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Mémoire présenté

devant l’Institut de Science Financière et d’Assurances

pour l’obtention du diplôme d’Actuaire de l’Université de Lyon

Le 16 mars 2012 Par : Maxime DRUAIS

Titre: Pourquoi et comment calibrer le risque de marché sous Solvabilité 2 ?

Le rôle central du générateur de scénarios économiques

Confidentialité : � NON OUI (Durée : � 1 an 2 ans)

Membre du jury de l’Institut des Actuaires

Entreprise :

Natixis Assurances

Membres du jury I.S.F.A. Directeur de mémoire en entreprise :

M. Jean Claude AUGROS Thibault JACOB

M. Alexis BIENVENÜE

M. Areski COUSIN Invité :

Mme Diana DOROBANTU Thibault JACOB

Mme Anne EYRAUD-LOISEL Arnaud LEMENAGER

M. Nicolas LEBOISNE

M. Stéphane LOISEL

Mlle Esterina MASIELLO

Mme Véronique MAUME-DESCHAMPS

M. Frédéric PLANCHET

Autorisation de mise en ligne sur

un site de diffusion de documents

actuariels (après expiration de

l’éventuel délai de confidentialité)

M. François QUITTARD-PINON

Mme

M.

Béatrice REY-FOURNIER

Pierre RIBEREAU

Signature du responsable entreprise

M. Christian-Yann ROBERT

M.

M.

Didier RULLIERE

Pierre THEROND

Secrétariat Signature du candidat

Mme Marie-Claude MOUCHON

Bibliothèque :

Mme Michèle SONNIER

Université Claude Bernard – Lyon 1

INSTITUT DE SCIENCE FINANCIERE ET D'ASSURANCES

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Résumé

Ce mémoire présente les principales méthodes de calibrage utilisées pour évaluer le capital de Solvabilité requis face aux risques sous le prisme de la réforme réglementaire Solvabilité 2, directive qui touche l'ensemble des assureurs et réassureurs européens dès janvier 2014.

L'étude traite exclusivement des risques de marché en Épargne.

Elle a un triple objectif:

• Expliquer le principe des différentes méthodes : deux grandes

approches sont envisageables pour évaluer le capital de solvabilité requis sur le périmètre risque de marché : l'une s'attache à suivre des spécifications, l'autre a l'ambition de modéliser la distribution des Fonds Propres économiques

• Justifier les modèles et méthodes privilégiées pour traiter les risques

de marché

• Expliquer le rôle du générateur de scénarios économiques en Épargne : l'analyse s'attachera à montrer le rôle central du calibrage du générateur de scénarios économiques dans cet environnement

L'analyse des calibrages du risque de marché sous Solvabilité 2 portera sur la méthode dite Formule Standard, obligatoire pour les assureurs, et celle dite modèle interne. Nous tenterons de cerner l'ensemble des problématiques qui s'y rapportent. Il sera notamment montré toute l'utilité de développer un modèle interne pour une activité Epargne. Le coeur du sujet portera sur le rôle majeur du générateur de scénarios économiques, sur les méthodes de calibrage retenues notamment pour le modèle interne et sur l'impact des choix de modèles et méthodes de calibrages dans l'estimation des Fonds Propres économiques. Outre la description des modèles de diffusion, nous exposerons aussi l'ensemble des contrôles menés afin de valider les jeux de scénarios. Mots clef : Solvabilité 2, Risque de marché, risque action, risque taux, risque de crédit, Épargne, calibrage, modèle interne, générateur de scénarios économiques

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Abstract

This study presents the main calibration’s methods used to assess the Solvency Capital requirement, a new reform for European insurances applied soon January 2013. The analysis is exclusively about the market risk for savings.

This has three purposes: to explain the different methods to calculate the capital requirement dedicated to the market risk, the models used to treat the issue and, above all, we will try to show the major role of the economic scenarios generator in this environment.

The analysis of the calibrations of market risk under Solvency 2 will be made on the standard formula, necessary to implement for all insurances, and the so called internal model method. We will attempt to give a framework to all the issues linked to these two developments. The heart of the subject is the economic scenarios generator, the methods of calibrations and their role in the calibration of the internal model. We will expose the controls and tests set up to validate the set of scenarios. Keywords: Solvency 2, market risk, Equity risk, interest rates risk, credit risk, savings, calibration, internal model, economic scenarios generator.

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Remerciements

Je tiens à remercier toute l’équipe avec laquelle j’ai plaisir à travailler, pour leur professionnalisme et bienveillance:

Christophe LE PAPE, Directeur du département Gestion Actif/Passif Thibault JACOB, Responsable du pôle Gestion Actif/Passif et Modélisation Nicolas DENOJEAN, Responsable du service Financier Arnaud LEMÉNAGER, Responsable du service Gestion Actif/Passif Célia CALLEN, Responsable du service Risk Management Lionel ALDEBERT, Responsable service Modélisation Filipe AFONSO JOAO, Chargé d’études Gestion Actif/Passif Sébastien LE DARZ MARANGONI, Chargé d’études Gestion Actif/Passif Anthony DARNÉ, Chargé d’études Gestion Actif/Passif Morgan VERDOUX, Risk manager Nadir EL JANATI, Modélisateur Samy COLLIER, Alternant au service Gestion Actif/Passif Olivier MICHELIN, Alternant au service Gestion Actif/Passif Antoine LE SAINT, Alternant au service Gestion Actif/Passif Adrien LE MENN, Chargé d’études financières Odile BRETHENOUX, Chargée d’études financières Assia OUDNI, Chargée d’études financières Stephanie RALAIARINOSY, Assistante du département Gestion Actif/Passif Je remercie par ailleurs les personnes de Barrie+Hibbert avec lesquelles il m’a été permis d’échanger sur différentes problématiques liées au générateur de scénarios : Alexis BAILLY, Regional Manager France et Belgique- les Pays-Bas -Luxembourg Paul MC CARNEY, analyste Gioel CALABRESE, analyste Steven MORRISON, responsable du département recherche Je remercie aussi Nathalie PISTRE, Directeur Analyse et Recherche Quantitative chez Natixis Asset Management et son équipe pour leurs collaborations.

Enfin, un grand merci au corps professoral qui m’a conduit à exercer cette profession.

Je dédie mon mémoire à ma famille et mes proches qui m’ont soutenu durant mes années d’études.

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Sommaire Première partie : Solvabilité 2 : les risques de marché 1 Solvabilité 2........................................................................................................................ 9

1.1 La réforme Solvabilité 2............................................................................................. 9 1.1.1 Rappel du contexte économique ........................................................................ 9 1.1.2 Les sociétés d’assurances dans ce contexte économique ................................. 11 1.1.3 Solvabilité 2 : son principe, son histoire .......................................................... 12

1.2 La valorisation du bilan économique ....................................................................... 15 1.2.1 Le bilan économique ........................................................................................ 15 1.2.2 Définition des flux Actif/Passif en Epargne.....................................................16 1.2.3 La valorisation Best Estimate des engagements en Epargne ........................... 16

1.3 Introduction aux principes généraux des méthodes d’estimations du SCR ............. 19 1.3.1 Le modèle central gestion Actif/Passif (modèle ALM) ................................... 19 1.3.2 La méthode Formule Standard ......................................................................... 22 1.3.3 La méthode Modèle Interne ............................................................................ 24

2 Le principe du calibrage des facteurs de risque de marché en Formule Standard ........... 28

2.1 Les facteurs de risque de marché en Formule Standard........................................... 28 2.2 Hypothèses des calibrages du risque action en Formule Standard........................... 29

2.2.1 Objectif et titres concernés............................................................................... 29 2.2.2 Le choc appliqué : le calibrage Formule Standard QIS 5................................. 29 2.2.3 Les hypothèses de calibrage............................................................................. 30 2.2.4 Vers un calibrage plus « Entity Specific » ? ....................................................31

2.3 Les corrélations des capitaux de risque de marché en Formule Standard................ 32 2.4 Mise en perspective des enjeux du calibrage des risques de marché sous Solvabilité 2.......................................................................................................................... 34

2.4.1 Définition du taux de couverture et de la réserve de réconciliation................. 35 2.4.2 Analyse des enjeux du calibrage des risques de marché pour la prévoyance .. 37 2.4.3 Analyse des enjeux du calibrage des risques de marché pour l’Epargne......... 39

Deuxième partie : Le modèle interne 3 Le calibrage du modèle interne périmètre risque de marché............................................ 43

3.1 Les limites de la méthode Formule Standard .......................................................... 44 3.1.1 Les hypothèses fortes de la gaussienne des facteurs de risque et de la linéarité des Fonds Propres économiques à ces facteurs ................................................................ 46 3.1.2 L’hypothèse forte de la monotonie des Fonds Propres économiques aux facteurs de risques de marché........................................................................................... 50 3.1.3 Le risque de changement de volatilité action ................................................... 52

3.2 Vers la nécessité de développer un modèle interne?...............................................55 3.2.1 Pourquoi développer un modèle interne ?........................................................ 55 3.2.2 Les facteurs de risque de marché en modèle interne........................................ 56

3.3 Le processus du calibrage du Modèle Interne......................................................... 57 3.3.1 Rappel du principe du modèle interne.............................................................. 58

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3.3.2 Les problématiques liées à la réconciliation à horizon un an des scénarios économiques..................................................................................................................... 61 3.3.3 Synthèse du processus de calibrage du modèle interne.................................... 67

Troisième partie : Le générateur de scénarios économiques 4 Analyse des modèles et calibrages des scénarios économiques...................................... 70

4.1 Principes généraux du générateur de scénarios........................................................ 70 4.1.1 Rappel du rôle du générateur au sein du modèle ALM.................................... 70 4.1.2 L’agencement des modèles .............................................................................. 71 4.1.3 La modélisation suivant les univers ................................................................. 71

4.2 Principes des hypothèses de calibrages sous Solvabilité 2 ...................................... 73 4.2.1 Le calibrage QIS 5 du générateur de scénarios (Formule Standard)................ 73 4.2.2 Les hypothèses QIS 5....................................................................................... 74 4.2.3 Le principe des tests pratiqués pour valider les scénarios économiques.......... 75

4.3 Analyse des modèles utilisés et hypothèses de calibrage......................................... 77 4.3.1 Modèle action................................................................................................... 77 4.3.2 Modèle immobilier........................................................................................... 81 4.3.3 Modèle taux nominaux en Monde Réel ........................................................... 82 4.3.4 Modèle taux nominaux en Risque Neutre : LMM ........................................... 86 4.3.5 Modèle inflation ............................................................................................... 92 4.3.6 Modèle risque de crédit .................................................................................... 94 4.3.7 La modélisation des dépendances entre variables.......................................... 101

5 Validation des scénarios économiques........................................................................... 104

5.1 La validation des scénarios en univers Risque Neutre........................................... 104 5.1.1 Synthèse des critères de validation à respecter .............................................. 105 5.1.2 Etude de la convergence des scénarios économiques .................................... 130

5.2 Validation des scénarios en univers Monde Réel................................................... 134 5.2.1 Les densités des rendements actions et produits de taux................................ 134 5.2.2 Synthèse des critères de validation des jeux de scénarios économiques en univers monde réel ......................................................................................................... 134

6 La sensibilité des Fonds Propres économiques aux scénarios ....................................... 137

6.1 La sensibilité des Fonds Propres économiques à l’échantillon de jeu ................... 138 6.2 Les sensibilités des Fonds Propres économiques à mener ..................................... 140

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Introduction

La réforme Solvabilité 2 touchera l'ensemble des assureurs et réassureurs européens dès janvier 2013. Elle a pour objectif de mettre en place des capitaux de risque requis, nommément SCR, estimés d'après les caractéristiques spécifiques du portefeuille de placements et celles des contrats émis par l'entreprise ; elle doit aussi représenter la politique d'investissement décidée par la direction.

Dans ce papier, nous analyserons les principaux enjeux en méthodes Formule Standard et Modèle Interne des calibrages du risque de marché sous Solvabilité 2.

Il est essentiel de définir les méthodes et modèles conduisant à la valorisation du bilan économique sous Solvabilité 2 avant de déterminer les raisons qui motivent au développement d'un modèle interne en Épargne ; le rôle central du générateur économique dans le processus du calibrage du modèle interne est souligné dans ce mémoire.

Dès lors, il est nécessaire de définir un processus menant au calibrage du modèle interne des risques de marché aussi bien dans le contexte Solvabilité 2 que sous ORSA afin de structurer l'agencement des problématiques.

Natixis Assurances développe son modèle interne Épargne et a acquis le générateur de scénarios économiques développé par la société Barrie & Hibbert. Outre la sélection des modèles, Natixis Assurances assure le choix du calibrage des modèles et l'analyse théorique et empirique des résultats obtenus.

Précisément, l'objectif de ce mémoire est triple:

• Définir les limites de la Formule Standard : Déterminer les limites de la Formule Standard de façon exhaustive en Épargne où les risques de marché constituent la composante principale du SCR est une des ambitions de l'étude. La complexité des processus régissant la valorisation des Fonds Propres économiques ne saurait les assimiler à un portefeuille de placements linéaires aux facteurs de risque de marché.

• Expliquer l'intérêt d'un modèle interne : Expliquer l'approche raisonnée

et adaptée que représente le choix d'un modèle interne est nécessaire • Définir le processus de calibrage des risques de marché : l'analyse a

pour objectif de structurer et valider le processus du calibrage du modèle interne afin d'en exhiber les enjeux

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Première partie : Solvabilité 2 : les risques de marché

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1 Solvabilité 2

1.1 La réforme Solvabilité 2

1.1.1 Rappel du contexte économique

Issue d’une crise d’origine financière, la conjoncture actuelle est critique.

Les difficultés rencontrées par les ménages américains à faible revenu pour rembourser les crédits consentis pour l’achat de leur logement a initié la crise financière de 2007 qui se poursuit actuellement sous d'autres formes. Cette difficulté de remboursement des emprunts est due au système des "subprimes*"

L'effondrement des obligations a entrainé un mouvement de retrait massif vis-à-vis de ce papier commercial ainsi que l’assèchement brutal de la liquidité bancaire à partir de juillet 2007. Les banques ont mobilisé toutes leurs ressources pour leurs propres financements et ont refusé de prêter même à court terme aux autres banques. Cet engrenage a touché l’ensemble du système bancaire américain mais aussi européen parce que, dans le contexte de la mondialisation financière, les banques européennes avaient également participé à ces montages.

Devant le risque de crise bancaire systémique, les banques centrales des Etats-Unis, d’Europe et du Japon, ont injecté massivement et à plusieurs reprises des liquidités dans le marché des crédits interbancaires (QE*, cf annexe)

Ces dernières années, de nombreuses banques d’investissement ont fait faillite, notamment aux Etats-Unis : on peut se souvenir de la faillite de Lehman Brothers en septembre 2008, une banque d’investissement multinationale proposant des services financiers diversifiés (actions et obligations, études de marché, capital-investissements, banque privée...) ; il s'agissait d'un acteur majeur du marché des emprunts d’Etat américains. Certaines sociétés d'Assurances se sont également retrouvées en grande difficulté mais elles ont pu, pour certaines d’entre-elles, bénéficié du sauvetage des pouvoirs publiques : pour rappel, la FED est venu au secours de AIG, un leader mondial de l'assurance (troisième par son chiffre d'affaires après ING et Allianz) et des services financiers, et représente aux Etats-Unis le plus grand arbitre d'assurance pour les secteurs commercial et industriel.

Surtout, avec un produit intérieur brut de 14 526 milliards de dollars en 2010, les Etats-Unis ont une dette publique fédérale de 14 580 milliards de dollars. A titre de comparaison, les prêts hypothécaires représentaient en 2009 la somme de 16 700 milliards de dollars pour un PIB proche de celui de 2010. Sur ce montant, 5 000 milliards de dollars sont détenus par les désormais célèbres organismes Fannie Mae et Freddy Mac, organismes de refinancement hypothécaire mise sous tutelle gouvernementale en septembre 2008 aux Etats Unis. Cette dette hypothécaire représente à peu près la moitié des actifs des banques commerciales américaines.

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Aujourd’hui, la crise est loin d'être résolue et prend différentes formes : l’Europe doit faire face à de graves difficultés de solvabilité de certains de ces états membres (PIIGS) et les Etats-Unis atteignent des records d'endettement. S’associe à la crise financière celle des dettes souveraines.

La crise des dettes souveraines en Europe est préoccupante : cette inquiétude de la solvabilité se concentre sur cinq pays: le Portugal, l’Irlande, L’Italie, la Grèce et l’Espagne (PIIGS). Les risques de défaut courant 2010-2011 de la Grèce, de l'Irlande et du Portugal ont nécessité l’intervention du FMI et de l’Union Européenne pour des plans de refinancements en échange de mises en place de programmes d'austérité budgétaire. Les spreads très élevés de ces états (jusqu’à des taux coupons de 17,1% pour des obligations souveraines grecques de maturité 10 ans) témoignent de l'incertitude des investisseurs sur leur capacité à rester solvable : le spread grec intègre par exemple une probabilité de défaut de 80 % dans les cinq ans (source JP Morgan).

De plus après la Grèce, l’Irlande, le Portugal, l’Espagne, c’est actuellement (paragraphe rédigé à date de juillet 2011) l'Italie qui inquiète les marchés, celle-ci supportant près du quart de la dette de la zone euro. Quant à la Grèce, une nouvelle aide financière est à l'étude : le montant des besoins supplémentaire est estimé par le FMI à 115 milliards d'euros, dont 35 milliards d’ici 2014 pourraient être remboursés par le processus prévu des privatisations grecques.

Aux Etats-Unis, l’endettement permis par la chine, grande créancière des USA, et soutenu par des plans d’action menés par la FED en Septembre 2008 puis novembre 2010 via les deux QE ("Quantitative Easing" 1 et 2* qui ont consisté successivement au rachat de 1000 puis 600 milliards de dollars de bons du Trésor à long terme par la FED) atteint des sommets, inquiétant de fait le marché, y compris les politiques : les membres du parti républicain du Congrès des Etats-Unis émettent de fortes réserves quant à un relèvement du plafond de la dette du pays désiré par Barack Obama l’été 2011.

La crise prend une tournure économique : les Etats-Unis ont un taux de chômage de 10 % contre 3 % avant 2007 ; L'Espagne connaît un taux de chômage de 21% en juillet 2011 initiant un mouvement de mécontentement et protestation d'une partie de la population.

C’est donc dans ce contexte très incertain que solvabilité 2, une mesure européenne visant l’ensemble des mutuelles, réassureurs et assureurs européens à estimer leur solvabilité suivant des niveaux et types de risque bien définis s’appliquera au premier janvier 2013. Actuellement, des exercices sont effectués par de nombreux acteurs du marché selon des spécifications quantitatives établies par l’organisme européen EIOPA. Ces exercices permettent par ailleurs d'affiner le calibrage définitif très prochainement disponible.

*définitions, mécanismes et principes en annexe

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1.1.2 Les sociétés d’assurances dans ce contexte économique

Les sociétés d’Assurances encourent de nombreux risques, de nature diverse compte tenu des différentes activités développées ("line of business").

En amont, elles perçoivent des primes versées par les assurés en échange de dédommagement en cas de survenance d’un sinistre pour lesquels ils ont souscrits un contrat ou en vue de placements sur fonds. Ici apparaît déjà un premier type de risque, celui lié à l’assuré. Les assureurs constituent alors à partir de ces primes des provisions mathématiques qui ont pour objectif de représenter leur engagement : le futur ne pouvant être prévu de façon certaine, les montants sont déterminés par des modélisations mathématiques (statistiques et probabilistes) dont l'objectif est de représenter des aléas sous contraintes de vraisemblance.

Décrites aux articles R. 311-3 et R. 331-6 du Code des Assurances, les provisions techniques mesurent au passif du bilan les dettes et engagements liés à l’exécution des contrats d’assurance commercialisés par l'entreprise. Leur évaluation est déterminante pour l’établissement des politiques tarifaires. A une date donnée, toutes les charges de prestations et de frais à régler dans le futur, relatives aux sinistres survenus antérieurement, connus ou non connus doivent être évaluées de façon actuarielle.

Les provisions techniques se divisent ainsi : provision pour participation aux bénéfices, provision pour sinistres, provision pour égalisation des risques, provision globale de gestion, provision constituée au titre de la garantie plancher, provision pour aléas financiers, provision pour risque croissant, provision pour risque exigibilité et s’ajoutent aux provisions techniques la provision pour dépréciation durable. Nous pouvons souligner que d’autres types de risque existent comme celui de rachat, de décès qui sont traités par Solvabilité II, notion abordée plus tard. Ainsi apparaît une première catégorie de risque liée à l’assuré. Ce sont les risques dits de souscription.

Ces primes constituent le chiffre d'affaire des assurances qui les réinvestissent dans des actifs rémunérateurs en vue de dégager des profits. Un autre type de risque est alors mis en évidence, celui qui touche les sociétés d’investissement, à savoir les risques de marché : ils correspondent à la dépréciation des titres détenus.

Surtout, la crise financière actuelle a conjointement précipité les autorités à mettre en place des réformes pour mesurer ces risques et motivé les Sociétés d’Assurances à appliquer ces mesures de risque au plus vite.

C’est dans cette démarche que Natixis Assurances s'inscrit : très rapidement, elle a mis en place un modèle standard conforme au "QIS"4 puis "QIS" 5 en vue de posséder ainsi pour la date d’échéance (2013) un modèle représentant finement ses risques spécifiques.

Ce besoin d’évaluer précisément ces risques se fait sur l'estimation du montant minimal requis en capital de la société d’Assurances au cours de l’année pour y faire face ; ce montant correspond aux fonds propres requis face aux risques, c’est-à-dire au passif non subordonné de la société. C’est dans ce cadre que s’inscrit Solvabilité II.

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1.1.3 Solvabilité 2 : son principe, son histoire

1.1.3.1 Solvabilité I et II : son histoire

La marge de solvabilité est le montant de capitaux réglementaires qu'une entreprise d'assurance est tenue de détenir pour faire face aux événements imprévus. Les exigences de marge de solvabilité sont en place depuis les années 1970. Il a été reconnu dans les directives assurances de troisième génération, adoptées dans les années 1990, que les règles de solvabilité de l'UE devraient être révisées. Les directives exigeaient que la Commission réexamine les besoins en matière de solvabilité ; suite à cet examen une réforme limitée a été adoptée par le Parlement européen et le Conseil en 2002. Cette réforme s'appelle Solvabilité I.

Après Solvabilité I qui prévoyait une marge de solvabilité déterminée de façon forfaitaire (en fonction de ratios sur les primes et les sinistres), la réglementation des assurances passe à des règles plus complexes intégrant le risque.

Solvabilité II comprend un examen de la situation financière globale d'une entreprise d'assurance, et ne se limite pas seulement à une exigence de marge de solvabilité. Elle prendra en considération les développements récents en matière d'assurance, de gestion des risques, de techniques financières, de normes comptables internationales (IFRS) et de normes prudentielles, etc.

Pendant 2004 et 2005, la Commission a envoyé trois vagues de demandes d'avis à l’EIOPA, portant sur les différents aspects du nouveau système de solvabilité. Afin de guider l’EIOPA dans sa tâche, la Commission a exposé certaines orientations politiques et certains principes au sein d'un document appelé le "Cadre de consultation" qui a été publié en juillet 2004. EIOPA a envoyé ses réponses finales aux trois vagues de demandes d'avis après de nombreuses discussions internes, des interactions avec de nombreuses parties prenantes et des consultations publiques (le 30 juin 2005, le 1er novembre 2005 et le 3 mai 2006 respectivement).

Juillet 2007 : La Commission adopte la proposition Solvabilité II

Février 2008 : La Commission adopte une proposition modifiée sur la Solvabilité II

Exercice QIS 5 (Quantitative Impact Study) : Les mesures de niveau 2 (calibrage de la formule standard) ne seront connues que fin 2011. Dans l’intervalle, les analyses d’impacts doivent être menées : pour cela, des exercices sont menés par les acteurs du marché de l’assurance afin d’affiner le calibrage définitif. C’est l’objet du QIS 5.

Entrée en vigueur de Solvabilité II : le 1 janvier 2013

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Figure 1.1 : calendrier du QIS 5

Source : extrait de la présentation au Comex du 28/10/2010 par Natixis Assurances

1.1.3.2 L’estimation du capital de solvabilité : le SCR

Solvabilité II est une réforme réglementaire européenne du monde de l'assurance pensée en 2007. Son objectif est de mieux adapter les fonds propres exigés des compagnies d'assurances et de réassurance avec les risques que celles-ci encourent. Aussi, Solvabilité II définit des exigences quantitatives à respecter, notamment sur l’harmonisation des provisions et l’instauration de minima de fonds propres.

Par rapport à Solvabilité I qui reposait sur un calcul de la marge de solvabilité qui ne prenait pas en compte la réalité économique de l’exposition aux risques* (puisque basée sur une méthode forfaitaire), Solvabilité II permet d’adopter une approche qui reflète les diverses risques encourus.

*Exemple : sous Solvabilité I, deux compagnies ayant une structure de passif identique mais avec des allocations d’actifs différentes (l’une 100% actions, l’autre 100% OAT) ont le même besoin en capital

Le SCR sous Solvabilité II correspond au minimum de capital de fond propre dont doit disposer une compagnie d’Assurances.

Définition du SCR : le SCR (Solvency Capital Requirement) est le capital cible nécessaire de disposer aujourd’hui pour s’assurer d’être probablement solvable dans le futur (horizon 1 an) avec une probabilité à 99,5 %.

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La mesure est la Value at Risk de la Net Asset Value (NAV : Fonds Propres économiques).

La VaR à 0,5% est le quantile définit par %5,0)( %5,0 =≤ VaRNAV éProbabilit

La définition du capital dans l’environnement Solvabilité II repose sur une vision économique du bilan de la compagnie. A chaque date de projection, les flux d’actifs (tombées de coupons, remboursement, réalisation de plus values d’actifs) et flux de passifs (primes diminuées des sinistres, prestations, variation de provisions et frais généraux) sont estimés afin de pricer le bilan économique (cette notion est développée plus tard).

Ainsi, «Solvabilité II» est la première mesure permettant d’instaurer des exigences de solvabilité fondées sur une estimation du risque économique profilé par type dans tous les États membres de l'Union européenne. Ces nouvelles exigences en matière de solvabilité sont davantage fondées sur une évaluation du risque et sont plus sophistiquées que par le passé (Solvabilité 1), permettant ainsi une meilleure couverture des risques réellement encourus par chacun des assureurs.

1.1.3.3 Les trois piliers de solvabilité 2

Solvabilité II repose sur 3 piliers:

• Le premier pilier a pour objectif de définir des seuils quantitatifs aussi bien pour les provisions techniques que pour les fonds propres. Ces seuils deviendront des seuils réglementaires. Deux niveaux de fonds propres seront définis : MCR et SCR.

o Le MCR représente le niveau minimum de fonds propres en-dessous duquel l'intervention de l'autorité de contrôle sera automatique.

o Le SCR représente le capital cible nécessaire pour absorber le choc provoqué par un sinistre exceptionnel.

• Le deuxième pilier a pour objectif de fixer des normes qualitatives de suivi des risques en interne aux sociétés. L'identification des sociétés "les plus risquées" est un objectif et les autorités de contrôle auront en leur pouvoir la possibilité de réclamer à ces sociétés de détenir un capital plus élevé que le montant suggéré par le calcul du SCR et/ou de réduire leur exposition aux risques.

• Le troisième pilier a pour objectif de définir l'ensemble des informations détaillées que les autorités de contrôle jugeront nécessaires pour exercer leur pouvoir de surveillance et de déterminer les points concernant la communication au public.

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1.2 La valorisation du bilan économique

1.2.1 Le bilan économique

Figure 1.2 : Présentation du bilan économique

ACTIF PASSIF

SCR

Marge de risque

Autres dettes

Légende

PT : Provisions techniques

VM : Valeur de marché

NAV : Net Asset Value ou Fonds Propres économiques

Fonds Propres

éligibles

PASSIF S2 associé

LE BILAN ECONOMIQUE SOLVABILITE 2

Placements de

titres et autres

actifs en VM

PT à charge des

réassureurs

NAV

Best Estimate

PT ou

engagements

envers l'assuré

La Net Asset Value correspond aux Fonds

Propres économiques : une partie de ces

Fonds Propres (FP éligibles) permettent de

couvrir le SCR (capital de risque

règlementaire requis)

Solvabilité 2 requiert une évaluation du bilan de façon économique : les actifs sont exprimés en valeur de marché et les engagements (Provisions mathématiques) envers les assurés sont « Best Estimate » : la valorisation de ces engagements doit représenter au mieux leur réelle valeur à l’instant d’étude.

En Epargne, il est nécessaire pour évaluer le « Best Estimate Liability » de diffuser des scénarios économiques « Market Consistent » (notion définie plus loin).

La « NAV » (Net Asset Value) est la différence entre l’Actif en valeur de marché, principalement des placements de titres en assurances, et du passif non subordonné.

Elle est donc les Fonds Propres (capitaux propres augmentés des réserves et résultats) sous une vision économique du bilan.

Les Fonds Propres éligibles, qui représentent les éléments des Fonds Propres permettant de couvrir le capital de solvabilité SCR, seront détaillés plus loin : ils intègrent pleinement les problématiques liées à l'importance des calibrages, notamment en Épargne. Il ne faut pas les confondre avec les Fonds Propres

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économiques (« NAV ») bien qu'il existe une relation qui les lie (cf la réserve de réconciliation).

Ce bilan constitue le socle pour les calculs de SCR en Formule Standard (FS) et en Modèle interne.

Remarque : Le bilan économique est par ailleurs utilisé pour calculer la MCEV (Market Consistent Embedded Value) et la New Business Value, deux évaluations de la capacité économique des contrats détenus à générer des profits futurs.

La sensibilité du SCR au calibrage des risques de marché est surtout valable pour l’Epargne (cf « Mise en perspective des enjeux du calibrage des risques de marché ») où l’assureur peut selon les conditions contractuelles s’engager à revaloriser chaque année le capital déposé par le particulier à un taux minimum garanti.

Il est donc important de définir les différents mécanismes établissant la valorisation des actifs, les engagements envers les assurés et les intéractions Actif/Passif.

C’est l’objet de cette partie.

1.2.2 Définition des flux Actif/Passif en Epargne

Les flux d’actifs correspondent aux revenus des tombées de coupons et remboursements des obligations, des dividendes perçus, de la réalisation de plus values des actifs risqués et la vente de plus values supplémentaires d’actifs risqués (si besoin pour servir le taux commercial cible).

Les flux de passif sont définis par les primes nettes de chargement diminuées des rachats, arbitrages Euro/UC, décès et des contrats venant à terme.

1.2.3 La valorisation Best Estimate des engagements en Epargne

Une estimation du « Best Estimate Liability » est la moyenne des valeurs actualisées aux taux courts termes « rollés » des éléments constitutifs du passif :

• Les prestations dues aux assurés : estimées d’après des modèles de rachats et décès, elles sont issues des sorties des provisions mathématiques revalorisées selon les performances de l’actif du scénario considéré et des taux minima garantis

• La commission des gestionnaires des encours « Asset manager »

• D’autres éléments résiduels de fin de projection comme les réserves de capitalisation, la provision pour risque d’exigibilité (PRE) et les plus ou moins values latentes.

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Figure 1.3 : Présentation du mécanisme de valorisation « Best Estimate » des engagements en Epargne

Performance de l'actif issue du scénario économique "n" à date 2011 Performance de l'actif issue du scénario économique "n" à date 2040

Flux Actif = Portefeuille de placements Ptf de placements 2011 … Ptf de placements 2040

Flux Passif = PM initiale PM n+1 = PM n + Primes + PB - prestations PM 2011 … PM 2040 = fin de projection

Actualisation au taux court spot rollé issu du scénario économique "n"

*plus values actifs risqués réalisées selon l'algorithme de taux servi

***Les rachats sont d'origine structurelle (estimée depuis une table d'expérience) et dynamiques (dépendant de la rémunération de l'Actif)

Scénario

économique n

Modélisation des intéractions Actif/Passif en Epargne => Une première mise en évidence du rôle du calibrage des facteurs de risques de marché

Prestations n+1:

PB n+1:

Prestations n :

Somme des valeurs actuelles des prestations

+ PM fin actualisée

PM Best Estimate du scénario n

Produits financiers et

réalisation de plus values

actifs risqués* attribués à

l'assurés**

**la partie des produits financiers attribuée est déterminée contractuellement par le minimum du taux minimum

garanti et celui du taux d'attribution financière qui peut être revue à la hausse selon l'algorithme de taux servi

dues aux décès, rachats ***

Participation aux bénéfices :

Primes

Le scénario économique impacte :

- le portefeuille de placement qui se réaligne selon una

allocation cible statique

- le taux commercial qui est fonction du niveau des taux et

rendements actions projetés

Ainsi, le procédé de valorisation « Best Estimate » du passif fait apparaître le rôle majeur des valeurs financières diffusées que ce soit lors de l’actualisation ou lors de la valorisation de la participation aux bénéfices.

Elle fait aussi apparaître les caractères optionnels cachés contenus implicitement dans les engagements : ils induisent potentiellement une non-linéarité de la relation entre facteurs de risque de marché et la valeur des engagements techniques : en épargne, fonds euros, l’assureur doit effectivement au moins revaloriser la provision mathématique du taux minimum garanti (dont le seuil minimal est nul).

