S e r v i c e Hydrologique - Note technique "n,O 3

Di f fus ion i n t e r n e

O.R. S. T. O .M

Le TEST du* de PEARSON /

P a r

Y. BRUNET-MORET

Novembre 1966

Cet te n o t e ddveloppe nos r g f l e x i o n s s u r la signi- f i c a t i o n du t e s t d u x , 2 e t s u r l e s m o d a l i t é s de découpages en c l a s s e s l e s p l u s a p t e s A maximiser l a pu i s sance de c e t e s t . D a n s c e r t a i n s c a s , l a mdthode des agrggats e t l e s t e s t s des s u i t e s e t d e s 5 ignes peuvefit amé l io re r l a s i g n i f i c a t i o n at- t r i b u a b l e a u x o

c a l c u l du x2 proposée en conclus ion paraît a u j o u r d ' h u i l a p l u s sare

SLWX $ t r e d é f i n i t i v e m e n t c o d i f i é e , l a m6tliode de

I

- 2 -

I .DEPINITION -* de '.i2 - Le mieux e s t de se r e p o r t e r & l ' o u v r a g e lfMéthode

S t a t i s t i q u e de PIORICE et2CHAHTIER p. 238" pour un exposé com- p l e t s u r l a t h é o r i e d u x . o S i nous avons un c e r t a i n nombre n = \il ni d ' o b s e r v a t i o n s rangees en K c l a s s e s , n i k t a n t l ' e f f e c - t i f observé de l a c l a s s e i , p i la p r o b a b i l i t é d' a p p a r i t i o n d ' u n e observa t ion d a n s c e t t e c l a s s e i d'aprbs l a l o i de r épa r - t i t i o n c h o i s i e (n p i <tant l ' e f f e c t i f t héo r ique de l a c l a s s e i) l e t e s t q u i permet- de v é r i f i e r l ' a d d q u a t i o n de l a l o i choi- s i e aux obse rva t ions s e c a l c u l e & p a r t i r de :

-k

A

Tables ou abaques pe rme t t en t de d6terminer l a pro- '3 b a b i l i t é d ' a p p a r i t i o n de l a v a l e u r d e y 2 d l a p r & s l e nombre

de degrés de l i b e r t é .

de c l a s s e s moins l e nombre de l i a i sons e n t r e l a d i s t r i b u t i o n t h é o r i q u e e t l a d i s t r i b u t i o n observee :

- l ' k g a l i t é des e f f e c t i f s g l o b a u x x n i =>-n p i compte pour une

- l e c a l c u l de chaque param&tre de l a r é p a r t i t i o n t&é 9 r i q u e

Ce nombre de deg rés de l i b e r t é est_ &al au nombre

-I

l i a i s o n ( c e t t e é g a l i t é n ' e s t pas t o u j o u r s r empl i e )

h, p a r t i r des obse rva t ions (ou p a r minimisat ion d u compte a u s s i p o u r une l i a i son .

Le t e s t d u x 2 ne peu t s 'employer que s i :

)

a) 1' é c h a n t i l l o n prélevé dans l a popu la t ion n' e s t pas exhaus t i f e t e s t t i r 6 au hasard (pas d ' s u t o c o r r é l a t i o n

dans l a popu la t ion , a t t e n t i o n a1-m s u i t e s chronologiques)

b ) aucune des p r o b a b i l i t é s p i n ' e s t t r o p v o i s i n e de z k r o

c ) les p r o d u i t s n pi son t t o u s s u p é r i e u r s s i p i e s t p e t i t .

5 , ou même 10

, - 3 -

1I.DISTRIBUTION de % 2 - ' 2

' Nous donnons deux graphiques de d i s t r i b u t i o n de?c pour les degrés de l i b e r t é 3 de 1 å 10.

Si 9 est- égal ou s u p é r i e u r å 10, n o u s pouvons u t i - l i s e r 1' approximation s u i v a n t e :

b2 3 \I '7 2 e s t distr-ibué normaleinent avec coimm moyenne 1 - p e t é c a r t

type 5 "J' 3 Si3 . ' e s t é g a l ou s u p é r i e u r B 30, nous pouvons con-

s i d g r e r que

e s t d i s t r i b u é nornialernent avec comme moyenne z d r o e t é c a r t type 1. C e t t e approximation e s t t o u j o u r s moins serrke que la prdcédente .

