Le multicurving et l’importance du spread de basedans l’evaluation actuelle des swaps de taux

d’interet

Alexandre Nakhle

19 decembre 2012

Remerciements

Je tiens a remercier toutes les personnes suivantes qui m’ont aide pour l’elabo-ration de cette these : Ilan Abehsira et Vincent Tyrou, vendeurs de produits struc-tures chez CA-CIB, avec qui j’ai travaille durant mon stage et qui m’ont donnel’idee d’ecrire une these sur ce sujet, m’ont egalement permis d’y consacrer du tempset m’ont constamment encourage. Florian Pelgrin, directeur de these, pour m’avoirconforte dans mon choix du sujet et m’avoir aide a definir une problematique precise.Christophe Viard, structureur chez CA-CIB, pour m’avoir assiste pour les applica-tions pratiques et guide pour mes differentes recherches. Enfin, je remercie toutesles personnes avec qui j’ai discute de la these et qui m’ont apporte leur differentesremarques et soutiens.

Preface

Je tiens a feliciter Alexandre pour avoir choisi un sujet de these interessant ettres actuel qui j’espere lui a permis d’etoffer ses connaissances sur le marche des tauxet notamment sur le fonctionnements des swaps de taux d’interet. J’ai ete ravi d’ac-compagner Alexandre tout au long de sa these qui a constamment essaye d’aller plusloin dans ses recherches et cherche a en apprendre le plus possible. Je souhaite quecette these professionnelle puisse lui servir dans un avenir proche, que les lecteursapprecieront le travail fourni et apprendront eventuellement de nouveaux conceptsvu l’actualite brulante du sujet. Bonne lecture.

Christophe Viard

1

Resume

L’eclatement de la bulle de credit en 2007 a totalement bouleverse l’univers de lafinance quantitative et est devenue une source de nombreux debats. L’un d’entre euxetant concentre sur la remise en cause d’un probleme tres simple dans ce domaine,du moins en apparence : comment evaluer de la meilleure des manieres possibles unswap de taux d’interet. Cette problematique est etroitement liee a la construction decourbe de taux sans risque, un concept fondamental en finance. Les swaps sont main-tenant des produits normalises et tres liquides. Leur cotation permet a la plupart desbanques et des gerants d’actif de suivre le marche des taux d’interet et de construiredes courbes de taux. Avant la crise, les taux d’interets cotes sur les marches etaientcoherents avec ce que nous apprenions dans les livres et seuls les markets makersde swap de taux d’interet s’interessaient aux infimes spreads de base existants. Eneffet, la simple condition de non-arbitrage permettait facilement de calculer les tauxforwards et les taux d’actualisation a partir des taux swaps observes sur le marche.Cependant, durant la crise, les risques de credit et de liquidite ont ecarte grandementce spread de base. Un pic de 220 points de base d’ecart a meme ete atteint entre letaux Euribor 3 mois et le taux du SWAP OIS d’echeance 3 mois, celui-ci oscillanthistoriquement entre 0 et 10 bps. De maniere plus explicite , les taux Libor (tauxd’emprunt offert entre les banques), etaient supposes etre sans risque car les faillitesde banque, parmi celles qui contribuaient a la valorisation de ces taux, etaient inen-visageables. Ces ecarts importants ont etendu la theorie des taux d’interets et nouspousse a aborder une approche multi-courbe plutot qu’une approche ”mono-courbe”.Inspire par un article de la recherche d’AXA, ”Construction des courbes de taux al’ere du resserrement du credit et au-dela” d’Ethan Reiner, et motive par l’actualitebrulante de ce sujet, cette these a pour but d’etudier et de proposer un nouveaucadre pour l’evaluation (pricing) de swaps de taux d’interets qui incorpore les ecartsde points base (spreads).

La premiere partie de la these sera consacree a l’etude de l’approche traditionnelledu bootstrapping. Pour optimiser la construction de la courbe des taux spots, il fautchoisir les produits les plus liquides, interpoler les taux spots majeurs, et eventuelle-ment inclure l’effet de changement d’annee pour affiner la courbe. En resulte ensuiteles taux d’actualisation et les taux forwards qui serviront a evaluer les swaps tout ennegligeant le tenor du sous-jacent.

La deuxieme partie de la these analyse les causes historiques de l’elargissementdes spreads de taux et explique pourquoi il est primordial d’aborder une approchemulti-courbe. Nous verrons que chaque tenor contient ses propres risques de creditet de liquidite, donc differentes primes.

Enfin, la troisieme partie sera dediee au cadre theorique post-crise pour les swaps.Celle-ci contiendra un exemple pratique avec la determination d’une courbe de tauxswap actualise a un taux EONIA. De plus, la collateralisation sera un sujet majeurde cette partie.

La comparaison du prix des swaps pre- et post-crise permettent de conclure queles spreads de base peuvent avoir un impact non-negligeable sur les taux swaps, enfonction du tenor du contrat (et le changement des taux d’interet sous-jacent).

2

Table des matieres

Remerciements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1 Introduction 51.1 Choix du sujet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Problematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Structure de la these . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Etat actuel du marche des taux d’interet 9

3 Etude theorique de l’approche mono-courbe 133.1 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.1.2 Choix du numeraire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.1.3 Introduction a l’evaluation des swaps . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2 Bootstrapping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2.1 Instruments pour les taux courts : les taux de depot . . . . . . 243.2.2 Instruments pour les taux moyens : FRAs ou futures ? . . . . 253.2.3 Instruments pour les taux longs : les swaps . . . . . . . . . . . 273.2.4 La structure par terme de taux . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3 Choix d’interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3.1 Characteristiques necessaires pour une bonne interpolation . . 313.3.2 Les methodes Spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4 Impact de la crise sur les spreads de taux 344.1 Divergence taux Euribor et taux EONIA . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2 Divergence entre les taux FRA et les taux forwards implicites . . . . 434.3 Ecart de taux entre differents tenors . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.4 Ecart de taux entre differentes devises . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1

5 Etude theorique de l’approche multi-courbe 535.1 Replication du taux FRA incorporant l’ecart de taux . . . . . . . . . 545.2 Extension du cas des FRAs pour les swaps . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.2.1 Evaluation des swaps sans collateral . . . . . . . . . . . . . . . 585.2.2 Evaluation des swaps avec collateral . . . . . . . . . . . . . . . 635.2.3 Cas des swaps de devise collateralises avec nominal constant . 67

5.3 Determination des courbes d’actualisation . . . . . . . . . . . . . . . 705.4 Application : Construction d’une courbe swap IRS 3M Euro actualisee

au taux EONIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.4.1 Determination des taux forwards 3M . . . . . . . . . . . . . . 725.4.2 Determination des facteurs d’actualisation OIS . . . . . . . . . 725.4.3 Determination des taux swaps 3 mois actualises au taux OIS . 725.4.4 Comparaison des taux swaps 3M Euribor 3M et EONIA . . . 75

5.5 Importance du spread de base et la collateralisation sur l’evaluationdes swaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.5.1 Importance du spread de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.5.2 Importance de la collateralisation . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6 Perspectives 796.1 Critique de la these . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.2 Mise en pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.3 Ouverture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

7 Conclusion 82

A Demonstration 86

2

Table des figures

2.1 Evolution Produits Derives Gre a Gre par classe d’actifs 1998-2012(Trilliards USD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.1 Structure par terme de taux Euro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.1 Evolution du taux Euribor 3 mois et du taux swap OIS d’echeance 3mois durant la periode 2000-2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.2 Ecart entre le taux Euribor 3 mois et le taux du swap OIS d’echeance3 mois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.3 Evolution de l’ecart entre le taux Euribor 3 mois et le taux du swapOIS d’echeance 3 mois durant la periode 2000-2011 . . . . . . . . . . 37

4.4 Difference entre les taux Libor et le taux du swap OIS des USA, de laZone Euro et du Royaume-Uni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.5 Evolution de l’ecart entre le taux Euribor 3 mois et le taux du swapOIS d’echeance 3 mois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.6 Evolution de l’ecart entre le taux EONIA mois et le taux REFI de laBCE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.7 Chronologie macroeconomique expliquant les ecarts de taux . . . . . 424.8 Evolution du spread Forward EONIA vs FRAs . . . . . . . . . . . . . 444.9 Swaps de base Euro 3m vs 6m Maturite 1 an, 5 an et 10 ans . . . . . 464.10 Decomposition du SD selon Tuckman et Porfirio . . . . . . . . . . . . 514.11 Swap de devise Maturite 5 ans Euro contre USD . . . . . . . . . . . . 52

5.1 Standard Replication vs. Basis-Consistent Replication, 6x12 MarketFRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.2 Courbes des facteurs d’actualisation EONIA . . . . . . . . . . . . . . 715.3 Etapes Construction Courbe Forward . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.4 Etapes Construction Facteurs d’actualisation OIS . . . . . . . . . . . 745.5 Comparaison Swaps 3M EONIA et 3M Euribor . . . . . . . . . . . . 75

3

Liste des tableaux

2.1 Produit derives OTC par classes d’actifs Juin 2012 . . . . . . . . . . 92.2 Derives de taux par type 20 Avril 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Derives de taux par devise 20 Avril 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.1 Portefeuille pour la demonstration de la relation Sport - forward . . . 143.2 Taux de depot Zone Euro 15 Octobre 2012 . . . . . . . . . . . . . . . 243.3 Euro FRAs 15 Octobre 2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.4 Taux swap Euro vs E3M 15 Octobre 2012 . . . . . . . . . . . . . . . 283.5 Structure par terme de taux Euro 15 Octobre 2012 . . . . . . . . . . 29

5.1 Taux EONIA 15 Octobre 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.2 Taux swap 3 mois actualise au taux EONIA . . . . . . . . . . . . . . 74

4

Chapitre 1

Introduction

1.1 Choix du sujet

Avant la crise de 2007, tout ce que les etudiants apprenaient en cours et dans leslivres sur les taux d’interet etait tres coherent avec la realite des marches financiers.La recente crise financiere et les perturbations associees au credit et a la liquiditeont cause un elargissement et une volatilite plus importante parmi les spreads debase dans le monde du marche des taux d’interet. Avant cette date, des ecarts entredes taux similaires etaient presents mais tres negligeables. ”Les taux de depot et lestaux EONIA de meme maturite se pourchassaient l’un l’autre en maintenant unedistance de securite (le spread de base). De maniere similaire, les taux de swap avecla meme maturite, mais base sur des differents tenors pour les taux variables sous-jacents, etaient quotes avec un spread non nul mais negligeable 1”. Les taux Euriboret OIS (EONIA pour l’Europe) etaient extremement proches, le calcul pour les FRAetaient deduit des taux Euribor spot avec une relation precise et admise par tous, lespaiements de flux de taux d’interet differant uniquement par leur tenor etaient equi-valents, a un tres leger ecart de point de base pres. Cette consistance entre les tauxd’interet permettait la construction d’une courbe zero-coupon parfaitement definienotamment grace aux techniques de bootstrapping et des methodes d’interpolation.

Depuis le commencement de la crise, il existe maintenant un gap notable entre lestaux Euribor et OIS et les taux FRA ne peuvent plus etre repliques e partir des tauxEuribor spot, et les jambes flottantes differant uniquement par les maturites sontmaintenant separes par des larges spreads. A titre d’exemple, deux taux forwards

1. ”Interest Rates and The Credit Crunch : New formulas and Market Models”, Fabio Mercurio,p.2

5

calcules par deux depots consecutifs sont devenus differents des FRA affiches ou destaux forwards OIS implicites. On remarquera tout de meme que cette divergence necree pas d’opportunite d’arbitrage quand les problematiques de credit ou de liquiditesont pris en compte. Par exemple, un taux swap base sur des paiements semi-annuelssur le Euribor 6 mois peut-etre different (et plus eleve) que le taux swap de memematurite base sur des paiements trimestriels sur le Euribor 3 mois 2.

Ce gap a eu un impact considerable sur les marches financiers, puisque tout ce quenous pensions maitriser et connaıtre a ete remis a plat. La communaute financiere adu remettre en cause sa comprehension du marche des taux d’interet en periode decrise, ainsi que les techniques et les relations utilisees par toutes les banques pourconstruire la courbe de taux necessaire au pricing de tous les produits financiers.Beaucoup d’articles ont d’ailleurs etaient publies pour etudier et repondre e la pro-blematique du multicurving.

Au cours de cette these, nous ferons de nombreuses fois reference aux etudes deFabio Mercurio, Fernando Ametrano et Marco Bianchetti ou aux articles de Ma-saaki Fujii, Yasufumi Shimada et Akihiko Takahashi. La plupart de ces etudes sontconsacrees a la construction d’une courbe de taux coherente incorporant le risque decredit et de liquidite. Par exemple, Mercurio decide d’utiliser les taux FRA commeun nouveau parametre pour etablir un marche des taux Libor plus vaste tandis queBianchetti etablit une analogie avec le pricing des produits du marche des devises quiont une longueur d’avance concernant le multicurving. On peut considerer qu’il y apriori pour l’instant deux approches pour evaluer les swaps : l’approche credit et l’ap-proche par segmentation.La premiere consiste a utiliser un taux d’interet sans risquepour actualiser des flux financiers dont le paiement sera systematiquement honoreet a ajouter a ce taux un spread de credit pour calculer les taux Libor futurs. Pourla seconde, le marche de taux est modelise par segments. Chaque segment fait refe-rence a un unique taux Libor definit par une duree d’investissement appelee ”tenor”3.

Cependant, en attendant une approche credit approuvee et efficace 4, les praticienssemblent s’etre mis d’accord pour une approche empirique (celle par segmentation),basee sur la construction d’autant de courbe que de tenors possible. Supposer dif-

2. Mercurio, p.23. ”Construction des courbes de taux a l’ere du resserrement du credit et au-dela”, Ethan Reiner,

p.74. Approche tres difficile puisque le taux Libor contient un risque de defaut mais ne peut jamais

faire defaut

6

ferentes courbes pour differents tenors invalident l’approche classique d’une uniquecourbe zero-coupon utilisee pour le calcul des cash flow futur ainsi que l’evaluationde leur valeur actuelle. Cette these a pour but de generaliser un modele de taux avecune approche multi-courbe.

Chaque tenor a maintenant sa propre prime de liquidite et de credit 5. Par conse-quent, le cadre d’evaluation est passe d’une courbe a une surface composee de plu-sieurs courbes. Obtenir une simple courbe forward n’est plus le sujet, la proble-matique est maintenant d’aboutir a des surfaces forwards qui tiennent compte desspreads de base affiches. De plus, la maniere historique d’actualisation doit etre revi-sitee. L’objectif de cette these sera de proposer une approche pour evaluer les swapsd’interet en se basant sur les differentes lectures et illustrations.

1.2 Problematique

Inspire par les differentes lectures et par la mise en place durant mon propre staged’un systeme de pricing base sur le multicurving, cette these va tenter de montrercomment inclure le spread de base dans l’evaluation des swaps de taux d’interet. Laproblematique de la these est la suivante :

l’utilisation du multicurving pour le pricing de swap d’intereta la lumiere de la crise recente

Ceci implique la determination d’une courbe swap actualisee a un taux OIS. Celle-ci servirait de pilier majeure pour la determination d’une surface de courbe forwardde plusieurs tenors. On obtiendrait ainsi un cadre d’evaluation commun pour lesproduits derives de taux, et ne permettant pas d’opportunite d’arbitrage. Etudierle cadre d’evaluation des produits de taux avant la crise permet d’insister sur lesdeux differences entre les deux methodes d’evaluation. Tout ceci sera fait de manieredescriptive avec des exemples illustrant les deux cadres afin de montrer l’importanced’introduire un cadre multi-courbe.

Enfin il est suppose ici que le lecteur de la these est familier avec le marche destaux d’interet et a des connaissances mathematiques du niveau d’un master specialiseen finance. Des concepts plus elabores auraient bien sur le merite d’etre developpes.

5. Mercurio, 2009, p.4

7

1.3 Structure de la these

Cette these est composee de plusieurs chapitres dont le but est d’aboutir a laconclusion que le passage au multicurving est indispensable pour l’evaluation de pro-duits de taux d’interet, notamment pour les swaps.

Le Chapitre1 justifie le choix d’un sujet tel que le multicurving, la problematiquemajeure de la these et presente une partie des auteurs auxquels nous allons nousreferer tout au long de notre analyse.

Le Chapitre2 introduit les marche des taux d’interets et sa place majeure enfinance de marche. Dans un monde ou la taille du marche des swaps ne cesse d’aug-menter, leur evaluation avant la crise etait correcte sur un modele mono-courbe maiscette evaluation s’est degradee suite aux evenements de 2007.

Le Chapitre3 presente le cadre theorique d’evaluation pre-crise. Nous nous inte-resserons dans cette partie aux techniques les plus repandues pour le bootstrappingaccompagnee des techniques d’interpolation utilisees par les praticiens pour obtenirune structure par terme de taux continue et la plus lisse possible. L’effet de ”change-ment d’annee” sera evoquee mais non pris en compte pour la construction du cadred’evaluation.

Le Chapitre4 explique les raisons de l’evolution de ce spread de taux et analyseson impact dans un marche distressed. Des divergences entre differents taux serontabordees.

Le Chapitre5 tente de repondre a la problematique puisque celui-ci contiendra latheorie et une application pratique pour le pricing de swap de taux d’interet apresla crise. Celui ci sera examine avec des swaps collateralises et non collarises.

Le Chapitre6 est une reflexion sur les chapitres precedents. Nous apporteronsnos critiques sur ce cadre post-crise et nous nous interrogerons sur l’applicabilite decelui-ci par les praticiens.

Le Chapitre7 synthetise la these et la conclut.

8

Chapitre 2

Etat actuel du marche des tauxd’interet

Le volume de produits derives traites sur le marche OTC a considerablement pro-gresse ces 10 dernieres demandes en raison d’une demande plus elevee des produits”sur-mesure” pour se couvrir des risques financiers.

Le tableau suivant nous permet de voir la proportion qu’occupe les taux d’in-terets dans les deals de produits derives sur le marche OTC. Representant 77% dumarche des derives OTC, la classe d’actifs domine largement les autres actifs derives.

Table 2.1 – Produit derives OTC par classes d’actifs Juin 2012

Actifs Trilliards USD %

FX 66.64 10.43Interest Rates 494.02 77.32Equity 6.31 0.99Commodities 2.99 0.47CDS 26.93 4.21Non alloue 42.03 6.57Total 647.76 100.00

Source : Bank for International Settlements, Amounts outstanding of OTC

9

Figure 2.1 – Evolution Produits Derives Gre a Gre par classe d’actifs 1998-2012(Trilliards USD)

Source : Bank for International Settlements

Maintenant que nous avons vu la place qu’occupe les derives de taux d’interetdans le marche OTC, il est interessant d’etudier la proportion qu’occupe les differentsderives uniquement de taux d’interet. Le tableau 2.2 represente le volume en pour-centage qu’occupe chaque derive de taux. Nous pouvons constater la place majeurequ’occupe les swaps de taux parmi ces produits.

