Les deux cônes Chapitre 4 Cette fois on fait simplement le lien avec les sphères de Dandelin. C’est un peu plus allusif mais les personnes à qui cela n’évoque rien pourront ne pas s’en soucier outre mesure.

Sommaire 4 1Méthode pour le premier cercle de Dandelin : ...............................................................................2

4 1 1 Le centre de la première sphère .............................................................................................3

4 1 1 1 Construction de la bissectrice en O1 ................................................................................3

4 1 1 2Le cercle de départ de centre O1 et les points a et b .........................................................3

4 1 1 3 Les cercles Ca et Cb ..........................................................................................................4

4 1 1 4 L’intersection des cercles Ca et Cb ...................................................................................5

4 1 1 5 L’équation de la bissectrice ........................................................................................... 11

4 1 1 6 Le centre de la sphère comme l’intersection de la bissectrice issue de O1 et de la

bissectrice issue de B. ................................................................................................................ 13

4 1 2 Le rayon ............................................................................................................................... 15

4 1 2 1 La perpendiculaire au plan de coupe passant par J ......................................................... 15

4 1 2 2 L’intersection de la perpendiculaire avec le plan de coupe. ............................................ 17

4 1 2 3 Calcul du rayon de la sphère .......................................................................................... 19

4 1 2 4 Calcul DES FOYERS ........................................................................................................ 21

4 2 La seconde sphère de Dandelin ................................................................................................... 29

4 2 1 Le centre de la seconde sphère ............................................................................................. 29

4 2 1 1 Construction de la bissectrice en O1 .............................................................................. 29

4 2 1 2 Le cercle de départ de centre O1 et les points b et c ...................................................... 29

4 1 2 3 Les cercles Cc et Cb ........................................................................................................ 30

4 1 2 4 Intersection des cercles Cc et Cb .................................................................................... 30

4 2 1 5 L’équation de la bissectrice ........................................................................................... 33

4 2 1 6 Le centre de la sphère comme l’intersection de la bissectrice issue de O1 et de la

bissectrice issue de B. ................................................................................................................ 35

4 2 2 Le rayon ............................................................................................................................... 37

4 2 2 1 La perpendiculaire au plan de coupe passant par J’ ........................................................ 37

4 2 2 2 L’intersection de la perpendiculaire avec le plan de coupe. ............................................ 39

Reprenons la vue de profil d’un système de deux cônes. Concentrons-nous sur le cône du dessous. Nous avons donc un triangle équilatéral de base AC et de sommet A. Le plan de coupe croise le segment AB en O1 origine du repère.

On distingue ainsi deux parties : l’une située au dessus du plan de coupe et sous le sommet B, l’autre située sous le plan de coupe. Nous allons tâcher de déterminer un cercle inscrit pour chacune de ces parties.

4 1Méthode pour le premier cercle de Dandelin : Le premier cercle sera donc inscrit au triangle (O,B,P). Mais nous savons que le cercle inscrit dans un triangle se trouve au croisement

des bissectrices de ce triangle. Or la verticale issue de B est une première bissectrice. Il nous suffira donc de tracer une deuxième bissectrice par exemple celle issue de O1 pour trouver le centre du cercle inscrit.

4 1 1 Le centre de la première sphère

4 1 1 1 Construction de la bissectrice en O1

4 1 1 2Le cercle de départ de centre O1 et les points a et b D’abord traçons un cercle de rayon r1 et de centre O1. Ce cercle coupe le segment (O1,B) au point a et le plan de coupe au point b.

L’angle du cône au sommet est alpha. L’angle sur le côté est donc de pi/2- alpha. Les coordonnées du point a sont donc : xa = r1 * cos(pi/2- alpha) = r1*sin(alpha) ya = r1* sin(pi/2- alpha) = r1*cos(alpha) L’angle du plan de coupe avec l’horizontal est de béta, donc les coordonnées du point b sont : xb = r1 * cos(béta) yb = r1* sin(béta)

4 1 1 3 Les cercles Ca et Cb Traçons ensuite deux cercles de centre respectivement a et b et de même rayon r1. On calcule l’équation du cercle Ca :

De la même façon pour le cercle Cb :

A ce stade on peut avoir la présentation suivante sur Excel :

On met à gauche les données de base, comme le rayon des cercles Ca et Cb mais également les coordonnées de leur centre respectif. A droite on construit leur équation d’une façon progressive pour rendre les formules plus lisibles.

