A. Husson – L. Bizot – M. Roirand

IntroductionLe cercle dans les programmes aux cycles 1 et 2.Le cercle dans les programmes au cycle 3.

I – Le cercle: Définition II – Pistes d’exploitation en CE2 III – Pistes d’exploitation en CM1 IV – Pistes d’exploitation en CM2

ConclusionTransversalité en FrançaisProlongementsSources

Compétence attendue à la fin du cycle 1:

«Dessiner un rond» (Découvrir le monde, Découvrir les formes et les grandeurs).

Compétence attendue à la fin du cycle 2:

«Reconnaître, nommer et décrire les figures planes et les solides usuels».

Il faut noter que le cercle ne figure pas dans les programmes du cycle 2. Cependant il est souvent introduit pendant l’étude du triangle, du carré et du rectangle.

o Pour le cycle des approfondissements, les programmes de l’école primaire stipulent que

o «L'objectif principal de l'enseignement de la géométrie du CE2 au CM2 est de permettre aux élèves de passer progressivement d'une reconnaissance perceptive des objets à une étude fondée sur le recours aux instruments de tracé et de mesure».

o A la fin du cycle 3, les élèves devront avoir acquis les compétences suivantes :

«Reconnaître, décrire et nommer les figures et solides usuels».

«Utiliser la règle, l'équerre et le compas pour vérifier la nature de figures planes usuelles et les construire avec soin et précision».

«Formule de la longueur du cercle»

DéfinitionUn cercle est une courbe plane fermée, constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. Le terme cercle désigne uniquement la courbe ou circonférence, la surface étant appelée disque.

Cette définition est adaptée au CM2, il faudra simplifier les termes en CE2 et CM1.

Compétences attendues en fin de CE2 :

-Vérifier la nature d’une figure plane en utilisant la règle graduée et l’équerre.

-Construire un cercle avec un compas.

-Reconnaître qu’une figure possède un ou plusieurs axes de symétrie, par pliage ou à l’aide du papier calque.

-Tracer, sur papier quadrillé, la figure symétrique d’une figure donnée par rapport à une droite donnée.

-Utiliser en situation le vocabulaire : côté,

sommet, angle, milieu.

Les élèves disposent de verres , de gobelets ,de pièces de monnaie ,de boîtes de conserves cylindriques , de jetons et de feuilles blanches .

Consigne: tracer des cercles avec les objets que vous avez.

C’est en construisant des objets de nature géométriques et en résolvant des problèmes que l’élève sera progressivement amener à concevoir certaines propriétés , à les formuler ,à les utiliser.

En Ce1 les élèves se sont exercés à reconnaître, nommer, décrire et tracer les figures planes tels le carré, le triangle, le rectangle . Les seuls instruments qu’ils connaissent sont la règle et l’équerre.

Une situation –problème est présentée aux élèves :

« Vous devez tracer les figures suivantes: Un triangle , un rectangle, un carré ,et enfin

un cercle à l’aide de votre règle et de votre équerre. »

Problème: Les élèves ne peuvent pas tracer de cercle avec la règle et l’équerre.

Un certain temps doit être consacré à la découverte de ce nouvel instrument . Il est indispensable que les élèves s’exercent à l’utiliser avant de prétendre pouvoir tracer des cercles.

Le compas sera abordé comme un outil decomparaison et de report de longueur. Activité de report de longueur: Matériel:Une feuille blanche sur laquelle des points

portantle nom de lettres sont situés, un compas, la carted’un pays vierge avec un seul point qui désigne laville à découvrir. L’écartement du compas est déterminé par un

segment [AB] figurant sur la feuille blanche. Les élèves doivent placer la pointe du compas

sur la première lettre du nom de la ville et reporter la longueur du compas afin de trouver la seconde lettre de cette ville.

Maintenant pour découvrir la 3éme lettre, il faut mettre la pointe du compas sur la deuxième lettre de la ville et conserver le même écartement [AB]. Et ainsi de suite pour découvrir les autres lettres.

Enfin, les élèves doivent joindre tous les points dans l’ordre pour découvrir le nom de cette ville.

Cet exercice permet aux élèves d’utiliser etde manier le compas afin de reporter une même longueur.

Autre activité : Le report de longueur sur une

seule et même droite pour comparer despérimètres: chaque report étant matérialisépar un arc de cercle.

Les élèves peuvent reporter bout à bout la longueur des côtés de chacune des figures sur deux droites différentes et mesurer la longueur totale des segments obtenus sur chaque droite pour connaître le plus long périmètre.

Autre activité de manipulation du compas: S’entraîner à tracer des cercles:

Scénario de construction pour tracer le cercle:

-Placer un point-Placer la pointe du compas sur le point-Faire pivoter le crayon du compas enappuyant bien sur la pointe et aller

jusqu’aupoint de départ .

