l é r e PARTIE

ANALYSE DES ÉCOULEMENTS

- 9 -

1 - PRÉLIMINAIRES

1.1 - Généralités sur les comportements rhéologiques

Les écoulements des cours d'eau naturels peuvent étre classés suivant les comportements cinématique et rhéologique. Les modeles newtoniens ne sont pas utilisables pour des écoulements á de fortes concentrations en matériau solide oü les caractéristiques physiques et dynamiques sont différentes de celles des écoulements d'eau claire. L'écoulement devient non newtonien quand l'interaction entre particules devient predominante ; généralement la viscosité et la densité du mélange (solide + liquide) augmentent, les distributions de vitesses, la perte de charge et les capacites de transport solide sont modifiées.

Les modeles newtoniens ne peuvent pas traduire les effets de la cohesión ou de la fonction interne des particules transportées. Plusieurs modeles non newtoniens ont été proposés et utilisés pour teñir compte de ces effets et pour décrire mieux les écoulements qu'on appelle tres chargés (high sédiment concentration flow).

Ces méthodes restent non vérifiées sauf a l'intérieur de conditions limitées.

BINGHAM a travaillé surtout les écoulements concentres en matériaux fins. II a proposé un modele ou loi de comportement pour étudier ces types d'écoulements.

BAGNOLD a proposé un modele pour étudier le comportement des matériaux granuleux s'écoulant dans des fluides newtoniens.

Le modele de COULOMB est une combinaison de l'équation de COULOMB en mécanique des sois et du modele visqueux de NEWTON.

Le modele de COULOMB et celui de BINGHAM sont généralement connus comme des modeles rhéologiques visqueux-plastiques ; celui de BAGNOLD est connu comme un modele de fluide dilatant.

MIDDLETON et HAMPTON (1976) ont étudié les écoulements de laves torrentielles et les écoulements de grains solides ; ils ont trouvé qu'une contrainte de dispersión due á l'interaction directe des grains joue un role important seulement dans le cas d'un écoulement de solide et que dans le cas d'une lave torrentielle les grains sont supportés par la résistance de la matrice et la viscosité du fluide interstitiel determine le comportement hydraulique. lis affirment aussi qu'une faible proportion d'argile dans le fluide interstitiel influence de fagon importante l'écoulement de grains. TAKAHASHI (1980), par contre, affirme que les effets d'argile sont faibles;

II reste done beaucoup de travail á faire pour bien connaítre la nature et le comportement de ces différents mélanges. Cela doit commencer par résoudre le probléme de la détermination avec precisión des différents paramétres de chaqué loi de comportement, soit : la viscosité, la concentration, la contrainte de cisaillement critique ; quoique la connaissance de la viscosité suffit souvent á caractériser de fagon precise le comportement rhéologique du fluide.

-10

1.2 - Rappel sur les équations de conservation de la masse, • de la quantité de mouvement et de coefficient de rugosité

L'équation genérale de conservation de la masse d'un écoulement quelconque dans un repére cartésien (O ; XI ; X2 ; X3) s'écrit :

ou bien 3 ^ ^ J t ^ P . ^ ^ O selon convention ^ ^ + - ^ — / "^ ' ^ ^^ • 4 t / d'EINSTEIN 'dt "^'V

avec

P = masse volumique

V = -- f.rC/.,/.,^,,/).

L'équation genérale de la quantité de mouvement s'écrit :

dt: / ^ ¿

avec : i = axe de projection consideré

j ; Índice variant (convention d'EINSTEIN)

O'ij = tenseur des contraintes (JZi r - P á t'j + t '^ i

C : = symbole de KRONEKER si i = j ^ i j = O ^ i = j S i j = l

P = pression

Xi = forces volumiques ou á distance.

Pour un écoulement d'un fluide newtonien, incompressible et isotherme les équations (1) et (2) deviennent :

^ - ^ - O (3)

équation du —-—-r ^ — - - - p • • ^ • - -* . mouvement -dt 9Xj / 3X¿ ^Xj3-p<,' (NAVIER STOKES)

^ , -, -z / equaiiuri uu ^ + V;- ^ z , 4 - l £ - ^ V ^ _ ^ ^ X ¿ mouvement (4)

-11 -

Si l'écoulement est turbulent les équations s'écrivent

^ + V. t ^ x •J-f ^ +

d^^^ - P'YÁ r o (5)

•2» V¿

^t + é -5Xj 3Xj "dx;

-v/v.'] (6)

oü chaqué variable est décomposée selon la méthode de BOUSSINESQ ou REYNOLDS, en sa valeur moyenne et sa fluctuation, par exemple : . ^ --,

" • - ' >- ~ • >'•' p- P + P ' J" (7) /^/t/' Ü-^J+^J

Le terme -^x j^ ' ^^ ^^^ 1 fluctuation de la masse. C'est une fonction inconnue qu'on néglige souvent en simplifiant les phénoménes.

Le terme V,- V¿ appelé tenseur de REYNOLDS représente un frottement supplémentaire qu'on ne peut connaítre qu'avec des solutions pseudoaléatoires (théorie des catastrophes).

Nous nous limitons ici á l'étude des écoulements permanents, uniformes et en general unidirectionnels : vitesse latérale (V 2) et vitesse verticale (V 3) négligeables.

V 1 = U = vitesse longitudinale

V 2 = V = 0 d u = o du=o dt dx

V3 = í^ =0

C'est-á-dire que pour les calculs, nous retiendrons le schéma suivant :

y

Figure 1

Schéma d'un écoulement uniforme, unidirectionnel

12 -

Perte de charge dE = j = j = _ d;¿ dx dx (8)

Répartition de pression hydrostatique P = yP g (h - y) (9)

Considérons un écoulement dans un canal suffisamment long pour que U i =U 2, hl = h2 = h, Fl = F2, et de section transversale A (figure 2). Le régime étant uniforme, il y a equilibre dynamique entre les forces de pesanteur et les forces de frottement agissant sur le Iit.

Figure 2

Equilibre dynamique des forces dans un écoulement uniforme

Pour la tranche (1 - 2) on a

avec :

W Sin© = Ff

W

A'

F (10)

7 l - P g A dx Poids ^ ^ ^ ^

y P •• ( 'XXyi') Ú Á d x (intégrale curviligne) Forcé de frottement oJ - contrainte de cisaillement sur le Iit = í> dx surface de frottement

13

/P = périmétre mouillé

R A H = £L rayón hydraulique

f Sin0 = tg© = I pour des pentes (I) faibles

Remarque :

L'erreur qu'on commet quand on substitue la valeur dE Sin © par tg © demeure inférieure á 5 96 pour des pentes jusqu'á 30 %. Substituant, on obtient :

J>gAdxl=^J^áx => TI^^jR^I

Dans un canal large on peut prendre le rayón hydraulique égal a la profondeur moyenne, done :

T ^ _ p a h l (pour l'eau) (11)

En désignant par ^ la contrainte de cisaillement sur MN

T^^g(h-y;i =f<iiK^'^) = t(yi-L) (12)

Dans cette équation :

si y = O, L" = i-o (cisaillement sur le fond)

pour y = h, L" = O (frottement gaz - liquide négligeable).

