Licence de MathÉmatiques TroisiÈme AnnÉe Unité d’enseignement

8/14/2019 Licence de Mathmatiques Troisime Anne Unit denseignement

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LICENCE DE MATHMATIQUES

TROISIME ANNE

Unit denseignement LCMA 5U12

ALGBRE

Franoise GEANDIER

Universit Henri Poincar Nancy I

Dpartement de Mathmatiques


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.


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Table des matires

I Anneaux 1

1. Anneaux.

2. Sous-anneaux.

3. Relations dquivalence - Corps des fractions dun anneau intgre.

4. Homomorphismes.

5. Idaux.

6. Polynmes coefficients dans un anneau.

7. Anneaux-quotients.

II Anneaux euclidiens, principaux, factoriels 17

1. Anneaux euclidiens.

2. Anneaux principaux.

3. Anneaux factoriels.

4. Thormes de transfert aux anneaux de polynmes.

5. Polynmes irrductibles de Z[X].

III Groupes 31

1. Groupes.

2. Homomorphismes.

3. Sous-groupes.

4. Relations dquivalence dans les groupes.5. Sous-groupes distingus - Groupes-quotients.

6. Groupes-quotients de (Z, +).

7. Groupes isomorphes.

8. Groupe symtrique.


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IV Groupes commutatifs finis 57

1. Somme directe de groupes.

2. p-groupes.

3. Groupes p-lmentaires.

4. Thormes de dcomposition.

V Extensions de corps 71

1. Extensions algbriques.

2. Corps de rupture dun polynme.

3. Corps algbriquement clos - clture algbrique.4. Corps finis.

5. Thorme de Wedderburn.


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I ANNEAUX

1. Anneaux

1.1 DfinitionOn appelle anneau un ensemble non vide A muni de deux lois internes + et . appelesaddition et multiplication, vrifiant les conditions suivantes :

a) x , y, z A x + y = y + x : commutativit de laddition ; (x + y) + z = x + (y + z) : associativit de laddition ; il existe un lment neutre pour laddition not 0A : x A, 0A + x = x + 0A = x ; tout lment x A admet un oppos not x appartenant A tel que

x + (

x) = (

x) + x = 0A.

Et aussi

b) x,y,z A (xy)z = x(yz) : associativit de la multiplication ; (x + y)z = xz + yz et z(x + y) = zx + zy : distributivit ( gauche et droite) de lamultiplication par rapport laddition ; il existe un lment neutre pour la multiplication not 1A : x A, 1A.x = x.1A = x.Si de plus la multiplication est commutative, on dit que A est un anneau commutatif.

1.2 Exemples Z, Q, R, C sont des anneaux commutatifs. N nest pas un anneau. Z[i] := {a + ib/ a,b Z} est un anneau commutatif : on lappelle lanneau des entiersde Gauss.

Pour tout n 1, lensemble Z/nZ est un anneau commutatif. Lensemble Mn(R) des matrices relles carres dordre n est un anneau non commutatif.

1.3 Proprits

a) Pour tout x A, loppos x est unique;b) un anneau A est rgulier pour laddition :

x , y, z A, x + z = y + z = x = y ;c) x A, 0A.x = 0A : on dit que 0A est absorbant ;d) x, y A, x = (1A)x = x(1A) et (xy) = (x)y = x(y) ;e)

x

A,

n

N, on note

nx =

n fois x + x + + x et xn =

n fois x.x x

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si n Z, on pose nx = (n)x ;f) si lanneau A est commutatif, on a la formule dite du binme de Newton :

x, y A, (x + y)n =n

k=0Cknx

kynk

cette proprit est fausse si lanneau nest pas commutatif ; en effet, dj pour n = 2, ona (x + y)2 = x2 + xy + yx + y2.

Preuve : immdiate.

1.4 Dfinitions

a) Soit A un anneau commutatif et soient a et b deux lments de A : on dit que a estmultiple de b ou que b divise a sil existe un lment c de A tel que a = bc. On note alorsb|a.b) Soit A un anneau non ncessairement commutatif. On dit quun lment non nul a deA est un diviseur de zro gauche (resp. droite) sil existe un lment non nul b de Atel que ab = 0 (resp. ba = 0).

Exemple : Mn(R) possde des diviseurs de zro, en effet

1 00 0

0 00 1

=

0 00 0

c) Un lment a de A est dit inversible dans A sil existe un lment b de A tel queab = ba = 1A. Cet lment b est alors unique et est appel inverse de a ; on le notea1. Evidemment, a1 est lui-mme inversible, dinverse a. On notera A lensemble deslments inversibles de A. Remarquons quun lment inversible de A est ncessairementnon nul.

Exemples : Z = {1, 1}. R = R {0}. (Z/nZ) = {a/pgcd(a, n) = 1}. (Mn(R)) est lensemble des matrices de dterminant non nul. (Z[i]) = {1, 1, i, i}.

Remarque : On a coutume de noter N = N\{0} ; cette notation nest pas contradictoireavec la notation vue prcdemment pour lensemble des lments inversibles dun anneaupuisque N nest pas un anneau.

1.5 Dfinition

On appelle corps un anneau dont tous les lments non nuls sont inversibles.

Exemples : Q, R, C sont des corps commutatifs ; Z/nZ est un corps commutatif si etseulement si n est premier.

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1.6 Dfinition

On dit quun anneau A est intgre sil ne possde pas de diviseurs de zro, i.e.

x, y A, xy = 0A = x = 0A ou y = 0A.

Exemples : Tout corps est intgre ; la rciproque est fausse : Z est intgre sans tre un corps. Mn(R) nest pas intgre. Z/nZ est intgre si et seulement si n est premier.

1.7 Proposition

Soit A un anneau intgre ; alors A est rgulier pour la multiplication, i.e.

x,y,z A, xy = xz et x non nul = y = z.

Preuve : immdiate.

2. Sous-anneaux

2.1 Dfinition

Soit A un anneau et B une partie non vide de A. On dit que B est un sous-anneau de A siB muni de laddition et de la multiplication de A est lui-mme un anneau et si 1B = 1A.

2.2 Proposition

Soit A un anneau et soit B un sous-anneau de A. Alors, on aa) laddition et la multiplication sont internes B ;b) 0B = 0A ;

c) pour tout x A, loppos de x considr comme lment de lanneau B est le mmeque loppos de x considr comme lment de lanneau A ;d) si A est commutatif, alors B lest aussi. Si A est intgre, alors B lest aussi.

Preuve: immdiate.

Remarque : un sous-anneau B dun anneau A peut tre commutatif intgre sans que Ale soit. Ainsi lensemble B = {I/ R} des matrices dhomothties dans Mn(R) estun sous-anneau commutatif et intgre de Mn(R) alors que Mn(R) nest ni commutatif niintgre.

2.3 Proposition

Soit B une partie dun anneau A. Alors B est un sous-anneau de A si et seulement si ilvrifie les conditions suivantes :

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a) 1A B ;b) x, y B, x y B et xy B.

Preuve :

Soit B un sous-anneau de A, alors laddition et la multiplication sont internes B. De plus,pour tout y B, y B daprs 2.2, donc x, y B, x y = x + (y) B et xy B.En outre, 1B = 1A donc 1A B.Rciproquement, soit B une partie de A vrifiant les conditions a) et b). Alors, en parti-culier B est non vide. De plus, daprs b) on a 0A = 1A 1A B, do pour tout x B,x = 0A x B. On en dduit que x, y B, x + y = x (y) B et ainsi ladditionest interne B. De plus, laddition tant commutative et associative dans A lest aussidans B.Dautre part, la multiplication est elle aussi interne B grce b), elle est associativeet distributive par rapport laddition dans B, puisquelle lest dans A, et elle admet unlment neutre dans B, savoir 1A. Donc B est bien un sous-anneau de A.

2.4 Exemples

Z est un sous-anneau de Q qui est lui-mme un sous-anneau de R, qui est lui-mme unsous-anneau de C.

Si n est un entier diffrent de 1 et 1, nZ nest pas un sous-anneau de Z (1 nZ).

Z[i] et Z[i

2] sont des sous-anneaux de C.

3 Relations dquivalence - Corps des fractions dun anneau intgre

3.1 Dfinition et proposition

On considre sur un ensemble Eune relation binaire R (i.e. entre deux lments de E). Ondit que R est une relation dquivalence sur E si elle vrifie les trois conditions suivantesa) R est rflexive : x E, x R x ;b) R est symtrique : x, y E, x R y y R x ;c) R est transitive : x,y,z E, x R y et y R z = x R z.

Soit E un ensemble muni dune relation dquivalence R ;a) Soit x E; on appelle classe dquivalence de x pour la relation R et on note x lesous-ensemble de E dfini par

x = {y E/ y R x}.

Tout lment de x est appel un reprsentant de la classe dquivalence x. On appellesystme de reprsentants de la relation dquivalence R toute famille (xi)iI dlmentsde E vrifiant :

x E, i I, x xi ; i, j I, i = j = xi xj = .On a les proprits suivantes pour tous x, y E

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x x ; y x y R x x y x = y.

De plus la famille des classes dquivalence pour la relation R est une partition de E.b) On appelle ensemble-quotient de E par R, et on note E/R lensemble des classesdquivalence des lments de E i.e.

E/R = {x/ x E}.

Si (xi)iI est un systme de reprsentants de R, on a en fait

E/R = {xi/ i I} et ainsi card(E/R) = card(I).

3.2 Thorme et dfinition

Soit A un anneau commutatif intgre ; on dfinit sur lensemble A A {0} la relationbinaire suivante :

(a, b)R(a, b) ab = ab.Alors R est une relation dquivalence et on peut munir lensemble-quotient AA{0}/Rdune addition et dune multiplication dfinies de la manire suivante :

notons (a, b) la classe dquivalence dun couple (a, b) ; Si u = (a, b) et v = (c, d) sont deuxlments de A A {0}/R, on pose

u + v = (ad + bc, bd)

uv = (ac, bd)

Lensemble-quotient A A {0}/R muni de ces deux lois est un corps commutatif,appel corps des fractions de lanneau A. De plus il existe une injection naturelle de Adans A A {0}/R :

A A A {0}/Ra (a, 1)

On peut donc considrer A comme un sous-anneau de son corps des fractions. On notegnralement les lments du corps des fractions sous la forme (a, b) =

a

b.

Preuve : Il est immdiat de vrifier que la relation R est rflexive et symtrique. Dautrepart, la relation est transitive parce que A est intgre ; en effet si (a, b)R(a, b) et (a, b)R(a, b)alors, ab = ab et ab = ab do abb = abb = abb donc ab = ab daprs 1.7 puisqueA est intgre et b = 0. Donc (a, b)R(a, b). Ainsi R est une relation dquivalence.Montrons maintenant que laddition et la multiplication sont bien dfinies sur lensemble-quotient A A {0}/R, i.e que le rsultat ne dpend pas du choix des reprsentants deu et v : considrons donc un autre reprsentant (a, b) pour u et un autre reprsentant(c, d) pour v, alors (a, b)R(a, b) et (c, d)R(c, d) i.e ab = ab et cd = cd. Montrons que(ad + bc, bd)R(ad + bc, bd) : or on a (ad + bc)bd = adbd + bcbd = abdd + cdbb =(ad + bc)b

d

do le rsultat. De mme on montre que (ac, bd)R(a

c

, b

d

).Il est alors facile de vrifier que ces deux lois munissent A A {0}/R dune structuredanneau commutatif : llment neutre pour laddition est (0, b) pour tout b A {0},

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llment neutre pour la multiplication est (1, 1) et loppos de (a, b) est (a, b). Montronsmaintenant que AA{0}/R est un corps : soit (a, b) un lment de A{0}A{0},alors il est immdiat de constater que (a, b) possde un inverse dans A A {0}/R, savoir (b, a).