Le cercle Ca est représenté en jaune. Le cercle Cb est représenté en rouge.

4 1 1 4 L’intersection des cercles Ca et Cb Nommons I le point de cette intersection et représentons-le dans la figure suivante :

Déterminons l’intersection les coordonnées de ce point I :

Pour cela on part des équations au carré que l’on développe. La première d’entre elles est celle de Ca :

On fait de même pour Cb :

On soustrait la deuxième à la première :

On extrait le terme en y :

Soit

On pose

Mais Xa²+ya² = r1*sin²(alpha) + r1*cos²(alpha) = 1 Et Xb²+yb² = r1 * cos²(béta) + r1 * sin²(béta)=1 Donc N = 0 Il s’ensuit que :

Donc

Déjà on peut illustrer cette première partie avec sa traduction sous forme de tableau Excel :

On construit la formule de N en faisant référence aux cases du dessus et on constate l’égalité avec 0. On remplace les valeurs de y et de y² dans l’équation de Cb :

Cela donne :

On fait passer le second terme dans le premier pour avoir une équation égale à zéro :

On regroupe les termes en x², en x et les constantes pour obtenir une équation du second degré :

Donc on a les coefficients :

Il reste à calculer le déterminant delta

Les valeurs de X s’ensuivent selon la formule habituelle

Cela donne sous la forme du tableau Excel :

On prend la racine positive (puisque l’autre est nulle). Il suffit dés lors de l’insérer dans l’équation du cercle Ca ou Cb pour obtenir l’ordonnée du point d’intersection. L’équation du cercle Cb est la suivante :

Donc si l’on prend :

Alors cela donne :

Cela donne sous la forme d’une feuille de calcul Excel :

Sur la gauche on exprime x(I) et y(I). Sur la droite on construit les tableaux qui permettent la représentation de la verticale x =x(I) et de l’horizontale y = y(I) à l’intersection desquelles se trouve le point I.

On représente en couleur bleue la verticale x = x(I) et l’horizontale

y = y(I)

Naturellement on pourrait décomposer a et b en leurs éléments constitutifs mais l’écriture deviendrait trop complexe. Mieux vaut sur la feuille de calcul Excel, donner en un premier temps les coefficients Puis ensuite écrire les équations qui y réfèrent. On obtient ainsi les coordonnées du point I. Il suffira de le joindre au point O1 pour obtenir la bissectrice à l’angle O1.

Récapitulons : Le point (I) d’intersection des cercles Ca et Cb a pour coordonnées :

Avec

4 1 1 5 L’équation de la bissectrice Il s’agit de déterminer le coefficient directeur de la bissectrice. Celui-ci n’est autre que le quotient de l’ordonnée du point (I) par son abscisse attendu que la droite passe par O1. Si l’on nomme (a) le coefficient directeur on a :

(Attention à ne pas confondre le (a) coefficient directeur de la bissectrice et le a qui forme un des coefficients de l’équation du second degré dont on a tiré l’abscisse du point d’intersection des deux cercles Ca et Cb) Donc l’équation s’écrit :

A noter qu’il n’y a pas de terme en (b) puisque la droite passe par le point O1 origine du repère. Pour revenir à notre exemple. On a sur Excel :

A gauche on calcule le coefficient directeur, à droite on en déduit les coordonnées de deux points qui suffiront pour le tracé de la droite.

On représente par une oblique violette la bissectrice à l’angle O1.

4 1 1 6 Le centre de la sphère comme l’intersection de la bissectrice issue de O1 et de la bissectrice issue de B.

L’examen de la figure nous fait clairement comprendre que l’abscisse de l’intersection a pour valeur r1. Par contre l’ordonnée n’est autre que l’image de r1 par l’équation de la bissectrice à O1. Ainsi si l’on nomme J le point de l’intersection ainsi définie :

-5,00

-3,00

-1,00

1,00

3,00

5,00

7,00

9,00

11,00

13,00

15,00

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

On a ainsi trouvé le centre de la première sphère de Dandelin. Encore faut-il calculer son rayon.

