UNIVERSITE DE PARIS SUD (ORSAY) S2 SM Physique SOUTIEN

EXERCICES DE REVISION Vous devez savoir refaire parfaitement les exercices suivants.

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FORCE ELECTROSTATIQUE, CHAMP ET POTENTIELA - Loi de Coulomb, champ de force La force electrostatique entre 2 charges ponctuelles q1 et q2 distantes de r est dirig e le long de la droite joignant q1 et q2 , e attractive si q1 et q2 sont de signe oppos , r pulsive si q1 et q2 sont de m me signe, e e e k q1 q2 de norme egale a r2 . ` k q1 q2 (en convenant quelle est nulle quand r est l nergie potentielle de ces 2 charges est e r inni). 1 La constante universelle k , vaut 9 109 N m2 C2 4 0 Dans tous les exercices, les seules forces a consid rer sont les forces electrostatiques. ` e 1. Une charge ponctuelle positive q est x e en un point O . Une deuxi` me charge ponctuelle positive e e se trouve en M sur laxe x Ox . On appelle x le vecteur unitaire de laxe x Ox et x labscisse mobile q u de M (OM x ) . ux F x x . La force que subit q peut s crire F e u Donner lexpression analytique de F x (distinguer les 2 cas: x 0 et x 0 ). Dessiner lallure qualitative de la fonction F x pour x variant de a . ` Dessiner lallure qualitative de l nergie potentielle EPot x . e 2. On a x la charge ponctuelle positive Q au point O et la charge ponctuelle 4 Q au point O . Une e troisi` me charge ponctuelle positive q peut se d placer librement sous laction du champ electrostatique e e cr e par les deux premi` res. e e On note x le vecteur unitaire orient selon OO et L la distance OO . u e a) Si lon place q sans vitesse initiale au point I de la droite qui porte OO comme sur la gure, indiquer par une ` che dans quelle direction cette charge va partir. e b) Il existe un point C o` la charge mobile plac e sans vitesse initiale resterait au repos. u e Justier lexistence de ce point C et d terminer sa position. e Exprimer en fonction L la distance de C a O et la distance de C a O ` ` c) La charge q est au point M dabscisse x sur la droite dorigine O qui porte OO , cest-` -dire a x x . OM u Tracer en fonction de x lallure du graphe de la x de la force exerc e sur la charge mobile. composante Fx F u e

d) Dapr` s ce graphe, le point C est-il pour la charge mobile, un point d quilibre stable ou instable? e e 3. Repr senter le champ de force electrique subi par une charge ponctuelle mobile positive et produit: e (a) par une petite sph` re charg e positivement; e e (b) deux petites sph` res charg es portant des charges de signes contraires; e e (c) deux petites sph` res charg es portant des charges de m me signe: e e e (d) une petite sph` re charg e n gativement au voisinage dun grand plateau conducteur charg posie e e e tivement. Pr ciser dans quelles r gions le champ est-il le plus intense? e e savoir reconnatre le sens de d croissance du champ en fonction de l cartement de 2 lignes de champ e e voisines. Dessiner les equipotentielles. Dire sil y a des points o` le champ sannule ou est inni. u

B - Champ electrostatique et potentiel: questions de cours

Lignes de champ et surfaces equipotentielles Si on connat E en tous points dune certaine r gion, il est possible de tracer les lignes de e champ dans cette r gion. A partir de celles-ci, on peut d terminer les surfaces equipotentielles e e en construisant des surfaces perpendiculaires aux lignes de champ. Inversement si lon connat le potentiel V en tous points, on peut construire les surfaces equipotentielles et etablir les lignes de champ, en traant des lignes perpendiculaires a ces surfaces. (Ces trac s sont simpli s, ` e e si la distribution des charges a des propri t s de sym trie: plane, cylindrique, sph riques, ` ee e e V , les lignes de champ electrostatique sont orient es dans le etc...) Puisque E grad e sens des potentiels d croissants. Elles partent des charges ponctuelles positives et se terminent e sur des charges n gatives. Elles ne se coupent quen des points o` le champ est nul. Les e u surfaces equipotentielles sont ferm es, cest-` -dire, elles enferment un volume 1 . Elles ne se e a coupent pas. On convient habituellement de tracer les surfaces equipotentielles correspondant a des varia ` tions V constantes de potentiel. Dans ce cas, si l cartement entre 2 equipotentielles voisines e augmente, cela signie que lintensit du champ diminue. (Ceci est lanalogue a ce que lon e ` observe pour les courbes de niveau en cartographie). On le comprend bien si lon se rappelle que la circulation du champ reste constante entre deux equipotentielles voisines. Dautre part le ux electrique se conserve dans un tube de champ: puisque le champ diminue en intensit la e surface du tube doit augmenter donc le tube s largit. e

