Les carrés gréco-latins, ou la problématique qu’Euler ne put résoudre

Présenté par:Sami Barrit

Kevin GeversKim Lê

Simon MehannaBalthazar Kabeya

Collège Saint-Michel 2010

Plan de la présentation

Introduction: Euler et les 36 officiers Les carrés latins Les carrés latins orthogonaux Formation d’un carré gréco-latin d’ordre n

impair Formation d’un carré gréco-latin d’ordre n pair

1. n multiple de 42. n non-multiple de 4

Utilités et applications

Euler et les 36 officiers

1782 Leonhard Euler 6 régiments, 6 grades,

36 officiers Carré gréco-latin

d’ordre 6 Impossibilité

démontrée par Tarry

Les carrés latins

Carré d’ordre n n éléments différents

5 colonnes

5 lig

nes

Ici, n=5

Les carrés latins

Carré d’ordre n n éléments différents 1 2 3 4 5

5 colonnes

5 lig

nes

Ici, n=5

Les carrés latins

Carré d’ordre n n éléments différents Chaque élément n’apparaît qu’une fois par ligne et par colonne

1 2 3 4 5

5 colonnes

5 lig

nes

Ici, n=5

Les carrés latins

Carré d’ordre n n éléments différents Chaque élément n’apparaît qu’une fois par ligne et par colonne

1 2 3 4 5

2 3 4 5 1

3 4 5 1 2

4 5 1 2 3

5 1 2 3 4

5 colonnes

5 lig

nes

Ici, n=5

1 2 3 4 5

2 3 4 5 1

3 4 5 1 2

4 5 1 2 3

5 1 2 3 4

Carrés latins orthogonaux

Deux carrés latins A et B de mêmes dimensions n × n sont orthogonaux lorsque les couples formés par leur superposition sont tous différents, et forment ainsi un carré eulérien.

