Géométrie afﬁne - Université Savoie-Mont Blancraibaut/siteweb-L3/Geometrie-Affine.pdf4 CHAPITRE...

Chapitre 1

Géométrie affine

Dans tout le chapitre la lettre K désignera un corps commutatif. Par exemple le corps des nombres réels R, le corps desnombres complexes C ou un corps fini.

1.1 Généralités sur les espaces affines

1.1.1 Notion d’espace affine

Exemple 1.1.1.1. Considérons dans R2, la droite affine D d’équation y = 2x+1. Cette droite est l’ensemble des points

D =

(xy

)∈ R2 ; y = 2x+1

=

(01

)+R

(12

).

L’équation y = 2x+1 est une équation implicite de la droite D . L’écriture

D =

(01

)+R

(12

).

est un paramétrage de la droite D .

On constate que cette droite peut être vue comme un point(

01

)au quel on “ajoute” la droite linéaire R

(12

).

Pour tout point (x,y) ∈D , on a y−b = 2(x−a)(xy

)=

(ab

)+(x−a)

(12

)Cette droite linéaire est unique, on l’appelle direction de la droite affine D son équation implicite est y = 2x.

Exemple 1.1.1.2. Considérons dans R3 le plan affine d’équation implicite

P : x+ y+ z = 1.

Un paramétrage de P est

P =

x

yz

∈ R3;x+ y+ z = 1

=

001

+R

10−1

+R

01−1

.

Le plan affine P est la “somme” du point A =

001

avec le plan vectoriel R

10−1

+R

01−1

.

Ce plan vectoriel ne dépend pas du point, on l’appelle direction du plan affine et son équation implicite est

x+ y+ z = 0.

1

2 CHAPITRE 1. GÉOMÉTRIE AFFINE

Exemple 1.1.1.3. L’ensemble des primitives de la fonction x→ sin(x)+ x2 est

x 7→ −cos(x)+13

x3 +C |C ∈ R= x 7→ −cos(x)+13

x3+R

Cet ensemble est là encore un point de l’espace des solutions x 7→ −cos(x)+ 13 x3 au quel on “ajoute” une droite linéaire.

Les solutions de l’équation y” = sin(x)+ x2 sont

x 7→ −sin(x)+112

x4 +Cx+D | (C,D) ∈ R2= x 7→ −sin(x)+1

12x4+R2

Cet ensemble est là encore un point de l’espace des solutions x 7→ −sin(x)+ 112 x4 au quel on “ajoute” un plan.

Définition 1.1.1.4 (Espace affine). On appelle K-espace affine un triplet (X ,~E,+) formé d’un ensemble non vide X (l’ensem-ble des points), d’un K-espace vectoriel ~E (l’espace des vecteurs) et d’une application +

+ : X×~E → X(A,~u) 7→ A+~u

qui vérifie les propriétés suivantes :

1. ∀(A,~u,~v) ∈ X×~E×~E, (A+~u)+~v = A+(~u+~v)

2. ∀(A,~u) ∈ X×~E, (A+~u = A⇔~u =~0)

3. ∀(A,B) ∈ X×X , ∃~u ∈ ~E, A+~u = B.

L’espace vectoriel ~E est appelé direction de l’espace affine (X ,~E,+).

Remarque 1.1.1.5. Si B = A+~u alors A = B−~u. On déduit cela de l’axiome 1 :

B−~u = (A+~u)−~u = A+(~u−~u) = A.

Proposition 1.1.1.6. Soit (X ,~E,+) un espace affine, A et B deux points. Si B = A+~u et B = A+~v alors~u =~v.

Démonstration. En effet par ce qui précède et par les axiomes nous avons

A = B−~u = (A+~v)−~u = A+(~v−~u).

Par l’axiome 2 nous obtenons alors~v =~u.

Remarque 1.1.1.7. Les axiomes de cette définition traduisent le fait que l’application + est une action de groupe, transitiveet libre du groupe additif de l’espace vectoriel ~E sur l’ensemble X . Plus précisément, l’axiome 1 et la partie (⇐) de l’axiome2 définissent l’application + : ~E×X → X comme une action de (~E,+) sur X . L’axiome 3 impose que l’action soit transitiveet la partie (⇒) de l’axiome 2 impose que l’action soit libre. Dans le cas présent, l’axiome 2 peut être remplacé par l’axiome :

~u ∈ ~E | ∀A ∈ XA+~u = A= ~0.

Supposons qu’il existe~u et un point A, tel que A = A+~u. Montrons que pour tout B on a B = B+~u, ce qui conduira à~u =~0.En effet par transitivité il existe~v tel que B = A+~v. Donc

B+~u = (A+~v)+~u = A+(~v+~u) = A+(~u+~v) = (A+~v)+~u = A+~u = B

On notera qu’on utilise de manière cruciale la commutativité de l’addition de ~E. Cet axiome est appelé fidélité de l’action.

Mise en garde 1. Fixons (X ,~E,+) un espace affine. Les “points” de l’espace affine sont les éléments de X. Les “vecteurs” del’espace affine sont les éléments de l’espace vectoriel ~E. Les points et les vecteurs sont donc des objets de nature différented’où l’emploi pédagogique des lettres différentes X et ~E. Toutefois, il est psychologiquement plus agréable de noter ladirection de l’espace affine ~X plutôt que ~E. Ceci n’est jamais qu’une notation et si on l’emploie il faudra faire attention à nepas confondre les points de X et les vecteurs de ~X.

1.1. GÉNÉRALITÉS SUR LES ESPACES AFFINES 3

Exemple 1.1.1.8. Un espace vectoriel E induit un espace affine (E,~E = E,+) où l’opération + est la loi additive de l’espacevectoriel. Dans cet exemple les éléments de E ont donc les deux sens “points” et “vecteurs” mais dans le premier cas il n’ya pas d’origine fixée, alors que dans le deuxième, le vecteur nul~0 est privilégié par la structure.

Exemple 1.1.1.9 (Solutions d’un système linéaire avec second membre). Considérons une matrice A de taille n. Soit B unvecteur de K. On considère le système :

AX = B.

Notons que si B n’appartient pas à l’image de la matrice alors ce système n’a pas de solutions.Si B appartient à l’image de la matrice, alors ce système a des solutions et l’ensemble de ses solutions est un espace affinenoté S dirigé par le noyau de la matrice kerA

+ : S ×kerA → S(S,X) 7→ S+X

Cette application est bien définie carA(S+X) = AS+AX = B+0 = B.

On vérifie immédiatement les axiomes précédents. L’unique chose à noter étant que pour deux solutions S1 et S2 leur dif-férence appartient au noyau :

AS1 = B,AS2 = B⇒ A(S1−S2) = 0.

Proposition 1.1.1.10. Soit (X ,~E,+) un espace affine. Pour tout couple de points (A,B) de X, il existe un unique vecteur ~ude ~E, tel que B = A+~u. Classiquement on notera ce vecteur

−→AB. Les points A et B sont confondus si et seulement si

−→AB =~0.

Démonstration. Soit (A,B) un couple de points de X . Par définition d’un espace affine, l’axiome 3 certifie l’existence d’unvecteur ~u ∈ E, tel que B = A+~u. Montrons que ce vecteur est unique. Pour cela considérons ~v ∈ ~E tel que B = A+~v.Montrons que~u =~v. En effet, par l’axiome 1 nous avons,

B−~v = (A+~v)−~v = A+(~v−~v) = A

et nous avons aussiB−~v = (A+~u)−~v = A+(~u−~v),

doncA = A+~u−~v

donc par l’axiome 2 nous avons~u=~v. Supposons que les points A et B sont confondus, alors A = A+−→AB donc par l’axiome 2

(ou par ce qui précède)−→AB est nul. Réciproquement si

−→AB est nul alors par définition de ce vecteur A et B sont confondus.

Proposition 1.1.1.11 (Relation de Chasles). Soit (X ,~E,+) un espace affine. Pour tout triplet (A,B,C) de points de X on a

−→AB+

−→BC =

−→AC.

Démonstration. Soit (A,B,C) un triplet de points de X . Par définition nous avons les relations suivantes :

C = B+−→BC, B = A+

−→AB

donc par l’axiome 1 on a

C = (A+−→AB)+

−→BC = A+(

−→AB+

−→BC).

Par ailleurs on a aussi C = A+−→AC, donc par la proposition précédente ou par l’axiome 2 on obtient l’identité de Chasles.


1.1.2 Vectorialisation

Mise en garde 2. Soit (X ,~E,+) un espace affine. On a précédement mis en garde sur la confusion entre “points” et“vecteurs” qui ne sont pas de même nature. Néanmoins, si l’on fixe un point A de X, alors on peut se repérer par rapport aupoint A que l’on considère comme origine. Ce procédé s’appelle vectorialisation.

Proposition 1.1.2.1. Soit (X ,~E,+) un espace affine. Soit A un point de X. L’application

ϕA : X → ~EB 7→ −→

AB

est une bijection de l’ensemble des points X sur l’ensemble des vecteurs ~E.

Démonstration. Remarquons tout d’abord que pour tout vecteur ~u de ~E nous avons ϕA(A+~u) =~u. Pour montrer que l’ap-plication ϕA est une bijection, nous construisons une application inverse ψA : ~E→ X et nous montrons que ϕA ψA = IdX etψA ϕA = Id~E . Il suffit de considérer l’application ψA(~u) = A+~u. En effet soit~u ∈ ~E, on a

ϕA(ψA(~u)) = ϕA(A+~u) =~u.

Réciproquement soit B un point de X on a

ψA(ϕA(B)) = ψA(−→AB) = A+

−→AB = B.

Proposition 1.1.2.2 (Vectorialisation). Soit (X ,~E,+) un espace affine. Soit A un point de X. L’ensemble des points X a unestructure de K-espace vectoriel :

1. La loi interne que nous noterons +A est définie par

+A : X×X → X(B,C) 7→ B+A C := A+(

−→AB+

−→AC)

2. La loi externe que nous noterons .A est définie par

.A : K×X → X(λ,B) 7→ λ.AB := A+λ

−→AB

Cet espace vectoriel est appelé vectorialisé de X au point A, on le note XA.