Les gures suivantes illustrent deux exemples de lignes de champ et surfaces equipotentielles: les lignes pleines repr sentent les lignes de champ; e les pointill s repr sentent les lignes dintersection des equipotentielles avec le plan de la gure. e e

2

1. (a) Champ electrostatique autour dune charge ponctuelle

.

Quel est le signe de la charge? Peut-on d duire de la gure que lintensit du champ e e augmente quand on se rapproche de la charge? Lorientation des lignes de champ permet-elle de retrouver le signe de la charge? Quelle diff rence faites-vous entre ligne de force e electrique et ligne de champ electrostatique?

(b) Champ electrostatique autour dun plan charg uniform ment e e

+++++++++++++++++++++

Peut-on pr voir ce que devient le champ lorsquon e s loigne normalement a la surface du plan? e ` Ce champ est-il continu?

(c) un dip le electrique o Que vaut le potentiel sur la m diatrice du dip le? e o Peut-on d duire de la gure que lintensit du champ augmente quand on se rapproche du dip le? e e o Lorientation des lignes de champ permet-elle de trouver le sens du moment dipolaire?

3

C - Le dip le o On rappelle que si les N charges ponctuelles, de valeurs respectives q 1 q2 qN plac es rese pectivement aux points M1 M2 MN forment un ensemble est electriquement neutre, cest-` a direi 1

qi

N

0 et si Q est la somme des charges positives,

le vecteur moment dipolaire de lensemble est: a) ne d pend pas du choix du point O . p e

p

i 1

qi OMi

N

b) Soit G le barycentre (au sens des charges) des charges positives, et G celui des charges n gatives. e

p

Q G G

c) le potentiel cr e par lensemble des N charges en un point eloign est approximativement le e e m me que celui cr e par une charge Q plac e en G et une charge Q plac e en G , e e e e (approximation dipolaire) . 1. Deux charges ponctuelles, Q et Q , sont distantes de d . On utilise un syst` me de coordonn es sph riques (r ) dorigine O , e e e milieu des 2 charges. Laxe joignant Q a Q est pris comme axe des ` z. d , donner lexpression approch e du potentiel Vdip r e a) Pour r ( approximation dipolaire).Q

M

O b) En d duire lexpression approch e des composantes Er et E du e e Q d. champ cr e en M pour r e c) la gure indique quelques lignes de champ et equipotentielles de ce dip le. o Etudier la direction de ce champ pour 0, et 2. Indiquer par un sch ma la direction et le sens du champ electrostatique cr e au point M de laxe Ox e e : e e e dabscisse L 0 par les 4 syst` mes suivants de charges plac es sur ce m me axe Ox 1 ) une charge ponctuelle positive Q en O . 2 ) 2 charges ponctuelles Q et Q distantes de d L et sym triques par rapport a O . e ` 3 ) les 2 charges sont remplac es par 2 dip les de m me moment dipolaire orient s parall` lement a o e e e ` et dans le m me sens e Ox e 4 ) les m mes dip les sont antiparall` les e o e

d

r

4

D - Exercices de calcul 1. Calculer la charge totale des 3 distributions de charge suivantes: a) boule de rayon R charg e en volume, avec la densit volumique r e e b) cylindre de hauteur h et de rayon R charg e r avec la densit volumique r 0 , e R c) sph` re, de rayon R , charg e avec la densit supercielle e e e

0

r , R

2.