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Table 2.2 – Derives de taux par type 20 Avril 2012

Type Trilliards USD %

CC - Swap 10.072 2.00IR - Basis Swap 26.839 5.00IR - Cap/Floor 11.643 2.00IR - FRA 63.517 13.00IR - Inflation Swap 2.501 1.00IR - OIS 38.574 8.00IR - Swap 300.475 61.00IR - Swap Exotique 4.485 1.00IR - Swaption 34.430 7.00Total 495.889 100

Source : TriOptima, Interest Rate Trade Repository Report.Note : La difference du total entre les tables TABLE 2.1 et TABLE 2.2 s’expliquepar une difference de date et de source.

Enfin, il est egalement important de montrer la repartition des swaps de tauxd’interet en fonction de la devise. Nous voyons dans le tableau 3.4 que les deux mo-naiees les plus importantes en terme de volume sont evidemment l’Euro et le Dollar,suivis du Yen Japonais et de la livre anglaise. Par consequent, l’evaluation des swapsdans cette these se concentrera sur les deux swaps de devise le plus traites (car celles-ci sont les plus liquides).

11

Table 2.3 – Derives de taux par devise 20 Avril 2012

Devises Trilliards USD (eqv.) %

USD 172.596 34.80EUR 172.099 34.70JPY 64.849 13.08GBP 42.325 8.53AUD 10.491 2.12CHF 5.921 1.19Other 27.608 5.56Total 495.889 100%

Source : TriOptima, Interest Rate Trade Repository Report.

Le choix d’ecrire une these sur l’evaluation des swaps de taux d’interet est doncjustifie par le fait que les marches des taux est de loin le plus important parmi ceuxdes derives, les swaps representant eux-meme la plus grande partie des produits trai-tes parmi les derives de taux. Le passage a une evaluation multi-courbe s’avere doncprimordial de par le volume et la taille traites.

12

Chapitre 3

Etude theorique de l’approchemono-courbe

Avant aout 2007, les praticiens avaient pour habitude d’utiliser une une structurepar terme de taux sans risque, appelee riskless ou riskfree. Le concept de courbe sansrisque ne veut pas dire qu’il n’y a pas de risque de taux d’interet, mais que celle-cine prend pas en compte le risque de credit et de liquidite, ceux-ci pouvant influencerde maniere non negligeable la vraie valeur des taux d’interet. La prochaine sessiona pour but de definir les differents elements pris en compte lors de la methode dubootstrapping.

3.1 Theorie

3.1.1 Definitions

Les differentes definitions mentionnees ici sont bien connues du monde des acade-miciens et des praticiens. Cependant, il est important de les mentionner a nouveaupuisque que ce qui suit dans la these remet en cause ces definitions.

Hypothese de non arbitrage - Geman (2012)

On considere un marche avec (n+1) titres primitives Sj avec j=[0,1,...,N]

Definition 1 Un portefeuille P a la date t est defini par

Vp(t) =N∑j=0

ajSj(t) avec aj ∈ R (3.1)

13

Definition 2 Un portefeuille P est un portefeuille d’arbitrage si et seulement si

Vp(t) = 0,Vp(T )(ω) > 0 ∀ ω ∈ Ω,P [Vp(T )(ω) > 0 > 0

Definition 3 Dans un marche constitue de (n+1) titres primitifs, l’hypothese d’AOA(Absence d’Opportunite d’Arbitrage) prevaut si et seulement si il n’existe pas de por-tefeuille d’arbitrage dans ce marche, en d’autre termes :

Si Vp(t) = 0,et si Vp(T )(ω) > 0 ∀ ω ∈ Ω,alors Vp(T )(ω) = 0 ∀ ω ∈ Ω

Relation Spot - forward - Geman (2012)

Pour la definition de la relation spot-forward, nous admettons comme hypothesequ’il n’y pas de cout de transactions sur l’actif S, que r est constant durant la periode[t,T], et que nous sommes en situation d’AOA.

Nous construisons un portefeuille de la maniere suivante :

Table 3.1 – Portefeuille pour la demonstration de la relation Sport - forward

Vp t TAchat S -S(t) Livraison de S a l’acheteur du contrat forward

Emprunt S au taux r +S(t) −S(t) exp r(T − t)Vente contrat forward - Reception fT (t)

Remarques : P est auto finance (il n’y a pas de cash flow intermediaire),P est sans risque,Vp(t) = 0

En invoquant l’hypothese de non arbitrage, nous avons :

Vp(t) = 0−S(t) exp r(T − t) + fT (t) = 0=> fT (t) = S(t) exp r(T − t)

(3.2)

Lorsque les taux sont aleatoires, la valeur du portefeuille a la date t pose probleme

14

puisque r(t) n’est plus une fonction deterministe du temps mais change aleatoirementdurant la periode [t,T]. Nous avons donc besoin de passer a un univers qu’on appelle”risque-neutre”1. La valeur a la date t d’une unite d’argent que l’on recevrait demaniere certaine a la date T serait alors :

V (t) = EQ[exp−

∫ T

t

r(s)dS

]≡ P (t, T ) (3.3)

P (t, T ) represente ici le prix de marche d’une obligation zero-coupon de maturiteT .

On peut donc etablir une extension de la relation sport - forward avec des tauxd’interet stochastiques :

fT (t) =S(t)

P (t, T )(3.4)

3.1.2 Choix du numeraire

Cette partie du chapitre 1 est une synthese des travaux de Mme Geman et MmeEl Karoui (1995), M. Mercurio (2006) et M. Hull (2009).

Par definition, un numeraire est un actif de reference choisi dans le but de norma-liser les prix des autres actifs en consequence. Le nombre de possibilite pour choisirun numeraire est infime puisque n’importe quel actif ne payant pas de dividende peutetre considere comme un numeraire. Lorsque l’on travaille avec des taux d’interets,choisir une obligation zero-coupon est tres utile.

Prix de marche du risque - John Hull

Considerons θ la variable d’etat qui suit un processus de diffusion definit par :

dθ

θ= µdt+ σdz (3.5)

Le prix de marche du risque λ est defini par John Hull par la relation :

λ =µ− rσ

(3.6)

1. ”Dans une economie ou tous les agents sont neutres face au risque, les investisseurs n’exigentaucune compensation pour le risque ; la rentabilite attendue de tous les actifs est alors egale au tauxsans risque.” - Options, futures et autres actifs derives. 6eme - John HULL

15

ou µ et σ representent respectivement le rendement et la volatilite de θ et r le tauxsans risque. (cf. ”Option, futures et autres actifs derives”p.632 pour la demonstration)

Le prix de marche du risque mesure le taux de substitution entre rentabilite (enexces du taux sans risque) et risque pour les actifs dependant de θ. De plus, λ doitetre identique pour tous les actifs derives consideres ne dependant que de θ et de t.

Martingales - (Options, futures et autres actifs derives - John Hull)

Considerons un ensemble de variables aleatoires X0, X1, ..., Xt, la variable Xt estune martingale si, pour t > 0, la relation suivante est vraie :

E[Xt|Xt1 , Xt2 , ..., X0] = Xt1 (3.7)

De maniere similaire, ”un processus de diffusion qui est une martingale a un driftnul. En d’autres termes, il verifie :

dθ = σdz (3.8)

ou dz est un processus de Wiener. Le parametre de volatilite σ peut etre consi-dere lui-meme comme une variable stochastique, mais egalement dependre de θ etpossiblement d’autres variables stochastiques. Une des proprietes importantes desmartingales est la constance de l’esperance. En d’autres termes, l’esperance a n’im-porte quelle date future est egale a sa valeur presente :

E[θT ] = θt (3.9)

La variation entre t et T est la somme des variations sur de courts intervalles.Par consequent, l’esperance de cette variation est nulle.

Existence d’une mesure martingale equivalente - John Hull

Soient f et g les prix de deux actifs echanges dependant d’une seule source d’in-certitude et ne payant pas de flux intermediaire. Notons egalement que le prix g esttoujours positif. La variable φ = f

gdefinit le prix relatif de f par rapport a g. On

exprime ainsi f en unites d’actif g plutot qu’en unites monetaires et l’actif g sert icide numeraire. Dans un marche avec AOA, la relation entre les prix de ces deux actifsest une martingale pour un choix de prix du marche de risque. Plus precisement, direqu’il existe une mesure martingale equivalente signifie qu’en l’absence d’opportunitesd’arbitrage, il excite un choix de prix de marche du risque (et donc une probabilite)tel que le processus φ soit une martingale sous cette probabilite.[. . .] En operant ce

16

choix particulier de prix de marche du risque, les prix de tous les actifs, exprimes enunite de numeraire, sont des martingales.

Pour prouver ce resultat, appliquons l’equation 3.5 aux processus de prix d’actifsf et g :

df = (r + λσf )fdt+ σffdz (3.10)

dg = (r + λσg)gdt+ σggdz (3.11)

Le choix du meme prix de marche pour f et pour g revient a definir λ tel queλ = σf = σg et demontre que φ est une martingale dont le drift est nul. Le terme endt a en effet disparu comme le notre l’equation suivante :

dφ = (σf − σg)φdz (3.12)

Par analogie avec l’equation 3.7, les processus φ est une martingale. La demons-tration du passage des equations 3.9 et 3.10 a l’equation 3.11 est presentee en dans”Options, futures et autres actifs derives” p.638.

Obligation zero-coupon comme numeraire

La definition de martingale avec un changement de numeraire est defini dansl’article Changes of Numeraire, Changes of Probability, Measure and Option Pricingde Geman, El Karoui et Rochet. Considerons comme hypothese qu’il existe un nu-meraire N et une mesure de probabilite QN , equivalent au risque initial neutre Q0,le prix de n’importe quel actif X relatif a N est une martingale sous QN(dans ununivers avec AOA), soit :

Xt

Nt

= EN

[XT

NT

|Ft]

(3.13)

Cette equation est fondamental pour l’evaluation des derives de taux puisquecelle-ci est applicable pour tous les numeraires ne payant pas de dividendes. L’appli-cation d’un ZC en tant que numeraire fait que n’importe quel taux forward capitaliseest une martingale sous la mesure de probabilite forward-neutre T . Par consequent,le prix d’un derive de taux d’interet p(t) a la date t sous la mesure T -forward peutetre considere comme l’esperance actualisee du payoff sur l’actif contingent H :

p(t) = P (t, T )ET [HT |Ft] (3.14)

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3.1.3 Introduction a l’evaluation des swaps

Nous considerons un ensemble de dates T0,...,Tn,...,TN . Le taux sans risque a ladate t de maturite Tn est le taux d’interet R(t, Tn) s’appliquant a un contrat dedepot ou la banque A prete une unite d’argent a la banque B entre la date t et Tn.Pour construire la structure par terme de taux, il existe une relation entre R(t, Tn) etP (t, Tn), prix d’une obligation zero-coupon sans risque de maturite Tn. Cette relationest definie telle que :

P (t, Tn) = EQ[D(t, Tn)|Ft] (3.15)

ou EQ represente l’esperance sous la mesure de probabilite risque neutre. Le fluxde l’information sur tout le marche est represente par la filtration F = (Ft)t≥0. Ilexiste un compte epargne Bt et D(t, Tn) = Bt

BTnest le facteur d’actualisation de la

date t a Tn. Dans un marche AOA, la relation entre P (t, Tn) et la maturite R(t, Tn)est claire. L’achat d’une obligation sans risque au prix P (t, Tn) de maturite Tn, etpreter un montant P (t, Tn) jusqu’a la date Tn a une contrepartie non risquee, sontdeux strategies qui exposent l’investisseur au meme cout a t et au meme risque, dansle but que le rendement a la date Tn soit le meme, on obtient donc lorsqu’on utiliseune simple capitalisation :

P (t, Tn)[1 +R(t, Tn)δn] = 1,R(t, Tn) = 1

δn[ 1P (t,Tn)

− 1],(3.16)

Le vrai marche interbancaire ne contient pas de banques totalement non risquees.Cependant, les praticiens en charge de calculer les courbes zero-coupons emettentl’hypothese que le risque sur le marche du pret interbancaire est negligeable. Cethypothese etait justifiee avant la crise du fait du faible niveau de risque de la grandemajorite des banques, et par le fait que ces taux etaient indexes au taux Libor (ouEuribor pour le marche Euro). Le taux Libor est un indice de taux calcule chaquejour ouvre a 11h (Heure de Londres) devant en principe refleter le taux moyen auquelun echantillon de grandes banques etablie a Londres prete ”en blanc” (i.e sans quele pret soit gage par des titres) a d’autres grandes banques. L’echantillon est choisieet connu a l’avance et plutot stable dans le temps. Les taux les plus extremes sontecartes du calcul, afin de proteger l’indice d’eventuelles erreurs ou d’une crise deliquidite qui affecterait telle ou tell banque de l’echantillon 2. Cet echantillon etaitconsidere virtuellement sans risque avant la crise.

2. Source : fr.wikipedia.org/wiki/Libor

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Par consequent, le taux Libor L(t, Tn) de maturite Tn etait considere comme unebonne approximation du taux sans risque R(t, Tn) et servait donc de reference pourcalculer les produits derives et construire un courbe d’actualisation.

R(t, Tn) = L(t, Tn)P (t, Tn) = 1

1+R(t,Tn)δn= 1

1+L(t,Tn)δn

(3.17)

Nous voyons dans cette equation que le taux Libor est defini comme le taux derendement de l’achat d’une unite d’une obligation zero-coupon a la date t et de savente a maturite Tn. Le taux Libor est donc en fait le taux d’actualisation :

L(t, Tn) =1

δn

(1

P (t, Tn)− 1

)(3.18)

P (t, Tn) fait reference ici au facteur d’actualisation sans risque de defaut et δncorrespond a l’intervalle de temps [t, Tn]. Le taux forward Libor de Tn−1 a Tn a ladate t est defini par l’equation suivante :

F (t, Tn−1, Tn) =1

δn

(P (t, Tn−1)

P (t, Tn)− 1

)(3.19)

δn represente l’intervalle de temps [Tn−1, Tn]. La relation entre les forwards Li-bor et les facteurs d’actualisations dans l’equation 3.5 permet au cadre mono-courbed’eviter des opportunites d’arbitrage.

Toutes ces definitions et ces equations menent au pricing des produits derivesfondamentaux des taux d’interet tels que les swaps. Le swap le plus basique (vanille)est le forward Rate Agreement. Celui-ci est notamment base sur le taux forwardLibor. Si l’on adopte une position longue sur FRA, le payoff a la date Tn est determinepar la difference entre le taux Libor spot et le taux fixe K :

VTn = δn(L(Tn−1, Tn)−K) (3.20)

La valeur du FRA a la date t est donc la suivante :

V (t) = δn(Et[L(Tn−1, Tn)]−K)P (t, Tn) (3.21)

Par souci de simplicite, Et[] representera tout au long de la these l’operateur es-perance sous la probabilite forward-neutre Q associee. Ici, Et[] represente l’operateuresperance sous la probabilite forward-neutre QTn . Lors de l’emission du FRA, le tauxFRA K est defini de telle sorte que les deux jambes soient au pair soit :

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δnKP (t, Tn) = δnEt[L(Tn−1, Tn)]P (t, Tn) (3.22)

Comme vu dans la section precedente, le choix d’une obligation zero-coupon dematurite Tn en tant que numeraire est tres utile lorsque que l’on travaille avec lesderives de taux. Il s’en suit en effet que n’importe quel taux forward capitalise estune martingale sous la mesure Tn-forward :

F (t, Tn−1, Tn) = Et[L(Tn−1, Tn)] (3.23)

La demonstration qui mene a l’equation ci-dessus est expliquee en Annexe 1.Appliquer cette equation a l’equation 3.19 nous permet d’obtenir :

F (t, Tn−1, Tn) = Et[L(Tn−1, Tn)] =1

δn

(P (t, Tn−1)

P (t, Tn)− 1

)(3.24)

Par consequent, les derives de taux dependant des taux d’interet futurs peuventetre valorises en appliquant des taux forwards. Ceci simplifie grandement leur evalua-tion, notamment les FRA. On peut donc pricer un swap de taux d’interet (IRS) dansla mesure ou celui-ci peut etre evalue en tant que portefeuille contenant plusieursFRAs ou les deux jambes du swap doivent etre egales a l’initiation :

IRS : CN

N∑n=1

∆nP (t, Tn) =N∑n=1

δnEt[L(Tn−1, Tn)]P (t, Tn) 3 (3.25)

Par souci de simplification, nous considererons que les paiements des pattes fixeset variables ont lieu au meme moment. CN represente le taux de swap au pair desIRS de N -longueurs a la date t,δn et δn representent respectivement les intervalles detemps pour la jambe fixe et la jambe flottante. Inserer l’equation 3.24 dans l’equation3.25 nous donne :

CN

N∑n=1

∆nP (t, Tn) =N∑n=1

δn

(1

δn

P (t, Tn−1)

P (t, Tn)− 1

)P (t, Tn)

CN

N∑n=1

∆nP (t, Tn) =N∑n=1

P (t, Tn−1)− P (t, Tn)

CN

N∑n=1

∆nP (t, Tn) = P (t, T0)− P (t, Tn) (3.26)

3. ”A note on construction of multiple swap curves with and without collateral”, Masaaki Fujii,Yasufumi Shimada et Akihiko Takahashi, 2009, p.2

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La partie droite de l’equation ci-dessus est analogue a une position longue surun zero-coupon de maturite T0 et une position short sur une autre obligation ZC dematurite TN . On deduit ainsi le taux swap :

CN =P (t, T0)− P (t, Tn)∑N

n=1 ∆nP (t, Tn)(3.27)

Swap de base - SB

Lors de la mise en place du swap, les valeurs actuelles des deux jambes doiventetre egales. On peut representer un SB avec un portefeuille de deux IRS de memematurite avec des jambes fixes qui se matchent et de deux jambes variables. Onajoute a la jambe variable de tenor le plus faible un spread de base pour que lesdeux jambes variables matchent. Par consequent, la relation entre les deux jambesvariables est :

SB :N∑n=1

δn(Et[L(Tn−1, Tn)] + τN)P (t, Tn) =M∑m=1

δm(Et[L(Tm−1, Tm)] + τm)P (t, Tm)

(3.28)

τN represente l’ecart de points de base de longueur N entre les deux sous-jacentsdes taux Libor de tenor n < m. A titre d’exemple, la partie gauche de l’egalitepourrait representer l’Euribor 3 mois et la partie droite l’Euribor 6 mois. Ici, le payeurde l’Euribor 3 mois compense le risque de credit plus important avec l’Euribor 6 moisen ajoutant a l’Euribor 3 mois un spread de base (de tenor). La resolution de τN lorsde la mise en place du SB revient a calculer :

τN =

∑Mm=1 δm(Et[L(Tm−1, Tm)] + τm)P (t, Tm)−

∑Nn=1 δn(Et[L(Tn−1, Tn)] + τN)P (t, Tn)∑N

n=1 δnP (t, Tn)4

(3.29)

Swap de devise - SD

Dans un swap de devise, les paiements des taux d’interet se font dans des devisesdifferentes. Le SD jambe variable contre jambe variable est particulierement impor-

4. M. Bianchetti et F. Ametrano considerent cette equation comme etant la difference de deuxtaux de swap d’IRS de meme maturite et meme sous-jacent mais avec differents tenor TN = TM :τN = SM − SN

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tant puisqu’il sert a generer les SD jambe fixe contre variable et les SD jambe fixecontre fixe de maniere synthetique. Nous admettons comme hypothese que les deuxjambes ont le meme tenor mais dependent de taux d’interet sous-jacents differents,la valeur du SD est donc :

SD :

(−P f (t, T0) +

N∑n=1

δfn(Eft [Lf (Tn−1, Tn)] + bN)P f (t, Tn) + P f (t, Tn)

)fx(t)

= −P (t, T0) +N∑n=1

δnEt[L(Tn−1, Tn)]P (t, Tn) + P (t, Tn) 5

(3.30)

L’indice f represente les variables qui s’appliquent a la devise etrangere. cN repre-sente le spread de base de longueur N de telle sorte que la monnaie domestique soittraitee flat contre la monnaie etrangere. Ef

t [] represente l’operateur Esperance sousla Tn-forward mesure QTn

f dans la devise etrangere avec P f (t, Tn) comme numeraire.fx(t) represente le taux spot de la monnaie domestique par rapport a la monnaieetrangere a la date t. On trouve avec le meme raisonnement que pour l’equation 3.27le spread de base (de devise) :

bN =

(P f (t, T0)−

∑Nn=1 δ

fn(Ef

t [Lf (Tn−1, Tn)])P f (t, Tn) + P f (t, Tn))fx(t)∑N

n=1 δnP (t, Tn)

+−P (t, T0) +

∑Nn=1 δnEt[L(Tn−1, Tn)]P (t, Tn) + P (t, Tn)∑N

n=1 δnP (t, Tn)(3.31)

La condition de non arbitrage est fondamental pour l’evaluation de tous ces dif-ferents swaps. Celle-ci est donc indispensable pour la determination des courbesforwards qui servent a trouver les taux swaps et les differents spreads de points debase.