Démonstration. Soit A ∈ X . On considère l’application,

Φ : X → ~EB 7→ −→

AB

Cette application est une bijection et permet de transporter la structure, en particulier

B+A C = Φ−1A (−→AB+

−→AC)

etλ.AB = Φ

−1A (λ.

−→AB).

Ainsi (X ,+A, .A) est un K espace vectoriel et ΦA est un isomorphisme entre (X ,+A, .A) et (~E,+, .).

→ On peut aussi vérifier les 8 axiomes :

• (X ,+A) est un groupe commutatif.


Commutativité. Par commutativité de la loi + de ~E on a pour tout point B et C de X

B+A C = A+(−→AB+

−→AC) = A+(

−→AC+

−→AB) =C+A B

Associativité. Par associativité de la loi + de ~E on a

(B+A C)+A D = (A+(−→AB+

−→AC))+A D

= A+((−→AB+

−→AC)+

−→AD) = A+(

−→AB+(

−→AC+

−→AD)) = B+A (A+(

−→AC+

−→AD)) = B+A (C+A D).

Neutre. On vérifie que A est élément neutre pour +A : pour tout B ∈ X

B+A A = A+(−→AB+

−→AA) = A+

−→AB = A = A+A B

Symétrique. On vérifie que C := A+−→BA est l’opposé de B pour la loi +A :

C+A B = B+A C = A+(−→AB+

−→BA) = 0.

• Vérifions les axiomes de la loi externe .A : soit λ et µ deux scalaires et B et C deux points :– En utilisant la distributivité de . sur + pour ~E on obtient la distributivité de .A sur +A :

λ.A(B+A C) = λ.A(A+(−→AB+

−→AC)) = A+λ.(

−→AB+

−→AC) = A+λ

−→AB+λ

−→AC = λ.AB+A λ.AC.

– En utilisant l’axiome de ~E : (λ+µ)~u = λ~u+µ~u on obtient :

(λ+µ).AB = A+(λ+µ)−→AB = A+(λ

−→AB+µ

−→AB) = λ.AB+A µ.AB

– En utilisant l’axiome de ~E : (λµ)~u = λ(µ~u) on obtient

(λµ).AB = A+(λµ)−→AB = A+λ(µ

−→AB) = λ.A(µ.AB)

– En utilisant l’axiome de ~E : 1.~u =~u on obtient

1.AB = A+(1.−→AB) = A+

−→AB = B.

Par construction l’application ΦA est un morphisme, ce morphisme est aussi bijectif, c’est donc un isomorphisme.

Notation 1.1.2.3. Lorsque l’on choisit de privilégier un point A de X , on notera X (et on pensera à X) sous la forme

X = A+~E.

En effet tout élément M de X s’écrit de manière unique sous la forme

M = A+−→AM.

1.1.3 Dimension

Définition 1.1.3.1. La dimension d’un espace affine (X ,~E,+) est par définition celle de sa direction ~E.


1.1.4 Repères affines, coordonnées affines

Définition 1.1.4.1 (Repère affine). Soit (X ,~E,+) un espace affine. Un repère affine de X , noté R = (O,B), est la donnéed’un point O de X , appelé origine du repère, et d’une base B de la direction ~E.

Définition 1.1.4.2 (Coordonnées en dimension finie). Soit (X ,~E,+) un espace affine de dimension finie d muni d’un repèreaffine R = (O,B). Notons~e1, . . .,~ed , les vecteurs de la base B . Pour tout point A de X , il existe un unique d-uplet de scalaires(λi) ∈Kd , tel que

A = O+d

∑i=1

λi~ei.

Ces scalaires sont appelés coordonnées de A dans le repère R = (O,B). On notera [A]R le vecteur des coordonnées de Adans le repère R . Avec les notations précédentes [A]R = (λi).

Remarque 1.1.4.3. Les coordonnées de A dans le repère R = (O,B) sont aussi les coordonnées du vecteur−→OA dans la

base B. En effet nous avons d’une part A = O+−→OA et d’autre part A = O+∑

di=1 λi~ei, nous en déduisons donc l’égalité

−→OA = ∑

di=1 λi~ei.

Remarquons que le fait que l’espace affine soit de dimension finie importe peu on peut donc généraliser :

Définition 1.1.4.4 (Coordonnées). Soit (X ,~E,+) un espace affine muni d’un repère affine R = (O,B). Ecrivons la base Bsous la forme (~ei)i∈I . Pour tout point A de X , il existe une unique famille de scalaires (λi) ∈KI , telle que

A = O+d

∑i∈I

λi~ei.

Ces scalaires sont appelés coordonnées de A dans le repère R = (O,B). Les coordonnées de A dans le repère R = (O,B)

sont aussi celles du vecteur−→OA dans la base B .

Formules de changement de repère Soit (X ,~E,+) un espace affine de dimension d, muni de deux repères affines R =(O,B) et R ′ = (O′,B ′).Soit A un point de X . Notons ~e1,..., ~ed , les vecteurs de la base B et ~f1,..., ~fd , les vecteurs de la base B ′. Considérons lescoordonnées de A dans les repères R et R ′ :

A = O+d

∑i=1

xi~ei

et

A = O′+d

∑j=1

y j~f j.

Les formules de changement de repère permettent d’exprimer les coordonnées (xi) de A dans le repère R en fonction descoordonnées (yi) de A dans le repère R ′. L’idée étant de partir de l’expression de A dans le repère R ′ et de faire apparaîtrele point O et les vecteurs (~ei).

Notons tout d’abord que les vecteurs de la base B ′ s’expriment en fonction de ceux de la base B :

∀ j ∈ 1, . . . ,d~f j =d

∑i=1

ai, j~ei.

Notons aussi que l’origine O′ du repère R ′ a comme tout point de X des coordonnées dans le repère R , nous les notons (o′i) :

O′ = O+d

∑i=1

o′i~ei.


Par conséquent nous avonsA = O′+∑

dj=1 y j~f j

= (O+∑di=1 o′i~ei)+∑

dj=1 y j(∑

di=1 ai, j~ei)

= (O+∑di=1 o′i~ei)+∑

dj=1 ∑

di=1 y jai, j~ei

= (O+∑di=1 o′i~ei)+∑

di=1(∑

dj=1 y jai, j

)~ei

= O+∑di=1(∑

dj=1 o′i + y jai, j

)~ei

= O+∑di=1 xi~ei

Par unicité 1.1.1.6, nous obtenons l’égalité des vecteurs :

d

∑i=1

(d

∑j=1

(o′i + y jai, j)~ei =d

∑i=1

xi~ei.

Par unicité de la décomposition d’un vecteur sur une base nous obtenons :

∀ i ∈ 1, . . . ,d, xi =d

∑j=1

o′i + y jai, j.

D’une manière bien plus maniable nous écrirons ces relations sous forme matricielle :x1...

xd

=

o′1...

o′d

+

a1,1 . . . a1,d. .. .. .

ad,1 . . . ad,d

y1...

yd

.

Nous pouvons alors introduire quelques notations

Notations 1.1.4.5. Notons :• [A]R le vecteur des coordonnées de A dans le repère R ; ci-dessus [A]R = (xi).• [A]R ′ le vecteur des coordonnées de A dans le repère R ′ ci-dessus [A]R ′ = (yi).• [B ′]B la matrice exprimant les vecteurs de la base B ′ dans la base B ; ci-dessus [B ′]B = (ai, j).

La relation précédente s’écrit donc[A]R = [O′]R +[B ′]B .[A]R ′ .

1.1.5 Points affinement libres, affinement générateurs, base affine

Proposition 1.1.5.1. Soit (X ,~E,+) un espace affine de dimension finie. Soit (Ai)i∈I une famille non vide de points de X. Lespropriétés suivantes sont équivalentes :

1. il existe i0 ∈ I tel que la famille (−−→Ai0Ai)i∈I\i0 soit libre (resp, génératrice, resp une base) dans ~E.

2. pour tout i0 ∈ I la famille (−−→Ai0Ai)i∈I\i0 est libre (respectivement génératrice, respectivement une base) dans ~E.

La famille (Ai)i∈I est alors dite affinement libre, respectivement affinement génératrice, respectivement base affine de X.

Démonstration. Le deuxième point implique le premier. Prouvons la réciproque.


• Supposons pour cela qu’il existe un élément i0 de I tel que la famille (−−→Ai0ai)i∈I\i0 soit libre. Fixons i1 ∈ I et montrons

que la famille (−−→Ai1ai)i∈I\i1 est libre. Pour cela considérons une famille de scalaires (λi)i∈I\i1 vérifiant

∑i∈I\i1

λi−−→Ai1ai = 0,

et montrons que pour tout i ∈ I \ i1, le scalaire λi est nul. Utilisons la relation de Chasles pour faire intervenirl’élément i0, et ainsi l’hypothèse :

∑i∈I\i1λi−−→Ai1ai = ∑i∈I\i1λi

−−−→Ai1Ai0 +∑i∈I\i1λi

−−→Ai0Ai

= −(∑i∈I\i1λi

)−−−→Ai0Ai1 +∑i∈I\i1λi

−−→Ai0Ai

Par hypothèse la famille (−−→Ai0Ai)i∈I\i0 est libre donc nous obtenons que pour tout élément i de I \i0, i1, le scalaire

λi est nul ainsi que la somme ∑i∈I\i1λi. En particulier nous en tirons que λi0 est nul. La famille (−−→Ai1Ai)i∈I\i1 est

ainsi libre.• Supposons qu’il existe un élément i0 de I tel que la famille (

−−→Ai0Ai)i∈I\i0 soit génératrice. Fixons i1 ∈ I et montrons que

la famille (−−→Ai1Ai)i∈I\i1 est génératrice. Pour cela considérons un vecteur ~u de ~E, et montrons qu’il est combinaison

linéaire des vecteurs de la famille (−−→Ai1Ai)i∈I\i1. Par hypothèse, ce vecteur est combinaison linéaire des vecteurs de la

famille (−−→Ai0Ai)i∈I\i0, donc il existe une famille de scalaire (λi)i∈I\i0 telle que :

~u = ∑i∈I\i0

λi−−→Ai0Ai.

