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Cours de maths en 4ème

Les pyramides

DES PYRAMIDES Je te propose de construire des pyramides en te servant du cube ABCDEFGH qui est supposé transparent. Attention, les pyramides ne sont pas transparentes : tu dois donc bien repérer les arêtes cachées.

- Pyramide régulière à base carrée (type Khéops)

Construis la pyramide de sommet I et de base EFGH ………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………..

- Pyramides non régulières à base carrée

De sommet B et de base EFGH De sommet B et de base ADHE De sommet B et de base DCGH ……………………………………………………. …………………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………………. …………………………………………………… ……………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

- Tétraèdre régulier Il fait partie des cinq polyèdres réguliers; c'est le plus simple des cinq. Construis la pyramide de sommet B et de base EGD ………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………..

DESSINER DES PYRAMIDES

Pyramide de sommet B et de base AED

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Pyramide de sommet I et de base EFGH

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Pyramide de sommet A et de base EFGH

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Pyramide de sommet B et de base EGD

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Pyramides à base carrée. Fiche à imprimer sur transparent. Les trois schémas sont à découper, à superposer et à visionner au rétro-projecteur. Cette observation permet de comparer le volume d’une de ces pyramides et le volume du cube

LES PYRAMIDES D’abord un site particulièrement bien documenté sur les pyramides : http://mathsgeo.multimania.com/rep/pyr.htm

- Représentation d’une pyramide

Un point, appelé sommet, et un polygone, appelé base, constituent les éléments définissant une pyramide.

La base est le polygone ABCDEF S

A

B C

D

EF

H

Le sommet est S.

Les triangles SAB, SBC, SCD, SDE, SEF, SFA sont les faces latérales.

Le segment [SH] est la hauteur de la pyramide.

[SH] est perpendiculaire à la base donc à toutes les droites de la base ,

en particulier aux droites (AH), (BH), (CH), (DH), (EH) et (FH).

Si la base est placée dans un plan horizontal, la hauteur [SH] est une

verticale. Les triangles SAH, SBH, SCH, SDH, SEH, SFH sont des

triangles rectangles en H ; ils définissent des plans verticaux.

Un tétraèdre (pyramide à quatre faces = pyramide à base triangulaire)

A

B

C

S

H

- Pyramide régulière

A B

CD

S

H

Une pyramide est dite régulière si sa base est un polygone

régulier (triangle équilatéral carré, pentagone régulier, hexagone

régulier…)

Pour la pyramide SABCD ci-contre :

Sa base est le carré ABCD .

Son sommet est S.

Le pied H de sa hauteur [SH] est au centre du carré de base.

Le tétraèdre régulier Toutes ses faces sont des triangles équilatéraux identiques ; toutes ses arêtes sont donc égales. ABCD est un tétraèdre régulier : Α

B

C

D

H

ABC, ACD, ABD, BCD sont des triangles équilatéraux.

Ses six arêtes sont égales :

AB AC AD BC BD CD= = = = =

H, pied de la hauteur du tétraèdre, issue de A, est le centre de gravité du

triangle BCD.

- Volume de la pyramide

S

A

B C

D

EF

H

Les fiches précédentes ont permis d’avoir une idée du volume d’une pyramide.

D’une façon générale, le volume d’une pyramide est le tiers du volume du prisme droit qui a la même base et la même hauteur. V(prisme) Aire(base) ha ruteu= ×

Aire(base) hauteurV(pyramide3

) ×=

Pour la pyramide ci-contre :

Aire(ABCDEF) SHVolume(SABCDEF)3

×=

Exemple :

E F

GH

I

J

4 cm

4 cm

Volume de la pyramide IEFGH (voir la fiche « Vers les pyramides »)

dont la base est un carré de côté 4 cm et dont la hauteur mesure 4 cm.

2

23

aire(EFGH) hauteurV3

EF IJV3

4 4 64V 23 3

×=

×=

×= = ≈ 1,3 cm

- Patron d’une pyramide

Pour réaliser le patron de la précédente pyramide régulière (IEFGH), si sa base EFGH est un carré de 4 cm de côté, il reste à calculer l’arête IE : Le triangle IJE est rectangle en J car (IJ) est perpendiculaire au plan EFGH donc à (EJ). D’après la propriété de Pythagore :

2 2IE IJ EJ= + 2

2

(1) EJ est la moitié de la diagonale EG du carré. Le triangle EFG est rectangle en F ; d’après la propriété de Pythagore :

2 2

2 2 2

2

EG EF FGEG 4 4EG 32

= +

= +

=

Or : EGEJ2

=

Donc :2 2

22

EG EG 32EJ 82 2 4

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠

= (2)

En reportant (2) dans (1) :

2 2 2 2IE IJ EJ 4 8 16 8 24IE 4,9 cm

= + = + = + =≈

Exercices 1

LA PYRAMIDE - Trace les intersections des plans AED et BFA avec les faces de la pyramide.