Remarque :

Les autres flux dans le bilan économique correspondent aux frais généraux et frais de gestion : elles sont estimées sur le même principe que les provisions mathématiques, à savoir par la moyenne sur scénarios des valeurs actuelles.

1.2.3.1 L’algorithme du taux servi

Le taux servi est fonction d'un taux commercial correspondant au taux attendu par le client, des performances du portefeuille d'investissements et des sinistres (rachats, décès) étant intervenus au cours de la période.

18

Nous définissons un taux commercial déterminé à partir de variables financières du marché : taux long, taux court et performance du CAC 40. Il correspond au taux attendu par l’assuré et sert à évaluer la participation aux bénéfices commerciale. Il est calibré sur l’historique du taux servi et des valeurs financières de marché associées.

Il est donc fonction des performances diffusées par les scénarios économiques.

Il est à noter que les impacts quantitatifs du taux commercial sont fortement liés au paramétrage des rachats dynamiques.

Le principe de mutualisation des contrats et la méthode de cascade des Taux Minima Garanti interviennent au sein du processus décrivant la politique de taux servi qui est fonction du niveau de plus values en actifs risqués et de la provision pour excédent.

1.2.3.2 Les rachats dynamiques

La loi de rachats dynamiques prend la forme suivante :

Figure 1.4 : loi de rachats dynamiques

L’écart de taux de référence est égal à la différence entre le taux commercial et le taux servi ; dès que le taux servi par l’assureur n’est pas suffisant en comparaison à celui servi par la concurrence, le seuil de déclenchement est franchi et des rachats conjoncturels apparaissent jusqu’à un seuil limite.

Les paramètres définitifs sont choisis en fonction des résultats issus du modèle interne et des éventuelles études de marché.

L’ensemble de ces processus (valorisation « Best Estimate », rachats dynamiques, algorithme de taux servi) démontre la subordination de la valorisation du passif en Epargne aux performances de l’actif.

19

1.3 Introduction aux principes généraux des méthode s d’estimations du SCR

L'objectif de cette partie est d'introduire les concepts généraux permettant de conduire à l'estimation du capital de solvabilité 2, dit SCR pour "Solvency Capital Requirement".

1.3.1 Le modèle central gestion Actif/Passif (modèle ALM)

1.3.1.1 Définition du modèle « ALM »

Le nom « ALM » vient de « Asset Liability Management », expression communément employée pour désigner l'ensemble des études de la Gestion Actif/Passif.

Le modèle actuariel « ALM » est central : il modélise les engagements techniques envers l'assuré par contrat et produit, les intéractions actifs Passif/Passif comme par exemple l'algorithme de réalignement des actifs. Il constitue donc l'ossature de la structure mis en oeuvre pour estimer le capital de solvabilité.

L'estimation du capital de solvabilité 2 nécessite en effet de valoriser son actif en valeur de marché ; Les engagements envers ses assurés (provisions mathématiques), au passif du bilan, sont valorisés en « Best Estimate ».

Pour la Prévoyance, cela se fait via la méthode chain ladder.

Pour l’Epargne, la valorisation « Best Estimate » consiste à revaloriser les provisions à chaque pas de temps selon les performances de l'actif calculées d'après les scénarios économiques diffusés et les taux minima garantis contractuellement ; les prestations sont alors déduites d'après des modèles de rachats et décès ; la moyenne sur l'ensemble des scénarios économiques des flux de passif actualisés à la courbe des taux courts « rollés » (taux sans risque par hypothèse) permet de déduire la valeur estimée au mieux des provisions mathématiques.

Il est donc nécessaire pour l'Epargne de disposer d'une structure centrale qui représente l'ensemble des intéractions Actif/Passif, modélise les engagements techniques envers l'assuré par contrat et produit et simule les sorties (décès et rachats). C'est le rôle du modèle actuariel « ALM ».

20

Figure 1.5 : Structure générale de la modélisation Epargne

Générateur de scénarios économiques Caractéristiques portfeuille de placements Caractéristique des contrats, produits Table de rachats structurels et table de décès

ESG issues de l'expérience

Outil de projection intégrant les calculs liées aux intéractions Actif/Passif

Moses

Moyenne sur scénarios des flux actualisés

VM placements NAV : Fonds Propres économiques

VEP : valeurs économiques du passif non subordonné

Capital de solvabilité requis

Flux en output : prestations, résultat, provisions mathématiques revalorisées, frais,

valeur de marché des placements, produits financiers…

Fonds Propres éligibles

Bilan économique

Pour chaque date future et

chaque scénario économique :

SCR

1.3.1.2 Ossature pour la Formule Standard et le Modèle Interne en Épargne

Cette structure centrale est nécessaire à la fois pour évaluer le SCR version Formule Standard, le SCR estimé par la méthode Modèle Interne retenue et pour des études plus spécifiques détaillées dans le tableau ci-dessous.

21

Figure 1.6 : Calculs effectués par le modèle « Asset Liability Management »

Processus inclus dans le périmètre du modèle central

Évaluation de la MCEV Évaluation de la valeur du portefeuille de contrats Évaluation de la valeur du new business Analyse des écarts Analyse de sensibilité

Évaluation du capital réglementaire (SCR /MCR) Évaluation des Best Estimate Solvabilité II Évaluation des bilans choqués (formule standard) Évaluation du SCR modèle interne

Études ALM

Allocation stratégique d’actif Reporting dynamique Risque de marché Stratégie de couverture Politique de PB Reporting du taux servi GAP de trésorerie

Provisionnement Évaluation des Best Estimate IFRS – point d’attention : projection par génération / locking des hypothèses Provisions French GAAP nécessitant des projections (PGG, PAF) Etats ACAM C6 bis, T3 – sous réserve de leur maintien dans le nouveau référentiel LAT

Evaluation de l’ORSA / Tolérance au risque Evaluation du capital économique en continuité d’activité (ORSA) Evaluation de la tolérance au risque

Etudes de rentabilité Définition de la norme de souscription et des limites de risques par activité Exemples de normes / limites:

• garanties exclues (interdites dans tous les cas de figures) o Taux garantis viagers

• Garanties limitées (autorisées sous réserve d’une analyse d’impact approfondie et d’un processus de validation complet)

o Taux garantis pour une durée limitée supérieur à x% du TME • Garanties autorisées (autorisées dans le cadre du processus de lancement

de produit standard) o Taux garantis pour une durée limitée inférieur à x% du TME o Taux annuels précomptés

Etudes de rentabilité des nouvelles générations ADE

22

Il existe deux approches pour calculer le SCR, "Solvency Capital Requirement", qui correspond au besoin réglementaire de Fonds Propres nécessaire de détenir sous une vision économique du bilan prudentiel :

• La méthode Formule Standard : la première dite Formule Standard est obligatoire dès janvier 2013 ; elle consiste à suivre des spécifications techniques communes à l'ensemble des assureurs.

• Une méthode Modèle Interne : La seconde est dite Modèle Interne : la méthode employée consiste bien souvent à déterminer la distribution de Fonds Propres économiques afin de représenter de façon fine l'ensemble des risques spécifiques encourus par l'entreprise.

1.3.2 La méthode Formule Standard

La méthode « Formule Standard » repose sur l’hypothèse d’une distribution normale multivariée des risques. Elle suppose aussi une dépendance linéaire des Fonds Propres économiques aux facteurs de risque.

1.3.2.1 La Formule standard : basée sur chocs instantanés

La méthode « Formule standard » pour évaluer le SCR a été défini et mené depuis 2007 en entreprise.

Elle consiste à appliquer des chocs instantanés sur différents facteurs de risque afin de constituer des capitaux de risque qui sont déduits de la différence entre les Fonds Propres en situation centrale et ceux en situation choquée.

Ces Fonds Propres économiques (NAV : net asset value) sont évalués grâce au modèle central décrit supra et donc par module de risque.

Les SCR calculés par module sont ensuite agrégés par une matrice de corrélation afin d’en déduire le SCR final.

23

Figure 1.7 : L’approche modulaire de la Formule Standard

Source : extrait d’un document Natixis Assurances

1.3.2.2 La Formule standard : le principe bottum-up

L’agrégation des risques par une matrice de corrélation suppose une dépendance elliptique des capitaux de risque. Elle s’effectue selon la formule consacrée :

Le principe bottum-up de l’agrégation modulaire des capitaux de risques évalués par chocs instantanés peut être résumé suivant le graphe infra présentant les résultats de l’exercice QIS 5 pour la plus grande filiale de notre holding : il est à préciser qu’il s’agit exclusivement d’une activité Epargne.

24

Figure 1.8 : Illustration du principe « bottum-up » sur résultats du QIS 5

Le SCR en « Formule Standard » par catégorie de risque est la mesure de variations de « Net Asset Value » lorsque le choc est appliqué au facteur de risque associé.

)()( stresséecentralerisque de module par NAVENAVE SCR −=

En effet, la mesure de la variation de la NAV (Fonds Propres économiques) correspond au capital de risque qu’il faudrait détenir pour faire face au stress considéré : chacun des stress par module de risque est spécifié par l’EIOPA.

Le calibrage de ces stress fait l’objet d’une section à part : il doit correspondre au montant à détenir en Fonds Propres pour faire face à un événement extrême dont la probabilité de réalisation est de 0,5 % soit 1 fois tous les 200 ans : la description du principe du calibrage en « formule Standard » est donnée en partie 2.

1.3.3 La méthode Modèle Interne

1.3.3.1 Le principe de la méthode Simulation dans la Simulation

Un autre moyen d’évaluer le capital de solvabilité sous Solvabilité 2 (SCR) est une méthode qui repose sur une estimation de la distribution des montants de Fonds

25

Propres économiques à un an et retenir la VaR à 0,5 %. Il s’agit ici de décrire la méthode interne que nous avons retenue : la Simulation dans la simulation (SdS). Chaque évaluation des Fonds Propres économiques est réalisée grâce au modèle central « ALM » et sur des scénarios économiques. Le processus suit trois étapes :

• Étape 1 : diffusion des valeurs financières sur un an (rendements actions, courbe des taux) calibrées en monde réel : ils sont dits scénarios primaires

• Etape 2 : estimation des richesses à horizon 1 an : taux de plus ou moins

value latente à un an, pertes d’actifs suite à des défauts simulés… • Etape 3 : valorisation du bilan économique (cf 1.2) en chacun des scénarios

primaires d’après des scénarios économiques « market consistent » en chacun des points « scénarios primaires »

La notion « monde réel et market consistent » est développée en partie 4.

Figure 1.9 : Illustration d’une méthode modèle interne : la Simulation dans la Simulation

Simulation 1Actif 1,1 Passif 1,1

Actif 0 Passif 0Simulation k

Actif 1,k Passif 1,k Distribution de NAV à 1 an

Simulation 1000Actif 1,1000 Passif 1,1000

t=0 t=1 an t=1an t=30ans

Valoriser grâce au jeu de scénarios secondaires 1,1 calibrés sur le scénario primaire 1

Valoriser grâce au jeu de scénarios secondaires 1,k calibrés sur le scénario primaire k

Valoriser grâce au jeu de scénarios secondaires 1,1000 calibrés sur le scénario primaire 1000

Bilan économique à 1 an

PlacementsNAV 1,1000

BE 1,1000

Bilan économique à 1 an

PlacementsNAV 1,k

BE 1,k

Bilan économique à 1 an

PlacementsNAV 1,1

BE 1,1

Scénarios primairesScénarios en univers Monde Réel

Scénarios secondairesScénarios en univers Risque Neutre

Bilan économique initial

NAV 0

BE 0

Placements

Nécessité de calibrer ce jeu 1,k sur ce scénario primaire k

Légende : NAV : Fonds propres ou encore Net Asset value BE: valeur économique du passif Best Estimate

Cette méthode exigerait de projeter les volatilités implicites des actions afin de permettre un calibrage "market consistent" à horizon un an lorsque les risques financiers diffusés seront diffusés pour valoriser le bilan (simulations secondaires). Il en est de même pour les options liées aux taux avec les swaptions ou caps.

26

Cette problématique de réconciliation ou recalibrage à horizon un an sera développée plus tard. Les notions d'univers monde réel et univers risque neutre sont développées plus tard.

1.3.3.2 Le calcul du SCR avec un Modèle Interne « SdS »

A horizon un an, la distribution des « NAV » permet de déterminer le SCR en retenant la différence entre l’espérance des « NAV » en t=0 et celle correspondant à la Value at Risk à 99,5 % à 1 an actualisée en t=0 par le prix zéro coupon de maturité 1 an issu de la courbe des taux spot initiale, correspondant bien au montant à détenir en Fonds Propres pour faire face à un événement extrême dont la probabilité de réalisation est de 0,5 % soit une fois tout les 200 ans.

)),(()1,0()),(( 121%5,0021 == ×−= tt XXNAVVaRPZCXXNAVESCR

où tXXNAV ),( 21 correspond au Fonds Propres économiques à t ans.

En Epargne, la valorisation du bilan à horizon un an repose sur une projection des flux pendant les 12 premiers mois via des scénarios économiques calibrés en monde réel : à chaque scénario monde réel à horizon un est diffusé un jeu de 1000 scénarios Market Consistent sur un horizon donnée (typiquement 40 ans) afin de valoriser le bilan. A titre illustratif, un modèle interne permettrait d’obtenir :

Figure 1.10 : Distribution de la « NAV » à un an

27

Remarque :

D’autres méthodes existent telles le Replicating Portfolio ou Last Square Monte Carlo (cf annexe).

Conclusion chapitre 1 :

La valorisation du bilan économique est une étape préalable au calcul du SCR. Elle s’effectue via le modèle central permettant d’évaluer les flux générés par la société d’après son profil de risque et ses politiques de gestion qui lui sont propres.

Nous avons décrit:

• Les méthodes de valorisation des Fonds Propres économiques • Les intéractions Actif/Passif en Epargne • Le lien entre méthodes de calculs de SCR et valorisation des Fonds Propres

économiques.

Il est désormais possible de décrire les facteurs de risque de marché sous Solvabilité 2 en Formule Standard ; les principes des spécifications des calibrages sur lesquels ils reposent sont aussi à détailler. C’est l’objet du chapitre qui suit.

28

2 Le principe du calibrage des facteurs de risque de marché en Formule Standard

Le principe du calibrage des SCR de la méthode Formule Standard par catégorie de risque permet de déduire les limites des hypothèses fortes sous-jacentes à son usage. Cependant, l'ambition de cette partie n'est pas de faire l'inventaire des calibrages retenus par module, ceux-ci étant effectués de façon semblable : sur l'exemple du risque action, nous détaillerons le travail ayant conduit au niveau de choc spécifié lors de l’exercice « QIS 5 ». Le chapitre 3 présentera dès lors la compréhension des limites du principe de l'application de la méthode "Formule Standard" pour montrer la nécessité de développer un modèle interne en Epargne.

2.1 Les facteurs de risque de marché en Formule Standard

Le risque de marché désigne le risque de perte ou de changement défavorable de la situation financière résultant, directement ou indirectement, de fluctuations affectant le niveau de la valeur de marché des actifs, des passifs et des instruments financiers. Il comprend en « Formule Standard » :

• Le risque action : un capital de risque est calibré pour faire face à une moins value latente des actions

• Le risque de taux : un capital de risque est calibré pour faire face au risque de

hausse ou baisse des taux • Le risque immobilier : un capital de risque est calibré pour faire face à une

moins value latente des actifs immobiliers • Le risque de spread : un capital de risque est calibré pour faire face au risque

d’écartement des spreads, notamment pour quantifier les risques d’exposition aux titres risqués classés « high yield » et produits structurés

• Le risque de concentration : un capital de risque est calibré pour faire face au

risque d’expositions à un même émetteur (risque de défaut) • Le risque de change : un capital est constitué pour faire face à la variation

défavorable du cours de change d’une devise sur laquelle l’assureur est exposé.

• Le risque d’illiquidité : un capital de risque est calibré pour faire face à une

baisse de la prime d’illiquidité qui engendrerait une hausse du passif économique non subordonné (Best Estimate).

29

D’autres facteurs associés aux risques de marché ont un impact implicite dans le processus du calcul du SCR puisqu’ils servent à valoriser les différents postes du bilan au passif (notamment en Epargne) : ce sont l’ensemble des paramètres calibrant les modèles qui diffusent les scénarios économiques (cf chapitre 4). Les facteurs de risque de marché sont calibrés sur l'étude des indices financiers de marché : l'illustration d'une telle étude sous l'égide de l'EIOPA permettra d'en déduire la formalisation du principe Solvabilité 2 en « Formule Standard » et donc les approximations sous-jacentes à la méthode. Il s’agit ici de se limiter à la partie descriptive. L’intérêt de développer une méthode plus réaliste fait l’objet d’un chapitre à part (cf chapitre 3).

2.2 Hypothèses des calibrages du risque action en Formule Standard

2.2.1 Objectif et titres concernés

Le risque action matérialise l’éventualité de perte en capital suite à la baisse du cours des actions détenues. Les titres actions sont scindés en 2 groupes :

• Les actions type « global » qui sont celles listées dans les marchés de l’OCDE et de l’EEE (hors Private Equity)

• Les actions type « other » qui réunissent toutes les autres, telles que celles des marchés émergents, les hedge funds, FCPR etc

2.2.2 Le choc appliqué : le calibrage Formule Standard QIS 5

Conformément aux recommandations établies par QIS 5, le choc appliqué au 31/12/2009 aux valeurs de marché des actifs est de 30 % à la baisse s’ils proviennent de pays non émergents, dans le cas contraire, une décote de 40% est appliquée. Les stress en capitaux correspondent aux VaR à 0,5 % des rendements actions (voir détail ci-après). La richesse initiale dès lors choquée (valeur de marché des actions dégradée), les flux Actif/Passif sont projetés pour en déduire la Net Asset Value en situation stressée : le capital de risque action est alors déduit (cf 1.3.2.2).

30

2.2.3 Les hypothèses de calibrage

Quelles sont les hypothèses et études ayant permis d’aboutir au niveau de choc spécifié par la Formule Standard ? Le calibrage du choc sur valeur de marché des actions s’effectue en 2 étapes :

• La première vise à déterminer le Standard Equity Capital Charge (SECC) et représente la VaR à 0,5 % des rendements des actions*

• La deuxième étape vise à ajuster le rendement ce quantile la VaR à 0,5 % via

le mécanisme d’ajustement (Effet Dampener) qui consiste à diminuer le choc si en date de projection l’indice est en bas de cycle (probabilité plus forte de remontée) et inversement si positionnement du niveau de l’indice en haut de cycle.

*Actions type « global »: sur données MSCI World Developed Price Equity Index depuis 1973 *Actions type « other » : sur données LPX50 Total Return pour les Private Equity, S&P GSCI Total Return pour les Commodities, HFRX Global Hedge Fund Index pour les Hedge Funds, MSCI Emerging Markets BRIC pour les Emerging Markets

Remarque:

• Ces distributions font apparaître des « fat tails » et un « skewness ». Pour conserver le risque de chocs extrêmes, le CEIOPS (ou nouvellement EIOPA) fait le choix de ne pas approximer cette distribution par une loi normale, mais de conserver les lois empiriques, malgré une forte dépendance aux données.

• Le Consultation Paper proposait un stress de 45 % représentant bien chacune

des VaR pour les actions global vs 60 % pour les « others » Etape 2 : évaluation de l’effet Dampener Pour les actions, il correspond au terme :

∑

∑−

−=

−

−=−

nt

tss

nt

tsst

In

In

I

1

1

1

1

où I est l’indice de l’actif risqué étudié à la date t et n le nombre de jours (260) considérés sous la contrainte forfaitaire -10%*standard capital stress ≤ adjustment ≤ 10%*standard capital stress Le stress total est de la forme: adjusted capital stress = standard capital stress + adjustment * beta

31

2.2.4 Vers un calibrage plus « Entity Specific » ?

L’analyse de la répartition géographique du portefeuille action de type « global » de la société d’assurance montre qu’il est constitué à près de 92 % d’actions européennes et 7 % d’actions américaines. Le benchmark de la société d’Assurances étant l’Eurostoxx 50, il est intéressant de porter l’étude sur cet indice depuis 1986. L’étude révèle un niveau de choc égal à celui préconisé par l’EIOPA.

Figure 2.1 : Distribution des rendements Eurostoxx 50 depuis 1986

Un focus est fait sur l’établissement des niveaux de corrélations des capitaux de risque, toujours dans la continuité de l’ambition d’identifier les limites de la Formule Standard.

32

2.3 Les corrélations des capitaux de risque de marc hé en Formule Standard

Les coefficients de corrélations doivent être établis en phase de crise afin de refléter les corrélations dans les extrêmes, s’agissant d’agréger des capitaux de risque calibrés, comme vus précédemment, sur des quantiles à 0,5 % (ou 99,5 %). Il est très difficile voir impossible de justifier quantitativement de la dépendance entre deux risques, et encore plus difficile d’estimer la dépendance entre charges de capitaux. Cependant, le CEIOS (nouvellement EIOPA) donne quelques arguments macro économiques qui permettent de justifier la dépendance entre les risques puis la corrélation entre les charges en capitaux. Il faut néanmoins garder à l’esprit que la méthodologie du CEIOPS se veut plus prudentielle que réellement représentative de la réalité.

Une forte baisse du prix des actions tel que celui spécifié dans le module action (de -45 à -60 %) indique que la situation est dans une phase de récession. Dans ce cas, il y a conjointement augmentation de l’aversion aux risques due à la perte de confiance des acteurs de marché et augmentation des probabilités de défauts ; d’où une forte élévation des spreads de crédit. De la même manière, en période de récession, il y a diminution de la demande en immobilier donc diminution des prix : il s’agit ici de traduire les hypothèses ayant conduit aux niveaux retenus pour QIS 5, exercice mené par les assurances permettant de d’affiner le calibrage définitif des mesures de niveau 2 : cf 1.1.3), hypothèses certes contestables en regard des augmentations successives des prix immobiliers sur la période 2007-2011. Le détail des hypothèses figure dans le Consultation Paper 74. A l’inverse, une augmentation des spreads de crédit indique une aversion au risque accrue qui peut directement ou indirectement jouer sur la valeur des entreprises donc sur le cours des actions associées. La même analyse est portée sur l’immobilier. Ces trois risques sont donc fortement liés. Les corrélations prudentielles appliquées aux capitaux de risque sont :

• Corrélation actions/spread = 75 % • Corrélation actions/immobilier = 75 % • Corrélation spread/immobilier = 75 %

En cas de crise majeure, il est probable que l’ensemble des marchés soit touché, mais pas de la même façon : cela implique une augmentation de la volatilité des taux de change. A l’inverse, de forts mouvements des taux de change peuvent conduire à de forts mouvements d’autres paramètres économiques comme on a pu l’observer avec la dernière crise. Une forte corrélation entre le risque de change et les autres paramètres peut donc être justifiée. Mais d’un autre coté une même variation des

33

taux de change peut ne pas être ressentie de la même manière sur les profits de deux sociétés différentes et donc être un avantage ou un désavantage. Il est donc approprié de choisir un coefficient moyen pour la corrélation.

• Corrélation change/taux d’intérêt = 50 % • Corrélation change/actions = 50 % • Corrélation change/immobilier = 50 % • Corrélation change/spread = 50 % • Corrélation change/concentration = 50 %

En cas de ralentissement économique, les banques centrales ont souvent tendance à baisser leurs taux directeurs afin de relancer la croissance. Ainsi, une évolution défavorable des paramètres du marché implique une diminution des taux directeurs qui, à son tour, entraine une diminution des taux zéro-coupons. On pourrait donc justifier d’une corrélation forte entre les taux d’intérêt et le marché. Cependant la diminution des taux d’intérêt peut avoir un impact plus ou moins négatif sur les compagnies d’assurance en fonction de la duration de leur passif. Finalement, il est convenable de prendre un facteur de corrélation moyen entre les taux et le marché.

• Corrélation taux d’intérêt/actions = 50 % • Corrélation taux d’intérêt/change = 50 % • Corrélation taux d’intérêt/spread = 50 % • Corrélation taux d’intérêt/immobilier = 50 %

Quant aux facteurs de corrélation du risque de concentration, ils traduisent l’augmentation de la charge que doit supporter l’assureur sur les risques de taux, d’action, de spread, de change et d’immobilier lorsque ses investissements ne sont pas « bien diversifiés ». Le risque est donc très important, et une corrélation forte entre les autres facteurs doit être retenue.

• Corrélation concentration/actions = 75 % • Corrélation concentration/taux = 75 % • Corrélation concentration/change = 50 % • Corrélation concentration/immobilier = 75 % • Corrélation concentration/spread = 75 %

Au final, le calibrage du QIS 5 retient les niveaux suivants pour la matrice de corrélations des capitaux de risque de marché (qui est fonction du risque encouru à la hausse ou à la baisse des taux par la société d’assurances)

34

Figures 2.2 et 2.3 : Matrices de corrélations des capitaux de risque QIS 5

Si sujet au risque de baisse des taux :

1

0,5 1

0,5 0,75 1

0,5 0,75 0,5 1

0,25 0,25 0,25 0,25 1

0 0 0 0 0 1

0 0 0 -0,25 0 0 1

Si sujet au risque de hausse des taux :

1

0 1

0 0,75 1

0 0,75 0,5 1

0,25 0,25 0,25 0,25 1

0 0 0 0 0 1

0 0 0 -0,25 0 0 1

Change

Concentration

Prime d'illiquidité

ConcentrationPrime

d'illiquidité

Taux

Action

Immobilier

Spread

Matrice de corrélation des

capitaux de risque de Taux Action Immobilier Spread Change

Concentration

Prime d'illiquidité

ConcentrationPrime

d'illiquiditéTaux Action Immobilier Spread Change

Matrice de corrélation des

capitaux de risque de

Taux

Action

Immobilier

Spread

Change

2.4 Mise en perspective des enjeux du calibrage des risques de marché sous Solvabilité 2

La mise en perspective des enjeux du calibrage des risques de marché a été illustrée en partie précédemment pour l’Epargne par les mécanismes qui régissent la valorisation des engagements en « Best Estimate », mode de valorisation nécessaire sous Solvabilité 2 (cf « le bilan économique »). Au travers des résultats de l’exercice QIS 5 réalisé en 2009, une autre analyse permet de pointer la sensibilité du SCR au calibrage des risques de marché. Elle est menée sur la constitution du SCR et des Fonds Propres éligibles, montant pour couvrir ce capital règlementaire requis de risque; elle permet de distinguer ces enjeux selon le périmètre du business envisagé (Epargne et Prévoyance à l’étude).

35

2.4.1 Définition du taux de couverture et de la réserve de réconciliation

2.4.1.1 Le taux de couverture

Le taux de couverture correspond au rapport des Fonds Propres éligibles sur le capital de solvabilité requis (SCR). Le taux de couverture constitue un indicateur de risque essentiel dans une étude d’allocation stratégique (couple rendement/risque) sous le prisme Solvabilité 2 ; il est aussi un instrument de communication utilisé par l’ensemble des acteurs du marché, révélant la solidité de la gestion des risques sous Solvabilité 2.

Les deux raisons principales qui incitent les assureurs à communiquer sur cet indicateur sont :

• La première provient de sa définition même : cet indicateur précise la capacité de l’assureur à couvrir le capital règlementaire requis (SCR) avec ses Fonds Propres actuels.

• La deuxième raison tient notamment aux éléments participant à sa

formation :

o le SCR, comme vu, est le capital règlementaire qu’il faut détenir au vu des risques encourus. En « Formule Standard », les chocs appliqués appartenant au module risque de marché sont proportionnels à la valeur de marché (cf 2.2): ainsi donc, le SCR pourrait être plus faible lorsque les moins values latentes sont élevées si celles-ci impactent peu la valorisation du « Best Estimate Passif » (ce qui est le cas en Prévoyance comme détaillé plus loin.)

o Les Fonds Propres éligibles, numérateurs du taux de couverture, prennent en considération ce paramètre, ils tiennent compte des Plus ou Moins Values latentes, puisque la réserve de réconciliation (élément des Fonds Propres éligibles) est constituée en partie de celle-ci : un bilan en forte plus value verra sa réserve de réconciliation et donc ses Fonds Propres éligibles augmenter d’autant. Inversement en cas de moins values latentes.

L’intérêt du taux de couverture est donc de combiner l’ensemble de tels effets :

36

• Un assureur ayant un bilan économique à l’équilibre (valeur comptable des

placements égale à la valeur de marché) de taille modérée aura un SCR modéré en Formule Standard si la nature des investissements est peu risquée (chocs proportionnels à la valeur de marché des placements respectifs pour le module risque de marché par exemple) et des Fonds Propres éligibles non impactés par la richesse à la date considérée.

• Un assureur présentant les mêmes caractéristiques mais dont la taille du bilan

est plus importante aura donc un taux de couverture identique bien que son SCR sera plus élevé.

• En revanche, un assureur en forte moins values aura ses Fonds Propres

éligibles impactés (réserve de réconciliation diminuée de ce montant d’autant) contre un SCR qui pourrait être inchangé (en Prévoyance) : son taux de couverture sera alors plus faible que ses deux prédécesseurs.

Comme nous le verrons plus en détail dans les parties qui suivent, le taux de couverture est fonction du calibrage des risques de marché.

2.4.1.2 La réserve de réconciliation

Comme précisé précédemment, la réserve de réconciliation est constituée en partie des plus ou moins values latentes des placements ; l’autre élément important contribuant à sa constitution est la plus ou moins values du bilan prudentiel (solvabilité 2) sur le passif bilan social. Ainsi, un passif présentant des provisions mathématiques valorisées en « best Estimate » supérieures à celles en valeurs comptables constituent un sous-provisionnement pour l’assureur (ou une plus value vision assuré si celui-ci restait) qui impacte alors la réserve de réconciliation et donc les Fonds Propres éligibles en la diminuant d’autant. Pour rappel, comme montré en partie 1, la valorisation du passif Best Estimate en Epargne est fonction de l’ensemble des calibrages des risques de marché (courbe des taux et volatilités implicites des options des actifs de marché ayant servi à calibrer les modèles diffusant les valeurs financières).

37

2.4.2 Analyse des enjeux du calibrage des risques de marché pour la prévoyance

Figure 2.4 : L'élaboration du SCR et des Fonds Propres éligibles sur l'analyse des résultats de l'exercice QIS 5 au 31/12/2009

19 M€

9 M€Autres

Immo : 4%

11 M€

1,6 M€SCR de contrepartie

20,4 M€

Autres réserves (5%)+ dividendes*** (20%)

25%

PMVL placements actifs 2%

Réserve de RéconciliationPMVL réassurances à l'actif

-8%

-3%PM-BE-Risk margin- profits sur primes futures

45%

Autres retraitements* -42%Profits sur primes futures 37%Emprunts sub (TSDD) 5%PMVL impôts différés (actifs/passifs) => 20%Emprunts sub (TSDI) => 8%

**cap à 15% du SCR pour éléments T3 (impôts différés et TSDI ici) soit 15/100*20,4 en T3 car surcouvert en TSDI ***dividendes non versés donc figurent en Tier 1

50% des 42% expliqué par impôts différés Actif/Passif****

PREVOYANCE

En prévoyance

Principaux risque de marché

SCR de souscription

non vie après diversification

capital de risque action

SCR de marché sans effet de diversification

. -30%30% vb action

Risque spread : 18%capital de risque immobilier

Risque action : 40% SCR marché

SCR de souscription santé après diversification

SCR de marché après diversification

capital de risque taux 4.3% vb taux

capital de risque spread Risque taux : 1/3 SCR

marchéselon rating et duration

25% vb immo

risque de contrepartie

8%**

39,6 M€

Autres risques de marché

Fonds Propres éligibles % des Fonds Propres

éligibles

Agrégation des SCR avec effet de diversification : -30%

Capital social 18%

*différence entre "autres réserves", celle de la valorisation des titres subordonnés (vision éco S2 vs S1), des coûts d'acquisition différés (présents à l'actif sous S1) et isolement des impôts différés mis en T3 partiellement (cf **)

****impôts différés passif importants qui abaissent la RR car la prévoyance génère un surprovisionnement passif significatif (représenté essentiellement par l' écart sur méthode de valorisation de la sinistralité : forfaitaire sous S1, triangle de règlement sous S2). Le reste est expliqué par frais d'acquisition reportés

Primes liées au capital social

14%risque de marché

SCRrisques de

souscription

22% du SCR avant ef fet diversif ication

La constitution du SCR de marché en Prévoyance

Le SCR de marché (net) en Prévoyance ne bénéficie pas d’une diminution des chocs contrairement à l’Epargne (SCR de marché brut = SCR net de marché) car il n’y a

1

2

3

1

38

pas de mécanisme de participation aux bénéfices revalorisant les provisions mathématiques chez Natixis Assurances pour cette activité.

Le poids du SCR de marché en Prévoyance

Pour autant, l’absence de mécanisme d’absorption des pertes n’entraîne pas un poids disproportionné du SCR de marché face au SCR global : en effet, il ne représente que 22 % du SCR global contre 92 % en Epargne : les SCR non vie sont évalués de façon forfaitaires en « Formule Standard » et pèsent plus que le SCR de marché dans le SCR global de la Prévoyance. Toute chose égale par ailleurs, ceci conduirait dès lors à un taux de couverture très faible en comparaison à l’Epargne ; cependant, ce n’est pas le cas puisque le taux de couverture Prévoyance est à 196 % : les Fonds Propres éligibles en Prévoyance sont plus importants (x10) qu’en Epargne toutes choses égales par ailleurs (rapport estimé sur Fonds Propres éligibles en Prévoyance contre Fonds Propres éligibles Epargne pari passu à la valeur de marché des placements de la prévoyance).