3.2 Bootstrapping

Dans l’article ”Bootstrapping the Illiquidity” de F. Ametrano et M. Bianchetti,les auteurs presentent une methode pour bootstrapper ”l’illiquidite” en utilisant uneapproche multi-courbe. Ils font cependant un rappel de l’approche traditionnelle dans

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leur introduction. C’est de cette premiere approche que nous discuterons dans cettesection.

Ametrano et Bianchetti definissent l’approche traditionnelle de la maniere sui-vante :

(1) Choisir un ensemble fini de taux d’interets d’instruments vanilles (et liquide depreference) traites en temps reel sur le marche avec des maturites grandissantes. Enpratique, sur le marche Euro, on choisit les instruments les plus liquides en fonctionde la maturite, c’est pour cette raison que l’on utilise souvent les depots a courtstermes pour les maturites courtes, les FRAs ou les Futures Euribor 3 mois pourles maturites de 3 mois a 3 ans et les swaps contre l’Euribor pour des maturitessuperieurs a 3 ans.

(2) Construire la courbe des taux (zero-coupon) avec les titres choisis et les me-thodes de bootstrapping, principalement le principe d’iteration et les differentes tech-niques d’interpolation.

(3) En deduire ensuite grace a cette courbe, les taux forwards, les cash-flows, lesfacteurs d’actualisation et determiner les prix des differents titres en additionnant lasomme des cash flows actualises.

(4) (En deduire la sensibilite au delta et se couvrir grace au meme ensemble detitres vanilles.)

Il est important de souligner que nous parlons ici d’une approche mono-courbeet egalement monodevise, dans le sens ou une unique courbe de taux est construiteet utilisee pour evaluer et se couvrir des derives de taux. Nous notons egalementque cette procedure ne garantit pas entierement l’absence d’opportunite d’arbitragecar les facteurs d’actualisation et les taux forwards obtenus grace aux techniquesd’interpolation ne sont generalement pas totalement coherents avec les conditionsde non-arbitrage. En effet, en pratique, la fourchette demande-offre et les couts detransactions cachent intrinsequement les opportunites d’arbitrage. De plus, commeil est ecrit dans l’article d’Ametrano et Bianchetti, on notera egalement que le choixdes instruments releve plus de l’art que de la science 6 car il n’existe pas de solutionunique et d’avis universel sur le choix des instruments. En theorie, aucun titre n’est”meilleur”que les autres. Enfin, dans cette these, nous nous consacrerons uniquementsur les fondamentaux des methodes de bootstrapping en detaillant l’utilisation detrois titres differents. Cependant, nous n’aborderons pas le sujet de la volatilite et dela correlation qu’impliquent les differents modeles de taux. La courbe zero couponsera construite dans cette these en fonction de la zone Euro.

6. ”much more a matter of art than science”

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3.2.1 Instruments pour les taux courts : les taux de depot

La partie tres courte de la courbe des taux est base sur les taux de depot jusqu’aune maturite de 3 mois.

Table 3.2 – Taux de depot Zone Euro 15 Octobre 2012

Contrats Date de debut Date de fin Taux(%)

EONIA 15 Oct 2012 16 Oct 2012 0.092%Euribor 1W 17 Oct 2012 24 Oct 2012 0.080%Euribor 2W 17 Oct 2012 31 Oct 2012 0.088%Euribor 3W 17 Oct 2012 7 Nov 2012 0.095%Euribor 1M 17 Oct 2012 15 Nov 2012 0.111%Euribor 2M 17 Oct 2012 15 Dec 2012 0.154%Euribor 3M 17 Oct 2012 15 Jan 2012 0.209%

Source : www.Euribor-ebf.eu

Ces instruments sont des produits zero-coupon traites sur le marche de gre agre qui commencent 2 jours ouvres apres la date de constatation et paient un tauxfixe a la date de maturite. Pour la zone Euro, l’EONIA et l’Euribor servent de re-ference pour le marche court terme. Par consequent, leur implementation dans lacourbe des taux pour la partie tres courte de la courbe des taux est extremementutile puisqu’il refletent bien la liquidite pour des maturites aussi courtes. Ces tauxetant par definition des zero-coupons, on peut en deduire pour le boostrapping queR(t, Tn) = L(t, Tn).

Une contradiction a relever ici est le taux Euribor de maturite 1 semaine et 3semaine sont inferieurs au taux EONIA , ce qui siginifierait qu’il serait moins cher al’instant present (15 octobre 2012) pour une contrepartie d’emprunter de l’argent surune periode d’une semaine plutot que sur une periode d’une journee. Cette contradic-tion est expliquee par le fait que l’EONIA est un taux constate tandis que l’Euriborest un taux auquel les banques contribuent. Les banques peuvent decider de montrerdes taux plus bas que prevu afin justement de maintenir les taux bas (cf Chapitre4 Partie 4.3). Rien ne prouve en effet que les banques vont effectivement preter enrealite a ces taux sur ces maturites. Un autre argument pourrait justifier cette contra-

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diction, les taux Euribor de maturite 1 semaine et 3 semaine sont des taux illiquides,la fourchette demande-offre est donc tres large.

3.2.2 Instruments pour les taux moyens : FRAs ou futures ?

Toujours par souci de liquidite, on utilise maintenant les taux FRAs ou les futuresjusqu’a 3 ans car se ce sont les contrats les plus traites jusqu’a cette maturite. LesFRAs sont des contrats qui commencent a date Tn−1 pour une periode fixe et qui sedenouent a maturite Tn. Si une contrepartie achete un contrat FRAs, le taux est fixedurant toute la periode. Pour cette raison, on preferera les FRAs aux futures dansla mesure ou les futures ont des dates de denouement pre-definis et dont la variationde taux est quotidienne. Cependant, les futures sont plus liquides que les FRAs. Lamethode optimale serait donc de prendre en compte les futures et FRAs.

Pour transformer les taux forwards, il suffit d’appliquer la relation ci-dessous :

R(t, Tn) =[(1 + F (t, Tn−1, Tn))Tn−Tn−1(1 +R(t, Tn−1))

Tn−1] 1Tn − 1 (3.32)

Autant l’equation pour deduire d’un taux FRA un taux ZC est simple et logique,autant deduire les taux ZC avec l’aide des contrats futures est un autre challenge.En effet, les contrats forwards sont traites sur le marche de gre a gre et ont doncl’avantage d’etre produits ”sur-mesure”. Les contrats futures sont traites sur des mar-ches organises et reduisent donc le risque de credit et les couts de transaction. Dece fait, la plupart des taux d’interets des contrats future n’ont pas de convexite.En d’autres termes, ces taux payent un flux de paiement fixe pour la variation d’unpoint de base, peu importe le niveau du taux d’interet sous-jacent. Les FRAs, quanta eux, sont des instruments qui presentent de la convexite et sont des contrats biaises.Empiriquement, on a constate que les taux des contrats futures sont differents desFRAs implicite. La difference d’un point de base pour la premiere annee peut devenirune cinquantaine de base pour 10 ans. Ceci est explique par le fait que les marchesincorporent la volatilite des taux courts et ses consequences.. La construction d’unportefeuille dans lequel nous avons une position courte sur les contrats futures et uneposition longue sur les FRAs donne un portefeuille dont la convexite est positive. Siles taux d’interets montent, avoir une position courte sur le future genere des profitsqui peuvent etre reinvestis a des taux plus eleves. D’un autre cote, si les taux d’in-terets baissent, cette position genere une perte qui peut etre reinvestie a des tauxplus bas. De plus, si les deux titres avaient le meme taux in fine, il y aurait opportu-nite d’arbitrage. Afin d’eviter cette opportunite, les taux des contrats futures doiventetre superieurs taux des FRAs, et ce de maniere croissante avec l’allongement de la

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maturite. Une autre explication de la convexite positive des FRAs peut s’expliquerpar le payoff a maturite. Les variations de taux in fine pour les FRAs menant a unpayoff immediat et lineaire, contrairement aux contrats futures, les gains ou pertes,actualises, generes par les FRAs a maturite possedent donc une convexite superieureaux contrats futures. On parle d’ailleurs de convexity bias. En conclusion, deduireles taux forwards des taux des futures necessitent donc des ajustements de convexite.

Pour obtenir une courbe de taux optimale, il faudrait donc melanger sur le moyenterme les taux ZC deduits des FRAs et des futures. Cependant, etant donne la com-plexite du processus pour determiner le taux zero-coupon des futures et l’objet de lathese etant focalise sur un autre sujet, nous travaillerons uniquement avec des tauxZC issus des taux FRAs.

Table 3.3 – Euro FRAs 15 Octobre 2010

Contrats Date de debut Date de fin Taux (%)

FRA 1x4 18 Nov 2012 18 Fev 2013 0.2040FRA 2x5 18 Dec 2012 18 Mars 2013 0.2060FRA 3x6 18 Jan 2013 18 Avril 2013 0.2020FRA 4x7 18 Fev 2013 18 Mai 2013 0.2060FRA 5x8 18 Mars 2013 18 Juin 2013 0.2090FRA 6x9 18 Avr 2013 18 Juillet 2013 0.2200FRA 7x10 18 Mai 2013 18 Aout 2013 0.2320FRA 8x11 18 Juin 2013 18 Sept 2013 0.2430FRA 9x12 18 Juil 2013 18 Oct 2013 0.2530FRA 10x13 18 Aout 2013 18 Nov 2013 0.2650FRA 11x14 18 Sept 2013 18 Dec 2013 0.2740FRA 12x15 18 Oct 2013 18 Jan 2014 0.2930FRA 12x18 18 Oct 2013 18 Mars 2014 0.4770FRA 18x24 18 Mars 2014 18 Sept 2014 0.5830FRA 12x24 18 Oct 2013 18 Sept 2014 0.6890

Source : ICAP

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3.2.3 Instruments pour les taux longs : les swaps

A partir de 3 ans, il est optimal d’utiliser les taux swaps pour construire lastructure par terme de taux. Les taux de swaps utilises ici sont des swaps Euro dontle sous-jacent est Euribor 3 mois. A partir des taux swaps, on peut retrouver les tauxspots par iteration en appliquant la relation suivante :

P (t, TN) =1− CN

∑N−1n=1 δnP (t, Tn)

1 + CNδN(3.33)

Malheureusement, le manque de liquidite reduit le nombre d’informations dis-ponibles pour certaines maturites ce qui peut donner des facteurs d’actualisationincoherents. Il est donc important d’interpoler les taux swaps disponibles sur le mar-che afin de deduire des taux de swaps de maturite moins liquide et plus difficile-ment accessibles. Nous utiliserons pour cela la technique d’interpolation cubic splinedetaillee dans la section suivante. On peut ensuite en deduire les facteurs d’actua-lisation. Une fois que nous les avons obtenu, nous pouvons deduire les taux spotsR(t, Tn) (n>1)avec l’egalite suivante :

R(t, TN) =

(1

P (t, Tn)

) 1δn

− 1 (3.34)

Voici la liste des taux swaps que nous allons utiliser pour construire notre courbede taux :

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Table 3.4 – Taux swap Euro vs E3M 15 Octobre 2012

Contrats Date de debut Date de fin Taux (%)

Swap 1Y 18 Oct 2012 18 Octobre 2013 0.2238%Swap 2Y 18 Oct 2012 18 Octobre 2014 0.2991%Swap 3Y 18 Oct 2012 18 Octobre 2015 0.4149%Swap 4Y 18 Oct 2012 18 Octobre 2016 0.5807%Swap 5Y 18 Oct 2012 18 Octobre 2017 0.7813%Swap 6Y 18 Oct 2012 18 Octobre 2018 0.98591%Swap 7Y 18 Oct 2012 18 Octobre 2019 1.176%Swap 8Y 18 Oct 2012 18 Octobre 2020 1.3469%Swap 9Y 18 Oct 2012 18 Octobre 2021 1.4955%Swap 10Y 18 Oct 2012 18 Octobre 2022 1.6271%Swap 12Y 18 Oct 2012 18 Octobre 2024 1.8544%Swap 15Y 18 Oct 2012 18 Octobre 2027 2.0849%Swap 20Y 18 Oct 2012 18 Octobre 2032 2.2270%Swap 25Y 18 Oct 2012 18 Octobre 2037 2.2704%Swap 30Y 18 Oct 2012 18 Octobre 2042 2.2927%

Source : ICAP

3.2.4 La structure par terme de taux

La construction de la structure par terme de taux depend grandement du choixdes instruments selectionnes. Le fait de ne pas prendre en compte les contrats fu-tures donne une courbe moins precise et les taux sur la partie 2 ans et 3 ans seronttres approximatifs etant donne que nous favoriserons les taux swaps qui sont moinsliquides. En fonction des circonstances, cette construction aurait pu etre composed’instruments divers et de maturite differente.

Il est important de noter qu’il ne faut ni prendre trop de points cle ni pas assez.Prendre trop de points piliers pourrait donner un effet de surcharge de points sur lacourbe tandis que pas assez pourrait exclure des donnees de marche. Ces deux caspossibles pourraient mener a une courbe sujette a de l’arbitrage et dont la techniquede bootstrapping serait defaillante (Hagan and West, 2006).

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La structure par terme de taux obtenue ainsi que les points cles utilises se trouventci-dessous. Quant a la technique d’interpolation, son choix et son fonctionnement sontexpliques dans la section ci-dessous.

Table 3.5 – Structure par terme de taux Euro 15 Octobre 2012

Maturite Contrat Taux(%)

0.00 EONIA 0.0920.02 Euribor 1W 0.0800.04 Euribor 2W 0.0880.06 Euribor 3W 0.0950.09 Euribor 1M 0.1110.18 Euribor 2M 0.1540.27 Euribor 3M 0.2090.51 FRA 3x6 0.2050.76 FRA 6x9 0.2101.00 FRA 9x12 0.2212.00 Swap 2Y 0.3013.00 Swap 3Y 0.4174.00 Swap 4Y 0.5855.00 Swap 5Y 0.7906.00 Swap 6Y 1.0057.00 Swap 7Y 1.1998.00 Swap 8Y 1.3789.00 Swap 9Y 1.53610.00 Swap 10Y 1.67712.00 Swap 12Y 1.93215.00 Swap 15Y 2.19020.00 Swap 20Y 2.34025.00 Swap 25Y 2.36630.00 Swap 30Y 2.388

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Figure 3.1 – Structure par terme de taux Euro

3.3 Choix d’interpolation

Patrick S. Hagan et Graeme West ont ecrit deux articles tres similaires, l’un dansWILMOTT Magazine (plus succinct) et l’autre dans le journal Applied Mathema-tical Finance (Vol.13, No.2, June 2006) concernant les techniques d’interpolationsen finance. De la meme maniere que pour les choix des instruments constituant lastructure par terme de taux, il n’existe pas une seule et unique solution approuveepar tous concernant les techniques d’interpolation. Comme pour le nombre d’instru-ments, il faut que la courbe de taux soit lisse mais pas trop pour ne pas eliminer desprix de marche valables. Dans cette section, nous analyserons les contraintes defi-nies par Hagan et West que doivent inclure les methodes d’interpolation en finance.Puis nous etudierons en detail une technique d’interpolation, la methode dite cubicspline utilisee a l’origine en physique et chimie puis adaptee a la finance, car celle-ci est tres simple a appliquer et propose des resultats tres satisfaisants. Enfin nousmentionnerons les dernieres techniques optimisees pour affiner notre interpolation.

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3.3.1 Characteristiques necessaires pour une bonne interpo-lation

Hagan et West definissent des criteres et des caracteristiques a prendre en comptepour une bonne interpolation 7 :

(1) A quel point les taux forwards sont-ils corrects ? Il est necessaire que cestaux soient positifs et continus. Positifs dans le but d’eviter une situation d’arbitrageet continus afin de pouvoir evaluer des instruments sensible a la stabilite des tauxforwards tels que les derives.

(2) A quel point la methode d’interpolation est-elle locale ? Si un point cle estchange, est-ce que la fonction d’interpolation change uniquement autour de ce point,avec une legere modification aux alentours, ou peut-on observer des variations autrepart ?

