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Le tenseur des contraintes de Cauchy

Plan

1 Lois dEuler du mouvement

2 Representation des efforts interieursLe postulat de CauchyLe lemme dimpariteLe theoreme de Cauchy

3 Equations locales de la dynamiquePremiere loi de Cauchy du mouvementSeconde loi de Cauchy du mouvement

4 Equations aux discontinuites

5 Bilan : equations locales de la dynamique et de la statique desmilieux continus

6 Etats de contraintes remarquables

Lois dEuler du mouvement

d

dt

t

v dv = R

d

dt

t

OP v dv = M 0

Lois dEuler du mouvement 3/60

Lois dEuler du mouvement

d

dt

t

v dv =

t

(x , t)f (x , t) dv +

t

t (x , t , t) ds

d

dt

t

OP v dv =

t

OP (x , t)f (x , t) dv

+

t

OP t (x , t , t) ds

Elles sappliquent a tout sousdomaine D t . On a besoin des deux equations! Referentiel non galileen : mettre les forces dinertie dans f

Lois dEuler du mouvement 4/60

Plan







La controverse des elasticiens du XIXeme siecle

Cote francais : Navier, Cauchy, SaintVenant lhypothese moleculaire

Cote anglais : Young, Green lapproche phenomenologique

Representation des efforts interieurs 6/60

Plan







Description des efforts interieurs

t

D

D

le vecteurcontrainte

R surf =

D

t (x , D, t) ds



tD

D

n

t


R surf =

D

t (x , D, t) ds

le postulat de Cauchy :

t (x , D, t) := t (x ,n , t)

normale sortante



D1

D1D2

D2n

t


R surf =

D

t (x , D, t) ds

le postulat de Cauchy :

t (x , D, t) = t (x ,n , t)

normale sortante

une consequence

t (x , D1, t) = t (x , D2, t)


D1

D1

D2

D2

n 1

n 2


Plan







Largument du cachet daspirine

t

S

D

n

n

x

D

D

S = S D

D = D+ D H

f , a bornees

t continu (pas deffortssurfaciques concentres)

premiere loi dEulerD

t (x ,n , t) ds =

D

(x , t)(a f ) dv



t

S

D

n

n

x

D

D

S = S D

D = D+ D H

f , a bornees



t (x ,n , t) ds =

D

(x , t)(a f ) dv



t

S

D

n

n

x

D

D

S = S D

D = D+ D H

f , a bornees


Lemme dimparitet (x ,n , t) = t (x ,n , t)

actio = reactio



t

S

D

n

n

x

D

D

S = S D

D = D+ D H

f , a bornees


Lemme dimparitet (x ,n , t) = t (x ,n , t)

actio = reactio

Exemple de representation de t (n ) remplissant cettecondition?


Insuffisance de la representation pressionrepresentation des efforts surfaciques par un champ de pression :

t = p n


Une remarque...


t (x ,n , t) ds =

D

(x , t)(a f ) dv

Quelles sont les conditions sur t pour quune integrale devolume se reduise a une integrale de surface?


Le theoreme de la divergence et autres formes

div v dv =

v .n ds


Le theoreme de la divergence et autres formes

div v dv =

v .n ds

plus generalement, ,i dV =

ni ds

f dv =

f n ds

div v dv =

v .n ds

div T dv =

T .n ds


Une remarque...


t (x ,n , t) ds =

D

(x , t)(a f ) dv

Quelles sont les conditions sur t pour que lon puisse passerainsi du volume a la surface?Si t est un flux t lineaire en n t = .n , alors lepassage surfacevolume est possible.

La reciproque constitue le theoreme de Cauchy.