N o t a important I_ sur le c a l c u l -___1 de l a p r o b a b i l i t é ---- de ran=

S o i t N obse rva t ions rangées en o rd re c r o i s s a n t ( o u d é c r o i s s a n t ) , la p r o b a b i l i t é experimentale liée & l ' O b - s e r v a t i o n de rang r e s t , au non-dépassement ( o u au dépassement)

On peut- le dgmontrer. m . S o i t N obse rva t ions rang6es en o r d r e c r o i s s a t r ... N, P é t a n t l a p r o b a b i l i t é t h é o r i q u e de l a va- 1, 2 ,

leur X i au non-dépassement, e t Q = l - P l a p r o b a b i l i t é t héo r ique de la v a l e u r X i a u dépassement.

N - r vale 'urs > X i d - m s le t i r a g e de 1' é c h a n t i l l o n e s t ( l o i b inomia le , r v a r i a n t de O B N )

LL p r o b a b i l i t é pour quf il y a i t r vaLeurs<Xi OU

- 4 -

( C ' e s t l a p s o b a b i l i t é gour que l a v a l e u r X i de l ' é c h a n t i l l o n s o i t au rang r du rangernent de 1 1 6 c h a n t i l l o n ) .

La p r o b a b i l i t é s moyeime - de l ' o b s e r v a t i o n du rang r e s t au non-d6passement :

III. S I G N I P I C A T I O N d e x2 - Le c a l c u l du l2 s e r t usuel lement h, dg te rmine r ,

compte t e n u du nombre de degrés ge l i b e r t é , l a p r o b a b i l i t é P de dépassement de l a v a l e u r du (, o

a ) Gas d 'une populat ioi i connue :

S i nous avons c a l c u l é l e * 1 2 $t p a r t i r d e s v a l e u r s d ' u n & c h a r t i l l o n t i r é d ' une p o p u l a t i o n d o n t la r é p a r t i t i o n e s t connue par avance ( e t non dgterniinée par les v a l e u r s de 1 ' 6 c h a n t i l l o n , l e x.2 é t a n t c a l c u l é & l ' a i d e d e s paramèt res de l a popu la t ion e t non de l ' Q c l i a n t i l l o n ) , l a p r o b a b i l i t é P e s t c e l l e du d6passenient de l a v a l e u r c a l c u l é e d e )c2 par l e siniple e f f e t du hasard du t i r a g e de l ' d c h a n t i l l o n ,

s i d ' une même popu la t ion ( d e r é p a r t i t i o n connue p a r avance) nous t i r o n s a u hasard p l u s i e u r s s é r i e s d ' u n m i l l i e r d ' d c h a n t i l l o n s ( t i r ê s au hasard) chacune, nous t rouve rons eli moyenne par s 6 r i e 10 x 2 correspondant ' une p r o b a b i l i t é P au ddpassement de 0,gg ou p l u s e t LO $ cor re s - pondant & une p r o b a b i l i t é P de 0,Ol o u moins . Ita d e n s i t é v de l a r ê p a r t i t i o n de l a p r o b a b i l i t g P e s t c o n s t a n t e : l a me- diane e t l a moyenne d e t o u t e s les p r o b a b i l i t é s €' d é d u i t e s de t o u s les x2 d e s t i r a g e s c i -dessus ( e t c a l c u l 8 s , nous l e répé- tons , en u t i l i s a n t l e s paramktres , connus par avance, de la r 6 p a r t i t i o n de l a popu la t ion ) s e r a d e O,50. Nous t rouve rons autant d e x2 correspondant e n t r e 0,60 e t 0,50 que de ;( correspondant des p r o b a b i l i t 6 s

d ' a p r è s un s e u l t i r age d ' e c h a n t i l l o n ( e t l e s paramèt res con- n u s p a r avance de l a popu la t ion mère) a donc 50 $ de chances d ' ê t r e coniprise e n t r e 0,25 e t 0,75, 90 $ de chances d ' $ t r e

Ains i

d e s p r o b a b i l i t é s P comprises

.I? comprises e n t r e 0,lO e t z 6 r o , La p r o b a b i l i t é P c a l c u l é e

- 5 -

c o m p r i s e n t r e 0 ,05 e t 0 , 9 5 , 99 $ de chdnces d ' ê t r e coinprise e n t r e 0,005 e t 0 ,995.

b ) Cas d ' u n é c h a n t i l l o n de p o p u l a t i o n inconnue :

S i l e s par.am&trres de l a p o p u l a t i o n son t c a l c u l é s , & izrtir de 1 ' 6 c h a n t i l l o n dont on d d d u i t a u s s i l a p r o b 3 b i l i t e P

