LE CALCUL MENTAL AU COLLEGE NOSTALGIE OU INNOVATION · matisé et sa pratique fait qu’on...

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LE CALCUL MENTAL AU COLLEGENOSTALGIE OU INNOVATION ?

Bernard ANSELMO, Paul PLANCHETTEpour le Groupe Collège(*)

Irem de Lyon

REPERES - IREM. N° 62 - janvier 2006

Aujourd’hui la classe n’a pas récité uneleçon ; elle a calculé des moitiés tout en tra-vaillant d’autres notions.

La première question a été suivie d’échangessur les démarches utilisées pour diviser unefraction ; la seconde a permis de s’entraînersur la formule du périmètre du disque ; desrésultats différents dans la troisième ont dûêtre invalidés, d’autres ont été validés, ainsiles élèves ont argumenté, justifié ; enfin la stra-tégie « sortir un entier de sous la racine »une fois validée, a été reconnue comme per-formante pour résoudre le problème de calculposé dans la dernière question.

C’est dans cet esprit, et dans la conti-nuité des programmes de primaire, que legroupe collège de l’Irem de Lyon conduit saréflexion sur l’articulation calcul mental/appren-

Pour beaucoup le calcul mental évoquedes séances rapides et rythmées où lesélèves notent leurs réponses sur l’ardoise ausignal du maître. Il y a ceux qui savent etceux qui ne savent pas ; ceux qui ont bienappris à la maison, et ceux qui ont du malà appliquer la règle et qui s’inquiètent aumoment de l’exercice… Mais le calcul men-tal peut être bien autre chose :

Ce matin, en classe de troisième, séan-ce de calcul mental : « La moitié de … »• Quelle est la moitié de trois quarts de

litres ?• Quel est le rayon d’un cercle dont la lon-

gueur est 5π cm ?• Quelle est la moitié de 2x + 1 ?• Quelle est la moitié de racine de 48 ?

(*) B Anselmo ; M Bonnet ; S Evesque ; K Fenoy ; L Gouhot ; P Planchette; H Zucchetta.


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tissage afin de construire puis d’expérimen-ter des situations pour la classe.

Deux aspects complémentairesdu calcul mental :

Le calcul mental automatisé : on peut rapi-dement le définir comme le calcul où lesrésultats sont produits immédiatement, defaçon spontanée, sans conscience du cheminsuivi. Par exemple : lorsqu’on produit unrésultat pris dans les tables de multiplica-tion, qu’on applique une technique comme lamultiplication par 10 ; 100 ; 1000 ou qu’oncalcule la moitié de 50.

Le calcul mental réfléchi : les résultatssont obtenus par une reconstruction per-sonnelle. De façon à se faciliter le calcul, ons’appuie sur des propriétés connues et bienmaîtrisées. Les étapes sont plus nombreuses,si besoin on écrit des résultats intermédiaires.Pour un même calcul, les procédures varientselon les individus, le moment et le contex-te où ce calcul est proposé.

Les procédures sont élaborées à partirdes propriétés implicitement ou explicite-ment connues des opérations (commutativi-té, distributivité, associativité) et de résultatsmémorisés ; ainsi le résultat de 6 × 15 peut êtreobtenu en effectuant : — 2 × 5 × 3 ; — ou 10 × 6 + 5 × 6 ;— ou (15 + 15) × 3 ;— ou 6 × 10 = 60 et 60 : 2 = 30 et 60 + 30. — ou 6 quarts d’heures, c’est 1 h 30 min, cequi fait 90…

Les procédures dépendent aussi desconceptions de certaines notions, ainsi

2 + peut être traité :12––13

— avec une « technique » de réduction au même

dénominateur : + = + ;

— en utilisant la fraction partage : 2 c’est2 unités et dans une unité il y a 13 treizièmes

donc 2 = et + = ;

— en évoquant l’image mentale de la droi-

te graduée : c’est 1 – , donc 2 + c’est

aussi 3 – , donc + soit .

Enfin les procédures peuvent utiliser desrelations arithmétiques déjà mémorisées entreles nombres, et pour multiplier 16 par 1,25 onpeut penser à faire :— 16 + 16 : 4 ; (0,25 c’est un quart)— ou 2 × 8 × 125 : 100 ; (8 × 125 = 1000, résul-tat mémorisé)— ou 160 : 8 ; (1,25 c’est 10 : 8)— ou 3 × 2 × 1,25 + 10 × 1,25 …

Le calcul automatisé demande peu d’effort,car il s’appuie sur des résultats complète-ment mémorisés et disponibles instantané-ment. En revanche, le calcul réfléchi peut, dufait de l’enchaînement des procédures, rapi-dement conduire à une saturation de lamémoire de travail (elle ne peut contenirqu’un nombre limité d’informations). Poursoulager cette mémoire, il est utile d’automatiseraussi certaines techniques.

En permettant à des élèves de réussirun calcul par des procédures personnellesavant de s’approprier une procédure auto-matisée, le calcul réfléchi est un moyen de gérerl’hétérogénéité. Au lieu d’enseigner des recettes,le professeur peut s’appuyer sur la diversitédes procédures dans la classe pour permettreà chacun d’enrichir les siennes. Le débat

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1––13

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1––13

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26––13

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2 × 13––––1 × 13

12––13

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autour des procédures permet de travailler leraisonnement, de construire du sens à proposdes propriétés utilisées et de développer lesconnaissances arithmétiques. L’entraînementqui suit permet aux élèves de quitter uneprocédure pour en essayer une autre qu’ils jugentplus pertinente et à leur portée.

