LATEX...diagrammes), {siunitx} (pour coder les unités) et enﬁn {relsize} pour la gestion ﬁne de...

5.10 Matrices factorisées 69

\beginbmatrixd_1,1 & & \multicolumn3c\multirow2*%\text\Huge\raisebox-1ex0\\

& d_2,2 & \multicolumn3c\\& & \ddots & & \\

\multicolumn3c\multirow2*\text%\Huge\raisebox1ex0& \ddots & \\\multicolumn3c & & d_n,n\endbmatrix\times %%\beginbmatrix1 & l_2,1 & l_3,1 & \cdots & l_n,1\\

& 1 & \cdots & \cdots & l_n,2\\& & \ddots & & \vdots \\

\multicolumn3c\multirow2*%\text\Huge\raisebox1ex0 &\ddots &\vdots\\\multicolumn3c & & 1\endbmatrix\endequation*...

2

666664

a1,1 a1,2 ¢¢¢ a1,n

a2,1 a2,2 ¢¢¢ a2,n...

.... . .

.... . . . . . . . . . .

an,1 an,2 ¢¢¢an,n

3

777775

Æ

2

666664

l 1,1 0 ¢¢¢ 0l 2,1 l 2,2 ¢¢¢ 0

......

. . ....

. . . . . . . . . .l n,1 l n,2 ¢¢¢l n,n

3

777775

£

2

666664

u1,1 u1,2 ¢¢¢ u1,n

0 u2,2 ¢¢¢ u2,n...

.... . .

.... . . . . . . . . .

0 0 ¢¢¢un,n

3

777775

2

6666664

10l 2,1 1

l 3,1...

. . ....

.... . .

l n,1 l n,2 ¢¢¢ ¢¢¢1

3

7777775

£

2

6666664

d1,1 0d2,2. . .

0 . . .dn,n

3

7777775

£

2

6666664

1 l 2,1 l 3,1 ¢¢¢l n,1

1 ¢¢¢ ¢¢¢l n,2. . .

...

0 . . ....1

3

7777775

70 Promenade 5. Révisions (1)

À noter :. les divers pointillés \cdots \ddots et \vdots , ainsi que les lignes de

points avec \hdotsfor (cf. 4.3) ;. l'utilisation de \multicolumn , \multirow et aussi \raisebox pour

placer les « grands zéros » 0 dans les matrices.

5.11 Du côté de l'aléatoire

...\beginequation*\left( \int_0^T \sigma_s \phidiff Z_s \right)=\lim_n\mapsto +\infty\sum_n=1^N \sigma_n-1 \bigl(Z_n-Z_n-1\bigl)\endequation*...\beginequation*\lim_n\mapsto \infty \frac1n\sum_k=0^n-1 \chi_A(X_k)=\int_A \pi(X) \phidiff X = \mu_\pi (A)\endequation*...\beginequation*\mathbbP_0\left[e_1^\mathrmnorm(t)\in \phidiff x\;\middle\; sign(e_1)>0\right]=\frac2x^2\sqrt2\otherpi t^2(1-t)^2\phie^\frac-x^22t(1-t)\phidiff x\endequation*...\beginequation*\sigma=\sqrt%\lim_p\mapsto \infty \frac1(p-1) \sum_n=1^p\left[\tau_n - \langle \tau \rangle\right]^2\sim \langle \tau \rangle\endequation*

5.11 Du côté de l'aléatoire 71

µZ T

0¾sdZs

¶Æ lim

n7!Å1

NX

nÆ1¾n¡ 1

¡Zn ¡ Zn¡ 1

¢

limn7!1

1

n

n¡ 1X

kÆ0ÂA(Xk ) Æ

Z

A¼(X)dX Æ¹ ¼(A)

P0£enorm

1 (t ) 2 dx¯¯ sign(e1) È 0

¤Æ

2x2

p2¼t 2(1 ¡ t )2

e¡ x2

2t (1¡ t ) dx

¾Æ

vuut lim

p7!1

1

(p ¡ 1)

pX

nÆ1[¿n ¡h ¿i ]2 » h¿i

À noter :. l'ajustement des parenthèses dans la première ligne (cf. 3.3) ;. dans la deuxième ligne, \pi (¼italique) est une distribution;. l'alphabet \mathbb pour P0 (cf. 2.7) ;. les délimiteurs variables (y compris la barre verticale) après le P0

dans la troisième équation (cf. 3.3) ;. l'utilisation de \mathrmnorm dans enorm

1 (cf. 3.3) ;. dans la troisième ligne, \otherpi (¼droit) représente la constante;

\phie (e droit) est utilisé pour l'exponentielle (cf. 2.13) ;. l'opérateur sign n'est pas prédéni, il doit être déclaré avec la com-

mande \DeclareMathOperator\signsign de préférence dans lepréambule (cf. 2.8).

Promenade 6

Composer, agencer

6.1 Équation « trop longue »

Que faire si l'équation, trop longue, doit s'écrire sur plusieurs lignes,comme nous le voyons dans l'exemple ci-dessous, L ATEX a priori ne fait rienpour nous aider et le texte continuant sur la même ligne, déborde éventuel-lement en dehors de la page :

...\beginequation*\fracR[u]2V_1 =\int_x_1^x_2 v(x) \left[-(pu')'+ qu-\lambda r u \right] \phidiff x+ v(x_1) \left[ -p(x_1)u'(x_1)+a_1u(x_1) \right]+ v(x_2) \left[ p(x_2)u'(x_2)+a_2u(x_2) \right]\endequation*...

R[u]

2V1 Æ

Z x2

x1

v(x)£¡ (pu 0)0Å qu ¡ ¸ r u

¤dxÅv(x1)

£¡ p(x1)u0(x1) Å a1u(x1)

¤Åv(x2) [¢¢¢

Une première idée est d'utiliser à la place de equation l'environne-ment multline (ou multline* sans numérotation). Là, il suft d'in-diquer avec \\ les endroits où la formule doit être coupée :

74 Promenade 6. Composer, agencer

...\beginmultline\fracR[u]2V_1 =\int_x_1^x_2 v(x) \left[-(pu')'+ qu-\lambda r u \right] \phidiff x\\+ v(x_1) \left[ -p(x_1)u'(x_1)+a_1u(x_1) \right]\\+ v(x_2) \left[ p(x_2)u'(x_2)+a_2u(x_2) \right]\endmultline...

La mise en page se fait par défaut avec la première ligne calée à gauche,la dernière calée à droite et les autres harmonieusement distribuées entreles deux :

R[u ]

2V1 Æ

Z x2

x1

v(x)£¡ (pu 0)0Å qu ¡ ¸ r u

¤dx

Å v(x1)£¡ p(x1)u0(x1) Å a1u(x1)

¤

Å v(x2)£p(x2)u0(x2) Å a2u(x2)

¤(6.1)

Il est aussi possible de forcer la justication d'une ligne à droite ( resp. àgauche) en utilisant la commande \shoveright (resp. \shoveleft ) selonl'exemple — esthétiquement peu réussi — ci-dessous.

La ligne à justier doit être mise en argument, ici de \shoveright :

...\beginmultline\fracR[u]2V_1 =\int_x_1^x_2 v(x) \left[-(pu')'+ qu-\lambda r u \right] \phidiff x\\\shoveright%+ v(x_1) \left[ -p(x_1)u'(x_1)+a_1u(x_1) \right]\\+ v(x_2) \left[ p(x_2)u'(x_2)+a_2u(x_2) \right]\endmultline...

6.1 Équation « trop longue » 75

R[u]

2V1 Æ

Z x2

x1

v(x)£¡ (pu 0)0Å qu ¡ ¸ r u

¤dx

Å v(x1)£¡ p(x1)u0(x1) Å a1u(x1)

¤

Å v(x2)£p(x2)u0(x2) Å a2u(x2)

¤(6.2)

Pour faire mieux, il faut utiliser l'environnement split du paquetageamsmathque nous avons chargé dans le préambule avec mathtools .Ici, tout fonctionne un peu comme pour les tableaux, avec des balises &pour marquer des alignements verticaux et des \\ pour indiquer les pas-sages à la ligne. Dans la source LATEX, l'environnement split se place àl'intérieur de equation (ou equation* ) :

...\beginequation\beginsplit\fracR[u]2V_1 =& \int_x_1^x_2 v(x)

\left[ -(pu')'+qu-\lambda r u \right] \phidiff x \\& + v(x_1) \left[ -p(x_1)u'(x_1)+a_1u(x_1) \right]\\& + v(x_2) \left[ p(x_2)u'(x_2)+a_2u(x_2) \right]

\endsplit\endequation...

Avec cet exemple 1, le principe est facile à comprendre; nous vérionsaussi que l'équation ainsi coupée ne reçoit éventuellement qu'un seul nu-méro judicieusement placé.Bien noter les marques d'alignement ( &) qui sesituent, ici, respectivement après le signe = et avant les signes + ainsi queles ns de ligne ( \\ ) :

R[u ]

2V1 Æ

Z x2

x1

v(x)£¡ (pu 0)0Å qu ¡ ¸ r u

¤dx

Å v(x1)£¡ p(x1)u0(x1) Å a1u(x1)

¤

Å v(x2)£p(x2)u0(x2) Å a2u(x2)

¤(6.3)

1. La commande \phidiff est dénie au 2.15.


6.2 Plusieurs équations

6.2.1 ... mais indépendantes

Si les équations sont « indépendantes », plutôt que d'utiliser succes-sivement plusieurs environnements equation (ou equation* ) il estplus simple d'utiliser l'environnement gather (ou, comme d'habitude,gather* pour inhiber la numérotation). Les équations sont alors sépa-rées par des \\ qui indiquent traditionnellement les ns de ligne. Prenonstout de suite un exemple, nous codons (en activant la numérotation) :

...\begingather\frac\partial^2y\partial x^2=\frac1v^2\frac\partial^2y\partial t^2 \\[3ex]%\mathrmF\left( x,y,\cdots,u,\frac\partial u\partial x,\frac\partial u\partial y,\cdots,\frac\partial^2 u\partial x^2,\cdots\right)=0\endgather...

@2y

@x2 Æ1

v2

@2y

@t 2 (6.4)

Fµx, y,¢¢¢,u ,

@u

@x,@u

@y,¢¢¢,

@2u

@x2 ,¢¢¢¶

Æ0 (6.5)

Les équations sont présentées centrées dans la zone de texte. Ici pourcontroler l'espacement vertical que nous jugeons insufsant par défaut,nous ajoutons un paramètre optionnel à la commande \\ pour indiquerque nous désirons un espace de 3ex (trois « hauteur d'x » dans la police cou-rante). Pour modier une fois pour toute cet espacement, il suft d'ajusterla variable correspondante \jot en codant (de préférence dans le préam-bule) quelque chose comme \setlength\jot1cm mais là, la valeur nesera plus sensible au contexte (la taille de la police courante).

6.2 Plusieurs équations 77

6.2.2 ... à aligner mais une par ligne

Si les équations ne sont pas « indépendantes », il peut être intéressantde mieux aligner les choses verticalement. Prenons comme exemple cettesuite d'égalité que nous souhaitons éclater sur plusieurs lignes :

...\beginequation*\sum_n=-\infty^+\infty \left| c_n(f)\right|^2=\frac1T\int_-T/2^T/2\left|f(t) \right|^2\phidiff t =\frac1T\int_0^T\left|f(t)\right|^2\phidiff t =\left\|\right\|^2\endequation*...

Å1X

nÆ¡1

¯¯cn ( f )

¯¯2 Æ

1

T

Z T /2

¡ T /2

¯¯ f (t )

¯¯2 dt Æ

1

T

Z T

0

¯¯ f (t )

¯¯2 dt Æ

°° f

°° 2

Pour aligner idéalement et verticalement les signes =, il faut regarderdu côté de l'environnement align (ou bien sûr align* pour inhiberla numérotation). À l'instar de split , cela fonctionne comme pour lestableaux : balises &pour marquer des alignements verticaux et \\ pour lespassages à la ligne. Comme au paragraphe précédent, l'espacement entreles équations est réglé avec la variable \jot (cf. 6.2.1) :

...\beginalign*\sum_n=-\infty^+\infty \left| c_n(f)\right|^2&=\frac1T\int_-T/2^T/2\left|f(t)\right|^2\phidiff t\\&=\frac1T\int_0^T\left|f(t)\right|^2\phidiff t\\&=\left\|f\right\|^2\endalign*...

Bien noter comment nous avons mis les marques &avant les signes =.


