Mécanique Quantique Tome I. Histoires, bases et anciennes théories

I. Introduction II. Histoire III. Bases physiques IV. La théorie de Bohr V. L'expérience de Young VI. Principes de base

Tome II. L'équation de Schrödinger I. Hamiltonien II. Equation de Schrödinger III. Applications IV. Etats liés V. Théorie des collisions VI. Formulation matricielle Annexes

Tome III. Symétries et spin I. Théorie des groupes II. Symétries III. Spin IV. Particules identiques et spin V. Physique statistique VI. Formulation matricielle Annexes

Tome IV. L'atome d'hydrogène, les atomes et la matière I. Atomes et molécules II. Rayonnement III. Structure hyperfine IV. Maser et Laser V. Matière VI. Le magnétisme VII. Supraconductivité

Tome V. Mécanique quantique relativiste I. Vers une équation d'onde relativiste II. Equation de Dirac III. Solutions IV. Hydrogénoïdes V. Théorie des trous

VI. Propagation et diffusion Tome VI. Théories à variables cachées, théorèmes et décohérence

I. L'intrication quantique II. Contextualité III. Autres théorèmes IV. Logique quantique V. Applications VI. Décohérence VII. Théorie de Bohm

Tome VII. Interprétation de la mécanique quantique et classicalité I. Introduction II. Position du problème III. Interprétations IV. Expériences V. Du quantique au classique VI. Références

Tome V. Mécanique quantique relativiste I. Vers une équation d'onde relativiste

I.1. Mécanique quantique et relativité II. Equation de Dirac

II.1. L'équation de Dirac II.2. Covariance relativiste

III. Solutions III.1. Solutions en ondes planes et projecteurs III.2. Paquets d'ondes III.3. Couplage électromagnétique III.4. Transformation de Foldy-Wouthuysen

IV. Hydrogénoïdes IV.1. Spectre non relativiste contre relativiste IV.2. Théorie de Dirac

V. Théorie des trous V.1. Réinterprétation des solutions d'énergie négative V.2. Conjugaison de charge V.3. Particules de masse zéro

VI. Propagation et diffusion VI.1. Propagateur libre VI.2. Propagation dans un champ électromagnétique externe arbitraire VI.3. Application à la diffusion de Coulomb VI.4. Méthode du temps propre de Fock-Schwinger

Tome V Mécanique quantique relativiste Nous allons présenter ici comment la relativité fut introduite dans la mécanique quantique. Nous nous limiterons ici à la formulation relativiste de l'équation de Schrödinger et à l'équation de Dirac incluant le spin, ainsi qu'à la reformulation des états d'énergie négative (antimatière). Nous n'aborderons pas la théorie quantique des champs. Nous utiliserons la convention habituelle des indices latins pour les coordonnées spatiales et les indices grecs pour les coordonnées spatio-temporelles. L'indice 0 est le temps.

I. Vers une équation d'onde relativiste

I.1. Mécanique Quantique et Relativité Notre premier but est d’essayer d’accommoder les principes de la mécanique quantique et de l’invariance relativiste, c’est à dire, de construire une équation d’onde covariante de Lorentz.

En mécanique quantique, les états d’un système sont représentés par des vecteurs normalisés ψ

(ou des matrices de densités ∑= iiip ψψρ ) d’un espace de Hilbert H : 2ψφ (ou φρφ )

est la probabilité de trouver le système dans l’état φ . Les observables physiques sont identifiés

avec les opérateurs hermitiques, += AA (mais généralement non bornés), sur l’espace H . La

valeur moyenne de l’observable A quand le système est dans l’état ψ , c’est à dire, la valeur

moyenne de plusieurs mesures sur des systèmes préparés identiques, est ψψ A . L’évolution dans

le temps du système sous ses auto-interactions ou sous des forces externes représentées par des champs de forces classiques donnés est décrite par l’équation de Schrödinger :

(1) ( ) ( )tHtt

i ψψ =∂∂

h

ou de manière équivalente

(2) ( ) ( ) ( )1122 , tttUt ψψ =

H est hermitique et U est unitaire et satisfait

(3) ( ) ( ) ( )12212

2

,, ttUtHttUt

i =∂∂

h

Il arrive fréquemment qu’un système soit invariant sous certaines symétries, par exemple, les symétries des forces externes. Un théorème de Wigner dit alors que de telles symétries sont représentées par des opérateurs unitaires (ou anti unitaire), qui projettent l’espace de Hilbert sur lui-même, conservent le module des produits scalaires et commutent avec H.

Un opérateur B est dit être antilinéaire si

(4) ( ) ψµφλψµφλ BBB ∗∗ +=+

En définissant son adjoint +B par φψψφψφ +∗+ == BBB , B est anti unitaire si

φψψφψφψφ === ∗+BBBB .

D’un autre coté, la relativité restreinte dit que les lois de la nature sont indépendantes du repère de l’observateur s'il appartient à la classe des repères, les "repères galiléens", obtenus les uns des autres par des transformations du groupe de Poincaré. Ce dernier est généré par les translations spatiales et temporelles, les rotations usuelles de l’espace et les transformations spéciales de Lorentz (ou mouvements boosts), qui relient des repères relatifs en mouvement avec une vitesse relative constante. La vitesse de la lumière c est une limite supérieure absolue à la vitesse de tout signal. L’information originaire du point spatio-temporel ( )00 , tx atteint seulement les points

( )11 , tx dans le cône du futur

(5) ( ) ( ) 00 01

2

01

2

012 ≥−≥−−− ttttc xx

C’est l’expression relativiste de la causalité. Pour des vitesses typiques beaucoup plus petite que c, la mécanique galiléenne est une approximation valable. Nous pouvons nous attendre à quelques problèmes dans la recherche d’une description relativiste et quantique de la particule ponctuelle. En effet, la relativité associe une échelle de moment p = mc à une particule de masse m. Mais les relations d’indétermination h~px ∆⋅∆ nous disent que pour

des échelles de longueur plus petite que la longueur d’onde de Compton mc/hD = ( 11108.3 −×=D cm pour l’électron), le concept de particule ponctuelle peut souffrir de difficultés. Analyser la position d’une particule avec une plus grande précision nécessite une énergie-impulsion du même ordre que la masse au repos, donc permet la création de nouvelles particules. Nous voyons que cela conduit inévitablement au concept d’anti particule. Néanmoins, à une échelle intermédiaire, la mécanique quantique relativiste est applicable et justifie les développements suivants.

Pour combiner l’invariance relativiste avec la mécanique quantique, retournons au principe de correspondance. Dans la représentation usuelle de représentation coordonnées de la mécanique

quantique, nous associons les opérateurs ( )ti ∂∂ /h et ( ) ( )( )ii xii ∂∂=∇ /// hh à l’énergie E et au

moment ip respectivement. Pour une particule massive libre, l’énergie est donnée en terme de

moment par

(6) constante2

2

+=m

Ep

dans le schéma non relativiste et par

(7) 42222 cmcE += p

dans le cas relativiste. A moins que cela soit spécifié explicitement, nous utiliserons le système d’unités pratique tel que

1== ch . De la même manière que le principe de correspondance transforme l’équation (6) en l’équation de

Schrödinger pour la fonction d’onde ( ) ψψ tt ,, xx = :

(8) ( ) ( )tm

tt

i ,2

,2

xx ψψ ∇−=∂∂

il conduit, dans le cas relativiste, de l’équation (7) à l’équation de Klein-Gordon :

(9) ( ) 0,2

2

2

=

−∇−

∂∂

tmt

xψ

Bien que cette équation n’ait pas la forme de Schrödinger (1), nous pouvons y remédier en la mettant sous forme matricielle. En introduisant les notations

(10)

3,2,1

0

1

=∂∂≡

∂∂≡

≡−

ix

t

m

ii

ψψ

ψψ

ψψ

le vecteur ( )3,,0,1~

K−== αψψ ε satisfait

(11) ~

1~ ψαβψ

∇⋅+=∂

∂

im

ti

pour un ensemble souhaitable de matrices hermitiques 5x5. Si nous désirons interpréter ψ comme une fonction d’onde, nous devons trouver une norme non

négative, conservée par l’évolution dans le temps. Il existe en effet une équation de continuité :

(12) 0div =∂≡+∂∂ µ

µρ jt

j

où le quadrivecteur ( )ijjj ,0 ρµ =≡ est définit comme

(13)

( )[ ]ψψψψ

ψψψψρ

∗∗

∗∗

∇−∇=

∂∂−

∂∂=

im

ttm

i

2

1

2

j

Sous forme intégrale nous avons de manière équivalente

(14) ∫∫ ⋅=∂∂−

SVdxd

tSj

3ρ

qui exprime que le changement dans la "charge" totale à l’intérieur du volume V correspond au flux de j à travers la surface S enfermant V. Cependant, la densité ρ n’est pas définie positive. Donc,

elle peut être considérée comme la densité d’une quantité conservée (la charge électrique par exemple), mais pas comme une probabilité positive.

Un second problème apparaît quand nous constatons l’existence de solutions d’énergie négative. Toute fonction d’onde plane (15) ( ) ( )[ ]xpx ⋅−−= EtiNt exp,ψ

satisfait l’équation (9), pourvu que 222 mE += p . Donc les énergies négatives 22 mE +−= p

sont sur le même pied que les énergies physiques 22 mE += p . C’est une difficulté sévère parce

que le spectre n’est plus limité par le bas. Il semble qu’une somme arbitrairement grande d’énergie puisse être extraite du système. Pour une particule initialement au repos, cela sera le cas si une perturbation externe lui permet de sauter le gap d’énergie mE 2=∆ entre le continuum d’états positif et négatif. C’est clairement un défaut dans le concept de particule stationnaire stable. Ces raisons semblaient à ce point si insurmontable, qu’elles conduisirent Dirac à introduire une autre équation. Bien que cette dernière ait une norme positive, nous serons ultimement face au même problème d’interprétation physique des états d’énergie négative.

Exercices 1. Ecrivez explicitement un ensemble de matrices 5x5 ainsi qu'une condition auxiliaire afin de

reproduire un ensemble d’équations équivalentes à (8) de la section I.1.

II. Equation de Dirac

II.1. L'équation de Dirac Puisque l’équation de Klein-Gordon fut trouvée physiquement insatisfaisante, nous essayerons de construire une équation d’onde

(1) ψψβαψHm

iti ≡

+∇⋅=∂

∂ 1

où ψ est une fonction d’onde vectorielle et iα , β sont des matrices hermitiques afin d’avoir H

hermitique, tel qu’une densité de probabilité conservée positive existe. Nous insistons maintenant sur les trois points suivants : 1. Les composantes de ψ doivent satisfaire l’équation de Klein-Gordon, ainsi une onde plane

avec 222 mE += p est une solution.

2. Il existe un quadrivecteur densité de courant qui est conservé et dont la quatrième composante est une densité positive.

3. Les composantes de ψ ne doivent satisfaire aucune condition auxiliaire, c’est-à-dire qu'à un

temps donné elles sont des fonctions indépendantes de x.. Nous aurons aussi à vérifier la covariance relativiste de ce formalisme. Dirac proposa que les matrices iα , β soient anticommutantes et de carré égal à un :

(2)

I

ki

i

i

ki

==

=≠=

22

0,

0,

βαβααα

avec les crochets BA, de deux opérateurs utilisés pour la combinaison symétrique AB + BA,

appelé l’anticommutateur. Il est facile de vérifier que la condition 1 est satisfaite :

(3) ( )ψψβαψ 22

2

2

2 1mm

it+∇−=

+∇⋅=∂∂−

Introduisons la notation µγ :

(4)

µννµ γγβαγβγ

g

iii

2,

3,2,1

0

===

=

où µνg est le tenseur métrique, et le "slash" de Feynman :

(5) µµγaa ≡/

Ceci nous permet de réécrire l’équation de Dirac comme

(6) ( ) ( ) 0=−∂/≡−∂ ψψγ µµ mimi

L’équation de Klein-Gordon est alors obtenue en multipliant par ( )mi +∂/ . Quatre est la plus petite

dimension pour laquelle des matrices satisfaisant (2) peuvent être trouvées.

Les matrices iα , β ont des valeurs propres égales à 1± . Pour ji ≠ ,

( ) jidjiji aaaaaa det1detdet −=−= . Donc leur dimension d doit être paire. Puisque pour d = 2, il

existe seulement trois matrices hermitiques anticommutantes, les matrices de Pauli, nous avons 4≥d .

Une représentation explicite est fournie par

(7)

=

−=

−=

−=

0

0

0

0

0

0

0

00

i

ii

i

i

i

I

I

I

I

σσαβ

σσγγ

en termes de la matrice unité 2x2 I et des matrices de Pauli iσ . Cette représentation est utile lorsque l’on discute de la limite non relativiste de l’équation de Dirac. Parmi tout les représentations équivalentes, obtenues par une transformation non singulière :

1−→ UUγγ , la représentation de Majorana joue un rôle spécial. Elle est choisie pour rendre

l’équation de Dirac réelle. Ceci est obtenu en échangeant 2α et β et en changeant le signe de 1α et

3α dans la représentation précédente : 11ˆ αα −= , βα =2ˆ , 33ˆ αα −= , 2ˆ αβ = . Alors seul β est

imaginaire et l’équation de Dirac :

(8) 0ˆˆ =

+∇⋅+∂∂ ψβα mit

est réelle. Ses solutions sont des combinaisons linéaires de solutions réelles. La matrice U qui effectue ce changement de représentation et la nouvelle forme des matrices peut facilement être déterminée.

Dans la représentation à quatre dimensions (7), ψ peut être écrit comme un bispineur

=

χϕ

ψ en

terme de spineurs à deux composantesϕ et χ . Pour des raisons qui seront bientôt claires, ϕ et χ

sont appelées respectivement les grandes et petites composantes. Elles satisfont

(9)

∇⋅+−=∂∂

∇⋅+=∂∂

ϕσχχχσϕϕ

im

ti

im

ti

1

1

Il est intéressant de noter la similarité entre ces équations de deux des quatre équations de Maxwell :

(10)

0rot

0rot

=∂∂+

=∂∂+

t

t

EB

BE

ou explicitement

(11) ( )

( ) ( )ESB

BSE

∇⋅=∂

∂

∇⋅=∂∂

it

ii

iit

i

1

1

où ( ) ( ) ijkjk

i iS ε/1= .

Les matrices de spin iS jouent pour le spin 1 du champ électromagnétique le même rôle que les

matrices de Pauli iσ pour le spin 1/2 et ( )BE i, est l’analogue de ( )χϕ , .

La principale raison pour la construction de l’équation de Dirac était d’obtenir une densité de

probabilité positive 0j=ρ , avec l’équation de continuité 0=∂ µµ j . Puisque ψ est un spineur

complexe, ρ doit avoir la forme ψψ R+ afin d’être réel et positif. Dérivons premièrement

l’équation de Dirac pour +ψ . De (6) nous déduisons

(12) 0=

+←∂++ mi µγψ

Mais µµ γγ =+ est facilement exprimé en terme de µγ :

(13) ( ) ( ) 00

00

γγγββαβαββαγγγ

====

=++

+

Donc en introduisant ψ :

(14) 0γψψ +=

nous avons

(15) 0=

+←∂/ miψ

En combinant les équations (6) et (15) on a

(16) ( ) 0=∂≡

→∂/+

←∂/ ψγψψψ µ

µ

Nous avons donc un candidat pour le courant

(17)

+===+====

= +++

+++

σϕχσχϕαψψγψψχχϕϕψψψγψρψγψ µµ

j

00jj

La densité ρ est positive. Les petites et grandes composantes contribuent également à ρ tandis

que j implique des termes croisés. Nous verrons ci-dessous que µj se transforme comme un

quadrivecteur de Lorentz.