(3) A quel point l’interpolation est-elle stable ? Le degre de stabilite peut etredefini par un changement d’un point de base maximum sur la courbe obtenue enchangeant, vers le haut ou vers le bas, un point de base dans les parametres d’entre.

(4) A quel point les couvertures sont-elle locales ? Considerons un portefeuille quiest couvert contre tout mouvement de marche de l’instrument sous-jacent. Si l’un desparametres d’entree de la courbe change, il est important que ce meme portefeuillesoit toujours couvert.

Avant de travailler sur le lissage de la courbe, il est important de s’assurer que lestaux sont positifs et continus, auquel cas la courbe de taux obtenue serait incorrecte.

3.3.2 Les methodes Spline

Les methodes d’interpolation lineaire sont les exemples les plus simples d’interpo-lation polynomiale, ce sont tout simplement des methode dont les fonctions sont del’ordre 1. Un courbe polynomiale est une fonction qui est polynomiale dans chaquepartie de la courbe. Les coefficients sont calcules pour s’assurer que la courbe coıncideet passe (du mieux que possible) a travers les points donnes et est donc continue.Dans le cas de l’interpolation lineaire, les coefficients sont tres faciles a determiner.Lorsque les fonctions polynomiales sont d’un degre superieur, il faut utiliser le degrede liberte en exigeant tels que la differentiabilite.

7. Applied Mathematical Finance (Vol.13, No.2, June 2006)

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La methode Cubic Spline

Il existe bien evidemment une methode Quadratic Spline mais celle ci-ne donnepas des resultats satisfaisant et les courbes obtenues peuvent avoir une apparencesinusoıdale, ce qui ne correspond pas a une courbe de taux correct. Nous allons plu-tot etudier plus en profondeur la methode Cubic Spline qui donne des resultats plusconvaincants et qui est donc logiquement utilisee par les praticiens.

Supposons t1, t2, ..., tn et r1, r2, ..., rn :=r(ti), etant respectivement les maturiteset les taux equivalents, connus. Pour obtenir une courbe cubique, nous devons trouverles coefficients (ai, bi, ci, di) pour 1 6 i 6 n-1. Pour tout t, la fonction serait :

r(t) = ai + bi(t− ti) + ci(t− ti)2 + di(t− ti)3 ti 6 t 6 ti+1 (3.35)

Par consequent, nous avons donc :

r′(t) = bi + 2ci(t− ti) + 3di(t− ti)2 ti 6 t 6 ti+1

r′′(t) = 2ci + 6di(t− ti) ti 6 t 6 ti+1

r′′(t) = 6di ti 6 t 6 ti+1

(3.36)

Par souci de simplification, considerons δi = ti+1 − ti. Les contraintes communesde toutes les differentes methodes cubiques - nous nous interesserons uniquement ala methode Natural Cubic Spline - sont :

(1) La fonction d’interpolation doit passer par les parametres d’entree, donc ai =ri f i = 1, 2, ..., n− 1 et an−1 + bn−1δn−1 + cn−1δ

2n−1 + dn−1δ

3n−1 = rn := an.

(2) La fonction est entierement continue, donc ai + biδi + ciδ2i + diδ

3i = ai+1 pour

i = 1, 2, ..., n− 2.(3) La fonction est entierement differentiable, donc bi + 2ciδi2 + 3diδ

2i = bi+1 pour

i = 1, 2, ..., n− 2.Ceci represente un systeme de 3n−4 equations a 4n−4 inconnus. Il reste donc n

contraintes lineaires a definir. Il est tres important que la fonction soit differentiablepour que la courbe forward (f(t) = d

dtr(t) qui est issue de la courbe de taux soit

continue. f(t) est ainsi definie par

f(t) = ai + bi(2t− ti) + ci(t− ti)(3t− ti) + di(t− ti)2(4t− ti) ti 6 t 6 ti+1 (3.37)

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Posons

bn := bn−1 + 2cn−1δn−1 + 3dn−1δ2n−1 (3.38)

de telle sorte que bn soit la derivee de la fonction d’interpolation sur l’extremitedroite de la courbe. Si nous choisissons de specifier les n contraintes lineaires commeetre equivalent a specifier b1, b2, ..., bn, definir ensuite c1, c2, ..., cn et d1, d2, ..., dn sefait tres facilement. Pour chaque i, nous avons deux equations a deux inconnues, cequi se resout, pour 1 6 i 6 n-1, grace aux equations suivantes :

mi =ai+1 − ai

δi(3.39)

ci =3mi − bi+ 1− 2bi

δi(3.40)

di =bi+1 + bi − 2mi

δ2i(3.41)

(3.42)

La Natural Cubic Spline a la particularite d’etre la seule cubic spline ou les nconditions supplementaires sont :

(1) La fonction est entierement differentiable deux fois. (2) La deuxieme deriveea chaque derivee de la courbe est 0.

Cette methode est tres utile et preconisee par Hagan et West pour la constructiondes courbes de taux issues des taux swaps parmi les differentes fonction d’interpola-tion cubic spline. En effet, celle-ci est totalement satisfaisante pour un ensemble detaux dense et bien repartie. Cependant, elle n’est pas satisfaisante pour courbes dontl’ensemble de taux est plus eparpille et moins dense. Cette courbe presente trop deconvexite entre les points qui ont sont separes d’une distance trop importante.

Voici donc la structure par terme de taux que l’on obtient avec les taux zero-coupons interpoles avec la methode Natural Cubic Spline

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Chapitre 4

Impact de la crise sur les spreadsde taux

Une des premieres consequences de la crise de 2007 a ete l’ecartement des tauxqui jusque la etaient tres proches l’un de l’autre. Ces taux etaient soit relatifs aumeme intervalle de temps soit deduits des autres cotations de marche. De meme, lestaux swaps de meme maturite, mais dont la jambe variable differait (tant en termede frequence de paiements qu’en terme de tenor), etaient consideres equivalents aun infime spread pres. A partir de 2007, tous ces taux, qui etaient inter-dependantsl’un de l’autre, sont devenus des instruments a part entiere, contenant chacun unrisque de liquidite et de credit intrinseques. L’exemple evoque et commente dansl’article ”Construction des courbes de taux a l’ere du resserrement du credit et au-dela” illustre parfaitement les faits mentionnes ci-dessus et permet d’introduire lesdifferents spreads de taux que nous allons etudier dans ce chapitre.

”En aout 2007, les praticiens ont realise que quelque chose ne collait plus, apresavoir remarque une divergence inhabituelle entre les taux de swaps d’echeance courtesur le taux de reference du jour le jour (swap OIS 1) et les taux de depot de memematurite. [...] Il est important de noter qu’un swap OIS est un instrument ”collatera-lise” (garanti par un depot en devise) dont le risque de credit est quasiment nul. [...]Si l’on suppose que le risque de defaut est nul, il est possible de prouver qu’un ecartsignificatif entre le taux OIS et le taux Euribor constituerait une opportunite d’ar-bitrage. Avant l’eclatement de la bulle de credit, c’est probablement cette hypothese

1. Le taux du swap OIS d’echeance 3 mois est le taux fixe qu’une contrepartie est prete a payerdans trois mois a l’autre contrepartie pour recevoir en echange l’equivalent du taux au jour le jourcapitalise quotidiennement jusqu’a l’echeance du swap

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qui etait retenue, puisqu’au cours de la periode allant de 2000 a 2007, la moyennede l’ecart entre les deux taux s’est etablie a 6 points de base et son ecart-type a 2points de base. Pour la periode s’etalant d’aout 2007 a septembre 2011, la moyennede cet ecart et son ecart-type ressortent a 55 points de base et 35 points de baserespectivement 2.

Depuis 2007, tous les praticiens sont d’accord pour admettre que cet ecart repre-sente un reel risque qu’il faut incorporer dans les risques de marche. L’impact durisque du credit sur les taux d’interet doit etre pris en compte meme dans la mise enoeuvre d’un concept aussi fondamental que la courbe de taux.

Depuis la crise, l’Euribor, de meme que tous les autres taux Libor,ne peut plus et ne doit plus etre considere comme un taux sansrisque

Bien que l’Euribor n’ait jamais ete un taux sans risque, la difference du tauxEuribor et du taux sans risque de meme periode etait consideree comme nulle. Au-jourd’hui le taux d’un swap OIS et le taux Euribor de meme periode que ce swappresentent un ecart systematique. Il a fallu donc mettre a jour et adapter les modelespour prendre en compte cet ecart.

Celui-ci n’est pas arrive a par hasard, il est la resultante d’un systeme financierqui ne prenait pas en compte toutes les composantes fondamentales pour l’evalua-tion des actifs financiers. La crise des subprimes, l’eclatement de la bulle du creditont cause des dommages irremediables au monde de la finance et ont cree une crisede liquidite qui est la consequence principale de cet ecart de taux. De meme, lacrise de la dette souveraine trois ans plus tard a ete la preuve finale que cet ecartne pouvait plus etre neglige et qu’il y avait une reelle crise de confiance et de liqui-dite. Les analogies possibles avant 2007 sont devenus inadaptees au monde post-crise.

De la meme maniere que l’ecart explique entre le taux swap OIS et le taux Eu-ribor de meme maturite, les taux forwards implicites de deux depots consecutifs sesont ecartes des taux FRA equivalents. De meme, on a constate un elargissement desecarts pour les swaps de tenor differents et les swap de devise. Nous analysons dansles prochaines sections ces ecarts et ses consequences et justifions ainsi l’interet depasser a un cadre multi-courbe pour l’evaluation des swaps de taux d’interet.

2. On obtient des resultats similaire en comparant les taux swaps OIS d’echeance 1 mois, 6 moiset 12 mois aux taux Euribor 1 mois, 6 mois et 12 mois respectivement.

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Figure 4.1 – Evolution du taux Euribor 3 mois et du taux swap OIS d’echeance 3mois durant la periode 2000-2011

Source : Investment Acumen - Numero 11 - Hiver 2011

Figure 4.2 – Ecart entre le taux Euribor 3 mois et le taux du swap OIS d’echeance3 mois

Source : Investment Acumen - Numero 11 - Hiver 2011

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Figure 4.3 – Evolution de l’ecart entre le taux Euribor 3 mois et le taux du swapOIS d’echeance 3 mois durant la periode 2000-2011

Source : Investment Acumen - Numero 11 - Hiver 2011

4.1 Divergence taux Euribor et taux EONIA

Nous avons introduit la divergence des taux swaps OIS et des taux Euribor audebut de cette section afin d’illustrer les differents ecarts de taux qui ont eu lieuapres la crise. Dans l’article ”Solving the puzzle in the market interest rate market”,Morini detaille cette divergence. OIS est le diminutif d’Overnight Interest rate Swapet represente un swap fixe contre variable avec la jambe variable liee a un des taux dereference quotidien des depots interbancaires en blanc tel que le taux Federal Fundsaux Etats-Unis et l’EONIA sur le marche Euro. Ces taux faisant reference a des pretsde duree tres courte (une journee), on considere le risque de credit et de liquiditecomme etant nuls. De plus , le taux OIS est un bon indicateur des anticipationsde marche concernant les prochains depots quotidien. Par consequent, la differenceentre l’OIS et l’Euribor est considere comme une bonne indication des problemes decredit et de liquidite que peuvent affecter les contreparties pour des prets superieursa une journee.

Comme l’on peut le constater sur la figure 4.4, l’augmentation du spread Ibor-OIS a ete particulierement consequent pour la maturite 3 mois. En septembre etdecembre, ce spread a atteint un niveau jamais vu depuis la fin de l’annee 1999 etqui etait du aux craintes de l’entree dans le nouveau millenaire. Cet ecart de taux

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Figure 4.4 – Difference entre les taux Libor et le taux du swap OIS des USA, de laZone Euro et du Royaume-Uni

Source : What Drives Interbank Rates

est encore plus marque pour la zone Euro.

Morini explique que les ecarts ci-dessus sont dus a des problemes de liquiditetandis que Michaud et Upper les expliquent en decomposant la prime de risque. Surles taux courts tel que des maturites 1 jour et 3 mois, la prime de risque peut etredecomposee en plusieurs facteurs representant les caracteristiques des banques em-prunteuses aussi bien que les conditions globales du marche. Concernant les banquesemprunteuses, on peut distinguer le risque de defaut (credit) et une prime liee ala capacite de financement de la banque (bliq). Quant aux conditions globales demarches, elles incorporent l’absence de certitude concernant le taux au jour le jour(tprem), la liquidite du marche (mliq) et les facteurs lies aux processus de fixing etde microstructure des marches(micro) :

riskpremium = credit+ bliq + tprem+mliq +micro 3 (4.1)

3. What Drives Interbank Rates p.5

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Separer les differents composants de cette relation n’est pas une mince affairepuisqu’il n’existe pas d’instruments financiers dont les flux sont directement lies achacun de ces facteurs individuellement. Il y a egalement une correlation tres impor-tante entre le risque de liquidite et de financement d’une contrepartie et son risquede defaut. C’est en effet un cercle assez vicieux dans la mesure ou une banque quia du mal a se financer devra financer avec des taux plus eleves, ce qui augmente saprobabilite de faire defaut. Morini explique donc a juste titre qu’il est tres importantde bien dissocier risque de credit et de liquidite.

Figure 4.5 – Evolution de l’ecart entre le taux Euribor 3 mois et le taux du swapOIS d’echeance 3 mois

Source : Bloomberg

Sur la Figure 4.2 utilisee en introduction de ce chapitre, on constate que le spreadse cree reellement a partir d’Aout 2007 (cet ecart avant n’etait jamais superieur a10 bps). C’est a partir de cette date que les pertes du aux mortgages americainsont debute. Cet ecart a ete au plus haut (209bps) debut septembre 2008 juste apresl’annonce de la perte potentielle de la part de Lehman Brothers de 4 milliard deDollars et la saisie du gouvernement americain de Fannie Mae et Freddie Mac. S’enest suivi d’un commun accord de la part des banques centrales, une baisse de leur tauxde refinancement de 50 points de base. Pour le marche Euro, c’est aussi la gestiondes allocations de liquidite des banques de la part de la BCE (Banque CentraleEuropeenne) qui change totalement (Octobre 2008). Avant la crise, le montant alloue

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par la BCE pour la semaine etait fixe et limite, dorenavant le montant des allocationsest illimite, en d’autre termes la BCE a donne autant que les banques demandaient.Comme les banques avaient des besoins et ont agi de maniere preventive pour amortirles consequences de la crise, l’exces de liquidite a systematiquement ete tres importantdans le sens ou il y a toujours eu plus d’illiquidite que de reels besoins de la partdes banques. A titre informatif, l’exces de liquidite est actuellement a 700 milliardd’Euros ! Le marche a court terme, pour l’EONIA en tout cas, n’etant qu’une questiond’offre et de demande, la quantite importante d’offre de liquidite a fait baisser le prixde l’EONIA (meme en dessous du taux directeur). Avant la crise l’EONIA oscillaitetroitement autour du taux de refinancement de la BCE, apres la crise l’EONIA etaiten dessous de 30 a 40 points de base en-dessous de ce meme taux directeur.

Figure 4.6 – Evolution de l’ecart entre le taux EONIA mois et le taux REFI de laBCE

Source : Bloomberg

Les ecart se sont ensuite reduits jusqu’a se reecarter timidement en Avril 2010lorsque le FMI a du preter 110 milliards d’Euro a la Grece pour ensuite se reecarterde maniere plus consequente en decembre 2011 en raison des 2 LTRO (Long TermRefinancing Operation) lances par la BCE pour une taille totale de 1000 milliards

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d’Euro. Les banques ont ainsi eu le droit d’emprunter un montant illimite d’argentsur une duree de 3 ans sans aucun taux d’interet. Ces operations ont eu lieu dans lebut de reduire les taux des obligations des pays Europeens en difficulte. Le but a eteatteint au debut mais son effet semble s’estomper et certains economistes envisagentdes maintenant un possible LTRO 3 debut 2013. Meme si ces operations de finan-cement ont permis de soulager pendant un moment la BCE et les pays Europeensperipheriques, ceci est une solution qui a permis de colmater quelques breches maisne sert en aucun cas a resoudre la dite cross. De plus, ces operations ont cree unnouvel ecart entre le taux de swap EONIA et l’Euribor. Tous les ecart de taux quiont eu lieu depuis 2007 ont pousse les praticiens a construire une structure par termede taux construit sur l’EONIA plutot que sur l’Euribor 4.

4. Construction des courbes de taux a l’ere du resserrement du credit et au-dela

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Figure 4.7 – Chronologie macroeconomique expliquant les ecarts de taux

Source : Recherche Economique Credit Agricole CIB

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4.2 Divergence entre les taux FRA et les taux for-

wards implicites

Dans l’article ”Interest Rates and The Credit Crunch New formulas and MarketModels”, Mercurio mentionne cette divergence et l’explique via un simple modele decredit, base sur le fait que les contreparties interbancaires sont sujettes au risque dedefaut. En effet, le risque sur le marche interbancaire, bien qu’existant, a toujoursete considere comme epsilonesque etant donne le profil et la confiance accordes a unegrande majorite des banques, surtout celles du panel contribuant a l’Euribor. Commevu precedemment, on pouvait approximer le taux Libor L(t, Tn) au taux spot sansrisque R(t, Tn). On a donc l’equation suivante :

F (t, Tn−1, Tn) =

[(1 + L(t, Tn))Tn

(1 + L(t, Tn−1))Tn−1

] 1δn

− 1 =1

δn

(P (t, Tn−1)

P (t, Tn)− 1

)(4.2)

Nous avons aussi vu qu’une position longue dans un FRA a maturite donnait lepayoff suivant : V (Tn) = δn(L(tn−1, Tn−1)−K). On calcule le FRA de telle sorte queles deux parties de l’equation F (t, Tn−1, Tn) = Et[L(tn−1, Tn)] suivantes soient egaleslors de la mise en place du contrat.

Comme l’on peut le voir sur la figure 4.8, les forwards EONIA et les taux FRAetaient extremement proches avant 2007. Depuis, les taux forwards implicites sontlargement superieurs aux taux FRA. De juin 2007 a aujourd’hui, la moyenne de cetecart est de 43 points de base avec un ecart maximal constate le 10 janvier 2008 a119 points de base.

