie sur l’intervalle ]−∞;0] par : g (x) =

px2 −2x

x −3.

Soit Γ sa courbe représentative dans un repère du plan.

Γ admet une asymptote.

5. Si pour tout réel x négatif f (x) É g (x) É h(x) et limx→−∞

f (x) =−∞, alors

limx→−∞

g (x) =−∞

Solutions

1. La fonction définie sur ]0,+∞[ par f (x) =1

xest strictement décroissante sur ]0,+∞[. Or lim

x→+∞f (x) =

0.

La proposition 1 est FAUSSE.

2. Soient f et g les fonctions définies sur [0;+∞[par f (x) =−x et g (x) = x2.

limx→+∞

f (x) =−∞ et limx→+∞

g (x) =+∞. Mais limx→+∞

f (x)

g (x)= lim

x→+∞

−1

x= 0.


3. 0 Éf (x)

xÉ

1p

xsur [0;+∞[. lim

x→+∞

1p

x= 0. Le théorème d’encadrement nous permet d’affirmer

que limx→+∞

f (x)

x= 0.

La proposition 3 est VRAIE.

4. g (x) =|x|

√

1− 2x

x(1− 3x

)=−

√

1− 2x

(1− 3x

).

limx→−∞

g (x) =−1.

Donc Γ admet une asymptote horizontale d’équation : y =−1.

La proposition 4 est VRAIE.

5. Soit f (x)= 1+x et g (x) = 1.

Pour tout réel négatif, f (x) É g (x) et limx→−∞

f (x) =−∞ mais limx→−∞

g (x) = 1.




8 EXERCICES : Les exercices de base

Exercice 1

Soit f (x) =5x −1

x2 −4.

1. Déterminer les limites de f en +∞ et en −∞. Interprétez graphiquement.

2. Déterminer les limites de f en −2 et en 2. Interprétez graphiquement.

3. En admettant que f est décroissante sur tous les intervalles où elle est définie, donner l’allurede sa courbe représentative dans un repère du plan.

Exercice 2

f est la fonction définie sur R par f (x) =p

1+x2.C est sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O, #»ı , #» ).

1. Étudier la limite de f en +∞.

2. Vérifier que pour tout réel x, f (x)−x =1

x +p

1+x2.

3. Quelle est la limite de f (x)−x quand x tend vers +∞ ?

4. Précisez la position de C par rapport à la droite d d’équation y = x sur ]0;+∞[.

Exercice 3

On donne ci-dessous le tableau de variations d’une fonction f définie sur l’intervalle ]0;+∞[ et onnomme C sa représentation graphique dans un repère orthonormal (O; #»ı , #» )

x 0 1 +∞

f (x)

−∞

�✒�

�

1❅❅❅❘

−∞

Répondre par VRAI ou par FAUX. Les réponses devront être justifiées, éventuellement par des gra-phiques.

1. Pour tout réel x de ]0;1], f (x) É 1

2. L’équation f (x) = 0 admet au moins une solution dans ]0,1[.

3. L’équation f (x) = 3 admet une solution unique dans ]0,1[.

Exercice 4

Soit f (x) = x4 −4x −1. 0n admet que f est strictement décroissante sur ]−∞;1] et strictement crois-sante sur [1;+∞[. Déterminer le nombre de solutions de l’équation f (x) = 0 et un encadrement à 10−3

près de chacune des solutions.

Exercice 5

Déterminer la limite en +∞ de la fonction définie pour x > 0 par f (x) =sin x

x.



9 EXERCICES : Les exercices de base ( corrigés)

Exercice 1 :

1. limx→+∞

5x −1

x2 −4= lim

x→+∞

5x

x2= lim

x→+∞

5

x= 0.

De même limx→−∞

f (x) = limx→−∞

5

x= 0.

Donc la droite d’équation y = 0 est asymptote horizontale à C en +∞ et −∞.

