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Le modLe modLe modèèèle de marchle de marchle de marchééé


Le modèle de marché

Le modèle de marché initialement proposé par William Sharpe(1963) propose une approche plus affinée de l’analyse de risque

Idée de base: les fluctuations du rendement d’un titre peuvent être attribuées d’une part à des facteurs communs qui affectent l’ensemble du marché, et d’autre part, à des causes spécifiques àla firme considérée.

Les fluctuations dues à des facteurs propres peuvent être atténuées, voire complètement éliminées via la diversification

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Le modèle de marché peut être présenté graphiquement d'une manière très simple. Si on dispose d'une série chronologique de taux de rendement, par mensuels, pour le titre i et pour le marché M, on peut représenter couple d'observations (Rit, RM,t) par un point dans un graphique.La technique de régression linéaire permet d'ajuster une droite à travers de points ainsi obtenu de manière à minimiser la somme des carrés des écarts (noté eit) que les différentes observations présentent verticalement par rapport à la droite.

C'est : la pente de la droite de régression, qui mesure la volatilité du titre i.

Le bêta indique de combien varie en moyenne le taux de rendement du titre i pour une variation unitaire du taux de rendement du marché.C'est ainsi qu'une pente de 1,5 indiquera qu'en moyenne on doit s'attendre à une augmentation de 0,015 de Ri si RM s'accroît de 0,01 et à une baisse de 0,015 de Ri si RMdiminue de 0,01.Si les facteurs qui affectent l'ensemble du marché expliquaient la totalité des fluctuations du rendement du titre i, tous les couples de rendement (Ri,t, RM,t) se situeraient sur la droite de régression. → Les écarts verticaux ei,t entre les observations et la droite de régression matérialisent le risque spécifique de la firme i et c'est leur variance qui en mesure l'importance.

sa signification est assez limitée dans le cadre du modèle de marché. On peut l’interpréter comme étant le rendement espéré du titre i lorsque le rendement du marché est nul

β̂

α̂

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Une relation linéaire avec le marché

Le modèle de marché établit donc une relation linéaire entre le rendement d’une action i et le rendement du marchél'équation de régression qui définit cette relation s'écrit :

Ri = αi + βiRM + eiCe modèle ne repose sur aucune construction théorique. Il s’agit d’une formulation strictement empirique, proposée pour la première fois par Sharpe (1963).Sa validation est une question purement factuelle, c'est-à-dire surbordonnée au succès de la mise en oeuvre de la régression linéaire simple.

Le rendement Ri peut être décomposé de la manière suivante :une composante dite « systématique » : βiRMune composante dite « spécifique » : ei+ αi

Pour obtenir une estimation non biaisée des paramètres du modèle, le terme d’erreur doit respecter six conditions, dont les cinq premières sont communes à tous les modèles de régression linéaire:


Une relation linéaire avec le marché

Par construction1. E(ei) = 0 pour i=1,…N2. Cov(ei,t,ej,t-1)=0, aucune autocorrélation ou dependence sériellePar hypothèse1. E[ei(RM-E(RM)]= 0; aucun autre facteur n’a une influence

systématique sur Ri

2. E(eiej)=0Par définition1. E(ei)2= σ2

ei

2. E(RM-E(RM))2 = σ2M

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Le rendement espéré d’un titre:E(Ri) = E(αi + βiRM + ei) = αi + βiE(RM)

La variance de rendement d’un titre:σ2

i = E(Ri-E(Ri))2 = E(αi + βiRM + ei -(αi + βiE(RM )))2

= E[βi(RM - E(RM )) + ei ]2 = β2iσ2

M + σ2ei

Le premier terme du membre de droite de l'équation constitue le risque systématique du titre i, le second le risque non systématique. Il est important d'apprécier l'importance relative de ces deux éléments. C'est le coefficient de détermination de la régression de Ri sur RM qui nous permet de le faire (R2).

Ce coefficient mesure en effet le pourcentage des fluctuations du return du titre i qui est expliqué par les facteurs qui affectent l'ensemble du marché. Il varie entre zéro et un 1 et il est d'autant plus élevé que les ei,t sont faibles, c'est-à-dire que les facteurs de risque spécifiques à la firme sont peu importants par rapport à ceux qui affectent l'ensemble du marché.

