LAME Julien HILLAIRET Co-Directeurs de thèse Jérôme SOKOLOFF / Sylvain BOLIOLI Applications du...

LAME

Julien HILLAIRET

Co-Directeurs de thèse

Jérôme SOKOLOFF / Sylvain BOLIOLI

Applications du formalisme des faisceaux gaussiens à la modélisation de l'interaction

d'une onde électromagnétique avec un objet 3D complexe

/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007

Champincident

Champrayonné

? Les méthodes rigoureuses (MoM,...) ne sont pas adaptées à des problèmes de grandes tailles. ONERA : ELSEM3D

Les méthodes asymptotiques (lancer de rayons,...) sont adaptées en haute fréquences. ONERA : FERMAT

Contexte de l'étude

Calcul de champs rayonnés

Plusieurs approches :

Solution complémentaire : les faisceaux gaussiens (FG)Avantages :

Nombre de faisceaux < nombre de rayonsPas de caustiques


Sommaire

État de l'art : les faisceaux gaussiens (FG)Propriétés principalesProblématiques

Interactions avec des parois de forte courbureSpectre d'un faisceau gaussien conforme.

Diffraction d'un faisceau gaussienDiffraction 2D par un demi-plan infini ;Diffraction 3D par une surface rectangulaire finie.

Applications des faisceaux gaussiensContexte de la propagation EM.

Conclusion et perspectives


Surface de décomposition

État de l'art

Décomposition des champs EM en FG

Champ EM

(connu)

Champ initial défini sur une surface courbe

Décomposition en FG

Propagation des FG

Faisceaux gaussiens

Interactions des FG avec la scène


Décomposition de champs en FG

Décomposition de champs peu divergents

Décomposition multi-modale : surfaces courbes(F.Minato, O.Pascal, J.Sokoloff).

Décomposition de champs divergents

Décomposition de Gabor / frames de Gabor : surfaces planes ou cylindriques(L.Felsen,C.Letrou, D.Lugara) ;

Décomposition sur une surface sphérique en champ lointain (P.Schott) ;

Décomposition multi-faisceau gaussiens : surfaces courbes(A.Chabory).


Faisceaux Gaussiens

Un FG est un faisceau dont :L'amplitude transverse est gaussienneLa propagation peut se formuler analytiquement

E(x,y,z=0)

Plan transverse

Décomposition en spectre d'ondes planes du champ

dans le plan initial (analytique)

Méthodes asymptotiques

Propagation du faisceau

Formulations analytiques

E(x,y,z=0)


z

Propagation d'un FG

Plusieurs formulations analytiquesApproche classique (multimodale) ;Approche spectrale : paraxiale ;Approche spectrale : champ lointain.

R

Matrice de courburecomplexe du FG

Zone de validitéformulation champ lointain

Zone de validitéformulation paraxiale


Interaction d'un FG

Interaction d'un FG avec une surface courbe

1 FG incident → 1 FG Réfléchi et 1 FG Transmis (lois ABCD/phase matching)

1 FG incident → Champs Réfléchi et Transmis (coefficients R&T analytiques puis décomposition en FG)

Surface très courbe : Faisceaux Gaussiens “Conformes”


Problèmes restés ouverts en début de thèse:Interactions avec des parois de forte courbure (FGC) ;

Diffraction d'un FG.

Problématiques

??


Interactions avec des parois de forte courbure


Parois de forte courbure

Contexte originel : interactions antennes/radômesradômes de forte courbure

Surface (virtuelle)de décomposition en FG

Décomposition en FG

Lorsque l'angle entre : • la normale n à la surface en M • la direction du vecteur de Poynting P local d'un faisceau,

est important :

la décomposition en FG n'est plus valide !

zoom

Champ Transmis

Champ Réfléchi



Introduction aux Faisceaux Gaussiens ConformesDes faisceaux adaptés aux surfaces courbes

Surface de décompositiontrès courbe

Champ incident

Approche : Calcul des courants équivalents J et M sur la surface Décomposition de ces courants en courants « gaussiens »

Rayonnement de ces courants « gaussiens » : FGCapproximation quadratique de la surface localehypothèse grande distance

Allure gaussiennesur la surface

Expressionanalytique

Evolution linéaire de la phase

sur la surface



Interaction d'un FGC avec un diélectriqueExemple : radôme de pointe

r

Le champ incident sur la paroi interne est décomposé en FGC

La propagation analytique des FGC est valide à grande distance

Pour procéder comme avec les FG : spectre d'ondes planes

Spectre d'ondes planes d'un FGC•Généralement défini sur un plan

•Un FGC est défini pour une surface courbe !