3.3 Exemples

a) Le corps des fractions de Z nest autre que Q.

b) Le corps des fractions de R[X] est R(X) justement appel corps des fractions ration-nelles coefficients rels.

4. Homomorphismes

4.1 Dfinition

Soit f une application dun anneau A dans un anneau B. On dit que f est un homomor-phisme danneaux sil vrifie les conditions suivantes :

a) x, y A, f(x + y) = f(x) + f(y) et f(xy) = f(x)f(y) ;b) f(1A) = 1B.

Si A = B, on dit que f est un endomorphisme danneaux. On appelle isomorphismedanneaux tout homomorphisme danneaux bijectif. On appelle automorphisme danneauxtout endomorphisme danneaux bijectif.

4.2 Proprits

Soit f un homomorphisme danneaux de A dans B, alors :a) f(0A) = 0B ;

b) x A, f(x) = f(x) ;c) Si x est inversible dans A, alors f(x) est inversible dans B et (f(x))1 = f(x1).d) Imf est un sous-anneau de B.

Preuve : immdiate.

4.3 Exemples

Lapplication de C dans C qui un lment associe son conjugu est un automorphismedanneaux.

Lapplication de C dans R qui un lment associe son module nest pas un homomor-phisme danneaux.

Soit P une matrice inversible de Mn(R) ; alors lapplication de Mn(R) dans Mn(R) qui une matrice A associe la matrice P AP1 est un automorphisme danneaux.

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Soit f un homomorphisme danneaux de A dans B. On appelle noyau de f et on noteker f le sous-ensemble de A dfini par

ker f =

{a

A/ f(a) = 0B

}.

Lhomomorphisme f est injectif si et seulement si ker f = {0A}.

Preuve : immdiate.

5. Idaux

5.1 Dfinition

SoitA

un anneau commutatif etI

un sous-ensemble deA

. On dit queI

est un idal deA sil vrifie les conditions suivantes :a) I = ;b) x, y I, x y I;c) x I, a A, ax I.

5.2 Proprits

Soit Iun idal de A, alors :a) 0A I;

b) x I, x I;c) x, y I, x + y I.

Preuve : immdiate.

5.3 Exemples

{0A} et A sont des idaux de A.

Pour tout a

A, lensemble des multiples de a est un idal de

A; on le note (a) ou a

A:

(a) = {ax/ x A}.

Un sous-ensemble I de Z est un idal si et seulement si il existe un entier n tel queI= nZ. Si f est un homomorphisme danneaux de A dans B, alors ker f est un idal de A.

5.4 Dfinitions et proposition

a) Soit A un anneau commutatif et soit E un sous-ensemble non vide de A. On appelleidal de A engendr par E le plus petit idal (au sens de linclusion) de A contenant Eet on le note E. Ainsi E = Isi et seulement si Ivrifie les conditions suivantes : Iest un idal de A contenant E;

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Pour tout idal J de A contenant E, I J.b) Soient Iet J deux idaux dun anneau commutatif A : alors I J est un idal de A.En gnral, I J nest pas un idal.c) Soient Iet J deux idaux dun anneau commutatif A. On appelle somme de Iet Jet on note I+ J lensemble dfini par

I+ J= {x + y/ x Iet y J}Lensemble I+ J est un idal de A : cest lidal engendr par I J.d) Soit Iun idal dun anneau commutatif A, alors :

I= A 1A I I A =

Preuve :

b) 0A appartient Iet J donc leur intersection, do I J = . Soient x, y I J :alors x y Iet x y J puisque Iet J sont des idaux. Donc x y I J. Demme, si x I Jet a A, alors ax Iet ax Jdonc ax I J. Ainsi I J estun idal de A.Mais la runion de deux idaux nest pas un idal en gnral : par exemple 2Z 3Z nestpas un idal de Z. En effet 2 et 3 2Z 3Z mais leur somme 1 2Z 3Z.c) Il est facile de voir que I+ J est un idal de A. Montrons que cest lidal engendrpar I J.Tout dabord,

I+

Jcontient

I J, en effet :

x I, x = x + 0A I+ J puisque 0A J. Ainsi I I+ J. De mme J I+ J,do I J I+ J.Considrons maintenant un idal K contenant I J et montrons que I+ J K ; soitz I+ J : x Iet y J tels que z = x + y. Comme I J K, x et y K doncz = x + y K puisque K est un idal, donc I+ J K.Ainsi I+ J est bien lidal engendr par I J.d) exercice.

Remarque : Si a est un lment dun anneau commutatifA, lidal (a) des multiples dea nest autre que lidal engendr par lensemble {a}.6. Polynmes coefficients dans un anneau

6.1 Dfinition

On appelle polynme coefficients dans A toute suite (an)nN dlments de A nulle partir dun certain rang : n0 N tel que n > n0 = an = 0. Llment an est appelterme dindice n du polynme.

On appelle polynme nul la suite nulle (0, 0, ..., 0, 0,...).

La suite (0, 1, 0, ..., 0,...) est note X et est appele indtermine.

On note A[X] lensemble des polynmes coefficients dans A.

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On dfinit une addition et une multiplication sur A[X] de la manire suivanteSoient P = (an)nN et Q = (bn)nN deux lments de A[X]. On pose :

P + Q = (cn)nN o n N, cn = an + bn

P.Q = (dn)nN o n N, dn =n

k=0

akbnk.

Alors (A[X], +, .) est un anneau commutatif.Preuve :

Vrifions dabord que les deux lois ainsi dfinies sont internes A[X] :P et Q sont des polynmes donc n0 et m0 N tels que n > n0 = an = 0 etn > m0 = bn = 0, do n > max (n0, m0) = cn = an + bn = 0 : P + Q est donc unpolynme. De plus, si n > n0 + m0 alors, pour tout k [0, n], k > n0 ou n k > m0 doncakbnk = 0 et ainsi dn = 0 ; P.Q est donc aussi un polynme.

Il est facile (et un peu fastidieux) de voir que ces deux lois munissent A[X] dune structuredanneau commutatif ; llment neutre pour laddition est le polynme nul, loppos dunpolynme P = (an)nN est P = (an)nN, llment neutre pour la multiplication est lepolynme (1, 0, 0, ..., 0,...).

6.3 Proposition

Si A est un anneau intgre (en particulier si A est un corps), alors lanneau A[X] estintgre.

Preuve :

Soient P = (an)nN et Q = (bn)nN deux polynmes non nuls de A[X]. Alors, n0 Ntel que an0 = 0 et n > n0 = an = 0 et m0 N tel que bm0 = 0 et n > m0 = bn = 0.Notons P.Q = (dn)nN, alors dn0+m0 = an0bm0 est non nul puisque A est intgre. DoncP.Q est un polynme non nul.


On a une loi de multiplication externe par les lments de A sur A[X] dfinie de la maniresuivante :

soient P = (an)nN un polynme et un lment de A, alors on pose P = (an)nN. Ilest clair que P est un polynme de A[X] et on a les proprits suivantes :

P, Q A[X], , A ( + )P = P + P ; (P + Q) = P + Q ; ()P = (P) ; 1.P = P ; (P Q) = (P)Q = P(Q).

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On remarque alors que A[X] muni de laddition et de cette multiplication externe vrifieles axiomes de dfinition des espaces vectoriels, cette diffrence prs que lensemble desscalaires ici est un anneau A et pas ncessairement un corps : cette structure sappelleun A-module. On a alors, comme dans les espaces vectoriels, la notion de combinaisonlinaire. Cependant, on prendra garde que beaucoup de rsultats valables dans un espace

vectoriel ne le sont plus dans un A-module (par exemple, un A-module ne possde pastoujours de base !)

6.5 Dfinition

Soit P = (an)nN un polynme non nul de A[X], alors n0 N tel que an0 = 0 etn > n0 = an = 0 : cet entier n0 est appel degr de P et not d (P) ou deg P.On convient que le degr du polynme nul est llment de N {}.

6.6 Proposition

Soient P et Q deux polynmes deA

[X]. Alors, on a

a) d (P + Q) max (d (P), d (Q)) ;b) d (P.Q) d (P) + d (Q).Si de plus, A est intgre, on a lgalit d (P.Q) = d (P) + d (Q).Preuve :

Si P ou Q est le polynme nul, les ingalits a) et b) sont videntes. Si aucun des polynmesP et Q nest nul, il suffit de se reporter la preuve de 6.2 pour avoir le rsultat.

Si de plus A est intgre, la preuve de 6.3 fournit lgalit d (P Q) = d (P) + d (Q).

6.7 Proposition

Dans lanneau A[X], pour tout n N, Xn est le polynme dont tous les termes sontnuls sauf celui dindice n qui est gal 1. Pour n = 0, on adopte la convention X0 = 1.

Preuve : par rcurrence sur n.

6.8 Corollaire

Dans le A-module A[X], tout polynme scrit de manire unique comme combinaisonlinaire de la famille (Xn)nN. Plus prcisment, si P = (an)nN est un polynme non nulde degr n0, alors : P = a0 + a1X + an0Xn0 . Le terme an dindice n de P est alorsgalement appel coefficient du terme de degr n de P.

Preuve : cest une consquence immdiate de 6.7.

Remarque : Ainsi, on peut considrer les lments non nuls de A comme les polynmesde degr 0 de A[X], appels aussi polynmes constants (non nuls) de A[X].

6.9 Proposition

Si A est un anneau intgre, les lments inversibles de A[X] sont les lments inversiblesde A. En particulier, si A est un corps, les lments inversibles de A[X] sont les polynmesconstants non nuls.

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Preuve :

Soit a A, alors b A tel que ab = 1, donc le polynme constant a possde bienun inverse b dans A[X]. Rciproquement, soit P un polynme inversible dans A[X], alors Q A[X] tel que P Q = 1. Donc, daprs 6.6, d (P.Q) = d (P) + d (Q) puisque A estintgre; or d (P.Q) = d (1) = 0 donc d (P) = d (Q) = 0, ainsi P et Q sont des polynmesconstants, i.e. des lments de A et qui vrifient P Q = 1, donc P est inversible dans A.

6.10 Dfinitions

On appelle coefficient dominant dun polynme P non nul de degr n0 le coefficient duterme de degr n0 de P.

On appelle polynme unitaire de A[X] tout polynme non nul dont le coefficient dominantest gal 1.

6.11 Dfinition

Soient P = a0 + a1X+ + anXn un polynme de A[X] et Q un polynme. On appellepolynme compos des deux polynmes P et Q, et on note P(Q) le polynme dfini par :

P(Q) = a0 + a1Q + + anQn.En dautre termes, on substitue lindtermine X le polynme Q.

6.12 Dfinition

Soit P = a0 + a1X+ + anXn un polynme de A[X]. On appelle fonction polynomiale(ou fonction polynme) associe P, la fonction de A dans A, note P, dfinie par

x A, P(x) = a0 + a1x + + anxn.6.13 Proposition

Soient P et Q deux polynmes de A[X]. Alorsa) la fonction polynomiale associe P + Q est la somme des fonctions polynomiales

associes P et Q : P + Q =

P +

Q ;

b) la fonction polynomiale associe P.Q est le produit des fonctions polynomiales asso-

cies P et Q : P.Q = P . Q.Ainsi lapplication P P est un homomorphisme danneaux de A[X] dans lanneau desfonctions polynomiales de A dans A (on vrifie en effet que la fonction polynomiale asso-cie au polynme constant 1 est bien llment neutre de la multiplication des fonctions).

c) la fonction polynomiale associe P(Q) est la compose des fonctions polynomiales

associes P et Q : P(Q) = P Q.Preuve : immdiate.

6.14 Notation : Dans un souci de simplification, pour tout polynme P de A[X], etpour tout a A, on notera dsormais P(a) au lieu de P(a) limage de a par la fonctionpolynomiale associe P.