Selon le moment de l’apprentissage ou selonl’individu, le résultat d’un même calcul peutrelever d’un calcul réfléchi ou automatisé.Ces deux formes de calculs évoluent, cohabi-tent. Le calcul réfléchi se nourrit du calcul auto-matisé et sa pratique fait qu’on mémorise, parsouci d’économie, toujours plus de résultats,devenant ainsi de plus en plus performant encalcul mental.

Calcul mental et apprentissages

Dans les apprentissages mathématiques,nous donnons au calcul mental un rôle impor-tant pour la compréhension et la maîtrisedes notions enseignées. Nous organisons notretravail, autour de plusieurs axes.

1. Le calcul mental et les résultats mémorisés

A l’entrée au collège, les élèves ne dispo-sent pas tous des mêmes résultats directementmobilisables pour effectuer des calculs : cer-tains ont par exemple une bonne maîtrisedes tables de multiplication alors que d’autresont encore des difficultés à se les rappelersans erreur. Si pour les premiers, un simpleentretien de ces connaissances est nécessai-re, pour les seconds une reconstruction des résul-tats multiplicatifs est parfois à entreprendre.

Cette maîtrise des tables de multiplica-tion constitue pour nous, tout au long des

années collège, un objectif prioritaire, maisd’autres résultats présentent aussi un inté-rêt à être obtenus rapidement :

— calculer 13 × 14 en utilisant la procédure13 2 +13 montre l’avantage à connaître lescarrés ;

— la simplification de la fraction est

plus aisée si l’on connaît la table de 12, il en

est de même avec et la table de quinze ;

— des résultats comme 0,25 = = peu-

vent faciliter la multiplication par 0,25.

Le calcul sur les nombres relatifs, lesfractions, les puissances ou le calcul algé-brique et plus généralement les activités dansle domaine numérique sollicitent largementl’utilisation de résultats mémorisés.

Au collège certains résultats déjà tra-vaillés à l’école seront à reconstruire pourêtre mieux mémorisés, alors que, dans lemême temps, d’autres résultats spécifiques auprogramme de l’année en cours viendrontenrichir les connaissances des élèves.

Le travail d’entraînement et de vérifica-tion est classiquement fait en classe à traversdes exercices rituels écrits ou oraux. Mais letravail de mémorisation se limite trop souventà un entraînement laissé à la responsabilitéde l’élève avec l’aide ou non de sa famille.

Il nous semble donc important d’unepart, non seulement de vérifier et entraînerce qui doit être su, mais aussi de concevoiret conduire des activités qui permettent une« bonne » mémorisation des résultats pour tousles élèves.

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25––100

75––60

72––60


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En effet tous, ne procèdent pas de lamême façon : pour retenir 7 × 8, certains élèvespartent d’un résultat connu comme 7 × 5 = 35et rajoutent 7, puis 7, puis 7 ; d’autres retien-nent 56 sans chercher à comprendre. Les pre-miers ont compris et retenu une procédure quipermet de reconstruire le résultat et n’éprou-vent pas le besoin de le retenir : ils utilisentplutôt leur mémoire procédurale (savoir retrou-ver grâce à une procédure). Les seconds pré-fèrent apprendre par cœur (c’est se donner unechance de comprendre plus tard) : ils développentainsi leur mémoire déclarative (savoir parcœur : vocabulaire, tables…).

L’intérêt de mobiliser le résultat d’uncalcul va grandir si la fréquence d’utilisationaugmente. Plus un savoir est utilisé et plusil a de chance d’être mémorisé, car on en tireun bénéfice évident au niveau de la mémoi-re de travail. Ainsi, de nombreuses séancesde calcul sollicitent et incitent à la mémori-sation des résultats.

Pour conduire un travail de mémorisation,nous nous appuyons sur quelques idées fortes :

— on mémorise mieux : • à travers l’action ;• ce qu’on a compris ;• ce qui répond à une question qu’on

se pose ;• s’il y a un enjeu à mémoriser ;

— pour mémoriser, on peut utiliser tous sessens ;

— la verbalisation pour soi, pour les autres,aide à la mémorisation.

Pour l’essentiel, la pratique du calculréfléchi répond à ces fonctions, à condition deveiller à favoriser les échanges et à structu-rer les résultats à automatiser en les affi-

chant par exemple pendant la durée del’apprentissage.

Disposer de résultats mémorisés permetde libérer de la mémoire de travail et d’amé-liorer les performances en calcul. Mais laconduite d’un calcul nécessite également l’uti-lisation de propriétés, de procédures de réfé-rence. Certaines d’entre elles sont mises enœuvre inconsciemment et instantanément,on peut dire alors qu’elles sont automatisées.

2. Le calcul mental et les procédures automatisées

Pour calculer mentalement, l’expert mobi-lise de façon automatique ses connaissancessur la numération, sur les techniques de cal-cul telles que celles du produit par des puis-sances de 10, ou par 0,5… Il fait égalementappel aux propriétés des opérations : com-mutativité, associativité, distributivité. Ellessont efficaces d’une part, dans la constructiondes résultats à mémoriser et d’autre partdans tout calcul réfléchi.

