L’augmentation de l’arête-connexité dans les graphes

L’augmentation de l’arête-connexitédans les graphes

Etudiant : Neil JAMI

Tuteur : Zoltán SZIGETI26 Mai 2010

ENSIMAG 2A

Plan

Définitions sur les graphes et hypergraphes

Présentation du sujet

Résultat trouvé

Idée de démonstration

Conclusion

Définitions (1/4)

1 2 3 4 5

4 1 3 2 5

Graphe simple G

Graphe de permutation G

Permutation p

p

1

2

3

4

51

2

3

45

1

2

3

4

5

Graphe de permutation

Définitions (2/4)

- 5 sommets: {1,2,3,4,5} :

• {1,2,4}• {2,3}• {4,5}• {3,4,5}

- 4 hyperarêtes:

1

2

3

4

5

21

3

45

Hypergraphe H

Hypergraphe

Définitions (3/4)

Hypergraphe H

1 2 3 4 5

4 1 3 2 5

Permutation p

Hypergraphe de permutation H p

Hypergraphe de permutation

Définitions (4/4)

Graphe connexe :Il existe une chaîne entre n’importe quelle paire de sommets.

Graphe k-arête-connexe : En enlevant k-1 arêtes, le graphe résultant est connexe.

Hypergraphes : mêmes définitions.

Arête-connexité

Présentation du sujet (1/3)Augmenter l’arête-connexité d’un graphe:

• par ajout d’arêtes.

Comment :

Contraintes techniques :

• nombre limité d’arêtes que l’on peut rajouter.• arêtes interdites entre certains sommets.

Contraintes de coût :

• soit les arêtes ajoutées ont un même coût:=> on minimise le nombre d’arêtes ajoutées

• soit les arêtes ont un coût différent.

Présentation du sujet (2/3)Maximiser l’arête-connexité d’un graphe de permutation:

• en choisissant une bonne permutation.

Comment :

Contrainte :

• k est fixé, et on cherche l’existence d’un graphe de permutation k-arête-connexe.

Présentation du sujet (3/3)

Cas des graphes simples:

Théorème (Goddard, Raines, Slater) :

Soit G un graphe simple de degré minimal k-1.

Il existe une permutation π telle que G soit k-arête-connexe

si et seulement si

• k est pair, ou

• G n’est pas de la forme 2 K .k

p

2 K5

Résultat trouvé (1/5)

Généralisation pour les Hypergraphes

Théorème :

Soit H un hypergraphe.

Il existe une permutation π telle que H soit k-arête-connexe

si et seulement si

Pour tout ensemble de sommets X, il existe au moins k-|X| hyperarêtessortantes de X, et

H n’est pas constitué de 2 composantes connexes de k sommets, avec k impair.

p

Idée de démonstration (1/4)

Condition nécessaire : preuve par l’absurde

Condition suffisante : recherche d’un permutation

- extension

- splitting off complet k-admissible


La condition 1 est nécessaire:exemple: k=3

X: 2 sommets, d (X) = 0H


La condition 1 est nécessaire: exemple: k=3

X: 2 sommets, d (X) = 2 < 3 H ’

Coupe trop petite



Coupe trop petite

Idée de démonstration (3/4) Ces 2 conditions sont suffisantes:

Idée de démonstration (3/4) Ces 2 conditions sont suffisantes: extension.

d’après la condition 1, cet hypergraphe est k-arête connexe.

s

Idée de démonstration (4/4) Ces 2 conditions sont suffisantes: splitting off k-admissible.

s


splitting off complet entre les 2 copies de Hs


on utilise le théorème suivant:

Théorème (Bernáth, Grappe, Szigeti) :

Soit G = (V+s,ε) un hypergraphe, où s est incident uniquement à

des arêtes, et P une coloration de ces arêtes.

Il existe un splitting off k-admissible colorié complet dans G si et seulement si

1. Chaque couleur contient au plus ½ d(s) arêtes,

2. G est k-arête-connexe,

3. d(s) ≥ 2 ω (G – s) et est pair,

4. G ne contient pas d’obstacle.k

Les hypothèses sont vérifiées d’après les conditions 1 et 2.

Conclusion

Une généralisation du théorème a été trouvée…

Aperçu du travail en recherche

Quelques difficultés dans la recherche d’informations.

Merci pour votre attention !

L’augmentation de l’arête-connexité dans les graphes

Documents

Transcript of L’augmentation de l’arête-connexité dans les graphes