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6.15 Thorme de division euclidienne

Soit K un corps commutatif et soient A et B deux polynmes de K[X] avec B non nul.Alors il existe un unique couple (Q, R) de polynmes de K[X] tel que :

A = BQ + R avec d (R) < d (B).

Preuve : cf. Cours de 1re anne.

7. Anneaux-quotients


Soit A un anneau commutatif et Iun idal de A. On peut dfinir une relation sur A dela manire suivante

x R y x y I.La relation

Rest une relation dquivalence que lon note habituellement x

y (mod

I)

(x est dit congru y modulo I). Elle est compatible avec laddition et la multiplicationdans A :

a a (mod I) et b b (mod I) = a+b a+b (mod I) et ab ab (mod I).

On peut alors dfinir une addition et une multiplication sur lensemble-quotient A/R quiest not A/I. Soient et A/I, il existe des lments a et b de A tels que = a et = b. On pose alors

+ = a + b = a + b et . = a.b = ab.

Lensemble A/I muni de cette addition et de cette multiplication est alors un anneaucommutatif appel anneau quotient de A par I.

Preuve :

La relation R est une relation dquivalence compatible avec laddition grce la propritsuivante des idaux : a, b I, ab I. De plus, R est compatible avec la multiplicationgrce lautre proprit des idaux : a A, x I, ax I. On montre ensuitesans difficult que A/Imuni de cette addition et de cette multiplication est un anneaucommutatif.

7.2 Exemples

a) La relation de congruence modulo n sur lanneau Z permet de munir lensemble-quotientZ/nZ dune structure danneau commutatif.

b) Considrons dans lanneau R[X] lidal des multiples du polynme X2+ 1 et la relationassocie :

P Q (mod (X2 + 1)) X2 + 1 divise P Q.Lensemble des polynmes de degr 1 est un systme de reprsentants pour cette relationdquivalence ; en effet, si on effectue la division euclidienne de P R[X] par X2 + 1, onobtient P = (X2 + 1)Q + aX + b, donc P aX + b (mod (X2 + 1)). De plus, si deux

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polynmes de degr 1, aX + b et cX + d sont congrus modulo X2 + 1, alors ils sontgaux ; en effet, X2 + 1 divise (aX+ b) (cX+ d) do (aX+ b) (cX+ d) = 0.Donc lanneau quotient R[X]/(X2 + 1) sidentifie lensemble des classes aX+ b oa, b R. Or, on peut crire

aX+ b = aX+ b = aX+ b

en identifiant un rel et sa classe modulo (X2 + 1).

Dautre part, on a videmment X2 + 1 = 0 dans lanneau quotient, do

X2 = X2

= 1 = 1.Alors, en posant X = i, on a i2 = 1 et les lments de lanneau-quotient scriventai + b : on reconnat C. On a ainsi une nouvelle construction du corps C, vu commeanneau-quotient de R[X] par lidal des multiples du polynme X2 + 1.

7.3 Thorme

Soient A et B deux anneaux et un homomorphisme danneaux de A dans B. Alors induit une application

: A/ ker Ima (a)

qui est un isomorphisme danneaux.

Preuve :

Tout dabord, montrons que lapplication est bien dfinie sur lanneauA

/I

: soient aet b deux lments de A tels que a = b, alors il existe c ker tel que a = b + c, donc(a) = (b + c) = (b) + (c) = (b) i.e (a) = (b). Ainsi (a) ne dpend pas du choixdu reprsentant de a.

Lapplication tant un homomorphisme danneaux de A dans B, on en dduit facilementque est un homomorphisme danneaux de A/ ker dans B.Montrons maintenant que est injective : soit a un lment de A tel que a ker ; alors(a) = (a) = 0 donc a ker i.e a = 0. Donc est injective.Enfin, il est clair que est une surjection de A/ ker sur Im.

7.4 Dfinitions

Soit A un anneau commutatif et Iun idal de A.a) On dit que Iest un idal premier sil vrifie la proprit suivante

a, b A, ab I= a Iou b I.b) On dit que Iest un idal maximal si I = A et si pour tout idal J de A, on a

I J A = J= Iou J= A.

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7.5 Proposition

Soit A un anneau commutatif et Iun idal de A. Alors on aa) Iest un idal premier de A A/Iest un anneau intgre.b)

Iest un idal maximal de

A A/

Iest un corps.

c) Tout idal maximal est un idal premier.

Preuve :

a) Soit Iun idal premier de A. Considrons a et b deux lments de A. Si ab = ab = 0dans lanneau A/I, alors ab I, donc, puisque Iest premier, a Iou b I, i.e a = 0ou b = 0. Donc lanneau A/Iest intgre.Rciproquement, soit Iun idal de A tel que lanneau A/Iest intgre ; considrons a etb deux lments de A tels ab I, alors ab = ab = 0, donc a = 0 ou b = 0, i.e a Ioub

I. Donc

Iest premier.

b) SoitIun idal maximal de A. Considrons a un lment de A tel que a = 0 et montronsque a est inversible dans A/I : comme a = 0, a I donc lidal (a) + I est un idalvrifiant

I (a) +I A et (a) +I = Idonc, commeIest un idal maximal de A, on a (a)+I= A. On en dduit que 1 (a)+I:il existe donc b A et c Itels que 1 = ab + c do 1 = ab + 0 = ab et ainsi a possdeun inverse dans A/I: A/Iest donc un corps.Rciproquement, soit Iun idal de A tel que lanneau A/Iest un corps. Considrons unidal

Jde

Atel que

I J A; si

J =

I, alors il existe a

Jtel que a

I, donc

a = 0 et ainsi a est inversible dans le corps A/I: il existe donc b A tel que 1 = ab doncil existe c Itel que 1 = ab + c. Par consquent, 1 J puisque a J et c I J :on en dduit aussitt que J= A daprs 5.4, et ainsi J est un idal maximal de A.

7.6 Caractristique dun anneau

Soit A un anneau commutatif. Alors lapplication : Z

An n1Aest un homomorphisme danneaux de Z dans A. Son noyau ker est alors un idal de Zdonc il existe un unique q N tel que ker = qZ ; cet entier q est appel la caractristiquede lanneau A. Si A est intgre, alors sa caractristique est nulle ou est un nombre premier.

Ainsi, si q = 0, q est le plus petit entier 1 tel que q1A = 0A (do a A, qa = 0A).Si q = 0 et si A est intgre, alors, n Z, a A, on a

na = 0A =

n = 0 ou a = 0A.

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Preuve :

Il est clair que est un homomorphisme danneaux de Z dans A. Si A est intgre et sisa caractristique q est non nulle, montrons que q est un nombre premier : daprs 7.3, induit un isomorphisme danneaux de Z/qZ sur Im ; or Im est un sous-anneau de

Adonc est intgre, par consquent lanneau Z/qZ est lui aussi intgre et ainsi q est un

nombre premier.

Exemples

Les anneaux Z, Q, R, C sont de caractristique nulle.

Pour tout n 1, lanneau Z/nZ est de caractristique n.

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.

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II ANNEAUX EUCLIDIENS, PRINCIPAUX, FACTORIELS

Dans tout le chapitre, les anneaux considrs sont commutatifs.

1. Anneaux euclidiensOn sait quil existe une division dite euclidienne sur lanneau Z et sur lanneau R[X]. Onva donner ci-dessous un autre exemple danneau muni dune division euclidienne, puis ondgagera une dfinition gnrale de division euclidienne recouvrant ces trois exemples.

1.1 Proposition

On considre lanneau Z[i

2]. Pour tout z Z[i2], on pose N(z) = zz = |z|2. Soienta, b Z[i2], avec b = 0. Alors il existe deux lments q et r de Z[i2] vrifiant

a = bq + r avec N(r) < N(b).

Le couple (q, r) nest pas ncessairement unique.

Preuve :

Posons a = a1 + a2i

2 et b = b1 + b2i

2 o a1, a2 sont des entiers et b1, b2 sont des entiersnon tous deux nuls. Alors :

a

b=

a1 + a2i

2

b1 + b2i

2=

a1b1 + 2a2b2 + (a2b1 a1b2)i

2

b21 + 2b22

= u + vi

2

o u, v

Q. Il existe x

Z tel que

|u

x

|

1

2

: il suffit de prendre x = E(u) si

E(u) u E(u) + 12

et x = E(u) + 1 si E(u) +12

u E(u) + 1. De mme il existey Z tel que |v y| 1

2. Posons alors q = x + yi

2 et r = a bq ; q, r Z[i2] et

r = a bq = b( ab

q) = b(u + vi

2 x yi

2) = b

(u x) + (v y)i

2

.

Donc

N(r) = |r|2 = |b|2|(u x) + (v y)i

2|2 = N(b)

(u x)2 + 2(v y)2

donc N(r) N(b)14

+ 2 14 = 3

4N(b) < N(b).

Le couple (q, r) nest pas ncessairement unique puisque, dans le cas o u = E(u) +1

2par

exemple, on a deux choix possibles pour x : x = E(u) ou x = E(u) + 1.

Exemple Il existe quatre divisions possibles de 19 + 76i

2 par 50 + 2i

2 ; en effet

19 + 76i

2

50 + 2i

2=

1

2+

3

2i

2

donc on peut prendre q = 0 + i2 ou q = 0 + 2i2 ou q = 1 + i2 ou q = 1 + 2i2 etles restes correspondants.

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1.2 Dfinition

On dit quun anneau A est euclidien sia) A est intgre ;b) il existe une application g de

Adans N, appele stathme ou valuation, telle que

a A, b A {0A}, q, r A tels que a = bq + r et g(r) < g(b).

1.3 Exemples

a) Z est un anneau euclidien pour le stathme g(n) = |n| ;b) R[X] est un anneau euclidien pour le stathme g(P) = d (P) ;

c) Z[i

2] est un anneau euclidien pour le stathme g(z) = |z|2 ;d) Z[i] est un anneau euclidien pour le stathme g(z) = |z|2 (cf. exercice).

2. Anneaux principaux2.1 Dfinition

Soit A un anneau; un idal Ide A est dit principal sil existe a A (en fait a I) telque I= (a).Si Iest un idal principal engendr par a = 0A, alors llment a nest pas unique, plusprcisment, on a la proposition suivante :


Soit A un anneau intgre, alors on a a, b A {0A}

(a) = (b) a|b et b|a u A/ a = bu.

On dit alors que a et b sont associs. La relation a est associ b est une relationdquivalence sur A {0A}.

Preuve :

Si (a) = (b), alors u, v A tels que a = bu et b = va, do a = uva ; donc a(1A uv) =0A. Or a = 0A et A est intgre, donc uv = 1A et u est inversible. Rciproquement, sia = bu o u est inversible, alors (a) (b), et comme b = au1, on a aussi (b) (a).

Dautre part, il est clair quon dfinit ainsi une relation dquivalence sur A {0A}.

Exemples

a) Dans Z, a et b associs a = b ;b) dans R[X], P et Q associs c R, P = cQ ;c) dans Z[i], a et b associs

a = b ou a =

b ou a = ib ou a =

ib.

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2.3 Dfinition

On dit quun anneau A est principal sia) A est intgre ;b) tous les idaux de

Asont principaux.

2.4 Exemple

Z est un anneau principal ; de plus la preuve de ce thorme repose sur lexistence dunedivision euclidienne sur Z. Cette dmonstration se gnralise pour donner le thormesuivant :

2.5 Thorme Tout anneau euclidien est principal ; la rciproque est fausse.

Preuve :

Soit

Aun anneau euclidien pour le stathme g, et soit

Iun idal de

A.