II.2. Covariance relativiste En accord avec le principe de la relativité, nous désirons vérifier que l’équation de Dirac garde sa forme dans deux repères reliés par une transformation de Poincaré. Alternativement, nous nécessitons que pour un système satisfaisant l’équation avec certaines conditions de liaison dans un repère donné nous pouvons associer par les transformations de Poincaré une famille d’états transformés satisfaisant la même équation avec les conditions de liaisons transformées. Pour le premier point de vue (indépendance par rapport à l’observateur), nous remarquons premièrement que l’invariance à la translation est évidente. Considérons maintenant une transformation de Lorentz Λ . Soit notre système décrit par la fonction d’onde ψ dans le premier

repère et par ψ ′ dans le second. Les deux doivent satisfaire l’équation de Dirac :

(1) ( ) ( ) 0=−∂

∂xmx

xi ψψγ µ

µ

(2) ( ) ( ) 0=′′−′′∂

∂xmx

xi ψψγ µ

µ avec xx Λ=′

Il doit y avoir une relation locale entre ψ et ψ ′ , telle que l’observateur dans le deuxième repère doit pouvoir reconstruire ψ ′ lorsque ψ est donné. Nous supposons que cette relation est linaire :

(3) ( ) ( ) ( )xSx ψψ Λ=′′

où ( )ΛS est une matrice 4x4 non singulière. L’équation (2) s’écrit maintenant

(4) ( ) ( ) ( ) ( ) 0=Λ−Λ∂∂

′∂∂

xmSxSxx

xi ψψγ νµ

νµ

Afin que cette équation soit une conséquence de (1) pour tout ψ , et puisque ( ) µνµν 1/ −Λ=′∂∂ xx ,

nous devons avoir

(4) ( ) ( ) ( ) νν

µµ γγ 11 −− Λ=ΛΛ SS

Construisons d’abord ( )ΛS pour une transformation propre infinitésimale Λ , qui peut être écrite

comme

(5) ( ) L+−=Λ

+=Λ−

νµ

νµ

νµ

νµ

νµ

νµ

ω

ω

g

g

1

où la matrice infinitésimale µνω est anti symétrique. Nous écrivons

(6) ( )

( ) L

L

++=Λ

+−=Λ

− µνµν

µνµν

ωσ

ωσ

4

4

1 iIS

iIS

où les matrices µνσ sont antisymétriques en µν . Au premier ordre en ω , l'équation (4) donne

(7) [ ] ( )αβµ

βαµ

αβµ γγσγ ggi −= 2,

Un ensemble de matrices µνσ satisfaisant ces relations est donné par

(8) [ ]νµµν γγσ ,2

i=

Une transformation finie est de la forme

(9) ( ) ( )[ ]µνµν ωσ4/exp iS −=Λ

où µνω est maintenant fini. Pour des rotations spatiales S est unitaire, tandis qu’il est hermitique pour des translations de Lorentz. La forme des transformations finies est plus facilement dérivée dans la représentation chirale des matrices γ :

(10) [ ]

[ ] [ ]

=−==

−−==

−=

−=

−−

==

k

k

ijkjijiij

i

i

iii

ii

ii

I

I

σσ

εααγγσ

σσ

αγγσ

σσ

γσ

σαβγ

0

0,

2,

2

0

0,

2

0

0

0

0

0

0

00

0

Dans cette représentation, les deux spineurs de Pauli de la décomposition du bispineur ψ se

transforment indépendamment sous des rotations et des mouvements de translation. La représentation du groupe de Lorentz [plus exactement celle de son groupe de recouvrement SL(2,C)] est réductible à une somme de deux représentations non équivalentes : (½, 0) + (0, ½). Cependant, cette représentation est irréductible si nous incluons les transformations sous parité (réflexion spatiale). Nous rappelons que les représentations du groupe de Poincaré sont classées en accord avec les

valeurs de deux opérateurs de Casimir 2P et 2W . µP est l’opérateur énergie-impulsion, qui est le

générateur infinitésimal des translations, tandis que µW est construit à partir de l’opérateur moment

angulaire µνJ , le générateur infinitésimal des transformations de Lorentz, comme

(11) σνρµνρσµ ε PJW

2

1−=

Si 2M dénote les valeurs propres de 2P , 2W prend seulement des valeurs de la forme

(12) ( )122 +−= SSMW

où le spin S est entier ou demi-entier.

Pour les solutions de l’équation de Dirac, et donc de l’équation de Klein-Gordon, 22 −∂=P prend

la valeur 2m , tandis que µνJ est donné par

(13)

( ) ( )

( )

( )xxi

I

xxi

I

xJi

Ix

ψωωσ

ωψωσ

ψωψ

νµν

µµν

µν

νν

ρρµνµν

µνµν

∂+−=

−

−=

−=′

4

4

2

qui donne

(14) ( )µννµµνµν σ ∂−∂+= xxiJ2

1

Calculons alors µW de l’équation (11) :

(15) σνρµνρσµ σε ∂−=

iW

4

1

La contribution orbitale a disparu, justifiant que µW corresponde au moment angulaire intrinsèque.

Nous utilisons alors l’identité

(16) ( ) ( )∑ ′′′′′′′ −−=−=P

PPP

Pgggg

γγββααττγβαµ

µαβγ εε 1det

où dans la première expression τ (ou τ ′ respectivement) prend les valeurs α , β , γ (α ′ , β ′ , γ ′ ), et dans la seconde la somme tourne sur les permutations P de (α ′ , β ′ , γ ′ ). Après un peu d'algèbre utilisant l’équation de Dirac, cela conduit à

(17) 222 12

1

2

1

4

3mmW

+−=−=

Donc l’équation décrit des particules de spin ½. Finalement, nous dérivons la loi de transformation du spineur ψ sous la parité. Nous avons à

nouveau à trouver ( )ΛS satisfaisant (4), où Λ dénote la matrice

(18)

−−

−=Λ

1

1

1

1

νµ

Il est facile de voir que

(19) ( ) ( )xx P ψγηψ 0=′

est la transformation désirée. Ici Pη est une phase arbitraire, inobservable. Le point important est

que les solutions d’énergie positive et négative ont des parités relatives opposées correspondant aux

deux valeurs propres opposées de 0γ . Après la réinterprétation des solutions d’énergie négative,

cela signifiera la parité intrinsèque opposée pour particule et antiparticule. Les formes bilinéaires variées construites avec ψ et ψ jouent un rôle important en physique des

particules. Le reste de cette section est dévoué à leurs propriétés de transformation sous les transformations de Lorentz. De l’équation (3), nous déduisons que

(20) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Λ=Λ=′ −+ 100 SxSxx ψγγψψ

où la seconde expression est vérifiée en utilisant les expressions explicites (9) de [et (19) pour la parité]. Donc un produit bilinéaire ( ) ( )xAx ψψ se transforme selon

(20) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xASSxxAx ψψψψ ΛΛ=′′′′ −1

Par exemple, de (4) nous apprenons que ( ) ( )xx ψγψ µ se transforme comme un quadrivecteur :

(21) ( ) ( ) ( ) ( )xxxx ψγψψγψ νν

µµ Λ=′′′′

tandis que ( ) ( )xxψψ est une densité scalaire (non définie positive).

Plus généralement, toute matrice 4x4 peut-être développée sur une base de 16 matrices. On peut montrer que l’algèbre générée par les matrices γ , une algèbre de Clifford pour les mathématiciens, n’est rien d’autre que l’algèbre complète de ces matrices 4x4. Introduisons la notation

(22) 321055 γγγγγγ i≡≡

Un consensus n’a pas été obtenu sur cette notation. Quelques auteurs introduisent le facteur i (alors

125 −=γ ), ou utilisent un signe différent.

Dans la représentation des matrices gamma de la section précédente

(23)

=

0

05

I

Iγ

La matrice 5γ satisfait

(23) 0,5 =µγγ et ( ) I=25γ

Considérons maintenant les 16 matrices :

(24) [ ]

5

5

,2

γ

γγ

γγσ

γ

µµ

νµµνµν

µµ

≡Γ

≡Γ

=≡Γ

≡Γ

≡Γ

P

A

T

V

S

i

I

Elles ont les propriétés suivantes :

1. ( ) Ia ±=Γ 2

2. Pour tout aΓ ( ISa =Γ≠Γ ), il existe un bΓ tel que abba ΓΓ−=ΓΓ . 3. Donc la trace de tout aΓ , excepté SΓ , s’annule :

( ) ( ) ( ) 0trtrtrtr222 =ΓΓ−=ΓΓ−=ΓΓΓ−=ΓΓ baabbabba

4. Pour tout couple ( aΓ , bΓ ), ba ≠ , il existe ISc =Γ≠Γ tel que cba Γ=ΓΓ à un facteur près 1± ou i± .

5. De ces propriétés, nous déduisons l’indépendance linéaire de notre ensemble aΓ . Supposons

que

0=Γ∑a

a

aλ

Multiplier par tout les aΓ et prendre la trace conduit à 0=aλ pour tout a.

6. Nous notons les identités suivantes :

(25)

νρσµ

σρνµ

νρµ

ρνµ

νµ

νµ

µµ

γγγγγγγγ

γγγγ

γγγγ

γγ

2

4

2

4

−=

=

−=

=

g

En utilisant cette base, nous donnons maintenant les propriétés des combinaisons ( ) ( )xAx ψψ

bilinéaires correspondante sous les transformations propres de Lorentz ou de parités :

(26)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) airepseudoscaldet

eurpseudovectdet

iqueantisymétrtenseur

vecteur

scalaire

55

55

xxxxP

xxxxA

xxxxT

xxxxV

xxxxS

ψγψψγψψγγψψγγψ

ψσψψσψψγψψγψ

ψψψψ

νν

µµ

ρσσ

νρ

µµν

νν

µµ

Λ=′′′′ΛΛ=′′′′

ΛΛ=′′′′Λ=′′′′=′′′′

Le préfixe "pseudo" se réfère à la parité et x' est l'abréviation de νν

µµ xx Λ=′ .

III Solutions

III.1. Solutions en ondes planes et projecteurs Nous cherchons des solutions en ondes planes de l’équation libre de Dirac, c’est à dire des solutions de la forme

(1) ( ) ( )( ) ( ) négativeénergie

positiveénergie

kue

kue

xik

xik

⋅−

⋅−+

=

=

ψψ

avec la condition que 0k soit positif. Pour vérifier l’équation de Klein-Gordon, nous devons avoir

aussi 22 mk = . Le quadrivecteur µk positif de type temps n’est rien d’autre que l’énergie-impulsion de la particule (avec h posé égal à 1). L’équation de Dirac implique

(2) ( ) ( )( ) ( ) 0

0

=+/=−/

kvmk

kumk

Supposons que la particule est massive, 0≠m . Dans le repère au repos de la particule, ( )0,mk =µ ,

et les équations (2) se réduisent à

(3) ( ) ( )( ) ( ) 0,1

0,10

0

=+

=−

0

0

mv

mu

γγ

Il y a clairement deus solutions u linéairement indépendantes et deux v. Dans la représentation usuelle nous les notons comme suit :

(4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=

=

=

=

1

0

0

0

,

0

1

0

0

,

0

0

1

0

,

0

0

0

1

, 21210000 mvmvmumu

Nous pouvons maintenant transformer par un mouvement de translation ces solutions depuis le

repos jusqu’à la vitesse 0/kv k= par une pure transformation de Lorentz, utilisant les équations de

transformation que nous avons vues. Mais il est plus facile d’observer que

(5) ( )( ) 022 =−=+/−/ mkmkmk

de telle manière que nous pouvons écrire

(6)

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )[ ]( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )

( ) ( )

++

⋅

=+

+/−=

+⋅

+

=+

+/=

0

0k

0

0k

0

0

,2

,2

,2

,2

,2,

2

2/1

2/1

2/1

2/1

mm

mE

mmm

mvEmm

mkkv

mmm

mm

mE

muEmm

mkku

α

α

αα

α

α

αα

χ

χσ

ϕσ

ϕ

Ici E dénote la quantité positive : ( ) 2/1220 mkE +=≡ k . Les deux composantes spinorielles ϕ et

χ sont les composantes non nulles de ( )0,mu et ( )0,mv respectivement.

Pour les spineurs conjugués nous trouvons

(7)

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )Emm

mkmvkv

Emm

mkmuku

++/−=

++/=

2,

2,

0

0

αα

αα

Les facteurs de normalisations ont été choisis de telle façon que

(8) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0

0

=−===

kukvkvkv

kvkukukuβα

αββα

βααβ

βα

δδ

Considérons maintenant les matrices

(9)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

m

mk

mkmkEmm

kukuk

2

2

1

2

1 0

2,1

+/=

+/++/+

=

⊗≡Λ ∑=

+

γα

αα

où on a utilisé l’identité valide pour 22 mk = :

(10) ( ) ( ) ( )mkEmkmk +/=+/+/ 20γ

De même, soit

(11)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

m

mk

mkmkEmm

kvkvk

2

2

1

2

1 0

2,1

+/−=

−/−−/+

=

⊗≡Λ ∑=

−

γα

αα

Les opérateurs +Λ et −Λ projettent sur les états d'énergie positive et négative respectivement. Ils

satisfont

(12)

( ) ( )( )

( ) ( ) Ikk

k

kk

=Λ+Λ=ΛΛ=Λ

−+

±

±×

2tr

2

La normalisation dans (8) est invariante de Lorentz. Cependant, la densité définie positive par unité

de volume est ( ) ( ) ( )kkkj ψγψρ 00 == . Calculons cette densité pour nos fonctions d’onde plane

(13)

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

αβ

βα

βαβα

δ

γγψγψ

m

E

kum

kku

kukuxx

=

/=

=++

2

, 0

00

pour les solutions d’énergie positive et

(14)

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

αβ

βα

βαβα

δ

γγψγψ

m

E

kum

kkv

kukvxx

=

/−=

=−−

2

, 0

00

pour les négatives. Les spineurs ont été normalisés au repos. Puisque la densité fois le volume doit rester constant, quand ce dernier est réduit par le facteur de contraction E/m, le précédent doit s’accroître de la même quantité. Les états d’énergie positive et négative sont mutuellement orthogonaux, si nous considérons les états avec des énergies opposées mais de même moment :

(15)

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 0~~

~

2

1

~,

~~

00002

0002

000

00

=

/+/−=

=

−≡=

=

−

−+−

⋅+−

⋅−−+

kum

k

m

kkve

kukvexx

kkkuek

kuek

xik

xik

xki

xki

αβ

αβαβ

ββ

αα

γγ

γψψ

ψ

ψ

kxk

xk

La signification physique des solutions d'énergie négative n’a pas encore été clarifiée. De plus, notre construction d’états en ondes planes n’a pas de sens pour des particules de masse zéro. Cela sera étudié en détail plus loin.