Tdla.prks l a v a l e u r d u x 2 ? e t un nombre de degres de l i b e r t é obtenu en r e t r a n c h a n t l e nombre de l i a i s o n s ayant s e r v i au calcul d e s param&tres)? c e t t e p r o b a b i l i t é P r e p r é s e n t e l ' adé- q u a t i o n de la l o i c h o i s i e e t des paramhtres c a l c u l é s & l a &- p a r t i t i o n de 1 ' 6 c h a n t i l l o n : e l l e a donc 50 $ de chances de n ' ê t r e pas comprise e n t r e 0 ,25 e t 0,75, 10 $ de chances de i l t e t r e pas comprise e n t r e 0,05 e t 0 , 9 5 , 1 $ de chances de n l 9 t r e pas coinprise e n t r e 0,005 e t 0 ,995 ( i n t e r v a l l e s de con- f i a n c e de l a p r o b a b i l i t é I?) o Les x2 trop p e t i t s sont a u s s i t r o u b l m t s que l e s 72 h - o p grands .

On s e t rouve généralement dans ce cas e t l e t e s t d u x 2 e s t a lo r s im t e s t d ' adéqua t ion & une l o i c h o i s i e a p r i o r i (hypothbese & v é r i f i e r ) .

i

Le r e j e t ou l ' a d o p t i n de l ' h y p o t h è s e dependent d ' u n s e u i l de p r o b a b i l i t é P ( 9 ) que l ' o n se f i x e a p r i o r i ( v o i r f i n de ka n o t e ) .

IV.Le DECOUPAGE de llECHBNTILLON en CLASSES - Ce problème e s t hab i tue l l emen t &ludé par .,1 s a u t e u r s

q u i s i g n a l e n t ou u t i l i s e n t ( e n exemple) l e t e s t du,,(. 5 e Nous y rev iendrons p l u s l o i n (Cfe v ) .

Ce p r o b l h e e s t important c o m e l e montre l a f i g u r e sur l a q u e l l e on t r a c e d 'une part, la l o i de r é p a r t i t i o n de l a popu la t ion e t , d ' a u t r e part, l a courbe obtenue en jo ignan t l e s d . i f f6 ren t s p o i n t s observés . S i Ir on c h o i s i t comme v a l e u r s des l i m i t e s de c l a s s e s c e l l e s pour l e s q u e l l e s les deux courbes s e coupent , l e )(2 s e r a n u l e t la p r o b a b i l i t é P de 1,OO. S i 1' on c h o i s i t coime v a l e u r s des l i i n i t e s c e l l e s p o u r l e s q u e l l e s l e s t angen te s des deux courbes sont p a r a l l è l e s , l e x 2 a t t e i n - d r a sa v a l e u r mGLxiinale.

- 6 -

Prenons par exemple l a d i s t r i b u t i o n des pluviomstr.,;: a n n u e l l e s d e 45 ann6es B ZIGUIfiJCHOR, é t u d i d e s u i v a n t une l o i d e PEA3SON III aveç 2 param&tres . Le découpage en 7 c l a s s e s p e u t conduire de = O s o i t P = 1,OO & J 2 - = 14 ? 2 5 s o i t P = 02005 ! Les découpages en c l a s s e s de p r o b a b i l i t é s t h g o r i -

u e s e g a l e s conduisent aux v a l e u r s s u i v a n t e s : 9 c l a s s e s g, u n i t 6 s t h é o r i q u e s dans chaque c l a s s e ) x? =*8,40 dto& P = 0 ,21 - 8 c l a s s e s )c2 = 8,19 d ' o h P =20,15 - 7 classes x,2 = 0,578 d ' o h P = 0,96 - 6 c l a s s e s x 5 classes J2 = 3 ,56 d 'o& P = 0,18 - 4 c l a s s e s (11,25 unités t h o r i q u e s dans chaque c l a s s e , 1 s e u l degr6 de l i b e r t é ) x' = 1 , 3 1 d ' o h P = 0 , 2 5 .