Par la relation de Chasles faisons intervenir l’élément i1 :

~u = ∑i∈I\i0λi−−→Ai0Ai

= ∑i∈I\i0λi−−→Ai1Ai +∑i∈I\i0λi

−−−→Ai0Ai1

= ∑i∈I\i0,i1λi−−→Ai1Ai−∑i∈I\i0λi

−−−→Ai1Ai0

cette dernière égalité montre que le vecteur~u est une combinaison linéaire de la famille (−−→Ai1Ai)i∈I\i1.

• Une base de ~E étant par définition une famille à la fois libre et génératrice, l’assertion sur les bases résulte directementdes deux assertions précédentes.

1.1.6 Sous-espace affine

Définition 1.1.6.1. Soit (X ,~E,+) un espace affine. Soit Y une partie non vide de X . On dit que Y est un sous espace affinede (X ,~E,+) si et seulement si il existe un point A ∈ Y tel que

−→AM |M ∈ Y

est un sous espace vectoriel de ~E. En ce cas :

Y = A+−→AM |M ∈ Y= A+ sous espace vectoriel de~E.

On notera que la première égalité est toujours vraie !

Proposition 1.1.6.2. Soit (X ,~E,+) un espace affine. Soit Y une partie non vide de X. Les assertions suivantes sont équiva-lentes :

1. Y est un sous espace affine de (X ,~E,+), autrement dit :


il existe A ∈ Y tel que l’ensemble −→AM ∈ ~E |M ∈ Y est un sous espace vectoriel de ~E

2. pour tout A ∈ Y , l’ensemble −→AM ∈ ~E |M ∈ Y est un sous espace vectoriel de ~E

3. il existe un point A de Y et un sous espace vectoriel−→FA de ~E tel que Y = A+

−→FA

4. pour tout point A de Y , il existe un sous espace vectoriel−→FA de ~E tel que Y = A+

−→FA.

Si Y est un sous espace affine de (X ,~E,+), alors pour tous points A et B de Y on a l’égalité de sous espaces vectoriels de ~E :

−→AM |M ∈ Y= −→BM |M ∈ Y

On note alors ~EY ce sous espace, et on l’appelle direction de Y . Pour tout point A de Y on a donc la décomposition : Y = A+~EY . Muni de la loi + induite par la loi + de (X ,~E,+), le triplet (Y,~EY ,+) est un espace affine. Méthode ! Mettre des onglets méthodes qui parcourt le texte ! et faire une synthèse des onglets méthodes avec les exercices qui s’y rapportent en fin de chapitre !

Démonstration. Montrons l’équivalence des assertions. Pour cela on prouve une chaîne d’implications. Nous avons directe-ment (4)⇒ (3) et (2)⇒ (1). Montrons alors (3)⇒ (2) puis (1)⇒ (4).

(3)⇒ (2)Analyse du problème (au brouillon) Supposons qu’il existe un point A de Y et un sous espace vectoriel−→FA

de ~E tel que Y = A+−→FA. Fixons un point B ∈ Y et montrons que l’ensemble −→BM ∈ ~E |M ∈ Y est un sous espace

vectoriel de ~E.Par définition d’un sous espace vectoriel, il s’agit donc de montrer que pour tout point L, N de Y et pour tout scalaireλ de K, λ

−→BL+

−→BN il existe un point P de Y tel que λ

−→BL+

−→BN =

−→BP.

Raisonnons par condition nécessaire : si un tel point P existe alors

λ−→BL+

−→BN =

−→BP

équivaut àλ−→BA+λ

−→AL+

−→AN =

−→AP.

Ainsi si on montre l’égalité :~FA = −→AM |M ∈ Y

alors le vecteur λ−→BA+λ

−→AL+

−→AN ∈ −→AM |M ∈ Y, car ~FA est un sous espace vectoriel, ce qui fournit l’existence d’un

tel point P.

Synthèse (au propre) Montrons l’égalité~FA = −→AM |M ∈ Y

Remarquons que l’on a par hypothèse

Y = A+~FA = A+−→AM |M ∈ Y

L’unicité de la décomposition point-vecteur permet de conclure.(En effet : si ~u ∈ ~FA, alors notons M le point A+~u appartenant à Y et par unicité ~u =

−→AM ce qui montre l’inclusion

~FA ⊂ −→AM | M ∈ Y. Réciproquement pour tout point M de Y , M = A+

−→AM, or par hypothèse Y = A+ ~FA donc il

existe un vecteur~u ∈ ~FA tel que M = A+~u et par unicité on a−→AM =~u d’où l’autre inclusion.)

Soit B, L, N des points de Y et λ un scalaire, le vecteur −λ−→AB+ λ

−→AL+

−→AN appartient à ~FA qui est un sous espace

vectoriel de ~E égal à −→AM |M ∈ Y, donc il existe un point P de Y tel que

−λ−→AB+λ

−→AL+

−→AN =

−→AP,

et on déduit par la relation de Chasles que pour tout point B de Y

λ−→BL+

−→BN =

−→BP,

et donc que pour tout point B de Y ,−→BL ∈ ~E |M ∈ Y

est sous espace vectoriel de ~E.


(1)⇒ (4) Supposons qu’il existe A ∈ Y tel que l’ensemble ~V := −→AM ∈ ~E |M ∈ Y est un sous espace vectoriel de ~E.Fixons un point B ∈ Y et montrons Y = B+~V . On veut montrer une égalité entre deux ensembles, on procède doncpar double inclusion.• Montrons Y ⊂ B+~V . Soit C un point de Y . Nous avons C = B+

−→BM et par Chasles C = B+~v avec~v =

−→AM−−→AB

qui appartient ~V car ~V est un espace vectoriel.• Montrons B+~V ⊂ Y . Soit~v un vecteur de ~V . Par définition il existe un point M de Y tel que~v =

−→AM. On a donc la

chaîne d’égalitéB+~v = B+

−→AM = (A+

−→AB)+

−→AM.

Le vecteur−→AB+

−→AM appartenant à l’espace vectoriel ~V il existe un point N ∈Y tel que

−→AB+

−→AM =

−→AN. On conclut

par la chaîne d’égalitésB+~V = A+

−→AB+

−→AM = A+

−→AN = N ∈ Y.

Supposons que Y est un sous espace affine et montrons que l’espace vectoriel ~FA ne dépend pas de A. En effet soit B un autrepoint de Y nous avons par la relation de Chasles

−→BM =

−→AM−−→AB

or ~FA est un espace vectoriel donc−→BM ∈ ~FA. Par conséquent nous ~FB ⊂ ~FA et par symétrie ~FA ⊂ ~FB.

Remarque 1.1.6.3. On retiendra qu’un sous espace affine (au même titre qu’un espace affine ) est totalement déterminé parla donnée d’un point et de sa direction.

Proposition 1.1.6.4. Soit (X ,~E,+) un espace affine. Soit (Xi)i∈I une famille de sous espaces affines. L’intersection⋂

i∈I Xi

est soit l’ensemble vide, soit un sous espace affine de (X ,~E,+) dirigé par l’intersection⋂

i∈I~EXi .

Démonstration. Supposons que l’intersection⋂

i∈I Xi est non vide. Considérons un point A dans cette intersection. Par laproposition précédente, pour tout i ∈ I, Xi = A+~EXi où ~EXi est l’espace vectoriel −→AM |M ∈ Xi. Montrons alors l’égalité⋂

i∈I

Xi = A+⋂i∈I

~EXi .

ceci prouvera par la proposition précédente que⋂

i∈I Xi est un sous espace affine.Procédons par double inclusion. Montrons que A+∩i∈I~EXi ⊂ ∩i∈IXi. En effet pour tout j ∈ I, nous avons

A+∩i∈I~EXi ⊂ A+~EX j

doncA+∩i∈I~EXi ⊂ ∩ j∈I(A+~EX j) = ∩ j∈IX j.

Réciproquement, montrons l’inclusion ∩i∈IXi ⊂ A+∩i∈I~EXi . Soit M ∈ ∩i∈IXi nous avons M = A+−→AM. Pour tout point i ∈ I,

M appartient à Xi, par unicité de la décomposition−→AM appartient à ~EXi donc

−→AM appartient à

⋂i∈I

~EXi . L’intersection⋂

i∈I~EXi

est un sous espace vectoriel de ~E comme intersection de sous espaces vectoriels de E.

Remarque 1.1.6.5. L’union de deux sous espaces affines n’est en général pas un sous espace affine. C’est déjà le cas auniveau des sous espaces vectoriels. On introduit donc la notion de sous espace engendré.

Définition 1.1.6.6 (Sous espace affine engendré). Soit (X ,~E,+) un espace affine. Soit Y une partie de X . On appelle sousespace affine de (X ,~E,+) engendré par Y l’intersection de tous les sous espaces affines de (X ,~E,+) contenant Y . C’est leplus petit sous espace affine de (X ,~E,+) dont l’espace des points contient Y .

Exemple 1.1.6.7. Soit (X ,~E,+) un espace affine. Soit (Ai)i∈I une famille (non vide) de points de X . L’espace affine engendrépar cette famille est égal à

Ai0 +−−→Vect−−→Ai0Ai | i ∈ I,

quelque soit le i0 choisi dans I.En effet cet espace affine contient l’ensemble des points Ai, de plus la direction de tout sous espace affine contenant les

points Ai contient les vecteurs−−→Ai0Ai.


1.1.7 Parallélisme, intersection

Définition 1.1.7.1. Soit (X ,~E,+) un espace affine. Soit Y et Z deux sous espaces affines de direction ~EY et ~EZ . On dit queces sous espaces sont parallèles si l’on a ~EY = ~EZ . On dit que ces sous espaces sont faiblement parallèles si l’on a ~EY ⊂ ~EZ

ou ~EZ ⊂ ~EY .

Théorème 1.1.7.2. Soit (X ,~E,+) un espace affine.

1. Pour tout point A de X, pour tout sous espace affine Y , il existe un unique espace affine Z passant par A et parallèle àY .