Au collège, procédures de calcul et propriétéssont des objets d’enseignement. Le calculréfléchi est une bonne occasion de faire fonc-tionner, en acte, les propriétés des opéra-tions. Les échanges et débats argumentésqui lui font suite permettent de mettre enévidence certaines procédures, d’en assurer unepremière compréhension et de constater leurefficacité.

3. L’importance de l’oral

Les activités orales permettent à l’élèvede mettre en œuvre des procédures qu’il ne sau-rait pas forcément formaliser à l’écrit. Parexemple, lors de la recherche de problèmes dutype « un soir, le thermomètre indique 3°C. Le


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matin suivant, il indique – 6°C. De combiende degrés la température est-elle descen-due ? », de nombreux élèves utilisent l’imagementale de la droite graduée, et additionnentdes distances à zéro. Leur réponse orale est juste,même si, pour certains, leur procédure ne cor-respond pas encore à l’écriture « attendue » :3 – (– 6). L’expression de ces procédures per-sonnelles peut être un préalable à l’utilisationde l’écriture symbolique et constituer plustard une aide à sa compréhension.

Le calcul mental est une activité qui n’uti-lise pas nécessairement uniquement l’oral : ilest parfois utile d’autoriser l’écriture de résul-tats intermédiaires (par exemple lors d’uncalcul un peu complexe) ou d’écrire l’énoncé

d’un calcul (comme ). Cependant lefait de donner des consignes orales ou écritespeut modifier l’éventail des procédures élèves.Ainsi, le résultat de l’opération : 173 – 46 ade bonnes chances d’être obtenu par l’algorithmede soustraction si l’énoncé est écrit. Si l’énon-cé est donné oralement, les élèves utilisent desprocédures plus personnelles comme, parexemple : 4 + 23 +100 (somme des compléments,de 46 à 50, de 50 à 73, de 73 à 173) …

La verbalisation de ces procédures aideà la prise de conscience de la spécificité du cal-cul oral et à l’appropriation de ces techniques.

Certains calculs mathématiques comme3x plus 7x, ou 2 neuvièmes plus 5 neuvièmes,sont plus facilement réussis si on les propo-se oralement au lieu de les écrire. On réduitle nombre de réponses du genre 10 x 2 ou 7 dix-huitièmes par exemple. Après ce type d’erreursà l’écrit, la reprise de calculs oraux peutconstituer une remédiation efficace.

Dans la gestion de la classe, une place plusimportante de l’oral (présentation des énon-

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cés, verbalisation des conjectures, des procé-dures, des arguments) a l’avantage d’une partde faire gagner du temps (on peut proposerbeaucoup d’exercices en un minimum detemps, et vérifier que tous les élèves ont cher-ché) et d’autre part de permettre à certainsélèves de s’affranchir des difficultés du pas-sage à l’écrit.

4. Le calcul mental et les formules

Le travail sur le calcul littéral se construittout au long du collège. Pour beaucoup d’élèves,il est difficile de donner du sens à une formuleet de considérer les lettres comme des variables.La mémorisation des formules de calculs degrandeur est souvent peu satisfaisante et leséchecs lors de la résolution de « problèmes-réci-proques » sont fréquents.

Les formules apparaissent au collège avecles calculs de mesures de grandeurs. Parexemple, dans le cas du disque, les formulesP = 2πR = πD et A = π × R × R = πR 2 qui per-mettent de calculer le périmètre et l’aire sontà mémoriser sous une forme ou une autre. Latâche est difficile car toutes les lettres n’ontpas le même statut, certaines sont des variableset π est une constante que l’on approche pardes valeurs variées (3 ; 3,1 ; 3,14…). Le cal-cul mental réfléchi fournit alors une aide pré-cieuse : d’une part, il sollicite une attentionparticulière et favorise ainsi une bonne mémo-risation, d’autre part il autorise un grandnombre d’exercices et permet de jouer à la foissur les questions et sur les données. On peutainsi travailler :— sur les opérations inverses (double/moi-tié ; multiplication/division ; carré/racinecarré) par exemple en calculant :— le périmètre d’un disque de 16 cm derayon ;— l’aire d’un disque de 16 cm de diamètre ;


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— le rayon d’un disque dont le périmètre est16π cm ; — le diamètre d’un disque dont l’aire est16π cm 2 .— ou sur la notion de valeur approchée,comme en calculant le périmètre au dixièmeprès d’un disque de 6 cm de diamètre ou endéterminant un ordre de grandeur de l’aire d’undisque de 6 m de rayon.

Dans ces activités, le calcul mental n’estpas étudié pour lui-même, il est un outil derésolution. Dans les programmes, la résolu-tion de problèmes est essentielle, elle peut s’arti-culer avec la pratique du calcul mental.

5. Le calcul mental et les problèmes

Le calcul mental d’une expression numé-rique un peu complexe telle que 16 × 26, peuts’apparenter à la résolution d’un problèmede recherche : on peut repérer certaines rela-tions arithmétiques des nombres (16 = 4 × 4 ;26 = 25 +1 ), les propriétés en acte des opé-rations en jeu (associativité, commutativité,distributivité), faire appel à des résultatsmémorisés (4 × 25 = 100), pour imaginer uneprocédure possible ( 4 × ( 4 × 25 + 4) ), et la mettreen œuvre ( 4 × 104 = 416). Lors de tellesséances de calcul mental réfléchi l’élève al’occasion d’élaborer des procédures origi-nales, éventuellement différentes de cellesde ses camarades. Cette pratique peut l’aiderà prendre confiance en ses possibilités etcontribuer à l’entraînement de ses capacitésde raisonnement.