1)Enigmes

Faire tracer deux cercles de centre A un de

rayon 4 cm et l’autre de rayon 7 cm.

Proposer des énigmes du type: Je suis un point situé à 9 cm du point A. Je suis dans la région bleue: Vrai ou faux? Je suis dans la zone rose: Vrai ou faux? Je suis dans la région blanche Vrai ou faux?

A

Je suis à 4 cm de A . Où suis –je? Je suis un point à l’extérieur du petit cercle

et à moins de 7 cm du point A . Où suis-je?

2) Message

Faire jouer les élèves par deux : chacun place un point dans une région ou sur un cercle et rédige un message pour que le voisin , qui n’a pas eu connaissance du choix fait ,le découvre.

3) Le vocabulaire

Tracer sur une feuille blanche et/ou sur du papier calque un grand cercle. Découvrir par le pliage, le diamètre , le rayon , les axes de symétrie du cercle.

Compétences attendues en fin de CM1:

- Utiliser en situation le vocabulaire géométrique : segment, milieu, angle, axe de symétrie, centre d’un cercle, rayon, diamètre.

- Vérifier la nature d’une figure plane simple en utilisant la règle graduée, l’équerre et le compas.

- Décrire une figure en vue de l’identifier parmi d’autres figures ou de la faire reproduire.

- Compléter une figure par symétrie axiale.

- Tracer une figure simple à partir d’un programme de construction ou en suivant des consignes.

o Séance 1 : Qu’est-ce qu’un cercle ?o Séance 2 : Comment tracer un cercle ?o Séance 3 : Utiliser les propriétés du

cercle.o Séance 4 : Construire une figure simple à

partir d’un programme de construction. La séquence proposée peut-être traitée seuleou intégrée à une séquence sur les figuresplanes.

Objectifs :Connaître le vocabulaire géométrique du cercle (centre,

cercle, diamètre, rayon)

Découverte: Donner une ½ feuille (A5) à chaque élève, sur laquelle un point A est placé en son milieu. Consigne : « Placez une vingtaine de points distants de 4 cm du point A. » (montrer des exemples si besoin).

Mise en commun : Que constatez-vous ? A quoi ressemble le tracé ? (un cercle)Faire remarquer que tous les points distants de 4 cm vont se trouver sur le cercle. En arriver à la conclusion «Un cercle est l'ensemble des points situés à égale distance d'un point, qui est le centre du cercle. »

Phase d’institutionnalisation:

Demander aux élèves ce qu’ils savent à propos de cette figure,c’est à dire du cercle. Les élèves parleront peut-être des termes de rayon, diamètre,centre…Si les élèves utilisent ces termes leur demander de venir expliqueraux autres de quoi il s’agit sur le cercle au tableau. Sinon ou s’il manque des termes : Dire oralement en plaçant les points et en traçant: « Au tableau nousavons un cercle de centre A et de rayon [AB]. Je place aussi [CD] undiamètre de ce cercle. Demander les particularités des points A, B, C, D. (B,C,D sont sur le cercle de centre A ; AB-AC-AD sont des rayons ducercle ; CD est un diamètre).Expliquer / Rappeler les termes de centre, rayon, diamètre.

o Synthèse et trace écrite : Ecrire la définition du cercle dans le cahier.

Objectifs :Utiliser le compas pour tracer un cercle.Connaître le vocabulaire géométrique du cercle (centre, cercle, diamètre, rayon)

o Rappel de la définition du cercle et du vocabulaire associé à cette notion.o Recherche collective : Je voudrais que vous reproduisiez cette figure avec sa

légende sur vos cahiers mais comment allez vous faire ? Qui peut m’expliquer ?Un débat commence sur la méthode de construction du cercle. Les élèves mentionneront certainement l’utilité du compas. Rebondir en demandant : « A quoi sert un compas ? Comment l’utilise-t-on ? »S’ils n’en parlent pas, présenter l’outil visuellement.  Inviter un élève à venir au tableau reproduire la figure.Un élève viendra montrer comment on trace un cercle avec un compas, il mettra en avant le fait qu’avec le compas on peut reporter une longueur (celle du rayon dans notre cas ou celle des points C, D)

Entraînement au tracer de cercles libre puis avec des mesures données par le maître.

Observations: Le diamètre est égal à deux fois le rayon. Plus le rayon est grand, plus le cercle est grand (introduire la notion de disque).

Synthèse et trace écrite : Tracer et légender un cercle de 3 cm de rayon sous la définition écrite la veille.