= 2 ,34 d ' o & P = 0,50-

Cet exemple montre b i e n que s i l ' o n c h o i s i t l e s li-. mites de c l a s s e s , l ' o n peu t t r o u v e r l e ;t2 que l ' o n d é s i r e e t , quQ même s i l ' o n e f f e c t u e un dgcoupage :en c l a s s e s théor ique- ' ment g g a l e s , la p r o b a b i l i t e d é d u i t e du ,(2 peu t v a r i e r dans de larges l i m i t e s .

e s t de n e pas c r k e r de c l a s s e s ayant moins de 5 (ou d e 10 ? ) u n i t é s t an t l l théoriquestf qu ' "observ4esf f . La r e s t r i c t i o n r e - l a t i v e a u nombre d ' uni-& If observ6ess ' e s t d ' a i l l e u r s i n u t i l e c a r dans une c l a s s e ,

-7

~a r ê g l e communément donnêe ( e t appl iquée c i -dessus)

(nbre th6oriq.ue - nbre observe)* Ay2 = n b r e theo r iyue

l e nombre observé n ' i n t e rv i en t q u ' a u numgrateur e t par l a va- l e u r absolue de sa d i f f ê r e n c e avec l e nombre théo r ique . Noua spécifions t o u t d e s u i t e que, l e nombre thgor ique n ' a pas be- soin d ' $ t r e un e n t i e r , mais que s i nous n e c h o i s i s s o n s p a s c e nombre t h é o r i q u e e n t i e r , l e AX2 de l,a. c l a s s e n e p e u t & t r e q$e ==-zéro9 e t non n u l , La v a l e u r de x2 en e s t sfheïnent b i a i - s e e , et- que lque fo i s p e u t - ê t r e d ' une q u a n t i t é s e n s i b l e : ainsi pour r ep rendre 1' exemple d o m 6 p l u s h a u t t*ZIGUINQ-I OR 45 ans , 1 e A x 2 m i n i m a l par c l a s s e e s t de ::

i c 6 c l a s s e s théoriquement 6ga les" de T 9 5 u n i t é s par c l a s s e :

-2 r i 095

715

- 7 -

s o i t un S i nous 'enlevons c e t t e v a l e u r minimale au x2 de 2,34 r é e l l e - ment t rouv6 ,P passe de 0,50 & 0,545. Ceci peut a v o i r des con- séquences l o r s q u ' o n appl ique un t e s t d ' a g r é g a t d ' un c e r t a i n nombre de p r o b a b i l i t é s indépendantes ( C f § V I )

c l a s s e s d ' a u moins 5 u n i t é s " th6or iques t1 aux deux ex t r6mi tds notamment, r e s t r e i n t t e r r ib l emen t l a v a l e u r du t e s t qu i ren- se igne seulement s u r la p o s s i b i l i t é q u ' a l a l o i c h o i s i e (avec s e s paramètres calculés) d e r e p r é s e n t e r l a d i s t r i b u t i o n dans sa zone de f o r t e d e n s i t g de p r o b a b i l i t é . A i n s i , nous pouvons admet t re que la. d i s t r i b u t i o n observée , e t rangée des p luvio- m é t r i e s annue l l e s de 45 années & ZIGUINCHOR e s t b i en r ep ré - sen t6e par une l o i de PEARSON III du r ang 5 a u r ang 40 , c'est- à-d i re p o u r des p r o b a b i l i t 6 s de 1 &, 8,donc p o u r des temps de

récur rence i n f 6 r i e u r s h 9 ans. L 'adéquat ion de l a l o i c h o i s i e aux frt5quences r a r e s ou temps de r6cur rence dlevês n ' e s t ab- solument pas t e s t & , qmelleqc s o i t l a v a l e u r de x2. E t l a p l u p a r t d u temps, ce sont ce s f rgquences r a r e s q u i nous i n - t é r e s s e n t . Nous rev iendrons s u r ce p o i n t .

minimal t o t a l de 0 ,20 (3 degrés de l i b e r t é P = 0,978),

Se f a i t de découper 1' é c h a n t i l l o n , en c r é a n t des

9 9

V.Le CHOIX des CLASSES -

Ce q u i s u i t e s t une t r a d u e t i o l i abrggée de KENDBLL and STUflRT(TtThe advanced theory of s t a t i s t i c s " v o l 2 p. ,430 et s u i v a n t e s ) avec quelques reniarques pe r sonne l l e s e n t r e pa- r en thbses o

