L’enseignement des probabilités

Une discipline « jeune »

• Apparaît en 1966 en Terminale A et B.

• Apparaît en Première A, B, C et D en 1970 (et en Terminale en 1971).

• Grand recul de son enseignement entre 1981 et 1986.

• La statistique inférentielle apparaît en Seconde en 2000.

• Les probabilités arrivent en troisième en 2008.

Raisons de l’introduction des probabilités

• Intention socioculturelle : le monde « réel »;

• Intention épistémologique : rôle de la mathématique ;

• Intention didactique : intégrer des domaines récemment constitués des mathématiques

Entre 1970 et 1981

• Approche très axiomatique : axiomes de Kolmogorov

• On modélise l’équiprobabilité des évènements élémentaires en se fondant sur une symétrie de la situation étudiée.

• Extrait des instructions de 1970 : « le paragraphe relatif aux probabilités ne consiste pas à réunir et à résumer des expériences nombreuses sur certains faits, mais bien à bâtir une théorie axiomatique assez souple pour servir ultérieurement de modèle mathématique aux études statistiques ».

Entre 1970 et 2010 …

Sujet de Bac C, 1975

Sujet de BREVET, 2010

Un sac contient 10 boules rouges, 6 boules noires et 4 boules jaunes.

Chacune de ces boules a la même probabilité d’être tirée. On tire

une boule au hasard.

1. Calculer la probabilité pour que cette boule soit rouge.

2. Calculer la probabilité pour que cette boule soit noire ou jaune.

3. Calculer la somme des deux probabilités trouvées aux deux

questions précédentes.

Le résultat était-il prévisible ? Pourquoi ?

4. On ajoute dans ce sac des boules bleues. Le sac contient alors 10

boules rouges, 6 boules noires, 4 boules jaunes et les boules bleues.

On tire une boule au hasard. Sachant que la probabilité de tirer une

boule bleue est égale à 1/5, calculer le nombre de boules bleues.

Différentes interprétations de la probabilité

• En terme de croyance ou bien en terme de fréquence.

• Dans la première, que Hacking nomme « probabilité épistémique », le mot « probable » est associé aux notions de croyance, confiance, crédibilité, indice.

• Dans la deuxième, nommée « probabilité de type fréquentiste », son usage est associé aux notions de fréquence, disposition, tendance, symétrie, propension.

• Ces deux interprétations de la probabilité sont parfois dénommées autrement : subjective / objective, épistémique / aléatoire .

Approche laplacienne

• Basée sur la « géométrie du hasard ».

• Probabilité subjective, déterminée à priori par des considérations non expérimentales.

• Nécessite de se ramener à un univers dans lequel tous les évènements élémentaires sont équiprobables.

• Réduit le calcul des probabilités à des dénombrements.

• Ne réalise pas de confrontation avec la réalité.

Approche fréquentiste

• Basée sur l’étude expérimentale de phénomènes aléatoires.

• Probabilité : « limite » de fréquences observées expérimentalement.

• Probabilité objective, définie à postériori.

• Résout le problème de la confrontation avec le réel.

• Danger : l’élève ne fait pas le saut conceptuel.

Dans les programmes

Programme de Troisième

Notions de probabilité

• Comprendre et utiliser des notions élémentaires de probabilité.

• Calculer des probabilités dans des contextes familiers

Probabilités définies à partir de considérations de symétrie ou de

comparaisonDans chacune des situations ci-dessous, deux issues sont possibles, et on a 1chance sur 2 de tirer “Pile”, de tirer une boule rouge, ou de tomber sur la région P, ce que l’on traduit en disant que la probabilité de chacune d’elles est égale à ½ .

Ces dispositifs peuvent être adaptés pour mettre en évidence des événements n’ayant pas la même probabilité.

Approche fréquentiste de la probabilité

Le lancer d’une punaise

Le jeu de Franc - Carreau

Le jeu de « Franc Carreau » consiste à prendre une pièce de monnaie (de 1 cm de rayon, par exemple), et à la lancer sur un carrelage dont les carreaux sont des carrés (de 10 cm de côté, par exemple). On fait « Franc Carreau » quand la pièce tombe sur une seule case, dont elle peut toucher les bords, mais sans empiéter sur une autre case. Dans ce cas, on gagne un euro ; sinon, on perd un euro.