Pour caractériser le reste de la dégénérescence des solutions d’onde plane u et v, nous construisons les projecteurs sur les états de polarisation définie. Pour tout quadrivecteur normalisé de type

spatial n ( 12 −=n ) orthogonal à k, nous avons

(16)

kn

knnW

//−=

−=⋅

52

14

1

γ

σε ρσνµµνρσ

Donc, dans le repère au repos

(17) Σ≡=

=

2

1

2

1

0

05

0

γγγm

W

W

Dans la base usuelle,

=Σ

σσ0

0. Si nous choisissons n le long de l’axe z, ( ) ( )1,0,0,03 ≡= nn ,

nous voyons que les solutions (4) sont des états propres de ( ) mWmnW // 33 =⋅− , avec les valeurs

propres +½ (spin haut) pour ( )1u et ( )1v et –½ (spin bas) pour ( )2u et ( )2v . Les projecteurs sur ( ) ( )0,1 mu et ( ) ( )0,2 mv peuvent être écrits

(18) ( )( ) ( )

−+

=/+

=3

335

3 0

0

2

1

2 σσγ

I

InInP

Après une transformation de Lorentz, les spineurs ( ) ( )ku α , ( ) ( )kv α sont états propres de mnW /⋅− ,

où n est maintenant la transformée de ( )3n :

(19)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )kvkvnkvm

nW

kukunkum

nW

ααα

ααα

γ

γ

2

1

2

12

1

2

1

5

5

±=/−=⋅−

±=/=⋅−

Le signe plus se réfère à 1=α , le signe moins à 2=α . Le projecteur sur ( ) ( )ku 1 et ( ) ( )kv 2 s’écrit

(20) ( ) ( )nInP /+= 52

1 γ

Cette expression reste valide pour un vecteur n arbitraire normalisé, orthogonal à k. P(n) projette sur les états qui, dans le repère au repos, ont un spin 2/12/ =⋅nσ pour les solutions d’énergie positive et un spin 2/12/ −=⋅ nσ pour celles d’énergie négative (notez les signes !). Nous noterons ( )npu , et ( )npv , les vecteurs propres (d’énergie positive et négative

respectivement) de P(n) :

(21) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )nkvnkvnP

nkunkunP

,,

,,

==

Le projecteur P(n) a les propriétés suivantes :

(22)

( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) 1tr

0,

=±Λ=−Λ+−Λ+Λ+Λ

=Λ

±

−+−+

±

nPk

InPknPknPknPk

nPk

En relâchant la condition sur la norme de n,

(23) ( ) 012

1 25 <<−/+= n

nn

γρ

peut être interprété comme une matrice densité de spin

(24) 4tr

2tr2 <

=

ρρ

Il existe un choix particulier de n tel que n est proportionnel à k dans le repère au repos. Soit kn

égal à

(25)

=

k

kk

m

k

mnk

0

,

Cette définition de la polarisation est appelée hélicité et est telle que

(26) ( ) ( ) ( )kIknP k ±± Λ

⋅Σ±=Λk

k

Donc ( )knP projette sur les états d’hélicités positives, énergie positive et d’hélicité négative,

énergie négative.

A la limite ultra relativiste 0/ 0 →km , 1/ 0 →kk , mknk /µµ → et

(27) ( ) ( )

( ) ( )22

122

1

5

5

mkknP

mkknP

k

k

+/−→Λ±

+/±→Λ±

−

+

γ

γ

m

III.2. Paquets d'ondes Procédons à la construction de paquets d’onde normalisables. Nous voulons superposer seulement des ondes planes d’énergie positive, les seules physiquement sensibles pour le moment. Cependant,

nous serons conduit à des inconsistances et nous devrons abandonner cette nécessité. Soit ( ) ( )x+ψ

(1) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )∫ ∑=

⋅−+ =2,1

3

3

,2 α

ααπ

ψ xipepupbE

mpdx

Le facteur ( )[ ]( )Em /2/1 3π est choisi pour rendre la condition de normalisation plus simple :

(2)

( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) 1,

2

,,2

,

2

3

3

,

233

6

3

03

==

′′′′

′=

∑∫

∫ ∫∫ ∑

∫

′

⋅′−−′−′+∗

+

α

αα

αα

απ

ααπ

pbE

mpd

epupupbpbEE

mppdd

xd

xtjxd

itEEi xpp

où nous observons que Epd /3 est une mesure invariante de Lorentz.

Nous calculons aussi le courant total

(3)

( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∑

∫ ∫∫ ∑∫

′

′+∗

′

⋅′−−′−′+∗+

+

′=

′′′′

′==

αα

αα

αα

αα

αααπ

αααπ

pupupbpbE

mpd

epupupbpbEE

mppdd

xdtxd itEEi

,,2

,,2

,

2

2

3

3

233

6

33 xppxj

J

Nous avons besoin ici de l’identité de Gordon qui dit que pour toute paire de solutions d’énergie

positive ( ) ( )pu α et ( ) ( )qu β de l’équation de Dirac, nous avons

(4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )quqpiqpum

qupu βν

µνµαβµα σγ −++=2

1

En effet, comme conséquence de l’équation de Dirac

(5)

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )qua

qpa

qppuquapum

quampmqapu

βαβα

βα

//−/+

//+/+/−=

/−/+−//=

,2

,2

2

0

où a est un quadrivecteur arbitraire. L’équation (4) suit par différentiation par rapport à µa . En

utilisant cette identité avec les relations d normalisation, nous pouvons écrire

(6) ( )

( )( )

EEpb

E

mpd ppJ ==∑∫

+

αα

π2

3

3

,2

Donc le courant total pour une superposition de solutions d’énergie positive est juste la vitesse de groupe. C’est l’analogue de ce qui se passe dans la théorie de Schrödinger et semble satisfaisant. Cependant, il y a une inconsistance dans la supposition de superposition de solutions d’énergie positives seules. Pour illustrer ce point, considérons l’évolution dans le temps d’un paquet d’onde donné au temps t = 0 par une distribution gaussienne de demi-largeur d :

(7) ( ) ( ) wed

d 22/2

4/32

1,0 xx −=

πψ

où w est un spineur fixé, disons

0

ϕ.

La solution correspondante (normalisable) de l’équation de Dirac a la forme

(8) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫ ∑ ⋅∗⋅− +=α

αα ααπ

ψ xipxip epvpdepupbE

mpdt ,,

2,

3

3

x

Puisque la transformée de Fourier d’une gaussienne est une gaussienne

(9) ( ) 2/222/3222/23 2 did edxed pxpx −⋅−− =∫ π

nous pouvons écrire

(10) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∑ ∗− +=α

αα ααπ pvpdpupbE

mwed d ~,~,4 2/224/32 p

où p~ est ( )p−,0p .

Des relations d’orthogonalité, il suit que

(11) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )wpvedpd

wpuedpb

d

d

+−∗

+−

=

=α

α

πα

πα2/224/32

2/224/32

4,

4,

p

p

En utilisant les expressions explicites de u et v, nous voyons que le rapport ∗db / est typiquement

de l’ordre de ( )Em +/p et devient important lorsque m~p . Si le paquet d’onde est dispersé sur

une distance d >> 1/m, la contribution du moment dm /1~ >>p est fortement amortie, et les

composantes d’énergie négative sont négligeables. La théorie à une particule semble consistante. Cependant, si nous désirons localiser le paquet d’ondes dans une région de l’espace du même ordre que la longueur d’onde de Compton, c’est à dire d < 1/m, les solutions d’énergie négative jouent un rôle appréciable. Cette discussion quantitative est en accord avec les arguments heuristiques présentés au début. Pour un paquet d’ondes avec des contributions d’énergie négative comme dans (8), nous calculons comme ci-dessus la condition de normalisation

(12) ( )

( ) ( )( ) 1,,2

22

3

3

=+∫ ∑α

ααπ

pdpbE

mpd

et, avec la notation ( )p−= ,~ 0pp , le courant total est

(13)

( )( )

( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

′−′

+

+=

∑

∫ ∑

′′−

′∗∗

αααα

αα

α

σαασαα

ααπ

pupvepdpb

pvpuepdpbi

pdpbE

p

E

mpdtJ

iiEt

iiEt

ii

~,,~

~,,~

,,2

02

02

22

3

3

Il est maintenant dépendant du temps. A coté du terme de vitesse de groupe, il y a un terme réel oscillant. La fréquence de ces oscillations est très grande, plus grande que

(14) 1212

s1022 −×≅h

cm

Ce phénomène, traditionnellement appelé zitterbewegung, est un exemple des difficultés dues aux états d’énergie négative dans le schéma d’une théorie à une particule. Une manifestation plus frappante est le fameux paradoxe de Klein. Idéalisons le processus de

localisation par une barrière de potentiel de hauteur V dans le demi-espace 03 >≡ xz (figure ci-dessous).

Considérons maintenant dans le demi-espace z < 0 une onde plane incidente d’énergie positive de moment k > 0 le long de l’axe z :

(15) ( )

+=

0

0

1

mE

kez ikz

incψ (le spin le long de l'axe z)

L’onde réfléchie a la forme

(16) ( )

+

+

+−= −

mE

k

be

mE

kaez ikzikz

ref 0

1

0

0

0

1

ψ

(superposition de solutions d’énergie positive de spin haut et spin bas). Dans le demi-espace z > 0, c’est à dire en présence du potentiel constant V, l’onde transmise a une forme similaire :

(17) ( )

+−−

+

+−= −

mVE

q

de

mVE

qcez iqziqz

trans 0

1

0

0

0

1

ψ

Avec un moment effectif q de

(18) ( )[ ] 2/122mVEq −−=

En écrivant la continuité de la solution en z = 0,

(19) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )zzzzzz transrefinc ψθψψθψ ++−=

on détermine les coefficients a, b, c, d : (20) b = d = 0 (pas de basculement du spin) (21) 1 + a = c

(22) 1 - a = rc où mVE

mE

k

qr

+−+≡

Aussi longtemps que mVE <− , q est imaginaire, et l’onde transmise décroît exponentiellement.

Au-delà de quelques longueurs d’onde de Compton, elle est négligeable. Si nous augmentons V afin de restreindre cette région de pénétration, l’onde transmise devient oscillante quand

mEV +≥ . Le calcul des courants transmit, réfléchit et incident conduit à

(23) ( ) inc

trans

inc

ref

inc

trans

j

j

r

r

j

j

r

r

j

j−=

+−=

+= 1

1

1

1

42

2

La conservation des probabilités semble en effet satisfaite : (24) reftransinc jjj +=

Malheureusement, puisque r < 0, le flux réfléchi est plus grand que l’incident ! Nous avons à nouveau des troubles lorsque nous essayons de localiser la particule sur une distance de l’ordre de la longueur d’onde de Compton. En dépit de ces difficultés, l’équation de Dirac et son interprétation à une particule sont très utiles et physiquement sensibles aussi longtemps que nous considérons des forces externes qui varient lentement sur une échelle de quelques longueurs d’onde de Compton. Elle nous fournit les premières corrections relativistes au schéma de Schrödinger. C’est ce que nous allons explorer tout au long des prochaines sections, avant de retourner à une investigation plus profonde de la signification des états d’énergie négative. Nous réalisons maintenant que les difficultés qui nous ont conduits à écarter l’équation de Klein-Gordon n’ont pas réellement été résolues. Même si nous poursuivrons notre discussion dans le schéma de la théorie du spin ½ à cause de ses importantes implications physiques, nous pourrions nous intéresser au cas scalaire avec le même domaine de validité. C’est un autre exemple ou des théories physiques importantes furent construites à partir de ce qui semblait a priori de mauvaises motivations.

III.3. Couplage électromagnétique Nous voulons maintenant étudier les interactions d’une particule de Dirac avec un champ électromagnétique externe (classique) caractérisé par son potentiel ( )xAµ . Le couplage correct est

obtenu à partir l’équation libre de Dirac à l’aide de la prescription de couplage minimal : (1) µµµ ieA+∂→∂

L’équation de Dirac devient alors (2) ( ) ( ) 0=−/−∂/ xmAei ψ

Cette prescription assure l’invariance de l’équation sous les transformations de jauge :

(3) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

∂−→→

xaxAxA

xex xiaa

µµµ

ψψ

Ici e dénote la charge de la particule. Elle est négative ee −= pour l’électron. La covariance de

Lorentz de ces équations est claire. Si nous changeons notre repère de référence, le potentiel électromagnétique se transforme comme un vecteur

(4) ( ) ( ) ( )xAxxA νν

µµ1−Λ=Λ=′′

et donc l’analyse de la covariance relativiste peut être étendue au cas présent. L’équation (2) peut être réécrite plus explicitement comme

(5) ( ) ( )( )ψ

ψαψβα

ψβαψ

int0

0

01

HH

eAem

eAmeit

i

+=+⋅−++⋅=

++

−∇⋅=∂

∂

Ap

A

Nous notons une forte ressemblance de la partie interaction intH avec l’hamiltonien d’une particule

classique dans un champ externe 0eAe +⋅− Av , en accord avec l’interprétation de α comme un opérateur vitesse. Dans le point de vue de Heisenberg, un opérateur O satisfait l’équation du mouvement

(6) ( ) ( )[ ]t

tHitdt

d

∂∂+= O

OO ,

Donc ici l’opérateur position r et le moment invariant de jauge Ap e−≡π satisfont

(7) [ ]

[ ] ( )BEA

rr

×+=∂∂−=

==

αππ

α

et

eHidt

d

Hidt

d

,

,

avec

(8)

AB

AE

rot

0

=

∇−∂∂−= At

La seconde équation est la version opératorielle de l’équation de force de Lorentz. A la vue des paradoxes rencontrés dans la sous-section précédente, l’interprétation de r et π comme la position et le moment doit, cependant, être limitée. Pour étudier les implications physiques de ces équations, nous considérons leur limite non

relativiste. Nous écrivons

=

χϕ

ψ et nous utilisons la représentation

−=

I

I

0

0β ,

=

0

0

σσ

α .

L’équation (5) conduit à

(9)

χχπϕσχ

ϕϕπχσϕ

meAt

i

meAt

i

−+⋅=∂∂

++⋅=∂∂

0

0

A la limite non relativiste, la grande énergie m est le terme dominant dans (9). Nous introduisons les fonctions variant lentement dans le temps Φ et Χ :

(10) Χ=Φ=

−

−

imt

imt

e

e

χϕ

Ces spineurs satisfont

(11)

Χ−Χ+Φ⋅=∂Χ∂

Φ+Χ⋅=∂Φ∂

meAt

i

eAt

i

20

0

πσ

πσ

Si nous supposons meA 20 << , la deuxième équation est résolue approximativement comme

(12) Φ<<Φ⋅≅Χm2

πσ

et la première est l'équation de Pauli

(13) ( ) Φ

+⋅=

∂Φ∂ 0

2

2eA

mti

πσ

Ce qui justifie l’utilisation des termes grandes et petites composantes pour ϕ et χ (ou Φ et Χ ,

respectivement). Comme pour l’équation (13), c’est une généralisation aux spineurs de l’équation de Schrödinger dans un champ électromagnétique. Après de simples manipulations algébriques,

(14) ( ) [ ][ ] B⋅−=+==⋅ σπππσσπππσσπσ eji

ji

ji

ji

222 ,,4

1

nous pouvons la réécrire comme

(15) ( ) Φ

+⋅−−=

∂Φ∂ 0

2

22eA

m

e

m

e

ti B

Ap σ

La seule dépendance du spin se fait à travers l’interaction magnétique B⋅σ . En restaurant les facteurs h et c,

(16) BB ⋅−=⋅−= µσmc

H magn2

h

où le moment magnétique µ est défini comme

(17) S

=≡mc

e

mc

e

22

2

σµ h

L’opérateur de spin S est 2/σh . Le rapport gyromagnétique g vaut 2. C’est une prédiction non triviale de la théorie de Dirac, dérivée dans un contexte non relativiste de l’équation de Pauli.