0 On etudie le champ electrostatique E O et le potentiel V O cr es au point O par une boule de e

cos

centre O et de rayon R charg e en volume. (Lorigine du potentiel est a linni.) e ` La densit volumique de charge en un point a lint rieur de cette boule est proportionnelle a la distance e ` e ` r du point consid r au centre de la boule; ee 4 r on a r pour r R et r 0 pour r R . La constante 0 est positive. 3 0R On d signe par Qr la charge totale a lint rieur de la sph` re de centre O et de rayon r . e ` e e

Exprimer, en fonction de r et dr , le volume de la coquille sph rique comprise entre les sph` res de e ecentre O et de rayons inniment voisins r et r dr .

Exprimer la charge dQ contenue dans la coquille consid r e. ee En d duire le potentiel electrostatique dV O que cette coquille cr e en son centre O . e e D terminer le champ electrostatique d O de la coquille au point O . e E Exprimer, en fonction de r et de 0 , la charge Qr a lint rieur de la sph` re de rayon r . ` e e Exprimer, en fonction de R et de 0 , la charge totale QR de la boule de rayon R . D terminer le potentiel V O et le champ O de la boule en O . e E3. On consid` re un anneau de centre O, de rayon R , qui porte une densit lin aire de charge uniforme e e e positive, de valeur . Charge totale de lanneau?

Champ cr e par lanneau en O ? e

rapport a O ? `

Montrer que lon peut ecrire le champ cr e par lanneau en M : z E z z . e E u Que peut-on dire des 2 champs cr es par lanneau aux 2 points M et M de laxe sym triques par e e Tracer lallure de la variation de E z en fonction de z . Quand z R , donner un inniment petit equivalent a z . ` E z en tout point de laxe. V rier sur cette expres Calculer lexpression analytique du champ E e Calculer le potentiel V z cr e par lanneau au point M de son axe (avec la convention: potentiel e

On consid` re la perpendiculaire au plan de lanneau, passant par O ( axe de lanneau). On appelle e u z labscisse dun point M de cet axe. On d signe par z le vecteur unitaire de laxe. e

sion les r sultats trouv s aux questions pr c dentes. e e e e

nul a linni) et tracer lallure du graphe de V z ` 4. Un disque de centre O, de rayon R , porte une densit supercielle de charge uniforme, de valeur e positive . u On note z labscisse dun point M de laxe z Oz du disque et z le vecteur unitaire de laxe.

Charge totale du disque?5

Quelle est la direction du champ cr e par le disque au point M de son axe? e z E z z En d duire que lon peut ecrire : E e u Que peut-on dire des champs cr es en 2 points de laxe sym triques par rapport a O ? e e ` Tracer lallure de la variation de E z en fonction de z . Quand z R , donner un inniment petit equivalent a z . ` E Calculer lexpression analytique du champ en tout point de laxe autre que O . Calculer zlim E z et zlim E z . 0 0 Combien vaut la discontinuit de ` la travers e du disque en O ? e E a e Calculer le potentiel V z cr e par le disque au point M de son axe ( potentiel nul a linni). e ` Que peut-on dire du potentiel cr e par le disque en 2 points de son axe sym triques par rapport e e D duire de ce qui pr c` de lexpression du champ electrostatique cr e par un plan inni unie e e eform ment charg en surface, en un point quelconque, nappartenant pas au plan, situ a la distance e e e` d du plan. Quelle particularit pr sente ce champ? e e a O? ` Le potentiel est-il continu en z 0 ? Tracer lallure du graphe de V z ( z variant de a ). `

5. Un segment de droite AB , de longueur 2 L , porte une charge electrique totale Q positive r partie e uniform ment sur tout le segment. e y B On note O le milieu du segment, y Oy laxe de ce segment et x Ox une m diatrice de ce segment. e On consid` re le point M du demi-axe Ox e dabscisse L . On veut etudier le champ electrostatique M , cr e par le segment au point M . E e

x

0

L

M

x

A y

a) Donner la direction et le sens de E M b) On consid` re au voisinage du point P de laxe y Oy dordonn e y un el ment de longueur ine e e e nit simale dy du segment. Ecrire lexpression vectorielle du champ innit simal dE cr e par cet e e el ment du segment au point M . e ` c ) En d duire une expression de E M a laide des constantes L , Q , e sur y dont on pr cisera les bornes. e (On ne cherchera pas a calculer cette int grale) ` e

1 et dune int grale d nie e e 4 0

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2

LE THEOREME DE GAUSSA - Outils math matiques: angle solide, ux, divergence et laplacien e 1. Soient un point O et d

une surface inniment petite, centr e en un point P a la distance R de O ; e ` : un vecteur unitaire perpendiculaire a d , n ` et , : langle entre OP nd d

mum? Quand est-il nul? Quand est-il minimum? 2. Soit une r gion de lespace o` r` gne un champ electrostatique uniforme E0 vertical vers le haut. e u e haut.