La contrainte de cisaillement (O varié done linéairement de sa valeur máximum To au fond, á zéro en surface. Pour un grain qui est au fond, quand la contrainte

exercée sur lui est supérieure á une contrainte T ^ caractéristique du grain (contrainte de SHIELDS), il s'en va (le mouvement déclenche).

La forcé de frottement (Fr = T o A') est égale a la forcé de trainée F . ^CLBSJ-^ exercée par le fluide sur la surface de frottement (A' =yf> dx). ' "

oü •. C est un coefficient qui dépend des caractéristiques du liquide, de la surface de frottement et de la vitese.

En éliminant, on obtient (_/ := " '-" " ^ /

que l'on peut écrire sous la forme :

14-

On appelle vitesse de frottement (i-ii. ) la quantité ij =\psL - X f o R l

Par ailleurs, si l'on fait C = _£ ¿T étant un coefficient de propriétés similaires

á C, on obtient l'expression suivante pour le coefficient de rugosité (^ ^ -p- y

4 - ^ - ^ soit u = \ / - J - \ / ? í ?„ I (13)

Cette relation est connue universellement sous le nom d'équation de DARCY -WEISBACH.

Remarque :

Les équations de la mécanique des fluides (11), (12) et (13) ne dépendent pas du type de régime. Elles sont également valables pour le régime laminaire, turbulent et en transition ; par contre, les équations de la rhéologie de la forme T'= f^^.\.'Sy^ donnant la variation de la contrainte de cisaillement en fonction du gradient de vitesse sont différentes selon le régime et la loi de comportement.

Nous nous proposons d'étudier les expressions suivantes :

TT - i ( ( ^ - - j régime laminaire (modele newtonien) (14)

^ - J ^ - ( Ns d W régime turbulent (15)

T r = T^ - H ^ C d ^ ) modele de BINGHAM (16)

" ^ <^L.?s ^ ^C-g^^ ^'n ° ^ ^^íA^^") cTin oL modele de BAGNOLD (17)

15

2 - DISTRIBUTION DES VITESSES

2.1 - Régime laminaire (Modele newtonien)

Dans un régime d'écoulement laminaire le fluide se comporte comme un fluide newtonien. II ne peut pas supporter un état de contrainte sans se déformer.

Le fluide newtonien peut étre representé par l'équation (14)

ou

T r : contrainte tangentielle ou de cisaillement

— ¡ — z. 'ir : gradient de vitesse ou taux de déformation

: coefficient de viscosité dynamique ou viscosité aosolue

V* ~- , - : déformation

Toutes les substances pour lesquelles ytl ne dépend pas de la contrainte de cisaillement, c'est-á-dire, n n'est fonction que de la temperature et de la pression extérieures sont appelées fluides newtoniens ou "parfaitement visqueux". Pour certaines substances (gaz, liquides usuels et certaines solutions homogénes tres diluées) la dissipation d'énergie est due aux collisions d'espéces moléculaires relativement petites.

Le rhéogramme d'un corps newtonien est une droite de pente // passant par l'origine. /

16

^ V

Figure 3

Rhéogramme d'un fluide newtonien

Remarque :

L'étude experiméntale des comportements rhéologiques d'écoulement se fait avec des rhéométres qui permettent tous d'atteindre la mesure de la contrainte X" et de la vitesse de déformation -ir . Selon les rhéométres utilisés, on impose - ^ et on mesure TT ou, au contraire, TT étant appliqué, on mesure "ir .

Nous avons montré que dans un écoulement bidimensionnel, permanent, uniforme á surface libre sur un fond rugueux fixe (fig. 4), la contrainte de cisaillement varié linéairement de sa valeur máximum T© ^ i fond, á zéro en surface (équation 12).

Figure 4 Variation de la contrainte de cisaillement

dans un écoulement uniforme

17 -

Considérant l'équilibre dynamique entre les forces de pesanteur et les forces de frottement ou de cisaillement agissant sur le fond, caractéristique d'un régime uniforme, on a trouvé (équation 11)

T o ' - / % h ]

avec : I : pente du Iit

en intégrant u = - I i Í l ( / ( - i S f 4. c

condition á la limite j P°"'' ^ ~ ^^ ; ) r - T5_LL 1, U =0 ^ 2/<

On appelle vitesse de frottement, U ^ , la quantité

U* = \ / ^ P - masse volumique de l'eau (19)

en régime uniforme T ; ^ (20)

en faisant le rapport -d— il vient

U _ jg^^h I ^ _ ('^_ ^ ^ profil de vitesse adimensionnel

On appelle : V = / ^ viscosité cinématique de l'eau

P _ ^ * ^ nombre de REYNOLDS de frottement

(21)

(23)

f?, e:>f A - ^ ^ " y-1 J profil parabolique de vitesse (24)

Remarque :

L'écoulement laminaire est indépendant de la rugosité concernant le matériau. II dépend seulement de la viscosité du fluide.

- 1 8 -

2.2 -. Régime turbulent

Sans teñir compte des valeurs de fluctuations de chaqué variable, on peut représenter le régime turbulent par l'expression (15)

avec : 4 : "longueur de mélange" ^ = f (y)

La variation exacte de ( en fonction de y est inconnue.

VON KARMAN a proposé / = K du ú y ^ y d2u

dy2

PRANDTL et VON KARMAN ont demontre qu'au voisinage dU fond (quand y est petit), -f est proportionnel á y ^ = Ky

avec : K = 0.4 constante universelle de VON KARMAN.

Au voisinage du fond, ona T^ -=z TI - P ^-^

en intégrant i ¿ r 2 -5 ¿nJ/ + C (25) U *

Plusieurs expérimentations ont été faites, s'appuyant sur diverses considérations pour trouver la valeur de C.

Us ont transformé l'équation á la forme sans dimensión J=L- 2S Lrj J L ^ c (26) ^ * Ks

avec : Ks : rugosité equivalente de NIKURADSE

•'-'» ^¿ : nombre de REYNOLDS du grain (Re grain) (27)

19

L'étude des variations de C en fonction du nombre de REYNOLDS du grain met en évidence trois cas différents :

1/ Écoulement hydrauliquement lisse

Pour ^^ K5 <5 ils ont trouvé C' = 2.5 1n . ^ ^ ^ s +5.5

Ü - = 2.5 In JL- + 2.5 In H * - ^ + 5.5 = 2.5 In ( V W>. Ks") + 5 . 5 ^* Ks ^ ^ V Ks "

- ¿>.bln - . i J L ^ . 5.5 Profil logarithmique de vitesse (28)

Remarque :

L'écoulement hydrauliquement lisse est aussi indépendant de la rugosité concernant le matériau. II dépend seulement de la viscosité du fluide. 11 existe quand la valeur de Ks est faible devant l'épaisseur de la sous-couche laminaire ou visqueuse ( ¿ )

S^ yy.GZ^ 44- (29)

2/ Écoulement hydrauliquement rugueux ou écoulement turbulent pleinement développé

Pour - Ü i J ^ > 70 ils ont trouvé C = 8.5 V

_U_- ^.5 In _ ^ 4_ g.5 Profil logarithmique de vitesse (30) U^ Ks

Remarque :

L'écoulement turbulent rugueux est indépendant de la viscosité du fluide. II dépend seulement de la rugosité concernant le matériau du Iit. II existe quand Ks > , dans ce cas, la rugosité est complétement noyée par le noyau turbulent et le profil logarithmique demarre des le fond.

