LE CHAMP ELECTROSTATIQUE TSI 17-18

I. LA CHARGE ELECTRIQUE Le phénomène d'électrisation par frottement est connu depuis l'Antiquité : certaines substances attirent les corps légers après avoir été frottés. La force qui s'exerce entre deux corps électrisés peut être soit attractive, soit répulsive : il existe deux classes de corps électrisés, ceux chargés positivement et ceux chargés négativement .

Deux charges de même signe se repoussent, deux charges de signes contraires s'attirent.

Conventionnellement on attribue une charge négative à l'électron et positive au proton.

L'électrostatique est l'étude des interactions entre particules électrisées immobiles dans le référentiel d'étude.

1. Principe de mesure d'une force électrique

a) Pendule simple : on accroche un petit objet chargé M à une extrémité d'un fil dont l'autre extrémité est fixée à un point immobile O . On approche un objet A chargé à une distance donnée. La mesure de l'angle d'inclinaison du fil permet de connaître la valeur de la force d'interaction électrique. b) Pendule de torsion de Cavendish : L'objet A est chargé On approche un objet chargé B : le pendule tourne ; la mesure de l'angle de torsion permet de déterminer la force électrique.

2. Principe de superposition

expérience : on mesure les forces subies par des objets électrisés de petites dimensions soit un objet chargé C : on mesure les forces exercées successivement par un objet chargé A puis un objet chargé B, puis les deux objets simultanément A et B On constate expérimentalement que : Cette loi d'additivité est prise pour principe et permet de ramener l'étude de l'effet d'une distribution de charges à la somme des effets de chaque charge.

3.Charge électrique

Soit un objet électrisé immobile dans l'espace. On place deux objets électrisés C et C' successivement en

différents points de l'espace et on mesure les forces F⃗ et F⃗ ′ subies par C et C' On constate que: On pose q et q' sont deux nombres qui caractérisent l'état électrique de C et C'.

La charge électrique ainsi définie est une grandeur mesurable : il suffit de poser arbitrairement la valeur de la charge d'un objet Co (qui sera prise pour unité) pour en déduire la valeur de toute autre charge par mesure de force.

4. Propriétés de la charge la charge électrique est une grandeur quantifiée : les charges observées sont toujours des mutiples entiers de la charge élémentaire e =. la charge électrique est une grandeur extensive et conservative: la charge électrique d'un système ne peut varier que la charge électrique d'un système fermé est la charge électrique est une grandeur indépendante du référentiel d'observation.

5. Loi de Coulomb (1780).

Soit q1 et q2 deux charges ponctuelles placées en deux points A1 et A2

La force exercée par A1 sur A2 est

o = (36.π .109) -1.

Le choix de cette valeur revient à choisir une unité pour la charge électrique. Remarque : cette loi est analogue à la loi d’interaction gravitationnelle (Newton 1666) La force d’interaction électrique est beaucoup plus que la force gravitationnelle.

II. CHAMP ELECTROSTATIQUE

1. Définition

Soit un Σ objet électrisé. Soit M un point fixe de l’espace. On place en M différents objets Ci ponctuels portant des charges qi et on mesure la force Fi exercée sur Ci.

On constate que le rapport 𝐅 i / qi est indépendant de Ci. Ce rapport caractérise une propriété de l’espace due à la présence de l’objet chargé Σ . On l’appelle champ électrostatique créé par Σ en M.

Une charge q placée en un point M subit la force 𝐅 = q �⃗� (M)

2. Propriétés.

�⃗� (M) est un champ vectoriel, c’est à dire une propriété vectorielle définie en tout point de l’espace, à tout instant.

�⃗� (M) sera dit uniforme si

�⃗� (M) sera dit permanent ou stationnaire si

�⃗� (M) obéit au principe de superposition : le champ �⃗� créé en un point par plusieurs objets chargés

est la somme vectorielle des champs créés séparément en ce point par chaque objet chargé.

