Effet tunnel dans les systèmes quasi-

intégrablesOlivier Brodier(1)

Peter SchlagheckDenis Ullmo

(1) M.P.I.P.K.S. Dresden ALLEMAGNE

• Système intégrable: théorie WKB1 D: double puits

• N D: généralisation – effet tunnel dynamique [Davies Heller]

• Système non intégrable: théorie semiclassique?

Problématique de l’effet tunnel

Système intégrable

EqpH ),(

N-D: N constantes du mouvement1-D: Énergie conservée:

Coordonnées action-angle

[2,0[

)(

EfI

Effet tunnel intégrable: entre deux quasi-modes

E

E

0

0

E

E

2E

G D

G

DDégénérescence

G

D

G DWKBWKB

Prolongement analytique pour le région évanescente

)cos()cos(),(0 qpqpH

expE

Système quasi-intégrable)cos()cos(),(0 qpqpH

)cos()()cos(),,( qntptqpHn

0

τ : perturbationet periode

WKB?

…impossible

Quasi modes: bien definis par KAM

Prolongement analytique…

Approximation Intégrable

)cos()()cos(),,( qntptqpHn

...)cos()sin()cos()sin(12

)sin()sin(2

)cos()cos(),(~

222

pqqp

qpqpqpH

Pseudo constante du mouvement

),(),(~

),(~

ttn

ttnttn qpGqpHqpH

)cos()cos(),(~0 qpqpH

),(),( ttH

tt qpqp Map: mouvement réel

Exemples:

222

2 )cos()sin()cos()sin(12

)sin()sin(2

)cos()cos(),(~

pqqpqpqpqpH

Comparaison des effets tunnel

),,( tqpH ),(~

qpH

Rôle des résonances

)(~

),(~

IHqpH

)10cos()(~

),,( 1 VIHtqpH

Approximation intégrable →coordonnées action angle

Théorie des perturbations séculaire au voisinage de la resonance 10:1

Ces coordonnees ne prennent pas en compte les resonances du systeme reel:

Hamiltonien intégrable effectif

Théorie des perturbations quantique

...)2cos()ˆcos()ˆ(~

),ˆ,ˆ( 21 rVrVIHtqpH

rmkm

mkkk A ,

rmkk

mmk EE

VA

,

Pour la résonance r:s

règle de sélection k-k’ = rm

Valeur des coefficients

rmkk

mmk EE

VA

,

Relié à la configuration spatiale de la résonance classique → coefficient de Fourier

Énergies dans le repère tournant au voisinage de la résonance

→ informations classiques

Reconstruire les modes propres

4432411414 AA

Ici on utilise la résonance 10:1Règle de sélection k-k’ = 10m

2

N

Formule semiclassique

rmkrmkk EAE ~2

9E

29

~E

2A

Schéma global

nn

nn

nn mrmrksr

mrmrksrmrkk EAAE ...

2:...

2:

1111

11

11

~...

Accord quantitatif du modèle avec le calcul exact

δE

(Échelle log)

Calcul exact par diagonalisation

Formule semiclassique

2

N

Plus loin dans le chaos

Cf. Schlagheck et al.

Mécanisme

Conclusion

• Mécanisme semiclassique quantitativement prédictif pour les systèmes quasi-intégrables. Pas de paramètre ajustable.

• Extension aux systèmes mixtes: jonction avec la théorie Chaos-Assisted Tunneling → comportement qualitatif

• Améliorer les résultats grâce à des approximations plus fines

• Étendre à des systèmes plus complexes