Les plans Factoriels Fractionnaires 2k-p · N. BOUDAOUD Plans d’expériences 1 Les plans...

N. BOUDAOUD Plans d’expériences 1

Les plans Factoriels Fractionnaires 2k-p

Comment réduire le nombre d’essais ??


Approche fractionnaire

• Dans un plan factoriel complet, le nombre d’essais augmente de façon exponentielle avec le nombre de facteurs

– 4 facteurs : 24=16 essais



2 4 6 8 10 12 14 160

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

4

Nombre de facteurs

No

mb

re d

’ess

ais

Les plans fractionnaires sont

des plans optimaux orthogonaux qui se focalisent

sur les effets les plus intéressant

N. BOUDAOUD Plans d’expériences

Comment réduire le nombre d’essais ?

3

PTEPTETETEPEPEPTPTEETTPP XEXEXEXEXEXEXEyy

Nombre d’essais minimum ?


Relation nombre d’essais et nombre de ddl

• Règle

– le nombre minimal d’essais à réalisé est égal au nombre de ddl du modèle étudié (nombre de coefficients du modèle)

• Exemple : 3 facteurs à 2 niveaux A,B,C et 2 interactions AB, AC

– ddlA+ddlB+ddlC+ddlAB+ddlAC+1=6

ddl de la moyenne


• Objectif : Réduction du nombre d’essais – Focalisation sur les effets les plus intéressants

• Hypothèse : – Interactions d’ordre supérieur à 2 sont souvent

négligeables : ABC, ABCD, ABCDE…

• Ex: 5 facteurs A,B,C,D,E 32 essais – Les informations utiles :

• A,B,C,D,E : 5

• Interaction d’ordre 1 : 10

– Une table avec 16 essais (25-1) suffirait…

Plans Fractionnaires à 2 niveaux

Lorsque le nombre de facteurs augmente , le rapport du

nombre d’informations utiles au nombre total d’essais diminue

de façon alarmante ! Réduction de la taille des plans


Démarche pour le choix d’une table d’expérimentation

• Faire le bilan sur – le nombre de facteurs (+ nombre de modalités) – Le nombre d’interactions – Le nombre de degrés de liberté (ddl) au total : donne le nombre

d’essais minimal nécessaire. • ddl(total)=somme des ddl des facteurs • ddl(Facteur)=Nombre de modalité du facteur moins 1

• Choisir la table en adéquation avec le nombre d’essais minimum

• Affecter les facteurs aux colonnes – Le choix de colonnes se fait selon des contraintes de coût sur la

fréquence de variation des niveaux des facteurs d’un essai à l’autre.



• Tables orthogonales et tables des interactions associée

1x2 1x4 2x4

A B C

L8(23)

3 facteurs

A,B,C

+ 3 interactions

Sans confusion

1 2 3 4 5 6 7

-1 -1 1 -1 1 1 -1

-1 -1 1 1 -1 -1 1

-1 1 -1 -1 1 -1 1

-1 1 -1 1 -1 1 -1

1 -1 -1 -1 -1 1 1

1 -1 -1 1 1 -1 -1

1 1 1 -1 -1 _1 -1

1 1 1 1 1 1 1



• Tables orthogonales et tables des interactions associée

1x2

4x7

1x4

2x7

2x4

1x7

A B C D

L8(23)

4 facteurs

A,B,C, D

+ interactions

Sans confusion

1 2 3 4 5 6 7

-1 -1 1 -1 1 1 -1

-1 -1 1 1 -1 -1 1

-1 1 -1 -1 1 -1 1

-1 1 -1 1 -1 1 -1

1 -1 -1 -1 -1 1 1

1 -1 -1 1 1 -1 -1

1 1 1 -1 -1 _1 -1

1 1 1 1 1 1 1


• Plan complet : 24=16 essais

• Liste des facteurs et interactions : – A,B,C,D : 4

– AB,AC,AD,BC,BD,CD : 6 interactions ordre 1

– ABC,ABD,ACD,BCD : 4 interactions ordre 2

– ABCD : 1 interaction ordre 3

– Total de 15 facteurs : nécessite 16 essais 15 colonnes

Plan 24-1 : Etude de 4 facteurs

Réduire le nombre d’essais

Réaliser le plan fractionnaire 24-1 ( 8 essais) ?


L16

L8(23) Table à 16 essais (4 facteurs ABCD)

Ajouter un facteur implique une confusion avec une colonne ???


Le plan 24-1

Chaque facteur (A,B,C) et les interactions occupent une colonne.