Les Fonds Propres éligibles sous solvabilité 2 en Prévoyance

L’analyse du schéma montre que, via la réserve de réconciliation, les plus ou moins values des Provisions techniques (« Best Estimate » contre valeur comptable) représentent au 31/12/2009 45 % des Fonds Propres éligibles (Fonds Propres couvrant le SCR). Cependant, la valorisation « Best Estimate » du Passif en Prévoyance est moins sensible que l’Epargne à l’ensemble des calibrages associés aux risques de marché (notamment indépendante aux volatilités implicites des options servant au calibrage des valeurs financières diffusés) car le passif « Best Estimate » est valorisé via la méthode Chain Ladder, donc impacté par un facteur de risque de marché via uniquement l’étape d’actualisation des sinistres restant à régler : l’effet du risque de marché sur le passif est donc limité au niveau de la courbe des taux.

2

3

39

2.4.3 Analyse des enjeux du calibrage des risques de marché pour l’Epargne

Figure 2.5 : L'élaboration du SCR et des Fonds Propres éligibles sur l'analyse des résultats de l'exercice QIS 5 au 31/12/2009

. -73% par le mécanisme de la participation aux bénéfices (lors de la valorisation des PM) qui transfert d'une partie des pertes à l'assuré

905 M€

AutresImmo : 7%

725 M€

54 M€

21 M€SCR de contrepartie

800 M€

590 M€

Autres réserves 1%

PMVL placements actifs

67%

Réserve de RéconciliationPMVL réassurances à l'actif

-1%

-3%PM-BE-Risk margin- profits sur primes

-50%

Autres retraitements* -19%Profits sur primes futures 5%

Emprunts sub (TSDD) 28%

risques de souscriptionPMVL impôts différés (actifs/passifs) => 4%

risque de contrepartie Emprunts sub (TSDI)

*différence entre "autres réserves" (principalement : 17%) et celle de la valorisation des titres subordonnés (vision éco S2 vs S1) et isolement des impôts différés**cap à 15% du SCR pour éléments T3 (impôts différés et TSDI ici) soit 15/100*590 en T3 car surcouvert en TSDI

EPARGNE

En Epargne

Principaux risque de marché

capital de risque action 30% vb action

capital de risque immobilier

SCR (net) de marché avant effet de diversification

. -20 % effet diversification

Agrégation des SCR avec effet de diversification : -7%

1089 M€

Fonds Propres éligibles % des Fonds Propres

éligibles

25% vb immo

capital de risque taux 4.3% vb taux

capital de risque spread selon rating et duration

Autres risques de marché

Capital social

risque de marchéSCR avant ajustement impôt différé et SCR

opérationnel SCR

44%

20%

8%**

Primes liées au capital social

3 444M€

Risque taux : 12% SCR marché

SCR de souscription vie après diversification

SCR de marché après diversification

Risque action : 52% SCR marché

Risque spread : 26%

90% du SCR avant ef f et diversif ication et agrégation SCR opérationnel

1

2

3

40

La constitution du SCR de marché en Epargne

Le SCR de marché (net) en Epargne bénéficie d’une forte diminution (-79 %) des chocs appliqués initialement (SCR de marché brut) car le mécanisme de la participation aux bénéfices revalorisant les provisions mathématiques (engagements envers les assurés : cf 1.2.2.4) absorbe une partie des pertes : la diminution de la richesse initiale n’affecte donc pas directement les Fonds Propres économiques. Par ailleurs, bien que la poche actions ne représente que 10 % des titres, le montant en capital représente 52 % du SCR de marché compte tenu du choc appliqué. Cette étape exhibe la complexité des mécanismes en Epargne qui aboutissent à la valorisation du passif économique et notamment des Fonds Propres économiques. Il est le résultat du déclenchement d’un enchaînement d’options du Passif non subordonné (rachats dynamiques, taux minima garantis, provisions pour exigibilité, provisions pour dépréciation durable,…) qui montre que la NAV ne saurait être une fonction linéaire de la valeur de marché du portefeuille de placements.

Le poids du SCR de marché en Epargne

Le SCR de marché en Epargne constitue 90 % du SCR avant agrégation du SCR opérationnel et effet diversification (par agrégation suivant la matrice de corrélation des risques). Le SCR en Epargne est donc principalement affecté par les risques de marché : ce constat résulte de deux effets :

• Le premier provient de la valorisation "Best Estimate" du passif non

subordonné dont la taille est sensible au niveau de richesse initiale et à la volatilité des actifs risqués (volatilité implicite autour de 25 % au 31/12/2009 pour les actions). Sur des scénarios défavorables, il y a notamment un déclenchement de prestations suite à une situation dégradée qui proviennent de rachats dynamiques à partir d'un seuil défini sur le différentiel entre taux commercial attendu et produits financiers réalisés. S'ajoutent d'autres effets qui détériorent ou modifient les produits financiers comme la provision pour risque d'exigibilité (cf annexe) et les plans de réassurances mis en œuvre.

• La deuxième raison provient des chocs appliqués aux risques de souscription

qui sont moins impactant que ceux appliqués aux risques de marché dans le processus de valorisation de passif "Best Estimate" en Épargne. (Par exemple, choc de +-10 % des décès pour le module risque de décès)

Les Fonds Propres éligibles sous solvabilité 2 en Epargne

Le taux de couverture (ratio Fonds Propres éligibles sur SCR) de la majorité des assureurs français sur le périmètre Epargne varie dans l’intervalle [160 %,190 %].

1

2

3

41

L’analyse du schéma montre que, via la réserve de réconciliation, les plus ou moins values des Provisions techniques (« Best Estimate » contre valeur comptable) représentent au 31/12/2009 60 % des Fonds Propres éligibles (Fonds Propres couvrant le SCR). La valorisation « Best Estimate » du Passif en Epargne étant sensible à l’ensemble des calibrages associés aux risques de marché (volatilités implicites des options servant au calibrage des valeurs financières diffusées et niveaux des courbes des taux) comme vu en chapitre 1 , le calibrage des risques de marché a un impact prépondérant dans l’estimation des Fonds Propres éligibles. Afin d’illustrer et quantifier l’impact des calibrages des risques de marché, une étude de la sensibilité du taux de couverture au niveau de la volatilité action (28 %->35%) puis au niveau de la courbe des taux (central+150bps) ont été réalisées. Elles révèlent l’importance de la maîtrise des calibrages :

La hausse de la volatilité des actions de 25 % entraîne une baisse de 24 % du taux de couverture : ce constat résulte de la combinaison de deux effets :

• La fonte des éléments éligibles (-3 %) due à une augmentation du passif Best

Estimate (et donc une baisse en parallèle des résultats actualisés (Value In Force)) qui impacte la réserve de réconciliation

• La hausse de 11 % du SCR qui provient principalement de celle du SCR action

(550M€ contre 478 M€ en situation centrale)

La translation à la hausse de 150 bps de la courbe des taux entraîne une baisse de 14% malgré la diminution moindre du SCR : la raison tient à la fonte des éléments éligibles consécutive à l’augmentation du passif « best estimate ». Conclusion Chapitre 2

En Épargne, le taux de couverture témoigne donc du rôle prépondérant du calibrage du risque de marché sous Solvabilité 2 puisque les deux composantes SCR et Fonds Propres éligibles en sont fonction.

L’ensemble des deux premières parties ont permis de montrer le rôle dominant du générateur de scénarios dans le calibrage des facteurs de risque de marché en Epargne sous solvabilité 2, que ce soit avec la méthode Formule standard ou avec celle Modèle Interne Partiel. Le chapitre 3 traite des raisons qui militent en faveur du développement d'un modèle interne : nous montrerons aussi que l'ensemble des problématiques relatives à son calibrage est intrinsèquement lié aux différents choix portant sur le générateur de scénarios.

42

Deuxième partie : le Modèle Interne en Épargne

43

3 Le calibrage du modèle interne périmètre risque de marché

Le développement d’un modèle interne (partiel bien souvent) est motivé pour plusieurs raisons :

• Tout d’abord, la méthode de la formule standard suppose des hypothèses fortes souvent non vérifiées :

o Hypothèses des lois des distributions des facteurs de risque non

vérifiées o Hypothèse de la monotonie des Fonds Propres économiques aux

facteurs de risque non nécessairement vérifiée o Principe du calibrage des facteurs de risque élaboré sur l’hypothèse

erronée (surtout en Epargne) de la linéarité des Fonds Propres économiques aux facteurs de risques

o Corrélation linéaire des capitaux de risque difficile à justifier (problématique des extrema)

o Niveau des corrélations des capitaux de risque difficile à estimer o Quid du facteur de risque volatilité action ?

• Les méthodes modèles internes reflètent davantage le profile de risque spécifique à l’entreprise pour deux raisons principales :

o Suivant la méthodologie employée, la distribution des Fonds Propres

économiques peut être représentée. o Les calibrages des risques de marché sont issus directement et

exclusivement des scénarios économiques ; les corrélations et facteurs de risques de marché sont ainsi directement embarqués et mieux représentés dans les extrêmes : ils sont calibrés et représentés en amont du modèle. Les aléas sont modélisés par les scénarios financiers dont les calibrages sont élaborés sur les données de marché ; la méthode ne saurait présupposer des lois sur le comportement des Fonds Propres économiques.

L’objet de ce chapitre est d’étayer les motivations du développement d’un modèle interne.

44

3.1 Les limites de la méthode Formule Standard

L’uniformité des chocs spécifiés aux assureurs induit nécessairement des simplifications empêchant la représentation du profil de risque auquel chacun des assureurs est exposé : par exemple, étant uniquement calibré sur un même et seul indice action (le MSCI world), le capital de risque requis action en Formule standard, SCR action, ne permet pas un calibrage profilé au portefeuille de l’assuré : la VaR 99,5% des rendements du MSCI world n’est pas forcément égale à la VaR 99,5 % de ceux du CAC 40 ou de l’ Eurostoxx 50, indice potentiel d’exposition de l’assureur. Par ailleurs, un portefeuille mixte pourrait être tout à fait souhaitable pour une meilleure représentation du benchmark de l’entreprise. Les limites de la méthode Formule Standard portent en plus sur les hypothèses fortes qu’elle suppose :

• La loi gaussienne des facteurs de risque (distribution des rendements, taux...) n'est pas évidente dans la mesure où les facteurs de risque de marché ne suivent pas une loi normale : la volatilité de volatilité constatée sur le marché des actions suggère l'emploi d'un modèle à volatilité stochastique par exemple.

• Les Fonds Propres économiques (« Net Asset Value ») ne sont pas linéaires avec les facteurs de risque : un accroissement de 50 % des indices actions n’induit pas un accroissement ou une baisse proportionnelle à 50 % des Fonds Propres.

Une étude menée sur le facteur de risque niveau courbe des taux le confirme : nous avons simulé 6 jeux de 1000 scénarios économiques risque neutre calibrés au 31/12/2010, avec même graine, sur des niveaux de courbes différentes (simples translations de la courbe des taux nominaux) afin de mettre en évidence le comportement non linéaire des postes du passif économique. Voici les résultats obtenus sur NAV et PVFP (valeur actuelle des profits futurs), qui démontrent bien l’hypothèse erronée de la Formule Standard.

45

Figure 3.1 Illustration de la non linéarité des Fonds Propres économiques avec le facteur de risque courbe des taux

-

100

200

300

400

500

600

700

0,5% 1,0% 1,20% 1,50% 2,0%

Résultat attendu si linéarité de la PVFP aux

facteurs de risque courbe des taux

Valeur réelle de la variation absolue de PVFP par

rapport à la PVFP issue de courbe de tx court

70bps

Valeur réelle de la variation absolue de NAV par

rapport à la NAV issue de courbe de tx court

70bps

Résultat attendu si linéarité de la NAV aux

facteurs de risque courbe des taux

Evolution de la variation absolue de postes des Fonds Propres économiques en M€ selon le

facteur de risque niveau de la courbe des taux

Variation absolue de la courbe des taux par

rapport à celle de taux court 70 bps

Figure 3.2 La non linéarité des Fonds Propres économiques en chiffre

14438,57942Translation de la courbe des taux par rapport à celle initiale de taux court à 70 bps

Variation absolue de NAV par rapport à la NAV issue de courbe de tx court 70bps

Résultat attendu si linéarité de la NAV au facteur de risque courbe des taux

0,5% 253 253 1,0% 366 366

1,20% 416 411 1,50% 462 479 2,0% 570 592

Translation de la courbe des taux par rapport à celle initiale de taux court à 70 bps

Variation absolue de PVFP par rapport à la PVFP issue de courbe de tx court 70bps

Résultat attendu si linéarité de la PVFP au facteur de risque courbe des taux

0,5% 166 166 1,0% 238 238

1,20% 270 267 1,50% 301 310 2,0% 372 382

En M€

En M€

Inversion de la tendance : après une augmentation supérieure à celle attendue si son comportement était linéaire à la courbe des taux, la NAV devient à partir de ce seuil plus faible que celle attendue si la NAV était affine à la courbe des taux.

Après une remontée des taux permettant de servir les taux garantis, les options (rachats dynamiques,...) se déclenchent faisant diminuer les Fonds Propres.

En Epargne, la linéarité de la NAV à la courbe des taux n'est pas vraie compte tenu des options embarquées

46

Figures 3.3 Courbe des taux forward de l’étude menée

Les courbes des taux Forward testées

0.00%

1.00%

2.00%

3.00%

4.00%

5.00%

6.00%

7.00%

8.00%

1 142 283 424 565 706 847 988 1129 1270 1411

mois

Forward de la courbe de tauxcourt 70 bps

Forward de la courbe initialedes taux + 50 bps

Forward de la courbe initialedes taux + 100 bps

Forward de la courbe initialedes taux + 120 bps

Forward de la courbe initialedes taux + 150 bps

Forward de la courbe +200bps

L’allure des courbes taux forward (taux forward de maturité 1 mois annualisés) s’explique par l’introduction d’une prime de liquidité sur taux spot iso-méthode QIS 5 (courbe jaune) : cf chapitre 4 pour plus de détails.

Les limites portent aussi sur la méthode mise en œuvre :

• La bonne appréciation des risques est limitée compte tenu des effets de diversification / agrégation entre risques pris en compte hors modèle

• La méthode ne permet pas de disposer d’une distribution de valeur économique de passif

3.1.1 Les hypothèses fortes de la gaussienne des facteurs de risque et de la linéarité des Fonds Propres économiques à ces facteurs

3.1.1.1 Exposé

Nous reprenons ce qui a été déjà plus ou moins introduit précédemment.

47

La méthode de la formule standard suppose l’hypothèse de la distribution gaussienne du vecteur formé des facteurs de risque. Cette hypothèse est nécessaire pour plusieurs raisons :

• La première assure une structure de dépendance caractérisée par une matrice de corrélation linéaire : l’avantage est d’obtenir la dépendance de ses marginales modélisée de façon simple et représentée en totalité par des corrélations linéaires.

• La seconde est la propriété de stabilité par transformation linéaire qui est utile

sous l’hypothèse supplémentaire d’une relation linéaire entre variables aléatoires financières et Fonds Propres économiques : les Fonds Propres économiques sont supposés être assimilables à un portefeuille de placements ce qui ne sauraient être en Epargne.

Ces deux propriétés des vecteurs gaussiens sont nécessaires à l’objectif visé :

• Le choix d’une méthodologie bottum-up par agrégation inter intra modulaire via des matrices de corrélations linéaires

• Estimer des capitaux de risque dont le calibrage est effectué depuis les

variables financières : cela suppose une équivalence (rendue possible avec l’ajout de l’hypothèse d’une relation linéaire entre Fonds Propres économiques et variables financières) entre capitaux de risque calibrés sur quantile à 0,5 % et capitaux de risque calibrés depuis le quantile à 0,5 % des variables financières. La monotonie des Fonds Propres économiques aux facteurs de risque est cependant une condition suffisante pour valider le calcul des SCR par module avant agrégation.

Pour résumer, les hypothèses conjointes de vecteur gaussien des variables financières et de la linéarité des Fonds Propres économiques avec ces facteurs de risque de marché permettent de légitimer le processus de la constitution des capitaux de risque en Formule Standard qui se fait en 3 étapes :

• Etape 1 : estimation des quantiles à 0,5 % des variables financières.

• Etape 2 : application des chocs principalement sur les valeurs de marché des placements afin d'en déduire les capitaux de risque associés. Pour valider cette équivalence, l'estimation des SCR par module de risque depuis ces quantiles à 0,5 % des variables financières nécessite la propriété de la monotonie des Fonds Propres économiques avec les facteurs de risque.

• Etape 3 : Les hypothèses conjointes de vecteur gaussien des facteurs de

risque et d'une relation monotone entre Fonds Propres économiques et variables financières (assimiler les Fonds Propres économiques a un portefeuille de placements)sont requises pour légitimer l'agrégation des modules de risque via une matrice de corrélation linéaire des capitaux de risque. Il y a dès lors bien un respect du calibrage du SCR de marché.

48

Cette hypothèse d’une distribution gaussienne des variables financières trouve ses limites dans la mesure où les distributions des rendements actions, immobilier, taux, taux risqués ne suivent pas des lois normales sur le marché (présence de volatilité de volatilité, de skewness) qui nécessitent une modélisation spécifiques pour chacun de ces actifs via des modèles autres que normaux.

De plus, la linéarité de la fonction ALM qui lie les facteurs de risque aux Fonds Propres économiques est une hypothèse non vérifiée en Epargne contrairement à la Prévoyance (cf 2.4.2 et 2.4.3) où ce serait davantage vrai en négligeant l’actualisation :

• En effet, en Epargne, la « NAV » (ou Fonds Propres économiques) ne peut pas être déduite directement de la valeur de marché des placements par une simple fonction linéaire (basée sur la répartition linéaire du portefeuille de placements), puisque, comme vu au chapitre 1, le mécanisme exige une revalorisation du passif des assurés qui est fonction des engagements techniques, des caractéristiques du comportement des assurés (valeur actuelle des prestations qui dépend des rachats et décès) et de la performance des titres. Les Fonds Propres économiques résultent donc de la différence entre Valeur de Marché (VM) des placements et du passif Best Estimate qui ne saurait être fonction linéaire des placements. En Epargne,

teBestEstimaVMNAV placements−= où Best Estimate Passif n’est pas linéaire

de la Valeur de Marché (VM) des placements.

• En Prévoyance, la NAV (ou Fonds Propres économiques) est déduite de façon plus directe de la valeur de marché des placements puisque le passif non subordonné n’est pas revalorisé de la performance des actifs comme en Epargne : teBestEstimaVMNAV placements−= où le Best Estimate Passif est

« plutôt » indépendant des variables financières en négligeant le phénomène « actualisation des flux » : le passif non subordonné de la Prévoyance est en effet exposé de façon presque exclusive aux risques de souscription (pratiquement indépendants des risques de marché : corrélation à 25 % en Formule standard entre risque de souscription et risque de marché).

3.1.1.2 Preuve des hypothèses fortes nécessaires à la validité de la Formule Standard

En considérant uniquement deux facteurs de risque, nous allons démontrer la nécessité de supposer conjointement les facteurs de risque de marché gaussiens et les Fonds Propres économiques fonction linéaire de ses facteurs de risque de marché pour valider la méthode « Formule Standard ». Cette démonstration est utile pour identifier à quels instants sont requis les hypothèses lors du processus du calcul du SCR méthode Formule Standard. Notations :

121 ),( =tXXNAV : les Fonds Propres économiques à 1 an

49

),( 21 XX : le vecteur de risque (rendement action et taux 10 ans par exemple)

%5,0q : le quantile à 0,5 % de la loi normale centrée réduite

)1,0(PZC : le prix zéro-coupon de maturité 1 an

iσ la volatilité du risque associé ρ désigne la corrélation des capitaux de risque Considérons donc les hypothèses requises pour légitimer la Formule Standard :

H1: ),( 21 XX vecteur des facteurs de risque gaussien

H2 : cXbXaXXNAV +×+×= 2121 ),( Nous avons par définition du capital de risque de marché:

)),(()1,0()),(( 121%5,0021 == ×−= ttmarché XXNAVVaRPZCXXNAVESCR

En l’absence d’opportunité d’arbitrage, la situation à un an s’écrit :

)),((),((()1,0( 121%5,0121 == −×= ttmarché XXNAVVaRXXNAVEPZCSCR

soit

)),((),(((()1,0( 121%5,0121 == −×= ttmarché XXNAVVaRXXNAVEPZCSCR

Pour simplifier nous noterons 121 ),( =tXXNAV par ),( 21 XXNAV

• Lemme 1 : si deux variables aléatoires suivent une loi normale, à 1 an,

1%5,011%5,0 )()( σ×+= qXEXVaR

2%5,022%5,0 )()( σ×+= qXEXVaR

• Lemme 2: si deux variables aléatoires centrées forment un vecteur gaussien,

2

1

2122

221

2%5,021%5,0 )2()( σρσσσ ++×=×+× baqXbXaVaR

• Lemme 3: si deux variables aléatoires forment un vecteur gaussien

et f linéaire, ),( 21 XXf suit une loi normale

Ainsi,

)))(())((()1,0(

))()()(()1,0(

)],()),(([)1,0(

2211%5,0

2121%5,0

2121%5,0

XXEbXXEaVaRPZC

cXbXacXEbXEaVaRPZC

XXNAVXXNAVEVaRPZCSCRmarché

−×+−××=+×+×−+×+××=

−×=d’après (H1)

50

Pour simplifier les notations, considérons X1 et X2 centrés sans perte de généralité

(H2) aprèsd' SCRSCRSCRSCR

(L2) XaVaRXbVaRXbVaRXaVaRPZC

L lemme le aprèsd'baPZCq

XbXaVaRPZCSCR

2

1

marché

2

1

2122

21

1%5,02%5,02

2%5,02

1%5,0

2

1

2122

221

2%5,0

21%5,0

)2(

))()(2))(())()(1,0(

2)2()1,0(

)()1,0(

××++−=

××××+×+×−=

++××−=

×+××−=

ρ

ρ

σρσσσ

où SCRi = ))(()1,0( %5,0 iXNAVVaRPZC × puisque iX est centré réduit.

D’où, l’expression de calcul de l’agrégation des SCR selon la méthode de la Formule Standard : l’hypothèse des caractéristiques gaussiennes du vecteur des facteurs de risque ),...,( 1 nXX et celle de la linéarité des NAV avec ces facteurs de risque sont

nécessaires afin de valider la méthode d’agrégation inter et intra modulaires des capitaux de risque par des matrices de corrélations linéaires. En d’autres termes, la modélisation des dépendances en formule standard exige les hypothèses fortes de vecteurs gaussiens des facteurs de risque et de linéarité des Fonds Propres économiques en ces facteurs de risques.

3.1.2 L’hypothèse forte de la monotonie des Fonds Propres économiques aux facteurs de risques de marché

3.1.2.1 Exposé

Le calibrage des capitaux de risque de marché s’effectue sur la VaR à 0,5 % des variables financières comme montré dans la partie 2.2.2. Assimiler le quantile à 0,5% des valeurs financières à ceux de la VaR des Fonds Propres économiques requière l’hypothèse forte de la monotonie de la « fonction Asset Liability Management », autrement dit, la NAV est fonction monotone des risques encourus.

3.1.2.2 A quel moment cette hypothèse est nécessaire pour valider la Formule Standard?

Cette condition se comprend et s’identifie aisément sur l’étude d’un risque. Considérons un assureur de portefeuille investi exclusivement en actions, exposé donc uniquement au risque action dans le module risque de marché sous le prisme Solvabilité 2.

51

L’objectif de solvabilité 2 dans ce contexte est d’estimer le capital de risque de marché associé à l’exposition action, montant correspondant à la différence entre NAV centrale et celle du quantile à 0,5 % de la distribution des Fonds Propres économiques (NAV) à un an : )),(( 121%5,0 =tXXNAVVaR

Si f désigne la fonction ALM qui associe les Fonds Propres économiques à la valeur de marché des placements actions X ,

)(XfNAV =

Comme vu, le calibrage de la Formule Standard se fait sur les rendements actions donc de façon indirecte puisqu’il n’est pas établi sur la NAV ; pour rappel, la VaR est estimée sur la distribution de l’indice MSCI world qui détermine le choc appliqué à la valeur de marché des placements X . Notons que l’objectif premier sous solvabilité 2 est d’obtenir VaR0,5%(NAV). Afin donc de valider le calibrage, l’application de la méthode Formule Standard suppose implicitement l’égalité :

))(()( %5,0%5,0 XVaRfNAVVaR =

D’où la monotonie de la fonction f sur le risque action. La généralisation donnerait ),...,( 1 nXXf est monotone en chacun des risques,

hypothèses non vérifiées en pratique dues à la complexité des options contenues dans un modèle type Epargne : taux minimum garanti, revalorisation des provisions par le mécanisme de participation aux bénéfices, provisions prudentielles, phénomènes d’actualisation. L’hypothèse de la monotonie est nécessaire pour justifier le calibrage du capital de solvabilité requis par module de risque de marché sur le quantile fixé. Remarque : En formule standard Solvabilité 2 et sous le prisme risque de marché hors risque de concentration, le vecteur X désigne les rendements actions, le niveau de la courbe des taux, le rendement immobilier, les parités de change auquel l’assureur est exposé, le niveau par rating et maturité des spreads.

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3.1.3 Le risque de changement de volatilité action

3.1.3.1 Un module de risque non traité avec la méthode Formule Standard

Ces risques de marché qui servent à calibrer les scénarios économiques (volatilités des actions et taux par exemple) ne font pas nécessairement l’objet d’un module risque de marché en Formule Standard contrairement à la méthode SdS où l’ensemble de ces risques seront pris simultanément en compte avec la sélection d’un modèle action adéquat ; Cependant, le niveau de la volatilité des actions impacte le « Best Estimate » des provisions techniques en Epargne qui se répercute sur la réserve de réconciliation, élément des Fonds Propres éligibles. Il a donc sous solvabilité 2 un impact sur le taux de couverture. Autrement dit, le changement défavorable du niveau de volatilité des actions n’est pas traité comme un risque sous Solvabilité 2 en Formule Standard s’il est sélectionné un modèle action à volatilité constante puisqu’aucun module mesurant l’impact d’un changement de volatilité action sur « Net Asset Value » n’existe. Nous avons fait le choix d’un modèle action à volatilité stochastique (variation de la volatilité en conséquence lors de la diffusion) car nous souhaitons capturer une partie de ce facteur de risque même en Formule Standard.

3.1.3.2 Analyse de la loi des rendements Indice action Eurostoxx Une analyse menée sur l’évolution de l’indice Eurostoxx 50, notre benchmark, sur les dix dernières années (2001-2011) fait apparaître que la loi de distribution des rendements ne peut pas être approximée par une loi normale (ce que suppose un modèle simple type Black Scholes, à volatilité constante) comme en attestent le graphe des rendements journaliers sur la période 2010-2011 et le tracé de la distribution des rendements sur 2001-2010.

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Figure 3.4 Rendements journaliers Eurostoxx 50 sur 2010- Août 2011

Figure 3.5 Distribution des rendements journaliers Eurostoxx 50 sur 2010- Août 2011

Cette densité ne semble pas gaussienne, un test de shapiro le confirme avec une p-value très inférieure à 5 % (nous pouvons rejeter l’hypothèse de normalité avec un taux d’erreur <5 %)

3.1.3.3 Analyse de la volatilité de l’Indice action Eurostoxx 50 Entre 2001 et septembre 2011, la corrélation entre la variation mensuelle de la volatilité des rendements journaliers (pas de temps mensuel fenêtre de longueur 1 an) et les rendements mensuels est de -35.7%

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Volatilité pas de temps mensuel, fenêtre 1an (estimée sur les relevés journaliers) et rendements mensuels arithmétiques

Figure 3.6 Le phénomène « clustering » sur Eurostoxx 50 depuis 2001

Légende : en violet, la volatilité et en vert les rendements.

Les échelles ne sont pas respectées Abscisse en mois

Le graphe illustre l’augmentation de la volatilité lorsque les rendements sont faibles et inversement lorsqu’ils sont élevés. C’est le phénomène de clustering de volatilité.

Sur 2001 et 2011, la volatilité de la volatilité des rendements journaliers (sur fenêtre de longueur 1 an, pas de temps mensuel) est de 10,3 %. La volatilité de volatilité est donc estimée sur 108 volatilités elles-mêmes estimées sur les relevés journaliers des rendements.

3.1.3.4 Quid de notre modèle action ? La particularité de notre modèle action est d’introduire un aléa sur la volatilité des rendements diffusés permettant ainsi d’introduire des variations de volatilités en cohérence avec celle de marché (pour le détail du modèle utilisé, cf chapitre 4). Notre modèle représente le phénomène de clustering de volatilité, à savoir le phénomène d’une hausse de la variation de la volatilité lorsque les rendements sont faibles et inversement dans le cas contraire : la corrélation entre l’aléa du processus de rendements et celui du processus de la variation de la variance est en effet ciblée en monde réel avec une valeur négative. En univers risque neutre, cette corrélation

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négative est vérifiée ; le calibrage utilise cependant ce paramètre uniquement pour retrouver les prix des options. En risque neutre, univers de valorisation du passif économique, notre modèle a une volatilité de volatilité de l’ordre de 2 % contre 10 % relevée sur la série Eurostoxx comme indiqué supra. Un modèle action Black-Scholes ne permet pas d’introduire d’aléa sur la volatilité : la sélection d’un tel modèle omet donc la représentation du facteur de risque variation de la volatilité. Enfin, notre modèle ne présuppose pas une loi normale des rendements.

3.2 Vers la nécessité de développer un modèle interne?

3.2.1 Pourquoi développer un modèle interne ?

La question se pose notamment en Épargne pour estimer le SCR de marché. Cette méthode plus complexe que la formule standard (appliquant pour rappel des chocs prédéfinis et communs à tous les assureurs) doit permettre de représenter plus précisément le SCR de l’assureur, elle est plus adaptée au profil de risque spécifique de l’entreprise puisque :

• Aucune hypothèse sur les lois des risques n’est supposée contrairement à la Formule standard

• Il est possible de représenter les corrélations dans les extrêmes de certains

risques de marché grâce notamment à la sélection de certains modèles actions : ils diffusent des scénarios économiques qui permettent de représenter la corrélation dans les extrêmes de deux actifs risqués (grâce à un processus à volatilité systémique stochastique, un processus à saut et à la structure de l’ensemble de la modélisation du générateur économique de scénarios).

• Surtout, la non linéarité avérée des options du passif (due majoritairement

aux taux garanties minima contenus dans les engagements et à certaines provisions prudentielles type provisions pour risque d’exigibilité) requiert un modèle interne qui représentera au mieux le comportement du modèle Gestion Actif/Passif aux différents chocs modélisés par les scénarios primaires.

Comme nous venons de le voir, les hypothèses très fortes et parfois non vérifiées que requiert la Formule Standard nécessitent le développement d’un modèle interne surtout en Epargne pour estimer le capital de solvabilité dû aux risques de marché car :

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• Les variables financières ne sont pas modélisées par des lois normales afin de respecter certaines propriétés observées sur le marché (impossibilité de taux nominaux négatifs par exemple) et de modéliser la dépendance dans les extrêmes.

• La relation linéaire entre Fonds Propres économiques (NAV) et variables

financières n’est pas valable en Epargne, annulant l’équivalence entre quantile à 0,5 % de la distribution des Fonds Propres économiques et celles estimées depuis le quantile à 0,5 % en chacune des variables financières.

• Le calibrage en Formule standard est effectué sur des indices qui peuvent ne

pas correspondre au Benchmark de l’entreprise d’assurances.

Remarque :

• La méthode Formule Standard « Entity Specific » consiste à effectuer une méthodologie proche à la Formule Standard (approche par chocs instantanés) mais avec :

o la possibilité de redéfinir les niveaux de chocs appliqués calibrés

suivant d’autres indices plus adaptés au benchmark de l’assureur que ceux de la formule standard

o redéfinir les niveaux des corrélations des capitaux de rsique à la condition d’être en mesure de les justifier (travail difficile à mener étant situé dans les extrêmes)

o redéfinir l’architecture (à râteau par exemple)

• La méthode Formule Standard « Entity Specific » ne permet pas de résoudre les deux premières limites évoquées supra

3.2.2 Les facteurs de risque de marché en modèle interne

La méthode d’un modèle interne (SdS par exemple) peut permettre de couvrir un périmètre plus large des facteurs de risque encourus par la société d’assurances : en effet, outre les risques de marché traités avec la Formule Standard (mouvements des taux, des rendements actifs risqués, des spreads, de liquidité, des parités, des défauts des contreparties) il est possible en diffusant via le générateur de scénarios, d’intégrer d’autres facteurs de risque comme la variation de la volatilité des actions à un an. La formule standard ne traite que partiellement le risque de changements de volatilité puisqu’aucun module n’y est consacré. Avec la méthode Simulation dans la Simulation, il suffit de projeter les courbes à la monnaie des volatilités implicites à un an pour actions et taux par exemple (sur étude statistique, modèles GARCH,…) et de calibrer les scénarios en risque neutre sur ces niveaux à un an. Cet atout n’est pas négligeable puisqu’en période de crise,

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le niveau de la volatilité des actions est un facteur de risque important : pour illustration, en période économique prospère, la volatilité implicite des options Call de maturité 1 an et 5 ans de l’Eurostoxx se situent dans l’intervalle [12 %,17 %] contre [22 %,28 %] en période de récession économique. Cependant, l’intérêt de choquer le niveau de volatilité en période de crise est limité dans la mesure où nous sommes déjà sur des niveaux extrêmes de volatilité. Néanmoins, utiliser des modèles à volatilités stochastiques permet d’intégrer une part d’aléa dans la variation de la volatilité et donc, par le choix du modèle de diffusion des rendements action, de traiter la volatilité en tant que facteur de risque. Cependant, si les exercices Solvabilité 2 se faisaient hors crise, affecter un choc à la volatilité servant au calibrage du modèle serait à étudier.