3/ Écoulement en transition

Pour 5 < V < 70

- 2 0 -

La distribution des vitesses dépend á la fois de la viscosité et de la rugosité ; les expérimentations sont tres difficiles á mener et on n'a pas encoré trouvé une expression analytique pour C.

2.3 - Modele de BINGHAM (plastique)

Le fluide de BINGHAM peut étre representé par l'équation (16)

d:/

r : T-c =

contrainte de cisaillement

seuil minimal des contraintes á appliquer au fluide pour que celui-ci commencé á s'écouler (yield valué)

viscosité plastique ou de BINGHAM

vitesse de déform.ation

On peut expliquer schématiquement le comportement Binghamien d'un fluide en supposant que ce dernier présente au repos une structure tridimentionnelle rigide susceptible de résister á des contraintes inférieures á Te . Des que l'on dépasse cette contrainte, la structure se détruit totalement et le comportement du fluide devient newtonien sous l'effet de la contrainte efficace

Si, de ncuveau, la contrainte appliquée devient inférieure á "TTc , la structure initiale se reforme en un temps suffisamment court pour qu'on puisse le négliger.

Le rhéogramme d'un fluide de BINGHAM est une droite de pente O ne passant pas par l'origine. í

Te

Are rg r Figure 5

Rhéogramme d'un fluide de BINGHAM

loL. ir

- 21 -

Une image habituelle d'un fluide de BINGHAM est un ensemble de particules emboTtées les unes dans les autres ou floculées (fluide monophasique). Le seuil d'écoulement correspond á la forcé nécessaire pour séparer les particules (vaincre les forces de cohesión) et provoquer l'écoulement.

Pour ces corps la viscosité apparente décroit toujours avec le cisaillement.

Figure 6

Variation de la viscosité apparente d'un corps de BINGHAM

V

Quelques exemples de corps qui ont ce comportement (BINGHAM) : les peintures a l'huile, les boues, les pates dentifrices, la páte á pain, quelques matiéres grasses, les émulsions, les polyméres, les laves torrentielles (apparemment, en tant qu'écoulement monophasique), etc. On attire l'attention sur le fait que dans ces substances on ne peut pas distinguer une phase solide ni liquide. II faut done utiliser la densité du mélange (^y"^ ). Lorsqu'il s'agit de laves torrentielles, elles peuvent étre calculées en fonction de la concentration (en poids ou en volume) et de la densité du solide ( J ' s )? á partir des relations 7 et 1 de l'annexe n° 2, ce qui nous améne á l'expression suivante :

rrr) ~ ' ^ V s - + • /

avec Cv : concentration en volume

Le modele de BINGHAM a été utilisé par plusieurs chercheurs : FAN et DOU (1980), WAN (1982), HIGGINS et aL (1983), YANG et THAO (1983), FEI (1983), NAIK et ROBERSON (1984), JOHNSON (1970), etc, pour décrire les écoulements laminaires monophasiques oü le taux de matériau cohésif (argües et sédiments fins) est responsable de la rigidité initiale. La plupart de ces études sont des analyses de boues et laves torrentielles.

On a déjá demontre (équation 12) que dans un régime uniforme l'équilibre des forces de pesanteur et des forces visqueuses fournit la distribution suivante des contraintes tangentielles :

T"-'-_J>^l{J^-:i^

- 22

D'autre part le modele rhéologique de BINGHAM (équation 16) donne :

Si l'on prend P - P » en égalisant les deux expressions, on a :

Intégrant sur un plan infiniment large (sans teñir compte de la géométrie du Iit)

(31)

^ Oí) - ( ^ ^ ^ ^ " ' ^ y j - j ^ S " - ^ Distribution parabolique des vitesses. 1 '" - 2?

La relation ci-dessus est valable seulement si

Si T < T e , du = o dy

^ > TL

Quand le mouvement est sur le point de commencer, on a L = '-c , avec une profondeur (yl) qu'on appelle profondeur critique. . j

II vient ainsi : \

y^§i(h-j,) = rc =, '^-^=-7%

(32)

23

Ce qui, rapporté dans la relation parabolique, donne :

u..-(Mx^Xh-:feT)-^VS)^-

ih\.rch Te ^ 7 7 í / -?^ / 2 ^ "? ^'^j^gi

2 - ,

^ - ~ñV2 f A ? ^ J Distribution

(33)

constante des vitesses.

C'est-á-dire que le profil de vitesse total est composé d'une partie parabolique correspondant a la zone laminaire localisée autour du noyau rigide central (plug rigid), plus une partie constante correspondant au (plug rigid) noyau central.

J-J/ , ury).(>giH-r^j-^j 7

• ^ ^ S í

Figure 7

Profil de vitesse d'un fluide de BINGHAM

(équation 31)

(équation 33)

24 -

Dans un canal semi-circulaire (fig. 8) le profil de vitesse pour un fluide de BINGHAM donne (JOHNSON : "Physical processes in ecology", chapitre 14) :

ucr) - ^[¿:j±i^^_(R-Orc] P° ur r - Ro

7L 4 ^2- o 2

U K . = constante = j l - [ l l ^ y ^ S { ^ - ^ o X c J avec Ro =

(34)

(35)

Noyau rigide (plug)

Zone laminaire autour du plug

Section transversale Section longitudinale

Figure 8

Profil de vitesse pour un fluide de BINGHAM dans un canal semi circulaire

D'aprés HAMPTON : "Subaerial and subaqueous flow of slurries" (1969), la vitesse du noyau central dans un canal elliptique (fig. 9), peut é t re calculée par l'expression :

•^(p '"» = ^ ?

(36)

25 -

^ - 1 ^ [(.V)'+^] ^(PM)-*f^^^

Figure 9

Section transversale d'un canal elliptique

JOHNSON a tracé la solutión graphique de Téquation (36). II a proposé des graphiques qui mettent en rapport les propriétés du fluide avec la largeur du noyau (plug) et la configuration du canal (fig. 10). Cela représente une méthode simplifiée pour déterminer T7c et H dans les écoulements de laves torrentielles en canaux non circulaires.

La procédure est la suivante :

- on mesure la pente du canal ou de la surface du fluide (1), la semi-largeur et la profondeur de la section d'écoulement (a) et (b) ;

- on localise (visuellement) le noyau rigide (plug) et on mesure sa semi-largeur Xo et sa vitesse L4 (plug)-

Avec la valeur de £ et 21° (fig. 10(A)), on obtient la valeur de Le b a

et avec TT; - ^'^ on obtient T I ^

En outre, on a T^ - ^ c C ^ /

avec la valeur de Le (fig. 10(B)), on obtient (.plug)

done avec '^(p/ug) et ^(PIU<Í) , on a O viscosité plastique du mélange par la formule : i , '

_ 4pluq) E,?r b Ucflu^)

JOHNSON a utilisé cette procédure dans un écoulement de boue kaolinique et a trouvé une viscosité du mélange 30 fois plus élevée que la viscosité de l'eau (soit environ 60 fois moins que celle du pétrole brut).