Si I= {0A}, alors I= (0A) donc est principal. Si I = {0A}, considrons le sous-ensembleE de N dfini par E = {g(x)/ x I {0A}} ; E est non vide et minor donc possde unplus petit lment n. Comme n E, il existe a I {0A} tel que n = g(a). Montronsque I= (a) ; considrons x Iet effectuons la division euclidienne de x par a : il existe qet r dans A tels que x = qa +r et g(r) < g(a). Supposons r = 0A alors, comme r = xqa,r I {0A}, do g(r) E et ainsi g(r) n = g(a), ce qui est absurde. Donc r = 0A etx = qa (a) do I (a). Rciproquement, comme a Iet Iest un idal, on a (a) I.

2.6 Exemples

a) R[X] est euclidien donc principal ;

b) lanneau Z

1 + i

19

2

est principal non euclidien ;

c) lanneau Z[X] nest pas principal.

Preuve :

b) admis.

c) Montrons que Z[X] nest pas principal. Considrons lidal

I= (2) + (X) = {2P + XQ/ P, Q Z[X]}.Montrons queInest pas un idal principal. Tout dabord,I= {A Z[X]/ A(0) est pair }en effet, soit A Ialors P, Q Z[X] tels que A = 2P + XQ, donc A(0) = 2P(0) estpair.Rciproquement, si A(0) est pair, alors A scrit A = anX

n + an1Xn1 + a1X + 2a0

o an,...,a1, a0 Z, do A = 2a0 + X(anXn1 + an1Xn2 + a1) et ainsi A I.Supposons Iprincipal ; alors, il existe P0 Itel que I= (P0). Or 2 et X appartiennent I, donc P0 divise 2 et X. Comme P0 divise 2, P0 est constant et vaut 1 ou 2 ; or 2 et2 ne divisent pas X dans Z[X], donc, ncessairement, P0 = 1, mais alors P0(0) nestpas pair, ce qui est absurde. Donc Inest pas un idal principal.

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2.7 Dfinition

Soient A un anneau principal et a et b deux lments non nuls de A ; on appelle pgcd de aet b tout lment de A qui engendre lidal (principal)I= (a)+(b) = {ax+by/ x, y A}.Ainsi, on na pas lunicit : si d est un pgcd de a et b, alors tout lment associ un pgcdde a et b est aussi un pgcd de a et b.

Exemple

Dans lanneau Z[i], les lments inversibles sont 1, 1, i i. Tout couple dlments nonnuls de Z[i] possde donc quatre pgcd.

Cependant, dans lanneau principal R[X], on peut dfinir le pgcd de deux polynmes demanire unique : pour tous polynmes non nuls P et Q on appelle pgcd de P et Q luniquepolynme unitaire qui engendre lidal I= (P) + (Q). On a ainsi le thorme suivant :2.8 Thorme

Soient P, Q et R des polynmes non nuls de R[X]. Alors, on a

a) si D = pgcd(P, Q), alors A, B R[X] tels que D = AP + BQ ;b) tout diviseur commun P et Q divise leur pgcd ;

c) on a le thorme de Bezout : pgcd(P, Q) = 1 U, V R[X], U P + V Q = 1. Ondit alors que P et Q sont premiers entre eux ;

d) on a le lemme de Gauss :

si P|QR et si pgcd(P, Q) = 1, alors P|R ; si pgcd(P, Q) = 1, alors P|R et Q|R = P Q|R ;

e) R[X] tant un anneau euclidien, on peut effectuer lalgorithme dEuclide pour calculerle pgcd de deux polynmes, tout comme dans Z : le pgcd est le dernier reste non nul,divis par son coefficient dominant (pour avoir un polynme unitaire).

Preuve : analogue celle faite dans Z.

3. Anneaux factoriels

3.1 Dfinition

Soient A un anneau intgre et x un lment non nul de A ; on dit que x est irrductibledans

Asi

a) x est non inversible dans A ;b) si a et b sont des lments de A tels que x = ab, alors a ou b est inversible dansA. Autrement dit, les seuls diviseurs de x, autres que les lments inversibles, sont seslments associs.

3.2 Exemples

a) Les lments irrductibles de Z sont les nombres premiers;

b) les lments irrductibles de R[X] sont les polynmes du premier degr et les polynmesdu second degr discriminant < 0 ;

c) dans lanneau Z[i], llment 3 est irrductible ; en effet, considrons lapplication N deZ[i] dans N dfinie par N(z) = |z|2. Sil existe z et z dans Z[i] tels que 3 = zz , alors,N(3) = 9 = N(z)N(z), donc N(z) = 1, 3 ou 9 ; si N(z) = 1, alors zz = 1 donc z est

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inversible dans Z[i] dinverse z, si N(z) = 9 alors N(z) = 1 et cest z qui est inversible. SiN(z) = 3, alors N(z) = 3 aussi ; notons z = u + iv o u, v Z, alors 3 = N(z) = u2 + v2,donc u2 = 0 et v2 = 3, ou u2 = 3 et v2 = 0 ou u2 = 1 et v2 = 2 ou u2 = 2 et v2 = 1. Mais

2 et

3 ne sont pas des entiers, donc le cas N(z) = N(z) = 3 est impossible. Donc 3est irrductible dans Z[i] ;

d) 5 est irrductible dans lanneau Z, mais ne lest pas dans lanneau Z[i] : en effet, on a5 = (2 + i)(2 i). Le caractre irrductible dun lment dpend donc de lanneau danslequel on le considre.

3.3 Proposition

Soit A un anneau intgre et x un lment non nul et non inversible de A tel que (x) soitun idal premier de A ; alors x est irrductible dans A.

Preuve :

Soit x un lment non nul et non inversible de A tel que (x) soit un idal premier de A ;soient a et b dans A tels que x = ab, alors ab (x) donc a ou b (x) puisque (x) estun idal premier i.e x|a ou x|b. Supposons que x|a, alors y A tel que a = xy, dox = xyb, i.e. x(1A yb) = 0A. Or A est intgre et x = 0A, donc 1A = yb ; b est doncinversible dans A, et ainsi x est irrductible.

Remarque

La rciproque de la proposition 3.3 est vraie dans Z (lemme dEuclide), mais ce nest pasle cas en gnral : ainsi 1+i5 est irrductible dans lanneau Z[i5] mais lidal (1+i5)nest pas premier (cf. exercice). Cest toutefois le cas dans un anneau principal :

3.4 Proposition

Le lemme dEuclide est vrifi dans tout anneau principal A : si x est un lment irrduc-tible de A alors (x) est un idal premier de A, i.e il vrifie la condition

(P) a, b A, x|ab = x|a ou x|b.

Preuve :

Soit x irrductible dans A tel que x|ab, alors y A tel que ab = xy. Considronslidal (a) + (x) : comme A est principal, il existe d A tel que (a) + (x) = (d) (d estun pgcd de a et x). Alors, en particulier, d|x donc x A tel que x = dx. Or x estirrductible, donc x ou d est inversible.Si x est inversible, alors x et d sont associs et (x) = (d) = (a) + (x), donc a (x) i.e.x|a.Si d est inversible, alors (d) = A, et ainsi, 1A (d) = (a) + (x), donc u, v A tel que1A = au + xv (ce rsultat nest rien dautre que le thorme de Bezout dans un anneauprincipal), donc b = abu + xbv = xyu + xbv = x(yu + bv), do x|b.

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3.5 Dfinition

On dit quun anneau A est factoriel sia) A est intgre ;b) tout lment a non nul et non inversible de

Ascrit sous la forme a = up1p2

pr o

u A et p1, p2,...,pr sont des lments irrductibles de A ;c) la dcomposition en produit dlments irrductibles est essentiellement unique i.e.pour tout lment a non inversible et non nul dans A, si on a

a = up1p2 pr = vq1q2 qso u, v A et p1, p2,...,pr, q1, q2,...,qs irrductibles dans A, alors r = s et il existe unepermutation Sr telle que pour tout i [1, r], pi et q(i) sont associs.

3.6 PropositionSoit A un anneau factoriel et soit P = {pi / i I} un systme de reprsentants deslments irrductibles pour la relation dquivalence a est associ b sur A {0A}.Alors tout lment a non nul de A scrit de manire essentiellement unique sous la forme

a = uiI

pii

o u A et o pour tout i I, i N et les i sont presque tous nuls i.e i = 0 saufpour un nombre fini de i I.

3.7 Dfinition

Soit A un anneau factoriel et soit P = {pi / i I} un systme de reprsentants deslments irrductibles pour la relation dquivalence a est associ b sur A {0A}.Soient a = u

iI

pii et b = viI

pii deux lments de A {0A} o u, v A et o pourtout i I, i N et i N sont presque tous nuls ; on dfinit le pgcd et le ppcm de a etb de la manire suivante

pgcd(a, b) = iIpInf(i,i)i et ppcm(a, b) = iIpSup(i,i)i .Ainsi le pgcd et le ppcm de a et b sont dfinis un lment inversible prs. Si pgcd(a, b)est un lment inversible, on dit que a et b sont premiers entre eux.

Exemples

Z est un anneau factoriel, plus gnralement, on a le rsultat suivant :

3.8 Thorme Tout anneau principal est factoriel.

Preuve :

Lemme : Il nexiste pas de suite strictement croissante didaux dans un anneau principal.

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Considrons en effet une suite croissante didaux (Ik)kN dun anneau principal A. SoitIla runion des idaux Ik quand k dcrit N ; alors Iest un idal de A, car la suite (Ik)kNest croissante, donc b I tel que I = (b). Or I est la runion des idaux Ik, donc n N tel que b In, do pour tout m N, les inclusions (b) In In+m I= (b)et ainsi la suite (

Ik)kN est stationnaire partir du rang n. Il nexiste donc pas de suite

strictement croissante didaux dans un anneau principal.Existence : soit a un lment non nul et non inversible de A. Supposons que a nadmettepas de dcomposition en produit dlments irrductibles. Alors, en particulier, a nestpas irrductible, donc il existe a1 et b1 non inversibles dans A tels que a = a1b1. Comme anest pas produit dlments irrductibles, alors a1 ou b1 nest pas irrductible, par exemplea1, donc il existe a2 et b2 non inversibles dans A tels que a1 = a2b2, do a = a2b1b2 etainsi a2 ou b1 ou b2 est non irrductible, par exemple a2,etc. On construit ainsi une suitedlments a1, a2,....,an,... tels que, pour tout i, ai+1|ai et ai et ai+1 sont non associs,do la suite strictement croissante didaux de A suivante

(a) (a1) (a2) .... (an) (an+1) .....Or, daprs le lemme, il nexiste pas de suite strictement croissante didaux dans unanneau principal, do la contradiction. Donc a admet une dcomposition en produitdlments irrductibles.

Unicit essentielle : la dmonstration est analogue celle faite dans le cas de lanneau Z ;il suffit dappliquer le lemme dEuclide qui est vrai dans tout anneau principal, daprs3.4.

3.9 Corollaire

Tout polynme P non constant de R[X] scrit de manire essentiellement unique sousla forme P = cP1P2 Pr o c R et P1, P2, ...Pr sont des polynmes irrductibles deR[X], i.e. des polynmes de degr 1 ou des polynmes de degr 2 discriminant < 0.

Preuve : R[X] tant euclidien est principal, donc factoriel.

Remarque : Lexistence de la dcomposition en produit de polynmes irrductibles dansR[X] est assure par le thorme prcdent, ce qui ne signifie pas que lon sache explici-tement la calculer pour un polynme donn (contrairement au cas des entiers) : cest engnral un problme difficile, pour ne pas dire insoluble.

3.10 Proposition

Le lemme dEuclide est vrai dans tout anneau factoriel : si x est un lment irrductiblede A, alors lidal (x) est premier, i.e il vrifie la condition

(P) a, b A, x|ab = x|a ou x|b.