La covariance entre deux titres: σij = E(Ri-E(Ri)(Rj-E(Rj))

= E{(αi + βiRM + ei -(αi + βiE(RM )))(αj + βjRM + ej -(αj + βjE(RM )))} = βijσ2

M


Exemple

On suppose ici que β=1.5E(Ri) = αi + βiE(RM)=2 + 1.5 (4) =8σ2

i = (1.5)2(8) + σ2ei = 20.8

σ2ei =14/5 =2.8

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Une mesure relative du risque

La définition que nous avons donnée du coefficient de risque systématique (coefficient bêta) fait apparaître qu'il s'agit d'une mesure relative du risque. C’est ainsi que les coefficients bêta des titres plus volatils, plus spéculatifs que la moyenne du marché (exp: techno, bio, etc.) seront supérieurs à 1, tandis que ceux des titres plus stables que le marché (exp: banques, compagnies d’assurance, etc.) seront inférieurs à l'unité.Puisqu'il exprime l'interdépendance du rendement du titre i avec celui du marché, il est naturel que le coefficient bêta soit lié au concept de covariance.

i,t M ,ti.t 2

,

cov(R ,R )=

( )M tRβ

σ


Le modèle de marché et la diversification

Considérons un portefeuille composé de N titres et appelons X1, X1, X1,…, X1 proportions de ce portefeuille investies dans les différents titres. Le rendement de chacun des titres au cours d'un mois t quelconque peut s'écrire suivante :R1,t = α1 +ß1RM,t + e1,t

……RN,t = αN +ßNRM,t + eN,t

Le rendement du portefeuille au cours du même mois, RP,t: RP,,t = X1R1,t + XNRN,t

= X1α1 +…+ XNαN +X1ß1RM,t +…+ XNßNRM,t + X1 e1,t+…+ XN eN,t

Une variation de 0,01 de RM engendrera une fluctuation de RP de 0,01 (X1ß1+…+ XNßN). L'expression (X1ß1+…+ XNßN) = ßPLe coefficient bêta d'un portefeuille est égal à la somme pondérée des coefficients ß des titres qui le composent.Si X1 = XN=1/N

2 2 2 2 2 2P f 1 22 2 2

1 1 1( ) = ( ) ( ) ( ) . . . ( )P f M NR R e e eN N N

σ β σ σ σ σ+ + + +2 2 2 2 2 2

P f 1 21 1 1 1( ) = ( ) [ ( ) ( ) . . . ( ) ]P f M NR R e e e

N N N Nσ β σ σ σ σ+ + + +

2 2 2 2P f

1( ) = ( ) [ ( ) ]P f MR R eN

σ β σ σ+

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Le modèle de marché et la diversification

Si N augmente suffisamment,

La composante non systématique de la variance du rendement du portefeuille Pf peut donc être éliminée par diversification ; c'est la raison pour laquelle le risque spécifique est également appelérisque diversifiable.

Cette élimination du risque spécifique a notamment pour conséquence que le pouvoir explicatif du modèle de marché est beaucoup plus important au niveau d'un portefeuille bien diversifiéqu'au niveau d'un titre individuel. La précision de l'estimation des paramètres α et ß s'en trouve améliorée.

2 2 2Pf( )= ( ) Pf MR Rσ β σ


Estimation du bêtaDe nombreuses études ont traité de l'application du modèle de marché àdifférents ensembles de titres. Blume [1971] a analysé l'application du modèle de marché aux rendements des actions du NYSE au cours de la période juillet 1926-juin 1968 qu’il a divisée en 6 sous-périodes égales d'une longueur de 7 ans.Exemple: 7/54-6/61 et 7/61-6-68

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Estimation du bêta

Ce tableau permet de constater que si les corrélations sont moyennes au niveau des titres individuels, elles deviennent très élevées dès que la taille des portefeuilles constitués atteint 10 titres. Rappelons qu'en élevant au carré les coefficients de corrélation, on obtient les coefficients de détermination, c'est-à-dire le pouvoir explicatif des régressions qui tentent d'expliquer le niveau de βt par celui de βt-1.En moyenne, ce pouvoir explicatif n'est que de 36% pour les titres individuels mais il s'élève déjà à 85 % pour des portefeuilles de 10 titres et atteint 95 % pour des portefeuilles de 20 titres, ce qui est considérable.Les bêtas des portefeuilles composés par plusieurs titres renferment plus d’informations que ceux des portefeuilles composés par un faible nombre de titres.Pourquoi les bêtas d’une période différent-ils des bêtas des périodes suivantes ?