La valeur de µ est égale à

(18) eV/G1079.52

9−×==mc

ehµ

Les corrections radiatives provenant de la théorie quantique des champs affectent la valeur mesurée expérimentalement de g par une petite somme. L’équation de Pauli (15) peut être encore plus réduite, si nous considérons un champ magnétique uniforme AB rot= , avec le choix RBA ×= 2/1 , et en négligeant les termes quadratiques en A (approximation du champ faible). Nous obtenons

(19) ( ) Φ

⋅+−=

∂Φ∂

B2SLp

m

e

mti

22

2

où PrL ×= est l’opérateur moment angulaire orbital. L’étude précédente peut, en fait, aussi être effectuée sur la forme quadratique de l’équation de Dirac, c’est à dire sans supposer l’approximation non relativiste. En partant de (2), nous multiplions par l’opérateur ( )mAei +/−∂/ . Cela donne

(20)

( )[ ] ( ) [ ]

( ) 02

,2

1

22

222

=

−−−∂=

−∂−∂+−∂=−/−∂/

ψσ

ψσψ

µνµν

ννµµµν

mFe

eAi

eAieAii

eAimAei

Donc le terme dépendant du spin s’écrit

(21) ( )BE ⋅+⋅

−=− σασµν

µν

ie

gFe

g222

dans la représentation usuelle, et à nouveau correspond à la valeur g = 2 pour le rapport gyromagnétique. Notons que cette valeur est une conséquence de la prescription minimale. Nous pourrions avoir écrit une équation non minimale :

(22) ( ) 042

=

∆+−/−∂/ ψσ µνµν F

m

egmAei

qui conduirait à gg ∆+= 2 . Une telle équation a été utilisée pour étudier le comportement en

champ faible de particules avec des facteurs g très différent de 2. Il est intéressant de déterminer les niveaux d’énergie dans un champ magnétique uniforme. Supposons le champ B le long de l’axe z. Le potentiel vecteur A peut être choisi tel que

00 === zx AAA , BxA y = . Pour une solution stationnaire de l’énergie E,

= −

χϕ

ψ iEte , les

équations (9) deviennent

(23) ( ) ( )( ) ( )ϕσχ

χσϕAp

Ap

emE

emE

−⋅=+−⋅=−

En éliminant χ on obtient une équation pour ϕ :

(24) ( ) ( )[ ] ( )[ ]

( )[ ]ϕσϕσϕσϕ

yz xpeBxBe

eeemE

22222

2222

+−+=⋅−−=−⋅=−

p

BApAp

C’est l’hamiltonien d’un oscillateur harmonique. Puisque yp , zp et zσ commutent avec le coté

droit, nous cherchons une solution de la forme

(25) ( ) ( ) ( )xfezzpyypi +=xϕ

où ( )xf satisfait

(26) ( ) ( ) ( ) ( )xfpmExfeBpeBxdx

dxzy

2222

2

2

−−=

−−+− σ

Supposons que le signe de B soit tel que eB > 0, nous introduisons les variables auxiliaires

(27)

eB

pmEa

eB

pxeB

z

y

222 −−=

−=ξ

de cette manière (26) se réduit à

(28) affd

dz =

−+− σξ

ξ2

2

2

Si f est un vecteur propre de zσ avec la valeur propre 1±=α ,

(29)

=

01f

f pour 1=α et

=

−1

0

ff pour 1−=α

alors αf satisfait

(30) ( ) ( ) ( ) 12

2

2

±=+−=

−− αξαξξ

ξ αα fafd

d

La solution qui s’annule à l’infini est exprimée en terme de polynômes de Hermite ( )ξnH :

(31) ( )ξξα nHcef 2/2−=

à condition que 12 +=+ na α , n entier, n=0,1,2,…. Donc les niveaux d’énergies sont donnés par

(32) ( )α−+++= 12222 neBpmE z

et les fonctions d’onde correspondantes peuvent facilement être écrites. Ces niveaux ont à la fois une dégénérescence discrète (n, 1−=α et n + 1, 1=α ) et continue (en yp ). Cette dernière peut

être réduite à une dégénérescence discrète si nous considérons une particule dans une boite finie. L’équation (32) donne une généralisation relativiste des niveaux de Landau. La valeur g = 2 est

telle que le spectre s’étend sous 22 mE = . Comme second exemple, étudions le cas d’une particule de Dirac dans une onde plane électromagnétique. L’onde plane, qui est supposée être linéairement polarisée, est caractérisée par

son vecteur de propagation µn ( 02 =n ) et son vecteur polarisation µε ( 12 −=ε , 0=⋅ nε ). Nous

écrivons ( )ξε µµ fA = où xn ⋅≡ξ et νµνµ AnA ′=∂ avec ( )ξενν fA ′≡′ . L’équation quadratique

(20) prend la forme

(33) ( ) 02 222 =′//−−+∂⋅−− ψAniemAeieA

où µ

µ∂∂≡ est le d'alembertien.

Exhibons les solutions de la forme

(34) ( ) ( )ξϕψ xip

p ex ⋅−=

avec ϕ un spineur de Dirac et p un quadrivecteur qui n’est pas orthogonal à n. En ajoutant à p une

quantité de la forme nλ , nous pouvons obtenir la condition

(35) 22 mp =

L’interprétation de ce quadrivecteur est la suivante. Dans le repère où 00 =ε et donc 00 =A , E et A le long de Ox, B le long de Oy, et n le long de Oz, les opérateurs 11 ∂= ip , 22 ∂= ip et

( ) 3030 ppi +=∂+∂ commutent avec l’hamiltonien de Dirac. La substitution de (34) dans

l’équation (33) conduit à la condition

(36) ( ) ( ) ( ) 022 22 =′//−⋅−+′⋅ ξϕξϕ AniepeAAepin

qui est facilement intégrée comme

(37) ( ) ( ) ( )u

pn

Ae

pn

pAedi

pn

Ane

p

m

⋅−

⋅⋅−

⋅//

= ∫

ξ ξξξξϕ0

222/1

0 22exp

où u est un bispineur constant. Puisque ( ) 0222 =−=// AnAn , nous pouvons écrire

(38) ( ) iI

p uep

mAn

pn

ex

2/1

021

/

⋅+=ψ

où I est l'action d’une particule classique dans une onde plane (amortie à l’infini), avec ( ) ( )∞=∞= pmup :

(39) ( ) ( )∫⋅

⋅−⋅

⋅−⋅−=

xn

Apn

epA

pn

edxpI

0

22

2ξξξ

Pour que ψ satisfasse l’équation originale de Dirac et pas seulement l’équation au carré (20), u doit

obéir à une condition auxiliaire. Après un peu d’algèbre, nous trouvons que

(40) ( ) ( ) ( ) iI

p uempAnnp

e

p

mxmAei −/

/

⋅+

=−/−∂/

21

2/1

0

ψ

Donc (41) ( ) 0=−/ ump

et ( )puu = est une solution de l’équation libre de Dirac.

(42) ( )

( ) ( ) ( )ppxx ′−=∫ ′+ 33

3,,

2

1 δψψπ

ttxd pp

et le courant associé est

(43) ( ) ( )

⋅−

⋅⋅+−==

pn

Ae

pn

ApeneAp

pxxj pp

2

1 22

0

µµµµµ ψγψ

Si ( )ξA est une fonction quasi périodique de ξ (lentement amortie à l’infini), la valeur moyenne

de µj est

(44)

⋅−= µµµ nA

pn

ep

pj 2

2

0 2

1

montrant le même phénomène que sa contrepartie classique. Ces expressions furent originellement obtenues par Volkow en 1935.

Exercices 1. Dérivez un ensemble complet de solutions à l'équation (19) de la section III.3. 2. Vérifiez que l'équation (37) de la section III.3 est correctement normalisée.

III.4. Transformation de Foldy-Wouthuysen Nous venons d'analyser le contenu physique de l’équation de Dirac en utilisant une approximation non relativiste. Il vaut la peine de montrer que cela peut être poursuivi de manière systématique. C’est l’objet de la transformation de Foldy-Wouthuysen. Pour être plus explicite, nous désirons trouver une transformation unitaire

(1) ψψ ′=−iS

qui découple les petites et grandes composantes et où S peut dépendre du temps. Appelons impairs les opérateurs tel que α qui couplent les petites et grandes composantes, et pairs ceux qui ne le font pas (par exemple I, β , …). Puisque ψ ′ satisfait l’équation (2) ( )[ ] ψψψ ′′≡′∂−=′∂ − HeiHei iS

t

iS

t

notre problème est de trouver S tel qu’il enlève les opérateurs impairs dans H ′ à un ordre donné en 1/m. En pratique, nous le ferons jusqu’à des termes de l’ordre de ( )3cinétique/énergie m ou

( )2e/potentiellénergiecinétiqueénergie m× . Cela nous conduira plus loin dans les corrections

relativistes entraînées par l’équation de Dirac. Dans le cas libre, nous pouvons construire S exactement. Il est indépendant du temps et peut être choisi comme

(3) θγθσβp

p

p

p ⋅−=⋅−= iiS

Puisque ( ) I−=⋅ 2/ ppγ , nous pouvons calculer iSe et H ′ sous une forme compacte :

(4)

( )

( )

⋅−+⋅

⋅+=

=′

⋅+==

−

⋅

θαβθβαθαβθ

θαβθθγ

sincossincos

sincos/

p

pp

p

p

p

ppp

m

HeeH

ee

iSiS

iS

Le choix de θ tel que

(5)

E

m

E

=

=

θ

θ

2cos

2sinp

élimine l’opérateur impair et laisse

(6) ( ) ( ) 2/12222 mEmE

H +==+=′ pp βββ

comme cous nous y attendions. En d’autres mots, nous avons décomposé H en une somme directe

de deux hamiltonien non locaux 22 pm +± . Il est clair que ces racines carrées ne peuvent pas être

représentées dans l’espace de configuration par un ensemble fini d’opérateurs différentiels.

Dans le cas en interaction, nous nous attendons donc à ce que S soit de l’ordre 1−m , et nous développons H ′ à l’ordre désiré :

(7) [ ] [ ][ ] [ ][ ][ ]

[ ][ ][ ][ ] [ ] [ ][ ] L&&& ++−−+

−−+=′

SSSSSi

SHSSSS

HSSSi

HSSHSiHH

,,6

1,

2,,,,

24

1

,;,6

,,2

1,

Ici nous avons utilisé l’identité générale

(8) [ ][ ][ ][ ]∑∞

=

− =0

,,,!

1

n

AA BAAAn

Bee LL

où dans le terme générique de la somme, A apparaît n fois. Cette identité est facilement dérivée en

calculant les dérivées successives de sAsABee − en s = 0, et en l’utilisant dans le développement de Taylor (formel) à s = 1. Nous partons de EO++= mH β où O dénote les opérateurs impairs ( )Ap e−⋅α et E les pairs

0eA . La solution du cas libre suggère que nous prenions 2/OβiS −= au premier ordre. Alors en

accord avec l’expression ci-dessus pour H ′ , nous calculons (9) EO ′+′+=′ mH β

avec

(10) [ ]m

imm 232 2

3 OOEO,O

&ββ +−=′

et

(11) [ ][ ] [ ]OOEOOOO

EE &,8

,,8

1

82 223

42

m

i

mmm−−

−+=′ β

O′ est maintenant d’ordre 1/m. Nous itérons alors le processus. Une seconde transformation Sie′− ,

avec ( )miS 2/O′−=′ β , conduit à

(12) OE ′′+′′+=′′ mH β

où ( )2−=′′ mOO . Finalement, une troisième étape avec ( )miS 2/O′′−=′′ β élimine ce terme impair

laissant l’hamiltonien désiré

(13)

( ) ( )

( ) EpEE

BpAp

div84

rot8

282

222

0

3

42

m

e

m

e

m

ie

m

eeA

mm

emH

−

×⋅−⋅−+

⋅−+

−−+=′′′

σσ

βσβ

L'interprétation des divers termes nécessite quelques commentaires. Le terme entre crochets est le

développement (à l’ordre requit) de ( )[ ] 2/122me +− Ap . Le deuxième terme 0eA est l’énergie

électrostatique d’une charge ponctuelle, tandis que le troisième représente l’énergie d’un dipôle magnétique pour g = 2. Le terme entre parenthèses peut être vu comme correspondant à l’interaction spin - orbite (s.o.). En effet, pour un potentiel statique à symétrie sphérique, 0rot =E

et 0A−∇=E . Donc

(14) ( ) ( ) LprpE ⋅−=×⋅−=×⋅ σσσdr

dA

rdr

dA

r

00 11

et le terme entre parenthèses est

(15) L⋅= σdr

dA

rm

eH os

0

2..4

Le champ magnétique EvB ×−=′ agissant sur la particule est responsable de cette énergie magnétique additionnelle. Son interaction avec le moment magnétique µ donnerait

(16) ( )pEB ×⋅−=′⋅−= σσ2..

22 m

e

m

eH os

mais à cause de la précession de Thomas, ce résultat est réduit par un facteur deux.

Finalement le dernier terme dans l’équation (13), appelé le terme de Darwin ( ) Ediv8/ 2me− , peut-

être relié au zitterbewegung. La position de l’électron fluctue d’une somme rδ telle que 22 /1~ mrδ , et l’énergie électrostatique effective est la moyenne

(17) ( ) ( ) ( )L+

∂∂∂+=+ ji

jirr

rr

AeeAeA δδδ r

rrr02

00

2

Suite à la symétrie sphérique, cette fluctuation aléatoire est

(18) 2

2

33 mrrr

ijijji δδδδδ ≅=

et la correction à ( )reA0 est

(19) ( ) Ediv66 2

0

2

0

m

eA

m

eeA −=∆=δ

en bon accord avec le signe et la grandeur du terme de Darwin.

Le lecteur aura noté que comme la transformation de Foldy-Wouthuysen est dépendante du temps, les valeurs moyennes de H ′ dans l’état ψ ′ sont, en général, différentes de celles de H dans l’état correspondant ψ .

IV. Hydrogénoïdes Une importante application de l’équation de Dirac est la discussion de la structure fine du spectre atomique. C’est un domaine de notoriété pour les succès de la mécanique quantique et ses généralisations relativistes, incluant les corrections radiatives. A la vue des intrications de la méthode de Foldy-Wouthuysen, il est assez remarquable qu’une solution exacte de l’équation de Dirac dans un champ statique de Coulomb existe et conduit à un excellent accord avec les résultats observés sur les atomes hydrogénoïdes. On ne s'attend pas à ce que les difficultés discutées précédemment jouent un rôle significatif. En physique atomique, l’échelle de longueur pertinente,

le rayon de Bohr Å53.0/0 == αcma eh , est 137 fois plus grande que la longueur d’onde de

l’électron. Pour des atomes lourds ces difficultés réapparaissent et d’autres méthodes doivent être développées.

