L’auteur prend un soin extrême à situer la mécanique quantique … · 2016-08-26 · comparée...

Claude Aslangul

Mécanique quantique

ISBN : 978-2-8073-02952

Conc

epti

on g

raph

ique

: Pr

imo&

Prim

o

MECAQUAN

www.deboecksuperieur.com

C.A

slan

gul

Dans le cadre du nouveau Système Européen de Transfert de Crédits (E.C.T.S.), ce manuel couvre En France les niveaux : Licence 3.En Belgique : Baccalauréat 3.En Suisse : Bachelor 3.Au Canada : Baccalauréat 3.

L1L2

D

M2

M1

Licence de physique (L3)

LMD

s u p é r i e u r

Méc

aniq

ue q

uant

ique

9 782807 302952

L’auteur prend un soin extrême à situer la mécanique quantique dans son développe-ment historique, pour ne pas placer le lecteur face à l’énoncé de postulats arbitraires qui pourraient le rebuter. L’ensemble est très rigoureux, clairement exposé, et les notions sont abondamment discutées au fur et à mesure de leur introduction.

Ce premier tome, correspondant à un enseignement de 3e année, est divisé en deux parties. La première partie analyse les expériences cruciales de la physique microscopique qui, à l’orée du XXe siècle, ont imposé une révision radicale des concepts pour la compréhension des phénomènes à l’échelle atomique. Cette partie revient sur des notions fondamentales de mécanique, de statistique et d’électromagnétisme, et donne l’occasion de raisonner physiquement et de manipuler des ordres de grandeur. Elle fournit enfin le prétexte idéal à une introduction élémentaire de la mécanique analytique, souvent absente des cursus. Cette partie se termine par une présentation comparée des deux premières versions de la mécanique quantique : la mécanique des matrices de Heisenberg et la mécanique ondulatoire de Schrödinger.

La deuxième partie commence par une synthèse des idées rassemblées antérieurement, autorisant l’énoncé des postulats sur la base du sens physique, et la mise en place intuitive et pragmatique du formalisme mathématique nécessaire. Par la suite, l’accent est mis sur le lien indissoluble entre le contenu physique de la théorie et sa conséquence la plus spectaculaire : la quantification de certaines grandeurs physiques. Les problèmes les plus simples (potentiels constants par morceaux) sont ensuite traités en détail, révélant les comportements étranges prévus par la théorie quantique, et mettant en évidence l’extrême singularité de la limite classique. Ce tome s’achève par le traitement de l’oscillateur harmonique, allant jusqu’à l’introduction des opérateurs de création et d’annihilation et la définition des états cohérents.

Cet ouvrage est issu d’une expérience d’enseignement pendant plusieurs années en Licence et Maîtrise de Physique de l’Université Pierre et Marie Curie (Paris 6) et à l’École Normale Supérieure (Ulm).

Claude Aslangul est professeur émérite à l’Université Pierre et Marie Curie et a enseigné à l’École Normale Supérieure (Ulm) pendant une quinzaine d’années. Il est membre du Laboratoire de Physique Théorique de la Matière Condensée (Jussieu).

LM

D

cours

Claude Aslangul


1. Fondements et premières applications

2e édition

1

Les «plus» Très nombreux exercices

et problèmes

Style clair et vivant, facilitant lalecture

Conforme aux enseignementsde 3e année de physique (L3)

Démarche fondée sur l’intuition

+

L3

CV_9782807302952_MECAQUAN_EP1.indd Toutes les pages 05/02/2016 16:22

Mécanique quantique 1

Licence Maîtrise Doctorat

PhysiqueAslAngul C., Mécanique quantique. 1. Fondements et premières applications. 2e éd.AslAngul C., Mécanique quantique. 2. Développements et applications à basse énergie. 3e éd.AslAngul C., Mécanique quantique. 3. Corrigés détaillés et commentés des exercices

et problèmes. 2e éd.BéCherrAwy T., Optique géométriqueBiemont É., Spectroscopie atomique. Instrumentation et structures atomiquesBiemont É., Spectroscopie moléculaire. Structures moléculaires et analyse spectraleChAmpeAu r.-J., CArpentier r., lorgeré i., Ondes lumineuses. Propagation, optique de Fourier,

cohérencemAyet F., Physique nucléaire appliquéerieutord m., Une introduction à la dynamique des fluidestAillet r., Optique physique. Propagation de la lumière. 2e éd.wAtzky A., Thermodynamique macroscopique

ChimieCAChAu-herreillAt d., Des expériences de la famille Acide-Base. 3e éd.CAChAu-herreillAt d., Des expériences de la famille Réd-Ox. 2e éd.ChAquin P., VolAtron F., Chimie organique : une approche orbitalairedepoVere p., Chimie générale. 3e éd.depoVere p., Chimie organique. 2e éd.girArd F., girArd J., Chimie inorganique et générale : des expériences pour mieux comprendre !kiel m., L’oxydoréduction. Du nombre d’oxydation aux diagrammes de PourbaixmArtinAnd-lurin e. et grüBer r., 40 expériences illustrées de chimie générale et organique.

La chimie, une science expérimentalemoussArd C., Biochimie structurale et métabolique. 3e éd.moussArd C., Biologie moléculaire et Biochimie des communications cellulairesrABAsso n., Chimie organique. Généralités, études des grandes fonctions et

méthodes spectroscopiques. 2e éd.rABAsso n., Chimie organique. Hétéroéléments, stratégies de synthèse et

chimie organométallique. 2e éd.

Claude Aslangul

Mécanique quantique 1

Fondements et premières applications

2e édition

COURS

s u p é r i e u r

© De Boeck Supérieur s.a., 2016 Fond Jean Pâques, 4, B-1348 Louvain-la-Neuve

Tous droits réservés pour tous pays. Il est interdit, sauf accord préalable et écrit de l’éditeur, de reproduire (notamment par

photocopie) partiellement ou totalement le présent ouvrage, de le stocker dans une banque de données ou de le communiquer au public, sous quelque forme et de quelque manière que ce soit.

Imprimé en Belgique

Dépôt légal : 2e édition 2016 Bibliothèque nationale, Paris : février 2016 1er tirage 2016 Bibliothèque royale de Belgique, Bruxelles : 2016/13647/079 ISBN : 978-2-8073-0295-2

Pour toute information sur notre fonds et les nouveautés dans votre domaine de spécialisation, consultez notre site web : www.deboecksuperieur.com

v

A Laure

Préface

vii

Preface

“On ne connaıt pas completement une science

tant qu’on n’en sait pas l’histoire.”

(Auguste COMTE, 1798–1857)

Cet ouvrage est issu d’un enseignement dispense pendant plusieurs annees enLicence et Maıtrise de physique fondamentale a l’Universite Pierre et Marie Curie (Paris6) et, en ce qui concerne le deuxieme tome, emprunte quelques elements d’un cours donneen premiere annee a l’Ecole normale superieure.

La structuration en deux tomes distincts resulte d’un parti pris inspire par le soucid’inscrire la theorie quantique dans ses tenants historiques, avant d’en exposer le forma-lisme minimum puis d’en donner les toutes premieres applications, le plus souvent deli-berement restreintes a des situations modeles en raison de l’immensite de toutes ses ap-plications reelles. Au-dela de l’interet de la perspective historique, l’auteur est convaincuque l’expose en raccourci de la demarche parfois vagabonde des plus grands physiciens du20 e siecle a des vertus pedagogiques et formatrices irremplacables. Ajoute a la neces-site de presenter les premieres illustrations de la mecanique quantique, ne serait-ce quepour lever le voile sur son extreme richesse et son extraordinaire pouvoir explicatif, il enresulte un contenu dont le volume depasse de loin celui d’un livre unique.

Le premier tome, Fondements et premieres applications, est lui-meme divise endeux parties, quoique la numerotation des chapitres soit volontairement sans subdivision.Ce choix n’est pas seulement un detail de presentation ; il vise a marquer d’emblee le soucide montrer l’imbrication (l’intrication ?!) entre les experiences cruciales demontrant lafaillite de la pensee classique au niveau microscopique et les tentatives successives paressai et erreur alliant rigueur et pragmatisme, conduisant finalement a l’achevementd’une theorie aux succes stupefiants et a la robustesse sans doute unique dans l’histoiredes sciences dites exactes 1.

La theorie quantique a maintenant presque quatre-vingt-dix ans d’age et, commetoute theorie dont on peut dire qu’elle est presque achevee en ce qui concerne son corpsde doctrine, il est possible d’en donner un expose axiomatique, posant d’emblee les pos-tulats necessaires. Cette facon de proceder n’a pas que des avantages : si elle est paressence purement deductive et seduit l’esprit cartesien, elle ecarte ipso facto les proces-sus historiques de germination des idees et peut donner l’impression d’une progression

1 Cette theorie a d’ailleurs un statut tres particulier, peut-etre unique : tout en constituant unegeneralisation de la mecanique classique, la mecanique quantique ne peut etre construite de faconindependante, mais doit s’appuyer sur cette limite classique pour etre formulee en detail [1].

physiqueMécanique quantique

viii

viii

lineaire – incomprehensible eu egard a l’indeniable bouleversement conceptuel –, erroneeet trompeuse au seul vu de la chronologie. Apres tout, les plus grands physiciens dusiecle passe ont reflechi pendant des annees sur les difficultes de la physique classiqueavant que puisse eclore, au prix parfois d’errements et d’egarements, une theorie auxfondements totalement revolutionnaires par rapport a la vision classique. Passer soussilence ce cheminement hesitant marque par des avancees spectaculaires ou le raison-nement intuitif, analogique et heuristique a joue un role decisif, ne saurait rendre justiceaux pionniers 2 grace auxquels nous disposons aujourd’hui d’une theorie a la coherenceremarquable et au pouvoir explicatif incontestable 3, et d’ailleurs inconteste.

On sait que l’avenement de la mecanique quantique n’est qu’une face du boule-versement presque total qui s’est produit a cette epoque, l’autre face etant l’emergence desidees relativistes, engendrees elles aussi sous la pression des faits experimentaux et for-mulees par Einstein dans une demarche dont l’audace et l’elegance figurent au pantheondes prouesses de l’esprit humain. Ayant vu naıtre la relativite et la mecanique quantique– deux avancees majeures se rejoignant souvent pour s’enrichir mutuellement –, il n’estpas exagere de dire que les trois premieres decennies du 20 e siecle constituent, strictosensu, une periode revolutionnaire de la physique.

L’etat de la physique vers 1900 n’est pas sans rapport avec celui d’un systemecritique dans plusieurs acceptions de ce terme : critique au sens ou l’accumulation d’expe-riences cruciales demontrait peu a peu, de facon implacable, les incapacites de la theorieclassique a decrire les phenomenes observes a l’echelle atomique et subatomique. Critiqueaussi au sens des experts en phenomenes critiques, familiers avec l’hesitation d’un syste-me physique partage entre deux etats (phases) au voisinage d’une certaine temperature,et basculant soudainement sous l’effet d’une petite variation de temperature et/ou d’unegermination declenchant une avalanche microscopique aux consequences macroscopiques,donc spectaculaires. Acceptant cette analogie, mutatis mutandis, l’instant primordialpour la mecanique quantique fut la charniere 1925/1926 avec l’apport magistral presquesimultane – et. . . complementaire – de Heisenberg et de Schrodinger.

C’est cette phase de gestation que la premiere partie du tome I (chapitres 1 a 8)presente, en tentant de respecter l’equilibre entre la rigueur deductive et la simple chrono-logie – dans la mesure d’ailleurs ou cette derniere ne vient pas, justement, bousculer lalogique pure –, sans dissimuler les errements, les hesitations, voire les incoherences dela demarche des physiciens de ces temps. Cette confrontation entre la demarche d’ins-piration deductive et les contradictions qu’elle engendre elle-meme dans sa propre dy-namique peut etre consideree comme formant les premisses naturels de la revolutionconceptuelle qui allait survenir. En outre, la discussion detaillee des experiences cru-ciales est une belle occasion de raisonner physiquement a l’interieur d’un cadre somme

2 Heisenberg recut le prix Nobel en 1932, Dirac et Schrodinger le partagerent l’annee suivante : ils’est ainsi ecoule pres d’une decennie entre les premieres formulations (pourtant definitives) et leur recon-naissance institutionnelle. Sur les hesitations et les reticences du comite Nobel, voir par exemple l’articlede Robert Marc Friedman (Quantum theory and the Nobel prize, Physics World, 15(8), 33, aout 2002).

3 Au sens ou, a ce jour, aucune experience ne prend la mecanique quantique en defaut. Dans lesannees 1980, des experiences ont meme confirme certaines previsions de la mecanique quantique dansce qu’elle a, peut-etre, de plus “paradoxal” comme l’avaient stigmatise Einstein, Podolsky et Rosen en1935.

Préface

ix

ix

toute assez familier, avant de se lancer dans la manipulation d’une theorie dont la com-plexite technique est certainement moins deroutante aujourd’hui qu’elle ne l’a ete (ycompris pour ses peres fondateurs), mais demeure neanmoins assez lourde au premierabord, ceci sans compter avec la revision conceptuelle radicale qu’elle exige – il n’y avaitsans doute pas de concept classique plus ancre dans les esprits que celui de trajectoire,et pourtant. . .

Cette premiere partie est donc une sorte d’etat des lieux des aptitudes de laphysique classique a rendre compte des phenomenes atomiques ou subatomiques et desproprietes du rayonnement electromagnetique. Ce constat s’effectue par la descriptionprecise et la discussion critique des experiences qui, les unes apres les autres, ont ebranleles connaissances acquises et montre leurs limites, tout en ouvrant la voie vers la compre-hension future des phenomenes a l’echelle dite microscopique : decouverte des constitu-ants de l’atome, rayonnement du corps noir, effet photoelectrique, effet Compton. Elle setermine tout naturellement sur l’ancienne theorie des quanta, qui constitue la formalisa-tion la plus raffinee de l’ensemble des idees rassemblees sous la poussee de l’experience,mais qui reste fondamentalement ancree dans le domaine classique puisqu’elle n’en re-jette pas les concepts cles, dont celui de trajectoire precisement. L’expose detaille quien sera fait ne vise pas seulement a rendre justice a ses pionniers (Bohr, Wilson etSommerfeld), mais se trouve aussi justifie par le fait que cette theorisation, souventreleguee malgre ses tres grandes vertus, est un bel exemple d’approximation asympto-tique. Enfin, c’est une belle occasion de parler un peu de l’irremplacable mecaniqueanalytique, si souvent delaissee dans les cursus, alors que cette approche met en lumierel’importance en physique des notions universelles de principe variationnel et de symetrie.

La deuxieme partie du tome I (chapitres 9 a 16) est un expose de l’elaborationde la mecanique quantique et de ses premieres applications. Elle s’ouvre sur les contri-butions insurpassables de Heisenberg (1925) et de Schrodinger (1926), consacrant aupremier la place qui devrait toujours lui revenir. La demarche de Heisenberg peut appa-raıtre litteralement fascinante, en ce qu’elle met en œuvre une connaissance academiquephenomenale, un esprit de synthese hors du commun et une audace intellectuelle faisantsortir des sentiers battus au moment crucial – sans doute l’age de Heisenberg a-t-il joueun role important (il avait 24 ans !). Ce tournant decisif ayant ete pris, et les premierssucces spectaculaires etant acquis, le sens de la fonction d’onde est precise a l’aide del’experience fondamentale des fentes d’Young, avant d’en arriver aux observations deStern et Gerlach, dont les resultats imposerent la necessite d’une nouvelle percee concep-tuelle.

A ce stade, la revision conceptuelle radicale est achevee pour l’essentiel, autori-sant une pause sur ce plan pour construire une theorie en bonne et due forme, assisesur l’enonce de ses postulats, puis dotee d’un pouvoir operationnel par la constructiontechnique du formalisme adequat. C’est alors que les premieres exploitations peuventreellement commencer. Un chapitre entier est consacre a la description de l’evolutiontemporelle des systemes, compte tenu de la richesse du sujet. Les premieres applicationsconcernent les problemes dits a une dimension, les plus simples techniquement, ou l’ener-gie potentielle est constante par morceaux ; cette simplicite (toute relative) permet dese familiariser avec les etrangetes de la mecanique quantique, et d’accepter des conclu-


x

x

sions toujours deroutantes au premier abord : les occasions ne manqueront pas alorsde decouvrir les premiers effets spectaculaires prevus par la mecanique quantique (effettunnel. . . ), tout en montrant dans des cas simples la nature tres subtile de la limite clas-sique. Le dernier chapitre est consacre a la quantification de l’oscillateur harmonique, unsysteme dont l’importance peut se jauger au fait qu’il apparaıt dans les problemes les plusvaries qui soient, de l’electrodynamique quantique a la matiere condensee. L’importancede ce sujet justifie qu’en soient donnees les deux formulations devenues classiques : a laSchrodinger et a la Dirac.

Le premier tome s’arrete donc sur la demonstration des vertus a la fois explicativeset predictives de la mecanique quantique pour les situations les plus simples. Le secondtome (dont le contenu sommaire est donne ci-dessous p. xii) presentera le traitement desystemes plus realistes et completera le cadre theorique sans remettre en cause aucunedes idees fondamentales deja solidement assises.

Chaque chapitre se termine par une section ou sont proposes des exercices et desproblemes, dont le choix est dicte par le souci de presenter avec equilibre l’illustrationdes idees et des notions developpees anterieurement, le traitement de problemes d’interetphysique et le maniement des ordres de grandeur. Quelques corriges sont disponibles enligne (voir le site http://www.deboecksuperieur.com/), leur integralite constituant letome III du present ouvrage, dont la 2e edition enrichie vient d’etre publiee.

Les encadres apparaissant ici et la ont divers objectifs, selon les cas. Les unssont de simples citations a propos d’experiences ou d’etapes formelles decisives, visant atransmettre au lecteur la surprise ou la perplexite de leurs auteurs devant des resultatsinattendus. D’autres sont des complements destines a ouvrir sur une question incidente.On n’a pas hesite a les donner parfois en anglais, pour eviter des traductions successiveset aussi pour donner l’occasion au lecteur de pratiquer une langue qui, a tort ou a raison,est devenue indispensable.

La liste de references donnee a la fin de chaque tome ne se veut nullement exhaus-tive. Lorsqu’il s’agit d’ouvrages, elle reflete le plus souvent un gout personnel allie a lavolonte d’en appeler a des livres ayant fait date, et dont les qualites sont averees par tousceux, etudiants et enseignants, qui les ont intensement utilises.

Enfin, il est souhaite que cet ouvrage puisse concerner le plus large public possible.C’est pourquoi, si l’on peut accorder au tome I un niveau moyen (en gros L3 dans la ter-minologie LMD), certaines precisions et certains rappels pourront sembler elementairesa des lecteurs, tandis que des developpements pourront etre juges difficiles par d’autres –il en va de meme pour les exercices et problemes proposes. Par ailleurs, les nombreusesincidentes “hors programme” doivent etre comprises comme autant de sollicitations dela curiosite des lecteurs, invites par la a consulter des ouvrages varies, ou les sites dequalite traitant du point evoque. C’est un fait que la reforme LMD a, de facon quasiautomatique, considerablement accru l’heterogeneite des publics ; les enseignements cor-respondants ne peuvent ignorer cette tendance et, dans le souci premier de maintenir unniveau d’exigence eleve, la refleter en pariant positivement sur l’intelligence et la curiositedu public auquel ils s’adressent.

Préface

xi

xi

Preface a la deuxieme edition du tome I

Cette 2e edition presente un ouvrage substantiellement developpe par de nombreuxadditifs, retouches et corrections, ce que l’on peut apprecier globalement par l’augmentationdu nombre de pages par rapport a la 1re edition (de a 654 a 741). Toutefois, pour la com-modite du lecteur (et l’invariance des renvois d’un tome a l’autre), la structure du livrea ete deliberement preservee. Les nombreux complements ajoutes sont donc disseminesdans l’ouvrage, choisis afin de developper une question deja abordee dans la 1re editionpour en eclaicir les points les plus subtils (le passage a la limite classique par exemple),ou l’accompagner d’illustration concrete par la multiplication des figures, des analogies,voire des images. La liste de references a ete actualisee et considerablement enrichie.

Des problemes ont ete ajoutes aux endroits les plus appropries, notamment al’issue du chapitre 15 (potentiels unidimensionnels mais variant continument, marchefloue par exemple). De ce fait, leur numerotation presente ici et la des decalages par rap-port aux editions precedentes du livre de corriges (tome III). Toutefois, aucun problemen’ayant ete supprime, le reperage doit pouvoir s’effectuer sans reelle difficulte.


xii

xii

Contenu sommaire du tome II

Chapitre 17, Symetrie et lois de conservation : le principe euclidien de relativite, opera-teurs unitaires, operateurs antiunitaires, symetrie spatiale continue, invariance de jauge,symetries discretes, symetrie et degenerescence, invariance P T . Exercices et problemes.

Chapitre 18, Theorie du moment cinetique : importance du moment cinetique, proprietesgenerales des valeurs et vecteurs propres d’un moment cinetique, etats propres du momentcinetique orbital, cas particuliers des moments cinetiques j= 1

2 et j=1, addition de deuxmoments cinetiques, coefficients de Clebsch-Gordan, theoreme de Wigner-Eckart, reglesde selection. Exercices et problemes.

Chapitre 19, Potentiel central et atome d’hydrogene : definition du champ central etexemples, atome d’hydrogene. Exercices et problemes.

Chapitre 20, Le spin : insuffisances de la description par une seule fonction d’onde,magnetisme atomique, rotation d’un spin, retour sur le renversement du temps, equationde Dirac, champ central et atome d’hydrogene en theorie de Dirac, limite faiblementrelativiste et Hamiltonien de Pauli. Exercices et problemes.

Chapitre 21, Illustration des postulats de la mecanique quantique : l’effet Zenon quan-tique, sauts quantiques, cryptographie quantique, decoherence, intrication. Exercices etproblemes.

Chapitre 22, Particules identiques : indiscernabilite des particules identiques en Mecani-que quantique, le postulat de symetrisation, permutations, operateurs de symetrisationet d’antisymetrisation, etats d’un systeme de particules independantes : difference fon-damentale entre bosons et fermions, introduction a la seconde quantification. Exerciceset problemes.

Chapitre 23, Methodes d’approximation pour les etats propres : methode variationnelle,theorie des perturbations stationnaires, exemples d’application : effets Stark et Zeemanpour l’atome d’hydrogene. Exercices et problemes.

Chapitre 24, Theorie des perturbations dependant du temps : presentation generale, calculsystematique de l’operateur d’evolution et approximations successives, amplitudes detransition entre etats discrets : exemples, amplitudes de transition entre un etat discretet un continuum d’etats finals, regle d’or de Fermi, applications exemplaires, le theoremede Gell-Mann et Low. Exercices et problemes.

Chapitre 25, Introduction a la description purement quantique de l’interaction champ-matiere : Hamiltonien atome + champ, description elementaire de l’emission spontanee,de Wigner-Weisskopf a Rabi, description electrodynamique de l’interaction de van derWaals. Exercices et problemes.

Chapitre 26, Introduction a la theorie des collisions (diffusion) : presentation, diffusionpar un potentiel, equation integrale de la diffusion, analyse en ondes partielles, methodedes dephasages, resonances de diffusion. Exercices et problemes.

Contenu sommaire du tome II

xiii

xiii

Chapitre 27, Atomes a plusieurs electrons : modele a electrons independants, termesspectraux, structure fine, multiplets, structure hyperfine, theoreme du viriel, au-dela del’approximation a electrons independants, l’atome d’helium. Exercices et problemes.

Chapitre 28, Introduction a la physique des molecules : l’approximation de Born et Op-penheimer, structure electronique des molecules, nature physique de la liaison chimique,mouvement des noyaux, spectres de vibration et de rotation. Exercices et problemes.

Chapitre 29, Matiere condensee ordonnee : preliminaires, energie de cohesion des solidesordonnes, ordre spatial d’un cristal, diffraction. Exercices et problemes.

Chapitre 30, Electrons dans un cristal : preliminaires, theoreme de Bloch, premieresconsequences du theoreme de Bloch, applications choisies du theoreme de Bloch, conduc-teurs, semi-conducteurs, isolants, les magnons : un exemple de l’ordre magnetique d’unsolide, diffraction. Exercices et problemes.

Chapitre 31, Vibrations d’un solide ordonne : l’approximation harmonique, modes nor-maux d’un reseau unidimensionnel, modes normaux d’un reseau unidimensionnel a deuxatomes par maille, modes normaux d’un reseau tridimensionnel, quantification des vibra-tions de reseau, contribution des phonons a la chaleur specifique, manifestation desphonons dans les spectres de diffraction, mesure des relations de dispersion des phonons :diffusion inelastique des neutrons. Exercices et problemes.

Chapitre 32, Notions de transport dans les solides : generalites, le modele semi-classique,consequences du modele semi-classique, conductivite statique d’un metal, introduction ala supraconductivite. Exercices et problemes.

physique

xiv

Mécanique quantiquexiv

Remerciements

Je tiens a exprimer mes profonds remerciements a ceux qui, de pres ou de loin, ontcontribue aux enseignements dont cet ouvrage est issu, soit par une active participation,soit par des discussions vives et toujours enrichissantes. C’est ainsi un reel plaisir pourmoi de pouvoir chaleureusement remercier Alexia Auffeves-Garnier, Stephane Boucard,Pierre Charles, Bertrand Delamotte, Delphine Hardin, Eric-Olivier Le Bigot, FrancoiseMarsault, Dominique Mouhanna, Philippe Sindzingre et Sofian Teber dont la collabora-tion, episodique ou presque quotidienne, m’a ete et m’est encore si precieuse.

Je suis egalement reconnaissant a ceux de mes etudiants qui ont accueilli cetenseignement avec un enthousiasme gratifiant, tout particulierement Fabien Beckers, EliBen-Haım, Alexandre Cealis, Olivier Deloubriere, Isabelle Flory, Celine Laroche, JulietteReallomble et Julien Vidal.

M. Francis Germain, auditeur exceptionnel sur tous les plans, n’aura pas ete qu’unauditeur : ce(s) livre(s) doi(ven)t beaucoup a ses remarques pertinentes et a ses commen-taires affutes, sans parler des erreurs qu’il a debusquees dans les versions preliminaires.

Je ne saurais non plus oublier Marianne Peuch pour sa lecture si attentive desdocuments qui ont prefigure la forme finale de cet ouvrage.

Enfin, je remercie Claire de son aide tellement precieuse pour la comprehensiondes textes en allemand et leur traduction, et pour ses remarques d’autant plus utilesqu’elles furent si candides.

xv

Table des matières

Table des matieres

I Fondements 1

1 Introduction 3

1.1 L’hypothese atomique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 L’electron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Les ions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4 Modeles d’atome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5 Instabilite electrodynamique de l’atome classique . . . . . . . . . . . . . . 20

1.6 Exercices et problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.6.1 Determination du rapport charge/masse de l’electron(methode de Thomson et Kaufmann) . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.6.2 Determination du nombre d’Avogadro N a l’aide du mouvementbrownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.6.3 Les experiences de Kappler (1931) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.6.4 Equilibre d’une atmosphere isotherme . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.6.5 Mesure precise de l’impulsion de particules par focalisation . . . . 28

1.6.6 Spectrographe de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.6.7 Le spectrometre de Bainbridge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.6.8 La force d’Abraham-Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.6.9 Duree de vie de l’atome de Jean Perrin . . . . . . . . . . . . . . . 33

xv

physique

xvi

Mécanique quantiquexvi Table des matieres

2 La radioactivite 35

2.1 La radioactivite : decouverte et premiers faits experimentaux . . . . . . . 35

2.2 Loi de decroissance radioactive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44


2.3.1 La radioactivite a l’hopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.3.2 Loi de declin radioactif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.3.3 Mesure du nombre d’Avogadro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.3.4 Chaınes radioactives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.3.5 Longueur de parcours d’une particule α dans l’air . . . . . . . . . 52

2.3.6 Resolution de l’equation (2.15) par la transformation de Laplace . 53

3 Les experiences de Rutherford 55

3.1 Principes generaux des experiences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.2 Generalites sur la collision elastique de deux particules elementaires . . . 57

3.2.1 Lois de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.2.2 Reduction du probleme a deux corps en interaction centrale . . . . 61

3.3 Deviation d’une particule chargee par un noyau d’atome . . . . . . . . . . 64

3.4 Section efficace de collision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.5 Section efficace differentielle pour la diffusion Rutherford . . . . . . . . . . 70


3.6.1 Ordres de grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.6.2 Collision elastique de deux particules . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.6.3 Distance minimale d’approche pour la diffusion Rutherford . . . . 74

3.6.4 Section efficace de diffusion par un centre repulsif . . . . . . . . . . 75

3.6.5 Section efficace de capture par un centre attractif . . . . . . . . . . 75

3.6.6 Diffusion par un puits spherique attractif . . . . . . . . . . . . . . 77

3.6.7 Passage du repere du centre de masse au repere du laboratoire pourla diffusion de deux particules en interaction centrale . . . . . . . . 79

xvii

Table des matièresTable des matieres xvii

4 Quantification de l’energie : le rayonnement thermique 81

4.1 Le rayonnement thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.1.1 Faits experimentaux et nature physique du rayonnementthermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.1.2 Description phenomenologique du rayonnement thermique . . . . . 89

4.1.3 Loi de Stefan (1879) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.2 Loi de Planck (1900) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.2.1 Retour sur la loi du deplacement de Wien . . . . . . . . . . . . . . 97

4.2.2 Formule de Rayleigh-Jeans (1900) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.2.3 Loi de Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108


4.3.1 Temperature d’un astre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.3.2 Temperature du filament d’une ampoule a incandescence . . . . . . 115

4.3.3 Refroidissement radiatif d’une sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.3.4 Perte de masse du soleil par seconde . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.3.5 Pression de radiation solaire a la surface de la Terre . . . . . . . . 116

4.3.6 Pression de radiation sur une surface rugueuse . . . . . . . . . . . 116

4.3.7 Variations sur la formule de Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5 Quantification de l’energie : le photon 119

5.1 L’effet photoelectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.1.1 Decouverte et faits experimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.1.2 L’interpretation d’Einstein (1905) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5.2 Le photon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.2.1 Relation de dispersion du photon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.2.2 Comparaison avec la description corpusculaire classiquede la pression de radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

physique

xviii

Mécanique quantiquexviii Table des matieres

5.3 L’effet Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.3.1 Diffusion des rayons X par les atomes . . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.3.2 Les experiences de Compton et leur interpretation (1921-1923) . . 135



5.4.2 Effet photoelectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

5.4.3 Mesure precise de la constante de Planck (Millikan) . . . . . . . . 144

5.4.4 Histoire de photoelectron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

5.4.5 Effet photoelectrique par irradiation thermique . . . . . . . . . . . 145

5.4.6 Impossibilite d’absorption d’un photon par un electron libre . . . . 145

5.4.7 Reflexion d’un flash de lumiere sur un miroir pendulaire . . . . . . 145

5.4.8 Diffusion Compton en phase gazeuse . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

5.4.9 Distribution angulaire des electrons Compton . . . . . . . . . . . . 146

5.4.10 Irradiation d’une cible par un rayonnement tres dur . . . . . . . . 147

5.4.11 Masse gravitationnelle du photon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

5.4.12 Effet Cerenkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

5.4.13 L’effet Compton inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

6 Structure atomique, raies spectrales, theorie de Bohr 151

6.1 Spectre de raies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

6.1.1 Spectres atomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

6.1.2 Elargissement des raies spectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

6.1.3 Formule de Balmer et generalisation de Ritz . . . . . . . . . . . . . 158

6.2 Le modele de Bohr (1913) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

6.2.1 Difficultes du modele planetaire et proposition de Bohr . . . . . . 160

6.2.2 Orbites stationnaires de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

xix

Table des matièresTable des matieres xix

6.3 Quantification de l’energie : confirmations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

6.3.1 Le phenomene de resonance optique . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

6.3.2 Les experiences de Lenard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

6.3.3 Les experiences de Franck et Hertz (1914) . . . . . . . . . . . . . . 176



6.4.2 Transformees de Fourier usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

6.4.3 Theoreme du viriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

6.4.4 Effet photoelectrique sur une vapeur atomique . . . . . . . . . . . 180

6.4.5 Diffusion elastique de la lumiere par l’atome classique(modele de Thomson) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

6.4.6 Largeurs Doppler et naturelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

6.4.7 Mesure de la duree de vie d’un etat excite a l’aided’un jet atomique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

6.4.8 Evolution des populations d’une vapeur atomique exciteea la resonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

6.4.9 Identification d’une raie spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

6.4.10 Effet Doppler et recul d’un atome en absorption . . . . . . . . . . 186

6.4.11 Series spectroscopiques de l’hydrogene selon Bohr . . . . . . . . . . 187

6.4.12 Separation des raies de deux isotopes . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

6.4.13 Coıncidences spectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

6.4.14 Etude energetique d’un atome hydrogenoıde . . . . . . . . . . . . . 187

6.4.15 Le positronium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

6.4.16 Quelques proprietes du modele de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . 188

physique

xx

Mécanique quantiquexx Table des matieres

7 L’ancienne theorie des quanta 189

7.1 Rudiments de mecanique analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

7.1.1 Principe de moindre action (PMA) et equations de Lagrange . . . 190

7.1.2 Equations de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

7.1.3 Equation de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

7.1.4 Crochets de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

7.2 La regle de Planck pour l’oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . 217

7.3 Les regles de quantification de Bohr-Wilson-Sommerfeld . . . . . . . . . . 221

7.3.1 Generalisation de la regle de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

7.3.2 Application a l’atome d’hydrogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

7.3.3 Corrections relativistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227


7.4.1 Particule chargee dans un champ electromagnetique . . . . . . . . 231

7.4.2 Invariance en forme de l’energie cinetique pour des coordonneescartesiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

