Les fonctions SINUSOÏDALES

Les fonctions

SINUSOÏDALES

Équations et graphiques

f(x) = sin x (forme générale de BASE)

f(x) = a sin [ b ( x – h ) ] + k (forme générale TRANSFORMÉE)

Les paramètres a, b, h, k influencent l’ouverture (dilatation ou contraction),

l’orientation du graphique ainsi que la position du sommet.

Exemple : f(x) = - 2 sin [ 3 ( x – 1 ) ] + 4

a b h k

a = - 2

b = 3

h = 1

k = 4

f(x) = cos x (forme générale de BASE)

f(x) = a cos [ b ( x – h ) ] + k (forme générale TRANSFORMÉE)

Fonction

SINUS

Fonction

COSINUS

- 1

1


x f(x)

0 0

0

1

0

-1

2

3

2

2

2

- 2 1

-1

0

5

2

3

7

2

2

3

2

2 5

2

3 7

2

-

2

- -3

2

-2 -5

2

-3 -7

2

L’angle « x » n’est pas en DEGRÉ, il

est en RADIAN !

Attention avec votre calculatrice* ! *Appuyer sur « MODE » et « RADIAN »

Fonction SINUS


x f(x)

0

-1

0

-

1

-

2

- 3

2

- 2

-1

1

0

- 5

2

- 3

- 7

2

- 1

1

2

- 2

2

3

2

2 5

2

3 7

2

-

2

- -3

2

-2 -5

2

-3 -7

2

L’angle « x » n’est pas en DEGRÉ, il

est en RADIAN !

Attention avec votre calculatrice* ! *Appuyer sur « MODE » et « RADIAN »

Fonction SINUS

- 1

1

f(x) = cos x (forme générale de BASE)

x f(x)

0 1

-1

0

1

0

2

3

2

2

2

- 2 0

0

-1

-

2

-

-3

2

2

3

2

2 5

2

3 7

2

-

2

- -3

2

-2 -5

2

-3 -7

2

Fonction COSINUS

f(x) = sin x

- 1

1

2

- 2

2

3

2

2 5

2

3 7

2

-

2

- -3

2

-2 -5

2

-3 -7

2

- 1

1

2

- 2

2

3

2

2 5

2

3 7

2

-

2

- -3

2

-2 -5

2

-3 -7

2

f(x) = cos x

f(x) = cos x

f(x) = sin x

- 1

1

2

- 2

2

3

2

2 5

2

3 7

2

-

2

- -3

2

-2 -5

2

-3 -7

2

f(x) = cos x

– / 2

cos x = sin ( x + / 2 )

La fonction COSINUS est une fonction SINUS qui a subie une translation

horizontale de / 2 vers la gauche.

Cette translation est appelée DÉPHASAGE.

Comme c’est le paramètre « h » qui représente la translation horizontale de

la courbe, on peut donc écrire que :

(car h = - / 2)

OU

sin x = cos ( x – / 2 ) (car h = / 2)

La fonction COSINUS est donc une fonction SINUSOÏDALE.

f(x) = sin x

Les fonctions SINUSOÏDALES sont des fonctions CYCLIQUES.

- 1

1

2

- 2

2

3

2

5

2

3 7

2

-

2

- -3

2

-2 -5

2

-3 -7

2

CYCLE : Plus petite portion de la courbe qui se répète.

2

PÉRIODE : Longueur d’un CYCLE.

AMPLITUDE : Variation de la hauteur de la fonction.

Cycle

Période

P = 2

| b |

A = Max – Min

2

A

A = | a |

f(x) = 2 sin ( x )

- 1

1

2

- 2

2

3

2

5

2

7

2

-

2

- -3

2

-2 -5

2

-3 -7

2

2

PÉRIODE = 3

AMPLITUDE = 2

Cycle

Période

P = 2

| b |

A = Max – Min

2

A

Exemple : 2

3

3

P = 2

2

3

= 2 x 3

2

= 3

A = 2 – -2

2 = 2 A = | a | A = | 2 |

A = 2

Représentation graphique

Méthode du RECTANGLE :

On forme un rectangle qui contient un cycle de la fonction.

SINUS COSINUS

Période Période

A A

A A

(h, k) (h, k)

(h, k + a)

ATTENTION ! Le signe des paramètres a et b influencent l’orientation du graphique !