Objectifs :Utiliser le compas pour tracer un cercle.Comprendre et appliquer la définition du cercle.

o Rappel de la définition du cercle et du vocabulaire associé à cette notion.

o Situation problème: Jeu du trésor. Les élèves doivent trouver un point sur une carte en s’aidant d’indications telles que : Le trésor est caché à plus de 5 cm de la maison, moins de 3 cm de la bibliothèque et exactement 6 cm de l’école…Cette activité ludique à pour but d’illustrer la définition du cercle et permet aux élèves de s’entraîner à reporter une mesure et tracer avec un compas.

o Mise en commun : Explication et comparaison des procédures.

o Synthèse orale : Retour sur la définition du cercle et la prise de mesures avec le compas.

Objectifs: Utiliser le compas correctement.Construire une figure simple à partir d’un programme de construction.

o Explication de l’activité : Insister sur le fait que le programme de construction vise à tracer une seule figure car les élèves ont tendance à construire une figure pour chaque consigne.

o Entraînement : Construire une figure en respectant le programme donné.

o Correction collective : Les élèves justifient et expliquent leurs productions.

o Synthèse et trace écrite : Fiche sur la construction d’une figure.

o Activité complémentaire : Déterminer entre 3 programmes de construction lequel correspond à la figure donnée.

1/ DEFINITION DU CERCLE ET VOCABULAIRE SPECIFIQUE.

Ces aspects ayant été abordés en CM1, il s’agit essentiellement d’uneremémoration des connaissances antérieures sur le cercle. Il peut êtreintéressant de commencer la séquence par un problème nécessitant lamobilisation de ces connaissances.

OBJECTIFS:- Comprendre que le cercle est un ensemble de points situés à la même

distance d’un autre point appelé centre.- Comprendre et savoir utiliser le vocabulaire géométrique: cercle,

centre du cercle, rayon, diamètre.  Exemple de petit problème:«20 bateaux partis de différents endroits sont en route pour la Réunion

dans lecadre d'une course. Ils sont actuellement ex-æquo à 800 m de l’île. Enremplaçant 800m par 8cm sur ton dessin, reproduis cette situation en

plaçantles bateaux à la bonne distance de l’île.»

Comparer les différentes symbolisations de l’île utilisées par les élèves. Symbolisation la plus simple: un point noté I (île).

Mettre en évidence que la méthode qui consiste à tracer un cercle de rayon 8cm est plus efficace que celle dans laquelle on place 20 points à 8cm de l’île.

On retrouve alors la définition du cercle: ensemble de points situés à la même distance d’un autre point appelé centre du cercle.

Le cercle est tracé au tableau en notant I le centre et en désignant A et B deux bateaux diamétralement opposés et C un autre bateau. Interroger les élèves sur la nature du point I, centre du cercle, des segments [AI], [BI] et [CI], rayons du cercle, du segment [AB], diamètre du cercle.

Faire remarquer aux élèves que la longueur du diamètre est égale au double de celle du rayon et qu’il existe une infinité de cercle et de rayons.

Remarque: Si le terme n'apparaît pas dans les programmes, il peut être

intéressantd'aborder la notion de disque. Certains élèves ont en effet tendance

àles confondre et à employer le terme cercle pour désigner la surfacecomme la circonférence.

Exemple de problème:Dans un champ d’herbe, un mouton est attaché à un piquet par unecorde de 9 m. Consigne: Représente la situation et colorie la surface où peut

brouterle mouton.Maintenant, le fermier décide d’attacher le mouton à son piquet avecune barre en fer de la même longueur que la corde.Consigne: Change de couleur pour montrer où le mouton va pouvoirbrouter de l’herbe.

Remarque: Le vocabulaire « arc de cercle » peut également être abordé(souvent employé en géométrie).

«Les problèmes de reproduction ou de constructions de

configurations géométriques diverses mobilisent la connaissance

des figures usuelles. Ils sont l'occasion d'utiliser à bon escient le

vocabulaire spécifique et les démarches de mesurage et de

tracé».

Remarque:

Les programmes de construction restent complexes pour les

élèves de cycle 3 en particulier lorsqu’il s’agit d’en produire .

Cependant, leur élaboration permet aux élèves de vivre la

nécessaire précision du vocabulaire et de la succession des

différentes étapes de tracés.

EXEMPLE DE PROGRESSION

Reproduire une figure complexe constituée de plusieurs cercles.

Reproduire une figure complexe constituée de plusieurs figures planes (dont le cercle).

Pouvoir expliquer oralement sa démarche de reproduction.

Trouver parmi plusieurs programmes de construction lequel correspond à la figure présentée.

A partir d'un programme de construction, construire une figurecomplexe constituée de plusieurs figures planes (cercle(s), carré(s),rectangle(s), triangle(s) rectangle(s)).

Elaborer le programme de construction d'une figure complexeconstituée de plusieurs figures planes dont le cercle après avoirreproduit cet ensemble de figure.

Il peut être intéressant d’élaborer un programme de construction

collectivement, par exemple à destination d’une autre classe.

L’ensemble de figures peut être crée par les élèves.