Plan







Largument du tetraedre de Cauchy

n

1

2

3

P1

P3

P2M

n = [n1 n2 n3]T

tetraedre h = MP1P2P3passant par le pointP(hn1, hn2, hn3)hauteur h

surfaces S1,S2,S3,S

h

(x , t)(a f ) dv =

h

t (x ,n , t) ds



n

1

2

3

P1

P3

P2M

n = [n1 n2 n3]T

tetraedre h = MP1P2P3passant par le pointP(hn1, hn2, hn3)

surfaces S1,S2,S3,S

t1(M,n ) = t1(M,3

i=1

nie i ) =3

i=1

ni t1(M, e i )



n

1

2

3

P1

P3

P2M

n = [n1 n2 n3]T


surfaces S1,S2,S3,S

t1(M,n ) = t1(M,3

i=1

nie i ) =3

i=1

ni t1(M, e i )

t2(M,n ) = t2(M,3

i=1

nie i ) =3

i=1

ni t2(M, e i )

t3(M,n ) = t3(M,3

i=1

nie i ) =3

i=1

ni t3(M, e i )Representation des efforts interieurs 26/60


n

1

2

3

P1

P3

P2M

n = [n1 n2 n3]T


surfaces S1,S2,S3,S

ti (M,n ) =3

j=1

ti (M, e j)nj

ti = ijnj , ij(M) := ti (M, e j)


Le theoreme de Cauchy

Il existe un champ de tenseurs du second ordre (x , t) tel que, entout point regulier de t (t continu, f , a finis),

t = .n t1t2t3

= 11 12 1321 22 23

31 32 33

n1n2n3


Le tenseur des contraintes

Le tenseur des contraintes est la machine a produire les effortssexercant sur les elements de surface en M :

t ds = .n ds = .ds

n

t

n

x3

x1

x2

33

2313

32

22

12

31

1121


Plan







Premiere loi de Cauchy

Efforts surfaciquesD

t (x ,n , t) ds =

D

(x , t).n dsD

ti (x ,n , t) ds =

D

ij(x , t)nj ds

Equations locales de la dynamique 32/60



t (x ,n , t) ds =

D

(x , t).n dsD

ti (x ,n , t) ds =

D

ij(x , t)nj ds =

D

ijxj

dv

(theoreme de la divergence)




t (x ,n , t) ds =

D

(x , t).n dsD

ti (x ,n , t) ds =

D

ij(x , t)nj ds =

D

ijxj

dv

(theoreme de la divergence)

Application a la premiere loi dEulerD

((ai fi )

ijxj

)dv = 0

En tout point regulierijxj

+ (fi ai ) = 0

div + (f a ) = 0


Plan







Seconde loi de Cauchy

Seconde loi dEulerD

(x x 0) (a f ) dv =

D(x x 0) ( .n ) ds

Dans une base cartesienne orthonormee directe dorigine x 0,la premiere composante vautD

(x2(a3 f3) x3(a2 f2)) dv =

D(x23j x32j)nj ds



Seconde loi dEulerD

(x x 0) (a f ) dv =

D(x x 0) ( .n ) ds


(x2(a3 f3) x3(a2 f2)) dv =

D(x23j x32j)nj ds

=

D

(x23jxj

x32jxj

+ 2j3j 3j2j) dv



Seconde loi dEulerD

(x x 0) (a f ) dv =

D(x x 0) ( .n ) ds


(x2(a3 f3) x3(a2 f2)) dv =

D(x23j x32j)nj ds

=

D

(x23jxj

x32jxj

+ 2j3j 3j2j) dv

Seconde loi de Cauchy (milieux non polaires)D

(32 23) dv = 0

23 32 = 031 13 = 012 21 = 0


Seconde loi de CauchyLe tenseur des contraintes est un tenseur euclidien dordre 2symetrique : cest une forme bilineaire symetrique...

n 1. .n 2 = n 2. .n 1

... ou un endomorphisme autoadjoint

T = , ij = ji

n . = .n

Consequence?