Le nombre de c l a s s e s e t l e u r contenu peuve:?f c".'---sx :*.:-

p o d s p a r les données : t a b l e a u de cont ingence par exemple, i n a i s souvent e t le nonibre de classes e t l e u r s f r o n t i è r e s s o n t h c h o i s i r , La f a c i l i t i 6 a r i thm6t ique e s t que lquefo is u t i l i s é e p o u r donner l a s o l u t i o n su ivante : les c l a s s e s sont c h o i s i e s pour c o u v r i r d 'ggaux i n t e r v a l l e s de v a r i a t i o n de l a v a r i a b l e a l é a t o i r e sauf aux ex t rémi tgs 06 les i n t e r v a l l e s peuvent deveni r i n f i n i s (exemple de l a r é p a r t i t i o n de l a p luviom6tr ie j o u r n a l i è r e de 10 en 10 m , l a c l a s s e l a p l u s 6 levée a l l a n t par exemple de 120 mm & l ' i n f i n i ) .,

l

Nous devr ions c h o i s i r , p o u r un nombre K donné d e c l a s s e s , l e s f r o n t i & r e s q u i maximisent l a puissance du t e s t . Le problème n ' e s t pets encore r é s o l u . I1 f a u t chercher une méthode pour e squ ive r le f a i t d k p l a i s a n t q u ' i l y a une mul- t i p l i c i t é de choix , chacun doman$ des r é s u l t a t s d i f f é r e n t s ( C f . § I V ) (Par exemple, combien de l i b e r t é s s e donne-t-on - d o n c de degrds de l i b e r t é a r e t r a n c h e r a u nombre th6or ique de degrés de l i b e r t é du x2 -en c h o i s i s s a n t une & une les l i m i t e s de c l a s s e s ?) . I1 est proposé, comme r 'egle p l a u s i b l e e t pra- t i q u e , de c h o i s i r des c l a s s e s dga les en p r o b a b i l i t é s t h 6 o r i - lues e

C e t t e m6thode peut ne pas a c c r o f t r e l a puissance d u t e s t t , c a r l ' hypo thèse d 'ad6quat ion e & s u r t o u t vu lné rab le aux e x t r é m i t é s de la r é p a r t i t i o n e t l a méthode peut amener une p e r t e d e s e n s i b i l i t é si. K n ' e s t cas l e s p r o b a b i l i t é s des f r o n t i & r e s i n t e r n e s des deux c l a s s e s extremes sont é lo ignées d O ou de 1, mais s i K e s t t r è s grand on r i s q u e c'le no e r descl lx 6levés des c l a s s e s extrêmes dans

degrés de l i b e r t é de?( ) . C e t t e méthode a l ' a v a n t a g e de ne pas donner de v a l e u r s b i a i s é e s + d e X 2 ( A cond i t ion que l e nombre théor ique dans chaque c l a s s e s o i t e n t i e r ) e t de permet t re de dgterminer l e nombre K de c l a s s e s , n $ t a n t l ' e f f e c t i f de 1' & c h a n t i l l o n . En e f f e t your n axini iser l a puissance d u t e s t , on prend E(: propor t ionne l & n 2h n a l i t é v a r i a n t av c l a v a l e u r d e x 2 . Retenons que pour n = 200 et prob.;),5 = 0 ,05 , on o b t i e n t

.

assez grand (dans ce

5 3 une masse deb;)( s peu e evés t o u t en augmentant l e nombre de

l e f a c t e u r de p ropor t ion -

TT # 6 (K = 30)

e t que pour prob.)(* = 0,01, on o b t i e n t

Cependant, K peut e t r e d i v i s é par deux sans provoquer une s d r i e u s e d iminut ion de l a puissance du t e s t . D ' au t r e pa r t , une l i m i t e supkr ieure de IS e s t fournie par l e f a i t que l ' a p - proximation mult inormale B la d i s t r i b u t i o n mult inomiale n ' e s t p l u s s a t i s f a i s a n t e s i l e p r o d u i t n p i e s t t r o p p e t i t . La

- 9 -

r è g l e cormnundment appl iquée e s t d e prendre :

y1 n p i = ~FZ. 5

2 D ' a u t r e s c r i t i q u e s ont e t 6 f a i t e s au t e s t de)(, : t o u t d ' a b o r d , on perd de l ' i n f o r m a t i o n en groupant l e s obser- v a t i o n s en c l a s s e s , e t il e s t p o s s i b l e que c e t t e p e r t e s o i t plus grande lo r sque l ' o n t e s t e une d i s t r i b u t i o n cont inue . En- s u i t e , cornme l ' o n t r a v a i l l e sur des carrkst l e t e s t e s t insen- s i b l e aux arrangements des s i g n e s des d i f f e r e n c e s o Contre c e t t e secoiide o b j e c t i o n , O M peut u t i l i s e r le t e s t des s u i t e s des d i f f é r e n c e s e n t r e l e s obse rva t ions rangées e t l e s v a l e u r s - aux mêmes p r o b a b i l i t é s r e s p e c t i v e s - d é d u i t e s de l a l o i tliéo- r i q u e . Le t e s t des s u i t e s e t l e t e s t du x2 sont indépendants l o r s q u e l ' e f f e c t i f de l l d c h a i i t i l l o n e s t grand.

