This article was downloaded by: [Fachhochschule Osnabruck]On: 17 October 2014, At: 10:58Publisher: Taylor & FrancisInforma Ltd Registered in England and Wales Registered Number: 1072954 Registered office:Mortimer House, 37-41 Mortimer Street, London W1T 3JH, UK

Complex Variables, Theory and Application:An International Journal: An InternationalJournalPublication details, including instructions for authors and subscriptioninformation:http://www.tandfonline.com/loi/gcov19

Le dual de i'espace des fonctionspolyanalytiques intégrablesYazid Rouibah aa U.F.R.-M.I.M. et C.N.R.S. U.R.A 225 , Université de Provence , 3, PlaceVictor Hugo, Marseille Cedex 3, F-13331, FrancePublished online: 29 May 2007.

To cite this article: Yazid Rouibah (1994) Le dual de i'espace des fonctions polyanalytiques intégrables,Complex Variables, Theory and Application: An International Journal: An International Journal, 25:4,373-383

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Complex Variables, 1994, Vol. 25, pp. 373-383 Reprints available directly from the publisher Photocopying permitted by license only

Le Dual dl

@ 1994 OPA (Overseas Publishers Association) Amsterdam B.V. Published under license by Gordon and Breach Science Publishers S.A. Printed in Malaysia

des Fonctions Polyanalytiques lnteg rables

YAZlD ROUIBAH U.ER.-M.I.M. et C. N.R.S. U.R. A. 225, Universite de Provence, 3, Place Victor Hugo, F-13331 Marseille Cedex 3, France

In thls article, we consider the space BpjD) jresp. B) of functions f = Zh + k where h and k are holo- morphic in a domain D in Cof class c3, and f is in LP(D) (resp. the derivatives of f of order 2 are majorized by the reciprocal of the square of distance to the boundary). We ask when the dual of B1 can be Identified with the space 5. In the case of holomorphic functions, B. Coupet [3] has proved chrrc !he dm! of the space of holomorphic functions, integrable over a strictly pseudoconvex domain D in C" of class c3 can be identified with the Bloch space B of holornorphic functions in D such that ITf ( 7 ) : 5 cji?(:)l-I fcr every z i r ? . Firs!. bllnwing Bell's methods !I] we define the duahty between R: and R; we prove that there exists a differential operator L of order 2 continuous from B to Lw such that: if F is the Bergman projection of L' into B2, P L is e q u l to identity. Tfus allows us to extend to B, x B the bilinear form on B2 x B : (f ,g) - f g. Secondly, we prove that B and the dual of B1 are isomorphic if and unly if (1): B2 is dense in Bl aiid (2): P maps La into U. In this case there exists a continuous projection of L1 into B1. Following Carmona [2] we prove that (1) is true for every open set D of Csuch that CID has a finite number of connected components, and that (2) can be expressed by estimations on the Bergman kernel for B2:

We conclude that in the case of the unit disc, 5 and the dual of B1 are isomorphic.

AMS No. 30D45, 31A30 Communicated: P. Duren (Received April 30, 19%')

Dans cet article, on considkre I'espace Bp(D) (resp. O) form6 des fonctions f = 7h + k oii h et k sont des fonctions holomorphes dans un domaine born6 D de classe c3 de 63 et f est dans Lp(D) (resp toutes les d6riv6es de f d'ordre 2 sont control6es par l'inverse au can6 de la distance au bord). Nous d6montrons que le dual de B1 s'identifie 13 si et seulement si B2 est dense dans B1 et P envoie L" dans l3, P itant la projection de Bergman de L~ dans B2, il existe alors une projection continue de L1 dans B1. Et on conclut que dans le cas du disque unit&, le dual de B1 s'identifie B.

NOTATIONS ET INTRODUCTION

D d6signe un ouvert born6 de 63 defini par une fonction p de classe c3 dans un voisinage W de D, valeurs dans W. D est dtfini par D = { z E W : p(z) < 0) et le

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gradient de p ne s'annule pas sur le bord de D. On pose D, = {z E W : p(z) < €1. Pour p > 0, Bp(D) d6signe l'ensemble des fonctions de LP(D) de la forme Zh + g oii h et g sont des fonctions holomorphes dans D. Bp(D) est un sous-espace fermt de LP(D) [4], et on note P la projection de Bergman de ~ " a n s Bz. Cespace 13 est l'ensernble des fonctions f = fh + g, telles que

oh h et g sont des fonctions holomorphes dans L). Dans le cas des fonctions holomorphes, B. Coupet [3] a montrt que pour les

domaines D strictement pseudoconvexes de classe c3 de Cn, le dual des fonctions holomorphes intkgrables sur D s'identifik A I'espace de Bloch l3 form6 des fonctions holomorphes dans D vtrifiant:

Dans la partie A, en suivant la mtthnde de S: Re!! [I], rwus difinirons !a dua!iti entre B; et !3 psur les domaines de c!asse C! D a m !a partie B, nous donnons une condition necessaire et suffisante pour que le dual de 8, s'identifie a 13. Dans la partie C, nous dkmontrons qiie si i) est le disque unit6 de C , alors le dual de B1(D) s'identifie A l'espace R. Dans la partie D, nous dtmontrons que si B1 s'identifie a 0; alors il existe une projection continue de L~ dans B1.