7.4.3 Equivalence entre equation differentielle et principe variationnel . . 232

7.4.4 Oscillateur harmonique traite en mecanique analytique . . . . . . . 233

7.4.5 Oscillateur harmonique dans un champ constant et homogene . . . 233

7.4.6 Crochets de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

7.4.7 Action d’une particule chargee uniformement acceleree parun champ electrique constant E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

7.4.8 Action d’un oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

7.4.9 L’atome d’hydrogene selon Bohr-Wilson-Sommerfeld . . . . . . . . 235

7.4.10 Quantification d’une particule dans un segment de R . . . . . . . . 237

7.4.11 Quantification d’une particule dans une boıte carree . . . . . . . . 238

7.4.12 Quantification d’un modele atomique . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

7.4.13 Corrections relativistes : le doublet Hα . . . . . . . . . . . . . . . . 240

7.4.14 Une expression remarquable de la fonction de partition classique . 240

xxi

Table des matièresTable des matieres xxi

8 Structure du noyau atomique 243

8.1 Charge du noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

8.2 Rayon du noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

8.3 Composition du noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

8.4 Energie de liaison du noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

8.4.1 Defaut de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

8.4.2 Formule de Weizsacker et le modele de la goutte liquide . . . . . . 258

8.5 Transitions nucleaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262


8.6.1 Puissance X emise par Bremsstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . 263

8.6.2 Emission d’un photon par un noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

8.6.3 Facteur de forme d’un noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

8.6.4 Desintegration du bismuth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

8.6.5 Barriere coulombienne pour deux noyaux de deuterium . . . . . . 265

II Elaboration de la mecanique quantique etpremieres applications 267

9 L’avenement de la mecanique quantique 269

9.1 Problemes de l’ancienne theorie des quanta . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

9.2 La mecanique des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

9.3 Les ondes de matiere (de Broglie, 1923) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

9.4 L’equation de Schrodinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

9.5 Vitesse de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

9.6 Diffraction des particules materielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

9.7 Limite classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

9.7.1 Longueur d’onde pour un objet macroscopique . . . . . . . . . . . 309

physique

xxii

Mécanique quantiquexxii Table des matieres

9.7.2 Limite classique de la fonction d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . 312


9.8.1 Horizon de Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

9.8.2 Consequences de l’incertitude sur les conditions initiales sur laprediction d’un mouvement classique . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

9.8.3 Particule confinee sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

9.8.4 Analyse de Fourier du probleme de Kepler . . . . . . . . . . . . . . 320

9.8.5 Sur la mecanique des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

9.8.6 Proprietes ondulatoires des particules materielles . . . . . . . . . . 324

9.8.7 Diffraction de neutrons par un cristal d’atomes unidimensionnel . . 326

9.8.8 Equation de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

9.8.9 Propagateur dans un milieu non dispersif . . . . . . . . . . . . . . 327

9.8.10 Sur la necessite de la realite de la valeur propre E dansl’equation (9.72) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

10 Fonction d’onde 329

10.1 Fentes d’Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

10.2 Interpretation probabiliste de la fonction d’onde et consequences . . . . . 340

10.2.1 L’interpretation de Born . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

10.2.2 Calcul des valeurs moyennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

10.2.3 Le determinisme quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

10.3 Principe d’incertitude de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

10.3.1 Principe d’incertitude spatial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

10.3.2 Principe d’incertitude temporel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372


10.4.1 Experiences d’Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

10.4.2 Interpretation probabiliste de la fonction d’onde . . . . . . . . . . 374

xxiii

Table des matièresTable des matieres xxiii

10.4.3 Forme locale de la conservation de l’energie enmecanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376

10.4.4 Operateur associe a une grandeur classique . . . . . . . . . . . . . 376

10.4.5 Particule chargee dans un champ electrique constant . . . . . . . . 377

10.4.6 Relations d’incertitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

10.4.7 Le microscope de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378

10.4.8 D’autres inegalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

10.4.9 Une experience mentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380

11 Magnetisme atomique 381

11.1 Magnetisme classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382

11.1.1 Moment magnetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382

11.1.2 Precession de Larmor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387

11.1.3 Paramagnetisme classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

11.1.4 Experiences de Einstein-de Haas et de Barnett . . . . . . . . . . . 392

11.2 Experience de Stern et Gerlach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394


11.3.1 Les fonctions de Brillouin BJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402

11.3.2 L’electron est-il une petite bille qui tourne sur elle-meme ? . . . . 403

11.3.3 L’experience de Stern et Gerlach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403

12 Postulats et structure formelle de la mecanique quantique 407

12.1 Enonce des postulats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

12.1.1 Notion d’etat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

12.1.2 Notion d’observable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411

12.1.3 Resultats possibles de la mesure d’une grandeur physique . . . . . 416

12.1.4 La reduction du paquet d’ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421

physique

xxiv

Mécanique quantiquexxiv Table des matieres

12.1.5 Evolution des systemes dans le temps . . . . . . . . . . . . . . . . 426

12.2 Les bases du formalisme de la mecanique quantique . . . . . . . . . . . . . 430

12.2.1 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430

12.2.2 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434

12.2.3 Generalisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440


12.3.1 Atome de moment cinetique 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449

12.3.2 Sur le fondamental de l’oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . 450

12.3.3 Oscillateur harmonique subitement perturbe . . . . . . . . . . . . . 451

12.3.4 Mesures sur un moment cinetique 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 451

12.3.5 Mesures successives d’observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452

12.3.6 Mesures de la position et de l’energie d’un oscillateurharmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454

12.3.7 Mesure de la position et de l’impulsion d’une particule libre . . . . 455

12.3.8 Formalisme de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455

12.3.9 Regle de somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456

12.3.10 La vitesse moyenne est nulle dans tout etat. . . . . . . . . . . . . . 457

13 Operateurs 459

13.1 Propriete fondamentale des observables : hermiticite . . . . . . . . . . . . 460

13.2 Valeur moyenne d’une observable : utilisation de sa base propre . . . . . . 466

13.3 Representation des operateurs hermitiques et des operateurs unitaires . . . 468

13.4 Retour sur la notation de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472

13.5 Operateurs commutant entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474

13.6 Combinaisons d’operateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477

13.7 Representation-r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481

13.8 Representation-p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488

xxv

Table des matièresTable des matieres xxv


13.9.1 Relations diverses de l’algebre des operateurs . . . . . . . . . . . . 491

13.9.2 Trace d’un operateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492

13.9.3 Operateur fonction d’une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493

13.9.4 Operateur unitaire derivable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494

13.9.5 Serie entiere d’operateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494

13.9.6 Exponentielle du gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495

13.9.7 Equation de Dyson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495

13.9.8 Identite de Glauber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495

13.9.9 Composantes hermitiques d’un operateur lineaire . . . . . . . . . . 496

13.9.10 Projecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496

13.9.11 Resolvante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497

14 Evolution temporelle d’un systeme quantique 499

14.1 Description de l’evolution dans le temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499

14.1.1 La description de Schrodinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502

14.1.2 La description de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510

14.1.3 Le theoreme d’Ehrenfest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518

14.2 Propagateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520

14.3 La formulation de Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527

14.4 Exemples de paquets d’ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530

14.5 Separation espace-temps et etats stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . 532


14.6.1 Perturbation de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536

14.6.2 Mesure de la position et de l’impulsion d’une particule libre(suite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536

14.6.3 Particule dans un champ constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537

physique

xxvi

Mécanique quantiquexxvi Table des matieres

14.6.4 Oscillateur harmonique charge soumis soudainement a un champelectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538

14.6.5 Intrication de deux systemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538

14.6.6 Evolution d’un systeme a trois niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . 540

14.6.7 Evolution d’un paquet d’ondes gaussien . . . . . . . . . . . . . . . 541

14.6.8 Mouvement uniformement accelere . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542

14.6.9 Exemple de factorisation du propagateur . . . . . . . . . . . . . . 543

14.6.10 La molecule d’ammoniac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544

14.6.11 Allongement du temps de retour avec la densification des etats . . 546

14.6.12 Quelques resultats pour l’operateur d’evolution avec unHamiltonien dependant du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548

15 Potentiels a une dimension constants par morceaux 549

15.1 Proprietes generales des problemes a une dimension . . . . . . . . . . . . 551

15.2 La quantification comme consequence des conditions imposees a Ψ . . . . 563

15.2.1 Etats lies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564

15.2.2 Etats non lies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566

15.3 Le puits carre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568

15.3.1 Le puits fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569

15.3.2 Le puits infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594

15.4 La marche de potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601

15.5 La barriere de potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606


15.6.1 Diffusion par un puits de potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610

15.6.2 Puits infiniment profond : valeurs moyennes dans unetat non stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611

15.6.3 Expansion soudaine d’un puits infiniment profond . . . . . . . . . 612

15.6.4 Puits infiniment profond en representation-p . . . . . . . . . . . . 613

xxvii

Table des matièresTable des matieres xxvii

15.6.5 Puits de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614

15.6.6 Puits en representation-p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615

15.6.7 Puits de Dirac comme limite du puits carre . . . . . . . . . . . . . 616

15.6.8 Influence d’un mur infranchissable sur les etats d’un potentiel deDirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618

15.6.9 Enrichissement isotopique par reflexion sur unebarriere de potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619

15.6.10 Puits infini avec une barriere centrale de Dirac . . . . . . . . . . . 620

15.6.11 Effet tunnel dans un double puits a la Dirac . . . . . . . . . . . . 621

15.6.12 Effet tunnel dans un double puits carre . . . . . . . . . . . . . . . 622

15.6.13 Puits asymetrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624

15.6.14 Impurete localisee dans une barriere . . . . . . . . . . . . . . . . . 625

15.6.15 Penetration de neutrons dans un milieu magnetique . . . . . . . . 625

15.6.16 Anti-marche de potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626

15.6.17 Coefficients de reflexion et de transmission d’une double barriere . 627

15.6.18 Electron dans un puits excite par un champ electriqueimpulsionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628

15.6.19 Etats lies du puits − V0

cosh2 αx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629

15.6.20 Variations sur le puits ± V0

cosh2 αx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631

15.6.21 Coefficient de reflexion d’une marche floue . . . . . . . . . . . . . 632

16 L’oscillateur harmonique 635

16.1 L’importance de l’oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636

16.2 Resolution de l’equation aux valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . 640

16.3 Quantification canonique, operateurs de creation et d’annihilation . . . . . 657

16.4 Le propagateur de l’oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . 665

16.5 Etats coherents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675


physique

xxviii


16.6.1 Relation de fermeture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682

16.6.2 Quand le ressort casse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682

16.6.3 Mesures de position et d’energie sur un oscillateur harmonique . . 682

16.6.4 Dynamique d’un oscillateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682

16.6.5 Oscillateur confine sur R+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683

16.6.6 Expansion ou compression soudaine d’un oscillateur . . . . . . . . 684

16.6.7 Oscillateur harmonique force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685

16.6.8 Integration de l’exponentielle d’une forme quadratique . . . . . . . 686

16.6.9 A propos des etats coherents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686

Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703

1

Partie I

Fondements

1

physique

3

physiqueChapitre 1

IntroductionChapitre 1

Introduction

“Nos sens ne nous permettent pas de percevoirla matiere au-dela d’un certain degre de petitesse.

[...] Nous n’en concluons pas, cependant,que ces details n’existent pas.” [2]

(Jean PERRIN, 1870–1942)

Apres un bref rappel historique de l’hypothese atomique, on decritsommairement des experiences attestant de l’existence de l’electron etpermettant de determiner quelques constantes fondamentales (nom-bre d’Avogadro, masse et charge de l’electron). On presente en-suite les deux modeles d’atomes qui ont joue un role majeur dans lacomprehension et la description de la matiere a l’echelle atomique. Lechapitre se termine sur une breve discussion d’une grave difficulte :l’instabilite electrodynamique fonciere de l’atome classique.

1.1 L’hypothese atomique

L’idee suivant laquelle la matiere est composee de petits grains est tres ancienne etremonte a l’Antiquite grecque ([3], [4]). Usuellement, c’est a Lucrece1 que l’on attribuela definition precise de la notion d’atome telle qu’elle fut acceptee jusqu’a la fin du XIXe

siecle, reprenant les concepts introduits par Democrite2 et Epicure3, 4.

1 Lucrece (ca.−98 - −55), poete latin ne a Rome, dont le De Natura Rerum (on rencontre aussi le

titre De Rerum Natura) est un expose lyrique de la doctrine d’Epicure. Il considere la connaissancematerialiste du monde comme le moyen d’atteindre l’ataraxie (absence de trouble dans l’ame).

2 Democrite (ca.−460 - −370), philosophe grec ne a Abdere, pour qui l’Etre etait constitue d’atomesen nombre infini. Ainsi, on doit a Democrite l’affirmation suivante : “Une chose n’est douce ou amerequ’en apparence, en realite, il n’existe que des atomes (ατoµoς) et l’espace vide”.

3 Epicure (−341 - −270), philosophe grec ne a Samos ou a Athenes, qui faisait du plaisir le souverainbien.

4 A ce sujet, voir la reference [5].

physique Introduction

4

4 Chapitre 1. Introduction

Il est impossible de resister a la tentation de citer Lucrecea :

Il convient d’observer avec plus d’attention ces corpuscules que l’onvoit s’agiter en desordre dans les rayons du soleil : c’est que de telsmouvements desordonnes temoignent des mouvements sous-jacents de lamatiere, dissimules et imperceptibles. Tu verras, en effet, nombre deces corpuscules secoues par des chocs invisibles, changer de route, etrepousses, revenir en arriere, tantot ici, tantot la, partout, dans toutesles directions. Or, il est clair que ce va-et-vient a tout entier pour origineles atomes. Tout d’abord, en effet, les atomes se meuvent d’eux-memes,ensuite les plus petits des corps composes, et qui sont pour ainsi direencore a la portee de la force des atomes, heurtes par les chocs invisiblesde ces derniers, se mettent en mouvement ; puis eux-memes, a leur tour,ebranlent des corps un peu plus grands. C’est ainsi que, parti des atomes,le mouvement s’eleve et parvient a nos sens, en sorte qu’il se communiquenotamment a nos sens, en sorte qu’il se communique notamment a cesparticules que nous pouvons distinguer dans un rayon de soleil, sans quenous deviennent manifestes les chocs qui les produisent.

Une fois ce texte lu, on peut se poser la question : qui a ecrit ces lignes ? Lucrece,Robert Brown – ou Jan Ingenhousz – ou Jean Perrin ?

a Cite par Pullmann, [6], p. 58. Le texte de Lucrece est :Contemplator enim, cum solis lumina cumque(115) inserti fundunt radii per opaca domorum:multa minuta modis multis per inane uidebiscorpora misceri radiorum lumine in ipso,et uelut aeterno certamine proelia, pugnasedere turmatim certantia, nec dare pausam,(120) conciliis et discidiis exercita crebris;conicere ut possis ex hoc, primordia rerumquale sit in magno iactari semper inani,dumtaxat, rerum magnarum parva potest resexemplare dare et vestigia notitiai.(125) Hoc etiam magis haec animum te aduertere par estcorpora quae in solis radiis turbare uidentur,quod tales turbae motus quoque materiaisignificant clandestinos caecosque subesse.Multa uidebis enim plagis ibi percita caecis(130) commutare uiam retroque repulsa reuerti,nunc huc, nunc illuc, in cunctas undique partis.Silicet hic a principiis est omnibus error.Prima mouentur enim per se primordia rerum,inde ea quae parvo sunt corpora conciliatu(135) et quasi proxima sunt ad viris principiorum,ictibus illorum caecis inpulsa cientur,ipsaque proporro paulo maiora lacessunt.Sic a principiis ascendit motus, et exitpaulatim nostros ad sensus, ut moueantur(140) illa quoque, in solis quae lumine cernere quimusnec quibus id faciant plagis apparet aperte.

Selon Lenoble [5], l’ouvrage fondamental de Lucrece, De Natura Rerum, “va lui[a l’atomisme] donner la forme qu’il gardera jusqu’a l’epoque moderne”. L’imaginationdes Grecs ne reposait evidemment sur aucun fait experimental et leur affirmation del’existence de constituants premiers de la matiere, discrets et insecables, resultait es-sentiellement de leur desir de definir une realite en soi, donnant ainsi une identite a laNature, et faisant de la decouverte de celle-ci un projet humaniste. Il est assez remar-

1.1 L’hypothèse atomique

5

1.1. L’hypothese atomique 5

quable qu’il ait fallu attendre l’epoque moderne pour que l’atome s’impose comme unerealite experimentale, un objet de laboratoire, sous la poussee d’experiences cruciales.Dans cet ordre d’idees, il vaut la peine de citer a nouveau Lenoble selon lequel ([5], p. 89)“Henri Poincare 5 soutenait encore, en 1912, que l’atome veritable, s’il existait, resteraitsans doute toujours hors de nos prises”.

Figure 1.1: Chronologie sommaire

Purement speculative (et essentiellement metaphysique), l’idee d’atome va com-mencer a trouver une assise experimentale au XVIIIe siecle grace d’abord a la chimie (dontle pionnier fut Dalton6), construite sur la constatation que les assemblages materiels seconstituent toujours dans des proportions simples (par exemple, 2 g d’hydrogene et 16 gd’oxygene pour faire une mole d’eau), ce qui evoque irresistiblement l’intervention de“briques” elementaires dans un jeu de construction.

Le concept d’atome sera considerablement conforte durant la seconde moitie duXIXe siecle lors de la construction de la theorie cinetique des gaz (Maxwell7), parachevee(dans le cadre classique) par le grand œuvre de Boltzmann8. L’idee importante est icil’existence de petits objets individualises en proie au chaos moleculaire : on ne peutles voir car ils sont trop petits, mais leur existence est averee par l’emergence des loisdes grands nombres permettant de comprendre qu’un systeme aussi complexe peut enfait etre decrit par un tres petit nombre de grandeurs physiques (par exemple : pression,volume, temperature). Dans cette approche essentiellement statistique, la pression macro-

5 Henri Poincare (1854-1912) est considere comme le dernier grand esprit universel, ayant laisse uneœuvre majeure en mathematiques et en physique et livre de profondes reflexions sur la science. Parl’emergence du chaos, l’histoire recente a encore magnifie l’importance de ses travaux, qui font de lui unprecurseur visionnaire de ce que l’on appelle aujourd’hui les systemes dynamiques. On lui doit aussi unefameuse conjecture (conjecture de Poincare) qui a ete demontree en 2003 par Grigori Perelman.

6 John Dalton (1766-1844), chimiste et physicien anglais, considere comme le pere de la chimie mo-derne. C’est lui qui proposa la “loi des proportions multiples”, enoncant precisement comment lesproportions (exprimees en nombres entiers) de deux corps simples sont necessaires pour la fabricationd’un corps compose. On lui doit egalement une etude sur les aberrations chromatiques physiologiques(confusion entre le rouge et le vert), connues depuis sous le nom de daltonisme.

7 James Clerk Maxwell (1831-1879), physicien ecossais ne a Edimbourg. Surtout connu pour l’edifi-cation de l’electromagnetisme (unification de l’electricite et du magnetisme), il fut aussi le pionnier dela theorie cinetique des gaz et ouvrit la voie a Boltzmann. Maxwell aimait la poesie et etait poete a sesheures, chantant ses propres œuvres en s’accompagnant a la guitare.

8 Ludwig Boltzmann (1844-1906), physicien autrichien ne a Vienne. Boltzmann fut l’un des tresgrands genies precurseurs de la physique moderne et doit etre considere comme le pere fondateur de lamecanique statistique, une branche majeure de la physique. On doit a Boltzmann d’avoir compris lanotion d’irreversibilite du monde reel et sa formulation en terme d’entropie et de second principe. Lafin tragique de Boltzmann (par suicide), precedee d’une longue depression morale, est en grande partiedue a l’incomprehension par ses contemporains des idees revolutionnaires qu’il avait introduites ; sur satombe (situee dans le cimetiere de Vienne) est inscrite l’illustrissime formule S = k logW (ici, k designela constante de Boltzmann – ailleurs notee kB –, constante qui fut en fait introduite par Planck).


6


scopique, par exemple, mesurable avec un appareil aussi rudimentaire qu’un manometre,n’est rien d’autre que le resultat de chocs incessants des particules du gaz sur la paroidu recipient. L’aspect granulaire de la matiere echappe a premiere vue et l’aiguille dumanometre indique une valeur fixe. En realite, c’est l’intrusion des grands nombres(il y a un nombre astronomique de chocs par seconde) qui masque cette realite fonda-mentale : l’effet macroscopique produisant une valeur constante a premiere vue est leresultat d’un nombre enorme de tres petits effets qui s’additionnent ; on sait bien qu’unetelle cooperation produit un effet quasi constant, les fluctuations etant “infinitesimales”au sens ou un petit entier est “infinitesimal” compare a un nombre tel que le nombred’Avogadro. En operant avec un manometre de plus en plus sensible, en reduisant samasse (son inertie) par exemple, il serait possible de mettre en evidence des fluctuations,imperceptibles a l’echelle macroscopique, mais bien reelles et de plus en plus manifestesau fur et a mesure que l’on diminue l’inertie de la membrane tenant lieu de paroi (on peutdire que la particule brownienne est le manometre le plus elementaire, conceptuellementparlant). En definitive, c’est l’addition en nombre gigantesque de toutes petites quantitesqui donne l’impression de la continuite macroscopique9.

Une etape importante fut franchie peu apres 1900 par Jean Perrin10, qui entrepritune etude systematique du mouvement brownien dans le but d’obtenir une valeur precisedu nombre d’Avogadro N . En fait, bien avant que des modeles explicites d’atome nesoient proposes, la connaissance de N ∼ 1023 permettait, a partir de la densite d’uncorps, d’obtenir l’ordre de grandeur des dimensions atomiques, a savoir 10−10 m, soit pardefinition 1 A. En effet, la densite ρ du fer est egale a 7,8 g/cm3 ; imaginant qu’a l’etatsolide les atomes de fer sont juxtaposes comme des petits cubes de cote a, et connaissantsa masse atomique (MFe = 56 g), on a :

ρ =MFe

Na3⇐⇒ a =

(MFe

Nρ

)1/3

∼( 56

7.8× 1023

)1/3

cm∼ 4× 10−8 cm. (1.1)

Ainsi, la taille typique d’un atome est de l’ordre de 10−10 m.

Le mouvement brownien a ete decouvert par le botaniste Robert Brown en 182711 ;il designe le mouvement desordonne et erratique d’une grosse particule (dont le diametre

9 Cette regression des fluctuations lors de la combinaison d’un grand nombre d’etapes aleatoireselementaires explique aussi pourquoi un trajet en voiture en ville prend toujours a peu pres le memetemps. En considerant seulement l’obstacle constitue par l’arret a un feu rouge, on voit que le mouvementd’un point a un autre suffisamment eloigne est conditionne par le franchissement de N obstacles quel’on peut considerer comme decorreles. Les distances entre feux rouges etant supposees assez petites,finalement, l’ordre de grandeur du temps de trajet total est egal a la somme des temps d’attente auxdifferents feux. Si N est assez grand, le temps total varie tres peu d’une experience a l’autre.

Il s’agit d’un resultat general concernant la somme d’un grand nombre de variables aleatoiresindependantes, appele theoreme limite central.

10 Jean Baptiste Perrin (1870-1942) recut le prix Nobel en 1926 pour couronner ses travaux ayantconduit a la premiere determination precise de N . Son œuvre scientifique est considerable, mais ileut aussi une activite civique et publique exceptionnelle. Nomme en 1936 sous-secretaire d’Etat a larecherche scientifique, il fut l’un des fondateurs du CNRS et crea le Palais de la Decouverte (1937).

Par ailleurs, Jean Perrin appartint au jury devant lequel Louis de Broglie soutint sa these en 1923.L’histoire raconte qu’il manifesta un certain scepticisme sur les idees avancees par de Broglie, ce quine l’empecha pas d’insister aupres de Schrodinger pour que celui-ci ne s’en tienne pas a sa premiereimpression (voir note 27 p. 287). . .

11 C’est du moins l’affirmation la plus courante. En realite, la paternite de la decouverte – au sens

1.1 L’hypothèse atomique

7

1.1. L’hypothese atomique 7

est de l’ordre du micron) immergee dans un fluide. La particule est assez grosse pourpouvoir etre suivie au microscope optique et presente un mouvement en tous sens parsuite des collisions avec les (petites) particules du fluide. Le mouvement de la grosseparticule est le revelateur de l’agitation moleculaire regnant au sein du fluide : si entredeux instants la grosse particule va d’un cote plutot que de l’autre c’est qu’elle a recuentre ces deux instants plus de chocs dans un sens que dans l’autre (fluctuations depression), le bilan d’impulsion n’etant pas nul de ce fait. L’experience est tres facile arealiser : il suffit d’observer une solution de gouache dans l’eau entre la lame et la lamelled’un microscope ordinaire.

La lecture du petit livre de Jean Perrin Les atomes [9], est vivement recommandee ; apropos des trajectoires de la particule brownienne, il y ecrit p. 166 :

“On ne peut non plus fixer une tangente, meme de facon approchee, aaucun point de la trajectoire, et c’est un cas ou il est vraiment naturelde penser a ces fonctions continues sans derivees que les mathematiciensont imaginees, et que l’on regarderait a tort comme des curiosites mathe-matiques, puisque la nature les suggere aussi bien que les fonctions aderivees.”

Riemann (1861), puis Weierstrass un peu plus tard (1872), ont fourni le premier exempleconnu d’une fonction continue mais n’ayant nulle part de derivee :

W(x)def=

∑n∈N

an cos(bnπx) ,

avec 0 < a < 1 et ab > 1 + 3π2.

Enfin, Perrin introduit sans la nommer la notion de symetrie d’echelle si chere auxexperts en fractales en affirmant :

“Si on faisait des pointes en des intervalles de temps 100 fois plus rap-proches, chaque segment serait remplace par un contour polygonal rela-tivement aussi complique que le dessin entier, et ainsi de suite.”

Cette remarque contient manifestement la notion d’invariance d’echelle.

On doit a Jean Perrin d’avoir entrepris une etude experimentale systematique dece mouvement, enoncant d’ailleurs a son propos des sentences tout a fait visionnaires ;c’est ainsi que l’on peut trouver dans ses comptes-rendus d’experience [9] des allusionsspeculatives sur des caracteres quelque peu exotiques des trajectoires browniennes : Per-rin a eu l’audace visionnaire d’imaginer que ces trajectoires, bien que continues, etaientnon differentiables – si cela aide (?), on peut se representer une trajectoire browniennecomme une ligne rugueuse a toute echelle. Il remarqua en effet que, si l’on trace la ligneentre deux points d’observation des positions consecutives de la particule – ligne qui,selon le sens commun, devrait avoir une limite si l’intervalle de temps entre les deuxpointages est de plus en plus petit – ce segment [9] :

“a une direction qui varie follement lorsque l’on fait decroıtre la duree quisepare ces deux instants.”

d’une description detaillee de faits experimentaux – appartient ([7], p. 69) a un medecin hollandais, JanIngenhousz, qui avait note en 1785 le mouvement irregulier de la poudre de charbon de bois a la surfaced’une solution alcoolique. Pour un bref expose sur l’histoire du mouvement brownien, voir [8].


8


Le mouvement brownien, notamment grace a l’apport determinant de Einstein en 1905,est un paradigme pour la description des systemes hors d’equilibre. Dans le contextede l’epoque, elles ont en tout premier lieu permis a Perrin de donner la premiere valeurprecise de N (voir problemes 1.6.2 et 1.6.3).

Il est quelque peu surprenant de constater que la conviction etablie de l’existencedes atomes n’a semble-t-il pas conduit les physiciens et les chimistes a placer au premierplan de leurs preoccupations le souci de construire un modele d’atome : les premierespropositions en ce sens ont ete formulees a l’oree du XXe siecle par Jean Perrin (peuapres (1904), un modele du meme genre fut propose par Nagaoka, reprenant le modelesaturnien de Maxwell) et par Joseph John Thomson12 (voir section 1.4).

L’atome tel que nous le connaissons aujourd’hui n’est pas, et de tres loin, leconstituant ultime de la matiere et la terminologie historique ne doit pas conduire a descontre-sens (atome vient du grec et signifie insecable). En realite, l’atome est composede particules plus elementaires au sens ou ce sont les memes particules qui entrent dansla composition de deux atomes aussi differents que celui d’hydrogene et celui d’uranium.Comme l’ont prouve les experiences de Rutherford13 vers 1910 (voir chapitre 3), l’atomeest constitue par un noyau positif, minuscule compare aux dimensions de l’atome, auvoisinage duquel se trouvent localises des electrons. On verra que la dimension atomiquetypique est de l’ordre de 1 A=10−10 m, alors que le “diametre” du noyau est de l’ordre de10−15 m, soit par definition 1Fermi14 (F) ; le noyau est donc environ 100 000 fois plus petitque l’atome lui-meme15. Depuis le debut des annees 1930, on sait que le noyau est formede protons et de neutrons ; a l’heure actuelle, il est admis que le proton et le neutron sonteux-memes composes de particules encore plus “elementaires” appelees quarks, definiespar leurs proprietes physiques intrinseques (masse, charge, spin..., dans la mesure ou il

12 Joseph John Thomson (1856-1940), physicien anglais, recut le prix Nobel en 1906 pour sa decouvertede l’electron. Son fils, George Paget Thomson, fut un pionnier dans la mise en evidence de la diffractiondes electrons : le pere a recu le Nobel pour avoir decouvert que l’electron est un corpuscule, le fils l’arecu a son tour pour avoir decouvert que l’electron est une onde.

13 Ernest Rutherford (1871-1937) physicien britannique, prix Nobel de chimie en 1908, est surtoutconnu pour les experiences capitales decrites dans le chapitre 3 ; sa contribution a l’etude experimentalede la radioactivite ne doit toutefois pas etre oubliee : comme indique au chapitre 2, on lui doit notam-ment l’identification definitive des particules α en tant que noyaux d’helium. Un peu plus tard et encollaboration avec Bohr, lui revient aussi la prevision de l’existence du neutron, partenaire oblige selon luipour compenser l’effet repulsif entre les protons au sein du noyau afin d’empecher celui-ci de toujours sefragmenter spontanement. Au Cavendish Laboratory (Cambridge) qu’il dirigea longtemps, Rutherfordetait connu comme le “crocodile”. Une gravure sur l’un des murs du site en temoigne encore aujourd’hui.

14 Enrico Fermi (1901-1954), prix Nobel en 1938, a du s’exiler en raison des lois antijuives promulgueespar le regime de Mussolini. Apres avoir travaille a Chicago sur la premiere pile nucleaire, il fut l’un desartisans du Projet Manhattan. Fermi etait repute pour se poser les problemes en termes mathematiquestres simples, avant d’en fournir une solution tres elaboree une fois sa reflexion achevee. Il est mortprematurement d’un cancer de l’estomac, certainement lie a son exposition sans precaution durant sesexperiences de Chicago.

Une tres belle biographie de Fermi est due a Emilio G. Segre [10], autre prix Nobel (1959, avec OwenChamberlain pour leur mise en evidence de l’anti-proton), autre artisan du Manhattan Project.

15 Si le noyau est une orange posee au pied de Notre-Dame, l’electron est une bille, aussi petite quel’on veut, orbitant sur le peripherique parisien.

L’une des controverses entre les philosophes grecs portait sur l’existence des atomes et du vide, les unsn’allant pas sans l’autre. En realite, l’atome lui-meme est plein de vide... et n’est pas atomique puisqu’iln’est pas insecable.

1.2 L’électron

9

1.2. L’electron 9

est reellement possible de definir celles-ci). Dans toute la suite, le decoupage ultime dela matiere s’arretera a la trinite electron-proton-neutron. Par ailleurs, il convient de sesouvenir que matiere et energie sont indissociables par la relation d’Einstein E =mc2 ;de ce fait, aux tres hautes energies (typiquement, le GeV et plus), on ne peut pas seposer la question en seuls termes de quantite de matiere au sens classique (possibilite decreation de paires particule/antiparticule par focalisation de deux faisceaux lumineux dehaute energie). Ce domaine des hautes energies ne sera pas aborde ici, et constitue l’undes champs d’application de la chromodynamique quantique.

1.2 L’electron

La theorie cinetique des gaz et la chimie ont donc impose definitivement la notion d’atomequi, pour le chimiste, est la brique fondamentale donnant lieu aux reactions chimiques,permettant de les classifier et de les predire16. Une fois acceptee la notion d’atome, ildevenait naturel de se poser la question de la constitution de ce dernier, et imperatif demettre au point des techniques experimentales permettant de percer l’identite de l’atomeen allant plus loin dans la dissection de la matiere. Pour cette tentative, l’etude desdecharges electriques dans les gaz rarefies a joue un role majeur.