2. Si deux sous espaces affines sont parallèles, ils sont disjoints ou confondus.

3. Si deux sous espaces affines sont faiblement parallèles alors l’un des deux est inclus dans l’autre ou ils sont disjoints.

Démonstration. 1. Soit A un point de X et fixons un sous espace affine Y de (X ,~E,+). Le sous espace affine A+~EY passepar A et est parallèle à Y . Si Z est un autre espace affine convenable alors, ~EY = ~EZ . En ce cas Z =A+~EZ =A+~EY =Y .

2. Considérons Y et Z deux sous espaces affines parallèles. Par conséquent ~EY = ~EZ . Supposons ces deux sous espacesnon disjoints. Soit A un point dans l’intersection nous avons donc Y = A+~EY = A+~EZ = Z.

3. Considérons Y et Z deux sous espaces affines faiblement parallèles. Par exemple ~EY ⊂ ~EZ . Supposons ces deux sousespaces non disjoints. Soit A un point dans l’intersection nous avons donc Y = A+~EY ⊂ A+~EZ = Z.

Remarque 1.1.7.3. Dans un espace affine, par un point A passe une unique droite D ′ parallèle à une droite donnée D .

Démonstration. Si une telle droite existe, sa direction est celle de D ,−→D et passant par A elle est entièrement déterminée :

D ′ = A+−→D . Réciproquement cette droite convient.

Théorème 1.1.7.4. Soit (X ,~E,+) un espace affine. Soit Y et Z deux sous espaces affines. Soit A ∈ Y et B ∈ Z. On a équiva-lence entre

1. Y ∩Z 6= /0

2.−→AB ∈ ~EY +~EZ

Démonstration. Supposons que l’intersection Y ∩ Z soit non vide. Considérons un point M ∈ Y ∩ Z. Les points A et Mappartiennent à Y donc le vecteur

−→AM appartient à ~EY , de même les points B et M appartiennent à Z donc le vecteur

−→MB

appartient à ~EZ . Par la relation de Chasles−→AB =

−→AM+

−→MB ∈ ~EY +~EZ .

Réciproquement supposons que le vecteur−→AB appartiennent à ~EY +~EZ . Par conséquent il s’écrit sous la forme

−→AB =~u+~v

Comme Y et Z sont deux espaces affines, notons N le point de Y défini par A+~u et M le point de Z défini par B−~v. Montronsque M = N. Nous avons ~u =

−→AN et ~v =

−→MB ainsi que

−→AB =

−→AN +

−→MB or par la relation de Chasles

−→AB =

−→AN +

−−→NM +

−→MB,

donc−−→NM = 0 donc les points N et M sont égaux donc l’intersection de Y et Z est non vide.

Remarque 1.1.7.5. En dimension 3 et pour deux droites non parallèles D1 = A+K~u et D2 = B+K~v on en déduit que

D1∩D2 6= /0⇔−→AB ∈ −−→Vect(~u,~v)⇔ (−→AB,~u,~v) est liée.

Corollaire 1.1.7.6. Soit (X ,~E,+) un espace affine. Soit Y et Z deux sous espaces affines tels que ~EY et ~EZ soient deux sousespaces supplémentaires de ~E. En ce cas Y ∩Z est un point.

Démonstration. Considérons deux points A et B de Y et Z, les espaces ~EY et ~EZ sont deux sous espaces supplémentaires de~E donc le vecteur

−→AB appartient à ~EY +~EZ donc par le théorème 1.1.7.4 l’intersection est non vide. Si A et B sont deux points

d’intersection alors−→AB appartient à l’intersection EY ∩EZ qui est nulle car les espaces sont en somme directe. Les ensembles

Y et Z s’intersectent en un unique point.

Proposition 1.1.7.7. Soit (X ,~E,+) un espace affine de dimension finie. Soit Y et Z deux sous espaces affines.


1. Si Y ∩Z 6= /0 alorsdim < Y ∪Z >= dimY +dimZ−dim(Y ∩Z).

2. Si Y ∩Z = /0 alorsdim < Y ∪Z >= dimY +dimZ−dim(~EY ∩~EZ)+1

où < Y ∪Z > est l’ensemble des points de l’espace affine engendré par Y et Z.

Démonstration. Par définition la dimension dim <Y ∪Z > est la dimension de la direction de <Y ∪Z >. Nous devons doncl’identifier.• Si l’intersection est non vide, alors considérons un point M de l’intersection Y ∩Z. On a donc Y = M+~EY et Z = M+~EZ .Montrons que < Y ∪Z >= M+~EY +~EZ .On procède par double inclusion : tout d’abord nous avons

Y ⊂M+~EY +~EZ et Z ⊂M+~EY +~EZ,

donc Y ∪Z ⊂M+~EY +~EZ , donc par définition, < Y ∪Z >⊂M+~EY +~EZ .Réciproquement, si on note ~E<Y∪Z> la direction de < Y ∪Z >, alors

< Y ∪Z >= M+~E<Y∪Z>.

Or Y = M+~EY ⊂M+~E<Y∪Z> donc ~EY ⊂ ~E<Y∪Z> et de même ~EZ ⊂ ~E<Y∪Z>, ce qui entraîne ~EY +~EZ ⊂ ~E<Y∪Z>. La formulesuit de la formule analogue en algèbre linéaire.

• Supponsons l’intersection vide. Considérons A ∈ Y , B ∈ Z et montrons que la direction de < Y ∪Z > est

−−−−−−→< Y ∪Z >= ~EY +~EZ⊕K

−→AB.

Si c’est le cas alors la formule suit.

Remarquons que ~EY ⊂−−−−−−→< Y ∪Z >, ~EZ ⊂

−−−−−−→< Y ∪Z > et K

−→AB⊂−−−−−−→< Y ∪Z > donc ~EY +~EZ⊕K

−→AB⊂−−−−−−→< Y ∪Z >.

Réciproquement A+~EY +~EZ +K−→AB est un sous espace affine de X , qui contient Y et Z donc qui contient par définition le

sous espace affine engendré < Y ∪Z >. Ceci fournit donc l’égalité

−−−−−−→< Y ∪Z >= ~EY +~EZ +K

−→AB.

Il reste à montrer que la somme est directe. Si le vecteur−→AB appartient à ~EY +~EZ alors

−→AB =~u+~v

avec~u ∈ ~EY et~v ∈ ~EZ . Par conséquent on aA+(~u+~v) = A+

−→AB = B

ce qui donneA+~u = B−~v

or A+~u appartient à Y , B−~v appartient à Z et Y ∩Z = /0, contradiction.

1.2 Applications affines et groupe affine

1.2.1 Application affines

Définition 1.2.1.1. Soit (X ,~E,+) et (Y,~F ,+) deux espaces affines.Une application f : X → Y est dite affine entre les espaces (X ,~E,+) et (Y,~F ,+) si elle vérifie l’une des deux assertionséquivalentes :

1.2. APPLICATIONS AFFINES ET GROUPE AFFINE 13

– il existe un point A ∈ X et une application linéaire ~f : ~E→ ~F tels que

∀M ∈ X , f (M) = f (A)+~f (−→AM)

– il existe une application linéaire ~f : ~E→ ~F telle que

∀A ∈ X , ∀~u ∈ ~E, f (A+~u) = f (A)+~f (~u).

Si tel est le cas l’application ~f est uniquement déterminée par :

~f (−→AM) =

−−−−−−→f (A) f (M).

L’application linéaire ~f est appellée partie linéaire de l’application affine f .

Remarque 1.2.1.2. Avec les notations précédentes, s’il existe un point A de X tel que pour tout point M de X nous ayons

f (M) = f (A)+~f (−→AM),

alors pour tout couple de points (B,M) de X nous avons

f (M) = f (B)+~f (−→BM).

Une application affine est totalement déterminée par l’image d’un point et par sa partie linéaire.

Démonstration. En effet nous avonsf (B) = f (A)+~f (

−→AB)

nous avons alorsf (M) = f (B)+~f (

−→AM)−~f (

−→AB).

et par linéarité on obtientf (M) = f (B)+~f (

−→AM−−→AB) = f (B)+~f (

−→BM).

Proposition 1.2.1.3. Considérons (X ,~X ,+), (Y,~Y ,+) et (Z,~Z,+) trois espaces affines, f : X → Y et g : Y → Z deux appli-cations affines. L’application g f est une application affine de partie linéaire~g~f =−−→g f .

Démonstration. Soit (A,M) un couple de point de X . Il s’agit de montrer que

(g f )(M) = (g f )(A)+−−→g f (

−→AM).

Nous avons f (M) = f (A)+−→f (−→AM), en appliquant g nous obtenons

g( f (M)) = g( f (A))+~g(~f (−→AM)) = (g f )(A)+

−−→g f (

−→AM).

Proposition 1.2.1.4. Soit f : X → Y une application affine. L’application f est injective (respectivement surjective, respec-tivement bijective) si et seulement si ~f est injective (respectivement surjective, respectivement bijective).

Démonstration. Montrons l’équivalence pour l’injectivité. Fixons deux points A et B et un troisième point O. Nous avonsf (A) = f (O)+ ~f (

−→OA) et f (B) = f (O)+ ~f (

−→OB). Nous concluons alors que f (A) = f (B) si et seulement si ~f (

−→OA) = ~f (

−→OB)

donc f est injective si et seulement si ~f est injective.

Montrons l’équivalence pour la surjectivité. Soit B un point de Y . Fixons un point O de X . Il existe un point A de X telque f (A) = B si et seulement si il existe un vecteur ~u de ~X tel que f (O)+ ~f (~u) = B c’est à dire ~f (~u) =

−−−−→f (O)B , en ce cas

A = O+~u et~u =−→OA. Ceci montre que f est sujective si et seulement si ~f est surjective.

L’équivalence pour la bijectivité provient des deux précédentes équivalences.


1.2.2 Point fixe

Soit f : X → X une application affine. Si l’application f a un point fixe A, alors pour tout point M de X nous avons

f (M) = f (A)+~f (−→AM) = A+~f (

−→AM)

L’application f s’identifie alors avec ~f .