Seconde loi de CauchyLe tenseur des contraintes est un tenseur euclidien dordre 2symetrique : cest une forme bilineaire symetrique...

n 1. .n 2 = n 2. .n 1

... ou un endomorphisme autoadjoint

T = , ij = ji

n . = .n

Consequence : le tenseur des contraintes est diagonalisable dansune base orthonormee et ses valeurs propres sont reelles

=3

i=1

i n i n i , avec .n i = i n i (no sum)

i : contraintes principalesn i : directions principales des contraintes


Plan







Surface de discontinuite mobile

cas de champs continus par morceaux

S

D

D

D

D

D

wnn

vitesse de propagation

w = limt0

MtMt+t

t= wn n

vitesse relative de lamatiere / S

U = v .n wn

saut de f a travers S

[[f ]] := f + f

conservation de la masse

[[U]] = 0

cas S materielleEquations aux discontinuites 42/60

Premiere loi dEuler avec discontinuites

S

D

D

D

D

D

wnn

d

dt

D

v dv =

D

(x , t)f (x , t) dv +

D

t (x ,n , t) ds

Equations aux discontinuites 43/60

Premiere loi dEuler avec discontinuites

S

D

D

D

D

D

wnn

un theoreme de transport

d

dt

D

v dv =

D

a dv +

S[[v ]]U ds


Equations aux discontinuitesn

x

S

D

D

s

domaine S D,S SD

a dv +

S[[v ]]U ds =

D

(x , t)f (x , t) dv +

D

t (x ,n , t) ds


Equations aux discontinuitesn

x

S

D

D

s

domaine S D,S SD

a dv +

S[[v ]]U ds =

D

(x , t)f (x , t) dv +

D

t (x ,n , t) ds

a la limite D S , S[[v ]]U ds =

S[[ ]].n ds


Equations aux discontinuites

cas general[[ ]].n U[[v ]] = 0

ondes de choc

cas dune surface de discontinuite S materielle (ou casstatique)

[[ ]].n = 0

le vecteurcontrainte est continu au travers de toute surfacematerielle

le tenseur des contraintes nest pas necessairement continu!


Plan







Bilan : cas general

t = .n vecteurcontrainte

Equations de champ :

div + f = a quantite de mouvement (Cauchy 1)

T = moment cinetique (Cauchy 2)

Equations aux discontinuites :

[[U]] = 0

[[ ]].n U[[v ]] = 0

Bilan : equations locales de la dynamique et de la statique des milieux continus49/60

Bilan : cas statique

t = .n vecteurcontrainte

div + f = 0 quantite de mouvement

T = moment cinetique

[[ ]].n = 0 continuite du vecteurcontrainte

Bilan : equations locales de la dynamique et de la statique des milieux continus50/60

Plan







Traction simple

= d d

[ ] =

0 00 0 00 0 0

(e 1=d ,e 2,e 3)

2

1

machine de traction hydraulique(capacite 10t)

Etats de contraintes remarquables 52/60

Etat de contraintes biaxial = 1 d 1 d 1 + 2 d 2 d 2

avec d 1.d 2 = 0

[ ] =

1 0 00 2 00 0 0

(e 1=d 1,e 2=d 2,e 3)

contraintes planes

2

1

11

2

2

machine de traction biaxialepour eprouvettes cruciformes(laboratoire 3S-INPG)


Etat de contraintes triaxial

une compression de Cesar



[ ] =

1 0 00 2 00 0 3

mecanique des roches et des

sols

machine de compression plane souspression de confinement (baindhuile, 2MPa, laboratoire 3S-INPG)



[ ] =

1 0 00 2 00 0 3

mecanique des roches et des sols

machine triaxiale, echantillon

cubique (150x150x150mm3)

(bain dhuile, 2-60MPa, verins

10t, laboratoire 3S-INPG)



[ ] =

1 0 00 2 00 0 3

machine triaxiale, LMT-Cachan


Essai de cisaillement


Etat de cisaillement simple

= (d 1 d 2 + d 2 d 1)

[ ] =

0 0 0 00 0 0

(e 1=d 1,e 2=d 2,e 3)

2

1

avec d 1.d 2 = 0


Champ de contraintes non homogene

Essais sur structures : flexion 4 et 3 points


PlanLois d'Euler du mouvementReprsentation des efforts intrieurshypothesislemmetheocauchy

Equations locales de la dynamiquePremire loi de Cauchy du mouvementSeconde loi de Cauchy du mouvement

Equations aux discontinuitsBilan : quations locales de la dynamique et de la statique des milieux continusEtats de contraintes remarquables

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