Dans les conditions normales, les gaz sont de tres mauvais conducteurs de l’elec-tricite mais a basse pression (quelques mm de mercure), il n’en va plus de meme.L’experience montre que l’application d’une tension assez elevee (qui peut aller jusqu’aquelques kV) a un tube muni de deux electrodes et rempli d’un gaz a basse pression(∼ 0.1mm de mercure ou moins) provoque le passage d’un courant electrique resultantd’un mouvement de charges dans l’espace17. Ainsi est mis en evidence un courant dequelques microamperes dans le circuit exterieur, apportant la preuve que l’atome, globa-lement neutre electriquement, contient des charges de signes opposes dont certaines, gracea leur faible masse, peuvent donner lieu effectivement a un transport de courant. L’allurede la caracteristique (figure 1.2 a droite) se comprend simplement. Sous l’effet du champelectrique cree dans l’enceinte contenant le gaz rarefie par la difference de potentiel (ddp)appliquee aux electrodes, une faible fraction des atomes perdent un electron (ionisation).Ces electrons affranchis assurent la conduction electrique ; en outre, acceleres par la chutede potentiel, ils contribuent a leur tour a provoquer l’ionisation par choc d’autres atomes.D’un autre cote, les collisions entre les electrons liberes anterieurement et les ions positifsdeja presents peuvent donner lieu soit a une recombinaison produisant un atome neu-tre, soit a une diffusion de l’electron. Au bout d’un temps tres court, pour une tension

16 Bien sur, la chimie moderne dispose maintenant de schemas explicatifs ou l’electron est un acteur apart entiere dans les mecanismes fondamentaux.

17 Le champ electrique applique a deux effets : d’une part il provoque l’ionisation d’une (tres) faiblefraction d’atomes (voir tome II, chapitre 23, section 23.3, a propos de l’effet Stark), d’autre part ilassure aux charges liberees un mouvement uniformement accelere entre deux collisions avec le fond de lavapeur ; l’existence d’un courant (associe a une vitesse de derive constante) n’est precisement possibleque grace a la dissipation provoquee par les collisions. La conductivite des gaz peut aussi etre analyseeen exposant ceux-ci au rayonnement d’une source radioactive emettant ce que l’on a alors naturellementappele un rayonnement ionisant.


10


appliquee donnee, un regime permanent s’etablit donnant lieu a une intensite mesurabledans le circuit exterieur. La caracteristique intensite-tension demarre lineairement puissature a une valeur appelee courant de saturation IS.

Figure 1.2: Schema de principe de l’etude de la decharge dans un gaz et allure de lacaracteristique courant-tension

Ces deux comportements specifiques s’expliquent comme suit. A faible tension,le mouvement des particules chargees est lent et, en regime permanent, la densite desporteurs prend la meme valeur en tout point de l’espace. Le gaz se comporte alorsexactement comme un milieu conducteur dont la densite de porteurs est donnee une foispour toutes et ou ont lieu des phenomenes de dissipation (les porteurs sont freines par lescollisions avec les atomes du gaz), deux conditions assurant l’existence de la loi d’Ohm quiexprime une simple proportionnalite entre intensite et tension appliquee : la courbe I(V )demarre lineairement, sa pente donnant l’inverse de la resistance effective. A l’inverse,lorsque la tension est assez elevee, le mouvement des porteurs devient tres rapide pourvuque la pression, elle, reste faible. Les phenomenes de recombinaison sont de moins enmoins efficaces (ils n’ont guere le temps de se produire pendant le bref temps de transitd’un porteur donne d’une electrode a l’autre) ; de surcroıt, l’energie elevee des porteursles rend a la fois moins vulnerables a la recombinaison et plus aptes a creer de nouvellescharges “libres” par collisions. A la limite, on comprend que l’intensite ne peut depasserune certaine valeur, celle pour laquelle tous les porteurs crees (ions et electrons) atteignenteffectivement leur electrode de predilection : alors l’intensite I devient independante dela tension – pourvu que celle-ci reste dans des limites raisonnables (en l’augmentantsuffisamment, on assisterait a un claquage, un arc electrique jaillissant entre les deuxplaques grace a la formation d’un plasma). L’observation de ces phenomenes d’ionisationpeut etre consideree comme l’une des preuves premieres de la nature complexe de l’atome,qui apparaıt ainsi comme un assemblage de particules chargees ; comme l’atome, dansl’etat normal, est neutre, on en deduit que la somme des charges presentes en son seinvaut exactement zero. L’etude des conditions requises pour l’ionisation d’un atome serareprise par la suite et certaines de ses caracteristiques seront precisees, notamment a

1.2 L’électron

11

1.2. L’electron 11

propos des experiences de Lenard18, et surtout celles de Franck et Hertz19, experiencescelebres qui ont joue un role crucial pour la confirmation d’une part de la relation dePlanck-Einstein E = hν (introduite anterieurement a propos du rayonnement thermiqueet de l’effet photoelectrique) et de la quantification de l’energie de l’atome d’autre part(voir chapitre 6).

Les etudes systematiques de Crookes20, Plucker (1858) et Hittorf (1869), pour-suivies par Jean Perrin dans sa these puis par J. J. Thomson, devaient deboucher surla decouverte [11] de l’electron21 par ce dernier, annonce lors d’une conference devantla Royal Institution of Great Britain le 30 avril 1897 devant un auditoire partage, lessceptiques ayant appris depuis toujours que l’atome est, par definition, insecable. L’ideegeniale de Thomson fut d’etudier systematiquement l’effet d’un champ magnetique B surles rayons cathodiques ; le sens de la deviation du faisceau – pilote par la force magnetiquedont l’expression F = qv × B etait connue – demontra que les particules en mouvementdans le tube portaient une charge negative.

Une fois etabli le fait que ces rayons etaient constitues de particules chargeesnegativement, il convenait d’en preciser les attributs physiques (masse, charge). Leresultat quantitatif majeur obtenu par Thomson fut la mesure du rapport entre la charge22

18 Philipp Lenard (1862-1947) recut le prix Nobel en 1905 “for his work on cathode rays”. L’importancede ses travaux (il etait considere comme un experimentateur de genie) ne saurait occulter son engagementpolitique precoce et actif dans le parti nazi (NSDAP), qu’il rejoignit des 1930 et qui le designa “chef de laphysique aryenne”. Il fut l’un de ceux qui persecuta Einstein et fut demis de ses fonctions a l’Universited’Heidelberg lors du processus de denazification en 1945.

19 James Franck (1882-1964) et Gustav Ludwig Hertz (1887-1975) partagerent le prix Nobel en 1925“for their discovery of the laws governing the impact of an electron upon an atom”. Hertz etait leneveu de Heinrich Rudolf Hertz (1857-1894), qui mit en evidence (1888) les ondes electromagnetiquesimaginees par Maxwell en 1873.

Lors de l’invasion du Danemark par les troupes nazies, le chimiste hongrois George de Hevesy (prixNobel de chimie 1943) fondit dans de l’eau regale les medailles Nobel en or de von Laue (Nobel dephysique 1914) et de Franck. Il conserva la solution obtenue dans son laboratoire, a l’Institut Niels Bohr(alors Institut de physique theorique de l’universite de Copenhague), solution qui fut utilisee apres laguerre pour reconstituer les deux medailles.

L’eau regale (aqua regia) est un melange des acides nitrique et chlorhydrique dans les proportions( 14, 3

4), capable de dissoudre les metaux nobles, d’ou son nom (“eau royale”).

20 William Crookes (1832-1919) avait note que les “rayons cathodiques” (terminologie proposee parE. Goldstein, puisque ces rayons semblaient issus de l’electrode negative), observes aisement lorsquel’enceinte contenant le gaz avait la forme d’un tube allonge, se deplacent en ligne droite, sont capablesde mettre en rotation des petits moulins situes sur leur passage et sont devies par des aimants.

Crookes identifia le premier echantillon d’helium (1895) et inventa le radiometre qui porte son nom,

que l’on retrouvera plus tard (voir chapitre 4). A la fin de sa vie, il s’interessa au spiritualisme enessayant d’imposer une approche scientifique :

“It must be at my own house, and my own selection of friends and spectators, under myown conditions, and I may do whatever I like as regards apparatus”

21 Le terme vient du grec ελεκτρoη (elektron), ambre (selon la legende, Thales de Milet (−624-−546)aurait observe que l’ambre, une fois frotte, attire les corps legers). L’attribution du vocable electron ala charge elementaire revient a George Johnstone Stoney (1826-1911), qui avait entrevu l’existence de cegrain d’electricite des 1874. H. A. Lorentz fut semble-t-il le premier a soutenir que les rayons cathodiquessont composes de particules ayant une masse et une charge bien definies. La verification experimentalede cette hypothese fut entreprise par Jean Perrin dans sa these (juin 1897).

22 On designera systematiquement par e la charge negative de l’electron : e −1.6× 10−19 C.


12


e et la masse m de l’electron, grace a l’etude systematique de la deviation d’un faisceauelectronique entre les plaques d’un condensateur plan ; celle-ci est d’autant plus grandeque la charge est elevee (grande force electrique) et d’autant plus petite que la masseest grande (grande inertie). Au total, la deviation laterale δ depend essentiellement durapport charge/masse ; elle vaut precisement :

δ =|e|V L2

2mv2l∝ |e|

m; (1.2)

dans cette expression, |e| est la valeur absolue de la charge de l’electron et m sa masse ; Lest la longueur du condensateur, l la distance entre les armatures, v la composante de lavitesse de l’electron le long de ces dernieres (qui est constante) et V la tension appliquee.

Exprime en unites MKS, le rapport |e|m (qui a une dimension physique !) vaut environ

2×1011. D’autres experiences confirmerent ce resultat – et aussi la toute jeune relativiterestreinte (voir probleme 1.6.1).

Une fois |e|m determine, il convenait de trouver soit la masse, soit la charge de

l’electron. Il revient a Millikan23 d’avoir demontre d’une part l’existence d’une chargeelementaire (atomisme de la charge electrique), d’autre part d’avoir obtenu la valeurnumerique de celle-ci. Les experiences de Millikan, menees a partir de 1909, consistaienta suivre au microscope optique le mouvement dans l’air de petites gouttelettes d’huileaccelerees par un champ electrique applique de module E , et a mesurer leur vitesse limitevl compte tenu du frottement dans l’air. Dans le regime des basses vitesses et pour unegouttelette spherique de rayon a, la force de frottement Ffreinage est bien decrite par laloi de Stokes :

Ffreinage = −6πηav , (1.3)

ou η est un coefficient phenomenologique appele viscosite (ici, c’est la viscosite de l’air,η 1.8× 10−5 MKS dans les conditions normales). En designant par p la pousseed’Archimede, par Q la charge de la gouttelette, l’equation dynamique le long de l’axevertical (oriente positivement vers le bas) est (v = dv

dt ) :

Mv = Mg − p+QE − 6πηav . (1.4)

En notant ρ0 et ρ les densites de l’air et de l’huile, on trouve ainsi que la vitesseverticale d’une gouttelette obeit a l’equation :

v +1

τv = g

(1− ρ0

ρ

)+

3QE4πa3ρ

, (1.5)

23 Robert Andrews Millikan (1868-1953) recut le Nobel en 1923 “for his work on the elementary chargeof electricity and on the photoelectric effect”. On verra au chapitre 5 que Millikan a aussi ete l’un despremiers a obtenir une valeur precise de la constante de Planck, en etudiant experimentalement l’effetphotoelectrique dans l’interpretation d’Einstein. Il est d’ailleurs interessant de connaıtre cette affirmationassez tardive (1916) de Millikan :

“Einstein’s photoelectric equation . . . cannot in my judgment be looked upon at presentas resting upon any sort of a satisfactory theoretical foundation”, meme si “it actuallyrepresents very accurately the behavior.”

1.2 L’électron

13

1.2. L’electron 13

Figure 1.3: Schema de principe de l’experience de Millikan

ou τ = 2a2ρ9η est homogene a un temps24. La solution generale de cette equation est la

somme d’un transitoire exponentiel ∝ e−t/τ (dependant de la vitesse initiale) et d’unterme a vitesse constante vl representant le regime observe de fait dans les conditionsde l’experience (le temps τ est de l’ordre de 10−4 s, rendant impossible l’observation dutransitoire avec les moyens utilises, d’ou les apparents sauts de vitesse sur la figure 1.4).La vitesse limite s’obtient en annulant la derivee v dans (1.5) :

vl = gτ(1− ρ0

ρ

)+

3QE4πa3ρ

τ ≡ vl 0 +3QE4πa3ρ

τ , (1.6)

vl, 0 etant la vitesse limite en champ nul (la gouttelette tombe sous l’effet de son seulpoids, corrige de la poussee d’Archimede). Dans ce regime, la relation entre vl − vl, 0 etla force electrique est une simple proportionnalite :

vl − vl, 0 =QE6πηa

def= µF , (1.7)

ou µ est, par definition, la mobilite d’une gouttelette dans le champ electrique. Claire-ment, la mesure de vl − vl, 0 permet de remonter a la charge Q d’une gouttelette . . . acondition toutefois de connaıtre a, qui n’est pas facilement accessible. En pratique,Millikan utilisa la vitesse limite en champ nul pour exprimer a :

a = 3

√vl, 0η

2(ρ− ρ0)g, (1.8)

ce qui permet d’exprimer finalement la charge Q d’une gouttelette en termes de quantitesaisement mesurables :

Q =18πη

E

√vl, 0η

2(ρ− ρ0)g(vl − vl, 0) . (1.9)

En effectuant une serie de telles mesures, Millikan observa que cette quantiteest toujours (aux erreurs experimentales pres) un multiple entier d’une meme charge q0

24 Verifier ceci par l’analyse dimensionnelle !


14


Figure 1.4: Variation au cours du temps de la vitesse d’une meme gouttelette d’huile

qu’il decida de considerer pour cette raison comme fondamentale, laquelle s’en trouvantipso facto elevee au statut de charge elementaire. Millikan se livra a un grand nombred’experiences tres diverses ; l’une des variantes, assez delicate a mettre en œuvre, consistea ajuster le champ de sorte que la gouttelette reste immobile. Millikan put meme fairel’observation suivante : en regardant une goutte donnee pendant un intervalle de tempssuffisamment long, il vit que sa vitesse limite changeait brusquement, l’ecart etant (tou-jours aux erreurs d’experience pres) un multiple entier d’une meme quantite, de la formeentier × q0E dans les notations ci-dessus. La valeur numerique de la charge elementaireobtenue par Millikan n’etait pas tres bonne (−1.592 × 10−19 C), entachee d’une erreursystematique, sans doute due a une meconnaissance de la viscosite de l’air25. Notonsenfin que 1.6×10−19 × 6×1023 96 000C, charge voisine (96 500) de celle observee parFaraday et associee au deplacement de 1 g d’hydrogene.

Les valeurs de la charge et de la masse de l’electron sont actuellement connues[12] avec une grande precision26 :

m = 9.109 381 88 . . .× 10−31 kg e = −1.602 176 462 . . .× 10−19 C (1.10)

1.3 Les ions

Faraday avait aussi note que le transport de 16 g d’oxygene est egalement associe a lameme quantite de charge ( 96 000 C), tandis que le depot d’un atome-gramme de cuivreou d’autres metaux etait, de facon caracteristique, associe tantot a deux fois, tantot atrois fois cette charge, rapidement appelee faraday en raison de son role primordial enelectrolyse : la quantification de l’electricite etait deja dans la realite experimentale maisne fut pas semble-t-il alors reconnue. En revanche, les experiences de Millikan permirentde comprendre definitivement que l’electrolyse correspondait a un mouvement d’atomesayant perdu ou gagne un, deux, voire trois electrons, possedant eux aussi une chargeentiere quand on la mesure par reference a la charge elementaire, mais extremement mas-sifs par rapport a l’electron lui-meme. L’atome etant neutre (c’est un fait d’experience),

25 Pour une analyse tres precise des experiences de Millikan, voir Perrin [9], chapitre VII.26 Dans les applications numeriques, on se bornera a considerer m 9 × 10−31 kg soit mc2511 keV

et e −1.6×10−19 C, et surtout a memoriser les ordres de grandeur.

1.3 Les ions

15

1.3. Les ions 15

la mise en evidence des electrons lorsque l’atome est soumis a certains traitements en-traıne que les fragments residuels sont charges positivement : il s’agit d’ions positifs,etant entendu qu’il existe aussi des ions negatifs, fabriques dans d’autres circonstances ala suite de la capture par un atome d’un ou plusieurs electrons.

La suite logique de l’histoire consistait a etudier ces ions, notamment a determinerleur masse, souci donnant lieu a l’emergence d’une methode experimentale connue depuissous le nom de spectroscopie (ou spectrometrie, ou spectrographie) de masse. Le principede base est le meme que pour l’etude du rapport charge/masse de l’electron : on utilisel’action d’un champ magnetique et/ou electrique et on etudie quantitativement les trajec-toires des differents ions. Au fond, c’est l’hypothese, ou plutot la preuve experimentale,de l’aspect granulaire de l’electricite qui permet, pour deux ions donnes, d’obtenir leurrapport charge/masse a un entier multiplicatif pres. Les mesures sont donc faites soitavec un appareil semblable a celui concu par J. J. Thomson pour l’electron, soit avec unappareil plus elabore mis au point par Aston27 en 1919. Dans tous les cas, on recueilleun spectre caracteristique du gaz ou du melange de gaz analyse.

Figure 1.5: Schema du spectrometre d’Aston

Aston etudia la trajectoire d’un faisceau d’ions positifs de masse M (voir figure1.5). Les atomes d’un corps repute pur se trouvent initialement dans un four a hautetemperature (environ 1 000K), dont ils peuvent sortir, en franchissant un petit orifice,grace a leur vitesse thermique. Ils rencontrent alors un faisceau electronique emis par unfilament F ; sous l’effet des collisions avec les electrons, des atomes s’ionisent, deviennentdes ions positifs et sont alors extraits de la region d’ionisation par une petite differencede potentiel appliquee entre cette region et une premiere fente S1. Entre cette fente etla fente S3, on applique au contraire une ddp relativement elevee (500 a 5 000V) quiaccelere fortement les ions ; la fente intermediaire S2 sert a focaliser le faisceau ou a ledevier pour divers reglages. A la sortie de la fente S3, le faisceau d’ions obtenus n’est pasmonocinetique : les ions different par leur masse et eventuellement aussi par leur charge ;leur energie cinetique est donc un multiple entier de |e|V (la vitesse des ions a l’entreede S1 est, pour des temperatures usuelles, a priori negligeable compte tenu de la grande

27 Francis William Aston (1877-1945), prix Nobel de chimie en 1922 “for his discovery, by means of hismass spectrograph, of isotopes, in a large number of non radioactive elements, and for his enunciationof the whole-number rule”.


16


difference de potentiel etablie entre S1 et S3). En considerant des ions de meme charge,toutes les energies cinetiques coıncident, de sorte que les vitesses de sortie apres S3 sontdans le rapport inverse des racines carrees des masses. Comme d’un isotope a l’autre lavariation relative de masse reste usuellement faible, la variation relative de vitesse esttres convenablement obtenue par differentiation : δ( 12Mv2) = 0 =⇒ δM

M = −2 δvv .

Le faisceau d’ions penetre alors dans une region (a basse pression) ou regne unchamp magnetique statique et uniforme qui incurve leur trajectoire. Pour des raisonsphysiques evidentes tenant a l’inertie, le rayon de courbure est d’autant plus grand quela masse est grande : les ions “lourds” (on devrait dire massifs) sont moins devies queles ions “legers”. En raison de leur charge Q, les ions suivent une trajectoire en arc de

cercle28 ; en ecrivant Mv2

R = QvB, on voit que le rayon R de ce cercle est donne par :

R =Mv

QB(1.11)

ou v designe la vitesse des ions a l’entree de la region ou le champ magnetique est nonnul (vitesse qui d’ailleurs n’a pas en principe change depuis le passage de la fente S3).

Les ions sont detectes a l’aide d’une plaque sensible ; la mesure de la position deleur point d’impact permet de remonter jusqu’a la masse M , la charge Q etant connue.L’integration dans le temps fournit un cliche revelant l’histogramme des masses et permetainsi de remonter a l’abondance relative des differents constituants du faisceau d’ions.

D’autres spectrographes de masse furent concus puis elabores par la suite. L’und’entre eux est du a Bainbridge29 et tire profit d’une astuce elegante utilisant un selecteurde vitesse. Les ions non monocinetiques produits par une source sont injectes dans uneenceinte a vide ou regnent un champ electrique et un champ magnetique diriges de tellesorte que la force magnetique et la force electrique ont des directions opposees, quelleque soit la charge de l’ion considere (voir probleme 1.6.7).

Les experiences d’Aston ont revele deux faits capitaux. Le premier est le sui-vant : tout corps pur au sens du chimiste est en fait un melange (dans des proportionsbien determinees) d’objets identiques par leurs proprietes chimiques – c’est pourquoile chimiste le considerait comme pur – mais differant par leur masse. Le chlore, parexemple, se comporte exactement comme s’il etait compose d’un melange de plusieursconstituants : aussi bien avec des ions Cl+ qu’avec des ions Cl++, il existe un melange dedeux elements de masses atomiques respectives 35 et 37, alors que la masse atomique duchlore tel que le percoivent les chimistes vaut30 a peu pres 35.5 g. Cette observation cons-titue la decouverte des isotopes, la terminologie etant naturelle : indiscernables pour leschimistes, les differents isotopes occupent la meme place dans le tableau periodique des

28 La force Qv × B est perpendiculaire a la vitesse : son travail est donc nul, d’ou il resulte que lemodule v de la vitesse reste constant ; au total, le mouvement est circulaire uniforme.

29 Kenneth Tompkins Bainbridge (1904-1996) mit egalement au point l’un des premiers cyclotrons.Il est surtout celebre pour avoir supervise l’operation Trinity, premier essai de l’arme nucleaire ; justeapres celui-ci, il declara a Oppenheimer “Now we are all sons of bitches”.

30 MCl=35.46 g.

1.3 Les ions

17

1.3. Les ions 17

elements, principalement du a Mendeleiev, qui les ordonne sur la base de leurs proprieteschimiques.

Figure 1.6: Notation precise d’un isotope

Le second fait majeur est que la masse M des ions apparut comme un multi-ple entier d’une meme masse elementaire (regle connue sous le nom de Aston’s whole-number rule). Cette masse est celle d’un nucleon, constituant primordial du noyau del’atome, noyau que devaient reveler les experiences de Rutherford. On apprit par la suitequ’il existe en fait deux sortes de nucleons, les neutrons et les protons, de masses tresvoisines (

mneutron

mproton1.002) mais pas strictement egales31, d’ou cette confusion a l’age de la

prehistoire nucleaire. En tout cas, le besoin de preciser le nombre de nucleons s’exprimedans la notation explicite A

ZX pour un isotope donne. A est le nombre de nucleons (pro-tons et neutrons) ; Z est le nombre de protons dans le noyau, egal au nombre d’electronspour un atome. La notation est redondante, puisque le nombre d’electrons est en corres-pondance biunivoque avec le symbole chimique traditionnel X.

Dans toute la suite, on s’arretera a ce stade dans la dissection de la matiere enpetits morceaux : le noyau, compose de protons et de neutrons, et les electrons presentsau sein de l’atome. C’est le cadre de la physique dite des basses energies, de l’ordre del’eV (soit 1.6×10−19 J) pour les processus physico-chimiques jusqu’a quelques dizainesde keV pour les rayons X.

31 Le neutron ne fut decouvert que bien plus tard, par Chadwick [13], en 1932. Quant a sa presence entant que constituant du noyau (la reunion des protons et des neutrons formant l’ensemble des nucleons),elle ne fut averee que plus tard ; dans un premier temps, au vu de la radioactivite α, on a cru, a tort,que le noyau etait constitue de particules α (d’ou notamment sa charge positive).

Le neutron est instable a l’etat libre (sa duree de vie est voisine de 890 s, soit environ 15 minutes[14]) ; pour autant que l’on sache, le proton est au contraire stable, comme le montrent des experiencesminutieuses effectuees ces dernieres annees. La duree de vie du proton est en tout cas superieure a 1030 s,soit plus de 3×1013 milliards d’annees. . .

James Chadwick (1891-1974) recut le prix Nobel en 1935. Il travailla notamment avec Rutherford,qui avait predit l’existence du neutron des 1920. Apprenant peu apres qu’un autre physicien, HansFalkenhagen, avait lui aussi decouvert le neutron a la meme epoque, Chadwick lui proposa de partagerson prix, ce que Falkenhagen refusa par modestie.


18


1.4 Modeles d’atome

Une fois acceptee l’idee d’atome et de ses constituants tels qu’ils pouvaient etre carac-terises par les experiences brievement decrites ci-dessus, la necessite s’imposait de cons-truire un modele d’atome.

Deux propositions ont ete faites. La premiere32, due a J. Perrin (1901), imaginaitl’atome comme un systeme solaire en miniature (modele dit planetaire) : une concen-tration quasi ponctuelle de matiere chargee positivement (le noyau), autour de laquelle“gravitent” les electrons33. La force electrostatique attractive exercee par le noyau surun electron, variant comme l’inverse du carre de la distance, donne a ce dernier (supposelie) une trajectoire elliptique (le calcul etablissant ceci sera fait en detail au chapitre 7).

Figure 1.7: Representations schematiques des modeles d’atome de Perrin et de Thomson

La seconde proposition emana de J. J. Thomson (1903), qui imaginait l’atomecomme une “grosse” boule positive, de dimension atomique, au sein de laquelle sedeplacent les electrons (modele dit globulaire, ou encore pancake). En designant par R lerayon de cette boule d’electricite positive (supposee chargee uniformement en volume),et en tirant parti de la symetrie spherique supposee du systeme, le theoreme de Gausspermet d’obtenir immediatement l’expression du champ electrostatique E cree par ladistribution de charge constituant la boule. Celui-ci est radial, dirige vers l’exterieur ;son module, a la distance r du centre de la boule est, suivant le theoreme de Gauss :

4πr2 E(r) =1

ε0× charge contenue dans la sphere de rayon r , (1.12)

32 Voir [15], p. 70 et sq. Curieusement au premier abord, meme si c’est comprehensible eu egard a lapersonnalite de Perrin – lui qui fut le createur du Palais de la Decouverte –, c’est dans une revue dehaute vulgarisation [2] que l’hypothese du modele planetaire apparaıt pour premiere fois [16].

Peu apres, la meme idee fut avancee par Nagaoka (1904) : les particules se repoussant les unes lesautres (electrons ?) sont regulierement disposees sur un cercle et orbitent autour d’un centre les attiranttoutes [17] ; Maxwell avait deja introduit un modele analogue (mais ou les “satellites” s’attirent au lieude se repousser), dit modele saturnien.

33 L’expression, imagee, ne doit pas faire croire que c’est la force de gravitation qui est en jeu !

1.4 Modèles d’atome

19

1.4. Modeles d’atome 19

soit :

4πr2 E(r) =

1ε0Q(r) si r ≤ R

1ε0Qtot si r ≥ R

. (1.13)

Q(r) est la charge contenue dans la sphere de rayon r ; Qtot est la charge totale duglobule de taille R. En vertu de l’hypothese d’uniformite de la distribution de charge :

Q(r) =( r

R

)3

Qtot . (1.14)

Il en resulte que le champ E(r) varie comme r a l’interieur de l’atome de rayon R etcomme r−2 a l’exterieur. Pour un electron atomique, la force est dirigee vers le centrepuisque e < 0, et a pour module :

F (r) =|e|Qtot

4πε0R3r (r ≤ R) . (1.15)

Cette force est proportionnelle a la distance au centre, comme dans le cas d’un ressortisotrope parfait a trois dimensions (oscillateur harmonique). Il est utile d’introduire lapulsation propre de l’oscillateur, ω0, telle que (m est toujours la masse de l’electron) :

r ≤ R : F (r) = mω20 r ⇐⇒ ω0 =

√|e|Qtot

4πε0mR3. (1.16)

L’ordre de grandeur de la taille atomique etait bien connu, estime en partant de ladensite d’un solide (le fer par exemple, voir (1.1)), connaissant la masse d’une mole etune approximation meme grossiere du nombre d’Avogadro. On trouve toujours que Rest de l’ordre de quelques angstroms ; avec R=3 A, on trouve (pour l’atome d’hydrogeneQtot= |e|) :

ω0 3× 1015rad/s ⇐⇒ ν0 5× 1014Hz . (1.17)

Par λ0 = cν0, on trouve λ0 0.6µm, en plein milieu du spectre visible. Ce resultat,

rapproche de ce que l’on avait commence a observer (les atomes peuvent emettre dela lumiere visible et notamment produisent le phenomene de resonance optique (voirchapitre 6, sous-section 6.3.1) – tout comme un oscillateur entre en resonance quand ily a precisement accord entre frequence propre et frequence d’excitation), est en grandepartie a l’origine du succes (ephemere) de l’atome selon Thomson, modele definitivementecarte au profit de celui de Perrin en raison des resultats des experiences de Rutherford(voir chapitre 3).

Il convient de se souvenir que, de toute facon, aucun modele mecanique de l’atome(au sens classique du terme) n’est satisfaisant. Afin de constituer un edifice atomiquestable, le noyau (quel qu’il soit) et les electrons doivent etre en interaction par desforces donnant lieu a un mouvement confine pour ces derniers. Ce type de mouvementn’est possible que s’il y a une acceleration (si le mouvement de l’electron est circulaireuniforme, l’acceleration est centripete) ; or toute charge acceleree rayonne de l’energie, lapuissance etant donnee par la formule classique de Larmor. Il en resulte que le systeme


20


est electrodynamiquement instable : au bout d’un temps court a l’echelle humaine34 (del’ordre de 10−8 seconde), l’electron perdant peu a peu son energie finit par tomber surle noyau en spiralant. En d’autres termes, les lois de la physique classique (mecaniqueet electromagnetisme) conduisent a la conclusion que l’atome n’existe pas, ce qui estbien ennuyeux. Cette difficulte majeure – propre a la description classique (seule latheorie quantique est en mesure de fournir une explication satisfaisante de la stabilitede l’atome et, plus generalement, de la matiere) – est decrite plus precisement dans lasection suivante.

1.5 Instabilite electrodynamique de l’atomeclassique

On vient de rappeler qu’une charge confinee (donc acceleree) emet un rayonnementelectromagnetique. Il s’agit maintenant d’examiner plus precisement quelques conse-quences des lois de l’electromagnetisme classique combinees avec celles de la dynamique(d’ou le vocable electrodynamique) et notamment de montrer que l’atome classique estfondamentalement instable : l’electron localise au sein de l’atome emet un rayonnementet de ce fait perd graduellement son energie.

La description ci-dessous repose sur le fait que l’effet de rayonnement reste unphenomene minoritaire, bien qu’il conduise finalement a des conclusions spectaculaires.Le point de depart sera donc une description dynamique ordinaire, a laquelle on rajouterales effets perturbatifs dus au rayonnement de la source (l’electron confine) sur le mouve-ment de cette source. Le critere a satisfaire pour qu’il soit legitime de raisonner ainsiest :

Erad E0 . (1.18)

ou E0 est une energie typique du mouvement en l’absence de rayonnement35 et Erad

l’energie evacuee vers l’exterieur sous forme de rayonnement. Quand ce critere est satis-fait, l’electron a un mouvement tres sous-amorti et a le temps d’effectuer un grand nombred’oscillations : en pareil cas, le mouvement exhibe une pseudo-periode, a defaut d’unevraie periode.

Le rappel d’un resultat classique est d’emblee necessaire. Soit une charge ponc-tuelle q possedant une acceleration v ; la puissance rayonnee vers l’exterieur est donneepar la formule de Larmor36 :

P =µ0

4π

2

3

q2v 2

c=

2

3

q2v 2

4πε0c3. (1.19)

34 Ce temps est toutefois tres long a l’echelle atomique, comme on peut le voir en calculant l’ordre degrandeur de la duree d’une revolution electronique.

35 Cette limite peut toujours etre faite formellement en annulant toutes les charges electriques.36 Voir par exemple : Landau et Lifchitz [18], § 75, ou Jackson [19], chapitre 14.Joseph Larmor (1857-1942) etait un physicien et mathematicien irlandais, ayant notamment propose

que l’ether est un fluide incompressible et elastique. D’abord favorable a la relativite d’Einstein, il endevint l’un des plus farouches adversaires. Il joua aussi un role politique : vivement oppose a la Homerule, il fut elu depute en 1911 et le resta jusqu’en 1922.

1.5 Instabilité électrodynamique de l’atome classique

21

1.5. Instabilite electrodynamique de l’atome classique 21

Cela etant, montrons que pour un atome le critere (1.18) est satisfait. Chaqueenergie y apparaissant peut etre estimee en ordre de grandeur en jouant simplementavec les grandeurs caracterisant le probleme physique. S’agissant de E0, qui est l’energietypique de l’atome, on dispose de m (masse de l’electron) ω0 (∼ frequence propre dumouvement electronique) et d (taille atomique). Avec ces trois grandeurs, on peut formerl’energie mω2

0d2 et E0 ne peut etre que de cet ordre : E0 ∼ mω2

0d2. En ce qui concerne

Erad, il faut d’abord estimer la puissance, c’est-a-dire essentiellement v, l’acceleration del’electron : ce ne peut etre que dω2

0 . Au total, l’ordre de grandeur de l’energie rayonnee

par (pseudo-)periode est37 23e′2(ω2

0d)2

c3 × 2πω0

. En definitive, tout rassemble, on obtient :

Erad

E0∼ 2πω0τ , (1.21)

ou τ est un temps defini comme :

τdef=

2

3

e′2

mc3=

2

3

rec

6.4× 10−24 s . (1.22)

ω0 est une pulsation optique ; avec λ0 ∼ 0.6µm, on a ω0 = 2π cλ0

∼ 3 × 1015 rad/s. Autotal, il vient :

ω0τ ∼ 10−8 ,Erad

E0∼ 10−7 1 , (1.23)

et le critere (1.18) est bien verifie. Ceci autorise a entreprendre la demarche suivante,quelque peu heuristique mais riche d’enseignements.

