Les médiatrices d’un triangle sont-elles concourantes… en classe de cinquième?
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Les médiatrices d’un triangle sont-elles concourantes…
en classe de cinquième?
DEJEAN Audrey, LOZE Delphine, MATHIEU Johan
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∙ Analyse à priori∙ Analyse didactique∙ Evaluation∙ Développement
Sommaire
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Activité proposée
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1. Conjecturer que les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes
2. Rédiger un programme de construction
Objectifs
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D1: Comprendre et reformuler le problème
Difficultés attendues
D2: Construction de médiatrices
D3: Les médiatrices obtenues ne sont pas concourantes
D4: Savoir conjecturer un résultat, une propriété
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Organisation mathématique
T1 : construire un point à égale distance de trois points non alignés
t1 : construire un point à égale distance des trois points qui modélisent les maisons
τ1 : construire les médiatrices de deux segments du triangle ABC (ces deux droites sont sécantes en un point qui est solution du problème posé)
Ө1 : deux médiatrices d’un triangle sont sécantes en un point qui est à égale distance des trois sommets du triangle
OM1 : [ T1 , t1 , τ1 , Ө1 ]
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Organisation mathématique
OM2 : [ T2 , t2 , τ2 , Ө2 ]
T2 : démontrer que trois droites sont concourantes
t2 : démontrer que les trois médiatrices du triangle sont concourantes
τ2 : on trace deux médiatrices et on montre que le point d’intersection de ces deux droites appartient à la troisième médiatrice
Ө2 : caractérisation de la médiatrice
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Organisation didactique
∙ Moment de première rencontre∙ Moment exploratoire
∙ Moment d’institutionnalisation
∙ Moment technologico-théorique
∙ Moment d’évaluation
∙ Moment du travail de l’OM
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Evaluation de l’organisation mathématique
T1 : construire un point à égale distance de trois points non alignés
τ1 : construire les médiatrices de deux segments du triangle ABC (ces deux droites sont sécantes en un point qui est solution du problème posé)
Ө1 : deux médiatrices d’un triangle sont sécantes en un point qui est à égale distance des trois sommets du triangle
OM1 : [ T1 , t1 , τ1 , Ө1 ]
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Evaluation de l’organisation mathématique
OM2 : [ T2 , t2 , τ2 , Ө2 ]
T2 : démontrer que trois droites sont concourantes
τ2 : on trace deux médiatrices et on montre que le point d’intersection de ces deux droites appartient à la troisième médiatrice
Ө2 : caractérisation de la médiatrice
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Evaluation de l’organisation didactique
1. Chronogenèse
2. Mésogenèse
3. Topogenèse4. Dialectique du groupe et de l’individu
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Chronogenèse
L’ organisation mathématique 1 :
• Moment de première rencontre
• Moment exploratoire
(reformulation de l’énoncé…)
(mise en commun…)
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Chronogenèse
L’ organisation mathématique 1 (suite) :
• Moment technologico-théorique
• Moment d’institutionnalisation
• Moment du travail de l’OM
(programme de construction…)
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Chronogenèse
La phase de démonstration a manqué de sens !
Absence de filiation entre l’OM1 et l’OM2
→ un moment de première rencontre réduit
→ un moment exploratoire trop bref, trop guidé
→ des moments de l’étude difficiles à distinguer
L’ organisation mathématique 2 :
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Mésogenèse
Quels sont les moyens et les ressources didactiques nécessaires ou utiles à la
création de l’OM1 et de l’OM2 ?
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Mésogenèse
1. Un point remarquable
2. Des phases d’expérimentations successives
3. Mise en commun
4. Une longue phase d’argumentation
lien entre expérimentation et déduction
OM1 :
5. Alternance des phases de déduction et d’expérimentation
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Mésogenèse
OM2 :
→ dialogues avec le groupe classe
→ des traces écrites communes
→ des ébauches d’expérimentation
→ phases de déduction plus présentes
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Topogenèse
OM1 :
▪ enrichissement du topos de l’élève
▪ rôle du prof. volontairement réduit
▪ forte réduction du topos de l’élève
▪ les moments de l’étude relèvent majoritairement du topos de l’enseignant
OM2 :
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Dialectique du groupe et de l’individu
▪ enrichissement du topos d’une majorité de la classe
▪ aucun foyer d’inactivité… mais quelques lieux d’activités différents
Chacun, à sa mesure et à sa façon, a eu la possibilité concrète de contribuer au travail de la classe.
La classe a-t-elle été un outil efficaceau service de chacun de ses membres ?
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Comment améliorernotre séance?
Gestion de la séance
La modélisation
La démonstration
Le logiciel de géométrie dynamique
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La phase de modélisation
INDISPENSABLE!
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La recherche personnelle de l’élève
L’élève:• rassemble son bagage mathématique• formule une conjecture
Le professeur:• a un aperçu du niveau de l’élève• est rassuré; le débat qui suit sera dense en propositions
à mettre au premier plan!
La gestion de la séance
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Le professeur devient « porte-craie »
L’élève • apprend à s’exprimer clairement • s’entraine à argumenter
Le professeur• renvoie les questions à la classe• fait reformuler si nécessaire
Le premier débat
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Et la démonstration?Le professeur doit donner le goût et l’envie de
démontrer à ses élèves
Comment?Nous devons la motiver, la rendre indispensable
S’appuyer sur des figures litigieuses et mener un débat qui ne trouverait pas d’issue
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Comment mener la démonstration?
Deux temps forts:
1. La phase de recherche et de production d’une preuve
2.La mise en forme de la démonstration
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1. La phase de recherche et de production d’une preuve
La recherche doit être libre
Il ne faut pas imposer une rédaction rigoureuse
L’élève apprend à organiser ses idées
L’élève doit trouver les grandes lignes de la démonstration
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1. La phase de recherche et de production d’une preuve
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2. La mise en forme de la démonstration
Réalisée en classe à partir de l’arbre de démonstration
Correction faite par le professeur pendant la séance
En devoir à la maison
Correction faite par un élève à la séance suivante
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La synthèse de la séance ne pas l’oublier!
Le logiciel de géométrie dynamique est un atout
Se créer une image mentale
Vient conforter le résultat que l’on a démontré
Observer des cas particuliers
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Retour sur nos pratiques