Exprimer d en fonction de d , et r . La mesure de la surface d et la distance R etant x es, quand langle solide d est-il maxi e

langle solide (alg brique) e O : inniment petit ( el mentaire) e sous lequel O voit d .

Calculer le ux de 0 a travers un carr horizontal daire S0 dont la normale est orient e vers le E ` e e Un cube a 2 de ses faces horizontales. Les 6 faces du cube forment une surface ferm e. e

Que devient le ux si le plan du carr est vertical? e e Calculer le ux de E0 sortant de cette surface ferm e. 3. Divergence dun vecteur

On consid` re un champ de vecteur A M . e e e ` On note un volume entourant M limit par une surface ferm e S et S le ux sortant de A M a travers S . Donner la d nition intrins` que de : div A e e Calculer div A M pour A M

Az z u

4. Laplacien dune fonction scalaire Donner la d nition du laplacien. e Calculer f M pour f M f z

B - Th or` me de Gauss: forme int grale e e e 1. Soit une boule (centre O , rayon R ) , uniform ment charg e en volume (densit volumique ) . e e e CalculerE et V en tout point de lespace. Tracer E r et V r (r est la distance du point au centre de la boule). Le champ E est-il partout continu? 2. On consid` re une distribution volumique de charges , dont la densit est constante, de valeur , entre e e les plans z d et z d ; elle est nulle ailleurs. 7

a) D terminer le champ electrostatique en tout point du plan z e

0 . 0 ?

b) Que peut-on dire des champs cr es en 2 points sym triques par rapport au plan z e e c) Quelle est la direction de E en tout point? e De quelles coordonn es de M le champ E ne d pend-il pas? e d) Calculer E en tout point de lespace. Le champ E est-il partout continu? e) Calculer V en tout point de lespace. (Choisir lorigine du potentiel sur le plan z 0)

d . On peut alors consid rer la r gion charg e comme une plaque e e e f) Soit un point tel que z horizontale, d paisseur 2 d tr` s petite et portant une densit supercielle de charge e e e 2d . Etudier le champ et le potentiel pour d 0 , , restant ni.

Tracer z a cette limite. E ` Calculer E z 0 E z 0 .

C - Th or` me de Gauss: forme locale e e

1. Une sph` re de centre O et de rayon R porte la charge totale Q uniform ment r partie sur sa surface. e e e en tout point hors de la surface de la sph` re. a) D terminer div E e hors de la surface de la sph` re. e b) En d duire la forme de E e e ` e c) Montrer que E O reste de norme nie. En d duire E a lint rieur de la sph` re. e e a la surface de la sph` re. En d duire a lext rieur de la sph` re. e e E ` e e d) D terminer la discontinuit de E ` e e 2. Champ dun cylindre inni uniform ment charg en surface. e e , inniment long, de rayon R . On consid` re un cylindre daxe zz e Ce cylindre est charg superciellement, avec la densit supercielle de charge . e e par le cylindre?

Quelle est, en un point M distant de r de laxe des zz , la direction du champ electrostatique cr e e De quelles coordonn es de M la norme du champ ne d pend-elle pas? e e Quelle est la norme du champ? (distinguer les cas r R et r R ) Calculer le potentiel V r . (Prendre lorigine du potentiel sur laxe zz ). Tracer les graphes de V r et de r . Le champ est-il partout continu? E E

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ENERGIE POTENTIELLE ELECTROSTATIQUE