Le rayonnement de l’electron accelere se traduit par une perte d’energie graduellede ce dernier, phenomene que l’on peut comprendre comme le resultat d’un freinage.Cette idee etant admise, et pour decrire ce freinage du au rayonnement, on introduit uneforce Frad (voir [19], chapitre 17) dont on exige d’une part qu’elle s’annule si la vitesseest constante, d’autre part qu’elle soit proportionnelle a e2 puisque la puissance emisepar rayonnement est proportionnelle a e2 et que de surcroıt le signe de la charge ne peutjouer dans ces effets radiatifs. L’expression de cette force peut etre obtenue en effectuantle bilan energetique suivant.

Ecrivons que le travail dW de Frad entre deux instants t et t + dt est egal a lavariation d’energie dEat de l’atome pendant le meme intervalle de temps :

dEat = dW = Frad.dr = Frad.v dt , (1.24)

d’ou une premiere expression de la variation d’energie entre deux instants t1 et t2 :

∆Eatdef= Eat(t2)− Eat(t1) =

∫ t2

t1

Frad.v dt . (1.25)

37 La notation e′2 designera partout la quantite :

e′2 def

=e2

4πε0(1.20)

La longueur redef= e′2

mc2∼ 3× 10−15 m est appelee rayon classique de l’electron ; de maniere imagee :

le temps τ defini en (1.22) est l’ordre de grandeur du temps mis par la lumiere pour traverser l’electronde part en part.


22


Par ailleurs, la variation de l’energie de l’atome est l’oppose de l’energie rayonnee pendantle meme dt, laquelle vaut Pdt :

dEat = −P dt = −2

3

e′2v 2

c3dt . (1.26)

D’ou une autre expression de ∆Eat :

∆Eat = −2e′2

3c3

∫ t2

t1

v 2 dt (1.27)

En ecrivant v 2 = v.v et en effectuant une integration par parties, l’expression (1.27) setransforme en :

∆Eat = −2e′2

3c3

[∣∣v.v∣∣t2t1−

∫ t2

t1

v.v dt]. (1.28)

Par hypothese, le freinage du au rayonnement est faible, c’est-a-dire que si le mouvementn’est plus strictement periodique, il reste vrai que l’electron effectue encore un grandnombre d’oscillations (ou de revolutions), chacune d’entre elles durant un temps tresvoisin de la periode T du mouvement en l’absence de freinage. Si l’on choisit t2− t1 = T ,le terme tout integre est presque nul et il reste :

∆Eat 2e′2

3c3

∫ t2

t1

v.v dt . (1.29)

En comparant cette expression et l’expression (1.25), on voit qu’un candidat possiblepour la force de freinage est (force dite d’Abraham38 -Lorentz) :

Frad =2e′

2

3c3v ≡ mτv , (1.30)

en depit de l’aversion que peut susciter l’apparition de la derivee troisieme (voir probleme1.6.8). . .

Cela etant admis, un choix doit maintenant etre fait concernant le mouvementmecanique de l’electron. En d’autres termes, il faut se fixer un modele d’atome ; comptetenu de l’aspect fondamental de la question examinee, adopter un modele ou un autre estau fond sans grande importance. Dans la suite, on prend celui qui conduit aux calculsles plus simples en la circonstance, a savoir celui de Thomson, qui donne un electron

38 Max Abraham (1875-1922) a propose en 1902 que l’electron est une petite sphere uniformementchargee en surface. Apres sa mort, Born et von Laue dirent de lui “He loved his absolute æther, his fieldequations, his rigid electron just as a youth loves his first flame, whose memory no later experience canextinguish” ([20], p. 232).

Les travaux de Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928) ont principalement porte sur l’electromagnetisme ;c’est lui qui introduisit la transformation qui porte son nom afin d’expliquer les resultats de l’experiencecelebre de Michelson et Morley. Il partagea avec Pieter Zeeman le prix Nobel 1902 “in recognition of theextraordinary service they rendered by their researches into the influence of magnetism upon radiationphenomena”.

1.6 Exercices et problèmes

23

1.6. Exercices et problemes 23

elastiquement lie. Cela etant fait, l’equation fondamentale de la dynamique (EFD) pourl’electron lie harmoniquement et soumis au freinage de rayonnement est39 :

mr = −mω20r +mτ

...r ; (1.31)

l’apparition de la derivee troisieme est a premiere vue une simple curiosite. En fait, ils’agit d’une pathologie grave, discutee plus precisement dans le probleme 1.6.8, mais quiest pour l’instant laissee de cote.

Pour resoudre simplement l’equation (1.31), on pose r(t) = r (0)eiωt ou designela partie reelle ; le report dans (1.31) donne l’equation pour ω :

ω2 − ω20 − iτω3 = 0 . (1.32)

En l’absence de freinage de rayonnement, on aurait simplement ω = ω0 ; le freinage etantfaible, caracterise par le parametre ω0τ 1 (voir (1.23)), ceci suggere de chercher ω sousla forme d’un developpement en puissances de ω0τ :

ω = ω0[1 + αω0τ +O((ω0τ)2)] ; (1.33)

injectant ceci dans (1.32), on trouve α= i2 , soit ω ω0(1 + i

2ω0τ). En definitive, l’ex-pression approchee du rayon-vecteur est :

r(t) = r (0) e−12ω

20τt cosω0t ; (1.34)

le mouvement electronique s’amortit donc exponentiellement, tout en oscillant a la fre-quence ν0 =

ω0

2π ; l’echelle de temps caracteristique de l’amortissement, τnat=1

ω20τ, n’est

autre que la duree de vie typique de l’atome dans la description classique adoptee.L’application numerique donne :

τnat ∼ 10−8 s (1.35)

L’atome est donc foncierement instable, et sa duree de vie n’est que de quelques mil-liardiemes de seconde. . . pendant lesquelles l’electron effectue cependant un nombre enor-me de cycles (chacun d’entre eux dure environ 10−15 s). Dans le modele de Thomson, ontrouve ainsi un mouvement harmonique lineaire (le long de r (0)) tres sous-amorti. Latransposition au modele de Perrin permet d’imaginer que l’electron spirale vers le noyau,lentement si on se refere a la pseudo-periode 2π

ω0, mais tres vite sur une echelle de temps

anthropomorphique.

1.6 Exercices et problemes

1.6.1 Determination du rapport charge/masse de l’electron(methode de Thomson et Kaufmann)

La methode de Thomson (1897) consiste a etudier la deviation d’electrons de vitesse

initiale v0 (parallele a Oy) par un champ electrique E et un champ magnetique B, tous

39 Cette equation est dite d’Abraham-Lorentz. Noter que le freinage augmente d’une unite l’ordre del’equation differentielle, et constitue de ce fait une perturbation singuliere, par definition.


24


deux constants, homogenes, paralleles a Ox et agissant dans la region situee entre Oet un ecran ou sont materialises les electrons (voir figure 1.8). L’impact du faisceauelectronique est detecte sur un ecran place a la distance d de l’origine O. On note e et

m la charge et la masse electroniques et ω= |e|Bm la quantite souvent appelee pulsation

synchrotron.

Figure 1.8: Schema de l’experience de Thomson-Kaufmann

1. Principe de l’experience

(a) Dessiner l’allure typique d’une trajectoire electronique

(b) Trouver l’equation parametrique (en fonction du temps) de la trajectoire d’unelectron, en prenant comme origine des temps l’instant ou l’electron passe enO. A quelle condition obtient-on un impact sur l’ecran ?

(c) Soit t1 l’instant d’impact sur l’ecran. Dans l’hypothese ou ωt1 π2 , determiner

l’equation cartesienne de la courbe sur laquelle se trouvent les impacts lorsquela vitesse initiale varie en module. Que se passe-t-il si on inverse le champelectrique ?

(d) Comment cette experience permet-elle de mesurer le rapport chargemasse pour l’elec-

tron ?

2. Corrections relativistes

Peu de temps apres les premieres experiences de Thomson, Kaufmann (apres lepremier article d’Einstein sur la relativite restreinte) s’apercut que la loi paraboliqueobtenue en 1c n’etait pas verifiee pres de l’origine O, c’est-a-dire la ou l’on trouveles particules dont la vitesse initiale est tres grande.

(a) Identifier l’origine de cette anomalie.

(b) A l’aide de la conservation de l’energie, determiner la variation dans le tempsde la coordonnee x a l’aide de la fonction T (t) definie comme :

T (t)def= γmc2 , γ = (1− β2)−1/2 , β =

v

c. (1.36)

(c) En utilisant la relation fondamentale de la dynamique (relativiste), trouverZ(t) = y(t) + iz(t) en fonction de T (t)


25


(d) Trouver la fonction T (t) (poser τ = T (0)c|e|E ). En deduire l’expression des trois

coordonnees d’espace en fonction de la variable φ(τ) definie par sinhφ(t)def= t

τ

(e) Montrer que si v0→ c, les impacts se rapprochent de l’origine O’ suivant unecourbe qui n’est plus tangente a O’z′. Retrouver la pente verticale mise enevidence dans la partie 1 par un passage a la limite convenable.

1.6.2 Determination du nombre d’Avogadro N a l’aide du mou-vement brownien

Le mouvement brownien est le mouvement irregulier de particules (diametre de l’ordredu micron) en suspension dans un fluide. Il resulte des impacts nombreux incessants despetites particules du fluide sur la “grosse” particule et est le revelateur de l’agitation ther-mique et des fluctuations thermodynamiques (thermiques). Dans ce qui suit, on etudieune description dynamique simple du mouvement et, la rapprochant de mesures effectueespar Jean Perrin, on donne le principe de l’une des toutes premieres determinationsprecises de N .

1. Modele dynamique pour le mouvement brownien. La grosse particule, de masse m,est soumise a deux forces40 de la part du fluide : une force de viscosite, propor-tionnelle a la vitesse, la constante de proportionnalite etant notee C, et une forceF (t) de moyenne nulle fluctuant tres rapidement a l’echelle du mouvement de laparticule. Le fluide est suppose etre a l’equilibre thermique a la temperature T .

(a) Notant x(t) la position de la grosse particule41, ecrire l’equation fondamentalede la dynamique. On pose τ = m

C ; quel est le sens physique de τ ?

(b) Apres multiplication membre a membre par x, prendre la moyenne d’ensemblede l’equation et la simplifier en laissant tomber42 les correlations entre F (t) etx(t). Apres transformation du terme contenant la derivee seconde, en deduireune equation differentielle pour 〈xx〉. A quoi est egal43 le terme 〈x2〉 ?

(c) Integrer l’equation differentielle sachant que la quantite 〈xx〉 est nulle a t = 0(quel est le sens physique d’une telle condition ?). En deduire 〈x2〉(t) sachantqu’a t=0, 〈x2〉 est nul (sens physique ?) et montrer que, pour tτ , la formeasymptotique de 〈x2〉(t) est de la forme 〈x2〉(t)2Dt, ou D est une constanteappelee constante de diffusion.

(d) Dans le cas de particules spheriques de rayon a = 0.4µm, et pour des faiblesvitesses, on peut ecrire C = 6πηa (loi de Stokes) ou η est la viscosite du

40 Ces deux forces ont la meme origine physique et resultent des chocs des particules legeres du fluide.Elles ne sont donc pas sans relation l’une avec l’autre, elles sont meme indissociables et reliees par desegalites tres fortes par leur generalite (theoreme de fluctuation-dissipation).

41 On se place a une dimension d’espace pour simplifier.42 Il est possible de montrer que cette approximation ne modifie pas le regime a grand temps, qui est

le seul resultat utile ici.43 Penser au theoreme d’equipartition de l’energie.


26


fluide (η=10−3 kg/ms (eau a 27o C)) ; la densite de la particule est compa-

rable a celle de l’eau, et on prendra ρ=1g/cm3. En deduire l’expression de

〈x2〉 a retenir dans le cas d’une observation macroscopique (echelle de tempsexperimentale : 1 s).

2. Releve d’une experience de Jean Perrin (1905) [9]

La table ci-dessous donne les nombres d’occurrences de la quantite δ(t) definie

comme δ(t)def= x(t)− x(t− 2) (t en secondes, δ en µm)

(a) Utiliser ce releve d’experience pour calculer 〈x2〉 et en deduire la valeur nu-merique de la constante D introduite en 1c.

(b) Par comparaison avec la partie 1, obtenir la valeur numerique du nombred’Avogadro N (la constante des gaz parfaits est R=8.31 J/K).

δ(t) nombre d’occurrences

< −5.5 0entre −5.5 et −4.5 1entre −4.5 et −3.5 2entre −3.5 et −2.5 15entre −2.5 et −1.5 32entre −1.5 et −0.5 95entre −0.5 et +0.5 111entre +0.5 et +1.5 87entre +1.5 et +2.5 47entre +2.5 et +3.5 8entre +3.5 et +4.5 3entre +4.5 et +5.5 0

> +5.5 0

3. Modele stochastique : la marche de l’ivrogne

Pour finir, il s’agit maintenant de definir un modele simple de marche au hasard surun reseau unidimensionnel de points regulierement espaces de la distance a. Uneparticule (ou un homme emeche) se deplace en effectuant des sauts sur ce reseau dela facon suivante : tous les ∆t, la particule situee au site d’abscisse pa (p ∈ Z) sautesur l’un des deux sites premiers voisins, vers la droite avec la probabilite p, vers lagauche avec la probabilite q=1−p. La position de la particule est donc une variablealeatoire X pouvant prendre les valeurs discretes na. Conventionnellement, le sitede depart est celui fixant l’origine (n = 0) du reseau ; le cas echeant, on poserav=a∆t.

(a) Soit xn(t) la position atteinte par la particule au temps t=N∆t quand ellea effectue n sauts vers la droite et N − n sauts vers la gauche (0 ≤ n ≤ N).

Quelle est la probabilite Pndef= Prob[X=xn(t)] ?

(b) A l’aide des Pn, ecrire l’expression de l’esperance mathematique de l’alea-toire X.


27


(c) On introduit la fonction generatrice F (λ)def=

∑Nn=0 λ

nPn. Expliquer com-ment F permet de calculer simplement les moyennes des puissances de laposition 〈Xk〉 (ces quantites sont appelees moments, ici de l’aleatoire X).

(d) Utiliser ceci pour trouver :

i. la valeur moyenne de la position a l’instant t, 〈X〉(t). En deduire la vitesse

moyenne definie comme Vdef= 1

t 〈X〉(t) ; verifier qu’elle s’annule si p=q= 12

(marche non biaisee) ;

ii. l’ecart quadratique de la position ∆X2 def= 〈X2〉 − 〈X〉2. Comment varie-

t-il en temps ? En deduire l’expression de la constante de diffusion D.Commenter en comparant avec les resultats de deux parties precedentes.

1.6.3 Les experiences de Kappler (1931)

Il s’agit d’une autre methode precise de determination du nombre d’Avogadro44 (oude la constante de Boltzmann kB). Kappler45 a mesure les fluctuations de la positiond’equilibre d’un petit miroir (surface de l’ordre de 1mm2), suspendu dans l’air verti-calement par un fil de torsion de constante K [21] ; la position du miroir peut etre tresprecisement reperee par la deviation d’un rayon lumineux. On note T la temperaturede l’air, θ l’ecart a la position d’equilibre, I le moment d’inertie du miroir par rapporta son axe de rotation. A la force de rappel pres, le miroir est dans une situation trescomparable a celle d’une particule brownienne et, sous les impacts des molecules d’air,effectue des petites oscillations aleatoires autour de sa position d’equilibre.

1. Sachant que le miroir est en equilibre thermodynamique avec l’air ambiant, quellessont les valeurs moyennes de son energie cinetique et de son energie potentielle ?

2. En deduire que N est donne par :

N =RT

K〈θ2〉(1.37)

ou 〈θ2〉 est l’ecart quadratique de la position du miroir.

3. La mesure donne 〈θ2〉 = 4.18×10−6 rad2. Trouver la valeur de N sachant queK = 9.4×10−16 MKS, R=8.31 J/K.

1.6.4 Equilibre d’une atmosphere isotherme

Jean Perrin [9] a egalement etudie la repartition de la densite d’equilibre d’un gaz diluede grosses particules de masse M immergees dans un fluide, le tout etant contenu dans un

44 Avant de faire cet exercice, il est recommande d’avoir fait l’exercice 1.6.2, tout particulierement lapartie 1.

45 Eugen Kappler (1905-1977) etait un physicien allemand.


28


bocal cylindrique vertical. Plus precisement, Jean Perrin a observe que la densite lineairen des grosses particules, homogene a l’inverse d’une longueur, variait avec l’altitude zsuivant la formule barometrique :

n(z) = n(0) e−βMgz (β =1

kBT) ; (1.38)

g est l’acceleration de la pesanteur, z est l’altitude comptee positivement vers le haut,kB la constante de Boltzmann.

1. Soit P (z) la pression a l’altitude z. Montrer que la condition d’equilibre mecaniquede la tranche de gaz situee entre les altitudes z et z + dz donne dP

dz =−MgS n(z), S

designant la section droite du bocal cylindrique.

2. Le gaz de grosses particules etant tres dilue, il obeit a une equation d’etat du genregaz parfait PV =NkBT , ou N est le nombre de particules dans le volume V . Endeduire la formule barometrique (1.38).

3. Comment N est-il inclus dans les resultats precedents ?

1.6.5 Mesure precise de l’impulsion de particules par focalisation

Des electrons d’energie E de l’ordre du keV sont emis par une source S situee au pointO et sont injectes dans la region z > 0 (voir figure 1.9). La vitesse initiale v0 est dansle plan xOz et sa direction par rapport a l’axe Oz est caracterisee par l’angle α = 0, enprincipe bien determine. Dans la region z > 0 regne un champ magnetique statique ethomogene, parallele a Oz et de module B ; e et m designent la charge et la masse del’electron46, c la vitesse de la lumiere dans le vide.

Figure 1.9: Schema precisant la geometrie de l’injection des particules

1. Calculer numeriquement le module v0 et le comparer a c.

46 Les valeurs a utiliser pour les applications numeriques sont donnees a la fin de l’exercice.


29


2. Ecrire l’equation fondamentale de la dynamique projetee sur les trois axes ; endeduire les equations differentielles pour les coordonnees x, y et z d’un electron,

exprimees a l’aide de la pulsation cyclotron ωc=|e|Bm . Combien vaut ωc ?

3. Donner l’expression de z(t), puis celle de la composante de la vitesse suivant Ox,soit vx(t) ; en deduire x(t). Achever l’integration en donnant y(t).

4. Soit r la distance d’un electron a l’axe Oz ; donner l’expression de r en fonctiondu temps et en tracer le graphe.

5. On dispose un detecteur D sur l’axe Oz : a quelles distances Lk de O doit-on leplacer pour recueillir les electrons ? On designe dans la suite par L1 la plus petitedes Lk ; calculer L1 numeriquement quand α = 45o.

6. On deplace le detecteur le long de Oz, designant par d sa distance au point O.A l’aide d’un dessin, representer le signal recu sur le detecteur en fonction de d,sachant que d ne peut exceder 60 cm. Expliquer en quoi la mesure de L1 constitueune determination de l’impulsion initiale p0 des electrons.

7. En realite, le signal mesure par D presente une largeur finie, provoquant une incer-titude sur la mesure de p0. Sachant que cette largeur ne peut etre expliquee ni parles inevitables inhomogeneites spatiales du champ magnetique, ni par la valeur (in-connue) de v0 (qui est parfaitement definie), quelle est la cause de l’elargissement ?

8. Il s’agit maintenant de preciser comment on peut modifier l’appareil pour reduirel’erreur sur la mesure de p0=mv0, a condition de pouvoir mettre le detecteur en-dehors de l’axe Oz ; dans la suite, d designe la distance entre le detecteur et le planxOy.

(a) Pour une valeur donnee de l’angle α, exprimer la distance d’un electron a l’axeOz, soit r, en fonction de sa coordonnee z.

(b) Soit deux angles d’injection α′ et α′′ (α′ < α′′) et les deux longueurs L′1 et L′′

1

correspondantes ; quelle est l’inegalite entre L′1 et L′′

1 ? Pour ces deux angles,representer graphiquement la variation de r en fonction z.

(c) Soit α la valeur “nominale” de l’angle d’injection. Pour z fixe, donner l’expres-sion de la variation δr de r lorsque α varie de δα autour de α ; en deduire qu’ilest possible de choisir d afin que la variation de r par rapport a α ne dependeque de termes en (δα)2. Ecrire l’equation fixant cette valeur particuliere ded, soit dm (ne pas chercher a resoudre cette equation, mais en donner uneillustration graphique).

(d) En deduire la modification a apporter au dispositif pour que la mesure de p0soit beaucoup plus precise (l’appareil focalise les electrons dans le plan dm).

Valeurs numeriques :e=−1.6× 10−19 C, E=1keV, mc2=511 keV, B=10−3 T, α = 45o.


30


1.6.6 Spectrographe de masse

Un four a haute temperature (T de l’ordre de 1 000 K) contient du chlore gazeux. Apresionisation (par un dispositif non represente), le melange isotopique binaire d’ions Cl−

(charge q=−|e|, masses M1 et M2) issus du four est accelere par une ddp U (de quelquesdizaines de kV) avant d’etre injecte dans la fente d’entree S d’un spectro de masse. Lechamp magnetique est dirige horizontalement perpendiculairement au plan de la figure.P designe une plaque sensible detectant l’arrivee des ions.

Figure 1.10: Schema d’un spectrographe de masse

1. Preciser le sens de la ddp U et la direction du champ magnetique B.

2. Donner l’ordre de grandeur de la vitesse d’un ion avant acceleration par U etmontrer que l’energie cinetique thermique correspondante peut etre negligee.

3. Soit v la vitesse acquise au point S par un ion de vitesse initiale nulle. La trajectoired’un ion dans la partie ou regne le champ magnetique est un arc de cercle : rappelerpourquoi ; donner l’expression de son rayon R et le calculer numeriquement.

4. Li designe la distance horizontale entre S et le point d’impact d’un ion de masseMi. Comment varie qualitativement Li en fonction de Mi, toutes choses egales parailleurs ? Exprimer Li en fonction de h et Ri, et en fonction de h, Mi, q, B et U .

5. Calculer numeriquement la distance ∆L separant les deux types d’impacts.

6. Soit δv0 l’incertitude sur la vitesse initiale compte tenu de l’agitation thermiquedans le four. Ecrire la condition sur v, Mi, δv0 et ∆M = M1 − M2 pour que lesimpacts de deux isotopes soient bien separes malgre l’agitation thermique.

Valeurs numeriques :q = −1.6 × 10−19 C, masses atomiques : Mi = 35 et 37 g/mol, U = 10 kV, B = 0.1T,h=10 cm.

1.6.7 Le spectrometre de Bainbridge

La figure 1.11 donne le schema d’un spectrographe de masse du a Bainbridge. Unesource emet des ions positifs (masse M , charge q) dont le module de la vitesse initiale,


31


v, est reparti sur un grand intervalle. Ces ions sont injectes a travers la fente S1 dansune enceinte a vide haute et etroite, ou existent d’une part un champ electrique E creepar deux plaques P et P’ paralleles distantes de d et portees a des potentiels differents(V =VP−VP′ > 0), et d’autre part un champ magnetique uniforme de module B, perpen-diculaire au plan de la figure et pointant vers le lecteur. La vitesse initiale v est parallelea l’axe S1S2.

Figure 1.11: Schema du spectrometre de masse de Bainbridge

1. A l’aide d’un dessin, donner les directions des deux forces (electrique et magnetique)agissant sur un ion situe dans l’enceinte.

2. Quel est le module de la force resultante ?

3. B et v etant fixes, montrer que l’on peut ajuster la ddp V de sorte qu’un ion ayantcette vitesse ne subisse aucune deviation dans l’enceinte.

4. Quelle est la vitesse v0 des ions issus de la fente S2 ?

A.N. : V =100V, d=2 cm, B=1T.

5. Dans la region situee au-dessous du plan de trace xx′ existe un champ magnetiqueuniforme B ′ dirige comme indique. Dessiner la trajectoire d’un ion. Quelle estl’expression du rayon de celle-ci, en fonction de q, M , v0 et B′ ?

A. N. : trouver la valeur approximative de R sachant que les ions constituent unmelange isotopique de 37Cl+ et de 35Cl+ et que B′=10−3 T.

6. Dessiner deux trajectoires pour deux ions de meme charge et de masses M1 et M2

(M1<M2).

7. Soit ∆l = 1 mm la resolution lineaire de la plaque sensible (voir figure 1.11). Quelleest la condition sur B′ assurant que l’on peut separer les impacts de deux ions dontla difference des masses est ∆M ? Peut-on separer les isotopes du chlore avec lavaleur de B′ choisie en 5 ?


32


1.6.8 La force d’Abraham-Lorentz

La force de freinage Frad ecrite ci-dessus en (1.30) est conceptuellement pathologique,comme le montre l’analyse qui suit. En reprenant les notations de la section 1.5,l’equation d’Abraham-Lorentz pour une particule de charge e et de masse m soumisea une force47 F est (v ≡ r ) :

mv = mτv + F ; (1.39)

ou le temps τ 6.4×10−24 s est defini en (1.22). Comme deja mentionne, une premierebizarrerie de cette equation est l’apparition d’une derivee troisieme de la position dela particule (definie par le rayon-vecteur r ), censee representer l’effet du freinage parrayonnement. De surcroıt, la perturbation du mouvement provoquee par cet effet estfondamentalement singuliere, au sens ou elle modifie l’ordre de l’equation differentielledu mouvement, lequel passe de 2 a 3 des que la charge est non nulle. En fait, c’est bienparce que le petit parametre est en facteur de la plus haute derivee que la perturbationest dite singuliere, par definition48.

Ces avertissements etant donnes, il s’agit maintenant d’examiner les consequencesde l’equation (1.39) telle qu’elle est, precisement pour bien mettre en evidence les tresgraves difficultes de fond qu’elle souleve.

1. En utilisant la methode connue pour integrer une equation differentielle telle que(1.39), ecrire l’expression generale de l’acceleration v(t), supposant connue l’acce-

leration a un certain instant t0, v(t0).

2. En examinant le cas particulier F = 0, montrer que cette solution est aberrantephysiquement.

3. Revenant a la solution generale obtenue en 1 dans le cas F =0, montrer que l’onpeut formellement eliminer les solutions divergentes par un choix convenable de t0.Commenter ce choix – qui, sur le plan technique, exprime une condition aux limitesplutot qu’une condition initiale.

4. En deduire l’expression regularisee de la solution obtenue en 1. Revenant un cran enarriere et en analysant le noyau integral figurant dans cette expression, verifier quel’equation du mouvement redonne bien, dans la limite de charge nulle, l’equationordinaire de la dynamique.

5. Afin d’exhiber clairement la violation annoncee d’un grand principe physique, effec-tuer un changement de variable d’integration tres simple pour obtenir :

v(t) =1

m

∫ +∞

0

e−s F (t+ τs) ds . (1.40)

Commenter cette derniere equation et montrer qu’un principe physique y est viole.

47 Dans le modele de Thomson, cette force n’est autre que −mω20r, voir (1.31).

48 Le meme phenomene se produit pour l’equation aux valeurs propres de Schrodinger, ou c’est cettefois la constante de Planck qui est en facteur de la plus haute derivee. Il existe un traitement approchespecifique pour ce genre de question, appele methode BKW (ou WKB) dans le contexte quantique (voirchapitre 9).


33


6. Afin de mettre en evidence cette violation de facon encore plus spectaculaire, traiterle cas d’une particule de vitesse nulle en t = −∞ et soumise a une force echelon :

F (t) =

0 si t < 0F0 si t > 0

(1.41)

Resumer ces resultats en tracant la variation en fonction du temps, de l’accelerationet de la vitesse. Noter que la particule se met en mouvement. . . avant l’applicationde la force, phenomene inacceptable que l’on appelle parfois preacceleration d’uneparticule chargee.

1.6.9 Duree de vie de l’atome de Jean Perrin

Il s’agit de developper un argument semi-quantitatif illustrant l’instabilite electrodynami-que de l’atome selon Jean Perrin. Dans ce modele, l’electron (masse m, charge e) tourneautour du noyau de charge |e| suppose fixe et, d’un point de vue strictement mecanique,reste en equilibre sur sa trajectoire grace a l’attraction electrostatique du noyau. A uninstant donne, l’electron se trouve a la distance r de ce dernier et le module de sa vitesseest v.

1. L’acceleration centrale a pour expression v2

r ; ecrire la relation entre accelerationet force et en deduire que la quantite mv2r est une constante du mouvement.

2. Soit T la periode du mouvement circulaire uniforme de rayon r ; donner l’expressionde T en fonction de r, re (rayon classique de l’electron) et c (vitesse de la lumiere).

3. Ecrire l’expression de l’energie mecanique totale de l’electron, E

4. Donner une expression de E ne faisant intervenir que e′2 et r. La tracer en fonctionde r.

5. En deduire la variation d’energie dE lorsque r varie de dr.

6. La puissance rayonnee par l’electron accelere est (formule de Larmor) :

P =2e′ 2

3 c3v 2 (e′2 =

e2

4πε0) . (1.42)

En assimilant v 2 et le module carre de l’acceleration centrale, montrer que la deriveede r est donnee par :

r =K

r2. (1.43)

Preciser la constante K en fonction de c et de re.

7. En deduire la valeur de r a l’instant t, r(t), connaissant sa valeur initiale r0. Donnerl’expression du temps τ au bout duquel la distance au noyau a ete divisee par 21/3.Calculer numeriquement τ avec r0=3 A.

8. Comparer τ et la periode T0 calculee avec r0. Avec un dessin, donner l’allure de latrajectoire de l’electron.

physique34 Chapitre 1. Introduction

35

physiqueLa radioactivité

Chapitre 2

Chapitre 2

La radioactivite

“On peut se demander si l’humanite a avantagea connaıtre les secrets de la nature,

si elle est mure pour en profiter ou sicette connaissance ne sera pas nuisible.” [22]

(Pierre CURIE, 1859–1906)

Ce chapitre commence par un expose phenomenologique dela radioactivite. La loi de decroissance radioactive est ensuitepresentee, d’abord empiriquement, puis en tant que consequenced’un modele probabiliste traduisant le fait fondamental suivantlequel la desexcitation d’un noyau est un phenomene foncierementaleatoire.

2.1 La radioactivite : decouverte et premiers faitsexperimentaux

Comme annonce dans le chapitre precedent, le modele globulaire de Thomson fut definiti-vement ecarte au vu des experiences de Rutherford (voir chapitre 3), au profit du modeleplanetaire de Perrin. L’etude de la radioactivite1 a joue un role majeur en montrant

1 Le terme radioactivite est du a Marie Curie qui effectua sa these sous la direction de Pierre Curie,le sujet etant l’etude du nouveau rayonnement decouvert par Becquerel, auquel elle proposa de donnerce nom.

Maria Curie-Sklodowska (1867-1934) a soutenu sa these le 25 juin 1903, et recut le prix Nobel dephysique le 15 decembre suivant, le partageant avec Pierre Curie (1859-1906) (et avec Becquerel, voirnote 2) “in recognition of the extraordinary services they have rendered by their joint researches on theradiation phenomena discovered by Professor Henri Becquerel”. Elle fut a nouveau distinguee par leprix Nobel de chimie en 1911 “in recognition of her services to the advancement of chemistry by thediscovery of the elements radium and polonium, by the isolation of radium and the study of the nature

physiqueChapitre 2 La radioactivité

36

36 Chapitre 2. La radioactivite

deja que, de toute evidence, l’atome contenait en son sein un objet dont les changementsd’etat impliquaient des energies enormes, comparees aux energies mises en jeu dans lesprocessus physiques et chimiques jusque la observes.

On doit a Henri Becquerel2 la decouverte (fortuite ? [23]) de la radioactivite (1896,voir [24]). Becquerel menait une serie d’experiences afin de savoir si certaines substances(des sels d’uranium) connues pour leur fluorescence etaient egalement capables, apresexposition a la lumiere solaire, d’emettre les rayons X qui venaient d’etre decouverts[25] par Rontgen3 (annonces par ce dernier le 3 janvier 1896), et dont on ne connaissaitpas encore la veritable nature – d’ou la terminologie qui leur fut donnee, evocatrice demystere. Une experience de controle se faisait avec la meme substance que l’on avaitsoigneusement protegee du rayonnement solaire, tant pendant son elaboration que pen-

and compounds of this remarkable element”.Pierre Curie a decouvert la piezoelectricite (1880), avant de s’interesser au magnetisme (loi de Curie,

voir chapitre 11) et de partager les travaux de recherche de Marie. Tous deux doivent etre considerescomme les pionniers de la radioactivite. Pierre Curie est mort accidentellement, renverse par un fiacreen traversant la rue.

2 Antoine Henri Becquerel (1852-1908) appartient a une lignee de physiciens (son pere l’etait, songrand-pere aussi, son fils le fut). Il a partage avec Marie et Pierre Curie le prix Nobel 1903 ”in recognitionof the extraordinary services he has rendered by his discovery of spontaneous radioactivity”.