Avant d’introduire les différents enjeux propres au générateur de scénarios, il est nécessaire dans le cadre du développement d’un modèle interne (partiel) de définir les notions projection en univers Risque Neutre et en univers Monde réel. Pour résumer, comme nous le montrerons lors de l’analyse des modèles, il est possible d’intégrer la modélisation d’un facteur de risque suivant la sélection du modèle : il est possible de considérer qu’avec un modèle (pour taux ou action) à volatilité stochastique, le facteur de risque variation de la volatilité est modélisé en partie.

3.3 Le processus du calibrage du Modèle Interne Le modèle interne doit permettre une juste mesure des risques de marché sous Solvabilité 2 notamment sur le périmètre Epargne à la vue des limites de la Formule Standard. Le modèle interne peut être développé de façon partielle compte tenu notamment de contraintes opérationnelles : dès lors, les risques traités hors périmètre interne devront suivre la méthode Formule Standard et être intégré aux risques traités sous modèle interne via une matrice de corrélation qui devra respecter les niveaux de la Formule Standard (à l’exception d’être en mesure de légitimer d’autres niveaux, justification difficile dans la mesure où les estimations de corrélations capitaux de risques sont dans les extrêmes). L’objet de cette partie est de :

• Définir les cadres de projection et les facteurs de risques de marché qui seront modélisés en modèle interne

• Définir les hypothèses et problématiques liées au calibrage du modèle interne • Décrire le processus général de calibrage retenu du modèle interne

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3.3.1 Rappel du principe du modèle interne

3.3.1.1 La simulation dans la simulation

Pour rappel, le principe du modèle interne est de développer une méthode permettant d’estimer la distribution des Fonds Propres économiques (à un an dans le cadre de solvabilité 2). La méthode retenue est la simulation dans la simulation consistant en trois principales étapes :

• Etape 1 : diffusion des valeurs financières sur un an (rendements actions, courbe des taux,…) calibrées en monde réel : ils sont dits scénarios primaires

• Etape 2 : estimation des richesses à horizon 1 an : taux de plus ou moins value latente à un an, pertes d’actifs suite à des défauts simulés…

• Etape 3 : valorisation du bilan économique (cf 1.2) pour chacun des scénarios primaires d’après des scénarios économiques « market consistent » en chacun des points « scénarios primaires »

Les notions « monde réel et market consistent » sont développées ci-après.

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Figure 3.7 La simulation dans la Simulation

Simulation 1Actif 1,1 Passif 1,1

Actif 0 Passif 0Simulation k

Actif 1,k Passif 1,k Distribution de NAV à 1 an

Simulation 1000Actif 1,1000 Passif 1,1000

t=0 t=1 an t=1an t=30ans

Valoriser grâce au jeu de scénarios secondaires 1,1 calibrés sur le scénario primaire 1

Valoriser grâce au jeu de scénarios secondaires 1,k calibrés sur le scénario primaire k

Valoriser grâce au jeu de scénarios secondaires 1,1000 calibrés sur le scénario primaire 1000

Bilan économique à 1 an

PlacementsNAV 1,1000

BE 1,1000

Bilan économique à 1 an

PlacementsNAV 1,k

BE 1,k

Bilan économique à 1 an

PlacementsNAV 1,1

BE 1,1

Scénarios primairesScénarios en univers Monde Réel

Scénarios secondairesScénarios en univers Risque Neutre

Bilan économique initial

NAV 0

BE 0

Placements

Nécessité de calibrer ce jeu 1,k sur ce scénario primaire k

Légende : NAV : Fonds propres ou encore « Net Asset value » BE: valeur économique du passif « Best Estimate »

A horizon un an, la distribution des « NAV » permet de déterminer le SCR en retenant la différence actualisée à t=0 entre NAV centrale et celle correspondant à la Value at Risk à 99,5 % à un an, correspondant bien au montant à détenir en Fonds Propres pour faire face à un événement extrême dont la probabilité de réalisation est de 0,5 % soit une fois tout les 200 ans.

En Epargne, la valorisation du bilan à horizon un an repose sur une projection des flux pendant les 12 premiers mois via des scénarios économiques calibrés en monde réel : à chaque scénario monde réel à horizon un est diffusé 1000 scénarios Market Consistent sur un horizon donnée (typiquement 30/40 ans) afin de « pricer » le bilan.

3.3.1.2 Introduction aux notions univers Monde Réel et Risque Neutre Le principe des deux univers

• Le Monde Réel est une probabilité utilisée pour choquer/prédir notre niveau de richesse à horizon un an : il s’agit d’une probabilité subjective reposant sur la vue de l’évolution future des conditions de marché ; elle est souvent

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estimée à partir des données historiques des variables financières étudiées. Elle peut aussi introduire des considérations macro-économiques.

• Le Risque Neutre est une probabilité utilisée pour valoriser les postes du bilan : elle a la propriété d’assurer l’absence d’opportunité d’arbitrage et donc, de façon équivalente, d’assurer que tout actif rapporte le taux sans risque.

Monde Réel : une première mesure de probabilité

• Chaque actif dispose d’une prime de risque qui s’ajoute au taux sans risque

• Les modèles peuvent être calibrés sur les données historiques du marché

o Dépend du choix de la profondeur historique o Dépend de la fréquence des données o Dépend de la méthode retenue pour estimer/constituer les données

historiques

• L’univers « Monde réel » s’inscrit dans le cadre d’un calibrage non unique :

o Refléter au mieux la distribution de la variable (aplatissement, asymétrie, queue de la courbe) qui varie aussi selon la profondeur historique et le modèle sélectionné

o Permet d’introduire ses « propres » vues

Risque neutre : une seconde mesure de probabilité

• L’univers Risque Neutre est un cadre qui représente les anticipations de marché

• Hypothèses : Il y a absence d’opportunité d’arbitrage, justifiée par l’unicité

des prix de marché (marché en concurrence pure et parfaite) et complétude des marchés.

• Les modèles se calibrent sur les données du marché à la date de projection

• Données du marché : volatilité implicites (ou prix) des options et courbe des

taux

o Calls et Puts pour calibrer le modèle des actions o Swaptions /caps et courbe des taux pour calibrer les modèles de Taux

• L’univers Risque Neutre s’inscrit dans un référentiel unique permettant une

meilleure comparabilité des résultats entre assureurs (homogénéisation des méthodes). Tous les actifs rapportent en moyenne le taux sans risque

Il faut justifier cependant le choix de la courbe des taux : choix de la prime de liquidité et du lissage dont l’impact est non négligeable.

61

Il est important de se donner le même référentiel pour valoriser les postes du passif du bilan ; il y a ainsi consensus des acteurs du marché : l’univers Risque Neutre est une convention « stochastique » exigée par les autorités (Autorité de Contrôle Prudentielle et CEIOPS) pour la Formule Standard Solvabilité 2.

La méthode « simulation dans la simulation » pose la problématique de la réconciliation à un an :

• Quels modèles utilisés en risque neutre sans contrevenir aux modèles monde réel sélectionnés pour générer les scénarios économiques à un an ?

• Quelles données financières doivent être retenues à un an pour calibrer les

modèles risque neutre ?

3.3.2 Les problématiques liées à la réconciliation à horizon un an des scénarios économiques

En Formule Standard, les projections se font en Risque Neutre puisqu’il s’agit de valoriser le bilan économique depuis des chocs instantanés effectués sur les richesses initiales ou sur les niveaux de taux. En Modèle Interne Partiel, il est nécessaire de projeter les variables financières sur un an en monde réel et de recalibrer en chacun de ces scénarios les scénarios risque neutres. Ainsi, si 5000 scénarios monde réel sont diffusés, il est nécessaire de recalibrer par exemple 1000 scénarios sur la situation à un an du scénario « i » et de procéder ainsi pour tous les scénarios monde réel. On obtient 5000 x 1000 scénarios Risque Neutre.

La réconciliation à horizon un an sous Solvabilité 2 pose les problématiques :

• Des choix de modèles à retenir en monde réel et risque neutre qui doivent permettre d’assurer une cohérence entre modèles lors du changement d’univers

• Des calibrages des modèles à un an en univers risque neutre : quelles

données financières doivent être retenues pour servir de calibrage aux modèles ? Comment les estimer à horizon un an ?

62

3.3.2.1 La problématique des transitions de modèles lors du changement d’univers

Il est présenté l’ensemble des combinaisons cohérentes entre-elles suivant les considérations et hypothèses faites pour modéliser le comportement du facteur de risque considéré.

Figure 3.8 Les combinaisons de modèles possibles

0 H =1 H Fin de projection

Black-Karasinski à deux facteursModèle de taux Black-Karasinski à deux facteurs

Libor Market Model : LMM

Heston-Merton Heston-MertonModèle action

Black-Scholes Black-Scholes

Black-Karasinski : modèle de taux court privilégié en monde réel LMM : modèle de taux forward pour "pri cing"

Légende : flèche orange : modèle associé lors de la diffusionflèche verte : les changements de modèle de taux lors du changement d'univers de projectionflèche violette : les changements de modèle action lors du changement d'univers de projection

Choix des modèles de taux et actions

Calibrage en Monde Réel Calibrage en univers Risque Neutre

Comment estimer la cohérence entre agencement des modèles choisis ? Il suffit pour exprimer de façon concrète la problématique liée au choix de modèles pour le modèle interne de l’illustrer par un exemple : Traitons le cas d’un assureur ayant fait le choix d’un modèle action à volatilité constante en univers monde réel puis à volatilité stochastique en univers risque neutre : cet agencement paraît peu rationnel compte tenu de la cohérence entre les principes des univers de projection successifs et les propriétés de ces modèles. En effet, en univers monde réel, l’objectif visé est de représenter au mieux l’évolution des rendements et donc par la même d’introduire des vues sur les moments d’ordre 1, 2, 3 et 4 de la distribution des rendements. Seul un modèle à volatilité stochastique le permet. En univers risque neutre, il est possible en revanche de réduire la représentation des propriétés des distributions et de se « contenter » de retrouver les prix des options (principe des modèles « market consistent »). Dès lors, il est envisageable un modèle action à volatilité constante ; bien-sûr, il y aurait perte de la représentativité de certains facteurs de risque comme le facteur de risque volatilité (l’aléa sur la volatilité ne serait pas modélisé compte tenu de l’absence de volatilité de volatilité du modèle Black-Scholes). Simplement, il s’agit ici d’un choix du périmètre des facteurs de risque modélisés et non d’une incohérence entre modèle à contrario de l’exemple cité qui ne respecterait pas les principes visés des univers.

63

Concernant les choix de nos modèles actions, ils s’orientent vers la représentativité du facteur de risque volatilité action et donc nous préconisons un modèle Heston-Merton à volatilité stochastique que ce soit en univers monde réel et univers risque neutre :

• En univers monde réel, le clustering de volatilité est représenté compte tenu des propriétés du modèle Heston-Merton retenu introduisant une corrélation négative entre le mouvement brownien du processus de rendement et celui du processus de la variance : une baisse des rendements est suivie d’une augmentation de la volatilité et inversement en cas de hausse des rendements (comportement vérifié en phase de crise).

o La prime de risque, la volatilité par terme et le skewness et Kurtosis de

la distribution des rendements sont aussi ciblés sur différents horizons.

o Sur les hypothèses financières visées, il y aura dès lors une estimation relativement précise de la distribution des richesses à un an du bilan, y compris dans les queues de distribution en comparaison à un modèle simple à volatilité constant. Cette étape est cruciale dans le calcul du SCR puisque c’est sur la richesse projetée à un an dans les extrêmes que seront valorisés les Fonds Propres économiques.

• En univers risque neutre, le choix d’un modèle Heston-Merton permet de

représenter l’ensemble des options cachées du passif grâce à un calibrage effectué sur une nappe de volatilité sur des strikes à la monnaie, hors et dans la monnaie (options cachées : taux minimum garantis, provisions prudentielles type Provisions pour Risque d’Exigibilité et Provision Dépréciation Durable…) ; par ailleurs, le modèle paraît plus « market consistent » puisqu’il modélise une volatilité présentant un aléa avéré dans les faits : certes, l’estimation de la volatilité de la volatilité au 31/12/2010 donne une valeur inférieure à celle constatée sur les séries historiques (2% vs 7%) mais le modèle a au moins la propriété d’introduire un aléa sur la volatilité action, permettant ainsi de considérer la représentativité de ce facteur de risque.

Concernant les choix de nos modèles taux, ils s’orientent vers la représentativité du taux court en univers monde réel contre la modélisation des taux forward en univers risque neutre. Ce choix se justifie compte tenu des propriétés des modèles (cf partie 4). L’idée générale peut se résumer ainsi :

• La première année, il est important de modéliser le mouvement des taux courts et longs termes puisqu’ils servent de « driver » au taux commercial cible qui détermine le déclenchement des rachats dynamiques. Le taux court terme sert aussi à estimer le taux servi aux assurés à un an. Il impacte donc l’état des engagements à un an. Il est donc privilégié la bonne représentativité des taux avec l’introduction d’une prime de risque (term premium) affectant les taux longs. Le choix s’oriente vers un Black-Karasinski à deux facteurs (cf partie 4 pour plus de détails).

• Les années suivantes servent à valoriser le bilan en univers risque neutre

donc : dès lors, nous privilégions un modèle de taux risque neutre (Libor Market Model) qui diffuse les taux forward modélisant de fait l’évolution des

64

prix zéro-coupons servant à la valorisation des futures obligations achetées ou vendues et à l’actualisation des flux actif/passif. Par ailleurs, le modèle LMM a la propriété de présenter moins de jeux de scénarios à taux explosifs qu’un modèle Black-Karasinski (étude empirique sur quantiles).

3.3.2.2 La problématique du choix des calibrages des modèles univers risque neutre

Dans l’idéal, les modèles risque neutre qui génèrent le jeu de scénarios secondaires à horizon un an doivent être calibrés sur les données financières servant au « pricing » (volatilité implicite plutôt que volatilité historique) en cette date. On privilégiera la conservation des volatilités implicites initiales si les méthodes d’estimation sont peu robustes ou démesurés compte tenu de la faible variation du facteur de risque volatilité à un an.

La problématique des choix de calibrage peut se résumer ainsi :

Figure 3.9 Les combinaisons de calibrages possibles

0 scénarios primaires H =1 H scénarios secondaires Fin de projection

PZC(0,t)Vol implicites swaptions à t=0Term Premium

ou

PZC(0,t)Calibrage risque de taux Volatilités estimées sur historique de volatilités implicites swaptions

Term Premium

ouou

PZC(0,t)Volatilité historique des taux courtsTerm Premium

ou

PZC(0,t) Quid de la "market consistency" ?Absence de cible sur volatilité Term Premium

Prime de risqueVolatilités implicites

ou

Calibrage risque action Prime de risqueVolatilité estimée sur historique de Volatilité implicite

ouou

Prime de risqueVolatilités estimées sur historique de volatilités réalisées

Légende : flèche en rouge discontinue, approche non rationnelleflèche orange discontinue, approche qui poserait des questions quant à la "market consistency"Les flèches modélisent la transition des calibrages univers monde réel à univers risque neutre sur les données financièresPZC(t,T) : Prix Zéro-coupon à t de maturité T

PZC(H,t)

Calibrage en univers Risque Neutre

Volatilités historiques des taux courts/ taux forward selon modèle

cf supraPrime de risque nulle

Calibrage en Monde Réel

Eventuellement estimée sur historique de volatilités implicites au sens de la plus probable à un an

Eventuellement déduite de la volatilité réalisée

PZC(H,t)

Eventuellement celle à t=0

Prime de risque nulle

Choix du calibrage selon les facteurs de risque ass ociés : niveau, pente, courbure de la courbe et vol atilités des taux

Volatilités implicites swaptions estimées à t=1

Volatilités estimées sur historique de volatilités réalisées

Term Premium nulle

Term Premium nulle

Volatilités implicites des options estimées à t=1

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De la même manière que lors de la problématique des choix de modèle pour le modèle interne, nous allons expliquer les questions posées quant au sujet des calibrages des modèles du générateur de scénarios économiques pour le modèle interne sur un exemple concret avant de formaliser les choix possibles. Traitons le cas d’un assureur ayant fait le choix d’un calibrage des volatilités du modèle taux et action sur des volatilités implicites en univers monde réel et sur des volatilités historiques réalisées en risque neutre : cet agencement paraît peu rationnel compte tenu de la cohérence entre les principes des univers de projection successifs et les hypothèses de calibrage des modèles. En effet, en univers monde réel, l’objectif visé est de représenter au mieux les volatilités qui se réaliseront directement sur les variables diffusées afin de représenter au mieux l’évolution réelle des variables financières et donc par la même d’introduire des vues sur les volatilités qui devraient être constatées. Seule une étude du biais introduit entre volatilité réalisée sur historique et volatilité implicite (anticipation de marché) permet d’y répondre. Une approche puriste simplifiée dans l’idée consisterait donc à utiliser des volatilités (que ce soit pour le modèle action ou taux) estimées sur historique en univers réelle puisqu’il y a absence lors de cette étape de toute valorisation de bilan, déduire ainsi l’état des richesses à un an les plus réalistes possibles ; puis, déduire à un an la volatilité implicite de celle réalisée pendant l’année de diffusion sur le scénario considéré et de calibrer dès lors le modèle risque neutre sur ce niveau de volatilité implicite estimé à un an puisque les scénarios secondaires serviront à valoriser le bilan. La volonté de ce paragraphe est ici d’exprimer la problématique de la dualité de la volatilité des facteurs de risque rendement action et taux qui peut se résumer ainsi :

Figure 3.10 volatilités réalisées vs volatilités implicites

Volatilité TauxVolatilité Action

**L'estimation de la volatilité historique se fait souvent par une méthode "Exponential weighted Moving Average"

Dualité de la volatilité

=> Volatilité historique pour jeu primaire : en monde réel, les scénarios primaires servent à déduire les flux actif/passif à un an : il n' y a pas de valorisation du bilan. La volatilité privilégiée serait celle historique pour cette approche.**=> Volatilité implicite à un an : les scénarios secondaires devraient être calibrés sur la volatilité implicite pour valoriser le bilan

=> Approche puriste : déduction de la volatilité implicite à un an de celle historique (méthode de régression linéaire,...)=> Approche pratique : usage indifférent de la volatilité implicite pour les deux univers

Pour le calibrage des modèles de taux en univers monde réel, il est important d’être calibré sur les courbes des taux de marché et de se définir une courbe des taux sans

66

risque identique à celle utilisée en risque neutre ; un arbitrage doit être fait entre calibrage sur volatilités implicites des options de marché (type swaptions) et les volatilités réalisées, la première consistant à supposer que la volatilité des taux est celle des options implicites, la seconde privilégiant une estimation basée sur les volatilités réalisées dans le passé. Surtout, l’approche en univers réel est de représenter au mieux les niveaux des variables à un an. Pour les calibrages des modèles de taux en univers risque neutre, il est nécessaire d’être calibré sur les courbe des taux diffusées à un an respectives : la difficulté réside dans l’estimation des volatilités implicites à un an puisqu’il est nécessaire en risque neutre d’être calibré sur des prix d’options dès lors que les modèles le permettent (à l’instar du modèle LMM).

Figure 3.11 Les données financières de calibrage du modèle de taux

Nécessité de recalibrer le modèle taux Risque Neutr e générant les jeux secondaires sur :

La courbe des taux diffusée à 1 an par le modèle générant le jeu de scénarios primaires

ou/et (selon modèle)

Le niveau de volatilité à un an => choix privilégié de la volatilité à un an : volatilité implicite pour

une approche "pricing" en risque neutre => Méthode d' estimation de la volatilité implicite à un an ?

Pour le calibrage des modèles action en univers monde réel, un arbitrage doit être fait entre calibrage sur volatilités implicites des options de marché (call ou put) et les volatilités réalisées, la première consistant à supposer que la volatilité action est celle des options implicites et privilégiant une homogénéisation des données financières, la seconde privilégiant une estimation basée sur les volatilités réalisées dans le passé. Surtout, l’approche en univers réel est de représenter au mieux les niveaux des variables à un an. Pour les calibrages des modèles action en univers risque neutre, la difficulté réside dans l’estimation des volatilités implicites à un an puisqu’il est nécessaire en risque neutre d’être calibré sur des prix d’options. De façon générale, une approche simple est d’utiliser les volatilités implicites à t= 0 pour calibrer le modèles risque neutre à un an sous l’hypothèse d’une variation négligeable sur un an de ce facteur de risque.

67

3.3.3 Synthèse du processus de calibrage du modèle interne

Le calibrage du modèle interne suit un processus qui fixe l’ensemble des étapes à suivre, du calibrage à la validation des scénarios économiques, de l’estimation des richesses à un an du bilan économique à l’estimation de la distribution des Fonds Propres économiques requérant la valorisation du bilan économique.

Figure 3.12 Le processus du calibrage du Modèle Interne

*cf paragraphe sur dualité de la volatilité

t=0

t=1 an

t=1 an

t=1 an

t= 31 ans

Etape 4

Etape 7N' x Génération d'un jeu de scénarios secondaires calibré sur courbe des taux atteinte à un an

Etape 0calibrage du jeu de scénarios primaires

sur courbe des taux de marché et autres facteurs de risque fixés

Critères de validation sur jeu à respecter sinon retour étape 2

Génération de N scénarios primaires

Etape 2

Etape 3

Sélection des scénarios primaires

dans les extrêmes

(selon une norme définie)

reporting des critères à surveiller pour faciliter la compréhension des études ALM

Etape 9

calibrage du modèle action Heston-Merton sur volatilités* et taux nominaux

calibrage du modèle de taux nominaux LMM sur courbe des taux à un an et volatilités implicitescalibrage du modèle de taux réel Vasicek à deux facteurs sur taux réels et nominauxcalibrage du modèle action Heston-Merton sur volatilités implicites

Etape 8Critères de validation sur jeu à

respecter sinon retour étape 7

Etape 5N calibrages de jeu de scénarios secondaires pour chaque courbe des taux et autres facteurs de risque fixés

Dans le cadre d'une méthode d'accélération de la simulation dans la simulation

Processus du calibrage du modèle interne

Valorisation des Fonds Propres économiques : distribution de la "NAV" à un an (cadre solvabilité 2)

Etape 10

calibrage du modèle de taux nominaux Black-Karasinski à deux facteurs sur courbe des taux de marché et volatilités* calibrage du modèle de taux réel Vasicek à deux facteurs sur courbe des taux réels et nominaux de marché

Etape 1

Critères de validation sur calibrage à respecter sinon retour étape 0

Etape 6Critères de validation sur calibrage à

respecter sinon retour étape 4

68

Le détail des critères de validation des scénarios économiques fait l’objet d’un chapitre à part (chapitre 5). Conclusion Chapitre 3

En Epargne, le développement d’un Modèle Interne semble indispensable pour une bonne mesure des risques de marché sous Solvabilité 2. Le processus du calibrage du Modèle Interne montre que celui-ci repose essentiellement sur :

• Les propriétés des modèles sélectionnés • Le calibrage des scénarios diffusés • La procyclicité des marchés financiers

L’étude de la sensibilité des Fonds Propres économiques est à mener pour confirmer et quantifier la théorie (cf chapitre 6).

69

Troisième partie : le générateur de scénarios économiques

70

4 Analyse des modèles et calibrages des scénarios économiques

4.1 Principes généraux du générateur de scénarios

4.1.1 Rappel du rôle du générateur au sein du modèle ALM

Comme on a pu le voir dans les parties précédentes, le rôle du générateur de scénarios économiques est central pour la valorisation des flux actifs et passifs. On pourrait résumer le rôle des rendements et taux diffusés comme le support de la richesse initiale embarquée dans le modèle actuariel ALM, sur lesquels se dérouleront à chaque pas de temps les flux Actif et Passif en réponse aux évolutions de ces grandeurs.

Figure 4.1 Le rôle du générateur de scénarios économiques en ALM

71

4.1.2 L’agencement des modèles

Figure 4.2 La structure du générateur de scénarios économiques

Obligations corporates

(spread de crédit par Jarrow

Lando Turnbull)

Taux réel (Vasicek à 2 facteurs)

Inflation (taux nominaux - taux réels)

Les liens entre modèles

Taux nominaux

(LMM ou Black Karasinski

étendu à 2 facteurs)

Rendement action (excess return par Heston-Merton)

Rendement immobilier (excess return par Black-

Scholes)

Rendement Gestion Alternative et Private Equity

(excess returns par Black-Scholes)

Adaptation de source Barrie & Hibbert

Légende : les relations de corrélations sont représentées par les traits discontinus L’ensemble des modèles sont centrés sur le modèle de taux nominal qui servent à valoriser les obligations souveraines en premier lieu. Ainsi, l’ensemble des modèles des autres classes d’actifs (hors taux réels) sont calibrés sur les surplus de rendements (excess return) par rapport au taux nominaux.

4.1.3 La modélisation suivant les univers

La modélisation diffère en certains points suivant l’univers de projection considéré compte tenu des objectifs visés et des contraintes à respecter.

• En univers Risque Neutre, le traitement est effectué de manière à respecter les prix des options. Les corrélations classiques (linéaires) entre les classes d’actifs actions sont retenues car une modélisation calquée sur celle adoptée en univers Monde Réel (cf infra) ne permettrait pas de retrouver ces prix compte tenu de l’arbitrage entre corrélations et les volatilités implicites avec le respect des prix des options.

72

• En univers Monde Réel, les objectifs visés sont différents : l’approche n’est plus d’être nécessairement « Market Consistent » et d’avoir une absence d’opportunité d’arbitrage ; il s’agit de représenter au mieux l’évolution des grandeurs suivant l’estimation des distributions des variables financières déduites souvent depuis l’historique de séries.

La priorité est de modéliser les caractéristiques observées, à savoir : • Les niveaux de volatilités réalisées : elles sont par exemple plus faibles en

période de crise que celles implicites. • Les rendements moyens attendus qui peuvent différer du taux sans risque :

cela se fait au travers de l’incorporation d’une prime de risque. • La représentation des autres caractéristiques de la distribution des actions par

des valeurs cibles fixées sur le skewness (asymétrie de la distribution) et kurtosis (aplatissement de la distribution).

• La représentation des queues de distribution : ce n’est pas la méthode

retenue ici qui se fait au profit de la représentativité du skewness et kurtosis avec le phénomène de clustering : la volatilité est élevée lorsque les rendements sont faibles et inversement en cas de hausse.

• La représentativité des corrélations dans les extrêmes entre classes d’actifs

actions notamment. Ce dernier point requiert l’adoption d’une modélisation spécifique qui passe par une approche par facteurs (proche de l’analyse en composant principale). Les corrélations restent linéaires entre actions et autres variables financières (« excess return » immobilier, taux réels et nominaux) par une matrice de corrélation qui lie les facteurs aux bruits des autres processus stochastiques. Le principe de la modélisation par facteurs repose sur le contrôle des corrélations par des variables « cachées » indépendantes (les facteurs) communément partagées par les actions de toutes économies. Ils sont modélisés par des processus à volatilités stochastiques ou constantes : le modèle Heston-Merton développé en Monde réel a le premier facteur à volatilité stochastique contre constant pour les cinq autres facteurs.

73

Figure 4.3 La modélisation des dépendances des actifs risqués

Prime de risque systématique nulle µi Vol systémique

rendement Action 1

scénario 1 rendement Action 2

Prime de risque µs spécifique spécifié dans le processus Heston depuis l'historique évalué avec un

EWMA

Volatilité du processus de Volatilité systémique σ1

estimée depuis la distribution des volatilité implicite de maturité 1 mois

Volatilité du processus de volatilité spécifique σs identique à celle systémique

Facteur 5 (volatilité constante)

Facteur 6 (volatilité constante)

Modélisation des risques

systémiques : corrélations et

volatilités

Modélisation des caractères

spécifiques de la distribution

Heston Merton

Facteur 1 (Heston Merton)

Facteur 2 (volatilité constante)

Facteur 3 (volatilité constante)

Facteur 4 (volatilité constante) Prime de risque totale = Σi βi µi + µs + Σf βf γf σf

2 +γs σs2

Volatilité totale = √{Σf (βf σf )2 + σs

2 } => Modélisation des dépendances entre volatilités d es actions : idem pour les rendements cibles

Directions spécifiques

4.2 Principes des hypothèses de calibrages sous Solvabilité 2

4.2.1 Le calibrage QIS 5 du générateur de scénarios (Formule Standard)

Chaque jeu de scénarios comprend au format Natixis Assurances :

• Les rendements, dividendes, volatilités des actions, immobiliers, Private Equity, Gestion Alternative, OPCVM Monétaire et OPCVM obligataire en pas mensuels ; l’inflation est aussi modélisée.

• La courbe des taux nominaux : taux de maturité 1mois, 3mois, 6mois, 1 an,

3ans, 5ans, 10ans, 30ans • La courbe des taux réels : taux de maturité 1mois, 3mois, 6mois, 1 an, 3ans,

5ans, 10ans, 30ans

74

Un jeu de scénarios a été effectué pour chacune des situations suivantes :

• Scénarios en situation centrale avec courbe des taux fournies par CEIOPS * • Choc Hausse des Taux • Choc baisse des Taux • Choc de la prime de liquidité

*interpolation linéaires des Prix Zéros Coupons pour obtenir un pas de temps mensuel

4.2.2 Les hypothèses QIS 5

Les scénarios sont simulés en univers Risque Neutre et Market Consistent Les scénarios sont calibrés à la situation économique au 31/12/2009 (contexte QIS5)

• Taux sans risque QIS 5 : taux swaps-10 bps. La courbe des taux

nominaux hors prime de liquidité (LP) à utiliser précisée par le CEIOPS correspond aux swaps-10bp du marché pour la courbe hors LP

• Taux sans risque habituel de marché : taux swaps ou taux souverain.

Les courbes des taux nominaux et réels sont calibrées sur les niveaux des swaps

4.2.2.1 Ajout d’une prime de liquidité pour QIS 5 par type d’activité

L’exercice QIS 5 redéfinit un taux sans risque: à partir des taux swaps diminués de 10 bps, il y a ajout d’une prime de liquidité (LP) pour les taux de maturité inférieure à 20 ans selon le type d’activité développé Exemple : pour les maturités inférieures à 15 ans, LP (prévoyance)= 50% * 53bp contre LP (Epargne)= 75%*53bp au 31/12/2009 La volonté du CEIOPS est d’introduire la prise en compte du risque de liquidité dans le passif. Tel que paramétré, il est considéré que l’illiquidité s’accroît lorsque l’activité développée a une duration longue.

75

Figure 4.4 Comparaison des courbes des taux sans risque au 31/12/2010

4.2.2.2 Hypothèse sur la profondeur du marché

L’hypothèse des disponibilités des données du marché diffère suivant QIS 5 et Barrie+Hibbert L’exercice QIS 5 « considère » le marché moins profond. Les hypothèses des « Unconditional Forward Rates » hors prime de liquidité diffèrent en conséquence selon Barrie+Hibbert et CEIOPS

• Il peut être usuel de considérer que les données du marché sont

disponibles jusqu’à 50 ans (à l’instar de Reuters et Bloomberg). Un taux forward estimé (assimilable à un axiome) est fixé à 90 ans duquel est déduit l’ensemble des forwards manquants par interpolation-extrapolation (Méthode d’interpolation : spline cubique et méthode d’extrapolation : Nelson Siegel)

• Le QIS 5 considère que la profondeur du marché est de 30 ans ; un

taux forward est fixé à 90 ans duquel est déduit l’ensemble des forwards manquants par extrapolation avec méthode Smith Wilson

Doit-on prendre en compte les données disponibles sur le marché de gré à gré (OTC : Over The Counter) ?

4.2.3 Le principe des tests pratiqués pour valider les scénarios économiques

Le principe des tests de « Market Consistency » consiste à vérifier que les outputs des modèles sont conformes aux hypothèses initiales de marché en risque neutre ; il en existe deux principaux : celui de la vérification des prix des

76

Calls (ou des volatilités implicites) et celui du test de martingalité des prix actualisés.

4.2.3.1 « Market Consistency » tests : la valorisation des Calls/swaptions

Le test de vérification des options implicites (ou des prix des Calls/Puts pour modèle action et swaptions/caps pour modèle taux) consiste à vérifier que le niveau des rendements/taux diffusés correspondent à ceux anticipés par le marché.