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Preuve :

Soit x irrductible dans A factoriel ; si x|ab, alors y A tel que ab = xy. Si a est inver-sible, alors b = a1xy et ainsi x|b, de mme si b est inversible, alors x|a. Si a et b ne sontpas inversibles, alors y ne lest pas non plus, sinon x = aby1 ce qui est impossible puisquex est irrductible ; ainsi a,b et y se dcomposent en produit dlments irrductibles :

a = up1p2 pr, b = vq1q2 qs et y = wm1m2 mt o u,v,w A et p1, p2,...,pr,q1, q2,...,qs, m1, m2,...,mt sont irrductibles dans A. Alors on a

uvp1p2 prq1q2 qs = wxm1m2 mt.Alors, par unicit essentielle de la dcomposition, ou bien x est associ lun des pi, etalors x|pi donc x|a, ou bien x est associ lun des qj et alors x|b.

4. Thormes de transfert aux anneaux de polynmes

Il est intressant de se poser la question suivante : si lanneau A est euclidien, principalou factoriel, en est-il de mme de lanneau de polynmes A[X] ?4.1 Proposition

a) Si lanneau A est euclidien, lanneau A[X] nest pas euclidien en gnral.b) Si lanneau A est principal, lanneau A[X] nest pas principal en gnral.En effet, Z est euclidien, donc principal alors que Z[X] nest pas principal donc nest paseuclidien.

On a en fait le thorme suivant :

4.2 Thorme Soit A un anneau commutatif ; alorsA[X] est euclidien A[X] est principal A est un corps.Preuve :

Si A[X] est euclidien, il est principal.Si A[X] est principal, montrons que A est un corps : soit a un lment non nul deA, considrons lidal (X) + (a) de A[X] ; comme A[X] est principal, il existe donc unpolynme P (non nul) tel que (X) + (a) = (P). En particulier a (P) i.e il existeQ A[X] tel que a = P Q ; lanneau A[X] tant principal, il est intgre donc A aussi, parconsquent 0 = deg a = deg P + deg Q do deg P = 0 et ainsi P est une constante c nonnulle. Dautre part on a aussi X (P) i.e il existe R A[X] tel que X = P R = cR, dodeg R = 1 et en identifiant les termes de degr 1, on tablit lexistence dun lment b deA tel que 1 = cb donc P = c est inversible dans A et ainsi lidal (P) est gal A[X].En particulier, 1 (P) = (a) + (X) i.e il existe T et S dans A[X] tels que 1 = aS+ XTdo 1 = aS(0) + 0.T(0) = aS(0) et ainsi a possde un inverse dans A : A est un corps.Enfin, si A est un corps, A[X] est euclidien daprs I 6.15.

4.3 Proposition

Soit K un corps ; alors tout idal premier de lanneau K[X] non nul et distinct de K[X]est maximal.

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Preuve :

Soit I un idal premier non nul de K[X], comme K est un corps, K[X]est un anneauprincipal donc il existe P K[X] non nul tel que I= (P) ; (P) tant un idal premierdistinct de K[X], daprs 3.3 P est irrductible dans K[X], montrons alors que lidal (P)est maximal : soit

Jun idal de K[X] tel que

(P) J K[X]

alors il existe Q K[X] tel que J= (Q) ; comme (P) (Q), Q divise P et ainsi il existeR K[X] tel que P = QR, or P est irrductible dans K[X] donc Q ou R est inversible :si Q est inversible, alors J= (Q) = K[X] et si R est inversible alors P et Q sont associsi.e (P) = (Q) = J : lidal (P) est donc maximal.

On va maintenant prouver que si A est factoriel, alors A[X] est factoriel :

4.4 Dfinition et Proposition

Soit A un anneau factoriel.a) Soit P = anX

n + + a1X + a0 un lment de A[X] ; on appelle contenu de P et onnote c(P) le pgcd (dfini la multiplication dun lment inversible prs) des coefficientsan, , a1, a0. Si c(P) = 1, on dit que P est un polynme primitif.b) Soient P et Q deux lments de A[X] ; alors c(P Q) = c(P)c(Q).

Preuve :

Considrons P = anXn + + a1X+ a0 et Q = bmXm + + b1X+ b0 deux lments de

A[X] alors P Q = cn+mXn+m + + c1X+ c0 o ck =

i+j=k

aibj pour tout 1 k n + m.

1er cas : on suppose P et Q primitifs ; si P Q nest pas primitif, alors il existe un lmentirrductible p de A tel que p divise c(P Q) = pgcd(cn+m, , c0). Dautre part, p ne divisepas tous les coefficients de P sinon il diviserait leur pgcd, i.e c(P), ce qui est impossiblepuisque c(P) = 1 ; il existe donc un entier i0 tel que p divise ai pour tout i < i0 et p nedivise pas ai0 . De mme il existe un entier j0 tel que p divise bj pour tout j < j0 et p ne

divise pas bj0 .Alors, on a

p | ci0+j0 =

i+j=i0+j0

aibj = ai0bj0 +

i+j=i0+j0i


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4.5 Thorme

Soit A un anneau factoriel et soit K son corps des fractions ; alors les polynmes irrduc-tibles de A[X] sont :1) Les lments de A irrductibles dans A ;2) Les polynmes P de A[X] de degr 1, primitifs et irrductibles dans K[X].Preuve :

Montrons dabord que les lments cits ci-dessus sont bien irrductibles dans A[X] :Soit a un lment irrductible de A : si a scrit sous la forme a = P Q o P et Q sont despolynmes de A[X], alors deg a = 0 = deg P + deg Q donc deg P = deg Q = 0, do P etQ sont des lments de A et par consquent P ou Q A puisque a est irrductible dansA, donc a fortiori P ou Q est inversible dans A[X] (cf. I 6.9) et ainsi a est irrductibledans A[X].Soit un polynme P de A[X] de degr 1, primitif et irrductible dans K[X] : si P scritsous la forme P = QR o Q et R sont des polynmes de A[X], alors, par exemple Qconsidr comme polynme de K[X] est inversible dans K[X], i.e est une constante nonnulle : Q = a A {0}. On en dduit que P = aR et donc a divise c(P) dans A ; or Pest primitif donc a est inversible dans A donc dans A[X] : P est donc irrductible dansA[X].Considrons maintenant un polynme P irrductible de A[X]. Si deg P = 0, alors P Adonc est irrductible dans A ; si deg P 1, alors, comme c(P) divise P, ncessairementc(P) = 1 puisque P est irrductible dans A[X], il reste donc montrer que P est irrduc-tible dans K[X] :

supposons quil existe des polynmes Q et R de K[X] tels que P = QR ; le polynme Qscrit sous la forme

Q =anbn

Xn + + a1b1

X+a0b0

o an, , a0 A et bn, , b0 A {0}. En multipliant Q par b = ppcm(bn, , b0),on obtient un polynme bQ A[X] et en notant a = c(bQ), on a bQ = aQ1 o Q1 est unpolynme primitif de A[X], do

Q =a

bQ1.

De mme on peut crire

R = de

R1

o d et e sont des lments de A {0} et o R1 est un polynme primitif de A[X]. Alorson a

P =a

b

d

eQ1R1

ou encorebeP = adQ1R1

Alors c(beP) = be c(P) = c(adQ1R1) = ad c(Q1)c(R1) do lexistence dun lmentu A tel que ad = ube puisque P, Q1 et R1 sont primitifs. Donc on a P = uQ1R1, or Pest irrductible dans A[X] donc, par exemple, Q1 est inversible dans A[X], i.e Q1 est unlment de A, donc Q est une constante non nulle de K donc un lment inversible deK[X] : P est donc irrductible dans K[X].

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4.6 Thorme Soit A un anneau commutatif.Si A est factoriel, alors A[X] est factoriel.Preuve :

Lanneau

Atant factoriel est intgre donc peut tre plong dans son corps des fractions

K.

Existence : soit P un polynme de A[X] non nul et non inversible ; si P A, on dcom-pose P en produit de facteurs irrductibles dans lanneau factoriel A, sinon deg P 1 etP est aussi un polynme de K[X], on distingue alors deux cas :

1er cas : P est primitif ; K tant un corps, lanneau K[X] est euclidien donc factoriel ; onpeut donc crire P sous la forme

P = P11 Prro P1, , Pr sont des polynmes irrductibles de K[X] distincts deux deux et 1, , rsont des entiers 1.Comme dans la preuve de 4.5, on peut crire chaque polynme Pi sous la forme Pi =

aibiPi

o Pi est un polynme primitif de A[X] et o ai et bi sont des lments non nuls de A,ainsi on a Pi = bi

aiPi donc Pi est irrductible dans K[X] donc dans A[X] daprs 4.4. On

a alors

(r

i=1

bii )P = (r

i=1

aii )P11 Prr .

En calculant les contenus des polynmes, on obtient alors

(r

i=1

bii )c(P) = (r

i=1

aii )c(P1)1 c( Pr)r .

Or les polynmes considrs sont tous primitifs, donc il existe u A tel quer

i=1

aii = ur

i=1

bii

On en dduitP = u

P11

Prr

et ainsi P est produit de polynmes irrductibles deA

[X].

2me cas : si P nest pas primitif, on crit P = c(P) P o P est primitif, on dcomposec(P) en produit dirrductibles dans A puis P en produit dirrductibles dans A[X] commeci-dessus et on obtient ainsi la dcomposition de P en produit dirrductibles dans A[X].Unicit essentielle : Comme dans Z, la dmonstration repose sur le lemme dEuclide ; il

suffit donc de montrer que le lemme dEuclide est valide dans lanneau A[X], ou encore,que si P est un polynme irrductible de A[X], alors lidal PA[X] est premier dansA[X]. Considrons donc un polynme P irrductible de A[X] : si P est constant alors P = p A ; on a alors lapplication

: A[X] A/(p)[X]nk=0

akXk

nk=0

akXk

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qui est clairement un homomorphisme danneaux surjectif.

Calculons ker : Soit Q =n

k=0

akXk ker , i.e

nk=0

akXk = 0 alors, pour tout k on a

ak = 0 cest--dire ak (p) donc Q pA[X] et rciproquement, donc ker = pA[X].Alors, daprs I.7.3, on a lisomorphisme danneaux

A[X]/pA[X] A/(p)[X].Or p est irrductible dans A[X] et constant donc est irrductible dans A, par consquentlidal (p) est premier dans lanneau factoriel A daprs 3.8, on en dduit que lanneauA/(p) est intgre donc que lanneau de polynmes A/(p)[X] est intgre puis, par isomor-phisme, que lanneau A[X]/pA[X] est lui aussi intgre. Donc lidal pA[X] est premierdans A[X]. si deg P 1, alors P est primitif daprs 4.5 ; on considre lapplication

:

A[X]/P

A[X]

K[X]/P K[X]

Q mod PA[X] Q mod P K[X]Cette application est bien dfinie puisque PA[X] P K[X] et est clairement un homo-morphisme danneaux. Montrons que est injective : pour cel il suffit de montrer queP K[X] A[X] PA[X]. Soit donc Q P K[X] A[X], alors il existe R K[X] tel queQ = P R. On crit alors R sous la forme R =

a

bR o a et b sont des lments non nuls de

A et o R est un polynme primitif de A[X], et Q = c Q o Q est un polynme primitifde A[X]. Alors on a bc

Q = aP

R, do, en calculant les contenus, on tablit lexistence

dun lment u A

tel que bc = au donc b divise a et ainsi R A

[X], do Q

PA

[X].

On peut donc considrer que A[X]/PA[X] est un sous-anneau de K[X]/P K[X] ; or P estirrductible dans A[X] et de degr 1 donc est irrductible dans K[X] daprs 4.5, de pluslanneau K[X] est euclidien donc lidal P K[X] est premier donc lanneau K[X]/P K[X]est intgre, et par consquent, le sous-anneau A[X]/PA[X] est lui aussi intgre, i.e lidalPA[X] est premier.