VI.Les AGREGATS - Du paragraphe III peu t s e dégager 1' impression

qu'unp>: i s o l é c a l c u l é & p x t i r d'un s e u l 6c l i an t i l l on illa pas une- s i g n i f i c a t i o n b i e n p r d c i s e , e t du 5 I V , c e l l e que l e t e s t

i de )(2 escamote l e s f réquences r a r e s ( inipressions p e s s i m i s t e s ?).

S i nous d i s p o s o n s de p r o b a b i l i t é s P i ind6pendantes - provenant d 1 6 c h a n t i l l o n s independants t i res de la meme po- p u l a t i o n - nous pouvons v e r i f i e r que la d e n s i t é de l a répas- t i t i o n des p r o b a b i l i t 6 s Pi e s t cons t an te (Cf. § III). Nous pouvons a u s s i u t i l i s v r l e 'Gest de F i s c h e r ( n o 91) de "l1agr6- gat d ' u n c e r t a i n nombre de p r o b a b i l i t é s inddpendantes" : s o i t N p r o b a b i l i t é s P i s le x2 g l o b a l & 2 N degrés de l i b e r t é e s t éga l 5 - 2 22Jte Pi. Ou b ' e n , s i les p r o b a b i l i t é s P i sont dé- d u i t s de TJ t e s t s de xi' (non b i a i s é s ) 87, i degrr6s d? l i b e r t é ,

poÚvons u t i l i s e ? c e s m6l;liodes p o u r t e s t e r 1' adéquat ion d ' une l o i de r 6 p m t i t i o n 5 un ensemble d ' k c h a n t i l l o n s indépendants provenant de popu la t ions d i f f é r e n t e s . P a r exemple , nous pou- vons v&j - f i c r que l a loi de PEnRSON III s ' a p p l i q u e aux d i s t r i - b u t i o n s des p luv iom6t r i e s a n n u e l l e s d7es s t a t i o n s d r wie meme zone c l ima t ique e t gdographique : ;e,,(.2 e s t calculé pour cha- que s t a t i o n en u t i l i s a n t les paramet res propres de c e t t e

l e i/i 5 global & > $ i degr&s de l i b e r t é e s t &gal B 2X.j- o Nous

- 10 -

s t a t ion . I1 nous semble n é c e s s a i r e pour l r a p p l i c a t i o n d méthodes , e t pour & i t e r les d i s t o r s i o n s s i g n a l é e s du $ ~~&,I- p l e du § III) d ' u t i l i s e r p o u r chaque s t a t ion un découpage ,

en classes &?,des en p r o b a b i l i t 6 s t hdor iques e t d e plus , s o i t d ' 6 g s l i s e r les p r o b a b i l i t 6 s d e s classes pour t o u t e s les sta- t i o n s , s o i t d ' j g a l i x e r l e s e f f e c t i f s de t o u t e s les c l a s s e s pour l e s stcitions ( c e q u i n ' e s t p o s s i b l e qu 'en t rava i l lan t sur d e s 4 c h a n t i l l o n s de meme longueur)

Contre l ' e scamotage des f r équences r a r e s nous ne voyons que l a m6thode d e s s ta t ions-minées , Encore f a u t - i l qu ' i l ; nty a i t pas c o r r é l a t i o n e n t r e l e s s ta t ions n i auto- c o r r e l a t i o n à l ' i n t 6 r i e u r de l ' é c h a n t i l l o n de chaque s t a t i o n , '