1-

- 2 6 -

(PLUG

0.01 J.O 0.5 O.l 0.05 0.01 O.OOl

VefíY WID5 CHA/VAJEL

O.l

0.05 iyELOClTy

VARIABLE) •0 .01

1.0 O.S 0 .3 0.2 O.l O.OS COZ 0.01 O.OOS O-OOZ O.QOl

^ — T c (^TRENGTH VAR/ABLS)

Figures 10

Graphiques de JOHNSON

27 -

2.4 - Modele de BAGNOLD (dUatant)

BAGNOLD a proposé en 1954 une étude sur le comportement des matériaux granuleux s'écoulant dans des fluides newtoniens pour investiguer la zone de transition entre le comportement visqueux newtonien de la dispersión de particules á tres faibles concentrations et le comportement avec friction d'un matériau granulaire á forte concentration.

Ses expériences ont été effectuées avec des suspensions de sphéres de cire de 1,3 mm de diamétre dans l'eau ou des mélanges d'alcool, glycérine et eau. La concentration volumique (Cv) a varié entre 13 % et 62 %.

Les suspensions ont été soumises á cisaillement entre deux cylindres coaxiaux. La surface du cylindre extérieur (fixe) était déformable, ce qui permettait la mesure des efforts normaux et de cisaillement transmis par la suspensión.

La présence de particules induit nécessairement des collisions et transferts de quantité de mouvement entre les grains, ce qui créait une contrainte nórmale que BAGNOLD a appelée pression nórmale dispersive ( cr) et il l'a trouvée égale á :

avec :

CT : Contrainte dispersive ou nórmale.

0.Í : Constante empirique (égale á 0,042 selon BAGNOLD dans un viscosimétre coaxial avec sphéres et liquide, et de l'ordre de 0,5 selon TAKAHASHI (1980) dans des laves torrentielles avec matériaux granulaires déposés au Iit).

fi- : Densité des grains. ^ ^ A/ —I -

X : Concentration linéaire. A - \ C T ^ ) ~ y

oü : C* : concentration des grains dans le Iit stationnaire (compacité) correspondant á l'entassement máximum. Pour des sphéres uniformes C* = 74 96.

Cv : concentration des grains dans l'écoulement.

Diamétre des grains.

Angle de friction interne dynamique.

~'ir vitesse de déformation.

La concentration linéaire est définie par BAGNOLD comme le rapport du diamétre du grain (d) á la dispersión moyenne libre (s) X--^— (voir l'annexe 2, § 1.6.1).

28 -

La contrainte nórmale est expliquée physiquement par le schéma suivant

Pour se déplacer le grain A doit soulever les deux autres grains qui se déplacent de

La contrainte dispersive est reliée á la contrainte de cisaillement par le rapport to£><c (appelé communément angle de repos)

T - (T t^ ^ (38)

ce qui, rapporté dans la relation de la pression dispersive, indique que la contrainte de cisaillement selon la loi de BAGNOLD est proportionnelle au taux de déformation au carré (équation (17) )

T-_ a .^ >M=C¿^)^,.

Aux vitesses tres basses la dépendance passe du carré á une dépendance linéaire.

Dans le but d'évaluer l'influence relative des forces hydro-dynamiques et mécaniques, BAGNOLD a défini deux nombres sans dimensión (N et G2) analogues au nombre de REYNOLDS (rapport entre les forces d'inertie et les forces visqueuses) :

suivant que l'inertie du grain ou la viscosité du fluide predomine, BAGNOLD distingue trois régimes (fig. 11) :

- régime macrovisqueux (N < 40 et/ou G^ < 100) ycT ~ 0,75

- régime de transition (40 < N < 450 et/ou 100 < G2 < lOOO) T / ^ change progressivement de 0,75 á 0,32

- régime inertiel (fully inertial range) (N > 450 et/ou G 2 > 1000) /]-c0,32

Dans le cas du régime macrovisqueux, il a mesuré de fa^on plus precise la relation entre la contrainte de cisaillement ( T" ) et la concentration linéaire (7\ ) et a trouvé l'expression semi-empirique :

29

oa

0.7

o.s

0.5 .

0,4.

Va ir 0.3

0.2

0 .1-

0.0. > I

scbie d'Oftavva

-.enpsdecire

inertit/

O 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 M

N om bre ck? Bagnol

Figure 11

Variation du rapport vo~ avec le nombre de BAGNOLD

Pour trouver Téquation du profil de vitesse, nous partons de la relation classique qui donne la distribution des contraintes de cisaillement en régime uniforme (équation 12)

T-=^§lCh-j)

avec

^ - y m : densité du mélange y ^ ~ ^^ ^ f'' ~f ^ " f

- 3 0 -

, P : Densité de l'eau.

J s : Densité du matériau solide,

^ v : Concentration volumique.

I = sin fi avec B : angle de la surface libre.

Reportant la valeur de i^ m et I en L , on aura :

D'autre part, le modele rhéologique de BAGNOLD (équation 17) donne :

En égalisant, on a :

(41)

d : / - d

du - ± d

I ' ^ t ^

aeSinoc

-31

Done, le profil de vitesse pour le modele de BAGNOLD est (fig. 12)

U - ^[S£E-^c-^-)]|^Hp4-:^' (42)

Figure 12

Profil de vitesse d'un fluide de BAGNOLD

BAGNOLD a appliqué son concept de contrainte dispersive á un écoulement de sable sec ; il a fixé la concentration linéaire des grains A = 17, constante avec la profondeur. U a pris 0.i.Sino¿- égal á 0,076 á partir des résultats de ses expérimentations avec viscosimétres cylindriques. II a alors, obtenu l'équation suivante du profil de vitesse :

U y - d

Vz (43)

- 3 2 -

2.5 - Modeles généraux

O'BRIEN et JULIEN (1985-) ont proposé, pour explorer de fa^on mathématique l'importance relative de la viscosité du fluide, des collisions de particules et le frottement aux berges et au fond, le modele suivant :

danslequel :

Le décrit la cohesión due aux liaisons internes des particules,

^ —j-y décrit la contrainte visqueuse du fluide et des particules cohésives,

Kl ( — I décrit les effets de la contrainte dispersive et de la contrainte turbu-^ d y y

lente.

CHENG-LUNG CHEN (1985) a remarqué que le profil de vitesse des écoulements uniformes des laves torrentielles bases sur le modele plastique de BINGHAM ou sur le modele dilatant de BAGNOLD différe tres peu ; il a proposé le modele (viscoplastique) généralisé :

duí (45) X"- e cos(p + P Sin (p n { ^ ' )

n : índice de la loi de comportement (ñow behavior index).

(2 : Cohesión.

0 : angle de friction interne statique.

P : Pression.

La seule différence entre le modele plastique de BINGHAM et le modele dilatant de BAGNOLD est reflétée en la valeur de n : n = 1 pour le modele de BINGHAM et n = 2 pour celui de BAGNOLD.

D'aprés CHENG LUNG CHEN, les résultats de SAVAGE (1984) peuvent étre representes par :

33

ou :

B : Viscosité intrinséque.

K : Inverse de la concentration maximale K = 1_

^ ^ n y ,2(n-^)^¿-n) ^ - / K Al : constante A - u. P o f ^ *

avecQ^ : constante

Cw : concentration volumique.