Une grille d’écriture d’un programme de construction peut être

envisagée en lien avec les textes prescriptifs en français.

Exemple d'activité en binômes:

La moitié de la classe a une figure complexe composée de plusieurs

Figures planes, l'autre moitié en a une autre.

Chaque élève reproduit sa figure puis élabore un programme de

construction.

Les 2 élèves du binôme s'échangent leur programme de construction

et chaque élève doit construire la figure décrite.

La validation se fait par comparaison avec la figure d'origine.

Dans la partie «Grandeurs et mesures» des programmes figure la

«formule de la longueur du cercle» i.e périmètre ou circonférence.

Formule: P = π × D ou P = 2 × π × R avec π = 3,14 au centième près.

Il y a donc nécessité d'introduire Pi (ainsi que la touche Pi de lacalculatrice).

OBJECTIF: Calculer le périmètre d'un cercle en utilisant sa formule.  PRE-REQUIS: Savoir calculer le périmètre du carré et du rectangle. Multiplication d'un nombre entier par un nombre décimal.  Le nombre Pi peut être introduit de différentes façons pour queles élèves lui donnent du sens et ainsi éviter de le présenter auxélèves arbitrairement.

Mettre en évidence que le périmètre d'un cercle, c'est un

peu plus de 3 fois son diamètre.

Par groupes de 3 ou 4, les élèves tracent un cercle dans la

cour avec le grand compas de classe.

Comment mesurer la circonférence ?

Recueil des idées des élèves

- avec la règle: voir que ce n'est pas possible compte tenu

de la différence de forme même si l’on considère des toutes

petites portions de cercle.

- certains élèves peuvent penser au rapporteur vue sa forme.

- avec quelque chose de souple comme de la ficelle qu'on

dépliera ensuite.

Doit-on renouveler cette opération à chaque fois qu'on doit mesurer la

circonférence d'un cercle ? Discussion pour trouver une méthode plusefficace.Quelle était la seule mesure vérifiable ou connue avant de tracer le

cercle?Rayon ou diamètre.Combien de fois le rayon ou le diamètre est-il contenu

dans lacirconférence?On ne peut pas car le rayon est droit, et le cercle est courbe. Rappeler alors l’utilisation de la ficelle.Et on se rapproche de la formule car le diamètre est contenu 3

fois,mais il en reste un peu...  Présenter Pi comme un nombre qui arrondi est égal à 3,14 et permet

decalculer la longueur du cercle par la formule: P = π × D

Amener les élèves à remarquer que si l'on utilise la formule enremplaçant le diamètre par le rayon multiplié par 2 on obtient le mêmerésultat car le diamètre est égal au double du rayon.

Travail en lien avec la proportionnalité

  Approximation du rapport entre la circonférence et le diamètre.

Dans "J'apprends les maths CM2" (Brissiaud), on propose de tracer des cercles de

diamètre 2cm, 3cm, 4cm, 5cm, 6cm,7cm,8cm sur une feuille A4.

Puis découper dans une autre feuille A4, 7 bandes de papier de longueur 29,7cm et de

largeur 2cm pour mesurer les périmètres des cercles tracés.

Remplir un tableau de 2 colonnes (diamètre et périmètre en cm). Laisser la première

ligne du tableau qui correspond à un cercle de diamètre 1cm.

Poser les questions : quelle est la différence entre le périmètre du cercle de diamètre

8cm et celui du diamètre 7cm ? Même question avec les deux cercles de diamètre 7cm et

6cm...

Peut-on prévoir approximativement le périmètre d'un cercle de 1cm de diamètre, c'est-à-

dire la valeur de l'unité?

Vérification: Trace un cercle de 1cm , mesure le périmètre et complète la première ligne du

tableau.

L'élève découvre Pi.

L’élaboration de programmes de construction en CM2, bien que complexe, peut-être l’occasion de travailler la production d’écrit en français. En effet, cet exercice nécessite de maîtriser la syntaxe et la conjugaison des phrases injonctives.

Pour réaliser cette activité les élèves devront aussi mobiliser le vocabulaire géométrique avec une grande précision et respecter l’organisation spatiale de ce type d’énoncé.

Pour trouver la liste de sites contenant des activités en ligne:

www.cartables.netwww.espacefr-education.com

www.espacefr.com Logiciel Carmetal Logiciel Geogebra

Les programmes de l’école primaire,B.O. du 19 juin 2008

Manuel de maths CE2, collection diagonale, 2003 Manuel PE2, hachette éducation De la maternelle à l’université, bulletin de l’APMEP,

numéro 419 Pour apprendre la géométrie en dessinant:www.crdp.ac-grenoble.fr Les cercles dans les œuvres de Kandinsky:

www3.ac-nancy-metz.fr Aide mémoire de géométrie:www.mapmev.info Apprentissages géométrique et résolution de

problèmes, Hatier ERMEL