D’autres activités permettent de mettreles élèves en situation d’émettre des conjec-tures et de les tester. On peut par exemple,dès la sixième, demander de trouver la règlequi permet de fabriquer un nombre à partird’un autre (1 → 2 ; 2 → 8 ; 3 → 18 ;

4 → 32 ; …) ; avant de l’utiliser pour trou-ver d’autres nombres (8 → … ; 20 → … ;… → 200 ; … → 50 ; …) (voir activité n°2en fin d’article).

En ce qui concerne les problèmes concrets,la résolution mentale de petits problèmes-types suivie d’échanges argumentés peutaider à travailler sur le sens des opérationset à constituer une culture du problème. Eneffet, pour résoudre ces problèmes, l’élèveélabore une stratégie, choisit des procédures,en fonction de son vécu social et scolaire. Lesperformances des élèves dépendent alors enpartie des problèmes de référence qu’ils ontmémorisés. Or les séances de calcul mentalpermettent de créer les conditions d’une bonnemémorisation. Des échanges autour d’un exer-cice recherché mentalement comme : « Léadispose de 3 jupes et de 2 tee-shirts, combiende tenues différentes peut-elle constituer ?»peuvent, par exemple, ancrer chez un élèvede sixième une expérience référence lui per-mettant d’associer plus tard des problèmes dumême type, au domaine multiplicatif.

D’autre part, l’élève qui maîtrise bien lecalcul mental peut, face à un problème, se rame-ner à un champ numérique dans lequel les opé-rations sont plus accessibles, donnant ainsil’idée du bon traitement ou permettant de seprononcer sur la validité d’une stratégie déjàamorcée. Il a aussi la possibilité d’essayerrapidement différentes stratégies utilisantsi nécessaire des valeurs approchées. Il dis-pose ainsi d’un bon outil de recherche et decontrôle (vérification, validation). Ainsi dansle problème « 2,5 kg de viande coûtent 18 euros,quel est le prix d’un kg ? », il peut détermi-ner, en approchant 2,5 à l’unité par 2 ou par3, que la solution est comprise entre 6 et 9 euroset que la division est une procédure appropriéede résolution.


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En classe, la résolution mentale de petitsproblèmes rencontre un certain succès, pro-bablement parce que la présentation desénoncés associant la dictée du problème et l’écri-ture des données contourne les difficultés delecture et engendre plus d’attention de lapart des élèves. Des énoncés nécessairementcourts permettent aux élèves de se concentrersur les procédures de résolution. La présen-tation des problèmes est conçue pour éviterl’écueil de la modélisation : les énoncés d’unemême série de problèmes sont par exemple tousprésentés dans un même contexte si possiblefamilier à l’élève (« Ce matin Léa se préparepour aller au collège …. »).

Ce succès est aussi dû en partie au faitque la correction suit immédiatement la pro-duction des réponses. Il y a un véritable enjeuà savoir si « c’est juste » ou si « c’est faux » etpourquoi. En calcul réfléchi les mises en com-mun permettent très rapidement de vérifierson résultat, de prendre conscience de seserreurs, de découvrir la puissance et l’origi-nalité de la procédure des autres. Pour cer-tains, cette recherche d’originalité dans lasolution devient un but en soi.

Ces séances favorisent souvent la réus-site de certains élèves en difficulté parcequ’ils peuvent résoudre des problèmes ens’affranchissant d’une production écrite jus-tifiant la solution. Le recours possible à desprocédures personnelles permet à certainsd’oser et de réussir.

6. Le calcul mental et les nombres

L’ensemble de tous les résultats à ensei-gner constitue le socle d’une culture du nombreindispensable à l’activité mathématique. Lechoix des variables numériques en calculmental revêt une importance particulière :

1) pour atteindre un objectif spécifique. Parexemple dans le problème : « Je peux cou-vrir 7 m2 avec 3 pots de peinture. Combien(en m 2), dans les mêmes conditions, puis-je peindre avec 36 pots ?», le choix dunombre 36 vise à faire apparaître des pro-cédures liées à la linéarité dans une situa-tion de proportionnalité, le passage à l’unitéétant rendu difficile par le choix des nombres7 et 3 ;

2) pour poursuivre le travail de mémorisationdes relations additives ou multiplicativesqui existent entre certains nombres repères(par exemple entre 60 et ses diviseurs ouentre 0,25 ; 0,5 ; 0,75 et 1).

Afin de faciliter la mémorisation de cesnombres et relations, nous les proposons trèssouvent à la fois dans les problèmes et dansles calculs réfléchis. Le réinvestissement desrésultats que la classe a jugé intéressantsdans d’autres activités est pour nous un souciconstant.

7. Le calcul mental et les ordres de grandeurs

Dans la société d’aujourd’hui, l’utilisa-tion des machines (calculatrices, ordinateurs,caisses enregistreuses, balances électro-niques …) est généralisée. De ce fait la dimen-sion de vérification du calcul mental est pri-mordiale.

Au collège, le nécessaire travail autourdu contrôle de résultats nécessite un appren-tissage spécifique et ne peut se limiter à desexercices d’entraînement. Il n’est pas rare eneffet, de voir des élèves chercher un ordre degrandeur de 3,4 × 125, en tentant de calcu-ler mentalement le produit exact, puis enl’arrondissant.