Pour tester le facteur D et les interactions avec (A,B,C,AB,AC,BC,AC,ABC)

avec seulement 8 essais : il faut donc les affecter à des colonnes déjà

occupées

ABC interaction probablement négligeable

D est affecté à la colonne ABC

Conséquences :Niveaux de D et ABC suivent

les mêmes changements de signes

A quelle colonne affecter

le facteur D ?


Affectation des Facteurs et interactions : Alias

• D et ABC sont donc aliasés : D=ABC

• Les autres colonnes A, B, C, AB,.. vont être

aliasés avec les interactions de D

Essai A B C D Y

1 - - - - Y1

2 - - Y2

3 - - Y3

4 - - Y4

5 - - Y5

6 - - Y6

7 - - Y7

8 Y8

Comment déterminer

tous les aliases ?


Détermination des aliases

Propriétés • Commutativité : AB=BA

• Associativité : A(BC)=(AB)C=ABC

• Elément Neutre I (colonne de (+)): I.A=A.I=A

• A.A=I quel que soit A

• L’égalité D=ABC peut s’écrire I=D.D=DABC=ABCD

• I=ABCD appelé GENERATEUR D’ALIAS

• Détermination de tous les alias : – I.A=ABCD.A=BCD A=BCD

– I.B=ABCD.B=ACD B=ACD

Conséquences


Liste des alias

Comment calculer les effets des facteurs et interactions à partir des colonnes aliasées ?

On parle de Contrastes


Calcul des contrastes

• Colonne 1 : A et BCD – Contraste : h1=A+BCD=1/8(-y1+y2-y3+y4-..+y8)

• Colonne 2 : B et ACD – Contraste : h1=B+ACD=1/8(-y1-y2+y3+y4-..+y8)

• Etc..

Exemple : Etude de l’influence sur Y = allongement à la rupture d’un élastomère (en %) des facteurs :

A : nature de l’élastomère

B : taux d’additif ( autour de la valeur préconisée)

C : Système de vulcanisation

D : taux de kaolin


Exemple ( suite)

• Plan fractionnaire 24-1

• Alias D=ABC

• Générateur d’alias

– I=ABCD

Essai A B C D Y

1 - - - - 275

2 - - 325

3 - - 210

4 - - 220

5 - - 290

6 - - 370

7 - - 260

8 270

Niveau

(-1)

1 6 1 20

Niveau (+1)

2 10 2 40

Contrastes h118.75 =A+BCD

h2-37.5 =B+ACD

h320.0 C+ABD

h4-3.75 =D+ABC

h5-13.75 =AB+CD

h6 5.0 BC+AD

h73.75 AC+BD


Interprétation

• Hypothèses

– Conditions de l’étude : les contrastes dont la valeur absolue est inférieur à 8 sont supposés négligeables

– Compte tenu de la nature des facteurs les interactions d’ordre 2 sont probablement négligeables

Interprétation physique :

une interaction élastomère-additif (AB) est plus

plausible qu’une interaction entre système de

vulcanisation et kaolin (CD) (charge inerte)

• Conséquences :

– h1=+18.75 A

– h2= -37.50 B

– h3= +18.75 C

– h4=-3.75D 0

– h5=AB+CD=-13.75 ? Quel est l’interaction la plus prépondérante ?

– H6 et h7 négligeables : interactions négligeables ou de signes opposés

Effet A et de C sont du même ordre de

grandeur

Effet de B important, D insignifiant.

On peut donc penser que dans h5

l’interaction AB et plus significative que

CD AB=-13.75

Conclusion


Conclusion

• Un excès d’additif diminue l’allongement à la rupture, surtout avec l’élastomère 2. L’élastomère 2 et préférable au 1.

• Système de vulcanisation 2 est meilleur

• Kaolin sans influence

Bilan

Nous avons pu conclure de façon satisfaisante

avec 8=24-1 essais pour 4 facteurs.

Nous avons effectué la moitié d’un plan complet

24

• Facteurs significatifs : A (Elastomère), B (taux additif) C (Syst. Vulc), AB

–EA=+18.75 –EB= -37.50 –EC=+18.75 –EAB=-13.75


Remarques

• L’utilisation des plans fractionnaires est conseillée lorsque l’on a une connaissance minimum a priori sur les interactions.

• A l’issue de l’exploitation d’un plan fractionnaire, si l’information obtenue est jugée insuffisante, le plan peut être complété par une autre fraction du plan complet à condition qu’elle soit choisie de façon judicieuse.