Å1X

nÆ¡1

¯¯cn ( f )

¯¯2 Æ

1

T

Z T /2

¡ T /2

¯¯ f (t )

¯¯2 dt

Æ1

T

Z T

0

¯¯ f (t )

¯¯2 dt

Æ°° f

°° 2

En utilisant align , chaque ligne est bien numérotée. Pour ne pasnuméroter toutes les lignes, il suft de placer aux endroits ad hoc la com-mande \nonumber:

Å1X

nÆ¡1

¯¯cn ( f )

¯¯2 Æ

1

T

Z T /2

¡ T /2

¯¯ f (t )

¯¯2 dt (6.6)

Æ1

T

Z T

0

¯¯ f (t )

¯¯2 dt (6.7)

Æ°° f

°° 2 (6.8)

...\beginalign\sum_n=-\infty^+\infty \left|c_n(f)\right|^2&=\frac1T\int_-T/2^T/2\left|f(t)\right|^2\phidiff t \\&=\frac1T\int_0^T\left|f(t)\right|^2\phidiff t\nonumber\\&=\left\|f\right\|^2\nonumber\endalign...

Å1X

nÆ¡1

¯¯cn ( f )

¯¯2 Æ

1

T

Z T /2

¡ T /2

¯¯ f (t )

¯¯2 dt (6.9)

Æ1

T

Z T

0

¯¯ f (t )

¯¯2 dt

Æ°° f

°° 2

6.2 Plusieurs équations 79

Autre possibilité, la commande \tag permet de remplacer le numérocourant par le contenu de son argument. Cet argument sera afché entreparenthèses comme les numéros sauf si nous utilisons la variante \tag* .Ainsi, en placant à la n \tag*$\Box$ nous terminons le tout par unc.q.f.d. symbolisé par un carré blanc. Plus précisement, il s'agit du sym-bole appelé « pierre tombale » — en anglais tombstone — ou encore « hal-mos » du nom du mathématicien Paul Halmos :

...\beginalign\sum_n=-\infty^+\infty \left|c_n(f)\right|^2&=\frac1T\int_-T/2^T/2\left|f(t)\right|^2\phidiff t\\&=\frac1T\int_0^T\left|f(t)\right|^2\phidiff t\\&=\left\|f\right\|^2\tag*$\Box$\endalign...

Å1X

nÆ¡1

¯¯cn ( f )

¯¯2 Æ

1

T

Z T /2

¡ T /2

¯¯ f (t )

¯¯2 dt (6.10)

Æ1

T

Z T

0

¯¯ f (t )

¯¯2 dt (6.11)

Æ°° f

°° 2

Notons que d'autres environnements (que nous verrons plus tard avecles preuves) dénissent pour faire cela les commandes plus sophistiquées\qed (quod erat demonstratum ) ou \qedhere .

6.2.3 ... à aligner mais plusieurs par ligne

Dans ce dernier cas de gure, nous avons plusieurs équations ou for-mules par ligne et nous souhaitons les aligner correctement. L'environne-ment alignat , variante de celui que nous venons de présenter peut danscertains cas nous faciliter le travail. Là il faut donner un argument qui est


le nombre de couples de colonnes dont la première est justiée à droite etla seconde à gauche2. La version étoilée, alignat* , comme d'habitudesupprime la numérotation des équations. Voici un exemple avec trois équa-tions, donc \beginalignat3 , ce qui fait six colonnes. Attention, il fautquand même gérer l'espacement entre les colonnes; nous faisons cela, iciavec des doubles cadratins ( \qquad cf. 2.10) :

...\beginalignat3a_1 &=b_1 & c_1 &=d_1 & e_1 &=f_1\\a_x0&=b_x0&\qquad c_x0&=d_x0&\qquad e_X0&=f_x0\endalignat...

a1 Æb1 c1 Æd1 e1 Æf1 (6.12)

ax0 Æbx0 cx0 Ædx0 eX0 Æfx0 (6.13)

Citons enn une dernière possibilité flalign (et flalign* ) où"fl" ici signie “full length” . Là, les différents éléments seront disposés au-tomatiquement de façon à occuper tout l'espace horizontal de la zone textecourante :

...\beginflaligna_1 &=b_1 & c_1 &=d_1 & e_1 &=f_1 & g_1 &=h_1\\a_x0&=b_x0&c_x0&=d_x0&e_X0&=f_x0&g_X0&=h_x0\endflalign...

a1 Æb1 c1 Æd1 e1 Æf1 g1 Æh1 (6.14)

ax0 Æbx0 cx0 Ædx0 eX0 Æfx0 gX0 Æhx0 (6.15)

2. Ces colonnes seraient notées comme autant de couples rl dans l'environnementstandard array

6.3 À retenir 81

Comme aux paragraphes précédents, l'espacement vertical laissé entreles équations peut être ajusté en jouant sur la variable \jot (cf. 6.2.1).

6.2.4 Cas particulier, « au choix »

Très pratique, cette construction permet de représenter différents choixavec une accolade à gauche. Le « sous-environnement » cases , utilisede façon classique les balises &pour les alignements verticaux et \\ pourmarquer la n de chaque option (sauf la dernière) :

X ² Æ

(X si jX j · "

0 sinon

...\beginequation*X^\epsilon = \begincases

X & \textsi $|X| \leq \varepsilon$\\0 & \textsinon

\endcases\endequation*...

6.3 À retenir

Pour écrire simplement une équation sur plusieurs lignes, il est pos-sible d'utiliser l'environnement multline (ou multline* ) à la placede equation (ou equation* ). Une autre possibilité consiste à utiliserle « sous-environnement » split qui permet de mieux gérer les aligne-ments verticaux.

Au lieu de multiplier les instances d' equation (ou d' equation* )pour regrouper plusieurs équations les unes en dessous des autres nouspouvons utiliser l'environnement gather (ou gather* ).

Si en plus, nous voulons gérer nement, à l'instar de split , les ali-gnements verticaux il faut alors nous tourner vers align et alignat


(avec les variantes align* et alignat* ) ou encore flalign si nousavons plusieurs équations par ligne (variante flalign* ).

Attention! l'environnement eqnarray , obsolète, ne gère pas correc-tement les espacements horizontaux et ne doit plus être utilisé. Son fonc-tionnement est analogue à celui de align mais nécessite d'utiliser plusde balises.

Le « sous-environnement » split est bien sûr utilisable à l'intérieurde gather , align , alignat et flalign pour écrire des équationssur plusieurs lignes.

Dans tous ces environnements, l'espacement vertical entre les équa-tions est commandé par la valeur de la variable prédénie \jot .

Un environnement cases permet de regrouper simplement plusieurschoix derrière une accolade ouvrante.

Tout cela est une invitation à la promenade suivante où nous allonscontinuer à explorer d'autres sous-environnements de equation maispour écrire, cette-fois, des systèmes d'équations.

Promenade 7

Assembler, structurer

7.1 Des blocs à imbriquer

Les environnements visités au cours de la promenade précédente neconviennent pas si plusieurs équations ou formules doivent être regrou-pées à l'intérieur d'une construction plus complexe.

Un cas typique et très simple, nous écrivons un système d'équationsavec une accolade à gauche. Pour cela, nous disposons de gathered ,aligned et alignedat qui fonctionnent exactement comme les en-vironnements gather , align et alignat présentés ci-dessus maisqui sont, cette fois, des sous-environnements qui peuvent être utilisés dansdes structures de plus haut niveau.

Là, pas de versions étoilées inhibant la numérotation; cette indicationsera donnée par l'environnement englobant (typiquement equation ).

Nous devinons que tous ces sous-environnements peuvent s'emboîterles uns dans les autres offrant par là de multiples possibilités.

7.1.1 Une équation par ligne

Commençons par gathered ; à l'instar de gather présenté plushaut (cf. 6.2.1) les équations sont éditées centrées mais cette fois, dans l'es-pace réservé au système par le moteur de mise en page et non plus danstoute la largeur de la page. Seules les balises \\ sont utilisées pour séparerles équations. Si la numérotation est demandée ( equation ), nous pou-vons vérier que le système est bien compté comme une seule équation :

84 Promenade 7. Assembler, structurer

8>>>>>><

>>>>>>:

5

8x1 Å

3

2x2 Å

9

7x3 Æ ¡1

3

2x2 Å 33 Æ4

2x1 Å 3x2 Å 9x3 Æ3

(7.1)

...\beginequation\left\\begingathered % avec gathered\frac58x_1+\frac32x_2+\frac97x_3=-1\\[1ex]\frac32x_2+3_3=4\\[1ex]2x_1+3x_2+9x_3=3\endgathered\right.\endequation...

Reprenons maintenant le même système avec aligned ; comme dansalign (cf. 6.2.2) nous utilisons des balises supplémentaires &pour pré-ciser les alignements verticaux, que nous avons positionnés ici juste avantles signes= :

8>>>><

>>>>:

5

8x1 Å

3

2x2 Å

9

7x3 Æ ¡1

3

2x2 Å 33 Æ4

2x1 Å 3x2 Å 9x3 Æ3

(7.2)

...\beginequation\left[\beginaligned % avec aligned\frac58x_1+\frac32x_2+\frac97x_3&=-1\\\frac32x_2+3_3 &=4\\2x_1+3x_2+9x_3 &=3\endaligned\right.\endequation...

7.1 Des blocs à imbriquer 85

Nous savons maintenant que l'espacement vertical laissé par défautentre deux équations du système est controlé par la variable prédénie\jot (cf. 6.2.1).

7.1.2 Plusieurs équations par ligne

Voici un autre exemple utilisant maintenant alignedat , sur le mo-dèle de alignat présenté plus haut (cf. 6.2.3). L'idée de cet exemple —certes peu réaliste — est aussi de montrer simplement comment tous cesenvironnements peuvent s'imbriquer les uns dans les autres. Là, bien pré-senter les choses dans le source LATEX permet souvent d'éviter ou tout aumoins de repérer facilement les (éventuelles...) erreurs de syntaxe :

8>>>><

>>>>:

(a1 Æb1

ax0 Æbx0

(e1 Æf1 g1 Æh1

ex0 Æfx0 gx0 Æhx0(

i 1 Æj 1 k1 Æl 1

i x0 Æj x0 kx0 Æl x0

(m1 Æn1

m x0 Ænx0

(7.3)

...\beginequation*\left\

\beginaligned&\left\

\beginaligneda_1 &=b_1 \\a_x0&=b_x0\endaligned

\right.&\qquad&\left\

\beginalignedat2e_1 &=f_1 & g_1 &=h_1 \\e_x0&=f_x0 & \qquad g_x0 &=h_x0\endalignedat

\right.\\

86 Promenade 7. Assembler, structurer

&\left\\beginalignedat2i_1 &=j_1 & k_1 &=l_1 \\i_x0&=j_x0 & \qquad k_x0 &=l_x0\endalignedat

\right.&\qquad&\left\

\beginalignedm_1 &=n_1 \\m_x0&=n_x0\endaligned

\right.\endaligned

\right.\endequation*...

Encore une fois, l'espacement vertical laissé a priori entre deux équa-tions du système peut être ajusté en modiant la variable \jot (cf. 6.2.1).

7.2 À retenir

Les sous-environnements gathered , aligned et éventuellementalignedat permettent d'écrire et de structurer des systèmes d'équations.Leur fonctionnement est identique à gather (alignement vertical cen-tré) et align ou alignat (alignement vertical géré avec des balises &).

Tous ces environnements peuvent s'imbriquer les uns dans les autrespour produire des systèmes complexes.

Dans tous ces environnements, l'espacement vertical entre les équa-tions est commandé par la valeur de la variable prédénie \jot .

Promenade 8

Révisions (2)

Là, les exemples sont le plus souvent choisis dans [RDJLL] et nous avonsessayé, à chaque fois, de reproduire asssez dèlement la typographie utili-sée dans l'ouvrage original.

8.1 De nouveau Sobolev

...\beginequation*\|u\|_W^m,p =

\begincases\Biggl( \mathlarger\sum\limits_|\alpha|\le m\left\|D^\alpha u\right\|_L^p^p \Biggr)^1/p& \textsi $1 \leq p < +\infty$\\[3ex]\max\limits_|\alpha|\le m\left\|D^\alpha u\right\|_L^\infty& \textsi $p = +\infty$

\endequation*...

kukW m,p Æ

8>>><

>>>:

µ X

j®j· mkD®ukp

Lp

¶1/ p

si 1 · p Ç Å1

maxj®j· m

kD®ukL1 si p Æ Å1


À noter :. un exemple d'utilisation de cases (cf. 6.2.4) ;. les parenthèses dont la taille est réglée avec les commandes \Biggl

et \Biggr (cf. 3.3) ;. le symbole « somme » ajusté en taille avec \mathlarger (cf. 2.3) ;. l'utilisation de \limits pour écrire les bornes en dessous des opé-

rateurs ;. enn, de l'espace vertical est rajouté entre les deux éléments de la

construction cases avec \\[3ex] (trois « hauteurs d'x » dans lapolice courante) au lieu de \\ .