Comme l’explique Mercurio, ces ecarts de taux ne creent pas pour autant desopportunites d’arbitrage. En effet, considerons le taux FRA FX et le taux forwardimplicite FD du a deux depot a maturite T1 et T2 et supposons que FD > FX . Lastrategie suivante permettrait en theorie de profiter d’une opportunite d’arbitrage :

(1) Achat de (1+δnFD) depots de maturite T2, payant (1+δnFD)P (t, T2) = P (t, T1)Euros

(2) Vente d’1 depot de maturite T1, recevant P (t, T1) Euros(3) Prendre une position longue sur un FRA, payant a la date T1

δn(L(T1, T2)− FX)

1 + δnL(T1, T2)

43

Figure 4.8 – Evolution du spread Forward EONIA vs FRAs

Source : Bloomberg

La valeur de cette strategie lors de sa mise en place est naturellement nulle. A ladate T1, on peut deduire sa valeur d’apres (1) et (2) :

δn(L(T1, T2)− FX)

1 + δnL(T1, T2)− 1 = − 1 + δnFX

1 + δnL(T1, T2)

Cette strategie est negative si les taux sont positifs. Pour payer cette dette resi-duelle, nous vendons 1 + δnFD depots de maturite T2, nous laissant avec

1 + δnFD1 + δnL

− 1 + δnFX1 + δnL

=δn(FD − FX)

1 + δnL(T1, T2)> 0

en cash a la date T1, ce qui est totalement equivalent a δn(FD − FX) recu a ladate T2.

Nous sommes ici en situation d’opportunite d’arbitrage puisqu’un investissementnul rapporte un gain positif sans risque dans le futur. Le gain a la date T1 est sto-chastique tandis que le gain a la date T2 est deterministe. Il faut cependant soulignerqu’il existe des parametres du marche actuel qui ne sont pas pris en compte danscette strategie et qu’on ne peut plus negliger :

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a) La contrepartie a laquelle on prete de l’argent peut faire defaut avant la date T2.

b) Il existe une possibilite de crise de liquidite au dates 0 et T1.

c) Les contraintes reglementaires peuvent avoir un impact sur la valeur du creditdes acteurs du marche.

Si l’un de ces trois cas se produisait, nous pourrions terminer avec une perte a ladate T2 qui serait superieure au gain positif δn(FD−FX). On peut donc conclure quecette strategie ne constitue pas une opportunite d’arbitrage puisqu’on ne peut plusconsiderer celle-ci comme sans risque. Mercurio explique d’ailleurs que les taux for-wards FD et FX sont ”autorises” a diverger et que cette difference peut etre interpreteecomme l’anticipation future de la part des marches concernant les problematiques deliquidite et de credit.

4.3 Ecart de taux entre differents tenors

Un ecart de taux de tenor se calcule comme la difference entre les jambes fixes dedeux swaps de taux d’interet de meme maturite, avec un taux de reference identiquemais les maturite du sous-jacent etant differentes. Par exemple, on pourrait calculerun ecart de taux en calculant la difference des VAN a la date t d’un swap 5 ans contreE3M et d’un swap 5 ans contre E6M. Cette difference represente ce qu’on appelleun spread de points de base. De meme, un swap qui paierait E3M tous les trimestreset E6M tous les semestres s’appelle un swap de base (plus rarement un swap de tenor).

Depuis 2007, la contrepartie qui recoit le paiement du tenor le plus long (6 mois)est confronte a un risque de defaut de la contrepartie et a un risque de liquidite quisont compenses par une valeur de marche plus elevee de l’Euribor 6 mois en compa-raison aux risques dus a l’Euribor 3 mois. Comme vu dans le chapitre precedent, lereceveur de la jambe du tenor le plus long devra compenser cet avantage en ajoutantun ecart de points de base a la jambe du tenor le plus court - si l’on suppose que lerisque de contrepartie et de liquidite peut etre elimine en collateralisant et par in-dexation au Libor plutot qu’emprunter, le niveau plus eleve de l’Euribor 6 mois n’estplus justifie par un risque plus eleve. Ceci permet egalement de mieux comprendreles raisons pour lesquelles les taux FRAs sont systematiquement inferieurs aux tauxforwards repliques correspondants (voir section 4.2).

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Figure 4.9 – Swaps de base Euro 3m vs 6m Maturite 1 an, 5 an et 10 ans

Source : Bloomberg

Dans l’article ”Solving the puzzle in the interest rate market”, Morini expliquecertaines raisons qui attestent que preter sur un tenor plus long implique un risquede liquidite et de contrepartie plus important que ”roller” son pret sur un tenor pluscourt. Par exemple, il est plus risque de preter sur un tenor 6 mois que de preter surun tenor 3 mois puis repreter au bout des 3 mois a nouveau sur un tenor 3 mois.Morini nous donne cinq raisons principales concernant ce principe :

1) Il y a moins de perte en raison de la probabilite de defaut

Si l’on considere un preteur pour une maturite 6 mois et un un autre preteur quiva ”roller” au bout de 3 mois, les deux a la meme contrepartie. Si celle-ci fait defautdurant la periode 3 a 6 mois, le preteur pour une maturite 6 mois perd tout l’interettandis que le preteur qui ”rolle” perd uniquement l’interet de la periode 3-6 mois. Eneffet, le ”rolleur” a au moins pu encaisser l’interet de la periode 0-3 mois. Dans cettesituation, le deux preteurs perdraient leur notionnel, mais seul le roller aura encaissede l’argent : l’interet de la periode 3-6 mois.

2) Il existe une possibilite de sortir au pair si les conditions de creditempirent

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Si l’on considere les meme preteurs, le roller se trouve dans une position plusavantageuse si la qualite de credit de l’emprunteur se degrade car il peut stopperson pret sans aucun cout apres 3 mois alors que le preteur sur 6 mois devra denouersa position a un cout qui aura deja incorpore au moment du denouement l’augmen-tation du risque de credit. D’un autre cote, si la qualite de credit de l’emprunteuraugmente, le preteur sur 6 mois sera dans une position confortable puisqu’il recevraun gain tandis que le preteur 3 mois sortira seulement au pair. Par consequent, legain attendu pour le preteur 3 mois compare au preteur 6 mois quand la qualite dela contrepartie se degrade est compense par la perte perdue lorsque celle-ci s’ameliore.

Cette compensation n’a en fait pas vraiment lieu en raison de la realite des mar-ches. En effet, denouer un contrat financier ne se fait pas si facilement sur les marches.Premierement, en raison de la fourchette demande-offre, le denouement ne peut passe faire a la juste valeur theorique. Deuxiemement, les banques sont assez refractairesa denouer leur position pour des raisons commerciales. En effet, la reputation de lacontrepartie a un impact important sur ses couts de financement. De plus, une de-gradation de la qualite de credit de l’emprunteur aurait des effets indirects sur lepreteur. Par exemple, si le rating perd de sa valeur, il peut y avoir egalement desconsequences negatives concernant la reglementation sur le capital et des craintesconcernant la solvabilite de la banque elle-meme pourraient survenir.

Par consequent, la probabilite que l’emprunteur sur 6 mois denoue sa positionest tres faible. Ce cas est possible uniquement lorsque l’on peut constater une perteen fair value, et quand la fourchette offre-demande est tres large. Ceci contredit leprincipe de compensation mentionnee ci-dessus et il est tres difficile de quantifier ceteffet.

3) Existe-t-il un avantage de liquidite pour le pret a 3 mois ?

Comme le rappelle Mercurio, Michaud et Upper dans l’article ”What drives in-terbanks interest rates ?” prouvent qu’il est tres difficile de dissocier les facteurs decredit des facteurs de liquidite lorsque le marche interbancaire (money market) esten crise. Le risque de liquidite est ici principalement un risque de financement. Lepreteur a court terme, i.e 3 mois, est donc avantage par rapport au 6 mois car ilpeut sortir au pair au bout de 3 mois s’il rencontre un souci de financement. Il sepeut tres bien que sa qualite de credit se degrade ou que ses couts de financementaugmentent. Cependant en appliquant les memes considerations que la partie 2),soit l’existence d’une compensation pour le gain ou la perte en fonction de la qualite

47

de la contrepartie, le preteur sur 6 mois est soit avantage soit desavantage en fonc-tion du prix pour denouer sa position. En toute logique si celui-ci est au dessus dupair, il est avantage. Neanmoins, on constate aussi que certains elements contredisentcette compensation. Le premier element est encore la fourchette offre-demande. Ledeuxieme, plus important, est le parti pris a l’egard du denouement quand celui-ciimplique une perte en fair value, mais ceci est vrai lorsque le denouement est exe-cute pour des raisons de credit uniquement (risque de credit de l’emprunteur) plutotque pour des raisons de financement (risque de credit du preteur). Dans le cas oule denouement concernerait des raisons de financement, le principe de compensationn’est plus applicable seulement si nous supposons une correlation entre les risques decredit du preteur et de l’emprunteur.

4) Il existe des anomalies sur le Libor

Sur le marche US, les praticiens ont constate que le Libor n’etait pas une indicationvalable pour les prets interbancaires durant la crise. La raison etant que le Liborn’etait plus representatif des vrais taux de pret constates a cette periode. En effet,toute banque contribuant au taux Libor et presentant un taux eleve prenait le risqued’etre percu comme une banque en besoin de liquidite, ce qui augmenterait son risquede credit et de liquidite. Pour eviter ce risque, les banques presentaient donc des tauxplus bas que les taux auxquelles elles traitaient en pratique. Cette idee est confirmeedans l’article de Michaud et Upper qui ont constate que les banques dont le risque decredit augmentaient - en etudiant le niveau des CDS - n’ont pour autant pas contribueun taux Libor plus eleve que les banques avec un risque de credit moindre. Ceci peutetre percu de deux manieres : soit le risque de credit n’avait pas d’impact sur lefinancement des banques contribuant au taux Libor soit le Libor ne refletait pas lereel cout de financement des banques en difficulte. Des accusations de manipulationde ce taux ont meme eu lieu recemment (2012) sur un grand nombre de banquesafin que celles-ci puissent maintenir les taux bas. On parle du scandale du Libor. Anoter que cette analyse est assimilable au marche Euro - donc a L’Euribor - mais aun degre moindre.

5) Les contributeurs au taux Libor peuvent changer

Si la qualite de credit d’une des banques contribuant au taux Libor est ameneea se degrader, ses taux de pret et d’emprunt ne seront plus representatifs et cettebanque sera retiree du panel de contributeur. La BBA (British Bank Association)s’est engage a reetudier son panel deux fois par an et a s’assurer que les banques du

48

panel soient les plus actives, expertes dans la devise du taux Libor concerne, aientune reputation reconnue par tous et que la qualite de leur credit soit elevee. La BBAdoit s’assurer que les ”meilleures”banques du moment soient dans le panel qui contri-bue au Libor. Par consequent, si l’on considere un preteur 12 mois et un ”rolleur”6 mois, le ”rolleur” 6 mois a l’avantage de pouvoir verifier si la banque/contrepartiea qui elle a prete de l’argent est toujours dans le panel des banques du Libor. Sice n’est plus le cas, elle a l’option de pouvoir changer de contrepartie tandis que lepreteur 12 mois ne peut pas. On peut donc en deduire que la probabilite de surviede l’emprunteur pour la jambe 6 mois durant la periode 6-12 mois est superieure acelle l’emprunteur pour la jambe 12 mois durant la meme periode (6-12 mois). Ceciexplique d’ailleurs (comme mentionne chapitre 3) pourquoi en moyenne la jambe dutenor court contient moins de risque de contrepartie que le jambe du tenor long.

Enfin, l’observation de l’effet ”changement de fin d’annee”qu’on observe sur l’ecartEuribor-OIS prouve qu’il y a plus de pression sur les tenors longs que sur les tenorscourts. Les comptes de resultat des entreprises etant annonce en fin d’annee, si celle-ci presente des mauvais chiffres, sa qualite de credit sera degradee. Pour un pret dematurite 12 mois, le preteur est donc inevitablement confronte a un risque de de-gradation de credit entre la date du pret et sa fin tandis que le preteur 6 mois peuteviter ce risque. La pression est donc accrue sur les tenors les plus longs.

Tous les arguments de 1) a 5) detailles ci-dessus justifient un ecart positif depoints de base a ajouter au tenor le plus court quand les flux sont repliques dans unswap de base collateralise sans risque de contrepartie 5

4.4 Ecart de taux entre differentes devises

Un swap de devise est tout simplement un echange de taux variable dans unedevise contre un taux variable dans une autre devise. Ce type de swap est tres utilepour convertir un pret d’une devise en une autre. Il existe deux types de swap de de-vise (SD) : un SD a nominal constant (SDNC) et un SD mark-to-market (SDMTM).Dans un SDNC, les deux contreparties s’echangent les nominaux au taux de changespot constate lors de la mise en place du swap et lors de sa fin dans les deux devises.Cependant, les praticiens traitent beaucoup plus souvent des SDMTM car les nomi-naux sont actualises a chaque date de paiement au taux de change spot actuel, cecireduit le risque de change present dans un SDNC. Le risque de change etant reduit

5. Solving the puzzle in the inverser rate market, Morini, p.23

49

dans un SDMTM, le risque de marche est isole et depend uniquement de la variationrelative d’un ecart de taux du SD. L’ecart de taux est ajoute a la devise la plusfaible dans un SD. La raison est expliquee dans l’article ”nterest Rate Parity, MoneyMarket Basis Swaps, and Cross-Currency Basis Swaps” de Tuckman et Porfirio.

En theorie, un SDNC qui echange une devise a un taux sans risque au jour lejour contre une autre a un taux sans risque au jour le jour devrait avoir une VANnulle etant donne que les deux jambes peuvent etre repliques par deux taux variablepayant un taux sans risque. Logiquement, payer 1 unite de la devise A au debut duswap, recevoir le taux sans risque liee a la devise A et recevoir une unite de deviseA a maturite doit valoir une unite de la devise A aujourd’hui. Par consequent, pourun flux en date d’aujourd’hui egal a la valeur initiale du nominal , le taux fixe et letaux d’actualisation sont les memes. C’est egalement le cas de maniere similaire pourl’autre jambe du swap ou cette fois-ci le nominal est determine par le taux de changespot. On en deduit donc que les deux taux variable traitent au par. C’est pour cetteraison que l’echange de deux taux au jour le jour sans risque est equilibre a la dated’aujourd’hui pour un SD.

En realite, les SD sur le marche s’echange des taux de reference tels que l’Euriborou le Libor. Tuckman et Porfirio definissent un SD de taux Libor comme un porte-feuille de trois swaps fictifs : un SD de taux sans risque au jour le jour, un swap debase du Libor domestique contre le taux au jour le jour equivalent (les deux tauxetant sans risque), et un dernier swap de base du Libor etranger (dans leur exemplel’Euribor) contre le taux au jour le jour equivalent (les deux taux etant sans risqueegalement). La figure ci-dessous represente un SD decompose pour les devises Euroet USD. Ceci montre que l’ecart de taux pour les SD vient de la difference entre lesstructures par termes d’ecart de credit entre les devises domestiques et etrangeres.Par exemple, si le Libor 3 mois domestique contient plus de risque de credit que leLibor 3 mois etranger, alors, dans un monde risque neutre, les flux de paiement duLibor domestique auront plus de valeur que les flux de paiement du Libor etranger.Par consequent, le Libor etranger plus un ecart traiterait a niveau egal au Libordomestique. (p.4)

A titre d’exemple, la figure 4.11 permet de constater l’ecart de taux qu’il s’estcree sur les SD depuis la crise. Celle-ci represente le SD 5 ans de l’Euro contre l’USD.On constate que l’ecart avant la crise etait infime, positif et quasi constant jusqu’a lafin de l’annee 2007. Puis celui-ci est devenu et reste negatif, large et bien plus vola-tile jusqu’a aujourd’hui. Il est interessant de remarquer que l’ecart le plus important

50

Figure 4.10 – Decomposition du SD selon Tuckman et Porfirio

Source : Pricing of Interest Rate Swaps in the Aftermath of the Financial Crisis

constate correspond a l’un de ces fameux ”changement de fin d’annee” : -66 pointsde base le 31/12/2011.

Le chapitre que nous venons d’etudier montre l’impact de la crise sur differentstaux avec une creation de differents d’ecarts de taux qui etaient inexistants en periodepre-crise. Ces evenements ont donc du modifier notre maniere d’evaluer les produitsfinancier et moderniser notre utilisation des outils financiers.

51

Figure 4.11 – Swap de devise Maturite 5 ans Euro contre USD

Source : Bloomberg

52

Chapitre 5

Etude theorique de l’approchemulti-courbe

Les ecarts de taux qu’on a pu constater durant la crise ont montre qu’il valaitmieux favoriser avec les IRS les paiements dont la frequence de paiement est pluselevee, on preferera un paiement semi-annuel plutot qu’un paiement annuel. Les pre-teurs exigent une compensation plus importante pour les periodes plus longues etles emprunteurs sont prets a payer cette compensation pour reduire le risque deliquidite quand ils veulent se financer a nouveau. Ce constat introduit une segmenta-tion 1, du marche des taux d’interet en sous-partie correspondants a des instrumentsde maturite OIS, 1M, 3M, 6M et 12M. Chaque taux de tenor sous-jacent contient sapropre dynamique, est defini par ses risques de liquidite et de credit intrinseques, etrepresente les differentes attentes et interets des intervenants de marche. Bianchettisouligne cependant que cette segmentation etait deja presente et assimilee par lespraticiens mais n’etait pas appliquee vu les ecart de taux de base quasi nuls.

L’approche mono-courbe etudiee lors du chapitre 3 ne peut plus s’appliquer al’univers post-crise car celle-ci ne prends pas en compte les ecarts de taux de basequi sont plus consequents qu’auparavant et par consequent ne sont plus negligeables.Comme ecrit ci-dessus, la segmentation n’etait pas non plus pris en compte dansl’evaluation des produits derives de taux. Une approche mono-courbe qui incorporedes sous-jacents avec differents tenors amene a de mauvais resultat car on y incor-pore differentes dynamiques et eventuellement les incoherences liees au differentessous-partie. Les prix obtenus sont donc moins stables et plus difficiles a interpreter.Enfin, dans un monde avec absence d’opportunites d’arbitrage, l’actualisation doit

1. ”Construction des courbes de taux a l’ere du resserrement du credit et au-dela”

53

etre unique : deux identiques flux futurs de cash doivent avoir la meme valeur actuellepeu importe leur origine. Malheuresement, il n’existe pas encore de theorie coherentesur la liquidite et le credit incorporee a la segmentation du marche des taux d’inte-rets. Celle ci expliquerait les raisons pour lesquelles les asymetries expliquees dansles sections precedentes ne menent pas necessairement a des opportunites d’arbitrageune fois que les risques de contrepartie et de liquidite sont pris en compte. Un cadred’evaluation incorporant ces risques est cependant tres dur a construire 2.