?


Ainsi,

Spectre d'ondes planes d'un FGC (1)

On part des intégrales de courants de Franz :

On utilise le développement en ondes planes d'un point source (Weyl, 1919):

avec :


Inversion de l'ordre d'intégration

Méthode du Point col


Opérateurs différentiels

Expression spectrale d'un FGC



avec

Spectre d'ondes planes d'un FGC :

Métrique de la surface courbe

Forme (pseudo) quadratique

Matrice de courbure complexe


kxs ,ky

s

Évaluation par la méthode du col Expression analytique

en zone proche

Évaluation asymptotique du spectre d'ondes planes

Obtention d'une expression analytique du champ

Problème : validité de l'évaluation asymptotiqueValide en zone lointaine

Limitations en zone proche dues à la position du point col : une évaluation numérique est possible, mais coûteuse en temps de calcul.


Diffraction d'un faisceau gaussien


Diffraction d'un FG

ContexteCas de figure d'un FG interceptant une arête

BibliographieMéthodes de champs (OG/TGD, TUD...)Méthodes de courants (OP/TPD...)


Diffraction 2D d'un FG : approches utilisables

Cas d'un plan semi-infini (problème 2D) :

Deux solutions exactes : Utilisation du Spectre d'Ondes Planes (SOP) ;Théorie du Point Source Complexe (PSC).

Une solution approchée :Hypothèse de l'Optique Physique (OP)

Plan conducteur semi-infini

Effet de

l'arête?

Es



Utilisation du spectre d'ondes planesLe FG incident est décomposé en ondes planes ;

On connaît le champ diffracté par chacune des ondes planes (Sommerfeld, 1896) ;

Le champ diffracté par le FG correspond à la somme des ondes planes diffractées.


EdFG

Formulation exacte et intégrale.


Diffraction 2D d'un FG


Paramètres :Incidence : 45°

Polarisation TE

Centre du faisceau sur l'arête

Calcul du champ proche

Spectre d'ondes planes (intégration numérique)

Spectre d'ondes planes



Théorie du point source complexe

Le rayonnement d'un point source dont les coordonnées sont complexes correspond approximativement à un FG paraxial.

L'expression du champ diffracté par un point source complexe correspond à celle d'un pointsource réel (Stratton, 1941).


r

Formulation exacte et analytique.

~ ~

~



Point source complexe(expression analytique)

Plan semi-infini : Point source complexe




Hypothèse de l'Optique Physique (OP)On calcule le courant électrique OP sur le demi-plan :

On calcule le champ rayonné par ce courant :

Évaluation asymptotiqueExpression analytique.


Er

Hi(S)

n̂Formulation approchée

et analytique.



Optique Physique(expression analytique)

Plan semi-infini : Optique Physique




Plan semi-infini : comparaisons des approchesSpectre d'ondes planes

(intégration numérique)Optique Physique

(expression analytique)

Champ rayonné lointain

Différences : en zone proche et en dehors des directions principales de rayonnement

Φ


Diffraction d'un FG

Plan semi-infini : bilan

OPPSC(FG parax.)

SOP

2D

3D(vect.)

Exact

Analytique

Approx.

Analytique

Approx.

Analytique

Exact

1 intégrale

Exact

2 intégrales

Astigmatis.

Polarisation

Compromisentre

précisionet temps de

calcul


S

Diffraction 3D par un FG : surface finie et OP

OP pour une surface finie (3D) :

Évaluation asymptotique. Hypothèses :

Point d'observation en zone lointaine ;

Matrice de courbure du FG incident constante sur la surface éclairée ;

“Découpage” du domaine d'intégration

HHi

Courant de l'OP sur la surface S

avec

Es

Forme canoniquepropice à l'utilisation

de la méthode du point col


Développement asymptotique connu

1er terme analytique

Diffraction 3D d'un FG : Optique Physique

« Découpage » du domaine d'intégration (1)


A B

D C

Même approche :(4 intégrales doubles

avec 2 bornes)

approximations uniformes

A BC

D

4 termes analytiques

2 Développements asymptotiques uniformes en cascade

4 termes an.

Diffraction 3D d'un FG : Optique Physique

« Découpage » du domaine d'intégration (2)

Finalement : le développement asymptotique global correspond à la somme de 1+4+4=9 termes analytiques.