2. • limx→−2

(5x −1) =−11 et limx→−2

(x2 −4) = 0

Pour déterminer la limite du quotient, on détermine le signe de x2 −4.

x −∞ −2 2 +∞signe de x2 −4 + 0 − 0 +

On en déduit que limx →

x<−2−2

f (x) =−∞ et limx →

x>−2−2

f (x) =+∞

• limx→2

(5x −1) = 9 et limx→2

(x2 −4) = 0

Grâce au tableau de signes précédent : limx →

x<22

f (x) =−∞ et limx →

x>22

f (x) =+∞

Les droites d’équations x =−2 et x = 2 sont donc asymptotes verticales à la courbe C .

3.

2

4

6

−2

−4

−6

2 4 6−2−4−6

Exercice 2 :

1. Posons u(x)= 1+x2 et v(y)=py , on a f (x) = v (u(x)).

limx→+∞

u(x)= limx→+∞

(1+x2) =+∞lim

y→+∞v(y)= lim

y→+∞p

y =+∞

}

donc limx→+∞

√

1+x2 = +∞. (limite d’une fonction compo-

sée).

2. f (x)−x =p

1+x2 −x =(p

1+x2 −x)(p

1+x2 +x)p

1+x2 +xLe numérateur devient :

(p

1+x2 −x)(p

1+x2 +x) = (p

1+x2)2 −x2 = 1+x2 −x2 = 1.

Donc f (x)−x =1

p1+x2 +x

.



3. limx→+∞

√

1+x2 =+∞, donc limx→+∞

(√

1+x2 +x) =+∞ (limite d’une somme).

On en déduit que : limx→+∞

1p

1+x2 +x= 0 (limite d’un inverse).

0 #»ı

#»

C y = x

4. f (x)−x =1

p1+x2 +x

et sur ]0;+∞[ on a x > 0 etp

1+x2 > 0,

donc f (x)−x > 0.

La courbe C est « au-dessus » de la droite d sur ]0;+∞[.

Exercice 3 :

1. VRAI. Sur l’intervalle ]0;1] la fonction f est croissante.

Donc si x É 1 on a f (x) É f (1). Comme f (1) = 1, on a bien f (x) É 1.

2. VRAI. La fonction f est continue sur l’intervalle ]0;1] et à valeurs dans ]−∞;1].

0 appartient a cet intervalle. D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f (x)= 0admet au moins une solution dans ]0,1[.

3. FAUX. On a vu à la question 1. que pour tout réel x de ]0;1], f (x) É 1.

L’équation f (x) = 3 n’a donc pas de solution dans ]0;1].

Exercice 4 :

On a limx→−∞

f (x) = limx→−∞

x4 =+∞ et limx→+∞

f (x) = limx→+∞

x4 =+∞.

Le tableau de variations de f est :

x −∞ α 1 β +∞

f (x)

+∞❍❍❍❥0❍❍❍❥−4

✟✯✟✟

0

✟✯✟✟

+∞2

4

−2

−4

2 4−2

C

×

β×

α

D’après ce tableau de variations :Sur [−∞;1[ f est continue et strictement décroissante et f ([−∞;1[) = [−4;+∞[ donc l’équation f (x) =0 a une solution unique α sur [−∞;1[.Sur [1;+∞[ f est continue et strictement croissante et f ([1;+∞[) = [−4;+∞[ donc l’équation f (x)= 0a une solution unique β sur [1;+∞[.



Conclusion : L’équation f (x) = 0 a deux solutions α et β.En utilisant la calculatrice on trouve que f (−0,248) < 0 et f (0,249) > 0.Donc −0,249 <α<−0,248.On trouve de même que 1,663 <β< 1,664

Exercice 5 :

Pour tout x > 0, −1 É sin x É 1, donc −1

xÉ

sin x

xÉ

1

x

1

2

1

1 2 3 4 5 6 7 8

− 1x

f (x)

1x

Comme limx→+∞

1

x= lim

x→+∞−

1

x= 0.

D’après le théorème des gendarmes on a limx→+∞

f (x) = 0.


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