Les profils de vitesse théoriques pour différentes valeurs de n et B/K sont montrés á la figure 13.

Ces profils ont été compares avec les résultats des expérimentations au Japón de TAKAHASHI et TSUBAKI et al (fig. 14).

On voit que les résultats s'ajustent assez bien aux profils théoriques du modele viscoplastique, mais du fait que les expérimentations ont été réalisés avec matériaux non cohésifs, d'autres vérifications sont exigées pour pouvoir confirmer sa validité, applicabilité et généralisation.

Le modele visqueux de COULOMB T-(B.+ OT ¡r <p rj> ^ avec V^'^ + ^ < oo (2 : la cohesión, (jp, : la contrainte nórmale et (p '• l'angle de frottement interne, est un modele analogue á celui de BINGHAM. La seule modification est l'introduction du coefficient de friction apparent de C 0 U L 0 M ( _ ^ + OQ fq <p^ de la mécanique des sois, comme seuil minimal de contraintes.

34

u/u.

Figure 13(A)

Profils de vitesse théoriques pour différentes valeurs de B/K bases sur le modele de BINGHAM (n = 1)

1.0

; Í 0-5

T — I — \ — I — I — T — I — I — r

Bagnold't (1954) solutión

I I I I I l i l i

0.5

Figure 13(B)

1.0

Profils de vitesse théoriques pour différentes valeurs de B/K sur le modele de BAGNOLD (n = 2)

35

1.0

N 0.5

" 1 — r LEGEND

T 1 1—T

Author (B/K =1.75) T»ubakl,atal.{1982), Bagnoíd Ufl54) ^ ^

/ Takahasl's (1980) Data • Q = 1.5 L/8

^ ^ ' O Q = 2 L/8 • J I I \ \ 1 l _

0.5

u/u •

1.0

Figure 14(A)

Comparaison des profils de vitesse théoriques du modele viscoplastique avec les résultats de TAKAHASHI

1.0

N 0.5

LEGEND Author (B/K=1.5) T8ut)akl,et al. (1982)^0^^ / / H Bagnold (1954) 5 ^ V > V /

O.

y ^ ^ ^ o Data from Run C of _ •^ ' Tsubaki,etaL(1982)

J I l i l i

0.5

Figure 14(B)

1.0

Comparaison des profils de vitesse théoriques avec les résultats de TSUBAKI

- 3 6 -

3-VITESSE MOYENNE

Bien que dans la réalité de la plupart des torrents le régime est souvent varié (la vitesse moyenne et la profondeur varient selon l'abscisse), pour les calculs, nous l'avons déjá dit, nous nous plagons en régime permanent uniforme.

On appelle vitesse moyenne ¿7 - Q ou bien u_ - ( U d A (47) - A - A ^

n sur une verticale _

U

avec : Q : Débit. A : Section transversale d'écoulement.

D'autre part, on appelle rayón hydraulique P _ A

^H-- - J -avec : ? : Périmétre mouillé.

En régime uniforme^uand la profondeur est assez petite par rapport a la largeur on peut prendre f „ = Tí . ^

oü h est la profondeur moyenne /• - —i- n

3.1 - Vitesse moyenne dans un régime laminaire (modele newtonien)

On a montré que dans un régime laminaire le profil de vitesse est parabolique (équation 24)

u _ ^ *

R £ ^

z [.-(-ÍTJ

Considérons une tranche de largeur unité (soit un canal infiniment large).

Le débit qui traverse une différentielle d'une tranche d'épaisseur dy est

Le débit total qui traverse la tranche est : -o - ) u rJ A — i u d i

° o t j . ^[/^-C^-f)']^^-/^-^[/-/^-^-fl^J-

L

Z L h 3 h O o ' Z \ 3 / ' 3

37 -

3 u Q

A h 3 e»

i^^^ - i^áJl - ^ U*h ^ /

3 V

u 3/ " 3/ '-^ 3/

3^ (48)

3.2 - Vitesse moyenne dans un régime turbulent

Sans teñir compte des valeurs de fluctuation de chaqué variable intervenant, on a trouvé comme profil de vitesse

J=L.-JLín(l-)+ C

oü la valeur de C dépend de la valeur du nombre de REYNOLDS du grain et permet de différencier le cas hydrauliquement lisse du rugueux et de la transition.

Si on considere yo comme la cote fictive oü la vitesse est censée s'annuler, la différence d'un cas á l'autre dépend seulement de yo, done on aura comme expression genérale du profil de vitesse :

ü--JLIO (ÍL)

Figure 15

Profil de vitesse dans un régime turbulent

- 3 8 -

Sur un plan infiniment large on a

U -

u,

A

Ch-:/o J o

KCh-X) ^^J^J-^^X^^ = í/o

KCh-:yo) LÍ j^-4

KCh-:/<,•) kn(hVh-Lln(:<>a-Ln(l)fi+LnC>^¿J^lh[ín(^

expression qu'on'peut simplifier en prenant (h - yo) = h

II vient ainsi :

U = }d*. K

(49)

3.3 - Vitesse moyenne dans un modele de BINGHAM

On a eu comme profil de vitesse (fig. 7) :

avec :

uc , ) - . jMi^i^ j - ^ y

alors u = ^ I : Í , ucj)

Sur un plan infiniment large, — ^ / ''

C h - 0 ^ 0 ^ ^ 1 <J^ = ^ ^

uc ). |üc^) dj. f j [ ( ^ to ) >%f/f>-

4-í^-f^)x'->|f^^ / I

:y4e s? •'" -^ ^7 ' " " ¿? U?^h-'^>^->^í

39

mais y = " - p „ done, si on substitue, on a -1 > r n S ^

r.

substituant, il vient ainsi :

reportant la valeur de y, = n ' ^ — on obtient :

- 4_(^e„9^f)-3rch^ f ' ^Cf^Wh (50)

- 40

3.4 - Vitesse moyenne dans le modele de BAGNOLD

Profil de vitesse (équation 42)

(J - 2_ 3d m[' ^U-'M^f-¥- '-' K

done. u.-^[h^/^_C^-j/j

Intégrant sur un plan infiniment large (sans teñir compte de la géométrie du canal), on obtient :

L L

U =

-M< - '] ^ TA-/í-f h ' - h ^"6 " "i)

^ ^ ^rHfl} - ^Xn ) - f h'-í

Alors, reportant de nouveau la valeur de y^, on obtient

U 5 ¿ mbi^-'nw&

-.y ^ ^ " % -\ 3/EL (51)

Remarque

BREITFUSS et SCHEIDEGGER (1974) et TAKAHASHI (1978) sont arrivés á la méme expression.

41

3.5 - Quelques expressions empiriques de vitesse moyenne

CHEZY (1775) : ü = C / T T H

(á partir d'un profil logarithmique de vitesse) (52)

avec : C : coefficient de perte de charge de CHEZY qu'on peut calculer avec l'expression de BAZIN : ,-,-,

C = - ^ (53)

oü la valeur de ^ dépend de la nature des parois du Iit.

^ ^/ - R Y^

M A N N I N G : ^ Z -^ (54) n

avec n : coefficient caractéristique du matériau du Iit.