Donc si a est négatif ou b est négatif, on obtient :

SINUS COSINUS

Période Période

A A

A A

(h, k) (h, k)

(h, k – a)

Tracer f(x) = 2 sin 2 ( x + ) + 2

1

2

4

3

2

3

2

5

2

7

2

-

2

- -3

2

-2 -5

2

-3 -7

2

2

P

A

Exemple #1 :

3

P = 2

| b | =

2

| 2 | =

(h, k) = (- , 2)

A = | a | = | 2 | = 2

Tracer f(x) = - 2 sin ( x – /2 ) + 1

1

2

4

3

2

3

2

5

2

7

2

-

2

- -3

2

-2 -5

2

-3 -7

2

2

A

Exemple #2 :

3

P = 2

| b | =

2

| 1 | = 2

(h, k) = (/2 , 1)

A = | a | = | - 2 | = 2

P

Déterminer l’équation de la fonction sinusoïdale ci-dessous

sous la forme :

2

4

8

6

2

3

2

5

2

7

2

-

2

- -3

2

-2 -5

2

-3 -7

2

2

A

Exemple #3 :

3

P = 2

| b |

2

| b | 3 =

(h, k) = (- , 3)

A = | a | 5 = a

P

A) f(x) = a sin b( x – h ) + k B) f(x) = a cos b( x – h ) + k

2

3 | b | = =

2

3

f(x) = 5 sin ( x + ) + 3 Réponse : 2

3

Déterminer l’équation de la fonction sinusoïdale ci-dessous

sous la forme :

2

4

8

6

2

3

2

5

2

7

2

-

2

- -3

2

-2 -5

2

-3 -7

2

2

Exemple #3 :

3

P = 2

| b |

2

| b | 3 =

(h, k) = (- , 3)

A = | a | 5 = a

A) f(x) = a sin b( x – h ) + k B) f(x) = a cos b( x – h ) + k

2

3 | b | = =

2

3

P = 2

| b |

2

| b | 3 =

(h, k) = (- /4 , 3)

A = | a | 5 = a

2

3 | b | = =

2

3

f(x) = 5 sin ( x + ) + 3 Réponse : 2

3

A

P

f(x) = 5 cos ( x + ) + 3 Réponse : 2

3

4

Cercle trigonométrique

DÉFINITION :

Le cercle trigonométrique est

un cercle centré à l’origine du

plan cartésien et ayant un

rayon égal à 1.

1 2 3 -1 -2 -3

1

2

3

-1

-2

-3

y

x

1 -1

1

-1

y

x

Coordonnées d’ANGLES remarquables

côté adjacent

hypoténuse

cos =

x

1

cos =

cos = x

1

P() = ( , ) x y

x

y

côté opposé

hypoténuse

sin =

y

1

sin =

sin = y

cos sin

On sait que :

1 -1

1

-1

y

x


P(50o) = ( , ) cos 50o sin 50o

Exemple :

A) Angle de 50o

x

y

1

500

x = cos

x = cos 50o

x ≈ 0,64

y = sin

y = sin 50o

y ≈ 0,77

P(50o) = ( , ) 0,64 0,77

1 -1

1

-1

y

x


P(73o) = ( , ) cos 73o sin 73o

Exemple :

B) Angle de 73o

x = cos

x = cos 73o

x ≈ 0,29

y = sin

y = sin 73o

y ≈ 0,96

P(73o) = ( , ) 0,29 0,96

1

x

y

730

1 -1

1

-1

y

x

300

1


Angle de 30o

Dans un triangle

rectangle, la

mesure du côté

opposé à l’angle

de 30o est la

moitié de celle de

l’hypoténuse !

Par Pythagore :

x

1

2

x2 + = 12 2

1

4

x2 + = 1

1

4

x2 = 1 –

3

4

x2 =

3

4

x =

3

2

x =

3

2

1

2

1 -1

1

-1

y

x


Angle de 30o

Dans un triangle

rectangle, la

mesure du côté


de 30o est la

moitié de celle de

l’hypoténuse !

Par Pythagore :

1

2

x2 + = 12 2

1

4

x2 + = 1

1

4

x2 = 1 –

3

4

x2 =

3

4

x =

3

2

x =

P(30o) = ( , ) 1

2

3

2

300

1

3

2

1

2

1 -1

1

-1

y

x


Angle de 45o

Par Pythagore :

x2 + x2 = 12

1

2

x2 =

1

2

2

2

x =

450

1

x

x

2x2 = 1

x =

1

2

x = Il faut

rationnaliser !

2

2

2

2

1 -1

1

-1

y

x


Angle de 45o

Par Pythagore :

x2 + x2 = 12

1

2

x2 =

1

2

2

2

x =

2x2 = 1

x =

1

2

x = Il faut

rationnaliser !

450

1

2

2

2

2

P(45o) = ( , ) 2

2

2

2

1 -1

1

-1

y

x


Angle de 60o

600

1 300

Dans un triangle

rectangle, la

mesure du côté


de 30o est la

moitié de celle de

l’hypoténuse !