Théorème 1.2.2.1. Soit f : X → X une application affine où (X ,~X ,+) est un espace affine de dimension finie. Si 1 n’est pasvaleur propre de ~f alors f a un unique point fixe.

Démonstration. Rappelons que “1 n’est pas valeur propre de ~f ” signifie que le noyau ker(~f − id) est réduit à 0 autrementdit l’application ~f − id est injective. L’espace ~X étant de dimension finie, par le théorème du rang on en conclue que ~f − idest une bijection.

Montrons l’existence d’un point fixe.

Analyse. Fixons une origine O de X . Supposons qu’un point A soit un point fixe. On a alors

A = O+−→OA, f (A) = f (O)+~f (

−→OA), et A = f (O)+~f (

−→OA)

donc A = O+ ~O f (O)+~f (−→OA) c’est à dire par unicité

~f (−→OA)−−→OA =−

−−−−→O f (O).

Si A est point fixe alors le vecteur−→OA est nécessairement un antécédent du vecteur−

−−−−→O f (O) par l’application ~f − id. L’endo-

morphisme ~f − id étant injectif par hypothèse est donc surjectif par le théorème du rang cet antécédent existe et il est unique.Ceci nous donne un candidat.

Synthèse. Fixons une origine O de X . L’endomorphisme ~f − id étant injectif par hypothèse est donc surjectif par lethéorème du rang, il existe un unique vecteur ~u tel que ~f (u)− u = −

−−−−→O f (O). Notons A le point O+~u et montrons que

f (A) = A. En effetf (A) = f (O+~u) = f (O)+~f (~u) = f (O)+u−

−−−−→O f (O) = O+~u = A.

Montrons l’unicité du point fixe. Soit A et B deux points fixes montrons que A = B ou encore−→AB = 0. Nous avons alors

f (A) = A et f (B) = B. En particulier nous avons ~f (−→AB) =

−→AB, donc

−→AB appartient au noyau ker(~f − id) qui par hypothèse

est nul. Donc−→AB est nul et A est égal à B.

1.2.3 Translations et homothéties

Définition 1.2.3.1. Soit (X ,~E,+) un espace affine. Soit ~u un vecteur de ~E. On appelle translation de vecteur ~u notée t~u,l’application affine définie par

t~u(A) = A+~u

Sa partie linéaire est l’identité−→id~E .

Remarque 1.2.3.2. Comme on l’a dit précédemment nous n’avons pas le choix pour la partie linéaire car :

~f (−→AB) =

−−−−−−→f (A) f (B)

or f (A) = A+~u = B+~u+−→AB = f (B)+

−→AB donc ~f (

−→AB) =

−−−−−−→f (A) f (B) =

−→AB.


Proposition 1.2.3.3. Soit (X ,~E,+) un espace affine. L’ensemble des translations muni de la composition d’applicationsaffines est un groupe isomorphe au groupe additif (~E,+).

Démonstration. En effet on vérife que pour deux vecteurs~u et~v de ~E on a

t~u+~v = t~u t~v.

L’application~u 7→ t~u est alors un isomorphisme.

Définition 1.2.3.4. Soit (X ,~E,+) un espace affine. Soit λ∈K∗ un scalaire non nul et O un point de X . On appelle homothétiede centre O et de rapport λ l’application affine définie par :

f (O+~u) = O+λ~u

Sa partie linéaire est donc ~f = λ−→id . En particulier O est point fixe et on a pour tout point A,

f (A) = O+λ−→OA.

Proposition 1.2.3.5. Soit ( f , ~f ) : (X ,~E,+)→ (X ,~E,+) une application affine.

1. f est une translation si et seulement si ~f = ~id.

2. f est une homothétie distincte de l’identité si et seulement si ~f = λ~id avec λ 6= 1.

Démonstration. Soit f une application affine de partie linéaire ~id. Fixons un point O de X . Pour tout point A on a f (A) =f (O)+

−→OA donc

f (A) = O+−−−−→f (O)O+

−→OA = A+

−−−−→f (O)O.

L’application affine f est donc la translation de vecteur−−−−→f (O)O.

Soit f une application affine de partie linéaire λ~id. Par le théorème 1.2.2.1 il existe un unique point fixe de f noté O.Pour tout point A on a f (A) = f (O)+λ

−→OA = O+λ

−→OA. Ce qui montre que f est une homothétie.

Les autres implications résultent des définitions des translations et homothéties.

La partie linéaire d’une homothétie et d’une translation étant une homothétie linéaire on en déduit :

Proposition 1.2.3.6. L’image par une translation ou une homothétie d’un sous espace affine est un sous espace affine quilui est parallèle.

Proposition 1.2.3.7. Soit (X ,~E,+) un espace affine. L’ensemble

t~u, |~u ∈ ~E∪hΩ,λ | (Ω,λ) ∈ X×K,

est un sous groupe de GA(X ,~E), appelé groupe des homothéties-translations.

1.2.4 Groupe affine

Soit (X ,~E,+) un espace affine. Rappelons que pour une application affine f : (X ,~E) → (X ,~E), l’application f estbijective si et seulement si sa partie linéaire ~f est inversible.

Définition 1.2.4.1. Soit (X ,~E,+) un espace affine. L’ensemble des applications affines inversibles muni de la loi de compo-sition forme un groupe que l’on appelle groupe affine. On le note GA(X ,~E).

Proposition 1.2.4.2. L’application partie linéaire

GA(X ,~E) → GL(~E)f 7→ ~f

est surjective, son noyau est le groupe des translations isomorphe au groupe additif (~E,+).


Démonstration. Montrons la surjectivité. Soit ~f une bijection linéaire de ~E. Fixons un point O de X et considérons l’appli-cation

f (A) := O+~f (−→OA).

L’application ( f , ~f ) est une application affine de partie linéaire ~f .

Par la remarque ci-dessus montrons que l’application ~f → f ainsi définie est un morphisme. Considérons deux isomor-phismes ~f et~g, considérons f : A 7→ O+~f (OA) et g : A 7→ O+~g(OB) et montrons que pour tout point A de X ,

(g f )(A) = O+(~g~f )(−→OA).

Remarquons que le point O est fixe par f et par g et de plus pour tout A,−−−−→O f (A) = ~f (

−→OA). Faisons le calcul nous avons

g( f (A)) = g(O)+~g(−−−−→O f (A)) = O+~g(~f (

−→OA))

ce qui est le résultat souhaité.

Montrons l’injectivité. Considérons deux vecteurs ~u et~v, si pour tout point A (remarquons qu’ici il en suffit d’un) nousavons t~u(A) = t~v(A) alors A+~u = A+~v donc par unicité~u =~v.

Remarque 1.2.4.3. On résume la proposition précédente en disant que l’on a la suite exacte :

0 → ~E → t→ GA(X ,~E)−→(.)→ GL(~E) → 1

0 7→ 0~u 7→ t~u

( f , ~f ) 7→ ~f~f 7→ 1

Autrement dit l’image d’un morphisme est le noyau du morphisme successif.

Dans la preuve précédente en fixant un point O nous avons exhibé un morphisme

sO : GL(~E) → GA(X ,~E)~f 7→ (A 7→ O+~f (

−→OA), ~f )

on dit que la suite exacte est scindée et le morphisme sO est appellé section 1.

Dans ce cas on dévisse le groupe affine comme produit semi-direct du groupe (~E,+) par le groupe linéaire GL(~E) : Nousavons l’isomorphisme

ΦO : (~E×GL(~E),∗) → GA(X ,~E)(~u,~ϕ) 7→ t~u sO(~ϕ)

Nous allons montrer la surjectivité, l’injectivité, puis nous munirons le produit ~E×GL(~E) de la bonne loi ∗ pour que l’ap-plication devienne un morphisme .

• Montrons que l’application est surjective : soit ( f , ~f ) une application affine, composons f avec la translation t−−−−→O f (O)

:

A 7→ A+−−−−→O f (O) nous obtenons alors une application affine avec O comme point fixe :

(t−−−−−→O f (O) f )(O) = f (O)−

−−−−→O f (O) = O.

1. Attention ce n’est pas toujours le cas, la section ensembliste existe toujours (axiome du choix) mais ce n’est pas toujours un morphisme degroupes.


Ainsi pour tout point A nous avons

(t−−−−−→O f (O) f )(A) = O+~f (A), donc t−−−−−→O f (O)

( f , ~f ) = sO(~f )

donc( f , ~f ) = t−−−−→

O f (O) sO(~f ).

•Montrons que l’application est injective. En effet soit~u,~v deux vecteurs, et~ϕ,~ψ deux isomorphismes tels que

t~u sO(~ϕ) = t~v sO(~ψ)

par conséquent nous avonst~u t~v = sO(~ψ) sO(~ϕ)

−1,

donct~u−~v = sO(~ψ~ϕ−1).

Considérant les parties linéaires nous obtenons ~ψ~ϕ−1 =−→id donc ψ = ϕ, et donc t~u−~v =

−→id donc ~u =~v (on aurait aussi pu

dire que le point O est fixe donc la translation est forcément l’identité) 2 .Ainsi nous avons une décomposition unique (relativement au point O) de f :

( f , ~f ) = t−−−−→O f (O)

sO(~f ).

• Examinons la loi de composition ∗ à mettre sur le produit le produit ~E×GL(~E) pour que l’application ΦO devienneun morphisme :

Analyse Nous avons les égalités :

(g f ,~g~f ) = t−−−−−−−→O(g f )(O)

sO(~g~f )

= (t−−−−→Og(O)

sO(~g)) (t−−−−→O f (O) sO(~f ))

= t−−−−→Og(O)

(sO(~g) t−−−−→O f (O)

sO(~g)−1) sO(~g) sO(~f )

Calculons alors le produit sO(~g)t−−−−→O f (O)

sO(~g)−1. Remarquons tout d’abord que sa partie linéaire est la composée des partieslinéaires, c’est donc l’identité, donc par la caractérisation des homothéties et des translations (proposition 1.2.3.5), c’est unetranslation. Pour déterminer le vecteur il suffit de regarder l’image d’un point, par exemple celle du point O. On a donc :

sO(~g) t−−−−→O f (O)

sO(~g)−1(O) = sO(~g) t−−−−→O f (O)

(O)

= sO(~g)( f (O))

= O+~g(−−−−→O f (O))

Ainsi 3

sO(~g) t−−−−→O f (O)

sO(~g) = t~g(−−−−→O f (O))

.