C e t t e c o n d i t i o n dit indépendance d e s d c h a n t i l l o n s e s t c e r t a i n e - ment p l u s s t r i c t e i c i q u ' a u paragraphe prdcédent . Voici l a méthode u t i l i s é e pour v d r i f i e r que la l o i d e PEAFSON III st app l ique dux d i s t r i b u t i o n s des p luv iom6t r i e s j o u r n a l i è r e s , de f rdquence ra re , des s'c-a-bions d 'une n&ie zone c l ima t ique e t géographique, Pour chaque s t a t i o n , observée pendant m i années , nous avons n o t é l e nonibre observd de dépassements d e s h a u t e u r s j o u r n a l i è r e s c a l c u l é e s d e f r équence a n n u e l l e une f o i s eli 2 , 5, 10, 2 0 , 50 e t 100 ans ( c a l c u l é e s pour chaque s t a t i o n en f o n c t i o n de s e s paramèt res p r o p r e s ) . IJ' ensemble d e s s 'cat ions nous doMne le nombre de s t a t i o n s - a n n é e s E m i e t l e s nombres globaux de dépassements p o u r les r é c u r r e n c e s 1, 2 , 5? 10, 2 0 , 50 e t LOO ans. Du nombre de s ta t ions-années , n o u s ddduisons les e f f e c t i f s t h é o r i q u e s des 7 classes donf l e s bornes s o n t l e s r6cu r rencex 1, 2, 5 9 10, 20, fi0 e t 1 C O ans. Des nombres globaux de dépassements , nous déduisons, l e s e f f e c t i f s observés de c e s c l a s s e s . D 'o& le calcul d ' u n y2 & 7 c l a s s e s e t 7 degrds de l i b e r t é ( l a somme d e s e f f e c t i f s théo- r i q u e s n ' e s t pas &ale l a sonvne des e î f e c t i f s obse rvés ) .

VI1.A) TEST des SUITES ( d ' a r è s W6thode s t a t i s t i q u e 1 t d e MOPLICE __u.- .- -& --.--

-. e t CHARTIER - 253) -- Ce t e s t n ' o f f r e d t i n - t 6 r 6 t comj@émen'caire de c e l u i

d u x 2 que s i on l ' a p p l i q u e ca$ il en e s t alors inddpendant.

de grands ech&n%i l lons ( n y l O O ? )

%

"i

c

- 11 -

Bou-s supposons les o b s e r v a t i o n s rang6es (en ordre c r o i s s a n t ou ddcro issant , peu importe) e t a f f e c t o n s h chaque r2ng le signe d e l a d i f f é r e n c e e n t r e l a v a l e u r observ6e e t c e l l e d 6 d u i t e de la l o i de p r o b a b i l i t é ( c e s igne p e u t e t r e t r o u v é sur un grciphique). On appel le su i - te la s u c c e s s i o n 3un ou p l u s i e u r s signes i d e n t i q u e s , success ion prdc6d6e e t s u i v i e de s i g n e s d e l ' a u t r e sens ( sau f aux deux e x t r é m i t 6 s du rangement ob les s u i t e s lie s o n t born6es clue d ' u n s e u l c ô t é ) . S o i t n le nombre t o t a l d ' o b s e r v a t i o n s égal & n1 (nombre de signa +) p l u s n2 (nombre d e s igna -) on déniontre que l e nombre R de s u i t e s a pour v a l e u r nioyenne

- 2 n i n2 (2ni n2 - n) -__Pq (RI n 2 (n - 1) et variance ~2

Dans le cas q u i nous intdresse, la r é p a r t i t i o n de R p e u t ê t r e considérée, corme normale pour n>>25 ( c a r n i e t n2 s o n t peu d i f f d r e n t s d e de l a l o i d e GAUSS sn prenant comme var iab le r d d u i t e

e t l ' o n p e u t u t z l i s e r les t a b l e s 7 9

expres s ion q u i t i e n t compte du c a r a c t è r e d i s c o n t i n u de R (nonibre e n t i e r ) , On en t i r e l a v a l e u r d e la p r o b a b i l i t é de R, q u i p e u t e t r e compar& & un c l u r e a u r e j e t ou & l ' a d o p t i o n d e l 'hypot l ikse : adéquat ion d ' u n e l o i e t d ' u n 6chai i t i l lon .

s e u i l c h o i s i a p r i o r i pour con-

3 3 ) TEST d e s SIGNES -

L'on p e u t a u s s i u t i l i s e r l e s signes a f f e c t 6 s c i - dessus & chaque rang dans un t a b l e a u d e cont ingence d e 2 l i g n e s ( + e t -) e t EI colonnes. Chaque colonne correspond un groupe d ' a u m o i n s 10 él6inents c o n s é c u t i f s du rangement o

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Le t e s t est e f f e c t u d en calculant le)(* ( h . Ec-1 degrés de li- b e r t é ) de ce t ab leau .

Si le ddcoupage en E(: c o l o m e s correspond & ]EI: c la s ses de p r q b a b i l i t é t l i éo r iques é g d e s l e nombre de degrésde l i b e r - té du x 2 e s t 2 EI - nombre d e liaisons. E t dans c e c a s , on corn- b ine 1'e"tes-t; d e s s ignes avec celui d u x 2 en LIB seul t e s t ? sup- pos6 a ins i p l u s puissant; ( ? ) .