8.2 Un classique problème variationnel

...\beginequation*\left\%\beginaligned-\Delta u & =\mu & \quad\textdans $\Omega$\\\frac\partial u\partial n &=\nu & \textsur $\Gamma$\endaligned

\right.\endequation*...

8<

:

¡ ¢ u Æ¹ dans

@u

@nÆº sur ¡

À noter :. deux lignes derrière l'accolade avec aligned ; les balises & pour

aligner verticalement les signes = (cf. 7.1.1 et 6.2.2) ;. l'utilisation de \text et, dans son argument, le retour au mode ma-

thématique avec les balises $...$ (cf. 2.12).

8.3 Du côté de Maxwell 89

8.3 Du côté de Maxwell

...\beginequation*\left\%

\beginalignedat2\phirot\vecE &=

-\frac1c\frac\partial \vecB\partial t&\qquad \phidiv\vecB &=

0\\[1ex]\phirot\vecB &=

\frac1c\frac\partial \vecE\partial t+\frac4\otherpic\,\vecj&

\phidiv\vecE &=4\otherpi\rho_\varepsilon

\endalignedat\right.\endequation*...

8>>><

>>>:

rot ~E Æ ¡1

c

@~B

@tdiv ~B Æ0

rot ~B Æ1

c

@~E

@tÅ

4¼

c~j div ~E Æ4¼½"

À noter :. nous utilisons ici l'environnement alignedat pour bien position-

ner deux équations par ligne dans le système (cf. 7.1.2 et 6.2.3) ;. \phirot et \phidiv qui afchent respectivement les opérateurs rot

et div sont dénis au 2.15;. l'utilisation de \otherpi , ¼« droit » pour représenter la constante et

de \varepsilon , " plus esthétique (cf. 2.4) ;. là aussi nous rajoutons un peu d'espace vertical ( \\[1ex] ) pour aé-

rer la présentation.


8.4 Équation d'onde

...\beginequation*

\left\\beginaligned& \frac1C^2\frac\partial^2 \Phi

\partial t^2-\Delta \Phi=0,\quad x\in \Omega\\[1ex]

& \frac\partial\Phi\partial\nu=0\quad \textsur $\Gamma \times \bigl]0,T\bigr[$,\quad \frac\partial \Phi\partial \nu=u1\quad \textdonné sur $\Gamma_1

\times \bigl]0,T\bigr[$\\[1ex]& \Phi(x,0)=0,

\quad\frac\partial \Phi\partial t(x,0)=0,\quad x\in \Omega

\endaligned\right.\endequation*...

8>>>>>>>><

>>>>>>>>:

1

C2

@2©

@t 2 ¡ ¢© Æ0, x 2

@©

@ºÆ0 sur ¡ £

¤0,T

£,

@©

@ºÆu1 donné sur ¡ 1 £

¤0,T

£

©(x,0) Æ0,@©

@t(x,0) Æ0, x 2

À noter :. l'environnement aligned ; pour aligner à gauche il suft de com-

mencer chaque ligne par une balise &;. l'ajustement en taille des délimiteurs pour les intervalles avec les

commandes \bigl et \bigr ;. comme souvent, nous augmentons un peu l'espace vertical entre les

équations (ici avec \\[1ex] ) ;. l'utilisation de \text et, dans son argument, le retour au mode ma-

thématique avec les balises $...$ (cf. 2.12).

8.5 Semi-groupes holomorphes 91

8.5 Semi-groupes holomorphes

...\beginequation*\left\\beginaligned& \text\MakeLowercase\romannumeral 1)

\quad R(p) \quad\textest holomorphe dans\\[0.5ex]%& \quad \sum\nolimits_0,\omega\phieqdef\left\p\in\phiEC

,|\argp|<\frac\otherpi2+\omega \right\\quad\text(i.e. $\sum\nolimits_0,\omega\subset

\rho(A)$)\\[1.5ex]%& \text\MakeLowercase\romannumeral 2)

\quad \textdans tout sous-angle\quad \widetilde\sum_0,\omega-\varepsilon=

\left\p\in\phiEC,|\argp|\leq\frac\otherpi2+\omega-\varepsilon\right\,\\[0.5ex]

%& \quad \textil existe $M$ tel que:

\quad \left\|R(p)\right\|\leq M_\varepsilon/|p|,\quad p\in \widetilde\sum_0,\omega-\varepsilon

\endaligned\right.\endequation*...

8>>>>>>>>><

>>>>>>>>>:

i) R(p) est holomorphe dansX

0,!defÆ

np 2 C,j argpj Ç

¼

2Å !

o(i.e.

X0,! ½½(A))

ii) dans tout sous-angle fX0,! ¡ " Æ

np 2 C,j argpj ·

¼

2Å ! ¡ "

o,

il existe M tel que :°° R(p)

°° · M " / jp j, p 2 fX

0,! ¡ "

Dans la version originale, le saut de ligne au point ii) se situe après le« tel que » mais cela n'a pu être reproduit ici. La « bonne version » se trouvedans l'exemple donné en annexe.


À noter :. comme dans l'exemple précédent, l'environnement aligned où

les lignes sont alignées à gauche avec des balises&;. des espaces verticaux différents ( \\[0.5ex] et \\[1.5ex] ) sont uti-

lisés pour améliorer la présentation;. la numérotation interne i) et ii) est effectuée à la main en chiffres ro-

mains minuscules ( \MakeLowercase\romannumeral 1 ...). Là,l'idéal serait quand même de dénir, dans le préambule, une com-mande personnalisée pour ces chiffres romains minuscules;

. l'utilisation de \otherpi , ¼« droit » pour représenter la constante etde \varepsilon , " plus esthétique (cf. 2.4) ;

. \text et le retour au mode mathématique avec $...$ (cf. 2.12) ;

. les accents extensibles posés au dessus des opérateurs comme dansl'expression \widetilde\sum (cf. 2.11) ;

. la commande \phieqdef qui afche l'opérateur de relationdefÆest

déni au 3.5.1.

8.6 Matériaux à mémoire courte

...\beginequation*\left.\beginaligned& a_ijkh^(0)X_ijX_kh\geq \alpha X_ijX_ij\\[1ex]& \textet\\[1ex]& a_ijkh^(1)X_ijX_kh\geq \alpha X_ijX_ij\\\endaligned\right\\quad \forall X \in \phiER^9,\quad X_ij =X_ji\endequation*...

a(0)i j kh Xi j Xkh ¸ ®Xi j Xi j

et

a(1)i j kh Xi j Xkh ¸ ®Xi j Xi j

9>>>>=

>>>>;

8 X 2 R9, Xi j ÆX j i

8.7 Problème de Stokes 93

À noter :. l'environnement aligned avec alignement à gauche comme les

précédents, mais la parenthèse est maintenant à droite ;. \phiER qui afche l'ensemble R est déni au 2.7;. l'espace vertical rajouté entre les lignes (ici avec \\[1ex] ).

8.7 Problème de Stokes

...\beginequation*\left\\beginaligned%& \left.\beginaligned

& \frac\partial u\partial t-\Delta u+\nabla p = f\\[2ex]

& \frac\partial p\partial t+\nabla \cdot u = 0

\endaligned\right\

\quad\textdans $\Omega\times \bigl]0,+\infty\bigr[$\\[1ex]%& u(t=0)=u^0, p(t=0)=0 \quad\textdans $\Omega$\\& u=u_0 \quad\textsur $\Gamma\times\bigl]0,+\infty\bigr[$\endaligned\right.\endequation*...

8>>>>>>>>>><

>>>>>>>>>>:

@u

@t¡ ¢ u År p Æf

@p

@tÅr¢ u Æ0

9>>>=

>>>;

dans £¤0,Å1

£

u(t Æ0) Æu0,p(t Æ0) Æ0 dans

u Æu0 sur ¡ £¤0,Å1

£


...\beginequation*\left\\beginaligned%&\left.\beginaligned&-\Delta u + \nabla p = f\\& \nabla \cdot u = 0\endaligned\right]\quad\textdans $\Omega\subset\phiER^n$,$n=2$ ou $3$\\%& u|_\Gamma=0\endaligned\right.\endequation*...

8>><

>>:

¡ ¢ u År p Æf

r¢ u Æ0

#

dans ½Rn , n Æ2 ou 3

uj¡ Æ0

À noter :. à chaque fois, deux environnements aligned emboîtés;. l'ajustement en taille des délimiteurs pour les intervalles avec les

commandes \bigl et \bigr ;. la gestion de l'espace vertical entre les équations (ici avec \\[1ex] ) ;. l'utilisation de \text et, dans son argument, le retour au mode ma-

thématique avec les balises $...$ (cf. 2.12) ;. \phiER qui afche l'ensemble R est déni au 2.7.

Promenade 9

Du théorème à la preuve

9.1 Mise en valeur

Dans nos écrits mathématiques, un certain nombre d'« objets textuels »doivent être mis en évidence (police différente...) et éventuellement numé-rotés de façon spécique. Pour cela nous utiliserons les possibilités du pa-quetage asmthm (théorème) chargé dans le préambule (cf. 1.2).

À l'instar de [AmsTh] nous distinguerons trois catégories d'objets tex-tuels selon le degré de mise en valeur souhaité dans le corps du document :

— niveau maximum ; applicable aux théorèmes , lemmes, corollaires,axiomes, propositions, conjectures, critères, algorithmes...

— niveau intermédiaire ; pour les dénitions , propriétés, conditions,problèmes et autres exemples...

— niveau minimum ; idéal pour les remarques ou encore notes, nota-tions, objectifs, résumés, remerciements, cas, conclusions...

Mais avant de trop détailler regardons, sur l'exemple du théorème, lesmécanismes de base offerts par le paquetage. De nombreux exemples uti-lisés pour illustrer ce chapitre sont tirés de [RDJLL].

9.2 Théorème (premiers essais)

La commande \newtheorem est ici un raccourci pour dénir un nou-vel environnement. Le texte entré entre les balises de début et de n dece nouvel environnement sera alors mis en évidence par le moteur L ATEX.Ainsi pour dénir notre environnement « théorème » nous coderons, de

96 Promenade 9. Du théorème à la preuve

préférence dans le préambule, \newtheoremPhiThThéorème . Le pre-mier argument, ici PhiTh , est le nom de l'environnement que nous avonsainsi déni. Le second, ici Théorème, est le titre qui sera afché en intro-duction du texte entré entre les balises \beginPhiTh et \endPhiTh .Petite précision, ce titre sera suivi d'un numéro automatiquement incré-menté à chaque occurence de l'environnement ; pour créer un environne-ment sans numérotation, il faudra utiliser (comme d'habitude maintenant)la variante étoilée de la commande c'est à dire \newtheorem*.

Lors de l'appel de ce nouvel environnement, un paramètre optionnel(donc donné entre « crochets carrés ») permet d'apporter quelques préci-sions au titre (attribution, référence...) :

...% Préambule...% théorème, numérotation "absolue"\newtheorem PhiTh Théorème% théorème sans numérotation\newtheorem*PhiThNonumThéorème...% Corps du document...\beginPhiThDans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs descôtés de l'angle droit.\endPhiTh

\beginPhiThNonum[Zermelo]Tout ensemble peut être doté d'un bon ordre.\endPhiThNonum...

... ... ...

Théorème 1. Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypo-ténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l'angle droit.

... ... ...

9.3 Changer de style 97

... ... ...

Théorème (Zermelo) . Tout ensemble peut être doté d'un bon ordre.

... ... ...

Rappelons ici tout l'intérêt d'utiliser dans les formules mathématiquesla commande \text qui est sensible au contexte et utilisera dans ces en-vironnements une police adaptée (cf. 2.12) ; ce qui est le cas pour le mot« quand » ci-dessous, rendu en italique.

...\beginPhiThSoit $f$ une fonction intégrable sur un intervalle$I$ de $\phiER$, à valeurs réelles ou complexes. Alors:\beginequation\int_I f(t) \phie^-\phii s t \phidiff t \to 0

\quad\textquand\quad s \to \pm\infty\endequation\endPhiTh...

... ... ...

Théorème 2. Soit f une fonction intégrable sur un intervalle I de R, à va-leurs réelles ou complexes. Alors :

Z

If (t )e¡ ist dt ! 0 quand s ! §1 (9.1)

... ... ...

Notons que les formules ou équations peuvent bien sûr être numéro-tées dans les théorèmes; il suft comme ci-dessus d'utiliser l'environne-ment standard \equation « non étoilé ».