Revenons au calcul :(g f ,~g~f ) = t−−−−−−−→

O(g f )(O) sO(~g~f )

= t−−−−→Og(O)

(sO(~g) t−−−−→O f (O)

sO(~g)−1) sO(~g) sO(~f )

= (t−−−−→Og(O)

t~g(−−−−→O f (O))

) sO(~g~f )

2. L’unicité de l’écriture vient du fait : t(~E)∩ sO(GL(~E)) = (id,−→id ).

3. Ce type de formule est général en géométrie et théorie des groupes et porte le nom de “principe de conjugaison” : la conjuguée d’une translationde vecteur

−−−−→O f (O) par l’application affine sO(~g) est la translation de vecteur~g(

−−−−→O f (O)).


Il reste à vérifier l’égalité :t−−−−−−−→O(g f )(O)

= t−−−−→Og(O)

t~g(−−−−→O f (O))

autrement dit l’égalité vectorielle :−−−−−−−→O(g f )(O) =

−−−−→Og(O)+~g(

−−−−→O f (O))

Pour cela calculons :(g f )(O) = O+

−−−−−−−→O(g f )(O)

= g( f (O))

= g(O+−−−−→O f (O))

= g(O)+~g(−−−−→O f (O))

= O+−−−−→Og(O)+~g(

−−−−→O f (O))

Par unicité 1.1.1.6 on obtient l’égalité.

Synthèse Cette analyse nous a montré la loi de composition ∗ sur le produit cartésien E×GL(E) pour que notre bijectionΦO soit un morphisme :

(~v,~g)∗ (~u, ~f ) := (~v+~g(~u),~g~f )

On vérifie par le calcul que cette loi est associative, que le neutre est l’élément (~0,~id) et que l’inverse d’un élément (~u, ~f )est (−~f−1(u), ~f−1). Ainsi (E×GL(E),∗sO) est un groupe et par l’analyse précédente et son principe de conjugaison, notrebijection est un morphisme.

On note ~E nGL(E) le groupe (~E×GL(~E),∗) on l’appelle produit semi-direct du groupe ~E par le groupe GL(~E). L’iso-morphisme ΦO montre que l’on peut dévisser le groupe affine comme produit de deux groupes plus simples, mais avec uneloi de composition tordue

GA(X ,~E)' ~E nGL(E).

Remarquons que ces isomorphismes ne sont pas canoniques, ils dépendent du choix du point O.

1.2.5 Applications affines, repères affines, matrice d’une application affine

Théorème 1.2.5.1. Soit (X ,~E,+) et (Y,~F ,+) deux espaces affines. Soit (A,(~ei)i∈I) un repère affine de l’espace affine(X ,~E,+). Soit B un point de Y et (~ui)i∈I une famille de vecteurs de ~F. Il existe une unique application affine f telle quef (A) = B et pour tout i ∈ I, ~f (~ei) =~ui.

Démonstration. Supposons qu’un tel f existe et montrons son unicité. En effet pour tout point M de X , on décompose levecteur

−→AM sur la base (~ei)i∈I :

−→AM = ∑

i∈Ixi~ei.

De l’égalité M = A+−→AM = A+∑i∈I xi~ei nous obtenons

f (M) := f (A)+~f (∑i∈I

xi~ei) = f (A)+∑i∈I

xi f (~ei) = B+∑i∈I

xiui.

Réciproquement une application f définie par la dernière égalité vérifie les conditions d’où l’existence.

Remarque 1.2.5.2. Nous rappelons qu’une application linéaire est totalement définie par l’image des vecteurs d’une base.Une application affine est totalement définie par l’image d’un point et par la donnée de sa partie linéaire.

Corollaire 1.2.5.3. Soit (X ,~E,+) et (Y,~F ,+) deux espaces affines. Soit (Ai)i∈I une base affine de X et (Bi)i∈I une famillede points de Y . Il existe une unique application affine f : (X ,~E,+)→ (Y,~F ,+) tel que pour tout i ∈ I, f (Ai) = Bi.


Démonstration. En effet fixons i0 un élément de I, par définition d’une base affine (Ai0 ,(−−→AiAi0)i∈I\i0) est un repère affine.

Par le théorème précédent il existe une unique application affine ( f , ~f ) qui envoie le point Ai0 sur le point Bi0 , dont la partielinéaire envoie la base (

−−→AiAi0)i∈I\i0 sur la famille de vecteurs (

−−→BiBi0)i∈I\i0. Pour tout point i ∈ I, on obtient

f (Ai) = f (Ai0 +−−→Ai0Ai) = f (Ai0)+~f (

−−→Ai0Ai) = Bi0 +

−−→Bi0Bi.

L’application ( f , ~f ) convient. Réciproquement, si deux applications linéaires ( f , ~f ) et (g,~g) conviennent elles coincidenten Ai0 et leur partie linéaire coincident sur la base (

−−→AiAi0)i∈I\i0, par le théorème précédent, les applications affines sont

égales.

Corollaire 1.2.5.4. L’image d’un repère affine par un élément du groupe affine est un repère affine. L’image d’une baseaffine par un élément du groupe affine est une base affine.

Démonstration. Ceci provient du fait que l’image d’une base par une application linéaire inversible est une base.

Matrice d’une application affine Soit (X ,~E,+) un espace affine de dimension m et (Y,~F ,+) un espace affine dedimension n. Soit f : (X ,~E,+)→ (Y,~F ,+) une application affine. Fixons RA,B−→E = (A,(~u1, . . . ,~um)) un repère affine de(X ,~E,+) et RB,B−→F = (B,(~v1, . . . ,~vn)) un repère affine de (Y,~F ,+). On écrit tout point M de X en coordonnées dans le repèreRA,~u :

M = A+−→AM = A+

m

∑j=1

x j~u j

On écrit ensuite son image par f dans le repère RB,~v :

f (M) = f (A)+~f (−→AM) = f (A)+

m

∑j=1

x j~f (~u j).

Ecrivons (ai, j) la matrice de ~f dans les bases (B−→E ,B−→F ). Nous obtenons alors pour tout j ∈ 1, . . .m

~f (~u j) =n

∑i=1

ai, j~vi

Décomposons :f (M) = f (A)+∑

mj=1 x j(∑

ni=1 ai, j~vi)

= f (A)+∑ni=1(∑

mj=1 x jai, j)~vi

= B+−−−→B f (A)+∑

ni=1(∑

mj=1 x jai, j)~vi

= B+∑ni=1 ci~vi +∑

ni=1(∑

mj=1 x jai, j)~vi

où les ci sont les coordonnées du vecteur−−−→B f (A) dans la base B~F (ou encore les coordonnées du point f (A) dans le repère

RB,B−→F ). Ainsi nous obtenons :

f (A+m

∑j=1

x j~u j) = B+n

∑i=1

(ci +m

∑j=1

x jai, j)~vi = B+n

∑i=1

yi~vi.

Matriciellement nous avons y1...

yn

=

a1,1 . . . a1,m. .. .. .

an,1 . . . an,m

x1...

xm

+

c1...

cn


que nous pouvons écrire sous la forme

y1...

yn

1

=

a1,1 . . . a1,m c1. . .. . .. . .

an,1 . . . an,m cn

0 . . . 0 1

x1...

xm

1

Cette dernière matrice est la matrice de l’application affine f dans les repères RA,B−→E et RB,B−→F .

1.2.6 Formes affines et sous-espaces affines

Définition 1.2.6.1. Soit (X ,~E,+) un espace affine sur un corps K. On appelle forme affine toute application affine à valeursdans K. Sa partie linéaire est donc une forme linéaire.

Remarque 1.2.6.2. Si l’espace affine est de dimension finie égale à n et (A,(~ei)) est un repère affine alors une forme affinesécrit en coordonnées sous la forme suivante :

x = A+n

∑j=1

x j~e j 7→ f (A)+n

∑j=1

x j~f (~e j) = a+n

∑j=1

x jb j.

Définition 1.2.6.3. Soit (X ,~E,+) un espace affine de dimension finie d et f une forme affine non constante (autrement dit~f est non nulle). Le lieu des zéros de f est un espace affine de codimension 1. Ce lieu de zéros est appelé hyperplan affine,sa direction est un hyperplan vectoriel de ~E et une 4 de ses équations est f = 0.

Démonstration. En effet notons Z( f ) l’ensemble des zéros de f et fixons un point A ∈ Z( f ) vérifions que

Z( f ) = A+ker~f .

En effet tout point M de X s’écrit M = A+−→AM, et son image par f s’écrit

f (M) = f (A)+~f (−→AM) = ~f (

−→AM).

Par conséquent f (M) = 0 si et seulement si le vecteur−→AM ∈ ker~f , d’où l’égalité. Ainsi le lieu des zéros de f est un sous

espace affine dirigé par le noyau de ~f . Le noyau d’une forme linéaire non nulle est un sous espace vectoriel de codimension1, c’est à dire qu’il admet un supplémentaire de dimension 1. En effet, la forme est non nulle donc il existe un vecteur ~u nel’annulant pas, supposons en particulier f (u) = 1 et vérifions alors que le noyau de ~f et la droite engendré par le vecteur ~usont supplémentaires. Leur intersection est nulle car ~f ne s’annule par sur ~u. Montrons que pour tout vecteur~v, il existe unvecteur ~w du noyau ker~f et un scalaire λ tel que~v = ~w+λ~u.

Analyse Supposons la décomposition trouvée, alors en appliquant ~f on obtient : ~f (~v) = λ car ~f (~w) = 0 et ~f (~u) = 1 etnécessairement on a ~w =~v− f (~v)~u.

Synthèse Tout vecteur~v se décompose en

~v = (~v− f (~v)~u)+ f (~v)~u

avec~v− f (~v)~u ∈ ker~f , car ~f (~w) = 0 et ~f (~u) = 1.