MANNING - STRICKLER : U - M ^^^ 1^^ ^ ^

avec . 2C

oü la valeur de -K dépend de la granulométrie du sédiment qui constituent le fond des cours d'eau.

BERNARD (1920) : U - K ' < ^ ^ ^ W ^ (56)

avec K' : coefficient torrentiel.

Selon lui : "Ce coefficient est toujours inférieur á l'unité et l'on congoit qu'il diminue á mesure qu'augmente la proportion du volume des matériaux charriés par rapport aux volumes des eaux, c'est-á-dire que pour un liquide animé d'une vitesse supérieure á la vitesse limite d'entraínement d'un caillou plongé dans son sein, lorsque la quantité de mouvement gagnée par le caillou sera égale á celle perdue par le liquide, l'équilibre s'établira et alors le mouvement deviendra uniforme. A ce moment, la vitesse moyenne sera inférieure á la vitesse moyenne que l'eau claire aurait eue dans le méme profil á égalité de valeur de R^, I et C".

SHAMOV et SRIBNIY ont proposé des formules pour calculer la vitesse moyenne á partir de leurs expérimentations sur des écoulements de boue en Crimea (U.R.S.S).

SHAMOV a proposé pour les écoulements de boue avec matériaux rocheux grossiers l'expression :

u - 3v/5 h a V r^ (57)

oü : h : Profondeur moyenne.

d : Diamétre moyenne des cailloux dans le sédiment.

5 : Poids spécifique des roches.

^ : Poids spécifique du mélange.

Remarque : II néglige la pente du Iit.

- 4 2 -

SRIBNIY propose pour les écoulements de boue sans matériaux rocheux l'expression :

Ü - £ 1 I L J (58)

oü : I : Pente du Iit.

0 : Rapport du volume de sédiment en phase solide au volume d'eau :

l s - 1 ^

YANO et SAIDO ont proposé pour les écoulements des boues d'argile l'expression :

ü- hTo ¿ t~ f ) (59)

oü : a : constante = j - " ? s(^-^")

/ r^^í^

43

4 - COEFFICIENT DE RUGOSITÉ OU RÉSISTANCE

L'équation genérale pour le calcul d'un écoulement permanent uniforme est la relation (13) appelée de DARCY - WEISBACH :

U _ xíK^ \rQ ^ I ou sous la forme ¡ _ \rK

oü L¡" : Vitesse moyenne de l'écoulement.

y.S. : Coefficient de rugosité ou de résistance á l'écoulement.

U^ : Vitesse de frottement

R^ : Rayón hydraulique. (Le plus souvent, on le prend égal á la profondeur moyenne).

La résistance á l'écoulement dépend des divers facteurs selon que le Iit soit mobile ou immobile. Pour les lits immobiles la résistance est due primordialement á la rugosité caractéristique des sédiments agissant comme un ensemble, c'est-á-dire la taille des grains qui tapissent le Iit et qu'on appelle rugosité de peau ou rugosité de surface (skin résistance). Elle dépend aussi des distorsions internes de l'écoulement (tourbillons et courants secondaires).

Pour les lits mobiles, la résistance est due principalement aux configurations du Iit (rides, dunes, antidunes, bañes alternes, etc.) (fig. 16) qu'on appelle rugosité de forme (form résistance) ; les distorsions internes et la résistance due aux variations locales de la vitesse de l'écoulement (spill résistance) interviennent aussi activement.

COWAN considere que la résistance á l'écoulement dépend essentiellement des facteurs suivants : irrégularités de surface, variations de forme et de dimensión de la section du Iit, obstructions, végétation, conditions de l'écoulement et présence de méandres. II a établi un tableau des valeurs variant suivant ces différents facteurs. (Voir annexe n° 1 : mémoire de troisiéme année de Christian CARION).

Dans les cours d'eau de montagne oü les pentes sont souvent tres raides et les rugosités relatives sont assez grandes ( í^s/í('^ = yí ), la résistance peut dépendre d'autres facteurs comme l'entraínement d'air, la présence des sédiments de grandes dimensions (barres rocheuses), l'axe des grains á utiliser pour exprimer sa hauteur, etc. Nous pensons qu'il faut y ajouter l'influence de la concentration en matériau solide, hypothése qu'on espere bien affermir aprés les analyses des travaux de SMART et JAEGGI et HUU HAI CAO.

-44

{a) Typical rippie parrem

-Weok boil

(e) Plañe bed

{ t ) Ounes wirh rippies superposed

•3oi

(/) Anridune sronding waves

le) Dunes (y ) Antldune breokinq wave

•.-;:.:;;; .'\\l.ftí4

i d ) Woshed-ouT dunes or rransirion (A) Chures and pools

Figure 16

Les différents types de configuration du Iit

-45

4.1 - Coefficient de rugosité dans un régime laminaire (modele newtonien)

Si on prend le rayón hydraulique égal á la profondeur R^= h, ce qui, rapporté dans la relation de DARCY - WEISBACH donne :

et si on substitue l'expression de vitesse moyenne qu'on a trouvée pour le régime laminaire c'est-á-dire : ^ , z

n - ^ n i _ u = 3 V -77

on obtient - g h^I _ _8. P h T 3 V ~ F

S _ f

puisque ^e = on obtient F

Oh . (60)

ou bien C- g4_ (61) ' Re

4.2 - Coefficient de rugosité dans un régime turbulent

On a obtenu comme expression genérale pour la vitesse moyenne :

oü i/o est une longueur virtuelle tres proche du fond. Les différentes valeurs de «JO ont été déterminées par HINZE. Elles dépendent des valeurs de la rugosité equivalente (Ks) et de l'épaisseur de la sous-couche laminaire ( ^ ).

On distingue trois cas :

1/ Si Ks < _ i _ í 1 ¿ ± ^ ^ ^ ) 2.3 ^ ^ /

(fig. 17-A) on est dans le cas d'un écoulement hydrauliquement lisse et la valeur de c o est :

Done

ce qui, reporté dans la relation de DARCY - WEISBACH, donne

]<; V e s / ^ ^

oü : e= 2.718

K : constante de VON KARMAN (K =0.4)

- 4 6 -

/ y

^-Visqueux / • / /

L155E RUGUEUX

Figure 17

Surface hydrauliquement lisse et rugueuse

Substituant la valeur de e et K, on obtient

^ - - ^ • ^ ^ < ^ (62)

puisque b =11.6 IZ— ou sous la forme \ / ? ~ _ ?. b / n i 3.-?" ^* H ]

2/ Si Ks > 6^ ( - v ^ ^ ^ > ^ Q J (fig. 17-B)

On est dans le cas d'un écoulement hydrauliquement rugueux et la valeur de C/o est :

3 3

done :

K V e Ks /

47

En reportant dans la relation de DARCY-WEISBACH et en substituant, cela donne :

8__ ?.$ Ln/ '^ l lA^ (63)

Ks^^^ ( - < ^ ^ ^ " " ) 2 3 ^ ^

on est dans un cas intermédiaire (écoulement en transition) oü se présent á la fois les deux situations precedentes

° /A^ ^ 3 3 33 V 3 5 done :

soit, aprés la substitution :

\ / X - ?-6 ^n/4^-!2-~^ (64)

Remarques :

1''/Si on considere la formule de CHEZY ( U = C V p ^ ) ^^^^ RH = h, au lieu de celle de DARCY - WEISBACH, on obtient la formule classique de COLEBROOK de l'Hydraulique Fluviale :

^ - ' • ' '^ (ffes) (65) 3.5

oü C est le coefficient de CHEZY consideré constant initialement.