Il est tres souvent affirme que la decouverte [24] de la radioactivite par Henri Becquerel a ete acciden-telle. Si elle le fut, il n’y a d’accident que dans les caprices du soleil durant la fin de l’hiver a Paris en 1896(Pour une narration et une analyse precises de la decouverte de Becquerel, voir l’article de Jean-LouisBasdevant [26].).

A cette epoque, Becquerel etudiait certains composes de l’uranium, deja connus pour emettre unrayonnement dont on se demandait quelle etait la parente avec les rayons X decouverts eux par Rontgenl’annee precedente et qui semblaient toujours accompagner la luminescence de certains corps provoqueepar l’illumination au soleil (“Pour qu’un corps devienne luminescent, on doit l’exposer a la lumiere”).Parmi les questions que posait ce rayonnement encore tres mysterieux (rayons X ou pas ?), l’une d’entreelles etait de savoir si l’emission – dont on savait qu’elle impressionnait des plaques photo – n’avaiteffectivement lieu qu’apres exposition a la lumiere solaire des sels uraniques dont disposait Becquerel etqu’il avait justement choisis pour leurs belles proprietes de luminescence.

Lorsque Becquerel voulut faire des experiences (26 et 27 fevrier 1896), il se trouva que le tempsetait couvert a Paris, et il rangea soigneusement ses echantillons dans un tiroir de son bureau. Le 1er

mars, le soleil ne s’etant toujours pas montre, Becquerel eut l’idee geniale de developper neanmoinsses plaques photographiques, s’attendant a trouver une image tres faible. Et la, o surprise, les imagesetaient fort contrastees ! La breche etait ouverte ; rapidement il nota que le rayonnement persistaitau-dela du 1/100e de seconde, echelle caracteristique de l’extinction de la phosphorescence (s’agissantde luminescence, il est d’usage de distinguer la fluorescence – tres rapide, le milliardieme de seconde oumoins – de la phosphorescence, dont l’echelle de temps est beaucoup plus longue (un centieme de secondeou plus). Puis, choisissant cette fois des composes d’uranium non luminescents, il reussit a montrer queceux-ci emettent egalement ce mysterieux rayonnement et en arriva a la conclusion qu’il s’agit la d’“unphenomene d’un ordre nouveau” (“We were thus faced with a spontaneous phenomenon of a new order”,Lecture Nobel, 11 decembre 1903). On peut donc affirmer que la decouverte n’eut rien d’accidentel, toutjuste peut-on dire que si le soleil avait ete moins capricieux, l’erreur de croire indispensable l’expositionaurait seulement ete corrigee quelque temps plus tard...

3 Wilhelm Conrad Rontgen – ou parfois Roentgen – (1845-1923) fut le premier laureat Nobel, en 1901,“in recognition of the extraordinary services he has rendered by the discovery of the remarkable rayssubsequently named after him”. La photo historique du premier cliche d’une main est visible a l’adresse :http://fr.wikipedia.org/wiki/Wilhelm−Rontgen.

La decouverte de Rontgen suscita un engouement considerable, qui n’eut pas que des retombeespositives : voir la triste histoire des Rayons N, n’existant que dans l’imagination de celui qui pretenditles avoir decouverts. La supercherie fut demontee par Robert Wood, le “pere” de la resonance optique(voir chapitre 6).

2.1 La radioactivité : découverte et premiers faits expérimentaux

37

2.1. La radioactivite : decouverte et premiers faits experimentaux 37

dant sa conservation. Il apparut que l’echantillon de controle, tout comme les echantillonsdeliberement exposes prealablement au soleil, noircissaient de la meme facon les plaquesphotographiques ; l’exposition a la lumiere solaire etait donc une operation non perti-nente et Becquerel identifia rapidement que l’agent actif responsable du noircissementetait en realite l’uranium present dans ces sels.

Sur le site [27], on peut lire :

C’est le 20 janvier 1896, encourage par Henri Poincare qu’il [HenriBecquerel] decide d’entreprendre des recherches pour savoir si la fluores-cence des sels d’uranium, etudiee depuis deux generations au Museum,est de meme nature que les rayons X. Guide par cette idee – qui allaitbientot se reveler fausse [238U est un emetteur α] – Becquerel choisitpour ses experiences un sel qu’il est en train d’etudier : le sulfate dou-ble d’uranyle et de potassium (sel d’uranium). Pour obtenir la phos-phorescence, il l’expose d’abord au soleil pendant quelques heures, puisle place sur une plaque photographique prealablement enveloppee denoir ; il enferme le tout dans une boıte, esperant qu’un rayonnementemanant du sel phosphorescent viendra impressionner la plaque. Effec-tivement, au developpement, la plaque est impressionnee. Il communiquesa decouverte a l’Academie des Sciences le lundi 24 fevrier 1896. Pen-dant plusieurs jours, le physicien laisse dans un tiroir les cristaux a cotedes plaques photos car aucune exposition au soleil n’est possible (on esta la fin fevrier). Le dimanche 1er mars 1896, le soleil reparaıt. HenriBecquerel va pouvoir recommencer ses experiences mais, dans une intui-tion geniale, il verifie d’abord l’etat de l’une des plaques restees dans letiroir pendant plusieurs jours. A son grand etonnement, la plaque a eteimpressionnee bien que le cristal soit reste a l’abri du soleil. Il en arrivea la conclusion que les sels d’uranium emettent naturellement des radia-tions penetrantes sans excitation prealable a la lumiere. Des le lundi 2mars 1896, a la seance hebdomadaire de l’Academie des Sciences, HenriBecquerel annonce la decouverte des rayons uraniques.

La legende suivant laquelle c’est sans intention particuliere que Becquerel deposal’echantillon de controle sur une plaque photo dans son tiroir releve a coup sur del’anecdote historique sans fondement.

Quoique reconnu d’emblee comme ressemblant aux rayons X, le rayonnement im-pressionnant les plaques photos fut vite percu comme etant encore plus energetique queceux-ci, tellement d’ailleurs qu’il ne pouvait pas etre attribue aux electrons presents dansl’uranium. De fait, l’energie associee aux emissions radioactives est situee dans la gammedes MeV (1MeV=106 eV, 1 eV1.6×10−19 J), ce qui permet de soupconner des le debutque l’origine du phenomene reside dans une partie de l’atome qui ne joue aucun role dansles reactions physico-chimiques, lesquelles se produisent sur une echelle de l’ordre de l’eVou moins. Ainsi germa l’idee que l’atome contient un objet robuste au sens de la chimie,a l’origine du rayonnement observe, et possedant une structure complexe puisque capabled’evacuer vers l’exterieur certains de ses constituants ou leurs “descendants”, sous formede particules ou sous forme de rayonnement. Au total, ceci semblait indiquer que l’atomeavait une structure encore plus complexe que ne le laissait penser sa fragmentation enions et electrons, alors averee.

Les premieres observations montrerent qu’il n’y a pas une radioactivite maisplusieurs, se distinguant notamment par leur pouvoir de penetration, et par la charge etla masse des particules constituant le rayonnement. L’etude systematique revela que le


38


rayonnement des sources radioactives a une structure complexe ne se reduisant pas a uneseule composante ; trois types de rayons furent mis en evidence, auxquels furent donnes,faute de mieux, les noms de radioactivite α, radioactivite β et radioactivite γ.

Une methode simple etablissant le polymorphisme de l’emission radioactive consis-te a interposer des ecrans d’epaisseur variable sur le trajet d’un faisceau radioactif conte-nant ces trois composantes (figure 2.1). On observe qu’un ecran de faible epaisseur arrete(absorbe) une partie importante du faisceau (alors qualifie de primaire) et que l’on peutaugmenter assez sensiblement l’epaisseur sans que l’absorption s’en trouve modifiee. Lerayonnement ainsi arrete fut appele radioactivite α (a partir d’une certaine epaisseur, toutle rayonnement α est absorbe). Toutefois, si on augmente considerablement l’epaisseur,on voit qu’une partie du faisceau (dit secondaire) est a son tour en grande partie absorbee,et l’est completement au-dela d’une certaine epaisseur ; ce constituant fut denomme4

radioactivite β. Le rayonnement present finalement dans le faisceau tertiaire n’est ja-mais completement absorbe, meme par des ecrans d’epaisseur tres importante (plusieursdizaines de centimetres) ; on lui donna le nom de radioactivite γ.

Figure 2.1: Illustration schematique des pouvoirs de penetration des trois composantesα, β et γ de la radioactivite

D’autres experiences cruciales permirent de comprendre que les composantes ainsimises en evidence etaient de nature tres differente, notamment par la charge electrique des“particules” les constituant. Le principe de ces experiences est simple et est schematisesur la figure 2.2. Un echantillon radioactif est depose au fond d’un conteneur aux paroisepaisses muni d’une cheminee. Le rayonnement emis est soumis a un champ magnetique(celui-ci est perpendiculaire a la figure et dirige vers l’arriere). On observe alors que lerayonnement α est devie vers la gauche (il est donc constitue de particules portant unecharge positive), le rayonnement β vers la droite (il s’agit donc de particules chargeesnegativement) ; quant au rayonnement γ, il ne subit aucune deviation et est donc cons-titue d’objets electriquement neutres.

4 Pour ce tour d’horizon phenomenologique, seule est decrite la radioactivite β observee a l’epoque.On decouvrit plus tard que ce rayonnement peut se presenter sous deux formes : le rayonnement plusprecisement appele β− (electron issu d’une desintegration d’un neutron du noyau en un electron – quipart accompagne d’un antineutrino – et un proton – qui reste), et le rayonnement β+ qui resulte del’emission d’un positron (antielectron) accompagne d’un neutrino.


39


Figure 2.2: Mise en evidence de la charge electrique des trois composantes de la radioac-tivite (experience decrite par Marie Curie dans sa these).

Radioactivite α

L’experience montre qu’une source α emet ses particules avec une energie bien determineeEα, ou une meme suite discrete d’energies, toutes situees dans la gamme de quelquesMeV : ce fait caracteristique permet naturellement de fonder une spectroscopie α toutcomme on sait reconnaıtre, par des moyens optiques par exemple, la presence d’un atomedans un milieu par sa signature spectrale. Autrement dit, l’analyse spectroscopique (ener-getique) du rayonnement α d’une substance permet d’identifier les elements presents danscette substance.

Concernant la charge des particules α, leur determination est due a Geiger5 (1908)et a Regener6 (1909) ; elle est positive, comme on vient de le voir, et vaut deux unitesde charge elementaire. Des experiences systematiques sur la courbure des trajectoiresdes rayons α, sous l’effet de champs electriques ou magnetiques, permirent de deduire lerapport charge/masse et de conclure de ces particules avaient une masse egale a 4 unitesde masse atomique (A=4, Z=2). En definitive, les particules α ne sont rien d’autre quedes noyaux d’helium, 4

2He.

La survie d’une particule α une fois emise est ephemere, en raison de sa chargeelectrique : dans le milieu ambiant ou elle se retrouve (air, materiau de protection, etc.)avec une grande vitesse initiale, la particule α peut, sinon rencontrer, du moins passera proximite d’atomes neutres et, par le jeu de l’attraction electrostatique (qui est a tres

5 Hans Geiger (1882-1945) n’est pas seulement reste celebre pour l’invention (1928) du compteurportant son nom, en etroite collaboration avec son etudiant Walther Muller (1905-1979), mais aussipour son adhesion au regime nazi, et son active participation a la persecution et a la denonciation dephysiciens en raison de leurs convictions politiques ou religieuses.

6 Erich Regener (1881-1955) prepara sa these sous la direction de Sommerfeld. Professeur a Berlin eta Stuttgart, il fut demis de ses fonctions en 1937 pour des raisons politiques. En 1933, dans le droit-fildes idees de Eddington, Regener imagina que la densite energetique produite par les rayons cosmiquesdoit etre a peu pres egale a la densite lumineuse emise par les etoiles. Il trouva ainsi que la temperaturede l’espace intergalactique doit etre de 2.8K. . . (la temperature deduite des dernieres mesures effectueespar le satellite COBE est egale a. . . 2.725K).


40


longue portee), attirer suffisamment un electron d’un atome pour l’ejecter et ioniserl’atome – de ce phenomene est nee l’expression rayonnement ionisant. Chaque ionisationfait perdre a la particule α quelques eV, son energie au depart etant environ un millionde fois plus importante. Son mouvement est ainsi progressivement ralenti a la suite d’unemultitude de collisions inelastiques successives.

La trajectoire d’une α dans le milieu exterieur est donc une sorte de marche auhasard lui faisant perdre graduellement son energie par tout petits morceaux. Par lejeu de la loi des grands nombres, la distance parcourue par une α, qui est une variablefoncierement aleatoire, est de facto presque certaine, c’est-a-dire variant tres peu autourde sa valeur moyenne. La raison a cela est que l’histoire d’une α a l’exterieur est unesuccession en tres grand nombre d’evenements aleatoires independants les uns des autres ;le theoreme central limite permet de comprendre pourquoi la longueur parcourue est unegrandeur tres bien definie (au sens : presque certaine, presentant peu de fluctuations),au point meme de permettre la definition d’une certaine fonction de la vitesse initialedonnant, pour une vitesse initiale donnee, la longueur de parcours, quel que soit leralentisseur considere. Pour que cette description soit correcte, il est necessaire que lesevenements aleatoires successifs soient tres nombreux, et c’est bien le cas : dans lescirconstances usuelles, une α d’energie typique produit environ 200 000 ions lors de sonparcours de quelques centimetres dans l’air (voir probleme 2.3.5).

Lorsque l’energie de la particle α suffisamment ralentie devient d’ordre kBT , celle-ci a alors le temps d’interagir assez longtemps avec une derniere molecule du milieu,lui prend deux electrons et devient un atome d’helium stable qui, une fois thermalisea l’ambiante, a une vitesse de l’ordre de 1 km/s. En definitive, toutes les particulesα d’une source donnee, ayant toutes la meme energie, parcourent quasiment la memedistance dαmax : en fonction de la distance d a la source, le courant7 correspondant estdonc constant pour d< dαmax, puis chute a zero au-dela. Pour une energie initiale Eα

egale a 10MeV, la distance d’arret d’une α dans l’air est a peine 10 cm, mais provoqueplusieurs centaines de milliers d’ionisations des molecules d’air (voir probleme 2.3.5).Bien evidemment, cette distance est d’autant plus courte que le milieu est plus dense.A titre indicatif, une α cree environ 5 000 ions par millimetre parcouru ; au total, sasurvie dans l’air (avant de devenir atome neutre) n’excede pas quelques milliardiemes deseconde.

L’experience-cle pour l’elucidation definitive de la nature des α est due a Ruther-ford et Royds (1908) ; elle consiste a introduire un peu de radium – dont on sait que c’estune source α – dans un tube scelle : au bout d’un certain temps, il est observe que le tubecontient un peu d’helium, facile a identifier par son spectre d’emission caracteristique8.L’helium forme resulte de la recombinaison des particules α avec deux electrons (arraches

7 En regime permanent, le courant j satisfait divj=0 soit djdx

=0 a une dimension.8 On savait depuis peu, notamment grace a Angstrom (1862) et Balmer (1885), que l’atome d’un

element donne a un spectre caracteristique pouvant jouer le role d’une empreinte digitale. Le nomhelium vient de helios : l’helium a ete decouvert [23] par l’astronome Lockyer grace a l’observation dansl’atmosphere solaire d’une raie ne correspondant a aucun element connu a l’epoque. L’inertie chimiqueet la faible masse de l’helium expliquent en partie que ce gaz rare ne fut pas detecte plus tot par desexperiences courantes. La decouverte de la presence d’helium sur la Terre est due a Ramsay, qui entrouva dans un minerai d’uranium (1895).


41


aux molecules de l’air contenu dans le tube) pour former chacune un atome d’heliumstable.

Radioactivite β

La mesure de la charge et de la masse des particules β montre qu’il s’agit en faitd’electrons, fortement relativistes par le simple fait que mec

2 511 keV est du memeordre de grandeur9 que l’energie typique de la radioactivite (pour une β d’energie 3MeV,on a v

c 0.99 et la masse vaut a peu pres 7 fois la masse propre de l’electron). Au contrai-re des rayons α, les rayons β emis par une substance donnee presentent une repartitioncontinue en energie jusqu’a une certaine energie maximale Emax.

La charge des β etant plus faible que celle des α, l’interaction avec le milieuambiant est plus petite, de sorte que toutes choses egales par ailleurs la distance depenetration des β est beaucoup plus grande (dans l’air, une α de 3 MeV parcourt environ1.7 cm, alors qu’une β (un electron !) de meme energie se deplace d’environ 12.5m, soit735 fois plus). Toutefois, pour les β comme pour les α, l’interaction avec le milieu ambiantconduisant a la perte d’energie par petits a-coups est essentiellement l’interaction deCoulomb et, de ce fait, a un caractere universel (au contraire des γ, voir plus loin).

Figure 2.3: Attenuation d’un faisceau β

Par ailleurs, comme les particules β sont reparties dans une bande d’energie,bornee par l’energie maximale Emax, le courant du faisceau dans le milieu exterieurdecroıt graduellement en fonction de la distance parcourue et non pas brutalement (encreneau) comme pour les α : les β de haute energie parcourent une longue distance,celles de faible vitesse s’arretent vite. Cette extinction progressive peut neanmoins etrespecifiee par une certaine longueur caracteristique : experimentalement, la decroissance

Anders Jonas Angstrom (1814-1874) etait un physicien suedois. Pionnier de l’etude des spectres atomi-ques, c’est en effet lui qui decouvrit en 1862 la presence d’hydrogene dans l’atmosphere du Soleil. Sonnom a ete donne a un cratere de la Lune.

Apres un doctorat portant sur la cycloıde, Johann Jakob Balmer (1825-1898) fut toute sa vie maıtred’ecole a Bale, ou il enseigna les mathematiques, et etait passionne de numerologie [15].

9 Au contraire, pour une particule α, on a Mαc2 ∼ 4 GeV 1MeV : une α ayant une energie de1MeV est faiblement relativiste.


42


du courant β est vaguement exponentielle (voir figure 2.3) en fonction de la distance dparcourue (l’intensite est ∼ e−µd, µ−1 etant justement la longueur caracteristique d’atte-nuation). Pour des raisons pratiques, on definit un taux de reduction egal a 1

2 , conduisanta une autre longueur notee d1/2 portant traditionnellement le nom de demi-epaisseur.La relation entre d1/2 et µ se deduit de :

1

2I0 = I0 e

−µd1/2 ⇐⇒ d1/2 = µ−1 log 2 0.693

µ. (2.1)

Il existe toutefois une distance maximum de parcours dmax, liee au fait que l’intensi-te doit s’annuler strictement pour une longueur de parcours finie, celle des electronsayant l’energie maximale Emax. En fait, seul le debut de la courbe a un comportementexponentiel.

La loi (empirique) de Soddy stipule qu’une transformation radioactive produisantla radioactivite α fait reculer l’element correspondant de deux cases du tableau perio-dique, l’emission β le fait avancer d’une case. C’est bien en attribuant le processus aun changement d’etat du noyau, a la suite duquel l’edifice atomique se rearrange, quel’on peut comprendre cette loi. L’emission α est l’expulsion de particules de charge2|e| et donc la charge du noyau diminue d’autant, d’ou le recul de deux cases dans laclassification periodique. L’emission β (plus precisement β−), elle, produit un faisceaucharge negativement (une charge elementaire par particule) ; par la conservation de lacharge, le noyau voit la sienne augmenter d’une unite et avance d’une case. La transmu-tation radioactive des noyaux est la transformation d’un element en un autre : ainsi, laradioactivite realise de facon naturelle le vieux reve des alchimistes du Moyen Age.

Les rayonnements α et β sont souvent appeles rayonnements ionisants, ce qui peutetre source de confusion puisque le rayonnement γ peut, lui aussi et bien que neutre,induire des ionisations dans le milieu ou il se propage. Quoi qu’il en soit, la distance deparcours dans la matiere condensee est evidemment beaucoup plus faible que dans un gaz,tout simplement parce que la densite d’atomes ou de molecules est tres elevee dans unsolide, dans un liquide – ou dans un tissu vivant – comparee a ce qu’elle est dans un gaz.Dans un liquide ordinaire (de l’eau par exemple), la distance de parcours est a peu pres1 000 fois plus faible que dans l’air ; dans un solide, elle est encore bien plus petite (1 600fois plus petite dans l’aluminium, 5 000 fois plus petite dans le plomb). Dans ce derniercas, les α parcourent quelques centiemes de millimetres et les β quelques millimetres.C’est pourquoi ces deux rayonnements α et β, d’une facon generale, ne presentent pasde trop grands dangers – ou du moins est-il relativement facile de s’en proteger. Il en vatout autrement des rayons γ, qui sont toujours extremement dangereux.

Radioactivite γ

Les γ emis par une source donnee ont une energie caracteristique de cette source, toutcomme le rayonnement α, d’ou la possibilite d’identifier un noyau par sa signature spec-troscopique, a l’instar d’un atome. Evidemment, une meme source peut emettre a diffe-rentes energies (spectre de raies). Insensibles aux champs electriques et magnetiques,


43


les rayons γ sont extremement penetrants et, au contraire des α et des β, leur interac-tion avec le materiau expose depend de la constitution physique de ce dernier en termesd’elements (interaction specifique), ce qui ne correspond absolument pas aux processusde collisions de deux particules au sens usuel : des rayons γ d’energie donnee peuventetre bien absorbes par une substance et tres mal par une autre.

On trouva finalement que le rayonnement γ est de meme nature que les ondeselectromagnetiques bien connues a l’epoque mais possedant une tres haute energie : lesrayons γ sont identiques aux rayons X (selon Perrin ([9] p. 261), “ils n’en different pasplus en nature que la lumiere bleue ne differe de la lumiere rouge”), mais sont beaucoupplus energetiques ; c’est la seule distinction entre les rayons X et les γ, qui tient auxphenomenes qui leur donnent naissance10.

L’interaction des rayons γ avec la matiere donne lieu a des phenomenes complexessur lesquels on reviendra par la suite (effet Compton, emission photoelectrique, creationde paires pour les γ tres energetiques). Essentiellement, les photons γ sont soit diffusesinelastiquement (effet Compton), soit absorbes par un atome (effet photoelectrique).Leur vitesse reste celle de la lumiere dans le milieu ; quant a leur energie, elle diminueun peu lors d’une diffusion Compton, ou disparaıt au profit (!?) de l’atome lors de l’effetphotoelectrique. Finalement, les photons sont soit diffuses et perdent un tout petit peude leur energie, soit disparaissent purement et simplement en tant que tels. L’electronatomique emis par effet photoelectrique est ejecte avec une energie enorme (en gros celledu photon puisque l’energie d’ionisation de l’atome est tres faible devant celle du γ) ;c’est a proprement parler cet electron secondaire tres energetique qui peut a son tourprovoquer une multitude d’ionisations dans le milieu, y induisant de veritables ravages ;on peut imaginer le desastre cause par le rayonnement γ au sein de la matiere vivante, oules energies des liaisons chimiques sont, en gros, au moins un million de fois plus petites.

Globalement, les rayons γ sont absorbes dans la matiere selon une loi exponentielleen fonction de la distance parcourue au sein du materiau, tout comme les rayons X.Fondamentalement, ceci provient du fait qu’un γ (un photon) ne “ralentit” pas parinteraction avec la matiere mais evolue selon un processus par tout ou rien ; un photonγ ou bien survit avec une energie a peine diminuee en valeur relative, ou bien disparaıtpurement et simplement (absorption). Chaque photon a une certaine probabilite d’etreabsorbe, de sorte que – fluctuations mises a part – le nombre δN de photons absorbes surune distance donnee δx est proportionnel au nombre de photons presents ; de ceci resulteimmediatement la loi exponentielle decrivant l’attenuation du faisceau. A ce propos,on peut encore definir la demi-epaisseur d’un materiau, d1/2, qui est tres variable d’unmateriau a l’autre ; pour le beton, a 1MeV, d1/2, vaut environ 5 cm ; a la meme energie,pour le corps humain ou l’eau, d1/2 est de l’ordre de 15 cm ; dans l’air, elle atteint 150m.Ainsi, alors que les rayonnements α sont arretes dans l’air sur quelques centimetres au

10 Les rayons X peuvent etre produits par rayonnement de freinage (Bremsstrahlung) lorsque deselectrons acceleres sous une ddp de l’ordre de quelques dizaines de kV sont brutalement deceleres en frap-pant l’anticathode. Le rayonnement ainsi emis (dans une bande continue d’energie) est donc forcementdans la gamme d’energie du keV. Par ailleurs, des transitions d’atomes lourds impliquant des electronsprofonds produisent egalement des raies, situees dans la meme gamme d’energie (voir chapitre 8).


44


plus, les β au bout de quelques metres, les rayons γ sont absorbes seulement pour moitieau bout de 150m.

Outre leur fort pouvoir de penetration, l’extreme dangerosite des γ tient donc aufait que, si le nombre de “particules” decroıt avec la distance parcourue dans le milieu,la plupart d’entre elles conserve presque la meme energie jusqu’a leur disparition11. Ilest donc essentiel de savoir les detecter ; on utilise pour ceci des appareils (compteursGeiger, par exemple) dont le principe utilise leur effet ionisant afin de les reveler par effetphotoelectrique multiplicateur.

Remarque

Au risque d’une anticipation, mais pour eviter les contre-sens, il convient de preciserce qui suit. La radioactivite est fondamentalement le resultat d’une transitionnucleaire dont le point de depart est un noyau dans un etat excite qui evacue desparticules d’une nature ou d’une autre pour revenir a un etat d’energie inferieure. Ilne faut pas pour autant en deduire que ces particules sont des constituants du noyauen tant que tels. Ainsi, les electrons formant le rayonnement β ne sont nullementpresents au sein du noyau, comme on l’a cru longtemps. Ils sont en realite leresultat de la fission d’un neutron en un proton – qui y reste – et d’un electron quiest un intrus dans l’espace nucleaire et en est donc violemment expulse. De meme,les particules α recueillies a l’exterieur proviennent de la formation spontanee d’uncomplexe instable de nucleons dans le noyau, mais pres de la surface de ce dernier.Quant aux γ, (qui sont des photons), declarer qu’ils sont dans le noyau n’a pasgrand sens12 ; les photons sont les particules vehiculant l’interaction electromagne-tique et sont donc “presents” partout des que des charges sont en jeu, meme si, ausein du noyau, l’interaction electromagnetique est negligeable devant l’interactionforte.

2.2 Loi de decroissance radioactive

On sait maintenant que la radioactivite resulte de l’evacuation d’energie vers le milieuexterieur par un noyau situe initialement dans un etat de grande energie et se retrouvanta la fin dans un etat d’energie inferieure13 ; schematiquement (delaissant les problemesde recul), la conservation de l’energie s’ecrit :

noyau d’energie Ei → noyau d’energie Ef + produits d’energie (Ei − Ef) (2.2)

11 Un γ ne “ralentit” pas, et pour cause : c’est un photon (de vitesse dans le vide egale a c), et de plusles photons ne se divisent pas. La diffusion Compton (voir chapitre 5) les fait juste “rougir” un peu. Autotal, les γ sont de redoutables photons.

12 On verra que pour le photon, de masse nulle, on ne peut pas definir une fonction d’onde definissantsa probabilite de presence dans l’espace ordinaire ([28] p. I-2, [29] p. 32, [30] p. 11) – voir Remarque p. 491.

13 On dit parfois “desintegre”, mais la terminologie est peu heureuse, sauf si on la prend au strict sensetymologique ou “integre” signifie “entier” : un noyau qui s’est desexcite a perdu un peu de lui-memeet n’est plus de la sorte “entier”.

2.2 Loi de décroissance radioactive

45

2.2. Loi de decroissance radioactive 45

avec Ei > Ef ; le noyau de depart est souvent appele noyau-pere, le suivant etant lenoyau-fils (qui peut d’ailleurs, lui aussi, avoir une descendance, voir probleme 2.3.4).Bien evidemment, cette equation schematique incorpore implicitement toutes les formesd’energie, y compris l’energie cinetique des produits finals. L’existence de ce processustient au fait que, dans la situation initiale, le noyau est dans un etat instable ; l’evacuationd’energie par le noyau est irreversible, tout comme l’emission spontanee d’un photon parun atome.

En pratique, on utilise des sources macroscopiques contenant un nombre enorme(∼ N ) de noyaux. L’observation elementaire revele un phenomene a priori un peusurprenant, mais fondamental : la source n’emet pas d’un seul coup (pas de flash), maispeu a peu, alors que tous les noyaux la constituant sont reputes identiques14 – ce quilaisse a penser que le mecanisme elementaire produisant le basculement des noyaux estde nature essentiellement aleatoire, d’ou la necessite d’une description probabiliste (voirci-dessous). En effet, si le basculement d’un etat a un autre obeissait a une horlogeinterne – la meme pour tous les noyaux identiques –, ceux-ci rejetteraient leur excedentd’energie au meme instant, l’energie etant une fois pour toutes evacuee sous forme d’unpulse. Au contraire, si un noyau donne a, a tout instant, une certaine probabilite de sedesexciter, il le fait ou il ne le fait pas a un instant donne, sans se soucier de ce que fontses congeneres au meme instant. Il en resulte que la population de noyaux excites decroıtgraduellement au lieu de passer soudainement de sa valeur au depart N0 a 0.

En tout cas, la question la plus elementaire est la suivante : sachant que lasource contient a l’instant initial N0 noyaux instables, combien en contient-elle encore al’instant t, soit N(t) ? La reponse experimentale est traduite par la formule suivante :

N(t) = N0 e−λt (2.3)

La quantite λ, homogene a l’inverse d’un temps, est une caracteristique de la source ;la quantite λ−1 est appelee traditionnellement duree de vie (au bout d’un temps λ−1,il reste 100

e ∼37% de noyaux actifs). De facon equivalente, il est d’usage d’introduire laperiode (appellation impropre), notee T et definie comme :

Tdef=

ln 2

λ 0.693

λ(2.4)

Au bout d’un temps T , le nombre de noyaux actifs est ainsi divise par 2. Les valeursde T s’etendent sur de nombreux ordres de grandeur, suivant les emetteurs : pour le212Po, T = 0.29µs, pour 238U, T 4.5 milliards d’annees (voir exercices 2.3.2). Les

14 A ce propos, on pourrait soupconner l’existence d’un parametre interne inconnu qui viendrait,a l’insu de l’observateur, differencier entre eux les noyaux, et expliquer pourquoi leurs desexcitationssurviennent a des instants differents. Cette possibilite renvoie a ce que l’on appelle en mecanique quan-tique les (hypothetiques) variables cachees ; dans un contexte purement classique, on peut dire que cetteignorance (eventuelle) est traduite par l’introduction a la main d’un element constitutif aleatoire. Enrealite, seule la mecanique quantique permet de rendre compte de la nature aleatoire de la desexcitation,et aussi d’expliquer pourquoi la duree de vie (moyenne) d’un noyau excite est independante de l’age dece noyau.


46


radioelements a courte periode constituent un danger provisoire ; ceux dont la periodeest longue posent d’evidents problemes de stockage.

La loi empirique exprimee par (2.3) peut recevoir une interpretation theoriquesimple, en faisant l’hypothese que tout noyau instable a une probabilite constante λ dtde se desexciter entre deux instants15 separes de dt. En effet, partant de cette idee, onpeut ecrire pour un noyau donne :

probabilite de survie a l’instant t+ dt = probabilite de survie a l’instant t

× probabilite de non desexcitation entre t et t+ dt . (2.5)

La probabilite de non desexcitation entre t et t+dt est 1−λdt. Avec des symboles, (2.5)s’ecrit :

P (t+ dt) = P (t) (1− λ dt) ; (2.6)

l’integration de (2.6) est immediate et reproduit (2.3), pour peu que l’on confonde N(t)N0

et P (t) (ce qui revient a confondre frequences et probabilites dans la limite des grandsnombres, et que l’on assimile une variable aleatoire peu fluctuante avec sa valeur moyenne– voir plus loin).

L’activite d’une source, A, est le nombre de desintegrations par seconde ; de parcette definition, on a :

A(t)def=

∣∣∣dNdt

∣∣∣ = λN (2.7)

L’activite decroıt donc proportionnellement au nombre de survivants a l’instant t, c’est-a-dire exponentiellement avec l’age de la source : une vieille source est a priori moinsdangereuse qu’une jeune source (toutes choses egales par ailleurs) au sens ou, en moyenne,le courant emis sous une forme ou sous une autre est exponentiellement plus faible dans lepremier cas que dans le second (mais voir plus loin la question des fluctuations). Pour desraisons historiques, l’activite se mesure en Curie, note c (1 c=3.7×1010 desintegrationspar seconde, a peu pres l’activite d’une source jeune16 de 1 g de radium). On utilise aussile Rutherford, plus pratique (par definition, 106 desintegrations par seconde).

La definition ci-dessus de l’activite se refere au cas le plus simple : un noyauinstable produisant des noyaux stables. En pratique, la situation est souvent plus com-plexe et donne une filiation sur plusieurs generations (voir probleme 2.3.4) : une especeA (noyau-pere) produit une espece B (noyau-fils) qui, a son tour peut donner une especeC (noyau petit-fils), et ainsi de suite jusqu’a la formation d’un isotope stable17. Il fautalors definir plusieurs populations (NA(t), NB(t), etc.), chacune avec sa constante dedeclin (λA, λB, etc.), et ecrire les equations de bilan traduisant ce qui se passe entre deuxinstants t et t+ dt. En pareil cas, il est naturel de poser que l’activite de l’espece I, AI,est egale, non pas a la variation totale dNI

dt , mais a la seule emission de NI, soit λINI.