IV.1. Spectre non relativiste contre relativiste Rappelons le résultat non relativiste obtenu de l’équation de Schrödinger, un triomphe pour les débuts de la mécanique quantique. L’équation d’onde est

(1)

( )

2

2

2

2

,,

2

2

042

r

L

rrr

r

Ze

mlnln

+∂∂−

∂∂−=∆−

=

−−∆− rψε

π

où

(2) ( ) lnln llL ,,2 1ψψ +=

et m est la masse réduite du système électron noyau :

(3) 1111 −−−− ≅+= eNe mmmm

La condition de quantification nécessite que ( )1+−=′ lnn soit un entier non négatif (le nombre de

zéros de la fonction d’onde), et les niveaux d’énergie sont

(4) ( )

K,2,12 2

2

, =−= nn

Zmln

αε

Numériquement, la constante de Rydberg 2/2αm est égale à 13.6 eV. L’état s (l = 0) de la fonction d’onde à l’origine est

(5) ( )2/3

2/1

10

=n

mZαπ

ψ

Puisque pour 1≥n donné, l prend des valeurs entières de 0 à n - 1, chaque niveau a une

dégénérescence égale à ( ) 21

0

12 nln

=+∑−

. Ceci est relié à une symétrie dynamique du problème de

Coulomb en accord à un groupe O(4) de rotations dans un espace à quatre dimensions, qui fut

utilisé, comme nous l'avons vu, par Pauli et Fock dans les débuts de la mécanique quantique pour donner une dérivation algébrique du spectre de Balmer. Cette dégénérescence disparaît dans le traitement relativiste conduisant à la structure fine du spectre. En ignorant pour le moment les effets du spin, voyons les prédictions de la théorie de Klein-Gordon quand le couplage électromagnétique est introduit de manière minimale. Soit E l’énergie totale

égale à l’énergie au repos 2mc plus l’énergie négative de liaison ε :

(6) 02

2

=

−∆+

+ φαm

r

ZE

ou

(7) ( ) 022 22

2

222

2

2

=

−−−−+

∂∂−

∂∂− φαα

mEr

EZ

r

ZL

rrr

Cette équation est formellement identique à l’équation de Schrödinger après les substitutions

(8)

( )

m

mE

m

E

ZLL

2

1

22

2222

−→

→

+≡−→

ε

αα

λλα

Le nombre quantique orbital est déplacé de lδ , lll δλ −=→ où

(9)

2/1

22

2

2

1

2

1

−

+−+= αδ Zlll

et le nombre quantique principal n est, de même, déplacé par la même valeur, puisque ( )1+−=′ lnn doit être un entier. Donc, les niveaux d’énergies sont donnés par

(9)

( )

( )[ ]

( ) ( )64

44

3

44

2

22

222

22

22222

8

3

122

/1

1

22

αααα

δα

δα

On

mZ

ln

mZ

n

mZm

nZ

mE

nm

EmZ

m

mE

l

nl

l

nmnl

+++

−−=

−+=

−−=

−

Le deuxième terme est l’énergie de liaison non relativiste et le troisième brise la dégénérescence O(4). Nous n’allons pas discuter les pathologies de ce cas, c’est-à-dire le comportement singulier

de la fonction d’onde à l’origine du terme attractif ( )222 / rZ α− ou la catastrophe qui se produit

lorsque Z > 137/2 ( lδ et donc nlE deviennent complexe !). L’équation (9) est en faible accord avec

la situation expérimentale, ce qui signifie que les effets du spin ne peuvent pas être négligés.

IV.2. Théorie de Dirac Retournons maintenant aux prédictions de l’équation de Dirac. Avant de construire la fonction d’onde, nous procéderons d’abord à une simple dérivation du spectre comme dans le cas de Klein-Gordon. Dans ce but, nous élevons l’équation au carré et nous insérons la composante non nulle du

potentiel ( )π4/0 ZeA −= , tandis que i

iii EAFF =−∂=−= 000 . Il est utile de travailler dans la

représentation chirale pour les matrices γ où i0σ est diagonal :

−=

i

i

i iσ

σσ0

00 . Alors le terme

de spin s’écrit

(1) 2

ˆ

2 r

riZieF

e ⋅=⋅±= σασσ µνµν

mE

où r est le vecteur unité r/r . L’analogue de l’équation de Klein-Gordon est une équation pour spineurs à deux composantes :

(2) ( ) ( ) 021

ˆ2 22

2

222

2

2

=

−−−⋅−+

∂∂+

∂∂− ±ψαασα mE

r

EZ

rriZZL

rrrm

Le moment angulaire total 2/σ+=+= LSLJ commute avec l’hamiltonien et avec 2L . Dans le

sous-espace où ( )12 += jjJ , mJ z = (j = 1/2, 3/2, … ; jmj ≤≤− ) et ( )12 += llL , l’entier l

prend deux valeurs : +≡+= ljl 2/1 et −≡−= ljl 2/1 . Puisque r⋅σ n’a pas d’élément matriciel

diagonal, 0ˆ =⋅ ±± lrl σ , il est hermitique et a un carré égal à un, l’opérateur

[ ]riZZL ˆ222 ⋅− ασα m suppose dans ce sous-espace la forme suivante :

(3) ( )( )

( )( )

−+−−++

=⋅−22

22222

2/12/1

2/32/1ˆ

ααααασα

ZjjiZ

iZZjjriZZL

m

mm

Soit ( )1+λλ ses valeurs propres

(4) ( )[ ] 2/12222/1 αλ Zj −+=

et

(5) ( )[ ] 12/12/1222 −−+= αλ Zj

qui peut être écrit (6) ( ) jj δλ −±= 2/1

avec

(7) ( )4422

22

2

122

1

2

1 αααδ ZOj

ZZjjj +

+≅−

+−+=

A nouveau, n est également déplacé de jδ de façon à garder ( ) 1−−−=′ λδ jnn entier. La

condition 0≥′n restreint j au domaine 2/3−≤ nj pour jj δλ −+= 2/1 et 2/1−≤ nj pour

jj δλ −−= 2/1 . Donc il y a une double dégénérescence, excepté pour l’état j = n - 1/2. Le résultat

final est

(8) ( )[ ]

( ) ( )6

4

44

3

44

2

22

222

8

3

122

/1

αααα

δα

On

mZ

jn

mZ

n

mZm

nZ

mE

j

nj

+++

−−=

−+=

avec n = 1, 2, … et j = 1/2, 3/2, …, n - 1/2. Une catastrophe se produit maintenant pour Z = 137.

2/1δ devient imaginaire au-delà de cette valeur.

Les états dégénérés peuvent être distingués par leur moment angulaire orbital l, qui prend les valeurs 2/1±j (excepté pour j = n - 1/2 où l = n - 1). Ceci est relié aux propriétés de

transformation de l’état sous la parité. Les énergies des états les plus bas sont représentés dans la figure ci-dessous où nous avons utilisé la notation spectroscopique non relativiste habituelle jnl .

Le nouveau phénomène est l’apparition de la structure fine, c’est à dire la différence d’énergie entre les niveaux de j différents, pour la même valeur de n. Typiquement pour Z = 1,

(9) ( ) ( ) GHz9.10eV1053.432

22 54

2/12/3 =×=≅− −αmPEPE

Cette structure fine peut être vue comme une conséquence du couplage spin - orbite :

(10) 324 rm

ZE

L⋅=∆ σα

Ce terme s’annule pour une onde s, tandis que pour une onde p, ( )4/222 σσ −−=⋅ LJL prend les

valeurs 1 et –2 pour j = 3/2 et j = 1/2 respectivement. D’un autre coté, la valeur moyenne de 3/1 r

est, sur base dimensionnelle, de la forme ( )33/1 αmZknlrnl nl= , où nlk est un pur nombre. Tout

livre sur la mécanique quantique nous dit que ( ) ( )[ ]11212/8 23 −++= lnlknl (=1/24 pour n = 2 et l

= 1) :

(11) ( ) ( )32

224

2/12/3..

αZmPPE os =−∆

en accord avec l’estimation précédente (cela est valable aussi pour des plus grandes valeurs de n et de l). Construisons maintenant les spineurs qui sont états propres de l’énergie de ce problème. En

retournant à la représentation de Dirac, nous écrivons les bispineurs

=

χϕ

ψ et cherchons les

spineurs à deux composantes qui sont états propres de 2J , zJ et 2L avec les valeurs propres j(j+1),

m et l(l+1), respectivement. Soit ( )±mj ,ϕ l’état propre pour 2/1±= lj .

Comme état propre de 2L , ( )±mj ,ϕ doit avoir la forme

(12) ( )

= ′

′

±µ

µ

µµϕ

l

l

mjYb

Ya,

(pas de sommation sur µ et µ ′ ).

Où nous utilisons la notation standard µlY pour les harmoniques sphériques. Ils doivent aussi être

états propres de zzz SLJ += avec la valeur propre m et états propres de 4/322 −−=⋅ LJL σ

avec la valeur propre l pour ( )+mj ,ϕ et -(l + 1) pour ( )−

mj ,ϕ . La première condition donne 2/1−= mµ et

2/1+=′ mµ , la seconde avec la condition de normalisation 22

ba + , détermine a et b. Nous

avons finalement les spineurs harmoniques

(13) ( ) ( ) ( )( )

+−+++=

+

−−+

2/12/1

2/12/12/1

,2/1

2/112

m

l

m

lmj

Yml

Ymllϕ j = l + 1/2

(14) ( ) ( ) ( )( )

++−+−+=

+

−−−

2/12/1

2/12/12/1

,2/1

2/112

m

l

m

lmj

Yml

Ymllϕ j = l-1/2, l > 0

La phase a été choisie de telle manière que

(15) ( ) ( )−+ ⋅= mjmj r ,, ˆϕσϕ

Puisque r⋅σ est un opérateur pseudoscalaire, ( )+mj ,ϕ et ( )−

mj ,ϕ ont des parités opposées (de plus, leur

moment angulaire l diffère d’une unité). Il est pratique d’introduire une notation commune. Soit l

mj ,ϕ dénote ( )+mj ,ϕ si j = l + 2 et ( )−

mj ,ϕ si j = l - 1/2. Nous vérifions par inspection que l

mj ,ϕ a la parité

( )l1− .

Puisque l’équation de Dirac dans le potentiel de Coulomb

(16) ψψαβαψ Hr

Zm

iE ≡

−+∇⋅= 1

est invariante sous la réflexion spatiale, les états propres impairs et pairs peuvent être construit, c’est-à-dire

(17) ( ) ( ) ( ) ( )xx jmmj

±± ±= ψβψ ~,

Il est clair que les spineurs

(18)

( )

( ) ( )

⋅=

l

jm

lj

l

jm

lj

l

jm

rr

rFr

riG

ϕσ

ϕψ

ˆ

ont la parité ( )l1− . Dans (16) les facteurs i et 1/r ont été introduit pour la facilité ultérieure. Notant

que H dans (16) s’écrit

(19)

−−⋅

⋅−=

r

Zm

r

Zm

H ασ

σα

p

p

nous faisons les calculs intermédiaires

(20)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) l

jm

l

jm

l

jm

l

jm

rfjdr

rdfr

r

ri

rfir

rrfrrrf

ϕσ

ϕσσϕσσσϕσ

++⋅−=

⋅+⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅

2/11ˆ

ˆˆˆ

m

Lprpp

pour 2/1±= lj

et de même

(21) ( )( ) ( ) ( ) ( ) l

jm

l

jm rfjr

rr

irfrr ϕϕσσ

+±+∂∂−=⋅⋅ 2/11ˆp

Notre longue séparation de variables résulte en la paire d’équations radiales

(22)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

+=

++

+−=

+−

r

rGjr

dr

dGrF

r

ZmE

r

rFjr

dr

dFrG

r

ZmE

ljlj

lj

ljlj

lj

2

1

2

1

m

m

α

α

Pour résoudre cette paire d’équations, nous introduisons la notation 22 Em −=λ (puisque 22 mE < ), la nouvelle variable rλρ 2= , et pour l et j donné, les nouvelles fonctions ( )ρ1F et

( )ρ2F :

(23)

( ) ( )( )

( ) ( )( )ρ

ρ

ρ

ρ

212/

2/1

212/

2/1

1

1

FFem

ErF

FFem

ErG

−

−=

+

+=

−

−

En éliminant 2F en faveur de 1F , nous obtenons une équation différentielle du second ordre dont la

solution est

(24)

+−=

+−++−

−=

ργλαγρ

ργλαγρ

λαλλαγ

γ

λ

;12,

;12,1/

/

2

1

EZFF

ZF

mZ

EZF

avec

(25) ( )[ ] jjZj δαγ −+−+≡ 2/12/12/1222

Ici ( )ρ;,baF dénote la fonction hyperbolique dégénérée solution de

(26) ( ) ( ) 0;,2

2

=

−−+ ρ

ρρ

ρρ baFa

d

db

d

d

Pour de grand ρ cette fonction se comporte comme ( ) ( )[ ] ρρ eab ba−ΓΓ / . En demandant que ljF et

ljG soient normalisables, soit ( ) 10

22 =+∫∞

drGF ljlj , implique que ( )[ ] 1/ −−Γ λαγ EZ doit s’annuler.

C’est la condition de quantification désirée

(27) ( )

( )2/1négatifnonentier

+−≡

=−

jn

nEZ

γγλα

qui conduit à :

(28) ( ) jnEm

EZ δα −=− 2/122

En collectant tous les facteurs, il est alors possible d’écrire l’expression des solutions normalisées

ljF et ljG , et donc de l

jmψ .

Nous noterons seulement ici la forme de la fonction d’onde de l’état de base

(29)

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

−−

−

+Γ+=

−

−

+Γ+=

−−−−===

−−===

θα

γθ

αγα

γγ

παψ

θα

γθ

αγα

γγ

παψ

ϕαγ

ϕ

αγ

cos1

sin1

1

0

2212

1

4

2

sin1

cos1

0

1

2212

1

4

2

1

2/1

2/1

2/3

2/1,2/1,1

1

2/1

2/1

2/3

2/1,2/1,1

Z

i

eZ

iermZ

mZ

eZ

iZ

iermZ

mZ

irmZ

mjn

i

rmZ

mjn

Notons que ( )2/1~1 2222 ααγ ZZ −−= . A la limite non relativiste, 1→γ , nous retrouvons les

fonctions d’onde de Schrödinger multipliées par les spineurs de Pauli. D’un autre coté, ces fonctions d’onde sont singulières à l’origine, mais cet effet est notable seulement pour

(30) 2/1630022/2 102 ZZermZ −− ≈≤ αα

c’est à dire dans une région plutôt petite ! Pour comparer ces résultats avec les niveaux expérimentaux, plusieurs autres effets doivent être pris en compte.