2°/ En pratique, on se trouvé presque toujours dans le cas d'un écoulement hydrauliquement rugueux :

On prend comme rugosité equivalente le d90, d84, d65 ou d50. Le choix dépend de l'allure de la courbe granulométrique ou de la formule á utiliser.

- 4 8 -

4.3 - Coefficient de rugosité dans le modele de BINGHAM

On a trouvé comme expression pour la vitesse moyenne (équation 50)

ce qui, reporté dans la formule de DARCY - WEISBACH, donne :

Cette équation est encoré inadaptée au terrain parce qu'il reste á résoudre le probléme de la définition de la viscosité des suspensions répondant á cette loi de comportement. On aura maítrisé le probléme le jour oü on arrivera á mesurer X c et 17 pour un fluide de BINGHAM.

11 faut teñir compte que déjá l'utilisation d'un ou d'autres types de rhéométre (á translation, rotatifs, á fluage, á relaxation, á oscillations, á résonnance, etc) présentent quelques limitations et confusions de fait qu'on mesure chaqué fois une quantité différente (une vitesse limite, une forcé, un déplacement, etc.).

ENGELUND a utilisé le modele de BINGHAM pour expliquer le comportement en étiage du fleuve Jaune en Chine oü on constate jusqu'á 35 % de concentration en volume. D'autres auteurs ont utilisé ce modele comme support á des expérimentations sur des boues concentrées et de vases, mais de nombreuses difficultés comme celles qu'on vient de noter et d'autres comme l'influence des effets thixotropiques ont empéché ce modele d'étre utilisable dans l'ingénierie des écoulements á surface libre.

4.4 - Coefficient de rugosité dans le modele de BAGNOLD

Si on substitue l'expression de la vitesse moyenne :

U ^i^{a^E-:^(-#LctíM h V, 2.

dans la relation de DARCY - WEISBACH, on obtient avec sin ^ = I

1 ^ - ^ .% -1 11- J_J -J- [c,,^Q'-^v)]rtl7)-<]h

Dans cette formule, une partie de la résistance provient de la concentration en sédiments Cv, c'est-á-dire que le mouvement relatif entre les grains en déplacement et l'écoulement donne naissance aux frottements eau - grains et ainsi a la dissipation d'une certaine quantité d'énergie de l'écoulement. Cette perte d'énergie peut aussi étre considérée comme étant causee par une certaine forme hydrodynamique fictive agissant entre l'écoulement et chacun des grains transportes.

49

L'intensité du transport solide est fonction de l'énergie dissipée par l'écoulement par frottement sur le fond. Plus l'écoulement dissipera de puissance á vaincre la résistance hydraulique du Iit, moins il gardera de puissance efficace pour transporter des sédiments.

Pour l'intéressé au sujet du transport solide, l'annexe 1 présente les méthodes et techniques de mesure des transports solides dans les torrents de montagne. Cette synthése a été faite par M. OLIVIER, C.E.M.A.G.R.E.F. de Grenoble (1986).

4.5 - Quelques expressions empiriques de coefficient de rugosité

La plupart d'entre elles concernent des études faites sur des riviéres á lits de graviers dont les caractéristiques sont de faible submersion { /fC ) et de faible pente (1 á 2 %).

Quelques autres ont été travaillées en laboratoire sur des lits artificiéis avec des pentes supérieures.

Chaqué expression, quelle qu'elle soit, refléte avant tout les mesures sur lesquelles elle a été calée, c'est-á-dire que son applicabilité ne reste valable, le plus souvent, qu'au sein de son domaine d'expérimentation.

KEULEGAN (1978) \ / X - ÜL + b (o^ / Z t í_^ (68)

vr - ^^ KsJ avec : a : Facteur lié a la forme du canal.

b = i - ^ - ^-^5 oü K : constante de VON KARMAN K

KEULEGAN a integré la formule de PRANDTL - VON KARMAN supposant que le profil logarithmique des vitesses est valable en toute la profondeur. Cette expression ne tient pas compte de la résistance de forme provenant des irrégularités á grande échelle (grands éléments isolés, configurations du Iit, etc) ni de la résistance provenant des distorsions internes de l'écoulement. Elle donne des résistances souvent trop faibles. Le principal avantage est la simplicité d'emploi.

Plusieurs équations de ce type ont été proposées basées sur des mesures dans les riviéres avec Iit de graviers ou de sable, pentes inférieures á 2 96, submersions relativement grandes (^H^s> 200).

Par exemple :

LIMERINOS (1970) \ í ^ - 3 3 3" 4- 5-95 Lo<f f ^H ^ (69)

HEY (1979) \ / ¥ . 3.02. + 5"-?-5 ¿o^ / fü_ ^ (70)

GRIFFITHS (1981) V f - 2 . / 5 + 5-00 ¿o^ T J?ii_ ^ (71)

^ r dso/

-50

BRAY et DALE

MIZUYAMA (1977)

BATHURST (1985) r f - A..o A- 5.CZ ioQ ( h ^

(72)

(73)

(74)

GRIFFITHS, avec des considérations théoriques de KENNEDY et d'EINSTEIN, a demontre que les équations type KEULEGAN ne sont pas valables pour un Iit mobile. II a trouvé que la mobilité des matériaux du Iit exprimée par le paramétre

y est un facteur important á prendre en considération. VWTo

ENGELUND et HANSEN (1967) ont pris comme hypothése que le cisaillement total sur le Iit peut étre décomposé en deux parties : T^tT + T" (fiS- 18),

oü : '77' : Résistance de surface provenant seulement de la rugosité déla surface ; elle présente une évolution bien définie avec la vitesse moyenne.

T" : Résistance de forme provenant de la participation des configurations du Iit ; l'évolution avec la vitesse moyenne dépend du type de configuration.

ANTIDUNES

/parabo le (f-héonique)

Figure 18

Évolution de la contrainte de cisaillement au niveau du Iit avec la vitesse moyenne

51

II existe plusieurs relations classiques semi-empiriques qui ont été développées avec la méme hypothése comme :

EINSTEIN - BARBAROSSA (1952) qui divisent le rayón hydraulique R , = R'^ + Rl' H rl n

R'u peut étre calculé par la relation : V - ^ - ^ 2 ^ + ^-^^ ^^7 ( ^ )

R'^ peut étre evalué, utilisant un paramétre de résistance í ^ ^ ^ 1

II existe d'autres expressions qui ne préconisent pas cet te división comme celle de GARDE et RANGA RAJU (1970) :

(75)

ou K^ et -K^ sont fonctions de d^^. Elles peuvent étre déterminées graphiquement.

b est une fonction de J(y, ^

Pour les graviers l'expression de GARDE et RANGA RAJU prend la forme :

Quand dans un courant des grands éléments de rugosité occupent une proportion non négligeable de la profondeur, ces éléments isolés sont soumis á une forcé de trainée quelques fois supérieure á la forcé de frottement totale sur le Iit.

