Le rôle clé du tenseur de Green dans les problèmes de diffusion et sa version stratifiée

Le rôle clé du tenseur de Green dans les problèmes de diffusion et sa version stratifiée

Michaël Lobet

Séminaire tenseur de Green Michaël Lobet

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Séminaire sur


1/101. Introduction: le sens physique

du tenseur de Green

r'

r

E(r)

G(r,r’) G(r,r’) = Champ électrique E radié à la position r dû à 3 dipôles unitaires orthogonaux placés en r’

Eu=Gxu

Gyu

Gzu

Composantes du champ E radié par un dipôle unité // à l’axe u =(x,y ou z)

Le tenseur de Green fait le lien entre une source de courant et le champ électrique


1/102. Représentation spatiale du

tenseur de Green

*Système et équation de départ

Soit un milieu homogène, isotrope.Le champ vérifie l’équation d’Helmoltz avec source:

Si on suppose une source ponctuelle, la solution est le tenseur de Green répondant à l’équation:

Ce qui donne un champ électrique s’écrivant:

où est la fonction de Green scalaire

2. Représentation spatiale du tenseur de Green


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*Représentation spatiale


Cette relation peut s’écrire de façon plus compacte via l’utilisation de la représentation spatiale du tenseur de Green:


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* Difficultés


Si r est dans V et en particulier si r=r’

Convergence non uniforme de l’intégrale et donc du champ… PROBLEME

Utilisation d’un volume d’exclusion Vδ & intégration dans le plan complexe : Méthode du volume principal

et

avec L dépendant de la forme du volume d’exclusion Vδ

et définis de manière unique



tenseur de Green

* Justification physique

Placement de r dans un cavité insérée dans V

Accumulation de charges en surface de la cavité (courant discontinu à la surface) Champ électrostatique créé (fonction de la forme de la cavité) Champ NON PHYSIQUE!!! Compensation par le 2e terme qui retire ces charges de surface autour du volume d’exclusion


1/103. Représentation spectrale du

tenseur de Green

Reprenons l’équation constitutive du tenseur de Green:

dont on prend la transformée de Fourier par rapport à la variable r:

avec

En inversant, on obtient

Fonction de Green dans le domaine spectral = Fonction de Green de ligne de transmission (Line Transmission Green’s Fonction)


1/103. Représentation spectrale du

tenseur de Green

Il est possible de réobtenir la représentation spatiale en prenant la transformée de Fourier inverse:

De nouveau, intégrale non convergente MAIS plus besoin de définir Vδ

Après calculs …

Représentation spectrale de P.V. G(r,r’)

Avec Vδ en forme de disque

Effet des charges sur

le disque d’exclusion

où

Tenseur de Green pour milieuhomogène isotrope



tenseur de Green

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