1. Le risque (bêta) d’un titre ou d’un portefeuille pourrait changer2. Le bêta d’une période est mesuré avec un terme d’erreur. Plus le terme d’erreur est important

moins le bêta d’une période renferme de l’information sur le bêta de la période suivante.

Les bêtas individuels dépendent de la nature du titre : titre stable vs. spéculatif. Ces changements ont tendance à s’annuler dans un portefeuille. Les erreurs d’estimation du bêta ont tendance également de s’annuler dans le cas d’un portefeuille par rapport au cas d’un titre. Les bêtas historiques d’un portefeuille sont des meilleurs estimateurs des bêtas futurs que les bêtas historiques de titres.


Comment estimer le bêta de demain?

Principe de base: En gestion de portefeuille ce qui importe c’est la valeur du risque sur la période de détention du titre et pas la valeur passée surtout si elle peut être différente.

Blume [1971] a mis en évidence la tendance des coefficients bêta à se rapprocher de 1 au fil du temps tant au niveau des titres individuels qu'à celui de portefeuilles.

Pour tenir compte de ce phénomène de régression vers la moyenne et améliorer la qualité prévisionnelle des coefficients de risque systématique, Blume [1971] et Vasicek [1973] ont proposédes ajustements des bêtas estimés par les moindres ordinaires (appelés les bêtas MCO).

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Ajustement de Blume (1971)

1. Le bêta estimé d’un titre est fonction du “vrai” bêta du titre et d’un terme d’erreur.

2. En moyenne, les bêtas tendent de converger vers 1 au cours des périodes successives.

3. Les bêtas de la période prévisionnelles sont plus proches de 1 que les bêtas historiques: voir tableau


Ajustement de Blume

Les bêtas de la période prévisionnelle sont plus proches de 1 que les bêtas historiques → on doit donc modifier les bêtas historiques pour capter cette tendance.Blume corrige les bêtas historiques en mesurant directement l’ajustement vers 1 et en supposant que l’ajustement pour une période donnée est un bon estimateur d’ajustement pour la période suivante..Exemple: calcul des bêtas pour la période de 1948-1954 puis pour la période de 1955-1961. On régresse les bêtas de 1955-1961 sur les bêtas de 1948-1954.

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Ajustement de Blume

βi2 = 0.0343 + 0.067βi1


Ajustement de Blume

Supposons qu’on veut estimer le β d’un titre pour la période de 1962-1968. On calcule (via une analyse de régression) son βpour la période de 1955-1961 et applique l’équation aux coefficients de régression.Si βi2 = 0.0343 + 0.067βi1

Pour βi1 =2 → βi2 = 1,697 < 2Pour βi1 =0,5 → βi2 = 0,682 > 0,5

Si βi1 = 1 (1948-1954) → βi2 = 1.02 (1955-1961) et βi3 = 1,033 (1962-1968)

→ l’extrapolation du β selon la technique de Blume conduit à une tendance à la hausse par rapport aux βs observés au cours des périodes précédentes.

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Ajustement de Vasiček

De manière générale, les coefficients bêta sont assez étroitement groupés autour de 1 et Vasiček considère que cet état de fait constitue une information a priori dont il est intéressant de tenir compte dans l'estimation du coefficient bêta des titres considérés. Il propose donc un ajustement de type bayesien des bêtas MCO.Soient :βi l'estimateur MCO du coefficient de risque systématique du titre i σ2(βi) la variance de celui-ci. la moyenne et σ2 la variance calculées sur l'ensemble des estimateurs des βi. L'estimateur proposé par Vasiček est le suivant :

β β


Ajustement de Vasiček

L'estimateur proposé par Vasiček est le suivant :

Plus il y’a de l’incertitude sur les estimations des β, plus faible seront les poids choisis.

Bémol de l’ajustement de Vasiček:Le poids d’un β d’un titre par rapport au poids du β moyen est inversement relié à la variance du β. Les titres à β élevés ont des variances élevés → un poids plus faible accordés à leurs βLe β futur estimé tendra vers la baisse par rapport au β moyen de l’échantillon.Il faut corriger ce β estimé vers la hausse !