1. Aux trois sommets A , B , C , dun triangle equilat ral de c t a , un op rateurmaintient trois e oe e charges ponctuelles positives egales a Q . ` Au barycentre G du triangle se trouve la charge ponctuelle Q . On appelle r la distance entre chaque charge Q et Q . a) Exprimer a en fonction de r . b) En d duire l nergie potentielle E pot r de lensemble des 4 charges. e e 1 . On exprimera E pot r en fonction de Q , r , et de 4 0 e e c) On note F A , F B , et F C , les forces electrostatiques r sultantes exerc es sur les charges plac es en A , B , et C , par les 3 autres charges . Quelle est la direction de ces 3 forces ? e d) D duire du signe de E pot r le sens de ces 3 forces. e e) Si lop rateur l chait simultan ment les 3 charges Q , que se passerait-il ? e a e f) D duire de lexpression de E pot r la valeur de la norme des trois forces. e Imaginer que lop rateur eloigne simultan ment de G les trois charges de la m me distance inniment e e e petite dr selon les directions GA , GB , et GC . 2. Une boule de rayon R est charg e uniform ment en volume, avec une densit volumique de charge e e e . (a) Calculer la charge totale Q de la boule. (b) D duire du potentiel electrostatique que la boule cr e en tout point delle-m me son energie e e e potentielle E pot R en fonction de R et de Q . Q2 E0 . Lexprimer en fonction de 4 0 R

Q

9

4

CONDUCTEURS EN EQUILIBRE ELECTROSTATIQUE

A - Inuence entre 2 conducteurs On consid` re un objet conducteur (C) qui a la forme dun ellipsode allong e e (forme dun cigare).

. ACet objet est charg positivement. On appelle Q sa charge totale. e

.

A0

Etat 1 : Charge totale du cigare Q Initialement (C) est loin de tout en equilibre electrostatique ( etat 1 ) . On approche du conducteur (C) charg , (avec la charge Q 0 ), une sph` re (S) conductrice non charg e. e e e e e e On consid` re le nouvel etat d quilibre electrostatique de (C) en pr sence de la sph` re (S) , quon appelle e tat 2 . e A

.

.....

A...

B...

.O

charge totale du cigare: Q 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

0

Etat 2

charge totale de la sph` re: 0 e

La densit supercielle de charge est-elle nulle en tout point de la sph` re? e e La r partition des charges a la surface de (C) est-elle la m me que dans l tat 1 ? e ` e e Le potentiel est-il le m me en A et en A ? e Le champ est-il nul a lint rieur de (C) ? ` e Le champ est-il nul a lint rieur de (S) ? ` e Dessiner quelques lignes de champ et les orienter. Les deux conducteurs (C) et (S) sont-ils en inuence totale? Comparer les valeurs du potentiel en A et au point B de laxe de la sph` re indiqu sur le dessin. e e Comparer les valeurs du potentiel au point B et au point O , centre de la sph` re. e Le potentiel au point B est-il positif, n gatif ou nul? (Lorigine du potentiel est a linni). e `

B - Conducteurs sph riques e Deux petites sph` res conductrices isol es e e . , , de rayon r portant la charge Q sont distantes de d (r d

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On relie , a la Terre. A l quilibre electrostatique, quelle est approximativement la charge q A de ` e (traiter comme une charge ponctuelle), de la Terre et on relie relie , a la Terre. ` On isole ensuite A l quilibre electrostatique, quelle est approximativement la charge q B de e (traiter comme une charge ponctuelle). C - Condensateur sph rique e On consid` re le condensateur sph rique constitu par l ensemble des deux conducteurs suivants: e e e une boule de rayon R de surface (S) , un conducteur creux dont la surface int rieure est une sph` re (S ) , concentrique a (S) , de rayon R , R e e ` R ). Lespace entre (S) et (S ) est vide et il ny a pas de charge a la surface ext rieure du condensateur. ` e On note V la diff rence de potentiel entre les deux armatures (S) et (S ) . e a) Calculer la capacit C de ce condensateur. e b) Combien vaut la densit locale d nergie? e e c) En d duire que l nergie electrique totale du condensateur est e e D - Condensateur planL

1 C V2 . 2

(P)

L

D (P)

