Le nombre total des élèves est : 160

Prendre comme amplitude de base A = 1

Paris Ouagadagou Précipitations Précipitations

Moy T°C H en mm Nb de jours Moy T°C H en mm Nb de joursJanv 3 50.9 12 25.1 traces 0Fév 3.6 44.6 11 27.9 0.7 < 0.5Mars 6.6 40.1 12 30.6 5 1Avril 9.6 44.7 12 32.1 21 4Mai 13 51.3 8 31.4 78.2 8Juin 16 51.2 11 28.9 116.8 10Juil 17.9 51.4 9 27.2 179.2 14Août 17.7 48.7 7 26.1 251.8 18Sept 15.3 54 11 26.7 158.5 14Oct 11.2 45 10 28.8 31.6 4Nov 6.4 59.3 10 27.8 1.9 < 0.5Déc 3.7 56 12 25.5 1.4 < 0.5

0

5

10

15

20Janv

Fév

Mars

Avril

Mai

Juin

Juil

Août

Sept

Oct

Nov

Déc

Paris : Nb jours précipitations Ouagadougou : Nb jours précipitations

1-5-2-h : Graphique en radar.

Montre l’évolution ou la fréquence des séries de données entre elles et par rapport à un point central. Chaque catégorie possède son propre axe des valeurs (Y) qui rayonne à partir du point central. Des courbes relient toutes les marques de données appartenant à la même série. Ce type de graphique est couramment utilisé dans les pays d’Extrême-Orient.

1-5-3 : Polygone statistique. Polygones cumulatifs : variable continue

Considérons la distribution statistique portant sur l’âge des ouvriers d’une entreprise, et dont lequel les classes d’âge ont toutes la même amplitude.

Age en années Effectifs ni Effectifs cumulés croissants

Effectifs cumulés décroissants

[20, 25[

[25, 30[

[30, 35[

[35, 40[

[40, 45[

[45, 50[

[50, 55[

[55, 60[

Total

9

27

36

45

18

9

3

3

150

9

36

72

117

135

144

147

150

150

141

114

78

33

15

6

3

Les rectangles construits ont tous même base ; leurs hauteurs sont proportionnelles aux effectifs qu’elles veulent représenter ; nous pouvons en conclure que l’effectif correspondant à une classe est traduit par la surface du rectangle construit en prenant cette classe comme base.

Age en années Effectifs ni Effectifs cumulés croissants

Effectifs cumulés décroissants

.

.

[45, 50[

[50, 60[

Total

.

.

9

6

150

.

.

144

150

.

.

15

6

Supposons que le tableau qui a servi à construire l’histogramme ait été tel que les effectifs des deux dernières classes

aient été regroupés et que, par exemple, la fin du tableau se soit

présentée de la façon suivante.

9

27

36

45

18

9

3 3

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

[20 - 25[ [25 - 30[ [30 - 35[ [35 - 40[ [40 - 45[ [45 - 50[ [50 - 55[ [55 - 60[

Age

Effe

ctifs

ni

Il serait inexact, les classes données n’ayant pas toutes même amplitude (la dernière classe a une amplitude double de celle des autres), de représenter l’histogramme comme il a été dit plus haut. On obtiendrait en effet l’histogramme suivant.

9

27

36

45

18

96 6

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

[20 - 25[ [25 - 30[ [30 - 35[ [35 - 40[ [40 - 45[ [45 - 50[ [50 - 55[ [55 - 60[

Age

Eff

ecti

fs n

i

Age en années Effectifs ni

[45, 50[

[50, 55[

[55, 60[

9

6

6

Cet histogramme est faux, car il représente une série statistique qui correspondrait aux effectifs suivants (pour les dernières classes) :

Effectifs qui ne sont pas ceux qu’il fallait représenter.

Il est facile de voir que l’amplitude de la classe [50, 60[ étant double de l’amplitude de chacune des autres classes, il fallait représenter, sur le segment 50-60, un rectangle de hauteur moitié de l’effectif donné, c’est-à-dire un rectangle de hauteur 6/2 = 3. On aurait ainsi obtenu l’histogramme exact, obtenu précédemment.

D’une façon générale, si une classe est d’amplitude k fois plus grande (ou plus petite) que l’amplitude prise pour unité, il sera bon, avant la présentation de

l’histogramme correspondant, de diviser (ou de multiplier) par k l’effectif correspondant à la classe en question, l’effectif corrigé obtenu donnant la hauteur du rectangle à présenter. Cette remarque met l’accent sur le fait que, en matière

de représentation à l’aide d’un histogramme, c’est l’aire des rectangles, et non leur hauteur, qui est proportionnelle à l’effectif.