9.3 Changer de style

Par défaut, \newtheorem utilise le niveau maximal de mise en valeurdu texte au sein du document mais, comme nous l'avons annoncé dansl'introduction (cf. 9.1), trois niveaux sont prédénis : maximal (« plain »),


intermédiaire (« definition ») et minimal « remark». Le « niveau courant »est xé par la valeur « courante » d'une variable d'environnement qui peut-être modiée à l'aide de la commande \theoremstyle . Pour apprécier lerésultat, dénissons trois environnements avec des niveaux différents :

...% Préambule...% en fait style par défaut\theoremstyleplain% niveau max de mise en valeur\newtheorem PhiTh Théorème % theorème% niveau intermédiaire de mise en valeur\theoremstyledefinition\newtheorem PhiDefDéfinition% définition% niveau min mise en valeur\theoremstyleremark\newtheorem PhiRemRemarque % remarque...% Corps du document...\beginPhiTh % theorèmeLes o.d.l. sur $\phiER^n$ % ... ...\endPhiTh...\beginPhiDef % définitionUn o.d.l. sur $\phiER^n$ % ... ...\endPhiDef...\beginPhiRem % remarqueOn peut, en fait, démontrer que pour un o.d.l. % ... ...\endPhiRem...

... ... ...

Théorème 3. Les o.d.l. sur Rn à coefcients constants sont les applicationslinéaires locales, invariantes par translation, de D(Rn ) dans D 0(Rn ).

... ... ...

9.4 Gérer les numérotations 99

... ... ...

Dénition 1. Un o.d.l. sur Rn à coefcients constants est un opérateur P ÆP(D) de D 0(Rn ) où P(») est un polynôme à coefcients constants dans C [...]

... ... ...

Remarque 1. On peut, en fait, démontrer ([...]) que pour un o.d.l. à coef-cients constants P quelconque, pour tout f 2 S 0, il existe u 2 S 0 tel queP(u) Æf [...]

... ... ...

9.4 Gérer les numérotations

Par défaut, dans le cas de \newtheorem la numérotation des instancesde l'environnement que nous dénissons comme PhiTh ci-dessus est« absolue » mais souvent, il est préférable de la lier au chapitre ou à la sec-tion courante du document. Là aussi, un paramètre optionnel peut êtrefourni pour indiquer ce niveau de liaison pour lequel nous utiliserons ty-piquement [chapter] ou [section] .

Dans l'exemple ci-dessous, la numérotation des théorèmes repart de 1dans chaque nouveau chapitre, ce qui pourrait donner, cette fois le résultatsuivant (1 er théorème du chapitre 9) :

...% Préambule...% numérotation liée aux chapitres\newtheoremPhiThThéorème[chapter] % théorème...% Corps du document...\beginPhiThSoit $P$ un o.d.l. à coefficients constants % ... ...\endPhiThs...


... ... ...

Théorème 9.1. Soit P un o.d.l. à coefcients constants de pôlynome carac-téristique p. Supposons :

p(y) 6Æ0, 8 y 2 Rn

Alors pour tout f 2 S 0, il existe un et un seul u 2 S 0tel que P(u) Æf .

... ... ...

Si nous dénissons de nombreux environnements « de même niveau »de mise en valeur (par exemple théorème, lemme, corollaire,...), il peut êtreutile de n'utiliser qu'un seul compteur pour les référencer.

Pour lier les compteurs entre-eux, nous avons un autre argument op-tionnel de \newtheorem, qui cette fois se place avant le nom afché etpermet de préciser avec quel environnement existant nous partageons cecompteur. Ce que nous faisons maintenant dans l'exemple ci-dessous :

% Préambule...\newtheoremPhiThThéorème[chapter]% num./chapitres\newtheoremPhiLem [PhiTh]Lemme % compteur de PhiTh\newtheoremPhiPropo[PhiTh]Proposition % id....% Corps du document...\chapterObjets textuels\labelchap-objets...\beginPhiPropo\labellpUn o.d.l sur un ouvert connexe de $\phiER^n$%...\endPhiPropo...\beginPhiLem\labellmSoient $A$ et $B$ deux pôlynomes à coefficients réels%...\endPhiLem...\beginPhiThs\labelltTout opérateur hyperbolique d'ordre $2$ sur $\phiER^n$%...\endPhiThs...

9.4 Gérer les numérotations 101

... ... ...

Proposition 9.2. Un o.d.l sur un ouvert connexe de Rn est à coefcients cons--tants ssi il commute avec les opérateurs D j pour j Æ1,¢¢¢,n.

... ... ...

Lemme 9.3. Soient A et B deux pôlynomes à coefcients réels à r Å 1 va-riables réelles¿,¿1,¢¢¢,¿r . Pour tout ¿k 2 R posons

m(¿) ÆsupB(¿,¿1,¢¢¢,¿r );¿2 Ret A(¿,¿1,¢¢¢,¿r ) · 0.

Alors, soit m(¿) Æ Å1 pour ¿ sufsamment grand, soit il existe C 2 R et ± 2 Qtels que

m(¿) » C¿± lorsque ¿! 1

... ... ...

Théorème 9.4. Tout opérateur hyperbolique d'ordre 2 sur Rn se ramène àdes réductions près,

— soit à l'opérateur ¡@2

@x21

Å a0

— soit à l'opérateur@2

@x21

¡ ¢ (x2,¢¢¢,xsÅ1) Å a0 avec s· n ¡ 1

... ... ...

Plus loin dans le texte nous pouvons faire référence aux étiquettes quenous avons placées, le mécanisme classique des références internes fonc-tionnant bien sûr avec ces objets textuels :

...% Corps du document (suite)...Les éléments de même importance --- ici la proposition\reflp, le lemme \reflm et le théorème \reflt ---ont bien été numérotés de façon consécutive dans notrechapitre \refchap-objets....

... ... ...Les éléments de même importance – ici la proposition 9.2, le lemme

9.3 et le théorème 9.4 — ont bien été numérotés de façon consécutive dansnotre chapitre 9.... ... ...


9.5 En pratique

En pratique nous dénirons, de préférence dans le préambule, les envi-ronnements dont nous aurons besoin pour écrire notre document. Ainsi :

...% Préambule...%% En style "plain" (en fait le défaut)\theoremstyleplain%théorème, numérotation liée aux chapitres

\newtheoremPhiTh Théorème[chapter]%lemme, même compteur

\newtheoremPhiLem [PhiTh]Lemme%proposition, même compteur

\newtheoremPhiPropo[PhiTh]Proposition%axiome, même compteur

\newtheoremPhiAx [PhiTh]Axiome%corollaire, même compteur

\newtheoremPhiCor [PhiTh]Corollaire%% En style "definition" (intermediaire)\theoremstyledefinition%définition, numérotation liée aux chapitres

\newtheoremPhiDef Définition[chapter]%propriété, même compteur

\newtheoremPhiPropri[PhiDef]Propriété%exemple, numérotation liée aux chapitres

\newtheoremPhiExExemple[chapter]%% En style "remark" (min)\theoremstyleremark%remarque, sans numérotation

\newtheorem*PhiRem Remarque%note, sans numérotation

\newtheorem*PhiNoteNote%cas, numérotation liée aux chapitres

\newtheorem*PhiCas Cas[chapter]...

9.5 En pratique 103

Regrouper toutes les dénitions dans le préambule est certes une bonnepratique mais rien n'empêche, dans le corps du document de déclarer denouvelles catégories « exceptionnelles » comme ci-dessous :

...% Corps du document...\theoremstyleplain\newtheorem*PhiThBThéorème de la boule chevelue\beginPhiThBTout champ continu de vecteurs tangents à une sphèrede dimension paire s'annule en au moins un point.\endPhiThB...\theoremstyleremark\newtheorem*PhiRemfRemarque fondamentale\beginPhiRemfNous en déduisons que toute coiffure continue d'une boule chevelue comporte au moins un épi ou uncheveu nul (calvitie).\endPhiRemf...

... ... ...

Théorème de la boule chevelue. Tout champ continu de vecteurs tangentsà une sphère de dimension paire s'annule en au moins un point.

... ... ...

Remarque fondamentale. Nous en déduisons que toute coiffure continued'une boule chevelue comporte au moins un épi ou un cheveu nul (calvi-tie).

... ... ...

Dernière précision, la commande \swapnumberspeut être utilisée avantde placer les déclarations \newtheoremet placera la numérotation avant letitre choisi. Essayons en modiant comme cela notre conguration du pré-ambule :


...% Préambule...% numerotation au début\swapnumbers% En style "plain" (défaut, max)\theoremstyleplain

\newtheoremPhiThThéorème[chapter]% num/chapitres...\newtheoremPhiLem[PhiLem]Lemme% id....

...% Corps du document...\beginPhiAx[de Zorn]Tout ensemble inductif admet au moins un élément maximal\endPhiAx...

Nous vérions alors que les numéros ont bien changé de côté.... ... ...

9.5 Lemme (de Zorn) . Tout ensemble inductif admet au moins un élémentmaximal.

... ... ...

Enn, pour ceux qui auraient exploré en vain toutes les fonctionnali-tés offertes par défaut, il est possible de dénir à sa convenance la façondont le texte sera mis en valeur dans un environnement entièrement per-sonnalisé qui viendra donc compléter les trois choix déjà proposés plain ,definition et remark.

Nous renvoyons à [AmsTh] pour les différentes possibilités et optionsde la commande \newtheoremstyle dont les détails nous emmènent unpeu trop loin des préoccupations de ce document. Si toutefois vous netrouvez pas votre bonheur, il faudra aller regarder du côté du paquetagentheorem [CTAN] qui offre une gestion plus ne et encore plus person-nalisable des diverses mises en valeur possibles des objets textuels qui nousintéressent ici avec LATEX.

9.6 La preuve 105

9.6 La preuve

Une fois le théorème énoncé, il faut bien le prouver. Idéalement, toutcela se fait dans l'environnement proof , lui aussi proposé par le paque-tage amsth [AmsTh].

L'environnement admet un argument optionnel qui sera utilisé commeun titre et, à la n, un c.q.f.d. symbolisé par le symbole (cf. 6.2.2) vien-dra conclure l'issue heureuse du raisonnement. Petite démonstration :

...% Corps du document...\beginPhiPropo\labelpropa% propositionSoit $P$ une application linéaire locale %...\endPhiPropo...\beginproof[Preuve de la proposition \refpropa]% preuve$P$ est un o.d.l. à coefficients constants: %...... ... est un polynome en $\Delta$.\endproof...

... ... ...

Proposition 9.6. Soit P une application linéaire locale de D(Rn ) dans D 0(Rn )invariante par les isométries de l'espace euclidien Rn . Alors P Æ

Pak ¢ k .

... ... ...

Preuve de la proposition 9.6. P est un o.d.l. à coefcients constants : soit pson pôlynome caractéristique. Une transformation orthogonale h de Rn

commute avec la transformation de Fourier dans S . Donc pour tout u 2 S ,

á(h¤P)u Æh áP(h ¡ 1u) Æh(p( •h ¡ 1u)) Æ(hp )u

Puisque P est invariant par h,pu Æ(hp )u pour tout u 2 S et donc hp Æp. Ceci étant vrai pour toute transformation orthogonale de Rn , p est unpôlynome en ( y2

1 Å¢¢¢Åy2n ) et donc P Æp(D/ i ) est un polynome en ¢ .

... ... ...


Notons que ce symbole peut être automatiquement rajouté à la nd'une proposition quelconque en utilisant la commande \qed . Si nous nesouhaitons pas le voir gurer à la n de la dernière proposition du texte en-cadré par l'environnement preuve, il faut alors indiquer cet emplacementalternatif à l'aide de la commande \qedhere :

...% Corps du document...\beginproof[Autre preuve] $P$ étant un o.d.l. àcoefficients constants, nous savons ...... ... ...Tout cela montre bien la validité de la propositionénoncée ci-dessus. \qedhere... ... ...Du reste nous pouvions nous en douter ...\endproof...

... ... ...

Autre preuve. P étant un o.d.l. à coefcients constants, nous savons ...... ... ...Tout cela montre bien la validité de la proposition énoncée ci-dessus.... ... ...

Du reste nous pouvions nous en douter ...

... ... ...

Quod erat demonstratum .

Pour conclure 10

Où aller maintenant?

Ici s'achève notre petit tour d'horizon. Si vous avez parcouru ces pro-menades sans être passé à la pratique vous vous demandez sans doute quefaire de tout ce matériel accumulé. Néanmoins tout devrait sembler plusclair pour les lecteurs motivés qui ont utilisé nos excursions comme autantde petits travaux pratiques leur permettant de découvrir peu à peu les sub-tilités de LATEX dans le domaine des mathématiques et la beauté de résultats,nalement pas si chèrement acquis !

Ce livre peut être utilisé comme un guide de référence et cela permetde répondre, tout en travaillant, aux questions les plus pressantes Com-ment diable fait-on cela? Quel est le nom de cette commande déjà? Dansquel ordre donner les arguments? Pour faciliter les choses la version élec-tronique, en format pdf , utilise dans la table des matières, les index et lesréférences internes et bibliographiques des liens hypertextes.