15 En consequence de sa definition, λ est une probabilite par unite de temps ([λ] = T−1). Cetteprobabilite est independante de l’age du noyau : l’esperance de vie d’un noyau donne est independantede son age ou, comme l’ecrit Perrin, “Les atomes ne vieillissent pas” ([9], p. 267).

16 Pour un element a tres longue periode, l’activite est constante a l’echelle d’une experience humaine.17 Les durees de vie (ou “periodes”) peuvent etre tres differentes d’une generation a l’autre, d’ou les

notions d’equilibre seculaire,. . . (voir probleme 2.3.4).

2.2 Loi de décroissance radioactive

47

2.2. Loi de decroissance radioactive 47

La presentation precedente du declin radioactif laisse de cote des effets importantset risque aussi de conduire a des contre-sens. Le phenomene d’emission pour un noyau estfoncierement aleatoire, de sorte que la grandeur N(t) apparaissant dans les ecritures ci-dessus est, au mieux, la valeur moyenne – esperance mathematique au sens de la theoriedes probabilites – de la variable aleatoire N , nombre de noyaux excites a l’instant t.L’observation d’une seule source, a l’aide d’un compteur de bonne resolution en coups,permet de voir une descente continuelle mais pas lisse de l’activite. C’est seulementla moyenne prise theoriquement sur un tres grand nombre de sources qui permet dereconstruire peu a peu l’exponentielle, ou, de facon equivalente – c’est la pratique –, enadoptant un intervalle de temps de comptage ∆t assez grand pour contenir un grandnombre de coups afin de reduire le bruit statistique.

Comme pour tout processus aleatoire (stochastique), la description theoriquemaximale consiste a definir et a calculer un jeu de probabilites Pnn, ici dependantdu temps ; cela etant fait, on pourra en deduire les valeurs moyennes des grandeursd’interet (la population de noyaux excites, par exemple) par les formules habituelles ; cesmoyennes seront des fonctions du temps par l’intermediaire des probabilites Pn(t).

Soit donc precisement la probabilite Pn(t) de trouver n noyaux actifs a l’instantt, sachant qu’il y en avait N0 a l’instant initial (t = 0) : clairement, n est un entiervariant entre 0 et N0 (autrement, la probabilite est nulle). L’enjeu est maintenant detrouver la variation dans le temps des N0 + 1 probabilites Pn(t), que l’on peut atteindreen etablissant d’abord une equation d’evolution pour les Pn(t)n puis en la resolvant.

En appliquant les regles usuelles ([31] et [32], chapitres 14) :

• evenements independants ↔ multiplication des probabilitessoit Prob[A et B] = P (A)P (B)

• evenements exclusifs ↔ addition des probabilitessoit Prob[A ou B] = P (A) + P (B) ,

et en faisant l’inventaire des processus elementaires pouvant survenir entre deux instantstres voisins, on obtient les equations de bilan :

Pn(t+ dt) = (1− λdt)n Pn(t) + (n+ 1)λdt (1− λdt)n Pn+1(t) +O((λdt)k≥ 2) , (2.8)

l’entier n prenant les valeurs 0, 1, . . . , N0. Le premier terme au second membre de (2.8)provient de la possibilite : aucun des n noyaux presents a l’instant t n’a change d’etat ;le second terme signifie qu’il y avait n + 1 noyaux a l’instant t et que l’un de ces n + 1noyaux a bascule. Le symbole note O rassemble des termes d’ordre superieur en dt (parexemple : plusieurs noyaux se sont desexcites durant dt). Au meme ordre18 en dt, lesysteme (2.8) est :

Pn(t+ dt) = (1− nλdt)Pn(t) + (n+ 1)λdt Pn+1(t) +O((λdt)k≥ 2) . (2.9)

18 Par exemple, la probabilite qu’aucun des n noyaux vivants a t ne bascule entre t et t + dt est(1− λdt)n = 1− nλdt+O(dtk>1).


48


Apres division par dt et passage a la limite dt → 0, on obtient le systeme differentielsuivant, de dimension N0 + 1 :

dPn

dt= (n+ 1)λPn+1(t) − nλPn(t) , (2.10)

avec n=0, 1, 2, . . . , N0 et la condition aux limites PN0+1(t)≡0. Il est facile de verifierque la somme des premiers membres est bien egale a zero, comme il se doit. Avec lacondition initiale Pn(t=0)=δnN0

(δnm est le symbole de Kronecker, qui vaut 1 si n=met 0 autrement), la solution est19 (voir Appendice page 49) :

Pn(t) = CnN0

e−nλt (1− e−λt)N0−n (2.11)

qui est, par definition, la distribution binomiale. Une fois obtenues les probabilites, ilest possible de calculer toutes les valeurs moyennes par la relation ordinaire donnantl’esperance mathematique d’une fonction quelconque de la variable aleatoire N , nombrede noyaux encore actifs a l’instant t :

〈f(N)〉(t) =N0∑n=0

f(n)Pn(t) . (2.12)

La moyenne, designee par les crochets, est une fonction du temps par l’intermediairedes Pn. Le calcul a l’aide de l’expression (2.11) de la probabilite Pn(t) donne (probleme2.3.4) :

〈N〉(t) = N0 e−λt , ∆N2 def

= 〈N2〉 − 〈N〉2 = N0 e−λt (1− e−λt) . (2.13)

Le premier resultat confirme que c’est bel et bien la moyenne du nombre de noyauxqui suit la loi de declin exponentielle (2.3), deduite d’une experience effectuee avec unrapport signal/bruit assez eleve. Le second resultat important de ce modele probabilisteest l’obtention des fluctuations de la variable N , dont ∆N est la mesure la plus simple, etqui precisement decrivent quantitativement les ecarts de la variable aleatoire par rapporta sa moyenne. Il faut remarquer que les fluctuations relatives ∆N

〈N〉 varient essentiellement

comme e+λt/2 quand λt 1 : elles divergent exponentiellement aux grands temps, cequi ouvre la possibilite d’une bouffee quand on croit naıvement ne plus devoir l’attendre.Entre deux instants tres tardifs, alors que l’activite moyenne est devenue tres faible, uneemission massive aux effets dangereux peut donc se produire ; comme ceci est du domainedu possible, mais pas du domaine du previsible au sens usuel (il s’agit des fluctuationsimprevisibles d’une variable aleatoire), on peut accepter la legitimite d’un point de vueradical ou l’extreme prudence domine.

Remarque

Une question reste posee : pourquoi l’emission d’un noyau est-elle de nature alea-toire ? “Parce que la Nature est ainsi” repond Feynman. La radioactivite, comme

19 Ce resultat peut aussi s’obtenir directement en jouant avec la distribution binomiale et les deuxprobabilites p= e−λt et q=1 − e−λt representant respectivement les probabilites de l’etat d’un noyau(vivant ou mort) a l’instant t ([31], chapitre 14).


49


tous les phenomenes a l’echelle atomique ou subatomique relevent de la mecaniquequantique, qui est une theorie essentiellement probabiliste, precisement pour ren-dre compte des faits. Cette theorie permet en outre, en principe, de calculer laprobabilite de desintegration par unite de temps, λ.

Appendice

Une facon commode de resoudre le systeme (2.10) est la suivante. On definit la fonction :

f(t, s)def=

N0∑n=0

sn Pn(t) , (2.14)

que l’on peut appeler20 fonction generatrice des probabilites puisque, au facteur n! pres,les derivees successives de f en s = 0 sont precisement ces probabilites : par definition def , on a Pn = 1

n! [∂n

∂sn f(t, s)]s=0. A partir de (2.10), on voit de suite que f(t, s) satisfaitl’equation aux derivees partielles :

∂f

∂t= λ(1− s)

∂f

∂s, (2.15)

avec la condition aux limites f(t = 0 ; s) = sN0 puisque Pn(t = 0) = δnN0 . L’inspectionde cette equation montre que sa solution est de la forme F [(1 − s)a(t)], ou F est unefonction pour l’instant quelconque, et a condition que la fonction a(t) satisfasse l’equationa = −λ a ⇐⇒ a(t) = e−λt, d’ou resulte :

f(t, s) = F [(1− s)e−λt] . (2.16)

La condition aux limites impose F (1− s) = sN0 ⇐⇒ F (S) = (1− S)N0 et finalement :

f(t, s) = [1− (1− s)e−λt]N0 = [(1− e−λt) + se−λt]N0 . (2.17)

Le developpement de cette expression en puissances de s (suivant la formule du binome),et l’identification avec le developpement (2.14), reproduit l’expression (2.11) des proba-bilites. Une autre facon de resoudre (2.15), utilisant la transformation de Laplace, estproposee dans le probleme 2.3.6.

2.3 Exercices et problemes

2.3.1 La radioactivite a l’hopital

On injecte dans le sang d’un malade un volume v0 = 1 cm3 d’une solution contenantl’isotope radioactif 24Na, dont l’activite est a0 = 2000 s−1. Au bout de ∆t = 5heures,

20 En posant s = eiu, f devient une certaine fonction F (t ; u) appelee fonction caracteristique ([31],chapitre 14) ; c’est une sorte de transformee de Fourier discrete des Pn. Ici, le nombre de probabilitesest fini, de sorte que f est un polynome.


50


l’activite de 1 cm3 de sang est egale a a= 16mn−1. La periode du 24Na est egale a 15heures.

En deduire le volume de sang du malade.

2.3.2 Loi de declin radioactif

1. L’isotope 213Po se desintegre en emettant une particule α dont l’energie Eα estegale a 8.34MeV. Trouver l’energie totale ∆E liberee par cette desintegration.

Figure 2.4: Photographie des traces de la particule a identifier (question 2).

2. La photographie ci-dessus (figure 2.4) represente les trajectoires dans une chambrea bulles des particules X emises par une source radioactive. Pouvez-vous identifierX ?

3. Montrer que la loi de declin radioactif peut se mettre sous la forme :

N(t) = N0 2−t/T , (2.18)

ou T designe la periode. Un echantillon de 214 Pb (periode = 3.05 minutes) emetinitialement 352 particules β par seconde. Au bout de combien de temps l’activitesera-t-elle egale a 10 par seconde ?

4. Un noyau de plutonium 239 Pu (periode = 24 000 ans) se desintegre en emettant uneparticule α d’energie Eα=5.3MeV. Trouver la quantite de chaleur produite en uneannee par 1 cm3 de 239 Pu, sans tenir compte des produits d’une telle desintegration.La densite du plutonium est ρ=19 g/cm

3; 1 cal= 4.18 J.

2.3.3 Mesure du nombre d’Avogadro

Une source radioactive emettant de facon isotrope un rayonnement α est situee a ladistance D = 2m d’un detecteur muni d’une fenetre circulaire F de rayon r = 1 cm ;l’activite de la source est A=1.25×1017 s−1 (voir figure 2.5).


51


En n=30 jours21, on recueille dans l’enceinte du detecteur un volume v d’heliumegal a 70mm3 (mesure dans les conditions normales). Donner l’expression du nombred’Avogadro, N , en fonction de A, D, r, n, v et V0 = 22.4 litres, et le calculer nume-riquement.

Figure 2.5: Schema de l’experience permettant de trouver N par etude d’une sourceradioactive.

2.3.4 Chaınes radioactives

1. Soit la suite de reactions nucleaires A→B→C ou C est un isotope stable. λA etλB sont les constantes relatives a A et B, NA(t) et NB(t) les nombres de noyauxnon desintegres a l’instant t.

(a) Trouver NA(t) et NB(t) sachant qu’a l’instant pris comme origine, seule l’es-pece A est presente en nombre egal a NA0. A quel instant tmax NB est-ilmaximum ?

(b) Examiner en detail les cas particuliers :

i. λA <λB mais du meme ordre de grandeur ; montrer en particulier qu’ilexiste un equilibre transitoire ou λANA=λBNB ;

ii. λAλB (exemple : A est de l’uranium 238U, TA=4.5×109 ans, B est duthorium 234 Th, TB = 24 jours) ; une telle situation conduit a ce qui estappele l’equilibre seculaire ;

iii. λAλB.

(c) On suppose que λA<λB. Montrer qu’au bout d’un certain temps (a preciser),le rapport NA

NBest quasiment constant.

(d) Calculer tmax dans le cas ou : A est du polonium 21884 Po, periode = 3mn

(RaA) ; B est l’isotope 21482 Po, periode = 27 mn (RaB). Comment s’appelle la

radioactivite engendrant B ? Identifier C sachant que B se desintegre suivantla radioactivite β.

2. Au bout d’une suite de reactions (filiation radioactive), l’uranium 238 fournit duplomb 206 :

23892 U → ?? → ??. . . → 206

82 Pb

21 La duree de la mesure est tres petite par rapport a la periode de la source.


52


ou tous les ?? ont une periode tres courte par rapport a celle de l’uranium. Unechantillon de 1 g de granite contient 0.16µg de 238U et 0.13µg de 206Pb. Estimerl’age du minerai (TU=4.5 milliards d’annees).

3. Une source radioactive contient initialement N0 noyaux excites. La probabilitepour qu’un noyau excite a t = 0 soit encore excite a l’instant t est p(t) = e−λt. SoitPn(t) la probabilite pour qu’il y ait n noyaux survivants a l’instant t (0 ≤ n ≤ N0) ;on a :

Pn(t) = CnN0

[p(t)]n[1− p(t)]

N0−n(loi binomiale) . (2.19)

(a) Trouver 〈N〉(t), valeur moyenne (esperance mathematique) du nombre de sur-vivants a l’instant t.

(b) Trouver l’ecart-type ∆N(t) =√〈N2〉(t)− [〈N〉(t)]2 et analyser le comporte-

ment du rapport ∆N〈N〉 pour tλ−1 et tλ−1.

2.3.5 Longueur de parcours d’une particule α dans l’air

Des particules α non relativistes, d’energie initiale E0 et de vitesse initiale v0, sontemises par une source radioactive et perdent peu a peu leur energie par interactionavec les molecules d’air, tout en ayant une trajectoire rectiligne. Le mecanisme principalresponsable de cette perte graduelle d’energie est l’ionisation des molecules d’air (et doncla creation de paires d’ions de charges opposees) ; chaque ionisation coute l’energie EI.On designe par n la densite22 de l’air (dans les conditions normales) et par σ la sectionefficace totale d’ionisation ; σ depend de la vitesse v de la particule α.

1. Exprimer, pour une particule α, le nombre d’ionisations dNi entre t et t + dt enfonction de v, n, σ et dt.

2. En deduire la perte d’energie dE de la particule α entre ces deux instants et etablirl’equation differentielle satisfaite par la vitesse v(t) (on posera k= nEI

M , M designantla masse d’une particule α).

3. On suppose que σ est de la forme : σ=avβ ou a et β sont des parametres. Donnerl’expression de la vitesse a l’instant t (on prendra t = 0 quand v = v0) et situerl’exposant β par rapport a 1.

4. Soit t1 l’instant ou la vitesse s’annule. Exprimer t1 en fonction de v0, β, a et k.

5. En deduire, en fonction des memes variables, la distance l parcourue par une par-ticule α avant d’etre stoppee (thermalisee, plutot).

6. On trouve experimentalement : l=Av30 ou A est une constante ; en deduire l’expo-sant β et l’expression de v(t) en fonction de A, v0, et t.

22 On entend par la le nombre de molecules par unite de volume.


53


7. Tracer le graphe de la section efficace en fonction de la vitesse et commenter.Calculer numeriquement σ(v0).

8. Soit t 12l’instant auquel une α a parcouru la distance l

2 . Donner l’expression de t 12.

9. Exprimer a l’aide du rapport E0

EIle nombre de paires d’ions creees sur la premiere

moitie du parcours d’une particule α.

Valeurs numeriques :A=0.98×10−27 pour l en cm et v0 en cm/s.E0=7MeV, EI =34 eV, Mc2=3744MeV.Volume molaire dans les conditions normales : 22.4 l.

2.3.6 Resolution de l’equation (2.15) par la transformation deLaplace

Cet exercice est purement technique, et constitue un exemple simple de resolution d’uneequation aux derivees partielles utilisant la transformation de Laplace, qui transformecelle-ci en simple equation differentielle. Soit :

F (z, s)def=

∫ +∞

0

e−zt f(t, s) dt . (2.20)

1. Combien vaut f(t, 1) ?

2. En deduire F (z, 1).

3. La condition initiale est f(0, s) = sN0 ; ecrire l’equation differentielle satisfaite parla transformee de Laplace23 F (z, s).

4. Trouver l’expression de la solution generale de cette equation.

5. Fixer la constante d’integration en utilisant l’expression de F (z, 1) obtenue en 1.

6. Effectuer la transformation de Laplace inverse pour retrouver l’expression (2.17)de f(t, s).

23 Pierre-Simon de Laplace (1749-1827) est l’auteur de travaux fondamentaux dans des disciplines tresvariees, allant des mathematiques a la physique en passant par l’astronomie et la theorie des probabilites.Il semble avoir ete le premier a conjecturer l’existence des trous noirs, qu’il appelait astres occlus. Ilfut l’un des chantres du determinisme au sens classique, rassemblant sa conception en la matiere en cestermes dans son Essai philosophique sur les probabilites (1814), preambule de la deuxieme edition de satheorie analytique des probabilites :

“Nous pouvons considerer l’etat actuel de l’univers comme l’effet de son passe et la cause deson futur. Une intelligence qui a un instant determine devrait connaıtre toutes les forces quimettent en mouvement la nature, et toutes les positions de tous les objets dont la nature estcomposee, si cette intelligence fut en outre suffisamment ample pour soumettre ces donnees aanalyse, celle-ci renfermerait dans une unique formule les mouvements des corps plus grandsde l’univers et des atomes les plus petits ; pour une telle intelligence nul serait incertain etle propre futur comme le passe serait evident a ses yeux.”

Cette intelligence est souvent appelee Demon de Laplace, pendant du Demon de Maxwell.Selon la legende, alors que Napoleon s’etonnait que dans l’ouvrage Mecanique celeste il n’etait nulle

part question de Dieu, Laplace aurait repondu : “Sire, je n’ai pas eu besoin de cette hypothese”.

physique54 Chapitre 2. La radioactivite

55

physiqueChapitre 3

Les expériences de Rutherford

Chapitre 3

Les experiences de Rutherford

“The vortex theory [of the atom] is only a dream.Itself unproven, it can prove nothing,and any speculations founded upon it

are mere dreams about dreams.”

(William THOMSON (Lord Kelvin), 1824–1907)

Ce chapitre est consacre aux experiences de Rutherford qui ontrevele l’existence du noyau de l’atome. Apres quelques rappels sur lescollisions elastiques a deux corps, il est montre comment les resultatsde ces experiences peuvent etre expliques en faisant l’hypothese qu’ilexiste au centre de l’atome un objet tres petit portant une charge posi-tive, depuis lors appele noyau atomique.

3.1 Principes generaux des experiences

Les experiences de Geiger et Marsden (1910), completees par celles de Rutherford (1911 -1913), et surtout interpretees par ce dernier, ont joue un role capital a une epoque ous’imposait un choix entre les deux modeles d’atome a priori egalement valeureux, celui dePerrin et celui de Thomson. De fait, Rutherford a prouve de facon eclatante qu’il existaitau centre de l’atome une minuscule concentration de charge et de masse – c’est le noyau –,validant de ce fait le modele planetaire et eliminant ipso facto le modele globulaire. Parricochet, les experiences de Rutherford mettent aussi en lumiere l’extraordinaire naturelacunaire de la matiere atomique elementaire1.

1 Le noyau represente environ 99.95 % de la masse de l’atome ; le rayon nucleaire est ∼10−15 m,soit 10−5 A (le volume nucleaire est donc environ 1015 fois plus petit que le volume atomique). Enconsequence, si la matiere ordinaire est pleine de vide, la matiere nucleaire est au contraire d’une densitevertigineuse (de l’ordre de 1014 g/cm3), voir chapitre 8.

physiqueChapitre 3 Les expériences de Rutherford

56

56 Chapitre 3. Les experiences de Rutherford

Figure 3.1: Schema de principe des experiences de Rutherford

Le principe de l’experience est simple (voir figure 3.1). Des particules α emisespar une source de radium sont envoyees perpendiculairement en direction d’une mincefeuille metallique (Al, Au), de quelques centiemes de mm d’epaisseur ; l’energie des α estde quelques MeV. Un compteur a scintillation mobile permet de denombrer les particulesdeviees dans une direction faisant un angle θ par rapport a leur direction incidente. Lesresultats, contre toute attente, montrerent que si la plus grande partie des α etaient peudeviees, une (petite) partie d’entre elles subissaient une forte deviation, certaines (rares)allant meme jusqu’a faire presque demi-tour ! Selon Rutherford lui-meme2, cite en [33] :

“C’etait la plus incroyable surprise de ma vie. C’etait comme si un obus de380 mm tire sur un morceau de papier de soie etait revenu en arriere et avaittouche l’artilleur.”

Selon le modele de Thomson, la deviation devrait toujours etre faible, comptetenu de la repartition spatiale a la fois diffuse et etendue de la charge positive : quand laparticule α traverse l’hypothetique globule, il y a presque autant de charge d’un cote quede l’autre, les effets se compensent presque et le projectile ne peut etre toujours que peudevie, d’autant plus que la densite de charge positive est relativement faible (quelques

charges elementaires |e| reparties sur un volume de l’ordre de 10 A3). L’existence des

grandes, et rares, deviations observees ne peut resulter que d’une tres forte concentrationde charge dans un domaine tres petit a l’echelle atomique : ce grain, c’est precisementle noyau, dont la densite de charge (et aussi de masse) est faramineuse. Pour prendreune autre image : si on tire au pistolet sur ce que l’on croit etre un sac de sable etque certaines balles reviennent presque en arriere, il faut logiquement en deduire quedes petits morceaux de roche dure sont noyes dans le sable. La conclusion qu’en tira aRutherford fut celle-ci : durant la traversee de la feuille d’aluminium, le plus souventil ne se passe pas grand’chose (i.e. la deviation est faible), mais il arrive parfois qu’uneparticule α passe a proximite d’une concentration extremement dense de charge positive,seule capable de donner une grande deviation, au point de la faire (rarement) presquerebondir en arriere.

2 La phrase exacte de Rutherford, rapportant ses souvenirs, est :

“It was as if you fired a 15 inch shell at a piece of tissue paper and it came back and hityou.”

3.2 Généralités sur la collision élastique de deux particules élémentaires

57

3.2. Generalites sur la collision elastique de deux particules elementaires 57

De plus, Rutherford a ete en mesure de fournir une explication quantitative deses observations, en calculant la section efficace differentielle (definie plus bas, section3.4) d’une cible (le noyau) soumise a flux de projectiles (les particules α), supposeesen interaction par la force de Coulomb en r−2. Le resultat majeur (dit formule deRutherford, (3.51), est en remarquable accord avec l’experience (sauf toutefois pour lestres faibles deviations, voir plus loin, et pour les tres grandes energies – voir chapitre 8).La contribution magistrale de Rutherford est donc double : d’une part, elle permet detrancher entre les deux modeles d’atomes3 ; d’autre part, elle apporte la preuve que c’estbien l’interaction electrostatique qui, dans le modele de Perrin, lie l’electron au noyau.

La formule de Rutherford repose sur des considerations tres generales qui depas-sent le cadre precis des experiences ici decrites : le mecanisme primaire est la diffusionde deux particules, processus omnipresent en physique, dont il est opportun de rappelermaintenant la description elementaire. La specificite de la theorie de Rutherford estd’admettre que la seule interaction en presence est la repulsion coulombienne entre laparticule α (projectile) et un noyau (cible), suppose par ailleurs infiniment massif poursimplifier.

3.2 Generalites sur la collision elastique de deux par-ticules elementaires

3.2.1 Lois de conservation

Dans la suite, on considere la collision (non relativiste) entre deux objets materiels ponc-tuels, elementaires donc sans structure interne (inexistence de degres de liberte internessusceptibles d’etres excites lors de la collision). Le terme collision est a prendre ausens du physicien ; il designe l’envoi de particules a la rencontre les unes des autres etles mouvements qui en resultent. La deflection des trajectoires etant une consequencede l’interaction entre les particules (pas d’interaction, pas de deviation), l’etude desdeviations permet donc de remonter aux interactions fondamentales. La notion de col-lision ne contient donc aucune reference a celle de choc au sens commun, meme si lechoc entre deux boules de billard constitue une collision tres particuliere : dans ce cas,l’interaction se reduit a une interaction de contact.

En l’absence de tout champ de force exterieur et avec l’hypothese de forces new-toniennes – la force exercee par une particule sur l’autre est opposee a celle exercee parl’autre sur l’une –, on peut affirmer que :

• l’impulsion totale est conservee. En effet, il n’y a pas de force exterieure au systeme,et les forces interieures, supposees newtoniennes, se compensent deux a deux ;

3 La validation du modele de Perrin est toute relative : la grande question de la stabilite electrodyna-mique de l’atome est toujours sans reponse, et le restera tant que la mecanique quantique ne se sera pasimposee (la proposition de Bohr (1913) – voir chapitre 6 – rationalisera certains faits d’experience maisne reglera rien au fond).


58


• la collision ne peut etre qu’elastique (pas de modification de l’etat interne de chaqueparticule, puisqu’il n’y en a qu’un). Comme dans l’etat final – ou l’interactionentre particules a disparu – l’energie mecanique se reduit a l’energie cinetique,l’energie cinetique finale est egale a l’energie cinetique initiale, avant que la cible etle projectile ont commence a interagir. C’est bien la caracteristique d’une collisionelastique, ou s’il y a certes une redistribution des energies cinetiques des deuxpartenaires, la somme de ces energies a la meme valeur avant et apres la collision.

L’ecriture explicite de ces deux lois de conservation met en evidence des integralespremieres du mouvement4, qui donnent rapidement des informations tres utiles, sansdevoir resoudre completement le probleme de la determination precise de la trajectoire,toujours en principe possible a partir de l’equation fondamentale de la dynamique pourvuque l’on connaisse precisement les forces en presence (et les conditions initiales).

Une loi de conservation s’ecrit toujours schematiquement :

Avant = Pendant = Apres (3.1)

et permet de relier entre elles les expressions de(s) la combinaison(s) des variables dy-namiques qui est(sont) constante(s) dans le temps : ce qu’elle etait au depart, ce qu’elleest pendant la phase intermediaire, et ce qu’elle sera dans l’etat final. Dans cette section,on se borne a considerer exclusivement les etats initial et final, et la loi de conservations’exprime symboliquement comme :

Avant = Apres (3.2)

Il importe de comprendre ce que l’on entend par “avant” et “apres” la collision ;parler de collision, c’est dire que, pendant un certain temps, les deux particules sont eninteraction (chacune exerce une force sur l’autre), et donc s’influencent mutuellement :la duree de cette phase est precisement le temps de collision. Ce temps est eminemmentvariable : pour deux spheres dures, il est infiniment court (et la collisison est un choc,au sens usuel du terme) ; au contraire, pour une interaction a longue portee, commel’interaction gravitationnelle ou l’interaction electrostatique, il est en toute rigueur infini :dans ce cas, “Avant” signifie t = −∞, “Apres” correspond a t = +∞. En toute gene-ralite, “Avant” et “Apres” designent les phases temporelles telles que l’interaction estnegligeable en pratique : avant, les deux particules n’ont pas encore interagi, apres, ellesont cesse de le faire.

En designant par des symboles non primes (resp. primes) les impulsions avant(resp. apres) la collision, et pour deux particules de masses m1 et m2 la conservation del’impulsion5 (pi = mvi) s’ecrit :

p1 + p2 = p ′1 + p ′

2 (P) (3.3)

4 Une integrale premiere est une certaine fonction des grandeurs dynamiques (position, vitesse,. . . )qui garde une valeur constante au cours du temps le long de la trajectoire effectivement suivie.

5 En l’absence de champ magnetique, impulsion et quantite de mouvement sont identiques.


59


p1 et p2 sont les impulsions initiales des deux particules ; p ′1 et p ′

2 sont les impulsionsfinales. En ce qui concerne l’energie (12miv

2i = 1

2mip 2i ) :

p 21

2m1+

p 22

2m2=

p ′ 21

2m1+

p ′ 22

2m2(E) (3.4)

Dans les etats initial et final, l’energie se reduit a sa seule composante cinetique puisqueles particules n’interagissent pas (pas encore, ou plus).

Ces deux lois de conservation fournissent au total 4 equations scalaires – quine permettent pas de resoudre completement le probleme dynamique, et ne donnentd’informations que sur l’etat final, relativement a l’etat initial. Il reste cependant queleur exploitation permet d’obtenir a bon compte une somme d’informations6. Le calculfait dans la section 3.3 en fournira un bon exemple – on sera en mesure de trouver laformule de Rutherford sans pour autant determiner completement la trajectoire –, maison peut deja le percevoir en etablissant le resultat suivant, utile ici et la. En posant∆pi = p ′

i − pi, (3.3) s’ecrit ∆p1 = −∆p2 et la conservation de l’energie (3.4) devient :

∆p1.(v1 + v ′1) = −∆p2.(v2 + v ′

2) = ∆p1.(v2 + v ′2) , (3.5)

d’ou :∆p1.(v1 − v2) = −∆p1.(v

′1 − v ′

2) . (3.6)

Ce resultat montre que la projection de la vitesse relative sur la direction commune destransferts de moment change de signe par collision.

Une autre situation importante, frequemment rencontree dans la suite, est celle oul’une des particules a une masse tres grande, infinie pour parler formellement ; supposonsdonc m2 m1, et meme a la limite m1

m2= 0. Dans ces conditions, les equations de

conservation ecrites dans le repere du centre de masse (dont l’origine coıncide avec laparticule de masse infinie initialement immobile, naturellement appelee la cible, l’autreetant le projectile) s’ecrivent, apres multiplication membre a membre de (3.4) par m1 :

p1 = p ′1 + p ′

2 ,(p 21 = p ′ 2

1 +m1

m2p ′ 22

)m1m2

=0, (3.7)

soit :p1 = p ′

1 + p ′2 , p 2

1 = p ′ 21 ; (3.8)

en pareil cas, on a evidemment p1 = p ′1, mais la deuxieme equation dit que le module

de l’impulsion du projectile est le meme avant et apres la collision : ‖p ′1‖ = ‖p1‖.

Avant de poursuivre, et pour fixer quelques idees, precisons les choses dans le casde collisions a une dimension (particules contraintes de se deplacer sur une droite). Toutd’abord, (3.6) prend la forme plus simple :

v1 − v2 = −(v′1 − v′2) , (3.9)

6 On verra plus tard (chapitre 7, et surtout chapitre 17, Symetrie et lois de conservation, tome II)que toute loi de conservation est associee a une symetrie. Conservation et symetrie jouent des roles depremiere importance en physique, et fournissent souvent des resultats tres forts avec tres peu de calculs– sans parler du fait qu’elles verrouillent le cadre de toute theorie en construction.


60


exprimant le changement de signe de la vitesse relative par la collision. Par ailleurs,la resolution des equations (P), (3.3), et (E), (3.4), traduisant les lois de conservation,donne les vitesses finales en fonction des vitesses initiales :

v′1 =m1 −m2

m1 +m2v1 +

2m2

m1 +m2v2 , v′2 =

m2 −m1

m1 +m2v2 +

2m1

m1 +m2v1 . (3.10)

En particulier, si la masse m2 est initialement immobile (appelons-la la cible) :

v′1 =m1 −m2

m1 +m2v1 , v′2 =

2m1

m1 +m2v1 , (3.11)

ce qui permet d’expliciter la situation finale dans les trois cas suivants :

• cible tres massive (m1m2) initialement immobile : v′1−v1, v′20 (le projectile

fait demi-tour quasi elastiquement) ;

• m1=m2 : v′1=0 et v′2=v1 : les particules echangent leurs vitesses respectives ;

• cible tres legere (m2m1) initialement immobile : v′1v1, v′22v1 (le projectilecontinue a peu pres a la meme vitesse, la cible part avec une vitesse double7).

Il est egalement possible, toujours dans le cas unidimensionnel, d’obtenir les varia-tions d’energie (cinetique) des particules. Pour la particule 1, on trouve sans peine :

∆E1 ≡ 1

2m1(p′

21 − p21) =

2m1m2

(m1 +m2)2(m1v1 +m2v2)(v2 − v1) . (3.12)

En revenant au cas particulier examine ci-dessus (cible de masse m2 initialement immo-bile) :

∆E1 = − 2m21m2

(m1 +m2)2v21 ≡ − 4m1m2

(m1 +m2)2E1 . (3.13)

Tout naturellement, la variation de l’energie du projectile est toujours negative (la cibleimmobile est mise en mouvement). A nouveau, il est utile de preciser les trois cas :

• cible tres massive (m1m2) initialement immobile : ∆E1

E1−4m1

m21 (le projectile

fait demi-tour presque elastiquement, sa variation relative d’energie est tres faible) ;

• m1=m2 : ∆E1

E1=−1 : les particules echangent leurs energies respectives ;

• cible tres legere (m2m1) initialement immobile : ∆E1

E1−4m2

m11 (le projectile

continue a peu pres a la meme vitesse, sa variation relative d’energie est encore tresfaible).

Le transfert d’energie est donc maximum (et total) quand projectile et cible ont la mememasse.