5 Polynmes irrductibles de Z[X]

5.1 ThormeSoit P = anX

n + + a1X+ a0 un polynme de degr 1 de Z[X] ; sil existe un nombrepremier p tel que an = 0 dans le corps Z/pZ et tel que P = anXn + + a1X + a0 estirrductible dans Z/pZ[X], alors P est irrductible dans Q[X].

Si de plus P est primitif, alors P est irrductible dans Z[X].

Preuve :

Soient Q = bqXq + + b0 et R = crXr + + c0 dans Z[X] avec bq = 0 et cr = 0 tels

que P = QR, alors P = Q R do an = bq cr ; or an = 0 donc bq = 0 et cr = 0 puisqueZ/pZ est intgre. On en dduit que deg(Q) = deg(Q) et deg(R) = deg(R).

Or P est irrductible dans Z/pZ[X] donc, par exemple, Q est inversible, i.e deg(Q) = 0,do deg(Q) = 0 et ainsi Q est inversible dans Q[X], donc P est irrductible dans Q[X].

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5.2 Critre dEisenstein

Soit P = anXn + + a1X+ a0 un polynme de degr 1 de Z[X] ; sil existe un nombre

premier p tel que p divise a0, a1, , an1, p ne divise pas an et p2 ne divise pas a0, alorsP est irrductible dans Q[X].

Si de plus P est primitif, alors P est irrductible dans Z[X].

Preuve :

Soient Q = bqXq + +b0 et R = crXr + +c0 dans Z[X] tels que P = QR et supposons

q 1 et r 1 ; alors on aP = anX

n = Q R

on en dduit que Q et R sont des monmes do Q = bqXq et R = crX

r. Par consquentbq1 = = b0 = 0 et cr1 = = c0 = 0, ainsi p divise b0,...bq1 et c0,...cr1, do p2divise b0c0 = a0 ce qui est impossible. Donc q = 0 ou r = 0 et ainsi P est irrductibledans Q[X].

Exemple

Si a = p1p2 pn o p1, p2, , pn sont des nombres premiers deux deux distincts, alorspour tout entier m 1, le polynme P = Xm a est irrductible dans Z[X].

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.

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III GROUPES

1 Groupes

1.1 DfinitionSoit G un ensemble non vide muni dune loi de composition interne note multiplicative-ment :

G G G(x, y) x.y not aussi xy

On dit que (G, .) est un groupe (multiplicatif) si les conditions suivantes sont vrifies :a) la loi est associative : x,y,z G, (xy)z = x(yz) ;b) il existe un lment neutre e G : x G, xe = ex = x ;c) tout lment possde un symtrique :

x

G,

y

Gtel que xy = yx = e.

Si de plus la loi est commutative, on dit que G est un groupe commutatif ou ablien.1.2 Exemples

a) Z, Q, R, C munis de laddition sont des groupes commutatifs. Plus gnralement, toutanneau est un groupe commutatif pour laddition.

b) Q, R, C munis de la multiplication sont des groupes commutatifs. Plus gnralement,pour tout corps K, K = K{0K} est un groupe pour la multiplication. En fait, avec levocabulaire des groupes, on a la dfinition des corps suivante :

(K, +, .) est un corps si et seulement si (K, +) est un groupe commutatif, (K

{0K

}, .)

est un groupe et la multiplication est distributive par rapport laddition.c) Si A est un anneau, lensemble A des lments inversibles est un groupe pour lamultiplication. Par exemple, (Z[i]) = {1, 1, i, i} est un groupe pour la multiplication.

d) Soit n N. On appelle permutation n lments toute bijection de lensemble{1, 2,...,n} sur lui-mme et on note Sn lensemble des permutations n lments. AlorsSn muni de la loi de composition des applications est un groupe n! lments, appelgroupe symtrique. Pour n 3, Sn nest pas commutatif.Preuve :

c) Soit A un anneau ; montrons que (A, .) est un groupe.Tout dabord la multiplication est bien une loi interne A : si a et b A, alors ab A,en effet son inverse est b1a1. De plus la multiplication tant associative dans A, lestaussi dans A ; 1A A est lment neutre, et videmment, tout lment x de A possdeun symtrique dans A, savoir x1.d) Tout dabord, Card(Sn) = n! ; en effet, soit Sn : pour (1) on a n choix possiblesparmi {1, 2,...,n}, une fois (1) fix, comme est injective, on a n 1 choix possiblespour (2) parmi {1, 2,...,n}{(1)}. Par une rcurrence finie, pour (k), on a n(k 1)choix possibles pour (k) parmi {1, 2,...,n} {(1), (2),...,(k 1)}. Donc le nombretotal de permutations est n(n 1) (n k + 1) 2.1 = n!Montrons que (Sn, ) est un groupe ; la loi de composition des applications est interne Sn (la compose de deux bijections est une bijection). De plus, la loi de composition

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des applications est toujours associative. Il y a un lment neutre, savoir lapplicationidentit Id de {1, 2,...,n} dans {1, 2,...,n}. Enfin, par dfinition mme, toute bijectionpossde une bijection rciproque qui est donc son symtrique.

1.3 Proprits

Soit G un groupe multiplicatif. Alorsa) Llment neutre e est unique;

b) tout lment possde un unique symtrique ;

c) G est rgulier gauche et droite : x , y, z G, zx = zy = x = y et xz = yz =x = y.

Preuve : immdiat.

1.4 Notations

Le plus souvent on emploie la notation multiplicative pour les groupes. Si (G, .) est ungroupe, on note gnralement e ou eG son lment neutre, et pour tout x G , on notex1 son symtrique et on lappelle linverse de x.

Pour tout n N et tout x G, on note xn =n fois x x et x0 = e par convention.

Pour n Z, on note xn = (x1)n.On remarquera que, si

Gnest pas commutatif, pour tous x, y

Get tout n

N

(xy)n = (xy)(xy) (xy) = xnyn

en gnral.

Il arrive quon utilise la notation additive, principalement quand le groupe G est commu-tatif ; on parle alors de groupe additif. Dans ce cas, on note gnralement 0G son lmentneutre, le symtrique dun lment x est not x et est appel oppos de x.

Pour tout n N et tout x G, on note nx =n fois

x + + x et 0x = 0G par convention.

Pour n Z, on note nx = ((n)x).1.5 Table dun groupe

Quand le groupe est fini, et de cardinal "raisonnable", on peut crire la table du groupe.

Exemple : Table de S3.

S3 a 6 lments :

e =

1 2 31 2 3

, 1 =

1 2 32 1 3

, 2 =

1 2 31 3 2

, 3 =

1 2 33 2 1

,

4 = 1 2 33 1 2 , 5 = 1 2 32 3 1 .On a la table suivante :

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2.4 Proposition

Soient G, G et G trois groupes et : G G et : G G deux homomorphismesde groupes. Alors la compose : G G est un homomorphisme de groupes.Si est un homomorphisme de groupes bijectif de G dans G, alors 1 est un homomor-phisme de groupes de G

dans G.Preuve :

Si x, y G, alors, ( )(xy) = ((xy)) = ((x)(y)) = ((x))((y)). Donc est un homomorphisme de groupes.

Si est bijectif, alors, pour tous x, y G, (1(xy)) = xy. Or on a galement(1(x)1(y)) = (1(x))(1(y)) = xy

puisque est un homomorphisme de groupes. Donc, (1(xy)) = (1(x)1(y)), do1(xy) = 1(x)1(y) par injectivit de .


On dit que deux groupes G et G sont isomorphes sil existe un isomorphisme de groupesde G sur G ; on note G G . La relation disomorphisme est une relation dquivalencesur lensemble des groupes.

Preuve :

La relation est rflexive : lapplication identique de G sur G est un isomorphisme degroupes.

La relation est symtrique : si G G

, il existe un isomorphisme de groupes de G surG ; alors 1 est un isomorphisme de groupes de G sur G daprs 2.4, donc G G.La relation est transitive : si G G et si G G , il existe un isomorphisme de groupes de G sur G et un isomorphisme de groupes de G sur G ; alors la compose estun isomorphisme de groupes de G sur G, daprs 2.4.


Soient G et G

deux groupes multiplicatifs ; on peut dfinir une loi de composition internesur le produit G G de la faon suivante :(x, y), (x, y) G G, (x, y).(x, y) = (xx, yy ).

Alors G G muni de cette loi de composition est un groupe : llment neutre de G G est (eG, eG) ; linverse dun lment (x, y) est (x1, y1) ; si G et G sont commutatifs, G G est commutatif ;

on a des isomorphismes

G {eG

} Get

{eG

} G

G.

Preuve : sans difficults ; lisomorphisme entre G {eG} et G nest autre que lapplication dfinie par (x, eG) = x.

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2.7 Dfinition

Soient G et G deux groupes et : G G un homomorphisme de groupes. On appellenoyau de et on note ker le sous-ensemble de G dfini par

ker =

{x

G/ (x) = eG

}.

On appelle image de et on note Im le sous-ensemble de G dfini parIm = (G) = {(x)/ x G} = {y G/ x G, y = (x)}.

On remarque que eG ker et eG Im daprs 2.2.

Exemples

a) Pour lhomomorphisme det : GLn(R)

R, ker(det) =

{A

GLn(R)/ det(A) = 1

};

ce noyau est un groupe, appel groupe spcial linaire et not SLn(R).

b) Pour lhomomorphisme ln : R+ R, ker(ln) = {a R+/ ln(a) = 0} = {1}.

2.8 Proposition

Soient G et G deux groupes et : G G un homomorphisme de groupes. Alors, on aa) est injective ker = {eG} ;b) est surjective Im = G.Preuve :

a) Supposons injective et soit x ker alors (x) = eG , or (eG) = eG daprs 2.2,donc x = eG par injectivit, do ker = {eG}.Rciproquement, supposons que ker = {eG} et soient x, y G tels que (x) = (y) ; alors(x)((y))1 = eG or daprs 2.2, ((y))

1 = (y1), donc eG = (x)(y1) = (xy1).

Donc xy1 ker , do xy1 = eG et ainsi x = y. Donc est injective.b) Evident par dfinition mme dune application surjective.

3. Sous-groupes

3.1 Dfinition

Une partie non vide H dun groupe G est appele sous-groupe de G si et seulement si Hmuni de la loi de composition de G est un groupe.

3.2 Proposition

Soit H un sous-groupe dun groupe G. Alors la loi de composition de G est interne H,llment neutre eH du groupe H nest autre que llment neutre eG de G.De plus, pour tout x H, linverse de x considr comme lment du groupe H est lemme que linverse de x considr comme lment du groupe G.

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Preuve :

On a eHeH = eH dans le groupe H, mais aussi eHeG = eH dans le groupe G, doeHeH = eHeG ; on en dduit eG = eH par rgularit du groupe G.Pour tout x H, considrons son inverse x1 dans le groupe G et x son inverse dans legroupe H ; alors xx

= eH = eG = xx1

do x

= x1

, toujours par rgularit du groupeG.

3.3 Proposition

Soit H une partie dun groupe multiplicatif G. Alors H est un sous-groupe de G si etseulement si les conditions suivantes sont vrifies :

a)H = ;

b) x, y H, xy H ;c) x H, x1 H.Les deux conditions b) et c) sont quivalentes la condition b) suivante :

b) x, y H, xy1 H.

Preuve :

Soit H un sous-groupe de G alors, par dfinition, H = . De plus, la loi est interne H,donc la condition b) est vrifie. Enfin, linverse dans le groupe H dun lment x de Hest videmment dans

H; or, daprs 3.2, il concide avec linverse x1 de x dans le groupe

G, donc x1 H.Rciproquement, soit H une partie de G vrifiant les conditions a), b) et c). Alors la loiest interne H grce b) et la loi est encore associative dans H. De plus, H tant nonvide, il contient au moins un lment x, donc il contient galement x1 par c) et, parconsquent, il contient xx1 = eG par b). Enfin, tout lment x de H possde un inversedans H daprs c). Donc H est bien un sous-groupe de G.