Deux plaques conductrices , ayant chacune la forme dun carr de c t L , sont plac es pae oe e rall` lement lune a lautre. Leur distance D est e ` beaucoup plus petite que L de sorte quon peut consid rer les surfaces des deux plaques qui se e font face comme deux plans innis (P) et (P) . Le volume entre les deux plans (P) et (P) est vide de charge, ainsi que celui ext rieur aux e deux conducteurs. On porte (P) a un potentiel V , et (P) a un ` ` V. potentiel V e On note V V V la diff rence de potentiel 0. entre les plaques, V

On admet que; les deux plaques sont en inuence totale: le champ est non nul entre les deux plans (P) et (P); il est nul partout ailleurs. les surfaces equipotentielles sont des plans parall` les aux plaques. e Quelle est la forme des lignes de champ? Les lignes de champ vont-elles de (P) vers (P) ou de (P) vers (P) ? Que est le signe des charges sur (P) ? sur (P) ? D terminer la valeur du champ entre les plaques. e Pourquoi la densit supercielle de charge sur (P) est-elle uniforme ? e Exprimer cette densit au moyen de V , D et de 0 . e 6. Exprimer la charge totale Q port e par (P) au moyen de V , D , de 0 et de L . e En d duire la capacit du syst` me form par les deux plaques. e e e e 7. D terminer la force electrostatique r sultante (norme, direction et sens) qui sexerce sur chacune des e e plaques. 11 1. 2. 3. 4. 5.

Fr sont tr` s eloign es (loin de e e r et r2 Deux sph` res conductices S1 et S2 de rayons respectifs r1 e 2 tout) 1. Initialement S1 porte une charge Q et S2 est neutre. calculer le potentiel V1 de S1 . e En d duire l nergie potentielle initiale Ui du syst` me. e e e e e 2. On relie S1 et S2 par un l conducteur. On etudie l tat d quilibre du syst` me. On suppose quon peut n gliger les charges a la surface du l. e ` D terminer les charges Q1 et Q2 port es par S1 et S2 e e Comparer les normes des champs a la surface des 2 sph` res. ` e D terminer le potentiel de lensemble. e e e e Calculer l nergie potentielle nale U f du syst` me et la perte d nergie Ui U f du syst` me. e

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ELECTROCINETIQUE

A - Courants electriques liformes Un l de cuivre cylindrique de diam` tre d et de longueur l est parcouru par un courant constant dintensit e e . E I . Il satisfait la loi dOhm microscopique j Notations : masse molaire du cuivre , masse volumique ; num ro atomique: Z = 29 e 1 o` est la conductivit . r sistivit r e e u e il y a un electron de conduction par atome de cuivre.

charge de l lectron: e

e ;

nombre dAvogadro:

1. Quel est la forme des lignes de champ electrique et des lignes de courant dans les deux cas suivants: 1) le l est rectiligne; 2) le l forme une boucle circulaire (l 0 est-elle v ri e? d) . e e 2. La relation div j , 3. Donner lexpression alg brique de la densit volumique de charge mobile m en fonction de e , , e e . . Comparer aux densit s volumiques de charge positive et de charge n gative e e et ? 4. Comment s interpr` te le th or` me de Gauss local: div E e e e 0 5. En utilisant la loi dOhm microscopique, retrouver la loi dOhm macroscopique, puis lexpression alg brique de la r sistance du l en fonction de d , l et r . e e

B - Courants en volume 1. Un barreau homog` ne de conductivit a la forme dun parall l pip` de rectangle de section carr e e e ` ee e e de c t a et de longueur l. Le barreau est parcouru par des courants de densit volumique uniforme oe e parall` le a lun des 3 axes. e ` Etudier le champ electrique dans ce barreau et le potentiel. 2. Exprimer la r sistance du barreau a) entre ses deux faces carr es, et b) entre deux faces rectangulaires e e oppos es. e

C - Loi dOhm et effet Joule ( mod` le classique) e Lorsque les electrons de conduction se d placent dans un conducteur sous laction du champ electrique e uniforme E cr e par par un courant constant dintensit I , tout se passe en moyenne comme sils avaient e e e e ` une vitesse constante v . On peut tenter dexpliquer ce ph nom` ne en ajoutant a la force de Coulomb une force de frottement f visqueux dont on va d terminer la constante de temps dans le cas dun l de cuivre. e 1. Le l de cuivre est cylindrique rectiligne daxe Oz de diam` tre d 4 mm et de longueur l 10 m . e En partant de la loi dOhm microscopique, d terminer le vecteur densit de courant j , puis lintene e sit de courant n cessaire pour cr er le champ E et la d.d.p. aux bornes du l. e e e 13