Nous commencons d'abord par tnoncer quelques rksultats sur l'espace R.

PROPRIET~ 1 Soit f une fonction de classe c2 sur D et qui vkrifie ( I ) . Alors il existe quatre rkels posit$ €0, cl, cz et c3 tels que:

,, - - v L t D /Cl/(zj/ 5 ~ ~ / p ( z j / - ~ s u ~ / ~ ~ ~ ~ f / + sup jVfj, D D- q)

(*j

€0 1 J(z)/ < c2 log- sup (p"z f / + c3 sup /Of / + sup I f 1. (**) /P (~>I D D-," D- io

DEMONSTRATION Pla~ons-nous sur un fermk F de bD oii dp ldx # 0 et soit S(z) = (p(z),y) oh z = x + iy. I1 existe un rtel €0 tel que pour tout q de F , I'application S dkfinisse un cl--diffkomorphisme du disque D(q,eo) sur un ouvert de R ~ ; de plus il existe des constantes a et b telles que pour z et z' dans D(q,eo):

Soit maintenant f une fonction qui vkrifie (1). Pour tout q de F , l'application g = Vf o S-l est de classe C' sur D(q,eo) et

S(D(q,eo)) contient un point w' = S(zl) avec z' E D-,,. S(D(q, EO))

A IKw) -g(wl)/ 5 A1 - It1

< = Rew.

Par suite pour tout w de

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I1 en decoule I'inkgalitk (*): pour tout z E D,

De mCme, l'application h = f o S-' est de classe C' sur D(q, to) et

Par suite pour tout w de S(D(q, €0)) tel que 15) 5 €0

/ f ( z ) 5 c 2 l o g ~ s u p I p ~ ' f l + c 3 sup IVfI + sup i f / . Idz>l D D-<(,

PROPRIETE 2 R est inclus duns LP(D) pour toul p > 0.

DEMONSTRATION Soit f un klkment de 13. On a pour tout z t D

1 f (z)l < sup If I + c3 SUP V f I + c2 LO& sup lpLVZ.f I (propriCt6 1). n-co U c o IP(z)I D

Par ailleurs, pour tout p > 0, l'inttgrale J; ( ~ o g l/r)P dt converge, donc f est dans LP(D). Pour tout f E R, on pose:

PROPRIETE 3 Bmuni de celte norme est un espace de Banach.

DEMONSTRATION Soit (f,) une suite de Cauchy d'elkments de 13. D'aprCs la pro- priCtk 1, la suite (f,) (resp Of,) converge uniformement sur tout compact vers une fonction f = Zh + g (resp V f), ou k et g sont holomorphes dans D. De I'inCgalitC: Ip2(z)02 f n ( z ) - p2(z)v2fiiL (z)( 5 jlfil - fm j l B nous dkduisons par passage ii la lirnite: lp2(z)02 f,(z) - p2(z)o2 f (z)1 < liminf, 1 1 f, - fm /IR. En particulier, f appartient ii R et pour tout entier n:

IIfn -f I I R 5 SUP 1.L f I + SUP IVfn - Vf 1 + liminf 1 1 fn - f m l l n . L, - GO n " - L o

m

I1 en dCcoule que limsup, 1 1 f, - f l l R = 0, donc ( f , ) converge vers f dans R.

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A. Dualite de B1 et 13

Cette dualit6 dCcoule des lemrnes suivants:

LEMME I Soit 0 une fonction de classe c2 duns D et vt?r@ant v 2 8 = 0( l /p2) . Alors toute fonction U de la forme d2/dz2(0p2) est orthogonale d B2 duns lJespace L ~ ( D ) .

DI?MONSTRATION Commen<ons par traiter le cas oc 0 est support compact dans D. Soit f dans B2, on a

-

= LD ( Q - . -(0,02) 87 par ,tokes " Le lemme va dtcouler de ce cas particulier par densitk. Soit (a,) une suite de fonc- tions de classe c2 dans C vtrifiant a, = 1 sur V2-m = {Z : -2-, < p(z) < 2-,), SupPam C V2-m+~, /Vaml 5 2, et Iv2arn( 5 22m. PoSO~S X, = 1 -am et Um = d2 / b z 2 ( ~ , 0 p 2 ) . Alors

a2 ax, a a2xm Um = xm7(OP2) + 2--(0~') + -OP2

az a z az 8.9

donc pour z E V2-m+l, on obtient:

l0(z)l 5 cum et lp(z)O(z)I < ~ " m 2 - ~ ,

OC C , C' et c" sont des constantes qui dCpendent que de 0. D'oh

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Donc les suites ( d ~ , / d z ) ( d / d z ) ( @ ~ ~ ) et ( O ~ ~ ) ( ~ ' X ~ / ~ Z ~ ) convergent vers 0 dans L ~ . La suite ( X m U ) tendant vers U dans L', on conclut que la suite (Urn) converge vers U dans t2, et ( U , f ) = lim,,, ( U m , f ) = 0.