Sur la gauche, on calcule les coordonnées du point (J). Sur la droite on établit le tableau des valeurs des droites x = r1 et y = y(J) dont l’intersection matérialise le point (J) sur le schéma Excel.

La verticale noire représente la droite x = r1, l’horizontale noire représente la droite y = y(J). Leur intersection représente donc le centre de la première sphère de Dandelin.

-5,00

-3,00

-1,00

1,00

3,00

5,00

7,00

9,00

11,00

13,00

15,00

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

4 1 2 Le rayon Pour déterminer le rayon de la première sphère de Dandelin il faut abaisser une perpendiculaire sur le plan de coupe. Calculer le point d’intersection de cette perpendiculaire avec le plan de coupe. Ainsi pourra-t-on en déduire la distance qui sépare le centre de la sphère de Dandelin du point d’intersection ainsi définie. Cette distance ne sera rien autre chose que le rayon.

4 1 2 1 La perpendiculaire au plan de coupe passant par J

Le plan de coupe fait un angle béta par rapport à l’horizontale. Il est naturel que sa perpendiculaire ait un angle de béta + pi/2.

Son coefficient directeur est donc

Soit

Puisque c’est une droite dont l’équation est du type y = a*x + b. Connaissant (a), il nous reste à déterminer (b) l’ordonnée à l’origine. Cette droite passe par le point ( J ) dont on a vu précédemment que les coordonnées sont :

Cela veut dire que :

Donc

Soit plus simplement

S’ensuit l’équation de la perpendiculaire au plan de coupe passant par le centre (J) de la sphère de Dandelin:

La droite oblique bleue représente la perpendiculaire au plan de coupe passant par le centre (J) de la sphère de Dandelin.

4 1 2 2 L’intersection de la perpendiculaire avec le plan de coupe. Nommons (K) cette intersection.

L’équation du plan de coupe est de :

On aura donc à son intersection avec la perpendiculaire

-1,00

1,00

3,00

5,00

7,00

9,00

11,00

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Soit

Soit

Soit

Ou encore :

Le point recherché étant situé sur le plan de coupe on a

Soit

On a représenté en vert les deux segments à l’intersection desquels se trouve le point K intersection de la perpendiculaire avec le plan de coupe. Le segment horizontal étant une partie de la droite y = y(K) et le segment verticale une partie de la droite d’équation x= x(K)

4 1 2 3 Calcul du rayon de la sphère

Nous connaissons les coordonnées du centre de la sphère

-1,00

1,00

3,00

5,00

7,00

9,00

11,00

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Et nous connaissons les coordonnées d’un point du plan de coupe tel que la droite le joignant au centre de la sphère soit perpendiculaire à ce même plan. Il s’agit de :

Ainsi le calcul de la distance se fait-il de la façon coutumière en prenant la racine de la somme des carrés :

A gauche on calcule la distance (J,K), à droite on insère le tableau avec les coordonnées des points qui servent à construire le cercle.

4 1 2 4 Calcul DES FOYERS

Calcul de (O1K) Dans le cas de l’ellipse le point K sera nommé foyer. Il peut donc être utile d’exprimer la distance qui le sépare aussi bien de O1 que de L :

-1,00

1,00

3,00

5,00

7,00

9,00

11,00

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Nous avons nommé (a) le quotient directeur de la bissectrice (à ne pas confondre avec le a qui figure un des coefficients de l’équation du second degré.

Mais le quotient directeur d’une droite n’est autre que la tangente de l’angle avec l’horizontale. Nommons cet angle θ .Cette inclinaison sera donc donnée par la formule

La figure montre de façon immédiate que :

Mais

Donc

On trace en marron le quart de cercle de centre O1 et de rayon (O1,K) ainsi calculé. L’intersection avec le plan de coupe se fait bien au point d’intersection de ce dernier avec la perpendiculaire issue du centre J de la sphère de Dandelin.

Calcul de (K,L) Pour calculer (K,L) il faut d’abord établir une expression de (O1,L) puis en soustraire (O1,K).