Plan 25-2 (groupe d’alias)

• Cas d’un plan fractionnaire à 5 facteurs ABCDE

– plan complet 32 essais


Plan 25 plan complet

A B C AB AC BC ABC D AD BD CD ABD BCD ACD ABCD E AE BE CE ABE ACE BCE ABCE DE ADE BDE CDE ABDE BCDE ACDE ABCDE

1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1

2 1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 1

3 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1

4 1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 -1 1 -1 -1 -1

5 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1

6 1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1

7 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1

8 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1

9 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1

10 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1

11 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 1 -1 -1

12 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 1

13 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1

14 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1

15 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1

16 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1

17 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1

18 1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1

19 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 1 1 -1 -1

20 1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 1

21 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1

22 1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1

23 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1

24 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1

25 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 -1 1 1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1

26 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 1 -1 1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 1

27 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1

28 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 -1 -1

29 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1

30 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1

31 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1

32 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1


Plan 25-2 (groupe d’alias)

A B AB C AC BC ABC

-1 -1 1 -1 1 1 -1

1 -1 -1 -1 -1 1 1

-1 1 -1 -1 1 -1 1

1 1 1 -1 -1 -1 -1

-1 -1 1 1 -1 -1 1

1 -1 -1 1 1 -1 -1

-1 1 -1 1 -1 1 -1

1 1 1 1 1 1 1

Affectation des facteurs D et E

• Choix des colonnes

• Détermination du groupe

de générateurs d’alias

- indépendants

- dépendants

• Détermination des alias

Réduction du nombre d’essais de 32 à 8 essais


Générateurs d’Alias

Essais

1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1

2 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1

3 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1

4 1 1 -1 -1 -1 1 -1 1

5 -1 -1 1 1 -1 1 -1 1

6 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1

7 -1 1 1 -1 -1 -1 1 1

8 1 1 1 1 1 1 1 1

E

AC

BD

ABCDE

AB

CD

ADE

BCE

BC

AD

ABE

CDE

I

ACE

BDE

ABCD

A

CE

BCD

ABDE

B

DE

ACD

ABCE

C

AE

ABD

BCDE

D

BE

ABC

ACDE

D=ABC et E= AC.

Il y a donc 3 générateurs d'alias : I=ABCD, I=ACE et I=BDE


Essais sélectionnés : I=ABCD, I=ACE et I=BDE

24

A B AB C AC BC ABC D AD BD CD ABD ACD BCD ABCD E AE BE CE DE ABE ACE BCE ADE BDE CDE ABCE ABDE ACDE BCDE ABCDE

- - + - + + - - + + + - - - + - + + + + - - - - - - + + + + -

- - + - + + - - + + + - - - + + - - - - + + + + + + - - - - +

- - + - + + - + - - - + + + - - + + + - - - - + + + + - - - +

- - + - + + - + - - - + + + - + - - - + + + + - - - - + + + -

- - + + - - + - + + - - + + - - + + - + - + + - - + - + - - +

- - + + - - + - + + - - + + - + - - + - + - - + + - + - + + -

- - + + - - + + - - + + - - + - + + - - - + + + + - - - + + -

- - + + - - + + - - + + - - + + - - + + + - - - - + + + - - +

- + - - + - + - + - + + - + - - + - + + + - + - + - - - + - +

- + - - + - + - + - + + - + - + - + - - - + - + - + + + - + -

- + - - + - + + - + - - + - + - + - + - + - + + - + - + - + -

- + - - + - + + - + - - + - + + - + - + - + - - + - + - + - +

- + - + - + - - + - - + + - + - + - - + + + - - + + + - - + -

- + - + - + - - + - - + + - + + - + + - - - + + - - - + + - +

- + - + - + - + - + + - - + - - + - - - + + - + - - + + + - +

- + - + - + - + - + + - - + - + - + + + - - + - + + - - - + -

+ - - - - + + - - + + + + - - - - + + + + + - + - - - - - + +

+ - - - - + + - - + + + + - - + + - - - - - + - + + + + + - -

+ - - - - + + + + - - - - + + - - + + - + + - - + + - + + - -

+ - - - - + + + + - - - - + + + + - - + - - + + - - + - - + +

+ - - + + - - - - + - + - + + - - + - + + - + + - + + - + - -

+ - - + + - - - - + - + - + + + + - + - - + - - + - - + - + +

+ - - + + - - + + - + - + - - - - + - - + - + - + - + + - + +

+ - - + + - - + + - + - + - - + + - + + - + - + - + - - + - -

+ + + - - - - - - - + - + + + - - - + + - + + + + - + + - - -

+ + + - - - - - - - + - + + + + + + - - + - - - - + - - + + +

+ + + - - - - + + + - + - - - - - - + - - + + - - + + - + + +

+ + + - - - - + + + - + - - - + + + - + + - - + + - - + - - -

+ + + + + + + - - - - - - - - - - - - + - - - + + + - + + + +

+ + + + + + + - - - - - - - - + + + + - + + + - - - + - - - -

+ + + + + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - - -

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +



• Table 2^5-2

25

../2015/Generateur_eplan_v1.0.0.xlsm





• Quels sont les autres Essais (24 ) ?