Concernant le Call, le test de validation de la « market consistency » du jeu de scénarios se fait via Monte Carlo : à la date de maturité de l’option européenne, nous actualisons les payoffs d’après les rendements projetés avec le cash « rollup » pour en déduire le prix de départ de l’option considérée. On vérifie que son niveau correspond à celui ayant servi à calibrer le modèle.

Pour les swaptions, nous pratiquons le test sur jeu de scénarios par Monte Carlo du calcul de la volatilité implicite des swaptions payeuses convenant davantage aux assureurs Epargne que celles receveuses : les maturités contrôlées sont 5 ans et 10 ans de « tenor » 10 ans (« tenor » : durée de l’option si celle-ci est déclenchée ; cf annexe pour plus de détails).

Remarque : nous rajoutons un test similaire pour les volatilités implicites action.

4.2.3.2 Test de martingalité des prix actualisés

Les tests de martingalité sont utilisés pour valider la bonne risque neutralité du modèle stochastique diffusant la variable financière.

Il s’agit d’un test basique d’absence d’opportunité d’arbitrage du modèle : l’ensemble des actifs rapportent le même taux sans risque.

La propriété essentielle du test est de vérifier que, sous la mesure probabilité risque neutre, la moyenne des valeurs projetées actualisées à toute date future d’un actif est égale à sa valeur de départ : l’actualisation se faisant à partir de la revalorisation du cash « rollup » à chaque date (“taux monétaire rollé”).

77

4.3 Analyse des modèles utilisés et hypothèses de calibrage

4.3.1 Modèle action

4.3.1.1 Principe et dynamique du modèle

Le modèle à volatilités et sauts stochastiques (Heston-Merton) est utilisé en Risque Neutre et Monde Réel Le modèle d’Heston-Merton est défini par la formule suivante :

Où l’intensité du saut J suit une loi normale et les mouvements browniens ont une corrélation ρ. On interprète: d et r comme le taux de dividendes et le taux de rendement de l’action ; θ comme la variance long-terme ; k la vitesse de retour à la moyenne du processus variance (CIR) ; σv comme la volatilité de la variance. Les deux principales propriétés de ce modèle sont : La modélisation d’une volatilité stochastique ; La modélisation de sauts. Au contraire des modèles à volatilité locale qui tendent à aplatir le smile forward, les modèles à volatilité stochastique ou à saut répliquent mieux la dynamique du smile. En Risque Neutre, le calibrage est effectué sur la nappe de volatilités implicites des options grâce à une volatilité stochastique et des sauts aléatoires :

• Nappe de volatilités implicites : par Maturité et par Strike • Très haut degré de « Market Concistency » (attentes des autorités de

contrôle) • Obtention d’une évaluation du bilan en cohérence avec la profondeur des

données du marché (horizon de projection – maturité des options)

78

Figure 4.5 La nappe de volatilités implicites au 31/12/2010 des options de sous-jacent Eurostoxx 50

0,25

0,75

2

4

710

0,0%

5,0%

10,0%

15,0%

20,0%

25,0%

30,0%

35,0%

40,0%

0,6

0,6

5

0,7

0,7

5

0,8

0,8

5

0,9

0,9

5

1

1,0

5

1,1

1,1

5

1,2

1,2

5

1,3

1,3

5

1,4

35,0%-40,0%

30,0%-35,0%

25,0%-30,0%

20,0%-25,0%

15,0%-20,0%

10,0%-15,0%

5,0%-10,0%

0,0%-5,0%

En Monde Réel, l’asymétrie, l’aplatissement et les queue de la distribution des rendements sont mieux représentés en comparaison à un modèle à volatilité constante.

4.3.1.2 Propriétés du modèle de Heston avec un processus à saut Le comportement du cours des actions suit un processus à volatilité stochastique. Deux facteurs régissent les variations du prix : la volatilité et les sauts tous deux stochastiques. Le modèle basique de Heston suppose que le rendement de l’action est déterminé par un processus stochastique faisant intervenir un mouvement brownien comme variable et prenant pour paramètre une variance instantanée stochastique où celle-ci suit parallèlement un processus Cox Ingersoll Rox. Les mouvements browniens sont deux processus de Wiener liés par une correlation ρ constante négative afin de représenter le clustering de volatilité : plus les rendements augmentent, plus la volatilité qui suit est accrue. Inversement lors d’une baisse. Les sauts qui viennent impacter les prix des actions sont régis par une loi faisant intervenir une occurrence de sauts de loi de Poisson et d’intensité log-normale : plus précisément, les variations dues aux sauts de la valeur log du prix suivent une loi de poisson composée : l’intensité est une loi de distribution normale et l’occurrence d’apparition des sauts suit une loi de Poisson.

79

4.3.1.3 Inputs et paramètres

En Risque Neutre, le calibrage se fait sur une nappe de volatilités implicites d’options de sous-jacent Eurostoxx (indice de benchmark de Natixis Assurances). En Monde Réel, le calibrage se fait sur une courbe de volatilité à la monnaie (ATM). Les autres paramètres liés au modèle Heston sont le taux sans risque, prime de risque en monde réel, corrélations entre mouvements de volatilité et rendements, volatilité de la variance, retour à la moyenne de la variance, vitesse du retour à la moyenne du processus variance, valeur initiale de la variance. D’autres paramètres caractérisent le modèle Merton.

4.3.1.4 Avantages

i. L’hypothèse de log-normalité des rendements n’est pas vérifiée sur le marché : la volatilité de la volatilité n’est pas nulle et la corrélation de la valeur du titre à sa volatilité n’est pas nulle (Skewness non nul). D’où la nécessité d’introduire des modèles à volatilité stochastique

ii. En monde réel et risque neutre, le clustering de volatilité est

modélisé : lorsque les rendements sont élevés, la volatilité décroît et inversement lors de variations de rendements négatives. Ce constat peut être fait sur la série Eurostoxx 50 qui se vérifie lorsque l’on se situe en bas de cycle, notre cas actuel. Cette caractéristique spécifique est permise par l’introduction d’une corrélation négative entre le mouvement brownien du processus de la variance et celui du processus du cours.

iii. En monde réel, la volatilité stochastique monde réel capture le

skewness (dissymétrie des rendements) et le kurtosis (aplatissement ou pointe) de la distribution des rendements. Il y a dès lors captation de la corrélation entre rendements et mouvements de la variance

iv. En risque neutre, le modèle permet d’être « market consistent » avec

des options de maturités supérieures à 1 an (à mettre en rapport avec la durée d’investissement des assureurs Épargne). Il introduit un aléa sur la volatilité (volatilité de volatilité de l’ordre de 2 % vs 7 % sur étude ESTOXX depuis 2001) permettant de capturer une partie du facteur de risque variation de la volatilité.

v. L’obtention de la martingalité des prix actualisés du jeu de scénario en

pas de temps mensuel est facilitée avec un modèle Heston-Merton en comparaison à un modèle Black-Scholes : l’expérience montre qu’un écart au prix initial par jeu est souvent de l’ordre de 6 % au maximum

80

pour un modèle Heston-Merton contre 8 % - 9 % pour un modèle Black-Scholes (à fin de projection).

vi. En univers monde réel, si deux économies sont modélisées (actions en

zone euro et en zone USA par exemple), une dépendance dans les tails est représentée compte tenu de la configuration du modèle : modélisation par facteur qui induit une volatilité totale action subdivisée entre volatilité systémique et volatilité spécifique.

4.3.1.5 Limites

i. Non iso-méthode dans le traitement des corrélations : les chocs dus

aux sauts impactent les corrélations en monde réel des actions pour répliquer des corrélations extrêmes mais ne les impactent pas en risque neutre (corrélations constantes) : des difficultés à répliquer les prix des options observés sur le marché se poserait (problème entre arbitrage de la stabilité volatilité contre celle de la corrélation).

ii. Le calibrage risque neutre n’est pas effectué sur la représentation de la

distribution des rendements mais sur le critère exclusif du respect des prix des options : cela induit des sauts dont l’intensité n’est pas fonction des évènements extrêmes passés

iii. Il y a représentativité du caractère hétéroclite des rendements

mensuels et d’une volatilité accrue lors d’un marché baissier (clustering de volatilité) au détriment de faisceaux des cours souvent trop élevés pour être vraisemblables

4.3.1.6 Principe du calibrage

En Risque Neutre, aucune restriction sur les paramètres n’est faite et ils sont définis afin d’optimiser la minimisation de l’écart aux prix de marché selon la formule

consacrée : RMSE = N

ttt

modelevaleurmarchéValeur∑ − 2)( __

Où les valeurs de modèle sont les prix des options obtenus par Monte Carlo. En Monde Réel, l’approche est différente : les moments d’ordre 1 à 4 sont calculés et les paramètres sont déduits des cibles fixées sur ces moments.

81

4.3.2 Modèle immobilier

Nous avons retenu un modèle classique de marché pour représenter les actifs immobiliers compte tenu de la difficulté de modéliser des actifs illiquides. Notre volonté ici est de représenter un aléa sur ces rendements en ciblant une volatilité cohérente avce les indices de marché qui existent.

4.3.2.1 Principe et dynamique du modèle : Black-Scholes Mouvement brownien géométrique à volatilité constante (15 %)

4.3.2.2 Propriétés / Précisions des inputs

Hypothèse : Normalité des rendements Inputs : Volatilité constante

4.3.2.3 Limites

Hypothèse forte de la loi des rendements immobiliers Immobilier : difficile à paramétrer compte tenu de la nature de la classe d’actif très illiquide

82

4.3.3 Modèle taux nominaux en Monde Réel

4.3.3.1 Principe et dynamique du modèle : Black-Karasinski à 2 facteurs

Il s’agit d’un processus de retour à la moyenne

Les grandeurs diffusées par le modèle de Black-Karasinski et celui de Vasicek suivent la même équation : ils sont définis par un processus de retour à la moyenne. Le deuxième processus diffuse une perturbation du terme de la première équation par un mouvement brownien. (Les processus de Wiener sont indépendants).

)()ln(lnln

)()ln(lnln

222

111

dtdZdtmmd

dtdZdtrmrd

ttt

ttt

γσµαγσα++−=

++−=

Le premier processus est celui du taux court. Le second processus est celui du taux moyen terme.

où r0 valeur du taux court initial m0 valeur du taux moyen terme initial µt log du taux infini

1α et 2α les vitesses de retour à la moyenne

1σ et 2σ les volatilités des processus respectifs Z1 et Z2 deux mouvements browniens géométriques indépendants

γ contrôle la prime de risque (γ = 0 en risque neutre) puisqu’il permet d’augmenter/diminuer le taux infini : s’il est négatif, le taux infini Monde Réel est inférieur au taux infini en univers Risque Neutre et dès lors la prime de risque arithmétique est positive (taux court rollé inférieur au taux nominal long terme) :

)(ln2

2

1

1

ασ

ασγµ ++→∞tr

Modèle de taux court

• A chaque pas de temps, la courbe des taux forward est reconstituée à partir

du taux court projeté sur l’hypothèse d’absence d’opportunité d’arbitrage Modèle à deux facteurs

• Le modèle à deux facteurs introduit deux mouvements browniens qui permettent de mieux appréhender les corrélations observées sur le marché entre les taux forward de maturité différente

83

o Le premier mouvement brownien donne les chocs affectant en tout point de toute échéance la courbe des rendements à l’échéance

o Le deuxième mouvement brownien donne des chocs à court terme qui n’affectent que très peu les segments à long terme de la courbe.

4.3.3.2 Hypothèse et inputs

Hypothèse de lognormalité de la distribution des taux courts

Données financières à utiliser (ce sont des outputs au modèle dont le calibrage consiste à réduire les écarts au marché) :

• Courbe des taux sans risque (ici, taux swaps ou rendements nominaux des

titres émis par les emprunts d’États) • Une volatilité implicite swaption

4.3.3.3 Avantages

i. Modèle générant des taux positifs

ii. Modèle à deux facteurs : meilleure appréhension des corrélations observées sur le marché entre taux forwards de maturité différente

iii. Le calcul des moments se fait analytiquement à contrario de la

valorisation des zéro-coupons : il est dès lors possible de cibler des volatilités et quantiles lors du calibrage en univers monde réel, un avantage dans le cadre d’une simulation sur horizon 1 an pour le calcul du SCR en modèle interne.

iv. Modèle communément utilisé dans les milieux financiers

4.3.3.4 Limites

i. Il n’existe pas pour ce modèle d’expressions analytiques pour la

valorisation des obligations et des options: d’où le recours à une méthode par arbres binomiaux, coûteuse en temps de calculs.

ii. De façon générale, les modèles de Black ne sont à l’origine pas faits

pour générer des taux (bien que très utilisés comme tel en finance).

84

iii. Probabilité d’obtention de taux explosifs non négligeable compte tenu de l’hypothèse de lognormalité des taux courts : il s’agit de remédier à ce problème notamment dans un cadre ALM et sur des problématiques de calibrage dans les extrema (calculs de Capital de Solvabilité sur des quantiles à 99,5 %).

iv. Lors de l’étape du calibrage, les données financières initiales sont des outputs du modèle à contrario du modèle LMM : il existe dès lors des écarts entre la courbe taux spots initiale diffusée et celle de marché (de l’ordre de 20 bps : cf critères de validation à respecter chapitre 5).

4.3.3.5 Principe du calibrage

Le calibrage de Black-Karasinski à deux facteurs s’effectue par arbres binomiaux recombinant puisqu’il n’existe pas de formule analytique permettant de valoriser les prix zéro-coupons et les prix des swaptions. Le prix d’un zéro coupon est donné par

)( 1

)(∑=

∆−n

i

tir

Q eE , n fixé suivant la maturité donnée qui ne peut avoir une formule

analytique. Il est possible d’exprimer le taux court r(t) suivant deux composantes de lois normales qui vérifient )()()()( ttytxtr ϕ++= avec )(tϕ exprimable en fonction des paramètres de Black-Karasinski. Or pour un arbre à une dimension, on peut simuler x(t) suivant une initialisation x(0)=0 par les relations :

)1)(()())(/)(( 11 ttxetxtxttxE t

Q ∆−≈=∆+ ∆− αα et )12())(/)(( −∆+=∆+ pxxtxttxEQ

avec p la probabilité de changer d’état à tt ∆+ vers xx ∆+ Il est aussi possible d’exprimer de la même façon la variation x∆ en fonction des paramètres du processus de Black-Karasinski par la relation 2))(/)(( xtxttxVar ∆≈∆+

Un arbre binomial recombinant à deux dimensions (donc quatre états et probabilité pour chaque point) suit le même principe que celui à une dimension (probabilité déduite avec l’information supplémentaire de la corrélation conditionnelle entre x(t) et y(t)). On déduit dès lors le calcul par Monte Carlo des prix zéro coupons de la courbe des

taux initiale suivant l’application numérique de la formule )( 1

)(∑=

∆−n

i

tir

Q eE .

Ainsi, le principe se résume selon :les probabilités correspondant aux évolutions du taux court sont estimées sur les paramètres du modèle de diffusion puisqu’il existe des formules d’approximations liant les paramètres du modèle aux moments : ensuite, les prix déduits depuis cet arbre « simulé », les paramètres sont ajustés

85

selon une fonction minimisant l’écart aux prix zéro-coupons de la courbe des taux initiale.

Figure 4.6 Synthèse des principes de calibrage du modèle Black-Karasinski à deux facteurs

étape 1 Collecte des prix zéro coupons des taux nominaux (taux swaps) et des volatilités implicites de marché des swaptions et des séries swaps depuis 1987

étape 2

* pour rappel, la courbe des taux initiale est un "output" du modèle

étape 1 Collecte des prix zéro coupons des taux nominaux (taux swaps) et des volatilités implicites de marché des swaptions

étape 2

* pour rappel, la courbe des taux initiale est un "output" du modèle

Principe du calibrage du modèle Black-Karasinski à deux facteurs (en univers risque neutre)

Volatilités implicites swaptionsVitesses de retour à la moyenne calibrée sur historique depuis un AR(1) des EWMA des volatilités implicites swaptions de maturité 1 an, 10 ans et 15 ans => paramètres fixés

Arbre binomial recombinant dont le principe est de simuler deux variables x(t) et y(t) avec quatre états possibles pour chaque point à t+1 qui peuvent être exprimés suivant les paramètres du modèle 2 FBK et les valeurs prises à t , avec quatre probabilités associées qui sont fonction des paramètres du modèle 2 FBK et x(t) , y(t)

Estimation des paramètres volatilités, taux infini, m(0), r(0) avec vitesses de retour à la moyenne fixées par une fonction minimisant l'écart aux prix zéro-coupons déduits des valeurs diffusées par l'arbre binomial à ceux de marché

Estimation des paramètres volatilités, taux infini, m(0), r(0) avec vitesses de retour à la moyenne fixées par une fonction minimisant l'écart aux prix zéro-coupons déduits des valeurs diffusées par l'arbre binomial à ceux de marché

Estimation de la prime de risque ("Term Premium") sur EWMA de la différence de rendement entre taux 10 ans souverains et taux courts

Vitesses de retour à la moyenne calibrée sur historique depuis un AR(1) des EWMA des volatilités implicites swaptions de maturité 1 an, 10 ans et 15 ans => paramètres fixésEstimation des paramètres volatilités sur forme paramétrique Nelson-Siegel reliant les volatilités conditionnelles (dans un mois estimées avec un GARCH(1,1)) et celles inconditionnelles (estimées sur EWMA des volatilités implicites swaptions de maturité 1 an, 10 ans et 15 ans)

Principe du calibrage du modèle Black-Karasinski à deux facteurs (en univers monde réel)

Arbre binomial recombinant dont le principe est de simuler deux variables x(t) et y(t) avec quatre états possibles pour chaque point à t+1 qui peuvent être exprimés suivant les paramètres du modèle 2 FBK et les valeurs prises à t , avec quatre probabilités associées qui sont fonction des paramètres du modèle 2 FBK et x(t) , y(t)

2 FBK : Black-Karasinski à deux facteurs

86

4.3.4 Modèle taux nominaux en Risque Neutre : LMM

4.3.4.1 Principe et dynamique du modèle : Libor Market Model à deux facteurs

Le modèle Libor Market Model (LMM) appartient à la famille des modèles Heath Jarrow Morton qui décrivent le comportement des taux Forwards instantanés. Le LMM diffère d’un HJM dans la mesure où il modélise le taux discret LIBOR Forward (par opposition à une composition continue). Si )(tFk désigne le taux forward à t de maturité Tk an, il est lié au pas de temps

(12

11 =h

pour pas de temps mensuel ou h= 1 si pas de temps annuel) et aux prix

zéro-coupons ),( kTtPZC à t de maturité Tk par :

)1),(

),((

1)( −

+×=

hTtPZC

TtPZC

htF

k

kk

L’équation de diffusion est donnée pour un modèle à deux facteurs :

))()(()()(

)( 2211tktkk

k

k dWtdWttdrifttF

tdF ββσ +×+=

Où

2211)( lklkkl t ββββρ ×+×= représente la corrélation entre taux Forward de maturité

différente )(tkσ la partie de la volatilité du taux forward

Ces deux paramètres servent à retrouver le prix des options implicites de marché. Remarque : Le modèle est « time homogeneous », à savoir que la volatilité dépend du temps restant et ne varie pas de façon déterministe avec le temps.

)()( tTgt kk −=σ où g est une fonction Nelson Siegel

(type )))(( )(321

kTtk eTt −−−++ ωααα )

87

Figure 4.7 La structure de la volatilité des taux Forward du modèle LMM

Forward \ t [ 0, 1] [ 1, 2] [ 2, 3]F(t,1) σ1 Expiré ExpiréF(t,2) σ2 σ1 ExpiréF(t,3) σ3 σ2 σ1

Paramètres du modèles LMM Volatilités implicites 10Yσi calibrés sur

βi . .

Maturité

Modèle LMM actuel : volatilité donnée identique selon le temps restant de vie du Forward

Un modèle LMM variant dans le temps serait défini par une volatilité déterministe

)()()( tTgtft kk −×=σ permettant un meilleur fit des volatilités implicites

Principe

• Les taux forward (des taux swaps) de maturités 1 an sont diffusés en prenant en compte la structure de volatilité instantanée et celle de corrélation

• Les Taux Zéro-Coupon sont déduits à chaque pas de temps

Notion de facteurs

• Le nombre de facteurs correspond au nombre de coordonnées décomposant le mouvement brownien dans une base orthogonale. Le mouvement brownien est ici à deux dimensions (notion qui réfère à l’Analyse en Composante Principale)

o Le premier facteur (et le plus important) explique les mouvements de translation de la courbe des taux

o Le second facteur explique les mouvements d’inversion de la

courbe : les premiers forward montent et les derniers diminuent.

88

Remarque : Un troisième facteur aurait expliqué par exemple les mouvements de torsion de la courbe : mouvements observés lorsque les taux courts et taux longs montent alors que les taux à moyen terme diminuent

4.3.4.2 Hypothèses

Hypothèse de Log normalité des taux forward

La volatilité des taux forward est proportionnelle au taux forward afin d’assurer la positivité des taux : si le forward tend vers 0, sa volatilité tend aussi vers 0.

Les corrélations entre forwards de maturités différentes varient uniquement en fonction du temps.

4.3.4.3 Inputs

• Courbe des taux forward de maturité 1 an • Prix des swaptions exprimés en volatilité • Choix de la structure de la volatilité des taux forward • Choix de la structure de corrélation des taux forward

4.3.4.4 Avantages

i. Flexibilité En comparaison à un modèle affine, le modèle LMM a une plus forte decorrélations des taux de maturité différente : la structure de la volatilité des taux d’intérêt et des corrélations entre les taux de maturité différente introduisent des degrés de liberté supplémentaires.

ii. Calibrage sur instruments très liquides

La courbe des taux forwards est un input direct au modèle contrairement à un modèle affine où celui-ci est paramétré pour retrouver la courbe des taux en output à l’instant initial. Le principal apport du modèle LMM réside aussi dans son calibrage : celle-ci s’effectue sur les prix des swaptions, instruments très liquides sur le marché grâce

89

aux corrélations entre taux forward (au détriment de celles constatées en Monde Réel) et aux volatilités des taux forward du modèle.

La construction du modèle permet de calibrer le modèle à partir d’une relation simple entre volatilités implicites des swaptions et volatilités de chacun des forwards (formule fermée).

Figure 4.8 Synthèse des « market consistency » sur options suivant les modèles de taux

Adapté d’un document Barrie & Hibbert

iii. Modélisation des véritables variables de marché : sur la courbe forward

L’apport par rapport à un modèle classique type Black Karasinski à 2 facteurs du LMM est de diffuser des taux forward permettant ainsi de spécifier le comportement de différents points de la courbe des taux. Black Karasinski quant à lui ne dispose pas de

90

cette propriété, la courbe entière des taux étant déduites des taux courts par la seule hypothèse de non arbitrage.

4.3.4.5 Limites

i. L’hypothèse de log normalité des taux induit des probabilités non négligeables d’apparition de taux explosifs lors de la diffusion à long terme.

ii. La volatilité réalisée des taux et les corrélations entre taux forward de

maturité différente ne servent pas au calibrage de celles observées sur marché mais permettent exclusivement de représenter les volatilités implicites des swaptions.

iii. Approximations choisies pour paramétrer le modèle :

a. Le choix de la structure de corrélation entre taux forward est une clef du

modèle.

b. Il est nécessaire de spécifier une structure pour la volatilité instantanée

c. Le modèle suggère une volatilité des taux forward proportionnelle au taux forward. La justification sur des études de taux de maturité à long terme est difficile.

d. Approximation car hypothèse sous-jacente de lognormalité des taux swaps

lors du pricing des swaptions (utilisation d’un modèle lognormal où le drift est négligé lors de la phase de calibrage) en contradiction avec celle des taux forward (générés par le modèle LMM)

4.3.4.6 Principe du calibrage

Nonobstant la contradiction entre hypothèse de lognormalité des taux swap forward faite par le marché pour valoriser les swaptions et celle de la lognormalité des taux courts forward du modèle LMM, le modèle LMM a l’avantage de posséder des paramètres facilement exprimables en fonction des données de marché :

91

Figure 4.9 Synthèse du calibrage du modèle « Libor Market Model »

étape 1 Collecte des données des volatilités implicites de marché des swaptions

étape 2

Taux swap forward issu d'un modèle lognormal (processus 2) dont la volatilité implicite des swaptions est l'intégrale de la variance instantanée du taux swap forward

Par le lemme d'Ito, obtention de la variance instantanée du taux swap forward en fonction des paramètres du modèle LMM (par égalisation des processus 1 et 2)

étape 3 Spécification de la forme paramétrique de la structure de volatilité et des corrélations du modèle LMM (paramètres au modèle)

étape 4 Fonction minimisant l'écart entre volatilités implicites swaptions de marché et volatilités implicites swaptions exprimés en fonction des paramètres du modèle LMM

Principe du calibrage du LMM (en univers risque neu tre)

Ecriture des taux swap forward comme une pondération de taux long forward (issu du LMM) : contradiction ici entre hypothèse de lognormalité d es taux swap forward et lognormalité du taux court forward

Formule approximant la volatilité implicite swaptions à la volatilité du taux swap forward exprimé en fonction des paramètres du modèle LMM (approximation de la formule de Hull & White)

Lier le processus 1 diffusant les taux forward (LMM) à celui (processus 2) servant à la valorisation du taux swap forward et donc de la volatilité swaption afin d'en déduire le paramétrage du modèle LMM

Processus 2 : )()()(

)(,,

,

, tdWtsdrifttS

tdSβαβα

βα

βα += et

Avec le taux swap forward définit par

∑+=

Γ×

−= β

αα

βαβα

1

,

),(

),(),()(

iiiTTP

TtPTtPtS (cf annexe pour

plus de détails) et le taux forward diffusé par le LMM définit supra selon

)1),(

),((

1)( −

+×=

hTtPZC

TtPZC

htF

k

kk avec PZC(t,Tk) le prix zéro-coupon à t de maturité Tk.

92

4.3.5 Modèle inflation

4.3.5.1 Principe de la modélisation

L’inflation est modélisée comme la différence entre taux nominaux et taux réels. Les taux réels suivent un modèle Vasicek à deux facteurs.

)()(

)()(

222

111

dtdZdtmdm

dtdZdtrmdr

ttt

ttt

γσµαγσα++−=

++−=

où chacun des paramètres a la même signification que pour le modèle Black-Karasinski à deux facteurs décrits supra.

Il s’agit d’un modèle de taux court qui suit un processus de retour à la moyenne dont l’une des propriétés majeures est de générer des taux potentiellement négatifs. (D’où son usage possible uniquement pour les taux réels et non les taux nominaux) S’agissant des autres notions, elles sont similaires au modèle Black-Karasinski.

4.3.5.2 Hypothèses

Hypothèse de normalité des taux d’intérêt réels

4.3.5.3 Données financières utilisées La valeur initiale du taux court terme est déduite des OATi d’indice inflation CPI

4.3.5.4 Avantages

i. Modèle à deux facteurs : permet de davantage représenter la courbe initiale des taux spot.

ii. Modèle communément utilisé dans les milieux financiers.

93

4.3.5.5 Limites

i. Hypothèse de normalité des taux réels non nécessairement vérifiée

ii. Absence de calibrage sur les volatilités implicites des options liées à l’inflation

iii. Approximations choisies pour paramétrer le modèle

a. La volatilité dépend uniquement du temps (approximation car de nombreux travaux montrent le caractère aléatoire de la volatilité des taux courts)

b. La génération de taux courts négatifs dépend du paramétrage du modèle.

4.3.5.6 Principe du calibrage

Les « inputs » sont préalablement lissés lorsque cela s’avère nécessaire (parfois les données sont déjà lissées par la banque centrale)

Figure 4.10 Synthèse du calibrage du modèle Vasicek à deux facteurs

étape 1 Collecte des prix zéro coupons indexés inflation CPI

étape 2 Formule liant les prix zéro-coupons aux paramètres du modèle

* avec la contrainte du respect de la martingalité de l'inflation actualisée en projection univers risque neutre : paramétrage fait en parallèle de celui des taux nominaux

Principe du calibrage du modèle Vasicek à deux fact eurs (en univers risque neutre et univers monde rée l)

Vitesses de retour à la moyenne calibrée sur historique depuis un AR(1) sur EWMA de volatilités => paramètres ensuite fixésEstimation des paramètres volatilités, taux infini, m(0), r(0) avec vitesses de retour à la moyenne fixées par une fonction minimisant l'écart aux prixDétermination des paramètres taux infini et volatilités à des niveaux plausibles (intervalles) sur les plages de valeurs déterminées précedemmentEstimation des paramètres r(0) et m(0) pour minimiser la fonction d'optimisation

94

4.3.6 Modèle risque de crédit

Le risque de crédit matérialise trois types de risque associé à la richesse du portefeuille d’obligations « corporate » (dettes émises par une entreprise) et celle associée au Crédit Default Swap (CDS : non développé dans cette partie puisque nous ne portons pas ce type de protection contre le risque de défaut en portefeuille). Le principe général est de modéliser l’évolution de la valeur de marché d’un portefeuille composé d’obligations corporates.

4.3.6.1 Définition du spread de crédit en termes de modélisation Les trois risques expliquant les variations de richesse dues au risque de crédit du portefeuille d’obligations sont :

• Le risque de changement de notation : une obligation corporate peut changer de classe de ratings selon des agences de notation (Moody’s, Satndard and Poor’s…) : de AAA (les plus sures) à C avant l’état de défaut

• Le risque de défaut de l’émetteur : le prêteur ne percevra alors qu’une partie

du remboursement défini par le taux de recouvrement • Le risque d’écartement des spreads : il est expliqué par la variation des

rendements des spreads de marché au sein d’une même classe de ratings

Le Spread lié au risque de crédit modélise :

Figure 4.11 Les composantes du spread de crédit

Ecartement des spreads

Probabilité de changements de notations

Risque de faillite de l'émetteur

Il existe deux grandes approches pour traiter ce type de risque en univers risque neutre adaptable en univers monde réel :

• Les modèles structurelles (type Merton) qui modélisent la variation de la dette de l’émetteur : le modèle requiert la connaissance du bilan de l’entreprise émettrice et un traitement par ligne des obligations : cette approche est donc peu envisageable opérationnellement pour un portefeuille à poche obligataire de taille importante. Par ailleurs, les spreads obtenus conduisent à des spreads court-termes inférieurs à ceux de marché.

95

• Les modèles à formes réduites qui consistent à valoriser les obligations

corporate selon des modèles simulant les changements d’état des obligations en portefeuille (défaut et notation) et des modèles diffusant les variations des spreads (dues aux évolutions des hypothèses de marché de probabilités de défaut et à celles éventuellement relatives à la liquidité).

4.3.6.2 La modélisation de la valorisation des obligations corporate

L’approche retenue est issue du modèle de Jarrow-Lando-Turnbull qui modélise initialement de façon déterministe l’évolution des spreads ; elle est cependant étendue dans la mesure où elle permet d’introduire la modélisation stochastique de l’écartement des spreads. Que ce soit dans un cadre d’étude Monde Réel ou Univers Risque Neutre, la valorisation d’une obligation s’effectue dans l’univers Risque Neutre. Le prix d’une obligation corporate à un instant futur t (valorisée en Risque Neutre y compris dans un cadre Monde Réel) est donné par :

),(),(Pr),(),(Pr),(};1

0};1},

0 ktPZCCrttobaktPZCCttobaTtOblig rtTtkkDkr

tTtkk

DAAArrkk ×××+××= ∑∑∑

−+=′→

−+=′=′→

Où

• ),(Pr 0 ttoba rk→ désigne la probabilité cumulée de passer au rating r à t de

l’obligation (de maturité T) et rating k à t0 (initialement) sous la probabilité Risque Neutre Q

• Ck est le coupon en t = k et si la maturité est atteinte, CT le coupon

augmenté du principal • ),( ktPZCr est le prix zéro-coupons d’une obligation risquée de rating r à

l’instant t de maturité k (définie ci-après)

Concernant le retraitement des coupons, ils valent à t : Coupon (t) = ),(Pr))1(1( 0 ttobarC rkt →×−−×

La valorisation d’une obligation risquée résulte de la combinaison de la modélisation de :

• L’écartement des spreads via les termes ),( ktPZCr • Les probabilités de changements de notations en univers Risque Neutre via

les termes ),(Pr 0 ttoba rk→

96

4.3.6.3 La modélisation de l’écartement des spreads

Que ce soit dans un cadre d’étude Monde Réel ou Univers Risque Neutre, le pricing d’un Prix zéro coupon risqué s’effectue dans l’univers Risque Neutre. Le prix d’un zéro coupons risqué Corp PZC(corporate) de rating k à l’instant t et de maturité T est extrait directement du processus Λ(s) modélisant l’écartement des spreads ; Si I est la fonction indicatrice associée à l’instant de défaut Г et la maturité T le prix est donné par :

)/))()(((),( };

)(

t

dssr

r FTIrTIeEktPZC Tts <Γ×+>Γ∫

= =′

−

Avec ∫

=<Γ =′

Π×Λ−};

)(

))(( Tts

dss

eTIE

Ou encore exprimée autrement avec l’hypothèse simplificatrice dans notre cas de l’indépendance entre processus de taux nominaux et de l’intensité de défaut, Modélisation de l’écartement des spreads :

))(Pr)1(1(),(),( TobarTtPZCTtPZC Dkk <Γ×−+×= →

Où

),( TtPZC désigne le prix zéro coupon souverain : taux sans risque issu directement d’un modèle de taux classique type LMM ou Black-Karasinski à deux facteurs r le taux de recouvrement : 1- r correspond donc au taux de Loss Given Default

))(())(Pr TIEToba Dk <Γ=<Γ→ est la probabilité de faire défaut avant la date

d’échéance T (état D) pour une obligation zéro coupon corporate de maturité T et notée k initialement à t

Cette expression prend bien sens en termes de cashflow espéré d’après les probabilités de défaut : Le flux est de 1 avec probabilité ))(Pr1 Toba Dk <Γ− → contre un taux de

recouvrement de r avec probabilité ))(Pr Toba Dk <Γ→ .