Enn, le parcours de l'amateur n'est pas terminé. Il reste quelques pé-pites à consulter à partir de notre très courte biblio-webographie et biend'autres chemins à parcourir. Le but de cet ouvrage est d'aider à la décou-verte et nous espérons qu'il a été atteint. Ensuite, chacun sait où... ou au-près de qui chercher le reste.

Dernier détour

Un chier L ATEX (et son résultat)

Un chier L ATEX complet, sous forme « article » qui reprend les exemplesdu livre et, bien sûr, le résultat.

\documentclass [12pt,onecolumn,twoside,a4paper]article%\usepackage[utf8]inputenc%..encodage des caractères\usepackage[french]babel%...typographie francaise\usepackage[T1]fontenc%.....encodage des polices\usepackagexspace%..........gérer les espaces\usepackagemultirow%........pour tableaux\usepackageamssymb%.........symboles utiles (math)\usepackagemathtools%.......charge amsmath\usepackageamsthm%..........théorèmes\usepackagerelsize%.........gestion de la taille (math)\usepackagefourier%.........police du document\pagestyleplain%............mise en page\usepackage[inner=2.9cm,top=3.2cm,outer=2.5cm,bottom=3.7cm]geometry%%.............................Commandes personnalisées\newcommand\phie\ensuremath\mathrme\newcommand\phii\ensuremath\mathrmi\newcommand\phid\ensuremath\mathrmd\newcommand\phidiff\ensuremath\,\mathrmd\newcommand\phidrv[2] \frac\phid#1\phid#2\newcommand\phidrvp[2]\frac\partial#1\partial#2

110 Un chier L ATEX

\newcommand\phiEN\ensuremath\mathbbN\newcommand\phiEQ\ensuremath\mathbbQ\newcommand\phiEC\ensuremath\mathbbC\newcommand\phiER\ensuremath\mathbbR\newcommand\phiERT\ensuremath\mathbbR^3\newcommand\phieqdef\ensuremath%\mathrel\overset\text\tiny def=\DeclareMathOperator\phigradgrad\DeclareMathOperator\phidivdiv\DeclareMathOperator\phirotrot\DeclareMathOperator\signsign%%.............................Théorèmes, etc.\newtheoremPhiThThéorème%..............num absolue\newtheorem*PhiThNonumThéorème%........sans num\newtheoremPhiThsThéorème[section]%....num./sections\newtheoremPhiLem[PhiThs]Lemme%........compteur PhiThs\newtheoremPhiPropo[PhiThs]Proposition%compteur PhiThs\theoremstyledefinition %................niveau inter.\newtheorem PhiDefDéfinition%..........num absolue\theoremstyleremark%.....................niveau min\newtheorem PhiRemRemarque%...........num. absolue%\newcommand\phimathsM\hspace*-0.13em\raisebox0.35ex%\scalebox0.76A\hspace*-0.155emT\hspace*-0.16em%\raisebox-0.5exH\hspace*-0.14emS

%.............................Début du document\begindocument

%.............................Titre et résumé\title\LaTeX\ \& \phimaths (démo) \date\small6 prairial an CCXXIII (\textitvulg. 26 mai 2015)\authorPhilippe d'Anfray\thanksCe travail n'a bénéficié d'aucun soutien financier.\\\[email protected]\maketitle\beginabstractCe petit article reprend, à tire de démonstration, quelques

Un chier L ATEX (et son résultat) 111

éléments de \og \LaTeX\ \& \phimaths \fg \citeLMprésentés dans un joyeux désordre.\endabstract

\sectionRévisions 1 (extraits)%% Révisions 1

\paragraph*Suite de Fibonnaci\beginequation*\mathcalF_n=\frac1\sqrt5(\varphi^n-\varphi'^n)\quad \textavec \quad \varphi= \frac1+\sqrt52\quad \textet \quad \varphi'=\frac1-\sqrt52\endequation*

\paragraph*Du coté de Hilbert\beginequation*\|x\|=\sqrt\langle x , x \rangle\qquad \langle\operatornamefoo,\operatornamegoo\rangle=\int_a^b \! \operatornamefoo(x)\overline\operatornamegoo(x) \phidiff x\qquad \sum_n=0^\infty |u_n|^2 < +\infty\endequation*

\paragraph*Du coté de Sobolev\beginequation*W^m,p(\Omega)=\left\u \in \mathrmL^p(\Omega)\;\middle|\; \forall \alpha \;\texttel que\; |\alpha|\leq m,\;D^\alpha u \in \mathrmL^p(\Omega)\right\\endequation*\beginequation*\left\u\in C^\infty(\Omega)\;\middle|\;\|u\|_H^m,p <\infty\right\ \qquad\|u\|_H^m,p\coloneqq \left(\mathlarger\sum_|\alpha|\leq m\left\|D^\alpha u\right\|^p_\mathrmL^p\right)^\frac1p\endequation*

\paragraph*Ensemble de Cantor\beginequation*

112 Un chier L ATEX

\mathcalT \;:\; I \to I_0 \cup I_1;\; [a,b] \mapsto\left[a,a+\fracb-a3\right]\cup \left[b-\fracb-a3,b\right]\endequation*\beginequation*K_3=\left\\mathlarger\sum_n=1^\infty \fracx_n3^n\; \middle| \; \forall i \in \phiEN^*, x_i \in\bigl\0,2\bigr\ \right\\endequation*

\paragraph*Plusieurs formes d'intégrales\beginequation*\oint \! \nabla \operatornamef \phidiff t = 0 \qquad\iiint\limits_\phiERT\!\left| \psi(\mathbfr,0)\right|^2 \phidiff x \phidiff y \phidiff z = 1\endequation*\beginequation*\iiint_D f(x,y,z) \phidiff x \phidiff y \phidiff z =\iiint_Tf(\rho \cos\theta \sin\phi, \rho \sin\theta\sin\phi, \rho \cos\phi ) rho^2 \sin\phi \phidiff\rho \phidiff \theta \phidiff \phi\endequation*

\paragraph*Matrices factorisées\beginequation*\beginbmatrix1 & & \multicolumn3c\multirow2*\text\Huge\raisebox-1ex0\\l_2,1 & 1 & \multicolumn3c \\l_3,1 & \vdots & \ddots & & \\\vdots & \vdots & & \ddots & \\l_n,1 & l_n,2 & \cdots & \cdots & 1\endbmatrix \times \beginbmatrixd_1,1 & & \multicolumn3c\multirow2*\text\Huge\raisebox-1ex0\\

& d_2,2 & \multicolumn3c \\& & \ddots & & \\

\multicolumn3c\multirow2*


\text\Huge\raisebox1ex0 & \ddots & \\\multicolumn3c & & d_n,n\endbmatrix \times \beginbmatrix1 & l_2,1 & l_3,1 & \cdots & l_n,1\\

& 1 & \cdots & \cdots & l_n,2\\& & \ddots & & \vdots \\

\multicolumn3c\multirow2*\text\Huge\raisebox1ex0&\ddots&\vdots\\\multicolumn3c & & 1\endbmatrix\endequation*

\paragraph*Du coté de l'aléatoire\beginequation*\lim_n\mapsto \infty \frac1n \sum_k=0^n-1\chi_A(X_k)=\int_A \pi(X) \phidiff X=\mu_\pi (A)\endequation*\beginequation*\mathbbP_0\left[e_1^\mathrmnorm(t)\in \phidiff x\;\middle|\; \sign(e_1)>0\right]=\frac2x^2\sqrt2\otherpi t^2(1-t)^2\phie^\frac-x^22t(1-t)\phidiff x\endequation*\beginequation*\sigma=\sqrt\lim_p\mapsto \infty \frac1(p-1) \sum_n=1^p\left[\tau_n-\langle \tau \rangle\right]^2\sim \langle \tau \rangle\endequation*

\sectionRévisions 2 (extraits)%% Révisions 2

\paragraph*Du coté de Maxwell\beginequation*\left\\beginalignedat2\phirot\vecE &=-\frac1c\frac\partial \vecB\partial t&

114 Un chier L ATEX

\qquad \phidiv\vecB &=0\\[1ex]\phirot\vecB &=\frac1c\frac\partial \vecE\partial t

+\frac4\otherpic\,\vecj&\phidiv\vecE &=4\otherpi\rho_\varepsilon\endalignedat\right.\endequation*

\paragraph*\'Equation d'onde\beginequation*\left\ \beginaligned

& \frac1C^2\frac\partial^2 \Phi\partial t^2-\Delta \Phi=0,\quad x\in \Omega\\[1ex]

& \frac\partial\Phi\partial\nu=0\quad \textsur $\Gamma \times ]0,T[$,\quad \frac\partial \Phi\partial \nu=u1\quad \textdonné sur $\Gamma_1 \times ]0,T[$\\[1ex]

& \Phi(x,0)=0, \quad\frac\partial \Phi\partial t(x,0)=0,\quad x\in \Omega \endaligned\right.

\endequation*

\paragraph*Semi-groupes holomorphes\beginequation*\left\\beginaligned&\text\MakeLowercase\romannumeral 1) \quad R(p) \quad\textest holomorphe dans \\& \quad \sum\nolimits_0,\omega\phieqdef\left\p\in\phiEC, |\argp|< \frac\otherpi2+\omega \right\ \quad\text(i.e. $\sum\nolimits_0,\omega\subset \rho(A)$) \\&\text\MakeLowercase\romannumeral 2) \quad\textdans tout sous-angle\quad\widetilde\sum_0,\omega-\epsilon=\left\p\in\phiEC, |\argp|\leq \frac\otherpi2+\omega -\epsilon\right\,\quad \textil existe $M$ tel que: \\& \quad \left\| R(p) \right\| \leq M_\epsilon / |p|,


\quad p\in \widetilde\sum_0,\omega-\epsilon\endaligned\right.\endequation*

\paragraph*Problème de Stokes\beginequation*\left\\beginaligned&\left.\beginaligned&\frac\partial u\partial t-\Delta u + \nabla p=f\\[2ex]&\frac\partial p\partial t+ \nabla \cdot u = 0\endaligned\right\\quad\textdans $\Omega \times ]0,+\infty[$\\[1ex]& u(t=0)=u^0, p(t=0)=0 \quad\textdans $\Omega$\\& u=u_0 \quad\textsur $\Gamma \times ]0,+\infty[$\endaligned\right.\endequation*

%.............................Théorème & preuve\sectionDu théorème à la preuve (extraits choisis)

\paragraph*Théorème (premiers essais)\beginPhiThDans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueursdes côtés de l'angle droit.\endPhiTh

\beginPhiThNonum[Zermelo]Tout ensemble peut être doté d'un bon ordre.\endPhiThNonum

\beginPhiThSoit $f$ une fonction intégrable sur un intervalle $I$de $\phiER$, à valeurs réelles ou complexes. Alors:\beginequation\int_I f(t) \phie^-\phii s t \phidiff t \to 0 \quad\textquand\;\; s \to \pm\infty

116 Un chier L ATEX

\endequation\endPhiTh

\paragraph*Changer de style\beginPhiThLes o.d.l. sur $\phiER^n$ à coefficients constants sont lesapplications linéaires locales, invariantes par translation,de $\mathcalD(\phiER^n)$ dans $\mathcalD'(\phiER^n)$.\endPhiTh

\beginPhiDefUn o.d.l. sur $\phiER^n$ à coefficients constants est unopérateur $P=P(D)$ de $\mathcalD'(\phiER^n)$ où $P(\xi)$est un polynôme à coefficients constants dans $\phiEC$ [...]\endPhiDef

\beginPhiRemOn peut, en fait, démontrer ([...]) que pour un o.d.l.à coefficients constants $P$ quelconque, pour tout$f\in\mathcalS'$, il existe $u\in\mathcalS'$tel que $P(u)=f$ [...]\endPhiRem

\paragraph*Gérer les numérotations\beginPhiPropo\labellpUn o.d.l sur un ouvert connexe de $\phiER^n$ est àcoefficients constants ssi il commute avec lesopérateurs $D_j$ pour $j=1,\cdots,n$.\endPhiPropo

\beginPhiLem\labellmSoient $A$ et $B$ deux pôlynomes à coefficients réels à$r+1$ variables réelles $\tau, \tau_1, \cdots, \tau_r$.Pour tout $\tau_k\in\phiER$ posons: \beginequation*m(\tau)=\sup \B(\tau, \tau_1, \cdots, \tau_r); \tau \in\phiER \;\textet\; A(\tau, \tau_1, \cdots, \tau_r)\leq0\.\endequation*Alors, soit $m(\tau)=+\infty$ pour $\tau$ suffisamment


grand, soit il existe $C\in\phiER$ et $\delta\in\phiEQ$tels que \beginequation*\labelltm(\tau) \sim C_\tau^\delta \quad\textlorsque\;\;\tau\to\infty\endequation*\endPhiLem

