L'approximation affine

L'approximation affine est un procédé consistant à considérer que dans le voisinage immédiat d'un

point (Xo , f(Xo)) du graphe d'une fonction, le graphe et sa tangente sont pratiquement

confondus.On peut donc donner une valeur approchée de f(X) dans cette zone en substituant, pour une abscisse donnée, un point de la tangente à un

point du graphe de f(X),

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O Xo

f(Xo)

Y= aX + bY=[f '(Xo)] X + b

P

Au début, tout ce qu'on connaît, c'est un point du graphe de la fonction f(x) le point P de coordonnées (Xo , f(Xo)) et f '(Xo) la valeur de la dérivée de f en P.

Cela nous permet de tracer la tangente au graphe de f(x) en P,L'équation de cette tangenteest de la forme y = aX + bavec a = f ' (Xo),

Notre problème est de trouver une valeur approchée de f(x) dans le voisinage de P, c'est à dire une approximation de f(X) pour X = Xo + h avec h très petit, positif ou négatif.

Comment le problème se pose ...

Xo

f(Xo)

Xo + h

f(Xo)+f '(Xo).h

h

ah=f'(Xo).hP

P'

y=f '(Xo).X + b

Pour approcher la valeur de f(Xo+h), tout ce que pouvons faire c'est considérer que, h étant très petit, le graphe de f(x) et la tangente de f(x) en P sont pratiquement confondus dans le voisinage de P.Sur la tangente, l'ordonnée du point P' d'abcsisse Xo + h doit donc être très voisine de f(Xo + h). C'est la raison pour laquelle on parle d'approximation affine.Or on sait que sur une droite de coefficient directeur a, quand l'abscisse varie de h, l'ordonnée varie de ah et ici a = f ' (Xo).On en déduit que quand X varie de Xo à Xo +h , l'ordonnée sur la droite varie de f(Xo) à f(Xo) + f ' (Xo). h,

f(Xo) + f ' (Xo).h est donc l'approximation affine de f(Xo + h) .

Évaluer l'approximation affine

Xo

f(Xo)

Xo + h

f(Xo)+f '(Xo).h

P

P'

f(X)

erreurf(Xo + h)

fff

Sur ce schéma on a fait figurer le graphe de f(X) (en noir) pour qu'on puisse juger de l'erreur commise lorsqu'on procède à une approximation affine.L'erreur commise est la différence entre f (Xo) + h. f' (Xo) etf(Xo + h).Cette erreur peut être calculée précisément si on connaît f(X).Par exemple si f(X) =X2

Xo = 1 f(Xo) = 1 f ' (X) = 2X et f' (1 ) = 2.L'approximation affine en 1 +h est f (Xo) + h. f' (Xo) = 1+2h et la valeur réelle est f(Xo +h)= (1+ h)2 soit f(Xo +h) = 1 + h2 + 2h , L'erreur commise est donc h2.

Pour prendre un exemple, si h = 0,1 l'erreur commise est très petite: 0, 01.

L'erreur commise