La probabilité ))(Pr Toba Dk <Γ→ est issue de la matrice de changements d’états qui

est impactée par un processus πk(t) = π(t) (scalaire par simplification dans notre cas) via le choc sur le générateur Λ définie infra.

4.3.6.4 La modélisation des changements d’états La construction des probabilités de changements de rating s’effectue comme suit :

97

Les probabilités de changements de notations sont formalisées par une matrice dont les états (notations AAA à C et défaut) en ligne sont ceux en début de période et en colonne ceux d’arrivé. Ces probabilités sont initialement extraites de la matrice évaluée par l’agence de notation Moody’s dont l’état de défaut est inséré. Le point de départ est la matrice de transition annuelle :

Figure 4.12 La matrice de probabilité de changements d’état

AAA AA A BBB BB B CCC DefautAAA 94,0% 5,7% 0,2% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0%AA 2,0% 90,0% 7,5% 0,2% 0,2% 0,2% 0,1% 0,1%A 1,6% 3,7% 89,9% 4,0% 0,2% 0,2% 0,2% 0,2%BBB 1,2% 1,0% 5,3% 87,0% 5,0% 5,0% 0,3% 0,5%BB 0,4% 0,7% 1,0% 6,0% 82,0% 5,0% 0,4% 2,0%B 0,0% 0,7% 1,0% 1,5% 5,0% 79,0% 5,0% 4,7%CCC 0,0% 0,1% 0,1% 0,2% 5,0% 8,0% 74,0% 12,5%

Pourcentages à titre illustratif La matrice ci-dessus d’après le modèle Jarrow-Lando-Turnbull est liée par la relation :

rkrk eoba ,)()1,0(Pr Λ→ = où Λ est une matrice dite « le générateur » qui comporte

entre autres l’intensité de défaut. Puisque cette matrice vérifie la propriété de Markov, on a la relation qui suit :

rktT

rk eTtoba ,)( )(),(Pr −Λ

→ = où ),(Pr Ttoba rk→ désigne la probabilité cumulée de

changement de notation (notée k initialement à t pour devenir de rating r à T)

• En univers Monde Réel, les probabilités sous P de transitions sont de Markov et donc les changements de notations et probabilités de défauts évoluent de façon déterministe : elles servent uniquement à déterminer l’état d’un portefeuille d’obligations corporate à chaque instant futur juste avant son pricing et n’interviennent pas dans la formule du pricing des obligations. Notamment, elles permettent de déduire à chaque pas de temps les obligations ayant faits défauts sous la probabilité P.

• En univers Risque Neutre, la matrice initiale de transition est impactée via un processus Cox-Ingersoll-Ross choquant le générateur Λ. Ainsi, si πt suit un CIR, les matrices de transitions évoluent selon :

rkrktetoba ,)()(Pr ΛΠ

→ =

98

Figure 4.13 L’usage des matrices de transitions

Valorisation de l'obligation Simulation des transiti ons

Monde Réel Matrice de transitions Risque Neutre Matrice de transitions Monde RéelRisque Neutre Matrice de transitions Risque Neutre Matrice de transitions Risque Neutre

Les simulations des transitions s’effectuent comme suit selon l’univers de projection : Figure 4.14 Les lois des matrices de transitions suivant les univers

Monde Réel Risque Neutre

Loi Normale calibrée sur la matrice de changement de probabilité initiale extraite de Moody's

Matrice impactée par un générateur choqué par un processus CIR

A

Figure 4.15 La modélisation du risque de crédit suivant les univers

AAA AAA AAAAA AA AAA A A

BBB BBB BBBBB BB BBB B B

CCC CCC CCCDéfaut Défaut Défaut

AAA AAA AAA

AA AA AAA A A

BBB BBB BBBBB BB BBB B B

CCC CCC CCCDéfaut Défaut Défaut

Pricing des obligationsEvolution des notations du portefeuille

Matrice de transition Q à t=0

Matrice de transition Q à t=1

En univers Risque Neutre

En univers Monde Réel

Matrice de transition P à t=0

Matrice de transition Q à t=1

99

La matrice de transition utilisée pour la valorisation n’est plus markovienne : faire évoluer un portefeuille en run off est donc possible et le procédé requiert le calcul des probabilités cumulées par récurrence.

La probabilité de passer à la notation r à t pour une obligation notée k initialement à t0 est :

)(Pr)1,(Pr),(Pr 0},

0 tobattobattoba rkDAAAr

rkrk →=′

→→ ×−= ∑

Où rk

trk etoba ,

)( )()(Pr Π×Λ→ =

Remarque : Les émetteurs sont corrélés entre-deux ainsi qu’avec le mouvement brownien commun à l’ensemble des actifs (hors taux) qui représente la corrélation commune intra-secteur des modèles (fixé à 35%) aux économies.

4.3.6.5 L’interprétation de la méthodologie en termes de spread

Le spread de crédit lié à l’écartement des spreads (corporate PZC) est identique en Monde réel et en Risque Neutre : il est supérieur à celui obtenu par le pricing sous les probabilités Monde Réel P (break even spreads) car il incorpore les défauts inattendus valorisés par le marché riscophobe qui s’ajoute à l’effet partie des défauts attendus (break even spreads). Ainsi, en univers Monde Réel, le pricing se faisant avec la matrice de transition sous Q de générateur ΛQ = πt x ΛP, il est introduit une prime de risque de crédit en univers Monde Réel contrôlé implicitement par le processus CIR π(t) via l’utilisation des probabilités sous Risque Neutre lors du pricing des obligations : en effet, les probabilités de défauts pour simuler les transitions (qui précèdent le processus de valorisation) sont plus grandes en univers Risque Neutre qu’en Monde Réel permettant :

• L’obtention d’une prime de risque de crédit via le processus π(t) en Univers Monde Réel par la différence des probabilités utilisées respectivement pour simuler les changements d’état des obligations pour faire évoluer l’état du portefeuille (probabilité P) vs simuler les changements d’état des obligations pour valoriser les obligations (probabilité Q) : en univers réel, la probabilité de défaut simulant le changement d’état (sous P) étant plus faible que celle en univers Risque Neutre (sous Q) alors que parallèlement les valorisations se font sous les probabilités Q, il y a création d’une prime de risque de crédit ; il est par ailleurs identifiable entre le spread break even (corp PZC sous P dont l’évolution est déterministe) < spread de crédit lié à l’écartement des spreads (corp PZC sous Q dont l’évolution est stochastique)

100

• L’annulation de la prime de risque de crédit en univers Risque Neutre

4.3.6.6 Le calibrage des spreads de crédit En RN, le spread de crédit est modélisé de façon stochastique : la matrice de transition est affectée indirectement par un processus stochastique calibré sur l’obligation noté A et de maturité 7 ans.

Le processus CIR se calibre depuis les prix zéro corporates (écartements des spreads)

Argmin { 2)7,0()7,0(( 0 marché

AA PCZCPCZC −π }

Le calibrage appelle :

La Matrice de probabilité de changements d’états depuis Moodys

mais modifiée pour introduire l'état de défaut

Calibrage d’un processus CIR :

• Retour à la moyenne calibrée sur la moyenne historique depuis 1930 des speads de rating A et maturité 7 ans mais lissée par exponentielle. Le retour à la moyenne est estimé sur base d’une technique EWMA (exponential weighted moving average : cf annexe) de l’historique des spreads dont le principe est d'accorder plus de poids aux données récentes du marché

• Calibrage de la volatilité CIR : volalité estimée avec méthode EWMA

• Calibrage de la vitesse du retour à la moyenne : déduit d’un AR(1) sur l’EWMA de la volatilité

• Valeur initiale du CIR : 0π depuis l'interpolation des Option

adjusted Spread du marché où seules les corporates de rating A et maturité 7 ans sont retenues

4.3.6.7 Limites

i. Cette modélisation permet d’être « market consistent » en Risque Neutre avec les spreads des obligations A et de maturité 7 ans. Ainsi, via cet aléa, une volatilité des spreads est introduite ; le niveau de spread correspondrait cependant davantage à notre portefeuille s’il était calibré sur des obligations de rating A et de maturités 4-5 ans.

101

ii. En Risque Neutre, la limitation du choc à un scalaire calibré sur une obligation spécifique (pour un seul rating donné) qui affecte de la même manière toutes les composantes de la matrice de changement de ratings repose sur une hypothèse forte : les volatilités des spreads de différents ratings sont identiques ; surtout, ces spreads sont parfaitement corrélés entre-eux.

iii. La prime de risque de crédit introduite implicitement en Monde réel par

une matrice de transition déterministe contre une valorisation avec une matrice de transition stochastique ne permet de contrôler la martingalité des obligations risquées

iv. Suivant les objectifs visés, le calibrage doit s’adapter : viser les quantiles dans le cadre de solvabilité 2 lors de la simulation du jeu de scénarios primaires (Monde Réel), calibrage dans les extrêmes peu évident, contre une approche plus standard dans le cadre MCEV

4.3.7 La modélisation des dépendances entre variables

4.3.7.1 Les corrélations en Risque Neutre des actifs risqués

Les corrélations en Risque Neutre sont constantes et ne sont donc pas impactées par des sauts stochastiques.

Il a été décidé de modéliser ainsi les corrélations car l’impact de sauts affectant simultanément la volatilité et les corrélations ne permettait pas de retrouver les prix des options en date initiale (le souci prépondérant en Risque Neutre étant d’être « Market Consistent »).

Le niveau cible des corrélations Risque Neutre est issu de celui observé sur le marché (identique au monde réel). La considération de la problématique des corrélations entre actifs risqués est limitée pour notre part puisque seule une classe d’actifs actions est diffusée sur le benchmark Eurostoxx 50.

4.3.7.2 Les corrélations en Monde réel des actifs risqués

Les phénomènes constatés en Monde Réel sont :

• Clustering de volatilité constaté

102

• Augmentation des corrélations dans les extrêmes accompagnées de fortes volatilités

La modélisation des corrélations :

• Elles sont stochastiques car deux actifs risqués actions issus de deux économies différentes possèdent une volatilité et corrélation systémiques représentées par un modèle Heston-Merton (cf Figure 4.2)

• La volonté est de représenter au mieux les événements extrêmes compte

tenu de la valorisation du bilan sur quantile à 99,5 % dans le cadre Solvabilité 2.

La considération de la problématique des corrélations entre actifs risqués est limitée pour notre part puisque seule une classe d’actifs actions est diffusée calibrée sur notre benchmark Eurostoxx 50.

4.3.7.3 Corrélations entre mouvements de volatilités et rendements du modèle Heston-Merton

La corrélation est négative entre volatilités et rendements actions pour représenter le phénomène de clustering de volatilité observé en bas de cycle.

4.3.7.4 Corrélations entre taux nominaux/réels et actions

L’estimation des corrélations entre les rendements excédentaires et les taux est effectuée. Le calibrage des corrélations est fait d’après les paramètres des modèles stochastiques (valeur cible à 100 ans vs 30 ans de projection). L’estimation des corrélations sur jeu montre un non respect des cibles fixées ; une décorrélation entre taux 10 ans et rendement action est constatée sur jeu sur horizon 30 ans contre une valeur cible à -19 %. Nous n’imposons pas pour le moment de critères sur les corrélations, privilégiant la représentativité du caractère hétéroclite des rendements actions (arbitrage entre volatilité stochastique et corrélation).

103

Conclusion Chapitre 4

Nous avons expliqué les propriétés des modèles retenus et les principes des modélisations suivant les univers de projection. Nous avons aussi développé les raisons qui nous ont amenées à sélectionner les modèles Heston-Merton pour la diffusion des rendements actions et celui du Libor Market Model pour le modèle de taux nominaux. Nous avons clairement identifié leurs limites respectives, notamment s’agissant des problématiques d’extrema. Les calibrages Risque Neutre empêchent une bonne représentation des distributions des variables financières des titres. Les paramètres des modèles servent à retrouver les prix des options : pour certains modèles, les paramètres sont nombreux et constituent des degrés de libertés qui peuvent parfois perdre leur signification initiale (cf les corrélations des taux forward du modèle LMM). Il s’agit désormais de décrire les critères de validation des calibrages, utiles au processus de calibrage du modèle interne décrit au chapitre 3.

104

5 Validation des scénarios économiques

Les parties précédentes ont montré le rôle crucial des scénarios économiques dans la valorisation des Fonds Propres économiques (Net Asset Value), étape commune aux deux orientations méthode Formule Standard et méthodes Modèle Interne : pour rappel, la Formule Standard repose sur l’évaluation de différence de « NAV » entre situations centrale et stressée par facteur de risque, les méthodes Modèle Interne reposent quant à elles sur l’évaluation de la distribution des NAV dont les corrélations des facteurs de risque de marché sont issues exclusivement des scénarios économiques.

Ainsi, il est essentiel de disposer de contrôle des scénarios économiques afin de vérifier leur qualité et le respect des hypothèses des calibrages des modèles de diffusion.

En Formule Standard, l’étude se fait sur le périmètre univers Risque Neutre puisqu’il s’agit uniquement de valorisations du bilan économique sur un jeu de scénarios.

En Modèle Interne, le contrôle doit se faire sur le périmètre Monde Réel et Risque Neutre comte tenu de la diffusion des scénarios dans ces deux univers comme expliqué en chapitre 3.

Ainsi, l’objet de ce chapitre est d’exposer les tests pratiqués afin de valider et contrôler les scénarios économiques dans le cadre Solvabilité 2 en univers Risque Neutre et Monde réel.

5.1 La validation des scénarios en univers Risque Neutre

La validation des scénarios économiques en univers Risque Neutre s’inscrit dans le cadre de la valorisation du bilan économique, qui est suffisante sous la méthode Formule Standard.

L’approche Risque Neutre repose sur l’hypothèse d’un unique rendement moyen (le taux sans risque) des titres. Le choix de cet univers pour la valorisation du bilan économique et du capital de solvabilité requis sous Solvabilité 2 s’inscrit dans le cadre d’une uniformisation et objectivation des hypothèses prises par l’ensemble des assureurs/réassureurs. Il ne peut donc y avoir des rendements moyens spécifiques à certaines classes d’actifs, empêchant dès lors, à contrario d’une approche Monde Réel, tout calibrage de modèles basé exclusivement sur la représentativité des densités observées.

Aussi, les modèles utilisés dans l’Univers Risque Neutre ont pour objectif d’être le plus « Market Consistent », à savoir être capables de retrouver les prix des options du marché au détriment d’une approche plus réaliste qui tenterait de représenter des propriétés plus fines sur les données observées.

105

De façon non exhaustive, on pourrait résumer cette problématique par l’opposition Risque Neutre contre Monde Réel par:

Figure 5.1 Le calibrage Risque Neutre contre Monde Réel

Hypothèses des calibrages en Monde réel

distributions spécifiques des actifsVolatilités réalisées

Hypothèses des calibrages en Risque Neutre

Une unique courbe des taux sans risqueVolatilités implicites

5.1.1 Synthèse des critères de validation à respecter

Les tests usuels à mener sont :

i. Le contrôle de la martingalité des indices actualisés afin de vérifier la bonne risque neutralité : tous les actifs rapportent le taux sans risque (absence d’opportunité d’arbitrage)

),0()( tPDSE tt =×

Où E représente l’espérance (qui se traduit par la moyenne sur scénarios par la méthode Monte Carlo), St , la valeur de l’indice en base 1 à la date initiale, Dt, le facteur d’actualisation basée sur les taux courts rollés jusqu’en date t et P(0,t) le prix Zéro-Coupon associé à la courbe des taux initiale.

ii. Le contrôle de la « Market Consistency » : les paramètres des modèles de diffusion des scénarios économiques respectent les hypothèses financières de marché à la date de projection.

iii. Vérifier la cohérence des extrema des variables financières projetées

sur l’ensemble des scénarios : les modèles actuariels développés sont en effet sensibles à ces valeurs avec rejet de jeux selon des seuils fixés.

iv. Vérifier la moyenne des rendements de l’ensemble des classes d’actifs

v. Identifier les niveaux de volatilités (« standard deviation » sur

scénario) à chaque pas de temps sur graphe notamment pour les actions, immobiliers et dividendes associés

vi. Visualiser la moyenne des dividendes action et immobilier sur l’ensemble des scénarios et pas de temps

vii. Estimer les corrélations entre action/taux, action/immobilier,

immobilier/taux, taux/inflation

106

Les critères de validation retenus interviennent aux étapes de calibrage et aux étapes de validation des jeux de scénarios (cf chapitre 3 décrivant le processus de calibrage du modèle interne). Ils se résument ainsi :

Figure 5.2 Critères de validation des calibrages des jeux de scénarios en univers Risque Neutre

Etape 6 du processus de calibrage du Modèle Interne

Courbe des taux nominaux écart à celle de date de projection inférieur à 20 bps*

Courbe des taux réels écart à celle de date de projection inférieur à 10 bps pour les maturités inférieures à 10 ans puis écart inférieur à 20 bps pour les maturités supérieures à 10 ans ; pour la courbe des taux nominaux assurant aussi le calibrage de l'inflation, l'écart doit être inférieur à 30 bps pour toute maturité à exception de celle à un an où l'écart toléré est de 50 bps

*Modèle LMM en risque neutre : absence d'écart, la courbe étant un "input" du modèle

Pour contrôler le respect des hypothèses de marché à date de projection

"Market consistency" des taux et actions

Pour contrôler le respect des hypothèses de marché à date de projection ; l'écart toléré à la courbe des taux nominaux est important la première année compte tenu d'une inflation cible court terme estimée sur base d'experts qui diffèrent des prix OATi

Volatilités implicites action maturité 10 ans

Volatilité implicite swaptions payeuses du calibrage maturité 5 ans et "tenor" 10 ans Volatilité implicite swaptions payeuses du calibrage maturité 5 ans et "tenor" 10 ans

écart absolu au marché inférieur à 80 bps

écart absolu au marché inférieur à 80 bps

écart à celle de marché t=0 inférieur à 70 bps

Pour contrôler le respect des hypothèses de marché à date de projectionPour contrôler le respect des hypothèses de marché à date de projection

Volatilités implicites action du calibrage maturité 5 ans écart à celle de marché t=0 inférieur à 70 bps

Critères à respecter Commentaires

CRITERES DE VALIDATION DES CALIBRAGES DES JEUX DE S CENARIOS ECONOMIQUES GENERES EN UNIVERS RISQUE NEUTRE

Pour contrôler le respect des hypothèses de marché à date de projection

Pour contrôler le respect des hypothèses de marché à date de projection

Etape 6 du processus de calibrage du modèle interne : validation du calibrage risque neutre

107

Figure 5.3 Critères de validation des jeux de scénarios en univers Risque Neutre

Etape 8 du processus de calibrage du Modèle Interne

Stabilité des résultats

Nombre de scénarios par jeu 1000

**Seuils fixés d'après une étude mesurant l'effet qualité de la martingalité sur l'adossement Actif/Passif et sur une objectivation opérationnelle

CRITERES DE VALIDATION DES JEUX DE SCENARIOS ECONOM IQUES GENERES EN UNIVERS RISQUE NEUTRE

Contrôle de l'absence

d'opportunité d'arbitrage

< 50 %

cf étude de la convergence des résultats sur martingalité et étude sur mouvements "NAV" et "VIF"*

Contrôle de la "market

consistency"

Commentaires

écart à celle de calibrage inférieur à 2 %**

Moyenne des indices inflations actualisés en date t=0 sur prix zéro coupons réels de la courbe des taux initiale de maturité associée au pas de temps pour chaque pas de temps

Moyenne des indices "Private Equity"actualisés en date t=0 pour chaque pas de temps sur prix zéro coupons issus de la courbe initiale des taux nominaux

écart à 1 inférieur à 1 %

écart à 1 inférieur à 4 %

Moyenne des indices OPCVM monétaires actualisés en date t=0 pour chaque pas de temps sur prix zéro coupons issus de la courbe initiale des taux nominaux

Moyenne des Prix zéros coupons diffusés actualisés en date t=0 pour chaque pas de temps sur prix zéro coupons issus de la courbe initiale des taux nominaux

dans l'intervalle de confiance à 95 % empirique associé pour au moins 4 des 5 options et écart absolu au marché inférieur à 15%

Volatilité implicite swaptions payeuses maturité 10 ans et "tenor" 10 ans issue du jeu

Volatilités implicites des options de sous-jacent ESTOXX 50 de maturité 3 ans à 10 ans issue du jeu

Moyenne des "payoffs" des prix des call actualisés en date t=0 de maturité 1 an, 2 ans, 3 ans, 4 ans et 5 ans

Volatilité implicite swaptions payeuses maturité 5 ans et "tenor" 10 ans issue du jeu

écart à 1 inférieur à 2 % Martingalité vérifiée

écart au marché inférieur à 2%*

< 1 %Très martingals d'après le calibrage et modèle utilisé : pas de problématique

Pour contrôler le respect des hypothèses de marché à date de projection sur critère des Orientations Nationales des autorités de Contrôle (cf QIS 5)

Pour contrôler le respect des hypothèses de marché à date de projection

écart au marché inférieur à 2%*

Critères à respecter

Cap en amont des taux afin de limiter les taux spot nominaux diffusés

< 52 %

Pour contrôler le respect des hypothèses de marché à date de projection sur critère des Orientations Nationales des autorités de Contrôle (cf QIS 5)

Martingalité vérifiée

Pour contrôler la qualité de la martingalité

Pour contrôler la qualité de la martingalité

Pour vérifier un adossement Actif/Passif supérieur à 99,6%

écart à 1 inférieur à 40 %

Martingalité vérifiée

Moyenne des indices actions actualisés en date t=0 pour chaque pas de temps sur prix zéro coupons issus de la courbe initiale des taux nominaux

compris dans l'intervalle [0,001 ; 1000]

Pour éviter des incohérences économiques sur les rendements cumulés :pas de contraintes avant l' automatisation de la génération pour optimiser par la suite contraintes opérationnelles et celles de vraisemblance des valeurs

* NAV" : Net Asset Value" , "VIF" : "Value In Force" ou somme des résultats actualisés

Pour éviter des incohérences économiques sur les rendements cumulés :pas de contraintes avant l' automatisation de la génération pour optimiser par la suite contraintes opérationnelles et celles de vraisemblance des valeurs

Taux forward 1 an

Afin de limiter le nombre de scénarios à caractère déterministe

Indice immobilier avec dividendes réinvestis estimés à chaque pas de temps en base 1 initialement

Indice actions avec dividendes réinvestis estimés à chaque pas de temps en base 1 initialement

compris dans l'intervalle [0,001 ; 1000]

quantile 99% taux spot 10 ans à fin de projection

dans l'intervalle de confiance à 95 % empirique associé

dans l'intervalle de confiance à 95 % empirique associé

dans l'intervalle de confiance à 95 % empirique associé

écart à 1 inférieur à 4 %

écart à 1 inférieur à 4 % les quinze premières années puis < 6 % sur le reste de la projection**

Toutes égales à 40 bps près

*Seuil fixé sur la base des calibrages effectués par Barrie+Hibbert et sur la base de l'étude interne de la convergence des volatilités implicites suivant le nombre de scénarios par jeu

Moyenne de l'inverse du "cash rollup" diffusés en date t=0 pour chaque pas de temps sur prix zéro coupons issus de la courbe initiale des taux nominaux

Moyenne des indices actions actualisés en date t=0 pour chaque pas de temps sur prix zéro coupons issus de la courbe initiale des taux nominaux

Moyenne des indices immobiliers actualisés en date t=0 pour chaque pas de temps sur prix zéro coupons issus de la courbe initiale des taux nominaux

Moyenne des indices gestions alternatives actualisés en date t=0 pour chaque pas de temps sur prix zéro coupons issus de la courbe initiale des taux nominaux

Moyenne des indices immobiliers actualisés en date t=0 pour chaque pas de temps sur prix zéro coupons issus de la courbe initiale des taux nominaux

Moyennes annualisées des rendements mensuels action - immobilier - Private Equity - Gestion alternative - OPCVM monétaire - OPCVM obligataire - taux nominaux diffusés sur sur scénarios et pas de temps

Contrôle des extrema

Pour contrôler la qualité de la martingalité

Très martingals d'après le calibrage et modèle utilisé : pas de problématique

Pour contrôler le respect des hypothèses de marché à date de projection

Afin d'assurer un contrôle des moyennes des rendements diffusés : en univers risque neutre, tous les actifs rapportent le taux sans risque

Pour vérifier un adossement Actif/Passif supérieur à 99%

Etape 8 du processus de calibrage du modèle interne : validation du jeu de scénarios risque neutre

108

5.1.1.1 Le contrôle de la martingalité

Les critères pour l’indice action à respecter sont le respect de l’égalité:

1),0(

)( =×tP

DSE tt

Où E représente l’espérance (qui se traduit par la moyenne sur scénarios si Méthode Monte Carlo), St, la valeur de l’indice en base 1 à la date initiale, Dt, le facteur d’actualisation basée sur les taux courts rollés jusqu’en date t et P(0,t) le prix Zéro-Coupon associé à la courbe des taux nominaux initiale.

Remarque :

Pour l’inflation, il s’agit de vérifier : 1),0(

)( =×tP

DIE

r

tt où It, la valeur de l’indice

inflation en base 1 à la date initiale et Pr le prix Zéro-coupon issu de la courbe des taux réels.

Pour les prix Zéro-coupons, il s’agit de vérifier : 1),0(

)),(( =+×tTP

DTtPE t

où ),( TtP désigne le prix Zéro-coupons de maturité associé T à la date t.

Les Prix Zéro-coupons diffusés sont ceux de maturité 1mois, 3mois, 6mois, 1an, 3ans, 5ans, 10ans, 30ans à respecter

Les critères de validation des jeux à respecter sont détaillés dans le tableau supra.

109

Présentation des résultats :

Figure 5.4 Test d’absence d’opportunité d’arbitrage des Prix Actions

Les prix actualisés de ce jeu de scénarios issus du modèle Heston-Merton sont bien martingales et respectent le critère de l’évolution dans l’intervalle empirique de confiance à 95%. Il est à l’étude le calcul d’un intervalle de confiance à formule fermée et la stabilité de l’intervalle de confiance selon le jeu de scénarios.

Par ailleurs, la contrainte imposée sur un écart à 1 (prix en base 1) dans l’intervalle [0,4%] les quinze premières années puis [0,6%] les années suivantes est vérifiée. Cette contrainte supplémentaire est imposée pour minimiser le désadossement Actif/Passif dû à la sur/sous martingalité des prix, clairement identifié dans nos flux. Notre écart est dès lors inférieur à 1%.

Ce jeu vérifie les critères de validation portant sur l’absence d’opportunité d’arbitrage.

110

Figure 5.5 Test d’absence d’opportunité d’arbitrage des Prix Zéro coupons taux courts « rollés » et indices inflations

L’inverse du cash « rollup » est bien égal en moyenne au prix zéro-coupon associé.

L’inflation est en revanche moins martingale étant donné sa modélisation calibrée sur une différence entre taux nominaux et taux réel rendant sa diffusion plus instable que celle d’un taux nominal issu d’un unique processus.

Les critères sont respectés (cf tableau supra).

111

Figure 5.6 Test d’absence d’opportunité d’arbitrage des Prix Zéro coupons

Les prix-zéro coupons actualisés sont très martingales. Aucune problématique relevée.

Remarque :

Issu d’une même table d’aléa (même graine pour modèle action), la martingalité des prix actualisés actions restent la même quelque soit le modèle de taux utilisé.

5.1.1.2 Le contrôle de la « Market Consistency »

Le contrôle de la « Market Consistency » consiste à vérifier que les prix des options sont retrouvés depuis les scénarios économiques. Il s’effectue via la méthode Monte Carlo et s’opère sur le périmètre retreint aux actions (Indice Eurostoxx) et taux nominaux (swaptions) étant donné l’absence d’option sur les autres classes d’actifs peu liquides et très spécifiques (Immobilier, Private Equity, Gestion alternative).

Le contrôle de la « market consistency » n’a de sens que dans le cadre d’une projection risque neutre à date t=0 ; à horizon un an, cette notion est moins évidente les hypothèses étant modifiées (courbe de taux différente de celle actuelle notamment). Ainsi, il existe une problématique quant à l’estimation des volatilités implicites (cf partie 3 pour discussion). En revanche, le respect de l’absence

112

d’opportunité d’arbitrage doit être vérifié. En d’autre terme, la martingalité des scénarios reste une contrainte y compris à horizon un an. Cette problématique du calibrage à horizon un an réfère au calcul du capital de solvabilité sous Solvabilité 2 (SCR) en modèle interne où il y a effectivement génération de scénarios risque neutre à partir d’horizon 1 an.

Indice Action

Les critères pour l’indice action à respecter sont le respect de l’égalité:

tttt Call PrixDKSE =×− + ))((

Où E représente l’espérance (qui se traduit par la moyenne sur scénarios si Méthode Monte Carlo)

tS , la valeur de l’indice en base 1 à la date initiale

tD , le facteur d’actualisation basée sur les taux courts rollés jusqu’en date t

tK le strike à la monnaie Forward

t Call Prix le prix de l’option Call* de maturité t.

*cf annexe pour la définition d’un Call

Remarque :

Le contrôle s’effectue sur les maturités 1 an, 2 ans, 3 ans, 4 ans et 5 ans pour l’Eurostoxx 50(arrêt à 5 ans compte tenu de la profondeur du marché des call pour cet indice sous-jacent) En théorie, compte tenu de la relation de la parité Call-Put, les volatilités implicites devraient être les mêmes.

La tolérance de l’écart à l’égalité définie ci-dessus est donnée dans le tableau supra.

Présentation des résultats :

113

Figure 5.7 Test de market consistency action (prix des Call)

Les prix de marché sont situés dans l’intervalle de confiance à 95% de ceux des call issus du modèle (par méthode Monte Carlo). L’écart est inférieur à 1 % sur quatre des cinq maturité grâce au modèle Heston-Merton calibré initialement sur la nappe de volatilité.

Produits de taux

Le contrôle de la « Market Consistency » pour les courbes des taux nominaux diffusés consiste (outre à respecter la martingalité des prix zéro-coupons actualisés et celle du déflateur) à vérifier que les prix des swaptions (cf annexe pour la définition) sont retrouvés depuis les scénarios économiques.

Les tolérances d’écart entre volatilités implicites estimées issues des jeux (via Monte Carlo) aux volatilités implicites des swaptions de marché sont définies dans le tableau supra.

Présentation des résultats swaptions payeuses « tenor » 10 ans à la monnaie ci-après (cf étude extrema)

Remarque :

114

Il est à noter que le contrôle des prix des options sur inflations (cap inflation) pour l’indice inflation est possible mais il n’est pas pour le moment réalisé puisque le calibrage du modèle Vasicek à deux facteurs n’est effectué que sur le niveau de la courbe des taux réels estimée depuis les obligations indexées sur inflation CPI ; les vitesses de retour à la moyenne sont estimées sur l’historique de séries. Le modèle est calibré pour assurer l’absence d’opportunité d’arbitrage de l’inflation.

5.1.1.3 Le contrôle de la cohérence des extrema des taux

Le contrôle de la cohérence des extrema dans une volonté d’être « Market Consistency » est important notamment lors de l’usage de modèles de taux et d’actions qui peuvent engendrer des valeurs diffusées dont la probabilité de réalisation est quasi-impossible : ces valeurs ne peuvent être admises dans un modèle actuariel Gestion Actif/Passif (type Epargne essentiellement).

De plus, dans un cadre de calcul de SCR en modèle interne, il est nécessaire d’avoir un contrôle des scénarios dans les extrêmes, plus particulièrement ceux à horizon 1 an qui vont servir de base de calibrage pour des projections en univers risque neutre afin de valoriser le bilan à cet instant.

Le modèle LMM (utilisé en univers Risque Neutre) et celui de Black-Karasinski à deux facteurs étendu (univers Monde Réel) supposent la log normalité des taux nominaux forward pour le premier, celui des taux courts pour le second qui ont pour effet de diffuser dans certains scénarios des valeurs extrêmes non admissibles dans une optique « ALM » : la probabilité d’obtenir des taux spot 10 ans à horizon 30 ans de l’ordre de 300% est non nulle.

Surtout, une analyse menée sur équations permet d’expliquer l’explosion des taux à long terme lorsqu’ils suivent une loi log normale :

La moyenne du « cash rollup » continuement composé est divergente puisqu’il correspond à l’exponentiel de l’exponentiel d’une loi normal et cette divergence s’accroît avec l’horizon de projection.

xeeTC =)( où ∫

∞=

=t

dttrx )( avec )(tr de loi normale

<C> = dxexpxe

∫ ×)( où )(xp densité d’une loi normale décroît en 2xe− .