Evaluer la puissance dissip e par effet Joule dans ce l de cuivre. e 2. Dapr` s la d nition microscopique de j , d terminer la vitesse v de cet electron en fonction de e e e e, , , et de lintensit de courant I. e En d duire lexpression alg brique de . Est-elle fonction de I ? Commenter. e e

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EQUATIONS DE LELECTROMAGNETISME

A - Equations aux dimensions On rappelle que les dimensions des 4 grandeurs fondamentales ont comme symboles : L (longueur), M (masse), T (temps) et Q (charge electrique). e e 1. On note la densit de charge volumique et J le vecteur densit de courant volumique. . Donner les equations aux dimensions de et de J e 2. La force de Laplace exerc e par un champ magn tique B sur un el ment de courant I dl vaut: e e I . dF dl B En d duire l quation aux dimensions de . e e B v e 3. Pour etudier l coulement de leau, on introduit le vecteur vitesse M dun petit el ment de volume e M . liquide situ au point M . On d nit ainsi un champ de vecteurs v e e Donner l quation aux dimensions du ux de a travers une surface. e v ` Donner l quation aux dimensions de la circulation de le long dune courbe. e v de ce champ vectoriel. Donner l quation aux dimensions de la divergence div v e Donner l quation aux dimensions du rotationnel de ce champ vectoriel. e rot v B - Equations de l lectromagn tisme e e 1. Enoncer avec pr cision (et sans formule) le th or` me de Gauss. e e e 2. Enoncer avec pr cision le th or` me dAmp` re. e e e e 3. Le tableau ci-dessous r capitule les equations locales de l lectromagn tisme pour les ph nom` nes e e e e e ind pendants du temps : e 0 div E = (1) rot E (2) 0 rot B (4) 0 J (3) div B = 0 au champ electrique cr e par un ensemble de charges? e Quelle est parmi les equations locales (1) a (4) celle qui correspond au th or` me dAmp` re? ` e e e

Quelle est parmi les equations locales (1) a (4) celle qui correspond au th or` me de Gauss relatif ` e e

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C - Champ electrostatique ou champ magn tostatique dun l inni e On d signe par: e ( ) le cercle de rayon R du plan xOy , orient dans le e Oz , sens trigonom trique autour de laxe vertical z e () la surface ferm e du cylindre droit daxe zOz et e de hauteur h repr sent sur la gure ci-contre. e e e a ) On etudie le champ electrostatique E M cr e au point M par une distribution lin ique de charge ine e e nie le long de laxe vertical z Oz . La densit lin aire de charge est uniforme et positive. 1. Faire une gure pour donner lallure des lignes de champ electrostatique dans le plan xOy . Les orien ter. 2. D terminer les surfaces equipotentielles. e 3. Evaluer la circulation de E le long de ( ) . 4. Evaluer le ux de E sortant du cylindre. 5. D duire de ce qui pr c` de la valeur du champ E e e e en un point du cercle ( ) (direction, sens et intensit ). ez

.

h

R

O y (C)

x

z

b ) On etudie le champ magn tostatique B M cr e au point M par un courant rectiligne inni dinten e e Oz . sit I positive le long de laxe vertical z e 1. Faire une gure pour donner lallure des lignes de champ magn tostatiques dans le plan xOy . Les e orienter. 2. Evaluer la circulation de B le long de ( ) . 3. Evaluer le ux de B sortant du cylindre. 4. D duire de ce qui pr c` de la valeur du champ B en un point du cercle ( ) (direction, sens et intene e e sit ). e

D - Plan inni de charges ou nappe innie de courants plane Rappeler a ) les propri t s du champ electrostatique cr e par une distribution supercielle de charge plane innie ee e et homog` ne. e b ) les propri t s du champ magn tostatique cr e par une distribution supercielle de courants plans, ee e e innie et homog` ne. e (faire un sch ma pour indiquer les lignes de champ orient es; pr ciser si le champ est continu ou non a la e e e ` travers e du plan). e

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