Plusieurs travaux ont é té réalisés pour étudier cet effet et plusieurs équations ont été proposées :

(77)

JUDD et PETERSON (1969) : z í U - O.02)^ <*/

avec : h : Profondeur.

(JJ : Largeur du canal.

"X : Paramétre exprimant le degré de concentration des rugosités :

Av : Projection dans le sens de l'écoulement de la surface des éléments de rugosité.

A : Surface du Iit. ^ . -

re ' ' (A) : Fonction correctrice de l'effet A ;?». • .• 1."

4':^rm^^'

- 5 2

BATHURST (1978) \ ¡ A - - ( J : ^ - 1 I ^ _) (78)

avec : /\.j : Concentration des éléments qui dépassent la surface de l'eau :

THOMPSON et CAMPBELL (1979) \ h . f y l - 0 . / I ^ U . ¿ 5 + 5.:^c,Lo^_^\ (79)

Un certain nombre de chercheurs ont mené des expérimentations en laboratoire afin de pouvoir aborder, de fagon quantitative, les transports solides et l'influence des fortes pentes.

Les travaux de SMART et JAEGGI (1983) avec des graviers de diamétre moyen de 4,3 á 10,5 mm et avec des pentes qui vont jusqu'á 20 %, constituent la premiére fois que l'influence du transport solide est directement prise en compte dans le calcul de la résistance. Ils ont remarqué que la couche de sédiments transportes a une épaisseur de 2 á 3 fois le diamétre moyen des grains et occupe parfois jusqu'á 30 % de la profondeur de l'eau ; ils ont proposé l'équation :

P í-0.05icfd)-^Ü.S

l o (80)

avec : Z Q ^ = hr.

h ^ : hauteur du mélange.

Une régression sur les données de SMART et JAEGGI donne :

avec un coefficient de corrélation de 0,89.

HUU HAI CAO (1985) propose les relations :

\ / T 7 - 3 40Q + Q./^O Lo< C - ^ ) (82)

(83)

oü : : Nombre de Froude du sédiment. II caractérise le degré de mobilité du Iit.

Cy : Concentration volumique en sédiment.

La fonction est montrée graphiquement sur la figure 19.

53-

a - O ^ . 00

co <c<

1<=C< 1 <=c< 1 ^=r<-

^

<=tj<

000 001 01

7.00

U/SQRT(G^D50)

Figure 19

Relation entre le coefficient de résistance 1/8/f, le nombre de Froude du sédiment u/ \/~gd50

et la concentration en sédiments transportes C.

5 4 -

5 - REMARQUES

L'ensemble des formules exprimant la rugosité, malgré l'hétérogénéité, mettent en valeur des paramétres finalement proches les uns des autres en tant que variables caractérisant l'écoulement : profondeur, pente, vitesse moyenne, concentration de sédiment, etc.

- La profondeur

Déjá, toutes coincident en prenant en compte la profondeur (h), directement ou sous la forme du rayón hydraulique (RH)> OU chez SMART et JAEGGI sous la forme d'une profondeur combinée (hm) entre la profondeur d'écoulement de l'eau seule (hw) et l'intensité de transport.

- La rugosité

La submersion relative, définie comme le rapport _ í i ou _Jl_ ou son inverse la Ks Ks

rugosité relative ü l ou ü i , Ks étant une valeur représentative des dimensions RH h^

des grains (rugosité), est présente dans la plupart des formules empiriques oü la seule différence se trouvé aux diamétres des grains choisis (d35, d50, d65, d84 ou d90); pour un diamétre dx. x veut diré que x % des éléments existant au Iit sont inférieurs á la taille dx ; on peut comprendre cette diversité de critéres du fait des différents problémes de mesure et d'interprétation existants lies á la connaissance de la granulométrie, quelle que soit la méthodologie (tamisage ou échantillonnage) employée. De plus, il existe toujours l'inconvénient de remplacer une courbe granulométrique par un diamétre, hativement qualifié de "caractéristique" ; malgré cela, la connaissance la plus precise possible du paramétre granulométrique joue un role capital dans une bonne estimation du coefficient de résistance.

Celui qui est intéressé aux méthodes permettant de mesurer la granulométrie en torrents pourra consulter le mémoire réalisé par Christian CARION, C.E.M.A.G.R.E.F Grenoble (juin 1986).

Les seules expressions indépendantes de la rugosité concernant le matériau sont celles de NEWTON et de BINGHAM. Elles sont, par contre, dépendantes de la viscosité.

- La pente

En torrents, la pente (I) joue un rSle aussi important que la rugosité. En general on est dans un domaine torrentiel á partir des valeurs de pente I > 1 % et de submersion relative ^/c/cjo ^ ^•

On trouvé que seules les expressions de BINGHAM, BAGNOLD, EINSTEIN -BARBAROSSA et SMART - JAEGGI tiennent compte de la pente.

-55 -

- La vitesse moyenne

Les formules pour les fluides newtoniens et celles de CAO donnent la résistance en fonction du Froude du sédiment et par conséquent, en fonction de la vitesse moyenne ; elles nous semblent done inadaptées aux projets d'aménagements torrentiels oü le probléme á résoudre consiste justement á déterminer la vitesse moyenne que prendra le fluide lorsque elle atteint une hauteur déterminée dans un profil d'un torrent de pente et de nature des parois connues.

- La concentration

L'influence de la concentration en sédiments C, C* ou Cv est prise en compte seulement chez BAGNOLD, chez SMART et JAEGGI (en fonction de la hautjur de mélange (hm) et chez CAO en fonction du nombre de froude du sédiment ( __^=—Y

SMART et JAEGGI ont montré avec des courbes de variations de la hauteur en fonction de la pente (fig. 20) qu'á débit constant, la hauteur du mélange (eau + sédiment) decline initialement puis elle remonte á partir de la valeur de la pente de 10 %. Ils attribuent cette modification á la concentration en sédiments, c'est-á-dire que lorsque le volume de matériaux devient particuliérement important au sein du mélange le niveau de celui-ci remonte malgré la baisse de la hauteur d'eau puré.

En ce qui concerne la concentration, il faut savoir qu'il existe plusieurs notions qui peuvent étre opposées. (Voir en annexe 2 un article sur les différentes notions de concentration - M. MEUNIER, C.E.M.A.G.R.E.F. Grenoble).

Le fait que l'expérience montré qu'avec des submersions relatives ^> /c¡qo ^ ^ y des pentes 1 > 1 % et des concentrations C > 10 %, les conditions d'écoulement ne sont plus "purement hydrauliques" et qu'il s'agit ainsi des écoulements de sédiments liquidifiés, nous améne á examiner et á tester avec les essais d'expérimentations connus les formules qu'á notre avis pouvaient rendre compte de fagon plus ou moins satisfaisante et réaliste des pertes de charges en torrents, c'est-á-dire celles de BAGNOLD, BINGHAM, SMART et JAEGGI et CAO.

56 -

so

n.0.025

tnuTeniAKi X

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IS 20 I f y . J 20 llv.1

f A e f u r e .

Ca.lcuh'

Figures 20 Courbes de Variations de la hauteur de mélange

en fonction de la pente