En pratique, une approche empirique a emerge sur les marches et prend en compteles divergences crees a cause de la crise en segmentant les taux de marche, en construi-sant autant de courbes forwards qu’il existe de tenor et generer les flux futurs associesau tenor du sous-jacent. On actualise ensuite via une unique courbe d’actualisation.”Supposer differentes courbes pour differents tenors invalident immediatement l’ap-proche d’evaluation classique, qui est fondee sur une courbe zero-coupon unique etentierement coherente, utilisee a la fois dans la generation des flux futurs et dans lecalcul de la valeur actuelle”3.

Divers theoriciens au travers de nombreux d’articles ont essaye de definir un cadred’evaluation pour les swaps en y incorporant les ecart de points de base du au tenorou aux devises. Le but de ce chapitre est d’introduire et d’etudier l’approche multi-courbe. Puis nous tenterons d’appliquer ce nouveau cadre d’evaluation pour obtenirune courbe de taux swap 3 mois actualisee a un taux OIS.

5.1 Replication du taux FRA incorporant l’ecart

de taux

Les ecarts qui se sont produits durant la these ont necessairement modifie le cadred’evaluation des produits derives de taux. Avant la crise, le rendement d’1 unite in-vestie sur une periode etait equivalent au rendement d’1 unite investie deux fois desuite sur une periode 6 mois. L’equation fondamentale utilisee dans l’approche mono-courbe n’est plus valable avec cette nouvelle approche :

F (t, Tn−1, Tn) =1

δn

(P (t, Tn−1)

P (t, Tn)− 1

)(5.1)

2. Bianchetti, p.83. Morini p.2

54

Le but de cette section est donc de repliquer les taux FRAs en incluant les primesde liquidite et de credit presentes dans les marches financiers. Nous avons vu le cha-pitre precedent que les swaps de base sont definis par deux swaps classiques avecune jambe fixe et une jambe variable. La jambe variable etant la meme et les jambesvariables etant differentes, et τn representant l’ecart de base de la longueur N entreles deux sous-jacents des deux jambes fixes de meme maturite. Il est equivalent deconsiderer un seul swap dont les deux jambes seraient variables et qui differeraientuniquement par leur frequence de paiement. Logiquement, l’ecart de base est sous-trait a la jambe dont la frequence de paiement est la moins elevee. Morini rappelle ajuste titre que les swaps sont des contrats collateralises qui ne sont pas impactes parle risque de defaut mais sont indexes a des taux Libor qui sont maintenant considerescomme risque (p.15)

Morini definit les frequences des deux jambes variables α pour le 6m et 2α pourle 12m. Cet exemple permet de pouvoir ensuite generaliser ce cas pour des tenors oudes maturites plus longues. Le prix d’un swap de base de maturite TN = 2α peutdonc se calculer de la maniere suivante :

TS(t, 2α, τ2α)

= Et[P (t, α)αL(t, α) + P (t, 2α)αL(t, α, 2α)− P (t, 2α)2α(L(t, 2α)− τ2α)]

= Et[P (t, 2α)αL(α, 2α)] + PE(t, α)α 1α

( 1PL(t,α)

− 1)− PE(t, 2α)2α( 12α

( 1PL(t,2α)

− 1)− τ2α)

= Et[P (t, 2α)αL(α, 2α)] + PE(t, α)( 1PL(t,α)

− 1)− PE(t, 2α)(( 1PL(t,2α)

− 1)− τ2α)

= Et[P (t, 2α)αL(α, 2α)]− PE(t, 2α)( 1PL(t,2α)

− 1− 2α− PE(t,α)PE(t,2α)

( 1PL(t,2α)

− 1))

(5.2)

PE represente le facteur d’actualisation sans risque qui dans la plupart cas peutetre estime comme le taux OIS (cf. section 4.2) et PL est le facteur d’actualisationLibor correspondant. Le prix du swap de base est trouve grace a l’esperance du fluxdu Libor correspondant actualise au taux sans risque. Morini definit ensuite K(τ2α)tel que :

K(τ2α) =

(1

PL(t, 2α)− 1− 2ατ2α −

PE(t, α)

PE(t, 2α)

(1

PL(t, α)− 1

))/α (5.3)

On peut donc en deduire que l’equation 5.2 peut etre reecrite de la manieresuivante :

55

TS(t, 2α, τ2α) = Et[P (t, 2α)αL(α, 2α)]− PE(t, 2α)K(τ2α)α (5.4)

Nous avons defini precedemment qu’il etait important de prendre l’impact de lacollateralisation sur le marche des FRAs. Celle-ci permet selon les praticiens d’eli-miner le risque de defaut. Par consequent, le flux du FRA doit etre actualise autaux d’actualisation sans risque. Morini defini ainsi la formule du FRA collateralise(P.14) :

FRACol(t, α, 2α,K) = Et[P (t, 2α)α(L(α, 2α)−K] (5.5)

On constate par analogie que le swap de base est egal au FRA collateralise lotsqueK = K(τ2α) et quand l’ecart de point de base est donnee par τ2α. Une autre analogieest possible entre le swap de base et le FRA dans la mesure ou ces deux produitsimpliquent un echange de deux jambes. Une jambe est deterministe et fixee aujour-d’hui pour les deux produits. Pour celle du FRA, son paiement se fait en date 2α.Pour le swap de base, la jambe fixe est determinee par le paiement de la jambe 2α ala date 2α moins le premier paiement de la jambe α. Il reste dont une jambe variablequi pour les deux contrats correspond au paiement L(t, α, 2α) a la date α.

Analysons maintenant K(τ2α) :

K(τ2α) =

(1

PL(t, 2α)− PE(t, α)

PE(t, 2α)

1

PL(t, α)+

PE(t, α)

PE(t, 2α)− 1− 2ατ2α

)/α

=1

PL(t, α)

(PL(t, α)

PL(t, 2α)− PE(t, α)

PE(t, 2α)

)+

(PE(t, α)

PE(t, 2α)− 1− 2ατ2α

)/α

= FE(t, α, 2α) +1

PL(t, α)(FL(t, α, 2α)− FE(t, α, 2α))− 2τ2α

= FL(t, α, 2α) +

(1

PL(t, α)− 1

)(FL(t, α, 2α)− FE(t, α, 2α))− 2τ2α

(5.6)

Lors de la mise en place d’un swap de base, la VAN de ce produit doit etrenulle. K(τ2α) doit donc repliquer le taux FRA en utilisant uniquement des facteursdeterministes. Le resultat ci-dessus nous permet de dire que le prix du FRA est justelorsque K = K(B(0, 2α)) ou (B(0, 2α)) represente la valeur d’equilibre pour l’ecartde base τ2α. Morini replique ainsi un taux FRA en incorporant le spread de base :

56

FB(0, α, 2α) = FL(0, α, 2α)+

(1

PL(t, α)− 1

)(FL(t, α, 2α)−FE(t, α, 2α))−2B(0, α, 2α)

(5.7)Dans la figure ci-dessous, nous pouvons voir que le taux FRA replique incorporant

l’ecart de base est indissociable du taux FRA de marche. On constate egalement quela replication ”classique” des taux FRA a beaucoup diverge des taux de FRA marcheen raison des ecarts de base mentionnes dans le chapitre 4. La replication classiqueavant la crise etait indissociable des taux FRA de marche.

Nous pouvons donc maintenant repliquer les taux FRA en incorporant les ecartsde base.

Figure 5.1 – Standard Replication vs. Basis-Consistent Replication, 6x12 MarketFRA

Source : Solving the puzzle in the interest rate market

57

5.2 Extension du cas des FRAs pour les swaps

L’analyse faite ci-dessus sur l’incorporation des ecarts de points de base dansl’evaluation des FRAs permet d’introduire l’evaluation des swaps apres la crise. Onetudiera en premiere partie les swaps sans collateral pour approcher en douceurla methode d’evaluation. Puis nous nous concentrerons sur les swaps collateralisesen portant une attention toute particuliere aux swaps de devise a nominal constant.Cette section se base sur les articles de Fujii, Shimada et Takashi. Ces auteurs utilisentcomme exemple de devise locale le Yen et en devise etrangere le Dollar tandis quenous utiliserons respectivement le Dollar et l’Euro.

5.2.1 Evaluation des swaps sans collateral

Cas 1 : Banque situee aux USA dont le financement est en Dollar

Nous avons pour rappel defini la formule des IRS, des SB et des SD dans lechapitre 2 :

IRS : CM

M∑m=1

∆mP (t, Tm) =M∑m=1

δm(Et[L(Tm−1, Tm)]P (t, Tm) (5.8)

SB :N∑n=1

δn(Et[L(Tn−1, Tn)] + τN)P (t, Tn) =M∑m=1

δm(Et[L(Tm−1, Tm)] + τm)P (t, Tm)(5.9)

SD :

(−P f (t, T0) +

N∑n=1

δfn(Eft [Lf (Tn−1, Tn)] + sN)P f (t, Tn) + P f (t, Tn)

)fx(t)

= −P (t, T0) +N∑n=1

δnEt[L(Tn−1, Tn)]P (t, Tn) + P (t, Tn)

(5.10)

Nous supposons ici que la banque est situee aux USA et considere le Libor 3 moiscomme son taux Libor d’actualisation. n et m representent respectivement les paie-ments trimestriels et semi-annuels 4. L’ecart de base se fait pour des tenors 3 mois et6 mois et le Dollar est la monnaie domestique dans le SD.

4. ”A note on Construction of Multiple Swap Curves with and without Collateral, p.5

58

On suppose ici que N = 2M et fx(t) represente le taux de change du Dollarcontre une devise etrangere a la date t. L’equation 5.1 permet avec le taux forward3 mois et le taux d’actualisation de reecrire l’equation 5.9 :

P (t, T0)− P (t, TN) + τN

N∑n=1

δnP (t, Tn) =M∑m=1

δmEt[L(Tm−1, Tm)]P (t, Tm) (5.11)

Eliminer les parties variables de l’equation ci-dessous et l’equation 5.8 devient :

CM

M∑m=1

∆mP (t, Tm)− τNN∑n=1

δnP (t, Tn) = P (t, T0)− P (t, TN) (5.12)

Grace aux equations ci-dessus et avec l’ensemble des facteurs d’actualisationP (t, T ) bien calcule et correctement interpole. On peut deduire les taux forwardsLibor 3 mois Dollars a partir de l’equation 5.1 et deduire egalement les taux for-wards Libor 6 mois Dollars a partir de l’equation 5.9. Enfin l’equation sur le SDpermet d’obtenir la courbe d’actualisation Euro et la courbe forward 3M Euro.

Comme l’on suppose que le taux Libor 3 mois Dollar est le taux d’actualisation,la partie gauche de l’equation doit etre nulle et peut etre reecrite ainsi (p.4) :

P f (t, T0)−P f (t, Tn)−bNN∑n=1

δfnPf (t, Tn) =

N∑n=1

δfn(Eft [Lf (Tn−1, Tn)]P f (t, Tn) (5.13)

De plus, nous avons une contrainte supplementaire vu qu’un IRS en Euro estdefini par la relation suivante :

CfN

N∑n=1

δfnPf (t, Tn) =

N∑n=1

δfn(Eft [Lf (Tn−1, Tn)]P f (t, Tn) (5.14)

De la meme maniere que precedemment, l’elimination des jambes variables pourles equations 5.12 et 5.13 nous permet d’aboutir a l’equation suivante (la partie droitede ces deux equations devient nulle) :

(CfN + bN)

N∑n=1

δfnPf (t, Tn) = P f (t, T0)− P f (t, Tn) (5.15)

59

Comme pour un swap de base, un ensemble P (t, T ) permet d’obtenir une courbed’actualisation a partir de laquelle on peut deduire les taux forwards Euribor 3 mois(a partir de l’equation 5.13). On notera qu’en utilisant un taux Libor domestique, lespread de base cross currency n’affecte pas les facteurs d’actualisation Dollar (cf. Eq5.12) alors que la courbe d’actualisation Euro depend non seulement des valeurs duswap EUR mais egalement de l’ecart de base dans le SD EUR/USD.

Cas 2 : Banque situee en Europe dont le financement est en Dollar

La prise en compte du spread de base du a une devise et un tenor differents estdifferente pour les banques non situees aux USA mais dont leur financement est enDollar et qui par consequent appliquent un taux Dollar comme taux d’actualisation.Ce cas est important a prendre en compte pour les grandes banques etrangeres dontle financement se fait egalement en Dollar. Le cas 2 etudie donc l’hypothese ou leLibor USD 3m est le taux d’actualisation du point de vue d’une banque Europeenne.

Les conditions initiales pour les IRS, SB et SD adaptees au Cas 2 peuvent etrereecrites de la maniere suivante :

IRS : CfM

M∑m=1

∆mPf (t, Tm) =

M∑m=1

δfm(Eft [Lf (Tm−1, Tm)]P f (t, Tm) (5.16)

SB :N∑n=1

δfn(Eft [L(Tn−1, Tn)] + τ fN)P f (t, Tn) =

M∑m=1

δfm(Eft [L(Tm−1, Tm)] + τm)P (t, Tm)f

(5.17)

SD :

(−P f (t, T0) +

N∑n=1

δfn(Eft [Lf (Tn−1, Tn)] + sN)P f (t, Tn) + P f (t, Tn)

)fx(t)

= −P (t, T0) +N∑n=1

δnEt[L(Tn−1, Tn)]P (t, Tn) + P (t, Tn)

(5.18)

Les variables N , M , τ fn et fx(t) sont analogues au cas 1.

60

Par transitivite de l’egalite pour les equation 5.16 et 5.17, nous obtenons :

CfM

M∑m=1

∆mPf (t, Tm) =

N∑n=1

δfn(Eft [LfTn−1,Tn

] + τ fN)P f (t, Tn)

CfM

M∑m=1

∆mPf (t, Tm)−

N∑n=1

δfnτfNP

f (t, Tn) =N∑n=1

δfn(Eft [Lf (Tn−1, Tn)]P f (t, Tn)

(5.19)

Le taux Libor 3 mois est toujours considere comme le taux d’actualisation, lapartie droite de l’equation 5.20 doit etre nulle et peut donc etre reecrite de la manieresuivante :

N∑n=1

δfn(Eft [LT fn−1,Tn

] + bN)P f (t, Tn) = P f (t, T0)− P f (t, Tn)

N∑n=1

δfnEft [LT fn−1,Tn

]P f (t, Tn) +N∑n=1

δfnbNPf (t, Tn) = P f (t, T0)− P f (t, Tn) (5.20)

Inserer l’equation 5.19 dans l’equation 5.20 revient a ecrire l’equation suivante :

CfM

M∑m=1

∆mPf (t, Tm) +

N∑n=1

δfn(bN − τ fN)P f (t, Tn) = P f (t, T0)− P f (t, Tn) (5.21)

De la meme maniere que pour le cas 1, on peut maintenant a partir de cetteequation deduire l’ensemble des facteurs d’actualisation P f (t, Tn). Ensuite, en utili-sant ces facteurs d’actualisation, on peut obtenir les taux forwards Euribor 6 moiset 3 mois a partir des equations 5.16 et 517. Les banques etrangeres peuvent doncevaluer en permanence, sous l’hypothese que le taux Libor Dollar 3 mois soit le tauxd’actualisation, les swaps Euro en incluant le swap de base Euro et le swap de deviseEUR/USD.

Dans l’article ”A Note on Construction of Multiple Swap Curves with and withoutcollateral”, Fujii, Shimada et Takashi expliquent que pour comprendre la relationentre les taux d’actualisation et les taux incluant les ecarts de point de base, il estutile d’utiliser l’approximation suivante :

61

∆fmP

f (t, Tm) w∆fm

2(P f (t, Tm − 3m) + P f (t, Tm)) (5.22)

En posant ∆fn = ∆f

m/2, l’equation 5.15 peut etre simplifiee :

N∑n=1

[∆fnC

fM + δfn(bN − τ fN)]P f (t, Tn) = P f (t, T0)− P f (t, Tn) (5.23)

Cette approximation montre que le taux swap incluant les ecarts de point de baseest different du taux swap classique dans la relation suivant :

CfM incl w Cf

M +δfn

∆fn

(bN − τ fN) (5.24)

Par consequent, meme si nous avons une position longue uniquement sur un IRSEuro classique, nous avons besoin de nous couvrir contre les sensibilites aux ecartsde base et de devise.

Impact du choix des taux d’actualisation

Que la banque soit localisee aux Etats-Unis ou a l’etranger, le choix du tauxLibor en tant que taux d’actualisation a inevitablement un impact sur les courbesd’actualisation, qui elles meme auront comme resultante differentes valeurs actuellesmeme pour le meme flux de paiement. Cette ambivalence reflete la difference descouts de financement des banques tout en permettant de l’arbitrage. Nous pouvonsdistinguer deux situations.

Prenons par exemple une banque situee aux Etats-Unis dont le rating est eleve etqui peut emprunter au taux Libor 3 mois USD sans aucun ecart de taux, on emploiegeneralement l’expression emprunter Libor 3 mois ”flat”. Il est donc adequat d’appli-quer ce taux en tant que taux d’actualisation. Les banques les plus importantes sefinancent souvent dans plusieurs devises differentes afin de, par exemple, proposer etemettre des produits de plusieurs devises aux diverses contreparties. Il est donc inte-ressant de se demander combien coute le fait d’emprunter dans une devise etrangereet si ceci peut etre plus avantageux. La banque pourrait emprunter du Dollar sur lemarche Dollar et entrer dans un SD EUR/USD afin de convertir le Dollar en Euro.Dans ce cas la banque recoit des paiements en Dollar du swap qui sont utilises pourrembourser l’emprunt en Dollar, ce qui implique un cout de financement de l’Euribor3 mois plus un ecart de base. Puisque, l’ecart de base EUR/USD est generalement

62

negatif (cf chapitre 4), la banque peut emprunter de l’Euro a un cout moins eleveque le marche Europeen domestique. Par consequent, la banque situee aux US quia acces au marche domestique Europeen est en mesure de propose des prets tout engenerant un profit.