Colorie les parties de ces plans, visibles à l’intérieur de la pyramide (si l’on suppose celle-ci transparente). Recherche la droite d’intersection (AI) des plans AED et BAF. - Dans le plan ABD, la droite (MN) coupe la droite (AD) en K.

Dans le plan ADC, la droite (KP) coupe la droite (AC) en Q.

Représente et colorie

l’intersection du tétraèdre ABCD et du plan MNP. - Cette pyramide a son sommet S dans la face ABCD du pavé droit supposé transparent.

Sachant que A’ est l’ombre

du point A, trouve l’ombre S’ du sommet S de la pyramide.

Trace ensuite et colorie

l’ombre de la pyramide. Les rayons du soleil sont

parallèles.

Exercices 2

LA PYRAMIDE - SABCD est une pyramide régulière d’arête 25 cm.(Toutes ses arêtes ont la même longueur). Trace la hauteur [SH] de cette pyramide. Calcule SH. ................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................

Calcule les angles formés par les arêtes et les diagonales de la base. ................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................

Calcule le volume de la pyramide. ...................................................................................................................................................................................................................................... - On donne un parallélépipède rectangle (pavé droit) ABCDEFGH.

On sait que : AE = 4 cm ; AB = 7 cm ; AD = 5,7 cm. Trace le tétraèdre EBDG.(On suppose le pavé transparent) Calcule les longueurs des arêtes de ce

tétraèdre. ............................................................................................ ............................................................................................ ............................................................................................ ............................................................................................ ............................................................................................ ............................................................................................

Calcule le volume du tétraèdre EBDG.(On procédera par soustractions) Le comparer au volume du pavé.

............................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................

Devoir 1

- La Pyramide de Kheops (25 siècles av.J-C) est une pyramide régulière. Elle a une hauteur de 138 mètres et

une base carrée de 230 m de côté.

a) Calcule son volume.

b) Si cette pyramide était constituée de blocs parallélépipédiques dont les trois dimensions sont 1 m, 2 m, et

50 cm, quel serait le nombre de ces blocs?

- SABC est un tétraèdre régulier dont l'arête mesure 10 cm. [SH] est sa hauteur.

a) Quelles sont les particularités des droites (AI) et (BJ)? Que peux-tu dire du point H pour le triangle ABC?

b) Démontre que : AI² = 75 et que: AH² = 1003 .

c) Calcule la hauteur SH (à 1/1000 cm près) puis le volume de ce tétraèdre.

Devoir 2 L’unité de longueur est le centimètre. x désigne un nombre strictement positif.

a) ABCD est un trapèze rectangle de bases [AB] et

[DC] et de hauteur [AD] tel que :

AB = x ; DC = 2x ; AD = 3.

• Calcule l’aire de ce trapèze en fonction de x.

On rappelle que l’aire d’un trapèze est :

somme des bases hauteur×2

b) Une pyramide P de sommet S a pour base ce trapèze

ABCD et pour hauteur SA = 4x.

• Montre que le volume de cette pyramide est : V = 6x².

• Calcule V si x est égal à 2,5.

• Pour quelle valeur de x, V est-il égal à 54 cm3 ?

c) Soit A’ le milieu de [SA].

On coupe la pyramide P par un plan passant par A’ et

parallèle à la base ABCD. Ce plan coupe la pyramide selon le

quadrilatère A’B’C’D’.

• Quelle est l’aire de A’B’C’D’ ?

(On l’exprimera en fonction de x).

• Quel est le volume V’ de la pyramide SA’B’C’D’ ? (L’exprimer en fonction de V).

• Calcule V’ si x = 2,5.

DES PYRAMIDES (CORRIGÉ) Je te propose de construire des pyramides en te servant du cube ABCDEFGH qui est supposé transparent. Attention, les pyramides ne sont pas transparentes : tu dois donc bien repérer les arêtes cachées.

- Pyramide régulière à base carrée (type Khéops)

Construis la pyramide de sommet I et de base EFGH Ses faces sont des triangles isocèles Sa hauteur est la verticale passant parI. Elle passe par le centre du carré de base Si tu disposes d’un récipient ayant la forme du cube ABCDEFGH et d’un autre récipient ayant la forme de la pyramide IEFGH tu peux constater qu’il faut le liquide contenu dans trois pyramides pour remplir le cube Tu en conclus alors que le volume de la pyramide est le tiers du volume du cube.