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Cet apprentissage peut s’organiser envalorisant parmi les procédures des élèves, cellesqui permettent de déterminer le bon résultatde la façon la plus économique, dans des exer-cices tels que : « parmi les nombres suivants :2 ; 30 ; 300 ; 2000, quel est le quotient de 27 675 444 par 92.251,48 ? ».

Comment faisons-nousdu calcul mental ?

Si le professeur de collège a le sentimentde l’utilité du calcul mental, il n’arrive pas tou-jours à trouver le temps d’en faire. Souventl’expression « calcul mental » évoque desmoments placés à la fin d’une séance où il s’agitd’utiliser une méthode tirée de la leçon qui vientde précéder. L’objectif est de donner un peuplus de sens à la notion qui vient d’être abor-dée (qui n’a pas proposé le calcul du produit48 × 52 à la suite de la leçon sur les identitésremarquables ?). Mais ces exercices sontpresque exclusivement des calculs effectuéspour eux-mêmes et ne sont plus réinvestis parla suite. De plus la méthode enseignée necorrespond pas toujours à celle que l’enseignantaurait utilisée si le calcul avait dû être effec-tué dans un autre contexte.

La pratique régulière du calcul mental nousa conduits à approfondir considérablement notreréflexion à propos :

— des objectifs des séances,

— de leur fréquence, de leur durée,

— de la gestion de la classe, du matériel.

1. Les objectifs :

Les objectifs mathématiques visés peuventêtre de plusieurs ordres :— reconstruire des résultats et entretenir leur

mémorisation (en particulier les tables demultiplication)— assurer une maîtrise, une automatisa-tion et un entretien de certaines techniques(compléments à 100, distributivité, doubles,moitiés, quarts, tiers, triples, multiplicationpar 25, critères de divisibilité…) ;— acquérir des techniques nouvellesconstruites dans le cadre du programme dela classe ;— travailler la résolution de problèmesnumériques (sens et propriété des opérations,raisonnement, déduction, stratégie…) ;— développer des moyens de contrôle (ordrede grandeur).

Pour que l’élève automatise certainesprocédures en calcul mental, franchisse desétapes nouvelles, acquière une certaine dex-térité, nous pensons que l’entretien des connais-sances déjà acquises et la construction denouvelles compétences nécessitent une pro-gression structurée et une pratique quasiquotidienne.

2. Différents types de séances

A la fois pour solliciter et pour profiter del’attention de la classe, nous pratiquons le cal-cul mental plutôt en début de cours. En fonc-tion de l’objectif visé nous consacrons plusou moins de temps à une séance de calculmental. Pour cela nous distinguons :

a. Des séances d’apprentissage :

Elles sont de deux types :

— des séances où il s’agit d’introduire denouveaux résultats à mémoriser ou une nou-velle procédure de calcul mental. Dans ce cascomme dans toute autre situation d’appren-tissage, on favorisera la recherche, le débat


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donc les échanges. L’enseignant veillera à laphase de validation qui conduira à privilégierune procédure plutôt qu’une autre.

— Des séances où il s’agit de travailler surla diversité des procédures. Les échanges selimitent à la présentation des procédures, àla reconnaissance de celles qui permettentd’aboutir, au rejet des autres. Il n’est pasquestion de valoriser une procédure par rap-port à d’autres.

Dans un cas comme dans l’autre, pour favo-riser la verbalisation des procédures, cesséances nécessitent du temps : ce sont desséances longues. Comme tout apprentissage,elles nécessitent préparation et ne peuvent êtreimprovisées.

b. Des séances d’entraînement :

Les occasions sont nombreuses d’entraî-ner les élèves soit sur des connaissances anté-rieures (entretien) soit à propos d’une connais-sance récente (réinvestissement de la dernièrenotion abordée).

Ces activités exercent les élèves à la rapi-dité, la concentration, la mémorisation.L’accent, le cas échéant, peut être mis sur lesprocédures qui ont conduit à l’erreur.

L’entraînement peut porter sur une tech-nique particulière dans le but de la maîtriserpour qu’elle devienne disponible au mêmetitre que d’autres. Dans ces activités c’est legrand nombre d’essais qui compte.

En complément, la mise en œuvre deséances ludiques utilisant des jeux de socié-té ou une situation de compétition conduit àune certaine émulation. Cet enjeu, tout en ren-dant nécessaire la maîtrise de savoirs per-

formants, constitue une aide précieuse à la moti-vation.

c. Des séances d’évaluation :

Au cours desquelles le professeur évalueessentiellement la capacité à produire rapi-dement un résultat juste indépendamment dela procédure utilisée.

Les séances d’entraînement et d’évalua-tion sont des séances courtes. Le temps consa-cré à chacune d’elles est restreint car ellesdemandent concentration et sollicitent lamémoire.

3. La gestion de classe

a. Les consignes :

L’énoncé peut être écrit ou oral :

— si l’énoncé est écrit, on libère de la mémoi-re de travail chez l’élève, mais on court lerisque d’induire des techniques opératoiresécrites ;— si l’énoncé est oral, on favorise l’attention,les procédures mentales et les procédurespersonnelles, mais on court le risque de satu-rer la mémoire de travail.

Le professeur peut faire varier les consignesde travail pour :

— alléger la mémoire de travail en limitantla mémorisation des nombres ;— favoriser la concentration des élèves.