Aussi, la convention adoptée pour modéliser le cash « rollup » est de le composer de façon discrète avec un modèle Black-Karasinski à deux facteurs (avec un LMM, la composition est discrète) dans le cadre d’étude ALM qui évite une problématique de divergence des facteurs d’actualisation moyen.

xeTC += 1)(

115

Il n’en reste pas moins que la problématique est reportée sur les taux moyens.

En conséquence, les taux nominaux sont capés à 50% (plus précisément les taux forward pour modèle LMM et moyenne long terme pour Black-Karasinski) en amont du modèle et l’acceptation des scénarios se fait sur des niveaux économiquement plausibles estimés à 20% (niveau toléré élevé dans le cadre d’une crise des dettes souveraines) ; le respect de la « market consistency » sur swaptions doit être par ailleurs bien vérifié.

L’introduction de ce seuil maximal (cap) n’a pas d’effet sur la « market consistency ». L’impact intervient en effet qu’à partir du seuil de 10% comme en témoignent les graphes ci-dessous qui illustrent l’étude menée sur un jeu de scénario dont la table d’aléas est identique.

Il ressort surtout qu’un seuil maximal à 20% est négligeable en termes d’impact sur « market consistency » devant celui de l’erreur dû à l’échantillon (« sampling error ») : écart inférieur à 1% pour un cap à 20% vs 2% pour le « sampling error ». En revanche, le seuil de 10% a des conséquences sur la « market consistency » comme le montre les graphes ci-dessous.

Présentation des résultats du calibrage pour un LMM avec taux forward capés à 1000%, puis 50% puis 20% et 10%.

Sur swaptions payeuse de « tenor » 10 ans à la monnaie (contrôle sur swaptions payeuses plutôt que receveuses car elles sont davantage assimilables à un fond garanti investi en obligations, type Epargne donc : cf annexe)

Figure 5.8 La « market consistency » des taux suivant un seuil maximal imposé sur taux

Mettre un cap à 10 % impacte la market consistency des taux nominaux : le seuil de 20% est en revanche sans conséquence.

Sur volatilités implicites actions (les modèles actions étant centrés sur les taux nominaux, il est nécessaire de vérifier leur « market consistency »)

116

Figure 5.9 La « market consistency » des actions suivant un seuil suivant un seuil maximal imposé sur taux

00,020,040,060,080,1

0,120,140,160,180,2

0,220,240,260,280,3

0,32

1 16 31 46 61 76 91 106 121 136 151 166 181 196 211 226 241 256 271 286 301 316 331 346

vola

tilité

s im

plic

ites

mod

èle

temps en mois

Call à la monnaie avec modèle action Heston-Merton

modèle taux LMM

sans_cap

cap à 50%

cap à 20%

cap à 10%

Mettre un seuil maximal à 10 % impacte la « market consistency » des actions : le seuil de 20% est en revanche sans conséquence.

Les résultats du calibrage pour un Black-Karasinski à deux facteurs des taux courts capés à 1000%, puis 50% puis 20% et 10% aboutissent aux mêmes conclusions que dans le cas d’un modèle de taux forward LMM :

117

Figure 5.10 La « market consistency » des taux suivant un seuil maximal imposé sur taux

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0,16

0,18

0,2

0,22

0,24

0,26

0,28

1 16 31 46 61 76 91 106 121 136 151 166 181 196 211 226 241 256 271 286 301 316 331 346

vola

tilité

s im

plic

ites

mod

èle

temps en mois

swaptions à la monnaie "tenor" 10 ans avec modèle action Heston-Merton

modèle taux Black-Karasinski

sans cap

cap à 20%

cap à 10%

118

Figure 5.11 La « market consistency » des actions suivant un seuil maximal imposé sur taux

00,020,040,060,08

0,10,120,140,160,18

0,20,220,240,260,28

0,30,320,34

1 16 31 46 61 76 91 106 121 136 151 166 181 196 211 226 241 256 271 286 301 316 331 346

vola

tilité

s im

plic

ites

mod

èle

temps en mois

Call à la monnaie avec modèle action Heston-Merton

modèle taux Black-Karasinski

sans cap

cap à 20%

cap à 10%

Les tests menés montrent que l’application de cap sur taux n’influe pas la martingalité des prix actualisés des actions.

Par ailleurs, il est contrôlé le nombre de scénarios impactés par le cap (donnant de fait à ces scénarios un caractère déterministe) : en vue des recalibrages à 1 an dans les extrêmes dans le cadre du calcul du SCR en modèle interne et la volonté d’être économiquement cohérent, le jeu sur 1000 scénarios est refusé dès lors qu’un scénario présente un taux 10 ans supérieur à 20% à horizon1 an et le jeu est refusé au-delà de 10 scénarios sur horizon 30 ans impacté par le cap à 50% (quantile à 99% du taux nominal de maturité 10 ans dans 30 ans égal à 50%). Les scénarios sont ainsi bien garantis à caractère stochastique dans au moins 99% des cas notamment dans un cadre « market consistent ».

119

Figure 5.12 Graphe sans seuil maximal des taux 10 ans diffusés par un LMM

Le modèle est calibré sur swaptions et courbe des taux swaps à fin décembre 2010 en univers risque neutre

Figure 5.13 Graphe sans seuil maximal des taux 10 ans diffusés par un Black-Karasinski à deux facteurs

Le modèle est calibré sur swaptions et courbe des taux swaps à fin décembre 2010 en univers risque neutre Le choix d’un LMM plutôt qu’un Black-Karasinski à deux facteurs apparaît justifier pour limiter le nombre de scénarios à taux trop élevés qui augmentent avec le temps.

120

Cependant, il apparaît une évolution très vraisemblable sur les premières années de projection (faisceau réduit les premières années). En effet, le quantile à 99% à 30 ans des taux de maturité 10 ans est inférieur à 30% avec un modèle LMM contre un quantile à 99% proche de 50% pour un modèle Black-Karasinski à deux facteurs ; d’autres études sur d’autres jeux de scénarios le confirment. En d’autres termes, 1% des taux sont supérieurs à 50% à horizon 30 ans avec un modèle affine (Black-Karasinski) alors que moins de 1% des taux sont supérieurs à 30% à horizon 30 ans avec un LMM. D’où l’intérêt de ce dernier modèle en univers risque neutre, les taux générés étant utilisés pour estimer le taux servi dans le modèle ALM.

L’impact « ALM » est limité en termes de valorisation des actifs réinvestis puisque les réinvestissements se font à ces taux et que le facteur d’actualisation annule l’effet taux de coupons élevés.

Figure 5.14 Graphe sans seuil maximal des taux 120 ans diffusés par un Black-Karasinski à deux facteurs

Le modèle est calibré sur swaptions et courbe des taux swaps à fin décembre 2010 en univers risque monde réel

Il apparaît donc que la courbe des taux diffusés sur des horizons court terme (inférieur ou égal à 1 an) est contrôlée, puis les niveaux s’écartent de façon exponentielle par rapport à leur moyenne.

Un Black Karasinski peut donc être utilisé pour générer une courbe des taux à un an en monde réel en vue d’un recalibrage du modèle LMM à un an sur ces courbes (dans le cadre du calcul du SCR en modèle interne).

Remarque :

121

Il n’y a pas d’impact sur la martingalité des actions de la mise en place d’un seuil maximal sur taux, compte tenu du choix d’agencement du modèle action centré sur les taux nominaux.

5.1.1.4 Le contrôle des extrema des cours actions et immobiliers

Concernant le modèle action à volatilité stochastique (Heston-Merton), le modèle est construit sur un processus à saut stochastique (Merton) qui impacte le niveau de l’indice action de façon indépendante au modèle Heston qui impacte le niveau de l’indice en base initialement :

Heston

tMerton

tt SSS ×=

Où

tS est la valeur de l’indice action à t, Merton

tS la composante due au modèle Merton Heston

tS celle due à la contribution du modèle Heston.

Or, en univers Risque Neutre, le modèle Merton (processus de saut) est calibré de façon à être « Market Consistent » avec la nappe de volatilité implicite ; en conséquence, le modèle action peut introduire des valeurs aberrantes en l’absence d’un calibrage sur la distribution des rendements.

Le besoin de recourir à un processus à saut en univers Risque Neutre est justifié dans la mesure où utiliser un modèle à volatilité stochastique « gonfle » le cours moyen des actions et ne permet pas de retrouver les prix des calls de marché. En conséquence, introduire un processus à saut dont l’intensité est de moyenne négative permet de faire diminuer le niveau et de retrouver ces prix.

Le contrôle du niveau des indices se fait au travers des critères de validation des jeux de scénarios décrits dans le tableau situé en début de partie 5. Des contraintes sur les rendements cumulés sont imposés pour les actifs actions et immobiliers.

Par ailleurs, comme il sera détaillé en fin de partie, d’autres critères seront surveillés ; notamment, il s’agit de :

122

i. La visualisation du faisceau des niveaux des cours Figure 5.15 Graphes des cours actifs risqués Action avec un modèle Heston Merton et immobilier avec Black-Scholes

La visualisation de cours élevés pour certains scénarios n’est pas étonnante puisque l’emploi d’un modèle action à volatilité stochastique est à queues de distribution élevées. Cependant, il serait erroné de n’affecter cet effet qu’aux processus de saut puisque le cours immobilier présente des valeurs extrêmes comparables. Pour le moment, nous n’imposons pas de contraintes sur les rendements cumulés : elles seront estimées après l’automatisation de la génération des jeux afin d’optimiser celle-ci d’après des contraintes opérationnelles et de vraisemblance économique des valeurs diffusées. Une première contrainte d’intervalle est momentanément fixée définie dans le tableau de synthèse figurant en début de ce chapitre.

123

ii. Des quantiles à 0.5% du cours à horizon 1 an

Figure 5.16 Zoom du graphe 5.14

5.1.1.5 Le contrôle de la moyenne des rendements

Le contrôle du niveau des moyennes annualisées (et de l’unicité de ce niveau dans le cadre risque neutre) sur l’ensemble des scénarios et pas de temps est effectué pour chacun des indices diffusés avec une tolérance d’écart entre chaque moyenne de 0,4%.

Ce contrôle intervient dans la mesure où les calibrages sont effectués à partir des prix zéro-coupons : pour le modèle LMM, le calibrage est centré sur les forward issus de façon directe des prix zéros coupons ; les calibrages sur prix des options s’effectuent à partir des prix zéro-coupons et niveaux de l’indice action. Quant au contrôle des prix des options et aux tests de martingalité pratiqués, ils résultent de moyennes effectuées à partir de prix zéro-coupons. Il est donc utile de vérifier que le niveau moyen des rendements des différents indices est cohérent pour chacun d’entre-deux :

En effet, le contrôle de la moyenne des prix zéro-coupons ),0()( tPDSE tt =×

effectué en i) ne signifie pas pour autant que les rendements sont égaux en moyenne.

L’écart toléré des niveaux moyens de rendements annualisés des actifs risqués sur toute la projection est de 0.4 % entre tous les rendements actifs.

124

Figure 5.17 Les moyennes des rendements annualisés des actifs

L’allure des rendements annualisés montre le caractère centré des valeurs sur la courbe des taux sans risque (nous sommes en univers risque neutre).

Le graphe montre aussi la très grande volatilité des moyennes des actions : elle est principalement attribuée au caractère stochastique de la volatilité des actions puisque l’indice Private Equity présente une volatilité des rendements moyens moins dispersée (en rouge) que celle des rendements moyens actions (en violet) malgré une diffusion via un modèle Black-Scholes de volatilité constante à 50%.

5.1.1.6 Les niveaux de volatilités

La volatilité est un facteur de risque de marché en ALM (Asset Liability Management). Le contrôle de leur niveau et la compréhension des différentes valeurs obtenues en fonction des modèles utilisés sont essentiels.

Concernant la volatilité des taux, le calcul de la volatilité des rendements obligataires à chaque pas de temps (rendements obligataires estimés depuis l’évolution de la valeur de marché du prix zéro-coupons diffusés entre chaque instant) montre le respect de la proportionnalité de la volatilité en fonction du niveau des taux comme le suggère la dynamique du modèle LMM.

125

Figure 5.18 La volatilité des rendements obligataires

Concernant la volatilité des actions, il apparaît trois types de volatilité :

• La volatilité verticale correspond à l’écart type estimé sur les scénarios à chaque pas de temps. La signification donnée à cette volatilité est la mesure de la propension des rendements diffusés à s’écarter de leur moyenne diffusée ; elle a donc une importance sous une vision ALM.

• La volatilité horizontale ou encore réalisée des rendements diffusés sur un

horizon donné est estimée par la moyenne sur les scénarios des écart-types pour chaque scénario des rendements diffusés. La signification à donner à cette volatilité est à rapprocher de la volatilité historique : elle varie suivant la fenêtre fixée.

• La volatilité implicite est celle servant au calibrage des modèles : elle est

estimée de façon indirecte si l’on utilise un modèle type Heston-Merton qui est en effet calibré sur les prix des options. Elle est déduite des prix des options par l’inversion de la formule de Black.

126

Figure 5.19 Le concept de volatilités verticales contre volatilité horizontale

Les rendements actions et leur volatilité

t=0 t= horizon fixé

volatilités horizontales sur chaque scénarios Scenario 1

Volatilité horizontale Volatilité verticale

Scénarios 5

L’usage d’un modèle simple type Black Scholes qui ne fait intervenir qu’une unique volatilité dans son modèle (modèle à volatilité constante) a l’avantage de faire correspondre les notions de ces trois volatilités décrites supra.

En revanche, l’usage d’un modèle à volatilité stochastique induit une différentiation de ces valeurs :

• En Risque Neutre, la volatilité verticale est celle à regarder et est supérieure à celle de marché dans la mesure où le modèle est construit sur une volatilité de volatilité et que la distribution n’est pas représentée. Le calibrage s’effectue en effet sur les prix (cf graphe ci-dessous)

• La volatilité implicite est déduite de façon indirecte sur les modèles et

implique une contradiction entre les lois suivis : le modèle Heston-Merton est utilisée pour éviter l’hypothèse forte et erronée de la normalité des rendements actions mais est calibrée sur les volatilités implicites déduites par inversion de la formule de Black Scholes (qui suppose la normalité des rendements) sur les prix des options estimés via Monte Carlo.

127

Figure 5.20 Résultats sur un jeu de 1000 scénarios des calculs de la volatilité horizontale contre celles verticales (univers Risque Neutre)

• La volatilité horizontale évolue par terme et est utilisée en Monde Réel pour cibler le comportement de la distribution (méthode pari passu d’un calibrage sur série historique).

Figure 5.21 Résultats sur un jeu de 1000 scénarios des calculs de la volatilité (Univers Monde Réel)

128

5.1.1.7 Les corrélations cibles

En Risque Neutre, les corrélations sont traitées par une matrice de corrélations linéaires (de Pearson) :

De façon systématique, les corrélations cibles correspondent aux corrélations atteintes à long terme (typiquement 100 ans) : elles ont pour objectif de représenter celles dont l’horizon d’investissements est adapté avec l’Assurance Épargne et en cohérence avec un comportement structurelle. Elles ne reflètent donc pas nécessairement les corrélations actuelles du marché. Les cibles ainsi fixées ne devraient pas varier de façon significative lors de leur actualisation trimestrielle.

La méthode adoptée d’estimation des corrélations est une « exponentially weighted moving correlation » EWMC qui permet de davantage prendre en compte les données récentes de marché tout en assurant leur lissage (cf annexe).

Les corrélations sont estimées depuis l’ « excess » return qui désigne le rendement supplémentaire par rapport au taux court nominal (log rendements – taux court de maturité 3 mois) puisque le bruit du modèle action correspond au surplus de rendement.

Les corrélations cibles sont :

Figure 5.22 Les corrélations ciblées

En annexe figure le détail des hypothèses.

Remarque :

En Monde Réel, les corrélations cibles sont les mêmes que celles déterminés pour l’univers Risque Neutre, l’analyse ayant été porté sur les données historiques. Simplement, la modélisation diffère afin de représenter des corrélations dans les extrêmes entre classes d’actions. Concernant les corrélations entre action et autres variables, elles sont linéaires entre les facteurs de risque (cf configuration du modèle action en Monde Réel partie 3.1.3)

Les limites de la représentativité des corrélations :

129

Compte tenu de l’emploi de modèles à fortes composantes stochastiques (modèle action avec volatilité stochastique et modèle de taux à 2 facteurs), le respect des cibles des corrélations est difficile. Aussi, le calibrage est effectué suivant le respect des critères suivant :

• Les corrélations cibles entre action/taux courts et action/obligation10Y sont contenues dans l’intervalle défini par les quantiles 25 % et 75 % de la distribution des corrélations (estimée sur la simulation de 100 000 scénarios dont 100 échantillons indépendants de 1000 scénarios sont extraits et dont est calculé pour chacun d’entre deux les corrélations à horizon 30 ans). Le même critère est associé pour l’immobilier.

Autre point d’attention : les corrélations ne reflètent pas de façon générale celle dans les extrêmes. Ceci s’avère en plusieurs points :

• Les corrélations cibles ne sont pas effectuées sur des niveaux représentatifs des corrélations dans les queues de distribution mais sur comme expliqué supra d’après une méthode EWMC sur des séries historiques dont la longueur de la fenêtre est d’au moins 30 années.

• Les quatre corrélations linéaires entre excess return action/taux court

(nominal et réel) et excess return action/ obligation 10 Y ( OATet OATi) ne permettent pas de modéliser de façon spécifique la distribution jointe dans les extrêmes comme pourrait le faire une approche par copules.

• En Univers Risque Neutre, la modélisation des corrélations entre actions

d’indices distincts ne permet pas une représentativité dans les extrêmes à contrario de l’univers Monde Réel compte tenu de l’arbitrage entre respect du prix des options et configuration des modèles de volatilités.

• Néanmoins, lorsqu’un scénario présente un comportement dans les

extrêmes, le modèle action permet de représenter une évolution dans le temps spécifique à ces niveaux par le biais de la volatilité stochastique qui représente les clustering de volatilité : une volatilité élevée est suivie par une volatilité élevée et vis versa.

• Par ailleurs, la modélisation en Monde réel permet de représenter une

corrélation dans les extrêmes entre actions par la modélisation d’un facteur à volatilité stochastique commun. Pour rappel, la modélisation en monde réel introduit en effet deux types de volatilités : l’une spécifique et l’autre commune à l’ensemble des économies.

La synthèse des critères à surveiller en univers risque neutre figure en annexe.

130

5.1.2 Etude de la convergence des scénarios économiques

L’étude de la convergence des scénarios économiques est nécessaire : l’objectif est d’estimer le nombre de scénarios nécessaire par jeu. Elle doit être menée sous deux prismes afin de faire le lien entre stabilité de la valorisation d’un produit (ici le bilan économique) et celle du respect des hypothèses de calibrage.

Cette étude repose donc sur deux approches complémentaires : l’une s’affère aux écarts d’échantillonnage (ou encore appelé « sampling error ») sur « Net Asset Value », l’autre est purement limité au périmètre lié à la qualité des scénarios.

Cette section développe l’aspect lié à la convergence des scénarios en terme de martingalité et « market consistency ». L’étude liée à la sensibilité des Fonds Propres économiques à l’échantillon du jeu de scénarios est rappelée en chapitre 6.

Il apparaît normal de vérifier la qualité des scénarios économiques avant d’envisager l’étude des écarts d’échantillonnage du bilan économique sur des scénarios économiques de qualité équivalente (entendre « ayant été validés selon les critères définis au 3.1.1.1 »).

Les calibrages étant réalisés en amont à partir de jeu de 5000 scénarios, ce nombre peut donc être considéré comme le nombre limite pour estimer une convergence suffisante des scénarios. Pour confirmer ce point, il est généré un jeu avec 10 000 scénarios.

Ainsi 2 x quatre nombres de jeux sont étudiés : 500, 1000, 5000 et 10 000 scénarios issus de la même graine d’aléas.

131

Figure 5.23 Résultats de l’étude de la convergence du nombre nécessaire de scénarios par jeu sur les critères de « market consistency »

Jeu 1 (scénarios issus de la même graine d’aléas) :

0,92

0,94

0,96

0,98

1

1,02

1,04

1,06

1 17 33 49 65 81 97 113 129 145 161 177 193 209 225 241 257 273 289 305 321 337 353

en b

ase

1

temps en mois

Martingalité des indices actions actualisésavec modèle action Heston-Merton

modèle taux LMM

10000 scénarios5000 scénarios2000 scénarios1000 scénarios500 scénarios

Jeu 2 (scénarios issus de la même graine d’aléas mais différente du jeu 1) :

0,88

0,9

0,92

0,94

0,96

0,98

1

1,02

1,04

1,06

1 17 33 49 65 81 97 113 129 145 161 177 193 209 225 241 257 273 289 305 321 337 353

en b

ase

1

temps en mois

Martingalité des indices actions actualisésavec modèle action Heston-Merton

modèle taux LMM

10000 scénarios5000 scénarios2000 scénarios1000 scénarios500 scénarios

Les résultats des tests de la martingalité des prix actualisés actions révèlent que jouer 5000 ou 10 000 scénarios donnent des résultats très proches en terme d’estimation de la qualité de l’absence d’opportunité d’arbitrage du jeu.

Un jeu de 1000 scénarios est plus stable qu’un comprenant 500 scénarios sur le long de la projection mais présente une différence non négligeable par rapport aux jeux de 5000 et 10 000 scénarios. En revanche, un jeu de 2000 scénarios n’apparaît pas suffisant pour améliorer la convergence d’un jeu de 1000 scénarios.

132

Jeu 1 :

00,020,040,060,08

0,10,120,140,160,18

0,20,220,240,260,28

0,30,320,34

1 17 33 49 65 81 97 113 129 145 161 177 193 209 225 241 257 273 289 305 321 337 353

vola

tilité

s im

plic

ites

mod

èle

temps en mois

Call à la monnaie avec modèle action Heston-Merton

modèle taux LMM

10000 scénarios5000 scénarios2000 scénarios1000 scénarios500 scénarios

Jeu 2 :

00,020,040,060,08

0,10,120,140,160,18

0,20,220,240,260,28

0,30,32

1 17 33 49 65 81 97 113 129 145 161 177 193 209 225 241 257 273 289 305 321 337 353

vola

tilité

s im

plic

ites

mod

èle

temps en mois

Call à la monnaie avec modèle action Heston-Merton

modèle taux LMM

10000 scénarios5000 scénarios2000 scénarios1000 scénarios500 scénarios

133

Jeu 1 :

00,020,040,060,08

0,10,120,140,160,18

0,20,220,240,260,28

0,30,320,340,360,38

1 17 33 49 65 81 97 113 129 145 161 177 193 209 225 241 257 273 289 305 321 337 353

vola

tilité

s im

plic

ites

mod

èle

temps en mois

swaptions à la monnaie "tenor" 10 ans avec modèle action Heston-Merton

modèle taux LMM

10000 scénarios5000 scénarios2000 scénarios1000 scénarios500 scénarios

Jeu 2 :

00,020,040,060,08

0,10,120,140,160,18

0,20,220,240,260,28

0,30,320,340,360,38

0,4

1 17 33 49 65 81 97 113 129 145 161 177 193 209 225 241 257 273 289 305 321 337 353

vola

tilité

s im

plic

ites

mod

èle

temps en mois

swaptions à la monnaie "tenor" 10 ans avec modèle action Heston-Merton

modèle taux LMM

10000 scénarios5000 scénarios2000 scénarios1000 scénarios500 scénarios

Concernant la « market consistency » des jeux que ce soit pour les taux (test réalisé sur swaption de « tenor » 10 ans) ou les actions (test réalisé sur call à la monnaie), les résultats sont très proches pour les jeux de 5000 et 10 000 scénarios. Le « sampling error » est dans le cas le moins favorable inférieur à 2%.

Cependant, des jeux de 1000 scénarios et 500 scénarios fournissent des résultats très similaires aux jeux de référence.

Aussi, concernant les critères statistiques de « market consistency », la martingalité est le critère le plus contraignant.

134

5000 scénarios apparaît être le nombre limite et suffisant pour la stabilité des résultats statistiques.

Dans une approche opérationnelle notamment dans le cadre de solvabilité 2, un jeu de 1000 scénarios apparaît souhaitable. Afin de valider la suffisance de ce nombre, il est important d’estimer la stabilité de la « Net Asset Value » ou encore appelé Fonds Propres économiques. Cet aspect est rappelé au chapitre 6.

5.2 Validation des scénarios en univers Monde Réel

L’étude de la validation des jeux de scénarios économiques en monde réel n’est pas terminée. Il est cependant exposé l’avancement des travaux afin de montrer les exigences différentes d’une approche risque neutre contre une approche monde réel.

5.2.1 Les densités des rendements actions et produits de taux

L’approche Monde Réel est de représenter au mieux nos propres anticipations : celles-ci se fondent sur les données représentatives de notre benchmark précisées dans notre mandat de gestion ou/et sur celles représentatives de notre portefeuille réel : pour rappel, le calibrage des modèles se base sur les valeurs observées historiquement en prenant davantage en considération les données les plus récentes par l’intermédiaire de méthodes adaptées de façon à objectiver le paramétrage.

Afin de valider les scénarios Monde Réel, les contrôles mis en place consistent à vérifier la cohérence des niveaux de valeurs diffusés (contrôle des extrema et moyenne), le comportement de ces valeurs (volatilités, skewness et kurtosis) et à mesurer de façon qualitative, par graphe, les écarts entre densités diffusées, celles réalisées dans le passé suivant différentes fenêtres sur un pas de temps mensuel.

5.2.2 Synthèse des critères de validation des jeux de scénarios économiques en univers monde réel

Voici les critères pour le moment identifié qui doivent être validés :

135

Figure 5.24 Critères de validation des calibrages et jeux

en univers Monde Réel

Etape 1 du processus de calibrage du Modèle Interne

CRITERES DE VALIDATION DU CALIBRAGE DU JEU DE SCENA RIOS ECONOMIQUES GENERES EN UNIVERS MONDE REEL

Critères à respecter Commentaires

Etude à mener

Etape 3 du processus de calibrage du Modèle Interne

Stabilité des résultats

Nombre de scénarios par jeu 1000

*Seuil fixé sur la base des calibrages effectués par Barrie+Hibbert et sur la base de l'étude interne de la convergence des volatilités implicites suivant le nombre de scénarios par jeu**Seuils fixés d'après une étude mesurant l'effet qualité de la martingalité sur l'adossement Actif/Passif et sur une objectivation opérationnelle

***Le modèle Black-Karasinsk i est un "output" du jeu de scénarios

****Volatilité verticale : "standard deviation" sur scénarios

Contrôle de la volatilité

immobilier

écart à la courbe des taux inférieur à 10bps

écart des volatilités verticales**** réalisées 1 an et 10 ans à celle du calibrage (fixée sur étude : cf dossier de calibrage fourni ou étude interne) à 1%

près

Contrôle de la volatilité

immobilier

Contrôle du calibrage de la

courbe des taux***

Rendements cumulés actions avec dividendes réinvestis estimés à chaque pas de temps

Pour vérifier cohérence calibrage et courbe issue du jeu : la courbe initiale des taux est un "output" du modèle Black-Karasinski

Rendements cumulés immobiliers avec dividendes réinvestis estimés à chaque pas de temps

< 1000%

Moyennes annualisées des rendements mensuels action - immobilier - Private Equity - Gestion alternative - OPCVM monétaire - OPCVM obligataire - taux nominaux diffusés sur sur scénarios et pas de temps

différences respectives au taux 1 an de la courbe des taux diffusée à 10 ans toutes égales à leur

prime de risque associée à 50 bps près

Courbe de volatilité 1 an à 10 ansécart des volatilités verticales**** réalisées 1 an

et 10 ans à celle du calibrage (fixée sur étude : cf dossier de calibrage fourni ou étude interne) à 1%

près

Courbe de volatilité 1 an à 10 ans écart des volatilités horizontales**** réalisées à 1 an puis 10 ans à celle du calibrage (fixée sur étude : cf dossier de calibrage fourni ou étude

interne) à 1% près

Contrôle de la volatilité action

Contrôle de la volatilité action

Courbe de volatilité 1 an à 10 ans

Courbe de volatilité 1 an à 10 ansécart des volatilités horizontales**** réalisées à 1

an puis 10 ans à celle du calibrage (fixée sur étude : cf dossier de calibrage fourni ou étude

interne) à 1% près

CRITERES DE VALIDATION DU JEU DE SCENARIOS ECONOMIQ UES GENERES EN UNIVERS MONDE REEL

Critères à respecter Commentaires

cf étude de la convergence des résultats sur martingalité et étude sur mouvements "NAV" et "VIF"*

Pour vérifier le respect des hypothèses établies

Pour contrôler le respect des hypothèses établies

Afin d'assurer un contrôle des moyennes des rendements diffusés : en univers monde réel, les actifs risqués prennent des hypothèses de rendements spécifiques à leur niveau de risque

Taux générés à t=0

Contrôle des hypothèses sur prime de risque

Afin de limiter le nombre de scénarios à caractère déterministe

* NAV" : Net Asset Value" , "VIF" : "Value In Force" ou somme des résultats actualisés

Taux forward 1 anCap en amont des taux afin de limiter les taux spot nominaux diffusés

Contrôle des extrema

< 48%

< 50%

Pour éviter des incohérences économiques

quantile 99% taux spot 10 ans à fin de projection

< 1000%Pour éviter des incohérences économiques

Pour vérifier le respect des hypothèses établies

Pour vérifier le respect des hypothèses établies

La synthèse des critères à surveiller des jeux de scénarios économiques en univers monde réel figure en annexe.

136

Conclusion chapitre 5

Après avoir démontré l’utilité du développement d’un modèle interne en Epargne pour une bonne valorisation des risques de marché, il a été souligné le rôle central du générateur de scénarios économiques.

Ce chapitre a détaillé les critères de calibrage et de validations des jeux de scénarios. Ces derniers s’inscrivent pleinement pour un usage modèle interne sous Solvabilité 2, ORSA, MCEV, autant de contexte d’applications de valorisations de Fonds Propres économiques, l’univers de valorisation étant désormais par convention risque neutre.

Cependant, des limites et hypothèses sous-jacentes aux modèles ont été mises en évidence. Pour une bonne compréhension de l’estimation des risques valorisés, il est alors important de mettre en œuvre des tests de sensibilité des Fonds Propres économiques aux différents paramètres, modèles de diffusion et méthodes retenus. Ainsi, les erreurs de modèles seront limitées.

137

6 La sensibilité des Fonds Propres économiques aux scénarios

L’objectif de l’étude de la sensibilité des Fonds Propres économiques aux scénarios économiques est double :

• Le premier est lié aux limites exposées lors des analyses menées en chapitre 4 et chapitre 5 qui ont montré les différentes difficultés et hypothèses fortes sous-jacentes aux modèles : problématiques d’extrema, de convergence, de calibrage, et d’hypothèses faites des lois suivis par les différents facteurs de risque.

• Le second tient à la compréhension de la sensibilité des Fonds Propres économiques à l’aléa même (« sampling error » notamment).

Il est dès lors nécessaire dans ce contexte d’étudier les sensibilités des Fonds Propres économiques aux différents périmètres liés aux paramétrages des scénarios économiques.

Nous avons étudié pour ce chapitre la sensibilité de la « Net Asset value » (ou Fonds Propres économiques) sur :

• La sensibilité à l’échantillon du jeu de scénarios (« sampling error ») : pour deux jeux de scénarios vérifiant les critères de validation, quelle est la part de variation des résultats des Fonds Propres économiques ? Cette analyse permet ainsi de mesurer la stabilité des résultats.

138

6.1 La sensibilité des Fonds Propres économiques à l’échantillon de jeu

Pour étudier la stabilité des résultats selon le jeu de scénarios utilisé, il est important de mener une analyse portant sur les fluctuations possibles autour d’une valeur stable. Dans le cadre Solvabilité 2, la stabilité des Fonds Propres économiques aux jeux est importante. C’est l’objet d’étude de cette partie. Le procédé retenu pour mener l’étude est le suivant :

• Génération de 5 jeux de 1000 scénarios « market consistent » et de qualité similaire en terme d’absence d’opportunité d’arbitrage action : c’est cette dernière qui engendre des désadossements de bilan Actif/Passif qui impactent donc la valeur des Fonds Propres (ces écarts bilan sont affectés de façon prudentielle au passif.)

• Évaluation de la Net Asset Value (ou Fonds Propres) pour chaque jeu. • Évaluation des écarts d’adossement Actif/Passif attribués principalement à la

qualité de la martingalité des prix actualisés actions des jeux de scénarios. • Évaluation de la Net Asset Value centrale comme moyenne des cinq « Net

Asset Values » estimées précédemment : elle correspond à un bon estimateur de la valeur « réelle » des Fonds Propres économiques puisqu’elle est dès lors estimée sur 5000 scénarios (nombre suffisant d’après l’étude réalisée sur la convergence de scénarios).

• Évaluation des fluctuations des cinq « NAV » autour de celle calculée sur

5000 scénarios dite centrale.