Dans K3 une droite est donnée par deux équations :ax+by+ cz = d

a′x+b′y+ c′z = d′

tel que la matrice(

a b ca′ b′ c′

)soit de rang 2. Plus généralement on a :

4. En effet l’équation d’un hyperplan affine n’est pas unique, chercher des exemples.


Théorème 1.2.6.4. Soit (X ,~E,+) un espace affine de dimension n. Considérons Y une partie de X. On a alors l’équivalenceentre

1. Y est l’ensemble des points d’un sous espace affine de dimension p,

2. Y est l’intersection de n− p hyperplans affines dont les parties linéaires des équations sont linéairement indépen-dantes.

Démonstration. Supposons que Y soit un sous espace affine de dimension p. Notons ~F sa direction, c’est un sous espace de~E de dimension p. Considérons une base (~e1, . . . ,~ep) de ~F . Par le théorème de la base incomplète, on complète cette base enune base (~e1, . . . ,~en) de ~E. On considère la base duale~ϕ1, . . . ,~ϕn. Par définition, les~ϕi sont des formes linéaires~ϕi : ~E →Kvérifiant~ϕi(~e j) = δ(i, j) où δ est le symbole de Kronecker, avec δ(i, j) = 0 si i 6= j et δ(i, i) = 1. Par conséquent

~F = ∩ni=p+1 ker~ϕi.

Fixons un point A de Y et considérons les formes affines pour i ∈ p+ 1, . . . ,n, ( fi, ~fi) définie par fi(A) = 0 et ~fi =~ϕi.Notons que les parties linéaires ~fp+1, . . . , ~fn sont linéairement indépendantes. Ainsi nous avons

Y = A+~F = A+∩ni=p+1 ker~fi

or par définition fi(A) = 0 doncY = ∩n

i=p+1M ∈ X | fi(M) = 0.Ceci montre que Y est intersection de n− p hyperplans affines dont les parties linéaires des équations sont linéairementindépendantes.

Réciproquement supposons que Y est une intersection de n− p hyperplans affines d’équations fi = 0 avec i∈ 1, ..,n− pet dont les parties linéaires forment une famille libre. Montrons que Y est un espace affine de dimension p.

Analyse Fixons un point A dans X et une base (~e1, . . . ,~en) de ~E. Tout point M de X s’écrira alors

M = A+n

∑i=1

λi~ei

et son image par f j pour j ∈ 1, . . . ,n− p

f j(M) = f j(A)+n

∑i=1

λi~f j(~ei)

Nous souhaitons déterminer les points M tels que f j(M) = 0 il est donc primordial de considérer une base (~ei) adaptée àl’évaluation sur les (~f j). On utilise comme ci-dessus la notion de base duale.

Synthèse La famille (~f1, . . . , ~fn−p) étant libre on la complète en une base du dual de ~E notée (~f1, . . . , ~fn), puis on prend(~e1, . . . ,~en) comme base anté-duale de (~f1, . . . , ~fn). Par conséquent pour tout (i, j) ∈ 1, . . . ,n2, ~f j(~ei) = δ(i, j). Fixons unpoint A dans X . Tout point M de X s’écrira alors sous la forme

M = A+n

∑i=1

λi~ei

et son image par f j pour j ∈ 1, . . . ,n− p

f j(M) = f j(A)+n

∑i=1

λi~f j(~ei) = f j(A)+λ j.

Ainsi M ∈ Y si et seulement si pour tout j ∈ 1, . . . ,n− p on a λ j =− f j(A). Par conséquent

Y = (

A−∑n−pi=1

~fi(A)~ei

)+∑

ni=n−p+1 λi~ei (λi)i∈n−p+1,...,n ∈Kp

est un espace affine de dimension p.


1.3 Barycentre

1.3.1 Notion de barycentre

Théorème 1.3.1.1. Soit (X ,~E,+) un espace affine (Ai)i∈I une famille finie de points de X et (λi)i∈I une famille de scalairestelle que ∑i∈I λi 6= 0. Il existe un unique point G ∈ X tel que

∑i∈I

λi−−→GAi =~0.

Ce point est appellé barycentre du système (Ai,λi).

Démonstration. Fixons une origine O de l’espace affine.

Analyse Si un tel point existe alors par la relation de Chasles on a

(∑i∈I

λi)−→GO+∑

i∈Iλi−→OAi =~0,

Nécessairement on a donc−→OG =

1∑i∈I λi

(∑i∈I

λi−→OAi).

Synthèse Fixons une origine O de l’espace affine et considérons le point G défini par

G = O+1

∑i∈I λi(∑

i∈Iλi−→OAi).

On vérifie la relation ∑i∈I λi−−→GAi =~0. L’analyse précédente prouve l’unicité d’un tel point.

Remarque 1.3.1.2. Si l’on a ∑i λi = 0, alors on vérifie aisément que la somme ∑i∈I λi−−→MAi ne dépend pas de M.

Proposition 1.3.1.3. Soit (X ,~E,+) un espace affine et G le barycentre d’un système de points (Ai,λi)i∈I . Pour tout point Mde X on a la relation

(∑i∈I

λi)−−→MG = ∑

i∈Iλi−−→MAi.

Démonstration. Il suffit d’appliquer la relation de Chasles à la définition de G.

Théorème 1.3.1.4 (Associativité des barycentres). Soit (X ,~E,+) un espace affine et G le barycentre d’un système de points(Ai,λi)i∈I . Considérons une partition de I :

I = I1t·· ·t Il

et supposons que pour tout j ∈ 1, . . . , l, la somme des poids ∑i∈I j λi est non nulle, on la notera µ j. On peut donc considérerle barycentre du système de points (Ai,λi)i∈I j , on le note G j et on l’appelle barycentre partiel. Le point G est le barycentredu système (G j,µ j).

Démonstration. A montrer ∑lj=1 µ j

−−→GG j =~0. En effet par définition des µ j nous avons

l

∑j=1

µ j−−→GG j =

l

∑j=1

(∑i∈I j

λi)−−→GG j

Par la proposition qui précède on al

∑j=1

µ j−−→GG j =

l

∑j=1

(∑i∈I j

λi−−→GAi)

Comme la famille I j est une partition de I (chaque élément de I apparaît une fois et une seule) on a

l

∑j=1

µ j−−→GG j = ∑

i∈Iλi−−→GAi =~0.

1.3. BARYCENTRE 23

Définition 1.3.1.5 (Isobarycentre). Soit (X ,~E,+) un espace affine et (Ai)i∈I une famille de points de A. Si le cardinal de I estnon nul dans le corps des scalaires K (ce qui est toujours le cas si K=Q,R,C, mais ne l’est plus si par exemple K= Z/5Z)alors on appelle isobarycentre de la famille de points (Ai)i∈I le barycentre du système (Ai,1), i ∈ I.

Définition 1.3.1.6 (Milieu de deux points). Soit (X ,~E,+) un espace affine. Supposons la caractéristique du corps K dif-férente de 2. Le milieu de deux points distincts A et B est le barycentre du système (A,1),(B,1).

Définition 1.3.1.7 (Médiane d’un triangle). Supposons dans cette définition que la caractéristique du corps de base estdifférente de 2 et 3. On considère un espace affine (X ,~E,+) et trois points A, B et C non alignés. Par hypothèse sur le corpsK, les milieux des côtés du triangle ABC existent ainsi que le centre de gravité G isobarycentre des points A, B et C. Onappelle médiane toute droite passant par un sommet du triangle et par le milieu du côté opposé. Ces médianes concourent aupoint G.

Démonstration. En effet notons A′ le milieu de BC. Par associativité du barycentre, le point G est barycentre des points(A,1),(A′,2) ce qui montre qu’il appartient à la médiane. L’assertion suit.

Remarque 1.3.1.8. Si le corps K est de caractéristique 3, par exemple K= Z/3Z alors les trois médianes du triangle ABCsont parallèles ! En effet si on appelle A′ le milieu de BC, B′ le milieu de AC et C′ celui de AB on a

−→AA′ =

−→BB′ =

−→CC′. Par

exemple :

2−→AA′ =

−→AB+

−→AC = 3

−→AB+

−→BA+

−→BC = 2

−→BB′

par la relation de Chasles et par le fait que 3 est nul dans K, et l’on obtient l’égalité−→AA′ =

−→BB′ car 2 est inversible dans K.

1.3.2 Barycentres, sous-espaces affines, applications affines

Cette partie montre que la notion de barycentre est l’invariant fondamental de la géométrie affine. La longueur estl’invariant fondamental de la géométrie euclidienne, l’angle est l’invariant fondamental de la géométrie conforme, et lebirapport est l’invariant fondamental de la géométrie projective.

Théorème 1.3.2.1 (Les barycentres caractérisent les applications affines). Considérons f : X → Y une application affine.L’image par f du barycentre d’un système (Ai,λi) est le barycentre du système ( f (Ai),λi). Réciproquement, toute applicationf qui respecte ainsi la notion de barycentre est une application affine.

Démonstration. En effet notons G le barycentre du système (Ai,λi). A montrer

∑i∈I

λi−−−−−−→f (G) f (Ai) =~0

En effet on applique ~f à la relation ∑i∈I λi−−→GAi =~0 par linéarité on obtient

∑i∈I

λi~f (−−→GAi) =~0

puis on utilise le fait que pour tout couple de points A, B, ~f (−→AB) =

−−−−−−→f (A) f (B).

Considérons une application f : X → Y tel que pour tout barycentre G d’un système de points (Ai,λi), f (G) est lebarycentre du système de points ( f (Ai),λi). Montrons que l’application f est affine. Montrons qu’il existe une applicationlinéaire ~f telle que pour tout couple de points A, B, ~f (

−→AB) =

−−−−−−→f (A) f (B).