V. Théorie des trous

V.1. Réinterprétation des solutions d'énergie négat ive En dépit des succès de l’équation de Dirac, nous devons abandonner notre politique de l’autruche et faire face à l’interprétation des solutions d’énergie négative. Comme expliqué précédemment, leur présence est intolérable puisque qu’elles rendent tout état d’énergie négative instable en analyse finale. Une solution fut proposée au début des années 1930 en terme de théorie à plusieurs particules. Bien que cette approche soit limitée, puisqu’elle ne peut pas s’appliquer aux particules scalaires par exemple, il est intéressant de retracer son raisonnement. Elle fournit un schéma physique intuitif utile dans les cas pratiques, et permet des analogies fécondes avec différentes situations tel que les électrons dans un métal. Sa supposition majeure est que tous les états d’énergie négative sont remplis dans l’état du vide. En accord avec le principe d’exclusion de Pauli, cela empêche tout électron de tomber dans ces états d’énergie négative et par conséquent assure la stabilité des états d’énergie positive. En retour, un électron de la "mer" d’énergie négative peut être excité vers un état d’énergie positive. Il laisse alors un trou dans la mer. Ce trou dans les états d’énergie négative et négativement chargé apparaît comme une particule d’énergie positive chargée positivement, le

positron. En plus des propriétés du positron, sa charge ee −= et sa masse au repos em , cette

théorie prédit aussi l’observation de nouveaux phénomènes : 1. L’annihilation d’une paire électron – positron. Un électron (d’énergie positive) tombe dans un

trou dans la mer d’énergie négative avec l’émission de radiation. Suite à la conservation de l’énergie-impulsion, au moins deux photons doivent être émis, à moins qu’un noyau présent absorbe l’énergie et l'impulsion.

2. Inversement, une paire électron – positron peut être créée du vide par un photon incident en la présence d’une cible pour la balance de l’énergie-impulsion. C’est le processus mentionné ci-dessus. Un trou est créé tandis que l’électron excité acquiert une énergie positive.

Donc la théorie prédit l’existence de positrons qui furent en fait observés en 1932. Puisque les positrons et les électrons peuvent s’annihiler, nous devons abandonner l’interprétation de l’équation de Dirac comme une fonction d’onde. De plus, les raisons pour écarter l’équation de Klein-Gordon ne tiennent plus. Elle décrit les particules sans spin tel que les pions. Cependant, l’interprétation des trous n’est pas satisfaisante pour les bosons puisque la statistique de Fermi-Dirac joue un rôle crucial dans l’argument de Dirac. Même pour les fermions, le concept d’une mer inobservable infiniment chargée semble plutôt bizarre. Il est préférable de construire une vraie théorie à plusieurs particules pour accommoder particules et antiparticules d’une manière consistante. Cela est obtenu par la "seconde quantification", c’est à dire l’introduction de champs quantifiés capable de créer ou annihiler des particules. Nous n'aborderons pas ces développements fort vastes et complexes mais vous en avez déjà eut un léger aperçu avec les phonons ainsi que la théorie BCS.

V.2. Conjugaison de charge La théorie des trous implique l’existence d’électrons et de positrons avec la même masse et des charges opposées qui obéissent à la même équation. L’équation de Dirac doit donc admettre une nouvelle symétrie correspondant à l’échange particule ⇔ anti particule. Nous cherchons donc une

transformation cψψ → renversant la charge, c’est-à-dire telle que

(1) ( )( ) 0

0

=−/+∂/

=−/−∂/cmAei

mAei

ψψ

Nous demandons que cette transformation soit locale et que son carré multiplie ψ par une phase

inobservable. Pour construire cψ nous conjuguons et transposons la première équation et nous

trouvons

(2) ( )[ ] 0=−−∂− TT meAi ψγ µµµ

avec ∗= ψγψ TT 0 . Dans toute représentation de l’algèbre γ il doit exister une matrice C qui satisfait

(3) µµ γγ −=−1CC T

Par exemple, dans la représentation habituelle, C peut être prit comme

(4)

−−

==0

02

202

σσγγ

i

iiC

(5) +− ===− CCCC T1

Nous identifions alors cψ comme

(6) T

c

c Cψηψ =

avec cη une phase arbitraire inobservable, généralement prise égale à l’unité. Dans le schéma

présent, la conjugaison de charge est une transformation anti-linéaire. Ceci est consistant avec l’interprétation des trous puisque lorsque l’on calcule une probabilité de transition, la présence

d’une particule dans un certain état est représentée par ψ et son absence par ∗ψ . Examinons de

plus près les propriétés de cette conjugaison de charge. Nous calculons cψ pour ψ décrivant un

électron de spin bas d’énergie négative au repos. En l’absence de champ externe

(7)

==

= −

0

0

0

1

1

0

0

0

imt

c

T

c

cimt eCe ηψηψψ

Donc la conjugaison de charge d’un électron d’énergie négative spin bas est en effet équivalent à un électron d’énergie positive spin haut. Pour une solution ψ arbitraire d’énergie-impulsion p polarisé le long de n, nous savons que

(8) 02

1

205 >/++/= p

n

m

mp ψγεψ

où 1±=ε dénote le signe de l’énergie. Puisque C commute avec ε dans la représentation de Dirac

(9) cTc n

m

mpCC ψγεγψψ

/+

+/==∗

2

1

250

cψ est décrit par les mêmes quadrivecteurs p et n, mais le signe de l’énergie a été renversé. Nous

avons

(10) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )npunpnpv

npvnpnpu

c

c

,,,

,,,

ηη

==

où la phase ( )np,η peut dépendre de p et n. Nous rappelons que le projecteur ( ) 2/1 5n/+ γ projette

sur les états de spin 2/1± le long de n selon le signe de l’énergie. Donc le spin est renversé par la conjugaison de charge. Nous notons, de plus, que sous une transformation commune sur le spineur ψ et le potentiel A,

(11) µµµ

ψηψψAAA

C

c

T

c

c

−=→

=→

l’équation de Dirac (1) reste inchangée. La loi de transformation du quadrivecteur courant sous conjugaison de charge est

(12) TTTTTccc CCjj ψγψψγψψγψψγψ µµµµµµ ===→=

Nous pourrions naïvement en conclure que µµµ ψγψ jj c == . Cependant ψ et ψ doivent être

considérés comme des opérateurs anti-commutant (statistique de Fermi-Dirac). Donc la conjugaison de charge renverse le signe de µj et laisse Aej ⋅ inchangé.

V.3. Particules de masse zéro Lorsque nous avons construit les spineurs solutions de l’équation de Dirac, nous avons écarté le cas sans masse m = 0. Cependant, les neutrinos sont des particules sans masse de spin ½. En plus, nous nous attendons à ce qu’aux très hautes énergies, les particules massives se comportent comme étant sans masse. En réalité, on sait maintenant que les neutrinos ont une masse, extrêmement faible. Mais cette approche reste intéressante. Réexaminons donc ce cas. Nous partons de l’équation de Dirac sans masse (1) µµψ ∂==/ ipp 0

En multipliant cette équation par 32105 γγγγγ i−= , on obtient

(2) ψγψ 05 p=⋅Σ p

puisque, par exemple, ( ) 12332105 Σ≡== σγγγγγ i . L’opérateur de chiralité 5γ anti-commute avec

p/ . Pour une solution d’énergie positive (3) ( ) ( )kex xik ψψ ⋅−=

L’équation (1) nécessite 02 =k , donc k== Ek 0 , et l’équation (2) implique

(4) ψγψ 5ˆ =⋅Σ k

Donc la chiralité égale l’hélicité (elles sont opposées pour les solutions d’énergie négative). Etiquetons les solutions indépendantes de (1) par leur chiralité :

(5)

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )kvkv

kuku

kkve

kuex

k

xik

xik

±±

±±

±⋅

±⋅−

±=±=

>==

=

5

5

02 0,0avec

γγ

ψ k

Dans la représentation usuelle

=

0

05

I

Iγ :

(6)

( ) ( )( )

( ) ( )( )

±=

±=

±

±±

±

±±

kb

kbkv

ka

kaku

2

1

2

1

et

(7)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )kaie

kakka

kai

e

kakka

i

i

∗+−−

∗−++

−=

−=⋅−=

=

=⋅=

2

2

2cos

2sin

ˆ

2sin

2cos

ˆ

σθ

θ

σ

σθ

θ

σ

ϕ

ϕ

où θ et ϕ sont les angles polaires de k . De même

(8)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )kukb

kaikbkuCkv

kukb

kaikbkuCkv

T

T

−−

∗+−

+−

++

∗−+

−+

−=

−=

==

−=

−===

2

2

2

1

2

1

σ

σ

Il existe seulement deux solutions indépendantes pour k donné. L’observation expérimentale montre que seul les neutrinos de chiralité négative existent. Les neutrinos ont l’hélicité –1, les antineutrinos l’hélicité +1. Cela sera mieux compris en terme de

spineur à deux composantes. En effet les raisons pour utiliser des spineurs à quatre composantes ne tiennent plus dans le cas de l’équation de Dirac sans masse

(9) ψαψ ∇⋅=∂

∂it

i1

où l’algèbre (10)

ijji δαα 2, =

peut être réalisée par les trois matrices de Pauli à deux dimensions. L’identification ii σα →

conduit à des particules d’hélicité positive, énergie positive, tandis que ii σα −→ donne l’hélicité

négative. De tels spineurs initialement introduit par H. Weyl, furent rejetés parce qu’ils sont incompatibles avec la conservation de parité (qui renverse le signe de l’hélicité). Ce n’est pas une objection sérieuse puisque les neutrinos sont impliqués dans les interactions faibles qui ne conservent pas la parité. Nous avons déjà introduit les représentations chirales correspondantes de matrices α :

(11)

−=

−−

=

−=

I

I

I

I

0

0

0

0

0

0 50 γγσ

σα

Pour la chiralité positive, 15 +=γ ,

=

0

ϕψ et 0=⋅ ψγ p se réduit à

(12) ( ) 00 =⋅+− ϕσpp

tandis que pour 15 −=γ ,

=

χψ

0 et

(13) ( ) 00 =⋅+ ϕσpp

Dans les deux cas, nous avons une théorie à deux composantes, et l’équation de Dirac est équivalente à une paire d’équation de Weyl. La transformation également appelée conjugaison de charge (les neutrinos n’ont pas de charge) relie les deux chiralités et change le signe de l’énergie. Il n’y a pas d’invariance C si la nature utilise seulement les neutrinos d’une chiralité définie. En réalité, puisque l’opération de parité P relie aussi les deux types de solutions

(14) ( ) ( )xx −→ ,, 0 tt ψγψ

( 0γ est anti-diagonal), l’opération combinée CP laisse les équations de Weyl invariantes. Dans la

nouvelle représentation, la matrice C s’écrit

(14)

−=

2

2

0

0

σσ

i

iC

Donc, l’opération CP agit comme

(15) ( ) ( ) ( )xxx −=−= ∗∗ ,,, 2 ttCtCP ψησψηψ m

pour les chiralités 15 ±=γ , respectivement.

Nous observons que les normalisations invariantes de Lorentz des solutions massives doivent être modifiées dans le cas sans masse. Donc nous écrivons

(16)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) αβ

βα

αββα

δγ

δγ

Ekvkv

Ekuku

2

2

0

0

=

=

Exercices 1. Construisez les solutions en onde plane appropriées pour les neutrinos.

VI. Propagation et diffusion

VI.1. Propagateur libre Nous avons déjà vu le concept des fonctions de Green. Nous l’étendons ici aux particules de spin ½ dans le cadre relativiste. Nous considérons d’abord la propagation libre. Essayons de déterminer la solution de l’équation de Dirac au temps 2t comme une fonction de sa

valeur à un moment plus tôt 1t . Ceci est possible puisque nous travaillons avec une équation du

premier ordre. Nous cherchons donc un noyau ( )12 , xxK tel que

(1) ( ) ( ) ( )∫= 110

112213

22 ,,;,, xxxx tttKxdt ψγψ

L’introduction de 0γ sera bientôt justifiée. Toute solution ψ est une superposition linéaire de

solutions d’ondes planes

(2) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )∑∫

⋅∗⋅− +=α

αααα

πψ xikxik ekvkbekuka

E

mkdt

3

3

2,x

A cause des relations de normalisation, nous pouvons écrire

(3)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )kbekvxd

kaekuxd

i

i

∗⋅

⋅−

=

=

∫

∫αα

αα

ψγ

ψγ

x

x

xk

xk

,0

,0

03

03

Donc

(4) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( )

∫ ∑ −⋅−⋅− ⊗+⊗=α

αααα ψγπ

ψ 1101212

3

3

22 ,2

, xx tekvkvekukuE

mkdt

xxikxxik

En échangeant l’ordre d’intégration, nous trouvons le noyau désiré

(5) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )

∫ ∑ −⋅−⋅− ⊗+⊗=α

αααα

π1212

3

3

11222

,;,xxikxxik

ekvkvekukuE

mkdttK xx

pour 12 tt > .

Notons que K dépend seulement de ( )12 xx − qui est un reflet de l’invariance à la translation de

l’équation libre. Nous pouvons utiliser les projecteurs ( )k±Λ pour mettre ( )12 , xxK sous une forme

plus compacte

(6) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫−⋅−⋅− −/++/−= 1212

3

3

121222

,xxikxxik

emkemkE

kdttxxK

πθ

Nous dénotons ce noyau retardé par retK . Montrons directement que c’est une fonction de Green de

l’équation de Dirac. En agissant sur ( )12 , xxK ret avec ( )mi −∂/ 2 nous obtenons

(7) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫−⋅−−⋅ −/++/−=−−∂/ 1212

3

3

120

12222

xxkxxk ii

ret emkemkE

kdttixxKmi

πδγ

Nous pouvons changer k en -k dans le second terme sur le coté droit, le coefficient de ( )m+⋅kγ

s’annule et nous obtenons (8) ( ) ( ) ( )12122 xxixxKmi ret −=−−∂/ δ

( )12 , xxK ret peut aussi être exprimé en terme de la fonction de Green retardée scalaire comme

(9) ( ) ( ) ( )12212 , xxGmiixxK retret −+∂/−=

L’équation (8) suit aussi de l’identité satisfaite par les fonctions de Green :

(10) ( ) ( ) ( )124

122

2 xxxxGm ret −=−+ δ

De

(11) ( ) ( )∫ −−+

−=⋅−

222

0

4

42

1

mik

ekdG

xik

retkεπ

il suit que

(12) ( )( ) ( )∫ −−+

+/= ⋅−222

0

4

42 mik

mkked

ixK xik

retkεπ

où l’intégration sur 0k est effectuée en premier le long du contour en tirets de la figure ci-dessous.