- 13 - I

/ 2 CONCLUSION PROVISOIRE e--__ our l e CALCUL "--. du x

E t a n t donn6 qu ' en g é n é r a l nous t r a v a i l l o n s sur de p e t i t s é c h m t i l l o n s , nous pouvons f i x e r l a t a i l l e minimale de l ' e f f e c t i f t h6or ique d 'une c l a s se h 5 u n i t é s .

L '&chan i l o n scra d.ivis6 en c l a s s e s d ' e f f e c t i f s ?If, l e 1 2 c a l c u l é e t la p r o b a b i l i t é d é d u i t e 2 t h6or iques égaux

de l a v d e u r de 1 en t enan t compte du nombre de deg rés de '

l i b e r t é .

S i nous faisons t o u t e s les d i v i s i o n s p o s s i b l e s en classes d 1 e f f e c t i f s 6gaux depu i s c e l l e q u i donne un e f î e c t i î t h6or ique de 5 u n i t é s par c l a s s e (et le plus griind nombre de classes) jusq.uliL celle q u i donne l e nombre de classanminimal pour que le 1 2 s o i t ,e leu16 avec 1 seul degré de 1 i b , e r t é 9 nous ob t i endrons un x' yinimal, m d i s par s u i t e de c e t t e con- d i t i o n de minimum, l e x i í i inirnal a in s i c h o i s i poss&de u n de- gré d e l i b e r t d de m o i n s que celui q u i correspond &, son nonibre de c lasses (diminu6 des l i a i sons ) .

n ' e s t peu t - ê t r e pas souvent t r k s s i g n i f i c a t i f . Le t e s t des,2 suitEs semble demander, , p o u r e t r e indépendant de , c e l u i du peu t -%t re une cen ta ine d ' obse rva t ions o

Nous r appe lons que l a p r o b a b i l i t é P d é d u i t e du"];i.2 r e p r é s e n t e l ' adéqu&t i .on 'de l a l o i c h o i s i e e t d e s paramhtr'es c a l c u l 6 s & l a r d p a r t i t i o n de l ' d c h a n t i l l o n , 50 % d e s v a l e u r s de II do iven t se t r o u v e r dans l ' i n t e r v a l l e 0,25-0,75. Une pro- b a b i l i t é p t r è s f orte e s t L d u s s i r+:w q u ? m c p r o b s b i l i t é P t d s f a i b l e . Dans l e premier c a s , e l l e i n c i t e & r e v o i r l e s valeurs des obse rva t ions e t i?~ reconi-mencer l e calcul ; dans

Le t e s t d e s s i g n e s e s t t ou jou r s a p p l i c a b l e , mais

, .

(1) On admet que le b i a i s a g e d u f 2 r 6 s u l t e n t d ' e f f e c t i f s t hkor iques non e n t i e r s r a t i o n de la s i g n i f i c a t i o n d u t e s t .

e s t ' n6g l igeab le devdnt 1' amélio-

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l e second,à a c c e p t e r la l o i c h o i s i e avec s e s parainhtres c a l - culês comme r e p r 6 s e n t a t i v e de l a d i s t r i b u t i o n d e 1' ê c h a n t i l l o n et d e la popu la t ion s i P sst s u p 6 r i e u r à un c e r t a i n s e u i l , par exemple 0,05 ou à r e j e t e r c e t t e r e p r e s e n t a t i o n s i P e s t i n f 6 r i e u r à 0,Ol. On peu t d ' a i l l e u r s f a i r e v a r i e r c e s s e u i l s avec la q u a l i t é des obse rva t ions .

L'exemple de c n l c u l d ' u n cionnd page 6 sur l e s p luv iomêt r i e s a imuel les de ZIGUINC est d & j & c l a i r , O n trou- v e r a un c a l c u l coinplet dGvelopp6 d ' u n test- cieg-2 dans l a note teeclmique no 1 " U t i l i s d t i o n d 'une l o i d e PEAliSON III pour un kchr tn t i l lon de t a i l l e connue?' e f f e c t u 6 s u r l e s p luv iom6t r i e s

.J a n n u e l l e s de dBENGOUï?OU.

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POUR DES D E G R E S DE L I B E R T E COMPRIS E N T R E I E T 1 0

a ' ) ProbabiLite 's infér ieures à 0,50

x' 20 10 2

2

1 21. 11.6~

3 f f i c e de l a Recherche Scient i f ique e t Technique O u t r e - M e r ] / J.&, I