Fixons pour cela un point O de X , considérons un vecteur~u de ~E et posons

~f (~u) :=−−−−−−−−−→f (O) f (O+~u)

En particulier pour tout point M, on a ~f (−−→OM) =

−−−−−−→f (O) f (M). Montrons qu’un tel ~f est linéaire. Soit λ un scalaire et~v un autre

vecteur. Montrons que~f (λ~u+~v) = λ~f (~u)+~f (~v)


c’est à dire −−−−−−−−−−−−−→f (O) f (O+λ~u+~v) = λ

−−−−−−−−−→f (O) f (O+~u)+

−−−−−−−−−→f (O) f (O+~v)

Nécessairement f (O) doit être le barycentre du système

( f (O+λ~u+~v),−1),( f (O+~u),λ),( f (O+~v),1).

c’est le cas, car f conserve le barycentre et O est le barycentre du système

(O+λ~u+~v,−1),(O+~u,λ),(O+~v,1).

Remarquons enfin que par la relation de Chasles ceci entraîne que pour tout couple de points A, B,

~f (−→AB) =

−−−−−−→f (A) f (B).

Théorème 1.3.2.2 (Les barycentres caractérisent les sous espaces affines). Soit (X ,~E,+) un espace affine et Y une partie deX. L’ensemble Y est un sous espace affine de (X ,~E,+) si et seulement si tout barycentre de système de points de Y appartientà Y .

Démonstration. En effet supposons que Y soit un sous espace affine de (X ,~E,+). Considérons G le barycentre du système(Ai,λi)i∈I où les Ai appartiennent à Y . Montrons que G appartient à Y . Fixons un point O dans Y , on a alors

−→OG =

1∑i∈I λi

(∑i∈I

λi−→OAi),

ce qui montre que G appartient à Y .

Réciproquement, supposons Y stable par barycentrage. Fixons un point O de Y . Montrons que pour tout couple (A,B) deY pour tout scalaire λ le point O+λ

−→OA+

−→OB appartient à Y . Notons G un tel point on a

−−→OG+λ−→OA+

−→OB = 0

ce qui se réécrit par la relation de Chaslesλ−→OG+λ

−→AG+

−→BG = 0

et montre que le point G est le barycentre du système de points (O,−λ),(A,λ),(B,1) ce qui par hypothèse montre que lepoint G appartient à Y .

1.3.3 Coordonnées barycentriques

Définition 1.3.3.1. Soit (X ,~E,+) un espace affine de dimension n. Soit (Ai)i∈0,...,n une base affine. Pour tout point M deX il existe une unique famille de scalaires (λi)i∈0,...,n tel que M soit le barycentre du système (Ai,λi) avec la condition∑

ni=0 λi = 1. La famille (λi)i∈∈0,...,n est appelée coordonnées barycentriques du points M par rapport aux points (Ai).

Démonstration. Montrons l’existence. Par définition la famille (−−→A0Ai)i∈1,...,n est une base de ~E, donc le vecteur

−−→A0M se

décompose sur cette base :−−→A0M =

n

∑i=1

αi−−→A0Ai.

Par la relation de Chasles on obtient alors

(1−n

∑i=1

αi)−−→MA0 +

n

∑i=1

αi−−→MAi =~0,

1.4. LES THÉORÈMES FONDAMENTAUX 25

ce qui montre que M est le barycentre du sysème

A0,λ0 = 1−n

∑i=1

αi∪(Ai,λi = αi), i ∈ 1, ...,n,

avec ∑ni=0 λi = 1.

Montrons l’unicité. Supposons que l’on ait deux familles convenables de scalaires (λi)i∈0,...,n et (λ′i)i∈0,...,n. Montrons queces familles sont égales. Nous avons les relations

n

∑i=0

λi−−→MAi =~0, et

n

∑i=0

λ′i−−→MAi =~0.

Par la relation de Chasles on fait intervenir l’élément 0 et on obtient :

(n

∑i=0

λi)−−→MA0 +

n

∑i=1

λi−−→A0Ai =~0

et

(n

∑i=0

λ′i)−−→MA0 +

n

∑i=1

λ′i−−→A0Ai =~0.

En utilisant le fait que ∑ni=0 λi = ∑

ni=0 λ′i = 1, en faisant la différence de ces deux expressions, puis en utilisant le fait que la

famille (−−→A0Ai)i∈1,...,n est libre on obtient que pour tout i ∈ 1, ...,n, λi = λ′i. Ceci induit par ailleurs

λ0 = 1−n

∑i=1

λi = 1−n

∑i=1

λ′i = λ

′0.

1.4 Les théorèmes fondamentaux

Notation 1.4.0.2. Considérons trois points alignés A, B, C d’un espace affine (X ,~E,+). Les vecteurs−→AB et

−→AC sont donc

colinéaires : il existe un unique scalaire λ ∈K, tel que−→AB = λ

−→AC. On notera ce scalaire

−→AB−→AC

.

Commençons par le cas du plan

Théorème 1.4.0.3 (Thalès-Plan). Dans un plan affine on considère deux droites concourantes D et D ′ en un point noté O.On considère deux points distincts A et B et deux points distincts A′ et B′ sur D ′. Si les droites (AA′) et (BB′) sont parallèlesalors on a les égalités

−→OA−→OB

=

−→OA′−−→OB′

=

−→AA′−→BB′

.

Réciproquement, si−→OA−→OB

=

−→OA′−−→OB′

alors les droites (AA′) et (BB′) sont parallèles.

Démonstration. En effet si les deux droites sont parallèles considérons l’homothétie centrée 0 qui envoie le point A sur B.L’image d’une droite par une homothétie est une droite qui lui est parallèle. Par conséquent l’image de la droite (AA′) est ladroite passant par B et parallèle à (AA′) c’est donc (BB′). Donc l’image du point A′ est le point B′ et celle du vecteur

−→AA′ est

−→BB′. Les trois rapports sont donc égaux au rapport de l’homothétie. Réciproquement considérons l’homothétie centrée en Oqui envoie le point A sur B. Si l’on a l’égalité

−→OA−→OB

=

−→OA′−−→OB′

alors l’image de A′ est le point B′ et l’image de la droite (AA′) est (BB′), elles sont donc parallèles.


Théorème 1.4.0.4 (Thalès). Soit (X ,~E,+) un espace affine. Considérons trois hyperplans affines parallèles H , H ′, H ′′ etdeux droites affines D et D′ non parallèles à ces hyperplans. Chaque droite coupe les hyperplans en un unique point. Notonsalors

A = H ∩D, B = H ′∩D, C = H ”∩D

etA′ = H ∩D ′, B′ = H ′∩D ′, C′ = H ”∩D ′.

Alors on l’égalité des rapports :−→AB−→AC

=

−−→A′B′−−→A′C′

Démonstration. L’idée est de se ramener au cas plan. Pour cela on considère la translation de vecteur−→AA′. Ce vecteur

appartient à la direction commune des trois hyperplans parallèles, qui de fait sont stables sous cette translation. L’image dela droite D est la droite parallèle à D passant par A′ on la note D”. Elle coupe H ′ en un point B” et H ” en un point C”. Partranslation nous obtenons les égalités

−→AB =

−−→A′B” et

−→AC =

−−→A′C” d’où l’égalité des rapports

−→AB−→AC

=

−−→A′B”−−→A′C”

.

Ceci prouve le théorème dans le cas où les droites D et D ′ sont parallèles, c’est à dire D ′ = D”. Si ce n’est pas le casalors notons P le plan affine engendré par les droites D ′ et D”. Par la formule de la dimension ce plan affine coupe chaquehyperplan en une droite, les droites obtenues sont parallèles de direction

−→H ∩−→P . Le théorème de Thalès dans un plan affine

fournit alors le résultat.

Théorème 1.4.0.5 (Pappus - forme affine). On considère dans un plan affine deux droites D et D ′ munies chacune de troispoints A, B, C et A′, B′, C′. On suppose que les droites (AB′) et (BC′) sont parallèles, et les droites (A′B) et (B′C) sontparallèles. Les droites (AA′) et (CC′) sont parallèles.

Démonstration. Supposons les droites D et D ′ concourantes en un point O. Considérons l’homothétie h centrée en O quienvoie A sur B et l’homothétie notée h′ centrée en O qui envoie B sur C. Les droites (AB′) et (BC′) étant parallèles on endéduit que l’image par h du point B′ est le point C′. Les droites (A′B) et (B′C) étant parallèles on en déduit que l’image parh′ du point A′ est le point B′. La composée h′ h est une homothétie envoyant A sur C. Notons que l’on a h′ h = hh′, doncl’image de A′ par h′ h est C′. Ainsi l’image de la droite (CC′) est la droite (AA′). Ces droites sont donc parallèles.

Si les droites D et D ′ sont parallèles alors on a deux parallélogrammes BCB′A′ et ABC′B′ on en déduit donc les relationsvectorielles −→

AC =−→AB+

−→BC =

−−→B′C′+

−−→A′B′ =

−−→A′C′.

Par conséquent ACC′A′ est un parallélogramme donc les droites AA′ et CC′ sont parallèles.

Théorème 1.4.0.6 (Desargues). Soit ABC et A′B′C′ deux triangles d’un espace affine sans sommets communs. Si les droitesAB et A′B′ sont parallèles, ainsi que les droites AC et A′C′ et les droites BC et B′C′ alors les droites AA’, BB’ et CC’ sontconcourantes ou parallèles.

Démonstration. Supposons que ces droites ne sont pas parallèles, montrons qu’elles sont concourantes. Supposons parexemple que les droites AA′ et BB′ ne sont pas parallèles. Les droites AB et A′B′ étant parallèles les quatres points A, B,A′ et B′ appartiennent à un même plan affine. Les droites AA′ et BB′ étant non parallèles elles sont concourantes en unpoint O. Considérons alors l’homothétie centrée en O qui envoie le point A sur A′. Elle envoie le point B sur le point B′.Montrons que l’image du point C par h est le point C′, ceci montrera que les droites AA′, BB′ et CC′ concourent en O. Eneffet l’image h(C) est l’intersection de la droite h(AC) et de la droite h(BC). Ces droites passent respectivement par A′ et B′

et sont respectivement parallèles à AC et BC, ce sont donc A′C′ et B′C′, d’où h(C) =C′.

Théorème 1.4.0.7 (Théorème fondamental de la géométrie affine). On suppose ici que le corps de base est R. Soit f : X→Yune bijection entre espace de points de deux espaces affines de même dimension plus grande que 2. Si cette bijection conservel’alignement alors c’est une application affine.

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