Simulations

Document d’accompagnement du programme de Seconde:

« Simuler une expérience, c’est choisir un modèle de cette expérience, puis simuler ce modèle ».

Autre définition:La simulation est la méthode statistique permettant la reconstitution fictive de l’évolution d’un phénomène. C’est une expérimentation qui suppose la construction d’un modèle théorique présentant une similitude de propriétés ou de relations avec le phénomène faisant l’objet de l’étude .

Programme de Seconde

Échantillonnage• Notion d’échantillon.• Intervalle de fluctuation d’une fréquence au seuil de 95%.• Réalisation d’une simulation (tableur ou calculatrice)

Probabilité sur un ensemble fini• Probabilité d’un événement.

Déterminer la probabilité d’événements dans des situations d’équiprobabilité.

• Réunion et intersection de deux événements, formule : p(AB) + p(AB) = p(A) + p(B).Utiliser des modèles définis à partir de fréquences observées.

Echantillonnage

• Un échantillon de taille n est la liste des n résultats obtenus par n répétitions indépendantes de la même expérience.

• Exemple d’une pièceExemple d’un déExemple de deux tirages successifs avec remise dans une urne contenant 2 boules blanches et une boule noire

Intervalle de fluctuation

Par exemple …

• Lors d’une élection, un candidat a obtenu 35% des voix. Pour des échantillons de taille 100, l’intervalle de fluctuation au seuil de 95% est [0,25; 0,45].

• On simule 100 échantillons de taille 100 et on dénombre les échantillons pour lesquels la fréquence est en dehors de l’intervalle [0,25 ; 0,45].

TP fourchettes Seconde.xls

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 76 79 82 85 88 91 94 97 100

Liste rouge

Sondages de taille 100

La place de la simulation

modèle

Expérience

réelle

Expérience

informatique

modélisationsimulation

représentation

Le problème des bouteilles

• Un fabricant de bouteilles en verre dispose de 100 kg de verre liquide.

• Avec 1 kg de verre liquide, on peut fabriquer une bouteille.

• Dans les 100 kg de verre liquide, il y a 100 pierres ou impuretés que l’on ne peut pas enlever et qui sont réparties de manière aléatoire.

• Le fabricant ne s’intéresse qu’à la fabrication de bouteilles de « haute qualité », c’est-à-dire sans impureté.

• Si une bouteille contient au moins une pierre, elle est mise au rebut !

• Combien peut-il espérer obtenir de bouteilles de « haute qualité »?

Choix d’une méthode de simulation

• On peut schématiser le problème sous la forme d’un tableau cartésien de 10 cases sur 10 cases, chacune des cases représentant la place d’une bouteille.

• Puis on répartit de manière aléatoire les 100 impuretés sur ces 100 cases.

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Chiffre des dizaines

Chiffre des unités

Modélisations du problème

• Première approche

Soit A l’ensemble des impuretés et B l’ensemble des bouteilles.Une répartition des 100 impuretés dans les 100 bouteilles peut être interprétée comme une application de A vers B.On choisit comme univers l’ensemble des applications de A vers B, noté F (A, B).On choisit aussi l’hypothèse la plus simple, c’est – à – dire celle d’équiprobabilité des évènements élémentaires.Soit p la probabilité que la bouteille Bi soit de « haute qualité » et B’ = B \ {Bi}.Alors: p 0,3665On a donc entre 36 et 37 bouteilles de “haute qualité”.

Première approche

Deuxième approche

Premières généralesL obligatoire au choix ES S

Notion d’expérience aléatoireEnsemble deséventualités et vocabulaire des événements.Loi de probabilité sur un ensemble fini.Probabilité d’un événement, de l’événement contraire.Relation entre les probabilités de deux évènements, de leur réunion et de leur intersection.L’équiprobabilité : une hypothèse parmi d’autres pour proposer un modèle.Modèles issus d’une observationexpérimentale.

Définition d’une loi de probabilité sur un ensemble fini. Espérance, variance, écart-type d’une loi de probabilité.