LEMME 2 I1 existe un opkrateur diffkrentiel L continu de S dans L" tel que P L soit @ale d I'identitk, P Ptant la projection de Bergman de L~ dans Bz.

DEMONSTRATION Considkrons un voisinage ouvert 0 du bord de D et tel que sur (3, d p / d z soit minorke. Soit a une fonction 2t support dans 0 et tel que a = 1 au voisinage 17 dl? berd de D. On difinit L par

D'aprb le Lemme I, le second terme dans L ( g ) est orthogonale ?I B2, donc P L ( g ) = Pg = g. Alors

oii h, k et s sont des fonctions bornkes, qui ne dependent pas de g . L ( g ) s'kcrit donc comme somme de quatre termes: L1 + Lz + Lg + L4. La fonction 1 - a ktant nulle au voisinage V de bD, le premier terme est major6 par sup,,,(g/, donc par I/g l l n . Le terme L2 est major6 par C2lpg1, donc par C3lplog(l/lpl)l llgllB. Le terme L3 est majorke par G i p ( 8 g / a z j i 7 donc par C4i/g/ /n rLe terme L4 esi major6 par ~ s J p ~ ( 8 g / d z ~ ) 1 , donc par Csllg]lB. 11 en dkcoule que L ( g ) appartient ?I L" et que L est continue de R dans L".

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LEMME 3 I1 existe une constante K telle que pour toute fonction f dam B2 et tout g duns 13:

f g = f PL(g) car PL(g) = g (Lemme 2) !D !"

= JD P ( ~ ) w car P est auto adjoint

= JD fm car f est dans B2.

11 suffit alors d'appliquer le Lemme 2.

THEOREM 1 La forrne B2 x I!, + C seprolonge d B1 x 13 en une forme continue,

D~MONSTRATION A toute fonction g dans B, associons la forme linkaire cpg sur B1 dCfinie par

c p , ~ = J f ~ . D

D'aprks le Lemme 3, cp, est continue et J I c p g J J 5 KllgllB. Alors si f est dans B2, c p g ( f ) = JD fg. ~ a ~ ~ l i c a 6 o n g -t yg est injective de B dans (Bl) ' ; en effet si cp , = 0, 0 = cpg(g) = JD /gI2, donc g = 0.

B. lsomorphisme Entre (B1)* et R

Nous Ctudions maintenant si cette dualit6 permet de dkfinir un isomorphisme en- tre (B1)* et B, ce que nous Ccrirons (B1)* = 13. Nous allons donner une condition nkcessaire et suffisante pour que cela soit rkalisC.

PRo~os1noN 1 (B1)* = R, si et seulement si les deux conditions suivantes sont v&r@&es: (1 ) Bz est deme dans B1, (2) P(Lm) c 13.

DEMONSTRATION (a) Supposons que (Bl)* = B. Soit cp une forme linCaire con- tinue sur B1, nulle sur Bz. Soit h E B telle que pour tout f E B1,

En particulier pour tout f de B2 on a

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donc PL(h) = 0 et donc h = 0 et cp = 0. Soit g E La. Par hypothkse, il existe h c R tel que pour tout f t B1

et donc pcxr ~ O L I ~ P fnnction f de B 2 k f ( z ( h ) -g) = 0, donc PL(h) = P(g), soit P(g) = h E R.

(b) Supposons que les deux conditions soient rialiskes. Si p est une forme lin- Caire continue sur Bl d'apres le thtoreme de Hahn-Banach, il existe g E L" tel que pour tout f E B1

En particulier, pour tout f de B2

PROPOSITION 2 L'inchion P ( L W ) C 13 esl vkrifike si et seulement si il existe une constunte C > 0 telle que:

DEMONSTRATION Supposons qu'on a l'estimation ci-dessus, alors pour g E L"

donc

d'oii Pg c R. Inversement, si P(Lm) c R, on a en fait P(Lm) = R, car par le Lemme 2, I3 c P(LW). D'autre part, si (f,) est une suite dans Lw, telle que (f,) converge vers f dans L" et (P f,) converge vers h dans R, alors h = P f . En effet, (Pf,) con- verge aussi vers h dans L~ et (Pf,) converge vers Pf dans L~ car P est continue de L2 dam BL, donc h = P f , et d'apres !e thkorerne du graphe fermt, P est con- tinue de Lm dam J3. I1 existe donc une constante C > 0 telle que pour tout g E Lm, lIP(g)lls I C/lgll,. En particulier, pour g E Co(D), on obtient:

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TH~OREM 2 Si D est le disque unit6 de C, le dual de BI slidentifie ii B.

