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Langage simple et puissant Transversal Simulations informatiques

Les Mathématiques, un langage transversal

Sébastien Leurent,

Institut de Mathématiques de Bourgogne ,

1 Un langage simple et puissant (peut-être trop)

2 Langage transversal : un même modèle pour divers contextes

3 Simulations informatiques pour le modèle ASEP

Sébastien Leurent Maths: langage transversal 16 Mars ’15 1 / 25

1 Un langage simple et puissant (peut-être trop)géométrie et surfacesprobabilitésstatistiques

2 Langage transversal : un même modèle pour divers contextesLe modèle ASEPModélisation de situations diversesAnalogies mathématiques

3 Simulations informatiques pour le modèle ASEPCas où p0 = p1Transistion de phaseDiagrammes de phase

Géométrie et surfaces Théorème de Pythagore

Surfaced’un rectangle :A = `× hd’un triangle rectangle :A = `×h

du grand carré :

A =(a + b)2

= c2 + 4a b2

d’oùc2 = (a + b)2 − 4a b

D’où le théorème de Pythagore : a2 + b2 = c2

du grand carré :

A =(a + b)2

= c2 + 4a b2

d’oùc2 = (a + b)2 − 4a b

du grand carré bleu :

A =(a + b)2

= c2 + 4a b2

d’oùc2 = (a + b)2 − 4a b

du grand carré :

A =(a + b)2 = c2 + 4a b2

d’oùc2 = (a + b)2 − 4a b

du grand carré :

A =(a + b)2 = c2 + 4a b2

d’oùc2 = (a + b)2 − 4a b

du grand carré bleu :

A =(a + b)2 = c2 + 4a b2

d’oùc2 = (a + b)2 − 4a b

Casse-têtes géométriques

Aire des figures géométriquesSi une figure n’a pas la même surface que le carré de droite,alors il est impossible de la découper et remplir le carré dedroiteSi ils ont la même surface, on peut essayer

Casse-têtes géométriques

Aire des figures géométriquesSi une figure n’a pas la même surface que le carré de droite,alors il est impossible de la découper et remplir le carré dedroiteSi ils ont la même surface, on peut essayer

Casse-têtes paradoxaux

ParadoxeLa surface du grand carré est la somme des surfaces des huitpièces bleues.La surface du grand carré est la somme des surfaces des huitpièces bleues et du carré rouge.

ExplicationLa réalité est plus complexe qu’une simple addition de surfacesgéométriques : les pièces n’ont pas des bords parfaitementrectilignes et il faut laisser des interstices entre elles.

Exemple d’introduction de probabilitéstrajet d’un signal lumineux

Un signal lumineux parcours uncercle de diamètre d = 1m à lavitesse v = 250000km/s.

Au bout d’un temps t = 10s, est-ilplus proche de l’émetteur E ou dupoint diamétralement opposé F ?

SolutionLe signal a eu le temps de fairev tπd ' 795774715, 45948 tours.

Il est donc plus proche de F que deE .

Précision du resultatSi on change le diamètre,d = 1.00001m ?

v tπd ' 795766757, 79189

Quand on change le temps (en attendant 20s au lieu de 10s) et lediamètre, la position finale change :

t = 10s t = 20sd = 1.00001 E Fd = 1.000001 F Fd = 1.0000001 E Ed = 1.00000001 F E

Un léger changement de d change le résultatConnaître la réponse pour t = 10s ne permet pas de déduire laréponse pour t = 20s.

En pratique il peut être trop difficile de connaître le temps, lediamètre, et la vitesse avec une précision suffisante pour ce calcul→ Simplification : à chaque instant, une chance sur deux d’être

plus proche de E que de F .Et la réponse à un instant donné ne dépend pas de la réponseaux instants précédents.

→ Calculs de probabilités. Exemple si on regarde à deux instantsdifférents :

résultat E,E E,F F,E F,Fprobabilité 1

Calculs simplificateurs, non valides si les instants sont tropextrêmement proches (comme 10s et 10.000000000000001s)

Probabilité

Problème trop compliquéOu pas d’informations assezprécises

pas de certitude sur ce qui sepassera

probabilitésplus simplepermet descalculs

exemple : pile ou face

Contrôle de la validité de calculs probabilistes : statistiques

Probabilité

Statistiques trompeusesCorrélation 6= causalité

Température moyenne mondiale en fonction du nombre de pirates

Nombre de pirates (approximatif)35000 45000 20000 15000 5000 400 17

18801860

c© Bobby Henderson, Derfel73, https://fr.wikipedia.org/wiki/Pastafarisme

Le modèle ASEP« Asymmetric simple exclusion process »

Succession de boîtes qui peuvent être vide où contenir unboule

Une boule peut se déplacer vers la droite s’il y a une case delibre à sa droite

Une boule peut se déplacer vers la droite s’il y a une case delibre à sa droiteOn répète l’opération en choisissant au hasard quelle boule sedéplace

Une boule peut se déplacer vers la droite s’il y a une case delibre à sa droiteAu lieu d’un tel déplacement, on a parfois une boule quiapparaît dans la première case

Une boule peut se déplacer vers la droite s’il y a une case delibre à sa droiteAu lieu d’un tel déplacement, on a parfois une boule quiapparaît dans la première caseou une boule qui disparaît de la dernière case

Description plus préciseÀ chaque étape, on choisit une case au hasard, ou la case« imaginaire » à gauche de toutes les autres.Chaque case a la probabilité 1

N+1 d’être choisie.

Description plus préciseÀ chaque étape, on choisit une case au hasard, ou la case« imaginaire » à gauche de toutes les autres.Si cette case est pleine et que la suivante est vide, on avancela boule d’un cran.