• Comment les choisir pour désaliaser ?

– H1=A+CE

– H2=B+DE

– H3=C+AE

Approche : Rechercher les générateurs d’alias permettant d’élaborer un contraste des differences d’effets

26


Démarche pour désaliaser

H1=A+CE

H2=B+DE

H3=C+AE

Le générateur d’alias de CE, DE, AE ?

Pour avoir les contrastes :

H’1=A-CE

H’2=B-DE

H’3=C-AE

Il faut prendre comme générateur IE=-ACE E=-AC

27

I=ACE


Démarche pour désaliaser

On recalcule les générateurs dépendants

IE=-ACE

ID=ABCD

D’où IDE=ID IE=-BDE

Les essais en vert

28

A B C D E

- - - - -

- - - - +

- - - + -

- - - + +

- - + - -

- - + - +

- - + + -

- - + + +

- + - - -

- + - - +

- + - + -

- + - + +

- + + - -

- + + - +

- + + + -

- + + + +

+ - - - -

+ - - - +

+ - - + -

+ - - + +

+ - + - -

+ - + - +

+ - + + -

+ - + + +

+ + - - -

+ + - - +

+ + - + -

+ + - + +

+ + + - -

+ + + - +

+ + + + -

+ + + + +


Bilan des contrastes

Première série d’essais

H1=A+CE

H2=B+DE

H3=C+AE

Deuxième série d’essais :

H’1=A-CE

H’2=B-DE

H’3=C-AE

D’où

A=(H1+H’1)/2; CE=(H1-H’1)/2;

B=(H2+H’2)/2; DE=(H2-H’2)/2;

C=(H3+H’3)/2; AE=(H3-H’3)/2 29


Généralisation Plan fractionnaire 2k-p

• Choix d’un plan fractionnaire

– pour un plan complet avec k facteurs à deux niveaux : 2k expériences

– on réduit ce plan en prenant 2k-p expériences avec

– k-p3 si k=4,5,6 et k-p=4 si k=7,..15.

– On a donc recours au plan 23 ou 24.

• Alias et générateurs d’aliases

– Dans un plan 2k-p on dispose de p aliases indépendants dont on déduit des aliases dépendants par multiplication 2 à 2, 3 à 3 de tous les aliases indépendants, ce qui représente finalement 2p-1 générateurs d’alias.

• Exemples :

– 4 facteurs :

– p=1, 1 alias D=ABC,

• 1 générateur d’aliases I=ABCD

– 5 facteurs : p=2, 2 aliases D=ABC E=AB,

• 3 générateurs d’aliases I=ABCD, I=ABE, I=CDE

– 6 facteurs : p=3, 3 aliases et 7 générateurs d’aliases .


Niveau de résolution

31


Essais par blocs


Réalisation d’essais par Blocs

• Quand ? Si l’on souhaite réaliser des essais décalés dans le temps

– Ex : pour des raisons de temps on ne peut réaliser tous les essais sur un même équipement

• Utiliser 2 machines par exemple

• Tester l’effet de 4 facteurs A,B,C,D

– Solution : partager la table. Comment ?

• On peut prendre les essais 1-4 sur le 1er équipement

• puis 5 à 8 sur le second équipement

Table L8

Effet de l’équipement

Confondu avec l’effet de A

Equipement 1

Equipement 2


Réalisation d’essais par Blocs

• On ne pourra pas distinguer l’effet de A de celui de l’équipement

• Idée pour éviter la confusion avec A :

– Rechercher 2 blocs tel que l’effet de l’équipement ne soit pas confondu avec un facteur principal

– Création d’un facteur fictif : X (équipement)

• Choix d’une colonne d’affectation

– Par exemple : ABC, AC, BC

• Découpage des blocs :

– Bloc 1: 1,3,6,8

– Bloc 2 : 2,4,5,7


Exemple

• Un plan factoriel 8 essai a été réalisé pour minimiser le fluage (% d’allongement après 24 heures) d’une pièce.