Application numérique (1)

dBPlaque :• taille : 20x20

FG incident : centre en (x,y,z)=(10,0,10)

angle zenith : 0°

angle azimuth : 0°

Observation : angles zenith : -90° à 90°

angle azimuth: 0°

distance obs : 1000

composante E

Légende :

• Intégration numérique OP

• Expr. Analytique OP

• Différence

Très bonne correspondance entre intégration numérique

et expression analytique.




dB Plaque :• taille : 20x20

FG incident : centre en (x,y,z)=(0,0,50)

angle zenith : 0°

angle azimuth : 0°


angle azimuth: 0°

distance obs : 1000

composante E

E

Légende :



• Méthode des Moments (MoM)

• Différence entre MoM et OP analytique

Très bonne correspondance entre OP numérique et OP analytique

partout.

Bonne correspondance entre OP et MoM

pour les premiers lobes.




dB Plaque :• taille : 10x10

FG incident : centre distant de 30 angle zenith : 45°

angle azimuth : 0°


angle azimuth: 0°

distance obs : 1000

composante E

E

i=45°

E

Légende :





E

Légende :





E

Bonne correspondance entre OP numérique et OP analytique

partout.

Bonne correspondance entre OP et MoM

pour les premiers lobes.



Application numérique (4)Plaque :• taille : 10x10

FG incident : centre distant de 50 angle zenith : 45°

angle azimuth : 0°


angle azimuth: 37°

distance obs : 1000

composantes E et E

dB

i=45°

obs

=37°

EE

Légende :





Bonnes correspondances entre OP numérique et OP analytique.

Correspondances entre OP et MoM

uniquement pour les premiers lobes.


Diffraction 3D d'un FG : synthèse

Domaine de validité de la solution analytique

Hypothèses :

Haute-fréquence ;

Optique Physique ;

Observation en zone lointaine ;

Matrice de courbure constante sur la surface

Type de surface :

conductrice et rectangulaire ;

Taille minimum : 5λ x 5λ (OP) ;

Pas de taille maximum ;

Faisceaux gaussiens :

Angle d'incidence maximum : environ 60° ;

formulations pour FG paraxiaux ou champ lointain.

Exemple de temp de calcul :

MoM (référence) : 30 min

OP numérique : 2 min

OP analytique : 1 sec


Applications des FG


Applications des FG

Utilisation du lancer de faisceaux gaussiens :

Radômes diélectriques mono/multi-couches

Propagation EM indoor

Propagation EM outdoor (couverture telecom)

εr 3

εr 2

εr 1


Applications des FG : propagation

Exemple : propagation EM sur de grandes distances

Le champ incident sur le plan est décomposé en FG (paraxiaux);

On compare avec la résolution de l'équation parabolique (code ONERA-LAME, EPEE3D) ;

Le sol conducteur est modélisé par le théorème des images ;

Indice de réfraction de l'atmosphère = 1

planconducteur

(1 GHz)


Faisceaux Gaussiens (45 min)Équation parabolique (6h30)

Plan parallèle à la direction de propagation


Champ réfléchiChamp procheChamp lointain



Plan transverse à la direction de propagation (Composante principale (E

x), à 500m du plan)

coupe


Application des FG : propagation

Exemple : Propagation dans une valléedB

ouverture circulaire uniforme ;

décomposée en 472 FG(lointain) ;

=30° (>20°).


Conclusion et perspectives


Conclusion

Parois diélectriques très courbes :formulation du spectre d'ondes planes d'un FGC ;calcul numérique des interactions ;calcul analytique pour des parois en zone lointaine.

Diffraction d'un FG2D :

2 formulations exactes : SOP/PSC1 formulation approchée : OP

3D : 2 formulations approchées : OPnon uniformeUniforme (sans singularités ou discontinuités)

Applications des FG radômes contexte de propagation EM


Perspectives

Mathématiques :Développements asymptotiques possibles ?Modification de la forme des FGC ?Diffraction 3D : triangle

Physiques :Utilisation des FGC pour des radômes très courbes Applications des FG à des problèmes complets


Lancer de faisceaux gaussiens

Surface de faible courbure diélectriques ou métalliques :

faisceaux gaussiens « classiques ».

Surface de forte courburediélectrique ou métallique:

faisceaux gaussiens conformes.

Arête diffractante métallique :

diffraction d’un faisceau gaussien « classiques ».

Radôme diélectrique/multicouches : f.g. « classiques » et conformes.


Merci pour votre attention


Re[exp(j k g(x))] pour g(x) = x^2 - 4x

x

Développement asymptotique d'intégrales

Principe (phase stationnaire)

xs

Point stationnaire :


Configuration des mesures


Configuration des mesures

Mesures de champs diffractés

Dipôle


Application du spectre d'ondes planes d'un FGC

Configuration



Champs incidents sur la surface



Champs transmis

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