En joignant par des segments de droite les points milieux des côtés supérieurs des rectangles constituant l’histogramme (ces points ont pour abscisses les valeurs centrales des classes) on obtient le polygone statistique qui donne l’allure générale de la distribution du caractère étudié.

Polygone statistique.

9

27

36

45

18

9

3 3

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

[20 - 25[ [25 - 30[ [30 - 35[ [35 - 40[ [40 - 45[ [45 - 50[ [50 - 55[ [55 - 60[

Age

Eff

ec

tifs

ni

On complète ce polygone en le faisant commencer au point de coordonnées (x=17.5 ; y =0) et finir au point (x=62.5 ; y =0). L’aire du polygone est égale à l’aire de l’histogramme (vrai uniquement si toutes les classes sont de même amplitude).

Polygones cumulatifs.Age en années Effectifs ni Effectifs cumulés croissants

[20, 25[

[25, 30[

[30, 35[

[35, 40[

[40, 45[

[45, 50[

[50, 55[

[55, 60[

Total

9

27

36

45

18

9

3

3

150

9

36

72

117

135

144

147

150

A partir du même exemple construisons dans un repère cartésien orthogonal les points dont les abscisses sont égales aux bornes supérieures des classes, (sauf pour le premier point) et dont les ordonnées sont les effectifs cumulés croissants correspondants.

En joignant ces points par des segments de droites nous obtenons le polygone cumulatif croissant ou polygone des effectifs cumulés croissants de la série donné.

Sur la représentation graphique, on peut lire aisément que, par exemple, 72 ouvriers (ou 48% de l’effectif total de la population étudié) ont moins de 35 ans.

150

36

90

135

72

117

144

147

0

20

40

60

80

100

120

140

160

15 25 35 45 55 65

Age

Eff

ecti

fs c

um

ulé

s c

rois

san

ts

100989690

78

48

24

60

0

20

40

60

80

100

15 25 35 45 55 65

Age

Eff

ec

tifs

cu

mu

lés

cro

iss

an

ts %

78

03615

33

150

141

114

0

20

40

60

80

100

120

140

160

15 25 35 45 55 65

Age

Eff

ec

tifs

cu

mu

lés

cro

iss

an

ts

02410

22

52

76

94

100

0

20

40

60

80

100

15 25 35 45 55 65

Age

Eff

ec

tifs

cu

mu

lés

cro

iss

an

ts %

Construisons également dans un repère cartésien orthogonal les points dont les abscisses sont égales aux bornes inférieures des classes, (sauf pour le dernier point) et dont les ordonnées sont les effectifs cumulés décroissants correspondants. En joignant ces points par des segments de droites nous obtenons le polygone cumulatif décroissant de la série donnée. Sur cette représentation on lit aisément, par exemple, que 114 ouvriers (ou 76 % de l’effectif total de la population) ont un âge supérieur à 30 ans. On construirait de la même façon les polygones cumulatifs des fréquences. Il serait facile de voir que les deux polygones cumulatifs, représentés sur un même système d’axes, sont symétriques par rapport à l’axe parallèle à l’axe des abscisses et d’ordonnée 150/2 = 75 (en effectif cumulés) ou 100/2 = 50 (en fréquence cumulés).

Dans le cas d’une variable statistique discrète, on ne peut pas tracer de polygone cumulatif puisque la variable passe de l’une de ses valeurs à la suivante de façon

discontinue, et on non progressivement comme dans le cas d’une variable continue. Utilisant l’exemple suivant : statistique du personnel d’une entreprise d’après le

nombre d’enfants à charge.

Remarque :

Nb d’enfants à charge

Effectifs ni

Effectifs cumulés

croissants

0

1

2

3

4

5

6

Total

5

17

31

20

11

4

1

89

5

22

53

73

84

88

89

5

22

53

73

8488 89

0

20

40

60

80

100

0 2 4 6 8

Nombres d'enfants à charge

Eff

ec

tifs

cu

mu

lés

fonction E : x ---- E(x), E(x) étant la somme des effectifs des x i tels que xi < x. Sur la représentation on lit, par exemple, que E(2) = 22, ce qui signifie que 22 ouvriers ont moins de 2 enfants à charge.

La représentation graphique obtenue est celle d’une ‘’fonction en escalier’’, appelée fonction de répartition des effectifs, c’est la

1-5-3- : Représentation des séries chronologiques.

Nous nous proposons maintenant de représenter graphiquement non plus la structure d’une population, mais l’évolution dans le temps d’une variable statistique. Celle-ci pourra être le chiffre d’affaire, le montant des frais fixes

etc.Il faudra pour cela choisir un type de coordonnées et une échelle adéquate.

1-5-3- a: Les coordonnées cartésiennes et logarithmiques.