3.4 Remarque : en notation additive, les conditions b), c) et b) scrivent sous la forme

b) x, y H, x + y H ;c) x H, x H ;b) x, y H, x y H.

Exemples

a) Pour tout groupe G, {eG} et G sont des sous-groupes de G.b) (Z, +) est un sous-groupe de (R, +).

c) Si n N, Un = {z C/ zn = 1} est un sous-groupe de (C, .).d) {e, 1} est un sous-groupe de S3 (cf. 1.5).

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e) Tout idal dun anneau A est un sous-groupe de (A, +).f) Pour tout groupe G, on appelle centre de G et on note Z(G) le sous-ensemble suivant :

Z(G) = {x G / y G, xy = yx}alors Z(

G) est un sous-groupe de

G.

g) Si G et G sont des groupes, G {eG} et {eG} G sont des sous-groupes de G G.3.5 Proposition

a) Lintersection de deux sous-groupes dun groupe G est un sous-groupe de G. Plusgnralement, si (Gi)iI est une famille de sous-groupes de G, alors

iI

Gi est un sous-groupe de G.b) Soient G et G deux groupes et : G G un homomorphisme de groupes. Alorsker est un sous-groupe de G et Im est un sous-groupe de G. Si H est un sous-groupede G, alors (H) est un sous-groupe de G

.

Preuve

a) Soit H =iI

Gi. Alors H est non vide puisque pour tout i I, Gi contient eG . Soient

x, y H alors, pour tout i I, x et y Gi, donc xy1 Gi puisque Gi est un sous-groupede G, do xy1 H. Ainsi H est un sous-groupe de G.b) ker est non vide puisquil contient au moins eG. Soient x, y ker , alors

(xy1) = (x)(y1) = (x)((y))1 = eGe1G = eG

donc xy1

ker et ainsi ker est un sous-groupe de G.Soit H un sous-groupe de G, alors H contient eG, donc (H) contient (eG) = eG. Soienty, y (H), il existe x, x H tels que y = (x) et y = (x), alors

yy 1 = (x)((x))1 = (x)(x1) = (xx1).

Or xx1 H puisque H est un sous-groupe, donc yy 1 (H) et ainsi (H) est unsous-groupe de G. Dans le cas particulier o H = G, on a (H) = Im qui est donc unsous-groupe de G.

Remarque : la runion de deux sous-groupes nest pas un sous-groupe en gnral. Parexemple, 2Z et 3Z sont des sous-groupes de (Z, +), mais 2Z3Z nest pas un sous-groupede (Z, +), en effet 2 2Z et 3 3Z, mais 3 2 = 1 2Z 3Z.3.6 Dfinition et proposition

Soit G un groupe et A une partie non vide de G. Alors lintersection de tous les sous-groupes de G contenant A est un sous-groupe de G, appel sous-groupe engendr par Aet not A ; A est aussi le plus petit sous-groupe de G contenant A, i.e. H = A si etseulement si les deux conditions suivantes sont vrifies :

H est un sous-groupe de G contenant A ; pour tout sous-groupe K de G contenant A, H K.

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Preuve :

Soit (Gi)iI la famille des sous-groupes de G contenant A (elle est non vide puisquellecontient G).Si H = A, alors par dfinition H = iIGi. Donc H est lui-mme un sous-groupe de Gcontenant A, et si K est un sous-groupe de G contenant A, alors K est lun des Gi, donccontient H.Rciproquement, si H vrifie les deux conditions, alors, il existe i0 I tel que H = Gi0 eti I, on a H Gi. On en dduit

H iI

Gi Gi0 = H.

do

H= iIGi = A.

Exemples

a) Le sous-groupe de Z engendr par {n} est nZ.b) Le sous-groupe de Z engendr par {n, m} est nZ+ mZ = dZ o d = pgcd(n, m).


Soit G un groupe multiplicatif et x un lment de G. Le sous-groupe de G engendr par lapartie {x} est appel sous-groupe engendr par x est not x (plutt que {x}). On ax = {xn/ n Z} en notation multiplicative et x = {nx/ n Z} en notation additive.

On dit quun groupe G est cyclique ou monogne sil existe x G tel que G = x.

Preuve :

Notons H = {xn/ n Z} ; H contient x et est un sous-groupe de G. En effet, pour tousn, m Z, xn(xm)1 = xnm H.

Soit K un sous-groupe de G contenant x, alors, comme K est stable pour la loi de groupede G, n N, xn K ; x1 K galement, donc (x1)n = xn K, et x0 = e K. DoncH K. Ainsi H est bien le sous-groupe engendr par x daprs 3.6.

Exemples

a) le groupe additifZ est cyclique : Z = 1 = 1.b) pour tout entier n 1, le groupe nZ est cyclique : nZ = n = n.

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3.8 Dfinition

Soit G un groupe ; on appelle ordre de G et on note |G| le cardinal du groupe G.Soit x G ; on appelle ordre de x et on note ord(x) lordre du groupe x.

Remarque : Si G est un groupe dordre fini, alors tout lment de G est videmmentdordre fini, mais la rciproque est fausse : lensemble G = {z C/ n N, zn = 1} estun groupe dordre infini dont tous les lment sont dordre fini.

Exemples

a) Dans tout groupe G, llment neutre est dordre 1 (et cest le seul lment dordre 1de G).b) Dans le groupe S3, 1, 2, 3 sont dordre 2, 4 et 5 sont dordre 3.

4. Relations dquivalence dans les groupes4.1 Dfinition et proposition

Soit G un groupe multiplicatif et soit H un sous-groupe de G. On dfinit une relation Rgsur G de la faon suivante :

x Rg y x1y H.Rg est une relation dquivalence sur G ; les classes dquivalence de Rg sont les ensemblesxH o x G, on les appelle classes gauche modulo H. Lensemble-quotient est not(G/H)g. On a bien sr les quivalences :

x Rg y y xH x yH xH = yH.

De mme, on dfinit une relation Rd sur G de la faon suivante :

x Rd y yx1 H.

Rd est une relation dquivalence sur G ; les classes dquivalence de Rd sont les ensemblesHx o x G, on les appelle classes droite modulo H. Lensemble-quotient est not(

G/

H)d.

Preuve :

Rg est rflexive : en effet x G, x1x = e H donc x Rg x.Rg est symtrique : si x Rg y, alors x1y H donc (x1y)1 H, or (x1y)1 = y1x,ainsi y1x H, i.e. y Rg x.Rg est transitive : si x Rg y et si y Rg z, alors x1y H et y1z H donc le produitx1yy1z = x1z H, do x Rg z.Donc

Rg est une relation dquivalence sur

G. De mme

Rd est une relation dquivalence

sur G.

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Remarques :

Si le groupe G est commutatif, les relations Rg et Rd concident, on note alors simplementR. En notation additive, on a donc

xR

y

x

y H

.

Dans le cas o G = Z, comme tout sous-groupe est de la forme nZ, on retrouve la dfinitiondes relations de congruence modulo n.

4.2 Thorme de Lagrange et dfinition

Soit G un groupe fini et soit H un sous-groupe de G. Alors les ensembles-quotients (G/H)get (G/H)d sont finis et ont mme cardinal, appel indice de H dans G et not [G : H]. Deplus, on a

[

G:

H] =

|G|

|H|.

On en dduit que lordre dun sous-groupe divise lordre du groupe.

Preuve :

Il est clair que (G/H)g et (G/H)d sont finis puisque G est fini. Considrons lapplication :

f : (G/H)g (G/H)dxH Hx1

Montrons que f est injective ; soient x et y dans

Gtels que f(x

H) = f(y

H), alors

Hx1 = Hy1. Or x1 Hx1, donc x1 Hy1, i.e. il existe h H tel que x1 = hy1,donc x = (hy1)1 = yh1 yH, do xH = yH : f est injective.Montrons que f est surjective ; tout lment de (G/H)d est de la forme Hy o y G, alorsy1H est un antcdent de Hy par f. Donc f est surjective.Donc f est une bijection et ainsi (G/H)g et (G/H)d ont mme cardinal, not [G : H].Montrons que

[G : H] = |G||H| .

Posons [G : H] = r et considrons un systme de reprsentants (x1, x2,...,xr) de (G/H)g ;les classes dquivalence x1H, x2H,...,xrH forment alors une partition de G. Donc

|G| = Card(x1H) + Card(x2H) + + Card(xrH).

Or chaque classe xiH a mme cardinal que H ; en effet, on voit facilement que lapplica-tion :

fi : H xiHh xih

est une bijection. On en dduit que |G| = r|H| = [G : H]|H|.

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45/88

Remarque La rciproque du thorme de Lagrange est fausse : si G est un groupe finidordre n et si k divise n, il nexiste pas toujours de sous-groupe ou dlment de G dordrek.

Exemples

Considrons les lments de S4 suivants :

e =

1 2 3 41 2 3 4

, 1 =

1 2 3 43 4 1 2

, 2 =

1 2 3 44 3 2 1

, 3 =

1 2 3 42 1 3 4

,

4 =

1 2 3 41 3 4 2

, 5 =

1 2 3 41 4 2 3

, 6 =

1 2 3 43 2 4 1

, 7 =

1 2 3 44 2 1 3

,

8 =

1 2 3 42 4 3 1

, 9 =

1 2 3 44 1 3 2

, 10 =

1 2 3 42 3 1 4

, 11 =

1 2 3 43 1 2 4

.

et notons A4 lensemble de ces lments. Alors A4 est un sous-groupe de S4 dordre 12

qui ne possde aucun lment dordre 6 ; en effet, e est dordre 1, 1, 2, 3 sont dordre2 et tous les autres lments sont dordre 3. On montre que A4 ne possde pas non plusde sous-groupe dordre 6.

5. Sous-groupes distingus - Groupes-quotients

On a dfini au 4 pour tout sous-groupe H dun groupe G deux ensembles-quotients(G/H)g et (G/H)d : on va voir quelle condition ces deux ensembles-quotients concidentet on va alors munir ce quotient dune loi de groupe.


Soit G un groupe multiplicatif et soit H un sous-groupe de G ; on dit que H est unsous-groupe distingu de G si et seulement si il vrifie lune des 5 conditions quivalentessuivantes :

a) (G/H)g = (G/H)d ;b) x G, xH = Hx ;c) x G, xH Hx ;d) x G, xHx1 H ;e) x G, xHx1 = H.On note alors H G.Preuve :

Seule limplication d) = e) nest pas immdiate : supposons donc d) vrifi ; alors,pour tout x G , on a linclusion xHx1 H, mais aussi, puisque x1 G , linclusionx1H(x1)1 H, i.e x1Hx H, do H xHx1 et ainsi lgalit xHx1 = H.

5.2 Exemples

a) Soit G un groupe, alors {eG} est un sous-groupe distingu de G.b) Si G un groupe commutatif, alors tout sous-groupe de G est distingu dans G.

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c) Soit : G G un homomorphisme de groupes, alors ker est un sous-groupedistingu de G.d) Le centre dun groupe G est un sous-groupe distingu de G.

Preuve:

c) Soit : G G un homomorphisme de groupes ; considrons x G et h ker etmontrons que xhx1 ker : (xhx1) = (x)(h)(x1) = (x)eG((x))1 = eG doncxhx1 ker .d) Considrons x G et h Z(G) et montrons que xhx1 Z(G) ; y G, on a :

(xhx1)y = x(hx1)y = x(x1h)y = (xx1)hy = hy

puisque h commute avec tout lment de G. De mme on a :

y(xhx1) = yx(hx1) = yx(x1h) = y(xx1)h = yh = hy.