1 12 1 12 2 2 2

1 11 1

i ii i

i i

β β

β ββ β

σσβ β β

σ σ σ σ= +

+ +

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Neutralisation des phénomènes de désynchronisation

Lorsque des titres ne présentent que de faibles volumes moyens de transactions, il arrive fréquemment qu'aucune transaction les concernant ne soit enregistrée au cours d'une séance de bourse, ce qui perturbe la série chronologique de leurs rendements.

Cette désynchronisation provoque, en effet, ce qu’on appelle en économétrie des « erreurs sur les variables ».

Scholes et Williams [1977] et Dimson [1979] ont proposé des techniques d'ajustement qui permettent sinon d'éliminer, du moins d'atténuer fortement ce biais.


L'estimateur de Scholes et Williams

où

ρ0 = le coefficient d’autocorrélation du premier ordre de l’indice (RM).

1 0 1

01 2iβ β ββ

ρ

− ++ +=

+

, 1 , 112

, 1

( , )( )i t M t

M t

Cov R RR

βσ

− −−

−

=

, ,02

,

( , )( )

i t M t

M t

Cov R RR

βσ

=

, 1 , 112

, 1

( , )( )i t M t

M t

Cov R RR

βσ

+ ++

+

=

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L'estimateur de Dimson

où

Selon Dimson, n ne devrait pas excéder 2.

, , ,

k n

i t i k M t k i tk n

R R eα β=+

−=−

= + +∑

k n

kk n

β β=+

=−

= ∑


Appréciation de la qualité prédictive des coefficients bêta

Étude de Klemkovsky et Martin (1975)Klemkovsky et Martin [1975] ont examiné la capacité prévisionnelle des différents estimateurs du coefficient bêta, à partir des rendements mensuels des titres cotés au NYSE sur 5 périodes successives de 5 ans s’étalant de 1947 à 1972. Ils utilisent l'erreur quadratique moyenne de prévision (EQM) pour apprécier cette qualité prévisionnelle :

Les auteurs ont examiné la capacité prévisionnelle des estimateurs de Blume et de Vasiček en se limitant à des portefeuilles de 1 et 10.

1. Ils ont observé que les techniques proposées par ces deux auteurs réduisent l'erreur par rapport aux bêtas MCO.

2. Ils ont également observé que l'estimateur de Vasiček avait tendance àse montrer meilleur que celui de Blume. Cependant, les deux techniques donnaient des résultats fort proches et leur classement relatif variait peu d'une sous-période à l'autre.

2, ,

1

1 ( )N

i estimé i prévui

EQMN

β β=

= −∑

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Appréciation de la qualité prédictive des coefficients bêta

Étude de Elton, Grüber et Urich (1978)Ils ont examiné quels sont les estimateurs systématiques qui permettent de prévoir au mieux les corrélations implicites futures entre les titres. Plus précisément, ils ont tenté d'estimer les corrélations existant entre 200 titres cotés au NYSE au cours de deux périodes de 5 ans, à l'aide de différentes techniques de prévision :

1. en utilisant les bêtas MCO estimés sur la période de 5 ans qui précède ;2. en ajustant ces bêtas selon les techniques de Blume et de Vasiček ;3. en attribuant une valeur de 1 à tous les bêtas ;4. en considérant que les corrélations passées allaient se reproduire ;5. en donnant aux corrélations futures la valeur de la corrélation moyenne

précédente.

Ils ont constaté que l'erreur absolue moyenne de prévision de la technique « corrélation moyenne » était significativement inférieure à celle des autres techniques. La méthode de prévision qui venait en deuxième lieu était celle de Blume, et celle de Vasiček arrivait en troisième position. Les moins bonnes techniques de prévision étaient les bêtas MCO, les corrélations antérieures et les βs supposés tous égaux à 1.


VARIABLES INFLUENÇANTLE NIVEAU DES COEFFICIENTS BÊTA

Les analystes financiers avaient recours à différents ratios pour mesurer le risque des entreprises bien avant que les coefficients β ne fassent leur apparition. Il est donc intéressant d'examiner le rapport existant entre les caractéristiques structurelles des entreprises et le niveau de leurs coefficients bêta.