Modélisation d’expériences de référence menant à l’équiprobabilité ; utilisation de modèles définis à partir de fréquences observées.

Définition d’une loi deprobabilité sur un ensemblefini. (énoncé vulgarisé de la loi des grands nombres).Espérance, variance,écart-type d’une loi deprobabilité.Variable aléatoire, loi d’unevariable aléatoire,espérance, variance,écart-type.Modélisation d’expériencesaléatoires de référence(lancers d’un ou plusieursdés ou pièces discernablesou non, tirage au hasarddans une urne, choix dechiffres au hasard, etc.).

Loi des grands nombres

• En langage vulgarisé (prog de Première S):Pour une expérience donnée, dans le modèle défini par une loi de probabilité p, les distributions de fréquences obtenues dans des séries de taille n se rapprochent de p quand n devient grand.

• Enoncé mathématique: Si (Xn) est une suite de variables indépendantes de Bernoulli de paramètre p et si la moyenne des variables (Xn) est notée Fn, alors pour tout a > 0, la probabilité que | Fn – p| > a tend vers 0 quand n tend vers l’infini.

Premières technologiquesSTG ST2S STI

Épreuves, événements élémentaires ouissues, univers, répartition deprobabilité.Réunion, intersection d’événements,événements disjoints ou incompatibles,événement contraire.

Probabilité d’un événementCas où les événements élémentairessont équiprobables.

Expérimentation et simulation.

Vocabulaire des probabilités (cas discret)Univers, événements, événementsélémentaires.Réunion, intersection d’événements,événements disjoints (ou incompatibles),événement contraire.Probabilité d’un événementCas où les événements élémentaires sontéquiprobables.Sur des exemples simples, étude de cas où lesévénements élémentaires ne sont paséquiprobables.

Événements, événements élémentaires ; la probabilité d'unévénement est définie par addition de probabilitésd'événements élémentaires. Événements disjoints (ouincompatibles), événement contraire, réunion et intersectionde deux événements.Cas où les événements élémentaires sont équiprobables.

Terminales généralesL obligatoire au choix ES S

Statistique et simulation (adéquation de données à une loi équirépartie)

Représentation d’un modèle probabiliste attaché à une épreuve aléatoire par un arbre pondéré.Conditionnement par un évènement de probabilité non nulle.Indépendance de deux évènements.Formule des probabilités totales

Simulation (adéquation de données à une loi équirépartie).

Conditionnement par un évènement de probabilité non nulle, puis indépendance de deux évènements.Formule des probabilités totales.Modélisation d’expériences indépendantes. Cas de la répétition d’expériencesidentiques et indépendantes.Lois de probabilités discrètesEspérance et variance d’une loi numérique.Expériences et lois de Bernoulli.Lois binomiales.

Conditionnement par un évènement de probabilité non nulle, puis indépendance de deux évènements.Indépendance de deux variables aléatoires.Formule des probabilités totales.Statistique et modélisationExpériences indépendantes. Cas de la répétition d’expériences identiques et indépendantes.Exemples de lois discrètesIntroduction des combinaisonsFormule du binômeLoi de Bernoulli, loi binomiale ; espérance et variance de ces lois. Exemple de lois continues - loi uniforme sur [0,1] - loi de durée de vie sans vieillissementStatistique et simulation (adéquation de données à une loi équirépartie).

Le problème de l’adéquation

• Une expérience :

CHOISIR sans réfléchir et très vite un CHIFFRE parmi les quatre chiffres 1, 2, 3, 4.Ecrivez – le sur un morceau de papier.

• Adéquation - 4 chiffres.xls

« Processus » opératoire du problème de l’adéquation

Terminales technologiquesSTG ST2S STL STI

ConditionnementProbabilité, sachant B, de A .

Indépendance de deux événements.

Probabilité conditionnelleConditionnement par un événementde probabilité non nulle.Indépendance de deux événements.

Evénements disjoints (ou incompatibles), événementcontraire, réunion et intersection de deux événements

Variable aléatoire (réelle) prenant un nombre fini de valeurs etloi de probabilité associée ; fonction de répartition, espérancemathématique, variance, écart-type.