Donc xhx1 commute avec tout lment de G : xhx1 Z(G).

5.3 Thorme

Soit G un groupe multiplicatif et soit H un sous-groupe distingu de G, alors les relationdquivalence

Rg et

Rd concident (on note alors simplement

R) et sont compatibles avec

la loi de groupe de G ; par consquent lensemble quotient (G/H)g = (G/H)d que lon notedans ce cas G/H, est muni dune loi de groupe dfinie de la manire suivante :Soient et G/H ; il existe x et y G tels que = x et = y. On pose alors

= x y = xy.

On dit que G/H est le groupe-quotient de G par H. De plus la surjection canonique de Gsur G/H :

p :G

/ G

/Hx x

est un homomorphisme de groupes.

Enfin, si G est commutatif ,alors G/H lest aussi.

Preuve :

Soient x, x, y , y G tels que x R x et yRy i.e x1x H et y1y H, alors ilexiste h H tel que x1x = h et il existe k H tel que y1y = k ou encore y = yk ;montrons que xy

Rxy : (xy)1xy = (y1x1)xy = y1(x1x)y = y1hy = y1hyk =

(y1hy)k H car y1hy H puisque H G. Donc xy R xy.

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5.4 Thorme

Soient G et G deux groupes multiplicatifs et soit un homomorphisme de groupes de Gdans G . Alors induit un isomorphisme de groupes

:

G/ ker

Im

x (x)Preuve : Lapplication tant un homomorphisme de groupes, ker est un sous-groupedistingu de G et G/ ker est un groupe.Lapplication est bien dfinie sur le groupe G/ ker en effet, si x = y il existe h ker tel que y = xh, do

(y) = (xh) = (x)(h) = (x)eG = (x)

et ainsi (x) ne dpend pas du reprsentant choisi pour la classe x.

Dautre part, est un homomorphisme de groupes ; pour tous x, y G, on a en effet(xy) = (xy) = (xy) = (x)(y) = (x)(y).

Il est clair que est surjective puisque son ensemble darrive est Im . Montrons que est injective ; soit x ker , on a

eG = (x) = (x)

donc x ker . On en dduit que x = eG et ainsi est injective.

5.5 Proposition

Soit H un sous-groupe distingu dun groupe G ; alors les sous-groupes de G/H sontexactement les groupes-quotients K/H o K est un sous-groupe de G contenant H.

Preuve :

Si K est un sous-groupe de G contenant H, il est clair que H est distingu dans K puisquillest dans G et que K/H est un sous-groupe de G/H.Rciproquement, si A est un sous-groupe de G/H et si p dsigne la surjection canoniquede G sur G/H :

p : G G/Hx x

alors, en posant K = p1(A), on voit facilement que K est un sous-groupe de G contenantH et que A = K/H.

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6. Groupes-quotients de (Z, +)

6.1 Proposition

Soit H une partie de Z. Alors, on a

Hest un sous-groupe de Z

k

Z,

H= kZ.

Preuve : cf. cours de 2me anne.

6.2 Proposition

a) Pour tout n N, le groupe-quotient (Z/nZ, +) est cyclique dordre n.b) Soit n N et a Z. Alors, on a

a engendre Z/nZ pgcd(a, n) = 1.

Preuve :a) On a pour tout m Z, m = m1 dans Z/nZ donc Z/nZ = 1 est cyclique.b) Supposons Z/nZ = a. Alors, en particulier, 1 scrit 1 = ka = ka pour un certainentier k, donc il existe m Z tel que 1 = ka + mn ; on en dduit alors que pgcd(a, n) =1 daprs le thorme de Bezout. Rciproquement, si pgcd(a, n) = 1, alors daprs lethorme de Bezout, il existe k, m Z tels que 1 = ka + mn, do 1 = ka + 0 = ka. Alors,pour tout l Z, l = l1 = lka, donc Z/nZ = a.

6.3 Thorme

Le thorme des restes chinois vu en 2me anne peut sexprimer de la faon suivante :soient n, m N, alors lapplication

: Z/nmZ Z/nZ Z/mZk (mod nm) ( k (mod n), k (mod m))

est bien dfinie et est un homomorphisme de groupes. De plus, on a :

pgcd(n, m) = 1 est un isomorphisme .

Preuve :

Lapplication est bien dfinie, en effet, si k l (mod nm) alors nm divise k l, doncn et m divisent k l et ainsi k l (mod n) et k l (mod m).Montrons que est un homomorphisme de groupes :

Si k Z, notons k la classe de k (mod n) ,

k la classe de k (mod m) et

k la classe de k

(mod nm).

Pour tous k, l Z, on a alors(k + l) = (k + l, k + l) = (k + l,k +l) = (k,k) + (l,l) = (k) + (l).

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49/88

Donc est un homomorphisme de groupes.

Dire que est bijectif revient dire que pour tout (a,b) Z/nZ Z/mZ, il existeun unique lment k Z/nmZ tel que (k) = (a,b), i.e. le systme de congruences

k a (mod n)k

b (mod m)

possde une unique solution dans Z modulo nm. Or le thorme des

restes chinois affirme que cest le cas si et seulement si n et m sont premiers entre eux.

On a vu que Z et Z/nZ sont des groupes cycliques ; en fait, isomorphisme prs, ce sontles seuls :

6.4 Thorme

1) Soit

Gun groupe cyclique. Alors

a) Si G est infini, G est isomorphe Z.b) Si G est dordre fini n, G est isomorphe Z/nZ.Preuve :

1) G tant un groupe cyclique, il existe x G tel que G = x = {xm/ m Z} en notationmultiplicative.

Considrons lapplication : : Z G

m

xm

Alors, est un homomorphisme de groupes, en effet :

k, m Z, (k + m) = xk+m = xkxm = (k)(m).Donc ker est un sous-groupe de Z et ainsi, il existe n N tel que ker = nZ. Deplus, est clairement surjective, puisque G = {xm/ m Z}. Donc, daprs 5.4, on alisomorphisme

Z/nZ G.

Si G est fini alors il est donc dordre n.Si G est infini, alors Z/nZ aussi donc ncessairement, n = 0 donc ker = {0} et ainsi est un isomorphisme de Z sur G.

6.5 Proposition

Soit G un groupe multiplicatif dordre fini et soit x G. Alors lordre de x est le pluspetit des entiers k 1 vrifiant xk = e et on a

x = {e,x,x2,...,xord(x)1}.De plus, pour tout m Z, on a : xm = e ord(x)|m.

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Preuve :

Soit x G ; comme x est un sous-groupe du groupe fini G, il est lui-mme fini, dordren 1. Considrons lhomomorphisme de groupes

: Z

Gm xmalors, il est clair que Im = x, de plus ker est un sous-groupe de Z donc il existe d Ntel que ker = dZ. Donc, daprs 5.4, on a lisomorphisme

Z/dZ xon en dduit aussitt que d = n ; par consquent, on a pour tout entier k

xk = e (k) = e k ker k nZ n|ket ainsi ord(x) est bien le plus petit des entiers k

1 vrifiant xk = e.

Montrons maintenant que x = {e,x,x2,...,xord(x)1} : notons E = {e,x,x2,...,xord(x)1},il est clair que E x ; rciproquement, considrons un lment y de x : il existe m Ztel que y = xm. Effectuons la division euclidienne de m par n : m = nq+r o 0 r n1 ;alors y = xm = (xn)qxr = eqxr = xr E do x E et ainsi x = E.

6.6 Corollaire

Soit

Gun groupe fini dordre n. Comme pour tout x

G, lordre de x divise lordre de

G,

on a x G, xn = e.Exemple Dans le groupe fini Un, e

2in est dordre n.

6.7 Notation additive

Soit G un groupe additif et x G, alorsx = {nx/ n Z}.

Si G est fini, alors ord(x) est le plus petit des entiers k 1 tels que kx = 0G et

x = {0G, x, 2x, ..., (ord(x) 1)x}.De plus, pour tout m Z on a : mx = 0G ord(x)|m.

6.8 Thorme

Tout sous-groupe dun groupe cyclique est cyclique.

Preuve :

Soit H un sous-groupe dun groupe cyclique G.

Si G est infini, G est isomorphe Z ; comme les sous-groupes de Z sont tous cycliquesdaprs 3.4 alors, par isomorphisme, les sous-groupes de G sont tous cycliques galement.Si G est dordre fini n, alors G = x = {e,x,x2,...,xn1}. Soit H un sous-groupe de G :

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Si H = {e}, alors H est engendr par e donc cyclique.Si H = {e}, lensemble E = {k 1/ xk H} est non vide, puisque H est un sous-groupede {e,x,x2,...,xn1}, non rduit {e}. Donc E possde un plus petit lment d 1 ;montrons que H = xd. Il est clair que xd H, puisque xd H, rciproquement, soita

Halors a fortiori a

G, donc il existe k

{0, 1,...,n

1}

tel que a = xk. Effectuonsla division euclidienne de k par d : k = qd + r o 0 r d 1, alors a = xk = (xd)qxrdonc xr = a(xd)q do xr H, puisque xd H et a H. Si r 1 alors r E doncr d, ce qui est absurde, donc r = 0 et ainsi a = (xd)q xd. Donc H = xd : H estcyclique.

6.9 Thorme

Le produit direct de deux groupes cycliques finis

Het

Kest cyclique si et seulement si

les ordres de H et K sont premiers entre eux.Preuve :

Soient H et K deux groupes cycliques finis dordre respectivement n et m. Alors daprs6.4 on a H Z/nZ et K Z/mZ. Donc, si n et m sont premiers entre eux, daprs 6.3on a H K Z/nmZ donc H K est cyclique.Rciproquement, supposons que H K est cyclique : alors il existe un lment (h, k) deH K qui engendre H K, i.e qui est dordre nm. Dmontrons le lemme suivant :Lemme : Soient

Het

Kdeux groupes finis et soient (h, k)

H K; alors lordre de

(h, k) est le ppcm des ordres de h et k.

En effet, si on note ord(h) = r, ord(k) = s, ord(h, k) = t et ppcm(r, s) = u, alors(eH, eK) = (h, k)

t = (ht, kt) do ht = eH et kt = eK donc r et s divisent t et ainsi

u = ppcm(r, s) divise t. Dautre part, r divise u donc hu = eH et s divise u donc ku = eK,

do (h, k)u = (eH, eK) et ainsi t divise u, donc t = u.

Appliquons le lemme (h, k) : notons ord(h) = r, ord(k) = s, alors on a

nm = ord(h, k) = ppcm(r, s)

or h

Hqui est dordre n donc r divise n i.e il existe n

N tel que n = rn, de mme

s divise m donc il existe m N tel que m = sm, ainsi on a nmrs = ppcm(r, s) ;or ppcm(r, s) divise rs, i.e il existe u N tel que rs = u ppcm(r, s), donc nmu ppcm(r, s) = ppcm(r, s) do nmu = 1 et ainsi n = m = u = 1. On en dduit que n = ret m = s donc nm = ppcm(n, m), do pgcd(n, m) = 1.

7. Groupes isomorphes

Lun des problmes centraux de la thorie des groupes consiste pouvoir dire si deux

groupes donns sont isomorphes ou pas ; sils le sont, il suffit pour le prouver dexhiberun isomorphisme entre les deux, sils ne le sont pas, il suffit de montrer quune propritque lon sait commune deux groupes isomorphes est vrifie par lun et pas par lautre.

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Do lutilit de faire une liste (non exhaustive!) de proprits communes deux groupesisomorphes :

7.1 Thorme

Soient G et G deux groupes isomorphes ; notons un isomorphisme de G sur G. Alors,on a :a) Si G est commutatif, G aussi ;b) Si G est infini, alors G aussi ;c) Si

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