L’autre situation est nettement plus desavantageuse. Considerons une banque dumeme rating mais situee en Europe. Celle-ci ne peut pas generer de profit en pretantau taux Euribor 3 mois flat sur le marche domestique vu que son cout de finance-ment est egalement l’Euribor 3 mois flat. Imaginons maintenant que cette banqueveut proposer des prets en Dollar a un taux Libor 3 mois USD a ses clients, la banqueaura cette fois-ci besoin d’emprunter en Euro et d’entrer dans une EUR/USD SD. Labanque paie le Libor 3 mois US a la contrepartie avec laquelle la banque est entreedans le swap (grace au remboursement des clients qui auront emprunte du Dollar)et recoit en retour l’Euribor 3 mois plus un ecart de base. Ceci est equivalent a direque la banque a propose des prets a un taux plus bas que son cout de financement acause de l’ecart de base EUR/USD negatif. La banque est donc dans une situationde perte pour ce cas.(Fujii, Shimada et Takashi, p.8)

Grace a ces deux situations, nous pouvons comprendre pourquoi chaque banquedoit choisir le taux de reference qui represente au mieux leur cout de financement.L’evaluation des produits financiers serait sinon biaise et ne representerait pas lavaleur exact de ces produits. Fuji, Shimada, et Takahashi attestent de la difficulte,dans la pratique, a trouver un accord sur le prix lorsqu’il faut clore un swap (car lesbanques actualisent leur cash flow en utilisant leur propre cout de financement). Lesauteurs insistent egalement sur le fait que la possibilite de se financer au sein de lameme banque a l’aide de differentes devises peut creer des situations d’arbitrage, ilfaut donc dans la mesure du possible eviter cette possibilite sur les marches finan-ciers 5. La prise en compte de l’ecart de base du aux devises dans le cadre d’evaluationpermet de s’assurer de l’asymetrie des couts de financements dans l’evaluation desswaps. (p.8)

5.2.2 Evaluation des swaps avec collateral

En raison de l’augmentation et de la place majeure qu’occupe le risque de creditces dernieres annees, de plus en plus d’operations financieres ont ete etablies avec desaccords de collateral. Les praticiens cherchent en effet a reduire leur exposition au

5. Cet arbitrage est encore plus marquant sur les marches emergents ou les ecart de base sontextremement larges (et negatifs)

63

risque de contrepartie.En 2012, 84% des transactions ont ete executes avec un accordde collateral contre seulement 30% en 2003 (ISDA). Ceci remet en question les fon-damentaux de la structure par terme de taux et l’actualisation au taux Libor pourles swaps collateralises. C’est l’une des raisons pour laquelle la plupart des banquesestiment qu’il faut utiliser le te taux OIS plutot que le taux Libor pour actualiserles flux de paiement futurs 6. Nous allons voir dans cette section que l’existence decollateral reduit non seulement le risque de credit mais change de maniere significa-tive les couts de financement, ce qui a un impact non negligeable sur l’evaluation desswaps.

Avant d’entrer dans les details mathematiques, definissons tout d’abord ce qu’estun swap collateralise. Dans un swap collateralise, le collateral est donne a la contre-partie qui a une valeur actuelle positive sur le contrat et celle-ci, pour compenser,doit payer une marge appele le ”taux de collateral” sur le collateral du au payeur.Dans la plupart des cas, le collateral est en devise de pays developpes tels que l’Euro,le Dollar et le yen et le taux de collateral est le taux OIS correspondant a la devise,par exemple l’EONIA pour l’Euro. L’evaluation des swaps collateralises est confronteaux probleme d’asymetrie du au risque de credit que nous avons mentionne ci-dessus.Fuji, Shimada et Takahashi supposent, pour gerer ce probleme, une collateralisationen liquide continue et parfaite avec un montant seuil de zero. En d’autre termes,le collateral est echange en permanence et le montant echange en liquide represente100% de la valeur actuelle du contrat. Cette hypothese est assez proche de la realitedans la mesure ou l’ajustement sur le collateral se fait de plus en plus de manierequotidienne. Cette simplification permet de negliger le risque de contrepartie et deretrouver la symetrie des paiements de collateral. On peut par consequent decompo-ser les flux de paiement d’un swap collateralise et les traiter en tant que portefeuillede jambes de paiements independantes.

La suite de la these s’inspire grandement de l’article de Fujii, Shimada et Takashiqui ont publie un article sur la construction des courbes swaps avec et sans colla-teral. Considerons un processus stochastique sur le compte de collateral V (t) avecune strategie auto-financee appropriee sous la mesure de probabilite risque-neutre.Puisque l’on peut investir le collateral recu au taux d’interet sans risque mais quel’on a besoin de payer le taux de collateral, le processus du compte de collateral estdonne par la formule suivante

dV (s) = y(s)V (s)ds+ a(s)dh(s) (5.25)

6. ”Construction des courbes de taux a l’ere du resserrement du credit et au-dela”

64

y(s) = r(s)− c(s) represente la difference entre le taux sans risque r(s) et le tauxde collateral c(s) dans la monnaie domestique au temps s,h(s) est la valeur du produitderive au temps s arrivant a maturite a la date T avec le flux de paiement h(t), a(s)etant le nombre de positions sur h. Integrer l’equation ci-dessus nous donne :

V (T ) = e∫ Tt y(u)duV (t) +

∫ T

t

e∫ Ts y(u)dua(s)dh(s) (5.26)

La strategie definie par Fujii, Shimada et Takahashi (collateralisation continue etparfaite, montant seuil de zero) est definie par :

V (t) = h(t)

a(s) = e∫ st y(u)du (5.27)

et nous permet de reecrire l’equation 5.26 de la maniere suivante :

V (T ) = e∫ Tt y(s)dsh(t) (5.28)

La valeur actuelle de h(t) est donc donne par la relation suivante :

h(t) = EQt

[e−

∫ Tt (r(s)−y(s))dsh(T )

]= EQ

t

[e−

∫ Tt (c(s))dsh(T )

](5.29)

Ici, EQt [] represente l’operateur esperance sous la mesure de probabilite Q a date

t.Considerons maintenant le cas ou le collateral est donne dans une devise etrangere.

Le processus du collateral V f s’ecrit donc

dV f (s) = yf (s)V f (s)ds+ a(s)d[h(s)/fx(s)] (5.30)

fx(s) represente le taux de change a la date s et yf (s) = rf (s)− cf (s) representela difference entre le taux sans risque et le taux de collateral de la devise etrangere.De la meme maniere que precedemment, integrer l’equation ci-dessous nous donne :

V f (T ) = e∫ Tt yf (u)duV f (t) +

∫ T

t

e∫ Ts yf (u)dua(s)d[h(s)/fx(s)] (5.31)

La strategie pour un collateral donne dans une devise etrangere est definie par :

V (t) = h(t)/fx(t)

a(s) = e∫ st y

f (u)du (5.32)

65

Ce qui donne :

V f (T ) = e∫ Tt yf (s)dsh(t)/fx(t) (5.33)

La valeur actuelle du derive dans la devise domestique est donc donnee par :

h(t) = V f (t)fx(t) = EQt

[e−

∫ Tt (r(s)dsV f (T )fx(T )

]= EQ

t

[e−

∫ Tt r(s)ds(e

∫ Tt (rf (s)−cf (s))dsh(T )

](5.34)

Nous pouvons constater avec les resultats ci-dessus que l’actualisation au tauxLibor n’est pas appropriee pour l’evaluation des swaps collateralises. Comme nouspouvons le voir avec l’equation 5.29, il faut actualiser les flux de paiement futurs avecle taux de collateral. Sur les marches a risque, le taux de collateral pour une deviseequivalente peut etre beaucoup plus bas que le taux Libor. Le constat est le memelorsque le collateral est donne dans une devise etrangere, la seule difference etantque le collateral gagne le taux sans risque etranger moi le taux de collateral etrangercontrairement aux taux domestiques.

On peut egalement analyser ces resultats en termes de cout de financement. D’uncote, considerons le cas ou un flux de paiement est recu a une date future, i.e le swapa une valeur actuelle positive. La contrepartie donne immediatement le collateral surlequel le receveur paie le taux de collateral et rend le montant total a la fin. Ceciest analogue a un pret alloue de la part du payeur du collateral, ou le financementde la position se fait au taux de collateral. D’un autre cote, dans le cas cas ou leflux de paiement est paye a une date future, i.e valeur actuelle negative, le collateralnecessaire donne peut etre considere comme un pret fourni a la contrepartie au memetaux. Par consequent, en comparaison avec les swaps non collateralises, i.e finances autaux Libor, la contrepartie recoit plus lorsque la valeur actuelle est positive puisqueon peut financer le pret a un cout peu cher, mais perd plus dans le cas d’une valeuractuelle negative du au taux de rendement plus faible du pret fait au client.

Comme ecrit precedemment, il est important de determiner une courbe d’actuali-sation fondee sur les taux au jour le jour pour l’evaluation des swaps de collateral. Ilest tres pratique ici d’utiliser le taux OIS que l’on trouve sur les marches. Si l’on sup-pose ici le taux OIS est continument et parfaitement collateralise avec un seuil zero,et que l’on approxime la capitalisation quotidienne avec une capitalisation continue,la condition de l’OIS peut etre obtenue de l’equation 5.X tel que :

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SN

N∑n=1

∆nEQt [e−

∫ Tnt (c(s))ds] =

N∑n=1

EQt [e−

∫ Tnt (c(s))ds(e

−∫ TnTn−1

(c(s))ds − 1)] (5.35)

SN represente le taux de swap au pair a la date t et de longueur N , et c(t) est letaux au jour le jour a la date t. On peut simplifier l’equation ci-dessus :

OIS : SN

N∑n=1

∆nD(t, Tn) = D(t, T0)−D(t, Tn) (5.36)

En definissant le facteur d’actualisation du taux de collateral :

D(t, T ) = EQt [e−

∫ Tnt (c(s))ds] (5.37)

De la meme maniere que precedemment, obtenir l’ensemble des facteurs d’ac-tualisation D(t, T ) est obtenue par une bonne interpolation. Obtenir les facteursd’actualisation a partir des taux de collateral est utile pour les differents taux Liborforwards (cf. section suivante). Nous assumons ici que le marche des swap OIS estdisponible jusqu’a la maturite necessaire.

5.2.3 Cas des swaps de devise collateralises avec nominalconstant

Nous avons vu dans la section precedente comment evaluer un swap mono-deviseavec collateral. Le cas est beaucoup plus delicat lorsque le swap collateralise se faitdans deux devises differentes. Nous avons vu precedemment qu’on distinguait deuxtypes de swaps de devise : les SDNC et les SDMTM. Nous nous concentrerons uni-quement dans cette these sur l’approche multi-courbe concernant les SDNC.

Dans un SDNC, calculer les taux forwards est plus complique dans la mesureou il faut prendre en compte au meme moment a la fois le taux sans risque et letaux collateral. Le but de cette section est de determiner une structure par terme detaux avec le SDNC comme instrument de calibration. Actuellement, le Dollar est tresutilise en tant que collateral pour les produits comprenants plusieurs devises (Fujii,Shimada et Takashi, p.12).

Pour la suite de la section, nous noterons D(t, T ) le facteur d’actualisation faisantreference au taux de collateral c tandis que P (t, T ) est le facteur d’actualisation

67

faisant reference au taux sans risque r. Pour faciliter le probleme, nous consideronsle taux Fed-Fund, qui est le taux de collateral pour le Dollar, en tant que taux sansrisque. Cette hypothese implique que le taux d’actualisation domestique, i.e le Dollar,soit defini par :

D(t, T ) = EQt [e−

∫ Tnt (c(s))ds] = EQ

t [e−∫ Tnt (c(s))ds] = P (t, T ) (5.38)

Les conditions necessaires pour un swap en Dollar collateralise en Dollar sontdonnes par :

OIS : SN

N∑n=1

∆nD(t, Tn) = D(t, T0)−D(t, TN) (5.39)

IRS : CM

M∑m=1

∆mD(t, Tm) =M∑m=1

δmEct [L(Tm−1, Tm)]D(t, Tm) (5.40)

SB :N∑n=1

δn(Ect [L(Tn−1, Tn)] + τN)D(t, Tn) =

M∑m=1

δmEct [L(Tm−1, Tm)]D(t, Tm)

(5.41)

De maniere equivalente, les conditions necessaires pour un swap collateralise etdont la denomination est dans une devise etrangere sont :

OISf : SfN

N∑n=1

∆fnD

f (t, Tn) = Df (t, T0)−Df (t, TN) (5.42)

IRSf : CfM

M∑m=1

∆fmD

f (t, Tm) =M∑m=1

δfmEcf

t [Lf (Tm−1, Tm)]Df (t, Tm) (5.43)

SBf :N∑n=1

δfn(Ecf

t [L(Tn−1, Tn)] + τ fN)Df (t, Tn) =M∑m=1

δfmEcf

t [Lf (Tm−1, Tm)]Df (t, Tm)

(5.44)

D(t, T ) et Df (t, T ) sont utilises en tant que numeraires respectivement sous lesoperateurs esperance Ec

t [] et Ecf

t []. On peut donc maintenant trouver les taux d’ac-tualisation D(t, T ) et Df (t, T ) a partir des conditions sur les taux OIS et ensuitetrouver les taux forwards Libor.

68

Maintenant, considerons un swap de devise etrangere collateralise avec du cashen Dollar, l’equation 5.x appliquee a ces conditions devient :

N∑n=1

δfn(E[tL(Tn−1, Tn)] + bN)P (t, Tn)− P (t, T0) + P (t, TN) = VN (5.45)

ou

VN =

N∑n=1

δnEct [L(Tn−1, Tn]D(t, Tn)−D(t, T0) +D(t, TN)

fxt (5.46)

Comme nous pouvons le voir, il est impossible de determiner les taux d’actuali-sation etrangers P f (t, Tn) et les taux forwards Libor Ef

t [Lf (Tn−1, Tn)] uniquement apartir de cet ensemble de swaps standards. On a donc besoin d’obtenir des informa-tions supplementaires a partir des IRS et des SB de devise etrangere collateralise enDollar eventuellement disponibles sur le marche. Les informations supplementairesnous donnerait :

IRS : CfM

M∑m=1

∆fmP

f (t, Tm) =M∑m=1

δfmPf (t, Tm)Ef

t [Lf (Tm−1, Tm)] (5.47)

SB :N∑n=1

δfn(Eft [L(Tn−1, Tn)] + τ fN)P f (t, Tn) =

M∑m=1

δfmEft [Lf (Tm−1, Tm)]P f (t, Tm)

(5.48)

Ici, CfM et τ fN representent les taux au pair des swaps de devise etrangere mais

collateralise en Dollar et il est important de les dissocier de CfM et de τ fN qui sont

les taux au pair des swaps de devise etrangere collateralises dans cette meme devise.Comme vu precedemment, eliminer les jambes variables des equations 5.47 et 5.48et remplacer l’expression dans l’equation 5.45 nous donne :

N∑n=1

δfn(bN − τ fN) + CfM

M∑m=1

∆fmP

f (t, Tm)− VN = P f (t, T0)− P f (t, TN) (5.49)

L’equation 5.50 permet de trouver l’ensemble des taux d’actualisation P f (t, T ) etles taux forwards Libor US en appliquant une methode d’interpolation convenable.

69

Cependant, il peut etre difficile d’obtenir la cotation des swaps de devise etrangerepeu populaire collateralises avec du Dollar US. Il se peut donc qu’on ne puisse pasutiliser les equations 5.47 et 5.48 pour la construction de la courbe. Une approchealternative pour pouvoir outrepasser ce probleme serait de considerer que :

Eft [Lf (Tn−1, Tn] = Ecf

t [Lf (Tn−1, Tn] (5.50)

Cette hypothese est raisonnable si les proprietes dynamiques du taux sans risqueetranger et du taux de collateral sont similaires l’un avec l’autre (Fujii, Shimada etTakashi, p.13). Si l’on neglige la correction due au changement de numeraire, on peutdeterminer l’ensemble des taux forwards a partir de l’equation 5.45.

Enfin, il est egalement possible pour un swap US d’etre collateralise dans unedevise etrangere. Il est important de noter que l’approche serait totalement differentede celle que nous avons employe car le taux sans risque etranger et le taux de collateralne peuvent pas etre consideres comme egaux.

5.3 Determination des courbes d’actualisation

On peut utiliser les taux OIS du tableau ci-dessous afin de determiner l’en-semble des facteurs d’actualisation D(t, T ) ou l’on considere comme devise domes-tique l’Euro. Ce facteur est determine a partir des relations suivantes :

D(t, TN) =1− SN

∑N−1n=1 δnD(t, Tn)

1 + SNδN(5.51)

La courbe d’actualisation est sur le graphe ci-dessous. Nous calculons les tauxjusqu’a une maturite 10 ans pour les taux swaps EONIA.

70

Table 5.1 – Taux EONIA 15 Octobre 2012

Maturite Date de debut Date de fin EONIA(%)

1Y 17 Oct 2012 24 Oct 2012 0.07942Y 17 Oct 2012 24 Oct 2012 0.13943Y 17 Oct 2012 24 Oct 2012 0.25184Y 17 Oct 2012 24 Oct 2012 0.41705Y 17 Oct 2012 24 Oct 2012 0.61806Y 17 Oct 2012 24 Oct 2012 0.82267Y 17 Oct 2012 24 Oct 2012 1.01398Y 17 Oct 2012 24 Oct 2012 1.18549Y 17 Oct 2012 24 Oct 2012 1.33610Y 17 Oct 2012 24 Oct 2012 1.4658

Source : Bloomberg

Figure 5.2 – Courbes des facteurs d’actualisation EONIA

71

5.4 Application : Construction d’une courbe swap

IRS 3M Euro actualisee au taux EONIA

La construction de cette courbe se fait en plusieurs etapes :

1) Determination des taux forwards 3M

2) Determination des facteurs d’actualisation OIS

3) Determination des taux swaps 3 mois actualises au taux OIS

5.4.1 Determination des taux forwards 3M

Les taux forwards 3 mois sont calcules a partir des taux swaps 3 mois de la Table3.4. Pour se faire, on determine les facteurs d’actualisation grace a l’equation 5.51. Onpeut ensuite comme pour l’approche mono-courbe determiner les taux zero-couponafin d’avoir une homogeneite pour les maturites du swap. On interpole ensuite lestaux ZC afin d’obtenir au final une courbe de facteurs d’actualisation interpolee. Onpeut donc ensuite deduire les taux forwards 3 mois. Ci-dessous se trouve une captured’ecran du fichier Excel qui montre la determination des taux forwards 3 mois.

5.4.2 Determination des facteurs d’actualisation OIS

La determination des facteurs OIS se fait de la meme maniere que la determi-nation des facteurs d’actualisation des taux swaps 3 mois. Ci-dessous se trouve unecapture d’ecran du fichier excel qui montre la determination des facteurs d’actuali-sation OIS.

5.4.3 Determination des taux swaps 3 mois actualises autaux OIS

Pour la troisieme etape, on doit employer le processus inverse et fonctionner pariteration pour determiner les taux swaps 3 mois actualises au taux OIS, i.e au tauxdu collateral. On peut deduire les taux swaps a partir de l’equation suivante :

N∑n=1

∆nCnD(t, Tn) =N∑n=1

F (t, Tn−1, T )δnD(t, TN) (5.52)

72

Figure 5.3 – Etapes Construction Courbe Forward

Grace a Excel, on peut donc deduire les taux swaps 3 mois actualises au tauxEONIA.