Nous veillons à ne pas trop stresser lesélèves : le travail mental est déjà suffisammentcontraignant. Nous évitons donc de rajouterdes contraintes jugées inutiles comme : « réflé-chissez » ou : « écrivez à mon signal ». Toujours


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dans le souci de libérer de la place en mémoi-re de travail nous autorisons parfois les élèvesà écrire certains résultats intermédiairessans autoriser le calcul posé.

Tout au long du collège, le programme encalcul (priorités opératoires, multiples, critèresde divisibilité, fractions, puissances, pro-portionnalité…), en algèbre (développement,factorisation…), en géométrie grandeurs etmesures (calculs sur les angles, le calculd’aire ou de volume, …) et en géométrie (lethéorème de Pythagore, le théorème de Tha-lès et leurs réciproques, …) nous fournit denombreux sujets permettant à la fois d’entraî-ner nos élèves au calcul mais aussi à résoudredes problèmes.

b. Le matériel :

L’ardoise est toujours d’actualité. Ellepermet de visualiser rapidement les résultatsproduits par la classe et de servir de supportaux échanges, nous l’utilisons surtout pour lesséances d’apprentissage.

Pour les séances d’entraînement, le tra-vail peut se faire de manière uniquementorale par exemple dans des jeux de furet oùles élèves doivent calculer à partir des résul-tats d’autres élèves. Il peut se faire égale-ment au brouillon ou sur des fiches «réponses » préparées à l’avance. Celles-ci per-mettent aux élèves de garder une trace desexercices faits et de s’entraîner à la maison.Dans ce but, nous prévoyons sur ces fiches,un espace pour noter ou pour coller aprèscoup les énoncés.

Nous utilisons aussi les TICE :

— le rétroprojecteur nous permet de faire défi-ler des énoncés écrits sur transparents ou de

présenter des figures à partir desquelles lesélèves ont des calculs à effectuer ;

— la projection d’un diaporama à défile-ment automatique permet de rythmer laséance et nous autorise à circuler dans laclasse. Elle est très utile pour les séancesd’évaluation.

c. Comment le vivent les élèves ?

Notre expérience montre à l’évidence queles élèves de la classe de sixième jusqu’à la clas-se de troisième trouvent du plaisir à pratiquerle calcul mental. Il est encourageant de consta-ter que l’intérêt suscité est vif et que les élèvesen redemandent. Ils sont séduits par l’aspectdéfi et le côté ludique, ils apprécient de ne pasécrire, le rythme des activités et le fait de savoirtrès vite si « c’est juste ou faux ».

Les exercices pratiqués sont ressentiscomme une aide à l’apprentissage. Pendantces exercices, nous avons noté chez lesélèves une grande concentration, une deman-de de silence et la participation de tous. Il n’estpas rare de constater que par le biais du cal-cul mental, un élève qui travaille peu ou pasà la maison, effectue en quelques minutesplusieurs exercices et progresse notablementdans son apprentissage, tout simplementparce qu’il s’est réellement entraîné…

Trois exemples d’activités :

1. Le plus court chemin

Contrairement à la distributivité, l’asso-ciativité de l’addition ou de la multiplicationest une propriété qui n’est pas évoquée dansles programmes de primaire ou du collège. Pour-tant elle est souvent sollicitée aussi bien dans


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les calculs de sommes que de produits. En cequi concerne les premières, le travail fait à l’écoleélémentaire est important, il est à reprendreen collège avec les nouveaux nombres en par-ticulier avec les relatifs. Pour ce qui concer-ne la multiplication le travail mené en primaireest très variable suivant les écoles, il n’est pasrare de rencontrer des élèves de sixièmen’ayant jamais été confronté à un produit detrois nombres, qui n’ont jamais eu à résoudrede problèmes mettant en jeu trois facteurs etpour qui l’existence même d’un tel produit estinconcevable. L’activité présentée vise à intro-duire cette propriété de la multiplication enclasse de sixième.

a. Description

Le schéma avec les flèches est écrit autableau. Avec par exemple 6 comme nombrede départ, on montre en effectuant le pro-duit ((6 × 5) × 3) × 2, que le nombre d’arrivéeest 180. Les élèves doivent alors calculer le plusrapidement possible, par la méthode de leurchoix, des nombres d’arrivée à partir denombres de départ fournis par le professeur.Il propose successivement les nombres : 1, puis4, puis 7, puis 12, puis 333. L’échange de pro-cédures (sans n’en privilégier aucune) se faitquestion par question. Les nombres du départet d’arrivée correspondants sont écrits et lais-sés au tableau.

b. Analyse

Il s’agit ici de faire opérer des nombres surun nombre donné

Procédures attendues :

— dans un premier temps, effectuer les cal-culs dans l’ordre ;

— puis en fonction des nombres choisis, effec-tuer les calculs dans un autre ordre (parexemple avec 7 comme nombre de départ,préférer faire 7 × 2 avant 7 × 5) ;

— faire appel à la proportionnalité : le nombreassocié à 1 est 30, celui associé à 4 est 4 foisplus grand c’est 120. Celui associé à 13, estla somme des nombres associés à 1, 5 et 7 ;

— associer 5 × 2 pour faire 10, multiplier par10 et par 3.