Beaver, Kettler et Scholes [1970] ont analysé les corrélations existant entre les bêtas de 307 sociétés cotées au NYSE et les variables suivantes :

taux de distribution ; taux de croissance des actifs ;taux d'endettement ;ratio de liquidité ;taille des actifs ;variabilité de l' earnings-price ratio ;« bêta comptable » mesuré par la régression de l' earnings-price ratio de la société suri' earnings-price ratio moyen du marché.

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Beaver, Kettler et Scholes [1970]: Hypothèses

Les sociétés n'adoptent un taux de distribution élevé que si elles sont confiantes dans l'évolution de leurs résultats futurs. La corrélation entre le bêta et le taux de distribution devrait donc être négative

Plus son endettement est important, plus le risque de la société concernée est élevé, l'endettement devrait donc être positivement corrélé avec le risque systématique. Idem pour la variabilité des gains et le β comptable.

Ne serait-ce que parce que ses activités sont généralement plus diversifiées, une firme de grande taille est perçue comme moins risquée qu'une firme de plus petite taille; la corrélation entre le risque systématique et la taille devrait être négative.

Le ratio de liquidité devrait, lui aussi, être négativement corrélé avec le risque systématique, puisqu'on considère généralement qu’une firme est moins risquée si ses actifs sont plus liquides.

Un taux de croissance élevé est souvent associé à un risque élevé; on devrait donc s'attendre à un lien positif entre le bêta et le taux de croissance.


Beaver, Kettler et Scholes ont travaillé avec des titres individuels ainsi que des portefeuilles de 5 titres, sur une période s'étendant de 1947 à 1965 et divisée en deux sous-périodes la première de 10 ans et la seconde de 9 ans.

0 1 1 2 2...i N N ia a X a X a X eβ = + + + +

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Exercice

E(RM) = 8 et σM = 5, calculez:1. Le rendement moyen de chaque titre2. La variance de rendement de chaque titre3. La covariance des rendements entre chaque titre.

En supposant un portefeuille équi-pondéré, calculez:Le βP, αP, σ2

P et E(RP)

4213σei

0.90.81.31.5β

4132α

DCBA


RéponseThe single-index model's formula for security i's mean return is

Since equals 8%, then, e.g., for security A we have:

The single-index model's formula for security i's own variance is:Since σm = 5, then, e.g., for security A we have:

Similarly: σ2B = 43.25; σ2

C = 20; σ2D = 36.25

R + = R miii βα

%=+ =

x + =R + = R mAAA

14122

85.12βα

%4.13=BR %4.7=CR %2.11=DR

. + = 2e

2m

2i

2i iσσβσ

( ) ( ) ( )25.65

355.1 222

= =

+ = 2e

2m

2A

2A A

+×

σσβσ

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The single-index model's formula for the covariance of security i with security j is

Since σ2m = 25, then, e.g., for securities A and B we have:

Similarly: σAC = 30; σAD = 33.75; σBC = 26; σBD = 29.25; σCD = 18

Recall that the formula for a portfolio's beta is: The weight for each asset (Xi) in an equally weighted portfolio is simply 1/N, where N is the number of assets in the portfolio.Since there are four assets in Problem 5, N = 4 and Xi equals 1/4 for each asset in an equally weighted portfolio of those assets. So:

σββσσ 2mjijiij = =

75.48253.15.1

== = 2

mBAAB

××σββσ

ββ ii

N

1 = iP X = ∑

( )

125.1

5.441

9.08.03.15.141

41

41

41

41

=

=

=

= DCBAP

×

+++

+++ βββββ


Recall that the definition of a portfolio's alpha is:

Using 1/4 as the weight for each asset, we have:

Recall that a formula for a portfolio’s variance using the single-index model is:

αα ii

N

1 = iP X = ∑

( )

5.2

1041

413241

41

41

41

41

=

=

=

= DCBAP

×

+++

+++ ααααα

∑=

+=N

ieimPP i

X1

22222 σσβσ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )52.33

164191612525.1

4412

411

413

41525.1

2

22

22

22

22

222

=

++++×=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+=Pσ

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Exercice 2

Estimer les paramètres du modèle de marché pour chaque titre par une régression avec la méthode des MCO.Décomposer le risque total en risque systématique et spécifique. Donner la part de chacun des risques dans le risque total, en % et en valeur.Calculer la rentabilité moyennes des titres A et B et leur matrice de variances-covariances en utilisant:

1. Les données historiques2. Le modèle de marché pour les covariances, les donnés historiques pour les variances.

Qu’observez-vous et pourquoi?Quel avantage représente l’utilisation du modèle de marché pour estimer la matrice de variances-covariances lorsqu’on a n titres?