La théorie des trous suggère l’introduction d’une fonction de Green différente, le propagateur de Feynman. Il apparaît d’une manière naturelle dans la théorie du champ quantifié. Néanmoins, soulignons les idées qui conduisirent Feynman et Stueckelberg à sa construction. Une fonction de Green peut être considérée comme décrivant trois étapes successives : 1. Apparition d’un électron en 1t , 1x

2. Propagation de l’électron de 1t , 1x à 2t , 2x

3. Disparition de l’électron en 2t , 2x

Aussi longtemps que l’électron a une énergie positive, ce processus est physiquement acceptable pour 12 tt > . D’un autre coté, si nous traitons avec un électron d’énergie négative, nous voudrions

interpréter sa disparition comme l’apparition d’un positron et vice versa. La seconde étape sera alors considérée comme la propagation du positron de 2t , 2x à 1t , 1x qui a un sens seulement pour

12 tt < . Donc dans la théorie des trous, nous voudrions construire une fonction de Green qui

propage les solutions positives seulement pour 12 tt > et les négatives (plus précisément les

positrons) seulement pour 12 tt < :

(13) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫−⋅−⋅− −/−++/−= 12

2112

123

3

1222

,xxikxxik

F emkbttemkattE

kdxxS θθ

π

Les constantes a et b sont déterminées en imposant que

(14) ( ) ( ) ( )124

122 , xxxxSmi F −=−∂/ δ

(notez le changement de normalisation par rapport à (8)). Il suit d’un calcul direct que

(15)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]∫

∫

−⋅+−+⋅−−=

−/−+/−=−∂/

−⋅

−⋅−−⋅

mEbmEaeE

kdtti

emkbemkaE

kdttixxSmi

i

ii

F

kkxxk

xxkxxk

γγγγγπ

δ

γπ

δ

000123

3

12

12120

3

3

12122

22

22,

et la condition (14) est remplie pourvu que iba /1=−= . Le résultat est donc

(16) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]∫−⋅−⋅− −/−−+/−= 12

2112

123

3

1222

1,

xxikxxik

F emkttemkttE

kd

ixxS θθ

π

( )12 xxK ret − et ( )12 xxiSF − peuvent différer seulement par une solution de l’équation homogène

de Dirac. C’est en effet ce qui est trouvé par un calcul direct :

(17) ( ) ( ) ( )( ) ( )∫

−⋅−/=−−− 123

3

121222

xxik

Fret emkE

kdxxiSxxK

π

Une expression covariante est obtenue au moyen de la représentation intégrale

(18) ( ) ∫∞

∞−→ −=

εεπωθ

ω

ε i

e

i

dt

ti

2lim

0

La limite +→ 0ε sera sous-entendue dans ce qui suit. Les quantités que nous manipulons sont des

distributions agissant sur des fonctions tests variant lentement. Après insertion de ces expressions dans (16), nous avons

(19) ( )( )

( ) ( )∫ ∫∫

−−/−

−+/−=

∞

∞−

−⋅∞

∞−

⋅− tixiktixik

F ei

demke

i

demk

E

kdxS ωω

εωω

εωω

π 2

1

2 4

3

Dans la première intégrale nous posons ω−= Ep 0 , kp = ( ( ) 2/1220 mkE +== k ) et dans la

seconde Ep −= ω0 , kp −= :

(20) ( )( )∫

−−+⋅−−

−+−⋅+=

⋅−

εγγ

εγγ

π ipE

mE

ipE

mE

E

epdxS

xip

F 0

0

0

0

4

4

22

pp

Pour un ε positif tendant vers zéro, nous pouvons écrire (21) ( )( ) ( )εεε impipEipE +−−−=−−−+ 222

000

p

Finalement

(22) ( )( )∫ +−

+/= ⋅−

επ imp

mpe

pdxS xip

F 224

4

2

Le terme εi donne la prescription pour l’intégrale sur l'impulsion. L’intégration sur 0p est

effectuée en premier le long du contour continu montré dans la figure précédente, puis nous intégrons sur p. Si nous considérons m comme complexe εimmc −= , +→ 0ε , nous avons

(23) εε impmpmp

mp

imp

mp

cc

c

+−/=

−/=

−+/=

+−+/ 11

2222

Donc, nous pouvons écrire la transformée de Fourier de ( )xSF comme

(24) ( )εε impimp

mppSF +−/

=+−

+/= 122

On peut utiliser ( )xSF pour définir le propagateur de Feynman du champ scalaire :

(25) ( ) ( ) ( )xGmixS FF +∂/−=

Pour résumer, le rôle du propagateur de Feynman est de propager les fréquences positives vers les temps positifs et les négatives en arrière dans le temps.

Soit ( ) ( )x,1t+ψ et ( ) ( )x,2t−ψ les composantes positives et négatives d’une solution, données pour 1t

et 2t , respectivement, 21 tt < et tout x. Le propagateur FS nous permet de trouver ( )x,tψ à tout

temps intermédiaire t :

(26) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫−+ −−−−−= yyxyyxx ,,,,, 2

021

01

3 tttStttSydit FF ψγψγψ

VI.2. Propagation dans un champ électromagnétique e xterne arbitraire En pratique, nous traiterons avec la propagation en présence d’obstacles : processus de diffusion, champs externes, interaction avec d’autres particules. Traitons la propagation dans un champ électromagnétique externe

(1) ( )[ ] ( ) ( )124

1222 , xxxxSmxAei A −=−/−∂/ δ

A très peu d’exceptions près, nous sommes incapables de trouver une expression compacte pour

AS . Heureusement, il arrive fréquemment que le terme Ae / soit suffisamment petit pour être traité comme une perturbation, et AS peut être exprimé comme un développement (asymptotique) en Ae / . Pour le dériver, nous multiplions les deux cotés de (1) par ( )23 , xxSF et intégrons sur 2x :

(2)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )∫

∫

−/−←∂−=

−/−→∂=

12222324

12222324

13

,,

,,,

xxSmxAeixxSxd

xxSmxAeixxSxdxxS

AF

AFF

De l'équation du propagateur de Feynman il suit que

(3) ( ) ( )234

223 , xxmixxSF −=

−←∂− δ

Donc l’équation intégrale qui détermine AS s’écrit

(3) ( ) ( ) ( ) ( )∫ /+= 12224

1313 ,,, xxSxAxdexxSxxS AFA

L’équation (3) est adaptée pour un développement de la théorie des perturbations obtenue par itération :

(4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L+//+

/+=

∫∫

∫iFFfF

iFfFifFifA

xxSxAexxSxAexxSxdxd

xxSxAexxSxdxxSxxS

,,,

,,,,

22211124

14

11114

Ce qu'on peut représenter graphiquement comme :

La ligne continue entre kx et lx est le propagateur ( )lkF xxS − et la croix est Ae / . En introduisant la transformée de Fourier de AS et ( )xA :

(5)

( )( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( )∫

∫∫

⋅−

⋅−⋅−

=

=

xip

ifA

ixipfxfpifiifA

pApd

xA

ppSepdpd

xxS

µµ π

ππ

4

4

4

4

4

4

2

,22

,

(nous utilisons la même notation dans l'espace de configuration et l’espace des moments pour la simplicité) un développement de la théorie des perturbations de ( )

ifA ppS , peut aussi être écrit.

Puisque ( ) ( )ifFifF xxSxxS −=, est invariant par translation

(6) ( ) ( ) ( ) ( )iFififF pSppppS −= 442, δπ

et

(7)

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )L+

−−−/+/+

−−/+

−=

∫∫

∫ifiFiFfF

ifiFfF

ifiFifA

pppppSpAeppSpAepSpdpd

ppppSpAepSpd

pppSppS

21

4

22124

14

1

4

114

44

2

2

2,

δπ

δπ

δπ

VI.3. Application à la diffusion de Coulomb La diffusion de Coulomb servira comme un test de base pour la méthode du propagateur. Le processus étudié est la diffusion d’un électron chargé de masse m par un centre avec une charge Ze− et une masse infinie. Ce dernier crée un potentiel rZeA π4/0 −= , 0=A , où r est le vecteur

joignant le centre à la charge.

En mécanique classique non relativiste, les trajectoires sont des hyperboles. L’angle de diffusion θ est relié au paramètre d’impact b (voir la figure ci-dessus pour les notations) par 1. Relations géométriques

(1) 2

cos2

tanθθ ==

c

b

b

a

2. Conservation de l’énergie

(2) ac

Z

m

p

m

p

m

p Afi

−−=== αε

222

222

( Ap est l'impulsion au point A).

3. Conservation du moment angulaire (3) ( )acpbpbpl Afi −===

Après élimination de ip , Ap , c, a nous avons

(4) 2/tan2 θε

αZb =

Nous considérons un flux uniforme d’électrons de densité ρ et de vitesse incidente

mpmpv fi // == . Le nombre de particules diffusées dans l’angle solide θπ cos2 dd =Ω par unité

de temps est égal au nombre de particules incidentes sur l’anneau d’aire bdbπ2 , c’est-à-dire

(5) 2/sin2

24

2

θεαρπρ Ω

== dZvbdbv

dt

dN

Donc, la section efficace différentielle, définie comme le rapport de ΩdtddN / au flux incident, est

(6) 4

2222

4

2

22/sin4

1

q

mZZ

d

d αεα

θσ =

=Ω

Ici if ppq −= est le transfert d'impulsion et 2/sin2 θip=q . C’est la formule classique de

Rutherford. Nous retournons au cas quantique relativiste. Nous utiliserons l’expression dérivée pour les propagateurs après substitution de AS pour FS et en prenant les conditions de liaisons suivantes :

pour −∞=1t , ( ) ( )x,1t+ψ est une onde plane incidente d’électrons d’énergie positive, tandis que

pour −∞=2t , ( ) ( )x,2t−ψ s’annule. Puisque nous ne connaissons pas AS , nous nous contenterons

des deux premiers ordres du développement de la théorie des perturbations. Soit ( )x,tincψ la

solution de l’équation libre de Dirac qui se réduit à l’onde incidente quand −∞=→ 1tt . La

fonction d’onde perturbative s’écrit

(7) ( ) ( ) ( )xxx diffinc ψψψ +=

où

(8) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ −/−=−∞→

y,lim 1043

1

tyzSzAezxzSdydix incFFt

diff ψγψ

et ( )y,1ty ≡ .

Puisque pour ,

(9) 10 tz >

nous avons

(10) ( ) ( ) ( ) ( )∫ /−= zzAezxzSdx incFdiff ψψ 4

Lorsque 0x tend vers ∞+ , diffψ se comporte comme une pure solution d’énergie positive de

l’équation libre de Dirac. En effet, en utilisant l’expression du propagateur de Feynman, nous voyons que seul le premier terme contribue à cette limite, et nous avons

(11)

( )( )

( ) ( )[ ] ( )

( ) ( )∑

∫ ∫

⋅−

−⋅−

=

/−+/=

α

α

ψπ

ψ

,

2/1

4

3

3

22

fk

fif

xfip

f

inc

zxip

diff

SpueVE

m

zzAieem

mpzd

E

mpdx

où

(12) ( ) ( ) ( ) ( )∫⋅

/

−= zezApu

VE

mzdieS i

zfip

f

f

fi ψα

2/1

4

Dans la deuxième expression de (11), la somme ( )∫33 2/ πpd a été remplacée par une somme sur

les états finaux dans un volume d’espace fini V : ∑ α,finauxétats/1

fkV . Alors l’onde

( ) ( ) ( )puVEmxip α⋅−2/1/ décrit une particule de vitesse E/p et de polarisation α dans le volume V.

Donc, l’amplitude de transition entre l’état

(13) ( ) ( ) ( )ixiip

i

i pueVE

mx βψ ⋅−

=

2/1

et l’état analogue ( )xfψ est

(14) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫

⋅−/−= i

zipfpi

f

fi

fi puezApuzdEEV

mieS βα4

2/1

Pour le problème de Coulomb, ( )0,0AA ≡ et rZeA π4/0 −= . Donc

(15) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫

⋅−

−= if

i

if

fi

fi pupur

erdEE

EE

m

V

iZS βα γπδα 03

2/12

rq

Il est agréable de retrouver la conservation de l’énergie. Nous avons finalement besoin de la transformée de Fourier du potentiel

(16) 2

3 4

q

rq π=∫⋅−

r

erd

i

if ppq −≡

Nous utilisons des ondes planes stationnaires au lieu de paquets d’ondes. Pas d’inquiétude alors si l’amplitude (15) ne peut pas être élevée au carré. On y remédie si en accord avec la règle d’or de Fermi, nous considérons un intervalle de temps fini et remplaçons les fonctions δ par

(17) ( ) ( ) ( )∫∫ −

−∞

∞−

−→=−

2/

2/2

T

T

tiEfEitiEfEi

if dtedteEEπδ

Le carré de cette expression se comporte pour les grands T comme ( )

if EET −πδ2 .

La probabilité de transition entre les états i et f par unité de temps et par particule incidente est alors

(18) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )∫ −=3

32

0

22/1 22

4

ππδγπα βα f

ifif

fi

fi pdVEEpupu

EE

m

V

iZ

dt

dP

q

La sommation se fait sur tous les états finaux possibles, dont le nombre dans l’élément de volume

d'impulsion fpd 3 est ( )33 2/ πfpVd . En divisant par le flux incident [ ]( )ii EV //1 p nous obtenons

la section efficace différentielle

(19) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ Ω−=202

4

2224iffffif

fi

fi pupuddppEEE

mZd βα γδασ

qp

Nous utilisons ffi p== pp et ffff dEEdpp = pour effectuer l’intégration triviale sur fp

(20) ( ) ( ) ( ) ( ) fiffi dpupumZ

d Ω=20

4

2224 βα γασq

A la limite non relativiste, ( ) ( )βα γ uu 0 est proportionnel à αβδ . Si nous n’observons pas la

polarisation finale, une somme sur α doit être effectuée, tandis que pour un état incident non polarisé, nous effectuons la moyenne des deux polarisations β également probables :

(21)

( ) ( ) ( ) ( )

+/+/=

=Ω ∑

m

mp

m

mpmZ

pupumZ

d

d

fi

if

fi

22tr

2

14

4

00

4

222

20

4

222

polarisénon

γγα

γασ

α

βα

q

q

Nous avons besoin maintenant des identités pour les traces de matrices . Pour tout produit d’un nombre impair de matrices γ , la trace s’annule. Pour un nombre pair, les identités suivantes peuvent être prouvées par induction : (22) ( ) ( ) ( ) LLLL +///⋅−//⋅=/// nnn aaaaaaaaaaaa 242312321221 trtrtr

Ici, cela se réduit à

(23) ( )

4tr

4tr

00

00

=

+⋅−=//γγ

γγ fifififi EEppEEpp

Nous avons besoin aussi des relations cinématiques

(24)

2sin2cos 222222 θβθ EmpEpp

EEE

fi

fi

+=−=⋅

==

où Ecv // p=≡β est la vitesse entrante (ou sortante) et

(25) 2

sin162

sin16 4222444 θβθppq E==

L’expression finale de la section efficace non polarisée (section efficace de Mott) est

(26)

−=Ω 2

sin12/sin4

22

422

22

polarisénon

θβθβ

ασp

Z

d

d fi

Lorsque 0→β , elle se réduit à la formule de Rutherford. Notons aussi que la correction relativiste

( )( ) 1222 12/sin1−−− βθβ affecte de manière prédominante la diffusion vers l’arrière.

Ce résultat a été dérivé pour des électrons incidents. Discutons brièvement de la diffusion de positrons dans le même champ de Coulomb. La force de Coulomb attractive est maintenant remplacée par une force répulsive. En mécanique classique non relativiste, cela conduit à la même formule de Rutherford (ce résultat remarquable est un phénomène particulier au champ de Coulomb). Dans notre traitement quantique, nous savons que la théorie est invariante sous conjugaison de charge. La diffusion d’un électron par une charge -Ze est le même qu’un positron par une charge +Ze. D’un autre coté, à l’ordre le plus bas, la section efficace est une fonction paire de Z. Donc la section efficace de Mott est également valide pour les positrons.

Nous pouvons le vérifier par un calcul direct. Nous utiliserons plutôt l’interprétation de la théorie des trous. Un positron sortant de quadri impulsion fp et de polarisation α est représenté par une

solution d’énergie négative "entrante" allant en arrière dans le temps :

(27) ( ) ( ) ( ) ( ) 00 >= −⋅−ff

xfip ppvex αψ

Nous retournons donc à l’équation de départ en utilisant des conditions de liaisons temporelles

(28) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) +∞===−∞==

−⋅−

+

20

2

11

,

0,

txpvet

tt

f

xfip αψψx

x

En répétant les étapes qui conduisirent de (7) à (14), avec une attention portée au signe, nous avons

(29) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫−⋅−− /

= f

zipfpi

i

fi

fi pvzAepvEEV

mzdieS αβ

2/1

2

24

Ceci est en accord avec un calcul direct. Le positron entrant est décrit par la fonction d’onde

(30) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )iTzip

i

zipc

i pvCepuez ββψ −⋅−⋅− ==

(à une phase près). En accord avec l’équation (12), la diffusion de ces positrons de charge sera décrite par

(31)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫

∫

∫

⋅−−−

⋅−−−−

/

=

/

−=

/=

zipfpi

fi

fi

zipfpi

i

T

f

T

fi

c

i

c

ffi

epvApvzdEEV

mie

epvCACpvzdEEV

mie

zzAzzdieS

αβ

βα

ψψ

4

2/1

2

2

14

2/1

2

2

4

Il est maintenant clair que cette expression conduit à la section efficace (20).

Introduisons le concept utile de facteur de forme. Supposons que nous étudiions la diffusion par une distribution de charge finie, un noyau de rayon fini, au lieu d’une charge ponctuelle. La symétrie sphérique de la distribution ( )rZeρ− sera normalisée selon

(32) ( ) 13 =∫ rdrρ

Comme dans (15), la section efficace à l’ordre le plus bas en α est proportionnelle à ( ) 2~qV , où

( )qV~

est la transformée de Fourier du potentiel ( )rV . De l’équation de Poisson ρ−=∆V , nous

apprenons que ( )qV~

est relié au facteur de forme ( )qρ~ :

(33) ( ) ( )∫⋅−= rderq i 3~ rqρρ

par ( ) ( ) ( )qqqV ρ~/1~ 2= . Donc la section efficace doit être amendée pour s’écrire

(34) ( ) 2~ qd

d

d

d

Mott

ρσσΩ

=Ω

Exercices 1. Discutez des effets de la polarisation et du recul du noyau sur les résultats de la section VI.3.

VI.4. Méthode du temps propre de Fock-Schwinger Comme complément à l’étude précédente des propagateurs, nous présenterons la belle méthode introduite par Fock et Schwinger et l’utiliserons pour donner les expressions exactes du propagateur de Dirac dans deux configurations particulières du champ électromagnétique : le champ uniforme constant et le champ d’ondes planes. Supposons que nous cherchions la fonction de Green ( )xxG ′, solution de

(1) ( ) ( ) ( )xxxxGixH x′−=′∂ 4,, δ

où H est un polynôme en x∂ . L’idée est de considérer H comme un hamiltonien qui décrit

l’évolution en temps propre d’un certain système. L’équation précédente n’est rien d’autre que la définition de la fonction de Green de ( )pxH , dans la représentation x

(2) ( )

[ ] µµµννµ

δ

∂=−=

′−=′

ipigpx

xxxx

,

4

Nous introduisons l’opérateur d’évolution unitaire ( )τ;, xxU ′ :

(3) ( ) ( ) ( )τττ

;,,;, xxUpxHxxUi ′=′∂∂

avec les conditions de liaison (4) ( ) ( )xxxxU ′−=′

→δτ

τ;,lim

0

(5) ( ) 0;,lim =′−∞→

ττ

xxU

Nous avons

(6) ( ) ( ) xUxxexxxU iH ′≡′=′ − ττ τ;,

(7) ( ) ( )∫ ∞−′−=′

0;,, ττ xxUdixxG

L’équation (3) peut être réécrite comme

(8) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xUpxHUUxxUpxHxxUxi t′=′=′∂ + τττττ ,,

ou

(9) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )0,0 xpxHxxxi t′=′∂ ττττ

avec des notations évidentes. Dans les cas favorables, nous sommes capables de résoudre pour ( )τx

et ( )τp montrant la relation entre traitement classique et quantique. Nous exprimons alors

( ) ( )( )ττ pxH , comme une fonction d'opérateurs correctement ordonnés ( )τx et ( )0x′ :

(10) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) [ ] ( )0;,0, xxxxFxpxHx ′′=′ τττττ

Alors l’équation pour ( )τ;, xxU ′ devient une équation différentielle linéaire ordinaire qui peut être

intégrée comme

(11) ( ) ( ) ( )xxCxxFdixxU ′

′′−=′ ∫ ,;,exp;,

ττττ

où ( )xxC ′, doit encore être déterminé afin que ( )τ;, xxU ′ satisfasse les relations correctes entre

position et moment. Par exemple

(12) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) µµµ

µµµ

µµµ ππττ

τπττeAp

xxxxxeAi

xxxxxeAi

x

x

−≡=′′−∂−

=′−∂′ 000

00

Dans le cas d’une particule de Dirac interagissant avec un champ électromagnétique externe, nous devons résoudre

(13) ( )[ ] ( ) ( )xxxxSmxAei A′−=′−/−∂/ 4, δ

( )xxGA

′, définit par

(14) ( ) ( )[ ] ( )xxGmxAeixxS AA′+/−∂/=′ ,,

satisfait

(14) ( ) ( ) ( )xxxxGFe

meAiHG AA′−=′

−−−∂≡ 422,

2δσ µν

µν

Dans le point de vue de Heisenberg, les opérateurs ( ) ( ) ( )τττ xUUx += et ( ) ( ) ( )τπττπ UU +=

satisfont les relations de Ehrenfest

(15)

( ) [ ]( ) [ ] ρν

ρνµµρρρ

µρµµ

µµµ

σππτ

τπ

πττ

Fe

FieeFHid

d

xHid

dx

∂−∂−−==

−==

22,

2,

puisque [ ] µννµ ππ ieF−=, .

Considérons d’abord un champ constant. Les équations précédentes se réduisent à

(16) ρµρ

µµ

µ πτ

ππ

τeF

d

d

d

dx22 −=−=

Ces équations sont facilement intégrées, en utilisant les notations matricielles

(17)

( ) ( )

( ) ( ) ( )010

02

2

πτ

πτπτ

τ

−=−

=−

−

eF

exx

e

eF

eF

Nous calculons alors ( )τπ comme une fonction de ( )τx , ( )0x :

(18) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]0sinh2

1 1xxeFeFe eF −−= −− τττπ τ

et en utilisant l’antisymétrie de F :

(19) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]002 xxKxx −−= τττπ

où ( )[ ] 2sinh2241 −≡ τeFFeK

Réarranger cette expression implique le commutateur ( ) ( )[ ]0, xx τ :

(20) ( ) ( )[ ]µν

τ

νµ ττ

−=−

eF

eixx

eF 1,

2

Nous obtenons finalement H comme

(21) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 2

2cothtr

20002 mF

eeFeF

iKxxKxxKxxH −−−+−= µν

µνσττττ

et l’équation différentielle satisfaite par ( )τ;, xxU ′ est

(22) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )ττστ µνµν ;,cothtr

22;, 2 xxUeFeF

ixxKxxmF

exxUi t

′

−′−′−+−−=′∂

Cette dernière peut être intégrée pour s’écrire

(23)

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )( )

++′−′−×

−′=′ −−

ττστ

ττττ

µνµν

2

1

212

2coth

4exp

sinhlntrexp,;,

imFi

xxeFeFxxi

eFeFxxCxxU

La fonction ( )xxC ′, est déterminée par les équations (12) qui conduisent à

(24)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 0,2

0,2

=′

′−+′−∂−

=′

′−−−∂

′xxCxx

eFxeAi

xxCxxeF

xeAi

x

x

νµνµµ

νµνµµ

La solution a la forme

(25) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫′

′−+−′=′x

xxFAdiexCxxC ξξξ 2

1exp,

Puisque ( ) ( )νµνµ ξξ xFA ′−+ 2

1 a un rotationel nul, l’intégrale est indépendante du chemin

d’intégration. En prenant une ligne droite de x′ à x, le deuxième terme ne contribue pas, à cause de l’antisymétrie de µνF , et nous pouvons écrire

(26) ( ) ( )∫′

−=′x

xdAieCxxC ξξexp,

La constante C est finalement déterminée par (4) comme

(27) ( )24πi

C −=

En résumé, le propagateur dans un champ constant s’écrit

(28) ( ) ( )[ ]( ) ( )∫ ∞−′−+/−∂/=′

0;,, ττ dxxUimxAeixxS xA

avec

(29)

( )( )

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )( ) ( )−++′−′−+

−−−=′ −

′∫

τετστ

ττξξτπ

τ

µνµν

µµ

imiFi

xxeFeFxxi

eFeFAdiei

xxUx

x

2

1

22

2coth

4

sinhlntr2

1exp

4;,

Notons la présence du terme εi− [afin de satisfaire (5)] et le facteur de phase ∫− ξAdieexp . Son

rôle est de rendre U invariant de jauge, lorsque

(30) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )xiexie exxUexxU

xxAxA

′ΛΛ− ′→′

Λ∂+→

ττµµµ

;,;,

Nous retournons maintenant au cas de l’onde plane. Le calcul est assez analogue au précédent, et nous soulignerons simplement les étapes successives. Nous considérons une onde plane polarisée

linéairement : ( )ξε µµ fA = avec xn ⋅=ξ , 02 =n , ( )ξφµνµν fF ′= où µννµµν εεφ nn −= . Notons

que 0=∂ µρρF . Donc les équations (15) prennent la forme

(31)

( ) ( )ξσφξπφτ

π

πτ

ρνρνµ

ρµρ

µ

µµ

fne

fed

d

d

dx

′′−′−=

−=

22

2

En remarquant que ( )( ) 0/ =⋅ ndd πτ , ndd ⋅−= πτξ 2/ et [ ] 0/, =τξξ dd , nous résolvons d’abord

pour ξ :

(32) ( ) ( ) ( ) τπξττξ nxn ⋅−=⋅= 20

Puis nous intégrons l’équation pour µνµπφ et nous obtenons

(33) ( ) ννµ

νµ ξπφ Cfen +=

où νC est un opérateur constant qui commute avec n⋅π . En insérant cette expression dans (31) et en l’intégrant, nous avons

(34) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) µ

ρνρνµµµµ

µ ξσφξξπ

τπττ

Dfne

fnefeCnd

dx+

′++⋅

==−2

22

1

2

1 22

Ici µD est un nouvel opérateur constant qui commute avec n⋅π . Nous calculons alors ( ) ( )0xx −τ

et éliminons µD :

(35)

( ) ( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

′++

−−

′++−

+−

−= ∫

τξσφτξτξξτξ

τ

ξσφξξξξτξ

ττ

ττπ

ρνρνµµµ

τξ

ξνρ

νρµµµµµ

µ

fne

fnefeC

fne

fnefeCdxx

22

0

22

02

0

22

0

22

2

Cela nous permet d’exprimer la constante µC comme

(36) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )( )

( )∫−

−−−=τξ

ξ

µρρµρµ ξξ

ξτξτφ

τ 000

2

1df

enxxC

Après le calcul des divers commutateurs

(37)

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ] ττ

ττξτξ

µµ

µµ

µ

ixx

inx

x

80,

2,0

00,

−=

=

=

nous pouvons écrire l’hamiltonien H comme

(38) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ]( ) ( )0

0

2

2002

4

1 22222

2 ξτξξτξσφδ

τττ

τνρ

νρ −−−+−−+⋅−= ffe

mfei

xxxxH

2fδ dénote la quantité

(39) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )( )

( )2

00

22

00

−−

−= ∫∫

τξ

ξ

τξ

ξ ξτξξξ

ξτξξξδ fdfd

f

L’opérateur d’évolution a la forme

(40) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

′−′−+++

′−′=′

ξξξξσφ

τδτττ

τνρ

νρ ffemfe

xxi

xxCxxU

24exp

,;, 222

2

2

où la fonction ( )xxC ′, est à nouveau déterminée par les relations (12). Nous trouvons

(41) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

⋅−

−⋅−⋅

′−−−′=′ ∫ ∫′

⋅x

x

yn

ynfyn

ufdu

yn

xyyAdyiexCxxC

ξ

ρρµρ

µµ ξξ

φexp,

où l’intégrale est indépendante du chemin. Pour une ligne droite, le seul terme restant dans la phase

est ( )∫ ′−

x

xyAdyie µ

µexp , et nous trouvons finalement

(42)

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

−

−

′−′−+++

′−×

−=′

∫ ′

x

xyAdyei

ffemfe

xxi

ixxU

µµ

ρνρν τε

ξξξξσφδ

τ

τπτ

24exp

4;,

2222

22

Ce résultat rappelle le résultat classique. Pour une fonction périodique ( )ξf , le terme proportionnel

à νρνρσφ est amorti si nous moyennons sur quelques périodes. L’effet net est un décalage de masse

(43) 2222222 femfemmeff +=+= δ

De tels effets non linéaires sont durs à détecter. Des faisceaux à hautes intensités sont requis, puisque pour une onde plane monochromatique de fréquence λπω /2/ c= et de densité d’énergie

ωρω h=== 222 fEE , nous avons

(44) λραωρπα 22

22

22

2

2

24 ee

c

cm

fe

m

mDD ===∆

Ici eD est la longueur d’onde de Compton de l’électron et ρ est le nombre de photons par unité de

volume dans le faisceau incident. Jusqu’à maintenant, les plus puissants faisceaux lasers ne sont pas capables d’atteindre une valeur mesurable pour ce rapport.

Exercices 1. On put introduire un potentiel pour l'équation de Klein-Gordon tout comme on le fait pour

l'équation de Schrödinger. Répétez les raisonnements de la section I.1 pour obtenir l'équation avec potentiel. On l'appelle parfois équation de Schrödinger relativiste.

2. Résolvez l'équation de Schrödinger relativiste pour un puits de potentiel carré attractif de profondeur 0V et un rayon a, après avoir déterminé les conditions de continuité en r = a.

Obtenez une expression explicite pour la valeur 0V minimale avec a donné qui donne juste un

état lié pour une particule de masse m. 3. Trouvez la solution de l'équation de Schrödinger relativiste qui est finie en r = 0 et qui

correspond à l'énergie potentielle aZee /2−=φ pour r < a et rZee /2−=φ pour r > a, quand a

est très petit. Notez que seuls les deux premiers termes de chaque développement en r ont besoin d'être retenu.

4. Résolvez l'équation de Dirac pour un puits de potentiel carré attractif de profondeur 0V et un

rayon a, après avoir déterminé les conditions de continuité en r = a. Obtenez une expression explicite pour la valeur 0V minimale avec a donné qui donne juste un état lié pour une particule

de masse m. Comparez à l'exercice 2.