- Pyramides non régulières à base carrée

e sommet B et de base EFGH De sommet B et de base ADHE De sommet B et de base DCGH

a hauteur est [BF] Sa hauteur est [BA], en particulier Sa hauteur est [BC] G s t des ]

………… ………… …………………………………………….

s

- Tétraèdre régulier

B

CD

E F

GH

A B

CD

E F

GH

A B

CD

E F

GH

A

D SSes faces BEF et BF on perpendiculaire à [AD] et [AEtriangles rectangles isocèles

…… ………………………… …………………………………………………………… ………

es trois pyramides sont identiques : elles ont la même hauteur (4 cm), la même base (un carré de 4 cm de côté) et leCmêmes faces latérales (dont deux sont des triangles rectangles isocèles)

dres réguliers; c'est le plus simple des cinq.

onstruis la pyramide de sommet B et de base EGD

be) .

es cinq polyèdres réguliers sont : ce tétraèdre, le cube (hexaèdre),

Il fait partie des cinq polyè

C

es six arêtes sont égales (diagonales des faces du cuSSes quatre faces sont des triangles équilatéraux identiquesCette pyramide s’appelle tétraèdre régulier. Ll’icosaèdre, l’octaèdre et le dodécaèdre.

Exercices 1 (Corrigé)

Ι

Q

LA PYRAMIDE - Trace les intersections des plans AED et BFA avec les

faces de la pyramide.

Colorie les parties de ces plans, visibles à l’intérieur de la pyramide (si l’on suppose celle-ci transparente).

Recherche la droite d’intersection (AI) des

plans AED et BAF. Le point I est à l’intersection des droites (BF) et (ED) de la base BCD. Les plans AED et BFA se coupent selon la droite (AI)

, la droite (MN)

roite (AC) en Q.

re ABCD

- Dans le plan ABD coupe la droite (AD) en K.

Dans le plan ADC, la droite (KP) coupe la d Représente et colorie l’intersection du tétraèd

et du plan MNP. Le plan MNPQ est l’intersection cherchée.

S'

- Cette pyramide a son sommet S dans la face ABCD du pavé droit supposé transparent. Sachant que A’ est l’ombre du point A,

ramide.

bre de la pyramide.

trouve l’ombre S’ du sommet S de la py Trace ensuite et colorie l’om

es rayons du soleil sont parallèles. L

L’ombre de l’horizontale [SA] est [S’A’] parallèle à [SA]

La surface grisée est donc l’ombre de

la pyramide

Exercices 2 (Corrigé)

LA PYRAMIDE - SABCD est une pyramide régulière d’arête 25 cm.(Toutes ses arêtes ont la même longueur). Trace la hauteur [SH] de cette pyramide. Calcule SH.

2 2 2 2 2AC AB BC 25 25 1250= + = + =

S

A B

CD

H

ACAH2

= donc

2

2 AC 1250AH 312,54 4

= = =

2 2 2 2SH SA AH 25 312,5 312,5= − = − =

SH 17,7 cm≈

Calcule les angles formés par les arêtes et les diagonales de la base. On remarque que : . AH SH=

Le triangle ASH est isocèle rectangle donc SAH 45= ° De même : SBH SCH SDH 45= = = ° .

Calcule le volume de la pyramide.

2

3Aire(ABCD) SH 25 17,7V 3687 cm3 3

× ×= ≈ ≈

- On donne un parallélépipède rectangle (pavé droit) ABCDEFGH. On sait que : AE = 4 cm ; AB = 7 cm ; AD = 5,7 cm. Trace le tétraèdre EBDG.(On suppose le pavé transparent)

A B

CD

E F

GH

Calcule les longueurs des arêtes de ce tétraèdre.

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

BD AB AD 7 5,7 81, 49BD EG 9 cmED AD AE 5,7 4 48, 49ED BG 7 cmBE AB AE 7 4 65BE DG 8 cm

= + = + == ≈

= + = + == ≈

= + = + == ≈

Calcule le volume du tétraèdre EBDG.(On procédera par soustractions) Le comparer au volume du pavé.

3

V(EBGD) V(ABCDEFGH) V(ABDE) V(HGDE) V(CBGD) V(FBGE)AB AD AE

2V(EBGD) V(ABCDEFGH) 4 V(ABDE) AB AD AE 43

2 AB AD AE AB AD AE V(ABCDEFGH)V(EBGD) AB AD AE3 3 3

7 5,7 4V(EBGD) 53, 2cm3

= − − − −×

×= − × = × × − ×

× × × × ×= × × − = =

× ×= =

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