-1,00

1,00

3,00

5,00

7,00

9,00

11,00

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

On a vu au paragraphe 1 .2 2 que l’équation de la pente droite du cône est la suivante :

De sorte que l’intersection avec le plan de coupe d’équation :

Est fournie par l’égalité :

Naturellement l’ordonnée du point L vaut :

Il reste ensuite à calculer la distance (O1,L) :

Finalement :

Cela se concrétise sur Excel par le tableau suivant. A gauche on établit la distance (O1,L) et à droite on construit le cercle du même rayon pour vérifier la concordance sur la figure.

La construction du cercle de rayon (O1,L) atteste que l’expression de la distance (O1,L) coïncide bien avec le point L recherché.

La dernière étape est de soustraire de cette distance celle de (O1,K) précédemment calculée.

Sur le tableau excel on peut poser directement

(K,L) = (O1,L) – (O1,K). Une vérification pourrait consister à tracer le cercle de centre L et de rayon (K,L).

-1,00

1,00

3,00

5,00

7,00

9,00

11,00

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Résumé sur la distance (L,K) :

Soit :

Avec

Avec

Remarque

On remarque que lorsque l’angle béta dépasse l’angle pi/2 + alpha alors la sphère de Dandelin que l’on vient de définir passe dans le cône supérieur :

4 2 La seconde sphère de Dandelin

4 2 1 Le centre de la seconde sphère

4 2 1 1 Construction de la bissectrice en O1

4 2 1 2 Le cercle de départ de centre O1 et les points b et c Nous gardons le cercle de rayon r1 et de centre O1. Ce cercle coupe le segment (O1,B) dans sa partie inférieure au point c. Il coupe le plan de coupe au point b.

L’angle du cône au sommet est alpha. L’angle sur le côté est donc de pi/2- alpha. Les coordonnées du point c sont donc : xc = r1 * cos(3pi/2- alpha) = - r1*sin(alpha) yc = r1* sin(3pi/2- alpha) = -r1*cos(alpha) Les coordonnées du point b ne changent pas : xb = r1 * cos(béta)

yb = r1* sin(béta)

4 1 2 3 Les cercles Cc et Cb Traçons ensuite deux cercles de centre respectivement a et b et de même rayon r1. On calcule l’équation du cercle Cc :

L’équation du cercle Cb demeure :

En rouge on a le cercle Cb, en orange le cercle Cc, et en vert le premier cercle de centre O1 et de rayon r1.

4 1 2 4 Intersection des cercles Cc et Cb On reprend les conclusions du paragraphe précédent concernant l’intersection des cercles Ca et Cb. Simplement les adapte-t-on au cas présent :

-10,00

-8,00

-6,00

-4,00

-2,00

0,00

2,00

4,00

6,00

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Le point (I) d’intersection des cercles Ca et Cb a pour coordonnées :

avec

On adapte ces formules aux cercles Cb et Cc. Pour l’abscisse, il n’y a rien à faire, pour l’ordonnée on remplace xb, yb par le centre du cercle dont I fait partie. Il fait partie de Cb et de Cc. Mais on va l’exprimer sur Cc, donc on remplace xb par xc et yb par yc.

Avec

Delta ne change pas, par contre les coefficients sont adaptés :

devient

devient :

Par contre : reste

En définitive on a donc :

Avec

Cela correspond sur Excel aux tableaux suivant :

4 2 1 5 L’équation de la bissectrice Il s’agit de déterminer le coefficient directeur de la bissectrice. Celui-ci n’est autre que le quotient de l’ordonnée du point (I’) par son abscisse attendu que la droite passe par O1. Si l’on nomme (a) le coefficient directeur on a :

(Attention à ne pas confondre le (a) coefficient directeur de la bissectrice et le a qui forme un des coefficients de l’équation du second degré dont on a tiré l’abscisse du point d’intersection des deux cercles Ca et Cb) Donc l’équation s’écrit :

A noter qu’il n’y a pas de terme en (b) puisque la droite passe par le point O1 origine du repère. Pour revenir à notre exemple. On a sur Excel :

-10,00

-8,00

-6,00

-4,00

-2,00

0,00

2,00

4,00

6,00

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

4 2 1 6 Le centre de la sphère comme l’intersection de la bissectrice issue de O1 et de la bissectrice issue de B.