\beginPhiThs\labelthodlTout opérateur hyperbolique d'ordre $2$ sur $\phiER^n$ seramène à des réductions près,\beginitemize\item soit à l'opérateur $\quad -\displaystyle\frac\partial^2\partial x_1^2+a_0$\\[1ex]\item soit à l'opérateur $\quad \displaystyle\frac\partial^2\partial x_1^2-\Delta_(x_2, \cdots, x_s+1)+a_0\quad\textavec\;\; s\leq n-1$\enditemize\endPhiThs

\paragraph*En pratique\theoremstyleplain\newtheorem*PhiThBThéorème de la boule chevelue\beginPhiThBTout champ continu de vecteurs tangents à une sphère dedimension paire s'annule en au moins un point.\endPhiThB

\theoremstyleremark\newtheorem*PhiRemfRemarque fondamentale\beginPhiRemfNous en déduisons que toute coiffure continue d'uneboule chevelue comporte au moins un épi ouun cheveu nul (calvitie).\endPhiRemf

\paragraph*La preuve\beginPhiPropo\labelpropal

118 Un chier L ATEX

Soit $P$ une application linéaire locale de$\mathcalD(\phiER^n)$ dans $\mathcalD'(\phiER^n)$invariante par les isométries de l'espace euclidien$\phiER^n$. Alors $P=\sum a_k\Delta^k$.\endPhiPropo

\beginproof[Preuve de la proposition \refpropal]$P$ est un o.d.l. à coefficients constants: soit $p$ sonpôlynome caractéristique. Une transformation\textbforthogonale $h$ de $\phiER^n$ commute avecla transformation de Fourier dans $\mathcalS$.Donc pour tout $u\in\mathcalS$,\beginequation*\widehat(h_*P)u=h\widehatP(h^-1u)=h(p(\widehath^-1u))=(hp)\hatu\endequation*Puisque $P$ est invariant par $h, p\hatu=(hp)\hatu$pour tout $u\in\mathcalS$ et donc $hp=p$.Ceci étant vrai pour toutetransformation orthogonale de $\phiER^n$, $p$ est unpôlynome en $(y_1^2+\cdots+y_n^2)$ et donc $P=p(D/i)$est un polynome en $\Delta$.\endproof

%.............................Bibliographie\beginthebibliography999\bibitem[L\&M]LM \bscPhilippe d'Anfray\textit\LaTeX\ \&\phimaths, Orsay \& Lozère sur Yvette, 2015.\endthebibliography

%.............................Fin du document\enddocument

LATEX & MATHS(démo)

Philippe d’Anfray ∗

[email protected]

6 prairial an CCXXIII (vulg. 26 mai 2015)

Résumé

Ce petit article reprend, à tire de démonstration, quelques éléments de « LATEX &MATHS » [L&M] présentés dans un joyeux désordre.

1 Révisions 1 (extraits)

Suite de Fibonnaci

Fn =1

p5

(ϕn −ϕ′n) avec ϕ =1 +

p5

2et ϕ′ =

1 −p

52

Du coté de Hilbert

‖x‖ =√

⟨x, x⟩ ⟨foo,goo⟩ =∫ b

afoo(x)goo(x)dx

∞∑

n=0|un |2 < +∞

Du coté de Sobolev

W m,p (Ω) =u ∈ Lp (Ω)

∣∣ ∀α tel que |α| ≤ m, Dαu ∈ Lp (Ω)

u ∈ C ∞(Ω)

∣∣ ‖u‖H m,p < ∞

‖u‖H m,p :=

( ∑

|α|≤m

∥∥Dαu∥∥p

Lp

) 1p

Ensemble de Cantor

T : I → I0 ∪ I1; [a,b] 7→[

a, a +b − a

3

]∪

[b −

b − a3

,b]

K3 =

∞∑

n=1

xn

3n

∣∣∣∣∣ ∀i ∈ N∗, xi ∈0,2

∗Ce travail n’a bénéficié d’ aucun soutien financier.

1

Plusieurs formes d’intégrales∮

∇ f dt = 0Ñ

R3

∣∣ψ(r,0)∣∣2 dx dy dz = 1

Ñ

Df (x, y, z)dx dy dz =

Ñ

Tf (ρ cosθ sinφ,ρ sinθ sinφ,ρ cosφ)r ho2 sinφdρ dθ dφ

Matrices factorisées

10l2,1 1

l3,1... . . .

...... . . .

ln,1 ln,2 · · · · · · 1

×

d1,1 0d2,2. . .

0 . . .dn,n

×

1 l2,1 l3,1 · · · ln,11 · · · · · · ln,2

. . . ...

0 . . . ...1

Du coté de l’aléatoire

limn 7→∞

1n

n−1∑

k=0χA(Xk ) =

∫

Aπ(X )dX = µπ(A)

P0[enorm

1 (t ) ∈ dx∣∣ sign(e1) > 0

]=

2x2√

2πt 2(1 − t )2e

−x22t (1−t ) dx

σ =

√√√√ limp 7→∞

1(p − 1)

p∑

n=1[τn −⟨τ⟩]2 ∼ ⟨τ⟩

2 Révisions 2 (extraits)

Du coté de Maxwell

rot~E = −1c

∂~B∂t

div ~B = 0

rot ~B =1c

∂~E∂t

+4πc

~j div~E = 4πρε

Équation d’onde

1C 2

∂2Φ∂t 2 −∆Φ = 0, x ∈ Ω

∂Φ∂ν

= 0 sur Γ×]0,T [,∂Φ∂ν

= u1 donné sur Γ1×]0,T [

Φ(x,0) = 0,∂Φ∂t

(x,0) = 0, x ∈ Ω

2

Semi-groupes holomorphes

i) R(p) est holomorphe dans∑

0,ωdef=

p ∈ C, |arg p| <

π2

+ω

(i.e.∑

0,ω ⊂ ρ(A))

ii) dans tout sous-angle∑

0,ω−ε =

p ∈ C, |arg p| ≤π2

+ω−ε

, il existe M tel que :∥∥R(p)

∥∥ ≤ Mε/|p|, p ∈∑

0,ω−ε

Problème de Stokes

∂u∂t

−∆u +∇p = f

∂p∂t

+∇· u = 0

dans Ω×]0,+∞[

u(t = 0) = u0, p(t = 0) = 0 dans Ωu = u0 sur Γ×]0,+∞[

3 Du théorème à la preuve (extraits choisis)

Théorème (premiers essais)

Théorème 1. Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’ hypoténuse est égal àla somme des carrés des longueurs des côtés de l’angle droit.

Théorème (Zermelo). Tout ensemble peut être doté d’un bon ordre.

Théorème 2. Soit f une fonction intégrable sur un intervalle I de R, à valeurs réelles oucomplexes. Alors : ∫

If (t )e−ist dt → 0 quand s → ±∞ (1)

Changer de style

Théorème 3. Les o.d.l. sur Rn à coefficients constants sont les applications linéaires locales,invariantes par translation, de D(Rn) dans D′(Rn).

Définition 1. Un o.d.l. sur Rn à coefficients constants est un opérateur P = P (D) de D′(Rn)où P (ξ) est un polynôme à coefficients constants dans C [...]

Remarque 1. On peut, en fait, démontrer ([...]) que pour un o.d.l. à coefficients constantsP quelconque, pour tout f ∈ S ′, il existe u ∈ S ′ tel que P (u) = f [...]

3

Gérer les numérotations

Proposition 3.1. Un o.d.l sur un ouvert connexe de Rn est à coefficients constants ssi il com-mute avec les opérateurs D j pour j = 1, · · · ,n.

Lemme 3.2. Soient A et B deux pôlynomes à coefficients réels à r +1 variables réelles τ,τ1, · · · ,τr .Pour tout τk ∈ R posons :

m(τ) = supB(τ,τ1, · · · ,τr );τ ∈ R et A(τ,τ1, · · · ,τr ) ≤ 0.

Alors, soit m(τ) = +∞ pour τ suffisamment grand, soit il existe C ∈ R et δ ∈ Q tels que

m(τ) ∼ Cτδ lorsque τ → ∞

Théorème 3.3. Tout opérateur hyperbolique d’ordre 2 sur Rn se ramène à des réductionsprès,

— soit à l’opérateur −∂2

∂x21

+ a0

— soit à l’opérateur∂2

∂x21

−∆(x2,··· ,xs+1) + a0 avec s ≤ n − 1

En pratique

Théorème de la boule chevelue. Tout champ continu de vecteurs tangents à une sphère dedimension paire s’annule en au moins un point.

Remarque fondamentale. Nous en déduisons que toute coiffure continue d’une boule che-velue comporte au moins un épi ou un cheveu nul (calvitie).

La preuve

Proposition 3.4. Soit P une application linéaire locale de D(Rn) dans D′(Rn) invariantepar les isométries de l’espace euclidien Rn . Alors P =

∑ak∆k .

Preuve de la proposition 3.4. P est un o.d.l. à coefficients constants : soit p son pôlynomecaractéristique. Une transformation orthogonale h de Rn commute avec la transforma-tion de Fourier dans S . Donc pour tout u ∈ S ,

á(h∗P )u = h áP (h−1u) = h(p( h−1u)) = (hp)u

Puisque P est invariant par h, pu = (hp)u pour tout u ∈ S et donc hp = p. Ceci étant vraipour toute transformation orthogonale de Rn , p est un pôlynome en (y2

1 +·· ·+ y2n) et donc

P = p(D/i ) est un polynome en ∆.

Références

[L&M] PHILIPPE D’ANFRAYLATEX & MATHS, Orsay & Lozère sur Yvette, 2015.

4

Bibliographie

[LaTeX] LATEX – A document preparation system, LATEX project site,http://www.latex-project.org

[LaTeXC] M ICHEL GOOSSENS, FRANK M ITTELBACH, JOHANNES BRAAMS,DAVID CARLISLE, CHRIS ROWLEY, The LaTeX Companion (Second Edi-tion) , Addison-Wesley Professional, 2004, ISBN 0-201-36299-6 2004.

[LyX] LyX – The Document Processor, http://www.lyx.org[CTAN] The Comprehensive TEX Archive Network , http://ctan.org[CLSL] The Comprehensive LATEX Symbol List,

http://www.ctan.org/tex-archive/info/symbols/symbols-a4.pdf

[AmsMath] User's Guide for the amsmath Package, American Mathemati-cal Society, février 2002, disponible sur http://ctan.org

[Mtools] M ORTEN H ØGHOLM , LARSM ADSEN, The mathtools package, août2014, disponible sur http://ctan.org

[AmsTh] Using the amsthm Package, American Mathematical Society, août2004, disponible sur http://ctan.org

[TeXex] TEXample.net ample resources for TEX users,http://www.texample.net

[TeXSt] TEX- LATEX- Stack Exchange, a free, community driven Q&A for usersof TEX, LATEX, ConTEXt, and related typesetting systems,http://tex.stackexchange.com

[TissDum] G ÉRARD TISSEAU, JACQUES DUMAS, TikZ pour l'impatient ,2011,http://math.et.info.free.fr/TikZ/bdd/TikZ-Impatient.pdf

[Tug] The TEX Users Group provide an organization for people who are in-terested in typography and font design, and/or are users of the TEX type-setting system., http://www.tug.org

http://www.latex-project.org

http://www.lyx.org

http://ctan.org



http://ctan.org

http://ctan.org

http://ctan.org

http://www.texample.net

http://tex.stackexchange.com

http://math.et.info.free.fr/TikZ/bdd/

TikZ-Impatient.pdf

http://www.tug.org

124 Bibliographie

[Gut] Groupe francophone des Utilisateurs de TEX, LATEX et logiciels compa-gnons, http://www.gutenberg.eu.org

[RDJLL] ROBERT DAUTRAY, JACQUES-LOUIS L IONS, Analyse mathématiqueet calcul numérique pour les sciences et les techniques, Masson, Collec-tion CEA, 1984.

http://www.gutenberg.eu.org

Caractères spéciaux,identicateurs et mots-clefs

Cet index reprend tous les caractères spéciaux, identicateurs (nomsde paquetages, d'environnements...) et mots-clefs (noms de commandes,options...) utilisés dans cet ouvrage, il en existe bien d'autres!