Exemple de 2 carrés latins orthogonaux

1 2 3 4 5

2 3 4 5 1

3 4 5 1 2

4 5 1 2 3

5 1 2 3 4

5 4 3 2 1

1 5 4 3 2

2 1 5 4 3

3 2 1 5 4

4 3 2 1 5

Création d’un carré gréco-latin à partir des carrés latins orthogonaux

1 2 3 4 5

2 3 4 5 1

3 4 5 1 2

4 5 1 2 3

5 1 2 3 4

A B C D E

E A B C D

D E A B C

C D E A B

B C D E A

Sans la méthode des diagonales opposées

1 2 3 4 5

2 3 4 5 1

3 4 5 1 2

4 5 1 2 3

5 1 2 3 4

A B C D E

B C D E A

C D E A B

D E A B C

E A B C D

1A

2B

3C

4D

5E

2B

3C

4D

5E

1A

3C

4D

5E

1A

2B

4D

5E

1A

2B

3C

5E

1A

2B

3C

4D

Création d’un carré gréco-latin à partir des carrés latins orthogonaux

1 2 3 4 5

2 3 4 5 1

3 4 5 1 2

4 5 1 2 3

5 1 2 3 4

A B C D E

E A B C D

D E A B C

C D E A B

B C D E A

Superposition de ces 2 carrés latins orthogonaux

1A

2B

3C

4D

5E

2E

3A

4B

5C

1D

3D

4E

5A

1B

2C

4C

5D

1E

2A

3B

5B

1C

2D

3E

4A

Création d’un carré gréco-latin pair

n pair multiple de 4 - n/4 est pair - n/4 est impair n pair non-multiple de 4

n/4 pair

Division du carré principal en 4 petits carrés

n/4 pair

Division du carré principal en 4 petits carrés

Travailler les petits carrés séparément pour les lettres

A B C D

B A D C

C D A B

D C B A

A B C D

B A D C

C D A B

D C B A

A B C D E F G H

B A D C F E H G

C D A B G H E F

D C B A H G F E

E F G H A B C D

F E H G B A D C

G H E F C D A B

H G F E D C B A

n/4 pair

Division du carré principal en 4 petits carrés

Travailler les petits carrés séparément pour les lettres

Les chiffres

A1

B 2

C3

D4

E F G H

B4

A3

D2

C1

F E H G

C7

D8

A5

B6

G H E F

D6

C5

B8

A7

H G F E

E F G H A B C D

F E H G B A D C

G H E F C D A B

H G F E D C B A

A1

B 2

C3

D4

E5

F6

G7

H8

B4

A3

D2

C1

F8

E7

H6

G5

C7

D8

A5

B6

G3

H4

E1

F2

D6

C5

B8

A7

H2

G1

F4

E3

E F G H A B C D

F E H G B A D C

G H E F C D A B

H G F E D C B A

n/4 pair

Division du carré principal en 4 petits carrés

Travailler les petits carrés séparément pour les lettres

Les chiffres Division en 4 mini-carrés

A1

B 2

C3

D4

E5

F6

G7

H8

B4

A3

D2

C1

F8

E7

H6

G5

C7

D8

A5

B6

G3

H4

E1

F2

D6

C5

B8

A7

H2

G1

F4

E3

E F G H A B C D

F E H G B A D C

G H E F C D A B

H G F E D C B A

n/4 pair

Division du carré principal en 4 petits carrés

Travailler les petits carrés séparément pour les lettres

Les chiffres Division en 4 mini-carrés Remplissage d’un mini-carré

A1

B 2

C3

D4

E5

F6

G7

H8

B4

A3

D2

C1

F8

E7

H6

G5

C7

D8

A5

B6

G3

H4

E1

F2

D6

C5

B8

A7

H2

G1

F4

E3

E8

F G H A B C D

F E H G B A D C

G H E F C D A B

H G F E D C B A

A1

B 2

C3

D4

E5

F6

G7

H8

B4

A3

D2

C1

F8

E7

H6

G5

C7

D8

A5

B6

G3

H4

E1

F2

D6

C5

B8

A7

H2

G1

F4

E3

E8

F G H A B C D

F5

E H G B A D C

G H E F C D A B

H G F E D C B A

A1

B 2

C3

D4

E5

F6

G7

H8

B4

A3

D2

C1

F8

E7

H6

G5

C7

D8

A5

B6

G3

H4

E1

F2

D6

C5

B8

A7

H2

G1

F4

E3

E8

F7

G H A B C D

F5

E H G B A D C

G H E F C D A B

H G F E D C B A

A1

B 2

C3

D4

E5

F6

G7

H8

B4

A3

D2

C1

F8

E7

H6

G5

C7

D8

A5

B6

G3

H4

E1

F2

D6

C5

B8

A7

H2

G1

F4

E3

E8

F7

G H A B C D

F5

E6

H G B A D C

G H E F C D A B

H G F E D C B A

n/4 pair

Division du carré principal en 4 petits carrés

Travailler les petits carrés séparément pour les lettres

Les chiffres Division en 4 mini-carrés Remplissage d’un mini-carré Terminer le carré à la manière

d’un sudoku

A1

B 2

C3

D4

E5

F6

G7

H8

B4

A3

D2

C1

F8

E7

H6

G5

C7

D8

A5

B6

G3

H4

E1

F2

D6

C5

B8

A7

H2

G1

F4

E3

E8

F7

G6

H5

A4

B3

C2

D1

F5

E6

H7

G8

B1

A2

D3

C4

G2

H1

E4

F3

C6

D5

A8

B7

H3

G4

F1

E2

D7

C8

B5

A6

A1

B 2

C3

D4

E5

F6

G7

H8

B4

A3

D2

C1

F8

E7

H6

G5

C7

D8

A5

B6

G3

H4

E1

F2

D6

C5

B8

A7

H2

G1

F4

E3

E8

F7

G6

H5

A4

B3

C2

D1

F5

E6

H7

G8

B1

A2

D3

C4

G2

H1

E4

F3

C6

D5

A8

B7

H3

G4

F1

E2

D7

C8

B5

A6

n pair non-multiple de 4

1ère étape : Les groupes

Majeurs Mineurs

Type 1 A, B, C, D, E, F, G H, I, J

Type 2 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 8, 9, 10

2ème étape : Les zones

3ème étape : Le remplissage

8 9 10

9 10 8

10 8 9

1. La zone des mineurs :

H I J

J H I

I J H

2. La zone mixte :

• Nos mineurs étant associés entre eux, il faut associer ceux du type 1 aux majeurs du type 2 ainsi que ceux du type 2 aux majeurs du type 1.• Cependant, il nous reste : -3 mineurs du type 1 à associer à 7 majeurs du type 2 = 21 cases. -3 mineurs du type 2 à associer à 7 majeurs du type 1 = 21 cases.• Il nous reste donc 42 cases à remplir donc 7 qui seront chacune une association de 2 majeurs

H I J

H I J

H I J

J H I

J H I

I J H

H I J

5 2 3

6 3 4

7 4 5

6 1 5

7 2 6

7 1 3

4 1 2

8 10 9

9 8 10

10 9 8

10 9 8

8 10 9

8 10 9

8 10 9

G D F

G A E

F A B

G B C

D A C

E B D

F C E

On va rassembler maintenant les 5 carrés créés précédemment en deux carrés latins. Le premier rassemblera le type 1, le deuxième le type 2.

A H I G J D F

G B H I A J E

F A C H I B J

J G B D H I C

D J A C E H I

I E J B D F H

H I F J C E G

1 5 2 8 3 10 9

9 2 6 3 8 4 10

10 9 3 7 4 8 5

6 10 9 4 1 5 8

8 7 10 9 5 2 6

7 8 1 10 9 6 3

4 1 8 2 10 9 7

3. La zone des majeurs :

Nous pouvons construire 2 carrés gréco-latins différents. Celui dont les zones des majeurs des caractères du type 1 sont identiques (notre exemple) et celui dont les zones des majeurs des caractères du type 2 sont symétriques par rapport à la diagonale.

E B C

F C D

G D E

A E F

B F G

C G A

D A B

E F G A B C D

B C D E F G A

C D E F G A B

4 7 6

5 1 7

6 2 1

7 3 2

1 4 3

2 5 4

3 6 5

2 3 4 5 6 7 1

3 4 5 6 7 1 2

5 6 7 1 2 3 4

Comment choisir les mineurs?

Généralisation: pour n’importe quel n pair non-multiple de 4, le nombre de mineurs vaudra:

Utilités et applications

Médecine Agronomie Organisation de tournois …

Exemple d’application

Merci pour votre écoute!