En noir : cercle de centre O1 et de rayon r1. En rouge : cercle de centre b et de rayon R quelconque En bleu : cercle de centre C et de rayon R identique au précédent. Oblique verte : c’est la bissectrice à O1. Oblique rouge, c’est la perpendiculaire au plan de coupe passant par I’ intersection des cercles Cb et Cc. En vert : cercle de centre J’

L’examen de la figure nous fait clairement comprendre que l’abscisse Du point d’intersection a pour valeur r1. Par contre l’ordonnée n’est autre que l’image de r1 par l’équation de la bissectrice à O1. Ainsi si l’on nomme J’ le point de l’intersection ainsi définie :

On a ainsi trouvé le centre de la deuxième sphère de Dandelin. Encore faut-il calculer son rayon.

-10,00

-8,00

-6,00

-4,00

-2,00

0,00

2,00

4,00

6,00

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

4 2 2 Le rayon Pour déterminer le rayon de la deuxième sphère de Dandelin il faut faire comme pour la première sphère, et donc

1) Abaisser une perpendiculaire sur le plan de coupe. 2) Calculer le point d’intersection de cette perpendiculaire avec le

plan de coupe. 3) En déduire la distance qui sépare le centre de la sphère de

Dandelin du point d’intersection ainsi définie. Cette distance ne sera rien autre chose que le rayon.

4 2 2 1 La perpendiculaire au plan de coupe passant par J’

Le plan de coupe fait un angle béta par rapport à l’horizontale. Il est naturel que sa perpendiculaire ait un angle de béta + pi/2.

Son coefficient directeur est donc

Soit

Puisque c’est une droite dont l’équation est du type y = a*x + b.

Connaissant (a), il nous reste à déterminer (b) l’ordonnée à l’origine. Cette droite passe par le point ( J’ ) dont on a vu précédemment que les coordonnées sont :

Cela veut dire que :

Donc

Soit plus simplement

S’ensuit l’équation de la perpendiculaire au plan de coupe passant par le centre (J’) de la sphère de Dandelin:

En rouge, on représente la perpendiculaire au plan de coupe qui passe par J’

4 2 2 2 L’intersection de la perpendiculaire avec le plan de coupe. Nommons (K’) cette intersection.

-10,00

-8,00

-6,00

-4,00

-2,00

0,00

2,00

4,00

6,00

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

L’équation du plan de coupe est de :

On aura donc à son intersection avec la perpendiculaire

Soit

Soit

Soit

Ou encore :

Le point recherché étant situé sur le plan de coupe on a :

Soit

4 2 2 3 Calcul du rayon de la sphère

Nous connaissons les coordonnées du centre de la sphère

-10,00

-8,00

-6,00

-4,00

-2,00

0,00

2,00

4,00

6,00

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Et nous connaissons les coordonnées d’un point du plan de coupe tel que la droite le joignant au centre de la sphère soit perpendiculaire à ce même plan. Il s’agit de :

Ainsi le calcul de la distance se fait-il de la façon coutumière en prenant la racine de la somme des carrés :

Notre exemple sur Excel nous donne le tableau :

4 1 2 4 Calcul DES FOYERS

Calcul de (O1K’) Dans le cas de l’ellipse le point K’ sera nommé foyer. Il peut donc être utile d’exprimer la distance qui le sépare aussi bien de O1 que de L :

-10,00

-8,00

-6,00

-4,00

-2,00

0,00

2,00

4,00

6,00

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nous avons nommé (a) le quotient directeur de la bissectrice (à ne pas confondre avec le a qui figure un des coefficients de l’équation du second degré.

Mais le quotient directeur d’une droite n’est autre que la tangente de l’angle avec l’horizontale. Nommons cet angle θ .Cette inclinaison sera donc donnée par la formule

La figure montre de façon immédiate que :

Mais

Donc

-10,00

-8,00

-6,00

-4,00

-2,00

0,00

2,00

4,00

6,00

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10