CARACTÈRES SPÉCIAUX

@.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46@<<<. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46@=!. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46@=. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46@>>>. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46@AAA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46@VVV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46@|. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46\\ . . . . . . . . . . . . . . . .46, 49, 73–81, 83&. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49, 73–81, 83$ $ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3$$ $$. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3\ \ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3\[ \] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3\| \| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34_. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14^ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43\, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20\: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20\; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

\ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

A\acute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21align . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77, 83align* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77alignat . . . . . . . . . . . . . . . . . 79, 85alignat* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79aligned . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83alignedat . . . . . . . . . . . . . . .83, 85Alphabet grec

\alpha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12\otheralpha . . . . . . . . . . . . . . 12\beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12\otherbeta . . . . . . . . . . . . . . . 12\chi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12\otherchi . . . . . . . . . . . . . . . . . 12\delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12\otherdelta . . . . . . . . . . . . . . 12\Delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12\otherDelta . . . . . . . . . . . . . . 12\epsilon . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12\otherepsilon . . . . . . . . . . . 12

126 Caractères spéciaux, identicateurs et mots-clefs

\varepsilon . . . . . . . . . . . . . . 12\eta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12\othereta . . . . . . . . . . . . . . . . . 12\gamma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12\othergamma. . . . . . . . . . . . . . 12\Gamma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12\otherGamma. . . . . . . . . . . . . . 12\iota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12\otheriota . . . . . . . . . . . . . . . 12\kappa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12\otherkappa . . . . . . . . . . . . . . 12\lambda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12\otherlambda . . . . . . . . . . . . . 12\Lambda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12\otherLambda . . . . . . . . . . . . . 12\mu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12\othermu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12\nu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12\othernu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12\omega. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12\otheromega . . . . . . . . . . . . . . 12\Omega. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12\otherOmega. . . . . . . . . . . . . . 12\phi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12\otherphi . . . . . . . . . . . . . . . . . 12\varphi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12\Phi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12\otherPhi . . . . . . . . . . . . . . . . . 12\pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12\otherpi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12\varpi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12\Pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12\otherPi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12\psi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12\otherpsi . . . . . . . . . . . . . . . . . 12\Psi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12\otherPsi . . . . . . . . . . . . . . . . . 12\rho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

\otherrho . . . . . . . . . . . . . . . . . 12\varrho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12\sigma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12\othersigma . . . . . . . . . . . . . . 12\varsigma . . . . . . . . . . . . . . . . . 12\Sigma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12\otherSigma . . . . . . . . . . . . . . 12\tau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12\othertau . . . . . . . . . . . . . . . . . 12\theta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12\othertheta . . . . . . . . . . . . . . 12\vartheta . . . . . . . . . . . . . . . . . 12\Theta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12\otherTheta . . . . . . . . . . . . . . 12\xi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12\otherxi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12\zeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12\otherzeta . . . . . . . . . . . . . . . 12

Alphabet hébreu\aleph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12\beth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12\daleth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12\gimel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

amscd (paquetage) . . . . . 1, 46amsmath (paquetage) . . 1, 39,

49amssymb (paquetage) . . . . . . 1amsthm (paquetage) . . . . . . . .1\approx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37\arg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36array . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49asmthm (paquetage) . . . . . . 95\ast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

B\bar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21\bbigl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34\bbigr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Caractères spéciaux, identicateurs et mots-clefs 127

\bigcap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39\bigcup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39\Biggr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34\Bigl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34\bigl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34\Bigr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34\bigr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34\binom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Bmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49bmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Bmatrix* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49bmatrix* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49\bmod. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31\boxed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Bsmallmatrix . . . . . . . . . . . . . . 52psmallmatrix . . . . . . . . . . . . . . 52Bsmallmatrix* . . . . . . . . . . . . . 52bsmallmatrix* . . . . . . . . . . . . . 52

C\cap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81CD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46\cdot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31\cdots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53\cfrac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32[chapter] (\newtheorem) . . 99\circ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37\coloneqq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Commandes personnalisées

\phiA ... \phiZ . . . . . . . 25\phiEC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15\phiEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15\phiEQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15\phiERT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15\phiER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15\phiEZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15\phie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

\phii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23\phiddots . . . . . . . . . . . . . . . . . 55\phidiff . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26\phidiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26\phidotfill . . . . . . . . . . . . . . 55\phidrvp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26\phidrv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26\phid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26\phieqdef . . . . . . . . . . . . . . . . . 38\phigrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26\phirot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

\cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16\cot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16\cup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37

D\ddot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21, 26\ddots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53\DeclareMathOperator . . . 16, 38\DeclareMathOperator* . . . . . 16definition(\theoremstyle) 97\Delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26displaymath . . . . . . . . . . . . . . . . . 3\displaystyle . . . . . . . . . . . . . . . . 39\div . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31\documentclass . . . . . . . . . . . . . . . .4\dot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21, 26

Eeasybmat (paquetage) . . . . 57easymat (paquetage) . . . . . 57\ell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10em. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20empheq (paquetage) . . . . . . . .7\emptyset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43\ensuremath . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4equation* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4\equiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31, 37


ex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63, 65, 76, 83\exists . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43

Fflalign . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79flalign* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79fleqn (documentclass) . . . . . . . . 4\forall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43fourier (paquetage) . . . . 1, 9\frac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26, 32

Ggather . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76, 83gather* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76gathered . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83\geq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37\grave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

H\hat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21\hbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23\hdotsfor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

I\idotsint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39\iiint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39\iint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39\Im . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36\in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37, 43\inf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16\infty . . . . . . . . . . . . . . . . . .19, 23, 43\injlim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19\int . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39

J\jot . . . . . . . . . . . . . 76, 77, 79, 83, 85

K\kilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28\kilogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

L\label . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4\langle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34\lceil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34\left . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34\Leftrightarrow . . . . . . . . . . . . . 43\leq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37leqno (documentclass) . . . . . . . . 4reqno (documentclass) . . . . . . . . 4\lfloor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34\lim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19\liminf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19\limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39\limsup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19\ln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16\log . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16\Longleftrightarrow . . . . . . . . 43

M\mapsto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43math . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3\mathbb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15, 45mathbbol (paquetage) . . . . 15\mathbin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38\mathcal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25\mathclap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41\mathfrak . . . . . . . . . . . . . . . . . 15, 45\mathindent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4\mathit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10\mathlarger . . . . . . . . . . . . . . .11, 41\mathllap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41\mathop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38\mathord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38\mathring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21\mathrlap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41\mathrm. .10, 22, 23, 25, 28, 36, 39\mathsmaller . . . . . . . . . . . . . 11, 41

Caractères spéciaux, identicateurs et mots-clefs 129

mathtools (paquetage) . . . 1,14, 49

matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49\max. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16mbbord (paquetage) . . . . . . 15\mbox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22\metre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28\mid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31, 45\middle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43\min . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16\multicolumn . . . . . . . . . . . . . . . . . 53\multiline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53multirow (paquetage) . . . . 53multline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73multline* . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

N\nabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26, 43\newcommand10, 12, 15, 16, 25, 26\newtheorem . . . . . . . . . . . . . 95–104\newtheorem* . . . . . . . . . . . . 95–104newtxmath (paquetage) . . . .1newtxtext (paquetage) . . . .1\nolimits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39\nRightarrow . . . . . . . . . . . . . . . . . 43ntheorem (paquetage) 1, 102

O\oint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39\operatorname . . . . .16, 23, 36, 38\operatorname* . . . . . . . . . . . . . . 16\oplus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37\otherpi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23\otimes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37\underbrace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22\overline . . . . . . . . . . . . . . . . . 22, 36\overrightarrow . . . . . . . . . . . . . 22\overset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

P\pageref . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4\parallelslant . . . . . . . . . . . . . . 37\partial . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26, 43\per . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28per-mode (\si) . . . . . . . . . . . . . . 28\perp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37\phantom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46plain (\theoremstyle) . . . . . 97\pm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37pmat (paquetage) . . . . . . . . . 57pmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49pmatrix* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49\pmod. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31\prescript . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14\prod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39\projlim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105psmallmatrix . . . . . . . . . . . . . . 52psmallmatrix* . . . . . . . . . . . . . 52

Q\qed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105\qedhere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105\qquad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20\quad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

R\rangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34\rceil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34\Re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36\ref . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4relsize (paquetage) . . .1, 41remark (\theoremstyle) . . . . 97\renewcommand. . . . . . . . . . . . . . . . 16\rfloor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34\right . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34\rmfamily . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9


S\second . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28[section] (\newtheorem) . . 99\shoveleft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73\shoveright . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73\si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28\sideset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41\sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16SIunits (paquetage) . . . . . 28siunitx (paquetage) . . .1, 28smallmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . 52split . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73\splitfrac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32\sqrt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16\subarray . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41subequation* . . . . . . . . . . . . . . . .4\subset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37\substack . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41\sum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39\sup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16\swapnumbers. . . . . . . . . . . . . . . . 102

Ttabular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49\tan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16\text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22, 95\theoremstyle . . . . . . . . . . . 97, 102tikz,pgf (paquetage) . . . . 46\tilde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21\times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31\to . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19, 43

turnstile (paquetage) . . 38

U\underset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15[upright] (fourier) . . . . . 25

V\varinjlim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19\varliminf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19\varlimsup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19\varnothing . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43\varprojlim . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19\vdots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53\vec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21\vee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37\vert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Vmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49vmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Vmatrix* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49vmatrix* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Vsmallmatrix . . . . . . . . . . . . . . 52vsmallmatrix . . . . . . . . . . . . . . 52Vsmallmatrix* . . . . . . . . . . . . . 52vsmallmatrix* . . . . . . . . . . . . . 52

W\wedge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37\widehat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22\widetilde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Xxy (paquetage) . . . . . . . . . . . . 46

Aide mémoire

Là aussi, cet « index visuel » ne reprend que les graphies et symboles uti-lisés dans l'ouvrage et nous renvoyons à [CLSL] pour les tables complètes.

I NDEX VISUEL

Graphies alternatives

\imath (i sans point) . . . . . . . . . 21| \jmath (j sans point) . . . . . . . . . 21` \ell (variante du l). . . . . . . . . . .10

Polices

N Z ... \mathbbN ... . . . . . . . . . 15A B ... \mathfrakA ... . . . . . 15C D ... \mathcalC ... . . . . . . .25

Alphabet grec

®®\alpha \otheralpha . . . . . . 12¯ ¯ \beta \otherbeta . . . . . . . . . 12° ° \gamma \othergamma. . . . . . .12¡ ¡ \Gamma \otherGamma. . . . . . 12±± \delta \otherdelta . . . . . . .12¢ ¢ \Delta \otherDelta . . . . . . 12² ² \epsilon \otherepsilon . . 12" \varepsilon . . . . . . . . . . . . . . . . . 12³ ³ \zeta \otherzeta . . . . . . . . . . 12´ ´ \eta \othereta . . . . . . . . . . . . 12µµ \theta \othertheta . . . . . . .12# \vartheta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12£ £ \Theta \otherTheta . . . . . . 12¶¶\iota \otheriota . . . . . . . . . . .12

· · \kappa \otherkappa . . . . . . .12¸ ¸ \lambda \otherlambda . . . .12¤ ¤ \Lambda \otherLambda. . . 12¹ ¹ \mu \othermu . . . . . . . . . . . . . . 12º º \nu \othernu . . . . . . . . . . . . . . 12»»\xi \otherxi . . . . . . . . . . . . . . . 12¼¼\pi \otherpi . . . . . . . . . . . . . . 12$ \varpi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12¦ ¦ \Pi \otherPi . . . . . . . . . . . . . 12½½\rho \otherrho . . . . . . . . . . . . 12%\varrho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12¾¾\sigma \othersigma . . . . . . 12&\varsigma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12§ § \Sigma \otherSigma . . . . . . 12¿¿ \tau \othertau . . . . . . . . . . . . 12ÁÁ \phi \otherphi . . . . . . . . . . . 12' \varphi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12©© \Phi \otherPhi . . . . . . . . . . . 12ÂÂ\chi \otherchi . . . . . . . . . . . . 12Ã Ã \psi \otherpsi . . . . . . . . . . . 12ª ª \Psi \otherPsi . . . . . . . . . . .12! ! \omega \otheromega. . . . . . 12 \Omega \otherOmega. . . . . 12

Alphabet hébreu

@\aleph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

132 Aide mémoire

i \beth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12j \gimel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12k \daleth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

Accents

e \acute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21e \grave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21e \tilde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21e \hat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21e \dot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21e \ddot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21~e \vec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21e \bar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21e \mathring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Accents extensibles¡¡¡!eeie\overrightarrow . . . . . . . . 22eeie\overline . . . . . . . . . . . . . . . . 22‚eeie\widetilde . . . . . . . . . . . . . . .22•eeie\widehat . . . . . . . . . . . . . . . . . 22z|eee\overbrace . . . . . . . . . . . . . . . 22eee|z \underbrace . . . . . . . . . . . . . . 22

Opérateursp

np \sqrt \sqrt[n] . . . . . . . . . 16

Å +. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31¡ - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31¤ \ast (ou * ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31£ \times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31¢\cdot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31¤ \ast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31¥ \div . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31/ / . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31j \mid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31, 44mod \bmod. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31(mod ) \pmod. . . . . . . . . . . . . . . . . . .31´ \equiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32, 37Æ=. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32