7 Un poids lourd lance a 90 km/h, dont les freins ont lache, percute un motard arrete a un feu rouge :imaginer le sort du malheureux motard. . .


61


3.2.2 Reduction du probleme a deux corps en interactioncentrale

Il s’agit de montrer que pour un systeme de deux particules en interaction mutuelle,on peut se ramener a un probleme beaucoup plus simple, avec une seule particule ditefictive. Cette simplification resulte de l’homogeneite de l’espace au sens de Galilee :les deux particules forment un systeme isole dont le centre de masse a un mouvementrectiligne uniforme. Le repere du centre de masse est donc galileen et toutes les lois de laphysique s’y expriment de la meme facon8 que dans n’importe quel autre repere galileen.

La position des deux particules est fixee par la donnee de leurs rayons-vecteurs r1et r2, definis relativement a un repere choisi d’avance et joignant l’origine de ce repereau point Mi de l’espace ou elles se trouvent. Comme pour tout systeme isole, il est utile(et meme recommandable) d’introduire le referentiel lie au centre de masse G, reperequi est en translation uniforme par rapport a un repere fixe, celui dit du laboratoire,par exemple, dont l’origine sera notee O s’il convient de la preciser. Autrement dit, laquestion de trouver le mouvement de G ne se pose pas, puisqu’il est d’avance connu.

En posant justement ri =−−→GMi, on a :

m1r1 +m2r2 = 0 , (3.14)

par definition du centre de masse. Ceci donne une premiere relation (vectorielle) entreles six scalaires necessaires pour fixer les positions des deux particules dans R3. Il estpar ailleurs naturel de considerer le vecteur r representant la position d’une particulerelativement a l’autre, et defini comme :

r = r1 − r2 , (3.15)

Le vecteur r a pour origine M2 et pour extremite extremite M1. Les deux equations(3.14) et (3.15) donnent a l’envers :

r1 =m2

m1 +m2r , r2 = − m1

m1 +m2r . (3.16)

Le referentiel du centre de masse est galileen (le systeme est isole) ; par definition,l’equation fondamentale de la dynamique pour la particule 1 s’ecrit :

m1d2r1dt2

= F21 (3.17)

ou F21 est la force exercee par 2 sur 1. En utilisant (3.15), il vient :

m1m2

m1 +m2

d2r

dt2= F21 ; (3.18)

8 En principe du moins. . . Le caractere galileen n’est utilise ici que pour une description dynamique,les difficultes propres a l’electromagnetisme restant sous le tapis.


62


la quantite en facteur de la derivee seconde, homogene a une masse, s’appelle massereduite, par definition :

µdef=

m1m2

m1 +m2(3.19)

ce que l’on peut aussi ecrire :1

µ=

1

m1+

1

m2. (3.20)

Le meme raisonnement peut etre applique tout autant a la particule 2 ; sonequation dynamique est :

m2d2r2dt2

= F12 (3.21)

ou F12 est la force exercee par 1 sur 2. Utilisant (3.15) et le fait que F12=−F21 (forcenewtonienne), on retrouve exactement la meme equation (3.18). En definitive, une fois

introduite la coordonnee relative rdef= r1 − r2, et notant simplement F la force exercee

par 2 sur 1, la dynamique non triviale du mouvement est tout entiere contenue dansl’equation :

µd2r

dt2= F (3.22)

cette equation decrit le mouvement d’une particule fictive dont la masse µ est la massereduite des deux particules, definie en (3.19).

Pour deux particules dotees d’attributs purement scalaires (masse, charge,. . . ) et

formant un systeme isole, F ne peut pas avoir n’importe quelle dependance en r. Eneffet, son support est necessairement la ligne joignant les deux points ou se trouvent lesdeux particules : c’est la seule direction privilegiee disponible. En outre, en vertu del’isotropie de l’espace (toujours au sens de Galilee) la force entre les deux particules ne

peut dependre de l’orientation de son support. En definitive, la force F est dite centraleet est necessairement de la forme :

F (r ) = F (r)r

r; (3.23)

si F (r) est positif (resp. negatif), la force est repulsive (resp. attractive). Le second mem-bre de (3.22) ne contient que la variable r ; pour cette raison, l’equation (3.18) – quicontient toute la dynamique – est fermee sur elle-meme (etant entendu que G a parailleurs un mouvement uniforme). En definitive, le nombre de variables dont il faut trou-ver la variation en temps est passe de 6 (les trois composantes de r1 et r2) a 3 (cellesde r ) : c’est la reduction du probleme a deux corps en interaction centrale, qui simplifiele probleme initialement pose en introduisant une particule fictive de masse egale a lamasse reduite µ. On verifie facilement que si m1=m2=m, alors µ= m

2 , et que sim1

m2→0,

µ→m1 : quand l’une des deux particules a une masse gigantesque par rapport a l’autre,la masse reduite se confond pratiquement avec la masse de la particule legere.


63


Remarques

1. Quand l’une des particules est infiniment massive (alors naturellement appelee cible– elle est et reste immobile en raison de son inertie infinie), elle n’intervient dans

les equations que par le champ de force F qu’elle cree9, conferant au projectile uneenergie potentielle V telle que F =−∇V quand le champ de force est conservatif(ce que l’on supposera toujours). En consequence, seules les variables dynamiquesdu projectile apparaissent dans les calculs ; bien evidemment, ni l’energie cinetique,ni l’impulsion de ce dernier ne sont conservees au cours du mouvement. Dans l’etatfinal (plus d’interaction), le projectile retrouve son energie cinetique initiale, ce quientraıne ‖p ′‖=‖p ‖ : seul le module de l’impulsion est conserve, et p = p ′, commeon l’a deja fait remarquer (voir (3.8)). hysiquement, ceci signifie que la cible demasse infinie peut encaisser n’importe quelle quantite de mouvement), et il n’y anulle violation de la conservation de l’impulsion10. L’angle entre les impulsionsinitiale et finale caracterise la deviation du projectile.

2. Dans le cas general de deux masses quelconques – et puisque le centre de masse a unmouvement uniforme (son energie cinetique est constante) –, l’energie cinetique dela particule reduite est la meme dans les etats initial et final, lorsque l’interactionentre les deux particules est nulle :

1

2µv 2 =

1

2µv ′2 . (3.24)

3. La derivation en temps de la relation de definition (3.14) montre que l’impulsiontotale des deux particules dans le repere du centre de masse est toujours nulle(d’ou p1 = −p2). Si O est l’origine d’un autre repere (celui dit “du laboratoire” par

exemple), on a−−→OMi=

−−→OG+ ri. L’impulsion de chaque particule dans ce repere est

donc Pi=mi(−−→OG+ ri)=mi

VG + pi. Au total, P1 + P2=(m1 +m2)VG : la somme

des impulsions P1 + P2 est bien une constante du mouvement.

Le moment cinetique, J , est par definition le moment de la quantite de mouve-ment :

J = r × (mv ) (3.25)

En consequence immediate du principe fondamental de la dynamique mdvdt = F , et de

r × v ≡ v × v = 0, on a :

d J

dt= r × F ; (3.26)

le second membre est nul si la force est centrale ( F ∝ r ), d’ou la conservation du momentcinetique pour une particule soumise a une force centrale.

9 C’est d’ailleurs dans de telles circonstances que s’introduit a un niveau elementaire la notion dechamp en physique.

10 D’un autre point de vue : le projectile n’est pas isole puisqu’il est soumis a la force exercee sur lui

par la cible inerte (puisque celle-ci est suposee infiniment massive) ; par dpdt

= F , on voit bien que sonimpulsion n’est pas constante.


64


Dans le cas de deux particules, le total J est la somme des deux moments cineti-ques ; le moment cinetique par rapport au centre de gravite G est J/G=

∑2i=1 miri × ri,

soit J/G = µr × r. Le moment par rapport a O, J/O, est relie a J/G suivant l’egalite

J/O = J/G + (m1 + m2)−−→OG × VG, comme le montre un calcul elementaire. Pour une

interaction centrale, J/G est constant ; pour un systeme isole, le vecteur VG est aussi

constant. Il en resulte que le produit vectoriel−−→OG × VG l’est aussi (dans le produit

vectoriel, seul compte le “bras de levier”), ainsi que J/O.

3.3 Deviation d’une particule chargee par un noyaud’atome

Dans cette section11, on en revient au processus elementaire correspondant aux expe-riences de Rutherford, et dans le cadre theorique imagine par ce dernier : une particuleα de masse m, de charge q = 2|e| soumise a la repulsion electrostatique d’une chargepositive Q = Z|e|, ponctuelle et tres massive (un noyau d’atome) ; le cas d’un faisceaude particules sera examine plus loin (section 3.5), apres avoir defini la section efficacede diffusion (section 3.4). Pour simplifier, on suppose meme le noyau infiniment massif(il ne bouge pas), situe une fois pour toutes au centre de masse du systeme12. Alors,la reduction du probleme a deux corps se fait toute seule : il reste de facto une seuleparticule en mouvement, la particule α, dont l’energie potentielle dans le champ repulsifdu noyau-cible est :

V (r) =qQ

4πε0 r, (3.27)

r designant simplement le rayon-vecteur du projectile, la cible inerte etant a l’origine durepere. La force etant centrale, le moment cinetique J est une constante du mouvement,fixe une fois pour toutes (en tant que vecteur) par les conditions initiales : la trajectoire

est donc plane, etant normale13 au vecteur constant J . De surcroıt, le module de la forcevariant comme r−2, la trajectoire est une conique14 ; comme il y a des points a l’infini(mouvement non lie), et comme la direction de la vitesse admet une limite des deux cotes,la trajectoire de l’α est une branche d’hyperbole. Pour la question posee ici – trouverl’angle de deviation du projectile –, il n’est pas necessaire d’integrer toutes les equations

11 Pour plus de details, voir [34], p. 152.12 Cette approximation, tout a fait justifiee dans le present contexte, n’est pas essentielle. On peut

toujours s’en affranchir, sachant ecrire la relation entre les sections efficaces differentielles relatives l’uneau repere du centre de masse (calculee), l’autre au repere du laboratoire (mesuree) – voir probleme 3.6.7.La difference des masses entre le projectile (leger) et la cible (lourde) justifie ici l’economie de cettecomplication.

13 Par construction, Jdef= r×mv est orthogonal a r et v, donc normal au plan forme par ces deux

vecteurs a tout instant, et notamment a l’instant de depart : les valeurs initiales de r et v contraignentla trajectoire a rester dans le plan perpendiculaire a la valeur initiale de J (et contenant le point dedepart).

14 C’est-a-dire une ellipse, une parabole ou une (branche) d’hyperbole, intersections d’un cone avec unplan d’orientation variable par rapport a l’axe du cone.

3.3 Déviation d’une particule chargée par un noyau d’atome

65

3.3. Deviation d’une particule chargee par un noyau d’atome 65

du mouvement ; la procedure suivie ci-dessous est un bon exemple de l’extreme utilitedes integrales premieres.

Figure 3.2: Geometrie utilisee pour l’etablissement de la relation (3.37). Les donneesfondamentales sont la vitesse initiale v0 et la distance b, appelee parametre d’impact.

En introduisant un repere polaire (r, φ) pour situer le projectile dans ce plan (axepolaire parallele a la vitesse initiale v0 du projectile, voir figure 3.2), on a φ(t = −∞) = π,

et la seule composante non nulle de J est normale au plan ; sur un axe perpendiculaire auplan, oriente positivement relativement au sens trigonometrique positif, cette composantea pour expression :

J = mr2φ ; (3.28)

elle est visiblement negative (l’angle φ decroıt au cours du temps). Pour trouver le module

du moment cinetique (qui est lui aussi constant puisque le vecteur J est une constantedu mouvement), tout point quelconque de la trajectoire convient. On a (figure 3.3) :

J = m (−→OH+

−−→HM)× v . (3.29)

En considerant le point extreme de la trajectoire situe a gauche (voir figure 3.3), la vitesse

devient la vitesse initiale de module v0 et parallele a Ox : le terme en−−→HM ne contribue

donc pas et la longueur OH est par definition le parametre d’impact15 b. Le module de Jest donc egal a mbv0, d’ou, φ etant visiblement negatif :

J = −mbv0 . (3.30)

Figure 3.3: Calcul du module de J

15 b serait la distance minimale α-noyau si la force etait nulle, la particule α passant tout droit.


66


L’ecriture (3.30) n’est pas une equation, c’est juste l’expression de la valeur initiale dumoment cinetique. En revanche, une equation est obtenue en ecrivant que l’expressiondu moment cinetique en termes de variables dynamiques garde cette valeur constantetout au long du mouvement16 ; ainsi, la loi de conservation du moment cinetique s’ecrit(Pendant=Avant) :

mr2φ(t) = −mbv0 ∀ t (3.31)

et fournit immediatement une relation entre les variables dynamiques r(t) et φ(t). Parailleurs, l’equation fondamentale de la dynamique est ici :

md2r

dt2=

qQ

4πε0

r

r3; (3.32)

en decomposant v ≡ r parallelement et perpendiculairement a l’axe polaire :

v = v‖ + v⊥ , (3.33)

la projection de (3.32) sur la perpendiculaire a l’axe polaire donne :

mdv⊥dt

=qQ

4πε0r2sinφ . (3.34)

En utilisant (3.31) sous la forme mr2 = J/φ et en multipliant par dt, il vient :

dv⊥ =qQ

4πε0Jsinφ dφ = − qQ

4πε0mbv0sinφ dφ . (3.35)

Cette equation relie a tout instant les accroissements infinitesimaux (algebriques) desdeux variables dynamiques v⊥ et φ. Pour faire apparaıtre l’angle de deviation θ, il fautet suffit de considerer les points extremes de la trajectoire, correspondant a t = ±∞.Integrons donc cette relation entre ces deux points. Le premier membre donne la variationde la vitesse v⊥ qui passe de 0 a v0 sin θ ; en effet, par la conservation de l’energie, lemodule de la vitesse reprend la meme valeur a l’infini a droite, la ou l’energie potentielleest redevenue egale a zero. Pendant le meme temps, l’angle φ varie de π a θ ; cela etantnote, l’integration membre a membre de (3.35) donne :

v0 sin θ − 0 = −∫ θ

π

qQ

4πε0mbv0sinφ dφ =

qQ

4πε0mbv0(cos θ + 1) ; (3.36)

quelques manipulations trigonometriques donnent finalement :

tanθ

2=

1

2E0

qQ

4πε0 b(3.37)

θdef= φ(+∞)−φ(−∞) est bien l’angle de deviation du projectile ; E0 = 1

2mv20 est l’energie(purement cinetique) initiale et finale. Le resultat exprime par (3.37) montre que si b est

16 De la meme facon, ecrire PV =Cste pour une detente isotherme de gaz parfait ne constitue pas uneequation ; en revanche, la reference a l’etat initial PV =P0V0 en fournit bel et bien une.

3.4 Section efficace de collision

67

3.4. Section efficace de collision 67

petit (le projectile passe tout pres de la cible), tan θ2 est tres grand, donc θ est voisin de

π : la particule α fait alors presque demi-tour, le cas qui a tellement surpris Rutherfordlui-meme – et le fait que cet evenement est rare est la preuve eclatante de la naturelacunaire de la matiere (le noyau est vraiment tout petit compare a la taille de l’atome,c’est finalement le resultat qualitatif le plus remarquable de l’experience). Dans le casd’un parametre d’impact b nul (collision frontale), cas rarissime mais pas impossible, laparticule α s’approche au plus pres du noyau de la distance dmin, obtenue au moment oula particule s’arrete avant de repartir en arriere (θ = π) ; par la conservation de l’energie,on a :

1

2mv20 + 0 = 0 +

qQ

4πε0 dmin⇐⇒ dmin =

qQ

2πε0 mv20=

qQ

4πε0 E0. (3.38)

Par ailleurs, sans surprise, (3.37) montre que, pour un parametre d’impact donne, ladeviation est d’autant plus petite que l’energie initiale de la particule α est plus grande.


On vient de decrire la deviation (diffusion17) d’une particule α resultant d’une “collision”avec un noyau, collision dont la duree est en toute rigueur infinie puisque l’interactionnue de Coulomb est a tres longue portee. En pratique, on opere avec un faisceau departicules (le plus souvent a symetrie cylindrique) que l’on envoie sur une cible – avecpour consequence immediate que le parametre d’impact b n’est pas fixe et varie d’unprojectile a l’autre. Comme θ est d’autant plus grand que b est petit (voir (3.37)), lefaisceau initial va eclater (se disperser) sous l’effet de la cible, donnant une gerbe departicules α dans l’etat final.

Le faisceau incident – suppose homocinetique18 – est essentiellement caracterisepar un courant J , egal au produit de la densite n de particules par leur vitesse v0. Jpermet d’ecrire par definition le nombre dν de particules traversant une petite surfacedS normale au faisceau pendant l’intervalle de temps dt :

dνdef= J dS dt ; (3.39)

lue a l’envers, cette relation montre que le courant J est egal par definition au nombrede particules traversant l’unite de surface droite par unite de temps :

courantdef= nombre de particules traversant l’unite de surface droite par unite de temps (3.40)

17 En physique et en francais, le vocable diffusion a deux sens assez distincts :

• eparpillement des particules envoyees sur une cible et deviees differemment les unes des autres(en raison de leurs parametres d’impact et/ou leurs energies differents) ;

• uniformisation d’une concentration de matiere, d’energie, . . . , tout comme une goutte d’encres’etale a la surface de l’eau.

En anglais, on emploie respectivement les mots scattering et diffusion.18 Plus tard, on pourra le qualifier de monochromatique.


68


Introduisons maintenant le nombre de collisions projectiles-cible par unite detemps, note Ncoll. Ce nombre est evidemment proportionnel au courant :

Ncoll ∝ J . (3.41)

L’analyse dimensionnelle montre que la constante de proportionnalite est une surface ; onla note usuellement σ, c’est la section efficace de collision19, dont la relation de definitionest :

Ncoll ≡ nombre de collisions par unite de temps = σJ , ([σ] = L2) , (3.42)

et en definitive :

σdef=

nombre de collisions par unite de temps

nombre de projectiles incidents par unite de surface droite et par unite de temps(3.43)

Figure 3.4: Section efficace de spheres dures de rayon fini

Par exemple, dans le cas de spheres dures en interaction de contact (r = rayondes projectiles, R = rayon de la cible, voir figure 3.4), seuls les projectiles situes dansle cylindre de rayon R + r vont subir un choc avec la cible. Le nombre de collisions(ici, il s’agit de chocs au sens usuel) par seconde est donc egal au nombre de particulestraversant l’unite de surface par unite de temps (c’est le courant) multiplie par la surfaceπ(R+ r)2 soit :

Ncoll = nv0π (r +R)2 ⇐⇒ σspheres dures = π (r +R)2 . (3.44)

La section efficace est ici le reflet direct des caracteristiques geometriques des particules,parce que l’interaction est strictement de contact. En regle generale, σ depend de laportee de l’interaction, et n’a pas toujours de rapport direct evident avec la taille20 desobjets en presence.

La section efficace definie par (3.43) donne un renseignement global rassemblanttoutes les diffusions, sans discrimination selon l’angle de deviation θ. Une description

19 En anglais : cross section .20 Dans le cas de la diffusion resonnante de la lumiere a la longueur d’onde λ0 par un atome, la section

efficace σres est∼ λ20 ; dans le domaine optique (λ0 ∼ 6×103A), σres est donc gigantesque par rapport

a toute surface atomique, et n’a strictement rien a voir avec la taille de l’atome. Encore un sujet dereflexion. . . .


69

3.4. Section efficace de collision 69

Figure 3.5: Diffusion dans un element d’angle solide dΩ, defini par un angle de deviationdonne θ, pour un faisceau incident a symetrie cylindrique et pour une cible n’introduisantaucune dependance azimutale.

plus fine consiste a compter les collisions pour un angle donne. On ecrit alors21 :

δNcoll(θ) = σd(θ)J δΩ . (3.45)

δNcoll(θ) est maintenant le nombre de diffusions comptees par un detecteur de tres petiteouverture22 δΩ et faisant la direction θ avec la direction d’incidence (dans la limite desinfiniment petits, δΩ → dΩ = 2π sin θ dθ). La constante de proportionnalite, σd est pardefinition la section efficace differentielle 23 :

σd(θ)def=

nombre de collisions par unite de temps entre θ et θ + δθ

nombre de projectiles incidents par unite de surface droite et par unite de temps × δΩ

(3.46)

L’integration sur toutes les directions de deviation donne le nombre total de col-lisions, d’ou la relation entre σ et σd :

σ =

∫

4π

σd(θ) dΩ =

∫ π

0

2π sin θ dθ σd(θ) . (3.47)

La deuxieme expression resulte du fait qu’il n’y a pas de dependance azimutale. Si σd

ne depend pas de θ (c’est le cas pour des spheres dures), alors σ = 4πσd. Inversement,on a aussi :

σd(θ) =dσ

dΩ. (3.48)

Pour la differencier explicitement de σd, σ est aussi appelee section efficace totale (totalcross section).

21 Cette definition repose sur deux hypotheses. La premiere est que le faisceau des projectiles est asymetrie cylindrique – ce que l’on peut toujours supposer, sans nuire a la generalite. La seconde est quela cible est isotrope (memes proprietes dans toutes les directions). Il arrive toutefois que la cible soitcaracterisee par une grandeur vectorielle qui participe a l’interaction projectile-cible (il en va ainsi quandon tient compte de la taille finie du noyau, et que celui-ci n’est pas spherique). En pareil cas, il apparaıtune dependance angulaire supplementaire par rapport a l’azimut φ et la section efficace differentielle estune fonction de θ et de φ, σd(θ, φ). La dependance en φ constitue l’image de l’anisotropie de la cible.

22 δΩ designe la portion de la surface de rayon unite delimitee par l’intersection de cette sphere avecun cone d’axe oriente suivant la direction θ et dont l’angle au sommet est tres petit. Quand le faisceauincident et la cible sont a symetrie cylindrique, la section efficace n’a pas de dependance azimutale.Alors, on peut prendre pour δΩ la surface annulaire representee sur la figure 3.5 : c’est la portion desurface de la sphere de rayon unite delimitee par les intersections avec deux cones ayant pour axe encommun la direction du faisceau incident, et d’angles au sommet θ et θ + dθ.

23 En anglais : differential cross section.


70


3.5 Section efficace differentielle pour la diffusionRutherford

Pour obtenir la section efficace σd relative a la diffusion Rutherford, il suffit de rassemblerles resultats des sections 3.3 et 3.4. L’equation (3.37) donne la relation entre angle dedeviation et parametre d’impact, fournissant l’aspect quantitatif d’une evidence : plus laparticule passe pres du noyau, plus elle est deviee, toutes choses egales par ailleurs. D’unautre cote, d’apres la definition (3.46), les particules diffusees entre θ et θ + dθ (dθ > 0)sont celles qui sont contenues entre les deux cylindres coaxiaux de rayons24 b− |db| et b,b etant fixe par (3.37) des que θ est fixe. Compte tenu de ceci et d’apres (3.46), il vient :

σd(θ) =J (2π b|db|)

J dΩ= 2π b

|db|dΩ

=b

sin θ

∣∣∣∣db

dθ

∣∣∣∣ =1

2 sin θ

∣∣∣∣d

dθb2∣∣∣∣ . (3.49)

A partir de (3.37), on peut ecrire :

b2(θ) =1

4E20

(qQ)2

(4πε0)2cot2

θ

2; (3.50)

un calcul elementaire a partir de (3.49) donne alors la celebre formule de Rutherford :

σd(θ) =(qQ)2

16 (4πε0)2E20

1

sin4 θ2

(3.51)

En introduisant la distance minimum d’approche a parametre d’impact nul (approchefrontale, voir (3.38)), cette formule devient :

σd(θ) =d2min

16 sin4 θ2

. (3.52)

L’expression (3.51) reproduit remarquablement les resultats experimentaux deRutherford – a deux details pres (voir ci-dessous). Elle acheve donc de valider le modelemecanique de Perrin25, confirmant de surcroıt que c’est bien l’interaction de Coulombqui est fondamentalement a l’œuvre, produisant une force repulsive responsable de ladeviation entre deux charges positives, l’une, q, de valeur 2|e|, l’autre Q, de valeur Z|e|.

L’examen attentif des experiences montre toutefois que la formule de Rutherford(3.51) s’ecarte de l’experience pour les tres petits angles de deviation26. Ce desaccord en-tre theorie et experience aux petits angles attire d’ailleurs l’attention sur le comportementde la fonction σd(θ) pour θ petit, permettant de realiser l’anomalie suivante : σd n’estpas sommable et l’application brutale de (3.47) avec l’expression (3.51) donne σ = +∞ !

24 dθ et db ont visiblement des signes contraires.25 En delaissant toujours la question de l’instabilite electrodynamique.26 Un autre desaccord apparaıt aux tres grandes energies (Remarque p. 72 et chapitre 8).

703

Index

⊥1, 436, 438, 469–472

AAbraham, Max, 22absorption, 418

induite, 89action, 82, 87, 106, 108, 110, 114, 193–195, 198,

199, 202, 210–214, 317classique, 524, 668d’un oscillateur harmonique, 234d’une particule acceleree, 234d’une particule libre, 200de Maupertuis, 215effective, 529typique, 288

activite d’une source, 46adjoint d’un produit, 478aimantation, 389, 394aleatoire, 172, 310, 419algebre, 473amortissement, 152–156, 180Ampere, Andre-Marie., 382amperien, 383amplitude de probabilite, 334, 342, 451, 527analogie optico-mecanique de Hamilton, 269,

284–286, 291, 302analyse de Fourier, 275–278, 281, 304, 305, 320–

323ancienne theorie des quanta (ATQ), 189, 244,

270, 323, 341angle

de diffusion, 66entre deux kets ou deux bras, 478solide, 90

Angstrom, Anders Jonas, 40Annus mirabilis, 119, 122anticathode, 245antimarche de potentiel, 607, 626approximation

adiabatique, 384de Born et Oppenheimer, 384, 639WKB (ou BKW), 32, 316

Arosa, 291artefact, 113Aston, Francis William, 15atmosphere isotherme, 28

atomed’hydrogene, 222, 227, 229, 230, 235, 288,

293, 311, 320, 326, 345, 477, 582, 649de Rydberg, 168, 179, 582hydrogenoıde, 167, 179, 180, 187

atomisme, 4ATQ, 189attenuation d’un faisceau β, 41

BBainbridge, Kenneth Tompkins., 16Balmer, Johann Jakob, 40Barkla, Charles Glover, 133barriere, 551

coulombienne, 265de Dirac, 615de potentiel, 606

base, 415, 416, 418, 419, 431–433, 435, 437complete, 439, 461continue, 447de Fourier, 456orthonormee, 436, 438–442, 446, 447

Becquerel, Antoine Henri, 36Bessel, Friedrich Wilhelm, 274Bethe, Hans Albrecht, 258bleu du ciel, 182Bohr, Niels Henrik David, 161, 162Boltzmann, Ludwig, 5Born, Max, 279borne inferieure d’une energie propre, 560, 561Bose-Einstein, 89bosons, 89, 94, 665bra | 〉, 437brachistochrone, 197(Bremsstrahlung, 43, 133, 245, 263Brillouin, Leon, 316brisure d’ergodicite, 550

Ccalcul

de Rayleigh-Jeans, 97, 98, 108des valeurs moyennes, 346symbolique, 443

capture, 228catalogue, 363catastrophe ultraviolette, 81, 89, 97–99, 108,

111

703

physique

704

Mécanique quantique704 Index

Cayley, Arthur, 279Chadwick, James, 17chaıne radioactive, 46, 51chambre de Wilson, 146, 325, 340, 377changement

adiabatique de H, 508de base, 419, 430, 433soudain de H, 506, 507

charged’une particule α, 39du noyau, 244

coefficientde correlation, 348de reflexion, 587, 589, 602, 603, 605, 606,

611, 615, 620, 626, 627de transmission, 587–589, 605, 608, 609,

611, 615, 626–628coefficients d’Einstein, 89coıncidences spectrales, 187collection d’oscillateurs, 99, 103, 104, 107, 113collision, 57, 85

elastique, 58, 73inelastique, 177, 178

combinaison d’operateurs, 477commutateur, 212, 217, 281–283, 298, 323–325,

369, 370, 376, 377, 401, 412, 414,415, 428, 457, 474, 486, 487, 491,492, 494–496, 512–514, 533, 534, 540,545, 623, 662, 663

de a et a†, 658fondamental, 281, 283, 323–325, 353, 412,

486, 487commutateurs des composantes du moment ci-

netique, 412ensemble complet, 415completude, 301comportement asymptotique des solutions, 561,

642composante

covariante, 438elastique, 136molle, 135

composantescontravariantes, 431, 438d’un operateur, 473d’un vecteur, 431hermitiques d’un operateur lineaire, 496

composition du noyau, 255Compton, Arthur Holly, 135condition

de normalisabilite, 343, 344de normalisation, 447, 581

conditionsaux limites, 100–102, 191, 340de Cauchy, 445de raccordement, 554, 564–566, 574, 579,

580, 585, 605, 607, 621, 623, 626, 627initiales, 162, 163

cone Cerenkov, 149conique, 223, 236conjecture de Born, 281, 282connaissance complete, 341, 408–411conservation

de l’energie, 59, 137, 168, 182, 186, 208,376, 571

en mecanique quantique, 509de l’impulsion, 58, 138, 182, 186de la norme, 500du courant de probabilite, 586, 593, 606du moment cinetique, 63–66, 74, 321, 387

constantede Boltzmann, 81, 87de diffusion, 297de normalisation, 374, 419, 423, 453de Planck, 94, 110, 111, 126, 128, 131, 144,

220, 286de Rydberg, 159, 164de Sommerfeld, 141de Stefan, 93, 96, 111, 115, 117de structure fine α, 72, 165, 227–231, 237,

239de Wien, 115, 118du mouvement, 204, 207, 428, 453, 514,

533continuite

de ψ et ψ′, 553, 564du courant de probabilite, 553

continuum d’energie, 506contre-tension, 121, 122, 125, 126, 128, 144convolution, 277, 319, 482

de deux fonctions δ, 482de deux gaussiennes, 319

coordonnees cartesiennes, 299, 321corde vibrante, 100, 103corps, 410, 413, 430, 434, 436, 441

macroscopique, 98, 99noir, 86

corpuscles de Newton, 95, 116, 124, 330correction de masse finie, 167corrections relativistes, 169, 227, 240couche atomique, 244, 247, 248coupure, 523courant, 67

d’energie, 376de la source, 567, 586de photons, 331de probabilite, 302, 343–345, 375, 559, 583,

586de saturation, 121, 122, 126, 127, 143

crochets de Poisson, 216, 234, 282, 283, 376,401, 413, 512

Crookes, William, 11cryptographie quantique, 430Curie, Pierre, 35Curie-Sklodowska, Maria, 35cybernetique, 382

705

IndexIndex 705

DDalton, John, 5Davisson, Clinton Joseph, 270de Broglie, Louis Victor, 287decalage vers

le bleu, 156le rouge, 148, 156, 167, 168

decharge dans les gaz, 9decoherence, 425, 427, 430decomposition spectrale

d’un operateur, 473de H, 505de U(t, t0), 506, 526

decompte des modes, 105decouverte

de l’electron, 8du neutron, 255

defaut de masse, 257degenerescence, 226, 227, 238, 413, 415, 418–

420, 558accidentelle, 477

demi-epaisseur, 42, 43Democrite, 3demonstration de Boltzmann de la loi de Stefan,

95densification des etats, 546densite

de probabilite, 302, 332, 342, 375, 377, 554de l’oscillateur harmonique, 653, 654

nucleaire, 254spectrale de puissance, 90

dephasage, 588derivee

d’un operateur, 492, 493, 496, 503de δ(x), 484

descendance, 520descendant, 429description

de Heisenberg (Heisenberg picture), 510,511, 518

de Schrodinger (Schrodinger picture), 502,510, 518, 542

determinant des inconnues, 565determinisme, 361

classique, 54, 192, 361quantique, 192, 355, 358, 362, 363, 427,

429, 520deuterium, 256developpement asymptotique, 289, 529diamagnetisme, 391diffraction, 331, 378

de neutrons, 327des particules materielles, 308

diffusion, 516Compton, 338, 339de la lumiere, 180des rayons X, 133, 245par un puits de potentiel, 610

resonnante, 68Rayleigh, 541Rutherford, 64, 249Thomson, 182, 541vers l’avant, 252

diodethermo-electronique, 122tunnel, 610

Dirac, Paul Adrien Maurice, 141discontinuite de ψ′′, 554dispositif de regulation, 637dissipation, 152, 155dissymetrie temps/espace, 501distance focale, 320distribution

binomiale, 48de Maxwell, 84de Poisson, 678

domaines de Bloch, 639dosage du sang, 50double barriere de potentiel, 627double-slit experiment, 330doubleurs de frequences, 171droite de Bromwich, 522dualite onde-corpuscule, 270, 290, 308, 337duree de vie, 155, 636

d’un etat excite, 156de l’atome, 33du neutron, 256du proton, 256

dyades, 473

Eeau regale (aqua regia), 11ecart

quadratique, 27, 347, 373, 375de l’impulsion, 450, 515, 537de la position, 450, 516, 517, 537

-type, 52, 233, 366echelle physique, 446ECOC, 420, 476, 477ecrantage, 71, 248EFD, 23, 191, 193, 198, 202, 203effet

