Outil Mathmatiques 1L1 SPM - 2014-2015

Max Bauer

Universit de Rennes 1, UFR Mathmatiques

Table des matires

1 Fonctions numriques dune variable relle 51.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Symtrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Notion dasymptote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Dfinition de la continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Proprits des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.6 Drivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Dfinition de la notion de drivabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Oprations sur les drives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Drives des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Continuit et drivabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.7 Extremum local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.8 Quelques proprits des fonctions drivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Thorme des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Fonctions monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Limites de la drive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Rgle de lHospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.9 Convexit, concavit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Definition de la convexit, concavit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Convexit et diffrentiabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.10 Plan dtude dune fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.11 Fonctions rciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Dfinition et existence dune fonction rciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Premires proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Continuit et variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Drivabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Interprtation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Quelques fonctions classiques 212.1 Logarithme nprien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Dfinition et premires proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Relations importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Limites importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Reprsentation graphique de la fonction ln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Logarithme de base a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Reprsentation graphique de la fonction loga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2 La fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Dfinition et premires proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Relations importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Limites importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Reprsentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3 Exponentielle de base a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Dfinition et premires proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Reprsentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4 Fonction puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Etude de fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Reprsentation graphique de la fonction puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.5 Croissance compare des fonctions logarithme, exponentielle et puissance . . . . . . . . . 292.6 Fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Dfinition des fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Formules de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Tableau de valeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30La fonction tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.7 Formules trigonomtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Symtries du sinus et cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Formules daddition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Formules de duplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Transformation de produit en somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Limites classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.8 Fonctions circulaires rciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34La fonction arcsinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34La fonction arccosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36La fonction arctangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Quelques formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.9 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Dfinition des fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39La fonction sinus hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39La fonction cosinus hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39La fonction tangente hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Limites classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.10 Formules trigonomtriques hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Formules de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Symtrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Transformation de produit en sommes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3 Les nombres complexes 44

2

3.1 Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Dfinition et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Reprsentation gomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.2 Conjugu, module et argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Conjugu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Argument et forme trigonomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Forme exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.3 Linarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Formule du binme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Formules de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Un exemple de linarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.4 Racines carres dun nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Racines carres sous forme algbrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Racines carres sous forme exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.5 Equation du second degr coefficients dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.6 Racines n-imes dun nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Racines n-imes de lunit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Racines n-imes dun complexe non nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4 Polynmes et fractions rationnelles 554.1 Polynmes sur R ou C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .