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LES MARES

1- Historique

Avant NEWTON, et depuis lantiquit, les opinions les plus disparates ont t mises sur lorigine des mares. Certes, quelques philosophes, ou de sagaces observateurs, avaient bien eu lintuition que la Lune jouait un rle important. POSIDONIUS avait donn un tableau des concordances quil avait observes sur la cte dEspagne entre les variations diurnes, mensuelles, et mme annuelles, des mares et les mouvements de la Lune et du Soleil. Mais, ct de cette vision exacte, que dopinions bizarres!

La mare est due au vent, comme le pensait ARISTOTE. Daprs PLATON, elle tait due aux oscillations dun liquide contenu dans des cavernes souterraines et correspondait une sorte de respiration de la terre. Le grand KEPLER lui-mme reprit cette ide insoutenable. BERNADIN de SAINT-PIERRE au 180 sicle voyait la cause des mares dans la fusion des glaces polaires!

GALILE avait bien vu le lien entre la rotation de la Terre et la priodicit des mares, mais refusait linfluence de la Lune comme sentant trop lastrologie!

Enfin, NEWTON lui-mme donna une explication dtaille du phnomne partir de la gravitation universelle. LAPLACE fixa les bases dfinitives de la thorie. Citons encore lamricain HARRIS, Henri POINCAR et bien dautres...

Lexplication dfinitive des mares reprsente une grande victoire de lesprit humain en face de phnomnes aussi complexes.

2- Leffet de mare

Considrons sur la figure 1, 5 points matriels immobiles A, B, C, D , G situs grande distance dun astre (L) (ce sera la Lune). La droite CD passe par le centre de lastre : O, tandis que la droite AB est perpendiculaire CD. GA = GB = GC = GD. Sur la figure sont traces les forces gravitationnelles subies par les 5 points. On voit qu cause de la dpendance en ,

|| C|| < || G|| < || D||; tandis que du fait que la force est centrale, et sont inclines par rapport la droite GO.

Si on veut appliquer la mcanique newtonienne dans le rfrentiel ayant lacclration de chute libre en G : , il faut ajouter les forces dinerties dentrainement -m aux forces prcdentes. Le rsultat est alors le suivant (figure 2).

C = C - m ; idem pour les autres forces. On peut montrer que || C|| et || D|| sont gales et doubles de || A|| et || B|| qui sont aussi gales.

Pierre BOUTELOUP

http://bouteloup.pierre.free.fr/astro/entreeastro.htmlhttp://bouteloup.pierre.free.fr/lica/fluide/g/g.htmlhttp://bouteloup.pierre.free.fr/lica/fluide/g/g.html

Considrons maintenant un astre sphrique solide (T) (ce sera la Terre), en chute libre en tant attir par lastre (L). Le solide prend lacclration de chute libre quaurait un point matriel isol situ au centre de gravit G. (T) reste distance constante de (L) en tant constamment en chute libre, emporte par son mouvement tangentiel. Dans le rfrentiel li au solide en chute libre, les forces appliques aux points de la surface, sommes des forces de gravitation dues (L) et des forces dinerties, ont alors lallure suivante (figure 3) :

Tel est bien le cas de la Terre anime chaque instant dune acclration dirige vers la Lune. Le bilan total des forces appliques un point de la surface terrestre suppose dajouter cette force de mare la force dattraction terrestre.

3- Thorie statique de Newton

Cette thorie suppose que les particules deau des ocans prennent instantanment la position dquilibre correspondant aux forces prcdentes. La surface de leau prend alors la forme dun ellipsode dont le grand axe est port par la droite joignant la Terre la Lune (figure 4) :

Le Soleil est galement lorigine dun effet de mare. Lellipsode dorigine solaire est indpendant de lellipsode dorigine lunaire, et chacun deux donne un bourrelet positif, au dessus, de la surface primitive, dans la direction de lastre et dans la direction oppose, bourrelet compens par un aplatissement quivalent dans le plan normal la droite joignant le centre de lastre au centre de la Terre, en raison de la constance du volume total de la mer.

La hauteur deau en chaque point est la somme algbrique des intumescences positives ou ngatives provoques par chacun des deux astres. Lors des syzygies (Pleines Lunes ou Nouvelles Lunes), les grands axes des ellipsodes lunaire et solaire tant en concidence, les mares sont fortes. On a les grandes mares, ou mares de vive-eau. Lors des quadratures (Premier ou Dernier Quartier), les mares sont faibles parce que les grands axes sont 900 lun de lautre. On a les petites mares ou mares de morte-eau.

En faisant intervenir la rotation de la Terre, on voit que la mare doit avoir une priodicit semi-diurne et une priodicit diurne. En effet, si lastre perturbateur nest pas dans le plan de lquateur (dclinaison non nulle), on voit sur la figure 5 que les points situs sur le parallle aa'prouvent deux pleines mers ab et a'b' nettement diffrentes. Il y aura donc une priodicit diurne puisquune fois par jour la mare sera plus forte, et cela au moment ou lastre passe au mridien suprieur du lieu. Cette priodicit diurne sera dautant plus marque que la dclinaison de lastre sera plus forte, donc aux solstices. Elle sera nulle aux quinoxes.

4- Quelques formules

Un calcul complet donne la valeur algbrique h de lcart au niveau moyen. est langle (figure 4 ).

ML masse de la Lune ; g = 9.81m/s2 DL distance Terre-Lune ; G constante de la gravitation universelleR rayon de laTerre

Le point fondamental est la dpendance en .

Lamplitude (dnivellation entre la basse mer et la haute mer) due la Lune sobtient par la diffrence h - h . On trouve 54 cm. Les amplitudes relles sont souvent bien suprieures cela. Nous en verrons lexplication au paragraphe 5. Le rapport de lamplitude due la Lune celle due au Soleil vaut :

On peut montrer que ce rapport r est proportionnel au rapport des densits de la Lune et du Soleil.

Exprimons (figure 6) la hauteur h en fonction de la dclinaison de lastre (angle avec le plan quatorial), de la latitude du lieu dobservation, et de langle horaire de lastre (angle entre le mridien du lieu et celui o lastre culmine). On trouve :

On retrouve la priodicit semi-diurne par le terme en cos2 . Cette priodicit est maximale aux quinoxes quand cos2 est maximal.

On retrouve galement la priodicit diurne par le terme en cos .

Cette priodicit est nulle aux quinoxes, quand sin2 est nul, comme nous lavons vu au & 3.

http://bouteloup.pierre.free.fr/astro/maree/r/r.html

5- Thorie de Laplace

En fait, les mares constituent un phnomne dynamique. La rotation de la Terre demande au bourrelet deau, pour pouvoir rester align avec lastre lorigine de la mare, de se propager par rapport aux fonds marins. Il y a donc formation dune onde de mare progressive. Mais les bassins ocaniques constituent des systmes clos. Il va donc se crer par de multiples rflexions des ondes stationnaires. Il va alors apparatre le phnomne de rsonance lorsque la priode propre doscillation dun bassin ocanique concidera avec une priode astronomique dexcitation.

LAPLACE suppose que dans lintervalle de temps considr (quelques priodes de mares) tous les paramtres astronomiques peuvent tre pris comme constants, les bassins ocaniques tant soumis aux excitations diurnes et semi-diurnes solaires et lunaires. Cest alors lexprience qui donne lamplitude et la phase de la rponse (le calcul thorique est effroyable).

Considrons par exemple, sur la figure 7, la carte des lignes cotidales de lOcan Atlantique, labore par HARRIS et STERNEK (lignes dgales heures de haute mer). Cette carte a t vrifie rcemment par mesures satellitaires. Le point central marqu par un rond dans lAtlantique nord est un point amphidromique (amplitude de mare nulle). De ce point Brest, la mer est haute 4h simultanment pour tous les points de la ligne. Pendant ce temps la mer est basse du point amphidromique au Labrador, puisquelle est haute 6h plus tard 10h.

On a donc une onde stationnaire. La mer est haute en France pendant quelle est basse au Canada. Lamplitude est trs faible entre ce point amphidronique et lIslande, sans tre nulle, cause de lexistence dune onde stationnaire perpendiculaire la prcdente; la force de Coriolis en effet, cre un dplacement transversal des eaux du bassin ds quelles se mettent en mouvement (Ondes de KELVIN; cest cause de ces ondes que les mares dans la manche sont plus fortes en France quen Angleterre). Les lignes cotidales doivent se succder autour des points amphidromiques dans le sens contraire celui des aiguilles dune montre dans lhmisphre Nord.

Considrons sur la figure 8 un bassin de longueur l. On sait que lorsque la longueur donde est trs suprieure la profondeur du bassin, la vitesse de propagation vaut v = ; z tant la profondeur; g = 9.81m/s2 .

La priode T doscillation correspond au temps daller et retour de lintumescence et lon a :

cest la formule de MRIAN.

Dans le cas de lAtlantique Nord, l 4000km, distance de Brest au Labrador, et z 3000m. On trouve T 12.8h. Ainsi, lAtlantique Nord rsonne trs bien sur londe semi-diurne lunaire de priode 12.4h. Ceci explique le fait que les mares sur nos ctes soient fortes. Cependant, on est dans le cas d'un oscillateur amorti (les courants de mare frottent sur le fond des ocans), avec une frquence excitatrice suprieure la frquence de rsonance. Il en rsulte que le moment de la hauteur maximale d'eau est dphas de 180, donc de 6h (la priode est de 12h) par rapport au moment o la Lune culmine (ou est l'oppos de la culmination). Ainsi, sur les ctes bordant l'atlantique, la mer est haute quand la Lune se lve ou se couche. Pour les mares dans la manche, il s'agit de la mare de l'atlantique qui s'engouffre dans la manche, sous la forme d'une onde de Kelvin, donc plus leve droite (France) qu' gauche (Angleterre) cause de la dviation par la force de Coriolis, et qui avance lentement (mer peu profonde). L'heure de la haute mer n'a donc plus rien voir avec la culmination de la Lune. Le fait que l'onde ait une amplitude plus grande droite qu' gauche, entrane qu'en France les mares sont plus fortes qu'en Angleterre dans la manche. Dans la mer du Nord, c'est le contraire, l'onde de l'ocan arrivant par le nord. Dautres cas existent. Ainsi, Tahiti, il y a rsonance sur londe semi-diurne solaire et la mer est haute tous les jours midi et minuit; mais lamplitude est faible.

6- Les mares sur les ctes de France bordant la Manche ou lAtlantique

Pour les mares sur ces ctes, nous ne garderons donc dans lexpression thorique de h que les termes semi-diurnes lunaire et solaire, la rsonance tant pratiquement nulle sur londe diurne. On obtient donc la Formule de LAPLACE, prive des termes diurnes :

Les amplitudes L et S ainsi que les phases a et b sont dterminer exprimentalement. Ph reprsente langle que font le Soleil et la Lune entre eux :

langle des phases de la Lune. Ph = (figure 9).

a est ltablissement corrig du port : retard entre le moment de la haute mer et le passage de la Lune au mridien lors des grandes mares (ondes lunaire et solaire en phase). Ltablissement corrig du port Brest vaut 3h46mn , ce qui donne a = 360 3.77/24 = 570 . Notons que lheure de la haute mer est de plus en plus tardive lorsque lon senfonce dans la Manche par le retard de londe venant de lAtlantique lors de sa progression.

On peut montrer que le retard entre le moment de la mare haute et le passage de la Lune au mridien ne varie pas beaucoup en un endroit donn. La mare se dcale donc rgulirement, comme la Lune, dun jour lautre. Elle se dcale plus au moment des mares de morte-eau. Il rsulte de cela, en particulier, qu en un lieu donn, la mer est haute toujours la mme heure en grande mare : 7hT.U. et 19hT.U. au Mont Saint Michel, 11hT.U. et 23hT.U. au Havre.

Les grandes mares se produisent lorsque les intumescences lunaire et solaire sont en phase (figure 10), ce qui donne :

k' = 0 la nouvelle Lune, et k' = la pleine Lune.

b - a est lge de la mare : dcalage entre les grandes mares et les syzygies (la grande mare a lieu un peu aprs la Pleine Lune ou la Nouvelle Lune). Pour Brest b - a = 190; or Ph varie de 190 en 37 heures. La grande mare est donc la troisime aprs celle la plus voisine de la conjonction ou de lopposition.

7. Formule approche du coefficient en grande mare

On peut donner une formule approche trs simple pour les coefficients des grandes mares sur nos ctes (Atlantique et Manche) :

Lors dune grande mare, les ondes solaire et lunaire sont en phase, et mare haute, h = Lcos2 + S cos2 '. Mais la distance Terre-Lune varie. On introduit la parallaxe lunaire p, angle sous lequel on voit depuis la Lune le rayon terrestre. La parallaxe moyenne < p > vaut 57'.

La dpendance en donne, laction moyenne de la Lune tant trouve gale 3 fois celle du Soleil :

Dun port lautre, sur nos ctes, les amplitudes des mares sont toujours proportionnelles entre elles. Une fois les rapports connus, lintensit de la mare sera connue quand on la connait en un lieu. On dfinit ainsi le coefficient de mare C, qui par dfinition vaut 100 pour une grande mare ayant lieu lorsque le Soleil et la Lune ont une dclinaison nulle, la Lune tant sa distance moyenne de la Terre. Les coefficients peuvent varier de 20 120. On obtient lamplitude de la mare en un lieu en multipliant par la hauteur du port (variation au lieu considr entre le niveau moyen et la haute mer en coefficient 100), puis par 2 pour passer de la hauteur lamplitude.

Notre formule approche donne alors :

Donnons un exemple de calcul :

Les tables des mares donnent pour le 9 mars 1993 : C = 119 . Les phmrides donnent :

' = -40 34.6'; = -30 18.2'; p = 61' 26 . La formule donne C = 118.5.

8- Examen des Grandes Mares La Lune dcrit une ellipse autour de la Terre, comme tout satellite.

Ngligeant linclinaison du plan de lorbite de la Lune sur lcliptique et Ph, on a '. Lamplitude dune grande mare dpend donc essentiellement de deux choses : p auquel correspond la distance Terre-Lune, et dclinaison du Soleil. Une trs forte mare correspond une Lune au prige (le prige est lui-mme variable, la Lune passant plus ou moins prs!) au voisinage de lquinoxe ( ' = 0), au moment dune Nouvelle Lune ou dune Pleine Lune.

Si la Lune est proche du prige la Nouvelle Lune par exemple, il est clair quelle sera prs de lapoge la Pleine Lune, ce qui fait quune grande mare sur deux a un coefficient suprieur 100. Les trs grandes mares ont donc lieu une fois par mois au voisinage des quinoxes.

Un petit schma (figure 11) nous montre que si, au printemps, on a de trs grandes mares (prige) de Pleines Lunes, lautomne, on aura de trs grandes mares de Nouvelles Lunes (et vice versa), la prcession du prige tant ngligeable sur six mois.

Dautre part, si il y a une trs bonne concidence entre sysygies, passage au prige et proximit de lquinoxe une anne, on peut vrifier, compte tenu de la prcession du prige (Rvolution Anomalistique) et de la dure de la Lunaison, que la situation se reproduit convenablement environ 4 ans plus tard, mais la Pleine Lune est remplace par la Nouvelle Lune et vice versa. En effet, le grand axe de l'ellipse orbite de la Lune fait un tour complet dans le sens positif en environ 9 ans, cause de la perturbation gravitationnelle du Soleil, donc un demi-tour en un peu plus de 4 ans. Les trs grandes mares ont donc lieu environ tous les 4 ans, quand cet axe est align avec la direction Soleil-Terre

http://bouteloup.pierre.free.fr/astro/satellite/animation.html

l'quinoxe. Si une anne, au printemps, la trs grande mare a lieu la Pleine Lune, 4 ans aprs, elle aura lieu la Nouvelle Lune, et vice versa.

Citons ainsi :

1980 18 mars 118 Nouvelle Lune1985 6 avril 117 Pleine Lune 1989 10 mars 117 Nouvelle Lune

1993 9 mars 119 Pleine Lune 1997 10 mars 119 Nouvelle Lune

Citons galement le Saros : la hauteur de la mer ntant fonction dans le mme lieu que des positions relatives du Soleil, de la Lune et de la Terre, elle doit redevenir la mme au bout de la priode qui ramne la mme position des trois astres. Cette priode est appele Saros. Elle vaut 6585.5 jours soit 18 ans 11 jours. Il y a donc tout de mme un lent dcalage par rapport lquinoxe.

9- Encore quelques rflexions

En ce qui concerne la hauteur du port, elle est amplifie dans les baies par effet de conservation de lnergie de londe dans un espace rduit : resserrement des ctes et hauts fonds. Cest le cas de la baie du Mont Saint Michel (hauteur de 6.25 m Granville).

Il faut galement parler du mascaret : Londe de mare se propage plus vite en aval dun fleuve o la profondeur est plus grande quen amont. Il y a donc dformation progressive de londe de mare lors de sa monte dans le fleuve. Cela peut aller jusqu la formation, en tte de londe, dun ressaut hydraulique. Une vague remonte le fleuve avec le flot. Cest le mascaret.

Il y a des mascarets en Angleterre sur la Severn, et galement sur la Dee prs de Chester; sur le Petitcodiac au Canada (1.50 m de hauteur); dans lAmazone (5 6 m).

En France, il y a un mascaret dans le Couesnon dune hauteur de quelques dizaines de centimtres (la hauteur est fonction de la profondeur du fleuve); dans la Garonne entre Bordeaux et Cadillac; dans la Dordogne Saint Pardon, o lon fait du surf sur le mascaret. Dans la Seine, avant les travaux dendiguement (digue du Ratier) et dapprofondissement du chenal, le mascaret atteignait une hauteur de 2.50 m Caudebec, l ou maintenant il a disparu. Mais il existe encore au dbarcadre du bac de Sahurs en aval de Rouen pour les coefficients suprieurs 100 o il arrive 12 minutes avant lheure de la haute mer au Havre. Il se forme au niveau de Duclair et est bien visible ds lamont de Duclair.

10- Analyse harmonique des mares

En fait, la thorie de Laplace supposait tous les paramtres astronomiques constants pendant lintervalle dune mare : distance Terre-Lune, dclinaisons etc. Or ces paramtres varient. La rponse dun ocan ces paramtres variables doit galement tre dtermine exprimentalement, avec encore la possibilit de rsonances modifiant lamplitude de la rponse. On dveloppe alors tous les paramtres astronomiques ayant une influence sur les mares en fonctions sinusodales : les harmoniques, et on dtermine exprimentalement la rponse de locan chacune de ces harmoniques. On arrive alors une prcision de quelques centimtres sur les hauteurs, et de quelques minutes sur les heures des mares. Cest la mthode utilise actuellement pour construire les tables des mares.

Si lon ne tient compte que des ondes semi-diurnes, diurnes et des priodes plus longues, la courbe donnant la variation de la hauteur deau au cours dune mare est trs voisine dune sinusode. Mais la prsence dharmoniques de priodes plus courtes peut la dformer considrablement. Ainsi, la baie de Seine possde lharmonique quart-diurne la plus forte du monde. Elle entrane une trs longue tale de pleine mer (plusieurs heures), lorigine de la construction du Havre par FRANOIS Ier, et une monte du flot trs rapide en grande mare. 11- Les harmoniques de la baie de Seine Les mares dans la manche sont causes par la remonte dans la manche des mares de l'atlantique. En grande mare, du fait que la manche est peu profonde, la variation relative de profondeur entre la mare haute et la mare basse est importante. Il en rsulte que la zone de mare haute avance beaucoup plus vite vers le Pas-de-Calais que la zone de mare basse du fait que la vitesse d'avance de l'onde est proportionnelle la racine carr de la profondeur. partir d'un profil sinusodal, l'onde de mare se dforme donc considrablement ce qui cre de nombreuses harmoniques. En particulier une harmonique quart-diurne et une harmonique sixime-diurne trs importantes. Le Provost et al.,1986 indique par exemple, pour une amplitude de 261 cm de l'onde semi-diurne, une amplitude de 49 cm de l'onde quart-diurne et une amplitude de 41 cm de l'onde sixime-diurne. Il y a en effet une rsonance importante de la manche sur ces deux harmoniques, ce qui les amplifie beaucoup. La manche ressemble un peu, entre Cherbourg et le pas-de-Calais un rectangle (figure 12).

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Figure 12 L'onde quart-diurne correspond l'oscillation suivant la longueur, il s'agit d'une oscillation entre la pointe de Barfleur et la baie de Somme. Rappelons la formule de Mrian :

La distance est environ l = 210 km. Avec une profondeur moyenne de 40 m environ et g = 9.81, on trouve une priode d'environ 6h. Pour l'onde sixime-diurne, il s'agit d'une oscillation suivant la largeur, entre la France et l'Angleterre. La distance entre le Havre et l'le de Wight vaut environ 144 km. Toujours pour une profondeur moyenne de 40 m, on trouve une priode de 4h. Nous montrons ci-dessous (figure 13) la courbe de mare Trouville le Dimanche de Pques 8 avril 2012 pour une mare de coefficient 114. On voit la trs longue tale de pleine mer (presque 4h) et la monte trs rapide du flot. Cette trs longue tale de pleine mer due aux harmoniques quart diurne et sixime diurne les plus fortes du monde est l'origine de la construction du port du Havre par Franois 1er. On voit apparatre, en grande mare, le phnomne de double pleine mer : la mer se met redescendre un petit peu avant de remonter ! La mare descend en 6h et monte en 2h! De nombreuses personnes se font donc piger tous les ans sur les bancs de sables de Trouville. grande mare basse l'automne, on peut en effet pcher dans le sable avec une pelle les quilles. C'est cette monte rapide du flot qui explique galement le mascaret dans la Seine.