Description plus préciseÀ chaque étape, on choisit une case au hasard, ou la case« imaginaire » à gauche de toutes les autres.Si cette case est pleine et que la suivante est vide, on avancela boule d’un cran.Au bout de N étapes, on dit qu’une minute s’est écoulée

Description plus préciseÀ chaque étape, on choisit une case au hasard, ou la case« imaginaire » à gauche de toutes les autres.Si cette case est pleine et que la suivante est vide, on avancela boule d’un cran.Dans les « cases imaginaires » tout à droite et tout à gauche,on note p0 et p1 la probabilité d’avoir une boule

Trafic routier

On considère une route allant de la ville A à la ville B . Les voiturescorrespondent aux « boules » du modèle.

ville Aville B

p0 décrit le nombre de voitures qui veulent aller de la ville A àla ville Bp1 décrit les embouteillages à l’intérieur de la ville B

Trafic routier

On considère une route allant de la ville A à la ville B . Les voiturescorrespondent aux « boules » du modèle.

ville Aville B

p0 décrit le nombre de voitures qui veulent aller de la ville A àla ville Bp1 décrit les embouteillages à l’intérieur de la ville B

Transport

••

••Vaisseau sanguin Données

informatiques.

Transfert de gazentre récipients depressions différentes

Transfert de chaleur

Transport

••

informatiques.

Transport

••

informatiques.

Transport

••

informatiques.

Transport

••

informatiques.

Synthèse d’ADN, ARN, ou de protéinesMotivation historique de ce modèle

c© Adjustit, GFDL, https://commons.wikimedia.org/wiki/File%3AProteinTranscription%2BSynthesis.svg

Analogies mathématiques

Outils pour l’analyse de ce modèle : certaines « matrices »

assez particulières.

1 0 0 00 0 x 00 1 1− x 00 0 0 1

Les même matrices apparaissent dans certains modèles« quantiques »

aimantationphysique des particulesgravité quantique

1 0 0 00 0 x 00 1 1− x 00 0 0 1

Les même matrices apparaissent dans certains modèles« quantiques » ↔ « dualité onde-particule »

1 0 0 00 0 x 00 1 1− x 00 0 0 1

Cas où p0 = p1

Dans le cas du transfert entre des gaz,le cas où les deux récipients ont la mêmepression correspond à p0 = p1

Exemple : pour 20 cases, si p0 = p1 = 0.20 :

densité

0.25.5.751

0 20 40 60 80 100

Cas où p0 = p1

densité

0.25.5.751

0 20 40 60 80 100

Cas où p0 = p1

densité

0.25.5.751

0 20 40 60 80 100

Cas où p0 = p1

densité

0.25.5.751

0 20 40 60 80 100

Cas où p0 = p1

densité

0.25.5.751

0 20 40 60 80 100

Cas où p0 = p1

densité

0.25.5.751

0 20 40 60 80 100

Cas où p0 = p1

densité

0.25.5.751

0 20 40 60 80 100

Cas où p0 = p1

densité

0.25.5.751

0 20 40 60 80 100

Cas où p0 = p1

densité

0.25.5.751

0 20 40 60 80 100

Cas où p0 = p1

Exemple : pour 400 cases, si p = p0 = p1 = 0.20 :

0.25.5.751

0 3000 6000 9000 temps

densité

En moyenne, la proportion de cases remplies est pChaque minute, en moyenne, p(1− p) boules entrent à gauche,autant sortent à droite.

Cas où p0 = p1

0.25.5.751

0 3000 6000 9000 temps

densité

Cas où p0 = p1

0.25.5.751

0 3000 6000 9000 temps

densité

Cas où p0 < p1Transition de phase

p0 = 0.20 et p1 = 0.78 :

0.25.5.751

0 5000 10000 temps

densité

si p0 + p1 < 1→ densité p0

p0 = 0.20 et p1 = 0.82 :

0.25.5.751

0 5000 10000 temps

densité

p0 + p1 > 1→ densité p1

Et si p0 + p1 = 1 (par exemple p0 = 0.20, p1 = 0.80) :

Par ailleurs, si p0 > 12 > p1, densité 1

p0 = 0.20 et p1 = 0.78 :

0.25.5.751

0 5000 10000 temps

densité

p0 = 0.20 et p1 = 0.82 :

0.25.5.751

0 5000 10000 temps

densité

p0 = 0.20 et p1 = 0.78 :

0.25.5.751

0 5000 10000 temps

densité

p0 = 0.20 et p1 = 0.82 :

0.25.5.751

0 5000 10000 temps

densité

p0 = 0.20 et p1 = 0.78 :

0.25.5.751

0 5000 10000 temps

densité

p0 = 0.20 et p1 = 0.82 :

0.25.5.751

0 5000 10000 temps

densité

Diagrammes de phase

Densité du modèleASEP :

États de l’eau :

pression (atm)

liquide

température(˚C)0 100

gaz(vapeur)

solide(glace)

Point triple0.006 atm

.Point critique(218 atm; 374°C)

https://commons.wikimedia.org/wiki/File%3ADiag_eau.svg

Diagrammes de phase

Densité du modèleASEP :

États de l’eau :

pression (atm)

liquide

température(˚C)0 100

gaz(vapeur)

solide(glace)

Point triple0.006 atm

.Point critique(218 atm; 374°C)

https://commons.wikimedia.org/wiki/File%3ADiag_eau.svg

Crédits

MerciMerci pour votre attention

merci à Gianni A. Sarcone, de Archimedes Laboratory (TM)Project – créateur des casse-tête “Dudeney’s Zoo” et “Quadrix”merci aux contributeurs de wikimediamerci à V. Pasquier et E. Brunet

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