1

2

x

Par Pythagore :

1

2

x2 + = 12 2

1

4

x2 + = 1

1

4

x2 = 1 –

3

4

x2 =

3

4

x = 3

2

x =

3

2

1 -1

1

-1

y

x


Angle de 60o

300

Dans un triangle

rectangle, la

mesure du côté


de 30o est la

moitié de celle de

l’hypoténuse ! Par Pythagore :

1

2

x2 + = 12 2

1

4

x2 + = 1

1

4

x2 = 1 –

3

4

x2 =

3

4

x = 3

2

x =

600

1

1

2

3

2 3

2

1

2

P(60o) = ( , )

1 -1

1

-1

y

x


P(30o) = ( , )

2

3

2

1

P(60o) = ( , )

2

3

2

1

P(45o) = ( , )

2

2

2

2 P(135o) = ( , )

2

2

2

2 -

P(150o) = ( , )

2

3

2

1 -

P(120o) = ( , )

2

3

2

1 -

- P(240o) = ( , )

2

3

2

1 -

P(225o) = ( , )

2

2

2

2 - -

P(210o) = ( , )

2

3

2

1 - -

P(300o) = ( , )

2

3

2

1 -

P(315o) = ( , )

2

2

2

2 -

P(330o) = ( , )

2

3

2

1 -

P(0o) = ( 1 , 0 )

P(90o) = ( 0 , 1 )

P(180o) = ( - 1 , 0 )

P(270o) = ( 0 , - 1 )

P( 360o ) = ( 1 , 0 )

Radians

DÉFINITION :

Il correspond à la mesure de

l’angle au centre dont les côtés

interceptent un arc dont la

longueur est égale au rayon.

1 -1

1

-1

y

x

1 1

Le radian est une autre façon de

mesurer un angle. 1 radian

y

x

1 radian

1 radian

1 radian

1 radian

1 radian

1 radian

≈ 0,2832 radian

Le cercle trigonométrique ayant un

rayon égal à 1, calculons sa

circonférence.

C = 2 r

C = 2 x 1

C = 2

On retrouve donc 2 radians

dans un cercle trigonométrique.

Soit ≈ 2 x 3,1416 ≈ 6,2832 radians.

(1 radian ≈ 57,30)

1

1

1

1

1

1

y

x

1 radian

1 radian

1 radian

1 radian

1 radian

1 radian

≈ 0,2832 radian

1

1

1

1

1

1

Conversions DEGRÉS <---> RAD

OU

On peut donc effectuer la proportion

suivante :

360o = 2 rad

180o = rad

Degrés

360o

Radians

2 =

OU

Degrés

180o

Radians

=


Exemples :

900

3600

x

2 =

2 x 900

3600

= x x = 2

A) Angle de 90o

300

3600

x

2 =

2 x 300

3600

= x x = 6

B) Angle de 30o

rad

rad

450

3600

x

2 =

2 x 450

3600

= x x = 4

C) Angle de 45o

rad

600

3600

x

2 =

2 x 600

3600

= x x = 3

D) Angle de 60o

rad


0 0o

DEGRÉS RADIANS

Angles IMPORTANTS :

6

30o

4

45o

3

60o

90o

2

180o

2

3 270o

360o 2


1 -1

1

-1

y

x

P(30o) = ( , )

2

3

2

1

P(60o) = ( , )

2

3

2

1

P(45o) = ( , )

2

2

2

2 P(135o) = ( , )

2

2

2

2 -

P(150o) = ( , )

2

3

2

1 -

P(120o) = ( , )

2

3

2

1 -

- P(240o) = ( , )

2

3

2

1 -

P(225o) = ( , )

2

2

2

2 - -

P(210o) = ( , )

2

3

2

1 - -

P(300o) = ( , )

2

3

2

1 -

P(315o) = ( , )

2

2

2

2 -

P(330o) = ( , )

2

3

2

1 -

P(0o) = ( 1 , 0 )

P(90o) = ( 0 , 1 )

P(180o) = ( - 1 , 0 )

P(270o) = ( 0 , - 1 )


P( 360o ) = ( 1 , 0 )


1 -1

1

-1

y

x

P( ) = ( , )

2

3

2

1

P( ) = ( , )

2

3

2

1

P( ) = ( , )

2

2

2

2 P( ) = ( , )

2

2

2

2 -

P( ) = ( , )

2

3

2

1 -

P( ) = ( , )

2

3

2

1 -

- P( ) = ( , )

2

3

2

1 -

P( ) = ( , )

2

2

2

2 - -

P( ) = ( , )

2

3

2

1 - -

P( ) = ( , )

2

3

2

1 -

P( ) = ( , )

2

2

2

2 -

P( ) = ( , )

2

3

2

1 -

P( ) = ( 1 , 0 )

P( ) = ( 0 , 1 )

P( ) = ( - 1 , 0 )

P( ) = ( 0 , - 1 )


6

4

3

6

7

4

5

4

3

6

5

4

3

2

3

6

11

4

7

5

3

3

2

2

P( ) = ( 1 , 0 ) 2

0

Les fonctions SINUSOÏDALES

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