Si elle n’est pas apparue avant, l’asso-ciation 5 × 2 peut être mise en évidence par laquestion de la justification du 0 à la fin de l’écri-ture des nombres d’arrivée.

c. Réinvestissement et prolongement

Les procédures mises en évidence sont réin-vesties avec d’autres nombres de départ,d’autres nombres d’arrivée. Les changementsd’opérateurs permettent d’aider à la généra-lisation de la propriété d’associativité.

d. Institutionnalisation

On note sur le cahier :

• Pour effectuer plusieurs multiplica-tions on peut calculer dans n’importequel ordre.

• Il est astucieux de regrouper les fac-teurs de façon à obtenir des produitsqui donnent des multiples de 10.

�� × 5

× 3

�� × 2Nombre d’arrivée

Nombre de départ

��

��


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2. Recherche et utilisation d’une relation entre des nombres.

La recherche d’une relation liant dessuites de nombres, puis l’utilisation de cetterelation en calcul mental permet de com-mencer à construire la notion de variable etprogressivement d’introduire des formuleslittérales. Dans ce type d’activité, le calcul men-tal et la connaissance des relations entre lesnombres est utile pour faire des conjectureset les tester.

a. Description

Première phase : L’énoncé ci dessous est pro-posé aux élèves au tableau ou au rétroprojecteur.

Les élèves cherchent individuellement, puissuit une mise en commun qui vise à validerou invalider les différentes propositions sansn’en privilégier aucune.

Deuxième phase : Les questions du cadre ci-contre sont posées une à une, les élèves répon-dent individuellement sur ardoise.

b. Analyse

Première phase : Les élèves doivent rechercher,tester et formuler une procédure simple ou unesuccession de procédures simples permettant

de passer du nombre de gauche au nombre dedroite (par exemple : ajouter 5, multiplierpar 6, ajouter 2 et multiplier par 2, ajouter 1et multiplier par 3).

Règles attendues :

— multiplier le nombre par 3, puis ajouter3 au résultat ;

— ajouter 1 au nombre de départ puis lemultiplier par 3 ;

— 3 × (n + 1) ou 3n + 3 (pas en début de collège).

Selon l’objectif que le professeur se fixe,la synthèse pourra mettre en lumière l’équi-valence des règles en s’appuyant sur la dis-tributivité, ou porter davantage sur le passagede formulations en mots à l’expression algé-brique.

Deuxième phase : Les élèves sont amenés à fairefonctionner la formule dans les deux sens.

Trouver la règle qui permet de fabriquer lenombre de droite à partir de celui de gauche :

1 →→ 6

2 →→ 9

3 →→ 12

8 →→ 27

a Quel nombre obtient- on si on transforme 7 ?

b Quel nombre obtient- on si on transforme 300 ?

c On a obtenu 48, quel est le nombre transformé ?

d Quel nombre obtient- on si on transforme 0,4 ?

e On a obtenu 4,8 , quel est le nombre transformé ?

f On a obtenu 10, quel est le nombre transformé ?

g On a obtenu 603, quel est le nombre transformé ?

h Quel nombre obtient-on si on transforme 17 tiers ?


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Dans les questions posées ici, les nombressont choisis en vue de différents objectifs :

— travailler les triples d’entiers ou de nombresen écriture fractionnaire ou décimale etfaire la différence entre « triple » et « plus3 » (question a, b, d, h)

— entraîner les élèves à retrouver le nombrede départ avec des multiples de 3 (questionsc et g)

— entraîner les élèves à retrouver le nombrede départ avec des nombres décimauxqui conduisent à un résultat décimal.(question e)

— entraîner les élèves à retrouver le nombrede départ avec des nombres qui ne sont pasdes multiples de 3, ce qui est un objectif duprogramme de sixième (question f)

— trouver un quatrième nombre dans unesituation de non proportionnalité (asso-ciation des questions c et e)

c. Réinvestissement et prolongement

Comme on l’a vu cette activité peut êtrereprise de différentes façons :

— on peut inciter à conjecturer, tester, enproposant d’établir d’autres formules ;

— on peut travailler le calcul, en reprenantune formule plusieurs fois en cours d’annéeet en l’appliquant à l’occasion de la rencontreavec de « nouveaux nombres »;

— on peut, toujours à partir d’une formule pré-cédemment établie, travailler les relationsinverses en faisant retrouver le nombrede départ…

3. La configuration de Thalès

La notion de proportionnalité se construittout au long du collège ; les procédures per-

sonnelles mises en œuvre à l’école primaireévoluent vers des procédures plus expertes.Cependant en fin de collège, la résolution decertains problèmes se réduit à une applicationde techniques expertes efficaces mais pastoujours pertinentes. L’application trop sou-vent systématique du théorème conduisant àl’écriture des rapports et au calcul du produiten croix dans une configuration de Thalès enest un exemple. L’activité vise à montrer ladiversité des procédures possibles et peutêtre conduite en quatrième ou en troisième avantmême d’avoir institutionnalisé la propriété deThalès sous sa forme classique.

a. Description

Les figures de la page suivante sont pré-sentées l’une après l’autre au rétroprojecteurou au vidéo projecteur. Il s’agit de retrouverle plus rapidement possible la longueur incon-nue. L’échange de procédures (sans n’en pri-vilégier aucune) se fait question après ques-tion. Les procédures utilisées sont écrites etlaissées au tableau.

b. Analyse

Il s’agit de mettre en œuvre des solutionspersonnelles

Procédures attenduespour la première figure:

— les solutions fausses consistant à enlever1 à 6 parce qu’il faut enlever 1 pour pas-ser de 4 à 3, ou à ajouter 2 à 3 parce qu’ilfaut ajouter 2 pour passer de 4 à 6.