0.0110.0080.015décembre

0.003-0.0010.008novembre

-0.021-0.016-0.019octobre

0.0050.0020.008septembre

0.0080.0070.01août

-0.010.01-0.016juillet

-0.029-0.028-0.027juin

0.0480.0390.052mai

00.0010.004avril

0.0250.0180.05mars

0.0320.0250.035février

0.0450.020.054janvier

INDICETITRE B TITRE AMois


Solution

TITRE A TITRE B INDICE Régression du modèle de marché pour 0.054 0.02 0.045 β α0.035 0.025 0.032 Paramètres 1.01957054 0.000809190.005 0.018 0.025 Ecart-types 0.09698072 0.002437250.004 0.001 0 R 2 0.91703023 0.007781610.052 0.039 0.048 110.525828 10

-0.027 -0.028 -0.029 0.00669272 0.00060553-0.016 0.01 -0.01

0.01 0.007 0.0080.008 0.002 0.005 Régression du modèle de marché pour

-0.019 -0.016 -0.021 β α0.008 -0.001 0.003 Paramètres 0.68221178 0.000431770.015 0.008 0.011 Ecart-types 0.09077104 0.0022812

Espérances 0.01075 0.00708333 0.00975 R 2 0.84959328 0.00728335Variances 0.000608188 0.00029391 0.00053652 56.4863906 10Cov(RA,RB) 0.000355104 0.00299644 0.00053047βAβBVar(RM) 0.000373184

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R2 →risque systématiqueRisque total = risque systématique +risque non systématiqueExemple: Tire A: 100% = 91.70% + 8.30%Titre B: 100% = 84.95% + 5.05%


Avec les données historiques: matrice var-cov:

4 4

4 4

6.0892.10 3.551.103.551.10 2.939.10

− −

− −

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

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Si on utilise le modèle de marchéσAB = βABσ2

M = 0,0003732 valeur différente de la valeur historiqueen raison du non respect de l’hypothèsecov(eA,eB)=cov(eA,RM)=cov(eB,RM)=0cov(eA,eB)= -0,000181

Calcul des résidus des régressionsεA εB

0.007310139 -0.01113130.001564556 0.00273745

-0.021298451 0.000512940.003190813 0.000568230.002251427 0.005822070.001758358 -0.0086476

-0.006613482 0.016390350.001034248 0.001110540.00209296 -0.0018428

0.001601794 -0.00210530.004132101 -0.00347840.002975537 6.3902E-05

Covariance entre les résidus -1.80799E-05


4- Cov(RA,RB) = βABσ2M à condition que

cov(eA,eB)=cov(eA,RM)=cov(eB,RM)=0avec le modèle de marché, le nombre de données nécessaires pour construire la matrice var-cov est réduit. Avec n titres, il suffit d’estimer Var(RM) et Cov(Ri,RM) pour tout titre i au lieu d’estimer n(n-1)/ 2 covariances. Avec 20 titres, il faut donc 21 données pour estimer les covariances au lieu de 190.

5- Si l’on admet que αi et βi du modèle de marché sont relativement stables, il est possible d’estimer E(Ri) par αi + βiE(RM).Au lieu de prévoir individuellement les n espérances de rentabilitédes titres, il suffit alors d’anticiper l’évolution du marché E(RM).

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Le modèle de marchéLecture: BKMPR chap. 8Articles :

1. Pogue, G and B. Solnik, 1974, “The market model applied to European common stocks: some empirical results”, Journal of Financial and Quantitative Analysis 9(6), pp. 917-944.

2. Elton, E, M, Gruber and T, Urich, 1978, “Are betas best”, Journal of Finance 33(5), pp. 1375-1384.

3. Blume, M, 1975, “Betas and their regression tendencies”, Journal of Finance 30(3), pp. 785-795.

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