C’est le type le plus courant de coordonnées que l’on utilise dans la plus part des cas. Le temps est représenté sur l’axe des abscisses, la variable

étudié sur l’axe des ordonnées. Deux types d’échelle sont utilisées couramment : l’échelle arithmétique et l’échelle logarithmique.

Dans le cas de l’échelle arithmétique, les graduations sont établies suivant la succession logique des nombres entiers.

8

10

12

14

16

18

0 1 2 3 4 5 6Temps (en années)

Ch

iffr

e d

'aff

aire

s (m

illi

ers

d'e

uro

s)

9

11

13

15

17

0 5 10 15 20Temps (en années)

Ch

iffr

e d

'aff

aire

s (m

illi

ers

d'e

uro

s)

L’importance du rapport entre l’échelle des temps et l’échelle du chiffre d’affaires dans notre exemple, détermine l’interprétation plus ou moins objectif qui peut être faite du phénomène correspondant. Les mêmes chiffres peuvent être représentés comme suit :

Les conclusions peuvent parfois être fortement affectées par le choix de l’échelle…

Dans le cas de l’échelle de type arithmétique, on représente par une longueur égale (unité sur les axes) une variation absolue identique. La différence entre 150 et 300

sera représentée par la même longueur que celle entre 4200 et 4350, puisque sa valeur est toujours de 150.

Dans bien des cas, il est plus intéressant de s’attacher à la variation relative : par exemple, on cherchera à connaître le taux de sa variation du chiffre d’affaires plutôt que de se fixer à sa variation en valeur absolue. On représentera la variable à l’aide

de coordonnées logarithmique.Le graphique semi-logarithmique est un excellent moyen de mettre en évidence une

idée ou un résultat grâce aux propriétés des logarithmes décimaux.

Rappels sur le logarithme décimal :

Le logarithme décimal d'un nombre est la puissance à laquelle il faut élever 10 pour obtenir ce nombre. Appliquons cette définition à quelques nombres.

Quel est, par exemple, le logarithme décimal de  1 ? C'est la puissance à laquelle il faut élever 10 pour obtenir 1 : 100 = 1

On écrira donc : log 1 = 0Quel est le logarithme décimal de 100 ? C'est la puissance à laquelle il faut élever 10 pour obtenir 100 : 102 = 100, parce qu'il faut élever 10 à la puissance 2 pour obtenir 100. Donc 2 est le logarithme décimal de 100. On écrira par conséquent :

log 100 = 2

Inversement, si l'on demande "De quel chiffre 3 est-il le logarithme décimal ?", on fera le raisonnement inverse. Sachant que 103 = 1000, la réponse est donc :

log 1000 = 3 ; Autrement dit, 3 est le logarithme décimal de 1000.

Exemple 1 :  L'échelle logarithmique permet de mieux voir les différences de progression

On décide de comparer le nombre de contrats conclus par deux vendeurs en 2004 et 2005 :   2004 2005 Progression

Vendeur 1300

log(300)=2,48 600

log(600)=2,78 multiplié par 2

Vendeur 2100

log(100)=2 400

log(400)=2,6 multiplié par 4

Le tableau montre que le nombre de contrats conclus par le vendeur 1 a été multiplié par deux et que le nombre de contrats conclus par le vendeur 2 a été multiplié par 4. Sur un graphique ordinaire (à gauche ci-dessous), les deux progressions sont parallèles. En revanche, sur un graphique avec une ordonnée logarithmique, on voit clairement que la progression du vendeur 2 est plus rapide que celle du vendeur 1.

Exemple 2 : L'échelle semi-logarithmique convient mieux à la mise en évidence des variations relatives en particulier les graphiques montrant des évolutions à taux constant.

Lorsqu’on veut représenter des valeurs très éloignées dans le temps, l’échelle

arithmétique n’est pas appropriée car on s’intéresse souvent au taux de variation et

non pas à la valeur absolue. Prenant l’évolution de l’indice des actions

américaines Dow-Jones depuis 1850. l’indice a passé de 17.48 en 1850 à 11497 en 1999. le fameux crash boursier de 1929

et des débuts des années 30 n’apparaît sur ce graphique que par une ‘’petite’’

baisse de l’indice. Or la baisse a été très forte (environ 80 %). Il faut prendre des valeurs relatives et non pas des valeurs

absolues. Dans le cas où on prend en ordonnée le logarithme décimal de l’indice

on obtient le graphique suivant :

Dans ce graphique le crash de 1929 est bien visible et la baisse de ces dernières années

peut être comparée à celle des années trente. L’échelle arithmétique et l’échelle logarithmique

sont les suivantes :

1

3

2

4

10

1000

100

10000

Echelle arithmétique Echelle logarithmique

Dans une échelle arithmétique, des longueurs égales représentent des variations égales tandis que dans une échelle logarithmique des longueurs égales représentent des rapports égaux.