LES VECTEURS

CHAPITRE 2:

I- DEFINITION

Dans une gare, un adulte et un enfant et leur

bagages se déplacent sur un tapis roulant

horizontale de 20m.

Leur déplacement est une translation horizontale de la gauche vers la droite de 20m.

1) Translation

La translation qui transforme A en A’ transforme tout point B en B’ tel que [AB’] et [BA’] ont le même milieu. La translation qui transforme A en B est la translation de vecteur AB.

Remarque: si on considère trois points A, B et C alignés. La translation de AB transforme C en D mais ABCD n’est pas un parallélogramme donc [AC] et [BD] n’ont pas le même milieu. 2) Vecteurs égauxDeux vecteurs AB et CD sont égaux s’ils définissent la même translation. Autrement dit si l’image de E par la translation de vecteur AB est F, alors l’image de E par la translation de CD est également F.

A B C D

On note alors AB=CD. Plus globalement, un vecteur

sera noté à l’aide d’une seule lettre surmontée d’une

flèche. On a alors AB=CD=u, et les vecteurs AB et CD

sont des représentant du vecteur u.

3) Définition

Un vecteur u est définit par la donnée:

- d’une direction

- d’un sens

- d’une longueur (ou norme).

Un vecteur est représenté par une flèche, la norme du

vecteur AB est AB. La norme du vecteur u est noté ||u||.

II- SOMME DE DEUX VECTEURS

Soit u et v deux vecteurs. La somme de u et v

est un nouveau vecteur que l’on note u+v. Pour

additionner deux vecteurs, on dispose deux de

leurs représentants l’un à la suite de l’autre et le

vecteur somme est alors le vecteur ayant pour

origine, l’origine du premier vecteur et pour

extrémité, l’extrémité finale. Cette méthode de

construction est la relation de CHASLES.

Exemple:

u

v uv

u+v

u

v v

v+u

u

La somme de deux vecteurs est commutative

c’est-à-dire u+v=v+u. Il existe un vecteur qui est

le neutre pour l’addition. Ce vecteur est le vecteur

nul que l’on note 0.

Relation de Chasles

A

B B

C

AB+BC=AC

Remarque: d’après la relation de Chasles

AB+BB=AB. Ainsi BB=0, mais on a

aussi AA=0; CC=0.

l’opposé du vecteur u est le vecteur tel que si on

l’ajoute à u, le résultat est le vecteur nul.

L’opposé de u est noté -u. On a donc u+(-u)=0.

Remarque: AB+BA=0 Ainsi l’opposé du vecteur AB est le

vecteur BA (-AB=BA). A BAB

BA

III- COORDONNEES D’UN VECTEUR 1) Repère du planUn repère du plan est défini par la donnée de trois points (O;I;J) où d’un point et de deux vecteurs (O; i; j): Le point O est l’origine du repère, Le vecteur i dirige l’axe des abscisses, Le vecteur i oriente l’axe des abscisses, Le vecteur i normalise la longueur de l’unité, Le vecteur j dirige l’axe des ordonnées, Le vecteur j oriente l’axe des ordonnées, Le vecteur j normalise la longueur de l’unité.

Exemple: la donnée d’un point O et de vecteurs i

et j

Permet de définir le repère (O; i; j):

1

1

O

i

j

Remarque: il existe trois types de repères

Repère orthogonal Repère

orthonormé

2) Cordonnées d’un vecteur

Soient A et B deux points du plan de coordonnée (Xa;Ya) et (Xb;Yb) dans un repère (O; i; j). Les coordonnées du vecteur AB sont (Xb-Xa;Yb-Ya).

Repère quelconque

Exemple: A(7;1) et B(-1;2)

AB(-1-7;2-1)

AB(-8;1)

Remarque: les coordonnées du vecteur nul sont

(0;0).

3) Égalité de vecteurs

Deux vecteurs u(x;y) et v(x’;y’) sont égaux si et

seulement si x=x’ et y=y’.

Remarque: AB=CD équivaut à ABDC est un

parallélogramme.

4) Somme de deux vecteurs

Soient u et v deux vecteurs du plan de

coordonnées respectives (x;y) et (x’;y’). Les

coordonnées du vecteur u+v sont alors

(x+x’;y+y’).

5) Longueur d’un segment, coordonnées du

milieu

Soient A et B deux points de coordonnées

respectives (Xa;Ya) et (Xb;Yb) dans un repère

orthonormal (O; i; j).

.le milieu du segment [AB] a pour coordonnées:

(Xa+Xb/2;Ya+Yb/2).

.la longueur de AB est: AB=Exemple: A(2;5) et B(4;-1)Déterminer les coordonnées de I milieu de [AB] et la longueur AB. I(2+4/2;5-1/2)I(3;2)

AB=AB=AB= AB=

(Xb-Xa)²+(Yb-Ya)²

(4-2)²+(-1-5)²2²+(-6)

4+3640

B

I

A

IV- Produit d’un vecteur par un réel

1) Définition

Soit u un vecteur (non nul) du plan et k un réel.

ku est un vecteur qui a:

-la même direction que celle du vecteur u,

-le même sens que le vecteur u si k>0 et de

sens contraire opposé si k<0,

-une longueur égale à k fois la longueur de u si

k>0 et k fois la longueur de u si k<0.

Remarque: si k=0 alors ku est le vecteur nul.

2) ColinéaritéDeux vecteur u et v sont colinéaires s’il existe un réel k tel que u=kv.Propriétés: -si deux vecteurs AB et CD sont colinéaires alors (AB) et (CD) sont parallèles; -si deux vecteurs AB et CD sont colinéaires alors les points A, B, C et D sont alignés.

.Milieu d’un segmentUn point I est le milieu du segment [AB] si une des conditions suivantes est vérifiée: -AI=1/2AB -AI=IB

3) Coordonnées et colinéarité

Soit u(a;b) alors ku a pour coordonnées (ka;kb).

Conséquence: deux vecteurs u(a;b) et v(a’;b’)

sont colinéaires si leurs coordonnées sont

proportionnelles, c’est-à-dire il existe k€R tel que

a’=ka et b’=kb.

Exemples: u(2;-3) et v(-6;9)

sont colinéaires car -6/2=9/-3=-3

u(-5;1) et v(1;-5)

ne sont pas colinéaires car 1/-5≠ -5/1