• Facteurs listés sont : • A : la température

• B : la quantité de gomme

• C : la quantité d’additif

Essai Température Gommes Additif

1 - - -

2 - -

3 - -

4 -

5 - -

6 -

7 -

8

Mélangeur 1 Mélangeur 2

Comment répartir les essais sur

Les 2 mélangeurs ?


Quels essais choisir ?

36

1 2 3 4 5 6 7

-1 -1 1 -1 1 1 -1

-1 -1 1 1 -1 -1 1

-1 1 -1 -1 1 -1 1

-1 1 -1 1 -1 1 -1

1 -1 -1 -1 -1 1 1

1 -1 -1 1 1 -1 -1

1 1 1 -1 -1 _1 -1

1 1 1 1 1 1 1

Température Gommes Additif

36 Mélangeur 2

Comment répartir les essais sur

Les 2 mélangeurs ?


Exemple Essai Température Gommes Additif Réponse(%)

1 - - - 27.4

2 - - 31.1

3 - - 26.6

4 - 32.4

5 - - 31.4

6 - 16.5

7 - 27.5

8 15.5

Mélangeur 1

Mélangeur 2 Les essais sont répartis en 2 blocs de 4 :

- essais : 1 4 6 7

- essais : 2 3 5 8 Cela permet de ne pas

Confondre l’effet « changement de mélangeur »

avec un facteur du plan

Le facteur Type de mélangeur est affecté à la colonne 7

De la table L8(23)


Exemple Essai Température Gommes Additif Melangeur

(C7)

Réponse(%)

1 - - - - 27.4

2 - - 31.1

3 - - 26.6

4 - - 32.4

5 - - 31.4

6 - - 5.0

7 - - 27.5

8 15.5

Mélangeur 1

Mélangeur 2 Comment estimer l’effet bloc ?

Au travail !


Solution

-6

-4

-2

0

2

4

6

T°

Gomme

Additif

Melangeur

T° 3.6125 -3.6125

Gomme -0.8875 0.8875

Additif 4.7625 -4.7625

Melangeur -1.5375 1.5375

effet Moy- effet Moy+


Solution

F0.95(1,3)=10.01

Alors le mélangeur a-t-il introduit un effet bloc ?

Facteur SCE ddl V F

A 208.80 1 208.80 43.44

B 12.60 1 12.60 2.62

C 362.90 1 362.90 75.51

Melangeur 37.82 1 37.82 7.87

R 14.42 3 4.81

Total 636.55 7


Plans screening

• Les plans screening (Plaket-Burman) sont utilisés pour tester les facteurs principaux

• Qui ? Ne concerne que les plans à 2 niveaux

• Quand ? Lorsque le nombre de facteurs est élevé

• Cela permet de filtrer ou de débroussailler des cas complexes

• Comment générer ces plans ?

– Algorithme de permutation circulaire


Plans screening

• On donne la séquence de signes de la première ligne

• On réalise une permutation circulaire à partir de la droite

• On complète la dernière ligne par -1

Essayons !


Plans screening

• Les premières lignes en fonction du nombre de facteurs principaux à analyser

– k inférieur ou égal à 3 (N=4): -

– k inférieur ou égal à 7 (N=8): - - -

– k inférieur ou égal à 11(N=12) : - - - - -

– k inférieur ou égal à 15 (N=16) : - - - - - - -

– k inférieur ou égal à 19 (N=20): - - - - - - - - -


Exemple : tenue de soudage de supports

• Un plan d’expérience de type SCREENING a permis de tester l’influence de 4 facteurs de réglage sur la tenue de soudage de 2 supports :

• Les réponses sont : – Y1 : taux de microdéfauts souhaité < 20% – Y2 : Dureté après soudure souhaité >70 HB

• Les facteurs sont : – A : type de décapage -1 (mécanique) +1 (non mécanique) – B : jeu de supports -1 (0.1 mm) +1 (0.5 mm) – C : nature de soudure -1 (C10) +1 (C20) – D : montée en température -1 ( 5 min) +1 ( 10 min)

Générer le plan d’expérience « screening »!


Exemple

• 4 facteurs,

– k inférieur ou égal à 7 : - - -

8 essais

Construire la table


Exemple

A B C D Y1 Y2

1 - 60 75

2 - 78 90

3 - - 97 82

4 - - 38 40

5 - - - 69 80

6 - - 35 32

7 - 75 70

8 - - - - 58 32


Analyse du plan

• Estimation des effets moyens

• Analyse de Variance

• Écriture du modèle et validation

Les plans Factoriels Fractionnaires 2k-p · N. BOUDAOUD Plans d’expériences 1 Les plans...

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