Le theorkme 2 resulte des Propositions 1 , 2, 3 et 4.

PROPOSITION 3 Soit D un ouvert de 43 tel que C\D a un nombre fini de com- posantes. Alors B 2 ( D ) est dense dans B1 ( D j.

DEMONSTRATION On reprend la mkthode utilisCe par [2j. Soit L une forme linkaire continue sur B1(D), nulle sur B2(D) , e est de la forme

[ ( f ) = f g dm, oB g est une fonction bornCe dans D. n

Soit p E Cm(C), a support compact dans D(0,1), vkrifiant 0 < p 5 I et J p d m =

1. Soit p,(z) = ( l / ~ ~ ) ~ ( z / f ) , alms rp,dm = 1 ; [(r32p,/(372)dm = 0 rt supp p, c - D(O, cj. On applique a fc la tormule ~ntegrale ( I ) donnee dans [2] ou f , = f * pe, et :?r! &tier?!

o; F, = d2.f,/dr2, dp = g d m et P(w) = Jl,(Y - w / z - w ) g ( z ) d m ( z ) . On a JD f, d p = A, + B,, ou

car la fonction p,(z - .) est B support dam D(z ,E) qui ne coupe pas bD. Donc J, f,dp = B,. D'autre part,

= ( ( z t4 t )

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oh rr f (.) est la fonction f ( . -t). Comme C\D a un nombre fini de composantes, on couvre X, par des disques Dl , . . .,D, de rayon 46, de centre dans C\,D et tel que chaque Di contient un ensemble compact connexe Ei c C\D, de diamktre > E, puis on applique le Lemme 2 de [2]. I1 existe des fonctions Qi(u,.) vkri- -

fiant 0 2 ~ i / 3 7 2 ( u , z ) = 0, gj(ii ,z)I 5 C p i l r tcut z E Ci,,Ei et u F D,. et ~Q;(u.z)- (2 - D)/(z - u)l 5 c [ E ~ / ~ z - uI3). Comme l ( Q ; ) . = . . 1 Qig d m = 0, on a

- z - i2 + I _ . n \ p ( ~ , ~ ) ~ j ( u , z ) - - i . i d m ( z ) z-u

On en dkduit que

On obtient donc, pour tout f dans BI

f g d m = lim f,g d m = lim B, = 0, E-0 J D E -0

car l'application t -+ rt f est continue de C dam L'

P R O P O S I ~ O N 4 Si KA(z, w) dbigne le noyau de Bergman pour B2 du disque unit6 A, alors il existe une constante positive C > 0 telle que

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DEMONSTRATION On prend comme base orthogonale de B2(A) ou A = {z : lzl < I ) , la famille {Zzn, zn - (n + 3)/(n + ~ ) Z Z " + ~ , n E Fd}. Notons que

Or. treuve

et

p(X) = (X4 - 3X2 + 4X + 4) - (/z12 + lwI2)(2X4 - 4X3 + 2X2 + 6)

+ I Z ~ ~ / W / ~ ( ~ X ~ - 4X3 - 4X + 3X2 + 9).

Cummt: p = 6 et dp = 6 quand X = i. on a i-estimation cherchee.

PROPOSITION 5 Si (Bl j' = i3, il existe une projection continue de L' sur B1.

DEMONSTRATION Nous commengons par dkmontrer la formule:

f (I) = /D L , ~ ( w , z ) f (w)dm(w) pour tout z E D et f E B1,

Fixons z dans D, la forme linkaire 6, : f f(z) ktant continue sur B1, puisque (B1)* = R. I1 existe donc une fonction tp, E I3 telle que

En particulier, pour f dans B2, nous en dkdusions

K(.,z) ktant I'unique klgment de B2 reprksentant la forme linkaire 6, continue sur B2, nous obtenons l'kgalitk K(w,z) = tpz(w) pour tout z et w E D , d'oc la formule annoncke.

P O S O ~ S Q(w,z) = L,K(w,z) et montrons que

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Alors

et par suite supDJD IQ(w,z)1dm(z) < CG.

Deftinissons I'opkrateur Q sur L1 par

D'aprbs ce qui prkcbde, Q est une projection continue de L' dam B1.

References [I] S. Bell, A duality theorem for harmonic functions, Michigan Math. J. 29 (1982), 123-128. [2] J. J. Carmona, Mergelyan's approximation theorem for rational modules, J. Approx. neory 44 (1985),

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173-184.

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