3. Champ électrostatique créé par une charge ponctuelle

Le champ �⃗� n’est pas défini sur la charge elle-même. Allure des lignes de champ q > 0 les lignes de champ q < 0 les lignes de champ

4. Champ créé par une distribution discrète de charges Soit un ensemble de charges qi placées en des points Ai. Le champ créé en M par l’ensemble de ces charges est :

5. Ligne et tube de champ a) Une ligne de champ est

Elle est orientée par

L’intensité de �⃗� varie en général le long d’une ligne de champ.

On détermine son équation en écrivant que , 𝒅𝒍⃗⃗⃗⃗ étant un petit déplacement le long de la ligne de champ.

Le champ �⃗� est unique en un point M : deux lignes de champ ne peuvent donc se couper sauf si en ce point :

soit soit

b) Un tube de champ est

III DISTRIBUTION CONTINUE DE CHARGES

1. Définitions

a) distribution volumique

Soit une distribution volumique de charges D délimitée par une surface fermée (S).

En tout point M de D on définit une densité volumique de charge :

dq est la charge contenue dans le volume élémentaire (mésoscopique) dτ .

dépend a priori du point M et de l’instant t considérés.

On peut alors calculer la charge totale contenue dans D :

Exemples : calculer la charge totale contenue dans un cylindre droit de hauteur H, de rayon R, la densité volumique de charge à une distance r de l’axe du cylindre étant :

a) = o b) = o.r²/R².

b) distribution surfacique

Il existe des distributions telles que les charges n’existent qu’au voisinage de la

surface ( = 0 à l’intérieur) ; c’est le cas par exemple des conducteurs.

Soit e l’épaisseur sur laquelle existent les charges. Si e est très petit devant les dimensions de l’objet chargé on modélise celui-ci par une distribution surfacique caractérisée par une densité surfacique :

dq est la charge portée par la surface élémentaire dS

c) distribution linéique

Lorsque les charges sont réparties au voisinage d’une courbe (C) on définit une

densité linéique :

dq est la charge portée par la longueur élémentaire dl

cette modélisation convient lorsque le diamètre d’une section de (C) est faible devant la longueur de la distribution.

2. Champ électrique créé par une distribution continue de charges. a) volumique b) surfacique c) linéique

Il faut en général calculer trois intégrales multiples… exemples : segment, cercle, disque

IV. PROPRIETES DE SYMETRIE DU CHAMP ELECTROSTATIQUE L’analyse des symétries de la distribution de charges D va nous permettre d’en déduire les propriétés de

symétrie du champ �⃗� et donc de simplifier le calcul du champ �⃗⃗� créé par D.

Principe de Curie : l’effet a au moins la symétrie de la cause. Cause : effet :

1. Direction du champ �⃗� .

Soit P un point de la distribution : P ( x , y , z ) . Soit Π le plan d’équation z = 0. Soit P’ le symétrique de P par rapport à Π : P’ ( )

a) plan de symétrie Π est un plan de symétrie ( ou plan miroir) pour la distribution D si : q(P) = q(P’) soit M un point appartenant à Π

Le champ E⃗⃗ P(M) créé en M par q(P) est :

Le champ E⃗⃗ P’(M) créé en M par q(P’) est :

la résultante est

conclusion : si Π est un plan de symétrie de la distribution D le champ �⃗� (M Є Π ) Є Π .

b) plan d’antisymétrie Π est un plan d’antisymétrie pour la distribution D si : q(P) = q(P’)

soit M un point appartenant à Π : E⃗⃗ P(M) = E⃗⃗ P’(M) =

la résultante est

conclusion : si Π est un plan d’antisymétrie de la distribution D le champ E (M Є Π ) Π .

2.Variables du problème

a) invariance par translation de la distribution de charges D est invariante par translation le long de l’axe Oz si la distribution de charges est la même en un point P qu’en un point P’ obtenu par translation de P parallèlement à cet axe.

E(M) est alors indépendant de z(M) : E (x,y)

b) invariance par rotation de la distribution de charges On se place en coordonnées cylindriques P ( r , θ , z ) D est invariante par rotation autour de l’axe Oz si la distribution de charges est la même en un point P qu’en un point P’ obtenu par rotation d’angle quelconque autour de cet axe.

)(ME est alors indépendant de θ(M) : )(ME ( r, z )