Figure 13 La figure suivante (figure 14) montre comment en ajoutant les composantes semi-diurne, quart-

diurne et sixime-diurne, on reconstitue parfaitement la courbe de mare (les phases sont en degrs).

Figure 14. On peut s'exercer retrouver les bonnes valeurs de ces harmoniques (amplitudes et phases) avec l'animation de ce lien. Remarquons qu'une monte rapide, une longue tale de pleine mer et une descente lente correspondent bien la dformation d'une onde o le sommet va plus vite que le creux, comme dans le cas de la formation du mascaret.

12- loignement de la Lune cause de la rotation de la Terre et du frottement de l'eau sur les fonds marins, le bourrelet de mare est dplac en avant de la Lune si celle-ci tourne dans le mme sens que la Terre, et en arrire dans le cas contraire. Le bourrelet qui est proche de la Lune tire cette dernire vers l'avant et l'acclre (la ralentit dans le cas contraire), ce qui l'loigne de la Terre (la rapproche dans le cas contraire), d'environ 4 cm par an.. D'un autre ct, le frottement ralentit la Terre, et finalement, bien sr, le moment cintique total du systme Terre-Lune est conserv.

Bibliographie

Que sais-je? Jacques BOUTELOUP : Vagues, mares, courants marins; P.U.F.

Jules ROUCH : Trait docanographie physique, Tome III; Les mouvements de la mer; Payot Paris 1948

Jules ROUCH : Les mares; Payot Paris 1961

Michel DARS : Les mares; E.N.S.T.A. Tome 1 et II

Odile GURIN : Les mares

Les guides du S.H.O.M. : La Mare

Librairie et Bibliothque

Mdiathque du muse de la Villette, rayon Ocanographie

Coefficients des mares etc

3615 SHOM : Service Hydrographique et Ocanographique de la Marine; galement un site internet.

http://bouteloup.pierre.free.fr/astro/maree/harmoni/harmoni.htmlhttp://bouteloup.pierre.free.fr/astro/maree/tides/tides.html

Almanach du marin breton .

ANNEXE MARES

On retrouve le rsultat de la fin du & 8 directement par le raisonnement suivant : La ligne dapsides de la Lune est la droite qui joint le prige lapoge; cest encore le grand axe de lellipse lunaire. La ligne dapsides fait un tour dans le sens direct en 8.8 annes (3231.3 jours), elle avance donc de = 6 40= 1.9392510-3 rd par jour.

La position du prige fait donc un demi tour autour de la Terre en environ 4 ans.

La figure 16 nous montre alors que si une anne, la ligne des apsides est parallle la direction Terre-Soleil lquinoxe, elle reprendra la mme position 4 ans plus tard. Mais le prige ayant fait un demi tour, si au printemps il y avait de trs grandes mares de Pleine Lune, 4 ans plus tard, il y aura des trs grandes mares de Nouvelle Lune.

Les deux raisonnements peuvent tre fait : lutilisation directe de L = 29.530588 jours, dure de la Lunaison et de P = 27.554550 jours dure de la Rvolution Anomalistique et deuximement rvolution de la ligne des apsides.

On a, avec A = 365.256365 jours, dure de lanne et S = 27.32166140 jours priode sidrale de la Lune :

Supposons que la ligne des apsides fasse exactement 1/2 tour en 4 ans. On a : 4A = .

Le nombre de lunaisons en 1 ans est : = - 1.

Le nombre de rvolutions anomalistiques est : = -

La diffrence vaut : 1 -

En 4 ans, on obtient : 4 - = 4 - = 3.5

do un dcalage dune demie lunaison.

A lquinoxe de printemps 1993, la ligne des apsides fait un angle de 12.060 avec la ligne Terre-Soleil lquinoxe, la Pleine Lune ayant lieu le 8 mars 9h au mme moment quelques minutes prs

http://bouteloup.pierre.free.fr/art/clairaut.pdfhttp://bouteloup.pierre.free.fr/art/clairaut.pdf

que le passage au prige (ce qui explique la trs grande mare du 9 mars) et lquinoxe ayant lieu le 20 mars 14H 41 .