§ \pm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37_ \vee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37^ \wedge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37[ \cup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37\ \cap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37±\circ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 \otimes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37© \oplus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37· \leq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37¸ \geq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37¼\approx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37:Æ\coloneqq . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37½\subset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .372 \in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37? \perp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Ë\parallelslant . . . . . . . . . . . . .38@\partial . . . . . . . . . . . . . . . . . 26, 44r \nabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26, 44

Opérateurs (taille variable)S

\bigcup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39T

\bigcap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39P

\sum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39R\int . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Q\prod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Î\iint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Ð\iiint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39R

¢¢¢R

\idotsint . . . . . . . . . . . . . . .39H\oint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Fonctions log-like

inf \inf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16sup \sup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16lim \lim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19liminf \liminf . . . . . . . . . . . . . . . . .19lim \varliminf . . . . . . . . . . . . . . . . 19limsup \limsup . . . . . . . . . . . . . . . .19lim \varlimsup . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Aide mémoire 133

proj lim \projlim . . . . . . . . . . . . . . 19limÃ¡¡ \varprojlim . . . . . . . . . . . . . . 19inj lim \injlim . . . . . . . . . . . . . . . . .19lim¡¡! \varinjlim . . . . . . . . . . . . . . . . 19log logb \log \log_b . . . . . . . . . . .16ln \ln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16min \min . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16max \max. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16sin \sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16cos \cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16tan \tan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16cot \cot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Pointillés

¢¢¢\cdots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.. . \ddots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53... \vdots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Délimiteurs

( ) ( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 \ \ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

[ ] [ ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34j j | | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34jj jj \| \| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34h i \langle \rangle . . . . . . . 35d e\lceil \rceil . . . . . . . . . . 35b c\lfloor \rfloor . . . . . . . 35j \vert (ou | ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Symboles

1 \infty . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19, 23ß \hbar (constante de Dirac) . . 238 \forall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .439 \exists . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441 \infty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44? \varnothing . . . . . . . . . . . . . . . . 44; \emptyset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44! \to . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19, 447! \mapsto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44, \Leftrightarrow . . . . . . . . . . 44() \Longleftrightarrow . . . 44; \nRightarrow . . . . . . . . . . . . . . 44

Index général

AAccent

en mode math . . . . . . . . . . . . . 21extensible . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Accolade . . . . . . . . . voir Délimiteurhorizontale . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Alphabetgrec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12hébreu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Alphabet grecgraphies alternatives . . . . . . 12majuscules droites. . . . . . . . .12majuscules en italique. . . . .12minuscules droites . . . . . . . . 12minuscules en italique . . . . 12

« Appartient à » . . . . . . . . . . . . .37, 43Au dessus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Axiome (objet textuel) . . . . . .95, 97

BBarre

accent . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21, 22conjugué. . . . . . . . . . . . . . . . . . .36

Blancs et ns de ligne . . . . . . . . .3, 4

CCœfcient du binôme . . . . . . . . . 45Cadre (autour d'une équation). .7Cantor (ex.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

c.q.f.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . .voir q.e.d.Choix du style

en évidence . . . . . . . . . . . . . . . . 39en ligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Commandedénition . . . . . . . . . . . 10, 12, 15

Commande personnaliséebase des imaginaires . . . . . . 23dérivée et différentielle . . . . 26exponentielle . . . . . . . . . . . . . . 23majuscules. . . . . . . . . . . . . . . . .25nom de fonction . . . . . . . . . . . 16notation ensemble . . . . . . . . 15opérateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36conjugué. . . . . . . . . . . . . . . . . . .36module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36partie réelle . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Congruence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Conjecture (objet textuel) . . 95, 97Constante

de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23gravitationnelle . . . . . . . . . . . . 23pi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

Corollaire (objet textuel) . . . 95, 97Crochet. . . . . . . . . . .voir Délimiteur

136 Index général

DDécoration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

placement précis . . . . . . . . . . 41Dénition (objet textuel) . . . 95, 97

compteurs liés . . . . . . . . . . . . . 99environnement . . . . . . . . 95, 97mise en valeur . . . . . . . . . 95, 97numérotation . . . . . . . . . . . . . .99numérotation à gauche . . 102personnalisation . . . . . . . . . 102

Délimiteur. . . . . . . . . . . . . . . . . .34–36ajustement. . . . . . . . . . . . . . . . .34barre verticale . . . . . . . . . . . . . 43d'un seul côté . . . . . . . . . . . . . . 34extensible . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34taille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Dérivée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26notation . . . . . . . . . . . . . . . . 23, 26partielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26personnalisation. . . . . . . . . . .26

Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

dans une intégrale . . . . . . . . . 26notation . . . . . . . . . . . . . . . . 23, 26personnalisation. . . . . . . . . . .26

Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Document

options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

EEn dessous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

N,Z,Q,R,C. . . . . . . . . . . . . . . . . 15de Cantor (ex.) . . . . . . . . . . . . . 65vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Environnementéquation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4math en évidence . . . . . . . . 3–6

math en ligne . . . . . . . . . . . . . . . 3Équation(s)

alignées (plusieurs par ligne)79

alignées (une par ligne) . . . .77centrage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4construction choix. . . . . . . . .81décalage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4en évidence. . . . . . . . . . . . . . .3–6en ligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3encadrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7mise en page . . . . . . . . . . . . . . . . 4mise en valeur . . . . . . . . . . . . . . 7numéro à droite. . . . . . . . . . . . .4numéro à gauche . . . . . . . . . . . 4numérotation. . . . . . . . . . . . .4–6plusieurs dans un même bloc

76–81référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4sur plusieurs lignes . . . . . . . . 73système . . . . . . . . . . . . . . . . 83–86système (plusieurs par ligne)

85système (une par ligne) . . . .83

Équation(s) d'onde (ex.) . . . . . . . 90Équation(s) du 2 e degré (ex.) . . .59Équations différentielles (ex.) . .63Espace

équations dans un bloc . . . .76em(unité) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20ex (unité) . . . . . . . 63, 65, 76, 83cadratin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20en mode math . . . . . . . . . . . . . 20ne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20négative. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20verticale . . . . . 63, 65, 76, 83, 85

Exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Exposant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Index général 137

à gauche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14d'une expression . . . . . . . . . . 14long . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41plusieurs niveaux . . . . . . . . . . 41

FFactorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Fibonnaci (ex.) . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Fins de ligne et blancs . . . . . . . . 3, 4Flèche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

taille variable . . . . . . . . . . . . . . 43vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . 21, 22

Fonctionlog-like . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16choix du style . . . . . . . . . . . . . . 39dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16en évidence . . . . . . . . . . . . 16, 39en ligne. . . . . . . . . . . . . . . . .16, 39espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16exponentielle . . . . . . . . . . . . . . 23hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . 16indices et exposants . . . . . . . 16logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . 16min, max, sup, inf. . . . . . . . . .16nom. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16prédénie. . . . . . . . . . . . . . . . . .16radical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16surcharge . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16trigonométrique . . . . . . . . . . . 16

Formule . . . . . . . . . . . . voir ÉquationFraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32dénominateur sur plusieurs

lignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32en évidence . . . . . . . . . . . . . . . . 32en ligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32numérateur sur plusieurs

lignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

GGéométrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25Gradient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

HHilbert (ex.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

I« Il existe » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Imaginaire . . . . . . . . voir ComplexeIndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

à gauche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14d'une expression . . . . . . . . . . 14long . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41plusieurs niveaux . . . . . . . . . . 41

Inni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19, 23, 43Intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

curviligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39multiple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39

Intégrales (ex.) . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

LLaplacien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26Lemme (objet textuel) . . . . . .95, 97Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16, 19

en évidence . . . . . . . . . . . . . . . . 19en ligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19inductive. . . . . . . . . . . . . . . . . . .19inférieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19projective . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Limites (ex.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Logarithme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

MMajuscule

droite. . . . . . . . . . . . . . . . . . .10, 25italique (par défaut) . . . . . . . 10

Matériaux (ex.) . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

138 Index général

Matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49« gros » zéro . . . . . . . . . . . . . . . . 53alignement des colonnes . . 49délimiteurs . . . . . . . . . . . . .49, 52petite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52pointillés. . . . . . . . . . . . . . . . . . .53pointillés sur mesure . . . . . . 55

Matrices factorisées (ex.) . . . . . . 67Maxwell (ex.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89Minuscule

i sans point . . . . . . . . . . . . . . . . 21italique (par défaut) . . . . . . . 10j sans point . . . . . . . . . . . . . . . . 21variante du l . . . . . . . . . . . . . . . 10

Mise en valeur (d'une équation) 7Mode classique . . . . . . . . . . . . . . . 3, 9Mode mathématique . . . . . . . . . 3, 9

en évidence. . . . . . . . . . . . . . .3–6en ligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Modulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

NNabla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26Nombre complexe voir ComplexeNombre remarquable . . . . . . . . . . 23Numérotation

des équations . . . . . . . .4, 76, 83des théorèmes (et autres) . 95,

99

OObjet textuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

mise en valeur . . . . . . . . . 95, 97Opérateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31, 37

« plus ou moins » . . . . . . . . . . 37binaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37choix du style . . . . . . . . . . . . . . 39congruence . . . . . . . . . . . . . . . . 31dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

en évidence . . . . . . . . . . . . . . . . 39en ligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39ensembliste . . . . . . . . . . . . . . . .37espaces. . . . . . . . . . . . . . . . .31, 38géométrique . . . . . . . . . . . . . . . 37intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39logique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37modulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31plus grand . . . . . . . . . . . . . . . . . 41plus petit . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39relationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . 37somme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39taille variable . . . . . . . . . . . . . . 39unaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

PPaquetage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

diagrammes . . . . . . . . . . . . . 1, 46empheq (mise en valeur) . . . 7fourier (police) . . . . . . . . 1, 9, 25mathématique AMS. . . . . . . . . .1newtx (police) . . . . . . . . . . . . . . .1outils mathématiques . . . 1, 14symboles mathématiques . . 1taille (mode math) . . . . . . 1, 41théorème. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1unités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1, 28

Parenthèse . . . . . . .voir DélimiteurPi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23« Plus ou moins » . . . . . . . . . . . . . . 37Pointillés (vecteur et matrice)

en diagonale . . . . . . . . . . . . . . . 53horizontaux. . . . . . . . . . . . . . . .53horizontaux extensibles . . . 53personnalisés . . . . . . . . . . . . . . 55verticaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Police

Index général 139

Fourier-Gutemberg . 1, 9, 25roman. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9calligraphie . . . . . . . . . . . . . . . . 25gothique ( fraktur ) . . . . 15, 45grec (voir Grec) . . . . . . . . . . . . 12italique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3, 10plus grande (math) . . . . . . . . 11plus petite (math) . . . . . . . . . 11tableau noir . . . . . . . . . . . . 15, 45

« Pour tout » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Préambule. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1Preuve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105Probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

arrangement . . . . . . . . . . . . . . . 45combinaison. . . . . . . . . . . . . . .45conditionnelle . . . . . . . . . . . . . 45variance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45

Probabilités et aléatoire (ex.) . . 70Problème variationnel (ex.) . . . . 88Produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Proposition (objet textuel) . 95, 97Propriété (objet textuel) . . . . 95, 97

QQuod erat demonstratum . . . . voir

q.e.d.q.e.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79, 105

RRadical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Remarque (objet textuel) . . .95, 97

compteurs liés . . . . . . . . . . . . . 99environnement . . . . . . . . 95, 97mise en valeur . . . . . . . . . 95, 97numérotation . . . . . . . . . . . . . .99numérotation à gauche . . 102

personnalisation . . . . . . . . . 102Rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

SSemi-groupes (ex.) . . . . . . . . . . . . . 91Sobolev (ex.) . . . . . . . . . . . . . . . .62, 87Somme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Source LATEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1, 9Stokes (ex.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93Suites (ex.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Système d'équations . . . . . . . . . . . 83

T« Tel que » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43« Tend vers » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Texte

en mode math . . . . . . . . . 22, 95police contextuelle . . . . .22, 95

Théorème (objet textuel) . . .95, 97compteurs liés . . . . . . . . . . . . . 99environnement . . . . . . . . 95, 97mise en valeur . . . . . . . . . 95, 97numérotation . . . . . . . . . . . . . .99numérotation à gauche . . 102personnalisation . . . . . . . . . 102

UUnité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

VVariable

nom. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10Vecteur. . . . . . . . . . . . . . . . . .21, 22, 49

alignement des éléments . . 49délimiteurs . . . . . . . . . . . . .49, 52petit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52pointillés. . . . . . . . . . . . . . . . . . .53

Notes personnelles

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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