73

Figure 5.4 – Etapes Construction Facteurs d’actualisation OIS

Table 5.2 – Taux swap 3 mois actualise au taux EONIA

Maturite IRS 3M OIS(%)

1Y 0.2622Y 0.3323Y 0.4535Y 0.8286Y 1.0327Y 1.2208Y 1.3909Y 1.53610Y 1.653

74

5.4.4 Comparaison des taux swaps 3M Euribor 3M et EO-NIA

On constate dans le graphique ci-dessous l’importance d’un passage a une ac-tualisation OIS plutot qu’Euribor. Les ecarts crees a cause de la crise sont la causeprincipale des ecarts de taux entre ces deux actualisations differentes. Bien que sur lescourbes du 15 octobre 2012 la difference ne soit pas flagrante, elle est tout de memenon negligeable et cet ecart de points de base a des consequences importantes surdes operations de montant important. L’impact de la collateralisation est egalementimportant et est developpe dans la partie ci-dessous. Cet ecart est egalement la caused’un travail colossal de la part des banques pour passer d’une actualisation Euribor3M a EONIA et ont realise un travail important sur les strategies de couvertures carles produits collateralises etaient mal valorises.

Figure 5.5 – Comparaison Swaps 3M EONIA et 3M Euribor

75

5.5 Importance du spread de base et la collatera-

lisation sur l’evaluation des swaps

Il nous reste a present a preciser l’importance du spread de base et de la collate-ralisation dans le nouveau cadre d’evaluation incorporant de multiple courbes.

5.5.1 Importance du spread de base

Fujii (p.17) detaillent l’importance d’une construction de courbe appropriee. Onpourrait en effet se demander en quoi un ”relativement petit” ecart de base pourraitnecessiter tant de complications et de contraintes (passage d’une courbe a plusieurs).La premiere idee est en effet de penser que l’ecart de base affecte la valeur actuelle(gain/perte) d’un produit derive (d’une contrepartie) par la proportion :

tailleduspread

niveaudutauxdinteret(5.53)

Ce n’est cependant pas du tout le cas puisque le gain ou la perte dependentuniquement du changement de taux d’interet. Les consequences pourraient etre de-sastreuses pour les contreparties entrant dans un swap sans prendre en compte l’exis-tence des ecarts de points de base qui se sont crees. L’existence de ces spreads ontun impact sur les cotations markt-to-market des produits derives a travers deux che-mins :

1) Changement des forwards sur les taux Libor

2) Changement du taux d’actualisation

Nous allons maintenant expliquer l’importance d’une construction d’une courbecoherente et les effets des ecarts de points de base a travers deux exemples.

Supposons une banque qui vend des produits structures sans prendre en compteles ecart de points de base (bps). La banque paie le flux du produit financier et sefinance en contrepartie au taux Libor (plus un ecart de bps en fonction du risquede credit/CDS de la banque). On suppose ici que les sources de financement de labanque sont le Libor 3M USD et le Libor 6M USD en fonction de la demande duclient. Si la banque construit sa courbe de taux dans un cadre mono courbe en sebasant sur une frequence semi-annuel , la courbe forward 3m et 6m proviennent dumeme taux spot et le spread implicite 3m contre 6m est alors quasiment nul. Dans ces

76

conditions, la banque surestime grandement la valeur du financement avec le Libor3m USD. L’impact peut etre estime en convertissant les flux de paiement du Libor3 mois en Libor 6 mois en entrant dans un swap de base ou la banque paie le Libor3 mois plus un ecart de bps. La perte de la banque peut donc etre estimee a

Perte w Nominal restant du x PV01 (duration moyenne) x Ecart de base 3mcontre 6m

ou la PV01 represente l’annuite du swap, soit la somme des facteurs d’actualisa-tion fois le nombre de jours fractionnes. Si l’on suppose que la duration moyenne est10 ans et que l’ecart de base est de 10 points de base, la perte serait d’environ 1%,ce qui est loin d’etre negligeable. De plus, si la banque est active sur le marche desIRS, l’impact potentiel pourrait etre pire. Vu que la banque ne prend pas en comptel’ecart de base 3m contre 6m, les tradeurs seraient propices a entrer dans un swapou il recoit le Libor 3 mois etant donne qu’ils peuvent proposer des taux swaps trescompetitifs (a cause justement de la mauvaise evaluation de la part de la banque)tout en faisant du profit (p.18).

Le changement de taux d’actualisation est tres important lorsque l’on prend cor-rectement la collateralisation en compte, notamment pour les SD ou les echanges denotionnel se font a maturite. Si l’on suppose un ecart de 10 points de base entre leLibor et l’OIS, la valeur actuelle du paiement du nominal dans 10 ans serait diffe-rente d’environ 1% de son nominal. L’impact de la difference entre le taux Libor etle taux de collateral peut etre gigantesque. La valeur des produits qui dependent del’actualisation sont grandement influences lorsque les ecart de base sont larges. Cequi donne une difference non negligeable entre les facteurs d’actualisation au tauxLibor et au taux sans risque.

Les deux effets ci-dessus illustrent bien l’importance de l’incorporation de l’ecartde base dans l’evaluation des produits derives dont les swaps.

5.5.2 Importance de la collateralisation

L’autre point fondamental dans l’evaluation des IRS est la collateralisation. Chris-topher Wittall ecrit un article a ce sujet 7 dans lequel il explique que la plupart desbanques sont maintenant d’accord pour utiliser les taux OIS pour actualiser les flux

7. ”Dealing with funding on Uncollateralised Swaps”

77

de paiement futur des swap collateralises et qu’au contraire les swaps non collatera-lises doivent en theorie etre actualises au cout de financement des banques. Ceci estloin d’etre simple et rend la standardisation quasiment impossible. ”Si chaque banqueactualise ses flux de paiement en utilisant leur propre financement, le meme swapn’aura pas la meme valeur d’une banque a une autre. 8”

La difference peut etre considerable. En theorie, une banque qui se finance a uncout eleve, i.e risque de credit important, donnera au client dans le cadre d’un swapnon collateralise un taux fixe plus faible qu’une banque se financant a un cout faible.Un client recevant le taux fixe prefererait traiter avec une banque dont le rating esteleve mais prefererait cependant traiter avec une banque d’un rating faible lorsqu’ilpaye le taux fixe. Il serait donc important de reduire la disparite entre les contrepar-ties collateralises et non collateralises.

La plupart des produits emis avec le CSA contiennent des seuils qui exigent dela contrepartie de placer du collateral si l’un des seuils est atteint. Cette partie op-tionnelle complique l’evaluation des IRS puisque la banque doit utiliser son proprecout de financement en tant que taux d’actualisation jusqu’au moment ou la valeurde marche du swap atteigne le seuil. Le taux OIS sera a partir de ce seuil utilise entant que taux de collateral. Pour clarifier, un seuil bas va de pair avec un taux deswap de plus important. En effet, l’actualisation se faisant au cout de financement dela banque jusqu’au seuil limite, un seuil limite plus eleve augmenterait le cout totalde financement et reduirait le taux de swap.

On comprend ici l’importance de la collateralisation dans l’evaluation post-crisedes taux de swaps car son principe contient beaucoup de facteurs : seuil limite,parametres du CSA et type de collateral.

8. Cristophe Coutte, deputy global head of flow, fixed income and feign exchange, Societe Ge-nerale CIB

78

Chapitre 6

Perspectives

Le but de ce chapitre est de tenter d’etablir une critique sur tout ce qui a eteecrit auparavant, avant d’evoquer la mise en pratique du nouveau cadre d’evaluationet de terminer avec une ouverture qui nous permettrait d’aller encore plus loin dansl’evaluation des swaps et des produits derives en general.

6.1 Critique de la these

D’un point de vue theorique, le but etait principalement de presenter les formuleset montrer comment evaluer dans un cadre post-crise les swaps de taux d’interet.Nous nous sommes focalises uniquement sur la resolution de ce probleme et certainsestimeront que l’on aurait pu approfondir certains aspects tel que l’ajustement deconvexite sur les futures pour la construction de la structure par terme de taux sur lapartie moyenne. Le choix de la methode d’interpolation est egalement discutable dansla mesure ou il existe actuellement des methodes plus abouties que l’interpolationcubique (dont les resultats sont neanmoins tres satisfaisants) tels que la techniquemonotone convexe spline (Hagan et West). Nous avons choisi d’opter pour une tech-nique d’interpretation connue, approuve par tous et simple a utiliser. Enfin, le choixde traiter uniquement des SDNC et non des SDMTM est critiquable mais nous avonsfavorise un seul type de swap afin d’approfondir son etude. De plus l’evaluation desSDMTM est bien plus complexe et obtenir des taux swap actualises a un taux EO-NIA serait plus complique. De meme, nous aurions pu egalement nous interesser pourla construction de la courbe a d’autres taux d’actualisation tels que l’Euribor 6 moisou 12 mois mais nous avons decide de mettre en avant la methode plutot que deproposer plusieurs resultats qui meneraient de toute maniere a la meme conclusion.Les conditions sur les swaps de base peuvent en effet etre attribues a d’autres tenors.

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D’un point de vue pratique, il existe plusieurs parametres qui auraient permisd’affiner les differentes courbes de cette these. Le choix de ne pas prendre en compteles futures mais uniquement les FRAs ne permet pas d’avoir la structure par termede taux la plus optimale sur la partie moyenne de la courbe. De plus, La disponibi-lite et les acces au donnees ont intrinsinquement limite l’analyse de cette these. Parexemple, la courbe swap est limitee a une maturite 10 ans vu que les taux Euro OISne sont pas disponibles pour toutes les maturites superieures. L’impact de l’effet dechangement d’annee a ete egalement negligee car il est tres difficile de le quantifieret les donnees pour le calculer precisement sont assez limitees. Enfin, la liquidite desproduits est egalement a remettre en cause car beaucoup de produits derives sonttraites sur le marche de gre a gre et les informations sur ce marche sont souventprives donc rares.

6.2 Mise en pratique

Tout d’abord, cette these a montre qu’il etait maintenant obsolete d’utiliser uncadre mono-courbe pour l’evaluation des produits derives notamment les swaps. Lesprix ne seraient pas corrects et la contrepartie utilisant ce systeme prendrait memebeaucoup de risque en negligeant les differents ecarts de points de base. Il est impor-tant de dissocier les courbes d’actualisation et les courbes forwards afin d’implementerune surface de courbe permettant de mieux evaluer les produits derives.

Pour l’evaluation des produits non collateralises, Whittal rappelle que les fluxde paiement futurs doivent etre finances au taux auquel la tresorerie est capabled’emprunter sur le marche. Les banques doivent donc etablir une unique courbed’actualisation par devise. Il est egalement tres important de noter qu’il doit exis-ter une courbe d’actualisation par devise par contrepartie. La courbe sera en effetdifferente en fonction du risque de credit ou du niveau de CDS de la contrepartie sicelui-ci est disponible.

La devise du collateral pouvant varier, Whitall emet une idee interessante quiconsisterait en une separation des differents books pour chaque devise ou une divi-sion des books collateralises en plusieurs paniers. A titre d’exemple, les contrepartiesavec des CSAs autorisant uniquement de poster en Euro irait dans le panier tauxEONIA. Cependant, nous n’avons pas evoque dans cette these le cas ou le collateralne serait pas du cash. Celui-ci pourrait tres bien etre dans certains cas des actions ou

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des obligations. La construction des courbes et l’evaluation des swaps serait impacteepar ce changement de collateral et il faudrait etablir des modeles plus avances pouraboutir a un resultat concluant.

A l’avenir, avec l’augmentation importante des operations collateralisees, on peutesperer pouvoir standardiser la plupart des derives. Le marche, notamment les petitesinstitutions, aurait l’avantage de travailler dans un cadre commun et garantirait unetransparence plus importante sur l’evaluation des produits.

6.3 Ouverture

Les hypotheses simplificatrices sur les ecarts constants et homogenes dans letemps entre les courbes d’actualisation et les courbes indexees au Libor peuventmener a des problemes eventuellement importants. Fujii, Shimada et Takahashi ex-pliquent d’ailleurs que lorsque les conditions de credit sont etroites, la dynamique destaux au jour le jour des banques centrales et les courbes indexees au Libor peuventgrandement diverger. Les memes auteurs evoquent ainsi l’importance d’un modelequi pourrait gerer plusieurs courbes dynamiques avec une calibration pratique.

Nous avons egalement mentionne au cours de cette these que les differentes pos-sibilites de couverture n’etaient pas le sujet fondamental et avons prefere ne pasen parler. Bianchetti considere notamment que le calcul de la sensibilite au deltad’un portefeuille constituee de plusieurs produits derives de tenors differents est unecompsante importante dans le cadre d’evaluation.

Enfin, nous nous sommes interesses uniquement ici a l’evaluation des produitsderives de taux d’interet notamment les swaps car le nombre d’articles sortis sur leurevaluation a l’aide du multicurving nous a permis d’ecrire une these concluante ace sujet. On pourrait egalement penser a etudier l’impact de l’ecart OIS-Libor surd’autres classes d’actifs tels que les derives de credit ou les derives sur action.

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Chapitre 7

Conclusion

L’objectif de la these a ete de montrer comment evaluer un swap d’interet de tauxapres la crise financiere. Les ecarts de points de base, consequences de la crise finan-ciere, ont en effet modifie l’evaluation des produits derives de taux donc les swaps.

La premiere partie de la these servait a presenter l’evaluation pre-crise de diffe-rents swaps, notamment les swaps de base et les swaps de devise. Nous avons puy voir les differentes etapes de construction de la structure par terme de taux enselectionnant les instruments les plus liquides en fonction des maturites : les tauxde depot pour les maturites courtes, les taux FRAs pour les maturites moyennes etles taux swaps pour les maturites longues. L’interpolation entre les taux spots clesest primordiale afin de de pouvoir determiner un taux spot pour toutes les maturi-tes existantes. Bien qu’il existe des methodes d’interpolation plus abouties tels quel’interpolation convexe monotone, le choix d’une interpolation cubic spline donnedes resultats amplement suffisants et est tres utilise par les praticiens. Le problemedu cadre d’evaluation pre-crise, fondee sur la structure par terme de taux, ne prendpas en compte les risques de credit et de liquidite pour chaque tenor. Les courbesforwards induites n’integrent donc pas correctement le risque inherent a chaque tenor.

La deuxieme partie de la these a servi de lien entre les evaluations pre et post-crisecar il y est detaillee les differents ecarts de points de base survenus depuis la crise de2007. Les ecarts constates entre les differents taux etaient negligeables voire inexis-tants auparavant mais ne peuvent plus etre ignores dans l’univers financier post-crise.Les taux Libor ne peuvent egalement plus etre consideres comme des taux sans risque.

La troisieme partie de la these devait donc presenter l’evaluation post-crise des

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swaps de taux d’interet. Nous avons tout d’abord presenter les divergences entre lestaux FRAs et taux forwards implicites en repliquant les taux FRA incorporant lesecarts de points de base. Puis, l’approche theorique pour le nouveau cadre d’eva-luation a ete presente, tout en distinguant volontairement les swaps collateraliseset non collateralises. Le but de cet approche est de determiner une courbe de swapcollateralise. En d’autre termes, on ne l’actualise plus au taux Euribor mais au tauxEONIA. Pour les swaps non collateralises, trouver les facteurs d’actualisation se faitetape par etape en etablissant un systeme d’equation utilisant les IRS, les SM et lesSD. On peut ensuite en deduire les courbes forwards. Pour les swaps collateralises, lechallenge est plus consequent dans la mesure ou toutes les contreparties n’appliquentpas tous le taux Libor en taux reference pour le taux de financement, celui-ci depen-dant de la qualite de credit de la contrepartie. Cette etude a permis de constater queles ecarts de point de base peuvent avoir un impact consequent sur les taux swaps,notamment en fonction de la maturite du contrat. De plus, differents facteurs telsque les accords de CSA ou les niveaux de seuils ont un impact sur le collateral etrend encore plus complexe le cadre d’evaluation.

Actuellement, toutes les banques sont en train de travailler sur l’application de cechangement de cadre d’evaluation. La mise en pratique est un travail tres complexecar toutes les courbes utilisees pour l’evaluation de swaps ou d’autres produits detaux tels que les produits structures doivent etre modifiees, incorporees au logicielde valorisation et utiliser par le front-office et le middle-office. La transition est donclongue mais les banques travaillent ardemment la-dessus. A plus long terme, le multi-curving pourrait etre utilise pour evaluer d’autre derives de taux tels mais egalementdes derives d’autre sous-jacents. Enfin, les swaps collateralises seront des contratsoccupant de de plus en plus de place sur le marche des derives de taux etant donnela conjoncture actuelle. On peut en ce sens esperer a l’avenir une standardisation deces contrats pour ameliorer la transparence sur l’evaluation des derives.

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Bibliographie

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[19] Sergei Traven, ”Pricing and Hedging Linear Derivatives with an Arbitrage-FreeSet of Interest Rate Curves”, Barclays Capital Credit Quarterly, 2011.

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Annexe A

Demonstration

Rappelons nous les deux equations vus dans la section ”Choix du numeraire” :

Xt

Nt

= EN

[XT

NT

|Ft]

(A.1)

et egalementp(t) = P (t, T )ET [HT |Ft] (A.2)

Ensuite, nous remarquons que la reecriture de l’equation 3.X donne :

F (t, Tn−1, Tn)P (t, Tn) =1

δn(P (t, Tn−1)− P (t, Tn)) (A.3)

Si l’on considere F (t, Tn−1, Tn)P (t, Tn) comme l’actif Xt et qu’on utlise P (t, Tn)comme numeraire, la partie gauche de l’equation ci-dessous se reecrit de la manieresuivante :

F (t, Tn−1, Tn)P (t, Tn)

P (t, Tn)=

1

δn

(P (t, Tn−1)− P (t, Tn))

P (t, Tn)= F (t, Tn−1, Tn) (A.4)

Quant a la partie de droite, celle-ci s’ecrit comme suit :

Et

[F (t, Tn−1nTn)P (Tn, Tn)

P (Tn, Tn)|Ft]

= Et[F (Tn−1, Tn−1, Tn|Ft] (A.5)

Enfin, il est important de noter que F (Tn−1, Tn−1, Tn) et L(Tn−1, Tn) sont equiva-lents. En effet, le taux forward de date Tn−1 pour une periode [Tn−1, Tn] est egal autaux spot pour la periode [Tn−1, Tn]. Cette equivalence entre ces deux taux permetd’etablir la relation suivante :

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F (t, Tn−1, Tn) = Et[L(Tn−1, Tn)] (A.6)

Ceci correspond parfaitement a l’equation y applique dans la section ”Introductiona l’evaluation des swaps”. Cette relation fondamentale permet de pricer les swaps detaux d’interet et les FRAs.

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