Nous utilisons un modèle Heston Merton pour générer les rendements actions et un modèle LMM pour diffuser les taux nominaux. Seule la graine de l’aléa change. Le critère validant les jeux porte sur la martingalité (ou test d’absence d’opportunité d’arbitrage action) des prix actualisés actions qui affecte les écarts d’adossement Actif/Passif. Les autres hypothèses de « market consistency » sont vérifiées.

139

Figure 6.2 Les résultats des tests d’absence d’opportunité d’arbitrage des jeux étudiés

Test d'absence d'opportunité d'arbitrage

0.9

0.92

0.94

0.96

0.98

1

1.02

1.04

1.06

1 28 55 82 109 136 163 190 217 244 271 298 325 352

Martingalité prix actualisésaction jeu1

Martingalité prix actualisésaction jeu2

Martingalité prix actualisésaction jeu3

Martingalité prix actualisésaction jeu4

Martingalité prix actualisésaction jeu5

Comme décrit en chapitre 5 dans le tableau de synthèse présentant les critères de validation des jeux de scénarios univers risque neutre, la condition sur le test d’absence d’opportunité d’arbitrage action est vérifiée : écart à 1 (prix action en base 1 initialement) autour de 4%. Ce critère assure bien un désadossement Actif/Passif inférieur à 40 bps par rapport à la valeur marché de l’actif puisque tous les jeux présentent bien un écart adossement de bilan inférieur à 31 bps en valeur de marché des actifs. Par ailleurs, si l’écart à 1 au test d’absence d’opportunité d’arbitrage était de 10% à horizon 30 ans, l’écart d’adossement en valeur de marché de l’Actif serait de 50 bps. Le seuil fixé à 4% est optimal car il permet de prendre en considération les problématiques opérationnelles (valider dans des temps de calculs raisonnables les jeux). Un modèle action Heston Merton est utilisé : par expérience, les jeux diffusés avec un modèle Black-Scholes de « qualité martingale » égale sont plus difficiles à obtenir. Les résultats des fluctuations des Fonds Propres économiques sont les suivants :

140

Figure 6.3 Les résultats des sensibilités des Fonds Propres à l’échantillon des jeux

Ecart relatif à la "NAV" centrale Ecart relatif à la "PVFP" centrale

Jeu 1 -0.01% 0.18%jeu 2 -0.36% -1.09%Jeu 3 0.03% 0.17%Jeu 4 -0.92% -3.59%Jeu 5 1.26% 4.34%

Les jeux 4 et 5 sont ceux qui présentent un écart par rapport à la NAV centrale proche ou supérieur à 1% : la qualité de la martingalité contribue à cet écart mais ne l’explique pas totalement puisque le jeu 2 présente un test d’absence d’opportunité d’arbitrage meilleur (ou du moins tout aussi bon) que le jeu 1 alors que son écart à la NAV centrale est plus élevé que celui du jeu 1. Une partie de la fluctuation est due au « sampling error », autrement dit à l’échantillon sélectionné. La fluctuation d’une « NAV » d’un jeu de 1000 scénarios due à « l’erreur » d’échantillon fluctue dans l’intervalle [0 % ; 0,40 %] par rapport à un bon estimateur de la NAV. La même analyse peut être menée sur les PVFP qui représentent la valeur actuelle des Profits Futurs (Present Value of Future Profits) : l’écart est plus important car ce poste du passif est de taille plus fine que la « NAV » ; par ailleurs, sa sensibilité au performance de l’actif est élevée. La fluctuation d’une « PVFP» d’un jeu de 1000 scénarios due à « l’erreur » d’échantillon fluctue dans l’intervalle [0 % ; 2 %] par rapport à un bon estimateur de la PVFP (en attribuant la moitié à la qualité de la martingalité des prix actualisés des actions). Nous pouvons donc en déduire que les critères d’absence d’opportunité d’arbitrage imposés assurent une stabilité élevée des résultats.

6.2 Les sensibilités des Fonds Propres économiques à mener

D’autres sensibilités sont à mener. On peut notamment citer quelques-unes qui seront menées prochainement : • La sensibilité aux modèles retenus afin d’en déduire une comparabilité des

résultats suivant les hypothèses sélectionnées :

Figure 6.4 La « NAV » suivant la sélection des modèles

Action\Taux LMM Black-KarasinskiBlack-Scholes p p'Heston-Merton p'' p'''

Sensibilité des Fonds Propres aux modèles

141

• La sensibilité au choix de calibrage du modèle action : y-a-t-il un réel intérêt à

représenter une nappe de volatilité sensée modéliser les options cachées plutôt que d’être calibré uniquement sur un point de volatilité implicite à la monnaie?

• La sensibilité à la méthode d’interpolation de la courbe des taux initiale,

méthode qui assure le passage du pas de temps annuel à celui mensuel. • La sensibilité au seuil maximal fixé des taux : y-a-t-il un impact sur résultats lors

de la mise en place d’un seuil maximal des taux à 20% contre 50% ?

Remarque :

Une étude de la sensibilité des Fonds Propres économiques ou « Net asset Value » a été réalisée au niveau de la courbe des taux : cette analyse a servi en chapitre 3 pour illustrer la non linéarité des Fonds Propres économiques au facteur de risque niveau de la courbe des taux afin de justifier le développement d’un modèle interne pour une bonne représentativité des risques sous Solvabilité 2.

Conclusion Chapitre 6

La conclusion du chapitre 6 se fera sous forme d’une discussion quant à l’intérêt d’uniformiser les jeux de scénarios.

En Epargne, la méthode Formule Standard nécessite des hypothèses fortes sur les facteurs de risque de marché qui ne sont souvent pas vérifiées.

L’ensemble des analyses menées tout au long de ce mémoire montre le rôle central des hypothèses retenues pour calibrer les modèles de diffusion dans l’évaluation des Fonds Propres économiques ; elles impactent de fait le niveau du SCR final notamment en Epargne où le risque de marché est dominant.

Dès lors, puisque la méthode Formule Standard sous Solvabilité 2 a pour objet d’uniformiser les hypothèses de calibrage afin de faciliter les comparabilités de résultats entre assureurs européens, l’intérêt de livrer des jeux de scénarios par indice sous l’égide de l’organisme EIOPA semble apparaître en cohérence avec cette volonté d’harmoniser les hypothèses retenues par chacun des acteurs. Serait-ce donc à envisager ?

En revanche, dans un cadre ORSA ou Modèle Interne, il apparaît clair que développer ses calibrages en interne est nécessaire pour estimer au mieux les risques selon les vues de l’entreprise et ses propres compréhensions données aux calibrages.

Ces deux approches duales peuvent permettre de davantage structurer l’évaluation du capital réglementaire de risque requis, qui représentera en 2013 un coût en capital non négligeable pour les assureurs.

142

Conclusion

La réforme Solvabilité 2 normalise les Fonds Propres économiques du bilan prudentiel : elle impose aux assureurs dès 2014 des capitaux de risque estimés d’après leurs activités développées et les politiques d’investissements spécifiques à chaque société d’Assurances.

Les risques de marché sont prédominants en Epargne où il s’avère que la complexité des interactions Actif/Passif motive le développement d’un modèle interne pour estimer le capital réglementaire requis sous Solvabilité 2. Il apparaît en effet des limites à la valorisation des capitaux de risque de marché au travers de la méthode Formule Standard : celle-ci se justifiant sur les hypothèses fortes de facteurs de risque gaussiens et d’une linéarité des Fonds Propres économiques aux facteurs de risque de marché.

Dès lors, l’analyse du processus conduisant à la valorisation des Fonds Propres économiques montre le rôle central du générateur de scénarios économiques, tant sur la sélection des modèles de diffusion que sur les hypothèses de calibrage retenues.

Il est donc nécessaire de structurer les étapes menant au calibrage du modèle interne, de définir le périmètre des enjeux qui s’imposent au calibrage, d’analyser les modèles sélectionnés, légitimer et valider les calibrages et jeux de scénarios d’après des critères clairement établis ; la martingalité des prix actualisés et la justification du niveau des volatilités implicites sont requises en univers Risque Neutre. Il s’agit aussi de définir précisément les limites des hypothèses sous-jacentes aux modèles.

Pour cela, il apparaît important de mener des études de sensibilité des Fonds Propres économiques aux différents facteurs liés aux paramétrages afin de limiter les risques de modèles, risques qui existent d’autant plus dans un univers de crise où les trajectoires sont difficilement prédictibles. Les tests effectués montrent en effet une stabilité des Fonds Propres économiques aux jeux de scénarios et un bon adossement Actif/Passif que sous le respect de critères normatifs.

En conclusion, l’analyse menée tout au long de ce mémoire montre les enjeux des calibrages liés aux risques de marché dans le cadre Solvabilité 2 et souligne qu’une maîtrise conjointe des modèles actuariels « ALM » et modèles stochastiques sont désormais des exigences nouvelles et cruciales à l’orée de la mise en place de la réforme Solvabilité 2.

143

ANNEXE

Subprime Un Subprime est un crédit à risque accordé à un client qui ne présente pas toutes les garanties nécessaires pour bénéficier des taux d’intérêts préférentiels. Aux Etats Unis, il s’agit d’un crédit hypothécaire dont le logement de l’emprunteur est pris en garantie en cas de défaut de paiement. Or, les taux d’intérêt extrêmement bas pratiqués pendant des années par la Banque centrale des Etats-Unis à partir de 2001 après la crise de la bulle Internet ont favorisé l’endettement des ménages : en prêtant à taux bas et en permettant de recourir à des crédits rechargeables (la hausse de la valeur du bien autorisait l’emprunteur à se ré endetter du montant de la progression de la valeur de son patrimoine), l’augmentation du taux directeur de la FED (1% en 2004 à plus de 5% en 2006) a eu pour conséquence directe de pénaliser les emprunteurs : en effet, ces derniers ont souvent emprunté à taux variable indexé sur le taux directeur de la FED. Or, la défaillance de l’emprunteur se solde par une hypothèque sur le logement acheté. Seulement, les prix de l’immobilier baissant, la vente du bien hypothéqué ne suffit pas à compenser la défaillance de l’emprunteur. Ainsi, la valeur des habitations est devenue inférieure à la valeur des crédits qu’elles étaient supposées garantir. L’afflux des reventes des maisons hypothéquées a accéléré la baisse des prix de l’immobilier. Dès lors, il y a eu un taux de non remboursement sur les crédits « subprime » qui dépassait 15% à l’été 2007 et près de un million d’américains ont perdu à cette époque leur logement. Le phénomène déclencheur de la crise est le recours à la titrisation : la titrisation consiste à transformer des crédits distribués par une banque en titres de créances (obligations) qu’un investisseur peut acheter et vendre à tout moment. Les banques émettrices des crédits créent des sociétés intermédiaires dans lesquelles ces crédits constituent les actifs et qui émettent en contrepartie des obligations qui constituent le passif. Les intérêts et les remboursements des crédits servent au paiement des intérêts des obligations émises et à leur remboursement. Les avantages principaux pour les banques de recourir à la titrisation est de partager les risques et de permettre de favoriser la liquidité. Ces avantages ont engendré des abus, abus qui ont considérablement amplifiés la crise : les banques qui émettent des titres sont moins regardantes sur la qualité des emprunteurs, puisque le risque qu’elles supportent est modéré : c’est l’aléa moral. Cependant, la régulation des activités bancaires et d’assurance s’efforce d’empêcher de tels mécanismes. L’autre raison de l’amplification de la crise est l’opacité de la titrisation : la démultiplication de ces titres et les différentes combinaisons opérées ont conduits à rendre difficile l’identification des types de titres détenus par les investisseurs : ainsi, par exemple, BNP Paribas déclarait dans un premier temps ne pas détenir de titres toxiques mais le groupe est revenu sur sa déclaration suite à la découverte de la détention de ces types de titres au sein de son portefeuille. Autre facteur supplémentaire, les investisseurs qui ont acheté les obligations n’ont pas tous acheté en payant comptant, mais en s’endettant à leur tour pour bénéficier de l’effet de levier (mesure de gain espéré d’une opération financière par rapport à l’investisseur de base) d’un endettement à bas taux d’intérêt. Ces investisseurs, banques et hedge funds notamment ont opéré en quelque sorte une titrisation au second degré en créant de nouveaux véhicules (« conduits ») dont l’actif a été constitué par des obligations des véhicules de premier niveau et dont le

144

passif a été constitué par du papier commercial à court terme (appelés « Asset Backed Commercial Paper » ou ABCP). Il en a été émis plus de 1000 milliards de $. Il s’agit d’un mécanisme de « transformation bancaire » consistant à utiliser des ressources à court terme pour effectuer des prêts à long terme. Le contrôle des banques et notamment les règles de constitution d’un capital prudentiel en fonction des crédits distribués visent à protéger les épargnants et l’économie contre les risques liés à la transformation et à prévenir les paniques. Cependant, la transformation s’effectuait sur le marché et non dans les banques. Ces véhicules étaient contrôlés par leur créateur sans lui appartenir techniquement. Comme les autres véhicules de titrisation, ils étaient en principe hors bilan. Du coup, les règles communes du contrôle prudentiel bancaire ne leur sont pas appliquées.

QE ou création monétaire Le quantitative easing ou création monétaire est une mesure consistant au rachat de bons du Trésor à long terme par la banque. Le taux directeur fixé par la banque centrale détermine la politique monétaire à court terme puisqu’il représente le taux d’intérêt inter-bancaire: une lutte contre l’inflation ou contre une surchauffe de l’économie se fera par une augmentation du taux directeur (les taux de crédit des banques commerciales s’indexant sur cette évolution) favorisant l’épargne. Inversement, pour relancer une économie, il suffira d’abaisser le taux directeur. Or, lorsque les taux directeurs sont nuls (ce qui est le cas en Europe et aux USA) et que parallèlement l’économie continue de s’essouffler, une mesure pour reprendre le contrôle de la politique monétaire est alors la création de monnaie par l’achat de titres à long terme (bons du Trésor, MBS) au secteur bancaire privé : cette opération d’achat est financée par un crédit des banques commerciales à la banque centrale : ainsi, la banque centrale accroît son bilan par une augmentation de son actif représentée par ces bons du trésor et celle de son passif par les réserves (accroissement de la monnaie). En retour, les banques commerciales reçoivent ainsi une augmentation de liquidité via les avoirs nouvellement acquis et une réduction équivalente de ses bons du trésor.

Ainsi deux effets du QE sont à rapporter eu égard les objectifs visés : un accroissement de la liquidité sur le marché (relancement espéré de la consommation) via les investissements des banques commerciales et une baisse des taux longs permettant aux ménages d’emprunter plus facilement sur le long terme. La baisse des taux longs s’expliquent par l’effet mécanique de l’offre et la demande : en achetant des bons du trésor à long terme sur le marché secondaire, la banque centrale contribue à l’augmentation de la valeur des ces bons et donc à une baisse du rendement actuariel des obligations qui seront émises (valorisation sur marché primaire).

Last Square Monte Carlo (méthode pour modèle interne) Le Last Square Monte Carlo est un dérivé mixte de la méthode SdS et du replicating portfolio pour estimer les fonds Propres économiques. Son approche est d’estimer la fonction « liability » soit le best estimate des engagements envers l’assuré par une régression polynomiale sur les valeurs actuelles du passif à horizon un an : pour chaque point issu du scénario monde réel à horizon un an, la moyenne sur cinq à dix scénarios secondaires (nombre suffisant) recalibrés initialement sur le scénario monde réel donne une valeur actuelle moyenne du passif. Les paramètres de la fonction polynomiale sont alors déduits pour « fitter » au mieux ces points sur l’ensemble des scénarios primaires (monde réel).

145

L’avantage de cette méthode est de pouvoir estimer une fonction du passif apte à refléter la sensibilité du passif aux facteurs de risque : il suffit en effet de procéder aux chocs de ces derniers, de diffuser les scénarios mondes réels accordés sur ces chocs, et de paramétrer/ajouter des paramètres pour que la fonction polynomiale régresse au mieux les valeurs actuelles déduites des moyennes sur scénarios secondaires en chacun des points des scénarios primaires. Par ailleurs, outre la possibilité de créer une fonction du passif qui reflète la sensibilité aux chocs (rendue possible par l’ajout autant que nécessaire de paramètres), elle possède la propriété de converger (fonction polynomiale) et permet de considérablement réduire les temps de calculs (atout opérationnel à ne pas négliger en regard au SdS).

Schéma général du LSMC :

Valeurs Actuelles du passif (prestations par exemple)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Scénarios calibrés market consistent en chaque point des scénarios primaires

Scénarios primaires monde réel central

. Points d'interpolation de la fonction polynomiale

Scénarios primaires

calibrés en monde réel

Scénarios primaires monde réel avec facteur de risque choqué

(volatilité action/prime de risque) par exemple

146

Replicating Portfolio (méthode pour modèle interne)

Le replicating portfolio est proche de la méthode du Last Square Monte Carlo à la différence que la régression de la fonction représentative du passif (des prestations par exemple) se fait sur les flux et non sur les valeurs actuelles. Une telle méthode présente des problèmes de convergence et la robustesse à la sensibilité des chocs sur facteurs de risque n’est pas évidente.

Call européen Un call européen est une option qui permet à l’acheteur de se protéger contre une hausse du sous-jacent : l’achat du call à un strike K permet au détenteur à une date donnée t et uniquement à cette date précise (la maturité de l’option) de recevoir la différence entre le sous jacent St et le strike K si cette différence est positive. Sinon, il ne perçoit rien. A la monnaie signifie que le strike est égal au sous jacent. Strike Forward à la monnaie : strike revalorisé au taux spot de la courbe initiale des taux nominaux de maturité égale à la date d’exercice de l’option

« Exponential Weighted Moving Average » ou « EWMA »

11

11

)1( −− +−==

ttt SYS

YS

αα

où 1

2

+=

Nα avec N le nombre de périodes.

Swap de taux d’intérêt Un swap de taux est un contrat qui consiste en l’échange de deux types de paiements sur une période fixée prenant forme sous deux échéanciers de flux : l’un variable, l’autre fixe déterminé contractuellement. L’acheteur d’un swap de taux débutant à une date Tα recevra un taux fixe K x Гj à chaque date Tj de l’intervalle {Tα+1 ,…,Tβ} où Гj correspond à la fraction d’année des longueurs des intervalles de temps [Tj-1,Tj] ; l’acheteur devra en échange verser aux mêmes dates le taux variable ),( 1 iit TTFwd − de maturité Tj issu de la courbe des taux

spots prévalant en Tj-1. Cela revient à percevoir la différence entre le taux fixe et le taux variable. Ainsi, le payoff actualisé en t< Tα d’un acheteur de swap est

)),((),( 11

KTTFwdTtD iitii

i −×Γ× −+=∑

β

α

La valeur du contrat associée en t est donnée par :

))),((),(( 11

KTTFwdTtDE iitii

i −×Γ× −+=∑

β

α

conduisant en risque neutre à :

))((),(),(1

KTFwdTTPTtD iii

i −×Γ×× ∑+=

α

β

ααα

147

avec 1),(

),()( 1 −=×Γ −

i

iii TTP

TTPTFwd

α

αα

Forward Swap de taux d’intérêt Un Forward Swap de taux d’intérêt correspond à un contrat de swap de taux d’intérêt dans le cas particulier où le taux fixe K est déterminé de façon à rendre le contrat équitable à la date de valorisation pour l’acheteur et le vendeur du contrat de swap. Cela se traduit donc par la nullité de la valeur actuelle du pay-off des taux échangés. En reprenant les notations figurant dans la définition du swap de taux d’intérêt, le taux forward swap vaut :

∑+=

Γ×

−= β

αα

βαβα

1

,

),(

),(),()(

iiiTTP

TtPTtPtS

Swaption Une Swaption est une option de swap, c’est-à-dire un contrat qui permet d’acquérir le droit et non l’obligation de procéder à une date donnée (la maturité de l’option) à un swap de taux d’intérêt dont les caractéristiques ont été fixées à la date de négociation de l’option. La particularité de cette option est que le sous-jacent est un swap forward qui donc fixe les conditions du déclenchement de l’option à une date donnée et ce, sur toute la durée de vie de l’option, contrairement à un cap où celui-ci est une somme de caplets dont les flux perçus sont conditionnés à chaque date de révision. Si l’option se déclenche, sa durée correspond souvent à la maturité du sous-jacent (le « tenor »). Pour formaliser l’intérêt d’une telle option, il suffit d’analyser les conditions du déclenchement d’une swaption payeuse à la monnaie (strike = )0(,βαS l’instant nul

correspondant à la date d’achat de l’option) : si à la date de maturité Tα, le swap forward de taux d’intérêt )(, αβα TS est supérieur au strike )0(,βαS , alors l’acheteur

de l’option payeuse percevra )0()( ,, βααβα STS − ; dans le cas contraire, il ne reçoit

aucun flux.

Le payoff actualisé en t=0 de l’option payeuse à la monnaie (strike = Sα, β(0)), de

date de maturité Tα et de durée de vie si déclenchée (tenor ou encore maturité du sous-jacent swap forward souvent par convention) est

iii

TTPKTSTD Γ×−× ∑+=

+ ),())((),0(1

,

β

αααβαα

Prix –Zéro Coupon Il s’agit du prix d’une obligation qui couponne une unique fois au moment de son remboursement : Pour un titre de maturité T à l’instant t, pour un remboursement unitaire, son prix est

donné par tTTttaux

TtPZC −+=

)),(1(

1),(

148

Provision pour risque d’exigibilité (PRE) La PRE (Provision pour Risque d’Exigibilité) correspond à la provision destinée à faire face aux engagements dans le cas de moins-value de l'ensemble des actifs R. 332-20. Une provision globale pour risque d'exigibilité doit être constituée dès lors que le total des valeurs comptables nettes des actifs concernés devient supérieur au total de leurs valeurs de réalisation. De façon schématique, dans le cas d’une moins value latente, la PRE en fin d’exercice correspond à celle en début d’exercice augmentée du tiers (ou de 1/duration du passif) de la moins value latente de l’ensemble des actifs classés R-332-20 (nous dotons donc à la PRE), sans que le montant de la PRE totale ne puisse excéder le total de cette moins values latente. Deux autres situations peuvent se présenter : - si ce montant dépasse la moins value latente, alors la PRE se limite au total de cette moins value latente. - si, en fin d’exercice une plus value des actifs classés R332-20 est constatée, alors la PRE est nulle et la reprise de PRE correspond dans ce cas présent au montant de la PRE de début d’exercice. Il s’agit donc d’une option « cachée » du passif qui impacte les produits financiers.

Les corrélations cibles

Les données utilisées sont :

Indice action : FTSE All-World depuis 1971 si fréquence mensuelle, autre indice depuis 1900 si fréquence annuelle puisque conditionné par la limite des données disponibles.

Indice Bond : FT Benchmark Gov. Bonds de maturité 10 ans depuis 1971 si fréquence mensuelle, autre indice depuis 1900 si fréquence annuelle puisque conditionné par la limite des données disponibles.

Taux court réel : taux court nominaux diminué du taux d’inflation estimé à partir de l’indice CPI.

Le paramètre poids de la technique EWMC est choisi de façon à refléter une moyenne sur une fenêtre de 25 années. Ainsi, cette technique permet d’être en cohérence avec une approche d’estimation de corrélations sur le long terme.

Estimation des corrélations cibles entre variation de taux courts nominaux (maturité 3 mois) et le surplus de rendements actions sur taux courts nominaux (excess log return) :

L’EWMC est initialisée sur la moyenne des corrélations entre « excess return » de l’indice action sur une fréquence mensuelle de 1959 à nos jours.

149

Estimation des corrélations cibles entre variation de surplus de rendements d’obligations souveraines de maturité 10 ans et le surplus de rendements actions sur taux courts nominaux (excess log return) :

L’EWMC est initialisée sur la médiane des corrélations entre excess return de l’indice action et excess return de l’obligation souveraine sur une fréquence annuelle : l’EWMC est effectuée ensuite sur une base mensuelle de 1900 à nos jours.

Estimation des corrélations cibles entre variation de taux courts réels (maturité 3 mois) et le surplus de rendements actions sur taux courts nominaux (excess log return) :

L’EWMC est initialisée sur la moyenne des corrélations entre excess return de l’indice action sur une fréquence mensuelle de 1959 à nos jours. Les données représentatives du taux court réel sont constituées des taux court nominaux des économies considérées privés du taux d’inflation réalisé. L’actualisation se fait sur une base annuelle (estimation de la dernière corrélation sur 12 valeurs en conséquence).

L’analyse des différentes valeurs pour chacune des économies conduit au choix de la corrélation mutuelle à ces économies dans la modélisation : autour de -2%.

La corrélation est négative : on pourrait s’attendre à une corrélation positive entre la baisse des taux réels et celle des excess return action dans la mesure où la chute des taux réels trouve souvent sa cause dans une récession économique. Cependant, les variations de taux nominaux étant corrélées négativement (pour raison structurelle et dû aux dividendes actions assurant un revenu supérieur au taux nominaux), si le cycle économique dessine une baisse des taux nominaux accompagnée de celle des taux réels expliquée par une chute de l’inflation, alors la corrélation sera bien négative.

Concernant les corrélations cibles avec l’immobilier, cette classe d’actif étant peu liquides, les données disponibles sont faibles. Les estimations des corrélations sont faites sur la base des Investment Property Databank depuis 1981 et sujettes à des méthodes de lissage.

150

Synthèse des critères à surveiller pour des jeux risque neutre

Etape 10 du processus de calibrage du Modèle Interne

Critères à surveiller Commentaires

Graphe de l'évolution de la moyenne des prix zéro coupons par maturité diffusés sur l'ensemble de la projection en Risque Neutre

Aucune discontinuité significative ne devrait être observée

Tracé des volatilités horizontales** et verticales (annualisées) sur toute la longueur de la projection avec celles des volatilités implicites de calibrage

Permet de faciliter l'interprétation des résultats ALM

Estimation de la volatilité horizontale** sur fenêtre longueur 1an puis 10 ans des taux nominaux 1 an puis 10 ans diffusés depuis l'origine

Permet de faciliter l'interprétation des résultats ALM : vision monde réel

*Volatilité verticale : "standard deviation" sur scénarios**Volatilité horizontale : "standard deviation" sur le temps pour un même scénario

Graphe de la martingalité de l'inflation actualisée

Graphe des extrema, moyenne et quantile à 99,5% et 0,5% des taux 1 an et taux 10 ans à chaque pas de temps

Permet de faciliter l'interprétation des résultats ALM

Estimation de la volatilité verticale* (annualisée) à 1an puis à 10 ans des taux 10 ans et 1 an

Permet de faciliter l'interprétation des résultats ALM

Permet une vision SCR des valeurs diffusées (notamment quantiles à un an)Contrôle des statistiques générales

Estimation de la volatilité verticale* (annualisée) à 1an puis à 10 ans des rendements mensuels actions

Moyennes annualisées des rendements mensuels action - immobilier - Private Equity - Gestion alternative - OPCVM monétaire - OPCVM obligataire - taux nominaux diffusés sur sur scénarios et pas de temps

Contrôle de la "market

consistency"

Graphe des prix Call du modèle et intervalle de confiance empirique associé et prix de marché de sous jacent Graphe des volatilités implicites swaptions "tenor" 10 ans à chaque pas de temps (donc de toute maturité) et

Contrôle de l'absence

d'opportunité d'arbitrage

Graphe de la martingalité des prix actualisés actions, immobilier, Private Equity, Gestion alternative, OPCVM monétaire, OPCVM obligataire

Graphe de la martingalité du "cash rollup"

Graphe de la martingalité des prix zéro coupons actualisés déduits des taux spots nominaux diffusés

Graphe des extrema, moyenne et quantile à 99,5% et 0,5% des rendements mensuels annualisés des actions, immobilier à chaque pas de temps

Graphe des moyennes annualisées des dividendes mensuels action et immobilier et inflations sur scénarios à chaque pas de temps

CRITERES A SURVEILLER : REPORTING

Permet une vision SCR des valeurs diffusées (notamment quantiles à un an)

Permet une vision ALM des valeurs diffusées

Permet une vision ALM des valeurs diffusées

Graphe des volatilités verticales* réalisées (annualisées) des rendements mensuels actions, immobilier, autres actifs risqués et taux 10 ans à chaque pas de temps

Graphe des moyennes annualisées des rendements mensuels action - immobilier - Private Equity - Gestion alternative - OPCVM monétaire - OPCVM obligataires sur scénarios à chaque pas de temps

Permet de faciliter l'interprétation des résultats ALM issus des valeurs diffusées dont le calibrage risque neutre n'est pas effectué sur la représentation de ces grandeurs

Graphe des faisceaux des cours actions à chaque pas de temps avec dividendes réinvestis avec quantile 99%, 99,5%, 0,5% et 1%

Permet une vision SCR des valeurs diffusées (notamment quantiles à un an)

Permet une vision ALM des valeurs diffusées

Visualisation de la courbe des taux et du rendement action cumulé à 1 an associé au quantile 0,5% de la distribution de la NAV.

Permet de visualiser le scénario sur lequel est calibré le SCR

151

Synthèse des critères à surveiller pour des jeux univers monde réel Voici les critères pour le moment identifiés qui doivent être pris en compte dans l’analyse des études ALM :

Etape 10 du processus de calibrage du Modèle Interne

Critères à surveiller Commentaires

Estimation de la volatilité horizontale** sur fenêtre longueur 10 ans de la volatilité glissante fréquence mensuelle de fenêtre 1 an des rendements annuels actions

Permet de faciliter l'interprétation des résultats ALM : vision monde réel

Estimation de la volatilité horizontale** (annualisée) sur fenêtre longueur 1an puis 10 ans des rendements mensuels actions diffusés depuis l'origine

Permet de faciliter l'interprétation des résultats ALM : vision monde réel

Estimation de la volatilité horizontale** sur fenêtre longueur 1an puis 10 ans des taux nominaux 1 an puis 10 ans diffusés depuis l'origine

Permet de faciliter l'interprétation des résultats ALM : vision monde réel

Estimation des skewness des rendements mensuels Permet de se représenter l'assymétrie de la Estimation du kurtosis des rendements mensuels actions à 1 an puis 10 ans****

Permet de se représenter l'aplatissement de la distribution

*Volatilité verticale : "standard deviation" sur scénarios**Volatilité horizontale : "standard deviation" sur le temps pour un même scénario

CRITERES A SURVEILLER : REPORTING

Permet de faciliter l'interprétation des résultats ALM

Estimation de la volatilité verticale* (annualisée) à 1an puis à 10 ans des taux 10 ans et 1 an

Permet de faciliter l'interprétation des résultats ALM

Contrôle des statistiques générales

Estimation de la volatilité verticale* (annualisée) à 1an puis à 10 ans des rendements mensuels actions

Graphe des extrema, moyenne et quantile à 99,5% et 0,5% des taux 1 an et taux 10 ans à chaque pas de temps

Permet une vision SCR des valeurs diffusées (notamment quantiles à un an)

Graphe des extrema, moyenne et quantile à 99,5% et 0,5% des rendements mensuels annualisés des actions, immobilier et taux 10 ans à chaque pas de temps

Permet une vision SCR des valeurs diffusées (notamment quantiles à un an)

Graphe des moyennes annualisées des dividendes mensuels action et immobilier et inflations sur scénarios à chaque pas de temps

Moyennes annualisées des rendements mensuels action - immobilier - Private Equity - Gestion alternative - OPCVM monétaire - OPCVM obligataire - taux nominaux diffusés sur sur scénarios et pas de temps

Graphe des volatilités verticales* réalisées (annualisées) des rendements mensuels actions, immobilier et taux 10 ans à chaque pas de temps

Graphe des faisceaux des rendements cumulés actions à chaque pas de temps avec dividendes réinvestis avec quantile 99%, 99,5%, 0,5% et 1%

Permet une vision SCR des valeurs diffusées (notamment quantiles à un an)

Permet une vision ALM des valeurs diffusées

Permet de faciliter l'interprétation des résultats ALM issus des valeurs diffusées dont le calibrage risque neutre n'est pas effectué sur la représentation de ces grandeurs

Permet une vision ALM des valeurs diffusées

Graphe des moyennes annualisées des rendements mensuels action - immobilier - Private Equity - Gestion alternative - OPCVM monétaire - OPCVM obligataires sur scénarios à chaque pas de temps

Permet une vision ALM des valeurs diffusées

****Bien que le skewness et kurtosis soient des cibles du calibrage, ils ne sont pas des critères de rejet, le respect de l'ordre 1 et 2 des rendements étant considérés pour le moment comme suffisants

152

Bibliographie :

Documents internes

Spécifications fonctionnelles détaillées du modèle Epargne Natixis Assurances

Documents du CEIOPS (nouvellement EIOPA)

Spécifications techniques : Quantitative Impact Specifications 5

Consultation Papers 65, 69, 70.

http://ec.europa.eu/internal_market/insurance/Solvabilité/background_fr.htm

Articles spécialisés/documents de recherche

John HIBBERT (décembre 1998) document Barrie & Hibbert : “ A calibration of a 2 Factor Vasicek Model to Real & Nominal Term Structures” David ROSEBURGH et Steven MORRISON (avril 2007) document Barrie & Hibbert : “Approximating interest rate distribution in the 2 FBK Model” Steven MORRISON (janvier 2007) document Barrie & Hibbert : “Implementation of the extended 2 FBK Model”

Steven MORRISON, David REDFERN et David ANTONIO (juin 2009) document Barrie & Hibbert : “Libor Market Model Market Consistent Calibration Methodology”

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