— les solutions justes qui s’appuient sur lefait que les dimensions du triangle agran-di sont proportionnelles aux dimensions cor-respondantes du petit triangle. Les pro-cédures peuvent être multiplicatives (pour


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passer de 4 à 3 on peut multiplier par0,75) ou additives (pour passer de 4 à 3 onpeut enlever le quart de 4). Les essais denombres sont également possibles : onpeut par exemple tester un nombre en luiajoutant son tiers pour essayer d’obtenir6 (pour passer de 3 à 4 on peut ajouter letiers de 3).

— celles qui s’appuient sur le fait quel’agrandissement conserve les angleset les relations de proportionnalité entreles côtés du triangle : pour passer de 4à 6 on peut multiplier par 1,5 ou ajou-ter la moitié de 4.

— les procédures qui consistent à raisonnermentalement sur l’égalité de fraction :

= ou =

Elles croisent les deux propriétés précédentes(l’une d’entre elles permettant d’écrire lesrapports, l’autre de les calculer), mais elleautorise de plus le recours au produit encroix (bien qu’il soit difficile à mobiliser men-talement).

c. Synthèse

Elle consiste à pointer les différentes pro-cédures et à éventuellement remarquer quel’écriture de l’égalité des rapports permet deles synthétiser. Si besoin la validation peutse faire à partir d’un dessin.

d. Réinvestissement et prolongement

Des exercices du même type sont pré-sentés dans les séances suivantes pour per-mettre aux élèves de tester les procéduresdes autres et éventuellement de se les appro-prier. Plus tard, un choix de nombres adap-té rendra le calcul difficile à effectuer men-talement, il sera alors nécessaire d’utiliser l’écrit

3–x

4–6

x–6

3–4


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et d’écrire les rapports. La classe sera prêteà institutionnaliser la propriété de Thalès. Maisle calcul mental, en retour, permettra uncontrôle en travaillant sur les ordres de gran-deur.

Conclusion

Notre réponse à la question « Calcul men-tal : nostalgie ou innovation ? », se situe ducôté des pratiques innovantes à partir d’unconcept qu’on aurait pu croire dépassé. Autemps de la calculatrice, derrière le calcul men-tal ne se cache pas seulement le calcul auto-matisé qui s’appuie sur la mémorisation,mais aussi le calcul réfléchi qui s’apparenteà une activité de recherche. Loin d’être uneperte de temps, le calcul mental est pournous, un moyen d’ancrer certains appren-tissages, de donner du sens à certaines pro-priétés des opérations et d’introduire de nou-velles notions en s’appuyant sur des procédurespersonnelles. Nous concevons le calcul men-tal comme une réelle activité mathématiqueavec ses temps de découverte, d’entraîne-ment et d’évaluation.

Placées en début d’heure, des séances decalcul mental décrochées ou non du chapitreen cours, nous permettent d’activer, d’entre-tenir, ou de finaliser l’acquisition de savoirs.

C’est, pour nous, un bon moyen de faire vivreles connaissances des chapitres antérieurs, voiredes années antérieures, mais aussi de préparerà celles des chapitres à venir.

Cette pratique quotidienne équilibre le rap-port écrit/oral dans nos classes ; libérant ainsinos élèves des blocages de l’écrit pour rentrerdans l’activité. De ce fait, ces séances susci-tent l’adhésion de tous, même de nos élèvesles plus démotivés.

Toutefois, au passage à l’écrit, cer-tains de nos élèves éprouvent des difficultésà organiser et à présenter les solutions qu’ilssavent produire mentalement, d’autrescontestent la nécessité même d’une rédac-tion écrite (si tout un calcul peut se fairementalement, où est l’utilité d’écrire desdétails ?). Ce passage de l’oral à l’écrit, quirelève en partie d’un changement decontrat, reste pour nous, un point délicatà négocier avec nos classes.

Pour autant, nous constatons chez nosélèves, les effets d’une mise en œuvre quoti-dienne et variée de la conception que nous avonsdu calcul mental : intérêt, meilleure attention,capacités de calcul accrues… Ils rejaillissentdans les autres activités et facilitent la pra-tique mathématique tout entière…


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Eléments de bibliographie

• Document d’accompagnement des programmes de l’école primaire, Lecalcul mental, Cycle des apprentissages fondamentaux, Cycle des appro-fondissements. Ce document contient lui-même une bibliographie pourl’école primaire

• Irem de Brest (1997), Le calcul mental en sixième

• Irem de Clermont-Ferrand (1994), Calcul mental automatismes

• BOULE F. (1994), Jeux de calcul, cycle des apprentissages fondamentauxet des approfondissements, Collection Pratique pédagogique, Armand Colin

• CHARNAY R., COMBIER G., DUSSUC M.-P. (2003), Cap maths CM1,le guide des activités pour l’enseignant, Hatier

• CHARNAY R., COMBIER G., DUSSUC M.-P. (2004), Cap maths CM2,le guide des activités pour l’enseignant, Hatier

• DELANOY C. (1994), Une mémoire pour apprendre Hachette Education

• LETHELLIEUX C. (1993), Le calcul mental au cycle des approfondisse-ments, Collection Pratique pédagogique, Armand Colin

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