Auger, 247Cerenkov, 137, 148Compton, 133, 147, 338

inverse, 149destabilisant d’une barriere, 570, 618Doppler, 156–158, 180, 186, 377Hanbury Brown et Twiss, 380Mossbauer, 263photoelectrique, 119, 120, 145, 147, 180thermoelectronique, 174tunnel, 317, 621, 622Zeeman, 231Zenon, 430

egalite de Snider, 480, 548, 685

physique

706


Ehrenfest, Paul, 108elargissement d’une raie, 154electrodynamique quantique, 156, 387electron, 8, 9, 11, 12, 14, 18, 21, 120

de recul, 139, 140, 146, 147electroscope, 120elements de matrice, 469Einstein, Albert, 119emission, 418

par un noyau, 264spontanee, 89, 172stimulee, 89thermo-electronique, 123, 128

emittance, 92emittivite, 90energie

cinetique en polaires, 203d’appariement, 261d’ionisation, 168, 175, 182de liaison par nucleon, 257, 258de localisation, 487, 570de point-zero, 371, 646de recul, 182de surface, 260de volume, 260libre de Helmholtz, 95, 206potentielle, 194propre, 340, 449

enrichissement isotopique, 610, 619ensemble complet d’observables qui commutent

(ECOC), 476, 477ensemble de Gibbs, 98entropie, 96, 98Epicure, 3equation

aux fonctions propres, 344, 554, 596aux valeurs propres, 32, 232, 294–296, 300,

312, 313, 316, 341, 549–551, 553, 556–558, 563, 568, 571, 573, 574, 584,585, 602, 607, 614, 623, 624, 635,640, 641, 655, 656, 686

de a, 679de a†, 547

caracteristique, 413d’etat, 85, 94, 130

de van der Waals, 260d’evolution pour U(t), 503d’Einstein, 125, 126d’Euler-Lagrange, 190, 197de Bloch, 673de diffusion, 296, 502de Dirac, 502de Dyson, 495de Hamilton-Jacobi, 210, 212, 213, 240,

291, 302de Heisenberg, 512, 536, 537de Klein-Gordon, 296de Liouville, 319, 429

de Poisson, 100, 558de propagation, 101, 103, 305de Schrodinger, 291, 294, 296, 299, 300,

303, 410, 422, 426, 427, 429, 430, 499de Sturm-Liouville, 551, 556, 563, 564de Weber, 642fondamentale de la dynamique (EFD), 23,

191, 193, 198, 202, 203homogene, 298, 552lineaire, 300, 358, 410, 551locale de conservation, 343, 560

equationsde Hamilton, 204, 207, 208, 216, 235, 281,

318, 322, 323de Heisenberg, 324, 541

pour r et p, 518pour a et a†, 676pour l’oscillateur harmonique, 517pour la particule libre, 514pour une particule chargee dans un

CEM, 517de Lagrange, 197, 199, 202, 204, 207, 210,

215, 223, 224, 227, 233de Maxwell, 84, 93, 95, 99, 103, 131, 132,

169equilibre

seculaire, 51stable, 638thermodynamique, 85transitoire, 51

equipartition de l’energie, 656equipotentielles, 29escalier du diable (devil’s staircase), 346espace

complet, 432de Hilbert, 441, 464des etats, 412, 430des phases, 193, 218dual, 437reciproque, 562vectoriel, 410, 413, 415, 430–432, 434, 436,

439, 441des etats, 410, 461symplectique, 464

esperancede vie d’un noyau, 46mathematique, 26, 47, 48, 52, 346, 466

d’une observable, 466, 468, 474, 508de l’energie, 106

etatfondamental, 577, 580intrique (enchevetre), 539lie, 343–345, 557, 560, 564, 567, 572non lie, 343–345, 558, 560, 566, 568, 572separe, 539stationnaire, 100, 372, 427, 428, 457, 508,

510, 532–534, 542, 551vide, 662

707

IndexIndex 707

etatscoherents, 519, 675, 677, 686excites, 577, 580lies “noyes”, 563

Euler, Leonhard Paul, 190evolution

R, 429U, 429d’un paquet d’ondes gaussien, 541d’un systeme a trois niveaux, 540d’un systeme instable, 500irreversible, 297, 417, 429, 502, 506, 546periodique, 417, 506, 669pseudo-periodique, 417, 506temporelle, 301, 426, 499

des etats coherents, 679excentricite, 225, 226, 236, 320excitation a resonance, 185expansion soudaine d’un puits infini, 612expansion/compression d’un oscillateur, 684experience

d’Young, 331, 336, 337, 364de Kappler, 27, 83de Stern et Gerlach, 381, 394, 395, 403,

411, 417, 424, 426experiences

de Barkla, 134, 245de Barnett, 394de Davisson et Germer, 308de Einstein-de Haas, 392, 399de Franck et Hertz, 176, 178de G.P.Thomson et Reid, 308de Lenard, 174de Rutherford, 56, 243

expression differentielle des polynomes de Her-mite, 650

Ffacteur

anormal de l’electron, 409de Boltzmann, 89, 98, 106, 110, 157, 382,

389, 397de forme, 252, 264de Lande, 387, 394de phase, 419de qualite, 636gyromagnetique, 188, 386, 390, 392–394,

400, 403, 451factorisation du propagateur, 543fentes d’Young, 309, 329, 330, 338, 340, 341,

361, 366, 373fermions, 94, 261, 529, 665ferromagnetisme, 389Feynman, Richard Phillips, 202fission, 258fluctuations, 341, 347

angulaires, 83d’energie, 679

de charge electrique, 301, 341de l’impulsion, 350de position, 347, 360de pression, 7du nombre de noyaux excites, 48quantiques, 111, 133, 360, 371, 372, 568,

646radioactives, 48statistiques, 6, 27, 40, 43, 46, 127, 331,

466thermiques, 25, 40, 83, 85, 98, 111, 128,

141, 371, 389, 637–639focalisation de particules, 28fonction

analytique, 445caracteristique, 49, 375, 467creneau, 446cylindro-parabolique, 642d’etat, 96d’onde, 163, 292, 293, 295, 296, 298, 300–

303, 312, 313, 316, 317, 329, 341–343, 345, 346, 349, 353–355, 357, 359–363, 372, 377, 408, 447, 481, 484,489, 500

de densiteclassique, 429reduite (marginale), 429

de Dirac, 359, 443, 482de Green, 306, 520

retardee (causale), 521de Heaviside, 509de Langevin, 390de partition, 85, 107, 110

canonique, 673de reponse, 181de Riemann ζ(z), 442, 663gaussienne, 450generatrice, 27, 49

des moments, 467des polynomes de Hermite, 649, 650

homogene, 535multiforme, 468, 642, 669normalisee, 344normalisable, 344propre, 448

du fondamental, 582du premier etat excite, 582

sans derivee, 7universelle de Wien, 97, 112

fonctionnelle, 193, 214, 232d’influence, 529

fonctionsd’Airy, 355d’operateurs, 479, 480de Bessel, 274, 321, 322de Brillouin, 390, 402propres, 163, 293, 294, 298, 300, 340, 355,

448, 539, 552, 554, 559, 567, 568,

physique

708


581, 582, 584, 593, 610, 611, 614,618, 621, 624, 641, 652

de l’oscillateur harmonique, 646, 651,652, 655–657, 665

forcecentrale, 62d’Abraham-Lorentz, 22, 23, 32de Lorentz, 191, 202, 203, 206, 231, 383–

385, 387, 393newtonienne, 57, 62

formalisme de Dirac, 455, 459formulation de Feynman, 527formulations complementaires, 355formule

barometrique, 28de Balmer, 158–160, 168de Bohr, 162de Glauber, 481, 495, 496, 537, 680de Klein-Nishina, 338de Larmor, 20, 33de Planck-Einstein, 81de Rayleigh-Jeans, 98, 108de Rutherford, 70de Stirling, 678de Weizsacker, 257–261des complements, 632

Franck, James, 11franges d’interferences, 331, 332, 337, 339, 342freinage de rayonnement, 21–23, 32frequence

de Larmor, 383, 387, 388, 396, 404de vibration, 638-seuil, 121, 123, 125

frottement fluide, 155, 636fusion, 258

froide, 266

Ggaussienne, 445gaz

de Fermi, 123parfait, 84rares, 245

Geiger, Hans, 39Gerlach, Walther, 394Glauber, Roy Jay, 675grandeurs incompatibles, 401, 453grands nombres quantiques, 133, 238, 272, 579,

600, 655granulation, 132graphite, 134gravitation a boucles (Loop Quantum Gravity),

273gyroscope, 396

Hhadron, 72Hamilton, William Rowan, 190

Hamiltonien, 205, 208, 210, 212, 213, 217, 218,220, 232–235, 281, 290, 299, 300, 322,324, 640

de Pauli, 300non hermitique, 506

Heisenberg, Werner Karl, 272Heisenberg picture, 510hermiticite, 350, 460, 485Hertz, Gustav Ludwig, 11Hertz, Heinrich Rudolf, 120Hilbert, David, 441hilfe Grosse, 110horizon de Planck, 318hyperselectivite en frequence, 172hypothese

d’Ampere, 386, 392, 394de Planck, 81, 110, 113, 119, 140, 142, 217,

219du continu, 120ergodique, 341

Iidentite de Jacobi, 212, 491importance de l’ordre des mesures, 453independance lineaire, 431, 461, 469indiscernabilite, 664inegalite de Schwarz, 368, 435Ingenhousz, Jan, 6instabilite electrodynamique, 20, 160, 163, 169,

271instantaneite de l’effet photoelectrique, 121, 122,

126, 128integrale

de chemins (path integral), 202, 528de Wiener, 528gaussienne, 106, 523, 669premiere, 58, 65, 210

interactionde contact, 57, 68, 327de van der Waals, 260dipolaire magnetique, 387forte, 72, 249nucleon-nucleon, 259

interfrange, 374interpretation probabiliste, 329, 340, 341, 343,

374, 500intrication, 538invariance

d’echelle, 7de jauge, 100, 199de l’extension en phase, 429des lois physiques, 300en forme de l’energie cinetique, 232en norme au cours du temps, 503galileenne, 290, 359par renversement du temps, 191, 305, 593par translation, 208

dans l’espace, 359

709

IndexIndex 709

dans le temps, 507, 511invariants adiabatiques, 231, 271inverse

d’un produit d’operateurs, 479d’une somme d’operateurs, 478

ions, 14isotopes, 15, 16, 30, 31, 638isotrope, 464

JJacobi, Carl Gustav, 212Jacobien, 240jauge de Coulomb, 100–102jet atomique, 183

KKappler, Eugen, 27Kapteyn, Jacobus Cornelius, 322Kepler, Johannes, 153ket | 〉, 410Kramers, Hendrik Anthony, 316

LLagrange, Joseph Louis, 190Lagrangien, 193, 195, 198, 199, 203, 204, 207,

210, 211, 214, 223, 227, 232, 233, 235d’une particule libre, 198d’une particule soumise a la force F , 198dans un champ electromagnetique, 203, 231quadratique, 669relativiste, 214

lampyre, 171Langevin, Paul, 389Laplace, Pierre-Simon de, 53Laplacien, 352largeur

d’une raie, 154, 155Doppler, 156, 158, 182, 183, 186inhomogene, 158naturelle, 156, 158, 182

Laue, Max Theodor Felix, 169Lenard, Philipp, 11levee de degenerescence, 559Lewis, Gilbert Newton, 124lignes de champ, 292limite

classique, 310, 524, 550de la fonction d’onde, 312de l’operateur densite de l’OH, 675

thermodynamique, 98, 99, 411, 417, 550loi

d’Ohm, 10de Curie, 391de decroissance radioactive, 44de Duane et Hunt, 246de Dulong et Petit, 113, 141de Fick, 525de Kepler, 153

de Lenz, 391de Moseley, 245, 248de Planck, 89, 97, 108, 111, 112, 117, 145de Poisson, 216de repartition, 326de Snell-Descartes, 285de Soddy, 42de Stefan, 93, 95, 97, 111de Stokes, 12, 25des aires, 237du deplacement de Wien, 86, 87, 97, 112

lois de conservation, 57longueur d’onde

associee, 288, 290, 308, 310, 312, 314, 325,326

Compton, 139, 182-seuil, 144, 246, 263thermique, 326

longueur de parcours, 42d’une particule α, 40, 52d’une particule β, 42

Lorentz, Hendrik Antoon, 22lorentzienne, 446Lucrece, 3lumiere

froide, 171noire, 171

luminance, 90spectrale, 90

luminescence, 171

Mmagnetisme

classique, 382, 391d’Anderson, 639sans magnetisme, 382

magneton de Bohr, 386magnons, 639marche, 551

aleatoire, 26au hasard d’une α, 40de l’ivrogne, 26de potentiel, 601

Maric, Mileva, 122masse

du neutron, 256du proton, 256du Soleil, 148gravitationnelle du photon, 130, 147propre, 129, 137reduite, 62, 159, 222

matriceadjointe, 470, 471de a, 662de a†, 661de p, 663de x, 662de passage, 432

physique

710


diagonale par blocs, 476hermitique, 470, 471inverse, 433, 470, 471orthogonale, 470unitaire, 470, 471

unimodulaire, 471Maupertuis, Pierre-Louis Moreau de, 194Maxwell, James Clerk, 5mecanique

analytique, 190des matrices, 269, 271, 272, 279, 283, 291,

298, 293, 300, 322“geometrique”, 288, 310ondulatoire, 269, 285, 288, 291, 292, 304,

310, 481statistique, 98, 409

mer de Fermi, 123Mercure, 227, 229, 384mesure

d’un moment cinetique, 451de position, 450de l’energie, 454, 682de l’impulsion, 455, 536de la position, 454, 455, 536de position, 682

mesures successives d’observables, 428, 452methode

de phase stationnaire, 524, 529de Thomson et Kaufmann, 23polynomiale, 641variationnelle de Rayleigh-Ritz, 160

metrique symetrique, 464microscope

a effet tunnel, 610de Heisenberg, 378

Millikan, Robert Andrews, 12modele

a electrons independants, 244d’atome, 8, 18, 22d’Einstein, 113, 141de Bohr, 160–163, 166, 169–172, 178–180,

187, 188, 215de la goutte liquide, 258en couches, 244globulaire, 18, 19, 22, 23, 32, 55, 152planetaire, 18, 55, 152, 243, 386saturnien, 8, 152stochastique du declin radioactif, 47

mode propre, 84, 98–100, 103–105, 107, 217,297

moderateur, 80molecule d’ammoniac, 544moment

cinetique, 63–66, 75, 163, 164, 169, 283,288, 320, 449

conjugue, 205, 207, 208, 211, 215, 224,225, 237

de la force de Lorentz, 385

moments, 348Moseley, Henry Gwyn Jeffreys, 248

mouvementbrownien, 6–8, 25, 27, 83, 122, 193, 283,

310, 364, 389, 528, 529lie, 223

Muller, Walther, 39multiplicateur de Lagrange, 233

NNagaoka, Hantaro, 152navette Challenger, 202neutron, 17, 255, 387Newton, Isaac, 94niveaux de Landau, 640nœud, 559nombre

d’Avogadro N , 6, 8, 25–27, 51, 310de charge Z, 17de masse A, 17

nombresde Bernoulli, 685de Grassmann, 480, 529quantiques, 226

non commutativite, 280, 412, 434, 480, 504,507, 550

normalisation, 344, 376de la fonction d’onde, 347, 419des fonctions propres, 581des probabilites, 346, 400

norme, 435, 436, 447notation de Dirac, 472notion d’etat, 407noyau, 446, 483, 520

de l’atome, 55noyaux stables, 256nucleon, 8, 17, 254, 256, 257, 259numero atomique Z, 17, 134

Oobservable, 411, 412, 417, 419, 428, 429, 440,

460, 464–467, 469, 470, 474, 481–483, 485–488

observablescompatibles, 474, 475incompatibles, 222, 415, 424, 474simultanement mesurables, 475

onde associee, 287operateur

adjoint, 463–465, 470–474, 478, 479antilineaire, 300, 413, 414, 478auto-adjoint, 350, 355, 416, 417, 460, 463–

465d’annihilation a, 636, 657, 660d’evolution, 440, 448, 502derivable, 493de creation a†, 636, 657, 660

711

IndexIndex 711

de translation, 680densite, 673

canonique de l’OH, 673differentiel, 294, 298, 299, 348, 489en serie entiere, 480fonction d’une variable, 493hermitique, 280, 350, 352, 412, 429, 440,

448, 459, 460, 463–465, 468, 471, 472,474, 478–480, 486, 492, 494, 496

idempotent, 455, 496lineaire, 300, 478multiplicatif, 351nombre de particules N , 660parite, 580, 623, 641symetrique, 465symetrise, 352transforme, 494unitaire, 429, 448, 459, 465, 469, 471, 472,

478, 479, 491, 492, 494, 496, 503derivable, 494

operateurs commutant entre eux, 474Operation Epsilon, 395optique geometrique, 284, 285–287, 288, 310,

340orbites

de Bohr, 162–165elliptiques, 169

ordre des limites, 550, 675orthogonalite des polynomes de Hermite, 651oscillateur

anharmonique, 274, 304harmonique, 154, 155, 180, 233, 283, 293,

303, 315, 324, 377, 417, 454, 510,517, 519, 551, 635

charge, 451, 538confine sur R+, 683force, 685

Ppancake, 18paquet d’ondes, 295, 375, 405, 487, 530

d’une particle libre, 530d’une particle uniformement acceleree, 531

paradoxedu Chat de Schrodinger, 340, 421EPR, 330, 362, 408, 411

paramagnetisme, 389, 391, 394, 402parametre

d’impact, 65de la conique, 225, 236, 320

paroirugueuse, 84, 116totalement

absorbante, 94reflechissante, 94

particulelibre, 510, 514–517, 519, 521, 523, 526,

530, 536

uniformement acceleree, 519, 524, 531, 537,542

pendule isochrone, 197penetration de neutrons dans un milieu ma-

gnetique, 625perihelie, 227–229, 384periode radioactive, 45Perrin, Jean Baptiste, 6perturbation

adiabatique, 686impulsionnelle, 686incontrolable, 419singuliere, 32, 212, 289, 296, 316

petites oscillations, 636phase stationnaire, 524, 529phonon d’Einstein, 113phonons, 636, 639

acoustiques, 141optiques, 141

photocathode, 121, 126, 127, 143photodetachement, 309photon, 89, 94, 119, 124, 126–133, 136–140,

143–146, 148, 161piege du double produit, 480Pierre de Rosette, 330Planck, Max, 81PMA, 190, 284PMD, 191, 284Poincare, Henri, 5point de vue

de Heisenberg, 510de Schrodinger, 502

point tournant, 272, 315, 316points de branchement, 468Poisson, Simeon Denis, 216polynomes

de Hermite, 643, 647, 649de Laguerre, 649de Legendre, 649

portee d’une interaction, 58positronium, 188postulat probabiliste, 342–344, 346, 352, 353postulats de la mecanique quantique, 407potentialites, 334, 338, 400potentiel, 194, 237

central, 233de Morse, 559discontinu, 550generalise, 203quantique, 212, 303thermodynamique, 95-vecteur, 100, 101, 103, 203, 206, 231

pouvoiremissif US, 92de penetration, 37

preacceleration d’une particule chargee, 33precession de Larmor, 384, 387, 388, 395, 404precurseurs de δ(x), 445

physique

712


premiere orbite de Bohr a0, 166preparation, 427pression de radiation, 93, 116, 131, 132principe

d’incertitude, 336, 364spatial, 364, 370temporel, 372

de causalite, 316de Fermat, 190, 284, 285de moindre action, 190, 215, 284, 285de moindre duree, 284, 285de Pauli, 261, 639

principede decomposition spectrale, 418variationnel, 190, 195

probabilite conditionnelle, 333, 452Probleme

de Kepler, 320a N corps, 244, 502

produitde deux operateurs, 478scalaire, 434–443, 447, 448, 455

hermitien, 435profil

gaussien, 158lorentzien, 156, 158

projecteur, 455, 496, 497projet Manhattan, 440prolongement analytique, 522, 526propagateur, 306, 317, 357, 359, 429, 440, 448,

497, 520, 528, 543de l’oscillateur harmonique, 665de la particule libre, 521, 523retarde, 521

pseudo-potentiel de Fermi, 327puits, 551, 562

carre, 568fini, 569infini, 594

de Dirac, 614pulsation synchrotron, 24pupille, 128

Qquantification, 344, 372

canonique, 657comme consequence des conditions sur Ψ,

563, 565, 566de Bohr-Wilson-Sommerfeld, 193, 221, 235,

236, 238, 239, 270, 271, 274, 275,300, 322, 323

de l’energie, 164, 165, 170, 178, 226, 293,300, 319, 322, 576

du moment cinetique, 164, 165, 224, 226,300, 381, 390, 394, 399–402

quantite de mouvement, 205quanton, 270

quantum, quanta, 82, 109–111, 114, 126, 129,141, 161, 639

quantum jumps, 430quarks, 256queue d’une comete, 93

Rracine carree complexe, 523radiateur ideal, 87radioactivite, 35

α, 38, 39β, 38, 41γ, 38, 42

radiometre de Crookes, 93, 117raie jaune du sodium, 158, 401raie Kα du molybdene, 135raies d’isotopes, 187Rayleigh-Jeans, 99rayon

classique de l’electron, 21, 134, 182, 251de charge de l’atome, 253de masse de l’atome, 253du noyau, 249, 252–254, 260, 264

rayonnementde freinage (Bremsstrahlung), 43, 133, 245,

263fossile, 117ionisant, 42thermique, 81–84, 86, 88, 90, 91, 111, 311

rayonscathodiques, 11de Bohr, 165lumineux, 286

Rayons N, 36recession d’une galaxie, 158recul de l’atome, 186recurrences (revivals), 546reduction

du paquet d’ondes, 415, 419, 421, 422,424, 425, 427, 429, 462

du probleme a deux corps, 61reflexion speculaire, 84, 173Regener, Erich, 39regime

sous-amorti, 636sur-amorti, 636

region interdite classiquement, 297, 298regle

d’usage de δ, 444de Bohr, 161, 579de Ritz, 160de somme, 456

regles de selection, 230relation

courant-Wronskien, 560d’incertitude, 450, 488de Compton, 135, 138

713

IndexIndex 713

de conservation locale, 376de de Broglie, 130, 251, 287, 289, 290, 307,

308, 310de dispersion, 129, 305, 356, 639

du photon, 129, 130de fermeture, 439, 447, 448, 456, 473, 482,

483, 489, 520, 526, 594, 652, 682des etats coherents, 678, 687

de Fourier, 651de Parseval-Plancherel, 456de Planck-Einstein, 124, 129, 134, 136, 307de recurrence des polynomes de Hermite,

649entre element de matrice et produit scalaire,

472locale de conservation, 302, 319luminance-densite d’energie, 91, 92pouvoir emissif-densite d’energie, 92

relationsd’incertitude, 364, 370, 373, 377, 646, 656

pour les etats coherents, 679de Maxwell, 96entre x, p et a, a†, 658

rendement photoelectrique, 126, 127, 143renversement du temps, 156, 300, 413, 429, 522repere

de Freinet, 223du centre de masse, 61du laboratoire, 79galileen, 61laboratoire, 61

representantde Heisenberg AH(t), 511de Schrodinger, 511quantique, 351, 352

representation, 353-coordonnee (-q), 353, 409, 447, 459, 481,

487, 500-impulsion (-p), 353, 372, 377, 409, 459,

488, 500, 537, 542, 613, 615, 656-interaction, 502d’un operateur

hermitique, 468unitaire, 468

de Wigner, 488integrale

de δ(x), 490des polynomes de Hermite, 651, 652

reproductibilite, 361resolvante, 497resonance, 154, 155, 182, 541

optique, 170, 171, 183resonances

a basse energie, 590, 593de la fonction de Green, 501

resultat d’une mesure, 400, 418resultats possibles d’une mesure, 416retard a la reflexion, 602

Riemann, Georg Friedrich Bernhard, 442Ritz, Walther, 160RMN, 263Rontgen, Wilhelm Conrad, 36rosette, 228, 384rotation, 440

diurne, 401Rutherford (unite), 46Rutherford, Ernest, 8Rydberg, Johannes, 159

Ssaut quantique, 291

de Bohr, 163sauter dans le vide, 272, 278, 288Schrodinger, Erwin Rudolf Josef Alexander, 291Schrodinger picture, 502seconde quantification, 636, 657, 664section

de Thomson, 134, 182efficace, 67, 75

de capture, 75differentielle, 69, 78, 181relativiste, 251totale, 68

self-energy, 403separation du mouvement du centre de masse,

235serie

de Balmer, 166, 168, 183, 187, 188de Brackett, 160, 166, 187de Fourier, 273, 274, 304, 320, 519de Gauss, 519, 597, 598de Humphreys, 160de Kapteyn, 322de Lyman, 159, 182, 187de Paschen, 160, 166, 187de Pfund, 160, 166de Pickering, 167, 168lacunaire, 598

serie vs polynome, 644series spectroscopiques, 187sesquilineaire, 435, 441, 442sesquilinearite, 473Shannon, Claude, 283singularite de la limite classique, 297, 589, 592,

606, 609, 675sommation continue vs discrete, 108somme

de deux operateurs, 478des amplitudes, 521

somme d’amplitudes vs somme de probabilites,361

Sommerfeld, Arnold, 221sous-espace

complementaire, 432propre, 420

spectre, 448

physique

714


continu, 169, 417, 558d’un operateur hermitique, 417de raies, 153, 159discret, 169, 417du corps noir, 87, 112du Hamiltonien

a une dimension, 568de l’oscillateur harmonique, 645

du Soleil, 83, 88spectres atomiques, 151spectrographie de masse, 15, 16, 30spectrometre

d’Aston, 15de Bainbridge, 30

spectroscopieα, 39atomique, 152de masse, 174, 253moleculaire, 639

sphere dure, 68spin, 382, 394, 399, 400, 401

de la Terre, 401spinning electron, 401, 403statistique de Maxwell-Boltzmann, 99Stefan, Joseph, 93Stern, Otto, 394structure fine de Hα, 222, 230Strutt, John William (Lord Rayleigh), 98suite de Cauchy, 415superradiance, 173surface

d’equiaction, 214, 215, 285d’equiphase, 214, 285de Riemann, 642

susceptibilite, 152, 154, 155, 181, 390, 391, 550,637

Sylvester, James Joseph, 279symetrie, 59, 514, 573, 580

dynamique, 477et conservation, 199et invariance, 207

symbole de Kronecker, 48, 299, 436, 444continu, 442

systemecanonique, 86, 95, 98, 106critique, 390de generateurs, 461lineaire, 637non critique, 390purement mecanique, 98

Ttemperature

de Curie, 389de surface d’une etoile, 88, 114, 180

tempsecoule, 507, 521, 533

de collision, 58de Poincare, 417, 506

termed’asymetrie, 261, 262spectral, 160, 161

Thales de Milet, 11theoreme

d’Ehrenfest, 518, 519, 675d’equipartition de l’energie, 105, 106d’Euler, 534d’oscillation, 559de Bertrand, 320de Bloch, 562de Cauchy, 651de Cauchy-Lipschitz, 563de Cayley-Hamilton, 413, 541, 641de fluctuation-dissipation, 25, 637de Gauss, 18, 71, 239, 248de Gell-Mann et Low, 508de Hellmann-Feynman, 509de l’energie cinetique, 194de Larmor, 383de Liouville, 429de Miss van Leeuwen, 381, 389des residus, 448, 497, 522, 547, 594, 651,

680, 686du moment cinetique, 393du viriel, 163, 179, 180, 187, 237, 533–535,

559, 656du Wronskien, 556, 561limite central, 6, 40

theoriecinetique des gaz, 94, 131des bandes, 562

thermodynamique, 83–85, 98thermostat, 83, 98Thomson, George Paget, 270Thomson, Joseph John, 8Three men’s paper (Dreimannerarbeit), 283trace, 281

d’un commutateur, 492d’un operateur, 492

trajectoire quantique, 529transcendance de π, 647transformation

canonique, 512de Fourier, 304, 306, 356, 522de Laplace, 53, 354, 522de Legendre, 206reversible, 96unitaire, 439, 440, 476, 478

transformeede Fourier, 179, 543, 657de Laplace, 53, 497, 522

transitiona deux photons, 124de phase, 550

715

IndexIndex 715

transmutation radioactive, 42travail

de la force exterieure, 499de sortie WS, 123–125, 128, 145, 601

du potassium, 144du tungstene, 144

triode, 174tritium, 256tube a decharge, 158turbulence, 361turning point, 315

U, Vvaleur

moyenne, 347, 350, 352, 353d’une observable, 466de l’energie, 352, 376de l’impulsion, 348, 349de la position, 349, 351de la vitesse, 349

propre, 413, 414, 416, 417, 419, 420, 427,450, 452, 455

valeurs proprescontinues, 448reelles, 460

variablealeatoire, 26, 46–49, 290, 346, 347, 373

de Bernoulli, 216muette, 106, 107

variablescachees, 362, 363, 411

locales, 363non locales, 363

conjuguees, 205, 222lentes, 384, 388rapides, 384–387

vecteur-colonne, 433-ligne, 436de Lenz-Runge, 477de Poynting, 93propre, 413–415, 417–420, 424, 428, 449,

451–453, 456vecteurs propres

a droite, 465communs, 476, 477, 496, 514orthogonaux, 460, 461, 465

vertus predictives de la mecanique classique, 318viscosite, 12, 25

de l’air, 14vitesse

de groupe, 303, 306, 307, 541de phase, 305, 307

von Dellingshausen, Nikolai, 284von Neumann, John, 440von Weizsacker, Carl Friedrich Freiherr, 258

Wwavefunction, 283, 292Wellenfunktion, 292Wentzel, Gregor, 316Weyl, Hermann, 293Wien, Wilhelm Carl Werner Otto Fritz Franz,

86Wiener, Norbert, 283Wronskien, 556, 559, 560, 565, 599

X, Y, ZYoung, Thomas, 330zone de stabilite, 248, 253, 254, 256, 261, 262

Claude Aslangul


ISBN : 978-2-8073-02952

Conc

epti

on g

raph

ique

: Pr

imo&

Prim

o

MECAQUAN

www.deboecksuperieur.com

C.A

slan

gul

Dans le cadre du nouveau Système Européen de Transfert de Crédits (E.C.T.S.), ce manuel couvre En France les niveaux : Licence 3.En Belgique : Baccalauréat 3.En Suisse : Bachelor 3.Au Canada : Baccalauréat 3.

L1L2

D

M2

M1

Licence de physique (L3)

LMD

s u p é r i e u r

Méc

aniq

ue q

uant

ique

9 782807 302952

L’auteur prend un soin extrême à situer la mécanique quantique dans son développe-ment historique, pour ne pas placer le lecteur face à l’énoncé de postulats arbitraires qui pourraient le rebuter. L’ensemble est très rigoureux, clairement exposé, et les notions sont abondamment discutées au fur et à mesure de leur introduction.

Ce premier tome, correspondant à un enseignement de 3e année, est divisé en deux parties. La première partie analyse les expériences cruciales de la physique microscopique qui, à l’orée du XXe siècle, ont imposé une révision radicale des concepts pour la compréhension des phénomènes à l’échelle atomique. Cette partie revient sur des notions fondamentales de mécanique, de statistique et d’électromagnétisme, et donne l’occasion de raisonner physiquement et de manipuler des ordres de grandeur. Elle fournit enfin le prétexte idéal à une introduction élémentaire de la mécanique analytique, souvent absente des cursus. Cette partie se termine par une présentation comparée des deux premières versions de la mécanique quantique : la mécanique des matrices de Heisenberg et la mécanique ondulatoire de Schrödinger.

La deuxième partie commence par une synthèse des idées rassemblées antérieurement, autorisant l’énoncé des postulats sur la base du sens physique, et la mise en place intuitive et pragmatique du formalisme mathématique nécessaire. Par la suite, l’accent est mis sur le lien indissoluble entre le contenu physique de la théorie et sa conséquence la plus spectaculaire : la quantification de certaines grandeurs physiques. Les problèmes les plus simples (potentiels constants par morceaux) sont ensuite traités en détail, révélant les comportements étranges prévus par la théorie quantique, et mettant en évidence l’extrême singularité de la limite classique. Ce tome s’achève par le traitement de l’oscillateur harmonique, allant jusqu’à l’introduction des opérateurs de création et d’annihilation et la définition des états cohérents.

Cet ouvrage est issu d’une expérience d’enseignement pendant plusieurs années en Licence et Maîtrise de Physique de l’Université Pierre et Marie Curie (Paris 6) et à l’École Normale Supérieure (Ulm).

Claude Aslangul est professeur émérite à l’Université Pierre et Marie Curie et a enseigné à l’École Normale Supérieure (Ulm) pendant une quinzaine d’années. Il est membre du Laboratoire de Physique Théorique de la Matière Condensée (Jussieu).

LM

D

cours

Claude Aslangul


1. Fondements et premières applications

2e édition

1

Les «plus» Très nombreux exercices

et problèmes

Style clair et vivant, facilitant lalecture

Conforme aux enseignementsde 3e année de physique (L3)

Démarche fondée sur l’intuition

+

L3

CV_9782807302952_MECAQUAN_EP1.indd Toutes les pages 05/02/2016 16:22

L’auteur prend un soin extrême à situer la mécanique quantique … · 2016-08-26 · comparée...

Documents

Transcript of L’auteur prend un soin extrême à situer la mécanique quantique … · 2016-08-26 · comparée...